Apostilas CHCS_Matematica_Financeira_2022 (1) ENS

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
REALIZAÇÃO
ESCOLA DE NEGÓCIOS E SEGUROS
SUPERVISÃO E COORDENAÇÃO METODOLÓGICA
DIRETORIA DE ENSINO SUPERIOR 
ASSESSORIA TÉCNICA
ILDEBRANDO NERES JUNIOR – 2022/2021
PRISCILA AGUIAR DA SILVA – 2022/2021/2020
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO
ESCOLA DE NEGÓCIOS E SEGUROS – GERÊNCIA DE CONTEÚDO E PLANEJAMENTO
PICTORAMA DESIGN
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Negócios e Seguros – ENS
E73m Escola de Negócios e Seguros. Diretoria de Ensino Técnico.
 Matemática financeira / Coordenação metodológica da Diretoria de Ensino 
 Técnico; assessoria técnica de Priscila Aguiar da Silva e Ildebrando Neres 
 Júnior. -- 12.ed. -- Rio de Janeiro: ENS, 2022.
 3,95 Mb ; PDF 
 1. Matemática financeira. I. Silva, Priscila Aguiar da. II. Neres Júnior, Ildebrando. III.Título.
 0021-2589 CDU 511(072)
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele, 
sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola.
12ª EDIÇÃO
RIO DE JANEIRO
2022
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A 
ENS, promove, desde 1971, diversas iniciativas no âmbito 
 educacional, que contribuem para um mercado de seguros, 
previdência complementar, capitalização e resseguro cada 
vez mais qualificado.
Principal provedora de serviços voltados à educação continuada, para 
profissionais que atuam nessa área, a Escola de Negócios e Seguros 
oferece a você a oportunidade de compartilhar conhecimento e 
experiências com uma equipe formada por especialistas que possuem 
sólida trajetória acadêmica.
A qualidade do nosso ensino, aliada à sua dedicação, é o caminho para 
o sucesso nesse mercado, no qual as mudanças são constantes e a 
competitividade é cada vez maior.
 Seja bem-vindo à Escola de Negócios e Seguros.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 1. CONCEITOS BÁSICOS 7
 A MATEMÁTICA FINANCEIRA 8
 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 9
 FLUXO DE CAIXA – CONCEITO E FUNCIONAMENTO 10
 JURO(S) E TAXA DE JUROS – DIFERENÇAS E FORMA DE CÁLCULO 11
ESQUEMA 12
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 13
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 13
 CONCEITOS FINANCEIROS DIVERSOS 15
 ERROS MAIS COMUNS 18
PONTOS DE ATENÇÃO 18
MÉTODO DE RESOLUÇÃO 19
 A CALCULADORA HP-12C® – OPERAÇÕES 20
 FIXANDO CONCEITOS 1 21
 2. JUROS SIMPLES 23
 JUROS SIMPLES 24
 TAXAS PROPORCIONAIS 26
 JUROS SIMPLES COMERCIAIS E JUROS SIMPLES EXATOS 29
 VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES) 30
 FIXANDO CONCEITOS 2 37
SUMÁRIO
INTERATIVO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 3. JUROS COMPOSTOS 41
 JUROS COMPOSTOS 42
 CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS 43
 TAXAS EQUIVALENTES 48
 FIXANDO CONCEITOS 3 63
 4. DESCONTO E OPERAÇÕES 
 DE CURTO E LONGO PRAZOS 65
 O QUE É DESCONTO 66
 DESCONTO A JUROS SIMPLES 67
Desconto comercial simples (ou “por fora”) 68
 DESCONTO A JUROS COMPOSTOS 70
Desconto racional a juros compostos (ou “por dentro”) 70
 FIXANDO CONCEITOS 4 72
 5. SÉRIES DE PAGAMENTOS 73
 SÉRIES DE PAGAMENTOS 74
 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES 74
 VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE OU SÉRIE DE PAGAMENTO 75
ANUIDADE TEMPORÁRIA POR “N” ANOS 76
ANUIDADE PERPÉTUA 82
 VALOR DO MONTANTE OU VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE 85
MONTANTE DAS ANUIDADES POR PRAZO CERTO DE “N” ANOS 85
 FIXANDO CONCEITOS 5 88
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 ANEXOS 90
ANEXO 1 – Revisão de Matemática 90
 REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 90
 EXPRESSÕES NUMÉRICAS E AS REGRAS DE PONTUAÇÃO 91
 O USO DE FRAÇÕES E A DIVISÃO 93
Frações Próprias e Impróprias 93
Frações Próprias 94
Frações Impróprias 95
 FATORAR, EXPONENCIAR E RADICIAR 96
Fatorar 96
Exponenciação ou Potenciação 98
Radiciar 100
 PORCENTAGENS 101
O Significado das Porcentagens 101
O Denominador 100 102
Maneiras de se Expressar as Porcentagens 103
Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens 103
 EQUAÇÕES DO 1º GRAU 104
ANEXO 2 – Utilizando a calculadora HP-12C ® 105
ANEXO 3 – Matemática Financeira no Excel 115
 GABARITO 125
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 138
MATEMÁTICA FINANCEIRA 7
UNIDADE 101
 ■ Conhecer os conceitos de 
financeiros de Matemática 
Financeira mais utilizados, 
correlacionando-os com a 
prática no ramo de seguros.
 ■ Conhecer a calculadora 
financeira HP-12C® como 
um recurso na realização 
de cálculos financeiros, 
reconhecendo suas 
principais funções.
Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de:
⊲ A MATEMÁTICA FINANCEIRA
⊲ VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
⊲ FLUXO DE CAIXA – 
CONCEITO E FUNCIONAMENTO
⊲ JURO(S) E TAXA DE JUROS – 
DIFERENÇAS E FORMA 
DE CÁLCULO
⊲ CONCEITOS FINANCEIROS 
DIVERSOS
⊲ ERROS MAIS COMUNS
⊲ A CALCULADORA HP-12C® – 
OPERAÇÕES
⊲ FIXANDO CONCEITOS 1
TÓPICOS 
DESTA UNIDADE
 ■ Conhecer os erros mais 
comuns em matemática 
financeira, evitando a 
ocorrência dos mesmos, 
na resolução prática de 
cálculos financeiros.
CONCEITOS 
BÁSICOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA 8
UNIDADE 1
 A MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Qual é o primeiro pensamento quando você lê a palavra “matemática”? 
Alguns podem sentir receio devido a experiências anteriores não favoráveis.
Se esse for o seu caso, o desafio é entender que essa ciência está presen-
te em vários momentos de nossas vidas.
