Lista Complementar -Álgebra-Módulo 14 - Aula 25 - Função Logarítmica

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 14 
(Aula 25: Função Logarítmica) 
 
waldematica.com.br 
 
1. (IFPE) 
Os alunos do curso de Meio Ambiente do campus Cabo 
de Santo Agostinho observaram que o número de flores 
em uma árvore X segue o modelo matemático 
2F(h) 16 log (3h 1),= − + onde F(h) é a quantidade de 
flores após h horas de observação. Após quanto tempo 
de observação esta árvore estará com apenas 10 flores? 
a) 6 horas. b) 25 horas. 
c) 20 horas. d) 21 horas. 
e) 64 horas. 
 
2. (CFTMG) 
Na figura abaixo estão representadas as funções 
xf(x) 2 1= − e 2
x
g(x) log .
2
 
=  
 
 
 
 
Sabendo-se que o ponto A tem abscissa 8, a área do 
quadrilátero OABC é 
a) 53. b) 56. c) 1.014. d) 1.814. 
 
3. (Unicamp) 
Considere a função f(x) | 2x 4 | x 5,= − + − definida para 
todo número real x. 
 
a) Esboce o gráfico de y f(x)= no plano cartesiano para 
4 x 4.−   
 
 
b) Determine os valores dos números reais a e b para 
os quais a equação alog (x b) f(x)+ = admite como 
soluções 1x 1= − e 2x 6.= 
 
4. (UFJF) 
No gráfico a seguir, representou-se a função 𝑓:ℝ+
∗ → ℝ 
definida por 2f(x) log x.= 
Define-se ainda, conforme a figura, um triângulo 
retângulo MNP, reto em N, com os vértices M e P 
pertencendo à curva definida por f. A partir das 
informações apresentadas no gráfico de f, responda às 
questões a seguir detalhando os seus cálculos. 
 
 
 
a) Qual o valor de a e b obtidos a partir do gráfico de f. 
b) Calcule a medida da área do triângulo MNP. 
c) Determine o(s) valor(es) de x tal que 
2[f(x)] 5 [f(x)] 6.−  = − 
 
5. (Fuvest) 
Considere as funções f e g definidas por 
𝑓(𝑥) = 2 𝑙𝑜𝑔2( 𝑥 − 1),  𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ,  𝑥 > 1, 
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 (1 −
𝑥
4
) ,  𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ,  𝑥 < 4. 
a) Calcule 
3
f , f(2), f(3), g( 4), g(0) e g(2).
2
 
− 
 
 
b) Encontre x,1 x 4, tal que f(x) g(x).  = 
c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), 
esboce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano 
abaixo. 
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 14 
(Aula 25: Função Logarítmica) 
 
waldematica.com.br 
 
6. (UECE) 
O domínio da função real de variável real definida por 
2 2
7 3f(x) log (x 4x) log (5x x )= −  − é o intervalo aberto 
cujos extremos são os números 
a) 3 e 4. 
b) 4 e 5. 
c) 5 e 6. 
d) 6 e 7. 
 
7. (Udesc) 
Considere a função 38f(x) log (x 3) .= + A quantidade de 
números inteiros que pertencem ao conjunto solução da 
inequação f(x)4 2x 105 + é igual a: 
a) 8 b) 12 c) 21 d) 19 e) 11 
 
8. (UECE) 
Considerando o logaritmo na base 10 e analisando as 
possíveis soluções reais da equação 
4 2log(cos x 26cos x 125) 2,− + = 
pode-se afirmar corretamente que a equação 
a) não possui solução. 
b) possui exatamente duas soluções. 
c) possui exatamente quatro soluções. 
d) possui infinitas soluções. 
 
9. (Enem) 
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das 
portas dianteiras foram desenhados de forma que suas 
bordas superiores fossem representadas pela curva de 
equação y log(x),= conforme a figura. 
 
