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Estatística
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Em probabilidade, o desvio padrão ou desvio padrão populacional (comumente
representado pela letra grega ) é uma medida de dispersão em torno da média
populacional de uma variável aleatória. O termo possui também uma acepção específica
no campo da estatística, na qual também é chamado de desvio padrão
amostral (comumente representado pela letra latina ) e indica uma medida de dispersão
dos dados em torno de média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos
dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado.[1] Um alto desvio padrão
indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores. O
desvio padrão populacional ou amostral é a raiz quadrada da variância populacional ou
amostral correspondente, de modo a ser uma medida de dispersão que seja um número
não negativo e que use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos.[2][3][4]
Tanto em probabilidade quanto em estatística, o desvio padrão é usado para expressar outros conceitos
matemáticos importantes como o coeficiente de correlação, o coeficiente de variação ou a alocação ótima de
Neyman, dentre outros. Há também outras medidas de desvio como o desvio médio absoluto, que fornecem
propriedades matemáticas diferentes a partir do desvio padrão.[5] O desvio padrão é mais simples, porém mais
robusto que o desvio médio absoluto na prática.[6][7] Além de expressar a variabilidade da população, o desvio
padrão comumente é usado para medir a confiança em cálculos estatísticos e geralmente permite sintetizar os
resultados de uma experiência repetida várias vezes.[8] Por exemplo, a margem de erro de um conjunto de dados
é determinada pelo cálculo do desvio padrão da média ou do desvio padrão populacional inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra, se a
mesma pesquisa for repetida várias vezes.[9]
Esta derivação do desvio padrão geralmente é chamada de erro padrão da estimativa ou erro padrão da média (em referência à média). O erro
padrão da média é calculado a partir do desvio padrão das médias, as quais poderiam ser computadas a partir de uma população se um número
infinito de amostras e uma média para cada amostra fossem considerados. A margem de erro de uma pesquisa é calculada a partir do erro padrão
da média (produto do desvio padrão populacional e do inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra), e cerca do dobro do erro padrão da média
é a metade da largura de 95% do intervalo de confiança para a média (populacional).[10]
O desvio padrão é calculado em todas as áreas que usam probabilidade e estatística, em particular biologia, finanças, física e pesquisas em geral.
Em ciência, os pesquisadores comumente reportam o desvio padrão dos dados experimentais. Em geral, apenas os efeitos mais de dois desvios
padrões distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos – por meio de erro aleatório normal ou variação nas medições
podem-se distinguir os efeitos prováveis dos efeitos genuínos.[11] Quando apenas uma amostra dos dados da população está disponível, o termo
desvio padrão amostral pode referir-se tanto à quantidade mencionada acima quanto a uma quantidade modificada que seja uma estimativa não
enviesada do desvio padrão populacional. Quando o desvio padrão populacional não é conhecido, o seu valor é aproximado por meio do desvio
padrão amostral.[10]
História
O desvio padrão é uma grandeza que remete ao século XIX, no contexto do desenvolvimento da estatística no Reino Unido. Enquanto o conceito
de medida de dispersão foi criado por Abraham de Moivre e usado em seu livro The Doctrine of Chances em 1718,[12] o termo desvio padrão foi
pontualmente usado pela primeira vez por Karl Pearson em 1894,[13][14] em substituição a termos anteriores como erro médio, utilizado por Carl
Friedrich Gauss.[15] O símbolo também foi utilizado pela primeira vez por Karl Pearson para representar o desvio padrão.[14]
Em 1908, William Gosset (mais conhecido sob o pseudônimo Student) definiu o desvio padrão empírico de uma amostra e mostrou que a distinção
entre o desvio padrão amostral e o desvio padrão populacional é importante.[14] Somente em 1918, Ronald Aylmer Fisher definiu a noção da
variância no texto The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.[16]
Em probabilidade
Definição
Seja uma variável aleatória com média e valor esperado . Então, o desvio padrão de pela definição é a raiz quadrada da variância
de ou a raiz quadrada do valor médio de [17]
https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Discuss%C3%A3o:Desvio_padr%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Entrar&returnto=Desvio_padr%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Desvio_padr%C3%A3o&action=history
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Fisher_iris_versicolor_sepalwidth.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Fisher_iris_versicolor_sepalwidth.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Estat%C3%ADsticos
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Desvio_padr%C3%A3o.ogg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ajuda:Guia_de_consulta_e_reprodu%C3%A7%C3%A3o/Reproduzindo_Ogg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Projetos/Wikip%C3%A9dia_aud%C3%ADvel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A3
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Dispers%C3%A3o_estat%C3%ADstica
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_e_covari%C3%A2ncia_amostrais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_de_medida
https://pt.wikipedia.org/wiki/Correla%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_varia%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Aloca%C3%A7%C3%A3o_%C3%B3tima_de_Neyman
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Amostra_(estat%C3%ADstica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson
https://pt.wikipedia.org/wiki/William_Gosset
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ronald_Aylmer_Fisher
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Desvio_padr%C3%A3o.ogg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Artigos_destacados
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Desvio_padr%C3%A3o.ogg
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A fórmula foi derivada a partir das propriedades da esperança.[17]
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
Quandoé uma variável aleatória de um conjunto de dados finito , com cada valor tendo a mesma probabilidade , o desvio
padrão é:
,
em que é a esperança da variável , sendo .[17]
Se os valores tiverem probabilidades diferentes em vez de probabilidade iguais (se tiver probabilidade , se tiver probabilidade , ... , se 
 tiver probabilidade ), o desvio padrão é:
,
em que .[17]
Desvio padrão de uma variável aleatória contínua
O desvio padrão de uma variável aleatória contínua com função densidade é:
,
em que .[18]
No caso de uma família paramétrica de uma distribuição, o desvio padrão pode ser expresso em termos de parâmetros. Por exemplo, no caso da
distribuição log–normal com parâmetros e , com com distribuição normal com parâmetros e , o desvio padrão é 
.[19]
Desvio padrão de distribuições de probabilidade conhecidas
Distribuição Parâmetros Descrição Desvio padrão
Distribuição de
Bernoulli[20] Distribuição discreta de valor 0 com probabilidade e 1 com probabilidade .