Os conhecimentos básicos de matemática são os alicerces da Matemática 
Financeira, que fornece ferramentas para melhorar várias decisões finan-
ceiras, como contrair um empréstimo habitacional, financiar um veículo ou 
mesmo um eletrodoméstico.
A Matemática Financeira é o segmento da Matemática que cuida da saú-
de patrimonial das instituições ou pessoas físicas, ou seja, sua utilidade 
preenche diversos âmbitos de nossas vidas, sendo um dos melhores ins-
trumentos para ampliar ganhos e evitar gastos desnecessários. Ela permite 
estudar e avaliar as alterações ocorridas nos fluxos de caixa ao longo do 
tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. Ela trata, essencialmente, do 
estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para 
se compararem as quantias movimentadas em datas distintas, efetuando 
análises e comparações a partir de relações formais.
Dominar os fundamentos básicos da Matemática Financeira, bem como 
conhecer e utilizar adequadamente suas ferramentas, capacita os usuários 
a tomarem decisões quanto a investimentos e empréstimos, otimizando 
seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis.
Portanto, o estudo da Matemática Financeira nos ajuda a tomar decisões 
nos mais variados momentos de nossas vidas, como:
MATEMÁTICA FINANCEIRA 9
UNIDADE 1
 ■ Decidir qual é a melhor linha de crédito e como ela pesará no orçamento.
 ■ Compreender a lucratividade de investimentos.
 ■ Calcular quanto se deve poupar mensalmente para um plano futuro.
 ■ Determinar a viabilidade econômica de um investimento e seu retorno.
 ■ Proporcionar suporte na decisão de compra ou aluguel de bens 
móveis ou imóveis.
No âmbito de seguros, a Matemática Financeira se faz presente o tempo 
todo, seja em cálculos de seguros, consórcios ou como suporte para deci-
sões de investimentos por meio de adesão à Previdência Privada ou ao 
Seguro de Vida. 
Para o corretor, é muito importante entender o mecanismo de um cálculo 
de juros a fim de prestar a correta orientação ao segurado em relação ao 
parcelamento de seu seguro e em relação a diferenças entre valores à 
vista e parcelados, como também entender os cálculos de séries de paga-
mentos para explicar ao segurado os ganhos futuros de uma previdência 
privada, seguro de vida ou consórcio.
Para que essa ciência se torne mais amigável, é de vital importância que 
se conheçam os métodos para resolução dos diversos tipos de cálculo, 
para que esse conhecimento possa ser utilizado no momento de buscar as 
soluções matemáticas adequadas para atender a necessidade do cliente.
 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
Um dos fundamentos da atividade financeira é a variação do valor do 
dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100,00 do 
que dispor desse valorem uma data futura qualquer. Independentemente 
da existência de inflação, alguém que disponha de R$ 100,00 hoje, pode 
aplicá-los a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, em uma data 
futura, ter os mesmos R$ 100,00, mais algum valor complementar. Como 
consequência disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do tempo, 
o que significa que somente podem ser comparados valores quando em 
uma mesma data. Essa data é conhecida como data focal.
Saiba mais
Caso sinta necessidade de 
rever conceitos fundamentais 
da Matemática, confira o 
Anexo 1, que aborda temas 
como sinais, frações e 
fatoração.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 10
UNIDADE 1
 FLUXO DE CAIXA 
 – CONCEITO E FUNCIONAMENTO 
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de recebimentos e pagamentos, 
ocorridos ou a ocorrer, durante certo intervalo de tempo. Para a represen-
tação gráfica, os recebimentos (denominados entradas) são informados 
com uma seta voltada para cima, os pagamentos (denominados desem-
bolsos) são representados com uma seta voltada para baixo e eles são 
distribuídos ao longo de uma linha horizontal (que representa o tempo).
Fluxo de caixa é a representação gráfica de um conjunto de entradas e 
saídas de dinheiro, resultantes de uma operação financeira. Essa repre-
sentação gráfica é um recurso amplamente empregado nas operações de 
Matemática Financeira, pois permite uma visão mais abrangente e mais 
precisa do horizonte financeiro do empréstimo/investimento.
O diagrama de fluxo de caixa é representado por uma linha horizontal que mostra o horizonte 
financeiro da operação, isto é, o período de tempo. O momento inicial será indicado pelo 
 ponto 0 e os demais pontos serão numerados conforme o período da operação (datas).
As setas representam as movimentações financeiras. As setas para cima (1, 3, 4 e 5) indicam 
as entradas ou recebimentos, e as setas para baixo (0 e 2) indicam as saídas ou aplicações.
FIGURA 1: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA (DFC)
1
0 2
3 4 5
MATEMÁTICA FINANCEIRA 11
UNIDADE 1
Exemplo
FIGURA 2: EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DIAGRAMA DFC
O corretor João realizou um investimento de R$ 1.500,00 na instalação de um sistema 
para a digitalização dos processos e atividades do seu escritório. Esse investimento 
gerou ganhos nos meses 1, 3, 4 e 5 e gasto no mês 2. 
O gráfico acima representa as entradas e saídas desta operação.
Abaixo, o cálculo para obter o saldo final da operação:
T
0
= –1.500 T
1
= 1.000 T
2
= – 800 T
3
= 1.000 T
4
= 500 T
5
= 1.000
Total de gastos (T
0 
, T
2
) = – 1500 – 800 = – 2.300
Total de ganhos (T
1 
, T
3 
, T
4 
, T
5 
) = 1.000 + 1.000 + 500 + 1.000 = + 3.500
Total líquido ganho no projeto = 3.500 – 2.300 = 1.200
1
0
1.500
1.000 1.000
500
1.000
800
2
3 4 5
 JURO(S) E TAXA DE JUROS – 
 DIFERENÇAS E FORMA 
 DE CÁLCULO 
São os valores pagos ou recebidos pelo aluguel do capital, ou seja, quem 
possui dinheiro empresta para quem precisa, mediante uma espécie de 
“aluguel” daquele dinheiro.
O dono do capital tem por objetivo, além do lucro da operação, que os juros 
trabalhem na compensação dos fatores de risco (por exemplo, inadimplência), 
custo de oportunidade (aquilo que ele abriu mão de ganhar para “emprestar” 
o dinheiro) e depreciação do capital (inflação).
MATEMÁTICA FINANCEIRA 12
UNIDADE 1
O cálculo de juros faz parte de toda a atividade econômica. Quando se 
diz que um seguro custa R$ 600,00 à vista e é dividido em três parcelas 
de R$ 220,00, isso significa que a diferença entre o valor de R$ 660,00 
do pagamento a prazo e os R$ 600,00 do pagamento à vista refere-se ao 
valor dos juros que o cliente está pagando (R$ 60,00).
