Função Logarítmica e Propriedades

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
 
LOGARITMOS 
 
Definição 
 
x
blog a x b a=  = 
 
b é a base do logaritmo. 
a é o logaritmando. 
x é o logaritmo. 
 
Propriedades dos logaritmos 
1) alog a 1= (o logaritmo da própria base vale 1) 
2) alog 1 0= (o logaritmo de 1 em qualquer base vale 0) 
3) alog b
a b= (a potência de base a e expoente loga b 
vale b) 
4) a alog b log c= ⇔ (b = c) (dois logaritmos de mesma 
base são iguais se, e só se, os logaritmandos são 
iguais) 
5) loga by = y loga b, com y  R (o logaritmo de uma 
potência é igual ao produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência) 
6) loga (b . c) = loga b + loga c (o logaritmo do produto é 
igual à soma dos logaritmos dos fatores) 
7) log𝑎
𝑏
𝑐
 = loga b - loga c (o logaritmo do quociente é 
igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o do 
divisor) 
8) loga b = 
log𝑘 𝑏
log𝑘 𝑎
 , com k > 0 e k ≠ 1 ( mudança de base) 
 
OBS 1: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑚 𝑎 = 
1
𝑚
. log𝑏 𝑎 
OBS 2: log𝑏 𝑎 . log𝑐 𝑏 = log𝑐 𝑎 
OBS 3: log𝑏 𝑎
𝑚 ≠ (log𝑏 𝑎)
𝑚 
OBS 4: log𝑒 𝑎 = ln a 
 
Função Logarítmica 
Chama-se função logarítmica a função f: 𝑅+
∗ → 𝑅, tal 
que: 
 
f(x) = loga x 
 
com a > 0 e a ≠ 1. 
 
Gráfico da Função Logarítmica 
 
Se a base do logaritmo for maior que 1 (a > 1), então a 
função é crescente. 
 
 
 
Se a base do logaritmo for um número entre 0 e 1 
(0 < a < 1), então a função é decrescente. 
 
Função Logaritmo Natural(Neperiano) 
O logaritmo natural de um número a, a > 0, é o logaritmo 
desse número a, na base e. Representamos o 
logaritmo natural por ln. Assim: 
 
ln a = loge a 
 
O número irracional e tem valor aproximado de 2,71. 
Como o logaritmo natural é um logaritmo, porém com 
uma determinada base, então aplica-se todas as 
propriedades do logaritmo. 
 
Equações Logarítmicas 
É toda equação que apresenta a incógnita no 
logaritmando ou na base de um logaritmo. 
 
Exemplo: A solução da equação logarítmica 
log10 (x − 4) = 2 é: 
a) x = 6. 
b) x = 10. 
c) x = 50. 
d) x = 100. 
e) x = 104. 
 
Inequações Logarítmicas 
É toda inequação que apresenta a incógnita no 
logaritmando ou na base de um logaritmo. 
 
Exemplo: O conjunto solução da inequação 
log1
2
(log3 𝑥) > 0 é: 
a) S = {x  R | 1 < x < 3} 
b) S = {x  R | x < 1} 
c) S = {x  R | x < 1 ou x > 3} 
d) S = {x  R | x > 3} 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr - 2007) Se a8log = , então 3 2 vale: 
a) a
2
 
b) a
4
 
c) a
9
 
d) a
6
 
 
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2. (EEAr - 2008) Estudando um grupo de crianças de 
uma determinada cidade, um pediatra concluiu que 
suas estaturas variavam de acordo com a função
( )0,7h log 10 . i ,= onde h é a estatura (em metros) e i a 
idade (em anos). Assim, segundo a fórmula, a estatura 
de uma criança de 10 anos dessa cidade, é em metros: 
a) 1,20 
b) 1,18 
c) 1,17 
d) 1,15 
 
3. (EEAr - 2009) Sejam x, y e b números reais maiores 
que 1. Se blog x 2= e blog y 3,= então o valor de 
( )2 3
blog x y é: 
a) 13 
b) 11 
c) 10 
d) 8 
 
