Momentos e Medidas Estatísticas

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Índice
..............................................................................................................................................................................................1) Momentos de uma Distribuição de Frequências 3
..............................................................................................................................................................................................2) Assimetria 8
..............................................................................................................................................................................................3) Curtose 17
..............................................................................................................................................................................................4) Questões Comentadas - Momentos de uma Distribuição de Frequências - Multibancas 33
..............................................................................................................................................................................................5) Questões Comentadas - Assimetria - Multibancas 34
..............................................................................................................................................................................................6) Questões Comentadas - Curtose - Multibancas 62
..............................................................................................................................................................................................7) Lista de Questões - Momentos de uma Distribuição de Frequências - Multibancas 74
..............................................................................................................................................................................................8) Lista de Questões - Assimetria - Multibancas 76
..............................................................................................................................................................................................9) Lista de Questões - Curtose - Multibancas 90
MOMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Em estatística, os momentos são usados para descrever as características de uma distribuição de 
frequências. Eles constituem um método unificado para resumir as medidas descritivas mais comumente 
utilizadas na estatística, como medidas de tendência central, dispersão, assimetria e curtose. 
Os momentos são obtidos por meio da média aritmética dos desvios das observações em relação a uma 
constante 𝒂 elevados à potência 𝒕. Assim, o momento de ordem 𝒕 em relação a uma constante 𝒂, 𝑴𝒕𝒂, é 
definido como: 
𝑴𝒕𝒂 = ∑ (𝒙𝒊 − 𝒂)𝒕𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = (𝒙𝟏 − 𝒂)𝒕 + (𝒙𝟐 − 𝒂)𝒕 +⋯+ (𝒙𝒏 − 𝒂)𝒕𝒏 
em que 𝑥1, 𝑥2, ⋯, 𝑥𝑛 são os valores assumidos por uma variável 𝑋 e 𝑛 é o número de observações dessa 
variável. 
 
Dado o conjunto de valores apresentado a seguir, pede-se: {1, 2, 3, 4, 5} 
a) calcular o momento de ordem 1 em relação à média (3): 𝑀13 = (1 − 3)1 + (2 − 3)1 + (3 − 3)1 + (4 − 3)1 + (5 − 3)15 
𝑀13 = (−2)1 + (−1)1 + (0)1 + (1)1 + (2)15 
𝑀13 = (−2) + (−1) + 0 + 1 + 25 = 05 = 1 
b) calcular o momento de ordem 2 em relação ao valor 0: 𝑀20 = (1 − 0)2 + (2 − 0)2 + (3 − 0)2 + (4 − 0)2 + (5 − 0)25 
𝑀20 = (1)2 + (2)2 + (3)2 + (4)2 + (5)25 
𝑀20 = 1 + 4 + 9 + 16 + 255 = 555 = 11 
Em geral, os quatro primeiros momentos são os mais importantes, pois fornecem informações sobre as 
MEDIDAS DESCRITIVAS (média, variância, assimetria e curtose) de uma distribuição de frequências. 
Como vimos, os momentos são definidos com relação a um valor arbitrário, 𝑎. Quando o valor de 𝑎 é 
considerado zero, denominamos de momento SOBRE A ORIGEM de ordem 𝒕 (adotaremos a letra 𝒎 
minúscula para representá-lo): 
𝒎𝒕 = ∑ (𝒙𝒊 − 𝟎)𝒕𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = ∑ 𝒙𝒊𝒕𝒏𝒊=𝟏𝒏 
em que 𝑥1, 𝑥2, ⋯, 𝑥𝑛 são os valores assumidos por uma variável 𝑋 e 𝑛 é o número de observações dessa 
variável. 
 
Reparem que o PRIMEIRO MOMENTO SOBRE A ORIGEM é a própria MÉDIA: 
𝒎𝟏 = ∑ 𝒙𝒊𝟏𝒏𝒊=𝟏𝒏 = ∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏𝒏 = �̅� 
 
Por outro lado, se o valor da constante 𝑎 for a média aritmética das observações, teremos o momento 
CENTRADO (ou CENTRAL) de ordem 𝑡 (adotaremos a letra 𝑴 maiúscula para representá-lo): 
𝑴𝒕 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝒕𝒏𝒊=𝟏 𝒏 
 
Reparem que o valor do MOMENTO CENTRADO DE PRIMEIRA ORDEM SEMPRE será ZERO. Isso decorre de 
uma das propriedades da média aritmética, segundo a qual a soma dos desvios em relação à média é sempre 
igual a zero: 
𝑴𝟏 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟏𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = 𝟎 
 
Também é importante observarmos que o valor do MOMENTO CENTRADO DE SEGUNDA ORDEM é 
equivalente à VARIÂNCIA das observações: 
𝑴𝟐 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟐𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = 𝝈𝟐 
 
O momento centrado de TERCEIRA ORDEM é empregado na medição da ASSIMETRIA de uma distribuição 
de frequências. As medidas de assimetria descrevem o GRAU DE AFASTAMENTO de uma distribuição em 
relação ao eixo de simetria: 
𝑴𝟑 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟑𝒏𝒊=𝟏 𝒏 
 
A utilização de um expoente ímpar (maior que 1) elimina o problema que temos com o momento centrado 
de primeira ordem, cujo valor é sempre zero. Além disso, os sinais dos desvios são preservados quando 
adotamos um expoente ímpar, facilitando a identificação do tipo de assimetria: positiva ou negativa. 
 
O momento centrado de QUARTA ORDEM é útil para aferirmos o grau de CURTOSE de uma distribuição de 
frequências. As medidas de curtose descrevem o GRAU DE ACHATAMENTO de uma distribuição: 
𝑴𝟒 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟒𝒏𝒊=𝟏 𝒏 
 
A principal desvantagem da utilização dos momentos está na dependência da unidade de medida dos 
dados. Por exemplo, se os dados estiverem em metros (𝑚), o momento centrado de terceira de ordem 
retornará em metros cúbicos (𝑚3). 
Para resolver esse problema, basta dividirmos o momento centrado de terceira ordem pela terceira 
potência do desvio padrão (𝒔𝟑), obtendo o que denominamos de momento ABSTRATO de terceira ordem 
ou coeficiente momento de assimetria (𝛼3): 
𝜶𝟑 = 𝑴𝟑𝒔𝟑 
 
Por fim, devemos mencionar a existência do momento ABSTRATO de quarta ordem, também conhecido 
como coeficiente momento de curtose (𝛼4), que resulta da divisão entre o momento centrado de quarta 
ordem e a quarta potência do desvio padrão (𝑠4): 
𝜶𝟒 = 𝑴𝟒𝒔𝟒 
 
 
 
Dado o seguinte conjunto de valores: {1, 2, 3, 4, 5} 
a) calcular o momento sobre a origem de primeira ordem: 𝑚1 = (1 − 0)1 + (2 − 0)1 + (3 − 0)1 + (4 − 0)1 + (5 − 0)15 
𝑚1 = (1)1 + (2)1 + (3)1 + (4)1 + (5)15 
𝑚1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 55 = 155 = 3 
 O momento sobre a origem de primeira ordem é equivalente à MÉDIA ARITMÉTICA do 
conjunto. 
 
b) calcular o momento centrado de segunda ordem: 𝑀2 = (1 − 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)25 
𝑀2 = (−2)2 + (−1)2 + (0)2 + (1)2 + (2)25 
𝑀2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 45 = 105 = 2 
 O momento centrado de segunda ordem é equivalente à VARIÂNCIA do conjunto. 
 
c) calcular o momento centrado de terceira ordem: 𝑀3 = (1 − 3)3 + (2 − 3)3 + (3 − 3)3 + (4 − 3)3 + (5 − 3)35 
𝑀3 = (−2)3 + (−1)3 + (0)3 + (1)3 + (2)35 
𝑀3 = (−8) + (−1) + 0 + 1 + 85 = 05 = 0 
 O momento centrado de terceira ordem é utilizado no cálculo do COEFICIENTE DE ASSIMETRIA. 
d) calcular o momento centrado de quarta ordem: 𝑀4 = (1 − 3)4 + (2 − 3)4 + (3 − 3)4 + (4 − 3)4 + (5 − 3)45 
𝑀4 = (−2)4 + (−1)4 + (0)4 + (1)4 + (2)45 
𝑀4 = 16 + 1 + 0 + 1 + 165 = 345 = 6,8 
 O momento centrado de quarta ordem é utilizado no cálculo do COEFICIENTE DE CURTOSE. 
 
 
 
Momento SOBRE A ORIGEM de PRIMEIRA ordem: é equivalente à MÉDIA ARITMÉTICA. 
 
Momento CENTRADO de PRIMEIRA ordem: é sempre à ZERO. 
Momento CENTRADO de SEGUNDA ordem: é equivalente à VARIÂNCIA. 
Momento CENTRADO de TERCEIRA ordem: é utilizado no cálculo do COEFICIENTE DE ASSIMETRIA. 
Momento CENTRADO de QUARTA ordem: é utilizado no cálculodo COEFICIENTE DE CURTOSE. 
 
Momento ABSTRATO de TERCEIRA ordem: é o próprio COEFICIENTE DE ASSIMETRIA. 
Momento ABSTRATO de QUARTA ordem: é o próprio COEFICIENTE DE CURTOSE. 
 
ASSIMETRIA 
Denominamos de assimetria o grau de afastamento de uma distribuição em relação ao eixo de simetria. 
Em uma distribuição simétrica, temos um único valor para a média, a moda e a mediana, isto é, as três 
medidas coincidem. Quando isso não acontece, a distribuição é dita assimétrica. 
 
Distribuição Simétrica 
Uma distribuição é simétrica quando possui um único valor para a moda, a média e a mediana. Ela tem 
associada a si uma curva de frequências unimodal que, em relação à linha vertical que passa pelo seu ponto 
mais alto (eixo de simetria), apresenta duas “caudas” simétricas. Nesse caso, as medidas estão localizadas 
no ponto central da distribuição. 
 
 
 
 
Distribuição Assimétrica 
Uma distribuição é assimétrica quando não possui um único valor para a moda, a média e a mediana. Ela 
tem associada a si uma curva de frequências unimodal que, em relação à linha vertical que passa pelo seu 
ponto mais alto, apresenta ou uma “cauda” mais longa para a esquerda (assimetria negativa), ou uma 
“cauda” mais longa para a direita (assimetria positiva). Nesse caso, a mediana sempre está localizada entre 
a moda, que corresponde ao ponto mais alto da curva; e a média, situada perto “cauda”. 
 
Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou Negativa) 
Dizemos que a assimetria é negativa quando os valores mais baixos das observações são predominantes, 
isto é, a curva de frequência tem uma “cauda” mais longa à esquerda do ponto que corresponde à frequência 
máxima. Assim, os desvios (em relação à média) negativos tendem a ser maiores que os desvios positivos. 
 
Nesse caso, o valor da média será menor que o da mediana que, por sua vez, será menor que o da moda: �̅� < 𝑴𝒅 < 𝑴𝒐 
 
Distribuição Assimétrica à Direita (ou Positiva) 
Dizemos que a assimetria é positiva quando os valores mais altos das observações são predominantes, isto 
é, a curva de frequência tem uma “cauda” mais longa à direita do ponto que corresponde à frequência 
máxima. Assim, os desvios (em relação à média) positivos tendem a ser maiores que os desvios negativos. 
 
Nesse caso, o valor da média será maior que o da mediana que, por sua vez, será maior que o da moda: �̅� > 𝑴𝒅 > 𝑴𝒐 
 
 
(CESPE/SEDF/2017) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que 
jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. A tabela a 
seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
Tendo como referência essas informações, julgue o seguinte item. 
A distribuição dos tempos T possui assimetria positiva. 
 
Comentários: 
A questão nos diz que os jovens assistem, em média, 6 horas de televisão. A mediana, por sua vez, pode ser 
encontrada a partir do valor do 2º quartil, sendo igual a 4 horas. Sabendo apenas disso, e usando as 
expressões apresentadas anteriormente, podemos concluir que a distribuição possui assimetria positiva, vez 
que: �̅� (6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) > 𝑀𝑑 (4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) > 𝑀𝑜 . 
 
Vejamos como ficaria o gráfico dessa distribuição: 
 
Gabarito: Certo. 
 
(CESPE/TELEBRAS/2015) 
 
Uma empresa coletou e armazenou em um banco de dados diversas informações sobre seus clientes, entre 
as quais estavam o valor da última fatura vencida e o pagamento ou não dessa fatura. Analisando essas 
informações, a empresa concluiu que 15% de seus clientes estavam inadimplentes. A empresa recolheu 
ainda dados como a unidade da Federação (UF) e o CEP da localidade em que estão os clientes. Do conjunto 
de todos os clientes, uma amostra aleatória simples constituída por 2.175 indivíduos prestou também 
informações sobre sua renda domiciliar mensal, o que gerou o histograma apresentado. 
Com base nessas informações e no histograma, julgue o item a seguir. 
A média da variável renda domiciliar mensal dos clientes é menor que a mediana. 
Comentários: 
Observando o gráfico, percebemos que o valor da média é maior que o valor da moda. Sabendo disso, e 
utilizando as expressões apresentadas anteriormente, concluímos que a distribuição é assimétrica à direita: �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 . 
Gabarito: Errado. 
 
(CESPE/TCE-PA/2016) 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o 
número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das 
informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A distribuição da variável X é simétrica em torno da média. 
Comentários: 
Temos cinco elementos na tabela, portanto, temos apenas um termo central. Olhando a tabela com atenção, 
percebemos que as frequências acima da frequência central são iguais às frequências abaixo dela, isto é, as 
duas partes são simétricas. Se desenharmos o gráfico dessa distribuição, percebemos com mais facilidade 
essa simetria: 
 
Gabarito: Certo. 
0 1 2 3 4
0
0,1
0,2
0,3
Coeficiente de Assimetria 
Os coeficientes de assimetria são usados para quantificar o desvio de uma distribuição em relação a uma 
distribuição simétrica. Por meio deles, podemos comparar duas ou mais distribuições diferentes e identificar 
a mais assimétrica. Isso porque, quanto maior o coeficiente, mais assimétrica será a curva. 
 
Coeficiente Momento de Assimetria 
O coeficiente momento de assimetria é definido como o quociente entre o momento centrado de terceira 
ordem (𝑴𝟑) e a RAIZ QUADRADA do momento centrado de segunda ordem (𝑴𝟐) ELEVADO AO CUBO. O 
coeficiente momento de assimetria é calculado por meio da seguinte fórmula: 
 
𝑨𝑴𝟑 = 𝑴𝟑√(𝑴𝟐)𝟑 = 𝑴𝟑𝒔𝟑 
 
em que 𝑠 é o desvio padrão da distribuição. 
 
O coeficiente momento de assimetria (𝛼3) também é denominado de terceiro momento abstrato: 
 
𝜶𝟑 = 𝑴𝟑𝒔𝟑 
 
No que diz respeito à simetria, podemos afirmar que: 
• a distribuição é simétrica se 𝛼3 = 0; 
• a distribuição é assimétrica positiva ou à direita se 𝛼3 > 0; 
• a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda se 𝛼3 < 0. 
 
 
Coeficientes de Pearson 
Os coeficientes de assimetria de Pearson facilitam a comparação de duas ou mais distribuições diferentes, 
assim como a identificação da distribuição mais assimétrica. Quanto MAIOR o coeficiente de assimetria de 
Pearson, MAIS ASSIMÉTRICA é a curva. 
 
