Matemática Interligada Estatística, Análise e Probabilidade (83)

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 28. (UFJF­MG) Respondendo a um chamado de um 
centro de hemodiálise, 140 pessoas se apresen­
taram imediatamente. Um levantamento do tipo 
sanguíneo dessas pessoas indicou que 27 tinham o 
tipo sanguíneo O, 56 o tipo A, 29 o tipo AB, e o res­
tante, o tipo B.
A probabilidade de que uma pessoa deste grupo, 
selecionada ao acaso, tenha o tipo sanguíneo B é:
a ) 32% b ) 28% c ) 16% d ) 25% e ) 20%
 29. Em uma caixa com 20 peças de uma fábrica, exis­
tem 4 defeituosas. Retirando­se, ao acaso, 3 peças 
sem reposição, qual é a probabilidade de essas pe­
ças não serem defeituosas?
 30. Em um congresso, estão participando arquitetos, 
decoradores e engenheiros, conforme o quadro a 
seguir.
 35. (FGV­SP) Uma urna contém bolas numeradas de 
1 até 10 000. Sorteando­se ao acaso uma delas, a 
probabilidade de que o algarismo mais à esquerda 
do número marcado na bola seja 1, é igual a:
a ) 11,02% 
b ) 11,11% 
c ) 11,12% 
d ) 12,21% 
e ) 21,02% 
 32. (UFPA) As últimas eleições têm surpreendido os 
institutos de pesquisa, principalmente quando 
dois candidatos se encontram empatados tecnica­
mente. Tentando entender essa ques tão, um estu­
dante investigou a opção de votos de seus colegas 
de classe e verificou que, dos 30 investigados, 
15 votaram no candidato A e 15 votaram no candi­
dato B. Fez­se, então, a seguinte consideração: se 
um instituto de pes quisa fizesse uma sondagem, 
consultando apenas 4 alunos aleatoriamente, a 
probabilidade de o instituto acertar o resultado da 
eleição na sala, por meio dessa amostra, seria de, 
aproximadamente:
a ) 27% b ) 40% c ) 50% d ) 78% e ) 92%
 33. Em uma urna há 10 bolas azuis e algumas bolas 
amarelas, todas idênticas e se diferenciando apenas 
pela cor. Se a probabilidade de, ao se sortear duas 
bolas aleatoriamente, ambas serem azuis é 
3
―
7
 , de­
termine a quantidade de bolas amarelas na urna.
Homem Mulher Total
Arquiteto 8 12 20
Decorador 14 3 17
Engenheiro 21 4 25
Total 43 19 62
31. (ESPM­SP) Uma mãe, brincando com seus fi­
lhos, pediu a eles que escrevessem todos os 
anagramas da palavra ESCOLA. Cada anagrama 
foi escrito em um pedacinho de papel e este, 
colocado em uma caixa vazia. Retirando­se ao 
acaso um desses papéis, a probabilidade de que 
a palavra nele escrita tenha todas as consoan­
tes juntas é:
a ) 
1
―
2
 