4. (EEAr - 2009) Se x e y são números reais positivos, 
x
32
1
logco 2 =





, e 4256logy = , então x + y é igual a: 
a) 2 
b) 4 
c) 7 
d) 9 
 
5. (EEAr - 2010) Considerando n > 1, se loga n = n, 
então o valor de a é 
a) n 
b) nn 
c) 
n
1 
d) n
1
n 
 
6. (EEAr - 2011) A razão entre o logaritmo de 16 e o de 
4, numa semana base b, sendo 0 < b ≠ 1, é 
a) 
4
1 
b) 
2
1 
c) 4 
d) 2 
 
7. (EEAr - 2011) Sejam as funções logarítmicas
af (x) log x= e bg(x) log x.= Se f(x) é crescente e g(x) é 
decrescente, então 
a) a > 1 e b < 1 
b) a > 1 e 0 < b < 1 
c) 0 < a < 1 e b > 1 
d) 0 < a < 1 e 0 < b < 1 
 
8. (EEAr - 2012) Dada a função f: RR* →+ definida por 
2f (x) 5.log x,= o valor de f(1) + f(2) é 
a) 3 
b) 5 
c) 6 
d) 10 
 
 
9. (EEAr - 2013) Para que exista a função 
f(x) = log (x - m), é necessário que x seja 
a) maior que m 
b) menor que m 
c) maior ou igual a m 
d) menor ou igual a m 
 
10. (EEAr - 2013) Se o log x + log y = k, então 
log x5 + log y5 é 
a) 10k 
b) k10 
c) 5k 
d) k5 
 
11. (EEAr - 2014) Se f(x) = log x e a.b = 1, então 
f(a) + f(b) é igual a 
a) 0 
b) 1 
c) 10 
d) 100 
 
12. (EEAr - 2015) Se a > 0, b > 0, c > 0 e c ≠ 1, então é 
correto afirmar que 
a) ( ) ( ) ( )blogalogbalog ccc +=+ 
b) ( ) ( )( )blog.alogbalog ccc =+ 
c) ( ) ( ) ( )blogalogablog ccc += 
d) ( ) ( )( )blog.alogablog ccc = 
 
13. (EEAr - 2016) O valor de x na equação 
( )1 27
3
log log 3x 1= é 
a) 1 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
 
14. (EEAr - 2017) Se log 2 = 0,3 e log 36 = 1,6, então 
log 3 = _____. 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
 
15. (EEAr - 2017) As funções logarítmicas 
0,4f(x) log x= e 4g(x) log x= são, 
respectivamente, 
a) crescente e crescente 
b) crescente e decrescente 
c) decrescente e crescente 
d) decrescente e decrescente 
 
16. (EEAr - 2019) Sejam m, n e b números reais 
positivos, com b ≠ 1. Se blog m x= e se blog n y,= então 
( ) 





+
m
n
logn.mlog bb é igual a 
a) x 
b) 2y 
c) x + y 
d) 2x – y 
 
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17. (EEAr - 2019) O valor de 





+





 27
64
log1log
4
33 é 
a) 
4
3 
b) 
4
9 
c) 0 
d) –3 
 
18. (EEAr - 2020) Sejam a, b e c números reais 
positivos, com b ≠ 1. Se blog a 1,42= e blog c 0,16,= − o 
valor de 
c
ba
log
2
b é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
19. (EEAr – 2020) Se ( )4A log 3 1= + e ( )4B log 3 1= − 
então A + B é igual a 
a) 
3
2
 
b) 3 
c) 1
2
 
d) 0 
 
20. (EsSA – 2010) Aumentando-se um número x em 75 
unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 
unidades. Pode-se afirmar que x é um número: 
a) Irracional. 
b) Divisor de 8. 
c) Múltiplo de 3. 
d) Menor que 1. 
e) Maior que 4. 
 