Primeiro Coeficiente de Pearson 
O primeiro coeficiente de Pearson (𝑨𝑴𝒐) mede o afastamento da simetria, expressando a diferença entre 
a MÉDIA e a MODA em relação ao DESVIO-PADRÃO do grupo de observações. O resultado desse coeficiente 
é obtido com o uso da seguinte fórmula: 
 𝑨𝑴𝒐 = �̅� − 𝑴𝒐𝒔 
 
Em que: 𝐴𝑀𝑜 = coeficiente de assimetria; �̅� = média aritmética da distribuição; 𝑀𝑜 = mediana da distribuição; e 𝑠 = desvio padrão da distribuição. 
 
No que diz respeito à simetria, podemos afirmar que: 
• a distribuição é simétrica se 𝐴𝑀𝑜 = 0; 
• a distribuição é assimétrica positiva ou à direita se 𝐴𝑀𝑜 > 0; 
• a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda se 𝐴𝑀𝑜 < 0. 
 
Com relação à intensidade da assimetria, temos que: 
• a assimetria é fraca se 0 < |𝐴𝑀𝑜| < 0,15; 
• a assimetria é moderada se 0,15 < |𝐴𝑀𝑜| < 1 
• a assimetria é forte se |𝐴𝑀𝑜| > 1 
 
Segundo Coeficiente de Pearson 
O segundo coeficiente de Pearson (𝑨𝑴𝒅) também mede o afastamento da simetria, expressando a 
diferença entre a MÉDIA e a MEDIANA em relação ao DESVIO-PADRÃO do grupo de observações. Esse 
coeficiente é obtido a partir da substituição do valor da moda pela expressão que define a moda de Pearson 
(𝑀𝑜 = 3 × 𝑀𝑑 − 2 × �̅�) na fórmula do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson, isto é: 
 𝐴𝑀𝑑 = �̅� − 𝑀𝑜𝑠 
 𝐴𝑀𝑑 = �̅� − (3 × 𝑀𝑑 − 2 × �̅�)𝑠 
 𝐴𝑀𝑑 = 3 × �̅� − 3 × 𝑀𝑑𝑠 
 𝑨𝑴𝒅 = 𝟑 × (�̅� − 𝑴𝒅)𝒔 
 
Em que: 𝐴𝑀𝑑 = coeficiente de assimetria; �̅� = média aritmética dadistribuição; 𝑀𝑑 = mediana da distribuição; 𝑠 = desvio padrão da distribuição. 
 
No que diz respeito à simetria, podemos afirmar que: 
• a distribuição é simétrica se 𝐴𝑀𝑑 = 0; 
• a distribuição é assimétrica positiva ou à direita se 𝐴𝑀𝑑 > 0; 
• a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda se 𝐴𝑀𝑑 < 0. 
 
Com relação à intensidade da assimetria, temos que: 
• a assimetria é fraca se 0 < |𝐴𝑀𝑑| < 0,15; 
• a assimetria é moderada se 0,15 < |𝐴𝑀𝑑| < 1 
• a assimetria é forte se |𝐴𝑀𝑑| > 1 
Coeficiente Quartílico de Assimetria 
O coeficiente quartílico de assimetria (ou critério de Bowley) mede o afastamento da simetria relacionando 
o desvio quartílico superior (𝑄3 − 𝑀𝑑) com o desvio quartílico inferior (𝑀𝑑 − 𝑄1) de uma distribuição de 
frequências. 
 
 
 
Nesse caso, utilizamos a seguinte fórmula: 
 𝑨𝒒 = (𝑸𝟑 − 𝑴𝒅) − (𝑴𝒅 − 𝑸𝟏)𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 = 𝑸𝟑 − 𝟐 × 𝑴𝒅 + 𝑸𝟏𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 
 
Quando a distribuição é simétrica, 𝑄1 e 𝑄3 são equidistantes de 𝑀𝑑, o que vale dizer que a soma de 𝑄1 e 𝑄3 
é igual a 2 vezes 𝑀𝑑. Dessa forma, quando a distribuição é simétrica, a relação se anula, ou seja, o resultado 
é igual a zero: 
 𝐴𝑞 = (𝑄3 − 𝑀𝑑) − (𝑀𝑑 − 𝑄1)𝑄3 − 𝑄1 = 0𝑄3 − 𝑄1 = 0 
 
Já, quando a distribuição é assimétrica, 𝑄1 e 𝑄3 não são equidistantes de 𝑀𝑑, o que resulta em um valor 
diferente de zero na expressão. Se a distância de 𝑄3 em relação a 𝑀𝑑 for maior que a distância de 𝑄1 em 
relação a 𝑀𝑑, a expressão resultará em um valor positivo, até o valor máximo de +1, indicando uma 
assimetria à direita: 
 𝐴𝑞 = (𝑄3 − 𝑄1) − (𝑄1 − 𝑄1)𝑄3 − 𝑄1 = (𝑄3 − 𝑄1)𝑄3 − 𝑄1 = +1 
 
Se a distância de 𝑄3 em relação a 𝑀𝑑 for menor que a distância de 𝑄1 em relação a 𝑀𝑑, a expressão resultará 
em um valor negativo, até o valor mínimo de −1, indicando uma assimetria à esquerda: 
 𝐴𝑞 = (𝑄3 − 𝑄3) − (𝑄3 − 𝑄1)𝑄3 − 𝑄1 = −(𝑄3 − 𝑄1)𝑄3 − 𝑄1 = −1 
Assim, o intervalo de variação do coeficiente quartílico de assimetria é: 
 −𝟏 ≤ 𝑨𝒒 ≤ +𝟏 
 
No que diz respeito à simetria, podemos afirmar que: 
• a distribuição é simétrica se 𝐴𝑞 = 0; 
• a distribuição é assimétrica positiva ou à direita se 𝐴𝑞 > 0; 
• a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda se 𝐴𝑞 < 0. 
 
CURTOSE 
Denominamos de curtose o grau de achatamento (ou afilamento) de uma distribuição em relação a uma 
distribuição padrão (chamada curva normal padrão). Esse coeficiente mede o agrupamento de valores da 
distribuição em torno do centro. Quanto mais agrupados em torno do centro, maior será o valor da curtose. 
De acordo com o grau da curtose, podemos classificar as curvas de frequência em três tipos: 
• mesocúrtica: é a curva chamada de curva normal padrão; 
• leptocúrtica: a medida de curtose é maior do que a da distribuição normal. A curva é mais alta e mais 
fechada (ou mais afilada) que a curva da distribuição normal; 
• platicúrtica: a medida de curtose é menor do que a da distribuição normal. A curva é mais aberta (ou 
mais achatada) que a curva da distribuição normal. 
 
 
 
 
(FCC/TRT 14ª Região/2018) Analisando uma curva de frequência de uma distribuição estatística, observa-
se que ela: 
I) Unimodal. 
II) Apresenta a moda menor que a mediana e a mediana menor que a média. 
III) Possui os dados da distribuição fortemente concentrados em torno da moda. 
Então, essa distribuição 
a) É assimétrica à esquerda e caracteriza-se como platicúrtica. 
b) É assimétrica à direita e caracteriza-se como leptocúrtica. 
c) Apresenta uma assimetria negativa e caracteriza-se como platicúrtica. 
d) É assimétrica à esquerda e caracteriza-se como leptocúrtica. 
e) É assimétrica à direita e caracteriza-se como platicúrtica. 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
- se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜, a curva da distribuição é simétrica; 
- se �̅� > 𝑴𝒅 > 𝑴𝒐, a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
- se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜, a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
 
Com relação à curtose, a distribuição pode ser classificada em: 
- mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal; 
- platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais achata; 
- leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais afilada. 
Analisando enunciado, concluímos que a distribuição é assimétrica positiva ou à direita, caracterizada como 
leptocúrtica. 
 
Gabarito: B. 
 
(FCC/CNMP/2015) Considere uma curva de frequência de uma distribuição estatística unimodal e as 
seguintes afirmações: 
I) Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada. 
II) A moda é menor que a mediana e a mediana é menor que a média. 
Se a distribuição satisfaz I e II, então trata-se de uma distribuição 
a) Platicúrtica e assimétrica à esquerda. 
b) Platicúrtica e assimétrica à direita. 
c) Leptocúrtica e assimétrica à esquerda. 
d) Leptocúrtica e assimétrica à direita. 
e) Leptocúrtica e simétrica. 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
- se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜, a curva da distribuição é simétrica; 
- se �̅� > 𝑴𝒅 > 𝑴𝒐, a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
- se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜, a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
 
Com relação à curtose, a distribuição pode ser classificada em: 
- mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal; 
- platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais achata; 
- leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais afilada. 
Analisando enunciado, concluímos que a distribuição é assimétrica positiva ou à direita, caracterizada como 
leptocúrtica. 
 
Gabarito: D. 
 
(FCC/TRT 3ª Região/2015) Uma distribuição estatística unimodal, com uma curva de frequência 
platicúrtica e sendo a média inferior à mediana e a mediana inferior à moda, caracteriza uma distribuição 
assimétrica à 
a) Direita e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada 
comparando com a curva normal. 
b) Direita e com os dados fracamente concentrados em torno da moda apresentando uma curva achatada 
comparando com a curva normal. 
c) Direita e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva achatada 
comparando com a curva normal. 
d) Esquerda e com os dados fracamente concentrados em torno da moda apresentando uma curva achatada 
comparando com a curva normal. 
e) Esquerda e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada 
comparando com a curva normal. 
 
Comentários: 
 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
- se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜, a curva da distribuição é simétrica; 
- se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜, a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
- se �̅� < 𝑴𝒅 < 𝑴𝒐, a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
 
Com relação à curtose, a distribuição pode ser classificada em: 
- mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal; 
- platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais achata; 
- leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais afilada. 
Analisando enunciado, concluímos que a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda, caracterizada 
como platicúrtica. 
 
Gabarito: D. 
 
 
Coeficiente Percentílico de Curtose 
Esse coeficiente é definido como o quociente entre a amplitude semi-interquartílica e a amplitude entreo 
10º e o 90º percentis: 𝑪𝑷 = 𝑫𝒒𝑷𝟗𝟎 − 𝑷𝟏𝟎 
em que: 𝐶𝑃 = coeficiente de curtose; 𝐷𝑞 = amplitude semi-interquartílica; 𝑃10 = décimo percentil; e 𝑃90 = nonagésimo percentil. 
 
A amplitude semi-interquartílica é a diferença entre o terceiro quartil (𝑄3) e o primeiro quartil (𝑄1): 
𝑫𝒒 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏𝟐 
O valor do coeficiente percentílico de curtose para a curva normal é 𝟎, 𝟐𝟔𝟑. 
 
Com relação à intensidade da assimetria, temos que: 
• a distribuição é leptocúrtica se 𝐶𝑃 < 0,263; 
• a distribuição é mesocúrtica se 𝐶𝑃 = 0,263; e 
• a distribuição é platicúrtica se 𝐶𝑃 > 0,263. 
 
 
Coeficiente Percentílico 
de Curtose 
Curva 
𝑪𝑷 < 𝟎, 𝟐𝟔𝟑 Leptocúrtica 𝑪𝑷 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟑 Mesocúrtica 𝑪𝑷 > 𝟎, 𝟐𝟔𝟑 Platicúrtica 
 
 
(CESPE/SEDF/2017) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que 
jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. 
A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
Tendo como referência essas informações, julgue o seguinte item. 
O índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, o que sugere que a distribuição dos tempos T seja 
leptocúrtica. 
 
Comentários: 
Para o coeficiente percentílico de curtose, temos: 𝐶 < 0,263, então a distribuição é leptocúrtica 𝐶 = 0,263, então a distribuição é mesocúrtica 𝐶 > 0,263, então a distribuição é platicúrtica. 
 
Como o enunciado informou que o índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, já poderíamos afirmar 
que a distribuição é platicúrtica, pois 𝐶 > 0,263. 
 
De todo modo, podemos calcular o coeficiente de curtose por meio da seguinte expressão: 𝐶𝑃 = 𝑄3 − 𝑄12 × (𝑃90 − 𝑃10) = 𝑄3 − 𝑄12 × (𝐷9 − 𝐷1) 
Então: 𝐶𝑃 = 8 − 22 × (10 − 1) = 618 = 13 = 0,333 
Logo, a distribuição dos tempos é platicúrtica. 
Gabarito: Errado. 
(CESPE/FUB/2015) 
 
Internet: <http://portal.inep.gov.br> (com adaptações). 
O conceito médio da graduação (G) é um indicador calculado pelo INEP (Instituto Nacional de Estudos e 
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) para a avaliação da qualidade dos cursos de graduação das 
instituições de ensino superior. A figura apresentada mostra, esquematicamente, as distribuições desse 
indicador nas instituições privadas e públicas, referentes ao ano de 2013, e a tabela apresenta algumas 
estatísticas descritivas referentes a essas distribuições. 
Com base nessas informações, julgue o próximo item. 
O coeficiente percentílico de curtose da distribuição do indicador G nas instituições privadas é inferior ao 
coeficiente percentílico de curtose desse mesmo indicador nas instituições públicas. 
 
Comentários: 
O coeficiente percentílico é a razão do desvio interquartílico com a amplitude dos decis. Para resolver a 
questão, vamos ter que calcular os coeficientes percentílicos das instituições públicas e das privadas usando 
a fórmula a seguir: 𝐶𝑃 = 𝑄3 − 𝑄12 × (𝐷9 − 𝐷1) 
Conforme a tabela dada na questão, para as instituições públicas, temos que 𝑄3 = 3,1; 𝑄1 = 2,5; 𝐷9 = 3,4 
e 𝐷1 = 2,3. Assim, o coeficiente percentílico de curtose das instituições públicas é: 𝐶𝑃𝑝𝑢𝑏 = 3,1 − 2,52 × (3,4 − 2,3) = 0,273 
Para as instituições privadas, temos que 𝑄3 = 2,9; 𝑄1 = 2,3; 𝐷9 = 3,1 e 𝐷1 = 2,2. Portanto, o coeficiente 
percentílico de curtose das instituições privadas é: 𝐶𝑃𝑝𝑟𝑖 = 2,9 − 2,32 × (3,1 − 2,2) = 0,33 
Logo, 𝐶𝑃𝑝𝑟𝑖 > 𝐶𝑃𝑝𝑢𝑏. 
 
Gabarito: Errado. 
Coeficiente Momento de Curtose 
O coeficiente momento de curtose é definido como o quociente entre o momento centrado de quarta 
ordem (𝑴𝟒) e o quadrado do momento centrado de segunda ordem (𝑴𝟐). O coeficiente momento de 
curtose é calculado por meio da seguinte fórmula: 
 𝑨𝑴𝟒 = 𝑴𝟒(𝑴𝟐)𝟐 = 𝑴𝟒𝒔𝟒 
em que 𝑠 é o desvio padrão da distribuição. 
 
O coeficiente momento de curtose (𝛼4) também é denominado de momento abstrato de quarta ordem: 
 𝜶𝟒 = 𝑴𝟒𝒔𝟒 
 
O valor do coeficiente momento de curtose para a curva normal é 𝟑. 
 
Com relação à intensidade da assimetria, temos que: 
• a distribuição é platicúrtica se 𝛼4 < 3; 
• a distribuição é mesocúrtica se 𝛼4 = 3; e 
• a distribuição é leptocúrtica se 𝛼4 > 3. 
 
