PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2023-2024 RESOLVIDA

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PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2023-2024 
ENUNCIADOS 
 
1) A soma, em graus, das soluções da equação trigonométrica    sen x 3cos x 1,  
contidas no intervalo  0 ,360 ,  é 
a) 60 b) 150 c) 240 d) 330 e) 420 
 
2) A soma dos números maiores que 100 e menores que 300 que são múltiplos de 4 ou 
de 7, mas não são simultaneamente de ambos, é 
a) 8426 b) 10086 c) 11354 d) 12642 13382 
 
3) Analise as afirmativas abaixo sobre as propriedades de operação de união e 
interseção de conjuntos: 
I. A B A B A    
II. A B, C D B D A C      
III.    A B B A C B C A, C        
IV.      A B C A B A C      
Assinale a opção correta. 
a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
b) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
e) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
 
4) Seja  E 0,1,2, ,99 e considere a função f : E E, tal que o valor de  f x é 
dado pela soma dos algarismos de x. O número de subconjuntos do conjunto 
  A x | f x 7  é 
a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256 
 
5) Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto e no mesmo instante. Uma 
delas anda na direção leste a uma velocidade de 4 km / h, e a outra anda na direção 
nordeste a 4 2 km / h. A taxa de variação da distância entre as duas pessoas, após 
15 minutos, será 
a) 0 km / h b) 2 km / h c) 4 km / h d) 6 km / h e) 8 km / h 
 
6) O comprimento exato da curva  2y ln 1 x  para 0 x 0,5  é 
a)  ln 2 b)  
1
ln 3
2
 c)  
1
ln 3
2
 d)  
1
ln 5
2
 e)  
1
ln 5
2
 
 
7) O valor, em reais, da 50ª parcela de um financiamento de R$ 200.000,00, em 120 
meses, a taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), 
será 
a) R$ 2.500,00 b) R$ 2.850,00 c) R$ 3.200,00 d) R$ 3.450,00 e) R$ 3.800,00 
 
 
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8) Dados um círculo e cinco cores distintas, de quantas maneiras podemos pintar todos 
os quadrantes deste círculo, se os quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem 
receber as mesmas cores? 
a) 260 b) 190 c) 120 d) 60 e) 20 
 
9) Seja  n n
b

 uma sequência finita com 9 elementos, tal que 1b 1 e 9b 2, com 
interpolação aritmética de sete termos. Seja  n n
c

 uma sequência finita com 6 
elementos, tal que 1c 2 e 6c 64, com interpolação geométrica de quatro termos. 
Defina  n n
a

 a sequência finita tal que i ia b , i 1, ,9  e j 8 ja c ,  
j 2, ,6.  Qual é a soma, nS , dos n termos de  n n
a ?

 
a) 135,5 b) 136,5 c) 137,5 d) 138,5 e) 139,5 
 
10) Dada uma matriz quadrada M de ordem três. Define-se a matriz de cofatores de M e 
denota-se por M’, a matriz que se obtém de M, substituindo cada elemento de M por seu 
cofator. Além disso, denota-se por M a matriz adjunta de M, que é definida como 
sendo a transposta da matriz de cofatores de M, isto é,  tM M' . Seja 
3 1 0
M 1 0 2 ,
2 1 3
 
 

 
  
 e defina B M M.  Qual é o valor da soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz B? 
a) 15 b) 5 c) 3 d) 5 e) 15 
 
11) Considere a equação: 
2 2x y
1.
27 36
  Podemos afirmar que essa equação expressa o 
lugar geométrico de uma 
a) elipse, com focos em  3,0 e  3,0 . 
b) hipérbole, com vértices em  3,0 e  3,0 . 
c) elipse, com focos em  0, 3 e  0,3 . 
d) hipérbole, com vértices em  0, 3 e  0,3 . 
e) circunferência de raio 1. 
 
