8 Logaritmo - EsPCEx

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Prof. Ismael Santos
8 Logaritmo - EsPCEx
5 - Curso Interativo EsPCEx - Matemática I
- Prof. Ismael Santos
Documento última vez atualizado em 01/08/2024 às 12:16.
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 1/32
3
8
11
30
31
32
Índice
8.1) De�nições e Propriedades de Logaritmo
8.2) Equações Logarítmicas
8.3) Conceito e Grá�co de Função Logarítmica
8.4) Inequação Logarítmica
8.5) Prática Dirigida EsPCEx: Logaritmo
8.6) Minissimulado EsPCEx: Logaritmo
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 2/32
De�nições e Propriedades de Logaritmo
Sigamos com alguns conceitos teóricos em vídeo! 
Preparado, audaz!
Borá lá, então! 
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Tá pegando a ideia? 
Vamos a mais um vídeo! 
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Agora, vamos às propriedades do logaritmo. 
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Vamos ao aprofundamento dessa aula! 
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Agora, sim, sigamos com a teoria escrita! 
Bora, audaz! 
Definições Iniciais de Logaritmo
Imaginemos o seguinte problema: à qual expoente devemos elevar o número 3 de modo a 
obtermos 243?
Observe que o problema anterior pode ser descrito através da seguinte equação exponencial:
3 =x 243 ⟹ 3 =x 3 ⟹  5 x = 5
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 3/32
A partir de agora, diremos que 5 é o logaritmo de 243 na base 3. Com isso, promovemos uma 
mudança na notação utilizada. Assim, escrevemos:
Portanto, observamos que as expressões descritas anteriormente são equivalentes, ou seja:
 
Podemos generalizar essa ideia do seguinte modo:
Sendo a e b números reais e positivos, com chama-se logaritmo de b na base a o 
expoente real x que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b.
Em que:
I) é o logaritmando
II) é a base
III) é o logaritmo
Com o intuito de ilustrar o que acabamos de ver, destaco alguns exemplos práticos. Veja!
Calcular o valor de cada logaritmo a seguir:
a)
Resolução:
b) 
Resolução:
Antes de continuarmos, preste atenção no seguinte...
log 243 =3 4
log 243 =3 5 ⟺ 3 =5 243
a = 1,
log b =a x ⟺ b = ax
b
a
x
log =2 32
log 32 =2 x ⟹ 2 =x 32 ⟹ 2 =x 2 ⟹5 x = 5
log 6250,2
log 625 =0,2 x ⟹ 0, 2 =x 625 ⟹ =(
5
1
)
x
625 ⟹
⟹ 5 =−x 5 ⟹4 x = −4
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 4/32
I) As condições de existência do logaritmo são:
II) Quando a base de um logaritmo é igual a 10 (logaritmo decimal), esta pode ser omitida.
Exemplo: 
 pode ser escrito como 
III) Quando a base do logaritmo é o número  ( ) esse logaritmo é chamado 
logaritmo neperiano ou logaritmo natural e é representado pela notação .
 Exemplo:
 pode ser escrito como 
E aí...tudo dominado? Sigamos! 
Consequências da Definição de Logaritmo
Considerando a definição de logaritmo e suas condições de existência, temos:
, pois ; e ;
, pois ; e ;
 pois ; e ; e
; com , e .
Para que possamos provar essa última propriedades, devemos pensar da seguinte forma:
log ba
b > 0 e 0 0 a = 1
log 1 =a 0 1 = a0 a > 0 a = 1
log a =a
k k, a =k ak a > 0 a = 1
a =log ba b a b > 0 a = 1
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 5/32
Em um primeiro momento, não se preocupe em entender a demonstração. Isso ficará bem 
mais claro ao longo do nosso curso. Mas, adiantando, veja que para provar a última 
consequência da definição, eu usei as três anteriores, logo após ter aplicado o de base 
dos dois lados da igualdade. Show? Sigamos! 
Agora, faz todo sentido abordarmos algumas propriedades de logaritmo. Vamos a alguns! 
Propriedades de Logaritmos 
Sendo a, b e c números reais e positivos, com , temos:
I)          ;
II)        ;
III)      ;
IV)      ;
V)        ;
VI)      ;
VII)    ;
a =log ba x
⇒ log a =a ( log ba ) log xa ( )
⇒ log b ⋅a log a =( a ( )) log xa ( )
⇒ log b ⋅a 1 = log xa ( )
⇒ log b =a log xa ( )
∴ x = b
log a
a = 1
log (b ⋅a c) = log b+a log ca
log =a (
c
b
) log b−a log ca
log b =a
m m ⋅ log b , com m ∈a R
log b =an ⋅
n
1
log b , com n ∈a R
log b =an
m
 ⋅
n
m
log b , com m e n ∈a R
a =log ba b
log b =a 
log ab
1
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 6/32
VIII)    ;
IX)      ;
X)        ; e
XI)      . 
Uma dica muito útil é: toda vez que vir numa questão um constante real adicionada ou 
subtraída de uma expressão em log, podemos e DEVEMOS reescrevê-la em função de um log 
de mesma base do outro, para que consigamos operá-los sem maiores problemas. Veja:
Por outro lado, se aparecer uma diferença, teremos:
Vamos a um exemplo?
Bora!
Exemplo: Sendo , calcular o valor de , 
considerando satisfeitas as condições de existência.
Resolução:
log b =a 
log ac
log bc
log k ⋅ a =a ( ) log k +a ( ) log a =a ( ) log k +a ( ) 1, com k > 0
log a =k⋅a log =k⋅a (
k
k ⋅ a
) log (k ⋅k⋅a a) − log k =k⋅a 1 − log k , com k >k⋅a 0
log b ⋅a log c ⋅b log d ⋅c log e =d log ea
2 + log 5 ⟹3 log 3 +3
2 log 53
log 3 +3
2 log 5 =3 log (9 ⋅3 5)
= log 453
2 − log 5 ⟹3 log 3 −3
2 log 53
log 3 −3
2 log 5 =3 log (9 ÷3 5)
= log 3 (
5
9
)
log x =2 ( ) 3, log y =2 ( ) 5 e log z =2 ( ) 7 log 2
y z2
 