21. (EsSA – 2011) Se f(x) = 
2
5
log x , com x real e 
maior que zero então o valor de f(f(5)) é 
a) 
2log2
1 log2+
 
b) 
log2
2 log2+
 
c) 
5log2
1 log2+
 
d) 
8log2
1 log2−
 
e) 
5log2
1 log2−
 
 
22. (EsSA – 2012) Se log2 3 = a e log2 5 = b, então o 
valor de log0,5 75 é 
a) a + b 
b) -a + 2b 
c) a - b 
d) a - 2b 
e) -a - 2b 
 
23. (EsSA – 2012) Sabendo que 
1
logP 3.loga 4.logb .logc,
2
= − + assinale a alternativa 
que representa o valor de P. 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
a) 12 b) 52 c) 16 d) 24 e) 73 
 
24. (EsPCEx – 2010) Sendo 6
2
b
a
x = , com
5bloge4alog 22 == , em que a e b são números reais 
não nulos e diferentes de 1, então 2logx é igual a 
a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 
 
25. (EsPCEx – 2010) O conjunto-solução da inequação 
( )
4
21xxlog
x 
+
 , no conjunto dos números Reais, é 
a)  1x0/Rx  
b)  1x0/Rx  
c)  1x0/Rx  
d)  1x3/Rx − 
e)  1x3/Rx − 
 
26. (EsPCEx – 2011) Considerando log 2 = 0,30 e 
log 3 = 0,48, o número real x, solução da equação 
5x - 1 = 150, pertence ao intervalo: 
a) ]-∞, 0] 
b) [4,5[ 
c) ]1,3[ 
d) [0,2[ 
e) [5, +∞[ 
 
27. (EsPCEx – 2011) Na figura abaixo, dois vértices do 
trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois 
vértices estão sobre o gráfico da função real 
f(x) = klog x , com k > 0 e k ≠ 1. Sabe-se que o trapézio 
sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de 
k + p – q é 
 
a) - 20 b) – 15 c) 10 d) 15 e) 20 
 
28. (EsPCEx – 2012) Se 
2
a
a
6 log m
2,
1 log m
−
=
+
 com a > 0, 
a ≠ 1 e m > 0, então o valor de 
m
a m+
é 
a) 4 
b) 1/4 
c) 1 
d) 2 
e) 1/2 
 
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29. (EsPCEx – 2013) Na figura abaixo, está 
representado o gráfico da função y = log x. Nesta 
representação estão destacados três retângulos cuja 
soma das áreas é igual a: 
 
a) log 2 + log 3 + log 5 
b) log 30 
c) 1 + log 30 
d) 1 + 2log 15 
e) 1 + 2log 30 
 
30. (EsPCEx – 2013) Uma epidemia ocorre,quando 
uma doença se desenvolve num local, de forma rápida, 
fazendo várias vítimas, num intervalo de tempo. 
Segundo uma pesquisa, após t meses da constatação 
da existência de uma epidemia, o número de pessoas 
por ela atingida é 
2t
2000
N(t) .
2 15.4−
=
+
 Considerando que 
o mês tenha 30 dias, log2 0,30 e log3 0,48, 2000 
pessoas serão atingidas por essa epidemia, 
aproximadamente, em 
a) 7 dias 
b) 19 dias 
c) 3 meses 
d) 7 meses 
e) 1 ano 
 
31. (EsPCEx – 2015) Fazendo x = ln 5 temos que 
y = ex – e-x = 
a
,
b
 a  Z e b  Z*, a e b primos entre si. 
Logo a + b é igual a 
a) 28 b) 29 c) 40 d) 51 e) 52 
 
32. (EsPCEx – 2016) O número N de bactérias de uma 
cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela 
fórmula N(t) = (2,5)1,2t. Considere log 2 = 0,3, o tempo 
(em minutos) necessário para que a cultura tenha 1084 
bactérias é 
a) 120 b) 150 c) 175 d) 185 e) 205 
 
33. (EsPCEx – 2017) Resolvendo a equação 
( ) ( ) ( )2
3 1 3
3
log x 2x 3 log x 1 log x 1 ,− − + − = + obtém-se 
a) S = {-1} 
b) S = {4, 5} 
c) S = {6} 
d) S =  
e) S = {4} 
 
 
 
34. (EsPCEx – 2017) A curva do gráfico abaixo 
representa a função 4y log x= 
A área do retângulo ABCD é 
 
a) 12 
b) 6 
c) 3 
d) 4
3
6log
2
 
e) 4log 6 
 
35. (EsPCEx – 2018) A equação 23 xlog x 1 12log 3= + 
tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é 
a) 0 
b) 
1
3
 
c) 
3
2
 
d) 3 
e) 9 
 
36. (EsPCEx – 2019) Seja f a função quadrática 
definida por 2
1
3
f(x) 2x log k x 2,
 
