Teorema de Rolle e Valor Médio

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 16: Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.
Objetivos da Aula
� Enunciar os Teoremas de Rolle e do Valor Médio;
� Apresentar algumas aplicações do Teorema do Valor Médio.
Teorema do Valor Médio
Para enunciarmos o Teorema do Valor do Médio, precisamos do seguinte resultado:
Teorema 1 (de Rolle). Seja f uma função contínua que satisfaça as seguintes hipóteses:
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b];
2. f é derivável no intervalo aberto (a, b);
3. f(a) = f(b).
Então, existe um número c em (a, b) tal que f ′(c) = 0.
A �gura a seguir mostra o grá�co de três funções que satisfazem o resultado anterior. Em cada um dos
casos há pelo menos um ponto (c, f(c)) onde a tangente é horizontal e, portanto, f ′(c) = 0.
Vejamos alguns exemplos de utilização desse resultado.
Exemplo 1. Demonstre que a equação x3 + x− 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Solução: Pelo Teorema do Anulamento existe uma raiz. De fato, f(x) = x3 + x − 1 é contínua, pois é
uma função polinomial, f(0) = −1 e f(1) = 1, logo existe um a entre 0 e 1 tal que f(a) = 0. Para veri�car
que a equação dada não possui outra raiz real, vamos usar o Teorema de Rolle. Suponha, por contradição,
que a equação dada tenha duas raízes a e b, então f(a) = f(b) = 0. Como f é uma função polinomial,
então f é derivável em (a, b) e contínua em [a, b]. Assim, pelo Teorema de Rolle, existe um c entre a e b,
tal que f ′(c) = 0. Mas,
f ′(x) = 3x2 + 1 > 0, ∀ x.
Portanto, f ′(x) nunca pode ser zero, o que contradiz o Teorema de Rolle. Logo, a equação não pode ter
duas raízes.
�
1
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Exemplo 2. Dois corredores começam uma disputa de corrida ao mesmo tempo e terminam empatados.
Mostre que em algum instante, durante a corrida, eles correram com a mesma velocidade.
Solução: Sejam f a função que descreve a posição do corredor 1 e g a do corredor 2. A cada instante
t durante a corrida, associamos a posição f(t) e g(t) aos respectivos corredores 1 e 2. Consideremos a
função h(t) = f(t) − g(t) e [t0, tf ] o intervalo de tempo que durou a corrida. Como f e g são deriváveis
em (t0, tf ) e contínuas em [t0, tf ] então h também é. E além disso,
h(t0) = f(t0)− g(t0) = 0
e
h(tf ) = f(tf )− g(tf ) = 0,
pois eles começaram e terminaram juntos a corrida. Segue do Teorema de Rolle que existe algum instante
t1 entre t0 e tf tal que
h′(t1) = 0.
Logo,
f ′(t1) = g′(t1).
�
Teorema 2 (do Valor Médio). Seja f uma função que satisfaz as seguintes hipóteses:
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b];
2. f é derivável no intervalo aberto (a, b).
Então, existe um número c em (a, b) tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
(1)
ou, de maneira equivalente,
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
Geometricamente, temos que, dados dois pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) sobre o grá�co de uma
função derivável. Neste caso, a inclinação da reta secante AB é:
mAB =
f(b)− f(a)
b− a
,
que é a mesma expressão mostrada no lado direito da equação (1). Uma vez que f ′(c) é a inclinação da
reta tangente no ponto (c, f(c)), o Teorema do Valor Médio, nos garante, pela equação (1) que há, pelo
menos, um ponto P = (c, f(c)) sobre o grá�co onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da
reta secante. Em outras palavras, estamos dizendo que a reta tangente no ponto P é paralela à reta secante
AB. Observe gra�camente:
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Exemplo 3. Determine c ∈ (0, 4) para o qual a reta tangente ao grá�co da função f(x) = x2 − 5x+ 6 no
ponto P = (c, f(c)) seja paralela à reta secante que passa pelos pontos A = (0, f(0)) e B = (4, f(4)).
