Livro_Multivix_E-book_Analise Estrutural II

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ANÁLISE ESTRUTURAL II
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do 
Estado do Espírito Santo, com unidades presenciais 
em Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, 
Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória, 
e com a Educação a Distância presente 
em todo estado do Espírito Santo, e com 
polos distribuídos por todo o país. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, 
destacando-se pela oferta de cursos de 
graduação, técnico, pós-graduação e 
extensão, com qualidade nas quatro 
áreas do conhecimento: Agrárias, Exatas, 
Humanas e Saúde, sempre primando 
pela qualidade de seu ensino e pela 
formação de profissionais com consciência 
cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto grupo de 
Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 
instituições avaliadas no Brasil, apenas 
15% conquistaram notas 4 e 5, que são 
consideradas conceitos de excelência em 
ensino. Estes resultados acadêmicos 
colocam todas as unidades da Multivix 
entre as melhores do Estado do Espírito 
Santo e entre as 50 melhores do país.
 MISSÃO
Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.
 VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconhecida 
nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
R E I TO R
GRUPO
MULTIVIX
R E I
2
MULTIVIX EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
3
MULTIVIX EAD
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BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte)
Adriano Rogério Kantoviscki
Análise Estrutural II / KANTOVISCKI, A. R. - Multivix, 2023
Catalogação: Biblioteca Central Multivix 
 2023 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. 
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MULTIVIX EAD
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LISTA DE QUADROS
UNIDADE 1
 Diferenciação do solo fértil com o solo produtivo 26
UNIDADE 2
 Vínculos e características 46
 Vínculos e características 60
UNIDADE 3
 Vínculos e características 75
UNIDADE 4
 Formulações 106
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MULTIVIX EAD
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LISTA DE FIGURAS
UNIDADE 1
 Estrutura 18
 Materiais usados em construções 19
 Estrutura com arcos 21
 Tipos mais importantes de estruturas reticulares 22
 Estruturação em obra 23
 Estruturas reticulares 25
 Equação estática 27
 Obra sendo inspecionada 28
 Forças que podem ser atuantes ou existentes em um sólido 29
 Energia acústica 30
 Estrutura metálica 31
 Estrutura metálica 32
 Estrutura metálica 33
 Estrutura metálica 35
 Energia de deformação e energia complementar 37
UNIDADE 2
 Estrutura de concreto armado 42
 Estruturas de concreto armado 43
 Pilares de concreto armado 45
 Estruturas hipoestáticas 47
 Estruturas isostáticas 47
 Estruturas hiperestáticas 48
 Estrutura externamente hiperestática 49
 Estrutura internamente hiperestática 50
 Pórtico 52
 Estrutura isostática 53
 Estrutura hiperestática 53
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MULTIVIX EAD
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 Engenheiro 54
 Estruturas 56
 Vigas com um grau hiperestático 58
 Pórtico com um grau hiperestático 59
 Treliças 59
 Treliça com um grau hiperestático 61
 Pórtico com um grau hiperestático 62
 Treliça com um grau hiperestático – internamente hiperestática 63
 Modelos de rótulas 63
 Modelos de rótulas 64
UNIDADE 3
 Estruturas de engenharia 71
 Estruturas de engenharia 72
 Vigas (A e B) com múltiplos graus de hiperestaticidade 76
 Alguns tipos de pórtico 77
 Pórticos (A e B) com múltiplos graus de hiperestaticidade 78
 Proposta 2 de pórtico para a parte frontal do hotel 80
 Cálculo do grau de hiperestaticidade da proposta 2 de pórtico para a 
parte frontal do hotel 80
 Estrutura projetada pelo grupo de engenharia de manutenção 
do shopping 81
 Segunda estrutura projetada pelo grupo de engenharia de manutenção 
do shopping 82
 Estruturas estáveis de engenharia 83
 Ponte com treliças 85
 Dois tipos de treliças que apresentam dois graus de hiperestaticidade 86
 Início da resolução da treliça internamente hiperestática 87
 Projeto da ponte 87
 Projeto de pórtico proposto 88
 Projeto de treliça proposto 89
 Projeto da ponte ferroviária treliçada 91
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UNIDADE 4
 Estruturas de engenharia 96
 Viga hiperestática 97
 Estruturas de engenharia 98
 Confecção de ferragem para viga de concreto armado 99
 (a)Corpo submetido a diversas forças externas. (b) Corpo sujeito à 
aplicação de uma força virtual externa P’ 100
 Confecção de edificação em concreto armado 107
 (a) Viga com carga distribuída real e (b) Viga com força virtual 108
 Relação entre momento fletor (M) o giro da seção transversal θ para 
material elástico linear 110
 Viga com carga real P aplicada na extremidade livre 111
 Treliça de cobertura 113
 (a) Esforços normais (N’) gerados pela força virtual; (b) Esforços normais 
(N) gerados pelo carregamento real 114
 Viga hiperestática 115
 Confecção de edificação em concreto armado 116
 Viga hiperestática desmembrada 117
UNIDADE 5
 Viga hiperestática com 4 apoios 121
 Estrutura de concreto armado 123
 Estrutura de concreto armado 124
 Viga hiperestática (a) e isostática (b) 124
 Exemplo de superposição 126
 Exemplo de viga com carregamento uniforme distribuído 128
 Viga sem uma vinculação 130
 (a) Carregamento (real e força virtual) no caso (0); (b) Carregamento (real 
e força virtual) no caso (1) 131
 Viga hiperestática 132
 Edificação em andamento com estrutura em concreto armado 134
 (a) Pórtico hiperestático; (b) Magnitudes de deslocamento; (c) Sistema 
hipergeométrico 135
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 Superposição dos casos básicos 136
 a) Reações nos apoios fictícios para o caso (0); (b) Forças nos apoios 
fictícios para o caso (1) 137
 Reações de engastamento perfeito para algumas situações de 
carregamentos 138
 Coeficientes de rigidez locais para algumas 
situações de deslocamentos 139
 (a) Viga; (b) Deslocabilidade 141
 Casos (0) e (1) 141
UNIDADE 6
 Viaduto: estrutura de concreto armado 149
 (a) Treliça; (b) Coordenadas locais de um membro 150
 Estrutura de ponte em treliças de aço 151
 Deslocamentos axiais possíveis em uma barra de treliça 152
 Execução de elemento estrutural de engenharia 157
 Viga com a convenção de sinais – Processo de Cross 158
 Viga indeslocável 159
 Coeficiente de rigidez 160
 Estrutura de piso, lajes e pilares em concreto armado 162
 Pórtico hiperestático deslocável 163
 Viga: exemplo teórico-prático 164
 Trechos da viga analisada 165
 Distribuição de momentos da viga analisada 165
 Diagrama de momentos fletores gerado pelo programa Ftool, com 
valores exatos 166
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1UNIDADE
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 14
1. INTRODUÇÃO E TEOREMAS FUNDAMENTAIS 17
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 17
1.1 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTRUTURA E CLASSIFICAÇÃO 18
1.2 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ANÁLISE ESTRUTURAL 29
2. ESTUDO DA HIPERESTATICIDADE 43
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 43
2.1 ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 43
2.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS DE GRAU 1 57
3. ESTUDO DA HIPERESTATICIDADE – PARTE 2 71
INTRODUÇÃO DA UNIDADE71
3.1 ESTRUTURAS COM GRAUS MÚLTIPLOS DE HIPERESTATICIDADE 75
3.2 OUTROS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 85
4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS FORÇAS E DO DESLOCAMENTO 97
INTRODUÇÃO 97
4.1 MÉTODO DAS FORÇAS E DO DESLOCAMENTO 98
4.2 TEOREMA DE CASTIGLIANO 111
5. MÉTODOS DAS FORÇAS E DO DESLOCAMENTO 123
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 123
5.1 MÉTODO DAS FORÇAS: APROFUNDAMENTO 123
6 MÉTODO DA RIGIDEZ E PROCESSOS DE CROSS 149
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 149
6.1 MÉTODO DA RIGIDEZ 149
6.2 PROCESSO DE CROSS 158
2UNIDADE
3UNIDADE
4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
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ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
ICONOGRAFIA
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
A disciplina Análise Estrutural II objetiva proporcionar um aprofundamento 
nos estudos das estruturas das áreas de engenharia. Uma estrutura é, para 
profissionais de engenharia, qualquer tipo de construção formada por um ou 
vários elementos interligados que se destinam a apoiar a ação de uma série 
de forças aplicadas a eles. Nesse contexto, vamos focar o desenvolvimento 
da competência de análise de estruturas (determinadas e indeterminadas), 
assim como a identificação da estaticidade e da estabilidade, prevendo com-
portamentos e direcionando diagramas de esforços solicitantes. Trata-se de 
um curso importante nas disciplinas de base das áreas associadas à enge-
nharia estrutural.
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MULTIVIX EAD
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UNIDADE 1
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
> Compreender os 
conceitos básicos 
de estruturas e suas 
classificações.
> Compreender 
os teoremas 
fundamentais da 
análise estrutural.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
A disciplina Análise Estrutural II objetiva proporcionar um aprofundamento 
nos estudos das estruturas das áreas de engenharia. Uma estrutura é, para 
profissionais de engenharia, qualquer tipo de construção formada por um ou 
vários elementos interligados que se destinam a apoiar a ação de uma série 
de forças aplicadas a eles. Nesse contexto, vamos focar o desenvolvimento 
da competência de análise de estruturas (determinadas e indeterminadas), 
assim como a identificação da estaticidade e da estabilidade, prevendo com-
portamentos e direcionando diagramas de esforços solicitantes. Trata-se de 
um curso importante nas disciplinas de base das áreas associadas à enge-
nharia estrutural.
1. INTRODUÇÃO E TEOREMAS 
FUNDAMENTAIS
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Esta unidade abordará aprofundamentos iniciais dos conceitos básicos asso-
ciados as estruturas e à classificação delas. A concepção de uma estrutura, por 
parte de profissionais de engenharia, divide-se em três fases: planejamento, 
projeto e construção. Na fase de projeto, que é a de interesse para a análise 
estrutural, as seguintes etapas podem ser distinguidas:
• determinação da forma e das dimensões gerais — é o tipo de estrutura e 
geometria de acordo com a funcionalidade e as normas aplicáveis. Também 
determina os principais materiais a serem utilizados.
• determinação de cargas — define as forças externas que atuam na estrutura, 
bem como todos os efeitos que podem afetar o comportamento (erros de 
forma, movimentos de suportes etc.).
• análise — consiste em determinar as forças internas e as deformações que se 
originam na estrutura como consequência das cargas atuantes. Para realizar 
a análise de uma estrutura é necessário proceder primeiro a idealização dela, 
ou seja, assimilá-la a um modelo cujo cálculo é possível. Essa idealização é feita, 
basicamente, introduzindo algumas suposições sobre o comportamento 
dos elementos que compõem a estrutura, no modo como estes se ligam 
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e se sustentam. Uma vez idealizada a estrutura, faz-se a análise, calculando 
as deformações e os esforços que nela transparecem, utilizando para isso 
as próprias técnicas de análise estrutural. Para isso, temos sempre como 
dados de partida os valores de ações externas e as dimensões da estrutura, 
determinadas nas fases anteriores.
Especificamente nesta unidade, trabalharemos definições iniciais correlacio-
nando-as a algumas definições gerais. Também vamos nos aprofundar na 
classificação das estruturas e dos respectivos métodos de análise, convergin-
do para aplicações e exemplos teórico-práticos.
Ainda, abordaremos alguns dos teoremas fundamentais da análise estrutural, 
relacionando-os a energia potencial e trabalho e aos principais teoremas de 
energia; vamos também, nesses casos, finalizas com a aplicação de alguns 
exemplos teórico-práticos.
1.1 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTRUTURA E 
CLASSIFICAÇÃO
O problema que a análise estrutural tenta resolver é a determinação do estado 
de deformações e tensões que ocorrem no interior da estrutura, resultado de 
todas as ações que agem sobre ela. Como consequência, também tenta deter-
minar as reações que aparecem no suporte da estrutura (KASSIMALI, 2016).
Exceto em casos muito simples, para a análise da 
estrutura é necessário conhecer as dimensões 
transversais dos elementos que a compõe, mas 
essas dimensões são basicamente determinadas 
pelas forças internas que aparecem nos elementos, 
que a princípio são desconhecidos. Por isso, a 
análise de uma estrutura geralmente é iterativa 
até que forças e deformações internas alcançadas 
sejam adequadas às dimensões transversais dos 
elementos (GARRISON, 2018).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Para iniciar esse processo iterativo de análise, alguns valores devem ser im-
postos para as dimensões da seção transversal dos elementos, com base na 
experiência ou em um pré-dimensionamento, que normalmente se baseia 
em hipóteses simplificadoras.
1.1.1 DEFINIÇÕES INICIAIS E GERAIS
Para que a análise de uma estrutura seja correta, é necessário que a idea-
lização feita se aproxime o máximo possível do comportamento real (LEET; 
UANG; GILBERT, 2010). Para isso, vários aspectos devem ser considerados, tais 
como os seguintes.
Arranjo espacial da estrutura
Pode ser em uma, duas ou três dimensões.
Tipos de cargas atuantes
Estáticas ou dinâmicas, conforme sejam constantes no tempo ou 
variáveis com ele. 
Tipos de elementos que compõem a estrutura
Elementos discretos (peças prismáticas), elementos contínuos ou 
mesmo estruturas mistas.
Tipos de juntas estruturais entre os elementos
Articuladas, rígidas (geralmente chamadas de embutidas) ou flexíveis.
Comportamento do material
Pode ser elástico, pois quando desaparecem as cargas o material 
retorna ao estado inicial, ou não (por exemplo, se houver plasticidade). 
Dentro de materiais elásticos, o caso mais usual é o linear, quando a 
tensão e a deformação são proporcionais.
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Pequenas deformações
Ocorre quando a posição deformada da estrutura coincide com a 
posição indeformada. Isso simplifica a relação entre deformações e 
deslocamentos de um ponto, que é linear. Em caso contrário, é um 
problema de grande tensão, e a relação entre tensões e deslocamento 
não é linear.
ESTRUTURA
Fonte: ©wirestock, Freepik (2023).
#pratodosverem: estrutura com a cor amarela sobre fundo azul.
Entre todos os aspectos citados,focaremos, de modo geral, estruturas com as 
seguintes características:
• estruturas formadas por elementos discretos;
• submetidas a cargas que não variam no tempo, ou seja, em regime estático;
• com juntas rígidas, articuladas ou flexíveis entre os elementos;
• estendidas em uma, duas ou três dimensões;
• constituídas de um material com comportamento elástico linear; e
• com pequenas deformações.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
1.1.2 CLASSIFICAÇÃO DE ESTRUTURAS E 
MÉTODOS DE ANÁLISE 
Realizar uma classificação detalhada das estruturas não é uma tarefa fácil, 
pois depende da tecnologia, dos materiais utilizados para a construção e do 
uso dado à estrutura. Por essa razão, apenas os tipos de estruturas mais usu-
ais são incluídos por aqui, levando-se em conta as diferenças do ponto de 
vista da análise, mas não do ponto de vista da funcionalidade (MARTHA, 2022).
MATERIAIS USADOS EM CONSTRUÇÕES
Fonte: ©wirestock, Freepik (2023).
#pratodosverem: trabalhador da construção civil instalando armações de aço em vigas de 
concreto.
As primeiras definições do conceito de estrutura já orientam a considerar dois 
grandes tipos: com elementos discretos ou com elementos contínuos. Am-
bos os tipos são detalhados a seguir.
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1.1.2.1 ESTRUTURAS COM ELEMENTOS 
DISCRETOS (ESTRUTURAS RETICULARES)
Segundo Martha (2022), nas estruturas reticulares, os elementos são clara-
mente identificados e caracterizam-se por ter:
• dimensão longitudinal muito maior que as outras duas; e
• material agrupado em torno da linha central do elemento, que geralmente 
é reto.
Esses elementos são, portanto, peças prismáticas 
e geralmente são chamados de barras. Os pontos 
de união de alguns elementos com outros são 
chamados nós, e cada elemento sempre tem dois 
nós extremos (MARTHA, 2022).
Com isso, a estrutura se assemelha a uma grade formada pelos diferentes 
elementos unidos por nós. Na verdade, essas estruturas são geralmente cha-
madas de reticulares.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
ESTRUTURA COM ARCOS
Fonte: ©wirestock, Freepik (2023).
#pratodosverem: fotografia, em escala de cinza, da parte interna de um edifício com 
estruturas em arco.
A união de alguns elementos com outros por meio de nós pode ser feita de 
diversas formas, sendo as mais importantes (MARTHA, 2022):
• União rígida ou engastamento: impõe deslocamentos comuns e voltas ao 
elemento e ao nó, de modo que forças e momentos sejam transmitidos.
• Articulação: permite diferentes rotações do elemento e do nó e não é 
transmitido na direção da junta.
• Conexão flexível: as espiras do elemento e do nó são diferentes, porém 
transmitem um momento entre os dois elementos.
Os tipos mais importantes de estruturas reticulares são mostrados na figura 
a seguir.
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TIPOS MAIS IMPORTANTES DE ESTRUTURAS RETICULARES
Fonte: adaptada de Valle, Rovere e Pillar (2019).
#pratodosverem: tipos mais importantes de estruturas reticulares, tais como viga, treliça 
plana, treliça espacial, pórtico plano e espacial, grelha e arco.
1.1.2.2 ESTRUTURAS COM ELEMENTOS 
CONTÍNUOS
Nessas estruturas, nenhuma direção predominante é identificada a princípio, 
e o material é distribuído continuamente por toda a estrutura. O conceito de 
nó estrutural nem pode ser introduzido de forma intuitiva e simples, porque a 
análise é mais complexa do que para estruturas reticuladas, por isso não será 
abordada em nossos estudos. No entanto, a seguir, elencamos os casos mais 
comuns de estruturas contínuas, segundo Garrison (2018).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
• Placas  Consistem em um meio contínuo plano, de 
pequena espessura comparado com as dimensões 
transversais, com forças atuando perpendicularmente ao 
plano. São o equivalente contínuo de uma chapa plana.
• Sólidos  São meios tridimensionais contínuos 
submetidos a um estado geral de tensões e deformações.
• Cascas  São meios curvos contínuos, de pequena 
espessura. São o equivalente à soma de uma membrana 
e uma placa, cuja superfície diretriz é uma curva.
Em termos de classificação dos métodos de análise, podemos dizer que os 
principais métodos de análise estrutural para estruturas discretas são resu-
midos a seguir. Os métodos estão separados em quatro grandes blocos, com 
base na natureza de cada um.
ESTRUTURAÇÃO EM OBRA
Fonte: ©freestockcenter, Freepik (2023).
#pratodosverem: homem trabalhando em construção com estruturas de vigas em 
armação de aço.
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• Soluções analíticas: consistem em resolver diretamente as equações que 
controlam o problema, então geralmente só podem ser aplicadas a casos 
simples.
• Integração da equação elástica para vigas.
• Teoremas de Mohr para vigas.
• Método da viga conjugada. 
• Empregos das equações da estática: só podem ser aplicadas em estruturas 
isostáticas. 
• Métodos do equilíbrio dos nós para treliças. 
• Método das seções para treliças.
• Método da barra substituída para treliças. 
• Métodos baseados em flexibilidade.
• Princípio do trabalho virtual complementar e do potencial estacionário.
• Segundo teorema de Castigliano e teorema de Crotti-Engesser.
• Método geral de flexibilidade (baseado no segundo teorema de Engesser). 
• Método da compatibilidade de deformações em vigas.
• Fórmula dos três momentos para vigas. 
• Princípio de Müller-Breslau para cargas móveis.
• Métodos baseados na rigidez. 
• Princípio do trabalho virtual complementar e princípio do potencial total 
estacionário.
• Primeiro teorema de Castigliano. 
• Método da rigidez em formulação matricial, para qualquer tipo de 
estrutura. 
• Método de Cross ou da distribuição de momentos, para pórticos planos.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
1.1.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS
Os diferentes elementos que compõem uma estrutura reticular podem ser 
unidos, basicamente, por dois modos (GARRISON, 2018):
Totalmente rígido
Transmitindo entre os elementos unindo todas as forças e os 
momentos possíveis: três forças e três momentos no caso espacial 
e duas forças e um momento no caso plano. Nesse caso, todas as 
deformações dos elementos unidos são iguais.
Por meio de juntas imperfeitas
Permitem certo movimento relativo entre os elementos unidos. 
Essas uniões imperfeitas são obtidas com base no cancelamento 
da capacidade de transmissão de algumas das forças disseminadas 
entre os elementos. Uma vez eliminada essa capacidade de transmitir 
algum esforço, surge um movimento relativo entre os elementos, no 
sentido do esforço anulado.
ESTRUTURAS RETICULARES
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: fotografia de estruturas reticulares pretas.
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As condições de tensão zero impostas nas juntas entre os elementos da es-
trutura são chamadas de condições de construção. A presença delas desem-
penha um papel importante na estabilidade da estrutura ou na natureza 
isostática ou hiperestática. Os tipos de construção mais importantes estão 
exemplificados no quadro a seguir.
DIFERENCIAÇÃO DO SOLO FÉRTIL COM O SOLO PRODUTIVO
Tipo Esforço anulado Representação
Articulação (ou rótula) Momento fletor
Corredor Esforço cortante
Deslizamento axial Força axial
Junta de torque Momento de torqueRótula
Dois momentos de 
flexão e um momento 
de torção
Fonte: elaborado pelo autor (2023).
#pratodosverem: quadro com os tipos mais importantes de construção de estruturas.
Pode acontecer de, no mesmo ponto, existirem várias condições construtivas 
que devem ser identificadas independentemente, cujos efeitos se somam. 
Assim, por exemplo, a junta esférica é constituída de duas articulações ao lon-
go de dois eixos perpendiculares ao elemento e uma articulação de torção 
(KASSIMALI, 2016). Então, em uma junta (ou nó) totalmente articulada de uma 
estrutura plana, alcançada por n barras, o número de condições construtivas 
é n-1. A enésima equação seria a equação estática da soma dos momentos 
zero na junta (ou nó).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
EQUAÇÃO ESTÁTICA
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: representação da equação estática.
1.2 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ANÁLISE 
ESTRUTURAL
Vamos analisar agora alguns dos teoremas fundamentais em que se baseia 
a análise estrutural. O estudo é feito sob a óptica da mecânica dos sólidos, 
considerando um meio contínuo com o qual se obtém expressões bastante 
gerais, adequadas para serem utilizadas tanto na análise de estruturas discre-
tas quanto contínuas.
A hipótese de pequenas deformações é considerada aplicável: a posição de-
formada do sólido coincide com a posição não deformada, com a qual podem 
ser estabelecidas as equações de equilíbrio estático na configuração inicial do 
sólido, que é conhecida (LEET; UANG; GILBERT, 2010).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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OBRA SENDO INSPECIONADA
Fonte: ©jcomp, Freepik (2023).
#pratodosverem: profissional com o projeto da obra nas mãos, inspecionando a construção.
Em princípio, assume-se um comportamento elástico do material, mas sem-
pre que possível os desenvolvimentos são feitos com a maior generalidade, 
obtendo-se, por vezes, expressões válidas para casos elásticos lineares ou não 
lineares.
Outro tema importante para ser abordado são as forças atuantes nos sólidos. 
De modo geral, podemos ter as seguintes forças atuando sobre os sólidos 
(VECCI, 1999):
Forças distribuídas no volume do sólido
Têm três componentes, sendo função dos pontos em que atuam no 
volume do sólido.
Forças distribuídas na superfície do sólido
Têm três componentes, sendo também função dos pontos em que 
atuam, embora sejam definidos apenas em pontos na superfície 
externa no sólido.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Forças e momentos pontuais
Aplicados em determinados pontos do sólido, sendo geralmente 
tratados de forma decomposta em todos os N componentes escalares 
e agrupados em um único vetor P.
Além das forças atuantes, em cada ponto do sólido podem existir deforma-
ções associadas a essas forças. A figura a seguir mostra, de forma genérica, as 
forças e as deformações que podem ser atuantes ou existentes em um sólido.
FORÇAS QUE PODEM SER ATUANTES OU EXISTENTES EM UM SÓLIDO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: representação, de forma genérica, das forças e deformações que podem 
ser atuantes ou existentes em um sólido.
Perceba que podemos definir um vetor ∆, que contém os valores que o cam-
po de deformação adota nos pontos de aplicação e na direção das forças pon-
tuais aplicadas; ou seja, ∆ contém as deformações do sólido medidas na dire-
ção das forças aplicadas, consideradas escalares.
1.2.1 ENERGIA POTENCIAL E TRABALHO
Em qualquer tipo de sistema físico é possível associar as forças presentes e os 
possíveis deslocamentos na direção delas com a capacidade de realizar tra-
balho, a qual se denomina energia. Sendo inerente à matéria, a energia pode 
ser observada de diversas maneiras, dependendo da natureza das forças exis-
tentes no sistema (energia cinética, elétrica, química, térmica, acústica etc.) 