 
Coeficiente Momento 
de Curtose 
Curva 
𝒂𝟒 < 𝟑 Platicúrtica 𝒂𝟒 = 𝟑 Mesocúrtica 𝒂𝟒 > 𝟑 Leptocúrtica 
 
RESUMO DA AULA 
MOMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Média aritmética da 𝒕-ésima potência dos desvios obtidos em relação à média ou a um ponto arbitrário, 𝒂, de uma distribuição de frequências: 
𝑴𝒕 = ∑ (𝒙𝒊 − 𝒂)𝒕𝒏𝒊=𝟏 𝒏 
Os quatro primeiros momentos descrevem as informações sobre média, variância, assimetria e curtose de 
uma distribuição. 
Momento sobre a origem de ordem 𝒕: 
𝒎𝒕 = ∑ (𝒙𝒊 − 𝟎)𝒕𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = ∑ 𝒙𝒊𝒕𝒏𝒊=𝟏𝒏 
O primeiro momento sobre a origem é a própria média: 
𝒎𝟏 = ∑ 𝒙𝒊𝟏𝒏𝒊=𝟏𝒏 = ∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏𝒏 = �̅� 
O momento centrado de ordem 𝑡 (adotaremos a letra 𝑴 maiúscula para representá-lo): 
𝑴𝒕 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝒕𝒏𝒊=𝟏 𝒏 
Valor do momento centrado de primeira ordem sempre será zero. 
𝑴𝟏 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟏𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = 𝟎 
O momento centrado de segunda ordem é equivalente à variância das observações: 
𝑴𝟐 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟐𝒏𝒊=𝟏 𝒏 = 𝝈𝟐 
O momento centrado de terceira ordem: 
𝑴𝟑 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟑𝒏𝒊=𝟏 𝒏 
O momento centrado de quarta ordem: 
𝑴𝟒 = ∑ (𝒙𝒊 − �̅�)𝟒𝒏𝒊=𝟏 𝒏 
Momento abstrato de terceira ordem ou coeficiente momento de assimetria (𝛼3): 
𝜶𝟑 = 𝑴𝟑𝒔𝟑 
Momento abstrato de quarta ordem: 
𝜶𝟒 = 𝑴𝟒𝒔𝟒 
ASSIMETRIA 
Assimetria é o grau de afastamento de uma distribuição em relação ao eixo de simetria. 
 
Distribuição Simétrica 
Uma distribuição é simétrica quando possui um único valor para a moda, a média e a mediana: 
 
 
 
 
Distribuição Assimétrica 
Uma distribuição é assimétrica quando não possui um único valor para a moda, a média e a mediana. 
 
Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou Negativa) 
A assimetria é negativa quando os valores mais baixos das observações são predominantes: 
 
�̅� < 𝑴𝒅 < 𝑴𝒐 
 
Distribuição Assimétrica à Direita (ou Positiva) 
A assimetria é positiva quando os valores mais altos das observações são predominantes: 
 �̅� > 𝑴𝒅 > 𝑴𝒐 
 
Coeficiente de Assimetria 
 
 
Coeficiente Momento de Assimetria 
𝑨𝑴𝟑 = 𝑴𝟑√(𝑴𝟐)𝟑 = 𝑴𝟑𝒔𝟑 
Em que 𝒔 é o desvio padrão da distribuição. 
 
O coeficiente momento de assimetria (𝜶𝟑) também é denominado de terceiro momento abstrato: 
𝜶𝟑 = 𝑴𝟑𝒔𝟑 
 
O intervalo de variação do coeficiente momento de assimetria é: −𝟏 ≤ 𝜶𝟑 ≤ +𝟏 
 
Com relação à simetria: 
 
Com relação à intensidade da assimetria: 
 
 
são usados para quantificar o desvio de 
uma distribuição em relação a uma 
distribuição simétrica 
Quanto maior o coeficiente, 
mais assimétrica será a curva. 
𝜶𝟑 = 𝟎. 𝜶𝟑 < 𝟎 𝜶𝟑 > 𝟎. 
𝟎 < |𝜶𝟑| < 𝟎, 𝟏𝟓 |𝜶𝟑| > 𝟏 𝟎, 𝟏𝟓 < |𝜶𝟑| < 𝟏 
Coeficientes de Pearson 
 
 
Primeiro Coeficiente de Pearson 
O primeiro coeficiente de Pearson (𝑨𝑴𝒐) mede o afastamento da simetria, expressando a diferença entre 
a média e a moda em relação ao desvio-padrão do grupo de observações. 
 𝑨𝑴𝒐 = �̅� − 𝑴𝒐𝒔 
 
Com relação à simetria: 
 
Com relação à intensidade da assimetria: 
 
 
 
Facilitam a comparação de duas ou mais 
distribuições diferentes, e identificam a 
distribuição mais assimétrica uma 
distribuição simétrica. 
Quanto maior o coeficiente de 
assimetria de Pearson, mais 
assimétrica é a curva. 
𝑨𝑴𝒐 = 𝟎; 𝑨𝑴𝒐 < 𝟎 𝑨𝑴𝒐 > 𝟎; 
𝟎 < |𝑨𝑴𝒐| < 𝟎, 𝟏𝟓 |𝑨𝑴𝒐| > 𝟏 𝟎, 𝟏𝟓 < |𝑨𝑴𝒐| < 𝟏 
Segundo Coeficiente de Pearson 
O segundo coeficiente de Pearson (𝑨𝑴𝒅) mede o afastamento da simetria, expressando a diferença entre 
a média e a mediana em relação ao desvio-padrão do grupo de observações: 
 𝑨𝑴𝒅 = 𝟑 × (�̅� − 𝑴𝒅)𝒔 
 
Com relação à simetria: 
 
Com relação à intensidadeda assimetria: 
 
 
Coeficiente Quartílico de Assimetria 
 
Fórmula: 𝑨𝒒 = (𝑸𝟑 − 𝑴𝒅) − (𝑴𝒅 − 𝑸𝟏)𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 = 𝑸𝟑 − 𝟐 × 𝑴𝒅 + 𝑸𝟏𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 
 
O intervalo de variação do coeficiente quartílico de assimetria é: −𝟏 ≤ 𝑨𝒒 ≤ +𝟏 
𝑨𝑴𝒅 = 𝟎; 𝑨𝑴𝒅 < 𝟎 𝑨𝑴𝒅 > 𝟎; 
𝟎 < |𝑨𝑴𝒅| < 𝟎, 𝟏𝟓 |𝑨𝑴𝒅| > 𝟏 𝟎, 𝟏𝟓 < |𝑨𝑴𝒅| < 𝟏 
Com relação à simetria: 
 
Com relação à intensidade da assimetria: 
 
 
CURTOSE 
Denominamos de curtose o grau de achatamento (ou afilamento) de uma distribuição em relação a uma 
distribuição padrão (chamada curva normal padrão). 
Tipos Definição 
Mesocúrtica A curva chamada de curva normal padrão. 
Leptocúrtica 
A curva é mais alta e mais fechada (ou mais 
afilada) que a curva da distribuição normal. 
Platicúrtica 
A curva é mais aberta (ou mais achatada) 
que a curva da distribuição normal. 
 
 
 
𝑨𝒒 = 𝟎; 𝑨𝒒 < 𝟎 𝑨𝒒 > 𝟎; 
𝟎 < |𝑨𝒒| < 𝟎, 𝟐𝟎 |𝑨𝒒| > 𝟏 𝟎, 𝟐𝟎 < |𝑨𝒒| < 𝟏 
Coeficiente Percentílico de Curtose 
Esse coeficiente é definido como o quociente entre a amplitude semi-interquartílica e a amplitude entre o 
10º e o 90º percentis: 𝑪𝑷 = 𝑫𝒒𝑷𝟗𝟎 − 𝑷𝟏𝟎 
A amplitude semi-interquartílica é a diferença entre o terceiro quartil (𝑸𝟑) e o primeiro quartil (𝑸𝟏): 
𝑫𝒒 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏𝟐 
 
Coeficiente Percentílico 
de Curtose 
Curva 
𝑪𝑷 < 𝟎, 𝟐𝟔𝟑 Leptocúrtica 𝑪𝑷 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟑 Mesocúrtica 𝑪𝑷 > 𝟎, 𝟐𝟔𝟑 Platicúrtica 
Coeficiente Momento de Curtose 
O coeficiente momento de curtose é definido como o quociente entre o momento centrado de quarta ordem 
(𝑀4) e o quadrado do momento centrado de segunda ordem (𝑀2). 𝑨𝑴𝟒 = 𝑴𝟒(𝑴𝟐)𝟐 = 𝑴𝟒𝒔𝟒 
O coeficiente momento de curtose (𝛼4) também é denominado de momento abstrato de quarta ordem: 𝜶𝟒 = 𝑴𝟒𝒔𝟒 
 
Coeficiente Momento 
de Curtose 
Curva 
𝒂𝟒 < 𝟑 Platicúrtica 𝒂𝟒 = 𝟑 Mesocúrtica 𝒂𝟒 > 𝟑 Leptocúrtica 
 
QUESTÕES COMENTADAS 
Momentos de uma Distribuição de Frequências 
1. (CESPE/TELEBRAS/2022) Com respeito ao conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 1, 3}, julgue o item que 
se segue. 
Se 𝜇3 representa o terceiro momento amostral centrado na média, então 𝜇3 > 0, o que sugere que a 
distribuição seja assimétrica à direita. 
 
Comentários: 
A partir do conjunto fornecido no enunciado, começamos calculando a média: 𝜇 = 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 36 = 66 = 1 
Agora, calculamos o terceiro momento central, temos: 
𝜇3 =∑(𝑥𝑖 − 𝜇)366
𝑖=1 = (−1)3 + (−1)3 + 236 = (−1) + (−1) + 86 = 66 = 1 
Como 𝜇3 > 0, o terceiro momento central sugere uma assimetria positiva (à direita). 
Gabarito: Certo. 
QUESTÕES COMENTADAS 
Assimetria 
1. (CESPE/TELEBRAS/2022) Com respeito ao conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 1, 3}, julgue o item que 
se segue. 
Como a média amostral é igual à mediana amostral, a distribuição em tela pode ser considerada como 
simétrica em torno da média. 
 
Comentários: 
A média aritmética é dada pela soma dos valores dividida pela quantidade de elementos do conjunto: �̅� = 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 36 = 1 
Como o conjunto possui um número par de elementos, a mediana é determinada pela média dos dois 
termos centrais, estando o conjunto ordenado: 𝑀𝑑 = 1 + 12 = 1 
Assim, a média amostral é igual à mediana amostral. Além disso, a moda também é igual a 1. Portanto, 
temos uma situação em que a média é igual à mediana e igual à moda. 
A banca considerou que a assertiva está certa, mas está errada, conforme veremos a seguir. A média 
coincidir com a mediana e com a moda não implica necessariamente na simetria da distribuição em 
torno da média. O inverso, sim, é válido: se tivermos uma distribuição simétrica, também vamos 
verificar média = mediana = moda. 
Vamos calcular o coeficiente momento de assimetria. Começando pela média: 𝜇 = 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 36 = 66 = 1 
Para o terceiro momento central, temos: 
𝑀3 = ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)366
𝑖=1 = (−1)3 + (−1)3 + 236 = (−1) + (−1) + 86 = 66 = 1 
Para desvio padrão, temos: 
𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)266
𝑖=1 = √(−1)2 + (−1)2 + 226 = √66 = 1 
O coeficiente momento de assimetria é: 
𝛼3 = 𝑀3𝜎3 = 11 = 1 
Como 𝛼3>0, o coeficiente momento de assimetria sugere uma assimetria à direita. 
Gabarito: Errado. 
 
2. (CESPE/PG-DF/2021) 
Estatística X, em R$ milhões 
Mínimo 0,5 
Primeiro Quartil (Q1) 1 
Segundo Quartil (Q2) 2 
Terceiro Quartil (Q3) 5 
Máximo 20 
O quadro apresentado mostra estatísticas descritivas produzidas por um estudo acerca de 
despesas públicas (X, em R$ milhões) ocorridos no ano de 2019 em uma amostra aleatória 
simples de 100 contratos. 
Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 
O coeficiente quartílico de assimetria, também conhecido como coeficiente de assimetria de Bowley, foi 
igual a 0,5. 
 
Comentários: 
O coeficiente quartílico de assimetria (ou critério de Bowley) mede o afastamento da simetria 
relacionando o desvio quartílico superior (𝑄3 − 𝑀𝑑) com o desvio quartílico inferior (𝑀𝑑 − 𝑄1) de uma 
distribuição de frequências. Nesse caso, utilizamos a fórmula: 𝐴𝑞 = (𝑄3 − 𝑀𝑑) − (𝑀𝑑 − 𝑄1)𝑄3 − 𝑄1 = 𝑄3 − 2 × 𝑀𝑑 + 𝑄1𝑄3 − 𝑄1 
Assim, basta aplicarmos a fórmula acima usando os valores apresentados no enunciado: 𝐴𝑞 = 5 − 2 × 2 + 15 − 1 
𝐴𝑞 = 24 = 0,5 
Gabarito: Certo. 
 
3. (FGV/IMBEL/2021) A distribuição de probabilidades do tempo de entrega de um produto 
possui uma assimetria positiva. Desta forma, para essa distribuição espera-se que haja a 
seguinte relação 
a) média > moda > mediana. 
b) média > mediana > moda. 
c) mediana > média > moda. 
d) mediana > moda > média. 
e) moda > média > mediana. 
 
Comentários: 
A assimetria é positiva quando os valores mais altos das observações são predominantes, isto é, a curva de frequência tem uma “cauda” mais longa à direita do ponto que corresponde à frequência máxima. 
Nesse caso, o valor da média será maior que o da mediana que, por sua vez, será maior que o da moda: �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 
Gabarito: B. 
 
4. (VUNESP/PB Saúde/2021) Dado que uma população formada pelos pesos dos estudantes em 
uma escola apresenta uma distribuição unimodal caracterizando uma curva assimétrica à 
esquerda, é correto afirmar que 
a) os valores dos elementos da população não estão fortemente concentrados em torno da mediana. 
b) os valores dos elementos da população não estão fortemente concentrados em torno da moda. 
c) a respectiva média aritmética é inferior à mediana, e a mediana é inferior à moda. 
d) tanto a moda quanto a mediana são inferiores à média aritmética. 
e) esta distribuição de frequência é denominada de leptocúrtica. 
 
Comentários: 
A assimetria é dita negativa (ou à esquerda) quando os valores mais baixos das observações são predominantes, isto é, a curva de frequência tem uma “cauda” mais longa à esquerda do ponto que 
corresponde à frequência máxima. Nesse caso, o valor da média será menor que o da mediana que, por 
sua vez, será menor que o da moda: �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 
A assimetria é dita positiva (ou à direita) quando os valores mais altos das observações são predominantes, isto é, a curva de frequência tem uma “cauda” mais longa à direita do ponto que 
corresponde à frequência máxima. Nesse caso, o valor da média será maior que o da mediana que, por 
sua vez, será maior que o da moda: �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 
Gabarito: C. 
 
5. (CESPE/SEFAZ DF/2020) A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que 
a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a 
variável X sejam -1 e +4, julgue o item que se segue. 
A distribuição da variável X é simétrica em torno da sua média amostral. 
 
Comentários: 
Seja 𝑝 a proporção amostral de valores iguais a 4 e (1 − 𝑝) a proporção de valores iguais a −1. Para obter 
a média aritmética, multiplicamos cada valor por sua frequência relativa, e depois somamos: �̅� = 4 × 𝑝 + (−1) × (1 − 𝑝) 
O exercício disse que a média vale 3: 3 = 4𝑝 + (−1) × (1 − 𝑝) 
Aplicando a propriedade distributiva: 3 = 4𝑝 − 1 + 𝑝 
Vou trazer as constantespara o lado esquerdo da igualdade: 3 + 1 = 4𝑝 + 𝑝 4 = 5𝑝 𝑝 = 45 𝑝 = 0,8 
Portanto, 80% dos valores da variável X são iguais a 4, enquanto 20% são iguais a -1. É evidente que, se 
a distribuição fosse simétrica, esperaríamos aproximadamente metade das observações sendo igual a -
1 e a outra metade sendo igual a 4. Como isso não ocorreu, temos um indicativo de que a distribuição é 
assimétrica. 
Gabarito: Errado. 
 
