Equações do 2º Grau

Prévia do material em texto

?
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
93
Equações do 2º grau com uma incógnita
Você já deve ter estudado equações nos anos anteriores. Agora, aprofundaremos um 
pouco esse assunto. Acompanhe, a seguir, duas situações que podem ser resolvidas usando 
equações.
 x + 2x + 2 = 38 
quantia que 
Marcela tem
quantia que as 
duas têm juntas
quantia que 
Carla tem
Portanto, Carla tem R$ 12,00 e Marcela tem R$ 26,00, pois 2 ⋅ 12 + 2 = 26 .
 
x ⋅ x = 36
 x 2 = 36 
medida da área 
do terreno
Resolvendo a equação, obtemos:
A figura ao lado representa um terreno com a forma de um qua-
drado. Sabendo que sua área mede 36 m 2 , qual é a medida de cada 
um de seus lados?
Para responder a essa pergunta, escrevemos e resolvemos a equa-
ção a seguir, na qual x representa a medida do lado do terreno.
Como queremos saber a medida de um comprimento, consideramos apenas o número 
positivo 6, pois não existe medida de comprimento negativa.
Portanto, cada lado do terreno mede 6 m .
Como há dois números cujo quadrado é 36, temos:
 
x = + √ 
_
 36 
x = 6 
 x = − √ 
_
 36 
x = − 6 
ou
Carla tem certa quantia em reais e sua amiga Marcela tem o dobro dessa quantia mais 
R$ 2,00. Sabendo que juntas elas têm R$ 38,00, quantos reais cada uma delas tem?
Chamaremos a quantia que Carla tem de x e, assim, podemos escrever a seguinte equação.
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
Situação A
Situação B
 x + 2x + 2 = 38 
 3x + 2 = 38 
 3x + 2 − 2 = 38 − 2 
 3x = 36 
 3x _ 3 = 36 _ 3 
 x = 12 
93
• Antes de apresentar o conteúdo 
desta página, verifique o conheci-
mento dos estudantes relaciona-
do às equações. Permita que eles 
compartilhem suas explicações e 
conversem entre si, tendo a opor-
tunidade de resgatar o conheci-
mento prévio sobre o assunto e 
tornar o estudo mais significativo.
• Verifique a possibilidade de pro-
por aos estudantes as situações 
apresentadas nesta página antes de 
abordá-las no livro, a fim de que, 
em duplas, eles tentem resolver 
os problemas das situações A e B. 
Para isso, escreva na lousa os enun-
ciados dos problemas. Depois, 
considerando as estratégias e as re-
soluções propostas e desenvolvidas 
por eles, apresente as explicações 
encontradas no livro.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
94
Note que as equações apresentadas em cada situação da página anterior foram escritas 
apenas com a incógnita x .
Na situação A, escrevemos uma equação cujo maior expoente da incógnita x é 1. Por isso, 
ela é chamada equação do 1º grau.
Na situação B, escrevemos uma equação cujo maior expoente da incógnita x é 2. Por isso, 
ela é chamada equação do 2º grau.
Uma equação é formada por dois membros, os quais 
são separados pelo sinal de igual. Exemplo:
Atenção!
Nos quadros a seguir, estão representadas algumas equações do 2º grau, com incógnita x 
e 2º membro igual a zero. Além disso, apresentamos algumas características dos termos do 
1º membro dessas equações.
 x 2 − 2x − 15 = 0 
 − 2 x 2 − x + 3,1 = 0 
 x 2 − 25 = 0 
 
− 2 x 2 + 72 = 0 
No 1º membro, 
cada equação tem 
um termo com x 2 e 
um termo sem x .
 
 x 2 − 5x = 0 
 
2 x 2 + 18 _ 5 x = 0 
No 1º membro, cada 
equação apresenta 
um termo com x 2 e 
um termo com x .
 
 x 2 = 0 
 
3 x 2 = 0 
No 1º membro, 
cada equação tem 
apenas um termo 
com x 2 .
Dizemos que as equações exibidas no quadro 1 são equações do 2º grau completas e as 
apresentadas nos quadros 2, 3 e 4, equações do 2º grau incompletas.
Além das equações demonstradas até o momento, existem equações do 3º grau, 4º grau, 
5º grau etc. com uma incógnita. Por exemplo, o maior expoente da incógnita x :
 • na equação 2 x 3 + x = 6 é 3, por isso essa equação é do 3º grau;
 • na equação 7 x 4 − x 3 − 3x = − 1 é 4, por isso essa equação é do 4º grau.
Nesta unidade, estudaremos somente as equações do 2º grau.
Explique para um colega qual é a diferença entre uma equação do 1º grau e outra 
do 2º grau, ambas na incógnita x.
Questão 1.
1.
2.
3.
4.
 2x + 3 = 0 
2º membro1º membro
No 1º membro, cada 
equação apresenta um 
termo com x 2 , um termo 
com x e um termo sem x .
Questão 1. Resposta: Espera-se que o estudante explique para 
o colega que, em uma equação do 1º grau, o maior expoente da incógnita x é 1. Já na equação do 
2º grau, o maior expoente da incógnita x é 2.
94
• Na questão 1, ao propor que os 
estudantes expliquem para um co-
lega a diferença entre equações do 
1o e do 2o grau, promove-se o uso 
da linguagem verbal e da linguagem 
matemática para partilhar informa-
ções, além de contribuir para o de-
senvolvimento da compreensão de 
diferentes conceitos matemáticos. 
Desse modo, contemplam-se aspec-
tos da Competência específica de 
Matemática 3 e da Competência 
geral 4.