(MASCIA; FERNANDES, 2017).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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ENERGIA ACÚSTICA
Fonte: ©kjpargeter, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem vetorial de ondas sonoras.
Apesar de intimamente relacionados, trabalho e energia são conceitualmen-
te bastante diferentes. As forças, em determinado sistema, realizam o traba-
lho, ao passo que o sistema tem energia. Somente haverá realização de traba-
lho quando ocorrer alteração na energia do sistema, pois ela assumirá outra 
forma. Assim, a energia química presente na dinamite pode ser convertida 
em calor e energia cinética ao realizar trabalho (MASCIA; FERNANDES, 2017).
Em um corpo deformável, o carregamento externo 
induz o aparecimento de tensões internas que se 
modificam até que a configuração de equilíbrio 
seja alcançada. Para o caso de um material 
elástico, sabe-se que a forma original do corpo é 
recuperada após o descarregamento (MASCIA; 
FERNANDES, 2017).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Consequentemente, pode-se afirmar que as forças internas têm capacidade 
de realizar trabalho definida como energia de deformação, pois resulta das 
deformações desenvolvidas no corpo. Dessa maneira, para se avaliar a quan-
tidade de trabalho realizado em um evento físico, basta que se determine a 
variação de energia correspondente.
ESTRUTURA METÁLICA 
 
Fonte: ©freestockcenter, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estruturação metálica em construção. 
O trabalho realizado no sistema é obtido por meio da soma, ao longo da traje-
tória da partícula, do produto escalar entre os vetores de força (F) e a trajetória 
(s). Sendo Fs a componente da força na direção do caminho percorrido pela 
partícula e ds o deslocamento infinitesimal na direção desse caminho, o tra-
balho infinitesimal realizado será: 
dW = Fs.ds
Ainda nessa discussão, deve-se ressaltar a validade da Lei da Conservação da 
Energia para a classe de fenômenos físicos considerados em mecânica dos 
sólidos.
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Isso significa que a energia não pode ser criada 
nem destruída, apenas transformada.
O trabalho virtual é definido como o trabalho realizado pelas forças aplicadas 
à estrutura quando esta é submetida a um pequeno deslocamento hipotéti-
co, denominado deslocamento virtual, compatível com as condições de apoio.
ESTRUTURA METÁLICA
 
Fonte: ©evening_tao, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estruturação metálica em construção.
Para aplicar esse conceito a um sólido deformável, devemos variar o campo 
de deslocamentos u em uma magnitude du, que é o deslocamento virtual. 
Esse é um campo de deslocamentos contínuos que atende à condição de 
pequenas deformações e é compatível com todas as condições de suporte 
existentes no sólido. Isso quer dizer que, nas áreas do sólido em que há des-
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
locamentos impostos de valor conhecido, o deslocamento virtual é nulo. Du-
rante essa variação do campo de deslocamentos, todas as forças aplicadas ao 
sólido permanecem constantes.
Ao se aplicar a variação du também se produz uma variação deformacional 
dD no vetor de deformações na direção das forças pontuais.
ESTRUTURA METÁLICA
 
Fonte: ©evening_tao, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estruturação metálica em construção 
Agora, em relação à energia potencial, considere uma partícula de massa m 
sujeita à ação do campo gravitacional (constante g) localizada a uma altura h 
de um plano de referência. Se a partícula cai até esse plano, uma quantidade 
de trabalho é realizada pela força gravitacionalmg. É importante destacar 
que não se trata da energia potencial correspondente às duas posições distin-
tas, mas sim da diferença entre elas.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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A energia de deformação e a energia complementar 
formam a base de vários métodos de solução em 
análise estrutural, os quais são aplicáveis a estruturas 
lineares e não lineares em geral (RAMALHO; SILVA, 
[2007]).
A não linearidade no comportamento de uma estrutura se deve, basicamen-
te, a duas causas. A mais óbvia ocorre quando o material tem curva, tensão e 
deformação não linear, sendo esse o caso típico de não linearidade física do 
material.
Outra possível não linearidade é proveniente da geometria da estrutura soli-
citada. Essa situação ocorre sempre que as deformações estruturais alteram 
a ação das cargas nela atuantes.
Um exemplo é uma coluna com carga axial de valor 
acima da carga crítica. Nesse caso, observa-se que 
mesmo deslocamentos laterais muito pequenos 
da coluna afetam significativamente os momentos 
de flexão na coluna.
Outro exemplo é o de uma viga submetida a 
grandes deformações.
Em ambos os exemplos, considerou-se que o material da viga permanece 
elástico linear, por isso a não linearidade era devida apenas às mudanças na 
geometria da estrutura. Esses são, portanto, exemplos de casos em que ocor-
re não linearidade geométrica.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Independentemente da presença de não linearidade física ou geométrica, ad-
mite-se sempre que o material da estrutura esteja sendo solicitado no regime 
elástico. Assim, os métodos de análise desenvolvidos por meio da energia de 
deformação e da energia complementar serão válidos para mais de um ciclo 
de carregamento na estrutura. Para materiais não elásticos, esses métodos ain-
da podem ser válidos durante o primeiro ciclo de carregamento da estrutura.
ESTRUTURA METÁLICA
Fonte: ©freestockcenter, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estruturação metálica em construção.
No caso especial em que existe linearidade física e geométrica, a estrutura 
se comporta linearmente e o princípio da superposição pode ser utilizado. 
Entretanto, no caso de estruturas não lineares, deve-se estar constantemente 
alerta para o fato de o princípio da superposição não ser aplicável.
1.2.2 PRINCIPAIS TEOREMAS DE ENERGIA
Até o momento, podemos ver como a análise estrutural é de extrema impor-
tância para a construção civil, dado que compreende a idealização do compor-
tamento das estruturas, sendo definido em função de diversos parâmetros.
Também vimos que é importante compreender os conceitos de trabalho e 
energia para que, posteriormente, o estudo seja aprofundado no trabalho vir-
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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tual, na energia de deformação, na energia potencial e na energia comple-
mentar, considerando que esses conceitos permitem que o comportamento 
das estruturas seja mais bem compreendido.
Entre os métodos que podem ser considerados como de aprofundamento da 
compreensão da análise estrutural temos os seguintes (MARTHA, 2005):
• método da carga unitária para cálculo dos deslocamentos;
• teoremas recíprocos;
• energia de deformação e energia complementar;
• método da energia de deformação;
• método da energia potencial;
• método de Rayleigh-Ritz;
• teorema de Crotti-Engesser;
• método das forças;
• segundo teorema de Castigliano; e
• energia de deformação e método da flexibilidade.
1.2.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TÉORICO-
PRÁTICOS
Para demonstrar os conceitos de energia, considera-se uma barra sujeita a 
uma força axial P que produz uma tensão σ = P/A e deformação ε = δ / L, con-
forme mostrado na figura a seguir, no item (a). O material da barra é consi-
derado elástico, com curva tensão-deformação não linear, mostrada no item 
(b) da figura. Então, a relação carga-deflexão, item (c) da figura, terá a mesma 
forma da curva tensão-deformação.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E ENERGIA COMPLEMENTAR
Fonte: adaptada de Martha (2022).
#pratodosverem: figura representando, de forma genérica, diagramas da barra submetida 
a uma força ou carga P, o diagrama tensão-deformação e o diagrama que mostra a carga 
versus a deflexão na peça.
O trabalho realizado pela carga P é: 
E pode ser interpretado como sendo a área abaixo da curva carga-deflexão, 
conforme item (c) da figura anterior. 
Como a barra se comporta elasticamente e as perdas de energia durante o 
carregamento e o descarregamento são desprezadas (o sistema é conservati-
vo), todo o trabalho realizado pela carga será armazenado na barra em forma 
de energia de deformação elástica, que poderá ser recuperado durante o des-
carregamento. Logo, a energia de deformação é igual ao trabalho:
 ou ainda U 
Em que a energia de deformação u, por unidade de volume do material, pode 
ser obtida pela expressão a seguir, representando a área sob a curva tensão-
-deformação no item (b) da figura anterior.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Outra formulação importante é o trabalho complementar W*, representado pela 
área entre a curva carga-deflexão não linear e o eixo vertical, item (c) da figura.
Geometricamente, esse trabalho complementa W, pois completa o retângulo 
apresentado no item (c) da figura. A energia complementar U*, portanto, é 
igual ao trabalho complementar das cargas, tal que:
Similarmente:
 e 
Os conceitos de energia de deformação também são aplicáveis a estruturas 
sujeitas a outros tipos de carregamento, como torção e flexão.
Normalmente, há várias cargas atuando em uma estrutura e, por essa razão, 
as energias de deformação e complementar devem ser obtidas mediante 
somatórios:
 e 
CONCLUSÃO
Esta unidade objetivou apresentar uma introdução a respeito dos teoremas 
fundamentais básicos utilizados nos processos de análise de estruturas. Tam-
bém estudamos algumas classificações e nos aprofundamos na compreen-
são da energia potencial e do trabalho. 
Entendemos, de modo geral, que a estrutura deve ter um estado de tensões 
e deformações de modo que a falha estrutural não ocorra, levando a falha à 
destruição em qualquer um dos possíveis estados de carga. Nesse caso, com-
preendemos que existe um campo amplo de limitações mais estritas e que 
são impostas dependendo do tipo de estrutura e da aplicação concreta. A 
limitação sempre imposta é a do valor máximo das tensões que surgem no 
material, em qualquer ponto da estrutura, a fim de evitar a ruptura ou a falha. 
Também nos aprofundamos na importância dos conceitos de energia de de-
formação e energia complementar, que formam a base de alguns métodos 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
bastante eficientes na análise estrutural. Esses métodos podem ser aplicados 
para estruturas lineares e não lineares, como é o caso do princípio do trabalho 
virtual e o método da carga unitária. 
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, acesse os links a 
seguir:
1. MASCIA, N. T.; FERNANDES, B. Energia de 
deformação e teoremas da energia. Campinas, SP: 
Universidade Estadual de Campinas, Faculdade 
de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, 
Departamento de Estruturas, 2017.
2. VECCI, M. A. M. Análise estrutural I. Belo Horizonte, 
MG: Universidade Federal de Minas Gerais, Escola 
de Engenharia, Departamento de Engenharia de 
Estruturas, 1999.
3. INTRODUÇÃO aos métodos de energia em 
estruturas | Tutorial mecânica. [S. l.: s. n.], 2016. 1 vídeo 
(10 min). Publicado pelo canal Tutorial Mecânica.4. RAMALHO, J. B.; SILVA, R. R. Aplicações de 
métodos de energia a problemas de instabilidade de 
estruturas. Rio de Janeiro, RJ: Pontifícia Universidade 
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de 
Engenharia Civil, [2007].
5. CARVALHO, J. Teoria das estruturas: guia prático. 
Capítulo VII – Métodos de energia.
UNIDADE 2
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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> Compreender os 
conceitos associados 
às estruturas 
estaticamente 
indeterminadas.
> Compreender os 
conceitos associados 
às estruturas 
hiperestáticas de 
grau. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
2. ESTUDO DA HIPERESTATICIDADE
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Esta unidade abordará aprofundamentos e temáticas associadas à hiperesta-
ticidade, tema muito importante na engenharia civil, pois são esses conheci-
mentos que garantem que a grande maioria das edificações de engenharia 
se torne realidade. 
Conheceremos as análises de estruturas, cálculo de esforços e deslocamentos 
em elementos estruturais em geral. Vamos examinar como classificar a es-
trutura em relação ao grau de hiperestaticidade. Essa classificação ajudará a 
determinar o modelo mais adequado para resolver a estrutura e obter como 
resultado as reações de apoio, a força cortante e o momento fletor.
Aprofundaremos o conteúdo sobre as estruturas de grau 1, focando o enten-
dimento, os modelos estruturais e as aplicações. Serão apresentadas as ra-
zões para o uso de estruturas hiperestáticas, bem como as vantagens e as 
desvantagens. Além disso, serão explicadas as diferenças entre estruturas ex-
ternamente e internamente hiperestáticas e como determinar o grau de hi-
perestaticidade de cada uma delas.
2.1 ESTRUTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS 
Segundo Martha (2022), quando observamos um edifício em construção é 
possível notar que existem vigas apoiadas por diversas colunas. Esses diferen-
tes elementos estruturais trabalham em conjunto para formar um sistema 
estrutural complexo que difere das vigas simples apoiadas. 
Isso ocorre porque essas estruturas possuem um número maior de incógni-
tas do que de equações de equilíbrio. Portanto, para determinar as forças e 
deformações em uma estrutura estaticamente indeterminada é necessário 
utilizar outros métodos de análise.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Segundo Martha (2022), uma das técnicas mais 
comuns para analisar estruturas estaticamente 
indeterminadas é o método da superposição de 
deformações, que consiste em analisar a estrutura 
separadamente para cada carregamento, e então 
somar as deformações resultantes para obter 
a deformação total da estrutura. Esse processo 
é repetido para cada força ou carregamento 
presente na estrutura, e ao final, as forças em cada 
elemento podem ser determinadas.
Outro método comum para analisar estruturas estaticamente indeterminadas 
é o método dos deslocamentos, que envolve o uso de equações de compatibili-
dade de deformações para determinar as relações entre os deslocamentos em 
diferentes partes da estrutura (PILLAR et al., 2021). As equações de equilíbrio 
são utilizadas para determinar as forças em cada elemento da estrutura.
ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO
Fonte: ©bearfotos, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estrutura de concreto armado.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Existem outras técnicas para analisar estruturas estaticamente indetermina-
das, como o método das forças, o método da rigidez e o método da energia, 
cada um com vantagens e desvantagens. A escolha do método mais adequa-
do depende das características específicas da estrutura em questão.
É importante ressaltar que a análise de estruturas estaticamente indetermi-
nadas é essencial para o projeto de estruturas complexas e eficientes. Essas 
estruturas podem ser encontradas em diversas aplicações, como pontes, edi-
fícios e torres de transmissão, e a análise delas é fundamental para garantir a 
segurança e a durabilidade dessas estruturas.
De modo geral, a resolução da complexidade em alguns tipos de estrutu-
ras não é tão simples, porém, atualmente, existem métodos numéricos e de 
simulação que ajudam, de forma bastante significativa, nessas resoluções 
(KASSIMALI, 2016). 
2.1.1 INTRODUÇÃO
O que são as estruturas estaticamente indeterminadas? Quando uma estru-
tura não pode ser analisada estaticamente, utilizando apenas equações (está-
ticas) de equilíbrio, são definidas como estruturas estáticas indeterminadas. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Fonte: ©ksandrphoto, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de estruturas de concreto armado.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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As estruturas estáticas indeterminadas implicam que existe pelo menos uma 
força de reação desconhecida além das equações de equilíbrio, o que signi-
fica que a soma das forças e os momentos em cada direção não é suficiente 
para resolver completamente a estrutura (KASSIMALI, 2016). 
Para as estruturas bidimensionais existem três equações de equilíbrio:
Onde: Fx = Forças horizontais, Fy = Forças verticais e M = momentos. 
Para o caso de estruturas bidimensionais (discretas), podemos considerar que 
os vínculos estão alocados em um sistema planar e só podem se movimen-
tar nesse plano. Em estruturas reais (tridimensionais), temos seis equações 
de equilíbrio, porém, as estruturas discretas representam, de forma bastante 
próxima do real, as estruturas usuais utilizadas na prática.
Quanto aos vínculos, o tipo de vinculação pode interferir na análise da estrutu-
ra. Os vínculos restringem a mobilidade da estrutura e o número de graus de 
mobilidade retirados pelos vínculos é um fator determinante para classificar 
a estrutura como hiperestática, isostática ou hipostática (PILLAR et al., 2021).
A análise da estrutura é uma etapa fundamental no processo de projeto e 
construção de edificações. A escolha do tipo de vinculação utilizado na estru-
tura é um aspecto importante a ser considerado, pois ela pode interferir dire-
tamente na mobilidade da estrutura. Dessa forma, é necessário compreender 
como os vínculos restringem a mobilidade da estrutura e como isso pode 
afetar o desempenho da construção.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
PILARES DE CONCRETO ARMADO
Fonte: ©bannafarsai, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de pilares de concreto armado.
O número de graus de mobilidade retirados pelos vínculos também é um 
fator determinante para a classificação da estrutura como hiperestática, isos-
tática ou hipostática. As estruturas hiperestáticas são aquelas que possuem 
mais graus de mobilidade do que o necessário para serem estáveis, enquanto 
as isostáticas possuem exatamente o número de graus de mobilidade neces-
sário. Já as hipostáticas possuem menos graus de mobilidade do que o ne-
cessário (PILLAR et al., 2021). É importante entender essas classificações para 
garantir a segurança e estabilidade da estrutura.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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QUADRO 1 – VÍNCULOS E CARACTERÍSTICAS
Nome do 
vínculo Símbolo
Reações de apoio 
provocadas pelos 
vínculos
Números de graus 
de mobilidade 
retirados pelo 
vínculo (n)
Apoio móvel 1
Apoio fixo 2
Engaste 3
Fonte: adaptada de Vieira; Torres (2018, p. 36).
#pratodosverem: tabela representando os vínculos e as características. Para cada vínculo há 
o nome, o símbolo utilizado, as reações de apoio provocadas por esse vínculo e o númerode graus de mobilidade retirados pelo vínculo.
As estruturas hipoestáticas apresentam mobilidade no conjunto, pois a es-
trutura apresenta partes móveis, o que não pode ser aceito para edificações. 
Esse tipo de estrutura não apresenta estabilidade, uma vez que a estrutura 
não é impedida de se deslocar, já que as equações de equilíbrio da estáti-
ca pressupõem que a soma das forças verticais, horizontais e momentos 
deve ser igual a zero, o que não ocorre nesse caso (o número de reações de 
apoio na estrutura não é suficiente para garantir a estabilidade da estrutura) 
(PILLAR et al., 2021).
As estruturas hipostáticas são aquelas que possuem menos graus de mobi-
lidade do que o necessário para serem estáveis. Isso significa que, em alguns 
casos, o número de graus de mobilidade permitidos pelos apoios é inferior ao 
necessário para impedir que a estrutura se movimente, como pode ser ob-
servado em alguns exemplos na figura a seguir. No entanto, há situações em 
que a estrutura não possui restrição em ambas as direções do plano, também 
resultando em uma estrutura hipostática. É importante notar que, devido ao 
movimento infinito e ao equilíbrio instável, essas estruturas não são adequa-
das para projetos de construções que exijam estabilidade e segurança.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 11-7 ).
#pratodosverem: representação de alguns tipos de estruturas hipoestáticas, destacando as 
vinculações. 
As estruturas isostáticas são caracterizadas por apresentar um número de 
reações igual ao de incógnitas das equações de equilíbrio. Essas estruturas 
possuem um número de apoios suficiente para impedir que a estrutura se 
movimente, o que garante o equilíbrio e a estabilidade. Essa propriedade é 
importante para a segurança e eficiência de uma construção, e deve ser cui-
dadosamente avaliada durante o processo de projeto e análise da estrutura.
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 11-2).
#pratodosverem: representação de alguns tipos de estruturas isostáticas, destacando as 
vinculações.
As estruturas hiperestáticas (conforme a figura a seguir) são estruturas que 
apresentam um número de reações nas vinculações que é maior que o nú-
mero de equações da estática, não sendo possível determinar as reações de 
apoio utilizando somente essas equações. Essas estruturas apresentam equi-
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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líbrio estável e, apesar da complexidade de análise, a maioria das estruturas 
utilizadas é hiperestática (MARTHA, 2022).
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 12-3).
#pratodosverem: representação de alguns tipos de estruturas hiperestáticas, destacando as 
vinculações. 
Segundo Martha (2022), as estruturas hiperestáticas apresentam várias van-
tagens, sendo que entre as principais podemos citar:
Estruturas mais seguras
Ocorre uma distribuição de tensões mais uniforme. 
Menor deslocamento
Existe uma maior rigidez estrutural devido ao menor grau de 
liberdade.
Economia de material
É possível a execução de vigas menores com economia de material.
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2.1.2 GRAU HIPERESTÁTICO
A determinação do grau hiperestático de uma estrutura é baseada na soma 
do grau hiperestático interno e externo. No caso das estruturas externamente 
hiperestáticas, observa-se que o número de reações é maior do que as equa-
ções de equilíbrio da estática (PILLAR et al., 2021). Isso significa que o número 
de reações de apoio é superior a três.
Essas estruturas apresentam maior complexidade 
e desafios em relação à análise e ao projeto, 
exigindo técnicas e metodologias específicas para 
garantir a estabilidade e a segurança. É importante 
avaliar cuidadosamente o grau hiperestático de 
uma estrutura durante o processo de projeto e 
análise para evitar problemas e riscos futuros.
ESTRUTURA EXTERNAMENTE HIPERESTÁTICA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 15).
#pratodosverem: representação de um tipo de estrutura externamente hiperestática.
As estruturas internamente hiperestáticas são aquelas em que não existe a 
possibilidade de determinar os esforços das seções ao longo da estrutura, uti-
lizando-se as equações de equilíbrio da estática (KASSIMALI, 2016). 
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ESTRUTURA INTERNAMENTE HIPERESTÁTICA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 15).
#pratodosverem: representação de um tipo de estrutura internamente hiperestática.
Em linhas gerais, as estruturas internamente hiperestáticas são caracteriza-
das por apresentar todas as reações de apoio conhecidas. No entanto, devi-
do à geometria da estrutura, um conjunto de barras não articuladas entre 
si formam uma poligonal fechada, como ilustrado na figura anterior. Essa 
condição de hiperestaticidade interna pode resultar em maiores esforços e 
deformações na estrutura, exigindo uma análise mais complexa e cuidadosa 
durante o processo de projeto e análise. É importante considerar a hiperesta-
ticidade interna de uma estrutura para garantir a estabilidade e a segurança, 
evitando problemas e riscos futuros (MARTHA, 2022).
Ao retirar algumas das reações da estrutura hiperestática seguindo critérios es-
pecíficos, é possível torná-la estável e isostática, o que significa que o número 
de reações é igual ao número de equações de equilíbrio da estática. Assim, para 
uma estrutura isostática, é possível usar apenas as equações de equilíbrio da 
estática para resolver as reações de apoio e forças internas na estrutura.
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O FTOOL é uma ferramenta de análise estrutural 
que permite estudar o comportamento de 
estruturas isostáticas e hiperestáticas. É um 
software gráfico interativo que pode ser baixado 
gratuitamente e utilizado para projetos de 
estruturas bidimensionais. Ele oferece uma ampla 
variedade de esquemas estáticos e fornece gráficos 
de momento fletor, esforço normal e cortante, 
linha elástica e configuração deformada após a 
definição de alguns parâmetros. O FTOOL foi criado 
pelo professor Luiz Fernando Martha e é uma 
ferramenta simples e fácil de usar para estudantes 
de engenharia e profissionais da área, (MARTHA, 
2010). Para mais informações, visite o site.
2.1.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS 
Exemplo prático-teórico 1. Você, como engenheiro recém-formado, abriu 
um pequeno escritório de engenharia e angariou o primeiro cliente, dono de 
um estabelecimento comercial na cidade que você mora. O cliente solicitou 
um projeto de pórtico na parte frontal do estabelecimento, objetivando me-
lhorar a estética e as possibilidades de marketing.
Para o direcionamento do projeto, você precisa definir o grau de hiperesta-
ticidade desse pórtico e as possibilidades de vinculação para esse elemento 
construtivo e conjunto. No contexto da estabilidade das estruturas, a escolha 
do vínculo é fundamental, pois existem situações técnicas que não são possí-
veis de serem executadas. 
Ao avaliar a estrutura do pórtico, a primeira opção a ser considerada é a de 
vinculação isostática, que consiste em ter apenas apoios simples (pinos ou 
rolamentos) nas extremidades da estrutura, sem qualquer tipo de restrição 
contra deslocamentos ou rotações. Essa opção é mais simples e fácil de cal-
cular, porém, pode levar a maiores deformações na estrutura.
https://www.ftool.com.br/
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PÓRTICO 
Fonte: ©eyeofpaul,Freepik (2023).
#pratodosverem: apresentação de pórticos de concreto armado.
Para calcular as reações de apoio e os esforços na estrutura, basta utilizar as 
equações de equilíbrio da estática, que envolvem a soma das forças e dos mo-
mentos em cada direção.
Caso a opção de vinculação isostática não seja suficiente para garantir a es-
tabilidade da estrutura, é necessário considerar opções de vinculação hipe-
restática, adicionando apoios adicionais que restrinjam os movimentos da 
estrutura. Nesse caso, é preciso utilizar métodos mais avançados de análise 
estrutural, como o método das forças ou o método dos deslocamentos, que 
levam em conta as deformações da estrutura.
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ESTRUTURA ISOSTÁTICA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 11).
#pratodosverem: representação de um tipo de estruturas isostática.
Adicionalmente, é importante considerar a possibilidade de optar por uma 
estrutura hiperestática, visto que esta apresenta maior número de variáveis 
desconhecidas em relação ao número de equações estáticas disponíveis.