6. (FUNDATEC/Pref. POA/2020) Em uma distribuição assimétrica negativa, a moda, mediana e 
média se distanciam entre si. 
 
Identifique-as na figura abaixo. 
a) I – mediana; II – média; III – moda. 
b) I – média; II – moda; III – mediana. 
c) I – média; II – mediana; III – moda. 
d) I – mediana; II – moda; III – média. 
e) I – moda; II – mediana; III – média. 
 
Comentários: 
A assimetria é dita negativa (ou à esquerda) quando os valores mais baixos das observações são 
predominantes, isto é, a curva de frequência tem uma “cauda” mais longa à esquerda do ponto que 
corresponde à frequência máxima. Nesse caso, o valor da média será menor que o da mediana que, por 
sua vez, será menor que o da moda: �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 
Gabarito: C. 
 
7. (VUNESP/UNICAMP/2019) Considere Mé, Mo e Me, respectivamente, como a média, a moda e 
a mediana de uma variável, e assinale a alternativa que contém a relação entre essas medidas de 
posição em uma distribuição assimétrica negativa. 
a) Mé < Mo < Me. 
b) Mé < Me < Mo. 
c) Me < Mo < Mé. 
d) Me < Mé < Mo. 
e) Mo < Me < Mé. 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
Gabarito: B. 
 
8. (CESPE/IPHAN/2018) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada 
para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de dispersão, as de 
assimetria e as de curtose. 
 
Comentários: 
São definidas como medidas descritivas: as medidas de posição, de tendência central (média, mediana 
e moda), de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância), as separatrizes (valores 
que dividem as séries em partes iguais, quartis, decis e percentis), as de assimetria e as de curtose. 
Gabarito: Certo. 
 
9. (FGV/TJ AL/2018) Para fins de elaboração de um relatório gerencial à Presidência do TJ/AL, 
estão disponíveis as seguintes informações do andamento de processos nas diversas varas 
daquele tribunal: 
Tempo de 
Tramitação 
0 a 10 10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50 
Número de 
Processos 
8 16 29 32 15 
O tempo de tramitação está expresso em meses e os intervalos de classe incluem o limite inferior 
e excluem o limite superior. Tendo em conta a distribuição acima e as técnicas de cálculo para 
dados grupados, é correto afirmar que 
a) Média, mediana e moda estão no mesmo intervalo de classe; 
b) O desvio-interquartílico é maior do que 30; 
c) A distribuição é assimétrica à direita; 
d) A moda grupada está mais próxima de 30 do que de 40; 
e) A média é igual a 29. 
 
Comentários: 
Para resolvermos a questão, iremos, inicialmente, criar uma tabela com as frequências acumuladas: 
Tempo de tramitação (𝒙) 
Ponto Médio 
(𝑷𝑴𝒊) 
Frequência 
Relativa (𝒇𝒊) 
Frequência 
Acumulada (𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎) 
(𝑷𝑴𝒊 x 𝒇𝒊) 
0 𝑎 10 5 8 8 5 𝑥 8 = 40 10 𝑎 20 15 16 24 15 × 16 = 240 20 𝑎 30 25 29 53 25 × 29 = 725 30 𝑎 40 35 32 85 35 × 32 = 1120 40 𝑎 50 45 15 100 45 × 15 = 675 𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟏𝟎𝟎 2.800 
O total de processos é 100, logo, a mediana estará na posição 50. A coluna de frequências acumuladas 
indica que a mediana estará na classe de 20 a 30. A moda, por sua vez, é o termo que mais se repete na 
amostra, isto é, o termo de maior frequência. Assim, a moda estará na classe 30 a 40. Sabendo disso, já 
conseguimos descartar a letra A. 
O desvio interquartílico é dado pela diferença entre 𝑄3 e 𝑄1. Se temos 100 elementos, o primeiro quartil 
estará na posição 25 e o terceiro quartil na posição 75. Percorrendo a coluna de frequências acumuladas, 
percebemos que 𝑄1 está na classe 20 a 30; e 𝑄3 está na classe 30 a 40. Portanto, é impossível que o 
desvio interquartílico seja maior que 30. Logo, a letra B está errada. 
Conforme vimos na acima, a moda é necessariamente maior que a mediana. Isso caracteriza uma 
distribuição assimétrica à esquerda. Desse modo, a letra C está errada. 
Vamos calcular a moda: 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖𝑛𝑓 + 𝑓𝑀 − 𝑓𝑎𝑛𝑡(𝑓𝑀 − 𝑓𝑎𝑛𝑡) + (𝑓𝑀 − 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡) × ℎ 
em que: 𝑀𝑜 = moda; 𝑙𝑖𝑛𝑓 = limite inferior da classe modal; 𝑓𝑀 = frequência absoluta da classe modal; 𝑓𝑎𝑛𝑡 = frequência absoluta anterior à classe modal; 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 = frequência absoluta posterior à classe modal; 
ℎ = amplitude da classe. 𝑀𝑜 = 30 + 32 − 29(32 − 29) + (32 − 15) × 10 𝑀𝑜 = 31,5 
Portanto, a letra D está correta. 
Para eliminar a letra E, calculamos a média multiplicando os pontos médios pelas frequências reativas 
simples. Depois, basta dividirmos os totais. O resultado é: �̅� = 2800100 = 28 
Gabarito: D. 
 
10. (CESPE/SEDF/2017) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, 
mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 
horas por dia. A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
Distribuição dos 
tempos gastos 
assistindo televisão (T, 
em horas) 
1° quartil 2 
2° quartil 4 
3° quartil 8 
1° decil 1 
9° decil 10 
Tendo como referência essas informações, julgue o seguinte item. 
A distribuição dos tempos T possui assimetria positiva. 
 
Comentários: 
A questão nos diz que os jovens assistem, em média, 6 horas de televisão. A mediana, por sua vez, pode 
ser encontrada a partir do valor do 2º quartil, sendo igual a 4 horas. Sabendo apenas disso, e usando as 
expressões apresentadas anteriormente, podemos concluir que a distribuição possui assimetria 
positiva, vez que: 
𝑀𝑜 < 𝑀𝑑 (4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) < �̅� (6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠). 
Gabarito: Certo. 
 
11. (FGV/IBGE/2017) Para uma distribuição de frequências apenas parcialmente conhecida são 
fornecidas as seguintes estatísticas, 𝑴𝒐(𝑿) = 𝟏𝟗, 𝑬(𝑿²) = 𝟔𝟐𝟓 𝒆 𝑴𝒆(𝑿) = 𝟐𝟐 
Sendo Mo, a moda e Me, a mediana dos dados. Sabe-se ainda que a distribuição é unimodal. 
 Esse conjunto bem restrito de informações seria compatível apenas com: 
a) A distribuição é assimétrica à esquerda; 
b) A média da distribuição, md(x), é igual a 27; 
c) A variância da distribuição é igual a 500; 
d) O coeficiente de variação, cv(x), é igual a 7,5; 
e) A média da distribuição, md(x), é igual a 23. 
 
Comentários: 
Para resolver a questão, precisamos lembrar da classificação de uma distribuição quanto à assimetria: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
A questão nos informa que a mediana é maior que a moda, 𝑀𝑑 = 22 e 𝑀𝑜 = 19, logo, a distribuição é 
assimétrica à direita. Portanto, a letra A está errada. 
A variância é dada pela equação: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸(𝑋)². Esse valor deve ser maior que zero, então 
temos que a média é menor que raiz de 625, ou seja, a média é menor que 25. Logo, a letra B está errada. 𝐸(𝑋²) − 𝐸(𝑋)² ≥ 0 625 ≥ 𝐸(𝑋)² 25 ≥ 𝐸(𝑋) 
Se a média 𝐸(𝑋) é maior que a mediana: 25 ≥ 𝐸(𝑋) > 22. 
Então, a variância será um valor entre 0 e 625 − 484 = 141. Com isso, eliminamos a letra C. 
Se a média for 25, então o coeficiente de variação será 0. Letra D errada. 
A letra E está correta. A média é maior que 22 e menor que 25. Portanto, pode ser 23. 
Gabarito: E.12. (FGV/MPE BA/2017) O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de 
frequências do número por classe de renda de envolvidos em um tipo bem específico de 
investigação, conduzida pelo Ministério Público, é fortemente assimétrica à esquerda. 
Com base nessa informação, é correto afirmar que: 
a) A maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; 
b) A maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; 
c) A renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; 
d) A maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; 
e) A renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
Concluímos que a renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria (moda) dos 
envolvidos. 
Gabarito: C. 
 
13. (CESPE/TCE-PA/2016) 
Número diário de 
denúncias registradas 
(X) 
Frequência 
Relativa 
0 0,3 
1 0,1 
2 0,2 
3 0,1 
4 0,3 
Total 1,0 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A distribuição da variável X é simétrica em torno da média. 
 
Comentários: 
Temos cinco elementos na tabela, portanto, temos apenas um termo central. Olhando a tabela com 
atenção, percebemos que as frequências acima da frequência central são iguais às frequências abaixo 
dela, isto é, as duas partes são simétricas. Se desenharmos o gráfico dessa distribuição, percebemos com 
mais facilidade essa simetria: 
 
Gabarito: Certo. 
 
14. (CESPE/TCE-PA/2016) 
média amostral 0,80 
desvio padrão amostral 0,70 
primeiro quartil 0,25 
mediana 0,70 
terceiro quartil 1,20 
mínimo 0 
máximo 3,10 
 
Um indicador de desempenho X permite avaliar a qualidade dos processos de governança de 
instituições públicas. A figura mostra, esquematicamente, a sua distribuição, obtida mediante 
0 1 2 3 4
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
estudo amostral feito por determinada agência de pesquisa. A tabela apresenta estatísticas 
descritivas referentes a essa distribuição. 
Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
A distribuição do indicador X apresenta assimetria positiva (ou à direita). 
 
Comentários: 
Podemos resolver essa questão apenas calculando os quartis. Para isso, precisamos saber que o 
resultado pode ser: 
• igual a zero: indica que o conjunto é simétrico; 
• menor que zero: indica que o conjunto é negativamente assimétrico; 
• maior que zero: indica que o conjunto é positivamente assimétrico. 
 
Calculando a diferença entre os quartis, temos: (𝑄3 − 𝑄2) − (𝑄2 − 𝑄1) = (1,20 − 0,7) − (0,7 − 0,25) = 0,5 − 0,45 = 0,05 
Portanto, conjunto é positivamente assimétrico. 
Gabarito: Certo. 
 
15. (FCC/ARSETE/2016) Uma repartição pública registra diariamente a quantidade de 
determinado tipo de ocorrência em uma região. A tabela abaixo fornece em um período de 
observação de 40 dias o resultado apresentado. 
Quantidade de ocorrências 0 1 2 3 4 TOTAL 
Número de dias 2 12 13 8 5 40 
Com relação a esta tabela, foram calculados os valores da média aritmética (quantidade de 
ocorrências por dia), da moda e da mediana. É correto afirmar que 
a) A soma da média aritmética e da mediana é igual a 5,00. 
b) O resultado da divisão da média aritmética pela soma da moda e a mediana é igual a 0,5125. 
c) O resultado da divisão da mediana pela moda é superior a 1,25. 
d) A moda é inferior à mediana e a mediana é inferior à média aritmética. 
e) A moda é inferior à média aritmética e a média aritmética é inferior à mediana. 
 
Comentários: 
Vamos iniciar pelo cálculo da moda. A moda é o valor que mais se repete na amostra, o valor de maior 
frequência. Verificando a tabela, temos que a maior frequência são 13 dias, que corresponde a duas 
ocorrências. Portanto: 𝑀𝑜 = 2 
Para encontrarmos a mediana, precisamos saber as frequências acumuladas. Vamos colocar os dados numa 
tabela: 
Valor (𝒙) 
Frequência (𝒇) 
Frequência Acumulada (𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎) 
𝒙 × 𝒇 
0 2 2 0 1 12 14 12 2 13 27 26 3 8 35 24 4 5 40 20 𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟒𝟎 𝟖𝟐 
A mediana é o termo central da amostra, que a divide em duas partes iguais. Ora, se temos 40 observações, 
então a mediana será encontrada pela média dos dois termos centrais, que ocupam as posições 20 e 21. 
Observando a tabela, na coluna de frequências acumuladas, temos que da posição 15 à posição 27, os valores 
são iguais a 2. Portanto, a mediana será: 𝑀𝑑 = 2 + 22 = 2 
Para encontrarmos a média, basta dividirmos o total dos valores vezes as frequências pelo total das 
frequências, já temos essa informação na tabela que criamos: �̅� = 8240 = 2,05 
Com isso, já podemos julgar as alternativas: 
• letra a: �̅� + 𝑀𝑑 = 2,05 + 2 = 4,05 
• letra b: 
�̅�𝑀𝑜+𝑀𝑑 = 2,052+2 = 2,054 = 0,5125 
• letra c: 
𝑀𝑑𝑀𝑜 = 22 = 1 
• letra d: 𝑀𝑜 = 𝑀𝑑 
• letra e: �̅� > 𝑀𝑑 
Portanto, a alternativa B está correta. 
Gabarito: B. 
 
16. (FGV/IBGE/2016) Sejam 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒, ⋯ , 𝒙𝒏, determinações distintas de variáveis 
representativas de uma amostra de tamanho 𝒏 com média igual a �̅�. Além disso, sabe-se que sua 
moda, Mo (𝒙𝒊), é o dobro da média. Sendo Var(𝒙𝒊) a variância, é correto afirmar que: 
a) A distribuição dos 𝑥𝑖 é assimétrica à esqueda; 
b) ∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − (�̅� + 𝑎)² ≤ 𝑛𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖), sendo a uma constante; 
c) ∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − (�̅� − 𝑎)² ≥ 𝑛𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖), sendo a uma constante; 
d) A distribuição dos 𝑥𝑖 é assimétrica à direita; 
e) A mediana dos 𝑥𝑖, 𝑚𝑒(𝑥𝑖) é tal que ∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑚𝑒(𝑥𝑖)) = 0. 
 
Comentários: 
As letras A e D referem-se à assimetria da distribuição. Contudo, nada foi dito quanto aos sinais de 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, ⋯ , 𝑥𝑛. Ou seja, não sabemos se são todos positivos, se podem ser negativos. Com isso, o fato 
de a moda ser o dobro da média sequer nos permite saber quem é maior. Não temos como afirmar que 
a média é maior que a moda, ou que a moda é maior que a média. 
Além disso, o simples fato de sabermos que a média é menor que a moda não garante distribuição 
assimétrica à esquerda. Analogamente, o simples fato de saber que, em outro caso, a média é maior que 
a moda, isso também não garante distribuição assimétrica à direita. Nesse cenário, devemos levar em 
consideração que: 
Situação Consequência 
Assimétrica à esquerda Podemos afirmar que a Média < Moda 
Assimétrica à direita Podemos afirmar que a Média > Moda 
Média < Moda Nada podemos afirmar 
Média > Moda Nada podemos afirmar 
Vamos ver isso com mais calma. Considere que a média seja positiva e igual a 1. Digamos ainda que a 
moda seja 2. Nesse caso, a moda é o dobro da média, e, além disso, média < moda. Há, portanto, um 
indicativo de assimetria à esquerda, podemos eliminar a letra D. 
Agora, vamos analisar um segundo caso. Digamos que a média valha -8 e a moda valha -16. A moda 
continua sendo o dobro da média, mas agora média > moda. Há, portanto, um indicativo de assimetria 
à direita, o que os leva a eliminar a letra A. 
Com relação a letra E, não podemos afirmar que a soma dos desvios em relação à mediana é nula. A 
média é o único valor com relação ao qual temos garantia disso. Lembrem que a soma dos desvios em 
relação à média sempre vale nula. No caso da mediana, isso só seria válido se ela tivesse valor igual ao 
da média, que pode não ser o caso. Portanto, a alternativa E está incorreta. 
As letras C e D trabalham com a soma dos quadrados dos desvios. Sabemos que a soma dos quadrados 
dos desvios é mínima quandoeles são calculados em relação à média. Ou seja: ∑(𝑥𝑖 − 𝑎)2 é mínimo 
quando 𝑎 = �̅�. Deste modo, o menor valor possível para a soma dos quadrados dos desvios fica: ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2. Multiplicando e dividindo por n, temos: 𝑛 × ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛 = 𝑛 × 𝑣𝑎𝑟(𝑥) 
Se, em vez de calcularmos os desvios em relação a �̅�, calcularmos em relação a qualquer outro valor, tal 
como �̅� = +𝑎, ou �̅� = −𝑎, o somatório será maior que o valor acima. 𝑛 × ∑(𝑥𝑖 − a)2𝑛 ≥ 𝑛 × 𝑣𝑎𝑟(𝑥) 
𝑛 × ∑(𝑥𝑖 + a)2𝑛 ≥ 𝑛 × 𝑣𝑎𝑟(𝑥) 
O símbolo de maior ou igual é usado para abarcar os casos em que 𝑎 = �̅� ou 𝑎 = −�̅�. 
Deste modo, a letra B está incorreta, pois foi utilizado o símbolo de menor ou igual. 
Gabarito: C. 
 