5
x3
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 7/32
Equações Logarítmicas
Boa, né? 
Foco, audaz!
log =2
y z2
 
5
x3
log x −2
 5
3
log y + log z ⟹( 2
2
2 )
log =2
y z2
 
5
x3
 log x −
5
3
2 2 log y −2 log z ⟹2
log =2
y z2
 
5
x3
 ⋅
5
3
3 − 2 ⋅ 5 − 7 = − 
5
76
Vamos aprender essa parte, em um primeiro momento, em vídeo?
Bora, então! 
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Vamos a mais um pouco de teoria e, claro, algumas questões para fixar! 
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Partiu mais questões? 
Simbora! 
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Equações Logarítmicas
São equações que envolvem logaritmos, cujas variáveis podem aparecer no logaritmando, na 
base ou em ambos. Assim, para resolvê-las, aplicamos a definição, as condições de existência e 
as propriedades dos logaritmos.
Destaco, a seguir, algumas formas de equações que podem vir a cair na sua prova. Observe! 
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 8/32
a)  Com em apenas um dos lados: . Nesse caso, basta fazer o 
seguinte passo a passo:
1º passo: fazer a condição de existência.
2º passo: aplicar a propriedade fundamental do .
3º passo: verificar se a "solução" satisfaz a condição de existência. 
4º passo: escrever o conjunto solução.
b)  Com dos dois lados: . Nesse caso, basta fazer o seguinte passo a passo:
1º passo: fazer a condição de existência.
2º passo: aplicar a propriedade da igualdade entre os logaritmandos.
3º passo: verificar se a "solução" satisfaz a condição de existência. 
4º passo: escrever o conjunto solução.
Para facilitar o seu entendimento, destaco, a seguir, dois exemplos práticos de equação 
logarítmicas. 
Exemplo: resolver, em , a seguinte equação logarítmica .
Resolução: 
log log x =a k , com k ∈ R
log x =a k ⇒ (C.E) : {
x > 0
a > 0 e a = 1
log
log x =a k ⇒ x = ak
x = a >k 0
S = x{ }
log log x =a log ya
log x =a log y ⇒a (C.E) : {
x > 0 e y > 0
a > 0 e a = 1
log x =a log y ⇒a x = y
R log (3x −5 18) = log 65
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 9/32
Inicialmente, devemos verificar as condições de existência (C.E.) de cada logaritmo. Assim, 
temos:
Em seguida, como as bases são iguais, devemos igualar também os logaritmandos. Logo:
Como esse valor satisfaz a condição de existência , então a solução da equação é 
Exemplo: resolver, em , a equação 
Resolução:
Aplicando a condição de existência, temos:
Aplicando a propriedade da definição de logaritmo, temos:
3x − 18 > 0
x > 6
3x − 18 = 6
3x = 24
x = 8
(x > 6)
S = {8}
R log (1 −2 5x) = −3
1 − 5x > 0
−5x > −1
5x8. Logaritmo - EsPCEx 10/32
Conceito e Grá�co de Função Logarítmica
Então, como , satisfazendo a condição de existência, a solução da equação é 
.
1 − 5x = 2−3
1 − 5x = 
8
1
1 − =
8
1
5x
x = 
40
7
 1
D = R +
∗
Im = R;
0 1
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 16/32
2º caso: 0 0
f(x) = log x +a k ⟹
x = 0.
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 18/32
 o gráfico descerá k unidades. É o que chamamos de 
TRANSLAÇÃO VERTICAL para BAIXO. Destaco que a equação da sua assíntota não sofrerá 
alteração, assim, sua equação continuará sendo da forma 
Exemplo: Construa o gráfico da função
f(x) = log x −a k ⟹
x = 0.
f(x) = log x +2 1
x g(x) = log x2
 