• Aproveite o fato de a questão 1 
ser proposta em dupla e oriente 
os estudantes sobre a importância 
da empatia, do respeito e da boa 
convivência social, bem como da 
necessidade de não ter precon-
ceitos e de compreender e aceitar 
as demandas e limitações dos ou-
tros, de modo a promover a saúde 
mental e a cultura de paz. Se achar 
conveniente, converse com eles a 
respeito do combate aos diversos 
tipos de violência, especialmente o 
bullying. Obtenha informações no 
tópico Cultura de paz e combate 
ao bullying, nas orientações gerais 
deste manual. Dessa maneira, abor-
da-se a Competência geral 9.
[...]
OS EGÍPCIOS
No Médio Império, os textos 
conhecidos só lidam com equa-
ções do segundo grau bem sim-
ples. Por exemplo, no papiro de 
Moscou, que data de aproxima-
damente 1850 a.C. é pedido para 
calcular a base de um retângulo 
cuja altura 𝓁 é igual a 3 _ 4 de sua 
base e cuja área é igual a 12. Es-
se problema, em linguagem mo-
derna, [escreve-se]
 3 _ 4 𝓁 2 = 12 .
Em outro papiro, encontramos 
dois problemas em que são da-
das a área S , a diagonal d de um 
retângulo e se procuram seus la-
dos x e y :
 xy = S ,     x 2 + y 2 = d 2 .
Como feito pelos babilônios, 
[...] os egípcios calculavam ini-
cialmente x + y e x − y , para daí 
achar x e y .
[...]
PITOMBEIRA, João Bosco. Revisitando uma 
velha conhecida: a história da equação do 
2o grau. Anais ... Salvador: SBM, 2004. 
p. 49-50. Disponível em: http://www.bienasbm.
ufba.br/C2.pdf. Acesso em: 26 jul. 2022.
Um texto a mais
http://www.bienasbm.ufba.br/C2.pdf
http://www.bienasbm.ufba.br/C2.pdf
95
 25. Em cada quadrado, determine o valor 
de x.
Uma equação do 2º grau com incógnita x pode ser escrita da seguinte forma.
 a x 2 + bx + c = 0 , em que a , b e c são números reais e a ≠ 0 
Essa é a forma reduzida de uma equação do 2º grau. As letras a , b e c , que repre-
sentam números reais, são os coeficientes da equação: a é o coeficiente de x 2 , b é o 
coeficiente de x e c é o termo independente.
A seguir, apresentamos alguns exemplos.
 • Equação do 2º grau completa do tipo a x 2 + bx + c = 0 , em que a ≠ 0 , b ≠ 0 e c ≠ 0 .
 x 2 + 2x − 8 = 0 , com a = 1 ; b = 2 ; c = − 8 
 • Equação do 2º grau incompleta do tipo a x 2 + bx = 0 , em que a ≠ 0 , b ≠ 0 e c = 0 .
 5 x 2 − 3x = 0 , com a = 5 ; b = − 3 ; c = 0 
 • Equação do 2º grau incompleta do tipo a x 2 + c = 0 , em que a ≠ 0 , b = 0 e c ≠ 0 .
 x 2 − 25 = 0 , com a = 1 ; b = 0 ; c = − 25 
 • Equação do 2º grau incompleta do tipo a x 2 = 0 , em que a ≠ 0 , b = 0 e c = 0 .
 3 x 2 = 0 , com a = 3 ; b = 0 ; c = 0 
Identifique qual é o tipo de cada uma das equações apresentadas nos quadros 1, 2, 
3 e 4 da página anterior. Depois, registre-os no caderno.
Questão 2.
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 24. Copie no caderno as equações a seguir, 
separando-as em 2 grupos:equações 
do 1º grau e equações do 2º grau.
Medida da área:
64 m²
x
Medida da área:
144 m²
2x
A. B.
 26. Considerando a incógnita x , escreva no 
caderno duas equações do 2º grau:
a ) completas.
b ) incompletas do tipo a x 2 + bx = 0 , 
com a e b números reais e a ≠ 0 .
c ) incompletas do tipo a x 2 + c = 0 , 
com a e c números reais e a ≠ 0 .
 27. Identifique os coeficientes das equações 
que você escreveu na atividade anterior.
 28. Em cada quadro, são apresentados os 
coeficientes a , b e c de uma equação 
do 2º grau na forma a x 2 + bx + c = 0 . 
Escreva no caderno essas equações, na 
forma reduzida.
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
 3x − 4 = 0 
 x 2 + 12 = 0 
 x 2 + 3x + 5 = 0 
 2x − 9 = 0 
 5 x 2 − 7x + 8 = 0 
 − 5x + 18 = 0 
 − 5x − 10,4 = 0 
 − 2 x 2 + x _ 2 = 0 
 a = − 25
b = 3
c = 0 
A. B. a = 1
b = − 3
c = 7 
Questão 2. Resposta nas orientações ao professor.
24. Resposta: Equações do 1º grau: 3x − 4 = 0 ; 
− 5x − 10,4 = 0 ; 2x − 9 = 0 ; − 5x + 18 = 0 . Equações 
do 2º grau: x 2 + 12 = 0 ; 5 x 2 − 7x + 8 = 0 ; 
x 2 + 3x + 5 = 0 ; − 2 x 2 + x _ 2 = 0 .
25. Respostas: A. x = 8 m ; B. x = 6 m .
26. a) Sugestão de resposta: x 2 + 8x + 4 = 0 ; − x 2 + 8x + 9 = 0 .
26. b) Sugestão de resposta: − x 2 + 4x = 0 ; 3 x 2 − x = 0 .
26. c) Sugestão de resposta: 5 x 2 − 125 = 0 ; − 2 x 2 + 72 = 0 .
27. Resposta: As respostas dependem 
das equações escritas pelos estudantes 
na atividade anterior.