 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x 
sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do 
vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas 
condições, o engenheiro determinou uma expressão que 
fornece a altura h do vidro em função da medida n de 
sua base, em metros. 
 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
a) 
2 2n n 4 n n 4
log log
2 2
   + + − +   −
   
   
 
b) 
n n
log 1 log 1
2 2
   
+ − −   
   
 c) 
n n
log 1 log 1
2 2
   
+ + −   
   
 
d) 
2n n 4
log
2
 + + 
 
 
 e) 
2n n 4
2 log
2
 + + 
 
 
 
 
10. (Cefet) 
Os gráficos das funções f e g estão representados 
geometricamente na figura que se segue. 
 
 
Se h é a função definida h(x) log(f(x) g(x)),=  o domínio 
de h é 
a) ] 2, 2[ ]5, [ .−  + b) ] , 2[ ]2, 5[ .− −  
c) ] , 2[ ]5, [ .−  + d) ℝ−] − 2,  5[ . 
e) ] 2, 5[ .− 
 
11. (PUC-RS) 
O modelo da cobertura que está sendo colocada no 
Estádio Beira-Rio está representado na figura abaixo. 
 
 
 
Colocada devidamente em um plano cartesiano, é 
possível afirmar que, na forma em que está, a linha em 
destaque pode ser considerada uma restrição da 
representação da função dada por 
a) y log(x)= b) 2y x= c) y x= 
d) y x= − e) xy 10= 
Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 14 
(Aula 25: Função Logarítmica) 
 
waldematica.com.br 
 
12. (ESPM) 
Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda 
improdutiva no interior do país, dando origem a uma 
pequena cidade. Estima-se que a população dessa 
cidade tenha crescido segundo a função 
( )2P 0,1 log x 1996 ,= + − onde P é a população no ano x, 
em milhares de habitantes. Considerando 2 1,4, 
podemos concluir que a população dessa cidade atingiu 
a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: 
a) 2005 b) 2002 c) 2011 d) 2007 e) 2004 
 
13. (Udesc) 
O conjunto de números reais que representa a interseção 
entre os domínios das funções 
 
( )2f(x) 2x 6x 8= − − + e g(x) log(x 2)= + 
 
é um intervalo: 
a) aberto à direita e fechado à esquerda. 
b) aberto nos dois extremos. 
c) fechado nos dois extremos. 
d) infinito. 
e) aberto à esquerda e fechado à direita. 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
[D] 
 
2
2
2
6
F(h) 16 log (3h 1)
10 16 log (3h 1)
log (3h 1) 6
3h 1 2
3h 63
h 21 horas.
= − +
= − +
+ =
+ =
=
=
 
 
Resposta da questão 2: 
[C] 
 
 
 
8
2 2
2
f(8) 2 1 255 A(8, 255)
8
g(8) log log 4 2 B(8, 2)
2
x x
g(x) 0 log 0 1 x 2 C(2, 0)
2 2
= − = 
 
= = =  
 
 
=  =  =  =  
 
 
 
Portanto, a área pedida será a diferença entre as áreas dos 
triângulos AOD e DCB. Assim, escrevemos: 
AOD CDBA A A
8 255 6 2
A
2 2
A 1.014
Δ Δ= −
 
= −
=
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 
 a) Fazendo os cálculos, tem-se: 
f(x) | 2x 4 | x 5
f( 4) | 8 4 | 4 5 3 ( 4,3)
f( 1) | 2 4 | 1 5 0 ( 1,0)
f(0) | 4 | 5 1 (0, 1)
f(2) | 4 4 | 2 5 3 (2, 3)
f(3) | 6 4 | 3 5 3 (3,0)
f(4) | 8 4 | 4 5 3 (4,3)
= − + −
− = − − − − =  −
− = − − − − =  −
= − − = −  −
= − + − = −  −
= − + − = − 
= − + − = →
 
 
Montando o gráfico: 
 