12) Sejam 
5
p ,
12

 
7
q
12

 e r .
12

 O valor da expressão 
       sen p sen q sen r sen p q r     é 
a) 2 b) 2 3 c) 3 3 d) 6 e) 2 6 
 
13) Considere o polinômio   4 3 2p x x 8x Ax Bx 20,     onde 
 2A a 2a 1 b b    e  2B a 1 b 2ab.   Sabendo-se que a é uma raiz dupla inteira 
positiva, b é uma raiz simples inteira e positiva e 1 é raiz de  p x , determine o valor 
de a b 1:  
a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 23 
 
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14) Sejam as circunferências 1C , de centro  2,0 e raio 2, e 2C , de centro  0,1 e raio 
1. Determine os pontos que pertencem a 1C e 2C simultaneamente. 
a)  0,1 e 
3 3
,
5 5
 
 
 
 b)  0,0 e 
1 8
,
5 5
 
 
 
 
c)  1,0 e 
3 7
,
5 5
 
 
 
 d)  0,0 e 
4 8
,
5 5
 
 
 
 
e)  0,1 e 
1 8
,
5 5
 
 
 
 
 
15) Calcule o limite a seguir: 
n
3n 0
e 1
lim
n

 
a) 1 b)  c)  d) 0 e) 2e 
 
16) Seja a função     3 2f x cos ln x 8x 21x 19 .    O valor da derivada de  f x 
calculada em x 2  é 
a)  cos 1 b) 0 c)  d)  cos 2 e) 1 
 
17) Sendo    f x sen 2x , calcule a área limitada por  f x e pelas retas x 0, x
8

 
e y 0. 
a) 
1 2
2

 b) 
2 2
4

 c) 
1 2
4

 d) 
3 2
2

 e) 
3 2
4

 
 
18) Sabendo que z representa números complexos da forma z x iy,  em que i é a 
unidade imaginária, para os quais valem as seguintes proposições. 
I.   Re 1 i z 1 0;   
II. z i z 1 ;   
III.  2Im z 2; e 
IV.  z 2 Re z .  
Sobre as proposições acima, assinale a alternativa correta. 
a) I e II representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
x y 2  e x y, respectivamente. 
b) II e III representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
x y e 2 2x y 2,  respectivamente. 
c) II e IV representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
x 1 y  e  2x 2 y 1 ,  respectivamente. 
d) I e IV representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
y x 1  e 2 2x y 1,  respectivamente. 
e) III e IV representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
yx 1 e  2y 4 x 1 ,  respectivamente. 
 
 
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19) Considere o conjunto dos números naturais  1,2,3, , e seja  a 1 .  
Então, existem primos 1 2 rp ,p , , p e naturais 1 2 rn ,n , , n , tais que 
1 2 rn n n
r1 2a p p p .    Dizemos que os naturais ip , i 1, , r  são fatores primos 
distintos de a. A decomposição de a em fatores primos é única. Defina a função 
 p : 1 ,  tal que  p x é o número de fatores primos distintos de x. Defina 
f : , tal que  f 1 1 e    f x p x para todo x 1. Além disso, sejam X o 
conjunto dos números pares e Y o conjunto dos números ímpares, tais que X e Y . 
Isto é, a X n ,   tal que a 2n e b Y n ,   tal que b 2n 1.  Sobre a 
função f assinale a alternativa INCORRETA. 
a)      f X Y f X f Y   
b)  f  
c)    f X Y f X  
d)    f a f b a b, a,b     
e)    f X Y f Y  
 
20) Considere cinco funcionários (A, B, C, D, E) da empresa INCÓGNITA LTDA. Que 
trabalham ou no setor X ou no setor Y. Sabe-se que os funcionários do setor X sempre 
falam a verdade, enquanto os funcionários do setor Y sempre mentem. Sabe-se que: 
• A é do setor X; 
• B se diz do setor X; 
• C diz que D é do setor X; 
• D diz que B e E não podem ser ambos do setor X; e 
• E diz que A e B são do setor X. 
Quantos funcionários trabalham no setor X? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
 
1) e (Equação trigonométrica) 
2) d (Progressão aritmética e princípio da inclusão-exclusão) 
3) c* (Conjuntos) 
4) e (Função e conjuntos) 
5) c (Taxa de variação) 
6) b (Integral – comprimento de curva) 
7) b (Tabela SAC) 
8)a (Análise combinatória – princípio multiplicativo e aditivo) 
9) c (Progressão aritmética e progressão geométrica) 
10) a (Matrizes – matriz inversa) 
11) c (Geometria analítica no plano – cônicas) 
12) d (Trigonometria – redução ao 1° quadrante e fórmulas de prostaférese) 
13) b (Polinômios – relações de Girard) 
14) d (Geometria analítica no plano – circunferências) 
15) c (Limite – limite exponencial) 
16) b (Derivada – regra da cadeira) 
17) b (Integral – cálculo de área) 
18) e (Números complexos – lugar geométrico) 
19) d (Números primos) 
20) c (Lógica) 
 