28. Respostas: A. x 2 − 3x + 7 = 0 ; B. − 25 x 2 + 3x = 0 
95
• A questão 2 envolve identificar 
equações e classificar as do 2o grau 
em completas ou incompletas. Ve-
rifique se os estudantes reconhe-
cem os possíveis tipos dessas equa-
ções. Após resolverem a questão, 
enfatize que para as equações do 
2o grau, entre os coeficientes, so-
mente o valor de a é necessaria-
mente diferente de zero. 
• Na atividade 24, verifique se os 
estudantes compreendem que, pa-
ra classificar uma equação, basta 
analisar o maior expoente da incóg-
nita. Caso apresentem dificuldade, 
retome o trabalho com as equa-
ções trabalhadas até o momento, 
classificando-as.
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades na atividade 25, re-
tome a situação B trabalhada no 
tópico Equações do 2o grau com 
uma incógnita. Além disso, se jul-
gar conveniente, permita que resol-
vam as equações em grupos, pois, 
assim, poderão trocar conhecimen-
tos e estratégias de resolução.
• Na atividade 26, com a ajuda dos 
estudantes, escreva na lousa algumas 
das respostas dadas por eles. Res-
salte que uma equação é completa 
quando todos os seus coeficientes 
são diferentes de zero.
• As respostas da atividade 27 
dependem das equações escritas 
pelos estudantes na atividade ante-
rior. Selecione alguns deles e peça a 
eles que compartilhem suas respos-
tas com a turma.
• Na atividade 28, os estudantes 
devem escrever a equação dados 
seus coeficientes. Verifique se eles 
compreenderam que o coeficiente a 
multiplica x 2 ; o coeficiente b multipli-
ca x ; e que c é o termo independen-
te. Ao final, solicite que classifiquem 
as equações escritas em completas 
ou incompletas.
Questão 2. Quadro 1: equações do 2o grau com-
pletas, em que a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0; Quadro 
2: equações do 2o grau incompletas do tipo 
 a x 2 + bx = 0 , em que a ≠ 0 , b ≠ 0 e c = 0 ; Qua-
dro 3: equações do 2o grau incompletas do tipo 
a x 2 + c = 0 , em que a ≠ 0 , b = 0 e c ≠ 0 ; Qua-
dro 4: equações do 2o grau incompletas do tipo 
 a x 2 = 0 , em que a ≠ 0 , b = 0 e c = 0 .
Resposta
2
2
x + 2
x + 23x
Triângulo
Retângulo
Quadrado
3
x2 + 6
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
96
a ) Sabendo que a medida da área do 
triângulo é igual à medida da área 
do quadrado mais a medida da área 
do retângulo, escreva no caderno 
uma equação do 2º grau, na forma 
reduzida, para representar a relação 
entre essas medidas de área.
b ) Essa equação é completa ou incom-
pleta? Quais são os seus coeficientes?
 32. Escreva no caderno uma equação do 
2º grau, na forma reduzida, para cada 
situação.
a ) O quadrado de um número x mais 
seu triplo é igual a 10.
b ) O dobro do quadrado de um número 
x mais sua quinta parte é igual a 12.
c ) O triplo do quadrado de um núme-
ro x menos 6 é igual ao quíntuplo 
desse número.
d ) A medida da área de um quadrado 
cujo comprimento dos lados mede 
x + 1 é 52.
 • Agora, elabore em seu caderno três 
situações semelhantes às apresenta-
das nos itens e peça a um colega que 
as resolva. Depois, verifique se a res-
posta dele está correta.
 33. Escreva no caderno uma equação do 
2º grau, na forma a x 2 + bx + c = 0 , em 
que o produto dos coeficientes seja 35, 
a soma seja 13 e os coeficientes sejam 
números naturais tais que b < a < c .
 34. Em cada item, descubra o valor de ■ 
para que as condições sejam atendidas.
a ) (3 ⋅ ■ + 1) x 2 − x = 0 
Deve ser uma equação do 2º grau.
b ) x 2 + (■ + 8) x − 12 = 0 
Deve ser uma equação do 2º grau 
completa.
c ) − 3 x 2 + x − (■ + 7) = 0 
Deve ser uma equação do 2º grau 
incompleta.
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/ 
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
 29. A figura a seguir representa a planta bai-
xa de uma sala de formato retangular, 
cujo perímetro mede 24 m . As medidas 
indicadas na imagem estão em metros.
H
EL
O
ÍS
A 
PI
N
TA
RE
LL
I E
 S
ER
G
IO
 
LI
M
A/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
a ) Escreva no caderno uma equação 
do 2º grau, na forma reduzida, que 
possibilita determinar o valor de x 
indicado na planta baixa.
b ) A equação do 2º grau que você es-
creveu é completa ou incompleta? 
Justifique sua resposta.
c ) Considerando a figura acima, elabo-
re uma pergunta envolvendo equa-
ção do 2º grau e peça a um colega 
que a resolva. Depois, verifique se a 
resposta dele está correta.
 30. Identifique os coeficientes de cada 
equação.
a ) − x 2 − x + 1 = 0 
b ) 2 x 2 = 3 
c ) 5 x 2 − 2 = 3x 
d ) 3 x 2 + 2 = 3x + 2 
e ) 5x − 2 x 2 = 2 
f ) x 2 + 2 (x − 1) = 2x − 2 
 31. Analise a seguinte figura.
31. Respostas: a) 
x 2 + 6x − 16 = 0 ; 
b) Completa; a = 1 ; 
b = 6 ; c = − 16 .
32. Respostas na seção Resoluções.
33. Resposta: 5 x 2 + x + 7 = 0 .
34. Respostas: a) ■ ≠ − 1 _ 3 ; 
b) ■ ≠ − 8 ; c) ■ = − 7 .
