21 06 - Geometria (1)

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Semana de 21 a 25/06 – Geometria 6º Ano
4. ÂNGULOS
4.1. Conceito, elementos e notação.
· CONCEITO
 (

A
B
V
D
C
)Observe que na figura ao lado temos:
· Duas retas concorrentes AC e BD no plano ;
· O ponto V, interseção entre as duas retas;
^	^	^	^
· As regiões AVB, BVC, CVD e DVA do plano.
^
Vamos destacar a região BVC:
· (
B
C
)Complete:
VB é uma................................ de origem em........................
V
VC é uma ...............................de origem em ......................
 (
DEFINIÇÃO:
 
Ângulo
 
é
 
a
 
região
 
do
 
plano
 
situada
 
entre
 
duas
 
semirretas
 
distintas
 
de
 
mesma
 
origem
.
)
· ELEMENTOS
Os elementos de um ângulo são:
· Vértice  Ponto de origem das duas semirretas.
· Lados  Cada uma das semirretas.
· Abertura  Região interna determinada pelas semirretas.
Vértice
· NOTAÇÃO
Um ângulo pode ser identificado dos seguintes modos:
a) (
B
C
) (
ATENÇÃO
:
 
Lembre-se
 
que,
 
na
 
notação,
 
a
 
letra
que
 
corresponde
 
ao
 
vértice
 
fica
 
sempre
 
entre
 
as
outras
 duas: B
 
^
 
.
V
C
) BVC
^
b) BVC
 (
Lado
B
Abertura
V
C
Lado
C
)^	V
c) V
EXERCÍCIOS
1. Indique os elementos do ângulo dado:
2. Desenhe os ângulos AB‸ C e BC‸ D e pinte suas
regiões internas de azul e amarelo, respectivamente:
 (
A
+
C
+
+
 
B
+
 
D
)
3. Para cada ângulo dado, indique o vértice e os lados:
Vértice: ................................	Vértice: ................................	Vértice:.................................
Lados: .................................	Lados: ..................................	Lados: ..................................
 (
A
) (
F
)M	K
B
V
P
T
D
4. Relacione a coluna da direita com os ângulos 1, 2 e 3 abaixo:
 (
A
(
 
1
 
)
) (
B
(
 
2
 
)
C
) (
A
(
 
3
 
)
)A	B
(.....)  BAC
(.....) ACB
B	(....)  ABC
C	C
5. Marque, os ângulos pedidos:
^
a) ABC
^
b) RPS
R
^
c) EHL
 (
H
+
+
 
E
+
 
L
)P
A	B	 	+	+
 	+	+
+
+ C	S
6. Identifique os ângulos abaixo:
a) (
_______
E
D
F
)b)
c)
	 G
______
T
_______
S
R	M	N
7. Observe a imagem abaixo e complete as lacunas:
a) (
C
B
)Ângulo é a região do plano situada entre duas ___________ distintas de mesma _____________
b) Os elementos desse ângulo são: um .____________ (ponto A), dois
__________ (semirretas _______ e _______) e a __________, região
A
interna do ângulo.
8. Identifique os ângulos que existem na figura:
M
N
Ângulos: ____________________________
........................................................................................... .
P
O
 (
B
E
A
F
C
G
)D
9. Observe a imagem ao lado (reprodução da obra Geraldo de Barros - Função Diagonal - 1952) e destaque os ângulos pedidos, contornando-os:
a) 
b) 
c) 
4.2. USO DO TRANSFERIDOR
· MEDIDAS DE ÂNGULOS
 (
B
α
C
)E
β
A	D
Observe os ângulos ao lado:
· Eles são diferentes uma vez que não têm a mesma abertura. Então, podemos dizer que eles possuem medidas diferentes.
F
Podemos, também, indicar o ângulo utilizando uma letra minúscula do alfabeto grego acompanhada de um
 (
^
)arco ligando seus lados. Este arco indica a região do ângulo a ser medida (onde começa e termina o ângulo), e a letra grega representa esta medida.
α ≠ β	ou
BAC ≠
^ EDF
Para medir ângulos utilizamos um instrumento chamado transferidor e sua unidade de medida é o grau. Existem dois tipos de transferidores facilmente encontrados no mercado: o de 180º e o de 360º.
VAMOS CONHECER O TRANSFERIDOR!
Este instrumento tem os seguintes elementos:
· LINHA DE FÉ: Reta que liga as graduações dos ângulos de 0º e 180º.
· CENTRO DO TRANSFERIDOR: Ponto médio da linha de fé.
· LIMBO: Região do transferidor que contém a graduação dos ângulos.
Transferidor de 360º
LINHA DE FÉ
130
120
110
100	90	80
70
60
50
LIMBO
Transferidor de 180º
160
170
150
140
40
30
20
10
150
140
130
120
110
100
90	80
70
60
50
40
30
 	180
190
Colégio Pedro II
0 - 360 	
350
160	20
170	10
200
210
CENTRO DO TRANSFERIDOR
340
330
 	180	0 	
Colégio Pedro II
220	320
230
240
250
260
270
280
290
300
310
LINHA DE FÉ
CENTRO DO TRANSFERIDOR
 (
B
BÔA
 