Mas por que se pagam juros? Porque alguém que tinha disponibilidade 
de dinheiro (capital) adiantou esse dinheiro para que o seguro estivesse à 
disposição do cliente. Por esse empréstimo, essa pessoa cobra um deter-
minado valor, denominado juros.
Se alguém recebe um determinado valor a título de juros, isso implica que 
outra pessoa pague o mesmo valor por esses juros.
A taxa de juros é a razão entre os juros pagos no fim do período e o valor 
originalmente aplicado. É a remuneração do capital utilizado por um deter-
minado período de tempo, que pode ser expresso em mês, semestre, ano 
etc. Matematicamente, é representada por i. Usa-se i para identificar a taxa 
de juros, que pode ser expressa em fração decimal ou na forma percentual 
(i = 5% ⊲ i = 5 ÷ 100 ⊲ i = 0,05).
De forma resumida, podemos afirmar que é a velocidade de crescimento 
do capital durante o prazo da operação
Exemplo
O investidor aplica R$ 1.000,00, no 1º dia do mês, no Banco K. No primeiro dia do mês 
subsequente, o Banco K devolve ao investidor R$ 1.050,00.
Juros = R$ 1.050,00 – R$ 1.000,00 = R$ 50,00
Taxa de Juros no Período = (50,00 ÷ 1.000,00) = 0,05 ou 5%
 — Esquema
Note que, nesta operação, o valor dos juros é de R$50,00, enquanto a taxa de juros é 
de 5% no período.
R$ 1.050,00 - Resgate (entrada de caixa)
R$ 1.000,00 - Aplicação (saída de caixa)
MATEMÁTICA FINANCEIRA 13
UNIDADE 1
 — Formulação Matemática
 ■ Transforma-se uma taxa decimal em percentual multiplicando-se o 
valor da taxa por 100.
 ■ Transforma-se uma taxa percentual em decimal dividindo-se o 
valor da taxa por 100.
TABELA 1: EXEMPLOS DE FORMAS IDÊNTICAS DE EXPRESSÃO DAS TAXAS DE JUROS
TAXAS PERCENTUAL FORMA 
DECIMAL FRAÇÃO
2% ao mês 2% a.m. 0,02 a.m. 2/100 a.m.
15% ao ano 15% a.a. 0,15 a.a. 15/100 a.a.
Embora os modos de expressão apresentados na tabela 1 sejam seme-
lhantes, a forma mais comum de expressar uma taxa de juros é a forma 
percentual com o período abreviado.
Exemplo: 2% a.m., 15% a.a. etc.
 — Regimes de Capitalização
Regime de capitalização é como se percebe o crescimento do capital, 
que pode ser pelo regime de capitalização simples (linear) ou composta 
(exponencial) e mostram como os juros são formados e incorporados ao 
capital durante o período de tempo da operação.
No regime de capitalização simples, os juros são calculados utilizando-se 
como base o capital inicial (VP ou P) e, no regime de capitalização com-
posta, as taxas de juros são aplicadas sobre o capital acumulado dos juros.
FIGURA 3: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
Juros Simples
Os juros de cada período são 
calculados sempre sobre o valor 
do principal.
Juros Compostos
Os juros gerados em cada período 
são incorporados ao principal para o 
cálculo dos juros do período seguinte.
i = Juros ou i (%) = Juros x 100 
 Capital Capital
MATEMÁTICA FINANCEIRA 14
UNIDADE 1
Exemplo
Um empréstimo de R$ 1.000,00 é realizado pelo prazo de 6 meses, pelo regime de 
capitalização simples, a uma taxa de juros de 2% ao mês. A tabela abaixo ilustra a evo-
lução desta operação:
TABELA 2
MÊS TAXA DE 
JUROS (I)
VALOR DOS 
JUROS (R$)
SALDO DEVEDOR AO 
FINAL DO PERÍODO (R$)
1 2% 1.000,00 x 0,02 
= 20,00
1.020,00
2 2% 1.000,00 x 0,02 
= 20,00
1.040,00
3 2% 1.000,00 x 0,02 
= 20,00
1.060,00
4 2% 1.000,00 x 0,02 
= 20,00
1.080,00
5 2% 1.000,00 x 0,02 
= 20,00
1.100,00
6 2% 1.000,00 x 0,02 
= 20,00
1.120,00
Para a mesma operação, em um regime de capitalização a juros compostos, a evolução 
da operação seria a seguinte:
TABELA 3
MÊS TAXA DE 
JUROS (I)
VALOR DOS 
JUROS (R$)
SALDO DEVEDOR AO 
FINAL DO PERÍODO (R$)
1 2% 1.000,00 x 0,02 
= 20,00
1.020,00
2 2% 1.020,00 x 0,02 
= 20,40
1.040,40
3 2% 1.040,40 x 0,02 
= 20,81
1.061,21
4 2% 1.061,21 x 0,02 
= 21,22
1.082,43
5 2% 1.082,43 x 0,02 
= 21,65
1.104,08
6 2% 1.104,08 x 0,02 
= 22,08
1.126,16
MATEMÁTICA FINANCEIRA 15
UNIDADE 1
 CONCEITOS FINANCEIROS DIVERSOS 
Existem outros conceitos básicos em Matemática Financeira, os quais 
devem ficar claros, bem como a nomenclatura utilizada:
Valor Presente (VP) ou Principal (P)
Valor Atual ou Capital Inicial. Corresponde ao valor do dinheiro na 
data zero do fluxo de caixa, ou no instante presente,é o valor finan-
ciado, expresso em unidade monetária. Em algumas literaturas e 
máquinas financeiras, adota-se a nomenclatura PV (Present Value).
Valor Futuro (VF) ou Montante (F)
Valor do dinheiro em uma data futura. Esse Valor Futuro é o Valor 
Principal acrescido do valor dos Juros (J) incorridos no período da 
operação. Em algumas literaturas e máquinas financeiras, adota-se 
a nomenclatura FV (Future Value).
Juros (J)
Remuneração do capital empregado:
 » Para o investidor: remuneração do investimento.
 » Para o tomador: custo do capital obtido no empréstimo.
Tempo de Investimento (n)
Como se denomina o número de períodos da aplicação (tempo).
Período de Capitalização
Conceito associado à quantidade de períodos sob os quais o capital 
inicial ficará submetido a determinada taxa de juros. É necessário que 
o período de tempo esteja expresso no mesmo tempo da taxa de 
juros. Exemplo: mensal, bimestral, trimestral, anual.