30. Respostas: 
a) a = − 1 ; b = − 1 ; c = 1 ; 
b) a = 2 ; b = 0 ; c = − 3 ; 
c) a = 5 ; b = − 3 ; c = − 2 ; 
d) a = 3 ; b = − 3 ; c = 0 ; 
e) a = − 2 ; b = 5 ; 
29. c) Resposta pessoal.
29. a) Resposta: 2 x 2 − 6 = 0 .
29. b) Resposta: Incompleta. Espera-se que o estudante perceba 
que o coeficiente b = 0 , ou seja, não tem o termo com x .
 c = − 2 ; f) a = 1 ; 
 b = 0 ; c = 0 .
96
• Na atividade 29, se necessário, 
recorde os estudantes de que a 
medida do perímetro do retângu-
lo é igual à soma das medidas dos 
comprimentos de seus lados.
• Ao propor a elaboração e a reso-
lução de problemas, as atividades 
29 e 32 exercitam a curiosidade in-
telectual por meio da reflexão, da 
imaginação e da criatividade. Com 
isso, contribuem para o desenvolvi-
mento da Competência específica 
de Matemática 6 e da Competên-
cia geral 2.
Aproveite o fato de que estas ati-
vidades envolvem o trabalho cola-
borativo entre os pares e oriente 
os estudantes sobre a importância 
da empatia, do respeito e da boa 
convivência social, bem como da 
necessidade de não ter precon-
ceitos e de compreender e aceitar 
as demandas e limitações dos ou-
tros, de modo a promover a saúde 
mental e a cultura de paz. Dessa 
maneira, abordam-se a Compe-
tência geral 9 e a Competência 
específica de Matemática 8. 
• Caso julgue necessário, na ati-
vidade 30, oriente os estudan- 
tes a escrever a equação na forma 
a x 2 + bx + c = 0 para, em seguida, 
determinar seus coeficientes.• Ao trabalhar com a atividade 31, 
se necessário, registre na lousa com 
os estudantes as fórmulas de cálcu-
lo das medidas das áreas de retân-
gulos e de triângulos.
• A atividade 32 tem por objetivo 
escrever em linguagem algébrica 
uma equação do 2o grau proposta 
em linguagem materna. Caso os 
estudantes apresentem dificulda-
de em determinar a equação do 
item d, peça-lhes que escrevam no 
caderno a relação entre as medidas 
dos comprimentos dos lados e a 
medida da área do quadrado. Em 
seguida, oriente-os a utilizar a pro-
priedade distributiva da multiplica-
ção e a subtrair 52 unidades em am-
bos os membros da igualdade para 
obter a equação na forma reduzida.
• Na atividade 33, oriente os estu-
dantes a decompor o número 35 
em três fatores.
• Ao trabalhar com a atividade 34, 
verifique se os estudantes percebem 
que, no item a, para que a equação 
seja do 2o grau, o coeficiente de x 2 
deve ser diferente de zero, ou seja, 
3 ⋅ ■ + 1 ≠ 0 ; no item b, todos os 
coeficientes devem ser diferentes 
de zero e, portanto, ■ + 8 ≠ 0 ; já no item c, o ter-
mo constante deve ser zero, ou seja, ■ + 7 = 0 .
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
97
 x = + √ 
_
 49 
 x = 7
 7 ⋅ 7 = 49 
 x = − √ 
_
 49 
 x = − 7
 (− 7) ⋅ (− 7) = 49 
ou
Analise a seguir a resolução da equação 2 x 2 + 32 = 0 .
 2 x 2 + 32 = 0 
 2 x 2 + 32 − 32 = 0 − 32 
 2 x 2 = − 32 
 x 2 = − 16 
Como não existe um número real x que elevado ao quadrado seja igual a − 16 , essa equa-
ção não tem solução real.
Resolvendo equações do tipo a x 2 + c = 0 
Em anos anteriores, você deve ter estudado como resolver equações do 1º grau com uma 
incógnita, isto é, como determinar o valor da incógnita da equação. Nos tópicos a seguir, 
aprofundaremos os estudos sobre a resolução de equações, em particular das equações do 
2º grau com uma incógnita, visto que muitos problemas podem ser resolvidos por meio de 
uma equação desse tipo.
Realize uma pesquisa sobre as contribuições de Luca Pacioli e a obra Aritmética, de 
sua autoria, para a Matemática. Após a realização da pesquisa, registre no caderno as informa-
ções mais importantes.
Questão 3.
A pesquisa proposta na questão 3 pode ser feita com base em livros, revistas e sites. Mas cuidado! 
Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. 
Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.
Atenção!
A equação x 2 = 49 tem raízes 7 e − 7 . Então, podemos registrá-las 
por x = 7 ou x = − 7 ou por x 1 = 7 e x 2 = − 7 .
Atenção!
Analise o que Aline está dizendo.
Podemos responder à pergunta de Aline 
escrevendo uma equação do 2º grau com 
uma incógnita. Chamando o número desco-
nhecido de x , temos:
 x ⋅ x = 49
 x 2 = 49 
D
M
IT
RY
 M
O
RG
AN
/S
H
U
TT
ER
ST
O
C
K
Um número 
multiplicado por 
ele mesmo é igual 
a 49. Qual é esse 
número?
Para resolver essa equação, precisamos obter um número que, multiplicado por ele mes-
mo, seja igual a 49. Nesse caso, temos dois números: 7 e − 7 .
Assim, o número que responde à pergunta de Aline pode ser 7 ou − 7 . Dizemos que esses 
números são as raízes ou as soluções da equação x 2 = 49 .
Questão 3. Resposta: Espera-se que os estudantes verifiquem que Luca 
Pacioli apresentou várias contribuições para a Matemática, entre elas, 
Contabilidade, Aritmética e equações do 2º grau.
97
• A questão 3 tem por objetivo le-
var os estudantes a conhecer infor-
mações sobre uma pessoa que deu 
grandes contribuições para o desen-
volvimento da Matemática. Se julgar 
pertinente, proponha que a pesqui-
sa seja realizada em grupos e que os 
resultados obtidos sejam expostos 
em cartazes.