 = + +
 
 
 com k e 
k > 0. O produto dos valores de k para os quais a função 
f(x) tem uma raiz dupla é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
37. (EsPCEx – 2020) A figura abaixo mostra um 
reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse 
reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. 
Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu 
preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. 
Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas 
após começar o seu preenchimento, é dada por 
( )2
2h(t) log at bt c ,= + + com t  [0, 7], onde a, b e c são 
constantes reais. Após quantas horas a altura da água 
no reservatório estará com 4 metros? 
 
a) 3 horas e 30 minutos 
b) 3 horas 
c) 2 horas e 30 minutos 
d) 2 horas 
e) 1 hora e 30 minutos 
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38. (EsPCEx – 2021) O produto 
( ) ( ) ( ) ( )10
log 7 4
3 4 12 11 7log 12 . log 10 . log log 11 . log 81   
     
 é 
igual a 
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. 
 
39. (EsPCEx – 2022) Considere a expressão a seguir: 
( ) ( )
( ) ( )
4 4
9 9
log 81 : log 162
L
log 3 : log 162
= 
O valor de L é igual a 
a) 3. b) 4. c) 9. d) 81. e) 162. 
 
40. (AFA - 2011) Seja a função real f: D → R dada por 
( )2
2 xlog1)x(f += é INCORRETO afirmar que é 
a) par 
b) sobrejetora x  D 
c) crescente se x  [1, +[ 
d) injetora x  D 
 
41. (AFA - 2011) Sejam as funções reais dadas por 
f(x) = 22x + 1 e g(x) = 3x + 1. Se b  R tal que )b(g2
2
1
f =





e blogp 3= , então sobre p é correto afirmar que 
a) não está definido. 
b) é positivo e menor que 1. 
c) é negativo e menor que 1. 
d) é positivo e maior que 1. 
 
42. (AFA - 2012) Um médico, apreciador de logaritmos, 
prescreveu um medicamento a um de seus pacientes, 
também apreciador de logaritmo, conforme a seguir. 
 
Considerando 48,03loge
10
3
2log == , é correto afirmar 
que log2 x é um número do intervalo 
a) [3,4[ b) [4,5[ c) [5,6[ d) [6,7[ 
 
43. (AFA - 2014) No plano cartesiano, seja P(a,b) o 
ponto de intersecção entre as curvas dadas definidas 
pelas funções reais f e g definidas por 
x
2
1
)x(f 





= e 
xlog)x(g
2
1= . É correto afirmar que 
a) 


















=
a
1
log
1
loga
2
2 
b) ( )alogloga 22= 
c) 














=
a
1
logloga
2
1
2
1 
d) 








= alogloga
2
12 
 
 
44. (AFA - 2015) Pesquisas realizadas verificaram que, 
no planeta Terra, no início do ano de 2013, a população 
de pássaros da espécie A era 12 vezes a população de 
pássaros da espécie B. 
Sabe-se que a população de pássaros da espécie A 
cresce a uma taxa de 5% ao ano, enquanto que a 
população de pássaros da espécie B cresce a uma taxa 
de 20% ao ano. 
Com base nesses dados, é correto afirmar que, essas 
duas populações de pássaros serão iguais. 
(Considere: log7 = 0,85; log6 = 0,78; log2 = 0,3) 
a) no 1° semestre do ano de 2034 
b) no 2° semestre do ano de 2034 
c) no 1° semestre do ano de 2035 
d) no 2° semestre do ano de 2035 
 
45. (AFA – 2018) Considere os números A, B e C a 
seguir. 
25 4 3A log 27.log 5.log 2= 
( )n n
n nB log log n= (n é natural maior que 2) 
 
logc loga logb
*a b c
C . . a,b,c
b c a
+
     
=      
     
 
A correta relação de ordem entre os números A, B e C 
é 
a) A < B < C 
b) B < A < C 
c) B < C < A 
d) C < A < B 
 
46. (AFA – 2019) O domínio mais amplo da função real 
f definida por ( )2
af(x) log x 3 ,= − em que a  ]0, 1[, é 
a) [-2, 2] 
b) ]-2, 2[ 
c) ]-, -2]  [2, +[ 
d) 2, 3 3,2   − − 
   