Taxa de Juros (i)
Coeficiente que determina a remuneração do capital em um deter-
minado tempo (dia, mês, ano...), expressa em forma percentual.
Prestações Uniformes (PMT)
Valor de cada prestação, associado a séries uniformes.
Desconto (D)
Refere-se ao valor financeiro que deve ser subtraído do valor nomi-
nal quando antecipamos o pagamento de um documento (título, 
nota promissória, cheque).
Taxa de Desconto (id)
Coeficiente de decréscimo do valor nominal de um documento 
quando antecipamos seu pagamento.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 16
UNIDADE 1
Ano Civil
Período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses 
de 28 ou 29 (para os anos bissextos), 30 ou 31 dias, também cha-
mado de ano-calendário.
Ano Comercial
Ano de 360 dias, considerando-se todos os meses com 30 dias. É 
muito utilizado em operações financeiras.
TABELA 4: CONVENÇÕES/NOTAÇÕES
DESCRIÇÃO NOMENCLATURA 
ADOTADA
OUTRAS 
NOMENCLATURAS
Valor Presente, Principal 
ou Capital Inicial
P PV, VP, C
Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M
Juros Simples ou Compostos J –
Tempo n t
Prazo de Carência m c
Taxa de Juros i r, k
Taxa de Juros Anual a.a. ao ano
Taxa de Juros Semestral a.s. ao semestre
Taxa de Juros Trimestral a.t. ao trimestre
Taxa de Juros Mensal a.m. ao mês
Desconto D –
Taxa de Desconto i
d
forma decimal da 
taxa
Prestações Uniformes PMT A, R ou G
Recebimento R Rec, PMT
Pagamento G pg, P, PMT
Valor Atual de uma Série P A, PV
Montante de uma Anuidade F S, FV
Comentário
No Brasil, adota-se normalmen-
te o ano civil para a contagem 
dos dias e o ano comercial 
(com 360 dias) para o cálculo 
das taxas de juros. Esses juros 
são também conhecidos como 
juros bancários.
Quanto aos meses, 
 consideram-se todos os meses 
como tendo 30 dias. É, por 
exemplo, o caso da caderneta 
de poupança, que paga juros 
mensais, independentemente 
da quantidade de dias do mês, 
que pode variar de 28 a 31 dias.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 17
UNIDADE 1
Dicas
É importante notar que as variáveis utilizadas em Matemática Financeira possuem diver-
sas nomenclaturas e não podem ser confundidas.
Valor Presente = P, PV, VP
Valor Futuro = F, FV, VF
Tempo = n, t
Taxa de Juros = i 
Prestações ou Pagamentos = PMT
Desconto = D
Os termos grifados são as nomenclaturas que você encontrará na sua HP-12C®.
Importante
 ■ Critérios adotados nos cálculos
Neste material, todas as vezes em que surgirem operações com casas decimais, serão 
consideradas seis casas decimais para o cálculo da questão e o arredondamento 
deverá ocorrer apenas no final, para definição da resposta. Como padrão em opera-
ções financeiras, a resposta final deve ser informada com duas casas decimais, exceto 
quando especificado o contrário.
 ■ Critério de arredondamento
Para a resposta final, deverá ser adotado o critério internacional de arredondamento de valores:
TABELA 5: CRITÉRIO INTERNACIONAL DE ARREDONDAMENTO DE VALORES
ÚLTIMO DÍGITO RESULTADO EXEMPLO
0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 125,852 ⊲ 125,85
5, 6, 7, 8, 9 Somar 1 ao que fica, após 
eliminar o último dígito
45,926 ⊲ 45,93
MATEMÁTICA FINANCEIRA 18
UNIDADE 1
 ERROS MAIS COMUNS 
 — Pontos de Atenção
Existem erros bastante comuns cometidos pelos alunos de matemática. 
Para evitarmos isso, você deve ter atenção redobrada, pois esta pode ser 
a diferença entre errar e acertar uma questão. 
Listamos a seguir os erros mais comuns.
FIGURA 4: ERROS MAIS COMUNS COMETIDOS PELOS ALUNOS DE MATEMÁTICA 
Português Financeiro
Os problemas de matemática 
normalmente possuem um 
grande percentual de erros 
devido à leitura equivocada do 
enunciado. A leitura atenta e o 
entendimento do enunciado dos 
problemas evitam muitos erros 
em sua resolução.
Dedo Torto
A calculadora é um excelente 
auxiliar para resoluções 
 matemáticas, porém toda digitação 
deve ser feita com muito cuidado, 
pois a digitação errada dos 
números na máquina de calcular 
pode acarretar erros difíceis de 
perceber e invalidar uma questão.
Olho que não vê
A calculadora agiliza muitos 
processos de cálculo e é uma 
excelente ferramenta, mas 
não podemos nos descuidar e 
perder a atenção! É fundamental 
ter muito cuidado na hora de 
transcrever os números. Ex.: o 
número no visor é 5.000 e lê-se 
o número 500.
Recordar é viver
A quantidade de erros de 
sinal e troca de números pode 
ser enorme. Portanto, uma 
conferência, assim que acabar 
a questão, é um bom método 
para rastrear pequenas faltas de 
atenção (vide o Passo 4 do método 
de resolução de problemas, que 
você verá logo a seguir).
MATEMÁTICA FINANCEIRA 19
UNIDADE 1
Importante
Nos cálculos de Matemática Financeira, tanto o prazo da operação quanto a taxa de 
juros devem estar expressos na mesma unidade de tempo.
Se uma operação foi efetuada pelo prazo mensal e a taxa de juros informada foi 
expressa em taxa anual, você deve usar as fórmulas financeiras necessárias para, por 
exemplo, transformar uma taxa de juro anual em uma taxa mensal para o período de 
tempo definido na operação ou vice-versa, considerando o que for mais apropriado 
para o cálculo.
Somente após essa operação, colocando o prazo e a taxa na mesma unidade de tem-
po, é que os cálculos de Matemática Financeira poderão ser feitos.
Nas unidades 2 e 3 iremos abordar com detalhes as transformações de taxa de juros.
 — Método de Resolução
Criar um método pode ajudar a desenvolver melhor os exercícios de mate-
mática. Segue, portanto, uma sugestão de método:
Passo 1: leia todo o problema matemático duas vezes, da seguin-
te forma: na primeira vez, somente leia e, na segunda leitura, cir-
cule as variáveis.
Passo 2: uma vez lidas e identificadas todas as variáveis do exer-
cício, anote todos os dados dos problemas e coloque interrogação 
nas variáveis solicitadas.
Passo 3: coloque as fórmulas e resolva a questão.
Passo 4: confira a questão imediatamente após seu término.