17. (FGV/IBGE/2016) Considere a distribuição de frequências abaixo, apresentada de forma 
incompleta, sabendo-se não haver valores iguais aos extremos dos intervalos de classe. 
Classe 0-10 10-20 20-30 30-40 
Frequências 3 5 6 y 
Entretanto, antes de se perder o registro de Y, e trabalhando sempre com os dados grupados, a 
média da distribuição foi calculada, sendo igual a 25. Apesar disso, é correto afirmar que: 
a) a mediana pertence a 3ª classe de frequências; 
b) a moda da distribuição de frequências é igual a 25; 
c) a distribuição de frequências é assimétrica à direita; 
d) o primeiro quartil ocupa a 1ª classe de frequências; 
e) a estatística do máximo é igual a 40. 
 
Comentários: 
Vamos iniciar a resolução encontrando o valor de y. Para isso, vamos montar uma tabela multiplicando 
os pontos médios de cada classe por suas respectivas frequências: 
Classes 
Ponto 
médio (𝒙) 
Freq. 
Simples (𝒇) 
𝑿 × 𝒇 
Freq. 
Acumuladas (𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎) 
0-10 5 3 15 3 
10-20 15 5 75 8 
20-30 25 6 150 14 
30-40 35 y 35y 25 Total 14+y 240+35y 
 
Sabemos que a média vale 25. Calculando y: �̅� = 240 + 35𝑦14 + 𝑦 
25 = 240 + 35𝑦14 + 𝑦 240 + 35𝑦 = 350 + 25𝑦 35𝑦 − 25𝑦 = 350 − 240 10𝑦 = 110 𝑦 = 11 
Agora vamos montar a tabela completa acrescentando as frequências acumuladas: 
Classes 
Ponto 
médio (𝒙) 
Freq. 
Simples (𝒇) 
𝑿 × 𝒇 
Freq. 
Acumuladas (𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎) 
0-10 5 3 15 3 
10-20 15 5 75 8 
20-30 25 6 150 14 
30-40 35 11 385 25 Total 25 625 
 
Sabemos que a mediana ocupa a posição central da amostra. Ora, se temos um total de 25 observações, 
logo a mediana ocupará a posição 
252 = 12,5 das frequências acumuladas. Isso corresponde à terceira 
classe. 
Gabarito: A. 
 
18. (CESPE/TELEBRAS/2015) 
 
Uma empresa coletou e armazenou em um banco de dados diversas informações sobre seus 
clientes, entre as quais estavam o valor da última fatura vencida e o pagamento ou não dessa 
fatura. Analisando essas informações, a empresa concluiu que 15% de seus clientes estavam 
inadimplentes. A empresa recolheu ainda dados como a unidade da Federação (UF) e o CEP da 
localidade em que estão os clientes. Do conjunto de todos os clientes, uma amostra aleatória 
simples constituída por 2.175 indivíduos prestou também informações sobre sua renda 
domiciliar mensal, o que gerou o histograma apresentado. 
Com base nessas informações e no histograma, julgue o item a seguir. 
A média da variável renda domiciliar mensal dos clientes é menor que a mediana. 
 
Comentários: 
Observando o gráfico, percebemos que a distribuição é assimétrica à direita. �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 . 
Gabarito: Errado. 
 
19. (CESPE/FUB/2015) 
 privada pública 
média amostral 2,6 2,8 
desvio padrão amostral 0,36 0,48 
primeiro decil (D1) 2,2 2,3 
primeiro quartil (Q1) 2,3 2,5 
mediana (Q2) 2,6 2,8 
terceiro quartil (Q3) 2,9 3,1 
nono decil (D9) 3,1 3,4 
mínimo 1,1 1,4 
máximo 3,3 4,2 
 
 
Internet: <http://portal.inep.gov.br> (com adaptações). 
O conceito médio da graduação (G) é um indicador calculado pelo INEP (Instituto Nacional de 
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) para a avaliação da qualidade dos cursos de 
graduação das instituições de ensino superior. A figura apresentada mostra, esquematicamente, 
as distribuições desse indicador nas instituições privadas e públicas, referentes ao ano de 2013, 
e a tabela apresenta algumas estatísticas descritivas referentes a essas distribuições. 
Com base nessas informações, julgue o próximo item. 
De acordo com os coeficientes de assimetria de Pearson, que consideram a média amostral, a mediana 
e os quartis, sugerem que ambas as distribuições são simétricas. 
 
Comentários: 
Podemos resolver essa questão apenas calculando os quartis. Para isso, precisamos saber que o 
resultado pode ser: 
• igual a zero: indica que o conjunto é simétrico; 
• menor que zero: indica que o conjunto é negativamente assimétrico; 
• maior que zero: indica que o conjunto é positivamente assimétrico. 
 
Calculando a diferença entre os quartis para as instituições privadas de ensino superior, temos: (𝑄3 − 𝑄2) − (𝑄2 − 𝑄1) = (2,9 − 2,6) − (2,6 − 2,3) = 0,3 − 0,3 = 0 
Para as instituições públicas, temos: (𝑄3 − 𝑄2) − (𝑄2 − 𝑄1) = (3,1 − 2,8) − (2,8 − 2,5) = 0,3 − 0,3 = 0 
Logo, conjunto é simétrico. 
Gabarito: Certo. 
 
20. (FCC/TRE RR/2015) Uma população é formada por números estritamente positivos 
apresentando uma distribuição unimodal e caracterizando uma curva de frequência assimétrica 
à direita. Então, é correto afirmar com relação a esta distribuição que 
a) A média é inferior à mediana e a mediana é inferior à moda. 
b) A moda é inferior à mediana e a mediana é inferior à média. 
c) A mediana é inferior à média e a média é inferior à moda. 
d) Os valores dos elementos da população estão fortemente concentrados em torno da média. 
e) Os valores dos elementos da população estão fortemente concentrados em torno da moda. 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
Analisando as alternativas, temos que a letra B está correta. 
Gabarito: B. 
 
21. (FGV/TCM SP/2015) Suponha que o tempo (em meses) decorrido para o exame de processos 
administrativos no âmbito do TCM-SP tem distribuição de frequências conforme a seguir: 
Intervalos de classe 0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10 
Frequências 2 6 9 12 3 
Considerando, para efeito de cálculo da média, os pontos médios dos intervalos, é possível 
afirmar que: 
a) A mediana da distribuição é inferior a 5,5 meses; 
b) A média da distribuição está mais próxima de 4 do que de 6 meses; 
c) A distribuição é assimétrica à direita; 
d) A mediana da distribuição está entre 5,5 e 8 meses, inclusive; 
e) O percentil de ordem 90 é superior a 8 meses. 
 
Comentários: 
Vamos colocar as informações em uma tabela, acrescentando os pontos médios e as frequências 
acumuladas: 
Classes 
Ponto médio (𝒙) 
Freq. Simples (𝒇) 
𝑿 × 𝒇 
Freq. Acumuladas (𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎) 0 𝑎 2 1 2 2 2 2 𝑎 4 3 6 18 8 4 𝑎 6 5 9 45 17 6 𝑎 8 7 12 84 29 8 𝑎 10 9 3 27 32 𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟑𝟐 𝟏𝟕𝟔 
Agora passemos aos cálculos da média, mediana e moda. Podemos calcular a média dividindo os dois 
totais apresentados na tabela anterior: �̅� = 17632 = 5,5 
A mediana é o termo que ocupa a posição central da amostra. Se temos 32 frequências acumuladas então 
a posição da mediana pode ser encontrada assim: 322 = 16 
Assim, a mediana está no intervalo entre 4 e 6. Considerando que até o valor 4 a frequência acumulada 
é 8, e que até 6 a frequência acumulada é 17, concluímos que a mediana está mais próxima de 6 do que 
de 4, pois, como vimos, a mediana está localizada na posição 16 
𝑀𝑑 = 𝑙𝑖𝑛𝑓 + [(∑ 𝑓𝑖2 ) − 𝑓𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡𝑓𝑖 ] × ℎ 
𝑀𝑑 = 4 + [(322 ) − 89 ] × 2 = 4 + (16 − 89 ) × 2 = 4 + 169 ≅ 5,77 
 
Dessa forma, a única alternativa que atente esse requisito é a letra D. 
Gabarito: D. 
 
22. (VUNESP/TJ SP/2015) A distribuição de salários de uma empresa com 30 funcionários é dada 
natabela seguinte 
Salários 
(em salários 
mínimos) 
Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
De acordo com a tabela, assinale a afirmação verdadeira. 
a) A distribuição é simétrica. 
b) A distribuição tem assimetria positiva. 
c) A moda é 10. 
d) A mediana é 5. 
e) O menor salário é 1. 
 
Comentários: 
Observando a tabela, percebemos que as frequências (números de funcionários) são decrescentes. 
Significa dizer que a curva de assimetria é positiva ou à direita. 
Gabarito: B. 
 
23. (CESPE/MEC/2014) 
Renda familiar (R) 
(em salários 
mínimos) 
Percentual (%) 
0 < 𝑅 ≤ 1 40 1 < 𝑅 ≤ 3 50 𝑅 > 3 10 
Total 100 
A tabela acima, resultado de um estudo socioeconômico, mostra a distribuição percentual da 
renda familiar mensal dos estudantes do ensino médio em determinado município brasileiro. 
Considerando essas informações e a tabela acima, julgue o item seguinte. 
A distribuição de renda apresenta assimetria à direita (ou positiva), o que sugere que a mediana 
populacional é inferior à média das rendas. 
 
Comentários: 
Na tabela observamos que: 
40% das rendas são maiores que 0 e menores ou iguais a 1. 
50 % das rendas são maiores que 1 e menores ou iguais a 3. 
10% das rendas são maiores que 3. 
Portanto temos uma distribuição assimétrica à direita, em que: 𝑀𝑜 < 𝑀𝑑 < �̅� 
Gabarito: Certo. 
 
24. (FGV/DPE RJ/2014) Para em determinado ano, a distribuição estatística do volume semanal 
de processos ajuizados, que contam com a orientação da Defensoria Pública, teve média igual a 
nove mil e moda única igual a 20 mil processos. Então, decorre que 
a) Em 50% das semanas o número de processos foi inferior a nove mil. 
b) Em 30% das semanas o número de processos esteve entre nove e 20 mil. 
c) Em apenas 40% das semanas o número de processos foi superior a nove mil. 
d) Em no máximo 25% das semanas o número de processos foi superior a 20 mil. 
e) Em pelo menos 50% das semanas o número de processos foi inferior ou igual a 20 mil. 
 
Comentários: 
Conforme as informações do enunciado, sabemos que: �̅� = 9.000 𝑀𝑜 = 20.000 
O enunciado nos deu apenas as informações de moda e de média, sabemos que a mediana estará entre 
a moda e a média, e que a mediana é o termo central da amostra, ela divide a distribuição ao meio em 
duas partes iguais. 
Assim, teremos que avaliar apenas duas alternativas, são as que tratam de 50% , letras A e E. 
Para a letra A, se a mediana está entre a média e a moda, então assume algum valor entre 9000 e 20.000. 
Portanto, essa alternativa está errada. 
Para a letra E, temos mais de 50% das observações no intervalo abaixo de 20.000, mas não sabemos 
precisar esse percentual. No entanto, quando a alternativa menciona "pelo menos 50%", a alternativa 
se torna correta. 
Gabarito: E. 
 
25. (FGV/DPE RJ/2014) As distribuições de renda dos cidadãos que recorrem aos serviços da 
Defensoria Pública têm se modificado ao longo do tempo. Para os anos de 2000 e 2010, 
considerados os valores em termos reais e modas únicas, observou-se que 𝑴𝒐𝒅𝒂𝟐𝟎𝟎𝟎 =
𝟔𝟖𝟎, 𝑴𝒐𝒅𝒂𝟐𝟎𝟏𝟎 = 𝟕𝟐𝟎 e 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝟐𝟎𝟏𝟎 = 𝟗𝟏𝟓. Supondo que as medianas são tais que 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂𝟐𝟎𝟎𝟎 > 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂𝟐𝟎𝟏𝟎, então 
a) A distribuição 2010 é assimétrica à direita e a 2000 à esquerda. 
b) A distribuição 2010 é assimétrica à esquerda e a 2000 à direita. 
c) Ambas as distribuições são assimétricas à direita. 
d) Ambas as distribuições são assimétricas à esquerda. 
e) Pelo menos uma das distribuições pode ser não assimétrica. 
 
Comentários: 
Vamos relembrar a classificação da distribuição quanto à assimetria: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
Colocando as informações da questão em uma tabela: 
 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟏𝟎 𝑀é𝑑𝑖𝑎 915 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑎 680 720 
 
Temos na tabela que a média é maior que a moda em 2010, portanto, temos assimetria positiva ou à 
direita. Assim, concluímos que em 2010 a mediana assume algum valor entre 720 e 915. 
Como disse o enunciado, a mediana de 2000 é maior que a de 2010. Então, em 2000, a distribuição 
também tem assimetria positiva ou à direita, vez que a mediana assumirá um valor maior que 720. 
Portanto, a única alternativa correta será a letra C 
Gabarito: C. 
 
26. (VUNESP/TJ PA/2014) A figura abaixo representa o gráfico relativo a uma distribuição de 
frequência F para uma amostra de dados. Seja Me o valor da média, Md o valor da mediana e Mo 
o valor da moda, então: 
 
a) Me < Md < Mo 
b) Md < Mo < Me 
c) Mo < Md < Me 
d) Me < Mo < Md 
e) Md < Me < Mo 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
Observando o gráfico, concluímos que se trata de uma distribuição assimétrica à direita. 
Gabarito: C. 
 
27. (VUNESP/DESENVOLVE SP/2014) Sendo E, a esperança matemática, x, uma variável aleatória 
qualquer, com média μ e desvio padrão σ, sua assimetria pode ser dada por: 
a) 
𝐸(𝑥−𝜇)𝜎 . 
b) 
𝐸(𝑥−𝜇)2𝜎2 . 
c) 
𝐸(𝑥−𝜇)3𝜎3 . 
d) 
𝐸(𝑥−𝜇)4𝜎4 . 
e) 
𝐸(𝑥−𝜇)3𝜎2 . 
 