 
 
b) Substituindo uma das raízes dadas e desenvolvendo a 
equação: 
𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑥 + 𝑏) = |2𝑥 − 4| + 𝑥 − 5 
𝑙 𝑜𝑔𝑎( − 1 + 𝑏) = |2 ⋅ −1 − 4| − 1 − 5 ⇒ 𝑙 𝑜𝑔𝑎( − 1 + 𝑏) = 0
⇒ 𝑎0 = −1+ 𝑏 → 1 = 𝑏 − 1 ⇒ 𝑏 = 2 
 
Substituindo a segunda raiz dada e desenvolvendo a 
equação: 
𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑥 + 𝑏) = |2𝑥 − 4| + 𝑥 − 5 
𝑙 𝑜𝑔𝑎( 6 + 2) = |2 ⋅ 6 − 4| + 6 − 5 ⇒ 𝑙 𝑜𝑔𝑎( 8) = 9 ⇒ 𝑎
9 = 8
⇒ 𝑎 = √8
9
= √23
9
⇒ 𝑎 = √2
3
 
 
Assim, os valores dos números reais a e b são 3 2 e 2, 
respectivamente. 
 
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 14 
(Aula 25: Função Logarítmica) 
 
waldematica.com.br 
 
Resposta da questão 4: 
 
 a) Se f(a) 1,= então 2log a 1,= implicando em a 2.= Por 
outro lado, se f(16) b,= então 2b log 16,= ou seja, b 4.= 
 
b) A área do triângulo MNP é dada por 
1 1
MN NP (16 2) (4 1) 21 u.a.
2 2
  =  −  − = 
 
c) Tem-se que 
2
2
2
[f(x)] 5 [f(x)] 6 (f(x) 2) (f(x) 3) 0
f(x) 2
 ou
f(x) 3
log x 2
 ou
log x 3
x 4
 ou .
x 8
−  = −  −  − =
=

=
=

=
=

=
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 
a) Realizando os cálculos: 
2 2
2 2
2 2
3 3 1 3
f 2log 1 2log 2 1 f 2
2 2 2 2
f(2) 2log (2 1) 2log (1) 2 0 f(2) 0
f(3) 2log (3 1) 2log (2) 2 1 f(3) 2
       
= − = =  −  = −       
       
= − = =   =
= − = =   =
 
( )
2 2
2 2
2 2
4
g( 4) log 1 log (2) g( 4) 1
4
0
g(0) log 1log (1) g(0) 0
4
2 1
g(2) log 1 log g(2) 1
4 2
 −
− = − =  − =  
 
 
= − =  = 
 
   
= − =  = −   
   
 
 
b) Realizando os cálculos: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇒ 2 𝑙𝑜𝑔2( 𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔2 (1 −
𝑥
4
) ⇒ 𝑙𝑜𝑔2( 𝑥 − 1)
2
= 𝑙𝑜𝑔2 (1−
𝑥
4
) ⇒ (𝑥 − 1)2 = 1−
𝑥
4
 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 1 −
𝑥
4
⇒ 𝑥2 − 2𝑥 +
𝑥
4
= 0 
𝑥2 −
7
4
𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 ⋅ (𝑥 −
7
4
) = 0
⇒ ⟨
𝑥 = 0  (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚 𝑝𝑜𝑖𝑠 1 < 𝑥 < 4)
𝑥 =
7
4
 
 
c) Na figura a seguir estão esboçados os gráficos, com g(x) 
em azul e f(x) em vermelho. 
 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
[B] 
 
Pela condição de existência dos logaritmos, deve-se ter 
 
2
2x 4x 0 x(x 4) 0
 e e
x(x 5) 0
(x 0 ou x 4)
 e
(0 x 5)
4 x 5.
5x x 0
−  − 

− 
 

 
  
− 
 
 
Portanto, o maior subconjunto dos números reais para o qual f 
está definida é o intervalo aberto cujos limites inferior e superior 
são, respectivamente, 4 e 5. 
 
