determine o valor da constate K para que os vetores U(3, 4, -5) e v (5K +2, 1, 7 -k) sejam ortogonais.

Para que os vetores \( \mathbf{U}(3, 4, -5) \) e \( \mathbf{V}(5K + 2, 1, 7 - K) \) sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. O produto escalar é dado por: \[ \mathbf{U} \cdot \mathbf{V} = 3(5K + 2) + 4(1) + (-5)(7 - K) \] Calculando isso: \[ \mathbf{U} \cdot \mathbf{V} = 15K + 6 + 4 - 35 + 5K \] Simplificando: \[ \mathbf{U} \cdot \mathbf{V} = 20K - 25 \] Para que os vetores sejam ortogonais, devemos ter: \[ 20K - 25 = 0 \] Resolvendo para \( K \): \[ 20K = 25 \\ K = \frac{25}{20} \\ K = \frac{5}{4} \] Portanto, o valor da constante \( K \) para que os vetores sejam ortogonais é \( K = \frac{5}{4} \).