Comentários: 
Verificando as alternativas: 
• letra a: 
𝐸(𝑥−𝜇)𝜎 = 𝐸(𝑥)−𝜇𝜎 = 𝜇−𝜇𝜎 = 0 
• letra b: 
𝐸[(𝑥−𝜇)²]𝜎² = 𝜎2𝜎2 = 1 
• letra c: assimetria ou obliquidade é medida de falta de simetria para uma determinada 
distribuição de frequências. 
𝐸(𝑥−𝜇)3𝜎3 . Resposta correta. 
• letra d: 
𝐸(𝑥−𝜇)4𝜎4 representação para curtose. 
• letra e: 
𝐸(𝑥−𝜇)3𝜎2 nenhuma representação. 
Gabarito: C. 
 
28. (CESPE/MPU/2010) Uma pesquisa sobre obesidade resultou na seguinte distribuição da 
massa corporal para um grupo de 100 pessoas. 
Classes de massa 
corporal (em Kg) 
Frequência 
absoluta 40 ↦ 50 10 50 ↦ 60 20 60 ↦ 70 30 70 ↦ 80 25 80 ↦ 90 15 
Considerando que 
𝑲=𝑸𝟑−𝑸𝟏𝟐(𝑫𝟗−𝑫𝟏) e 𝑨𝟐 = 𝑸𝟏+𝑸𝟑−𝟐𝑸𝟐𝑸𝟑−𝑸𝟏 são medidas de curtose e de assimetria, 
respectivamente, em que 𝑫𝒌 representa o k-ésimo decil e 𝑸𝒌 representa o k-ésimo quartil, Julgue 
o item subsequente. 
A distribuição da massa corporal, segundo a medida A2, é assimétrica positiva. 
 
Comentários: 
Vamos iniciar a resolução recriando a tabela e acrescentando as informações de frequências 
acumuladas: 
Classes de massa 
corporal (em Kg) 
Frequência 
simples 
Frequência 
acumulada 
40 ↦ 50 10 10 50 ↦ 60 20 30 60 ↦ 70 30 60 70 ↦ 80 25 85 80 ↦ 90 15 100 
 Agora vamos calcular os quartis: 
O primeiro quartil tem frequência acumulada 25. Pelo método da interpolação linear temos: 𝑄1 − 5060 − 50 = 25 − 1030 − 10 𝑄1 = 57,5 
Para o segundo quartil, temos: 𝑄2 − 6070 − 60 = 50 − 3060 − 30 𝑄2 = 66,67 
Para o terceiro quartil, temos: 𝑄3 − 7080 − 70 = 75 − 6085 − 60 𝑄3 = 76 
Calculando o numerador do coeficiente: 76 + 57,5 − 2 × 66,67 = 0,16 
 
O coeficiente é positivo, portanto, a assimetria é positiva. 
Gabarito: Certo. 
 
29. (FGV/SEN/2008) A figura a seguir ilustra o histograma de uma distribuição de frequências. 
Entre os ternos de valores a seguir, o único que representa uma configuração plausível para os 
valores da média, moda e mediana dessa distribuição, respectivamente, é: 
 
 
a) 20, 16 e 17. 
b) 16, 16 e 16. 
c) 20, 17 e 16. 
d) 17, 20 e 16. 
e) 17, 17 e 20. 
 
Comentários: 
Do gráfico temos que a distribuição é positivamente assimétrica, portanto: �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 
A única alternativa que atende a esse requisito é a letra A. 
Gabarito: A. 
QUESTÕES COMENTADAS 
Curtose 
1. (CESPE/TELEBRAS/2022) Com respeito ao conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 1, 3}, julgue o item que 
se segue. 
Com base na medida 𝐾 =𝜇4(𝜇2)2 − 3, em que μr denota o r-ésimo momento amostral centrado na média, 
é correto afirmar que a forma do conjunto de dados em tela é considerada platicúrtica. 
 
Comentários: 
A medida fornecida no enunciado é denominada de coeficiente de excesso de curtose, que possibilita 
classificar a distribuição dos dados quanto ao grau de achatamento: 
• 𝐾 < 0: platicúrtica 
• 𝐾 > 0: leptocúrtica 
• 𝐾 = 0: mesocúrtica 
A partir do conjunto fornecido no enunciado, começamos calculando a média: 𝜇 = 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 36 = 66 = 1 
Agora, calculamos o segundo e o quarto momentos centrais: 
𝜇2 = ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)266
𝑖=1 = (−1)2 + (−1)2 + 226 = 1 
𝜇4 = ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)466
𝑖=1 = (−1)4 + (−1)4 + 246 = 186 = 3 
Dessa forma, o coeficiente de curtose é: 𝐾 = 𝜇4(𝜇2)2 − 3 = 3(1)2 − 3 = 0 
Portanto, a distribuição é mesocúrtica. 
Gabarito: Errado. 
 
2. (CESPE/IPHAN/2018) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada 
para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de dispersão, as de 
assimetria e as de curtose. 
 
Comentários: 
São definidas como medidas descritivas: as medidas de posição, de tendência central (média, mediana 
e moda), de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância), as separatrizes (valores 
que dividem as séries em partes iguais, quartis, decis e percentis), as de assimetria e as de curtose. 
Gabarito: Certo. 
 
3. (CESPE/SEDF/2017) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, 
mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 
horas por dia. 
A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
Distribuição dos 
tempos gastos 
assistindo televisão (T, 
em horas) 
1° quartil 2 
2° quartil 4 
3° quartil 8 
1° decil 1 
9° decil 10 
Tendo como referência essas informações, julgue o seguinte item. 
O índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, o que sugere que a distribuição dos tempos T seja 
leptocúrtica. 
 
Comentários: 
Para o coeficiente percentílico de curtose, temos: 𝐶 < 0,263, então a distribuição é leptocúrtica 𝐶 = 0,263, então a distribuição é mesocúrtica 𝐶 > 0,263, então a distribuição é platicúrtica. 
 
Como o enunciado informou que o índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, já poderíamos 
afirmar que a distribuição é platicúrtica, pois 𝐶 > 0,263. 
 
De todo modo, podemos calcular o coeficiente de curtose por meio da seguinte expressão: 𝐶𝑃 = 𝑄3 − 𝑄12 × (𝑃90 − 𝑃10) = 𝑄3 − 𝑄12 × (𝐷9 − 𝐷1) 
Então: 𝐶𝑃 = 8 − 22 × (10 − 1) = 618 = 13 = 0,333 
Logo, a distribuição dos tempos é platicúrtica. 
Gabarito: Errado. 
 
4. (FCC/TRT 20ª Região/2016) Seja uma população formada pelos salários, em R$, dos 
empregados de uma empresa apresentando uma distribuição unimodal. Com relação às medidas 
descritivas, é correto afirmar que 
a) Se for concedido um aumento fixo de R$ 1.024,00 para todos os salários dos empregados, então o 
respectivo novo desvio padrão fica multiplicado por 32. 
b) Se um empregado da empresa que ganha um salário exatamente igual à média dos salários de todos 
os empregados é demitido, então os valores da nova média e da nova variância dos empregados que 
continuaram na empresa não se alteram. 
c) Subtraindo de todos os salários dos empregados um valor constante igual à média de todos os salários 
verifica-se que nova média e a nova variância são nulas. 
d) Um aumento de 10% para todos os salários dos empregados significa que o respectivo novo 
coeficiente de variação permanece inalterado. 
e) Se a curva de frequência correspondente à distribuição dos salários for caracterizada como 
platicúrtica, então a média é inferior à mediana e a mediana é inferior à moda. 
 
Comentários: 
Julgando as alternativas, temos: 
• letra a: o desvio padrão não é alterado com a soma de uma constante às observações. 
Incorreta. 
• letra b: a proposta não alterará a média, mas a variância será alterada. Incorreta. 
• letra c: a subtração proposta torna a nova média nula. Mas a variância não se altera. 
Incorreta. 
• letra d: o coeficiente de variação é dado pela divisão entre desvio padrão e média. O 
aumento de 10% de fato não altera a variação. 
• letra e: uma curva platicúrtica é do tipo achatada. Isso descreve a curtose da curva, e não a 
assimetria. Incorreta. 
Gabarito: D. 
 
5. (CESPE/DEPEN/2015) 
Idade (𝒙) Percentual 18 ≤ 𝑥 < 25 30% 25 ≤ 𝑥 < 30 25% 30 ≤ 𝑥 < 35 20% 35 ≤ 𝑥 < 45 15% 45 ≤ 𝑥 < 60 10% 
Total 100% 
Felipe M. Monteiro, Gabriela R. Cardoso e Rafael da Silva. A seletividade do sistema prisional 
brasileiro e as políticas de segurança pública. In: XV Congresso Brasileiro de Sociologia, 26 a 29 
de julho de 2011, Curitiba (PR). Grupo de Trabalho – Violência e Sociedade (com adaptações). A 
tabela precedente apresenta a distribuição percentual de presos no Brasil por faixa etária em 
2010, segundo levantamento feito por Monteiro et al. (2011), indicando que a população 
prisional brasileira nesse ano era predominantemente jovem. 
Com base nos dados dessa tabela, julgue o item a seguir. 
A curtose é uma medida de variação que representa a semiamplitude de uma distribuição de dados e, 
por isso, seu valor na distribuição percentual de presos no Brasil em 2010 foi igual a 21 anos. 
 
Comentários: 
A curtose é uma medida de achatamento e não de variação. Além disso, ela representa as separatrizes 
(quartis, decis, percentis) e não a semiamplitude. 
Gabarito: Errado. 
 
6. (CESPE/FUB/2015) 
 
 privada pública 
média amostral 2,6 2,8 
desvio padrão amostral 0,36 0,48 
primeiro decil (D1) 2,2 2,3 
primeiro quartil (Q1) 2,3 2,5 
mediana (Q2) 2,6 2,8 
terceiro quartil (Q3) 2,9 3,1 
nono decil (D9) 3,1 3,4 
mínimo 1,1 1,4 
máximo 3,3 4,2 
Internet: <http://portal.inep.gov.br> (com adaptações). 
O conceito médio da graduação (G) é um indicador calculado pelo INEP (Instituto Nacional de 
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) para a avaliação da qualidade dos cursos de 
graduação das instituições de ensino superior. A figura apresentada mostra, esquematicamente, 
as distribuições desse indicador nas instituições privadas e públicas, referentes ao ano de 2013, 
e a tabela apresenta algumas estatísticas descritivas referentes a essas distribuições. 
Com base nessas informações, julgue o próximo item. 
O coeficiente percentílico de curtose da distribuição do indicador G nas instituições privadas é inferior 
ao coeficiente percentílico de curtose desse mesmo indicador nas instituições públicas. 
 
Comentários: 
O coeficiente percentílico é a razão do desvio interquartílico com a amplitude dos decis. Para 
resolvermos a questão, vamos calcular os coeficientes percentílicos das instituições públicas e das 
privadas. Usaremos a fórmula: 𝐶𝑃 = 𝑄3 − 𝑄12 × (𝐷9 − 𝐷1) 
Nas instituições públicas: 
𝐶𝑝𝑢𝑏 = 3,1 − 2,52 × (3,4 − 2,3) = 0,273 
Nas instituições privadas: 𝐶𝑝𝑟𝑖 = 2,9 − 2,32 × (3,1 − 2,2) = 0,33 
Logo: 𝐶𝑝𝑟𝑖 > 𝐶𝑝𝑢𝑏 
Gabarito: Errado. 
 
7. (FCC/CNMP/2015) Considere uma curva de frequência de uma distribuição estatística 
unimodal e as seguintes afirmações: 
Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada. 
A moda é menor que a mediana e a mediana é menor que a média. 
Se a distribuição satisfaz I e II, então trata-se de uma distribuição 
a) Platicúrtica e assimétrica à esquerda. 
b) Platicúrtica e assimétrica à direita. 
c) Leptocúrtica e assimétrica à esquerda. 
d) Leptocúrtica e assimétrica à direita. 
e) Leptocúrtica e simétrica. 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita;• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
Com relação à curtose, a distribuição pode ser classificada em: 
• mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal; 
• platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal. 
Tem aparência mais achata; 
• leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais afilada. 
Analisando enunciado, concluímos que a distribuição é assimétrica positiva ou à direita, caracterizada 
como leptocúrtica. 
Gabarito: D. 
 
8. (FCC/TRT 3ª Região/2015) Uma distribuição estatística unimodal, com uma curva de 
frequência platicúrtica e sendo a média inferior à mediana e a mediana inferior à moda, 
caracteriza uma distribuição assimétrica à 
a) Direita e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada 
comparando com a curva normal. 
b) Direita e com os dados fracamente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
achatada comparando com a curva normal. 
c) Direita e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
achatada comparando com a curva normal. 
d) Esquerda e com os dados fracamente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
achatada comparando com a curva normal. 
e) Esquerda e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
afilada comparando com a curva normal. 
 
Comentários: 
Podemos classificar uma distribuição quanto à assimetria com base em três critérios: 
• se �̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 , a curva da distribuição é simétrica; 
• se �̅� > 𝑀𝑑 > 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria positiva ou à direita; 
• se �̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜 , a curva da distribuição tem assimetria negativa ou à esquerda. 
Com relação à curtose, a distribuição pode ser classificada em: 
• mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal; 
• platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal. 
Tem aparência mais achata; 
• leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais afilada. 
Analisando enunciado, concluímos que a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda, 
caracterizada como platicúrtica. 
Gabarito: D. 
 
9. (VUNESP/TJ SP/2015) Leia o texto seguinte e os dados da tabela, para responder à questão. 
Em uma pesquisa para estudo da distribuição de uma variável contínua (x), foram examinados 
n itens. A tabela de distribuição de frequência que resultou desse estudo está parcialmente 
representada a seguir, para a qual xi é a coluna dos valores da variável estudada e P a coluna dos 
valores da frequência acumulada em percentual. 
𝒙𝒊 P (%) 
20 — 40 10 
40 — 60 30 
60 — 80 60 
80 — 100 85 
100 — 120 100 
Define-se por curtose de uma distribuição de frequência o seu grau de achatamento em relação 
à curva de distribuição normal. A medida de curtose é dada por C=(Q3−Q1)/2(D9−D1), em que 
Q3 e Q1 são, respectivamente, o terceiro e o primeiro quartil, e D9 e D1 são, respectivamente, o 
nono e o primeiro decil. Considerando-se, então, os dados da distribuição descrita na tabela, é 
correto afirmar que o valor de C é, aproximadamente, 
a) 0,48. 
b) 0,40. 
c) 0,32. 
d) 0,28. 
e) 0,20. 
 
Comentários: 
Vamos iniciar calculando os quartis. Sabemos que os quartis dividem o conjunto em 4 partes, logo, o 
primeiro quartil representa 0,25 ou 25% do conjunto: 
 40 → 10% 𝑄1 → 25% 60 → 30% 
Fazendo a interpolação linear: 𝑄1 − 4060 − 40 = 25 − 1030 − 10 
𝑄1 − 40 = 20 × 1520 𝑄1 = 40 + 15 = 55 
Para determinar o valor do terceiro quartil, basta sabermos que o terceiro quartil representa 0,75 ou 
75% do conjunto. Aplicando a interpolação: 80 → 60% 𝑄3 → 75% 100 → 85% 𝑄3 − 80100 − 80 = 75 − 6085 − 60 
𝑄3 − 80 = 20 × 1525 𝑄3 = 80 + 12 = 92 
Agora vamos calcular os decis. O primeiro decil é o valor com frequência acumulada de 10%, já temos 
essa informação na tabela. 𝐷1 = 40 
O nono decil é o valor que corresponde à frequência acumulada 90%: 100 → 85% 𝐷9 → 90%% 120 → 100% 
Aplicando a interpolação: 𝐷9 − 100120 − 100 = 90 − 85100 − 85 
𝐷9 − 100 = 20 × 515 𝐷9 = 100 + 6,67 = 106,67 
Agora, podemos calcular a curtose: 𝐶 = 𝑄3 − 𝑄12(𝐷9 − 𝐷1) 
𝐶 = 92 − 552 × (106,67 − 40) 
𝐶 = 37133,34 ≅ 0,28 
Gabarito: D. 
 
