Questões 2 Calculo integral

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Questão 1/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A função  representam um grupo de funções para descrever funções potenciais na Física". 
Fonte: livro-base, p. 22.
Considere o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, o gráfico que corresponde à função f(x) apresentada acima é:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
(livro-base, p. 22)
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 2/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A curva  está representada no gráfico a seguir, onde está em destaque a área achurada sob a curva.
Fonte: LIVRO-BASE p. 181
Considerando o enunciado acima e os conteúdos de Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a medida da área sob a curva do gráfico acima é igual a:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
(LIVRO-BASE p. 181).
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 3/10 - Cálculo Integral
Observe o enunciado a seguir:
A função senoidal  descreve o relevo de uma superfície irregular de um determinado cristal.
Livro-Base: p. 79.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a partir do processo de derivação sucessiva, a derivada de segunda ordem da função apresentada a acima é igual a
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Livro-Base: p. 79.
Questão 4/10 - Cálculo Integral
Leia a passagem de texto:
"Pelas regras de integração, sabemos que:
∫1dx=x+C∫1��=�+�"
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LEITE, Alvaro Emilio; CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de cálculo I. 1ª ed. Intersaberes, 2017. p. 128.
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral indefinida ∫5dx∫5�� .
Nota: 10.0
	
	A
	5x + C
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
 A solução, de acordo com a regra citada, é imediata:
∫5dx=5x+C(livro−base,p. 128)∫5��=5�+�(�����−����,�. 128)
	
	B
	5 + C
	
	C
	25x + C
	
	D
	125x + C
	
	E
	5x² + C
Questão 5/10 - Cálculo Integral
O gráfico a seguir destaca uma região R delimitada pela curva 
Fonte: Livro-Base, p. 189.
Considere o gráfico acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral e responda: O volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelo gráfico da equação dada é igual a:
Nota: 10.0
	
	A
	
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
(Livro-Base, p. 189.)
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 6/10 - Cálculo Integral
Leia o texto a seguir:
A função  f(x)=x2−3x+8�(�)=�2−3�+8 tem como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima e possui valor de mínimo que caracteriza um ponto crítico.
Fonte: Livro-base, p. 107.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, o ponto crítico da função acima vale
Nota: 10.0
	
	A
	1/2.
	
	B
	3/2.
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Para resolver a questão, basta calcular a derivada da função e igualar a zero. Assim,
f′(x)=0⟺2x−3=0⟺x=32.�′(�)=0⟺2�−3=0⟺�=32. 
(Livro-base, p. 107).
	
	C
	3/5.
	
	D
	3/4.
	
	E
	1/3.
Questão 7/10 - Cálculo Integral
A função f(x)=x3−6x2+11x−6�(�)=�3−6�2+11�−6 possui no ponto x=3�=3 uma tangente ao gráfico de f(x)�(�) de coeficiente angular m� e, também, uma reta normal a essa tangente, cujo coeficiente angular é m′=−1m�′=−1� .
O coeficiente angular reta tangente ao gráfico de f(x)�(�) no ponto x=3�=3 é igual a: 
(Livro-base, página 67).
Nota: 10.0
	
	A
	2
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Para a solução do problema, calcula-se a derivada da função f(x)=x3−6x2+11x−6�(�)=�3−6�2+11�−6 no ponto x=3�=3 que corresponde ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f� . Notamos que a derivada é f′(x)=ddx(x3−6x2+11x−6)=3x2−12x+11�′(�)=���(�3−6�2+11�−6)=3�2−12�+11 e entãof′(3)=3⋅32−12⋅3+11=2.�′(3)=3⋅32−12⋅3+11=2. Com isso o coeficiente angular da reta tangente é m=2�=2.
(Livro-base, página 67).
	
	B
	1.
	
	C
	-1/3.
	
	D
	2/3.
	
	E
	1/2
Questão 8/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
A função f(x)=x33+3x2−7x+9�(�)=�33+3�2−7�+9 possui máximo e mínimo relativos que podem ser obtidos por meio das derivadas de f.�. 
Fonte: Livro-base, p. 106 e 107.
De acordo com o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, os pontos de mínimo e máximo relativos, respectivamente, são
Nota: 10.0
	
	A
	2 e -5.
	