ESTRUTURA HIPERESTÁTICA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 12).
#pratodosverem: representação de um tipo de estruturas hiperestática.
Caso você escolha essa estrutura e esse tipo de vinculação, terá uma opção 
tecnicamente mais segura, com maior rigidez e menores possibilidades de 
deslocamento, apresentando as vantagens das estruturas hiperestáticas, en-
tre elas a economia de material na obra. 
Exemplo prático-teórico 2. O seu pequeno escritório de engenharia foi con-
tactado por uma construtora grande da região e fechou um grande projeto. 
O diretor da empresa fez contato diretamente com você, pois ele necessitava 
de um detalhamento teórico e uma assessoria técnica a respeito das desvan-
tagens da utilização das estruturas hiperestáticas. As vantagens desse tipo 
de estrutura já eram conhecidas e estavam claras para esse executivo, pois os 
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engenheiros da empresa citada só explicavam as vantagens para ele, porém 
ele queria uma opinião de engenharia externa a respeito também das des-
vantagens, para que pudesse tomar a melhor decisão. 
ENGENHEIRO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: engenheiro, utilizando EPI, com a planta da obra em mãos, avaliando o 
projeto.
Para direcionar a explicação técnica, você prepara alguns slides para uma 
apresentação profissional a respeito do tema, destacando as seguintes des-
vantagens em relação às estruturas hiperestáticas, quando comparadas às 
estruturas isostáticas (KASSIMALI, 2016).
Modelos de cálculo mais avançados
Podem apresentar maior complexidade na análise estrutural e no 
projeto, o que pode resultar em dificuldades durante a aplicação. A 
escolha do modelo de cálculo adequado dependerá das características 
da estrutura e dos objetivos do projeto.
Possíveis recalques dos apoios
Podem ocorrer devido à maior rigidez da estrutura e podem levar a 
mudanças nos valores de momento fletor e torçor, esforço cortante, 
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forças de reação e esforços normais dos elementos estruturais. É 
necessário considerar essas possibilidades durante a análise e o projeto 
estrutural para garantir a estabilidade e a segurança da estrutura.
Tensões não consideradas
As tensões geradas por má execução da obra ou utilização inadequada 
dos materiais, bem como variações de temperatura não consideradas, 
podem alterar a posição relativa dos elementos estruturais, resultando 
em variações nos esforços atuantes na estrutura. Por isso, é fundamental 
que sejam realizadas análises e verificações constantes para garantir a 
integridade e a segurança da estrutura em situações adversas.
2.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS DE GRAU 1
As estruturas hiperestáticas de grau 1 são aquelas que apresentam apenas uma 
incógnita a mais que o número de equações de equilíbrio. Isso significa que, 
para resolver essas estruturas, precisamos de um modelo matemático adicio-
nal, que leva em consideração a relação entre a deformação e a carga aplicada.
Vamos explorar as características específicas de cada tipo de estrutura, como 
vigas, pórticos e treliças, e entender como a hiperestaticidade afeta o cálculo 
dessas estruturas. Também discutiremos os modelos matemáticos necessá-
rios para resolver estruturas hiperestáticas de grau 1, o que é fundamental 
para o projeto e a análise dessas estruturas (KASSIMALI, 2016).
2.2.1 DEFINIÇÃO GERAL
Uma estrutura tem grau de hiperestaticidade quando o número de incógni-
tas relacionadas às reações estruturais é maior do que o número de equações 
de equilíbrio disponíveis para resolvê-las, havendo uma diferença de 1 entre 
esses valores.
Para resolver uma estrutura plana é necessário conhecer os deslocamentos 
nas extremidades das barras que a compõem. Depois disso, os esforços nas 
seções podem ser determinados e, em seguida, os diagramas de momento e 
força cortante são traçados. O primeiro passo para calcular a estrutura é defi-
nir o grau de hiperestaticidade. 
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ESTRUTURAS
Fonte: ©archangel808892, Freepik (2023).
#pratodosverem: foto de uma estrutura de engenharia.
Com base nisso, o método de cálculo pode ser escolhido e os esforços máxi-
mos solicitantes podem ser determinados. A partir desses esforços, verifica-se 
o dimensionamento das peças estruturais. Se não for possível determinar os 
esforços associados nas seções ao longo da estrutura após a obtenção das re-
ações, a estrutura pode ser considerada hiperestática internamente, com um 
grau de hiperestaticidade igual a 1.
Uma viga com apoio móvel na vertical é hipoestática 
e instável estruturalmente, mesmo que o número 
de equações seja menor que o número de reações 
(PILLAR et al., 2021).
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2.2.2 MODELOS DE ESTRUTURAS E EXEMPLOS
Já vimos que antes de realizar o cálculo de tensões e deformações em uma 
estrutura deve-se verificar se ela é estaticamente determinada ou estatica-
mente indeterminada. Para determinar as reações de ligação basta simples-
mente formular equações de equilíbrio ou não. 
Se for possível determinar reações de ligação com a formulação simples de 
equações de equilíbrio, a estrutura é chamada estaticamente determinada 
ou isostática. Caso contrário, a estrutura é dita estaticamente indeterminada, 
e sob esse conceito é necessário analisar duas situações: quando a estrutura 
tem condições de ligação, sejam elas internas ou externas, em número me-
nor que o cinematicamente necessário; ou equivalentemente quando o nú-
mero de equações de equilíbrio disponíveis é maior que o número de reações 
de ligação a serem determinadas. É o caso de estruturas consideradas hipos-
táticas, em que são comumente utilizadas na engenharia mecânica (eixos de 
máquinas, por exemplo). 
Segundo Kassimali (2016), quando a estrutura apresenta condições de ligação, 
sejam elas internas ou externas, em número maior que o necessário cinema-
ticamente ou equivalentemente quando o número de equações de equilíbrio 
disponíveis é menor que o número de reações de ligação a serem determina-
das, as estruturas são ditas hiperestáticas, em que juntamente com as estru-
turas isostáticas são comumente utilizadas na engenharia civil.
2.2.2.1 VIGAS COM UM GRAU HIPERESTÁTICO
Em vigas com grau de hiperestaticidade, a determinação das reações de 
apoio e das rótulas é fundamental. As rótulas geram equações adicionais que 
se somam às equações de equilíbrio da estática para permitir a resolução do 
sistema. Em geral, as rótulassão pontos de articulação que permitem que a 
viga tenha um movimento de rotação livre em torno do eixo perpendicular ao 
plano da viga. A presença de rótulas pode aumentar o grau de hiperestatici-
dade da viga e tornar o cálculo mais complexo. Para uma viga com rótulas, a 
fórmula para encontrar o grau hiperestático é:
g = R – (E + r)
Onde: R  Reações de apoio, conforme figura 1, mostrada anteriormente. 
E  Equações de equilíbrio da estática (=3). 
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r  Número de rótulas. 
Veja dois tipos de vigas (com rótulas e sem rótula) e que apresentam um grau 
hiperestático. 
VIGAS COM UM GRAU HIPERESTÁTICO
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 24-5).
#pratodosverem: dois exemplos de vigas com grau hiperestático. 
2.2.2.2 PÓRTICOS COM UM GRAU 
HIPERESTÁTICO
Pórticos são estruturas constituídas por barras dispostas vertical, horizontal 
ou inclinadamente, e que se interligam formando quadros. Eles são ampla-
mente utilizados na engenharia, frequentemente apresentando arranjos es-
truturais hiperestáticos (LEET; UANG; GILBERT, 2010). A fórmula utilizada para 
calcular o grau de hiperestaticidade de um pórtico é:
g = R – (E + r)
Onde: R  Reações de apoio, conforme figura 1, mostrada anteriormente. 
E  Equações de equilíbrio da estática (=3). 
r  Número de equações referente à rótulas, dado pela seguinte equação:
r = barras conectadas à rótula - 1
Observe um tipo de pórtico que apresenta um grau hiperestático. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
PÓRTICO COM UM GRAU HIPERESTÁTICO
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 26).
#pratodosverem: exemplo de pórtico com um grau hiperestático. 
2.2.2.3 TRELIÇAS COM UM GRAU 
HIPERESTÁTICO
De modo geral, as treliças são estruturas características formadas também 
por barras verticais, horizontais ou inclinadas que, quando estruturadas, for-
mam triângulos planares entre si (MARTHA, 2022).
TRELIÇAS 
Fonte: ©bannafarsai, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estrutura de treliça.
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 Essas estruturas são bastante utilizadas em coberturas, pontes etc. Para a de-
terminação do grau hiperestático em treliças, devemos resolver as seguintes 
incógnitas:
• Número de barras (b).
• Determinação das reações de apoio em função do tipo de vínculo (R).
QUADRO 2 – VÍNCULOS E CARACTERÍSTICAS
Nome do 
vínculo Símbolo
Reações de apoio 
provocadas pelos 
vínculos
Números de graus 
de mobilidade 
retirados pelo 
vínculo (n)
Apoio móvel 1
Apoio fixo 2
Engaste 3
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 36).
#pratodosverem: tabela apresentando vínculos e características. Para cada vínculo há o 
nome, o símbolo utilizado, as reações de apoio provocadas por esse vínculo e o número de 
graus de mobilidade retirados pelo vínculo. 
Para estruturas isostáticas, o somatório de todas essas incógnitas deve ser 
igual a duas vezes o número de nós, conforme a equação a seguir: 
R + b = 2 * n
Sendo n o número de nós. 
Para cada nó presente na estrutura, teremos duas equações.
O grau de hiperestaticidade é dado então por:
g = (R + b) – (2 * n)
Quando g = 1, a estrutura se apresenta uma vez hiperestática.
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Tipo de treliça que se apresenta externamente hiperestática:
TRELIÇA COM UM GRAU HIPERESTÁTICO
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 40).
#pratodosverem: representação de uma treliça com um grau hiperestático.
Para a treliça mostrada anteriormente, a incógnita é a reação de apoio sendo, 
portanto, uma estrutura internamente hiperestática. Se a incógnita fosse os 
esforços nas barras, a estrutura seria internamente hiperestática.
2.2.3 APLICAÇÃO E MODELOS TEÓRICO-
PRÁTICOS 
Vejamos mais exemplos teórico-práticos.
2.2.3.1 PÓRTICOS COM UM GRAU 
HIPERESTÁTICO
Para os pórticos em geral, o grau de hiperestaticidade pode ser dado pela 
fórmula: 
g = R – (E + r)
Onde: R  Reações de apoio, conforme figura 1, mostrada anteriormente. 
E  Equações de equilíbrio da estática (=3). 
r  Número de equações referente as rótulas, dado pela seguinte equação:
r = barras conectadas à rótula – 1
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PÓRTICO COM UM GRAU HIPERESTÁTICO
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 44).
#pratodosverem: imagem representando adicional de pórtico com um grau hiperestático. 
2.2.3.2 TRELIÇAS COM UM GRAU 
HIPERESTÁTICO – CASO ESPECIAL 
Vimos que para a determinação do grau hiperestático em treliças devemos 
resolver as seguintes incógnitas:
• Número de barras (b).
• Determinação das reações de apoio em função do tipo de vínculo (R). Para 
estruturas isostáticas, o somatório de todas essas incógnitas deve ser igual a 
duas vezes o número de nós, conforme equação a seguir: 
R + b = 2 * n
Sendo n o número de nós. 
Para cada nó presente na estrutura, teremos duas equações.
O grau de hiperestaticidade é dado então por:
g = (R + b) – (2 * n)
Quando g = 1, a estrutura se apresenta uma vez hiperestática.
A seguir, observe um tipo de treliça que é internamente hiperestática, pois as 
incógnitas para esse caso são os esforços nas barras. As barras que se cruzam 
em x não estão conectadas entre si, sendo barras independentes.
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TRELIÇA COM UM GRAU HIPERESTÁTICO – INTERNAMENTE HIPERESTÁTICA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 28-9).
#pratodosverem: imagem de uma treliça com um grau hiperestático e internamente 
hiperestática.
2.2.3.3 ANÁLISE DE RÓTULAS PRESENTES NOS 
ARRANJOS ESTRUTURAIS
Para as rótulas, é importante que façamos uma observação a respeito da for-
ma como elas são colocadas nas barras, já que esse fator influencia na de-
terminação do grau hiperestático (KASSIMALI, 2016). Perceba a diferença nos 
modelos de rótulas destacadas nos detalhes 1 e 2:
MODELOS DE RÓTULAS
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: imagem de dois modelos de rótulas diferentes.
Se tomarmos os pórticos 1 e 2 vamos perceber algumas diferenças nas estru-
turas apresentadas. 
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MODELOS DE RÓTULAS
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 44).
#pratodosverem: representação de dois modelos de pórticos com rótulas diferentes.
Essa afirmação indica que, no pórtico 1, a estrutura tem um grau hiperestáti-
co, enquanto no pórtico 2, a estrutura tem dois graus hiperestáticos. Isso sig-
nifica que o modelo estrutural do pórtico 2 é mais rígido e menos propenso 
a deformações sob um mesmo carregamento em comparação ao pórtico 1, 
que é menos rígido e mais propenso a deformações. 
Segundo Kassimali (2016), para resolver uma estrutura hiperestática podemos 
considerar os seguintes tópicos:
Determinar a natureza e o grau de hiperestaticidade da 
estrutura
Existem diferentes tipos de estruturas hiperestáticas, e cada uma 
delas requer uma abordagem diferente para a resolução. É importante 
entender o número de graus de liberdade excessivos da estrutura, o 
que permitirá determinar as equações adicionais necessárias para a 
resolução.
Utilizar um método de análise de estruturas
Existem vários métodos de análise de estruturas hiperestáticas, sendo 
que os mais comuns são o Método dos Deslocamentos e o Método 
das Forças. Ambos os métodos envolvem a determinação das reações 
de apoio da estrutura, juntamente com os deslocamentos ou forças 
em cada elemento. A escolha do métododependerá da natureza da 
estrutura hiperestática e da preferência do analista.
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Definir as equações de equilíbrio
As equações de equilíbrio incluem as equações de equilíbrio estático 
para cada nó, e para cada elemento da estrutura serão usadas na 
resolução da estrutura hiperestática.
Estabelecer as equações de compatibilidade de deforma-
ções
São usadas para garantir que os deslocamentos e as rotações nos 
nós da estrutura sejam contínuos e compatíveis. As equações de 
compatibilidade de deformações também são importantes para 
garantir que as forças e os momentos internos nos elementos da 
estrutura estejam corretamente equilibrados.
Resolver as equações simultâneas
Envolve a aplicação de uma série de equações de equilíbrio junto com 
as equações de compatibilidade de deformações para determinar 
as reações de apoio, deslocamentos e forças em cada elemento da 
estrutura.
Verificar a estabilidade da solução
Envolve a verificação de que as forças internas e os deslocamentos 
calculados estão dentro dos limites aceitáveis e que a solução não é 
instável. Também é importante verificar se as tensões e deformações 
nos elementos da estrutura estão dentro dos limites aceitáveis.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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CONCLUSÃO
Estudamos, inicialmente, os conceitos associados com as estruturas estatica-
mente indeterminadas a aprendermos a calcular o grau hiperestático para 
alguns tipos de estruturas. Partimos para um aprofundamento das estruturas 
hiperestáticas de grau 1, em que também estudamos alguns modelos e es-
truturas mais comuns com os respectivos cálculos de hiperestaticidade.
Com o avanço dos estudos de hiperestaticidade, é possível identificar uma 
série de desafios que precisam ser considerados no projeto e construção de 
estruturas desse tipo. Um dos principais desafios é a necessidade de uma 
análise estrutural mais rigorosa e precisa, que leve em conta não apenas as 
cargas estáticas, mas também as cargas dinâmicas, como vento, terremotos 
e outros fenômenos naturais.
Outro desafio importante na construção de estruturas hiperestáticas é a es-
colha adequada dos materiais e das técnicas construtivas. É fundamental es-
colher materiais de alta qualidade e durabilidade que possam resistir a longo 
prazo aos esforços a que serão submetidos. Além disso, é preciso adotar técni-
cas construtivas adequadas e garantir uma boa execução da obra, para que a 
estrutura possa funcionar de forma segura e eficiente ao longo da vida útil. Ao 
considerar esses desafios, é possível projetar e construir estruturas hiperes-
táticas que sejam seguras, duráveis e eficientes em termos de desempenho.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, acesse os links a 
seguir:
1. LOPEZ, R. H. ECV5220: estruturas estaticamente 
indeterminadas. Universidade Federal de Santa 
Catarina – UFSC. Departamento de Engenharia 
Civil. 2018.
2. SOUZA, L. D. Cálculo de hiperestáticos em viga 
contínua. Revista Militar de Ciência e Tecnologia, 
Rio de Janeiro, v. 2, n. 1, p. 83-8, jan./mar. 1985.
3. SILVA, R. P.; BARROS, F. B. EES023: Análise Estrutural 
I. Apostila de Exercícios Versão 1.0. Universidade 
Federal de Minas Gerais: Belo Horizonte, 2020.
4. RAMALHO, J. B.; ROSAS E SILVA, R. Aplicações de 
métodos de energia a problemas de instabilidade 
de estruturas. Pontifícia Universidade Católica do 
Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. 
2007.
5. LA HOVERE, H. L.; MORAES, P. D. ECV 5220: 
Análise Estrutural II. Universidade Federal De Santa 
Catarina. Centro Tecnológico. Departamento De 
Engenharia Civil. Florianópolis, 2005.
UNIDADE 3
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
> Compreender os 
conceitos associados 
às estruturas com 
graus múltiplos de 
hiperestaticidade.
> Compreender os 
conceitos associados 
aos vários elementos 
estruturais com 
graus múltiplos de 
hiperestaticidade.
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3. ESTUDO DA HIPERESTATICIDADE 
– PARTE 2
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Já vimos que a análise estrutural é um ramo das ciências físicas preocupa-
do com o comportamento de estruturas sob certas condições de projeto. As 
estruturas podem ser definidas como os sistemas que suportam cargas, e a 
palavra comportamento é entendida como a tendência a deformar, vibrar, 
entortar ou fluir, dependendo das condições em que são submetidas essas 
estruturas (MARTHA, 2022).
A análise estrutural desempenha um papel importante em diversas áreas de 
engenharia, como a construção de edifícios, pontes, túneis e outras estruturas, 
bem como em setores como a aeronáutica e a indústria automotiva, onde é es-
sencial entender e prever como as estruturas se comportam sob diferentes ti-
pos de cargas e condições de uso. A análise estrutural também pode envolver a 
utilização de técnicas avançadas de simulação por computador e modelagem 
física para avaliar o desempenho das estruturas, e identificar possíveis proble-
mas antes mesmo que a construção seja iniciada (KASSIMALI, 2016).
Os resultados da análise estrutural são então usados para determinar as carac-
terísticas das estruturas deformadas e verificar se são adequadas para suportar 
as cargas para as quais foram projetadas. A análise de estruturas tem como 
essência a determinação do estado de deformação e tensões na estrutura.
A análise estrutural é um processo fundamental para o desenvolvimento de 
projetos seguros e eficientes de engenharia civil e mecânica. Quando se trata 
de estruturas, é essencial que sejam capazes de resistir às forças aplicadas a 
elas sem sofrer danos ou falhas. Por isso, a análise de estruturas é importante 
para determinar o estado de deformação e tensões na estrutura e verificar se 
ela é capaz de suportar as cargas para as quais foi projetada.
Devemos considerar os seguintes fatores (MARTHA, 2022):
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Análise estrutural
A análise estrutural é o processo de determinar o comportamento das 
estruturas sob diversas condições de carga e ambientais.
Fatores que influenciam a análise estrutural
Existem vários fatores que devem ser considerados na análise 
estrutural, incluindo condições ambientais, geometria da estrutura, 
cargas aplicadas e materiais utilizados.
Condições ambientais
As condições ambientais incluem fatores como temperatura, umidade, 
vento, vibração e terremotos, que podem afetar a estabilidade e a 
segurança da estrutura.
Geometria da estrutura
A geometria da estrutura se refere à forma da estrutura, incluindo 
o tamanho, a altura, a largura e o comprimento. Pode afetar a 
capacidade da estrutura de suportar cargas e resistir à deformação.
Cargas aplicadas
As cargas aplicadas incluem forças externas, tais como peso, pressão, 
vento e terremotos que atuam na estrutura. A análise das cargas 
aplicadas é importante para determinar a força que a estrutura precisa 
suportar.
Materiais utilizados
Os materiais utilizados na construção da estrutura têm grande 
influência na capacidade de suportar cargas e resistir à deformação. 
Os materiais devem ser escolhidos com base nas propriedades 
mecânicas, como resistência a tração, compressão e flexão.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Características das estruturas deformadas
A partir da análise estrutural, é possível determinar as característicasdas estruturas deformadas, como a forma como elas se deformam e as 
tensões que estão sendo aplicadas a elas. A análise das características 
das estruturas deformadas é importante para garantir que a estrutura 
seja segura e capaz de suportar as cargas aplicadas.
Os resultados da análise estrutural são então usados para orientar o projeto 
de engenharia, desde a concepção até a construção. Com a informação sobre 
a resistência e o comportamento da estrutura, é possível fazer modificações 
no projeto original, se necessário, para garantir que a estrutura atenda às es-
pecificações de segurança.
O cálculo de tensões e deformações de uma determinada estrutura é obri-
gatório em todos os projetos de engenharia e arquitetura. Entretanto, tal 
cálculo não é possível sem conhecer previamente a determinação estática 
ou indeterminação. É aqui que entra em jogo o grau de hiperestática, mag-
nitude de suma importância na realização de inúmeras atividades típicas do 
mundo da construção.
ESTRUTURAS DE ENGENHARIA
Fonte: ©jakkapan21, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem que mostra pilares estruturais em construção.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
MULTIVIX EAD
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O grau de hiperestaticidade, também conhecido como grau de indetermi-
nação estática, é um conceito importante em engenharia estrutural. Basica-
mente, ele indica quantas forças redundantes existem em uma estrutura, ou 
seja, quantas forças desconhecidas são independentes e não podem ser de-
terminadas pelas equações de equilíbrio disponíveis. Em outras palavras, o 
grau de hiperestaticidade indica quantas incógnitas estáticas há na estrutura 
em relação ao número de equações de equilíbrio que podem ser aplicadas.
Em muitos casos, a hiperestaticidade é desejável, pois permite que a estrutu-
ra seja mais resistente e estável. Porém, também pode tornar o projeto mais 
complexo, pois é necessário encontrar as forças redundantes para garantir o 
equilíbrio da estrutura. Existem diversas técnicas para resolver problemas de 
hiperestaticidade em estruturas, como os métodos das forças, dos desloca-
mentos e o da rigidez.
ESTRUTURAS DE ENGENHARIA
Fonte: ©freestockcenter, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem que mostra pilares estruturais em construção.
Além disso, é importante ressaltar que o grau de hiperestaticidade está direta-
mente relacionado com a rigidez da estrutura. Em geral, quanto maior o grau 
de hiperestaticidade, maior será a rigidez da estrutura, o que pode ser vantajo-
so em algumas situações, como em pontes ou edifícios altos, por exemplo.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Por outro lado, é importante ter cuidado para não ultrapassar os limites da 
hiperestaticidade, pois isso pode levar a problemas como deformações ex-
cessivas, trincas, fissuras e até mesmo o colapso da estrutura. Por isso, é fun-
damental que engenheiros e projetistas levem em consideração o grau de 
hiperestaticidade nos projetos, para garantir a segurança e a estabilidade das 
estruturas.
Esta unidade abordará aprofundamentos das estruturas que apresentam os 
chamados múltiplos graus de hiperestaticidade, com ênfase em alguns dos 
arranjos estruturais, como treliças, pontes treliçadas, pórticos simples e pórti-
cos com anéis. 
3.1 ESTRUTURAS COM GRAUS MÚLTIPLOS DE 
HIPERESTATICIDADE
Conforme já estudamos em engenharia estrutural, um dos principais objeti-
vos da análise estrutural é a determinação do estado de deformações e ten-
sões que ocorrem no interior da estrutura, resultantes de todas as ações que 
agem sobre ela. Essa análise também busca determinar as reações que apa-
recem no suporte da estrutura, o que é essencial para garantir a estabilidade 
e segurança da construção.
Ao realizar a análise estrutural, é necessário considerar uma série de fatores, 
como as cargas atuantes na estrutura (como peso próprio, cargas externas, 
vento e terremotos), as características dos materiais utilizados na construção 
e a geometria da estrutura. Segundo Martha (2022), com base nesses dados, 
é possível determinar o comportamento da estrutura e identificar eventuais 
problemas, tais como:
Concentração de tensões
A concentração de tensões é um problema que ocorre quando a 
carga é aplicada em um ponto específico de uma estrutura. Isso 
pode levar a um aumento significativo na tensão no local, o que pode 
causar deformações excessivas ou até mesmo falhas na estrutura. 
É importante que os engenheiros civis e os cálculos estruturais 
considerem a possibilidade de concentração de tensões ao projetar e 
avaliar estruturas.