Solução: Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O
Teorema do Valor Médio garante a existência de c ∈ (0, 4), tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
⇒ 2c− 5 =
f(4)− f(0)
4− 0
⇒ c = 2.
�
Exemplo 4. Se um objeto move-se em uma linha reta com uma função posição s(t). Então a velocidade
média entre t = a e t = b é
s(b)− s(a)
b− a
,
e a velocidade em t = c é s′(c). Assim, o Teorema do Valor Médio nos diz que, em algum instante t = c
entre a e b, a velocidade instantânea f ′(c) é igual a velocidade média. Por exemplo, se um carro percorrer
180 km em duas horas, então o velocímetro deve ter passado pela marca dos 90 km/h pelo menos uma vez.
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Observação 1. Em geral, o Teorema do Valor Médio pode ser interpretado como se dissesse que existe um
número no qual a taxa de variação instantânea é igual a taxa de variação média em um intervalo.
Exemplo 5. Suponha que f(0) = 3 e f ′(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f(2) pode ser?
Solução: Pelos dados do problema, temos que f é derivável (e, portanto, contínua) para todo x. Em
particular, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio no intervalo [0, 2]. Então, existe um número c tal que
f(2)− f(0) = f ′(c)(2− 0),
logo
f(2) = f(0) + 2f ′(c) = 3 + 2f ′(c).
Sabemos que f ′(c) ≤ 5 para todo x. Assim, multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por
2, temos que 2f ′(c) ≤ 10, logo
f(2) = 3 + 2f ′(c) ≤ 3 + 10 = 13.
Portanto, o maior valor possível para f(2) é 13.
�
Exemplo 6. Suponha que em uma rodovia reta há dois carros de patrulha da Polícia Rodoviária que estão
distantes 5 quilômetros um do outro. Suponha também que um caminhão passou pelo primeiro carro
da patrulha com velocidade de 55 km/h, e sem parar, 4 minutos depois passou pelo segundo carro da
patrulha com velocidade de 50 km/h. Mostre que em algum instante entre os carros da Polícia Rodoviária,
o caminhão ultrapassou o limite de velocidade dessa rodovia que era de 55km/h.
Solução: Consideremos s(t) a função posição do caminhão no instante t. Note que o trajeto considerado
foi feito no intervalo
[
0,
1
15
]
, onde t = 0 é o instante em que o caminhão passa pelo primeiro carro da
patrulha, e o instante
4
60
=
1
15
h
é o instante em que ele passa pelo segundo carro. Desse modo,
s(0) = 0 e s
(
1
15
)
= 5.
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Logo, a velocidade média do caminhão nesse trajeto é de
s( 1
15)− s(0)
1
15 − 0
=
5− 0
1
15
= 75km/h.
Supondo que s é derivável no intervalo
(
0,
1
15
)
e contínua em
[
0,
1
15
]
, segue do Teorema do Valor
Médio que existe um instante entre t = 0 e t =
1
15
tal que a velocidade do caminhão foi igual à velocidade
média do trajeto. Portanto, em algum instante t∗ temos que s′(t∗) = 75, logo o caminhão ultrapassou o
limite de velocidade.
�
Os resultados a seguir são também consequências do Teorema do Valor Médio e serão utilizadas
posteriormente.
Corolário 1. Se f ′(x) = 0 para todo x em um intervalo (a, b), então f é constante em (a, b).
Corolário 2. Se f ′(x) = g′(x) para todo x em um intervalo (a, b), então f − g é constante em (a, b), isto
é, f(x) = g(x) + c, em que c é uma constante.
Resumo
Relembre as hipóteses de cada um dos teoremas apresentados na aula. Quais são as interpretações
geométrica e cinemática do TVM?
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.2 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.2 do livro texto.
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