Ao envolver uma pesquisa sobre o 
desenvolvimento do conhecimento 
matemático, esta questão leva ao 
uso de ferramentas tecnológicas, 
e evidencia a Matemática como 
uma ciência humana, atrelada ao 
desenvolvimento de diferentes po-
vos e culturas. Também valoriza 
o conhecimento historicamente 
construído, buscando utilizá-lo na 
compreensão de novos conceitos 
matemáticos. Com isso, abordam-
-se as Competências gerais 1 e 5 e 
a Competência específica de Ma-
temática 1.
Caso considere relevante, com-
plemente o estudo de equações 
apresentando para os estudantes 
o problema dos três marinheiros. 
Esse problema está disponível 
em: http://clubes.obmep.org.br/
blog/probleminha-trabalho-dos-
marinheiros/. Acesso em: 26 jul. 
2022. Extraído do livro: TAHAN, 
Malba. O homem que calculava. Rio 
de Janeiro: Record, 2007.
Deixe os estudantes livres para, 
em duplas, tentar resolvê-lo. De-
pois, com a ajuda deles, resolva o 
problema na lousa.
Algo a mais
http://clubes.obmep.org.br/blog/probleminha-trabalho-dos-marinheiros/
http://clubes.obmep.org.br/blog/probleminha-trabalho-dos-marinheiros/
http://clubes.obmep.org.br/blog/probleminha-trabalho-dos-marinheiros/
2x
3x
2x
Medida da área do
quadrado: 256 m²
x
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
98
Atividades
 35. Efetue os cálculos no caderno e deter-
mine as raízes das equações.
a ) x 2 = 25 
b ) x 2 − 16 = 0 
c ) 2 x 2 − 128 = 0 
d ) x 2 − 144 = 0 
e ) 3 x 2 + 15 = 123 
f ) x 2 − 7 = − 2 
 36. Calcule no caderno o valor de x para 
que a expressão:
a ) x 2 − 12 seja igual a − 8 ;
b ) 2 x 2 − 7 seja igual a x 2 + 42 ;
c ) − 3 x 2 − 11 _ 2 seja igual a − 2 x 2 + 35 .
 37. Escreva no caderno uma equação do 
2º grau para representar a situação de 
cada item. Em seguida, resolva essas 
equações.
a ) O quadrado de um número é igual a 
121. Qual é esse número?
b ) O quadrado de uma quantia em reais 
menos R$ 45,00 é igual a R$ 396,00. 
Qual é essa quantia?
 38. A área do retângulo a seguir mede 
 54 m 2 . Quais são as medidas de suas 
dimensões?
Faça as atividades 
no caderno.
 40. Entre as equações a seguir, quais não 
têm raízes reais?
 39. Uma piscina é coberta por uma lona 
retangular cuja área mede 392 m 2 . A 
medida do comprimento da lona é o 
dobro da medida da largura. De acor-
do com essas informações, elabore em 
seu caderno o enunciado de um pro-
blema e peça a um colega que o resol-
va. Por fim, verifique se ele resolveu o 
problema corretamente.
Sabendo que a área dessa figura mede 
45 m 2 , determine a medida do compri-
mento do lado de cada quadrado.
 43. Calcule no caderno a medida do perí-
metro da figura, sabendo que ela é for-
mada por um quadrado e um triângulo 
equilátero.
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/ 
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/ 
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
JA
CQ
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/ 
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
 41. Quais são as possibilidades de quanti-
dade de raízes de uma equação do tipo 
a x 2 + c = 0, com a e c números reais e 
a ≠ 0 ? Caso a equação tenha raízes, 
quais podem ser as relações entre elas?
 42. A figura a seguir é formada por cinco 
quadrados congruentes.
 x 2 = 16 
B. E.
A.
C. F.
D.
 2 _ 3 x 2 + 22 = 0 
 − x 2 − 49 = 0 
 3 x 2 − 7 = 20 
 1 _ 2 x 2 − 32 = 0 
 2 x 2 + 18 = 0 
35. Respostas: a) − 5 e 5; b) − 4 e 4; c) − 8 e 8; d) − 12 e 12; e) − 6 e 6; f) √ 
_
 5 e − √ 
_
 5 .
36. Respostas: a) − 2 ou 2; b) − 7 ou 7; c) − 9 ou 9.
37. Respostas: a) x 2 = 121 ; 11 ou − 11 ; 
b) x 2 − 45 = 396 ; R$ 21,00.
40. Resposta: Equações A, D e E.
41. Espera-se que os estudantes concluam que as equações desse tipo podem ter uma (caso em que 
as duas raízes são iguais), duas ou nenhuma raiz. Quanto à relação entre as raízes, quando existir, 
espera-se que eles concluam que elas podem ser iguais ou opostas.
43. Resposta: 80 m .
39. Resposta 
pessoal.
42. Resposta: 3 m .
38. Resposta: 
Medida docomprimento: 
9 m ; medida da 
largura: 6 m .
98
• Nas atividades 35 e 36, verifi-
que se os estudantes escrevem, 
inicialmente, as equações na for-
ma a x 2 + c = 0 para, em seguida, 
calcular suas raízes. 
• Caso julgue necessário, oriente-os 
a indicar o número e a quantia des-
conhecidos na atividade 37 por x. 
Além disso, verifique se eles com-
preendem que os quadrados do nú-
mero e da quantia desconhecidos, 
nesse caso, são indicados por x 2 .
• As atividades 38, 42 e 43 re-
lacionam as unidades temáticas 
Álgebra, Geometria e Grandezas 
e medidas. Na atividade 38, certi-
fique-se de que os estudantes não 
considerem concluída a ativida-
de após obterem o valor de x. Se 
necessário, leve-os a perceber a 
necessidade de calcular o valor nu-
mérico dos monômios 2x e 3x . O 
mesmo vale para a atividade 43. 