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Deformações excessivas
As deformações excessivas são outro problema que pode ocorrer em 
estruturas quando a carga aplicada excede a capacidade de suporte. 
Isso pode levar a deformações permanentes na estrutura, o que pode 
prejudicar a integridade e a segurança. Os engenheiros civis e os 
cálculos estruturais devem considerar as propriedades mecânicas 
dos materiais utilizados na construção da estrutura e a carga que a 
estrutura precisa suportar para evitar deformações excessivas.
Falhas devido à fadiga
A fadiga é um processo pelo qual uma estrutura é submetida a 
carregamentos repetidos ao longo do tempo, o que pode levar a uma 
falha mesmo quando as cargas individuais aplicadas estão abaixo da 
capacidade de suporte da estrutura. As falhas devido à fadiga podem 
ocorrer em locais específicos da estrutura, como pontos de solda, 
conexões e outros pontos de concentração de tensão. Os engenheiros 
civis e os cálculos estruturais devem considerar a possibilidade de 
falhas devido à fadiga ao projetar e avaliar estruturas que serão 
submetidas a carregamentos repetidos ao longo do tempo, como 
pontes, viadutos e estruturas de suporte de torres eólicas.
Existem diversas técnicas e métodos utilizados na análise estrutural, cada um 
com vantagens e limitações. Entre as técnicas mais comuns estão a análise 
estática, a análise dinâmica e a análise de elementos finitos. A análise estáti-
ca é utilizada para determinar as tensões e deformações em uma estrutura 
quando esta está sujeita a cargas estáticas (KASSIMALI, 2016).
3.1.1 DEFINIÇÃO
De maneira geral, uma estrutura é considerada hiperestática quando tem 
mais reações desconhecidas do que equações de equilíbrio da estática, com 
a diferença sendo maior do que 1. Caso seja impossível determinar os esforços 
das seções da estrutura utilizando apenas as equações de equilíbrio, mesmo 
após a obtenção das reações, então ela é considerada internamente hiperes-
tática e pode apresentar um grau de hiperestaticidade igual ou superior a 1.
Devemos também sempre lembrar das vinculações e das características, 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
conforme a figura a seguir, já que a análise da estrutura pode ser afetada pelo 
tipo de vinculação presente. Na prática, o vínculo reduz a mobilidade da es-
trutura, e o número de graus de mobilidade retirado pelo vínculo é um fator 
crucial para classificar a estrutura como hiperestática, isostática ou hipostáti-
ca. A figura a seguir ilustra as características e os tipos de vínculos presentes 
em uma estrutura.
VÍNCULOS E CARACTERÍSTICAS
Nome do 
vínculo Símbolo
Reações de apoio 
provocadas pelos 
vínculos
Números de graus 
de mobilidade 
retirados pelo 
vínculo (n)
Apoio móvel 1
Apoio fixo 2
Engaste 3
Fonte: adaptada de Vieira; Torres (2018, p. 36).
#pratodo
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 9-10).
#pratodosverem: tabela representando os vínculos e as características deles. Para cada 
vínculo há o nome, o símbolo utilizado, as reações de apoio provocadas e o número de 
graus de mobilidade retirados pelo vínculo.
3.1.2 VIGAS EPÓRTICOS COM GRAUS 
MÚLTIPLOS DE HIPERESTATICIDADE 
Tratando das vigas com múltiplos graus de hiperestaticidade, elas podem ser 
definidas em função das reações de apoio (quantidade e tipos) e em função 
da presença de rótulas (quantidade e tipos).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Caso uma viga tenha um apoio móvel na direção 
vertical, mesmo que o número de equações seja 
menor que o número de reações, essa viga pode 
se tornar instável e hipostática. Adicionalmente, 
se uma viga não apresentar nenhum vínculo que 
restrinja o movimento horizontal, ela deslizará 
e será hipostática, sendo então uma estrutura 
instável (GARRISON, 2018). 
Para o cálculo do grau hiperestático de uma viga devemos usar a seguinte 
equação: 
g = R – (E + r)
Onde: R  Reações de apoio, considerando os tipos de vínculos da figura 1. 
E  Equações de equilíbrio da estática (=3). 
r  Número de rótulas. 
As vigas são estruturas fundamentais das edificações e construções em geral. 
A figura a seguir detalha exemplos de vigas (A e B) com múltiplos graus de 
hiperestaticidade. 
VIGAS (A E B) COM MÚLTIPLOS GRAUS DE HIPERESTATICIDADE
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 24-5).
#pratodosverem: dois exemplos (A e B) de vigas com múltiplos graus de hiperestaticidade.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Focando agora os pórticos com alta hiperestaticidade, pode-se dizer que es-
ses são estruturas compostas da junção de barras verticais, horizontais ou in-
clinadas entre si. Essa estrutura é comumente empregada em diversos tipos 
de construções, tais como residências, obras públicas e edifícios em geral. 
ALGUNS TIPOS DE PÓRTICO
Fonte: ©diana.grytsku, Freepik (2023).
#pratodosverem: exemplo de dois tipos de pórtico.
Considerando os pórticos, a maioria dos arranjos estruturais utilizados é hipe-
restática. Para os pórticos, de um modo geral, o grau de hiperestaticidade é 
dado pela fórmula:
g = R – (E + r)
Onde: R  Reações de apoio, considerando os tipos de vínculos da figura 1.
E  quações de equilíbrio da estática.
r  Número de equações referente às rótulas considerando a fórmula r = bar-
ras conectadas à rotula – 1.
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A hiperestaticidade dos pórticos não depende 
apenas do arranjo estrutural ou geométrico, já que, 
mesmo com diferentes configurações, eles podem 
apresentar múltiplos graus de hiperestaticidade. 
No entanto, quando o arranjo estrutural tem um 
anel fechado, como mostrado no exemplo, há um 
acréscimo de três incógnitas ao número de apoios, 
exceto no caso de treliças (KASSIMALE, 2016). 
A figura a seguir detalha dois exemplos de pórticos (A e B) com múltiplos 
graus de hiperestaticidade, no caso, 4 graus hiperestáticos. 
PÓRTICOS (A E B) COM MÚLTIPLOS GRAUS DE HIPERESTATICIDADE
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 38).
#pratodosverem: dois exemplos (A e B) de pórticos com múltiplos graus de 
hiperestaticidade.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
3.1.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TÉORICO-
PRÁTICOS 
Exemplo teórico-prático 1. Vamos retomar o exemplo do engenheiro recém-
-formado que abriu um pequeno escritório de engenharia e angariou um 
primeiro cliente, dono de um estabelecimento comercial na cidade em que 
mora. O cliente solicitou o projeto de um novo modelo de pórtico na parte 
frontal do estabelecimento objetivando melhorar a estética e as possibilida-
des de marketing.
Devemos lembrar que, para o direcionamento 
do projeto, você precisa definir o grau de 
hiperestaticidade desse pórtico e as possibilidades 
de vinculação para esse elemento construtivo 
e o conjunto dele. Devemos lembrar também 
que, no contexto da estabilidade das estruturas, 
a escolha do vínculo é fundamental, pois existem 
situações técnicas que não são possíveis de serem 
executadas (MARTHA, 2022).
Anteriormente, você sugeriu uma primeira opção de projeto, mas agora, como 
parte do trabalho de manutenção do hotel, sua empresa de engenharia rece-
beu o desafio de executar uma estrutura de pórtico que apresenta múltiplos 
graus hiperestáticos. Nesse caso, você precisa seguir um procedimento de 
análise específico para esse tipo de estrutura.
Para fazer a análise desse pórtico, que é apresentado na figura a seguir, é fun-
damental ter um conhecimento aprofundado das particularidades desse tipo 
de arranjo estrutural e focar o cálculo exato do grau hiperestático total.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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PROPOSTA 2 DE PÓRTICO PARA A PARTE FRONTAL DO HOTEL
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 34). 
#pratodosverem: apresentação de um tipo de pórtico hiperestático.
Devemos lembrar que para os pórticos, de modo geral, o grau de hiperestati-
cidade e dado pela fórmula:
g = R – (E + r)
Onde: R  Reações de apoio, considerando os tipos de vínculos da figura 1. 
E  Equações de equilíbrio da estática.
r  Número de equações referente às rótulas.
Portanto, para o pórtico considerado e que pode ser executado no jardim do 
hotel, temos:
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DA PROPOSTA 2 DE PÓRTICO PARA A 
PARTE FRONTAL DO HOTEL
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 42).
#pratodosverem: apresentação do cálculo do grau de hiperestaticidade da proposta 2 de 
pórtico para a parte frontal do hotel.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Antes de escolher o método para calcular os 
esforços e momentos desse pórtico, é essencial 
que se calcule o grau de hiperestaticidade dele. 
Esse é o primeiro passo crucial nesse processo de 
análise estrutural (MARTHA, 2005).
Exemplo teórico-prático 2. Sua empresa de engenharia foi contratada para 
calcular o grau hiperestático e executar a obra de uma estrutura projetada 
por um grupo de engenharia de manutenção de um grande shopping cen-
ter. O projeto recebido por você é mostrado na figura a seguir:
ESTRUTURA PROJETADA PELO GRUPO DE ENGENHARIA DE MANUTENÇÃO 
DO SHOPPING
Fonte: elaborado pelo autor (2023).
#pratodosverem: projeto de estrutura que foi projetada pelo grupo de engenharia de 
manutenção do shopping.
O projeto enviado trata-se de uma estrutura de pórtico com anéis fechados, sen-
do que para cada anel, acrescenta-se mais três incógnitas ao número de apoios. 
Temos para o cálculo, então:
R = 2 + 2 + 3 + 3 = 10
E = 3
r = 0 
g = 10 - 3 = 7  Pórtico com 7 graus hiperestáticos
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Exemplo teórico-prático 3. Sua empresa de engenharia foi novamente con-
tratada para calcular o grau hiperestático e executar a obra de uma estrutura 
projetada pelo grupo de engenharia de manutenção do mesmo shopping 
center. O projeto recebido por você é mostrado na figura a seguir.
SEGUNDA ESTRUTURA PROJETADA PELO GRUPO DE ENGENHARIA DE MANUTENÇÃO 
DO SHOPPING
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: segundo projeto de estrutura que foi projetada pelo grupo de engenharia 
de manutenção do shopping.
Novamente, o projeto enviado trata-se de uma estrutura de pórtico com anéis 
fechados um pouco mais complexa, com 6 anéis fechados, sendo que para 
cada anel acrescenta-se mais três incógnitas ao número de apoios. 
Temos para o cálculo, então:
R = 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 22
E = 3
r = 0 
g = 22 - 3 = 19  Pórtico com 19 graus hiperestáticos
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
3.2 OUTROS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Vimos atéo momento que as estruturas, no que diz respeito ao comporta-
mento estático, podem ser classificados como estáveis e instáveis.
Estruturas estáveis são aquelas capazes de suportar um sistema geral de car-
gas, cujos valores são limitados de tal forma que nenhuma falha devido à de-
formação excessiva ocorre. As estruturas instáveis, por outro lado, não podem 
sustentar cargas, a menos que sejam de natureza especial.
ESTRUTURAS ESTÁVEIS DE ENGENHARIA
 
Fonte: ©evening_tao, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estrutura de engenharia em construção.
Estruturas estáveis podem ser determinadas como estaticamente ou estati-
camente estruturas indeterminadas também chamadas de estruturas hipe-
restáticas, dependendo se as equações de equilíbrio são por si só suficientes 
para determinar ambas as reações como forças internas. Se forem suficientes, 
a estrutura é simplesmente classificada como determinada; caso contrário, 
como indeterminado, que também pode ser externamente e internamente 
indeterminados.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Se o número de componentes de reações é maior 
que o número de equações independentes de 
equilíbrio, diz-se que a estrutura é externamente 
indeterminada. No entanto, se algumas forças 
internas do sistema não podem ser determinadas 
pela estática, mesmo que todas as reações sejam 
conhecidas, então a estrutura é classificada como 
internamente indeterminada (PILLAR; ROVERE; 
VALLE, 2019).
Em qualquer um dos casos, a análise depende das propriedades físicas e ge-
ométricas, ou seja, momentos de inércia, área e módulo de elasticidade dos 
elementos.
3.2.1 TRELIÇAS COM GRAUS MÚLTIPLOS DE 
HIPERESTACIDADE
De modo geral, as treliças são sistemas construtivos utilizados de uma maneira 
bastante ampla na fabricação dos mais variados tipos de pontes, coberturas, tor-
res etc. A figura a seguir destaca uma ponte metálica construída com treliças. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
 PONTE COM TRELIÇAS
Fonte: ©evening_tao, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma ponte construída em estrutura metálica com treliças.
Segundo Kassimale (2016), para as treliças, quando pretende-se determinar 
o grau hiperestático, deve-se considerar as seguintes incógnitas para serem 
resolvidas.
Barras
Deve-se determinar o número de barras da estrutura (b).
Reações de apoio
Deve-se determinar as reações nos apoios em função dos tipos de 
vínculos destacados na figura.
Incógnitas
No caso de uma estrutura isostática, a soma das incógnitas é 
sempre equivalente a duas vezes o número de nós. Essa é uma regra 
fundamental para o cálculo de estruturas nesse estado. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Levando-se em consideração a resolução das incógnitas citadas e os fatores 
apresentados, chegamos à seguinte equação: 
R + b = 2 * n
Onde: n = número de nós. 
Isso significa que para cada nó da estrutura, teremos duas equações. O grau 
de hiperestaticidade é dado por: 
G = (R + b) - (2 * n)
Sendo que, quando g = 1, a estrutura será uma vez hiperestática. 
De modo geral, as treliças podem ser classificadas como hiperestáticas ex-
ternamente ou internamente. A partir das formulações anteriores, é possível 
analisar as discrepâncias entre dois tipos de treliças, exemplificados nas figu-
ras A e B, que apresentam diferentes níveis de hiperestaticidade.
DOIS TIPOS DE TRELIÇAS QUE APRESENTAM DOIS GRAUS DE HIPERESTATICIDADE
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 40).
#pratodosverem: dois tipos de treliças que apresentam dois graus de hiperestaticidade com 
os respectivos cálculos.
Note que, no exemplo A, a incógnita a ser encontrada é a reação de apoio 
e uma das barras centrais, fazendo com que a estrutura seja hiperestática 
externamente duas vezes. Por outro lado, no exemplo B, as barras que se cru-
zam em “x” são independentes entre si e não têm ligação. A incógnita a ser 
descoberta, nesse caso, são os esforços nas barras, tornando a estrutura hipe-
restática internamente duas vezes. Para solucionar a estrutura é necessário 
substituir as barras com hiperestaticidade por uma força normal de igual va-
lor e sentido oposto em ambos os lados. A figura a seguir mostra o início da 
resolução da treliça internamente hiperestática apresentada anteriormente. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
INÍCIO DA RESOLUÇÃO DA TRELIÇA INTERNAMENTE HIPERESTÁTICA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p.41).
#pratodosverem: esquema e imagem que mostram o início da resolução da treliça 
internamente hiperestática.
3.2.2 PONTE TRELIÇADA: SITUAÇÃO-
PROBLEMA
Você foi contratado como engenheiro de obras e projetos em uma grande 
concessionária de rodovias. Durante uma reunião, foi atribuída a você a res-
ponsabilidade de liderar o processo de desenvolvimento da solução estrutu-
ral para uma ponte rodoviária que ligará duas pequenas cidades separadas 
por um rio. O Diretor de Engenharia da empresa entregou a você o proje-
to inicial da ponte para que pudesse realizar uma análise técnica preliminar. 
Você percebeu que era necessário determinar o nível de hiperestaticidade da 
estrutura. O projeto da ponte está ilustrado na figura a seguir.
PROJETO DA PONTE
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 43).
#pratodosverem: esquema do projeto de uma ponte rodoviária para ligação de duas 
pequenas cidades.
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Para a conclusão da primeira fase do projeto é fundamental determinar o nú-
mero de graus de hiperestaticidade presentes na estrutura, uma vez que essa 
informação será crucial na escolha do método para a resolução na próxima fase. 
R = 2 + 2 = 4
b = 23
n = 12  2n = 24
g = (4 + 23) - (2*12) = 3 
É importante salientar que as barras que se cruzam não têm contato entre si 
e são elementos independentes. Logo, constata-se que essa estrutura apre-
senta três graus de hiperestaticidade, sendo um deles externo e os outros 
dois internos.
3.2.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS
Exemplo teórico-prático 1. Um grande centro comercial tem um projeto in-
terno de ampliar o tamanho e criar uma galeria para várias lojas. Para isso, 
contratou a empresa de engenharia que você trabalha para encontrar uma 
solução viável, sendo que você, engenheiro, propôs o pórtico mostrado na fi-
gura a seguir.
PROJETO DE PÓRTICO PROPOSTO 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 44). 
#pratodosverem: esquema do projeto de um pórtico.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Você definiu em projeto que entre os pontos A e E ficarão as lojas, e entre os 
pontos E e F será o corredor de acesso a ser fixado na estrutura já existente. 
Um dos primeiros desafios do projeto é calcular o grau de hiperestaticidade 
do pórtico proposto, sendo que você propôs a seguinte sequência de cálculos.
Para os pórticos, de um modo geral, o grau de hiperestaticidade é dado pela 
fórmula:
g = R – (E + r)
Onde: R  Reações de apoio, considerando os tipos de vínculos da figura 1. 
E  Equações de equilíbrio da estática.
r  Número de equações referente às rótulas considerando a fórmula r = bar-
ras conectadas à rotula – 1.
Sendo
R = 3 + 3 + 2 = 8
E = 3 
r = 0
g = 8 – (3) = 5
Exemplo teórico-prático 2. A construtora que você trabalha solicitou um pro-
jeto e o cálculo de hiperestaticidade de uma treliça externamente hiperestá-
tica com vínculo duplo de apoio fixo nas extremidades com 10 nós. 
Usando sua experiência e seus conhecimentos de engenharia, você propôs o 
seguinte projeto, conforme apresentadona figura a seguir. 
PROJETO DE TRELIÇA PROPOSTO
Fonte: elaborada pelo autor (2023). 
#pratodosverem: esquema do projeto de uma treliça com vínculo duplo de apoio fixo nas 
extremidades com 10 nós.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Segundo Kassimali (2016), para o cálculo de treliças, quando pretende-se de-
terminar o grau hiperestático, deve-se considerar as seguintes incógnitas 
para serem resolvidas: 
• Barras: deve-se determinar o número de barras da estrutura (b).
• Reações de apoio: deve-se determinar as reações nos apoios em função dos 
tipos de vínculos destacados na figura 1.
• Incógnitas: para uma estrutura isostática, a soma das incógnitas deve ser 
igual a duas vezes o número de nós. 
Levando-se em consideração a resolução das incógnitas citadas e os fatores 
apresentados, chegamos à seguinte equação: 
R + b = 2 * n
Onde: n = número de nós. 
Isso significa que para cada nó da estrutura teremos duas equações. O grau 
de hiperestaticidade é dado por: 
G = (R + b) - (2 * n)
Sendo que, quando g = 1 a estrutura será uma vez hiperestática. 
Seguindo as formulações apresentadas anteriormente, temos:
R = 2 + 2 = 4
b = 18
n = 10  2n = 20
g = (4 + 18) - (2*10) = 2 
Nesse caso, a incógnita consiste na reação de apoio e em uma das barras 
centrais, o que caracteriza a estrutura como sendo hiperestática duas vezes 
de maneira externa.
Exemplo teórico-prático 3. A concessionária de obras que você trabalha 
como engenheiro de obras e projetos lhe deu uma nova missão de direcio-
nar a solução estrutural para o projeto de uma ponte ferroviária. Essa ponte 
deve ser executada para permitir a passagem de uma composição entre dois 
pequenos rios que correm em paralelo e são divididos por uma faixa de terra. 
A equipe de engenharia, da qual você faz parte, chegou a uma convergência 
de proposta de projeto de uma ponte treliçada, conforme é apresentado na 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
figura a seguir, sendo que diretor de engenharia pediu para que você direcio-
nasse a definição do grau de hiperestaticidade da estrutura.
PROJETO DA PONTE FERROVIÁRIA TRELIÇADA
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: esquema do projeto de uma ponte ferroviária treliçada para a ligação 
entre margens de dois rios paralelos.
Para qualquer tipo de projeto, na primeira etapa, devem ser definidos quan-
tos graus de hiperestaticidade que essa estrutura tem. Para esse fim foram 
utilizadas as formulações já explicadas anteriormente, convergindo nos se-
guintes cálculos:
R = 2 + 2 +2 = 6
b = 31
n = 16  2n = 32
g = (6 + 31) - (2*16) = 5 
É importante destacar que as barras que se cruzam não se tocam, sendo ele-
mentos independentes. Portanto, essa estrutura é cinco vezes hiperestática, 
sendo três vezes externamente e duas vezes internamente.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
MULTIVIX EAD
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CONCLUSÃO
Esta unidade objetivou-se a apresentar um aprofundamento a respeito da hi-
perestaticidade das estruturas. Estudamos que as estruturas estáveis podem 
ser determinadas estaticamente ou estruturas indeterminadas estaticamen-
te, também chamadas de estruturas hiperestáticas, dependendo se as equa-
ções de equilíbrio são por si só suficientes para determinar ambas as reações 
como forças internas. 
Estruturas hiperestáticas são estruturas estáveis que não apresentam ne-
nhum grau de liberdade não restrito. Embora o número de reações de apoio 
seja maior que o número de equações de equilíbrio, nem toda estrutura com 
mais reações de apoio do que equações de equilíbrio é hiperestática, con-
forme explicado em tópicos anteriores. O grau de hiperestaticidade de uma 
estrutura é equivalente ao número de conexões que podem ser eliminadas 
para transformá-la em uma estrutura isostática, sendo que uma estrutura 
isostática tem grau zero de hiperestaticidade. Tais estruturas não podem ser 
resolvidas apenas por meio das equações de equilíbrio da estática.
Em suma, o grau de indeterminação de uma estrutura é o número de com-
ponentes das reações e forças internas desconhecidas que excedem o núme-
ro de equações de condição para o equilíbrio estático, ou seja, as estruturas 
hiperestáticas são caracterizadas pelo excesso de restrições, sendo assim, têm 
mais pontos de apoio ou conexões do que o número de equações de equilí-
brio que podem ser usadas para analisá-las.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, acesse os links a 
seguir:
1. FREITAS, J. A. T.; TIAGO, C. Análise elástica de 
estruturas reticuladas. Universidade de Lisboa: 
Instituto Superior Técnico, 2022.
2. MELO, A. M. C. de. Grau de indeterminação 
cinemática. Centro de Tecnologia, Departamento 
de Engenharia Estrutural e Construção Civil, 
Universidade Federal do Ceará, p. 1-6, [202-2].
3. PILOTO, P. Mecânica estrutural I. Departamento 
de Mecânica Aplicada: Escola Superior de Tecnologia 
e de Gestão, 2013.
4. MAZILLI, C. E. N. et al. Mecânica das estruturas. 
São Paulo: Escola Politécnica da Universidade de 
São Paulo, 2010.
5. HIBBELER, R. C. Módulo 2 – Estruturas. Estática: 
mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2011.
UNIDADE 4
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
> Compreender, de 
forma introdutória, 
o que é o método 
das forças e dos 
deslocamentos, os 
principais teoremas 
e os princípios 
associados. 
> Compreender 
os princípios 
do Teorema de 
Castigliano e as 
aplicações.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS 
FORÇAS E DO DESLOCAMENTO
INTRODUÇÃO
Conforme já estudamos, a análise estrutural é um ramo das ciências físicas 
preocupado com o comportamento de estruturas sob certas condições de 
projeto. As estruturas podem ser definidas como os sistemas que suportam 
cargas, e a palavra comportamento é entendida como a tendência a defor-
mar, vibrar, entortar ou fluir, dependendo das condições a que são submeti-
das essas estruturas. 
Os resultados da análise são então usados para determinar as características 
das estruturas deformadas e verificar se são adequadas para suportar as car-
gas para as quais foram projetadas. A análise de estruturas tem como essên-
cia a determinação do estado de deformação e tensões na estrutura.
Estudamos que o grau de hiperestaticidade, também chamado de grau de in-
determinação estática (GIE), é o número de forças redundantes na estrutura. 
Consiste, portanto, no número de forças desconhecidas que, sendo indepen-
dentes, não podem ser determinadas por meio das equações de equilíbrio 
da estrutura, pois o número de incógnitas estáticas é maior que o número de 
equações de equilíbrio disponíveis.
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ESTRUTURAS DE ENGENHARIA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estrutura de concreto armado.
Nesta unidade, vamos nos aprofundar ainda mais no estudo das estruturas 
hiperestáticas, pois vamos aprender a calcular as estruturas, ou seja, vamos 
aprender a calcular as reações de apoio nos vínculos, vamos também abordar 
cálculos das reações de apoio em diferentes tipos de vínculos, bem como os 
esforços presentes nas barras e possíveis deslocamentos nos pontos. Isto é, 
quando você, futuramente, projetar estruturas, poderá considerar nos proje-
tos todas as vantagens que as estruturas hiperestáticas proporcionam.