10. (VUNESP/TJ PA/2014) Enunciado para a questão. 
Uma instituição pública utiliza um questionário para avaliar a qualidade do atendimento. A 
qualidade é classificada com notas de zero a 5, sendo zero, atendimento péssimo e 5, 
atendimento ótimo. Os resultados do questionário estão na tabela a seguir. 
3 5 5 4 1 4 4 1 5 5 
4 4 0 1 4 2 3 4 4 5 
4 3 2 4 5 1 4 5 3 4 
4 3 2 4 4 4 5 3 3 4 
 
Em Estatística, define-se grau de achatamento de uma curva por um valor K dado por: 𝑲 = (𝑸𝟑 − 𝑸𝟏)𝟐 ⋅ (𝑫𝟗 − 𝑫𝟏) 
Onde Q3 é o terceiro quartil, Q1, o primeiro quartil, D1 é o primeiro decil e D9 é o nono decil. No 
conjunto de dados da questão anterior, o valor K é igual a: 
a) 1/8. 
b) 1/6. 
c) 1/4. 
d) 1/3. 
e) 1/2. 
 
Comentários: 
Inicialmente, vamos organizar os dados em uma tabela, para melhor visualizarmos as frequências: 𝑵𝒐𝒕𝒂𝒔 (𝒙) 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 (𝒇) 𝑭𝒓𝒆𝒒. 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 0 1 1 1 4 5 2 3 8 3 7 15 4 17 32 5 8 40 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 40 
Agora, podemos definir os valores dos quartis e dos decis. Sabemos que os quartis dividem o conjunto 
em 4 partes, logo, o primeiro quartil representa 0,25 ou 25% do conjunto, e o terceiro quartil representa 
0,75 ou 75% do conjunto. Verificando a colunas das frequências acumuladas, concluímos que: 𝑄1 = 3 𝑄3 = 4 
Para o decil, dividimos a amostra em 10 partes, cada uma com 4 elementos. Portanto: 𝐷1 = 1 𝐷9 = 5 
Calculando o grau de achatamento da curva: 𝐾 = 𝑄3 − 𝑄12 × (𝐷9 − 𝐷1) = 
𝐾 = 4 − 32 × (5 − 1) = 
𝐾 = 18 
Gabarito: A. 
 
11. (VUNESP/DESENVOLVE SP/2014) A medida do “achatamento” de uma distribuição de 
probabilidade é denominada 
a) Assimetria. 
b) Variância. 
c) Desvio padrão. 
d) Curtose. 
e) Desvio absoluto médio. 
 
Comentários: 
Com relação à curtose, a distribuição pode ser classificada em: 
• mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal; 
• platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal. 
Tem aparência mais achata; 
• leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal. Tem 
aparência mais afilada. 
Gabarito: D. 
 
12. (CESPE/TRE ES/2011) 
Quantidade de eleitores Quantidade de municípios 𝟎 ⊢ 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 364 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 1.000 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟔. 𝟎𝟎𝟎 3.000 𝟔. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟖. 𝟎𝟎𝟎 1.000 𝟖. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 200 
total 5.564 
A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores que não 
votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem como os números de 
municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue o item seguinte, 
relativo à análise exploratória de dados. 
A curtose da distribuição em questão pode ser avaliada com base na estimativa do quarto momento 
central, a qual deve ser comparada com o valor de referência 3, visto que todas as distribuições 
simétricas possuem quarto momento central igual a 3. 
 
Comentários: 
A questão confunde curtose com assimetria. De fato, a curtose é calculada através do quarto momento 
e deve ser comparada com o valor de referência 3, a questão erra ao falar em distribuições simétricas, 
portanto medidas de curtose não servem para simetria. 
Gabarito: Errado. 
 
 
LISTA DE QUESTÕES 
Momentos de uma Distribuição de Frequências 
1. (CESPE/TELEBRAS/2022) Com respeito ao conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 1, 3}, julgue o item que 
se segue. 
Se 𝜇3 representa o terceiro momento amostral centrado na média,então 𝜇3 > 0, o que sugere que a 
distribuição seja assimétrica à direita. 
 
 
 
GABARITO 
Momentos de uma Distribuição de Frequências
1. CERTO 
 
 
 
LISTA DE QUESTÕES 
Assimetria 
1. (CESPE/TELEBRAS/2022) Com respeito ao conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 1, 3}, julgue o item que 
se segue. 
Como a média amostral é igual à mediana amostral, a distribuição em tela pode ser considerada como 
simétrica em torno da média. 
 
2. (CESPE/PG-DF/2021) 
Estatística X, em R$ milhões 
Mínimo 0,5 
Primeiro Quartil (Q1) 1 
Segundo Quartil (Q2) 2 
Terceiro Quartil (Q3) 5 
Máximo 20 
O quadro apresentado mostra estatísticas descritivas produzidas por um estudo acerca de 
despesas públicas (X, em R$ milhões) ocorridos no ano de 2019 em uma amostra aleatória 
simples de 100 contratos. 
Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 
O coeficiente quartílico de assimetria, também conhecido como coeficiente de assimetria de Bowley, foi 
igual a 0,5. 
 
3. (FGV/IMBEL/2021) A distribuição de probabilidades do tempo de entrega de um produto 
possui uma assimetria positiva. Desta forma, para essa distribuição espera-se que haja a 
seguinte relação 
a) média > moda > mediana. 
b) média > mediana > moda. 
c) mediana > média > moda. 
d) mediana > moda > média. 
 
 
e) moda > média > mediana. 
 
4. (VUNESP/PB Saúde/2021) Dado que uma população formada pelos pesos dos estudantes em 
uma escola apresenta uma distribuição unimodal caracterizando uma curva assimétrica à 
esquerda, é correto afirmar que 
a) os valores dos elementos da população não estão fortemente concentrados em torno da mediana. 
b) os valores dos elementos da população não estão fortemente concentrados em torno da moda. 
c) a respectiva média aritmética é inferior à mediana, e a mediana é inferior à moda. 
d) tanto a moda quanto a mediana são inferiores à média aritmética. 
e) esta distribuição de frequência é denominada de leptocúrtica. 
 
5. (CESPE/SEFAZ DF/2020) A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que 
a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a 
variável X sejam -1 e +4, julgue o item que se segue. 
A distribuição da variável X é simétrica em torno da sua média amostral. 
 
6. (FUNDATEC/Pref. POA/2020) Em uma distribuição assimétrica negativa, a moda, mediana e 
média se distanciam entre si. 
 
Identifique-as na figura abaixo. 
a) I – mediana; II – média; III – moda. 
b) I – média; II – moda; III – mediana. 
c) I – média; II – mediana; III – moda. 
d) I – mediana; II – moda; III – média. 
e) I – moda; II – mediana; III – média. 
 
 
 
7. (VUNESP/UNICAMP/2019) Considere Mé, Mo e Me, respectivamente, como a média, a moda e 
a mediana de uma variável, e assinale a alternativa que contém a relação entre essas medidas de 
posição em uma distribuição assimétrica negativa. 
a) Mé < Mo < Me. 
b) Mé < Me < Mo. 
c) Me < Mo < Mé. 
d) Me < Mé < Mo. 
e) Mo < Me < Mé. 
 
8. (CESPE/IPHAN/2018) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada 
para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de dispersão, as de 
assimetria e as de curtose. 
 
9. (FGV/TJ AL/2018) Para fins de elaboração de um relatório gerencial à Presidência do TJ/AL, 
estão disponíveis as seguintes informações do andamento de processos nas diversas varas 
daquele tribunal: 
Tempo de 
Tramitação 
0 a 10 10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50 
Número de 
Processos 
8 16 29 32 15 
O tempo de tramitação está expresso em meses e os intervalos de classe incluem o limite inferior 
e excluem o limite superior. Tendo em conta a distribuição acima e as técnicas de cálculo para 
dados grupados, é correto afirmar que 
a) Média, mediana e moda estão no mesmo intervalo de classe; 
b) O desvio-interquartílico é maior do que 30; 
c) A distribuição é assimétrica à direita; 
d) A moda grupada está mais próxima de 30 do que de 40; 
e) A média é igual a 29. 
 
10. (CESPE/SEDF/2017) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, 
mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 
horas por dia. A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
 
 
Distribuição dos 
tempos gastos 
assistindo televisão (T, 
em horas) 
1° quartil 2 
2° quartil 4 
3° quartil 8 
1° decil 1 
9° decil 10 
Tendo como referência essas informações, julgue o seguinte item. 
A distribuição dos tempos T possui assimetria positiva. 
 
11. (FGV/IBGE/2017) Para uma distribuição de frequências apenas parcialmente conhecida são 
fornecidas as seguintes estatísticas, 𝑴𝒐(𝑿) = 𝟏𝟗, 𝑬(𝑿²) = 𝟔𝟐𝟓 𝒆 𝑴𝒆(𝑿) = 𝟐𝟐 
Sendo Mo, a moda e Me, a mediana dos dados. Sabe-se ainda que a distribuição é unimodal. 
 Esse conjunto bem restrito de informações seria compatível apenas com: 
a) A distribuição é assimétrica à esquerda; 
b) A média da distribuição, md(x), é igual a 27; 
c) A variância da distribuição é igual a 500; 
d) O coeficiente de variação, cv(x), é igual a 7,5; 
e) A média da distribuição, md(x), é igual a 23. 
 
12. (FGV/MPE BA/2017) O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de 
frequências do número por classe de renda de envolvidos em um tipo bem específico de 
investigação, conduzida pelo Ministério Público, é fortemente assimétrica à esquerda. 
Com base nessa informação, é correto afirmar que: 
a) A maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; 
b) A maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; 
c) A renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; 
 
 
d) A maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; 
e) A renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. 
 
13. (CESPE/TCE-PA/2016) 
Número diário de 
denúncias registradas 
(X) 
Frequência 
Relativa 
0 0,3 
1 0,1 
2 0,2 
3 0,1 
4 0,3 
Total 1,0 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A distribuição da variável X é simétrica em torno da média. 
 
14. (CESPE/TCE-PA/2016) 
média amostral 0,80 
desvio padrão amostral 0,70 
primeiro quartil 0,25 
mediana 0,70 
terceiro quartil 1,20 
mínimo 0 
máximo 3,10 
 
 
 
Um indicador de desempenho X permite avaliar a qualidade dos processos de governança de 
instituições públicas. A figura mostra, esquematicamente, a sua distribuição, obtida mediante 
estudo amostral feito por determinada agência de pesquisa. A tabela apresenta estatísticas 
descritivas referentes a essa distribuição. 
Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
A distribuição do indicador X apresenta assimetria positiva (ou à direita). 
 
15. (FCC/ARSETE/2016) Uma repartição pública registra diariamente a quantidade de 
determinado tipo de ocorrência em uma região. A tabela abaixo fornece em um período de 
observação de 40 dias o resultado apresentado. 
Quantidade de ocorrências 0 1 2 3 4 TOTAL 
Número de dias 2 12 13 8 5 40 
Com relação a esta tabela, foram calculados os valores da média aritmética (quantidade de 
ocorrências por dia), da moda e da mediana. É correto afirmar que 
a) A soma da média aritmética e da mediana é igual a 5,00. 
b) O resultado da divisão da média aritmética pela soma da moda e a mediana é igual a 0,5125. 
c) O resultado da divisão da mediana pela moda é superior a 1,25. 
d) A moda é inferior à mediana e a mediana é inferior à média aritmética. 
e) A moda é inferior à média aritmética e a média aritmética é inferior à mediana. 
 
16. (FGV/IBGE/2016) Sejam 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒,⋯ , 𝒙𝒏, determinações distintas de variáveis 
representativas de uma amostra de tamanho 𝒏 com média igual a �̅�. Além disso, sabe-se que sua 
moda, Mo (𝒙𝒊), é o dobro da média. Sendo Var(𝒙𝒊) a variância, é correto afirmar que: 
a) A distribuição dos 𝑥𝑖 é assimétrica à esqueda; 
b) ∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − (�̅� + 𝑎)² ≤ 𝑛𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖), sendo a uma constante; 
 
 
c) ∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − (�̅� − 𝑎)² ≥ 𝑛𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖), sendo a uma constante; 
d) A distribuição dos 𝑥𝑖 é assimétrica à direita; 
e) A mediana dos 𝑥𝑖, 𝑚𝑒(𝑥𝑖) é tal que ∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑚𝑒(𝑥𝑖)) = 0. 
 
17. (FGV/IBGE/2016) Considere a distribuição de frequências abaixo, apresentada de forma 
incompleta, sabendo-se não haver valores iguais aos extremos dos intervalos de classe. 
Classe 0-10 10-20 20-30 30-40 
Frequências 3 5 6 y 
Entretanto, antes de se perder o registro de Y, e trabalhando sempre com os dados grupados, a 
média da distribuição foi calculada, sendo igual a 25. Apesar disso, é correto afirmar que: 
a) a mediana pertence a 3ª classe de frequências; 
b) a moda da distribuição de frequências é igual a 25; 
c) a distribuição de frequências é assimétrica à direita; 
d) o primeiro quartil ocupa a 1ª classe de frequências; 
e) a estatística do máximo é igual a 40. 
 
18. (CESPE/TELEBRAS/2015) 
 
Uma empresa coletou e armazenou em um banco de dados diversas informações sobre seus 
clientes, entre as quais estavam o valor da última fatura vencida e o pagamento ou não dessa 
fatura. Analisando essas informações, a empresa concluiu que 15% de seus clientes estavam 
inadimplentes. A empresa recolheu ainda dados como a unidade da Federação (UF) e o CEP da 
localidade em que estão os clientes. Do conjunto de todos os clientes, uma amostra aleatória 
simples constituída por 2.175 indivíduos prestou também informações sobre sua renda 
domiciliar mensal, o que gerou o histograma apresentado. 
Com base nessas informações e no histograma, julgue o item a seguir. 
A média da variável renda domiciliar mensal dos clientes é menor que a mediana. 
 
19. (CESPE/FUB/2015) 
 
 
 privada pública 
média amostral 2,6 2,8 
desvio padrão amostral 0,36 0,48 
primeiro decil (D1) 2,2 2,3 
primeiro quartil (Q1) 2,3 2,5 
mediana (Q2) 2,6 2,8 
terceiro quartil (Q3) 2,9 3,1 
nono decil (D9) 3,1 3,4 
mínimo 1,1 1,4 
máximo 3,3 4,2 
 
 
Internet: <http://portal.inep.gov.br> (com adaptações). 
O conceito médio da graduação (G) é um indicador calculado pelo INEP (Instituto Nacional de 
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) para a avaliação da qualidade dos cursos de 
graduação das instituições de ensino superior. A figura apresentada mostra, esquematicamente, 
as distribuições desse indicador nas instituições privadas e públicas, referentes ao ano de 2013, 
e a tabela apresenta algumas estatísticas descritivas referentes a essas distribuições. 
Com base nessas informações, julgue o próximo item. 
De acordo com os coeficientes de assimetria de Pearson, que consideram a média amostral, a mediana 
e os quartis, sugerem que ambas as distribuições são simétricas. 
 
20. (FCC/TRE RR/2015) Uma população é formada por números estritamente positivos 
apresentando uma distribuição unimodal e caracterizando uma curva de frequência assimétrica 
à direita. Então, é correto afirmar com relação a esta distribuição que 
a) A média é inferior à mediana e a mediana é inferior à moda. 
 
 
b) A moda é inferior à mediana e a mediana é inferior à média. 
c) A mediana é inferior à média e a média é inferior à moda. 
d) Os valores dos elementos da população estão fortemente concentrados em torno da média. 
e) Os valores dos elementos da população estão fortemente concentrados em torno da moda. 
 
