Matemática Interligada Estatística, Análise e Probabilidade (122)

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• Mediana
Por definição, a mediana é o valor que deixa 50% dos valores acima e 
abaixo dela. Porém, quando os dados estão agrupados, um método 
para obter uma aproximação da mediana é, num primeiro momento, 
analisar a frequência relativa para identificar em que classe ela se en-
contra. No exemplo, a mediana desses dados é um valor pertencente 
ao intervalo 193 207, pois, até 193, temos 45% do consumo de energia 
e até 207, temos 65%. Sendo assim, o valor que supera 50% dos dados 
ordenados deve estar entre 193 e 207. Em seguida, admitimos que a 
variável se distribua uniformemente nesse intervalo, o que significa 
considerar a proporcionalidade entre as medidas das bases e das áreas 
dos retângulos do histograma de frequências relativas (expressas 
como porcentagem da área total sobre o histograma), conforme 
destacado no retângulo à direita na imagem ao lado. 
Entre o retângulo “inteiro” (definido pela classe) e o retângulo me-
nor ( definido por M d ) destacados mais à direita, de mesma altura, 
temos a seguinte proporção:
 σ 
2
 5 
8 ?? ( 2 28,35 ) 
2
 1 10 ?? ( 2 14,35 ) 
2
 1 8 ?? ( 2 0,35 ) 
2
 1 5 ?? ( 13,65 ) 
2
 1 5 ?? ( 27,65 ) 
2
 1 4 ?? ( 41,65 ) 
2
 
 ―――――――――― 
40
 . 504,58 
 σ 
2
 5 
 f 
1
 ?? ( m 
1
 2 
_
 x ) 
2
 1 f 
2
 ?? ( m 
2
 2 
_
 x ) 
2
 1 f 
3
 ?? ( m 
3
 2 
_
 x ) 
2
 1 … 1 f 
n
 ?? ( m 
n
 2 
_
 x ) 
2
 
 ―――――――― 
 f 
1
 1 f 
2
 1 f 
3
 1 … 1 f 
n
 
 5 
 ∑ 
i51
 
n
 f 
i
 ?? ( m 
i
 2 
_
 x ) 
2
 
 ―― 
 ∑ 
i51
 
n
 f 
i
 
 
Assim, o cálculo da variância para o exemplo é dado por:
• Variância
No caso de dados agrupados, a variância é obtida calculando-se o quociente da soma dos 
produtos obtidos das frequências de cada classe com o quadrado dos desvios dessas classes 
pela soma das frequências, isto é:
De modo geral, para obter o valor aproximado da mediana ( M d ) de dados agrupados, usa-
mos a seguinte proporção:
 
 
 
 
 
 
⏞
 207 2 193 
 ―― 
 M d 2 193 
 
 

 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
⏞
 20 
 ― 
 5 ⏟
 
 
 
 ä 
14
 ―― 
 M d 2 193
 5 4 ä 
medida da base do 
retângulo “inteiro”
área do 
retângulo 
“inteiro”
medida da base do 
retângulo menor
área do 
retângulo 
menor
Em que:
• L i : extremo inferior da classe que contém a mediana;
• L s : extremo superior da classe que contém a mediana; 
• f m d : frequência relativa da classe que contém a mediana;
• f ant : frequência relativa acumulada até a classe anterior à da mediana.
 
 L s 2 L i 
 ―― 
 M d 2 L i 
 5 
 f m d 
 ―― 
50 2 f ant 
 
 Consumo de energia em 
prédio residencial - 2021
Elaborado pelo autor com dados fictícios
165 179 193 207
M
d
221 235 249
Consumo (kWh)
Frequência relativa (%)
20% 20%
12,5%12,5%
10%
0
10
5
25
15
20
30
25%
193 207
M
d
193 207
M
d
5%
quanto “falta”
para 50%
50% dos valores abaixo de M
d
50% dos valores acima de M
d
20% + 25%
45%
12,5% + 12,5% + 10%
35%
 ä M d 2 193 5 
14
 ― 
4
 ä M d 5 
393
 ― 
2
 5 196,5 é 196,5 kWh 
Il
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 S
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Não escreva no livro.
144
 55. (UFPR) Os dados, a seguir, representam o tem po 
(em segundos) para carga de um determi nado 
aplicativo, num sistema compartilhado.
Com base nesses dados, considere as afirmativas 
a seguir:
1. O tempo médio para carga do aplicativo é 7,0 
se gundos.
2. A variância da distribuição é aproximadamente 
1,33 segundo ao quadrado.
3. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
4. Cinquenta por cento dos dados observados es-
tão abaixo de 6,5 segundos.
A alternativa correta é:
a ) somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras
b ) somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras
c ) somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras
d ) somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras
e ) somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras
Tempo (s) no de observações
 4,5 5,5 3
 5,5 6,5 6
 6,5 7,5 13
 7,5 8,5 5
 8,5 9,5 2
 9,5 10,5 1
Total 30
 52. O quadro apresenta os dados referentes a uma 
pesquisa sobre a faixa salarial dos leitores de uma 
biblioteca e a quantidade de livros emprestados 
por mês.
O salário médio desses leitores é aproximada-
mente:
a ) R$ 1 426,46
b ) R$ 1 435,73
Faixa salarial (R$$) Quantidade de leitores
1 045 1 145 58
1 145 1 245 77
1 245 1 345 120
1 345 1 445 128
1 445 1 545 195
1 545 1 645 258
 53. Para aferir uma máquina empacotadora de 
arroz, foram amostrados alguns pacotes e 
suas massas registradas, conforme exposto 
no quadro a seguir.
a ) Quantos pacotes de arroz foram amostra-
dos?
b ) Calculem a média aritmética, a moda e a 
mediana da massa dos pacotes amostrados.
c ) Determinem o desvio médio, a variância e 
o desvio padrão dos pacotes amostrados.
aferir: examinar a exatidão dos instrumentos 
que servem para pesar, medir etc
Massa (kg) Quantidade de pacotes
 4,970 4,980 4
 4,980 4,990 10
 4,990 5,000 38
 5,000 5,010 44
 5,010 5,020 18
 5,020 5,030 6
 54. Construa um histograma representando os 
dados agrupados da temperatura de uma ci-
dade e suas frequências. Depois, peça a um 
colega que calcule, em relação aos seguintes 
dados:
a ) as medidas de tendência central: 
_
x , Mo e M
d
.
b ) as medidas de dispersão: D
m
 , σ
2
 e σ .
Em seguida, verifiquem se as resoluções estão 
cor retas.
• Desvio padrão
No caso de dados agrupados, assim como em dados não agrupados, o desvio padrão é 
a raiz quadrada da variância: σ 5 √
―
504,58 . 22,46 Ž 22,46 kWh .
c ) R$ 1 428,19
d ) R$ 1 434,85
e ) R$ 1 440,15
120 pacotes
_
x 5 5,002 kg ; Mo 5 5,005 kg ; Md 5 5,002 kg 
D
m
. 0,009 kg ; σ
2
. 0,000119 ; σ . 0,011 kg 
Resposta pessoal.
d
a
g21_scp_lt_5mat_c3_p134a145.indd 144g21_scp_lt_5mat_c3_p134a145.indd 144 9/15/20 6:46 PM9/15/20 6:46 PM