 
Resposta da questão 7: 
[E] 
 
Supondo 𝑓: ] − 3, +∞[→ ℝ, tem-se que 
 
3
3 3
8 22
f(x) log (x 3) log (x 3) log (x 3).= + = + = + 
 
Logo, vem 
 
2
f(x) 2f(x)
log (x 3) 2
2
2
2
4 2x 105 2 2x 105
(2 ) 2x 105
(x 3) 2x 105
x 4x 96
(x 2) 100
12 x 8.
+
 +   +
  +
 + − 
 + 
 + 
 −  
 
 
Porém, como x é um elemento do domínio de f, segue que a 
solução da inequação é o intervalo 3 x 8.−   Donde 
concluímos que o resultado pedido é 8 ( 2) 1 11.− − + = 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 14 
(Aula 25: Função Logarítmica) 
 
waldematica.com.br 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Resolvendo a função logarítmica e substituindo 
2cos x por z, 
tem-se: 
2 2
2
2
2
1
2
2
z 26z 125 10
z 26z 25 0
26 4 1 25
576
26 576 26 24
z
2 1 2
z 25 cos x 25
z 1 cos x 1
Δ
Δ
− + =
− + =
= −  
=
 
= =

= → =
= → =
 
 
Sabe-se que  2
1
cos x 1 cos(2x) ,
2
= + ou seja: 
 
1
25 1 cos(2x)
2
50 1 cos(2x)
cos(2x) 49
= +
− =
=
 
 
ou 
 
 
1
1 1 cos(2x)
2
2 1 cos(2x)
cos(2x) 1
= +
− =
=
 
 
Se cos(2x) 1= então 2x 360 2 ;π=  = logo x k ,π= pois a 
função cosseno é uma função periódica, o que resulta em 
infinitas soluções. 
 
Resposta da questão 9: 
[E] 
 
Seja k, com 0 k 1,  a abscissa do ponto para o qual se tem 
h
logk ,
2
= − ou seja, h 2 logk.= −  Assim, temos 
h
log(n k),
2
= + isto é, h 2 log(n k).=  + Daí, vem 
 
2
2
2 log(n k) 2 logk log(n k) k log1
k nk 1 0
n n 4
k .
2
 + = −   +  =
 + − =
− + +
 =
 
 
Portanto, temos 
 
2
2
h 2 log(n k)
n n 4
2 log n
2
n n 4
2 log .
2
=  +
 − + + =  +
 
 
 + + = 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
[B] 
 
Supondo que o gráfico da função f é a reta, temos f(x) 0 
para x 2, f(x) 0 para x 2 e f(x) 0= para x 2.= Daí, 
o gráfico de g é a parábola e g(x) 0 para x 2 − ou x 5, 
g(x) 0 para 2 x 5−   e g(x) 0= para x 2= − ou x 5.= 
 
Seja h :D , → em que D é o mais amplo subconjunto 
dos números reais para o qual a função h está definida. Tem-
se que f(x) g(x) deve ser um número real positivo. Logo, 
podemos concluir que D ] , 2[ ]2, 5[.= − −  
 
 
Resposta da questão 11: 
[A] 
 
 
 
O gráfico da função y = log(x) é o que mais se aproxima da 
curva considerada. 
 
Resposta da questão 12: 
[D] 
 
Queremos calcular o valor de x para o qual se tem P 3,6.= 
Assim, 
 
3,5
2
3
3,6 0,1 log (x 1996) x 1996 2
x 2 2 1996
x 2007,2,
= + −  − =
 =  +
 
 
 
ou seja, a cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em 
meados de 2007. 
 
 
Resposta da questão 13: 
[E] 
 
2 22x 6x 8 0 x 3x 4 0 (x 1)(x 4) 0
x 2 0 x 2
− + +   + −   − + 
+    −