Distribuição
binomial[21] e Distribuição da soma de variáveis independentes de acordo com a distribuição de
Bernoulli de parâmetro .
Distribuição
geométrica[22]
Distribuição discreta em , tal que a probabilidade de se obter o número inteiro é 
.
Distribuição
uniforme[23]
Distribuição uniforme contínua em , cuja densidade é um múltiplo da função indicadora
de .
Distribuição
exponencial[23]
Distribuição uniforme contínua com suporte , cuja densidade é a função
.
Distribuição de
Poisson[24] Distribuição em , cuja densidade é a função , em que .
Distribuição qui-
quadrado[25]
Distribuição em , cuja densidade é a função para todo 
 positivo, em que é a função gama.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Esperan%C3%A7a_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_densidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Parametriza%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_Bernoulli
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_binomial
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_geom%C3%A9trica
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_uniforme
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_exponencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_exponencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_Poisson
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Qui-quadrado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Qui-quadrado
Exemplos de distribuições
assimétricas.
Exemplos de distribuições mais
ou menos achatadas.
Regiões de probabilidade dos intervalos da
desigualdade de Chebyschev em uma
distribuição simétrica.
Regiões de probabilidade dos intervalos da
desigualdade de Chebyschev em uma
Distribuição
gama[25] , e 
Distribuição de probabilidade contínua, cuja densidade é a função 
 para todo positivo, em que é a função gama.
O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade univariada é igual ao desvio padrão de uma variável aleatória com a mesma distribuição. Nem
todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, uma vez que os valores esperados podem não existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma
variável que segue uma distribuição de Cauchy é indefinido porque seu valor esperado é indefinido.[26]
Propriedades
1. O desvio padrão é sempre positivo ou nulo.[27] O desvio padrão de uma constante é nulo.[28]
2. O desvio padrão de uma variável aleatória à qual foi adicionada uma constante é igual ao desvio padrão da variável aleatória 
, uma propriedade chamada invariante por translação.[28]
3. O desvio padrão de uma variável multiplicada por uma constante positiva é igual à constante multiplicada pelo desvio padrão da variável, uma
propriedade chamada invariante por dilatação, que pode ser resumida como . Propriedades como invariante de dilatação são
consequências diretas do teorema de Huygens e das propriedades de valor esperado.[29]
4. O desvio padrão da soma algébrica de duas variáveis é igual a , em que é o coeficiente
de correlação entre as duas variáveis e .[30]
5. O desvio padrão segue a desigualdade triangular . Existe igualdade se e somente se existe uma relação linear quase
certa entre as duas variáveis . A desigualdade decorre da desigualdade anterior e da desigualdade .[31]
6. A função admite o ponto mínimo . Portanto, assumindo–se no ponto o valor do desvio padrão da
variável aleatória .[32]
Usos
Em probabilidade, o desvio padrão compara as variáveis ou as suas distribuições.[17]
Variável aleatória centrada reduzida
Se é uma variável aleatória com desvio padrão não nulo, é possível fazê–la corresponder à variável aleatória
centrada reduzida . Duas variáveis aleatórias centradas e reduzidas e são fáceis de
comparar, uma vez que e .[33]
O teorema central do limite é o limite de uma sequência de variáveis aleatórias centradas
reduzidas,[34] os coeficientes de assimetria e a curtose de uma densidade de probabilidade e são
usados para comparar diferentes distribuições.[35]
Coeficiente de correlação
O coeficiente de correlação é outra aplicação do desvio padrão em probabilidade. Se e são duas variáveis
aleatórias, o coeficiente de correlação , em que 
, é a covariância das variáveis aleatórias 
 e . De acordo com a desigualdade de Cauchy–Schwarz , é possível afirmar que 
 assume valores no intervalo .[36] Se , as duas variáveis aleatórias não são correlacionadas. Se 
, as duas variáveis aleatórias são linearmente dependentes.[37]
Desigualdade de Bienaymé–Chebyschev
É por meio da desigualdade de Bienaymé–Chebyschev que o desvio padrão aparece como uma medida de
dispersão em torno da média. A desigualdade de Bienaymé–Chebyschev afirma que 
 e mostra que a probabilidade de desviar–se de ao longo de 
 desvios padrões é menor ou igual a .[38]
A desigualdade de Chebyschev afirma que, para todas as distribuições para as quais o desvio padrão
é definido, o volume de dados dentro de uma quantidade de desvios padrões da média são pelo
menos os mesmos que os da tabela a seguir.[39]
Distância da média População mínima
50%
75%
89%
94%
96%
97%
[40]
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_gama
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_gama
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_probabilidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Invariante_por_transla%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens
https://pt.wikipedia.org/wiki/Se_e_somente_se
https://pt.wikipedia.org/wiki/Obliquidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Curtose
https://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_de_Cauchy-Schwarz
https://pt.wikipedia.org/wiki/Independ%C3%AAncia_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_de_Chebyshev
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Negative_and_positive_skew_diagrams_(English).svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Standard_symmetric_pdfs.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Dp-sim%C3%A9trica.gif
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Dp-assim%C3%A9trica-pos.gif
distribuição assimétrica positiva.