4.1 MÉTODO DAS FORÇASE DO DESLOCAMENTO
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) foi utilizado pela primeira vez por Gali-
leu (1564-1642) no cálculo de mecanismos. No entanto, foi levantada de forma 
mais rigorosa por Lagrange (1736-1813), que desenvolveu a teoria variacional e 
lançou as bases da Mecânica Analítica.
Esse princípio também foi enunciado por Johann Bernoulli, no ano de 1717, da 
seguinte forma: dado um corpo rígido, mantido em equilíbrio por um sistema 
de forças, o trabalho virtual realizado por esse sistema, durante um desloca-
mento virtual, é zero.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Um sistema material está em equilíbrio em uma 
determinada posição para qualquer deslocamento 
compatível com os elos quando a soma dos 
trabalhos virtuais das forças diretamente aplicadas 
é zero.
4.1.1 TEOREMAS E PRINCÍPIOS
A fim de utilizar as estruturas hiperestáticas em nosso cotidiano, é necessário 
identificar a magnitude das cargas que agem sobre elas. Para alcançar essa 
compreensão, é crucial ter um entendimento mais aprofundado do Princípio 
ou Teorema do Trabalho Virtual, que será abordado posteriormente em nosso 
estudo (KASSIMALI, 2016).
Vamos iniciar utilizando como exemplo a viga engastada (hiperestática) apre-
sentada na figura a seguir.
VIGA HIPERESTÁTICA 
 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 61). 
 #pratodosverem: representação de uma viga engastada (hiperestática).
Antes de utilizar o Princípio do Trabalho Virtual em estruturas hiperestáticas, 
é fundamental entender e compreender a essência desse conceito objeti-
vando aplicar de modo geral nas estruturas mais simplificadas, tais como as 
estruturas isostáticas. Adquirindo esse conhecimento podemos considerar, 
então, a aplicação do Princípio ou Teorema do Trabalho Virtual em estruturas 
mais complexas, tais como nas estruturas hiperestáticas. 
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ESTRUTURAS DE ENGENHARIA
Fonte: ©pablesku, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma estrutura de concreto armado.
De acordo com Garrison (2018), do ponto de vista físico, já foi observado que 
quando um ponto material é submetido a uma força F e sofre um desloca-
mento d na mesma direção de F, a força F realiza um trabalho dado por:
U = F . d
Ao aplicar forças externas em um corpo ocorre a deformação dele, sendo que 
também será levado em consideração possíveis deslocamentos nos pontos 
onde as forças externas são aplicadas. Como resultado, as forças externas ge-
ram a realização de um trabalho externo (Ue), que fica armazenado na estru-
tura durante a deformação. Essa energia de deformação na forma de traba-
lho também é conhecida como trabalho interno (Ui) e é liberado quando as 
forças externas deixam de atuar sobre o corpo, permitindo que ele retorne à 
configuração não deformada, desde que não exceda o limite elástico do ma-
terial (GARRISON, 2018).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
CONFECÇÃO DE FERRAGEM PARA VIGA DE CONCRETO ARMADO
Fonte: ©jcomp, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem da confecção de ferragem para viga de concreto armado.
De modo geral, o PTV tem como base a Conservação de Energia e os princí-
pios dela, podendo então ser expresso de forma matemática por:
Ue = Ui
Segundo Kassimali (2016), o Princípio do Trabalho Virtual pode ser utilizado 
para calcular a inclinação ou o deslocamento de um ponto em uma estrutu-
ra. Para melhor compreensão desse princípio, vamos considerar um objeto 
submetido à várias forças externas, conforme representado na figura a seguir. 
Note que as forças consideradas externas (P1, P2 e P30) geram esforços inter-
nos fi em diferentes pontos dos corpos, sendo que, em estruturas convencio-
nais, como treliças, vigas ou pórticos, são representados como esforços (cor-
tante, fletor, torçor e normal).
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(A)CORPO SUBMETIDO A DIVERSAS FORÇAS EXTERNAS. (B) CORPO SUJEITO À 
APLICAÇÃO DE UMA FORÇA VIRTUAL EXTERNA P’
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 51). 
#pratodosverem: representação de (a) corpo submetido a um conjunto de várias forças 
externas e em (b) um corpo no qual está aplicada uma força virtual externa P’.
Observe que, como consequência da aplicação das forças externas, o corpo 
sofrerá deformações, resultando em deslocamentos externos Δn nos pontos 
em que as forças foram aplicadas, bem como deslocamentos internos d em 
diferentes pontos internos do corpo. O trabalho (ou energia) realizado pelas 
várias forças que agem de forma externa é igual ao produto da força pela 
magnitude do deslocamento externo. Adicionalmente, o resultado do esforço 
realizado internamente em determinado ponto é refletido no trabalho inter-
no gerado pela movimentação interna que ocorre nesse mesmo ponto (MAR-
THA, 2022). Considerando a Conservação de Energia juntamente aos princí-
pios físicos, podemos expressar matematicamente esse conceito como: 
Segundo Martha (2022), para determinar o deslocamento Δ do ponto A da 
figura anterior na direção indicada, é possível utilizar o Princípio do Trabalho 
Virtual. Inicialmente, considera-se o corpo sem deformação, e aplica-se uma 
força externa virtual P’ na mesma direção do deslocamento Δ que se deseja 
determinar, como mostrado na Figura anterior, parte (b). Essa força virtual é 
imaginária, ou seja, não ocorre na realidade e pode ter qualquer intensidade, 
porém, por conveniência, para a análise de esforços internos em estruturas, 
utiliza-se uma força virtual unitária em termos de intensidade, ou seja, P’ = 
1. Essa força virtual externa produzirá esforços virtuais internos fv, que serão 
alinhados em termos de compatibilidade com as regras de equilíbrio dos cor-
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
pos, conforme exemplificado na figura anterior, parte (b). 
Após a introdução de uma força virtual de magnitude unitária, as forças reais 
atuam sobre o corpo, causando deslocamentos externos reais Δ situados em 
A e deslocamentos considerados internos e reais chamados de “d” em pontos 
internos do corpo. Isso implicará que a força externa virtual P’ executará um 
trabalho virtual externo enquanto se move ao longo do deslocamento real 
Δ, enquanto cada esforço virtual interno fv, em cada ponto interno do corpo, 
executará um trabalho virtual interno durante o deslocamento interno real 
Δ. Assim, de forma matemática, de acordo com Martha (2022), o equaciona-
mento do Princípio ou Teorema do Trabalho Virtual (PTV) pode ser expresso 
considerando a igualdade do trabalho virtual externo e do trabalho virtual 
interno, sendo realizado de forma distribuída em todos os pontos do corpo.
Primeira consideração
O Princípio dos Trabalhos Virtuais considera as forças atuantes no 
corpo como virtuais e os deslocamentos como reais, permitindo que se 
obtenha a deflexão e queda em um ponto da estrutura.
Segunda consideração
As forças virtuais externas P’ e os esforços virtuais internos fv não 
causam deslocamentos no corpo, mas são importantes para garantir 
que as forças agentes estejam equilibradas, sejam elas externas 
ou internas e, também, que exista uma compatibilidade entre os 
deslocamentos externos e internos. 
Terceira consideração
Os esforços virtuais internos fv são gerados pela força virtual externa P’, 
e os deslocamentos internos reais d são gerados pelo deslocamento 
externo real Δ, ambos com base nas condições de equilíbrio e 
compatibilidade de deslocamentos. É fundamental lembrar que 
esses sistemas de forças e deslocamentos atuam no mesmo corpo 
(GARRISON, 2018). 
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4.1.2 MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL
É possível utilizar a técnica do trabalho virtual para calcular um único movi-
mento em uma direção específica em um ponto de uma estrutura ou um 
movimento linear em uma única direção em um ponto específico de uma es-
trutura, seja ela uma treliça, viga ou pórtico, podendo ser caracterizado como 
um deslocamento unidirecional (MCCORMAC, 2009). Para isso, é necessário 
empregar a equação do PTV, que foi apresentada anteriormente:
Se desejamos obter o deslocamento Δ em uma direção específica em um 
ponto da estrutura sujeita a um conjunto de forças reais, podemos usar o mé-
todo do trabalho virtual. Com o propósito de realizar tal tarefa, é necessário 
aplicar uma unidade virtual de força (ou momento) na mesma orientação do 
movimento desejado no ponto em consideração. Isso produzirá esforços in-
ternos virtuais (fv) que estão relacionados aos esforços (cortante, fletor, torçor 
e normal) nos vários pontos da estrutura.
Para uma estrutura isostática é possível determinar 
rapidamente esses esforços internos traçando 
os diagramas de esforços solicitantes quando 
submetida apenas à força unitária (GOMES, 2009). 
Segundo Vieira e Torres (2018), os deslocamentos internos reais d que ocorrem 
na estrutura são compatíveis com o deslocamento externo real Δ que foi pro-
vocado pelas forças reais. Esses deslocamentos internos são conhecidos como 
deformações e são influenciados pelos esforços atuantes na estrutura (cortan-
te, fletor, torçor e normal). As equações que descrevem essas deformações são 
deduzidas a partir da teoria de Resistência dos Materiais e dependem das ca-
racterísticas do elemento em questão. Sendo assim, a equação do Princípio do 
Trabalho Virtual permite determinar a incógnita Δ, que representa o desloca-
mento real provocado pelas forças reais, conforme será explicado a seguir.
As equações expostas explicam como diferentes tipos de esforços afetam as 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
deformações e giros de uma viga hiperestática. A equação dh=(X.Q.dx)/(G.A) 
descreve a deformação axial causada pelo esforço normal (N) e também a 
deformação por cisalhamento causada pelo esforço cortante (Q). A equação 
dθ=(M.dx)/(E.I) mostra como o momento fletor (M) causa um giro na viga, en-
quanto a equação dφ=(T.dx)/(E.I t) descreve o giro de torção gerado pelo mo-
mento torçor (T).
Segundo Vieira e Torres (2018), essas equações levam em consideração as pro-
priedades do material e da seção transversal da viga hiperestática, como os 
módulos de Young (longitudinal e transversal), a área da seção transversal (A) 
e o momento de inércia polar. Além disso, incluem o momento de inércia a 
torção (I_t) da seção transversal e o fator de forma X, que varia de acordo com 
o tipo de seção transversal utilizado.
Segundo Vieira e Torres (2018), uma vez que 
as deformações são relativas a um elemento 
infinitesimal dx, é necessário multiplicá-las pelos 
esforços que agem nesse elemento e, em seguida, 
utilizar um processo de integração que deve 
ser realizado ao longo de todo o comprimento, 
obtendo, desse modo, a soma de todo o PTV interno 
em cada um dos pontos da estrutura. Para calcular 
a somatória do trabalho virtual interno em todos os 
pontos de uma estrutura é necessário multiplicar 
as deformações infinitesimais dx pelas forças que 
atuam nesses elementos infinitesimais e integrar 
essa expressão ao longo de todo o comprimento da 
estrutura. Dessa forma, é possível obter o trabalho 
virtual interno total na estrutura, correspondente às 
deformações infinitesimais que ocorrem em cada 
ponto da estrutura.
Para um caso mais amplo, como uma estrutura sujeita a todos os quatro es-
forços internos (força normal, força cortante, momento fletor e momento tor-
çor), a soma do trabalho virtual interno total será a soma do trabalho virtual 
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interno de cada um dos quatro esforços em toda a estrutura. Segundo Vieira; 
Torres (2018), como explicado anteriormente, o trabalho virtual interno é cal-
culado multiplicando o esforço interno virtual pela deformação real. Conse-
quentemente, a equação do PTV se transforma em:
Onde: 
— N’, Q’, M’ e T’ são os esforços virtuais internos, provocados pela força virtual 
unitária. 
— N, Q, M e T são os esforços internos reais, provocados pelas forças reais. 
É relevante ressaltar que é frequente a ocorrência 
de variações tanto nos esforços virtuais quanto nos 
esforços reais ao longo de todo o comprimento 
da estrutura, já que ambos são dependentes da 
posição x estrutura (SUSSEKIND, 1987).
Em determinadas estruturas convencionais, é viável desconsiderar determi-
nadas parcelas do PTV internos, sem comprometer o desfecho final de ma-
neira expressiva. Tal procedimento é aplicável devido às discrepâncias signifi-
cativas entre as parcelas, onde algumas produzem trabalhos virtuais internos 
em escala muito reduzida quando comparadas às demais. 
Segundo Vieira e Torres (2018), em algumas estruturas convencionais, pode-se 
negligenciar algumas parcelas do PTV interno sem afetar significativamente 
o resultado final. Isso é possível porque essas parcelas geram trabalhos muito 
menores quando comparados com outras parcelas de PTV internos, como:
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Nas treliças
Pode-se desprezar a parcela dos trabalhos virtuais internos referentes 
ao esforço cortante e ao momento fletor, considerando apenas a 
parcela referente ao esforço normal.
Nas vigas e pórticos
Em algumas situações de vigas e pórticos convencionais, é 
possível negligenciar a contribuição dos trabalhos virtuais internos 
relacionados ao esforço cortante, desde que as cargas sejam 
moderadas e os vãos não sejam muito curtos. Nesses casos, é 
suficiente considerar apenas a parcela referente ao momento fletor 
para determinar o trabalho virtual interno total na estrutura. 
Torção
Em alguns tipos de estruturas espaciais (grelhas e pórticos), pode-
se desprezar a parcela dos trabalhos virtuais internos referentes ao 
esforço normal e ao momento fletor, considerando apenas a parcela 
referente à torção.
Segundo Vieira e Torres (2018), de maneira geral, as deformações reais d são 
ocasionadas não apenas por esforços reais, mas também podem ser gera-
das por variações de temperatura, como expansão ou dilatação térmica, e 
defeitos na fabricação, como barras que têm comprimentos diferentes dos 
previstos no projeto. Se ocorrerem esses efeitos, é preciso somar os trabalhos 
virtuais internos correspondentes aos demais trabalhos virtuais internos con-
siderando o lado direito equacionado do PTV. Os trabalhos virtuais internos 
gerados pelas deformações reais resultantes desses efeitos também devem 
ser considerados.
Os efeitos das deformações reais nas estruturas também devem considerar 
os trabalhos virtuais internos gerados. A seguir são apresentadas algumas for-
mulações propostas por Vieira e Torres (2018): 
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FORMULAÇÕES
Expansão térmica (provoca uma deformação de flexão)
Dilatação térmica (provoca uma deformação axial)
Defeito de fabricação (provoca uma deformação axial)
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 56).
#pratodosverem: tabela de formulações de coeficientes.
Nas formulações mostradas, α se trata do coeficiente de dilatação térmica do 
material, Te é o delta (variação) de temperatura ocorrente nas fibras externas 
da barra, Ti é a variação de temperatura nas fibras internas da barra, h trata-se 
de altura considerando a seção transversal da barra, dL é a variação de com-
primento da barra devido à variaçãode temperatura, e L é o comprimento 
total da barra.
Segundo Vieira e Torres (2018), esses parâmetros são utilizados nas equações 
apresentadas para calcular as deformações resultantes de efeitos como ex-
pansão térmica e defeitos de fabricação. O coeficiente de dilatação térmica 
α é uma propriedade do material que indica como ele se expande ou contrai 
quando há variação de temperatura. Te e Ti representam as variações de tem-
peratura nas fibras externas e internas da barra, respectivamente. A altura da 
seção transversal da barra é representada por h, enquanto dL é a variação de 
comprimento da barra causada pela variação de temperatura. Por fim, L é o 
comprimento total da barra.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Ao utilizar a equação do PTV em uma estrutura, é 
importante considerar os recalques de apoio. Apesar 
de não provocarem deformações na estrutura, 
eles causam um movimento de corpo rígido, que 
gera um trabalho virtual externo. Esse trabalho 
virtual externo deve ser adicionado considerado 
então o lado esquerdo do equacionamento 
do PTV. O trabalho virtual externo pode ser 
calculado multiplicando-se a reação de suporte 
virtual (no sentido do assentamento) produzida 
pela força virtual unitária pelo assentamento do 
suporte (deslocamento real) na mesma direção 
(PALHARES, 2016). 
CONFECÇÃO DE EDIFICAÇÃO EM CONCRETO ARMADO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem que mostra a confecção de uma edificação em concreto armado.
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4.1.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS
Exemplo teórico-prático 1. Considere o elemento estrutural (viga) mostrado 
na figura (a) a seguir. Essa viga tem E = 2,2.108 KN/m2 e I = 5,1.10-4 m4. Ao utili-
zar o PTV, é possível determinar o possível deslocamento vertical ocorrente na 
extremidade que está livre da viga, tendo em conta exclusivamente a parcela 
do trabalho virtual interno associada aos momentos de flexão.
Ao empregar uma força virtual unitária na mesma posição e orientação do 
movimento desejado, conforme ilustrado na figura (b), podemos obter o re-
sultado desejado, tendo:
(A) VIGA COM CARGA DISTRIBUÍDA REAL E (B) VIGA COM FORÇA VIRTUAL 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 55). 
 #pratodosverem: na figura é mostrada em (a) viga com carga distribuída real e (b) viga com 
força virtual 
Segundo Pillar et al. (2019), pela análise da estrutura, é possível obter as equa-
ções relacionadas aos momentos fletores M’ e M considerando então a posi-
ção “x” da viga em termos de comprimento. Essas equações podem ser de-
terminadas tanto pela aplicação da força unitária exibida na figura anterior, 
parte (b), quanto pelo carregamento real mostrado na figura anterior, parte 
(a). Substituindo os valores obtidos na equação do PTV e resolvendo a integral 
ao longo dos 8 metros de comprimento da viga, é possível alcançar o resulta-
do desejado. É possível estabelecer a origem da coordenada X em qualquer 
ponto, contanto que essa origem seja igual para a determinação de M’ e M. 
Levando em consideração que a tração no lado inferior da viga é negativa, 
temos: 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
M’ = 1.x e M = 15.x.(x/2)  7,5 x2 
  
  0,0684 = 68,4 cm 
Consideração 1
O deslocamento resultante da aplicação da força virtual unitária é 
diretamente proporcional ao momento fletor na seção transversal 
da viga, indicando que quanto maior o momento fletor, maior será o 
deslocamento resultante.
Consideração 2
Na análise de estruturas é comum trabalhar com deslocamentos 
relativos entre diferentes pontos da estrutura em vez de 
deslocamentos absolutos, devido ao fato de que os deslocamentos 
absolutos podem ser afetados por movimentos de corpo rígido da 
estrutura como um todo.
Consideração 3
É importante notar que o deslocamento calculado por meio do 
método dos trabalhos virtuais resultou em um valor positivo, o que 
indica que ele ocorre no mesmo sentido da força unitária que está 
sendo aplicada, ou seja, sentido para baixo.
4.2 TEOREMA DE CASTIGLIANO 
Uma técnica utilizada para encontrar os deslocamentos em sistemas elásti-
cos lineares é o método de Castigliano, criado por Carlo Alberto Castigliano, 
que consiste na aplicação de derivadas calculadas de forma parcial (derivadas 
parciais) da energia de deformação (MARTHA, 2022).
Em termos simples, o método de Castigliano estabelece que a variação de 
energia em um sistema elástico linear é proporcional ao produto da força cau-
sadora pelo deslocamento resultante (LEET et al., 2020). Dessa forma, é possí-
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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vel utilizar derivadas parciais para relacionar as forças causais, deslocamentos 
e mudanças de energia. Para encontrar o deslocamento em um ponto espe-
cífico de uma estrutura sob a ação de uma força P, basta aplicar o teorema e 
calcular a mudança de energia e a força causativa, onde temos: 
Em relação à flexão de uma viga feita de um material elástico linear, há uma 
relação linear entre o momento fletor M e o ângulo de rotação da seção trans-
versal θ, como demonstrado no gráfico a seguir:
RELAÇÃO ENTRE MOMENTO FLETOR (M) O GIRO DA SEÇÃO TRANSVERSAL Θ PARA 
MATERIAL ELÁSTICO LINEAR
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 58). 
 #pratodosverem: gráfico que representa a relação entre o fletor (M) e o giro da seção 
transversal θ para material elástico linear
Ao aumentar o momento M1 em um valor dM1 ocorre um aumento corres-
pondente dθ1 no giro da seção transversal da viga. O trabalho realizado por 
M1 nesse aumento pode ser calculado pela multiplicação de M1 e dθ1, que é 
representado pela área sob a curva destacada no gráfico. A energia de de-
formação acumulada na barra durante a variação do momento de 0 a M é 
obtida pela soma das várias áreas elementares, o que leva à formação de um 
triângulo localizado abaixo da linha do gráfico: 
Considerando um elemento infinitesimal dx da viga submetido a um giro dθ, 
temos:
 e 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Realizando a substituição e integrando sobre todo o comprimento L da viga, 
temos: 
 =  
Empregando diretamente no teorema de Castigliano, temos:
Para resolver essa equação, com o objetivo de facilitar, antes de realizar a inte-
gração é necessário diferenciar o momento em relação a P, o que resulta na 
seguinte equação: 
4.2.1 APLICAÇÃO DO TEOREMA DE 
CASTIGLIANO 
Para ilustrar esse método utilizaremos a viga engastada mostrada a seguir. 
No teorema de Castigliano, o objetivo é o de se calcular o deslocamento que 
ocorre verticalmente na extremidade livre da viga engastada por meio da 
aplicação da técnica metodológica do PTV (SORIANO; LIMA, 2006). Suponha 
que uma força vertical P seja aplicada na extremidade livre da viga, conforme 
apresentado na figura a seguir.
VIGA COM CARGA REAL P APLICADA NA EXTREMIDADE LIVRE
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 59). 
#pratodosverem: figura que representa uma viga com carga real P aplicada na extremidade 
livre.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Inicialmente, é necessário obter a expressão do momento fletor na viga em 
função da coordenada x para o carregamento descrito na figura anterior. 
Em seguida, precisamos realizar a aplicação de derivadas parciais para o cál-
culo do fletor em relação à força P que, de forma geral, é atuante no ponto e 
também na direção do deslocamento considerado ou desejado. Consideran-
do que a tração na face inferior da viga seja positiva, temos:
M = - P.x -15.x.(x/2) M = - P.x - 7,5 x2
Ao substituir o valor real da força P na equação, que nesse caso considerado 
é P = 0, já que essa força não está presente no carregamento original, temos:
M = - P.x - 7,5 x2 e 
Então, por meio da aplicação da equação associada ao teorema de Castiglia-
no, temos:
 0,0684 = 68,4 cm
Esse é o mesmo valor de deslocamento que encontramos pelo método PTV. 
4.2.2 APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DOS 
TRABALHOS VIRTUAIS EM TRELIÇAS 
Para estudarmos essa aplicação vamos utilizar como referência o cálculo de 
um deslocamento na vertical que ocorre em um nó C presente em uma treli-
ça de cobertura, conforme mostrado na figura, a seguir. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
TRELIÇA DE COBERTURA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 61). 
 #pratodosverem: ilustração de uma viga com carga real P aplicada na extremidade livre.
Cada barra da treliça tem uma área de seção transversal de 500 mm2 ou 5.10-
4 m2, e o módulo de elasticidade do material utilizado na construção é de E = 
20000 kN/cm2 ou 2.108 N/m2.
A fim de calcular o deslocamento vertical ocorrente no nó C da treliça, é pre-
ciso empregar uma força virtual com intensidade de 103 N (direção vertical) 
no referido nó.
Em seguida, deve-se usar as equações de equilíbrio objetivando direcionar a 
determinação das reações de apoio (ou reações nos vínculos) e, utilizando-se 
do método de análise dos nós, encontrar os esforços normais em cada barra, 
conforme ilustrado na figura (a) a seguir. 
De modo análogo, podemos determinar reações e esforços ocorrentes nas 
barras da treliça que podem ser obtidos para a configuração real da treliça, tal 
como ilustrado na figura (b), a seguir.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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(A) ESFORÇOS NORMAIS (N’) GERADOS PELA FORÇA VIRTUAL; (B) ESFORÇOS NORMAIS 
(N) GERADOS PELO CARREGAMENTO REAL
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 62). 
#pratodosverem: ilustração de duas treliças onde são mostrados em (a) os esforços normais 
(N’) gerados pela força virtual; (b) os esforços normais (N) gerados pelo carregamento real.
Para as treliças, devemos considerar apenas a parcela referente aos esforços 
normas presente na equação do PTV:
Os elementos N’ e N são constantes em toda a extensão de cada barra, de 
modo que a integral correspondente a cada barra com comprimento L pode 
ser expressa como segue:
Assim, podemos calcular o trabalho virtual interno da treliça considerando o 
trabalho interno de cada barra e somando-os. Dessa forma, ao substituir os 
valores de N’ e N de cada barra, obtemos:
 1,608 x 10-4 m = 0,168 mm
O sinal positivo do deslocamento obtido indica que ele está na mesma dire-
ção da força unitária aplicada, ou seja, para baixo.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
4.2.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS 
Exemplo teórico-prático 2. Neste exemplo, vamos retomar a viga mostrada 
no início desta unidade, conforme mostrado na figura a seguir. 
