Matemática em Contexto Estatística e Matemática Financeira (28)

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Média aritmética, moda e mediana a partir 
das tabelas de frequências
Veremos agora como determinar as medidas de tendência central estudadas quando os dados estão or-
ganizados em tabelas de frequência. Primeiro, veremos como fazê-lo no caso em que temos a frequên cia 
absoluta de cada uma das respostas.
	a) Número de irmãos de cada aluno de uma turma de Ensino Médio
Número de irmãos 0 1 2 3 Total
FA 8 15 12 5 40
Elaborado para fins didáticos.
Média aritmética: 
MA 5 
8 0 15 1 12 2 5 3
40
0 15 24 15
40
54
40
? 1 ? 1 ? 1 ?
5
1 1 1
5 5 1,35. Logo, MA 5 1,35 irmão.
Embora 1,35 irmão aparentemente seja um absurdo, é correto um valor desse tipo, assim como 3,5 gols por partida, 
7,2 medalhas por Olimpíada, etc., pois a média aritmética é uma medida de tendência.
Fique atento
Moda:
A maior frequência é 15, que corresponde ao valor 1 irmão. Logo, Mo 5 1 irmão.
Mediana:
 Como o total de frequências é 40 (número par), os valores centrais são o 20o e o 21o.
 Se colocados na ordem crescente, teremos os 8 valores correspondentes a 0 irmão, seguidos dos 15 va-
lores de 1 irmão, e assim por diante. Então, o 20o e o 21o valores serão, ambos, 1 irmão. Logo, 
Me 5 
1 1
2
1
 5 1. Logo, Me 5 1 irmão.
	b) No exemplo seguinte, não temos mais acesso aos dados brutos, pois os valores estão distribuídos em 
classes, representadas por intervalos e não por valores absolutos. Para o cálculo da média de uma distribui-
ção de valores em classes, convenciona-se o uso do valor médio de cada classe (VM) associado a cada 
frequência.
Massa de um grupo de pessoas
Massa (kg) Valor médio (VM) Frequência absoluta (FA)
40 ˛ 44 42 1
44 ˛ 48 46 3
48 ˛ 52 50 7
52 ˛ 56 54 6
56 ˛ 60 58 3
Total 20
Tabela elaborada para fins didáticos.
Dessa maneira calculamos a média aritmética:
MA 5 
1 42 3 46 7 50 6 54 3 58
20
42 138 350 324 174
20
1028
20
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
5
1 1 1 1
5 5 51,4
Assim, a média aritmética é 51,4 kg.
O cálculo da média de números inteiros inclui uma divisão que pode não ser exata.
Fique atento
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A moda em um conjunto de valores que está agru-
pado em classes também não é representada por um 
valor absoluto, mas pela classe mais frequente, chama-
da de classe modal. Nesse caso, a classe modal é 
48 ˛ 52, que tem frequência 7, e a moda é o ponto 
médio dessa classe, isto é, 50 kg.
Podemos construir o histograma dessa distribuição 
para o cálculo da mediana.
Veja que, pela distribuição dos valores segundo as 
classes, temos 11 pessoas cuja massa é menor ou igual 
a 52 kg: portanto, a mediana dessa distribuição será 
algum valor entre 48 kg e 52 kg.
O retângulo correspondente à classe de 48 kg a 52 kg 
representa 7 pessoas. Dividindo esse retângulo na abscis-
sa correspondente à mediana, a medida de área do retân-
gulo A representa 6 pessoas e a medida de área do retân-
gulo B representa 1 pessoa, como mostra o segundo 
gráfico. Como ambos os retângulos têm a mesma altura, 
a área deles é proporcional à medida de suas bases. 
Logo, a base do retângulo A deve ser proporcional a 6 e 
a base do retângulo B deve ser proporcional a 1. Temos:
Me Me
Me
48
6
52
1
360
7
51,4
2
5
2
~ 5 â
Desse modo, conclui-se que a mediana é aproxima-
damente 51,4.
Frequência absoluta (FA)
1
40 44 48 52 56 60
3
6
7
Massa (kg)
Gráfico elaborado para fins didáticos.
Massa de um grupo de pessoas
Frequência absoluta (FA)
1
40 44 48 52 56 60
3
6
7
Massa (kg)
A
B
Me
Gráfico elaborado para fins didáticos.
Massa de um grupo de pessoas
	42.	Um time de futebol realizou algumas partidas e os re-
sultados foram 3 a 1, 4 a 2, 1 a 1, 0 a 0, 3 a 2, 2 a 1 e 
1 a 0. Sabendo que o time não perdeu nenhuma parti-
da, calcule a média aritmética dos gols:
	a) marcados; 	b) sofridos. 
	43.	Se um aluno já fez dois trabalhos e obteve notas 8,5 e 
5,0, qual deve ser a nota do terceiro trabalho para que 
a média aritmética dos três seja 7,0? 
	44.	Qual é a média de idade de um grupo em que há 
6 pessoas de 14 anos, 9 de 20 anos e 5 de 16 anos? 
	45.	De segunda-feira a sábado, os gastos diários com ali-
mentação de uma pessoa foram 15, 13, 12, 10, 14 e 14 
reais. Determine a média diária de gastos (MA) e a me-
diana (Me). 
	46.	Considerando os números 126, 130, 126 e 102, faça o 
que se pede.
	a) Calcule a média aritmética (MA). 
	b) Calcule a média aritmética ponderada (MP), com 
pesos 2, 3, 1 e 2, respectivamente. 
2 1
7,5
17,2 anos.
MA 5 13 reais e Me 5 13,5 reais.
121
121,5
Atividades Não escreva no livro.
	c) Calcule a mediana (Me). 
	d) Calcule a moda (Mo). 
	e) Elabore um problema que envolva os dados do 
enunciado e troque com um colega para que ele 
resolva o que você elaborou e você resolva o dele. 
	47.	Determine a MA, a Mo e a Me com base nas tabelas de 
frequências.
	a) Idade em um grupo de 10 pessoas
Idade (em anos) 13 14 15 16
FA 3 2 4 1
Tabela elaborada para fins didáticos.
	b) Altura em um grupo de 21 pessoas
FA Altura (m)
3 1,61 ˛ 1,65
6 1,65 ˛ 1,69
5 1,69 ˛ 1,73
4 1,73 ˛ 1,77
3 1,77 ˛ 1,81
 Tabela elaborada para fins didáticos.
126
126
Resposta pessoal.
MA 5 14,3 anos; Mo 5 15 anos; Me 5 14,5 anos.
MA 5 1,71 m;
classe modal 
1,65 ˛ 1,69 e
Me â 1,70 m.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
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g
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