Se necessário, chame a atenção de-
les para o fato de que é necessário 
calcular a medida do perímetro da 
figura para solucionar o proble-
ma proposto. Já na atividade 42, 
verifique se os estudantes compre-
endem que todos os quadrados 
que formam a figura têm o compri-
mento do lado medindo x.
• Para desenvolver o trabalho com 
a atividade 43, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa 
Pensamento do design. Obtenha 
informações sobre essa metodo-
logia no tópico Metodologias e 
estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual.
• Após todos concluírem a ativida-
de 39, selecione alguns estudantes 
e peça-lhes que compartilhem com 
os colegas o problema escrito, para 
que todos possam resolvê-lo.
• Ao trabalhar com a atividade 40, 
se necessário, lembre os estudan-
tes de que um número negativo n 
não tem raiz quadrada real, ou seja, 
√ 
_
 n não está definido no conjunto 
dos números reais.
• Caso julgue necessário, ao tra-
balhar com a atividade 41, oriente 
os estudantes a isolar a incógnita x 
em um dos membros da equação 
a x 2 + c = 0 , com a ≠ 0 , ou seja:
 x = √ 
_
 − c _ a 
Metodologias ativas
Em seguida, analisem as possibilidades de valores 
que x (raiz) pode ou não assumir. Nesse caso, há 
três possibilidades. São elas:
1a) duas raízes reais e iguais (caso em que − c _ a > 0 );
2a) uma raiz real ou duas raízes reais iguais (caso 
em que − c _ a = 0 );
3a) não há raízes reais (caso em que − c _ a < 0 ).
x
x
2x
2
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
99
Logo, as raízes da equação x 2 − 4x = 0 são 0 e 4. Para essa situação, consideremos ape-
nas a raiz x = 4 , pois a medida de comprimento x indicada em um dos pedaços de madeira 
é maior do que zero.
Agora, calculamos a medida do perímetro do quadrado e do retângulo.
Medida do perímetro do quadrado
 x + x + x + x = 4x = 4 ⋅ 4 = 16 
 16 cm 
Medida do perímetro do retângulo
 2x + 2 + 2x + 2 = 4x + 4 = 4 ⋅ 4 + 4 = 20 
 20 cm 
Resolvendo equações do tipo a x 2 + bx = 0 
Antônio cortou dois pedaços de madeira, um com a forma de um quadrado e outro com 
a forma de um retângulo. Cada um desses pedaços está representado a seguir, e as medidas 
indicadas estão expressas em centímetros.
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: S
ER
G
IO
 L
IM
A/
 
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
Sabendo que esses dois pedaços de madeira têm a mesma medida de área, qual é a me-
dida do perímetro de cada um deles?
Para responder a essa pergunta, precisamos obter o valor de x . Nesse caso, inicialmente 
escrevemos uma equação e a deixamos na forma reduzida.
medida da área 
do quadrado
medida da área 
do retângulo
 x ⋅ x = 2x ⋅ 2 
 x 2 = 4x 
 x 2 − 4x = 0 
Temos que x é o fator comum aos dois termos do 1º membro da equação. Por isso, po-
demos colocá-lo em evidência.
 x 2 − 4x = 0 
 x (x − 4) = 0 
Se o produto de dois fatores é igual a zero, então, um deles é zero. Portanto, x pode 
assumir dois valores:
 x = 0 ou x − 4 = 0
x = 4 
99
• Avalie a possibilidade de propor 
aos estudantes a situação apresen-
tada nesta página antes de abordá-
-la no livro, a fim de que, em du-
plas, eles tentem calcular a medida 
do perímetro de cada pedaço de 
madeira. Para isso, escreva na lousa 
o enunciado do problema. Depois, 
considerando as estratégias e as re-
soluções propostas e desenvolvidas 
por eles, apresente as explicações 
encontradas no livro.
Sugestão de avaliação
Para avaliar como os estudantes 
estão lidando com os conteúdos 
estudados até o momento, escreva 
na lousa as equações 2 x 2 − 32 = 0, 
7x − 43 = 2x + 22 e − x 2 − 9 = 0 . Em 
seguida, peça-lhes que:
a ) identifiquem as equações do 
2o grau;
b ) determinem, caso existam, as 
raízes das equações do 2o grau.
Resoluções e comentários
a ) Para identificar as equações do 
2o grau, analisamos o maior expo-
ente da incógnita x. Nesse caso, 
são do 2o grau as seguintes equa-
ções: 2 x 2 − 32 = 0 e − x 2 − 9 = 0 , 
pois o maior expoente da incógnita 
em cada uma delas é 2.
b ) A equação 2 x 2 − 32 = 0 tem duas 
raízes reais, pois: 
 2 x 2 − 32 = 0 
 2 x 2 = 32 
 2 ⟍ x 2 _ 2 ⟍ = 32 _ 2 = 16 
 x = ± √ 
_
 16 
 x = ± 4 
A equação − x 2 − 9 = 0 não tem raízes 
reais, pois: 
 − x 2 − 9 = 0 
 − x 2 = 9 
 x 2 = − 9 
 x = ± √ 
_
 − 9 
Obtenha informações sobre ava-
liações no tópico Avaliação, nas 
orientações gerais deste manual.
x
x + 3
x
x − 1
r
s
t
3x
x 2x
3
u v
r s t
u
v
9x
2
6x
4
4x − 1
2x
x − 3
2x
x + 9
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
100
 44. Determine as raízes de cada equação.
a ) x 2 − 3x = 0 
b ) 4 x 2 = − 16x 
c ) 0,5 x 2 + 10x = 0 
d ) x 2 + 5 _ 2 x = 0 
e ) 3 _ 4 x 2 − 15x = 0 
f ) 9 x 2 + 16,8x = x 2 
g ) 2 x 2 − 12x = x 2 + 5x 
h ) x 2 − 5x = − 4 x 2 − 2x 
 45. Quantas são as raízes de uma equação do 
tipo a x 2 + bx = 0, com a e b números 
reais não nulos? Quais são as caracterís-
ticas das raízes desse tipo de equação?