Regiões de probabilidade dos intervalos da
desigualdade de Chebyschev em uma
distribuição assimétrica negativa.
O desvio padrão é usado para
indicar, com barras de erro, a
incerteza do posicionamento do
centroide de cada grupo da
amostra ao longo da direção
indicada pela largura das sépalas.
Exemplo de amostras de duas populações com médias iguais
e desvios padrões diferentes. A população representada em
vermelho tem média 100 e desvio padrão 10. A população
representada em azul tem média 100 e desvio padrão 50.
Expandir
Distribuição normal com desvio padrão (azul
escuro) em ambos os lados da média. Um
desvio padrão da média representa 68,27% do
conjunto, dois desvios padrões (azul médio e
azul escuro) representam 95,45%, três desvios
padrões (azulclaro, azul médio e azul escuro)
Em estatística
Para uma população finita e relativamente pequena, o cálculo do desvio padrão é puramente algébrico
sem referência à probabilidade. A estatística utiliza o desvio padrão empírico definido por 
.[41]
Em estatística, a população é geralmente muito importante em número (não é possível conhecer todos
os valores da população). Entre os recursos utilizados em amostragem e estimativa para avaliar os
valores está o desvio padrão.[42]
Interpretação
Um grande desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados longe da média e um
pequeno desvio padrão indica que os pontos dos dados estão agrupados perto da média. Por exemplo, cada uma
das três populações {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} possui média 7. Os desvios padrões são 7, 5 e 1,
respectivamente. A terceira população tem um desvio padrão menor porque seus valores são próximos de 7.[43]
O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. Um exemplo, o conjunto de dados {0, 6, 8, 14} representa as
idades de uma população de quatro irmãos em anos. A média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos. Outro
exemplo, o conjunto de dados {1000, 1006, 1008, 1014} representa as distâncias percorridas por quatro atletas
em metros. A média é de 1007 metros e o desvio padrão é de 5 metros.[44]
O desvio padrão pode servir como medida de incerteza. Em ciências, a precisão de medições repetidas é dada
pelo desvio padrão. O desvio padrão é crucial para analisar se as medições batem com a previsão teórica. Se a
média das medições estiver muito longe da previsão teórica (distância medida pelo desvio padrão), então a teoria
testada provavelmente precisa ser revisada.[45]
Enquanto o desvio padrão mede a distância dos valores típicos da média, outras medidas estão disponíveis.[17] É
o exemplo do desvio médio absoluto, que pode ser considerado uma medida mais direta da distância da média
em comparação à distância da raiz quadrada média inerente ao desvio padrão.[46]
Interpretação geométrica
Seja uma população com três valores, . Seja um ponto 
 em . Consideramos a linha que é a diagonal principal,
partindo da origem. Se os três valores fossem iguais, então o desvio padrão seria 0 e o
ponto estaria em . Então, pode–se assumir que o desvio padrão está relacionado à
distância entre e . Para mover–se ortogonalmente de para , é preciso partir do
ponto , cujas coordenadas são as médias dos valores mencionados
acima.[47]
Derivação de 
A distância entre e (igual à distância entre e ) é igual ao desvio padrão do vetor multiplicado pela raiz
quadrada do número de dimensões do vetor (3 dimensões, no caso).[47]
Regras para dados distribuídos normalmente
De acordo com o teorema central do limite, a distribuição da média de muitas variáveis aleatórias
distribuídas independentemente e identicamente tende à distribuição normal
com função densidade , em que é o valor esperado das variáveis
aleatórias, é igual aos desvios padrões das distribuições dividido por e é o número de
variáveis aleatórias. Portanto, o desvio padrão é simplesmente uma variável escalonada que ajusta a
amplitude da curva, embora ele apareça também na constante de normalização. Se a distribuição dos
dados é aproximadamente normal, então a proporção dos valores dos dados dentro do desvio padrão 
 da média é definida pela função erro . Uma proporção que seja menor ou igual a um
número é dada pela função cumulativa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_do_limite
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Dp-assim%C3%A9trica-neg.gif
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Fisher%27s_Iris_data_with_standard_deviation_error_bars_around_means.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Comparison_standard_deviations.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Standard_deviation_diagram.svg
representam 99,73% e quatro desvios padrões
representam 99,9994%. Os dois pontos da
curva que são o desvio padrão da média
também são os pontos de inflexão.