 
 
47. (AFA – 2020) Numa aula de Biologia da turma Delta 
do Colégio LOG, os alunos observam o crescimento de 
uma cultura de bactérias. 
Inicialmente tem-se uma amostra com 3 bactérias. 
Após várias observações, eles concluíram que o 
número de bactérias dobra a cada meia hora. 
Os alunos associaram as observações realizadas a 
uma fórmula matemática, que representa o número f de 
bactérias da amostra, em função de n horas. 
A partir da fórmula matemática obtida na análise 
desses alunos durante a aula de Biologia, o professor 
de matemática da turma Delta propôs que eles 
resolvessem a questão abaixo, com n . 
Se  2g(n) log f(n) ,= log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, então 
100
n 1
g(n)
=
 é um número cuja soma dos algarismos é 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 
 
 
 
 
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48. (AFA – 2021) No gráfico, MN 2= e a curva 
representa a função 1
2
f(x) 2log x.= − 
 
No polígono ABCD, a soma AB BC CD DA,+ + + em 
unidade de medida, é igual a 
a) ( )12 2 10 2+ + 
b) 10 10 2+ + 
c) ( )2 6 2 10 2+ + 
d) 10 10 2 2+ + 
 
49. (AFA – 2022) Seja e o número de Euler. 
O domínio mais amplo da função real f definida por 
( )
x
21
f(x) 1 log x x 6
e
 
= − + − + + 
 
é 
a) [0, 3[ 
b) ]-2, 3[ 
c) ]-2, 0] 
d) ]-∞, 0] 
 
50. (AFA – 2023) Seja a função real f definida por 
f(x) = x3 + 3x2 − 4x − 12 
As raízes de f são números reais a, b e c com 
a < b < c 
Sendo e o número de Eüler, analise cada proposição 
quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA. 
( ) ( )1 1
e e
log a log b 1 0= − = 
( ) Se x ∈ ]c , +∞[, então loge x não está definido. 
( ) Existe um único m ∈ ]−∞, b] tal que 
f(m)
1
e
 
 
 
 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são falsas. 
b) todas são verdadeiras. 
c) apenas uma é verdadeira. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
 
51. (AFA – 2023) O gráfico abaixo representa a função 
real f(x) = a + b⋅e-x, em que a e b ∈ IR, e é o número de 
Eüler e a reta tracejada é a assíntota ao gráfico de f. 
 
Considere que f é invertível e que ℓ𝑛 corresponde ao 
logaritmo na base e 
A função inversa de f, denotada por f-1, é 
a) f-1(x) = −ℓ𝑛 (2x + 4) 
b) f-1(x) = ℓ𝑛 (x + 4)-1 
c) f-1(x) = −ℓ𝑛 (−2x + 4) 
d) f-1(x) = ℓ𝑛 (−x + 4)-1 
 
52. (EFOMM - 2009) Numa embarcação é comum 
ouvirem-se determinados tipos de sons. Suponha que 
o nível sonoro β e a intensidade I de um desses sons 
esteja relacionado com a equação logarítmica 
Ilog12 10+= , em que β é medido em decibéis e I em 
watts por metro quadrado. Qual é a razão 
2
1
I
I
, sabendo-
se que I1 corresponde ao ruído sonoro de 8 decibéis de 
uma aproximação de dois navios e que I2 corresponde 
a 6 decibéis no interior da embarcação? 
a) 0,1 b) 1 c) 10 d) 100 e) 100053. (EFOMM - 2009) Os domínios das funções reais 
f(x) = log x2 e g(x) = 2.log x são D
1 
e D
2
, 
respectivamente. Sendo assim, pode-se afirmar que 
a) D1 = D2 
b) D1 ≠ D2, mas D1  D2 
c) D1 ≠ D2, mas D2  D1 
d) D1 ≠ D2, e D1  D2 =  
e) D1  D2, mas D2  D1 e D1  D2 ≠  
 