 46. (Saresp-2005) A equação x 2 + 3x = 0 :
a ) não tem raízes reais.
b ) tem uma raiz nula e outra negativa.
c ) tem uma raiz nula e outra positiva.
d ) tem duas raízes reais e simétricas.
 47. O cubo e o paralelepípedo reto retân-
gulo representados a seguir têm a mes-
ma medida de volume.
a ) Sabendo que as medidas estão em 
centímetros, quais são as medidas 
dos comprimentos das arestas des-
sas figuras geométricas espaciais?
b ) Quanto é a medida do volume de 
cada figura geométrica espacial?
 48. Em cada figura, as retas r , s e t são 
paralelas. Calcule no caderno o valor 
de x indicado em cada figura.
Utilize o teorema de Tales 
para resolver esta atividade.
Atenção!
B.
B.
A.
A.
 49. De acordo com as figuras a seguir, ela-
bore um problema envolvendo equa-
ções do 2º grau e o entregue para um 
colega resolver. Depois, verifique se a 
resposta dele está correta.
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
48. Respostas: A. x = 1 _ 2 ; B. x = 1 .
49. Resposta pessoal.
44. Respostas: 
a) 0 e 3; b) 0 e − 4 ; 
c) 0 e − 20 ; d) 0 e − 5 _ 2 ; 
e) 0 e 20; f) 0 e − 2,1 ; 
g) 0 e 17; h) 0 e 3 _ 5 .
45. Resposta: Espera-se que os estudantes percebam 
que as equações do 2° grau desse tipo têm duas raízes 
reais: uma igual a zero e outra diferente de zero.
46. Resposta: Alternativa b.
47. Respostas: a) Cubo: 1,5 cm ; paralelepípedo: 4,5 cm ; 1,5 cm e 0,5 cm ;
b) A medida do volume de ambas as figuras é 3,375 cm 3 .
100
• Ao trabalhar com as atividades 
44 e 46, se julgar necessário, orien-
te os estudantes a colocar o fator 
comum em evidência. Caso apre-
sentem dificuldades,resolva com 
eles os itens a e e da atividade 44.
• Caso julgue necessário, ao tra-
balhar com a atividade 45, fatore 
com os estudantes a equação 
a x 2 + bx = 0 , com a ≠ 0 e b ≠ 0 . 
Nesse caso, obtém-se:
 x (ax + b) = 0 
Dessa equação, concluímos que 
x = 0 (I) ou ax + b = 0 (II). De II, 
segue que x = − b _ a . Portanto, as 
equações desse tipo têm duas raí-
zes reais: uma igual a zero e outra 
diferente de zero. 
• Ao trabalhar com a atividade 47, 
caso julgue necessário, escreva, 
com a ajuda dos estudantes, a fór-
mula do cálculo da medida do vo-
lume de um paralelepípedo reto 
retângulo. Além disso, verifique se 
eles sabem que o cubo é um caso 
particular do paralelepípedo reto 
retângulo.
• Ao trabalhar com a atividade 48, 
retome o teorema de Tales. Se jul-
gar conveniente, apresente-lhes al-
guns exemplos na lousa.
• O objetivo da atividade 49 é levar 
os estudantes a formular e resolver 
um problema, exercitando, dessa 
maneira, a criatividade, a imagina-
ção, a argumentação, a análise 
crítica e a escrita matemática. Com 
isso, contribui para o desenvolvi-
mento da Competência geral 2 
e da Competência específica de 
Matemática 6.
Aproveite o fato de esta ativida-
de envolver o trabalho colabo-
rativo entre os pares e oriente os 
estudantes sobre a importância 
da empatia, do respeito e da boa 
convivência social, bem como da 
necessidade de não ter preconcei-
tos e compreender e aceitar as de-
mandas e limitações dos outros, de 
modo a promover a saúde mental 
e a cultura de paz. Dessa maneira, 
abordam-se a Competência geral 
9 e a Competência específica de 
Matemática 8.
3x
x + 3
x
3
x²
3x 9
x 3
x + 3
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
101
Resolvendo equações do tipo a x 2 + bx + c = 0 
Acompanhamos, anteriormente, a resolução de equações do 2º grau incompletas e, ago-
ra, resolveremos equações do 2º grau completas, isto é, aquelas em que todos os coeficien-
tes são diferentes de zero.
Podemos calcular as raízes de uma equação do 2º grau completa de várias maneiras, 
como por meio da fatoração, do método de completar quadrados ou da fórmula resolutiva.
Lembre-se que fatorar é 
escrever um número ou 
uma adição algébrica na 
forma de um produto.
Atenção!
Fatoração
Uma das maneiras de obter as raízes de uma equação 
do 2º grau completa é por fatoração.
Por exemplo, consideremos a equação x 2 + 6x + 9 = 36 . 
O 1º membro dessa equação é um trinômio quadrado per-
feito. Portanto, podemos escrevê-lo da seguinte maneira:
 x 
2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) 2 
A representação geométrica do trinômio x 2 + 6x + 9 
corresponde à medida da área de um quadrado cujo com-
primento dos lados mede (x + 3) .