	B
	1 e -7.
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Devem-se obter os pontos críticos de f� e verificar se correspondem aos pontos de máximo ou mínimo relativos da função. Observamos que f′(x)=0⟺x2+6x−7=0⟺x=1 ou x=−7,�′(�)=0⟺�2+6�−7=0⟺�=1 ou �=−7, o que garante que -7 e 1 são pontos críticos. Além disso, f′′(x)=2x+6.�″(�)=2�+6.  Como f′′(1)=2⋅1+6=8>0,�″(1)=2⋅1+6=8>0, segue do Teste da Derivada Segunda que 1 é ponto de mínimo relativo de f.�. Por outro lado, já que f′′(−7)=2⋅(−7)+6=−8<0,�″(−7)=2⋅(−7)+6=−8<0, o ponto -7 é máximo relativo de f.�. 
(Livro-base, p. 106 e 107).
	
	C
	3 e 4.
	
	D
	4 e 6.
	
	E
	7 e 9.
Questão 9/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A função dada por  é uma curva do terceiro grau, conforme mostra a figura a seguir.
Fonte: Livro-Base, p. 67.
A equação da reta tangente à curva, dada acima, no ponto x = 3 é igual a:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Livro-Base: p. 67.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 10/10 - Cálculo Integral
Em integrais do tipo  usa-se o método de integração por substituição trigonométrica e um dos casos considera a situação representada na figura a seguir: 
 
 Nesse caso,   com 
Considere a seguinte integral:
Referência: Livro-Base, p. 170.
A integral I, mostrada acima, é igual:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Referência: Livro-Base, p. 170.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 1/10 - Cálculo Integral
Leia o texto:
Para resolver a integral indefinida 
∫(3+7x2)9.5x dx∫(3+7�2)9.5� ��
devemos fazer a substituição u = 3 + 7x².
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral dada.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	57 .(3+7x2)9+C57 .(3+7�2)9+�
	
	B
	73 .(5+3x2)11+C73 .(5+3�2)11+�
	
	C
	35 .(7+3x2)8+C35 .(7+3�2)8+�
	
	D
	5140 .(3+7x2)10+C5140 .(3+7�2)10+�
Aplicando a substituição, temos:
∫(3+7x2)9.5x dxu=3+7x2→du=14xdx→114du=xdx114.5.∫u9du514.u1010+C5140.(3+7x2)10+C(livro−base, p. 135)∫(3+7�2)9.5� ���=3+7�2→��=14���→114��=���114.5.∫�9��514.�1010+�5140.(3+7�2)10+�(�����−����, �. 135)
	
	E
	73.(7+5x2)9+C73.(7+5�2)9+�
Questão 2/10 - Cálculo Integral
Observe o enunciado a seguir:
A função  possui máximo e mínimo relativos, cujos pontos podem ser obtidos por meio de aplicações das derivadas.
Livro-Base, p. 102 e 103.
De acordo com o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, os pontos de mínimo e máximo relativos, respectivamente, são:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2 e -5
	
	B
	1 e -7
Livro-Base, p. 102 e 103.
	
	C
	3 e 4
	
	D
	4 e 6
	
	E
	7 e 9
Questão 3/10 - Cálculo Integral
Leia o fragmento de texto acima:
"Uma das consequências do Teorema Fundamental do Cálculo é que, dada uma função  integrável em  que admite uma primitiva  em  "
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142).
Considerando o fragmento acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a partir do resultado acima, determine o valor de 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
(LIVRO-BASE p. 142).
	
	D
	
	
	E
	
Questão 4/10 - Cálculo Integral
Do Teorema Fundamental do Cálculo: Seja   uma função contínua.A função  é derivável em  e g′(x)=ddx∫x0f(t)dt=f(x)�′(�)=dd�∫0��(�)��=�(�) 
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142). 
A partir desse teorema, a função f(x) tal que  e  é
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142).
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 5/10 - Cálculo Integral
Observe o enunciado a seguir:
A função senoidal  descreve o relevo de uma superfície irregular de um determinado cristal.
Livro-Base: p. 79.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a partir do processo de derivação sucessiva, a derivada de segunda ordem da função apresentada a acima é igual a
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Livro-Base: p. 79.
Questão 6/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A primitiva  de uma função  num intervalo I obedece a seguinte relação: 
Seja  uma função definida no intervalo I".
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a primitiva de f(x) que satisfaz a relação F(1) = 6  é dada por:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
(livro-base, p. 184-185)
Fonte: Livro-Base, p. 142.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 7/10 - Cálculo Integral
A função  definida num intervalo I obedece a seguinte relação:  onde  é a sua primitiva.
Considere a função  tal que  onde c é uma constante.
Referência: Livro-Base, p. 142.
A função f(x) que satisfaz a integral indefinida mostrada acima é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Questão 8/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir e responda de acordo com o que aprendeu nas aulas e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral:
Calculando ∫f(x)dx∫�(�)��, para f(x)=x3+4x+5�(�)=�3+4�+5 teremos o resultado igual a:
(Livro-base, p. 147)
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	x44+2x2+5x�44+2�2+5�.
	