* O enunciado dessa questão foi adaptado, pois ela estava incorreta ou imprecisa da 
maneira como foi originalmente proposta. 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO 
 
1) A soma, em graus, das soluções da equação trigonométrica    sen x 3cos x 1,  
contidas no intervalo  0 ,360 ,  é 
a) 60 b) 150 c) 240 d) 330 e) 420 
 
Resposta: e 
       
     
1 3
sen x 3 cos x 1 2 sen x cos x 1
2 2
1 1
cos30 cos x sen 30 sen x cos x 30
2 2
x 30 360 k 60 , k
x 360 k 90 , k x 360 k 30 , k
 
     
 
        
       
           
 
   x 0 ,360 x 90 ,330       
Portanto, a soma das soluções é 90 330 420 .    
 
 
2) A soma dos números maiores que 100 e menores que 300 que são múltiplos de 4 ou 
de 7, mas não são simultaneamente de ambos, é 
a) 8426 b) 10086 c) 11354 d) 12642 13382 
 
Resposta: d 
O menor múltiplo de 4 maior do que 100 é 1a 104 e o maior múltiplo de 4 menor do 
que 300 é na 296. 
Os múltiplos de 4 formam uma P.A. de razão igual a r 4, então 
     
n 1a a r n 1 296 104 4 n 1 4 n 1 192 n 49.            
A soma dos múltiplos de 4 é  
   1 49
M 4
a a 49 104 296 49
S 9800.
2 2
   
   
O menor múltiplo de 7 maior do que 100 é 1b 105 e o maior múltiplo de 7 menor do 
que 300 é mb 294. 
Os múltiplos de 7 formam uma P.A. de razão igual a r ' 7 então 
     
m 1b b r ' m 1 294 105 7 m 1 7 m 1 189 m 28            
A soma dos múltiplos de 7 é  
   1 49
M 7
b b 28 105 294 28
S 5586.
2 2
   
   
Vamos agora obter a quantidade de múltiplos do  mmc 4,7 28. 
O menor múltiplo de 28 maior do que 100 é 1c 112 e o maior múltiplo de 28 menor 
do que 300 é pc 280. 
Os múltiplos de 28 formam uma P.A. de razão igual a r '' 28, então 
     p 1c c r '' p 1 280 112 28 p 1 28 p 1 168 p 7.            
 
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A soma dos múltiplos de 28 é  
   1 7
M 28
c c 7 112 280 7
S 1372.
2 2
   
   
Logo, a soma dos números maiores que 100 e menores que 300 que são múltiplos de 4 
ou de 7, mas não são simultaneamente de ambos, é dada por 
     M 4 M 7 M 28S S 2 S 9800 5586 2 1372 12642.        
 
 
3) Analise as afirmativas abaixo sobre as propriedades de operação de união e 
interseção de conjuntos: 
I. A B A B A    
II. A B, C D B D A C      
III.    A B B A C B C A, C        
IV.      A B C A B A C      
Assinale a opção correta. 
a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
b) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
e) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
 
Resposta: c 
I. A B A B A    (Verdadeira) 
II. A B, C D B D A C      (Falsa) 
Contraexemplo: 
       
 
A 1 ,B 1,2 ,C 3 ,D 2,3
B D 2 A C
   
    
 
III.    A B B A C B C A, C        (Verdadeira) 
A B A B A    
         B A C B A B C A B C B C A            
IV.      A B C A B A C      (Verdadeira) 
Essa é a propriedade da distributividade da união em relação à interseção. 
 
 
4) Seja  E 0,1,2, ,99 e considere a função f : E E, tal que o valor de  f x é 
dado pela soma dos algarismos de x. O número de subconjuntos do conjunto 
  A x | f x 7  é 
a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256 
 
Resposta: e 
 x E 0,1,2, ,99  
   f x 7 x 7,16,25,34,43,52,61,70   
 A 7,16,25,34,43,52,61,70 A 8    
Portanto, o número de subconjuntos de A é A 82 2 256.  
 