VIGA HIPERESTÁTICA 
 
 Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 61).
#pratodosverem: ilustração uma viga engastada (hiperestática).
Para determinar as reações e os esforços em 
estruturas hiperestáticas, é necessário levar em 
consideração, além das condições de equilíbrio, 
a existência de compatibilidade entre os 
deslocamentos ocorrentes e as deformações 
presentes na estrutura, bem como devem ser 
consideradas as leis constitutivas da resistência 
dos materiais. Consequentemente, o Princípio 
do Trabalho Virtual é uma ferramenta útil na 
verificação do atendimento dessas condições de 
compatibilidade de deslocamentos em estruturas 
hiperestáticas. Em contraposição, em estruturas 
isostáticas, as condições de equilíbrio são suficientes 
para calcular as reações de apoio e os esforços na 
estrutura, não havendo então a necessidade de 
levar em consideração as condições compatíveis 
de deslocamentos e de resistência dos materiais 
(BARROS, 2004).
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Segundo Pillar et al. (2019), para determinar as reações e os esforços em estru-
turas hiperestáticas, é necessário levar em consideração a resistência dos ma-
teriais, as condições de equilíbrio da estática e também a real compatibilida-
de associada com deslocamentos e deformações ocorrentes nos elementos 
estruturais. Consequentemente, o Princípio do Trabalho Virtual é uma ferra-
menta útil na verificação do atendimento dessas condições de compatibili-
dade de deslocamentos em estruturas hiperestáticas. 
CONFECÇÃO DE EDIFICAÇÃO EM CONCRETO ARMADO 
Fonte: ©wirestock, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem da confecção de uma edificação em concreto armado.
Em contraste, em estruturas isostáticas, as condições de equilíbrio são sufi-
cientes para determinar as reações de apoio e os esforços na estrutura, sem 
a necessidade de levar em consideração as condições citadas anteriormente. 
Se considerarmos a viga apresentada na figura a seguir, já sabemos, pelos es-
tudos de hiperestaticidade, que se trata de uma viga hiperestática (uma vez 
hiperestática ou de grau um). 
A viga hiperestática exibida na figura (parte A) pode ser dividida em vigas 
isostáticas conforme mostrado nas partes B e C da figura, onde X é a repre-
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
sentação de uma reação de apoio no lado direito da viga hiperestática exibi-
da. De acordo com o princípio da superposição, os efeitos das vigas (B) e (C) 
somados resultam na viga hiperestática da parte A.
VIGA HIPERESTÁTICA DESMEMBRADA 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 61). 
#pratodosverem: representação de uma viga engastada desmembrada. 
De forma geral, se considerarmos a compatibilidade de deslocamentos ao 
avaliarmos o deslocamento vertical ocorrente na extremidade direita da viga 
hiperestática observamos que é nulo. Além disso, observamos que os des-
locamentos verticais ocorrentes na extremidade direita das vigas isostáticas 
mostradas em (B) e (C) sejam Δ0 e Δ1, respectivamente. Convergindo, temos 
a seguinte relação: Δr = Δ0 + Δ1, que pode ser simplificada para 0 = Δ0 + Δ1 e, 
consequentemente, Δ1 = -Δ0. A partir disso, podemos utilizar o PTV na viga 
isostática (B) para calcular Δ0, e em seguida, aplicar novamente o PTV na es-
trutura, exigindo que Δ1 seja igual a -Δ0, para obter a reação X.
CONCLUSÃO
Apresentamos, nesta unidade, de forma introdutória, o processo do método 
das forças e dos deslocamentos, os principais teoremas e os princípios as-
sociados. Estudamos, de forma mais profunda, o método do trabalho virtu-
al com algumas aplicações práticas. Também direcionamos a compreensão 
dos princípios do segundo teorema de Castigliano e algumas das aplicações. 
Compreendemos que o método das forças, também conhecido como méto-
do das deformações coerentes ou método das deformações compatíveis, é 
um método baseado na teoria da flexibilidade, que é utilizado para a análise 
de estruturas estaticamente indeterminadas.
Estudamos que o método do trabalho virtual, também chamado de método 
da força virtual ou método da carga unitária, usa a lei da conservação da ener-
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gia para obter a deflexão e a queda em um ponto de uma estrutura. Além 
disso, estudamos que esse método é aplicado tanto em estruturas isostáticas 
quanto em estruturas hiperestáticas, e é particularmente útil para esta últi-
ma, considerando a insuficiência das condições de equilíbrio na determina-
ção das reações de apoio e os esforços em tais estruturas. Este baseia-se no 
conceito deque, se uma força virtual é aplicada a uma estrutura, a energia 
potencial armazenada na estrutura devido à deformação é igual ao trabalho 
realizado pela força virtual.
O método do trabalho virtual envolve a aplicação de uma carga unitária em 
cada uma das coordenadas da estrutura e, em seguida, a determinação do 
trabalho realizado por cada uma das cargas unitárias. A soma dos trabalhos 
realizados por cada carga unitária fornece o deslocamento total na estrutura.
O método apresenta grande flexibilidade, uma vez que pode ser empregado 
em estruturas de qualquer formato, mesmo as de geometria mais complexa. 
Além disso, é possível utilizar o método do trabalho virtual em conjunto com 
outros métodos que podem gerar resultados de certa forma mais precisos. 
No entanto, em termos de engenharia e aplicações reais, devemos lembrar 
que o PTV é limitado a sistemas lineares e estáticos, e não leva em conta o 
comportamento dinâmico da estrutura, como a vibração.
Percebemos ainda que o método desenvolvido por Carlo Alberto Castiglia-
no é uma técnica utilizada para determinar os deslocamentos em sistemas 
lineares elásticos, a partir de cálculos que tomam como base derivação par-
cial para a energia de deformação. O conceito fundamental pode ser com-
preendido facilmente, pois uma alteração na energia tem uma equivalência 
no trabalho realizado, de acordo com a equivalência trabalho/energia. Assim, 
é possível estabelecer uma relação entre a força aplicada e o deslocamento 
resultante por meio da energia de deformação. Em outras palavras, a força 
aplicada é proporcional à variação da energia de deformação em relação ao 
deslocamento resultante, ou o deslocamento resultante é proporcional à va-
riação da energia de deformação em relação à força aplicada. As derivadas 
parciais são essenciais para estabelecer essa relação matemática entre as for-
ças aplicadas, deslocamentos resultantes e energia de deformação. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, acesse os links a 
seguir:
1. PALHARES, R. A. et al. Método dos deslocamentos 
para análise de estruturas. In: CONGRESSO 
BRASILEIRO DE PONTOS E ESTRUTURAS, 9., Rio de 
Janeiro, maio 2016. Anais… Rio de Janeiro, 2016.
2. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: 
método das forças e método dos deslocamentos. 
Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2004.
3. VALLE, A. do; LA ROVERE, H. L.; PILLAR, N. M. de 
P. Apostila de análise estrutural I. Florianópolis: 
Universidade Federal de Santa Catarina, 2002.
4. LINDENBERG NETO, H. Introdução à mecânica 
das estruturas. São Paulo: Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo, 1996.
5. BARROS, J. Teoremas energéticos. 2004.
UNIDADE 5
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
> Entender, de forma 
mais profunda, 
a aplicação dos 
métodos das forças 
e deslocamentos em 
vigas.
> Compreender 
as principais 
aplicações em vigas 
dos métodos dos 
deslocamentos.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
5. MÉTODOS DAS FORÇAS E DO 
DESLOCAMENTO 
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Esta unidade abordará aprofundamentos e temáticas associadas com o méto-
do das forças e dos deslocamentos. 
Depois de estudarmos o Princípio do Trabalho Virtual (PTV) e compreender-
mos como aplicá-lo para determinar os deslocamentos de estruturas isostáti-
cas, agora podemos usá-lo para resolver as estruturas hiperestáticas. Uma das 
técnicas que pode ser usada para resolver esse tipo de estrutura é a utilização 
do método das forças, que emprega o Princípio do Trabalho Virtual.
5.1 MÉTODO DAS FORÇAS: APROFUNDAMENTO
O método das forças é fundamental para elementos que vão ajudar na deter-
minação da diagramação do que chamamos de momento fletor da viga, como 
o exemplo mostrado na figura a seguir.
VIGA HIPERESTÁTICA COM 4 APOIOS
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 66).
#pratodosverem: ilustração de uma viga hiperestática com quatro apoios.
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5.1.1 DEFINIÇÃO
O chamado método das forças é uma técnica procedimental utilizada na análi-
se de estruturas hiperestáticas devendo obedecer às seguintes condições:
• equilíbrio conforme condições da estática;
• compatibilidade; e
• avaliação da resistência dos materiais. 
É essencial garantir o equilíbrio de uma estrutura para a estabilidade dela, o que 
implica no balanceamento das reações de apoio e forças atuantes. A aplicação 
do método das forças exige que as equações do estático sejam amplamente 
conhecidas e usadas em estruturas isostáticas, segundo Vieira e Torres (2018). 
De acordo com Kassimali (2016), o comportamento dos materiais é a resposta 
às forças aplicadas. Para garantir que o método das forças seja compatível com 
o comportamento dos materiais utilizados, assume-se um comportamento 
elástico linear e deformações dentro dos limites de elasticidade.
Uma estrutura é considerada compatível quando 
não apresenta rupturas nas diferentes partes e a 
deformação resultante é coerente com as restrições 
de deslocamento impostas pelas conexões de 
suporte (KASSIMALI, 2016).
Para garantir essas condições ao usar o método das forças, escreveremos 
equações de compatibilidade física que garantam que a estrutura, de forma 
geral, respeite as condições de equilíbrio.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO
 Fonte: 
©Albaregiya, Freepik (2023).
#pratodosverem: estrutura de concreto armado em construção.
É importante destacar que o método das forças é uma técnica de análise es-
tática que leva em consideração o comportamento linear elástico dos mate-
riais e as condições de equilíbrio, de compatibilidade e também de compor-
tamento dos materiais. Essas condições devem ser respeitadas para garantir 
a eficácia do método. 
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ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO
 
Fonte: ©Albaregiya, Freepik (2023).
#pratodosverem: estrutura de concreto armado em uma construção.
Na figura a seguir, o item a ilustra uma viga que é considerada hiperestática, 
pois tem quatro reações de apoio (duas reações — vertical e horizontal ocor-
rente no apoio A, uma força ocorrente vertical no apoio móvel B e outra força 
ocorrente na vertical no apoio móvel em C, enquanto, conforme leis da estáti-
ca, somente três equações (de equilíbrio) podem e devem ser aplicadas a ela.
VIGA HIPERESTÁTICA (A) E ISOSTÁTICA (B)
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 68).
#pratodosverem: ilustração duas vigas, uma hiperestática e outra isostática. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Para resolver essa estrutura é necessário definir mais uma equação, o que 
resulta em quatro equações com quatro incógnitas gerando uma única solu-
ção para esse sistema. 
Para encontrar a equação adicional necessária para resolver a estrutura hipe-
restática, precisamos substituí-la por uma estrutura isostática mais simples e 
considerada equivalente (LEET; UANG; GILBERT, 2010). Isso é feito retirando-se 
uma das vinculações de apoio e aplicando a reação de apoio correspondente, 
como mostrado na figura anterior, parte (b). Desse modo, encontramos as 
quatro reações de apoio e direcionamos a resolução da estrutura hiperestáti-
ca de acordo com as: 
∑ Fx=0
∑ Fy=0
∑ M =0
Equações de equilíbrio 
Em que: 
Forças horizontais  Fx 
Forças verticais  Fy 
Momentos M
Equaçãode compatibilidade ΔB = 0
5.1.2 MÉTODOS DAS FORÇAS EM VIGAS
Como devemos usar equações de compatibilidade na resolução das estru-
turas hiperestáticas? De modo geral, já vimos que para a aplicação do mé-
todo das forças devemos direcionar as equações de compatibilidade (uma 
ou mais) e, para responder a essa pergunta de forma mais específica, é pre-
ciso considerar o princípio da superposição, que se aplica a materiais elásti-
cos lineares. Uma possível abordagem para solucionar o problema é dividir a 
estrutura isostática em partes menores, simplificando-a. Ao combinar essas 
estruturas menores, obtemos a estrutura isostática original. Para explicar esse 
processo, vamos utilizar a viga mostrada na figura anterior, parte (a), que é 
considerada hiperestática. A estrutura isostática fundamental da viga, mos-
trada na figura anterior, parte (b), pode ser dividida em dois casos, chamados 
de (0) e (1), como mostrado na Figura a seguir. Quando somamos esses dois 
casos, obtemos a estrutura isostática fundamental da viga.
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EXEMPLO DE SUPERPOSIÇÃO
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 69).
#pratodosverem: exemplos de superposição de efeitos.
Avaliando a viga, percebe-se que o deslocamento vertical em B deve ser nulo 
e, desse modo, a equação de compatibilidade para essa viga fica: 
ΔB = δ10 + δ11.By e ΔB = 0
Então: δ10 + δ11.By = 0, ou seja,  y = - (δ10/ δ11) 
Depois de conhecer os deslocamentos no ponto B em dois casos específicos 
(0 e 1), é possível determinar uma das quatro incógnitas do problema, que é 
a reação de apoio em B (vertical), que é uma viga hiperestática. As incógnitas 
restantes (apoios em A: vertical e horizontal, e reação de apoio em C: vertical) 
são encontradas quando as avaliamos com base nas três equações de equilí-
brio estático.
Para calcular os deslocamentos no ponto B das estruturas isostáticas nos ca-
sos (0) e (1), é preciso usar o Princípio dos Trabalhos Virtuais, conforme ilustra-
do na figura anterior. O deslocamento d10 é obtido aplicando o PTV vertical-
mente em B na estrutura do caso (0), enquanto o deslocamento d11 é obtido 
aplicando uma força virtual unitária na direção vertical em B na estrutura do 
caso (1), também utilizando o PTV.
Percebemos, então, que as equações de compatibilidade são utilizadas para 
resolver problemas de estruturas hiperestáticas por meio da análise de deslo-
camentos da estrutura.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
A ideia é que uma estrutura hiperestática tenha 
mais restrições nos vínculos do que efetivamente 
o necessário para a estabilidade, o que implica 
que os deslocamentos da estrutura não podem 
ser encontrados apenas usando as equações de 
equilíbrio (KASSIMALI, 2016).
Portanto, as equações de compatibilidade são usadas para relacionar os des-
locamentos desconhecidos da estrutura com os deslocamentos que podem 
ser calculados usando as equações de equilíbrio.
O processo de resolução de problemas de estruturas hiperestáticas usando 
equações de compatibilidade pode ser dividido em três etapas principais 
(LEET et al., 2010), conforme a seguir: 
Encontre o número de restrições
Determine o número de restrições na estrutura usando as equações 
de equilíbrio. O número de equações de equilíbrio é igual ao número 
de restrições, não sendo suficientes para determinar completamente 
os deslocamentos da estrutura.
Encontre o número de equações de compatibilidade 
O número de equações de compatibilidade é equivalente ao número 
de deslocamentos desconhecidos presente na estrutura. Essas 
equações são usadas para relacionar os deslocamentos desconhecidos 
com os deslocamentos que podem ser calculados usando as equações 
de equilíbrio.
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Resolva o referido sistema de equações gerado
Resolva as equações de equilíbrio e de compatibilidade 
simultaneamente para determinar todos os deslocamentos da 
estrutura. As equações de compatibilidade são adicionadas ao sistema 
de equações de equilíbrio e resolvidas juntas para obter os valores dos 
deslocamentos desconhecidos.
Em resumo, as equações de compatibilidade são usadas em conjunto com as 
equações de equilíbrio para resolver problemas de estruturas hiperestáticas, 
permitindo que os deslocamentos desconhecidos sejam determinados.
5.1.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TÉORICO-
PRÁTICOS 
Exemplo teórico-prático 1. Você, engenheiro recém-formado, assinou con-
trato de trabalho com uma grande empresa de engenharia, e um dos seus 
primeiros trabalhos internos foi o de direcionar a determinação das reações 
associadas com os apoios de viga mostrado na figura a seguir, sendo que essa 
viga tem E-I constante. 
EXEMPLO DE VIGA COM CARREGAMENTO UNIFORME DISTRIBUÍDO
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 70).
#pratodosverem: exemplo de uma viga com carregamento distribuído.
As vigas com E-I constante são chamadas de vigas que têm rigidez à flexão 
constante (E x I constante). Para direcionar o cálculo da viga pelo método dos 
deslocamentos, você pode seguir os seguintes passos (MARTHA, 2022):
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Determine o número de equações de compatibilidade
Para uma viga com E x I constante, o número de equações de 
compatibilidade a serem usadas é igual ao número de graus de 
liberdade da viga que estão impedidos. Para uma viga simplesmente 
apoiada, há dois graus de liberdade impedidos, portanto, serão 
necessárias duas equações de compatibilidade.
Determine os deslocamentos desconhecidos 
Para determinar as equações de compatibilidade você precisa conhecer 
os deslocamentos desconhecidos da viga. Para uma viga simplesmente 
apoiada, os deslocamentos desconhecidos são: uma deflexão existente 
no centro dessa viga e o ângulo de rotação em qualquer ponto.
Aplique o princípio dos trabalhos virtuais 
Use o princípio dos trabalhos virtuais para encontrar os deslocamentos 
desconhecidos. Isso envolve a aplicação de uma carga virtual unitária 
em cada grau de liberdade impedido e o cálculo correspondente aos 
deslocamentos virtuais. Para uma viga simplesmente apoiada, a carga 
virtual unitária é aplicada no centro da viga para encontrar a deflexão, 
e em qualquer ponto da viga para encontrar o ângulo de rotação.
Determine as equações de compatibilidade 
Use as equações de compatibilidade para determinar as relações entre 
os deslocamentos desconhecidos. Para uma viga simplesmente apoiada 
com E x I constante, as equações de compatibilidade são: a deflexão no 
centro da viga é igual a metade do deslocamento vertical nos apoios 
e o ângulo de rotação em qualquer ponto é igual ao deslocamento 
horizontal nos apoios dividido pela distância entre os apoios.
Aplique as equações de equilíbrio
Use as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio 
desconhecidas em termos dos deslocamentos desconhecidos 
encontrados nas equações de compatibilidade.
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Resolva as equações para as reações de apoio
Substitua os valores dos deslocamentos desconhecidos nas 
equações de equilíbrio para solucionar as reações de apoio que eram 
desconhecidas até aquele momento. 
É importante lembrar que, para uma viga com rigidez à flexão constante (E x 
I constante), as reações de apoio serão proporcionais às cargas aplicadas e à 
distância entre os apoios. Além disso, para uma viga simplesmente apoiada, a 
reação vertical nos apoios será igual à metade da carga total aplicada.
A viga mostrada anteriormente é uma vez hiperestática. Para resolvê-la, deve-
mos então montar a estruturaisostática, sendo que para isso podemos retirar 
uma vinculação corresponde ao deslocamento vertical ocorrente no apoio B 
da viga, chegando, desse modo, nos casos 0 e 1 mostrados na figura a seguir. 
VIGA SEM UMA VINCULAÇÃO
 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 70).
#pratodosverem: exemplo de uma viga sem uma vinculação.
Com isso, obtemos a seguinte equação de compatibilidade:
δ10 + δ11.By = 0, ou seja  By = - (δ10/ δ11) 
Para obter os deslocamentos, aplicaremos o Método dos Trabalhos Virtuais 
(PTV) em duas etapas, levando-se em consideração os carregamentos reais 
considerados nos casos (0) e (1) ilustrados na figura anterior. A figura a seguir 
apresenta o PTV para o caso (0), levando em conta o carregamento real e a 
aplicação na direção do deslocamento de uma força unitária virtual chamada 
de δ10 (vertical).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
(A) CARREGAMENTO (REAL E FORÇA VIRTUAL) NO CASO (0); (B) CARREGAMENTO (REAL 
E FORÇA VIRTUAL) NO CASO (1)
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 71).
#pratodosverem: ilustração de carregamento real e força virtual do caso (0); (b) 
carregamento real e força virtual do caso (1).
a) Determinação de δ10:
M = -10.x.(x/2) = -5.x2 e M’ = x
1. 10=
0
L
M ' . M .dx
E . I
=
0
10
x . ( 5. x
2) .dx
E . I
5
E . I 0
10
x3.dx= 5. 10
4
4. E . I
1. 10=¿
12500
E . I para baixo (em metros). 
b) Determinação de δ11:
Na figura anterior (b), temos a representação do PTV para o caso 1, utilizando-
-se do carregamento real desse caso e da força unitária virtual aplicada em B 
(nesse caso, ocorrente direção do deslocamento δ11 vertical):
M = M’ = x
1. 11=
0
L
M ' . M .dx
E . I
=
0
10
x . x . dx
E . I
= 1
E . I 0
10
x2 .dx
11=¿
1000
3. E . I para cima (m/kN).
Desse modo, podemos então determinar as quatro reações de apoio existen-
te, adotando a convecção de giro anti-horário positivo. 
By=
10
11
=
( 12500E . I )
( 10003. E . I )
=12500
E . I
. 3. E . I
1000
=37,5 kN paracima .
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Fx=0  Ax = 0
MA=0 MA 10.10 .(102 )+37,5.10=0 MA=125 kN . mantihorário
Fy=0 Ay 10.10+37,5=0 62,5 kN para cima
5.2 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: 
APROFUNDAMENTO 
Na prática, quando lidamos com estruturas hiperestáticas com grandes graus 
de hiperestaticidade, o método dos deslocamentos se mostra de mais fácil 
aplicação, especialmente quando queremos implementar softwares para re-
solução da estrutura de forma mais rápida. Isso ocorre porque o método dos 
deslocamentos usa soluções fundamentais conhecidas, o que facilita a pro-
gramação computacional. É por isso que muitos programas de análise de es-
truturas usam o método dos deslocamentos como base.
Você, como engenheiro recém-formado e recém-contratado por uma em-
presa de engenharia, decidiu então aplicar esse método para determinar os 
momentos fletores da viga hiperestática mostrada a seguir, sabendo que E.I 
= 104 kN.m2. 
VIGA HIPERESTÁTICA 
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 83).
#pratodosverem: ilustração de uma viga hiperestática.
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5.2.1 DEFINIÇÃO
De modo geral, o método das forças e o método dos deslocamentos seguem 
as condições de equilíbrio, de compatibilidade e as leis da resistência dos ma-
teriais. No entanto, há diferença entre os dois métodos, conforme a seguir 
(VIEIRA; TORRES, 2018).
Método das forças
As forças (hiperestáticas) são incógnitas e são resolvidas por meio de 
equações de compatibilidade na forma de um sistema de forças. 
Método dos deslocamentos 
Os deslocamentos são incógnitas e são resolvidos por meio de um 
sistema de equações de equilíbrio.
No método dos deslocamentos a estrutura é analisada a partir das deforma-
ções que ocorrem sob a ação das cargas aplicadas, em contraste com o méto-
do das forças que se baseia no equilíbrio das forças internas. Em certos casos, 
o método dos deslocamentos pode ser utilizado em conjunto com o método 
das forças para obter uma solução completa e precisa para as respostas estru-
turais (VIEIRA; TORRES, 2018).
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EDIFICAÇÃO EM ANDAMENTO COM ESTRUTURA EM CONCRETO ARMADO
Fonte: ©jcomp, Freepik (2023).
#pratodosverem: edificação em andamento em estrutura de concreto armado.
Nos dois métodos (deslocamentos e forças), a superposição de casos básicos 
é utilizada para determinar a resposta da estrutura original. No entanto, há 
uma diferença na abordagem de atendimento das condições de equilíbrio e 
compatibilidade entre os dois métodos. No método das forças, a superposi-
ção envolve casos básicos que garantem o equilíbrio da estrutura, e a com-
patibilidade é satisfeita por meio de equações de compatibilidade. Por outro 
lado, no método dos deslocamentos, a superposição envolve casos básicos 
que respeitam a compatibilidade, e o equilíbrio é atendido por meio de equa-
ções de equilíbrio.
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O método das forças busca as forças que geram 
deslocamentos compatíveis, enquanto o método 
dos deslocamentos busca os deslocamentos que 
geram forças em equilíbrio (VIEIRA; TORRES, 2018).
A primeira fase do método dos deslocamentos é determinar os deslocamen-
tos nos nós da estrutura que são desconhecidos. Na figura a seguir, parte (a), 
por exemplo, os pontos nos nós A e C apresentam-se engastados, o que signi-
fica que os únicos deslocamentos desconhecidos estão localizados no nó B e 
consistem em deslocamentos verticais, horizontais e uma rotação. 