b ) 
1
―
3
 
c ) 
1
―
4
 
d ) 
1
―
5
 
e ) 
1
―
6
 
36. Uma urna contém 12 bolas idênticas, sendo x
azuis, y amarelas e z verdes. Determine x, y e 
z , sabendo que a probabilidade de sortear 
uma bola azul é metade da probabilidade de 
sortear uma amarela e um terço da probabili­
dade de sortear uma verde.
34. De acordo com o quadro, elabore e escreva uma 
tarefa envolvendo o conteúdo de probabilidade. 
Depois, entregue para um colega resolver. Em 
seguida, verifique se a resolução está correta.
Museu
Quantidade 
de alunos
Museu Histórico Nacional – 
Rio de Janeiro
20
Museu Oscar Niemeyer – Curitiba 8
MASP – Museu de Arte de São Paulo 25
MASP e Museu Histórico Nacional 5
MASP e Museu Oscar Niemeyer 3
Ao final do congresso, um participante será sor­
teado e receberá um prêmio. Calcule a probabili­
dade de o participante premiado:
a ) ser mulher.
b ) ser engenheiro.
c ) ser homem e arquiteto.
d ) não ser decorador.
Pessoas em um congresso.
e
b
5 bolas amarelas
x 5 2 ; y 5 4 ; z 5 6 
c
Veja comentários nas Orientações sobre os 
capítulos na Assessoria pedagógica.
28
―
57
 ou 
aproximadamente 49,1%
Veja a resposta na Resolução dos problemas e exercícios 
na Assessoria pedagógica.
d
35. Diga aos alunos para considerar que as bolas colocadas 
na urna são todas idênticas, diferenciando-se apenas pela 
numeração.
Veja comentários e sugestões nas Orientações 
sobre os capítulos na Assessoria pedagógica.
Veja a resposta na Resolução dos problemas 
e exercícios na Assessoria pedagógica.
A
g
g
a
p
o
m
 P
o
o
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it
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4646
Ω
A
B
46
26
72 46−
60
150 26 18 46− − −
18
64 46−
18
64 46−
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Uma empresa fez uma pesquisa para saber a preferência dos usuários em relação a duas 
operadoras de telefone celular. Dos entrevistados, 72 utilizam a operadora A, 64 usam a B, e 
46 usam as duas operadoras. Sabendo que foram entrevistadas 150 pessoas, qual é a proba-
bilidade de, ao se sortear uma, ela ser cliente da operadora A, ou da B, ou de ambas?
Inicialmente, vamos organizar as informações em 
um diagrama de Venn.
Para calcular a probabilidade, é preciso saber qual 
é a quantidade de elementos do evento; nesse caso, 
quantas pessoas são clientes da operadora A, ou da B, 
ou de ambas, ou seja, n( A < B ) .
De acordo com os dados do problema, temos:
• n(Ω ) 5 150 ; n( A ) 5 72 ; n( B ) 5 64 
• n( A > B ) 5 46 
• n( A < B ) 5 n( A ) 1 n( B ) 2 n( A > B ) 5 72 1 64 2 46 5 90 
Agora, vamos calcular P( A ) , P( B ) , P( A > B ) e P( A < B ) :
• P( A ) 5 
n( A )
―
n(Ω ) 
 5 
72
―
150
 
• P( B ) 5 
n( B )
―
n(Ω ) 
 5 
64
―
150
 
Portanto, a probabilidade de uma pessoa ser cliente da operadora 
A, ou da B ou de ambas é 
90
―
150
 5 
3
―
5
 5 60%.
Podemos notar que: 
72
―
150
 
⏟P( A )
 1 
64
―
150
 
⏟P( B )
 2 
46
―
150
 
⏟P( A > B )
5 
90
―
150
 
⏟P( A < B )
 , ou seja,
P( A ) 1 P( B ) 2 P( A > B ) 5 P( A < B ).
Essa relação é válida para quaisquer eventos A e B em um mesmo 
espaço amostral Ω finito e não vazio.
Veja a seguir a demonstração dessa relação.
Da teoria de conjuntos, temos:
n( A < B ) 5 n( A ) 1 n( B ) 2 n( A > B )
Dividindo cada membro dessa igualdade por n(Ω ) , com n(Ω ) . 0 , temos:
n( A < B )
―
n(Ω ) 
 5 
n( A )
―
n(Ω ) 
 1 
n( B )
―
n(Ω ) 
 2 
n( A > B )
―
n(Ω ) 
 Š P( A < B ) 5 P( A ) 1 P( B ) 2 P( A > B )
Portanto:
Probabilidade da união de eventos
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à 
soma das probabilidades de A e de B menos a probabilidade da 
interseção de A com B.
P( A < B ) 5 P( A ) 1 P( B ) 2 P( A > B )
Quando A > B é um conjunto vazio, ou 
seja, aquele que não possui elementos, os 
eventos A e B são mutuamente exclusivos
e n( A > B ) 5 0 . Como P( A > B ) 5 0 , 
segue que P( A < B ) 5 P( A ) 1 P( B ) .
• P( A > B ) 5 
n( A > B )
―
n(Ω ) 
 5 
46
―
150
 
• P( A < B ) 5 
n( A < B )
―
n(Ω ) 
 5 
90
―
150
 
Note que, ao reunir dois conjuntos A e 
B, não podemos simplesmente 
adicionar as quantidades de elementos 
correspondentes para calcular 
n( A < B ) , pois eles podem possuir 
elementos em comum que seriam 
contabilizados duas vezes. É por isso 
que subtraímos a quantidade de 
elementos comuns no cálculo 
n( A < B ) 5 n( A ) 1 n( B ) 2 n( A > B ) . 
Veja outro exemplo no diagrama 
de Venn.
n( E ) 5 5 
n( F ) 5 6 
n( E > F ) 5 2 
n ( E < F ) 5 5 1 6 2 2 5 9 
F
14
16
17
18
19
11
12
13
15
E
Verifique a 
possibilidade de 
propor aos alunos 
esta situação, antes 
de abordá-la no livro, a 
fim de que, em duplas, 
eles tentem resolvê-la. 
Depois, considerando 
as estratégias e 
resoluções propostas 
e desenvolvidas 
por eles, apresente 
as explicações 
encontradas no livro.
Se
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