 
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5) Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto e no mesmo instante. Uma 
delas anda na direção leste a uma velocidade de 4 km / h, e a outra anda na direção 
nordeste a 4 2 km / h. A taxa de variação da distância entre as duas pessoas, após 
15 minutos, será 
a) 0 km / h b) 2 km / h c) 4 km / h d) 6 km / h e) 8 km / h 
 
Resposta: c 
 
A figura anterior representa a situação descrita no enunciado. 
Após t horas, a pessoa de velocidade 4 km / h estará no ponto A tal que OA 4t km e 
a pessoa de velocidade 4 2 km / h estará no ponto B tal que OB 4 2 t km.  
Note que o triângulo OAB é retângulo em A, pois é congruente ao triângulo retângulo 
isósceles de lados 4t, 4t e 4 2 t por L.A.L.. Logo, a distância entre as duas pessoas
AB 4t km. 
A taxa de variação da distância entre as pessoas é a derivada de AB em 
1
t h.
4
 
 AB 4t km AB ' 4 km / h   
Note que a taxa de variação não depende do tempo. 
 
 
6) O comprimento exato da curva  2y ln 1 x  para 0 x 0,5  é 
a)  ln 2 b)  
1
ln 3
2
 c)  
1
ln 3
2
 d)  
1
ln 5
2
 e)  
1
ln 5
2
 
 
Resposta: b 
O comprimento da curva  2y ln 1 x  para 0 x 0,5  é dado por 
 
0,5
2
0
L 1 y ' dx.  
     
 
2
22
2 2 2
2
1 2x 4x
y ln 1 x y ' 2x y '
1 x 1 x 1 x

        
  
 
 
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 
     
 
 
2
2 2 4 2 2 4 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
4x 1 2x x 4x 1 2x x 1 x
1 y ' 1
1 x 1 x 1 x 1 x
     
     
   
 
 
 
 
2
2 2 2
2
2 2 2 2
2
1 x 1 x 1 x 2
1 y ' 1
1 x 1 x 1 x1 x
  
      
  
 
Note que, como 0 x 0,5,  então 21 x 0.  
Vamos escrever 
2
2
1 x
 como a soma de suas frações de denominadores 1 x e 1 x. 
  
       
2 a b
2 a 1 x b 1 x a b x a b
1 x 1 x 1 x 1 x
a b 0
a b 1
a b 2
           
   
  
   
 
 
2
2 1 1
1 x 1 x1 x
  
 
 
      
    
 
0,5 0,5 0,52
0
0 0
1 1
L 1 y ' dx 1 dx x ln 1 x ln 1 x
1 x 1 x
1 1 1 1 3 1
ln 1 ln 1 0 ln 1 0 ln 1 0 ln ln
2 2 2 2 2 2
1 3 2 1
ln ln 3
2 1 2 2
 
              
   
    
                    
    
 
     
 
 
A seguir é apresentado o gráfico de    2y f x ln 1 x .   
 
 
 
 
 
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7) O valor, em reais, da 50ª parcela de um financiamento de R$ 200.000,00, em 120 
meses, a taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), 
será 
a) R$ 2.500,00 b) R$ 2.850,00 c) R$ 3.200,00 d) R$ 3.450,00 e) R$ 3.800,00 
 
Resposta: b 
Em um financiamento de 200000,00 reais em 120 meses pelo SAC, a amortização 
mensal será de 
200000,00 5000,00
120 3
 reais. 
Dessa forma, o saldo devedor diminuirá mensalmente desse valor e a parcela diminuirá 
de 
5000,00 50,00
1%
3 3
  reais. 
Isso implica que o valor das parcelas será uma progressão aritmética (P.A.) de razão 
50,00
r .
3
  
O valor dos juros da primeira parcela do financiamento é 200000,00 1% 2000,00  
reais, então a primeira parcela será 
5000,00
2000,00
3
 
 
 
 reais. 
As parcelas do financiamento sãouma P.A. de primeiro termo 
1
5000,00
a 2000,00
3
 
  
 
 e razão 
50,00
r .
3
  
Portanto, a 50ª parcela será dada por 
 
50
5000,00 50,00 2550,00
a 2000,00 50 1 2000,00 2850,00
3 3 3
 
        
 
 reais. 
 
 
8) Dados um círculo e cinco cores distintas, de quantas maneiras podemos pintar todos 
os quadrantes deste círculo, se os quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem 
receber as mesmas cores? 
a) 260 b) 190 c) 120 d) 60 e) 20 
 
Resposta: a 
Vamos dividir a análise do problema em dois casos: 
1°) o primeiro e o terceiro quadrantes são pintados da mesma cor; 
Temos 5 possibilidades de cor para o 1° quadrante, 4 para o 2° quadrante, 1 para o 3° 
quadrante (a cor do 1° quadrante) e 4 para o 4° quadrante. 
 