21. (FGV/TCM SP/2015) Suponha que o tempo (em meses) decorrido para o exame de processos 
administrativos no âmbito do TCM-SP tem distribuição de frequências conforme a seguir: 
Intervalos de classe 0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10 
Frequências 2 6 9 12 3 
Considerando, para efeito de cálculo da média, os pontos médios dos intervalos, é possível 
afirmar que: 
a) A mediana da distribuição é inferior a 5,5 meses; 
b) A média da distribuição está mais próxima de 4 do que de 6 meses; 
c) A distribuição é assimétrica à direita; 
d) A mediana da distribuição está entre 5,5 e 8 meses, inclusive; 
e) O percentil de ordem 90 é superior a 8 meses. 
 
22. (VUNESP/TJ SP/2015) A distribuição de salários de uma empresa com 30 funcionários é dada 
na tabela seguinte 
Salários 
(em salários 
mínimos) 
Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
 
 
De acordo com a tabela, assinale a afirmação verdadeira. 
a) A distribuição é simétrica. 
b) A distribuição tem assimetria positiva. 
c) A moda é 10. 
d) A mediana é 5. 
e) O menor salário é 1. 
 
23. (CESPE/MEC/2014) 
Renda familiar (R) 
(em salários 
mínimos) 
Percentual (%) 
0 < 𝑅 ≤ 1 40 1 < 𝑅 ≤ 3 50 𝑅 > 3 10 
Total 100 
A tabela acima, resultado de um estudo socioeconômico, mostra a distribuição percentual da 
renda familiar mensal dos estudantes do ensino médio em determinado município brasileiro. 
Considerando essas informações e a tabela acima, julgue o item seguinte. 
A distribuição de renda apresenta assimetria à direita (ou positiva), o que sugere que a mediana 
populacional é inferior à média das rendas. 
 
24. (FGV/DPE RJ/2014) Para em determinado ano, a distribuição estatística do volume semanal 
de processos ajuizados, que contam com a orientação da Defensoria Pública, teve média igual a 
nove mil e moda única igual a 20 mil processos. Então, decorre que 
a) Em 50% das semanas o número de processos foi inferior a nove mil. 
b) Em 30% das semanas o número de processos esteve entre nove e 20 mil. 
c) Em apenas 40% das semanas o número de processos foi superior a nove mil. 
d) Em no máximo 25% das semanas o número de processos foi superior a 20 mil. 
e) Em pelo menos 50% das semanas o número de processos foi inferior ou igual a 20 mil. 
 
 
 
25. (FGV/DPE RJ/2014) As distribuições de renda dos cidadãos que recorrem aos serviços da 
Defensoria Pública têm se modificado ao longo do tempo. Para os anos de 2000 e 2010, 
considerados os valores em termos reais e modas únicas, observou-se que 𝑴𝒐𝒅𝒂𝟐𝟎𝟎𝟎 =𝟔𝟖𝟎, 𝑴𝒐𝒅𝒂𝟐𝟎𝟏𝟎 = 𝟕𝟐𝟎 e 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝟐𝟎𝟏𝟎 = 𝟗𝟏𝟓. Supondo que as medianas são tais que 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂𝟐𝟎𝟎𝟎 > 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂𝟐𝟎𝟏𝟎, então 
a) A distribuição 2010 é assimétrica à direita e a 2000 à esquerda. 
b) A distribuição 2010 é assimétrica à esquerda e a 2000 à direita. 
c) Ambas as distribuições são assimétricas à direita. 
d) Ambas as distribuições são assimétricas à esquerda. 
e) Pelo menos uma das distribuições pode ser não assimétrica. 
 
26. (VUNESP/TJ PA/2014) A figura abaixo representa o gráfico relativo a uma distribuição de 
frequência F para uma amostra de dados. Seja Me o valor da média, Md o valor da mediana e Mo 
o valor da moda, então: 
 
a) Me < Md < Mo 
b) Md < Mo < Me 
c) Mo < Md < Me 
d) Me < Mo < Md 
e) Md < Me < Mo 
 
27. (VUNESP/DESENVOLVE SP/2014) Sendo E, a esperança matemática, x, uma variável aleatória 
qualquer, com média μ e desvio padrão σ, sua assimetria pode ser dada por: 
a) 
𝐸(𝑥−𝜇)𝜎 . 
b) 
𝐸(𝑥−𝜇)2𝜎2 . 
c) 
𝐸(𝑥−𝜇)3𝜎3 . 
d) 
𝐸(𝑥−𝜇)4𝜎4 . 
 
 
e) 
𝐸(𝑥−𝜇)3𝜎2 . 
 
28. (CESPE/MPU/2010) Uma pesquisa sobre obesidade resultou na seguinte distribuição da 
massa corporal para um grupo de 100 pessoas. 
Classes de massa 
corporal (em Kg) 
Frequência 
absoluta 40 ↦ 50 10 50 ↦ 60 20 60 ↦ 70 30 70 ↦ 80 25 80 ↦ 90 15 
Considerando que 
𝑲=𝑸𝟑−𝑸𝟏𝟐(𝑫𝟗−𝑫𝟏) e 𝑨𝟐 = 𝑸𝟏+𝑸𝟑−𝟐𝑸𝟐𝑸𝟑−𝑸𝟏 são medidas de curtose e de assimetria, 
respectivamente, em que 𝑫𝒌 representa o k-ésimo decil e 𝑸𝒌 representa o k-ésimo quartil, Julgue 
o item subsequente. 
A distribuição da massa corporal, segundo a medida A2, é assimétrica positiva. 
 
29. (FGV/SEN/2008) A figura a seguir ilustra o histograma de umadistribuição de frequências. 
Entre os ternos de valores a seguir, o único que representa uma configuração plausível para os 
valores da média, moda e mediana dessa distribuição, respectivamente, é: 
 
 
a) 20, 16 e 17. 
b) 16, 16 e 16. 
 
 
c) 20, 17 e 16. 
d) 17, 20 e 16. 
e) 17, 17 e 20. 
 
 
 
GABARITO 
Assimetria
1. ERRADO 
2. CERTO 
3. LETRA B 
4. LETRA C 
5. ERRADO 
6. LETRA C 
7. LETRA B 
8. CERTO 
9. LETRA D 
10. CERTO 
11. LETRA E 
12. LETRA C 
13. CERTO 
14. CERTO 
15. LETRA B 
16. LETRA C 
17. LETRA A 
18. ERRADO 
19. CERTO 
20. LETRA B 
21. LETRA D 
22. LETRA B 
23. CERTO 
24. LETRA E 
25. LETRA C 
26. LETRA C 
27. LETRA C 
28. CERTO 
29. LETRA A 
 
 
 
LISTA DE QUESTÕES 
Curtose 
1. (CESPE/TELEBRAS/2022) Com respeito ao conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 1, 3}, julgue o item que 
se segue. 
Com base na medida 𝐾 = 𝜇4(𝜇2)2 − 3, em que μr denota o r-ésimo momento amostral centrado na média, 
é correto afirmar que a forma do conjunto de dados em tela é considerada platicúrtica. 
 
2. (CESPE/IPHAN/2018) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada 
para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de dispersão, as de 
assimetria e as de curtose. 
 
3. (CESPE/SEDF/2017) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, 
mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 
horas por dia. 
A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
Distribuição dos 
tempos gastos 
assistindo televisão (T, 
em horas) 
1° quartil 2 
2° quartil 4 
3° quartil 8 
1° decil 1 
9° decil 10 
Tendo como referência essas informações, julgue o seguinte item. 
O índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, o que sugere que a distribuição dos tempos T seja 
leptocúrtica. 
 
 
 
4. (FCC/TRT 20ª Região/2016) Seja uma população formada pelos salários, em R$, dos 
empregados de uma empresa apresentando uma distribuição unimodal. Com relação às medidas 
descritivas, é correto afirmar que 
a) Se for concedido um aumento fixo de R$ 1.024,00 para todos os salários dos empregados, então o 
respectivo novo desvio padrão fica multiplicado por 32. 
b) Se um empregado da empresa que ganha um salário exatamente igual à média dos salários de todos 
os empregados é demitido, então os valores da nova média e da nova variância dos empregados que 
continuaram na empresa não se alteram. 
c) Subtraindo de todos os salários dos empregados um valor constante igual à média de todos os salários 
verifica-se que nova média e a nova variância são nulas. 
d) Um aumento de 10% para todos os salários dos empregados significa que o respectivo novo 
coeficiente de variação permanece inalterado. 
e) Se a curva de frequência correspondente à distribuição dos salários for caracterizada como 
platicúrtica, então a média é inferior à mediana e a mediana é inferior à moda. 
 
5. (CESPE/DEPEN/2015) 
Idade (𝒙) Percentual 18 ≤ 𝑥 < 25 30% 25 ≤ 𝑥 < 30 25% 30 ≤ 𝑥 < 35 20% 35 ≤ 𝑥 < 45 15% 45 ≤ 𝑥 < 60 10% 
Total 100% 
Felipe M. Monteiro, Gabriela R. Cardoso e Rafael da Silva. A seletividade do sistema prisional 
brasileiro e as políticas de segurança pública. In: XV Congresso Brasileiro de Sociologia, 26 a 29 
de julho de 2011, Curitiba (PR). Grupo de Trabalho – Violência e Sociedade (com adaptações). A 
tabela precedente apresenta a distribuição percentual de presos no Brasil por faixa etária em 
2010, segundo levantamento feito por Monteiro et al. (2011), indicando que a população 
prisional brasileira nesse ano era predominantemente jovem. 
Com base nos dados dessa tabela, julgue o item a seguir. 
A curtose é uma medida de variação que representa a semiamplitude de uma distribuição de dados e, 
por isso, seu valor na distribuição percentual de presos no Brasil em 2010 foi igual a 21 anos. 
 
 
 
6. (CESPE/FUB/2015) 
 
 privada pública 
média amostral 2,6 2,8 
desvio padrão amostral 0,36 0,48 
primeiro decil (D1) 2,2 2,3 
primeiro quartil (Q1) 2,3 2,5 
mediana (Q2) 2,6 2,8 
terceiro quartil (Q3) 2,9 3,1 
nono decil (D9) 3,1 3,4 
mínimo 1,1 1,4 
máximo 3,3 4,2 
Internet: <http://portal.inep.gov.br> (com adaptações). 
O conceito médio da graduação (G) é um indicador calculado pelo INEP (Instituto Nacional de 
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) para a avaliação da qualidade dos cursos de 
graduação das instituições de ensino superior. A figura apresentada mostra, esquematicamente, 
as distribuições desse indicador nas instituições privadas e públicas, referentes ao ano de 2013, 
e a tabela apresenta algumas estatísticas descritivas referentes a essas distribuições. 
Com base nessas informações, julgue o próximo item. 
O coeficiente percentílico de curtose da distribuição do indicador G nas instituições privadas é inferior 
ao coeficiente percentílico de curtose desse mesmo indicador nas instituições públicas. 
 
7. (FCC/CNMP/2015) Considere uma curva de frequência de uma distribuição estatística 
unimodal e as seguintes afirmações: 
Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada. 
A moda é menor que a mediana e a mediana é menor que a média. 
 
 
Se a distribuição satisfaz I e II, então trata-se de uma distribuição 
a) Platicúrtica e assimétrica à esquerda. 
b) Platicúrtica e assimétrica à direita. 
c) Leptocúrtica e assimétrica à esquerda. 
d) Leptocúrtica e assimétrica à direita. 
e) Leptocúrtica e simétrica. 
 
8. (FCC/TRT 3ª Região/2015) Uma distribuição estatística unimodal, com uma curva de 
frequência platicúrtica e sendo a média inferior à mediana e a mediana inferior à moda, 
caracteriza uma distribuição assimétrica à 
a) Direita e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada 
comparando com a curva normal. 
b) Direita e com os dados fracamente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
achatada comparando com a curva normal. 
c) Direita e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
achatada comparando com a curva normal. 
d) Esquerda e com os dados fracamente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
achatada comparando com a curva normal. 
e) Esquerda e com os dados fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva 
afilada comparando com a curva normal. 
 
9. (VUNESP/TJ SP/2015) Leia o texto seguinte e os dados da tabela, para responder à questão. 
Em uma pesquisa para estudo da distribuição de uma variável contínua (x), foram examinados 
n itens. A tabela de distribuição de frequência que resultou desse estudo está parcialmente 
representada a seguir, para a qual xi é a coluna dos valores da variável estudada e P a coluna dos 
valores da frequência acumulada em percentual. 𝒙𝒊 P (%) 
20 — 40 10 
40 — 60 30 
60 — 80 60 
80 — 100 85 
 
 
100 — 120 100 
Define-se por curtose de uma distribuição de frequência o seu grau de achatamento em relação 
à curva de distribuição normal. A medida de curtose é dada por C=(Q3−Q1)/2(D9−D1), em que 
Q3 e Q1 são, respectivamente, o terceiro e o primeiro quartil, e D9 e D1 são, respectivamente, o 
nono e o primeiro decil. Considerando-se, então, os dados da distribuição descrita na tabela, é 
correto afirmar que o valor de C é, aproximadamente, 
a) 0,48. 
b) 0,40. 
c) 0,32. 
d) 0,28. 
e) 0,20. 
 
10. (VUNESP/TJ PA/2014) Enunciado para a questão. 
Uma instituição pública utiliza um questionário para avaliar a qualidade do atendimento. A 
qualidade é classificada com notas de zero a 5, sendo zero, atendimento péssimo e 5, 
atendimento ótimo. Os resultados do questionário estão na tabela a seguir. 
3 5 5 4 1 4 4 1 5 5 
4 4 0 1 4 2 3 4 4 5 
4 3 2 4 5 1 4 5 3 4 
4 3 2 4 4 4 5 3 3 4 
 
Em Estatística,define-se grau de achatamento de uma curva por um valor K dado por: 𝑲 = (𝑸𝟑 − 𝑸𝟏)𝟐 ⋅ (𝑫𝟗 − 𝑫𝟏) 
Onde Q3 é o terceiro quartil, Q1, o primeiro quartil, D1 é o primeiro decil e D9 é o nono decil. No 
conjunto de dados da questão anterior, o valor K é igual a: 
a) 1/8. 
b) 1/6. 
c) 1/4. 
d) 1/3. 
 
 
e) 1/2. 
 
11. (VUNESP/DESENVOLVE SP/2014) A medida do “achatamento” de uma distribuição de 
probabilidade é denominada 
a) Assimetria. 
b) Variância. 
c) Desvio padrão. 
d) Curtose. 
e) Desvio absoluto médio. 
 
12. (CESPE/TRE ES/2011) 
Quantidade de eleitores Quantidade de municípios 𝟎 ⊢ 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 364 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 1.000 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟔. 𝟎𝟎𝟎 3.000 𝟔. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟖. 𝟎𝟎𝟎 1.000 𝟖. 𝟎𝟎𝟎 ⊢ 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 200 
total 5.564 
A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores que não 
votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem como os números de 
municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue o item seguinte, 
relativo à análise exploratória de dados. 
A curtose da distribuição em questão pode ser avaliada com base na estimativa do quarto momento 
central, a qual deve ser comparada com o valor de referência 3, visto que todas as distribuições 
simétricas possuem quarto momento central igual a 3. 
 
 
 
GABARITO 
Curtose
1. ERRADO 
2. CERTO 
3. ERRADO 
4. LETRA D 
5. ERRADO 
6. ERRADO 
7. LETRA D 
8. LETRA D 
9. LETRA D 
10. LETRA A 
11. LETRA D 
12. ERRADO