Porcentagem dentro p versus z
z versus porcentagem dentro p
.[48]
Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então cerca de 68% dos valores dos dados
estão dentro de um desvio padrão da média ( , em que é a média aritmética), cerca de 95%
estão dentro de dois desvios padrões ( ) e cerca de 99,7% estão dentro de três desvios padrões ( ). Isto é conhecido como a regra
empírica 68–95–99,7.[49]
Para vários valores de , as porcentagens dos valores esperados dentro ou fora do intervalo simétrico são:
Intervalo de confiança
Proporção dentro Proporção fora
Porcentagem Porcentagem Fração
50% 50%
68% 32%
68,2689492% 31,7310508%
80% 20%
90% 10%
95% 5%
95,4499736% 4,5500264%
99% 1%
99,7300204% 0,2699796%
99,9% 0,1%
99,99% 0,01%
99,993666% 0,006334%
99,999% 0,001%
99,9993204653751% 0,0006795346249% é
99.9999% 0,0001%
99,9999426697% 0,0000573303%
99,99999% 0,00001%
99,999999% 0,000001%
99,9999998027% 0,0000001973%
99,9999999% 0,0000001%
99,99999999% 0,00000001%
99,999999999% 0,000000001%
99,9999999997440% 0,000000000256%
Em resumo, de acordo com a regra 68–95–99,7, para uma distribuição normal unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio
(mesocúrtica):[49]
68% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a um desvio padrão;[50]
95% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão;[50]
99,7% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.[50]
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Standard_deviation_by_Confidence_interval.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Confidence_interval_by_Standard_deviation.svg
Visualização geométrica da
variância de uma distribuição.
Imagem 1: É construída a
frequência da distribuição.
Imagem 2: O centroide da
distribuição fornece a
média. Imagem 3: Um quadrado
com lados iguais à diferença de
cada valor da média é formado
para cada valor. Imagem 4: A
organização dos quadrados em
um retângulo com um lado igual
ao número de valores resulta
em outro lado igual à variância da
distribuição .
Exemplos
Desvio padrão populacional
Para um conjunto de dados finito, o desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da média dos desvios
entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado.[51]
Sejam as notas de 8 estudantes ( ) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. A média das notas dos 8 estudantes é: 
.
Os desvios entre as notas e a média das notas elevados ao quadrado são:
A variância ou a média de todos os valores é: . O desvio padrão ou a
raiz quadrada da variância é . Isto é, o desvio padrão é igual a 2.[51]
Desvio padrão amostral
O cálculo da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevados ao
quadrado é válido apenas se os valores formarem a população total. Se os valores forem parte de uma amostra
aleatória extraída de uma população maior (por exemplo, 8 notas extraídas de uma sala de aula de 2 milhões de
estudantes), então o denominador da fórmula da variância seria (7) em vez de (8) e o resultado seria
chamado desvio padrão amostral.[52]
A divisão da soma dos desvios entre as notas e a média das notas por em vez de fornece uma
estimativa não enviesada do desvio padrão populacional maior, o que é conhecido como correção de Bessel.[53]
Seja a altura média de um homem adulto nos Estados Unidos 1,78 metro ou 178 centímetros, com desvio padrão
de 7 centímetros. Então, a maioria dos homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 68%) tem entre 7
centímetros acima e 7 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 171 centímetros e 185 centímetros,
correspondente a um desvio padrão) e praticamente todos os homens adultos dos Estados Unidos (cerca de
95%) tem entre 14 centímetros acima e 14 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 164 centímetros e 192
centímetros, correspondente a dois desvios padrões). Se o desvio padrão fosse 0 centímetro, então todos os
homens adultos dos Estados Unidos teriam 178 centímetros.Se o desvio padrão fosse 50 centímetros, então os homens adultos dos Estados Unidos
teriam uma variação muito maior de altura (entre 121 centímetros e 221 centímetros). Três desvios padrões representam 99,7% da amostra da
população estudada, assumindo que é uma distribuição normal (em forma de sino).[52][53]
Estimadores
Um estimador é uma função que aproxima–se de um parâmetro de uma população por meio de uma amostra aleatória.[54] Dois estimadores do
desvio padrão são geralmente utilizados. Os estimadores ou e ou são expressos em função dos valores da amostra por
 e .
 é o estimador não enviesado.[55][56]
Na verdade, uma boa estimativa do desvio padrão real seria , em que é a média da distribuição de . Muitas vezes a
média não é conhecida e precisa ser calculada a partir da amostra pela fórmula . Então, a estimativa do desvio padrão é calculado
pela fórmula
.[57]
O denominador é em vez de (correção de Bessel) porque o cálculo da média de a partir da amostra perdeu um grau de liberdade, uma
vez que a fórmula liga aos valores . Portanto, há apenas valores independentes após o cálculo de .[57]
Propriedades dos estimadores
Duas propriedades importantes dos estimadores são a convergência e a falta de viés.[56] Se é um estimador do parâmetro , o viés será a
quantidade . Se o valor for diferente de zero, significa que está posicionado em torno de em vez de . O estimador é
contaminado pelo erro. Um bom estimador não tem viés.[58] O estimador do desvio padrão é enviesado, mas o viés é aceitável.[59][60]
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Variance_visualisation.svg
Se , então converge (em distribuição, em média, em probabilidade, quase certamente) para à medida que aproxima-se do
infinito. Entretanto, se e são estimadores convergentes de , reflete–se a aproximação de para as duas séries quando torna–se
cada vez maior.[58] Com o teorema da continuidade afirmando que se é contínua (limite em probabilidade), a função
raiz quadrada é contínua, os estimadores e são convergentes também. O teorema da continuidade afirma que se é ume função contínua,
então , em que denota convergência em probabilidade. Como a função raiz quadrada é uma função contínua, 
 e são estimadores convergentes do desvio padrão. Isto é, e .[61]
Desvio padrão da média
A média e o desvio padrão de um conjunto de dados são estatísticas descritivas geralmente reportadas em conjunto. De uma certa maneira, o desvio
padrão é uma medida natural de dispersão estatística se o centro dos dados for medido em relação à média. Isto porque o desvio padrão a partir da
média é menor que o desvio padrão a partir de qualquer outro ponto. Sendo números reais, define–se a função 
 Usando cálculo ou completamento de quadrado, é possível mostrar que tem um mínimo único na média 
[62]
A variabilidade também pode ser medida pelo coeficiente de variação, que é a razão entre o desvio padrão e a média. É um número
adimensional.[63]
Geralmente quer-se mais informações sobre a precisão da média obtida. Podemos obtê-la determinando o desvio padrão da média amostral.