(os quadrantes marcados de cinza têm a mesma cor) 
Logo, o total de possibilidades é 5 4 1 4 80.    
2°) o primeiro e o terceiro quadrantes são pintados de cores diferentes. 
 
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Temos 5 possibilidades de cor para o 1° quadrante, 4 para o 2° quadrante, 3 para o 3° 
quadrante (não pode usar as cores do 1° e 2° quadrantes) e 3 para o 4° quadrante (não 
pode usar as cores do 1° e 3° quadrantes). 
 
Logo, o total de possibilidades é 5 4 3 3 180.    
Portanto, o total de maneiras distintas de pintar o quadrante é 80 180 260.  
 
 
9) Seja  n n
b

 uma sequência finita com 9 elementos, tal que 1b 1 e 9b 2, com 
interpolação aritmética de sete termos. Seja  n n
c

 uma sequência finita com 6 
elementos, tal que 1c 2 e 6c 64, com interpolação geométrica de quatro termos. 
Defina  n n
a

 a sequência finita tal que i ia b , i 1, ,9  e j 8 ja c ,  
j 2, ,6.  Qual é a soma, nS , dos n termos de  n n
a ?

 
a) 135,5 b) 136,5 c) 137,5 d) 138,5 e) 139,5 
 
Resposta: c 
14 9 14 9 6 9 6
14 i i i i j 8 i j
i 1 i 1 i 10 i 1 j 2 i 1 j 2
S a a a a a b c
      
             
A sequência  n n
b

 é uma P.A. de primeiro termo 1b 1 e último termo 9b 2, 
então 
   9
1 9
i
i 1
b b 9 1 2 9
b 13,5.
2 2
   
   
A sequência  n n
c

 é uma P.G. de razão q na qual 1c 2 e 6c 64, então 
6 1 5 5
6 1 2c c q 64 2 q q 32 q 2 c 2 2 4.             
Logo, 
   5 56
2
j
j 2
c q 1 4 2 1
c 124.
q 1 2 1
 
  
 
 
Portanto, 
9 6
14 i j
i 1 j 2
S b c 13,5 124 137,5.
 
      
 
 
 
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10) Dada uma matriz quadrada M de ordem três. Define-se a matriz de cofatores de M e 
denota-se por M’, a matriz que se obtém de M, substituindo cada elemento de M por seu 
cofator. Além disso, denota-se por M a matriz adjunta de M, que é definida como 
sendo a transposta da matriz de cofatores de M, isto é,  tM M' . Seja 
3 1 0
M 1 0 2 ,
2 1 3
 
 

 
  
 e defina B M M.  Qual é o valor da soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz B? 
a) 15 b) 5 c) 3 d) 5 e) 15 
 
Resposta: a 
O determinante de M é det M 0 4 0 0 3 6 5,        então a matriz M é invertível. 
A matriz inversa de M é 1 11
M M M det M M .
det M
      
 
 
1 1
3B M M M det M M det M M M det M I
1 0 0 5 0 0
5 0 1 0 0 5 0
0 0 1 0 0 5
           
   
   
    
   
      
 
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal de B é      5 5 5 15.       
Alternativamente, você poderia obter a matriz dos cofatores e a matriz adjunta e depois 
multiplicá-la por M. 
Seja  ij 3 3
M' m' ,

 então 
 1 1
11
0 2
m ' 1 2;
1 3

      1 2
12
1 2
m' 1 1;
2 3

    1 3
13
1 0
m ' 1 1
2 1

   
 2 1
21
1 0
m ' 1 3;
1 3

     2 2
22
3 0
m ' 1 9;
2 3

    2 3
23
3 1
m ' 1 1
2 1

    
 3 1
31
1 0
m ' 1 2;
0 2

    3 2
32
3 0
m ' 1 6;
1 2

     3 3
33
3 1
m ' 1 1
1 0

    
 t
2 1 1 2 3 2
M ' 3 9 1 M M ' 1 9 6
2 6 1 1 1 1
     
   
       
   
         
 
3 1 0 2 3 2 5 0 0
B M M 1 0 2 1 9 6 0 5 0
2 1 3 1 1 1 0 0 5
       
     
      
     
            
 
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal de B é      5 5 5 15.       
 
 
 
 
 
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11) Considere a equação: 
2 2x y
1.
27 36
  Podemos afirmar que essa equação expressa o 
lugar geométrico de uma 
a) elipse, com focos em  3,0 e  3,0 . 
b) hipérbole, com vértices em  3,0 e  3,0 . 
c) elipse, com focos em  0, 3 e  0,3 . 
d) hipérbole, com vértices em  0, 3 e  0,3 . 
e) circunferência de raio 1. 
 