	B
	x44+2x2+5x+C�44+2�2+5�+�.
Observe que ao calcular a integral indefinida de uma função polinomial devemos aumentar uma unidade no expoente da parte literal de cada termo, e dividir cada termo pelo resultado da soma desse expoente, o resultado será um polinômio com um grau a mais que a função inicial, como a integral é indefinida, teremos o acréscimo de uma constante. (livro-base, p.147)
	
	C
	x4+4x2+5x+C�4+4�2+5�+�.
	
	D
	3x2+4+C3�2+4+�.
	
	E
	x3+4x+5+C.�3+4�+5+�.
Questão 9/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A função dada por  é uma curva do terceiro grau, conforme mostra a figura a seguir.
Fonte: Livro-Base, p. 67.
A equação da reta tangente à curva, dada acima, no ponto x = 3 é igual a:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
Livro-Base: p. 67.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 10/10 - Cálculo Integral
Leia o fragmento de texto a seguir:
"No método de integração por partes, tem-se que ∫udv=uv−∫vdu,∫���=��−∫���, sendo u� e v� funções deriváveis num intervalo aberto. Considere a seguinte integral I=∫ln(x)dx.�=∫ln(�)��."
Fonte: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, p. 155.
(LIVRO-BASE p. 155)
De acordo com o fragmento acima e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a integral I� vale:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	x(ln(x)−x)+c.�(ln(�)−�)+�.
	
	B
	x(ln(x)+1)+c.�(ln(�)+1)+�.
	
	C
	x(ln(x)−x2)+c.�(ln(�)−�2)+�.
	
	D
	x(ln(x)−3x)+c.�(ln(�)−3�)+�.
	
	E
	x(ln(x)−1)+c.�(ln(�)−1)+�.
Aplica-se integração por partes da seguinte forma:u=ln(x); du=dxx; dv=dx e v=x.�=ln(�); ��=���; ��=�� e �=�. Com isso, ∫ln(x)dx=xln(x)−∫xdxx=xln(x)−∫dx=xln(x)−x+c=x(ln(x)−1)+c.∫ln(�)��=�ln(�)−∫����=�ln(�)−∫��=�ln(�)−�+�=�(ln(�)−1)+�.
(LIVRO-BASE p. 155)
Questão 1/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A primitiva  de uma função  num intervalo I obedece a seguinte relação: 
Seja  uma função definida no intervalo I".
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a primitiva de f(x) que satisfaz a relação F(1) = 6  é dada por:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
(livro-base, p. 184-185)
Fonte: Livro-Base, p. 142.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 2/10 - Cálculo Integral
Leia o fragmento de texto acima:
"Uma das consequências do Teorema Fundamental do Cálculo é que, dada uma função  integrável em  que admite uma primitiva  em  "
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142).
Considerando o fragmento acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a partir do resultado acima, determine o valor de 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
(LIVRO-BASE p. 142).
	
	D
	
	
	E
	
Questão 3/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"O gráfico a seguir ilustra o crescimento, em milhões, de uma população de microrganismos em função do tempo x�, dado em dias. O crescimento dessa população é representado pela função f(x)=(x2−4x)(x2−3x−4)�(�)=(�2−4�)(�2−3�−4)  no intervalo de tempo [3,5][3,5], exceto no ponto x=4�=4 dias."
Considere o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral para responder a questão a seguir:  A população limite de microrganismos no quarto dia, em milhões, é dada por limx→4(x2−4x)(x2−3x−4)lim�→4(�2−4�)(�2−3�−4), cujo valor é igual a:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	4545
Para o cálculo do limite da função, devemos escrever as expressões na forma fatorada e depois simplificar os termos, pois temos uma indeterminação do tipo 00.00.
Assim, a expressão (x2−4x)(x2−3x−4)(�2−4�)(�2−3�−4) pode ser fatorada e simplificada:
(x2−4x)(x2−3x−4)= x(x−4)(x−4)(x+1)= x(x+1)(�2−4�)(�2−3�−4)= �(�−4)(�−4)(�+1)= �(�+1)
Logo, limx→4(x2−4x)(x2−3x−4)= limx→4x(x+1)= 4(4+1)=45lim�→4(�2−4�)(�2−3�−4)= lim�→4�(�+1)= 4(4+1)=45
(livro-base, p. 48-51)
	
	B
	5454
	
	C
	44
	
	D
	5252
	
	E
	66
Questão 4/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir e responda de acordo com o que aprendeu nas aulas e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral:
Calculando ∫f(x)dx∫�(�)��, para f(x)=x3+4x+5�(�)=�3+4�+5 teremos o resultado igual a:
(Livro-base, p. 147)
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	x44+2x2+5x�44+2�2+5�.
	