Assumindo a independência estatística dos valores na amostra, o desvio padrão da média está relacionado ao desvio padrão da distribuição por 
é , em que é o número de observações na amostra usado para estimar a média.[64]
Isto pode ser provado com 
é
 Isto resulta em é
[65]
É importante ressaltar que para estimar o desvio padrão da média é é necessário saber o desvio padrão de toda a população de antemão.
Entretanto, este parâmetro é desconhecido na maioria das aplicações. Por exemplo, se uma série de 10 medições de uma quantidade previamente
desconhecida é realizada em um laboratório, é possível calcular a média da amostra resultante e o desvio padrão amostral, mas é impossível
calcular o desvio padrão da média.[66]
Para estimar a exatidão da estimativa da média de uma variável, o método do cálculo do desvio padrão da distribuição da amostragem das médias é
utilizado. Também chamado erro padrão da média e denotado como , é o desvio padrão das médias das amostras de tamanho idêntico de uma
população. Se é o tamanho das amostras tomadas a partir do desvio padrão de uma população e se é o tamanho da população, então 
.[67]
Quando o desvio padrão da população é desconhecido, ele pode ser substituído pelo estimador .[67] Quando é suficientemente grande (
), a distribuição da amostra provavelmente segue a lei de Laplace–Gauss, que permite deduzir um intervalo de confiança em função de 
 para localizar a média da população a partir da média da amostra.[68][69]
Há casos em que é possível encontrar o desvio padrão de uma população inteira com o Teste Z, em que cada membro da população é amostrado.
Em casos em que não é possível encontrar o desvio padrão , ele é estimado analisando uma amostra padrão extraída da população e calculando
uma estatística da amostra, que é usada como uma estimativa do desvio padrão populacional.
Entretanto, ao contrário da estimativa da média da população, para a qual a média amostral é um estimador simples com muitas propriedades
desejáveis (não enviesado, eficiente, máxima verossimilhança), não há um único estimador para o desvio padrão com todas estas propriedades,
além de que um estimador não enviesado do desvio padrão é um problema técnico. Frequentemente o desvio padrão é estimado usando o desvio
padrão corrigido da amostra e geralmente é referido como o desvio padrão amostral, sem qualificadores. Porém, outros estimadores são
melhores em outros aspectos − o estimador com a correção ( ) produz um erro quadrático médio mais baixo, enquanto o uso de correção 
 para distribuição normal elimina quase completamente o viés.[70]
Desvio padrão não corrigido da amostra
Primeiramente, a fórmula para o desvio padrão populacional de uma população finita pode ser aplicada à amostra usando o tamanho da amostra
como o tamanho da população (embora o tamanho verdadeiro da população da qual a amostra é extraída possa ser muito maior). O estimador
denotado como é conhecido como desvio padrão não corrigido da amostra ou às vezes como desvio padrão amostral (considerado com a
população inteira) e é definido como em que são os valores observados dos itens da amostra, é o
valor da amostra das observações, é o tamanho da amostra (raiz quadrada da variância da amostra, que é a média dos desvios quadráticos da
média da amostra).[71]
 é um estimador consistente (converge em probabilidade para os valores da população à medida que o número de amostras tende ao infinito) e é
a estimativa por máxima verossimilhança quando a população é normalmente distribuída. Entretanto, é um estimador enviesado na medida em
que as estimativas são geradas muito lentamente. O viés diminui conforme o tamanho da amostra aumenta, caindo para e, portanto, é mais
significativo para tamanhos pequenos ou moderados de amostras. Para , o viés é menor que 1%. Então, para tamanhos muito grandes de
amostras, o desvio padrão não corrigido da amostra é geralmente aceitável. O estimador também tem erro quadrático médio uniformemente menor
que o desvio padrão corrigido da amostra.[71]
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica_descritiva
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Completamento_de_quadrados
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_adimensional
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_adimensional
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1xima_verossimilhan%C3%A7a
Desvio padrão corrigido da amostra
Se a variância enviesada da amostra (o segundo momento central da amostra, que é uma estimativa tendenciosa da variância populacional) é usada
para calcular uma estimativa do desvio padrão populacional, retirando a raiz quadrada, introduzem-se mais vieses tendenciosos pela desigualdade
de Jensen devido à raiz quadrada ser uma função côncava. O viés na variância é facilmente corrigido, mas o viés da raiz quadrada é mais difícil de
ser corrigido e depende da distribuição em questão.