=
 
...
47º..........
)Vamos medir o ângulo BÔA!
O A
Para medir o ângulo com o transferidor:
· Coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo coincidir o centro do instrumento com o vértice do ângulo e, a linha de fé, com um dos lados do ângulo.
· Iniciando a contagem sempre do zero, verifique o número da graduação que se encontra no outro lado do ângulo. O valor indicado é a medida do ângulo.
· Se achar necessário prolongue os lados com a régua.
 (
Atenção: 
Comece
 
a
 
contar
 
do
 
0°
e
 
cada marcação
 
vale
 
1º.
)
 (
100
90
80
110
70
Coincida
 
a
 
linha
 
de
 
fé
 
com
 
um dos
 
lados
 
do
 
ângulo.
120
90
70
80
100
60
110
B
130
60
50
120
140
50
130
40
40
150
140
30
30
150
160
20
20
160
170
10
170
10
180
0
180
 
 
0
Colégio
 
Pedro
 
II
O
A
Coincida
 
o
 
centro
 
do
 
transferidor
 
com
 
o
 
vértice
 
do ângulo.
)
 (
B
100
90
80
110
70
120
70
80
90
100
60
Para
 
saber quanto
 
mede
 
o
ângulo
 BÔA, olhe o outro lado
 
do
 
ângulo
 
(outra
 
semirreta).
110
130
60
50
120
140
50
130
40
40
150
140
30
30
150
160
20
20
160
170
10
170
10
180
0
180
 
0
O
Colégio
 
Pedro
 
II
A
)
 (
N
100
90
80
110
70
120
60
70
80 
 
90
 
 
100
110
130
60
120
50
140
50
NLM
 
=
............
 
_______________
^
40
150
130
40
140
30
30
150
160
20
20
160
170
 
 
10
 
 
 
170 
 
10
180
 
0
L
180
 
 
0
Colégio
 
Pedro
 
II
M
T
100
90
80
110
70
120
70
80
90
 
 
100 
 
110
60
130
60
120
50
140
50
130
40
40
^
150
140
30
RST
 
=
 
...
........
30
150
160
20
20
160
R
 
S
Colégio
 
Pedro
 
II
ATENÇÃO:
Comece a contar do 
0° 
que está na
 
semirreta
 
(lado)
 
apoiada
 
na
 
linha
 
de
 
fé.
)AGORA É SUA VEZ !
Quanto mede os ângulos abaixo:
	
	170
	10
	
	170
	10
	
	
180
	
0
	
	
180
	
0 	
Cuidado! Lembre-se que além do centro do transferidor ser coincidente com o vértice, a linha de fé deve SEMPRE
estar sobre um dos lados do ângulo. Sendo assim, a posição do transferidor deverá acompanhar a posição do
^
ângulo. Observe o ângulo RST em outra posição:
 (
RST
 
=
 
...
.........
^
S
) (
T
120
110
100
90
80
130
70 
 
80
140
60
90
70
50
100
110
60
150
40
120
50
30
160
130
20
40
170
140
10
30
180
 
 
0
150
160
 
 
20
170
 
 
10
S
180
 
 
0
)T
R
R
· CONSTRUINDO UM ÂNGULO COM O TRANSFERIDOR:
Também podemos construir ângulos com as medidas que desejamos, usando o transferidor.
 (
ED
)^Vamos traçar o ângulo		F de 130°.
 (
1º
 
passo:
 
Trace
 
uma
 
semirreta
 
de
 
origem
 
no
 
ponto
 
D
.
D
100
90
80
110
70
120
70
80
130
90
 
 
100
110
60
60
120
50
140
50
130
40
150
40
140
30
30
150
160
20
20
160
170
 
 
10
 
 
 
170 
 
10
180
 
0
180
 
 
0
D
Colégio
 
Pedro
 
II
E
)E
 (
2º
 
passo:
 
Posicione
 
corretamente
 
o
 
transferidor,
 
coincidindo o seu 
centro 
com o 
ponto D 
e a 
linha
 
de fé 
com a 
semirreta DE
. Marque com um traço
 
o
 
ângulo
 
desejado (130°).
)
 (
3º 
passo: 
Retire o transferidor. Trace
 
o
 
segundo
 
lado
 
do
 
ângulo
 
ligando
,
 
com
o
 
auxílio da
 
régua,
 
o
 
traço
 
marcado
com
 
o
 
ponto
 
D
.
)
D	E
 (
F
Finalize
 
marcando
 
o 
ponto
 
F
 
e
reforçando
 
o
 
traçado
.
)
D	E
 (
Atenção
: Na medição de ângulos, às vezes é necessário prolongar os
 
lados da figura, com traços bem suaves, para alcançar o limbo e obter
 
uma
 
leitura
 
mais
 
precisa.
)EXERCÍCIOS
1. Meça os ângulos e indique suas medidas:
 (
a
) 

 
=
 
.
..
....