Passo 5: ao final da prova, não retorne para revisar a questão, pois 
existe uma boa chance de esquecer o raciocínio desenvolvido, e 
isso pode fazer com que você altere o que estava certo.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 20
UNIDADE 1
 A CALCULADORA HP-12C ® 
 – OPERAÇÕES 
Visando facilitar e trazer velocidade aos cálculos necessários no nosso 
dia a dia, foi desenvolvida a calculadora eletrônica como instrumento 
de produtividade.
Atenção
A calculadora HP-12C® será utilizada como ferramenta de auxílio aos cálculos durante 
as aulas e as provas/exames.
É importante ressaltar que a calculadora HP-12C® é um agente facilitador para a maio-
ria das questões, mas os cálculos podem ser feitos a partir das fórmulas descritas no 
decorrer desta disciplina.
Caso não possua a HP-12C®, você pode utilizar no seu dia a dia um apli-
cativo gratuito que funciona como se fosse uma HP-12C® real, fazendo o 
download no celular (qualquer sistema operacional). O aplicativo tem 
todas as funções da calculadora.
Os usos específicos da calculadora HP-12C® para cada unidade desta 
apostila serão explicados à medida que os assuntosforem sendo desen-
volvidos e conforme a necessidade de resolução de exercícios.
Saiba mais
Para conhecer as principais funções e saber como utilizar a calculadora HP-12C, consul-
te o Anexo 2. 
No anexo 3 apresentamos o Microsoft Excel como mais uma ferramenta para auxiliar 
nos cálculos.
Importante
O Microsoft Excel não poderá ser utilizado na prova de matemática financeira.
Importante
No dia da prova/exame 
on-line, será disponibilizada a 
calculadora HP-12C® por meio 
do sistema de provas. Não 
será permitida a utilização de 
calculadora física e qualquer 
outro tipo de aplicativo ou 
programa. Fique atento! 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 21
FIXANDO CONCEITOS
 FIXANDO CONCEITOS 1 
1. Analise as proposições a seguir e depois marque a alternativa correta.
I) Juros são uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um deve-
dor, pela utilização de dinheiro de um credor.
II) A taxa de juros é o índice que determina a remuneração do capital em 
um determinado tempo.
III) A Matemática Financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos 
fluxos de caixas ao longo do tempo.
IV) Os regimes de capitalização são: juros simples e juros compostos.
Assinale a alternativa correta:
(a) Somente I e III são proposições verdadeiras.
(b) Somente II e IV são proposições verdadeiras.
(c) Somente I, II e III são proposições verdadeiras.
(d) Somente I, II e IV são proposições verdadeiras.
(e) I, II, III e IV são proposições verdadeiras.
Marque a alternativa correta.
2. Sabendo que, no primeiro dia do mês, João aplicou uma quantia de dinheiro 
em uma capitalização no valor de R$ 3.000,00 e que, no final do mês, o valor 
da aplicação dele era de R$ 3.050,00, a taxa de juros utilizada foi:
(a) 1,67%.
(b) 2,52%.
(c) 3,33%.
(d) 4,12%.
(e) 5,89%.
3. A corretora de seguros Maria realizou um investimento de R$ 5.000,00 
na sua corretora para a compra de equipamentos. Esse investimento gerou 
um gasto de R$ 1.000,00 no mês 1 e um ganho de R$ 3.500,00 nos meses 
2 e 3. Podemos afirmar que o saldo líquido dessa operação foi de: 
(a) R$ 1.000,00.
(b) R$ 2.000,00.
(c) R$ 3.000,00.
(d) R$ 4.000,00.
(e) R$ 5.000,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 22
FIXANDO CONCEITOS
4. Se meu Seguro de Automóvel custa R$ 1.500,00 e consegui um finan-
ciamento que cobra uma taxa de juros de 4%, o total que pagarei pelo 
seguro será:
(a) R$ 1.300,00.
(b) R$ 1.560,00.
(c) R$ 1.580,00.
(d) R$ 1.600,00.
(e) R$ 1.650,00.
Consulte o gabarito clicando aqui.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 23
FIXANDO CONCEITOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA 24
UNIDADE 202
 ■ Compreender a forma 
mais simples de uma 
operação financeira, com a 
aplicação de juros simples, 
considerando sua aplicação 
em operações de seguros.
 ■ Entender o cálculo da taxa 
proporcional no regime 
de juros de capitalização 
simples considerando a 
análise de casos práticos.
Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de:
⊲ JUROS SIMPLES
⊲ TAXAS PROPORCIONAIS
⊲ JUROS SIMPLES COMERCIAIS 
 E JUROS SIMPLES EXATOS
⊲ VALOR FUTURO (A JUROS 
SIMPLES)
⊲ FIXANDO CONCEITOS 2
TÓPICOS 
DESTA UNIDADE
 ■ Compreender as diferenças 
entre juros simples exatos 
e juros simples comerciais 
analisando situações práticas 
do ramo de seguros.
 ■ Entender a relação das 
operações de juros simples 
com as operações de 
seguros considerando 
casos práticos da área.
JUROS 
SIMPLES
MATEMÁTICA FINANCEIRA 25
UNIDADE 2
 JUROS SIMPLES 
No regime de capitalização a juros simples, os juros de cada período são 
calculados tendo sempre como base o valor do capital inicial, não ocorren-
do “juros sobre juros”. Essa forma de cálculo de juros é mais utilizada em 
operações de curto prazo.
FIGURA 5: ESQUEMA DE JUROS SIMPLES
Exemplo: Um cliente investe R$ 1.000,00 no Banco A em 1º de janeiro de 
um determinado ano. O banco informa que esse capital será remunerado 
a 10% ao ano no regime de juros simples. Qual será o valor dos juros acu-
mulado ao final de três anos?
10
R$
J (Juros)
Valor PresenteP
t2 3 4 5 ...
MATEMÁTICA FINANCEIRA 26
UNIDADE 2
A tabela a seguir resume o rendimento do investimento:
TABELA 6: RENDIMENTO DO INVESTIMENTO 
DATA
BASE CÁLCULO 
(CAPITAL)
JUROS DE 
CADA ANO
SALDO 
FINAL
Ano 1 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.100,00
Ano 2 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.200,00
Ano 3 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.300,00
Aplicação
O capital (R$ 1.000,00) é multiplicado pela taxa (10%). Apura-se R$ 100,00. Em seguida, 
esse valor é multiplicado por três, que é o número de anos em que o dinheiro ficou 
aplicado, e encontramos os juros.
Cálculo adotando a simbologia:
J: juros simples.