Um estimador não enviesadoda variância é dado pela aplicação da correção de Bessel, usando em vez de para gerar a estimativa da
variância não enviesada da amostra denotada como [72] Retirando a raiz quadrada, reintroduz-se o viés porque a raiz
quadrada é uma função não linear, que não é comutativa com a expectativa. Isto gera o desvio padrão corrigido da amostra denotado como 
[72]
Enquanto é uma estimativa não enviesada da variância populacional, é uma estimativa enviesada do desvio padrão populacional. Embora
notadamente menos enviesado que o desvio padrão não corrigido da amostra. O viés continua sendo significativo para pequenas amostras ( )
e também cai para à medida que o tamanho da amostra aumenta. Este estimador é comumente usado e geralmente conhecido simplesmente
como desvio padrão amostral.[72]
Desvio padrão não enviesado da amostra
Para estimativas não enviesadas do desvio padrão, não há fórmula que aplique-se a todas as distribuições, ao contrário da média e da variância. é
usado como uma base e é escalado por um fator de correção para produzir uma estimativa não enviesada. Para a distribuição normal, um estimador
não enviesado é dado por , em que o fator de correção que depende de é dado em termos da função gama:
[70]
Isto ocorre porque a distribuição amostral do desvio padrão amostral segue uma distribuição qui e o fator de correção é a média da distribuição qui.
Uma aproximação pode ser dada pela substituição de por , tal que [70]
O erro na aproximação cai quadraticamente para , e é adequado para todas as amostras, com exceção daquelas menores ou de menor precisão.
Para , o viés é igual a 1,3% e para o viés é menor que 0,1%. Para outras distribuições, a fórmula correta depende da distribuição, mas
uma regra de ouro é usar o refinamento da aproximação:
em que denota o excesso de curtose da população, que pode ser tanto conhecido antecipadamente para certas distribuições quanto estimado a
partir dos dados.[70]
Intervalo de confiança para o desvio padrão amostral
O desvio padrão obtido a partir da distribuição amostral não é absolutamente preciso, tanto por razões matemáticas (aqui explicadas pelo intervalo
de confiança) quanto por razões práticas de medição (erro de medição). O efeito matemático pode ser descrito pelo intervalo de confiança.[73] Para
mostrar como uma amostra maior tornará o intervalo de confiança menor, consideram-se os seguintes exemplos.
Uma pequena população de tamanho = 3 tem apenas um grau de liberdade para estimar o desvio padrão. O resultado é que um intervalo de
confiança de 95% tem desvio padrão entre 0,45 e 31,90. Os fatores são em que é o −ésimo quantil da
distribuição qui−quadrado com graus de liberdade e é o nível de confiança. Isto é equivalente a [74]
Com , e . As recíprocas da raiz quadrada destes dois números fornecem os fatores 0,45 e 31,90
mencionados acima.
Uma população maior de tamanho tem 9 graus de liberdade para estimar o desvio padrão. Os mesmos cálculos acima fornecem um
intervalo de confiança de 95% com desvio padrão entre 0,88 e 1,16. Para ter mais certeza de que o desvio padrão amostral será próximo do desvio
padrão real, é preciso amostrar um grande número de pontos. As mesmas fórmulas podem ser usadas para obter os intervalos de confiança da
variância de resíduos a partir do método dos mínimos quadrados, que se encaixa na teoria normal padrão, em que é o número de graus de
liberdade do erro.[74]
Desvio padrão de desvio padrão empírico
Em geral, é muito difícil calcular a distribuição de probabilidade de desvio padrão empírico. Porém se é uma sequência de variáveis aleatórias
distribuídas de acordo com a distribuição normal , então segue uma distribuição de a graus de liberdade.[75] Esta lei é o desvio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Comutatividade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_gama
padrão . Portanto, o desvio padrão da distribuição das variações das variáveis normais é expresso por .[75]
Interpretação de um desvio padrão elevado
O conceito de desvio padrão elevado não tem sentido isoladamente. Ele não indica uma dispersão forte que se torna o valor adimensional quando
dividido pela média.[4] Um desvio padrão elevado possivelmente pode indicar a existência de um outlier. Um critério consiste em rejeitar os valores
que diferem da média em mais de três vezes o desvio padrão, o qual está sob a distribuição normal de uma probabilidade de exceder de .[76]
Pesquisas de opinião
Em pesquisas de opinião, o desvio padrão avalia a incerteza das variações acidentais de inerentes à pesquisa, chamada de margem de erro
devido às variações acidentais.[77]
Com o método da amostragem representativa, quando os diferentes estratos têm desvios padrões muito diferentes, o desvio padrão é utilizado para
calcular a repartição ótima de Neyman, que permite medir a população nos diferentes estratos em função do desvio padrão. Em outros termos, 
 é o tamanho da amostragem do estrato, é o tamanho total do estrato, é o tamanho do estrato e é o desvio padrão do
estrato .[77]
Em algoritmo
O cálculo do desvio padrão para um programa de computador pode resultar em dados inconsistentes quando não se utiliza um algoritmo adequado,
como quando se utiliza o algoritmo que opera diretamente a fórmula de grandes amostras de valores entre 0 e 1.[78][79]
Um dos melhores algoritmos é chamado B.P. Welford, descrito por Donald Knuth em seu livro The Art of Computer Programming Vol. 2.[80][81] Uma
aproximação do desvio padrão da direção do vento é dada pelo algoritmo de Yamartino, que é usado em anemômetros modernos.[82][83]
Métodos de cálculos rápidos
As duas fórmulas seguintes podem representar um desvio padrão repetidamente atualizado. Um conjunto de duas somas de potências e são
calculadas sobre um conjunto de valores de denotados como , Dados os resultados das duas somas, os valores , 
 e podem ser usados a qualquer hora para calcular o valor atual do desvio padrão , em que é o tamanho do conjunto de
valores (também pode ser denotado como ), como mencionado acima. Similarmente para o desvio padrão 
Em uma implementação de computador, à medida que as três somas aumentam, é preciso considerar o erro de arredondamento, o overflow
aritmético e o underflow aritmético. O método abaixo calcula o método das somas correntes com erros de arredondamento reduzidos. Isto é um
algoritmo para calcular a variância de amostras sem a necessidade de armazenar dados anteriores durante o cálculo.[80] Aplicando este método a
uma série de tempo, resultará em valores sucessivos de desvio padrão correspondente a pontos dados à medida que aumenta com cada nova
amostra.
