11 - Semelhnaça de triângulos

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11.Semelhanças
O que são �guras semelhantes? Para responder essa questão, observe os mapas abaixo:
Figura 1: Mapas do Brasil em diferentes escalas.
Note que os dois mapas representam as fronteiras entre os estados brasileiros. No entanto, o mapa 
da esquerda é uma ampliação do mapa da direita, ou o da esquerda é uma redução do da direita,
preservando a mesma forma.
Vejamos outro exemplo, agora considerando as dimensões de algumas folhas de papel sul�te utilizadas 
no mercado:.
Figura 2: Dimensões em milímetros de algumas folhas sul�te.
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As dimensões acima estão em milímetros e são padronizadas por normas internacionais, sendo utilizadas
 em vários lugares do mundo. Note que, ao compararmos a folha A1 com a A0, tanto a largura quanto a 
altura foram ampliadas seguindo aproximadamente a mesma razão: 1189/841~841/594~1,414.
A mesma ampliação acontece da folha A2 para a A1, da A3 e para a A2, e assim sucessivamente, até 
atingirmos a folha A10. Matematicamente, dizemos que duas �guras são semelhantes se guardam
 entre si uma razão de semelhança (geralmente chamada de k) entre as dimensões, sendo que uma 
é ampliação ou redução da outra. 
O conceito de semelhança pode ser expandido para qualquer polígono. 
Veja abaixo três octógonos côncavos semelhantes:
Figura 3: Octógonos semelhantes.
Exercício: Considere os tamanhos de folha de papel sul�te presentes na Figura 2.
a-) Se a relação de proporcionalidade se mantiver, quais serão as dimensões de uma folha A4?
Em seguida, com auxílio de uma régua, meça uma folha sul�te e compare com os valores obtidos.
b-) Qual a razão aproximada entre a área de uma folha A3 e A4?
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Semelhança de polígonos
De�nição: Dois polígonos com o mesmo número de lados são semelhantes caso apresentem 
ângulos internos respectivamente congruentes e lados 
homólogos(homo=mesmo, logos=lugar) proporcionais.
Observe as �guras a seguir:
Podemos observas as seguintes congruências de ângulos e lados homólogos nelas:
Então podemos criar as seguintes proporções entre seus lados:
Desta forma, dizemos que os quadriláteros ABCD e EFGH são semelhantes 
(ABCD ~ EFGH) e que a razão de semelhança entre eles é k = ½.
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Sejam dois polígonos semelhantes entre si de n lados:
Exercícios:
Semelhança de perímetros e áreas
1) Os polígonos abaixo são semelhantes? Se forem, determine a razão entre eles.
a)
b)
c)
2) Determine os perímetros das �guras dos itens b) e c). Em seguida, determine a razão entre eles.
Quando dois polígonos são semelhantes, os seus perímetros serão proporcionais seguindo
a razão de semelhança (k) dos lados homólogos do polígono.
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Com base no exercício anterior, é possível notar que:
Como são semelhantes, temos:
Quando se trata das razões entre áreas, observe os seguintes retângulos:
Como são semelhantes, temos:
Obs: A demonstração anterior usa a relação entre retângulos. Porém, com alguns cálculos mais 
avançados, é possível concluir que essa razão entre áreas vale para quaisquer polígonos.
De�nição: Quando dois polígonos são semelhantes, as suas áreas serão 
proporcionais seguindo o quadrado da razão de semelhança(k²) dos lados homólogos.
Exercícios
1)Dois quadrados possuem, respectivamente, lados medindo 12 centímetros e 24 centímetros. 
Qual é a razão entre a área do quadrado menor e a área do quadrado maior? 
2) A razão de semelhança entre as áreas de 2 polígonos é 9. Calcule quanto que vale a razão de 
semelhança de seu lados homólogos.
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Semelhança de triângulos:
As �guras mais simples que podemos comparar são os triângulos pois não é preciso comparar todas as razões 
entre os lados. Então, para que sejam semelhantes, basta terem ângulos internos respectivamente congruentes e 
lados homólogos proporcionais.
Os casos de semelhança são três: ângulo-ângulo(AA), lado-ângulo-lado(LAL), lado-lado-lado(LLL).
Caso ângulo-ângulo(AA)
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes pelo critério AA.
De�nição: Se dois ângulos internos de um triângulo são congruentes (respectivamente) a dois
ângulos internos de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Como os ângulos α e β são iguais nos dois triângulos, temos que o terceiro ângulo também será congruente