P: principal ou capital inicial (no exemplo, R$ 1.000,00).
i: taxa de juros no período (no exemplo, 10%).
n: tempo de aplicação (no exemplo, 3 anos).
J = P × i × n
Essa é a fórmula do cálculo dos juros simples.
Importante
No regime de capitalização por 
juros simples, o crescimento 
dos juros é linear.
Juros = Capital × Taxa × Tempo de Aplicação
Isto é básico
Os cálculos só podem ser 
executados se o tempo de 
aplicação n for expresso na 
mesma unidade de tempo 
a que se refere a taxa i, 
considerado: prazo em ano 
– taxa ao ano, prazo em mês – 
taxa ao mês etc.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 27
UNIDADE 2
 TAXAS PROPORCIONAIS 
Denominam-se taxas proporcionais aquelas que, aplicadas a um mesmo 
valor presente (principal), geram um mesmo valor futuro (montante), para 
um mesmo intervalo de tempo. Deve-se lembrar que esse conceito só se 
aplica de forma direta ao regime de capitalização de juros simples.
Conceito prático:
 ■ Para obtermos a taxa proporcional mensal, dividimos a taxa anual 
por 12.
 ■ Se quisermos passar uma taxa proporcional de capitalização men-
sal para anual, basta que multipliquemos a taxa por 12.
Aplicação
1. Uma pessoa fechou um seguro de R$ 2.000,00 pelo prazo de dois 
anos, à taxa de 40% ao ano. Qual é o valor dos juros simples a ser pago?
Dados: 
P = 2.000 
n = 2 anos 
i = 40% a.a. = 40 ÷ 100 = 0,4 a.a.
Cálculo: 
J = P × i × n 
J = 2.000 × 0,40 × 2 = 1.600 
Resposta: O valor dos juros simples a ser pago é de R$ 1.600,00.
2. Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicação de 
R$ 2.000,00, pelo prazo de três meses, à taxa de 1,5% ao mês?
Dados: 
P = 2.000 
n = 3 meses 
i = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m.
Cálculo: 
J = P × i × n 
J = 2.000 × 0,015 × 3 = 90,00 
Resposta: O valor dos juros simples a receber é de R$ 90,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 28
UNIDADE 2
 ■ Duas taxas são proporcionais quando os seus valores guardam 
uma proporção com o tempo a que elas se referem. Para fazer o 
cálculo, é preciso que a taxa e o prazo estejam na mesma unidade.
 ■ Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos 
por meio de “Regra de Três”.
 ■ Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o perío-
do (n) ou a taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as 
relações são proporcionais.
 ■ Esses conceitos são válidos apenas e tão somente para taxas de 
juros simples.
Exemplo
Calcular a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
O primeiro passo é reduzir o tempo a uma mesma unidade. Lembrando que um ano = 
12 meses, temos: 30% está para 12 meses, assim como x está para 1 mês (é possível 
utilizar a regra de três).
Ou seja:
30% ÷ 12 = x ÷ 1
x = 30% ÷ 12 = 2,5% 
TABELA 7: TAXA MENSAL PROPORCIONAL
Logo: 2,5% é a taxa mensal proporcional a 30% ao ano
MÊS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2,5% 2,5% 2,5
 Ano 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 29
UNIDADE 2
Aplicação
1. Calcule a taxa mensal proporcional a 300% ao ano. 
Como 1 ano = 12 meses, temos: 300% ÷ 12 = 25%.
Resposta: 25% ao mês é proporcional a 300% ao ano.
2. Apurar a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre.
Como 1 ano = 4 trimestres, temos: 6% × 4 = 24%.
Resposta: 6% ao trimestre é proporcional a 24% ao ano.
3. Qual a taxa semestral proporcional a 4% ao bimestre? 
Como 1 semestre = 3 bimestres, podemos escrever: 4% × 3 = 12%.
Resposta: 12% ao semestre é proporcional a 4% ao bimestre.4. Qual é a relação de proporcionalidade entre as taxas de juros anuais 
(i.a.), semestrais (i.s.), trimestrais (i.t.), mensais (i.m.) e diárias (i.d.)?
Resposta: i.a. = 2 × i.s.; i.a. = 4 × i.t.; i.a. = 12 × i.m.; i.a. = 360 × i.d.
Atenção
Para o cálculo de Juros Simples Comercial:
QUADRO 1: JUROS SIMPLES COMERCIAL
UM ANO
2 semestres
3 quadrimestres
4 trimestres
6 bimestres
12 meses
360 dias
MATEMÁTICA FINANCEIRA 30
UNIDADE 2
 JUROS SIMPLES COMERCIAIS 
 E JUROS SIMPLES EXATOS 
Juros simples comerciais 
São os juros cujo cálculo considera o ano comercial (com 360 dias) 
e o mês comercial (com 30 dias).
Juros simples exatos 
Nesse caso, considera-se o número exato de dias do ano (365 ou 
366, caso o ano seja bissexto).
Ano comercial versus ano exato 
O ano comercial existe para que os cálculos sejam simplificados, 
na medida em que, nos cálculos envolvendo muitos anos ou mui-
tos meses, não haverá necessidade de descobrir se o ano é bis-
sexto, se um determinado mês tem 28, 29, 30 ou 31 dias. Ou seja, 
todos os meses terão sempre 30 dias e todos os anos terão sem-
pre 360 dias.
No caso do ano exato, serão considerados dias diferentes para cada mês 
e/ou ano envolvido no cálculo.
Aplicação
1. Uma capitalização de R$ 6.000,00, realizada em 20/07/2021, foi 
paga em 25/11/2021. Sendo a taxa de 18,25% ao ano, qual é o valor 
total dos juros simples exatos a ser recebido pelo cliente?
Inicialmente, determina-se o número de dias:
TABELA 8: JUROS SIMPLES EXATOS
De 20/07 a 31/07 ⊲ 11 dias*
01/08 a 31/08 ⊲ 31 dias
01/09 a 30/09 ⊲ 30 dias
01/10 a 31/10 ⊲ 31 dias
01/11 a 25/11 ⊲ 25 dias
Total: ⊲ 128 dias 
* No cálculo de períodos financeiros, para se apurar o valor dos juros ou do montante 
futuro, não se considera a data inicial. No exemplo, é o dia 20/07.
Dados: 
P = 6.000,00 
n = 128 dias; 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 31
UNIDADE 2
 VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES) 
No caso do cliente que aplicou R$ 1.000,00 em uma capitalização e obteve 
R$ 300,00 de juros, quando terminar o período de aplicação da capita-
lização, ele terá R$ 1.300,00. Esse valor é chamado de Valor Futuro (ou 
montante) e engloba o valor presente do capital (P), acrescido dos juros 
auferidos no período (J).