Para 
, em que é o valor médio.
, em que desde que ou .
A variância da amostra é . A variância da população é .
Cálculo ponderado
Quando os valores são ponderados com pesos desiguais , as somas de potências , e são calculadas como As
equações de desvio padrão continuam inalteradas, com a diferença de que passa a ser a soma dos pesos em vez do número de observações .
O método incremental com erros de arredondamento reduzidos também pode ser aplicado, com alguma complexidade adicional. Uma soma de
pesos deve ser computada para cada , de 1 até .
Os locais em que é usado devem ser substituídos por .
https://pt.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth
Gráfico de distribuição normal (curva em forma
de sino), em que cada barra tem largura de um
desvio padrão.
.
Na divisão final, e ou em que é o número total de elementos e é o número de elementos com
pesos diferente de 0. As fórmulas mencionadas acima tornam-se iguais às fórmulas mais simples também mencionadas acima se os pesos forem
tomados como iguais a 1.
Aplicações
O desvio padrão é usado como medida de dispersão de um conjunto de dados. Quanto menor o desvio padrão, mais os valores são agrupados em
torno da média.[43] Seja a distribuição de notas entre os estudantes de uma sala de aula. Quanto menor o desvio padrão, mais homogêneas serão
as notas. Quanto maior o desvio padrão, menos homogêneas serão as notas.Se as notas forem classificadas de 0 a 20, o desvio padrão mínimo
será 0 (se todas as notas forem idênticas) e o desvio padrão máximo será 5 (se metade da classe tirar 0 e metade da classe tirar 20). Se 
 estudantes tirarem 0 e estudantes tirarem 10, de modo que a amostra contenha vezes a nota 0 e vezes a nota 10, então a média será 
 ou e . Os valores quadrados são e . A média de é . Portanto, a variância é 100 e o
desvio padrão é 10.[43]
Testes experimentais, industriais e de hipóteses
Na indústria, o desvio padrão é usado para calcular o índice de fidelidade de um aparelho de medida ou o índice de qualidade de um
produto.[84][85] Por exemplo, os pesos dos produtos de uma linha de produção precisam cumprir um valor exigido legalmente. Pesando uma fração
dos produtos, é possível calcular o peso médio que sempre será um pouco diferente da média de longo prazo. Usando o desvio padrão, é possível
encontrar um valor máximo e um valor mínimo para que o peso médio esteja dentro de uma porcentagem muito alta de tempo (igual ou maior que
99,9%). Se o desvio padrão ficar fora do intervalo, então o processo de produção precisa ser corrigido. Estes testes estatísticos são particularmente
importantes quando o teste é relativamente caro.[84][85]
Na ciência, é comum considerar que os valores são distribuídos de acordo com a curva de Gauss. Nas ciências sociais, a média e o desvio padrão
determinam o intervalo em que existe a maioria da população. Se a média for e o desvio padrão for , então 95% da população estará no
intervalo e 68,2% da população estará no intervalo .[86]
O desvio padrão também é usado para formar um intervalo de confiança de uma amostra. Na imagem
ao lado, há um desvio nos dois lados da média de 68,2% da distribuição, dois desvios 
, 3 desvios 
 e assim por diante.[87]
Em um exemplo na física de partículas, o padrão 5 sigma é usado para considerar o resultado
significativo. O padrão 5 sigma traduz uma chance em 3,5 milhões de uma flutuação aleatória afetar o
resultado, o que representa uma probabilidade de erro inferior a 0,00003 % (nível de confiança
superior a 99.99997%).[88] Este nível de certeza foi requerido para declarar a primeira detecção de
ondas gravitacionais[89][90] e garantir a descoberta de uma partícula consistente com bóson de Higgs
em dois experimentos independentes na Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear (CERN).[91]
Em outro exemplo na mecânica quântica, o princípio da incerteza de Heisenberg afirma que o produto
dos desvios padrões da posição e o impulso de uma partícula é maior ou igual que a constante de
Planck dividida por dois .[92]
Finanças
Em finanças, o desvio padrão da taxa de retorno de investimento é uma medida da volatilidade do investimento, ou uma medida de risco associada
às flutuações de preço de um determinado ativo ou ao risco de uma carteira de ativos.[93] O risco é um fator importante para gerenciar efetivamente
uma carteira de investimentos porque ele determina a variação dos retornos sobre ativos e / ou sobre carteiras de ativos e fornece aos investidores
uma base matemática para decisões de investimentos (teoria moderna do portfólio). O risco é medido pelo desvio padrão do retorno esperado sobre
os preços de acordo com o modelo de precificação de ativos financeiros de Harry Markowitz.[94] Em análise técnica dos preços das ações, o desvio
padrão fornece uma estimativa quantificada da incerteza dos retornos futuros. Quanto maior o retorno esperado sobre o investimento, maior o risco.