Esses deslocamentos desconhecidos, que são chamados de magnitudes de 
deslocamento, são valores de incógnitas do problema e estão representados 
na figura, na parte (b), seguindo convencionalmente o sinal positivo confor-
me indicado. 
(A) PÓRTICO HIPERESTÁTICO; (B) MAGNITUDES DE DESLOCAMENTO; (C) SISTEMA 
HIPERGEOMÉTRICO 
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 84).
#pratodosverem: ilustração de (a) Pórtico hiperestático; (b) Magnitude de deslocamentos; 
(c) Sistema hipergeométrico. 
Depois de encontrar as soluções cinemáticas para cada configuração de-
formada conhecida, precisamos sobrepor esses casos básicos para isolar os 
efeitos dos carregamentos e das magnitudes de deslocamento na estrutura. 
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Para isso, definimos um sistema hipergeométrico que representa a estrutu-
ra original com apoios fictícios adicionados para impedir os deslocamentos 
nodais. A sobreposição dos casos básicos é representada em uma figura, na 
qual podemos ver que a soma das configurações deformadas apresentada 
em cada um dos casos gera como resultado a configuração deformada apre-
sentada na estrutura original. A figura a seguir ilustra os casos citados. 
SUPERPOSIÇÃO DOS CASOS BÁSICOS 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 85).
#pratodosverem: ilustração das superposições dos casos básicos.
O caso inicial (0) analisa efeitos do carregamento existentes em cada barra da 
estrutura no sistema hipergeométrico, enquanto os casos (1), (2) e (3) investi-
gam o efeito de cada deslocamento desconhecido, permitindo apenas um 
deslocamento ativo e mantendo os demais inativos.
Para resolver cada caso, é necessário determinar as reações nos apoios fictí-
cios (ß10) no caso (0), e também forças ou momentos existentes nos apoios 
fictícios (Kij) nos demais casos, de forma a manter a configuração deforma-
da quando um deslocamento unitário é aplicado na direção e sentido con-
siderado da deslocabilidade liberada (VIEIRA; TORRES, 2018). Comoestamos 
lidando com materiais elástico-lineares, multiplicamos os valores de Kij pela 
magnitude de deslocamento correspondente ao caso analisado para obter 
forças ou momentos (em apoios fictícios), seguindo um procedimento similar 
ao método das forças. A figura na parte (b) ilustra as forças Kij no caso (1).
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A) REAÇÕES NOS APOIOS FICTÍCIOS PARA O CASO (0); (B) FORÇAS NOS APOIOS 
FICTÍCIOS PARA O CASO (1)
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 85).
#pratodosverem: ilustração de (a) Reações nos apoios fictícios para o caso (0); (b) Forças nos 
apoios fictícios para o caso (1).
Em seguida, é preciso garantir o restabelecimento das condições de equilí-
brio. Como o nó, com as deslocabilidades, deve-se permanecer em equilíbrio, 
e a soma total das forças e momentos nesse nó deve ser igual a zero. Após, re-
solvemos o sistema de equações objetivando determinar os valores das des-
locabilidades D1, D2 e D3.
Suponha que temos um nó com três deslocabilidades desconhecidas (D1, D2, 
D3). Sabemos que as forças aplicadas no nó são F1, F2 e F3, e os momentos 
aplicados são M1, M2 e M3.
Para restabelecer as condições de equilíbrio podemos escrever as seguintes 
equações de equilíbrio:
Somatório das forças na direção x: –F1 + F2.cos(60) + F3.cos(45) = 0
Somatório das forças na direção y: F2.sen(60) + F3.sen(45) = 0
Somatório de momentos em relação ao ponto de referência:
M1 – F2.sen(60)L – F3.sen(45)*L = 0, em que L é a distância do nó ao ponto de 
referência.
Essas equações formam um sistema de equações (com três incógnitas - D1, 
D2, D3). Resolvendo esse sistema, podemos encontrar os valores das desloca-
bilidades desconhecidas.
Supondo que as forças aplicadas e os momentos aplicados tenham os se-
guintes valores:
F1 = 100 N
F2 = 150 N
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F3 = 200 N
M1 = 50 N.m
M2 = 70 N.m
M3 = 90 N.m
Podemos resolver o sistema de equações para encontrar as deslocabilidades 
desconhecidas:
–100 + 150.cos(60) + 200.cos(45) = 0 => D1 = 0,48 mm
150.sen(60) + 200.sen(45) = 0 => D2 = -0,39 mm
50 – 150.sen(60)L – 200.sen(45)*L = 0 => D3 = –0,16 mm
Portanto, as deslocabilidades desconhecidas são D1 = 0,48 mm, D2 = -0,39 
mm e D3 = –0,16 mm.
5.2.2 APLICAÇÃO EM VIGAS
Antes de aplicar o método dos deslocamentos em vigas hiperestáticas, é ne-
cessário determinar os valores das reações de apoio fictícias (ß10 e Kij) para 
diferentes cenários (VIEIRA; TORRES, 2018). 
Essas soluções são amplamente conhecidas e os valores podem ser encon-
trados em uma figura ou tabela, como apresentado por Vieira e Torres (2018).
REAÇÕES DE ENGASTAMENTO PERFEITO PARA ALGUMAS SITUAÇÕES DE 
CARREGAMENTOS
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 86-7).
#pratodosverem: ilustrações de reações de engastamento perfeito para algumas situações 
de carregamentos.
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As forças ou momentos que surgem nos apoios fictícios em outros casos são 
referidas como coeficientes de rigidez globais Kij. Esses coeficientes repre-
sentam a força ou momento na direção do deslocamento Di, quando apenas 
um deslocamento Dj = 1 é aplicado. 
Para obter os coeficientes de rigidez globais, é necessário somar os valores 
dos coeficientes de rigidez locais, que são soluções já conhecidas e podem 
ser encontrados em uma figura ou tabela, conforme demonstrado por Vieira 
e Torres (2018), para cada tipo de deslocamento em questão.
COEFICIENTES DE RIGIDEZ LOCAIS PARA ALGUMAS SITUAÇÕES DE DESLOCAMENTOS
Fonte: adaptado de Vieira e Torres (2018, p. 87).
#pratodosverem: ilustrações de alguns coeficientes de rigidez locais para algumas situações 
de deslocamentos.
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Os coeficientes de rigidez locais são valores 
tabelados que indicam a rigidez de determinado 
elemento estrutural em relação a um tipo específico 
de deslocamento. Eles são expressos em unidades 
de força por unidade de deslocamento. Esses 
coeficientes são determinados pela análise de 
tensões e deformações na estrutura, considerando 
os materiais utilizados e as condições de suporte e 
carregamento (MCCORMAC, 2009).
Para diferentes tipos de deslocamento, tais como deslocamentos longitudi-
nais, transversais e rotacionais, os coeficientes de rigidez locais podem variar 
significativamente. Para o deslocamento transversal, os coeficientes de rigi-
dez locais também podem variar significativamente, assim como para outros 
tipos de deslocamento, como deslocamentos longitudinais e rotacionais.
Na prática, os coeficientes de rigidez locais são amplamente utilizados para 
determinar a rigidez e a estabilidade de diferentes elementos estruturais, tais 
como vigas, pilares e lajes. Eles são usados para projetar estruturas mais segu-
ras e eficientes, levando em consideração as diferentes cargas e deslocamentos 
que a estrutura pode experimentar durante a vida útil (VIEIRA; TORRES, 2018). 
Em resumo, os coeficientes de rigidez locais são valores tabelados que des-
crevem a rigidez de um elemento estrutural em relação a determinado tipo 
de deslocamento. Eles são fundamentais para projetar estruturas mais segu-
ras e eficientes e são amplamente utilizados na engenharia civil e mecânica.
5.2.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS
Exemplo teórico-prático 1. Determine a rotação ocorrente no apoio B da viga 
mostrada na figura a seguir e que tem E.I = 105 kN.m2. 
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(A) VIGA; (B) DESLOCABILIDADE
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 88).
#pratodosverem: ilustrações de (a) Viga e (b) Deslocabilidade.
Como não sabemos qual é a quantidade de rotação que ocorre no apoio B, só 
há uma forma de o sistema se mover, que é a deslocabilidade D1, mostrada 
na figura anterior (parte b). Por causa disso, só existem duas possibilidades de 
movimento, representadas na figura como casos (0) e (1).
CASOS (0) E (1) 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 88).
#pratodosverem: ilustrações de casos (0) e (1). 
Pela figura anterior, que mostra as reações de engastamento perfeito para 
algumas situações de carregamentos, podemos então determinar o valor de 
ß10. Essa é uma reação de momento que ocorre no apoio direito (MBA0) de 
uma viga duplamente engastada quando está sujeita a uma carga concen-
trada aplicada no meio do vão, juntamente com o valor da reação e do mo-
mento gerado no apoio esquerdo (MAB0) (VIEIRA; TORRES, 2018).
MAB
0 = P.L / 8 = 5.14 / 8 = 8,75 kN.m
MAB
0 = - P.L / 8 = 5.14 / 8 = - 8,75 kN.m = ß10
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Pela figura que mostra os coeficientes de rigidez locais para algumas situ-
ações de deslocamentos, podemos encontrar o valor de K11, que se trata do 
momento no apoio direito (MBA1) de uma viga engastada no lado oposto e 
que está submetida a uma rotação unitária, sendo que também podemos 
encontrar o momento no apoio esquerdo (MAB1): 
MAB
1 = (2.E.I) / L = 2.105 /14 = 1,42.104 kN.m / rad = K11
MAB
1 = (4.E.I) / L = 4.105 / 14 = 2,84.104 kN.m / rad = K11
Direcionando a montagem da equação de equilíbrio de momentos ocorren-
tes no nó B e após, resolvendo para D1, temos: 
ß10 + K11 . D1 = 0  -8,75 kN.m + 2,84.10
4 kN.m/rad . D1 = 0 
Temos: D1 = 0,0003077 rad.
Se D1 é positivo, isso significa que o giro está ocorrendo no mesmo sentido 
que o giro unitário aplicado em B no caso (1), ou seja, o giro D1 é no sentido 
anti-horário.
CONCLUSÃO
Para o método das forças, concluímos que se trata de uma técnicautilizada 
para analisar a estabilidade e a resistência de estruturas. Ele é baseado no 
princípio de que o equilíbrio de uma estrutura está relacionado ao equilíbrio 
das partes componentes. 
O método consiste em considerar as forças desconhecidas que atuam em 
cada elemento da estrutura e resolver as equações de equilíbrio para essas 
forças. As forças desconhecidas em cada elemento são determinadas pelas 
condições de equilíbrio e pela relação entre as forças e as deformações. Essas 
forças são calculadas para cada elemento e, em seguida, utilizadas para cal-
cular as chamadas reações de apoio e as forças internas em toda a estrutura.
O método das forças é uma técnica simples e fácil de aplicar, mas é menos 
preciso do que outros métodos mais complexos, como o método dos deslo-
camentos. Para aplicar o método das forças é necessário ter conhecimento 
prévio da geometria e das propriedades mecânicas de todos os elementos 
que em geral compõem a estrutura. O método é amplamente utilizado em 
engenharia civil e mecânica, principalmente em análises estruturais de edifí-
cios, pontes, torres, entre outros tipos de estrutura. Além disso, o método das 
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forças é útil na determinação de cargas e reações de apoio em estruturas su-
jeitas a cargas estáticas. Uma das principais vantagens do método das forças 
é que ele permite uma análise simplificada do comportamento estrutural, 
tornando possível a obtenção rápida de resultados que podem ser úteis na 
tomada de decisões. 
Para o método dos deslocamentos, concluímos que se trata de uma técnica 
utilizada para analisar a estabilidade e a resistência de estruturas. Ele é ba-
seado no princípio de que o equilíbrio de uma estrutura está relacionado ao 
equilíbrio das partes componentes. O método consiste em dividir a estrutura 
em partes menores, ou elementos, e resolver as equações de equilíbrio para 
cada elemento. Os deslocamentos desconhecidos em cada nó da estrutura 
são determinados pelas condições de equilíbrio e pela relação entre as forças 
e os deslocamentos. Esses deslocamentos são calculados para cada nó e, em 
seguida, são utilizados para calcular as forças em cada elemento. 
O método dos deslocamentos é uma técnica precisa, mas é mais complicado 
do que outros métodos mais simples, como o método das forças. Para aplicar o 
método dos deslocamentos é necessário ter conhecimento prévio da geome-
tria e das propriedades mecânicas dos elementos que compõem a estrutura. 
Uma das principais vantagens do método dos deslocamentos é que ele per-
mite uma análise detalhada e precisa do comportamento estrutural, conside-
rando-se as condições de contorno e as propriedades mecânicas dos mate-
riais utilizados na estrutura.
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MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, acesse os links a 
seguir:
1. VALLE, A. do; LA ROVERE, H. L.; PILLAR, N. M. de 
P. Apostila de Análise Estrutural I. Florianópolis: 
Universidade Federal de Santa Catarina, 2002.
2. CALDERÓN, E. T. Teoria das estruturas I: exercícios 
e tabelas. Goiânia: Universidade Estadual de Goiás, 
2014.
3. SCREMIN, J. J. Teoria das estruturas II: aula 06. 
[S.l.]: Universidade Positivo, 2021. 
4. ÁLVARES, M. da S. Teoria das estruturas II. Goiânia: 
Pontifícia Universidade Católica de Goiás, 2019. 
5. COSTA, J. B. da. Estruturas de concreto armado II. 
Goiânia: Pontifícia Universidade Católica de Goiás.
REFERÊNCIAS
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
UNIDADE 6
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
146
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
> Compreender o que 
é o método da rigidez 
e as matrizes de 
rigidez.
> Compreender 
o processo de 
Cross e a aplicação 
em estruturas 
indeslocáveis e 
deslocáveis.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
6 MÉTODO DA RIGIDEZ E 
PROCESSOS DE CROSS
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade, aprofundaremos o estudo do método dos deslocamentos, já 
abordado em unidades anteriores, e aprenderemos outros métodos para re-
solver estruturas hiperestáticas que se baseiam nele. 
O primeiro método apresentado será o método da rigidez, amplamente utili-
zado em programas computacionais de análise estrutural para resolver diver-
sos tipos de estruturas. Abordaremos desde os conceitos básicos da teoria das 
estruturas até a resolução de problemas mais avançados. Com a utilização da 
notação matricial, que facilita a programação do método, será possível apren-
der a analisar treliças, pórticos, vigas e outras estruturas hiperestáticas. Apre-
sentaremos alguns fundamentos matemáticos do método da rigidez até a 
aplicação prática em problemas reais. 
O segundo método que estudaremos é o processo de Cross, que é um método 
rápido e prático direcionado para a resolução da hiperestaticidade das vigas. 
Ao concluir esta unidade, você estará apto a resolver diferentes tipos de estru-
turas hiperestáticas e também poderá atuar na área de desenvolvimento de 
programas computacionais para análise estrutural. 
6.1 MÉTODO DA RIGIDEZ
A análise estrutural é uma área fundamental da engenharia civil e mecânica, 
que busca entender o comportamento de uma estrutura quando submetida 
a cargas externas. Vamos entender um pouco o que é o método da rigidez 
(MARTHA, 1993).
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Método da rigidez 
Técnica muito empregada em programas computacionais de análise 
estrutural direcionado para resolver estruturas mais complexas por 
meio da utilização de matrizes. 
Uso
Esse método é capaz de resolver qualquer tipo de estrutura 
hiperestática e, por isso, é amplamente utilizado em projetos de 
construção civil, mecânica e aeroespacial.
Análise
É amplamente utilizado para desenvolver softwares de análise 
estrutural, pois é facilmente programável e pode ser aplicado em 
qualquer tipo de estrutura. 
O método da rigidez é uma aplicação do método dos deslocamentos, porém, 
usando a notação matricial, o que o torna conhecido como análise matricial. 
É uma técnica utilizada para analisar estruturas e determinar as forças e os 
deslocamentos presentes em cada elemento. Ele é amplamente empregado 
em engenharia civil e mecânica, sendo um dos métodos mais utilizados na 
análise de estruturas hiperestáticas (MARTHA, 1993).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
VIADUTO: ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO
Fonte: ©freestockcenter, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um viaduto confeccionado em estrutura de concreto armado.
O método da rigidez se baseia na utilização de matrizes para representar as 
características de rigidez de cada elemento da estrutura, como módulo de 
elasticidade, momento de inércia e comprimento. Por meio dessas matrizes, 
é possível montar um sistema de equações que representa a estrutura como 
um todo e, assim, determinar as forças e os deslocamentos de cada elemento 
(GARRISON, 2018).
Uma das grandes vantagens do método da rigidez é a capacidade de lidar 
com estruturas complexas, como pontes suspensas e edifícios de vários anda-
res. Ele também pode ser facilmente programado em computadores, o que 
o torna uma ferramenta importante na análise estrutural (GARRISON, 2018).
O método da rigidez é um método aproximado e pode apresentar erros em 
estruturas com certas características, como a presença de grandes deforma-
ções. Por isso, é importante que o engenheiro responsável pela análise estru-
turaltenha conhecimento técnico adequado, além de experiência na aplica-
ção desse método.
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6.1.1 APLICAÇÃO EM TRELIÇAS
Segundo Kassimali (2016), o método da rigidez é uma técnica utilizada na 
análise estrutural de diversos tipos de estruturas, desde treliças até pórticos 
em duas ou três dimensões, e a aplicação se dá pela divisão da estrutura em 
elementos, em que cada barra em uma treliça é um elemento. 
Ainda segundo Kassimali (2016), a abordagem do método é computacional, 
utilizando cálculos matriciais que facilitam a programação.
O método da rigidez é uma técnica de análise 
estrutural que pode ser utilizada para resolver 
diversos tipos de estruturas como treliças, vigas ou 
pórticos, em duas ou três dimensões. Ele é uma 
simplificação do método dos elementos finitos e 
é baseado no método dos deslocamentos, com as 
mesmas etapas de cálculo (KASSIMALI, 2016).
Partindo para uma etapa prática para a aplicação do método da rigidez em 
treliças, é necessário, primeiramente, identificar e numerar os membros (bar-
ras) e os nós da treliça, que são as estruturas básicas que a compõem. Na 
figura a seguir é possível ver uma representação gráfica dessa numeração, 
em que os membros são numerados dentro de um quadrado e os nós são 
numerados dentro de um círculo. 
(A) TRELIÇA; (B) COORDENADAS LOCAIS DE UM MEMBRO
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 160).
#pratodosverem: ilustração de (a) uma treliça e (b) coordenadas locais de um membro.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Para definir o início e o fim de cada membro, é desenhada uma seta voltada 
para o nó final de cada um deles. Essa etapa é fundamental para a aplicação 
do método, pois, por meio da numeração dos elementos, é possível criar as 
matrizes de rigidez e resolver o sistema de equações que levará aos desloca-
mentos e esforços na estrutura.
Em seguida, é necessário estabelecer as coordenadas globais e locais. Para 
isso, utiliza-se o sistema de coordenadas globais x e y, que está definido na fi-
gura mostrada anteriormente, indicando direção e sentido para deslocamen-
tos nodais e forças externas que atuam na treliça. 
ESTRUTURA DE PONTE EM TRELIÇAS DE AÇO
Fonte: ©awesomecontent, Freepik (2023).
#pratodosverem: ponte feita em treliças de aço.
O próximo passo é a definição das coordenadas globais e os locais. As coorde-
nadas globais x e y, como mostrado na figura anterior, parte (a) são utilizadas 
para indicar a direção e o sentido dos deslocamentos nodais e das forças ex-
ternas aplicadas na treliça. Por outro lado, o sistema de coordenadas locais x’ 
e y’ é utilizado para apontar a direção e o sentido associado com deslocamen-
tos e esforços internos em cada membro. 
Os graus de liberdade são os movimentos que podem acontecer em um nó 
de uma estrutura. Ao se analisar uma treliça plana, cada nó pode ter três des-
locamentos possíveis: um na horizontal, um na vertical e uma rotação. No en-
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tanto, como a rotação nos nós de uma treliça é totalmente livre e não afeta os 
momentos fletores nas barras da treliça, ela não é considerada como uma in-
cógnita no problema. Os nós da treliça têm dois graus de liberdade (horizon-
tal e vertical) numerados de acordo com as coordenadas globais. Os graus de 
liberdade desconhecidos são numerados antes dos conhecidos para facilitar 
a resolução do problema.
6.1.2 MATRIZES DE RIGIDEZ
A matriz de rigidez de um membro é definida com base nas coordenadas lo-
cais e relaciona a força e o deslocamento em uma barra. Para barras de treliça, 
as forças e os deslocamentos ocorrem somente ao longo do eixo longitudi-
nal da barra. Quando um deslocamento unitário é aplicado ao longo do eixo 
longitudinal de uma barra de comprimento L, as forças nas extremidades da 
barra são dadas pelo coeficiente de rigidez local E.A/L e agem em direções 
opostas (VIEIRA; TORRES; 2018).
Dessa forma, se o deslocamento aplicado na extremidade da barra não for 
unitário, pode-se obter a força necessária em cada extremidade da barra sim-
plesmente multiplicando o coeficiente de rigidez local pelo valor do deslo-
camento aplicado. Na figura a seguir são apresentados três casos possíveis 
ocorrentes de deslocamentos axiais que podem estar ocorrendo em uma 
barra de treliça.
DESLOCAMENTOS AXIAIS POSSÍVEIS EM UMA BARRA DE TRELIÇA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 162).
#pratodosverem: deslocamentos axiais possíveis em uma barra de treliça.
No caso (1), um deslocamento di é aplicado no nó inicial da barra da treliça, o 
que causa a ocorrência de forças f’i e f ’f nos nós inicial e final da barra, respec-
tivamente. A força f’i é positiva no sentido positivo do eixo x’ local, enquanto f’f 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
é negativa no sentido negativo do eixo x’. Os valores dessas forças são deter-
minados pelo coeficiente de rigidez local da barra. Desse modo, temos:
f ' i= E . A
L
di e f ’f¿ E . A
L
di
No caso (2), um deslocamento df é aplicado no nó final da barra. Isso causa o 
surgimento de forças f’’i e f ’’f nos nós inicial e final da barra, respectivamente. 
A força f’’i é negativa, pois está no sentido negativo do eixo x’, enquanto a for-
ça f’’f é positiva, pois está no sentido positivo do eixo x’. As forças têm valores 
dados por:
f ' ' i= E . A
L
d e f
' ' f= E . A
L
d
No caso (3) ocorre a aplicação de deslocamentos localizados (ambas as extre-
midades da barra), sendo um no nó inicial e outro no nó final. As forças fi e 
ff que surgem nas extremidades da barra são obtidas pela superposição dos 
casos (1) e (2).
fi= E . A
L
di E . A
L
df e ff=
E . A
L
di E . A
L
f
De modo geral, essas equações podem ser descritas na forma matricial, con-
forme a seguir: 
[ fiff ]= E . AL [ 1 111 ][ didf ]  f = k’d, em que k'= E . AL [ 1 111 ]
A matriz k’ é conhecida como matriz de rigidez do membro e é igual para 
todas as barras de uma treliça. Tomando por base o conhecimento dos deslo-
camentos nas extremidades da barra, podemos usar a equação mencionada 
anteriormente para determinar o valor da força axial atuando na barra.
A matriz k’ representa a rigidez de um membro em relação às coordenadas 
locais x’ e y’. Para utilizar a matriz de rigidez em uma barra com um sistema 
de coordenadas local diferente do global, é necessário realizar a transforma-
ção para as coordenadas globais x e y, já que cada barra de uma treliça pode 
apresentar um posicionamento e sistema de coordenadas locais distintos. Por 
exemplo, se uma barra estiver inclinada em relação às coordenadas globais, 
como mostrado na figura a seguir, é necessário realizar uma transformação 
para utilizar a matriz k’ nessas coordenadas (VIEIRA; TORRES; 2018).
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Depois de obtermos a matriz de rigidez global 
(k) para cada parte da treliça, podemos calcular 
a matriz de rigidez da treliça (K) somando as 
matrizes de rigidez de cada parte. A ordem da 
matriz de rigidez da treliça (K) será determinada 
pelo número de graus de liberdade da treliça. Cada 
matriz de rigidez individual (k) contribuirá para as 
posições dos graus de liberdade nas extremidades 
da parte correspondente (VIEIRA; TORRES; 2018).
6.1.3 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS 
Segundo Souza (2017), a matriz de rigidez é uma ferramenta importante na 
análise estrutural, usada para determinar as forças e os deslocamentos em 
uma estrutura. Uma aplicação comum da matriz de rigidez ocorre na análise 
de estruturas de treliça.
Um exemplo teórico-prático seria a análise de umaponte em treliça. A matriz 
de rigidez seria usada para determinar as forças e os deslocamentos nos ele-
mentos da treliça, levando em conta as propriedades mecânicas dos mate-
riais utilizados na construção da ponte e as condições de contorno.
Suponha que a ponte seja composta de quatro elementos de treliça e que a 
matriz de rigidez de cada elemento seja conhecida. Para determinar as forças 
e os deslocamentos em cada elemento, a matriz de rigidez global da treliça 
seria calculada combinando as matrizes de rigidez individuais dos elementos.
