apostila com resposta dv

Prévia do material em texto

- Resposta e explicação: A equação da reta tangente é \( y = 2x - 1 \). Encontre a derivada 
e use o ponto dado para encontrar a equação da reta. 
 
382. Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \ln(1 + \sin x) \, dx \). 
 - Resposta e explicação: A integral é \( \pi \ln 2 \). Use a prop 
 
riedade da integral simétrica ou a substituição adequada. 
 
383. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^2} \) converge ou diverge. 
 - Resposta e explicação: A série converge. Use o critério de convergência de séries de 
Bertrand. 
 
384. Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln x \). 
 - Resposta e explicação: A área é \( 2 - \frac{3}{2} \). Determine os pontos de interseção e 
integre para encontrar a área. 
 
385. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n^2 + 1}{n^3 - 1} 
\right)^n \). 
 - Resposta e explicação: A série converge. Use o teste da raiz ou o teste da razão para 
verificar. 
 
386. Calcule a integral \( \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 - Resposta e explicação: A resposta é \( \arcsin x + C \). Use a substituição 
trigonométrica \( x = \sin t \). 
 
387. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{\sqrt{n}} \) converge ou 
diverge. 
 - Resposta e explicação: A série converge condicionalmente. Use o teste de Dirichlet 
para séries alternadas. 
 
388. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(\sec x) \) que passa pelo ponto 
\( \left( \frac{\pi}{4}, \ln 2 \right) \). 
 - Resposta e explicação: A equação da reta tangente é \( y = \sqrt{2} x - \frac{\pi}{2} \). 
Encontre a derivada e use o ponto dado para encontrar a equação da reta. 
 
389. Calcule a integral \( \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx \). 
 - Resposta e explicação: A integral é \( -\frac{\pi}{2} \ln 2 \). Use a propriedade da integral 
simétrica ou a substituição adequada. 
 
390. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{n^2 + 1} \) converge 
ou diverge. 
 - Resposta e explicação: A série converge. Use o teste da razão ou o critério de 
comparação. 
 
391. Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = x \), e \( x = 1 \). 
 - Resposta e explicação: A área é \( 1 - \frac{2}{3} \). Determine os pontos de interseção e 
integre para encontrar a área. 
 
392. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n 
\). 
 - Resposta e explicação: A série converge. Use o teste da raiz ou o teste da razão para 
verificar. 
 
393. Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 - 2x + 2} \). 
 - Resposta e explicação: A resposta é \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{x-1}{\sqrt{2}} 
\right) + C \). Complete o quadrado e use substituição trigonométrica. 
 
394. Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{\sqrt{n}} \) converge ou 
diverge. 
 - Resposta e explicação: A série converge condicionalmente. Use o teste de Dirichlet 
para séries alternadas. 
 
395. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x^2 + 1) \) que passa pelo 
ponto \( (1, \ln 2) \). 
 - Resposta e explicação: A equação da reta tangente é \( y = 2x - 1 \). Encontre a derivada 
e use o ponto dado para encontrar a equação da reta. 
 
396. Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \ln(1 + \sin x) \, dx \). 
 - Resposta e explicação: A integral é \( \pi \ln 2 \). Use a propriedade da integral 
simétrica ou a substituição adequada.