8
1 y = log =2 ( 8
1 ) −3
 
4
1 y = log =2 ( 4
1 ) −2
 
2
1 y = log =2 ( 2
1 ) −1
1 y = log 1 =2 0
2 y = log 2 =2 1
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 19/32
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. Veja:
Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 
. Precisamos somar uma unidade para encontrarmos a função desejada no g(x) = log x2
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 20/32
enunciado. Observe que a , logo, basta pegar o gráfico acima e SUBIR uma 
unidade (na vertical). Olhe!
Fica claro que, ao somarmos 1 à função, os valores das ordenadas sofrem alteração, justamente 
pelo fato da translação ser VERTICAL (ligada ao eixo das ordenadas).
Fique atento pois, se o gráfico sobe, sua assíntota vertical NÃO SE ALTERA, logo, a equação da 
reta continua sendo x=0.
Exemplo: Construa o gráfico da função 
f(x) = g(x) + 1
f(x) = log x
 2
1
x f(x) = log 2
1
4 y = log 4 =
 2
1 −2
2 y = log 2 =
 2
1 −1
1 y = log 1 =
 2
1 0
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 21/32
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função elementar. Veja:
2
1
y = log =
 2
1
2
1
1
4
1
y = log =
 2
1
4
1
2
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 22/32
Veja que apenas desenhamos o gráfico da nossa função “base”, ou seja, da função: 
 Precisamos subtrair uma unidade para encontrarmos a função desejada no 
enunciado. Observe que a , logo, basta pegar o gráfico acima e DESCER 
uma unidade (na vertical). Olhe!
g(x) = log x.2
f(x) = g(x) − 1
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 23/32
Fica claro que, ao subtrairmos 1 à função, os valores das ordenadas sofrem alteração, 
justamente pelo fato da translação ser VERTICAL (ligada ao eixo das ordenadas).
Fique atento pois, se o gráfico desce, sua assíntota NÃO SE ALTERA, logo, a equação da reta 
continua sendo x=0.
Translação Horizontal
Por outro lado, temos: imaginemos um 
o gráfico andará para a esquerda k unidades. É o que 
chamamos de TRANSLAÇÃO HORIZONTAL para a DIREITA. Destaco que a equação da 
sua assíntota sofrerá alteração, será da forma 
 o gráfico andará para a direita k unidades. É o que chamamos 
de TRANSLAÇÃO HORIZONTAL para a DIREITA. Destaco que a equação da sua assíntota 
sofrerá alteração, será da forma .
Veja a comparação de uma função exponencial elementar com uma transformada dela.
Exemplo: Construa o gráfico da função .
Partiremos direto para o gráfico da função, locando cada ponto no cartesiano. Veja:
k > 0.
f(x) = log (x +2 k) ⟹
x = −k.
f(x) = log (x −2 k) ⟹
x = k
f(x) = log (x +2 2)
x g(x) =
log x + 22 ( )
−1 y = log 1 =2 0
0 y = log 2 =2 0
2 y = log 4 =2 0
6 y = log 8 =2 0
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 24/32
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função. Veja:
Veja que o gráfico tangencia a reta ,ou seja, . Isso ocorre pelo fato do 
gráfico sofrer uma translação horizontal para a esquerda, pela soma do 2 ao logaritmando.
14 y = log 16 =2 0
x = −k x = −2
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 25/32
Fica claro que, ao somarmos 2 ao logaritmando da função, os valores das abscissas sofrem 
alteração, ou seja, o gráfico desloca duas unidades para a esquerda, justamente pelo fato da 
translação ser HORIZONTAL (ligada ao eixo das abscissas). Observe que a abscissa2, no 
gráfico antigo, levava à ordenada 1, agora, com a translação horizontal, para encontrarmos o 2 
como ordenada, precisamos colocar o 2 como abscissa.
Exemplo: Construa o gráfico da função 
Partiremos da função elementar, locando cada ponto no cartesiano. Veja:
f(x) = log (x −2 2).
x g(x) = log (x −2
2)
3 y = log 1 =2 0
4 y = log 2 =2 1
6 y = log 4 =2 2
10 y = log 8 =2 3
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 26/32
Agora, precisamos traçar a linha do gráfico da função. Veja:
Veja que o gráfico tangencia a reta , ou seja, Isso ocorre pelo fato do gráfico 
sofrer uma translação horizontal para a esquerda, pela soma do  ao logaritmando.
18 y = log 16 =2 4
x = k x = 2.
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 27/32
Fica claro que, ao subtrairmos 2 ao logaritmando da função, os valores das abscissas sofrem 
alteração, ou seja, o gráfico desloca duas unidades para a direita, justamente pelo fato da 
translação ser HORIZONTAL (ligada ao eixo das abscissas). Observe que a abscissa 4, no 
gráfico antigo, levava à ordenada 2, agora, com a translação horizontal, para encontrarmos o 2 
como ordenada, precisamos colocar o 6 como abscissa.
É meu querido! Você deve estar pensando: “NUNCA VI ISSO!” ou “SERÁ QUE ISSO CAI?”. 
Minha resposta para o segundo pensamento é: pode não cair o nome da transformação, mas o 
efeito dela sim. Você precisa conhecer para saber interpretar de forma bem mais simples as 
questões de prova. Vamos a mais alguns detalhes.
Reflexão de Função
 o gráfico sofrerá uma REFLEXÃO em relação ao eixo das 
ordenadas. É como se o eixo das ordenadas fosse um espelho para a função inicial.
 