Uma vez que a matriz de rigidez global é conhecida, as forças e os desloca-
mentos em cada elemento podem ser calculadas usando as equações de 
equilíbrio. Isso permitiria aos engenheiros determinar a força total exercida 
sobre a ponte e as tensões em cada elemento da treliça. Com essas informa-
ções, os engenheiros podem garantir que a ponte seja segura e capaz de su-
portar a carga que será colocada sobre ela (SOUZA, 2017).
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Embora a montagem manual da matriz de rigidez 
da estrutura possa ser um processo trabalhoso, 
é importante destacar como esse processo pode 
ser facilmente implementado em programas de 
computador que realizam análises estruturais. Isso 
permite que estruturas complexas sejam resolvidas 
de forma rápida e eficiente por meio de softwares 
especializados. Além disso, a utilização de programas 
de computador para análises estruturais permite a 
aplicação de diferentes métodos numéricos, o que 
pode aumentar a precisão das soluções obtidas e 
simplificar o trabalho dos engenheiros no projeto e 
na análise de estruturas (NUNES; VIEIRA, 2020).
Segundo Martha (2010), em resumo, podemos considerar os quatro tópicos 
seguintes para explicar o método da rigidez.
Método
O método da rigidez é uma técnica de análise estrutural que utiliza 
a matriz de rigidez da estrutura para determinar as forças e os 
deslocamentos nos elementos dela.
Formação 
A matriz de rigidez é formada pela soma das matrizes de rigidez dos 
elementos da estrutura, considerando as condições de contorno e as 
restrições impostas.
Resolução 
A matriz de rigidez é resolvida por meio do método de Gauss ou de 
outro método de resolução de sistemas lineares para obter as forças e 
deslocamentos em cada elemento da estrutura.
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Aplicação 
O método da rigidez é amplamente utilizado na engenharia civil e 
mecânica para projetar e analisar estruturas complexas, como pontes, 
edifícios, torres e máquinas.
6.2 PROCESSO DE CROSS
O processo de Cross é um método rápido e eficiente para resolver estruturas 
hiperestáticas, principalmente para vigas, e utiliza o método dos deslocamen-
tos e a distribuição de momentos. É um método iterativo que envolve etapas 
simples e rápidas e é conhecido como um critério de parada para determinar 
a precisão desejada. Esse método é uma ferramenta útil para solucionar es-
truturas hiperestáticas mais simples.
O processo de Cross permite a utilização de tabelas 
e gráficos pré-compilados para diferentes tipos de 
carregamentos, reduzindo ainda mais o tempo 
necessário para realizar a análise estrutural. Porém, 
é importante ressaltar que o método só é válido 
para estruturas que atendem a certas condições, 
como a existência de apenas um grau de rotação 
em cada nó da viga. Em casos mais complexos, é 
necessário recorrer a outros métodos de análise 
estrutural (PEREIRA, 2019). 
6.2.1 DEFINIÇÃO E APLICAÇÕES
O processo de Cross é uma técnica iterativa utilizada para analisar estruturas 
hiperestáticas, como vigas, pórticos planos, grelhas e pórticos espaciais. Ele 
se baseia no equilíbrio dos nós da estrutura, em que a soma dos momentos 
aplicados deve ser nula, e utiliza o método dos deslocamentos para realizar a 
análise.
O processo começa com a suposição de que todos os nós da estrutura estão 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
fixos, o que permite o cálculo dos momentos de engastamento perfeito nas 
extremidades das barras. Em seguida, a rotação de um nó é liberada, permi-
tindo a distribuição dos momentos para as barras adjacentes com base na 
rigidez de cada uma. Esse processo é repetido, liberando-se um nó de cada 
vez, até que um critério de parada definido seja alcançado (PEREIRA, 2019).
O processo de Cross é particularmente útil para a análise de vigas hiperes-
táticas, pois a principal ideia é que, para que os nós da estrutura estejam em 
equilíbrio, a soma dos momentos nas extremidades das barras que chegam a 
um nó deve ser igual a zero. Isso torna o processo rápido e prático para resol-
ver esse tipo de estrutura.
É importante ressaltar que o critério de parada deve ser definido com cuida-
do, pois influencia diretamente na precisão da resposta obtida. O método é 
eficiente para vigas hiperestáticas, mas pode ser aplicado a outros tipos de 
estruturas também.
EXECUÇÃO DE ELEMENTO ESTRUTURAL DE ENGENHARIA
Fonte: ©another69, Freepik (2023).
#pratodosverem: execução de elemento estrutural de engenharia, em que trabalhadores 
preenchem estrutura com concreto.
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Após a aplicação do processo de Cross e a distribuição dos momentos em 
cada nó da estrutura, é possível calcular as reações de apoio e traçar os dia-
gramas de momento fletor e força cortante da estrutura. É importante res-
saltar que, durante o processo, é adotada a convenção de sinais em que os 
momentos que atuam no sentido anti-horário são considerados positivos, 
enquanto os momentos que atuam no sentido horário são considerados ne-
gativos. Dessa forma, na análise de uma barra, o momento na extremidade 
esquerda será considerado positivo e o momento na extremidade direita será 
negativo (PEREIRA, 2019). 
VIGA COM A CONVENÇÃO DE SINAIS – PROCESSO DE CROSS 
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: ilustração de uma viga com a convenção de sinais: processo de Cross.
Segundo Leet, Uang e Gilbert (2010), geralmente, na 
representação gráfica das estruturas, os momentos 
positivos são indicados por setas no sentido anti-
horário, enquanto os momentos negativos são 
indicados por setas no sentido horário. Essa convenção 
pode variar de acordo com a literatura ou a convenção 
adotada pela instituição ou país em questão.
6.2.2 ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS
Segundo Ribeiro et al. (2017), as estruturas indeslocáveis são aquelas que não 
permitem o deslocamento lateral, sendo comuns em projetos de engenharia 
civil. Pórticos com contraventamentos ou outros mecanismos que impedem 
o deslocamento lateral dos nós são exemplos de pórticos indeslocáveis, assim 
como vigas rigidamente fixadas nos apoios. Essas estruturas são compostas 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
de elementos rígidos, como vigas e pórticos, que impedem o deslocamento 
lateral dos nós.
VIGA INDESLOCÁVEL
Fonte: elaborada pelo autor (2023). 
#pratodosverem: esquema de uma viga indeslocável.
Em outras palavras, uma estrutura indeslocável é aquela que apresenta alta 
rigidez e pouca deformação sob a ação de cargas externas. Essas estruturas 
são importantes na engenharia civil, pois podem ser utilizadas em projetos 
em que é necessária alta resistência e estabilidade.
Antes de utilizar o processo de Cross nessas estruturas, serão apresentadas 
algumas definições.
6.2.2.1 MOMENTOS DE ENGASTAMENTO 
PERFEITO (MEPS)
Os momentos de engastamento são os momentos que surgem nas extremi-
dades de uma barra quando ela está fixa. Esses momentos são iguais aos que 
foram mencionados anteriormente. 
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ANÁLISE ESTRUTURAL IIMULTIVIX EAD
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Os momentos de engastamento perfeito, ou MEPs, são importantes para de-
terminar as reações de apoio e traçar os diagramas de momento fletor e força 
cortante de uma estrutura, especialmente em vigas hiperestáticas, nas quais 
o processo de Cross é utilizado.
6.2.2.2 COEFICIENTE DE RIGIDEZ
O coeficiente de rigidez local, mencionado anteriormente, é aplicado quando 
um giro unitário ocorre na extremidade de uma barra e a extremidade oposta 
está engastada. Nessa situação, um momento de (4.E.I)/L deve ser aplicado 
na extremidade objetivando manter a barra deformada, conforme mostrado 
na figura a seguir, parte (a). Caso a extremidade oposta esteja articulada, o 
coeficiente de rigidez da barra será diferente e igual a (3.E.I)/L, conforme ilus-
trado na figura a seguir, parte (b).
COEFICIENTE DE RIGIDEZ
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 197).
#pratodosverem: esquemas de coeficientes de rigidez: (a) extremidade oposta engastada e 
(b) extremidade oposta articulada.
O coeficiente de rigidez é uma medida da resistência 
de uma estrutura à deformação sob carga. Ele 
é influenciado por fatores como o material da 
estrutura, as dimensões das seções transversais, o 
comprimento da barra e as condições de contorno nas 
extremidades da estrutura. É importante determinar 
corretamente o coeficiente de rigidez ao analisar 
estruturas, pois ele pode afetar significativamente o 
comportamento da estrutura sob carga. Além disso, 
o coeficiente de rigidez pode ser usado para projetar 
estruturas mais eficientes e para otimizar o uso dos 
materiais de construção (VIEIRA, TORRES, 2018).
161
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
6.2.2.3 FATOR DE PROPAGAÇÃO
O fator de propagação é um parâmetro usado na análise de vigas e refere-se 
à parcela do momento que é transmitida de uma extremidade engastada 
para a outra extremidade engastada da viga. Em uma viga com ambas as 
extremidades engastadas, o momento total é dividido igualmente entre as 
duas extremidades. Se apenas uma extremidade estiver engastada, metade 
do momento gerado pela carga é transmitido para a extremidade livre da 
viga, enquanto a outra metade é suportada pela extremidade engastada. Por 
exemplo, em uma viga com uma extremidade engastada e outra livre, sujeita 
a uma carga concentrada na extremidade livre, o momento máximo ocorre 
na extremidade engastada e é igual a metade do momento gerado pela car-
ga (SOUZA, 2017).
Esse fator de propagação é importante na análise de vigas e deve ser levado 
em consideração na determinação dos momentos máximos na viga e das 
reações de apoio. 
6.2.2.4 COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO
Quando um momento M é aplicado em um nó que está conectado a n bar-
ras, cada barra resistirá a uma parcela do momento, conhecida como coefi-
ciente de distribuição. Esse coeficiente é calculado dividindo a rigidez da bar-
ra em questão pela soma das rigidezes de todas as barras conectadas ao nó. 
O objetivo é garantir que a soma dos momentos nas extremidades de todas 
as barras seja igual ao momento total no nó, mantendo assim o equilíbrio. O 
coeficiente de distribuição pode ser calculado pela seguinte equação: 
= k
i=1
n
ki
Em que:
K  Coeficiente de rigidez da barra analisada 
Ki Coeficiente de rigidez das n barras (enésimas barras) ligadas aos nós da 
estrutura. 
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Segundo Lopez (2018), se um nó em uma estrutura 
tem três barras conectadas a ele, então haverá 
três coeficientes de distribuição correspondentes 
– um para cada barra. Utilizando essa abordagem, 
podemos usar o processo de Cross para resolver 
estruturas hiperestáticas, como vigas.
6.2.3 ESTRUTURAS DESLOCÁVEIS 
Segundo Ribeiro et al. (2017), estruturas deslocáveis são aquelas que têm des-
locamentos laterais nos nós, o que significa que os nós podem se mover em 
direções horizontais ou verticais em relação à posição original da estrutura. 
Esses deslocamentos podem ser causados por forças externas, como vento, 
ou por variações de temperatura.
ESTRUTURA DE PISO, LAJES E PILARES EM CONCRETO ARMADO 
Fonte: ©klingsup, Freepik (2023).
#pratodosverem: estrutura de piso, lajes e pilares em concreto armado.
A análise de estruturas deslocáveis é fundamental para garantir segurança e 
estabilidade em diferentes áreas da engenharia. Para resolver essas estrutu-
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
ras, é necessário aplicar o método dos deslocamentos e o processo de Cross, 
que permitem determinar as forças e os deslocamentos em cada elemento 
da estrutura. A análise de deslocabilidade considera apenas os deslocamen-
tos laterais dos nós. Usando a superposição de efeitos, é possível decompor 
a estrutura em casos mais simples e obter resultados precisos e confiáveis. A 
análise de estruturas deslocáveis é essencial para garantir a integridade da 
estrutura e das pessoas que a utilizam.
PÓRTICO HIPERESTÁTICO DESLOCÁVEL 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 204).
#pratodosverem: esquema de um pórtico deslocável.
Desse modo, o diagrama de momentos fletores reais da estrutura é dado por:
M = M0 + M1.D1
Em resumo, para obter os diagramas de momentos fletores em uma estru-
tura, é aplicado o processo de Cross aos casos (0) e (1) para determinar os 
momentos em cada barra e equilibrá-las, cada uma, isoladamente para en-
contrar as reações de apoio. Em seguida, é utilizada a equação de equilíbrio 
das forças horizontais no nó com deslocabilidade para encontrar o valor de 
D1 e, assim, determinar o diagrama de momentos fletores M. Esse método é 
essencial para análise de estruturas e garantir a segurança e estabilidade de 
diferentes tipos de construções (SOUZA, 2017).
6.2.4 APLICAÇÃO E EXEMPLOS TEÓRICO-
PRÁTICOS
Vamos determinar os momentos fletores para a viga mostrada a seguir, utili-
zando os passos do processo de Cross. 
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VIGA: EXEMPLO TEÓRICO-PRÁTICO 
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 195).
#pratodosverem: esquema de uma viga com quatro vínculos.
Para estabelecer o ponto de término da iteração será adotado como cri-
tério a interrupção quando os momentos atingirem valores inferiores a 0,1 
kN.m, que podem ser arredondados para zero. Esse critério indica que, à 
medida que a magnitude dos momentos diminui, a contribuição para a 
resposta total da estrutura se torna insignificante, justificando a finaliza-
ção do processo iterativo.
Essa abordagem é comumente utilizada em análises estruturais iterativas, 
pois permite que se alcance uma solução aproximada da estrutura, com um 
número finito de iterações. Ao adotar esse critério de parada, o analista pode 
economizar tempo e recursos computacionais, sem comprometer significa-
tivamente a precisão da solução.
Para a resolução, devemos então isolar, conforme será apresentado na fi-
gura a seguir, os três trechos da viga e, após, determinamos então os mo-
mentos de engastamento perfeito e os respectivos coeficientes de rigidez 
de cada trecho: 
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
TRECHOS DA VIGA ANALISADA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 205).
#pratodosverem: trechos da viga analisada no exemplo teórico-prático.
Fazendo a distribuição de momentos, temos:
DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS DA VIGA ANALISADA
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 206).
#pratodosverem: distribuição de momentos da viga analisada no exemplo teórico-prático.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II 
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Segundo Vieira e Torres (2018), é relevante destacar que, como o método de 
Cross é um processo iterativo que utiliza sucessivas estimativas, pequenas 
discrepâncias nos momentos dos nós podem ser consideradas aceitáveis. A 
partir dos valores dos momentos fletores em cada nó da viga, é possível gerar 
o diagrama de momentos fletores. No entanto, é importante ter em mente 
que, por ser um método aproximado, o resultado final do processo de Cross 
pode apresentar algumas diferenças em relação ao resultado exato. Quan-
to mais iterações forem realizadas, mais próximo o resultado do processo de 
Cross estará do resultado exato. Para ilustrar essas diferenças, a figura subse-
quente exibe o diagrama de momentos fletores exato da viga em questão, 
obtido por meio do software Ftool.
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES GERADO PELO PROGRAMA FTOOL, COM 
VALORES EXATOS
Fonte: adaptada de Vieira e Torres (2018, p. 207).
#pratodosverem: diagrama de momentos fletores, gerado pelo programa Ftool, com valores 
exatos.
Antes de determinar os valores dos momentos máximos em cada seção da 
viga, é crucial obter as reações de apoio e desenhar o diagrama de força cor-
tante da viga. Os métodos para realizar essas etapas serão explicados a seguir.
Segundo Vieira e Torres (2018), em resumo, podemos considerar então os 
quatro tópicos seguintes para resumir o processo de Cross: 
Método
Dividir a estrutura em segmentos menores, em que cada segmento é 
composto de duas barras adjacentes.
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ANÁLISE ESTRUTURAL II
Aplicação 
Calcular os coeficientes de distribuição de cada segmento da 
estrutura, levando em consideração as condições de apoio, a 
geometria da estrutura e as propriedades dos materiais utilizados.
Segmentação 
Aplicar o processo de Cross em cada segmento, que consiste em 
escrever as equações de equilíbrio e deslocabilidade do segmento e 
resolver o sistema de equações para obter os valores dos momentos 
fletores nos nós.
Repetição 
Repetir o processo de Cross para todos os segmentos da estrutura, 
considerando as condições de continuidade nos nós compartilhados 
pelos segmentos adjacentes, até que os valores dos momentos fletores 
em todos os nós da estrutura sejam determinados.
CONCLUSÃO
Nesta unidade, foi abordado o método da rigidez e o processo de Cross. O mé-
todo da rigidez consiste em utilizar as propriedades de rigidez dos elementos 
de uma estrutura para determinar as forças e os deslocamentos em cada nó, 
permitindo obter as reações de apoio e os diagramas de esforços internos da 
estrutura. É especialmente útil para resolver estruturas hiperestáticas. 
Já o processo de Cross é uma técnica utilizada para resolver estruturas hipe-
restáticas dividindo-as em subestruturas isostáticas, permitindo calcular as 
reações de apoio, deslocamentos e esforços em cada elemento da estrutura 
original. É um método aproximado e quanto mais subestruturas isostáticas 
forem utilizadas, mais precisa será a solução obtida. Ambos os métodos são 
amplamente utilizados na engenharia civil e mecânica para projeto e dimen-
sionamento de estruturas.
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MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, acesse os links a 
seguir:
1. NUNES, D. C.; VIEIRA, G. S. Aplicação do método da 
rigidez direta para uma treliça espacial. Trabalho 
de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia 
Civil) — Universidade Federal de Uberlândia, 
Uberlândia, 2020.
2. SOUZA, F. R. V. Implementação computacional do 
método da rigidez direta para análise de sistemas 
estruturais planos. Monografia (Graduação em 
Engenharia Civil) — Universidade Federal de Ouro 
Preto, Ouro Preto, 2017.
3. RIBEIRO, L. F. S. et al. Aplicação do método da 
rigidez direta na análise matricial de treliças planas 
indeterminadas estaticamente. Instituto Federal 
de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás, 
Itumbiara, out. 2017.
4. PEREIRA, O. J. B. A. Introdução ao método de 
Cross. Lisboa: IST Técnico Lisboa, 2019.
5. MARTHA, L. F. Método da rigidez direta sob um 
enfoque matricial. Rio de Janeiro: PUC-Rio, 1993.
https://repositorio.ufu.br/bitstream/123456789/28112/1/AplicaçãoMétodoRigidez.pdf
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https://www.monografias.ufop.br/bitstream/35400000/398/1/MONOGRAFIA_ImplementaçãoComputacionalMétodo.pdf
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http://www.civil.ist.utl.pt/~orlando/ae1/MCross.pdf
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https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/LFMartha-CalculoMatricialEstruturas.pdf
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http://acd.ufrj.br/~pead/tema06/por-tm06.html
http://acd.ufrj.br/~pead/tema06/por-tm06.html
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CONHEÇA TAMBÉM NOSSOS CURSOS DE PÓS-GRADUAÇÃO A DISTÂNCIA NAS ÁREAS DE:
SAÚDE • EDUCAÇÃO • DIREITO • GESTÃO E NEGÓCIOS
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EAD.MULTIVIX.EDU.BR
CONHEÇA TAMBÉM NOSSOS CURSOS DE PÓS-GRADUAÇÃO A DISTÂNCIA NAS ÁREAS DE:
SAÚDE • EDUCAÇÃO • DIREITO • GESTÃO E NEGÓCIOS
	Apresentação da disciplina
	1. INTRODUÇÃO E TEOREMAS FUNDAMENTAIS
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	1.1 CONCEITOS BÁSICOS DE ESTRUTURA E CLASSIFICAÇÃO
	1.2 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ANÁLISE ESTRUTURAL
	2. ESTUDO DA HIPERESTATICIDADE
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	2.1 ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 
	2.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS DE GRAU 1
	3. ESTUDO DA HIPERESTATICIDADE – PARTE 2
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	3.1 ESTRUTURAS COM GRAUS MÚLTIPLOS DE HIPERESTATICIDADE
	3.2 OUTROS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
	4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS FORÇAS E DO DESLOCAMENTO
	INTRODUÇÃO
	4.1 MÉTODO DAS FORÇAS E DO DESLOCAMENTO
	4.2 TEOREMA DE CASTIGLIANO 
	5. MÉTODOS DAS FORÇAS E DO DESLOCAMENTO 
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	5.1 MÉTODO DAS FORÇAS: APROFUNDAMENTO
	6 MÉTODO DA RIGIDEZ E PROCESSOS DE CROSS
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	6.1 MÉTODO DA RIGIDEZ
	6.2 PROCESSO DE CROSS
	Estrutura
	Materiais usados em construções
	Estrutura com arcos
	Tipos mais importantes de estruturas reticulares
	Estruturação em obra
	Estruturas reticulares
	Equação estática
	Obra sendo inspecionada
	Forças que podem ser atuantes ou existentes em um sólido
	Energia acústica
	Estrutura metálica 
	Estrutura metálica
	Estrutura metálica
	Estrutura metálica
	Energia de deformação e energia complementar
	Estrutura de concreto armado
	Estruturas de concreto armado
	Pilares de concreto armado
	Estruturas hipoestáticas
	Estruturas isostáticas
	Estruturas hiperestáticas
	Estrutura externamente hiperestática
	Estrutura internamente hiperestática
	Pórtico 
	Estrutura isostática
	Estrutura hiperestática
	Engenheiro
	Estruturas
	Vigas com um grau hiperestático
	Pórtico com um grau hiperestático
	Treliças 
	Treliça com um grau hiperestático
	Pórtico com um grau hiperestático
	Treliça com um grau hiperestático – internamentehiperestática
	Modelos de rótulas
	Modelos de rótulas
	Estruturas de engenharia
	Estruturas de engenharia
	Vigas (A e B) com múltiplos graus de hiperestaticidade
	Alguns tipos de pórtico
	Pórticos (A e B) com múltiplos graus de hiperestaticidade
	Proposta 2 de pórtico para a parte frontal do hotel
	Cálculo do grau de hiperestaticidade da proposta 2 de pórtico para a parte frontal do hotel
	Estrutura projetada pelo grupo de engenharia de manutenção
do shopping
	Segunda estrutura projetada pelo grupo de engenharia de manutenção do shopping
	Estruturas estáveis de engenharia
	 Ponte com treliças
	Dois tipos de treliças que apresentam dois graus de hiperestaticidade
	Início da resolução da treliça internamente hiperestática
	Projeto da ponte
	Projeto de pórtico proposto 
	Projeto de treliça proposto
	Projeto da ponte ferroviária treliçada
	Estruturas de engenharia
	Viga hiperestática 
	Estruturas de engenharia
	Confecção de ferragem para viga de concreto armado
	(a)Corpo submetido a diversas forças externas. (b) Corpo sujeito à aplicação de uma força virtual externa P’
	Confecção de edificação em concreto armado
	(a) Viga com carga distribuída real e (b) Viga com força virtual 
	Relação entre momento fletor (M) o giro da seção transversal θ para material elástico linear
	Viga com carga real P aplicada na extremidade livre
	Treliça de cobertura
	(a) Esforços normais (N’) gerados pela força virtual; (b) Esforços normais (N) gerados pelo carregamento real
	Viga hiperestática 
	Confecção de edificação em concreto armado 
	Viga hiperestática desmembrada 
	Viga hiperestática com 4 apoios
	Estrutura de concreto armado
	Estrutura de concreto armado
	Viga hiperestática (a) e isostática (b)
	Exemplo de superposição
	Exemplo de viga com carregamento uniforme distribuído
	Viga sem uma vinculação
	(a) Carregamento (real e força virtual) no caso (0); (b) Carregamento (real e força virtual) no caso (1)
	Viga hiperestática 
	Edificação em andamento com estrutura em concreto armado
	(a) Pórtico hiperestático; (b) Magnitudes de deslocamento; (c) Sistema hipergeométrico 
	Superposição dos casos básicos 
	a) Reações nos apoios fictícios para o caso (0); (b) Forças nos apoios fictícios para o caso (1)
	Reações de engastamento perfeito para algumas situações de carregamentos
	Coeficientes de rigidez locais para algumas situações de deslocamentos
	(a) Viga; (b) Deslocabilidade
	Casos (0) e (1) 
	Viaduto: estrutura de concreto armado
	(a) Treliça; (b) Coordenadas locais de um membro
	Estrutura de ponte em treliças de aço
	Deslocamentos axiais possíveis em uma barra de treliça
	Execução de elemento estrutural de engenharia
	Viga com a convenção de sinais – Processo de Cross 
	Viga indeslocável
	Coeficiente de rigidez
	Estrutura de piso, lajes e pilares em concreto armado 
	Pórtico hiperestático deslocável 
	Viga: exemplo teórico-prático 
	Trechos da viga analisada
	Distribuição de momentos da viga analisada
	Diagrama de momentos fletores gerado pelo programa Ftool, com valores exatos