Em outras palavras, investidores devem estimar o retorno esperado e a incerteza de retornos futuros.[95]
Seja um investidor que precise escolher entre duas ações. A ação A tem um retorno médio de 10% em 20 anos, com desvio padrão de 20 pontos
percentuais. A ação B tem um retorno médio de 12% no mesmo período, com desvio padrão de 30 pontos percentuais. Com base no risco e no
retorno, um investidor pode decidir pela ação A pelo retorno médio adicional de 12% não compensar o desvio padrão adicional de 10 pontos
percentuais (risco ou incerteza maior sobre o retorno esperado). O investimento inicial da ação B deve ser menor que o investimento inicial da ação
A. O retorno da ação B deve ser em média 2% maior que o retorno da ação A. A ação A deve ganhar 10% com 10 pontos percentuais para cima ou
para baixo (variação de 30% para 10%), cerca de dois terços do retorno dos anos futuros. Quando são considerados possíveis retornos ou possíveis
resultados mais extremos no futuro, um investidor deve esperar resultado de até 10% com 60 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação
de 70% para 50%), que inclui resultados para três desvios padrões a partir do retorno médio (cerca de 99,7% do possível retorno).[96][97]
Calculando a média aritmética do retorno de um título em um determinado período, obtém-se o retorno esperado do ativo. Subtraindo o retorno
esperado do retorno real em cada período, obtém-se a diferença a partir da média. Elevando a diferença em cada período ao quadrado e retirando a
média, obtém-se a variância total do retorno do ativo. Quanto maior a variância, maior o risco do título. Encontrando a raiz quadrada da variância,
obtém-se o desvio padrão da ferramenta de investimento em questão.[96][97]
Séries temporais financeira são conhecidas por serem séries não estacionárias, enquanto os cálculos estatísticos acima como o desvio padrão
aplicam–se apenas às séries estacionárias. Para aplicá–los às séries não estacionárias, as séries precisam ser transformadas em séries
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confian%C3%A7a
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_da_incerteza_de_Heisenberg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck
https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_precifica%C3%A7%C3%A3o_de_ativos_financeiros
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Standard_deviation_diagram.svg
Média móvel (em vermelho) e bandas de
Bollinger (em azul), calculadas a partir do
desvio padrão.
estacionárias, permitindo o uso de ferramentas estatísticas que agora possuem uma base válida para
trabalhar.[98][99]
A análise de Bollinger é uma ferramenta que facilita a análise de previsões do mercado. John Bollinger
construiu a curva de deslocamento da média para vinte dias e as curvas, de cada lado da curva
de deslocamento da média, situadas a duas vezes o desvio padrão dos vinte dias.[100] O desvio
padrão populacional é usado para estabelecer a largura das bandas de Bollinger. A banda de Bollinger
ao lado é denotada como . O valor mais comumente usado para é 2. Há cerca de 5% de
chance de o valor ser diferente, assumindo uma distribuição normal dos retornos.[101]
Tempo
Sejam as temperaturas máximas médias diárias de duas cidades, uma no continente e outra na costa.
O intervalo das temperaturas máximas diárias das cidades perto da costa é menor que as
temperaturas máximas diárias das cidades no continente.[102] Portanto, enquanto cada uma das duas
cidades pode ter a mesma temperatura máxima média, o desvio padrão da temperatura máxima diária da cidade da costa será muito menor que a
temperatura máxima diária da cidade no continente. Em qualquer dia particular, é mais provável que a temperatura máxima real seja mais afastada
da temperatura máxima média da cidade no continente que da temperatura máxima média da cidade na costa.[102]
Ver também
Coeficiente de variação
Variância
Valor esperado
Moda (estatística)
Obliquidade
Curtose
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Estatística descritiva
Gráficos estatísticos BiplotCarta de controloDiagrama de caixaDiagrama de ramos e folhasGráfico em leque
Média AritméticaGeométricaHarmônicaPonderadaMedianaModaVariânciaDesvio padrãoCoeficiente de variação
Inferência estatística Análise de variânciaCópula gaussianaAnálise multivariada da variânciaDistribuição t de StudentErro do tipo IErro d
Estatística não-paramétrica Teste binomialTeste chi-quadrado de Pearson uma amostraduas amostras independentesk amostras independent
Análise de sobrevivência Função de sobrevivênciaKaplan-MeierTeste log-rankTaxa de falhaProportional hazards models
Amostragem AmostraAmostragem aleatória simplesAmostragem estratificadaAmostragem por conglomeradosAmostragem sist
Distribuição de probabilidade NormalDe ParetoDe PoissonDe BernoulliHipergeométricaBinomialBinomial negativaGamaBetat de StudentF de F
Correlação Variável de confusãoCoeficiente de correlação de PearsonCoeficiente de correlação de postos de SpearmanCoefi
Regressão Regressão linearRegressão não linearRegressão logísticaMétodo dos mínimos quadradosModelos lineares gener
Análise multivariada
Distribuição normal multivariadaAnálise de componentes principaisAnálise fatorialAnálise discriminante
Análise de "Cluster" (análise de agrupamento)
Análise de correspondência
Séries temporais Modelos para séries temporaisTendência e sazonalidadeModelos de suavização exponencialARIMAModelos sazo
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