	B
	x44+2x2+5x+C�44+2�2+5�+�.
Observe que ao calcular a integral indefinida de uma função polinomial devemos aumentar uma unidade no expoente da parte literal de cada termo, e dividir cada termo pelo resultado da soma desse expoente, o resultado será um polinômio com um grau a mais que a função inicial, como a integral é indefinida, teremos o acréscimo de uma constante. (livro-base, p.147)
	
	C
	x4+4x2+5x+C�4+4�2+5�+�.
	
	D
	3x2+4+C3�2+4+�.
	
	E
	x3+4x+5+C.�3+4�+5+�.
Questão 5/10 - Cálculo Integral
A função  definida num intervalo I obedece a seguinte relação:  onde  é a sua primitiva.
Considere a função  tal que  onde c é uma constante.
Referência: Livro-Base, p. 142.
A função f(x) que satisfaz a integral indefinida mostrada acima é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Questão 6/10 - Cálculo Integral
Observe o enunciado a seguir:
A função  possui máximo e mínimo relativos, cujos pontos podem ser obtidos por meio de aplicações das derivadas.
Livro-Base, p. 102 e 103.
De acordo com o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, os pontos de mínimo e máximo relativos, respectivamente, são:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2 e -5
	
	B
	1 e -7
Livro-Base, p. 102 e 103.
	
	C
	3 e 4
	
	D
	4 e 6
	
	E
	7 e 9
Questão 7/10 - Cálculo Integral
Do Teorema Fundamental do Cálculo: Seja   uma função contínua. A função  é derivável em  e g′(x)=ddx∫x0f(t)dt=f(x)�′(�)=dd�∫0��(�)��=�(�) 
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142). 
A partir desse teorema, a função f(x) tal que  e  é
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142).
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 8/10 - CálculoIntegral
Em integrais do tipo  usa-se o método de integração por substituição trigonométrica e um dos casos considera a situação representada na figura a seguir: 
 
 Nesse caso,   com 
Considere a seguinte integral:
Referência: Livro-Base, p. 170.
A integral I, mostrada acima, é igual:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
	
	B
	
Referência: Livro-Base, p. 170.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 9/10 - Cálculo Integral
Leia o texto:
Para resolver a integral indefinida 
∫(3+7x2)9.5x dx∫(3+7�2)9.5� ��
devemos fazer a substituição u = 3 + 7x².
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral dada.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	57 .(3+7x2)9+C57 .(3+7�2)9+�
	
	B
	73 .(5+3x2)11+C73 .(5+3�2)11+�
	
	C
	35 .(7+3x2)8+C35 .(7+3�2)8+�
	
	D
	5140 .(3+7x2)10+C5140 .(3+7�2)10+�
Aplicando a substituição, temos:
∫(3+7x2)9.5x dxu=3+7x2→du=14xdx→114du=xdx114.5.∫u9du514.u1010+C5140.(3+7x2)10+C(livro−base, p. 135)∫(3+7�2)9.5� ���=3+7�2→��=14���→114��=���114.5.∫�9��514.�1010+�5140.(3+7�2)10+�(�����−����, �. 135)
	
	E
	73.(7+5x2)9+C73.(7+5�2)9+�
Questão 10/10 - Cálculo Integral
Leia o fragmento de texto a seguir:
"No método de integração por partes, tem-se que ∫udv=uv−∫vdu,∫���=��−∫���, sendo u� e v� funções deriváveis num intervalo aberto. Considere a seguinte integral I=∫ln(x)dx.�=∫ln(�)��."
Fonte: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, p. 155.
(LIVRO-BASE p. 155)
De acordo com o fragmento acima e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a integral I� vale:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	x(ln(x)−x)+c.�(ln(�)−�)+�.
	
	B
	x(ln(x)+1)+c.�(ln(�)+1)+�.
	
	C
	x(ln(x)−x2)+c.�(ln(�)−�2)+�.
	
	D
	x(ln(x)−3x)+c.�(ln(�)−3�)+�.
	
	E
	x(ln(x)−1)+c.�(ln(�)−1)+�.
Aplica-se integração por partes da seguinte forma:u=ln(x); du=dxx; dv=dx e v=x.�=ln(�); ��=���; ��=�� e �=�. Com isso, ∫ln(x)dx=xln(x)−∫xdxx=xln(x)−∫dx=xln(x)−x+c=x(ln(x)−1)+c.∫ln(�)��=�ln(�)−∫����=�ln(�)−∫��=�ln(�)−�+�=�(ln(�)−1)+�.
(LIVRO-BASE p. 155)
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