) (
b
)
 

 
=
 
...
....

)c)  = .........

2. Meça os ângulos a seguir, utilizando o transferidor. Escreva as medidas dentro do ângulo:
M	C	T	S
L	J	E	Y
3. (
b.
 
(
 
)
100
90
80
110
70
120
70
80
90
 
 
100
60
130
110
60
120
50
140
50
130
40
150
40
30
30
150
160
20
20
160
 
 
 
 
170
 
 
10
 
 
 
170
 
 
10
 
 
180
 
0
180
 
0Colégio
 
Pedro
 
II
)A professora da turma de Rafaela pediu aos seus alunos que traçassem um ângulo de 125°. No entanto, alguns alunos ficaram com dúvida na hora de traçar este ângulo.
Marque com (X) o ângulo que corresponde a 125°:
 (
a.
 
(
)
100
90
80
110
70
120
70
80
90
 
 
100 
 
110
60
130
60
120
50
140
50
130
40
150
40
30
30
150
160
20
20
170
 
 
10
160
170
 
10
180
0
180
 
0
 
 
 
Colégio
 
Pedro
 
II
)
4. Trace o ângulo CÔB = 75° nas duas semirretas abaixo, observe que eles irão ficar para duas direções diferentes:
	
	
	
CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS
Os ângulos são classificados de acordo com a abertura (medida) que possuem.
Eles podem ser: reto, agudo, obtuso, raso ou meia volta, reentrante ou côncavo e pleno ou volta completa.
VAMOS CONHECER CADA UM DELES:
· ÂNGULO RETO
Observe a figura:
· O círculo foi dividido em quatro regiões congruentes.
· Um círculo inteiro tem 360°, cada uma dessas regiões tem 90°.
· A cada um desses ângulos denominamos ângulo reto.
· E suas semirretas são perpendiculares entre si.
 (
Ângulo
 
RETO
Medida 
= 90°
)
· ÂNGULO AGUDO
Todo ângulo menor que o ângulo reto é chamado de ângulo agudo. Assim, a medida de um ângulo agudo é menor que 90°.
 (
Ângulo
 
AGUDO
Medida 
< 90°
)
· ÂNGULO OBTUSO
Todo ângulo maior que o ângulo reto é chamado ângulo obtuso.
Assim, a medida de um ângulo obtuso é maior que 90° e menor que 180°.
 (
Ângulo
 
OBTUSO
Medida
 
>
 
90°
 
e
 
< 180°
)
· ÂNGULO RASO OU ÂNGULO DE MEIA-VOLTA
Todo ângulo cuja medida é igual a 180° é chamado de ângulo raso. O ângulo raso é o dobro do ângulo reto.
 (
Ângulo
 
RASO
Medida
 
=
 
180°
)
· ÂNGULO REENTRANTE OU CÔNCAVO
Todo ângulo maior que o ângulo de 1800 e menor que 3600 é chamado
ângulo côncavo ou reentrante.
 (
Ângulo
 
CÔNCAVO
Medida
 
>
 
180°
 
e
 
<
 
360°
)
· ÂNGULO PLENO OU ÂNGULO DE VOLTA COMPLETA
Todo ângulo cuja medida é igual a 3600 é chamado ângulo pleno ou ângulo de volta completa.
 (
Ângulo
 
PLENO
Medida
 
=
 
360°
)
EXERCÍCIOS
1. (
α
)Com auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo e, a seguir, classifique-os quanto às suas aberturas: OBS: Lembre-se de prolongar os lados dos ângulos para conseguir medi-los.
 (
α
 
=
 
.
..
..
Classificação:
.......................
) (
β
β
 
=
 
...
.
......
Classificação:
.............................
) (
π
 
=
 
...
....
Classificação:
....................
π
) (
γ
γ
 
=
 
...
...
.......
Classificação:
.....................
)
2. Dados as medidas dos ângulos, classifique-os:
^	º	^	º
a) RST = 180  ......................................…..	e) ABD = 95
 ...............................
^	º	^	º
b) GHF = 78	 ...........................................	f) MOP = 135
 .............................
^	º
c) JLH = 360
 ...................................…...	^
º  ............................
 (
g)
 
QRS
 
=
 
230
)^	º	^	º
d) EFG = 25	 .........................................	h) TUV = 90
 ...............................
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