O Valor Futuro (F) é, portanto, a soma do capital investido ou aplicado 
mais os juros obtidos na aplicação durante um determinado período de 
tempo.
Dessa forma: F = P + J
Lembrando que J = P × i × n, então o valor futuro (F) é: F = P + (P × i × n)
Colocando P em evidência, temos:
F = P (1 + i × n)
n = 128 ÷ 365 = 0,350685 anos 
i = 18,25% a.a. = 0,1825 a.a.
Cálculo: 
J = 6.000 × 0,1825 × 0,350685 = 384,00
Resposta: O valor dos juros simples exatos a ser recebido é R$ 384,00.
2. A que taxa anual deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 
para que, em 146 dias, obtenham-se juros simples exatos de R$ 
11.000,00? (Considere ano civil não bissexto.)
Dados:
P = 66.000,00 
J = 11.000 
i = ?% a.a. 
n = 146 dias = 146 ÷ 365 = 0,4 ano 
Sendo os juros de R$ 11.000,00, pode-se escrever: 
J = P × i × n 
11.000 = 66.000 × i × 0,4 
11.000 = 26.400 × i 
i = 11.000 ÷ 26.400 
i = 0,416667 a.a. = 41,67%
Resposta: A taxa é de 41,67% ao ano.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 32
UNIDADE 2
Aplicação
1. Qual é o valor futuro que receberá um aplicador que tenha investido 
R$ 28.000,00 em uma capitalização durante 15 meses, à taxa de 3% ao 
mês, em regime de juros simples?
Dados: 
P = 28.000 
n = 15 meses 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m.
Como: 
F = P (1 + i × n)
Então: 
F = 28.000 (1 + 0,03 × 15) 
F = 28.000 (1 + 0,45) 
F = 28.000 × 1,45 
F = 40.600 
Este problema poderia ser resolvido de outro modo. 
Como: 
J = 28.000 × 0,03 × 15 = 12.600 
F = P + J 
F = 28.000 + 12.600 = 40.600 
Resposta: F = R$ 40.600,00.
2. Qual é o valor necessário de uma capitalização para se ter um mon-
tante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, em 
regime de juros simples?
Dados: 
F = 14.800 
n = 18 meses ÷ 12 = 1,5 anos 
i = 48% a.a. = 0,48 a.a.
Sendo assim: 
F = P (1 + i × n) 
14.800 = P (1 + 0,48 × 1,5) 
14.800 = P (1 + 0,72) 
14.800 = P (1,72) 
P = 14.800 ÷ 1,72 
P = 8.604,65 
Resposta: O capital inicial necessário é de R$ 8.604,65.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 33
UNIDADE 2
3. Quanto rende, a juros simples, uma capitalização de R$ 100.000,00, 
investida a 9% ao mês, durante oito meses?
Dados: 
P = 100.000 
i = 9% a.m. = 0,09 a.m. 
n = 8 meses
Como: 
J = P × i × n 
J = 100.000 × 0,09 × 8 
J = 72.000 
Resposta: Rende R$ 72.000,00 de juros.
4. Quais são os juros simples que um Seguro de Vida deverá pagar a um 
cliente para o qual devia R$ 200.000,00, referentes a uma indenização, 
sabendo que a taxa foi de 4,8% ao mês, pelo prazo de dois anos, três 
meses e 12 dias?
Dados: 
P = 200.000 
i = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mês 
n = 2 anos, 3 meses e 12 dias
Ou seja: 
720 dias + 90 dias + 12 dias = 822 dias 
822 ÷ 30 = 27,4 meses
O número de dias (822) é dividido por 30, para se apurar a quantidade de meses. 
Como a taxa é mensal, o tempo também terá que ser expresso em meses. Desse 
modo, apuram-se os juros simples da aplicação.
J = 200.000 × 0,048 × 27,4 
J = 263.040 
Resposta: Os juros são de R$ 263.040,00.
5. Uma capitalização é aplicada a juros simples, a uma taxa de 3% 
ao mês. No final de um ano, quatro meses e seis dias, ela rendeu R$ 
97.200,00 de juros. De quanto era essa capitalização?
Dados: 
J = 97.200 
i = 3 ÷ 100 a.m. = 0,03 a.m. 
n = 1 ano, 4 meses e 6 dias = 360 + 120 + 6 = 486 dias ÷ 30 = 16,2 meses
Cálculo P = ? 
J = P × i × n 
97.200 = P × 0,03 × 16,2 
97.200 = P × 0,4860 
P = 97.200 ÷ 0,4860 
P = 200.000 
Resposta: O capital era de R$ 200.000,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 34
UNIDADE 2
6. Um investidor empregou, durante dois anos, três meses e 20 dias, 
a quantia de R$ 70.000,00 em uma capitalização. Sabendo que essa 
aplicação rendeu juros simples de R$ 75.530,00, qual foi a taxa simples 
mensal da capitalização?
Dados: 
P = 70.000 
J = 75.530 
n = 2 anos, 3 meses e 20 dias (720 + 90 + 20), ou seja, 830 dias 
n = 830 ÷30 = 27,666667 meses 
i = ? (mensal)
Como: 
J = P × i × n 
75.530 = 70.000 × i × 27,666667 
75.530 = 1.936.666,667 × i 
i = 75.530 ÷ 1.936.666,667 
i = 0,039 = 3,9% a.m. 
Resposta: A taxa mensal foi de 3,9%.
7. A partir de uma capitalização no valor de R$ 25.000,00, um clien-
te acumulou, em um ano, quatro meses e 18 dias, um montante de 
R$ 47.410,00. Qual foi a taxa simples mensal utilizada?
Dados: 
P = 25.000 
F = 47.410 
n = 1 ano, 4 meses e 18 dias = 360 + 120 + 18 = 498 dias ÷ 30 = 16,60 meses 
i = ? (mensal)
Cálculo: 
F = P (1 + i × n)
Então: 
47.410 = 25.000 (1 + i × 16,60) 
47.410 ÷ 25.000 = 1 + 16,60i 
1,8964 = 1 + 16,60i 
1,8964 – 1 = 16,60i 
0,8964 = 16,60i 
i = 0,8964 ÷ 16,60 
i = 0,054 = 5,4% a.m.
Resposta: A taxa simples mensal foi de 5,4%.