Resposta: c 
A equação 
2 2x y
1
27 36
  representa uma elipse de centro na origem na qual 
2a 36 a 6   
2b 27 b 3 3   
2 2 2 2 2a b c 36 27 c c 9 c 3         
Como o maior denominador é o de 2y , então o eixo focal é vertical e está sobre o eixo 
y. Assim, os focos são  0, 3 e  0,3 . 
A figura a seguir é a representação da elipse de equação 
2 2x y
1.
27 36
  
 
 
 
12) Sejam 
5
p ,
12

 
7
q
12

 e r .
12

 O valor da expressão 
       sen p sen q sen r sen p q r     é 
a) 2 b) 2 3 c) 3 3 d) 6 e) 2 6 
 
 
 
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Resposta: d 
       sen p sen q sen r sen p q r
5 7 13
sen sen sen sen
12 12 12 12
5 5
sen sen sen sen
12 12 12 12
5 5
sen sen sen sen
12 12 12 12
     
          
           
       
          
             
       
            
           
        
 *
5 5
5 12 12 12 122 sen sen 2 2sen cos
12 12 2 2
2 3
4sen cos 4 6
4 6 2 2

      
          
            
        
    
       
   
 
Alternativamente, poderíamos usar os valores de 
6 2
sen sen15
12 4
  
   
 
 e 
5 6 2
sen sen 75
12 4
  
   
 
 em (*) e obter o mesmo resultado 6. 
 
 
13) Considere o polinômio   4 3 2p x x 8x Ax Bx 20,     onde 
 2A a 2a 1 b b    e  2B a 1 b 2ab.   Sabendo-se que a é uma raiz dupla inteira 
positiva, b é uma raiz simples inteira e positiva e 1 é raiz de  p x , determine o valor 
de a b 1:  
a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 23 
 
Resposta: b 
As raízes de   4 3 2p x x 8x Ax Bx 20     são 1, b e a (dupla), onde a e b são 
números inteiros e positivos. 
Pelas relações de Girard, temos: 
 
     
 
     
  
 
1
2
2
2
2 2
3
2
2 2
4
1 a a b 8 2a b 9
1 a 1 a 1 b a a a b a b 2a b a 2ab
a 2a 1 b b A
1 a b 1 a b 1 a a a a b 2ab a a b
a 1 b 2ab B
1 b a 20 b a 20
         
                     
    
                    
     
         
 
Como a e b são inteiros positivos e 2 2b a 2 5,   então       a,b 2,5 ; 1,20 . 
Os valores de a e b também devem satisfazer 2a b 9,  então    a,b 2,5 . 
Portanto, a b 1 2 5 1 11.      
 
 
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14) Sejam as circunferências 1C , de centro  2,0 e raio 2, e 2C , de centro  0,1 e raio 
1. Determine os pontos que pertencem a 1C e 2C simultaneamente. 
a)  0,1 e 
3 3
,
5 5
 
 
 
 b)  0,0 e 
1 8
,
5 5
 
 
 
 
c)  1,0 e 
3 7
,
5 5
 
 
 
 d)  0,0 e 
4 8
,
5 5
 
 
 
 
e)  0,1 e 
1 8
,
5 5
 
 
 
 
 
Resposta: d 
A circunferência1C , de centro  2,0 e raio 2, tem equação 
   
22 2 2 2 2 2x 2 y 0 2 x 4x 4 y 4 x 4x y 0.             
A circunferência 2C , de centro  0,1 e raio 1, tem equação 
   
22 2 2 2 2 2x 0 y 1 1 x y 2y 1 1 x y 2y 0.             
A interseção das duas circunferências são as soluções do sistema 
2 2
2 2
x 4x y 0
.
x y 2y 0
   

  
 
Subtraindo as equações, temos 4x 2y 0 y 2x.     
Substituindo a última igualdade na primeira equação do sistema, vem: 
 22 2 4 4
x 4x 2x 0 5x 4x 0 5x x 0 x 0 x
5 5
 
             
 
 
x 0 y 2 0 0     
4 4 8
x y 2
5 5 5
     
Portanto, os pontos de interseção das circunferências são  0,0 e 
4 8
, .
5 5
 
 
 
 
A figura a seguir representa as duas circunferências do problema. 
 