pelo fato da soma dos ângulos internos de triângulos ser sempre igual a 180°. 
Caso lado-lado-lado(LLL)
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes pelo critério LLL;
Como os três lados do triângulo são homólogos, ou seja, existe uma razão entre eles, temos que os triân-
gulos são semelhantes.
De�nição: Se os lados de um triângulo são respectivamente proporcionais aos lados de outro 
triângulo, então os dois são semelhantes.
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Caso lado-ângulo-lado(LAL) 
Como temos que C’ está na mesma reta que A e C, e 
o mesmo vale para B’, temos que existe uma razão k
entre os lados AC e A’C’ , AB e A’B’ , e como se tem 
que α é um ângulo comum aos dois triângulos, logo
temos que os triângulos ABC e AB’C’ são semelhantes.
Exemplo: Os triângulos ABC e AB’C’ são semelhantes pelo critério LAL.
De�nição: Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais, e os ângulos
compreendidos por esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
Para saber mais....
Teorema fundamental da semelhança
De�nição: Toda reta paralela a um triângulo que cruza os lados em dois pontos
distintos determina um triângulo semelhante ao primeiro.
Temos que, por ser um teorema fundamental,
ele independe dos casos anteriores. Portanto,
é possível demonstrar através do 
Teorema de Tales. 
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Exercícios resolvidos:
1) Na �gura abaixo, AB // CD. Se AB = 136 cm, CE = 75 cm e CD = 50 cm
2) Em determinada hora do dia, uma pessoa de 1,80 m de altura faz uma sombra de 1,50 m. Neste 
mesmo momento, um prédio próximo à pessoa faz uma sombra de 20 m. Determine a altura do 
prédio.
Geometria dinâmica:
A seguir, vamos ensinar passo a passo como ampliar ou reduzir um polígono utilizando o Geogebra:
1. Abra o Geogebra no modo classic: geogebra.org/classic;
2. Clique no botão:
3. Escolha na malha a direita todos os vértices do polígono que você deseja criar;
4. Selecione a opção a seguir:
5. Selecione todos os vértices do polígono em ordem horária e, então, o vértice inicial novamente;
6. Selecione a opção a seguir:
7. Selecione o polígono, um ponto qualquer (podendo pertencer ao polígono ou não) e, então, a 
razão de ampliação (maior que 1) ou redução (entre 0 e 1).
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Exercícios:
1) Quando desenhamos �guras a mão livre, 
ou mesmo com instrumentos, mas de forma 
imprecisa, é preciso deixar o mínimo de 
informações numéricas ou de outra nature-
za que permitam a outras pessoas, que 
veem o desenho, decidirem se as �guras são 
congruentes, semelhantes, etc. No quadro a 
seguir, há quatro triângulos. Diga se existem 
triângulos semelhantes entre eles e justi�-
que sua a�rmação.
2) No esquema representado a seguir, a 
lente do projetor está a 8 metros da tela e o 
slide está a 2 cm da lente. O slide é um qua-
drado de 3 cm por 3 cm. Qual a forma e as 
dimensões da imagem na tela?
3) Considere os triângulos representados a 
seguir e determine o valor de a, b, c e d. 
4) No triângulo ABD a seguir, o segmento DE 
é paralelo ao segmento BC. Determine o 
valor de x.
5) Com base na �gura a seguir, mostre que 
PST é reto. 
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15
26 10
15
10
6) O desenho a seguir representa o mapa de 
uma chácara na forma triângular.
As medidas dos lados do terreno a seguir são 
AB = 90 m, BC= 80 m e AC = 60 m.
Uma rodovia passa rente a um dos lados do 
terreno, conforme indicado no desenho. O 
proprietário resolveu plantar um bosque em 
frente à rodovia, isolando o resto da chácara. 
Ele fez uma cerca paralela à rodovia, de forma 
que a região do bosque formasse um 
trapézio. A ponta D da cerca está a 20 metros 
do ponto C. Ache as dimensões da região do 
bosque e as dimensões do resto do terreno.
A
B C
DE
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Gabarito:
10
Semelhança:
Semelhança de polígonos:
Semelhança de perímetros e áreas:
Semelhança de triângulos:
1) 
 a) 210 mm x 297 mm
 
 b) 2
1) 
 a) AD/EH = AB/EF = DC/HG = 2,5 ≠ BC/FG, logo não são semelhantes
 
 b) k = 1/3, são semelhantes
 c) k = 3/4, são semelhantes
2) No item b os perímetros são 18 cm e 54 e a razão é 1/3 
e no item c os perímetros são 48 cm e 64 cm e a razão é 3/4 
1) 1/4
 
2) 3
1) Os triângulos ABC, DEF e JKL são semelhantes pelo caso AA 
 
2) É um quadrado de 12 cm por 12 cm
3) a = 300, b = 600, c = 900, d = 600
4) 9
5) Como os triângulos PRQ e PTS são semelhantes, temos que o ângulo PQR é congruente ao PST.
6) AE = 60 m, AD =40 m, ED = 53,3... m, BE = 30 m, DC = 20 m, BC = 80 m