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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Disciplina: Cálculo Avançado Semestre: 2021.1
Professora: Érica Macêdo Data de Entrega: 24.04.2021
Aluno:
Atividade Online 02
Valor: 3, 0
Questão 1 (0,6). Encontre as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo:
a. f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z)
b. f(x, y) = x2e3y
a.
∂f
∂x
=
1
x+ 2y + 3z
· 1 =
1
x+ 2y + 3z
;
∂f
∂y
=
1
x+ 2y + 3z
· 2 =
2
x+ 2y + 3z
;
∂f
∂z
=
1
x+ 2y + 3z
· 3 =
3
x+ 2y + 3z
;
b.
∂f
∂x
= 2xe3y;
∂f
∂y
= x2e3y · 3 = 3x2e3y.
Questão 2 (0,8). Verifique se a função z = x3y2 satisfaz a equação abaixo para x 6= 0 e y 6= 0:
1
x
· ∂z
∂y
− 2
3y
· ∂z
∂x
= 0
Temos
∂z
∂x
= 3x2y2 e
∂z
∂y
= 2x3y. Assim,
1
x
∂z
∂y
− 2
3y
∂z
∂x
=
1
x
· 2x3y − 2
3y
· 3x2y2 = 2x2y − 2x2y = 0.
Logo, a função satisfaz a equação.
Questão 3 (1,6). Considere a função de duas variáveis f(x, y) = 6y2 − xy + x3.
a. Calcule a equação do plano tangente no ponto onde x = y = −2.
b. Determine a reta tangente à curva que é intersecção da superf́ıcie dada com o plano x = 1 no ponto
de ordenada y = −1.
c. Determine o vetor gradiente no ponto P1(−1, 2).
d. Calcule a derivada direcional
∂f
∂~u
(−2, 1), onde ~u = (4, 3).
Temos
∂f
∂x
= −y + 3x2 e
∂f
∂y
= 12y − x
a. Sendo
∂f
∂x
(−2,−2) = −(−2) + 3(−2)2 = 14 e
∂f
∂y
(−2,−2) = 12(−2) − (−2) = −22 e f(−2,−2) =
Profa. Ms. Érica N. Macêdo Bom Trabalho!
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6(−2)2 − (−2)(−2) + (−2)3 = 12, temos que a equação do plano tangente é z − 12 = 14(x + 2) +
(−22)(y + 2)
→ 14x− 22y − z − 4 = 0.
b. Temos que
∂f
∂y
(1,−1) = 12(−1)− 1 = −13 e f(1,−1) = 6 · (−1)2 − 1 · (−1) + 13 = 8; a equação da
reta tangente é z − 8 = −13(y + 1)→ z = −13y − 5.
c. Como
∂f
∂x
(−1, 2) = −2 + 3(−1)2 = 1 e
∂f
∂y
(−1, 2) = 12(2)− (−1) = 25 temos ∇f(P ) = (1, 25).
d. O vetor ~u não é unitário; sendo assim, tomamos o vetor ~v =
~u
||~u|| =
(4, 3)√
42 + 32
=
(
4
5
,
3
5
)
.
Temos
∂f
∂x
(−2, 1) = −1 + 3(−2)2 = 11,
∂f
∂y
(−2, 1) = 12(1) − (−2) = 14 e ∇f(P ) = (11, 14);
∂f
∂~u
(−2, 1) = (11, 14) ·
(
4
5
,
3
5
)
=
86
5
.
Profa. Ms. Érica N. Macêdo Bom Trabalho!