 
 
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15) Calcule o limite a seguir: 
n
3n 0
e 1
lim
n

 
a) 1 b)  c)  d) 0 e) 2e 
 
Resposta: c 
O limite 
n
3n 0
e 1
lim
n

 é uma indeterminação do tipo 
0
,
0
 então podemos aplicar o teorema 
de L’Hospital. 
n n
3 2n 0 n 0
e 1 e
lim lim
n 3n 

   
Note que, quando n 0, ne 1 e 23n 0. 
Alternativamente, poderíamos utilizar infinitesimais equivalentes e observar que 
 ne 1 ~ n, então 
n
3 3 2n 0 n 0 n 0
e 1 n 1
lim lim lim .
n n n  

    
 
 
16) Seja a função     3 2f x cos ln x 8x 21x 19 .    O valor da derivada de  f x 
calculada em x 2  é 
a)  cos 1 b) 0 c)  d)  cos 2 e) 1 
 
Resposta: b 
Considerando a regra da cadeia, a derivada de     3 2f x cos ln x 8x 21x 19    é 
      3 2 2
3 2
1
f ' x sen ln x 8x 21x 19 3x 16x 21 .
x 8x 21x 19
        
  
 
A derivada de  f x calculada em x 2  é 
             
     
    
2
3 2
3 2
3 2 16 2 21
f ' 2 sen ln 2 8 2 21 2 19
2 8 2 21 2 19
1
sen ln 1 sen 0 0
1
   
          
     
     
 
 
 
17) Sendo    f x sen 2x , calcule a área limitada por  f x e pelas retas x 0, x
8

 
e y 0. 
a) 
1 2
2

 b) 
2 2
4

 c) 
1 2
4

 d) 
3 2
2

 e) 
3 2
4

 
 
Resposta: b 
 
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A área limitada por  f x e pelas retas x 0, x
8

 e y 0 é 
 
 
 
 
88
00
cos 2x 1 1
sen 2x dx cos 2 cos 2 0
2 2 8 2
1 1 1 2 1 2 2
cos cos 0 1
2 4 2 2 2 2 4
        
                  
  
         
 
 
A figura a seguir representa a região indicada no enunciado. 
 
 
 
18) Sabendo que z representa números complexos da forma z x iy,  em que i é a 
unidade imaginária, para os quais valem as seguintes proposições. 
I.   Re 1 i z 1 0;   
II. z i z 1 ;   
III.  2Im z 2; e 
IV.  z 2 Re z .  
Sobre as proposições acima, assinale a alternativa correta. 
a) I e II representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
x y 2  e x y, respectivamente. 
b) II e III representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
x y e 2 2x y 2,  respectivamente. 
c) II e IV representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
x 1 y  e  2x 2 y 1 ,  respectivamente. 
d) I e IV representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
y x 1  e 2 2x y 1,  respectivamente. 
e) III e IV representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem 
yx 1 e  2y 4 x 1 ,  respectivamente. 
 
Resposta: e 
I.   Re 1 i z 1 0   
      
   
21 i z 1 1 i x yi 1 x yi xi yi 1 x yi xi y 1 1
x y 1 x y i
                 
    
 
 
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      Re 1 i z 1 Re x y 1 x y i x y 1 0 y x 1                
II. z i z 1   
       
   2 22 2 2 2 2 2
z i z 1 x yi i x yi 1 x y 1 i x 1 yi
x y 1 x 1 y x y 2y 1 x 2x 1 y
x y
              
             
 
 
III.  2Im z 2 
     22 2 2 2 2 2 2 2z x yi x 2xyi y i x 2xyi y 1 x y 2xyi            
   2 2 2Im z Im x y 2xyi 2xy 2 xy 1         
IV.  z 2 Re z .  
       
   2 2 2 2 2 2
z 2 Re z x yi 2 Re x yi x 2 yi x
x 2 y x x 4x 4 y x y 4 x 1
          
           
 
Logo, a alternativa e) apresenta a descrição correta dos lugares geométricos. 
 