54. (EFOMM - 2010) Sabendo que o a3log30 = e 
b5log30 = , que opção representa 2log10 ? 
a) 
a2
ba1
+
−−
 
b) 
1a
ba1
−
−−
 
c) 
a1
ba1
+
−−
 
d) 
a2
ba1
−
−−
 
e) 
a1
ba1
−
−−
 
 
55. (EFOMM - 2012) O conjunto solução da inequação 
( ) ( )
0
x11x
4
3
xlog
23
2
10

−+






+
é 
a)  +











−− ,11,
2
1
2
1
,1 
b) 





+











−− ,
3
2
1,
2
1
2
1
,1 
c)  +











−− ,11,
2
1
2
1
,1 
d) 

















−−
3
2
,11,
2
1
2
1
,1 
e) 

















−−
3
2
,11,
2
1
2
1
,1 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Prof. Wellington Nishio 
56. (EFOMM - 2013) O número de bactérias B, numa 
cultura, após t horas, é B = B0 . ekt, onde k é uma 
constante real. Sabendo-se que o número inicial de 
bactérias é 100 e que essa quantidade duplica em 
2
2ln
t = horas, então o número N de bactérias, após 2 
horas, satisfaz: 
a) 800 < N < 1600 
b) 1600 < N < 8100 
c) 8100 < N < 128000 
d) 12800 < N < 256000 
e) 256000 < N < 512000 
 
57. (EN – 2012) Considere x, y, z e a números reais 
positivos, tais que seus logaritmos numa dada base a, 
são números primos satisfazendo as igualdades 
( )a
a
log axy 50
.x
log 22
z
 =


=

Podemos afirmar que 
( )alog xyz 12+ vale: 
a) 8 b) 56 c) 58 d) 11 e) 12 
 
58. (EN – 2014 - Feminino) Qual é o domínio da função 
real de variável real, definida por
( )2 2x 1f(x) ln x 3x 2 e 1−= − + + − ? 
a) [1, 2[ 
b)  
1
,2 3,
2
 
 + 
 
 
c)  2,+ 
d)  
1
,1 2,
2
 
 + 
 
 
e) 
1
,
2
 
+ 
 
 
 
59. (EN – 2021) Assinale a opção que apresenta uma 
solução, em x e y, do sistema 
3log y
5
y 12
log x 3 7
x 5
 + =

=
 
a) x = 125 e y = 3 
b) x = 3 e y = 125 
c) x = 625 e y = 3 
d) x = 4 e y = 125 
e) x = 3 e y = 4 
 
60. (ITA – 2018) Se 2 5log a e log b, =  = então 
a) 
1 1 1
.
a b 2
+  
b) 
1 1 1
1.
2 a b
 +  
c) 
1 1 3
1 .
a b 2
 +  
d) 
3 1 1
2.
2 a b
 +  
e) 
1 1
2 .
a b
 + 
 
 
61. (ITA – 2017) Sejam a, b, c, d números reais 
positivos e diferentes de 1. Das afirmações: 
I. ( ) ( )c clog b log a
a b= 
II. 
logc loga logb
a b c
. . 1
b c a
     
=     
     
 
III. ( )ab alog bc log c= 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
 
62. (IME – 2021) Considere o sistema de equações: 
( )
x
log 2x 3y k log3 logz
log (1 y) 1
x z 1
 − + + = +

− =
 + =
 
onde x, y e z são variáveis e k é uma constante 
numérica real. Esse sistema terá solução se: 
a) k < -2 
b) -2 < k < 0 
c) 0 < k < 2 
d) 2 < k < 4 
e) k > 4 
 
63. (IME – 2020) Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y 
e z são soluções inteiras do sistema abaixo. 
23
2ln x
2 x
2y
x
2
y e
log y log z x 3

 =


=
 + = +



 
O valor de S é: 
a) 84 
b) 168 
c) 234 
d) 512 
e) 600 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 1, 2, 3, 9, 11 13, 25, 30, 36, 41, 43, 48, 50, 51, 55, 
57, 63 
B) 7, 8, 14, 16, 18, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 39, 44, 45, 
56 
C) 10, 12, 15, 19, 23, 32, 49, 53, 59, 61, 62 
D) 4, 5, 6, 17, 21, 23, 29, 33, 35, 40, 42, 46, 47, 52, 58 
E) 20, 22, 24, 28, 54, 60