Movimento Harmônico Simples

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 d
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fe
ve
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.
Para a associação de molas em série, vamos aplicar uma força de intensidade F. As 
molas M1 e M2 ficam submetidas à mesma força de intensidade F e sofrem deformações x1 
e x2 (fig. 19).
Essas deformações são expressas pelas fórmulas:
Por exemplo, ao cortarmos uma mola de constante elástica k em duas partes iguais, cada 
parte terá constante elástica 2k. De fato, sejam k1 e k2 as constantes elásticas das partes. 
Como são idênticas, temos k1  k2. Associando as partes em série, recompomos a mola inicial 
de constante elástica k. Portanto:
 
1
 __ 
k
  
1
 __ 
k1
  
1
 __ 
k2
 ] 
1
 __ 
k
  
1
 __ 
k1
  
1
 __ 
k1
 ]
] 
1
 __ 
k
  
2
 __ 
k1
 ] k1  2k
Associando-se as partes em paralelo, a mola equivalente tem constante elástica 4k.
 
1
 __ 
ks
  
1
 __ 
k1
  
1
 __ 
k2
 
x1  
F
 __ 
k1
 x2  
F
 __ 
k2
 
A mola equivalente, sob a ação da força de intensidade F, sofre uma deformação x tal 
que x  
F
 __ 
ks
 .
Sendo x  x1  x2, vem: 
F
 __ 
ks
  
F
 __ 
k1
  
F
 __ 
k2
 ; logo:
 Figura 19. (A) Associação em série de duas molas; (B) mola equivalente.
A
F
F
M1
M2
F
x1
x2
B
F
x = x1 + x2
k s
 Para um amortecimento 
mais eficiente, é usada uma 
associação de molas nos 
bancos de algumas bicicletas.
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.
Seção 16.5
 Objetivos
 Analisar, para pequenas 
oscilações, o movimento 
realizado por um pêndulo 
simples, desprezando-se 
a resistência do ar.
 Relacionar o período 
e a frequência de 
oscilação do pêndulo 
ao comprimento do fio 
e à aceleração local da 
gravidade.
 Termos e conceitos
• pequenas oscilações
Para pequenos ângulos podemos escrever tg J 7 sen J. Sendo
P  mg e sen J  
x
 __ 
L
 vem:
F  2 P 3 tg J
F  @ 2 
mg
 ____ 
L
 # 3 x
• para pequenas oscilações, de abertura não superior a 10w, a esfera 
pendular realiza movimento harmônico simples (MHS);
• o período desse MHS é T  2s dll
 
L
 __ g , em que L é o comprimento do fio 
e g a aceleração local da gravidade.
Pêndulo simples
Pêndulo simples é um sistema constituído por uma partícula de massa m, 
suspensa por um fio ideal (fig. 20).
Ao oscilar em torno de sua posição de equilíbrio O, desprezadas as re-
sistências, o pêndulo sim ples realiza um movimento periódico (fig. 21).
Na figura 22 representamos as forças que agem na esfera numa 
posição genérica P: o peso P e a tração T.
Admitindo o ângulo de abertura bem pequeno, o arco + AB pode ser 
considerado praticamente re tilíneo e, desse modo, a força resultante 
F  P  T tem a direção do eixo Ox e está orientada para a po si ção de 
equilíbrio O, sendo portanto uma força restauradora.
Do triângulo destacado (fig. 23) e levando-se em conta o sentido do 
eixo Ox, concluímos que o valor algébrico de F é:
 Figura 22.
AB
O
x
θ
P
P
T
 Figura 23.
O
x
θ
P
θ
L
x
T
F
P
O
m
L
 Figura 20.
AB
O
L
 Figura 21.
Vamos provar que:
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Sendo a intensidade da força restauradora proporcional à abscissa x da esfera, concluímos 
que esta realiza um movimento harmônico simples.
Sendo T  2s dll
 
m
 __ 
k
 , obtemos:
Observe que o período do pêndulo 
simples não depende da massa da esfera 
pendular.
Conteúdo digital Moderna PLUS http://www.modernaplus.com.br
Atividade Experimental: O pêndulo simples
exercícios propostos
P. 408 Considere os sistemas representados nas figuras I e II, formados por duas molas idênticas de 
constante elástica k. Os blocos A e B, ligados às molas, possuem mesma massa m. Despreze os 
 atritos. O bloco A oscila com período TA, e o bloco B, com período TB. Calcule a relação 
TA ___ 
TB
 .
P. 409 (Unicamp-SP) Um antigo relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno gaúcho. Considerando 
que o período do pêndulo desse relógio é dado por:
P. 410 (Fuvest-SP) O pêndulo de Foucault 2 popularizado pela famosa obra de Umberto Eco 2 consis-
tia de uma esfera de 28 kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio de 67 m de 
comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com 
o seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte fórmula:
T  2s dll
 L __ g 
L
 em que L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração local da gravidade, pergunta-se:
a) Esse relógio atrasará ou adiantará quando transportado para o quente verão nordestino?
b) Se o relógio for transportado do Nordeste para a superfície da Lua, nas mesmas condições 
de temperatura, ele atrasará ou adiantará?
 Justifique as respostas.
T  2s dll
 L __ g 
 Adote g  10 m/s2 e dlll 10  s.
a) Qual é o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos.
b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos a sua massa?
 Figura I. Figura II.
BA
T  2s d
lllll
 
m
 ______ 
 @ mg
 ____ 
L
 # 
 ] T  2s dll
 
L
 __ g 
Para o cálculo do período comparamos
F  2kx com F  @ 2 
mg
 ____ 
L
 # 3 x e concluímos 
que k  
mg
 ____ 
L
 .
No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph14br/pendulum_br.htm (acesso em agosto/2009)
você pode analisar a oscilação de um pêndulo simples, acompanhando a variação da elongação, da velocidade, da 
aceleração tangencial, da força e da energia em função do tempo.
Entre na redeEntre na rede
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