 
19) Considere o conjunto dos números naturais  1,2,3, , e seja  a 1 .  
Então, existem primos 1 2 rp ,p , , p e naturais 1 2 rn ,n , , n , tais que 
1 2 rn n n
r1 2a p p p .    Dizemos que os naturais ip , i 1, , r  são fatores primos 
distintos de a. A decomposição de a em fatores primos é única. Defina a função 
 p : 1 ,  tal que  p x é o número de fatores primos distintos de x. Defina 
f : , tal que  f 1 1 e    f x p x para todo x 1. Além disso, sejam X o 
conjunto dos números pares e Y o conjunto dos números ímpares, tais que X e Y . 
Isto é, a X n ,   tal que a 2n e b Y n ,   tal que b 2n 1.  Sobre a 
função f assinale a alternativa INCORRETA. 
a)      f X Y f X f Y   
b)  f  
c)    f X Y f X  
d)    f a f b a b, a,b     
e)    f X Y f Y  
 
Resposta: d 
A função    f x p x , para x 1, é igual à quantidade de fatores primos na 
decomposição do número natural x em fatores primos. 
Vamos começar analisando a alternativa d)    f a f b a b, a,b     e apresentar 
um contraexemplo que mostra que a mesma é incorreta. 
Contraexemplo:        f 2 1 f 3 1 f 2 f 3 2 3       
Observe que a expressão da alternativa d) corresponde a uma função injetora, mas, 
como há infinitos naturais com cada quantidade de fatores primos, a função f não é 
injetora. 
 
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Vamos agora verificar que as outras alternativas são verdadeiras, pois 
       f f X Y f X f Y .     
Para qualquer n , é possível obter um número x que possua n fatores primos, ou 
seja, tal que  f x n. Note que isso é verdade, pois há infinitos número primos. Assim, 
a imagem do conjunto dos naturais pela função f é o próximo conjunto dos naturais, ou 
seja,  f . 
Note X Y ,  então    f X Y f .   
Para qualquer número natural n é possível encontrar um número par x X que possua 
n fatores primos, ou seja, tal que  f x n. Observe que os números pares sempre vão 
possuir o fator primo 2, então, para  f x 1, devemos ter kx 2 , com k . Para 
obter  f x n 1,  basta incluir outros fatores primos além de 2, ou seja, 
1 2 n 1k k kk
1 2 n 1x 2 p p p ,
     onde ip ,  i 1, , n 1 ,  são números primos ímpares 
diferentes. Assim,  f X . 
Da mesma forma, para qualquer número natural n é possível encontrar um número 
ímpar y Y que possua n fatores primos, ou seja, tal que  f y n. Para obter 
 f y n, basta escolher y com n fatores primos diferentes de 2 (ímpares), ou seja, 
1 2 nk k k
n1 2y p p p ,    onde ip , i 1, ,n , são números primos ímpares diferentes. 
Assim,  f Y . 
Dessa forma, provamos que        f f X Y f X f Y ,     o que garante que as 
alternativas a, b, c e e são verdadeiras. 
 
 
20) Considere cinco funcionários (A, B, C, D, E) da empresa INCÓGNITA LTDA. Que 
trabalham ou no setor X ou no setor Y. Sabe-se que os funcionários do setor X sempre 
falam a verdade, enquanto os funcionários do setor Y sempre mentem. Sabe-se que: 
• A é do setor X; 
• B se diz do setor X; 
• C diz que D é do setorX; 
• D diz que B e E não podem ser ambos do setor X; e 
• E diz que A e B são do setor X. 
Quantos funcionários trabalham no setor X? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Resposta: c 
A afirmativa “B se diz do setor X” é verdadeira para B do setor X ou B do setor Y. 
Vamos dividir a análise do problema em duas possibilidades: 
1°) E é do setor Y 
Se E é do setor Y e “E diz que A e B são do setor X”, então B não é do setor X, ou seja, 
B é do setor Y. 
Como “D diz que B e E não podem ser ambos do setor X”, então D falou a verdade e D 
é do setor X. 
Como “C diz que D é do setor X”, então C falou a verdade e C é do setor X. 
Os resultados obtidos estão na tabela seguinte. 
 
 
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Funcionário A B C D E 
Setor X Y X X Y 
Nesse caso, há 3 funcionários no setor X. 
2°) E é do setor X 
Se E é do setor X e “E diz que A e B são do setor X”, então B é do setor X. 
Como “D diz que B e E não podem ser ambos do setor X”, então D mentiu e D é do 
setor Y. 
Como “C diz que D é do setor X”, então C mentiu e C é do setor Y. 
Os resultados obtidos estão na tabela seguinte. 
Funcionário A B C D E 
Setor X X Y Y X 
Nesse caso, também há 3 funcionários no setor X. 
Portanto, em ambos os casos, há 3 funcionários no setor X.