 • Medida da área das quatro partes nas quais o quadra-
do foi dividido:
 x 2 + 3x + 3x + 9 = x 2 + 6x + 9 
 • Medida da área do quadrado maior:
 (x + 3) (x + 3) = (x + 3) 2 
 x + 3 = + √ 
_
 36 
 x + 3 = 6 
 x = 6 − 3 
 x = 3 
ou
 x + 3 = − √ 
_
 36 
 x + 3 = − 6 
 x = − 6 − 3 
 x = − 9 
Portanto, os números 3 e − 9 são as raízes da equação x 2 + 6x + 9 = 36 .
Como as duas expressões obtidas representam a medida da área da mesma figura, temos:
 x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 
Assim, (x + 3) 2 é a forma fatorada de x 2 + 6x + 9 .
Agora, voltamos à equação e escrevemos o 1º membro na forma fatorada:
 x 2 + 6x + 9 = 36 
 (x + 3) 2 = 36 
Como há dois números que, elevados ao quadrado, são iguais a 36, temos:
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
101
• Avalie a possibilidade de propor 
aos estudantes a situação apresen-
tada nesta página antes de abordá-
-la no livro, a fim de que, em du-
plas, eles tentem calcular as raízes 
da equação x 2 + 6x + 9 = 36 . Para 
isso, escreva na lousa essa equação. 
Antes de apresentar a resolução do 
livro, questione os estudantes a res-
peito dos valores de a, b e c dessa 
equação e verifique se eles fazem 
a relação correta. Depois, conside-
rando as estratégias e as resoluções 
propostas e desenvolvidas por eles, 
apresente as explicações encontra-
das no livro.
• Se achar necessário, lembre os 
estudantes que trinômios qua-
drados perfeitos são expressões 
que podem ser escritas na forma 
a 2 + 2ab + b 2 ou a 2 − 2ab + b 2 .
x 5
5
x x² 5x
5x
x 5
5
x x² 5x
5x
5
5
x
x + 5
5
5
x x² 5x
5x 5²
x + 5
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
102
Método de completar quadrados
Em algumas equações completas do 2º grau, o 1º membro não é um trinômio quadrado 
perfeito. Nesses casos, para obter as raízes da equação, utilizamos o método de completar 
quadrados.
Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa sobre as con-
tribuições de Al-Khwarizmi e do livro Al-Jabr wa’l muqabalah, de sua 
autoria, para a Matemática. Depois, registre no caderno as informações 
que achar mais interessantes.
Questão 4.
A pesquisa proposta na questão 4 pode ser feita com base em livros, revistas e sites. Mas cuidado! 
Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. 
Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.
Atenção!
Acompanhe como podemos obter as raízes da equação x 2 + 10x + 9 = 0 utilizando esse 
método.
 • Nessa equação, o 1º membro não é um trinômio quadrado perfeito. Assim, para que 
possamos fatorá-la, acrescentamos convenientemente um mesmo número aos dois 
membros da equação.
Para obter esse número, inicialmente isolamos o termo independente da equação no 
2º membro.
 x 2 + 10x + 9 − 9 = 0 − 9 
 x 2 + 10x = − 9 
 x 2 + 10x = x 2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x 
medida da área de um 
quadrado cujo comprimento 
dos lados mede x 
medida da área de 
um retângulo com 
dimensões medindo 
5 e x 
 10 ⋅ x = 2 ⋅ 5 ⋅ x 
Na figura, percebemos que, para completar o quadrado, é necessário acrescentar a ela 
um quadrado com 5 unidades de lado.
W
O
RL
D
 H
IS
TO
RY
 A
RC
H
IV
E/
AL
AM
Y/
FO
TO
AR
EN
A
1º. 2º.
O método de completar quadrados foi utilizado 
pelo matemático árabe Mohammed ibn Musa 
Al-Khwarizmi, por volta de 825 d.C., em seu 
livro chamado Al-Jabr wa’l muqabalah.
 • Agora, vamos analisar, por meio de representação geométrica, o 
1º membro da equação. Para facilitar essa visualização, trocamos 
10x por 2 ⋅ 5 ⋅ x .
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: J
AC
Q
U
EL
IN
E 
AM
AD
IO
/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
Questão 4. Resposta: Espera-se que 
os estudantes verifiquem que Al-Khwarizmi teve várias contribuições para 
a Matemática e para a Física, 
entre elas, a escrita de tabelas 
astronômicas, tratados sobre o 
relógio de Sol, o desenvolvimento da 
Álgebra e da Aritmética, entre outras.
102
• O objetivo da questão 4 é levar 
os estudantes a perceber que a Ma-
temática é uma construção humana 
que se deu ao longo dos séculos 
por diferentes povos e culturas. 
Ao envolver uma pesquisa sobre 
as contribuições de uma pessoa 
para o desenvolvimento do conhe-
cimento matemático, esta questão 
leva ao uso de ferramentas tecnoló-
gicas, bem como evidencia a Mate-
mática como uma ciência humana, 
fruto de preocupações de diferen-
tes povos e culturas. Também valo-
riza o conhecimento historicamen-
te construído a respeito do mundo 
e busca usá-lo para compreender 
outros conceitos matemáticos. 
Com isso, abordam-se as Compe-
tências gerais 1 e 5 e a Competên-
cia específica de Matemática 1. 
• Aproveite o fato de a questão 4 
ser proposta em duplas e oriente 
os estudantes sobre a importância 
da empatia, do respeito e da boa 
convivência social, bem como da 
necessidade de não ter precon-
ceitos e compreender e aceitar 
as demandas e limitações dos ou-
tros, de modo a promover a saúde 
mental e a cultura de paz. Seachar 
conveniente, converse com eles a 
respeito do combate aos diversos 
tipos de violência, especialmente 
o bullying. Obtenha informações 
referentes a esse assunto no tópi-
co Cultura de paz e combate ao 
bullying nas orientações gerais des-
te manual. Dessa maneira, são con-
templadas a Competência geral 9 e 
a Competência específica de Ma-
temática 8.