o gráfico sofrerá uma REFLEXÃO em relação ao eixo das 
abscissas. É como se o eixo das abscissas fosse um espelho para a função inicial.
Veja a comparação de uma função exponencial elementar com uma transformada dela.
Exemplo: Gráfico da função . Nada mais é que construir o gráfico da 
função (linha tracejada na imagem abaixo) e refletir em relação ao eixo das 
ordenadas. Observe!
f(x) = log (−x) ⟹a
f(x) = − log (x) ⟹a
f(x) = log (−x)2
g(x) = log (x)a
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 28/32
Exemplo: Gráfico da função . Nada mais é que construir o gráfico da 
função (linha tracejada na imagem abaixo) e refletir em relação ao eixo das 
abscissas. Observe!
f(x) = − log (x)2
g(x) = log (x)a
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 29/32
Inequação Logarítmica
Ressalto que o ponto de interseção entre os gráficos da Função Exponencial e Logarítmica é o 
ponto em que essas funções apresentam o mesmo valor numérico!
Ufaa! 
Agora, é praticar bastante! 
Vamos começar este tema com a teoria em vídeo, ok?
Vamos nessa, então! 
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Showwwww! 
Sigamos com a teoria escrita, agora! 
Bora, audaz! Uma vaga será sua! PEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEGA!
Conceito e Propriedades de Inequação Logarítmica
Podemos entender como sendo toda desigualdade em que a variável aparece pelo menos no 
logaritmando, ou, por vezes, na base do logaritmo.
Exemplos:
1º) 
2º) 
3º) 
De modo geral, uma inequação deve ser resolvida colocando-se a mesma base a nos dois 
membros da inequação e considerando-se os seguintes casos:
1º caso: e dos dois lados da desigualdade.
log (x −2 1) > 64
log (3x −x−1 2) > 3
log (x −
 2
1 1) > log (2x +
 2
1 3)
a > 1 log
8. Logaritmo - EsPCEx
8. Logaritmo - EsPCEx 30/32
Prática Dirigida EsPCEx: Logaritmo
Como a função é crescente, observamos que, se então 
. Portanto: se devemos manter (conservar) o sinal da desigualdade ao 
compararmos os logaritmandos.
2º caso: e dos dois lados da desigualdade.
Como a função é decrescente, observamos que, se , 
então . Portanto: se , devemos mudar (trocar) o sinal da desigualdade ao 
compararmos os logaritmandos.
3º caso: e apenas em um dos lados da desigualdade.
Como a função é crescente, observamos que, se então 
. Portanto: se devemos manter (conservar) o sinal da desigualdade ao 
compararmos os logaritmandos.
4º caso: e apenas em um dos lados da desigualdade.
Como a função é crescente, observamos que, se então 
. Portanto: se devemos mudar (trocar) o sinal da desigualdade ao 
compararmos os logaritmandos.
Só isso! 
Um pedido: exercite! Faça toda a lista e todo o simulado! 
f(x) = log xa log x 1,
0 1 x 2 0 1 log
f(x) = log xa log x 1,
0 1 ak 0