Esse problema também poderia ser resolvido pela fórmula: J = P x i x n
J = F – P, logo: 
J = (47.410 – 25.000) = 22.410 
J = P × i × n 
22.410 = 25.000 × i × 16,60 
22.410 = 415.000 × i 
i = 22.410 ÷ 415.000 
i = 0,054 = 5,4% a.m.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 35
UNIDADE 2
8. Quanto rende de juros simples uma Previdência Privada na qual você 
investe R$ 12.000,00, aplicados a 84% a.a., durante somente três meses?
Dados: 
P = 12.000 
i = 84% a.a. = 0,84 a.a. 
n = 3 meses = 3 ÷ 12 anos = 0,25 ano
Como: 
J = P × i × n
Então: 
J = 12.000 × 0,84 × 0,25 
J = R$ 2.520,00
Resposta: O valor dos juros é R$ 2.520,00.
9. Quantos meses uma capitalização de R$ 500,00, aplicada à taxa de 
30% ao bimestre, leva para produzir R$ 1.050,00 de juros simples?
Dados: 
P = 500 
J = 1.050 
i = 30 ÷ 100 = 0,30 a.b. 
n = ?
Sendo: J = P × i × n
Logo: 
1.050 = 500 × 0,3 × n 
1.050 = 150 n 
n = 1.050 ÷ 150 = 7 bimestres ou 7 × 2 meses = 14 meses 
Resposta: São necessários 14 meses para se obter esse valor de juros.
10. Qual é o valor a ser resgatado de uma capitalização de R$ 
10.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante três anos?
Dados: 
P = 10.000 
n = 3 anos = 3 × 12 = 36 meses 
i = 2,5% a.m.= 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.
Cálculo de F: 
Como F = P (1 + i × n)
Então: 
F = 10.000 (1 + 0,025 × 36) 
F = 10.000 x 1,90 
F = 19.000 
Resposta: O Valor Futuro será R$ 19.000,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 36
UNIDADE 2
11. Uma capitalização de R$ 10.000,00 foi aplicada a uma taxa (juros 
simples) de 0,5% ao dia. O investimento foi feito por um prazo de 116 
dias. Qual é o total de juros?
Dados: 
P = 10.000 
i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d. 
n = 116 dias 
J = P × i × n
Logo: 
J = 10.000 × 0,005 × 116 
J = 5.800 
Resposta: O total de juros é de R$ 5.800,00.
12. Em quantos anos um capital, aplicado a juros simples de 10% a.a., 
triplica?
Dados: 
P = P (capital qualquer) 
F = 3 P (triplo do capital inicial) 
i = 10 ÷ 100 . = 0,1 a.a. 
n = ?
Sendo: 
J = F – P 
J = 3 P – P = 2 P 
i = 10 ÷ 100 = 0,1 a.a.
Como: J = P × i × n
Logo: 
2 P = P × 0,1 × n 
2 = 0,1 n 
n = 20 
Resposta: O capital triplicará em 20 anos.
Observação: nos problemas em que não aparece o capital, você poderá usar o 
valor R$ 100,00 para facilitar sua resolução. Basta resolver a questão anterior 
usando este artifício:
Dados: 
P = 100,00 
F = 3 × P = 3 × 100 = 300,00 
J = F – P 
J = 300 – 100 
J = 200 
i = 10 ÷ 100. = 0,1 a.a. n = ?
MATEMÁTICA FINANCEIRA 37
UNIDADE 2
Como: J = P × i × n
Logo: 
200 = 100 × 0,1 × n 
200 = 10 × n 
n = 200 ÷ 10 
n = 20
Resposta: O capital triplicará em 20 anos.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 38
FIXANDO CONCEITOS
 FIXANDO CONCEITOS 2 
Marque a alternativa correta:
1. Dada a taxa anual de 42%, a taxa mensal proporcional é de: 
(a) 3,5%.
(b) 6%.
(c) 7%.
(d) 10,5%.
(e) 12%.
2. A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre é de:
(a) 16%. 
(b) 24%. 
(c) 32%. 
(d) 36%. 
(e) 38%.
3. Sabendo que uma capitalização de R$ 10.000,00 foi aplicada à taxa 
simples de 3,5% ao mês, durante seis meses. No fim desse tempo, o capital 
acumulado (F) é de:
(a) R$ 8.800,00. 
(b) R$ 9.300,00. 
(c) R$ 10.420,00.
(d) R$ 11.380,00. 
(e) R$ 12.100,00.
4. Sabendo que a quantia de R$ 50.000,00 foi aplicada em uma Previdên-
cia Privada durante cinco meses e rendeu R$ 7.500,00 de juros simples, a 
taxa mensal foi de:
(a) 3%.
(b) 4%.
(c) 5%.
(d) 6%.
(e) 7%.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 39
FIXANDO CONCEITOS
5. Aplicando R$ 30.000,00 a uma taxa de 40% ao ano e obtendo R$ 24.000,00 
de juros simples, o tempo de aplicação foi de:
(a) Um ano.
(b) Dois anos.
(c) Três anos.
(d) Quatro anos.
(e) Cinco anos.
6. Sabendo que, para obter R$ 6.000,00 de juros simples, aplicou-se a 
quantia de R$ 10.000,00 por quatro anos, a taxa anual dessa aplicação foi 
de:
(a) 5%.
(b) 10%.
(c) 15%.
(d) 20%.
(e) 25%.
7. Os juros simples do investimento que uma pessoa fez com uma capita-
lização de R$ 60.000,00, durante 146 dias, à taxa de juros simples de 9% 
a.m., foram de:
(a) R$ 22.530,00.
(b) R$ 23.880,00.
(c) R$ 26.280,00.
(d) R$ 27.480,00.
(e) R$ 28.260,00.
8. O capital que produziu um montante de R$ 86.400,00, investido a juros 
simples durante oito meses, a 138% a.a., é de:
(a) R$ 30.000,00. 
(b) R$ 35.000,00. 
(c) R$ 40.000,00.
(d) R$ 45.000,00. 
(e) R$ 50.000,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 40
FIXANDO CONCEITOS
9. Sabendo que o capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., gerou 
um montante de R$ 953.120,00, o total de meses em que esse capital foi 
aplicado a juros simples foi de:
(a) Seis meses. 
(b) Sete meses. 
(c) Oito meses. 
(d) Nove meses. 
(e) Dez meses.
10. O prazo necessário para se duplicar um capital aplicado à taxa de juros 
simples de 4% a.m. é:
(a) Vinte meses. 
(b) Vinte e dois meses. 
(c) Vinte e quatro meses. 
(d) Vinte e cinco meses. 
(e) Trinta meses.
11. O total de meses da aplicação de um capital de R$ 32.000,00 que, apli-
cado à taxa de juros simples de 12% a.a., rende R$ 4.800,00 é:
(a) Onze meses.
(b) Doze meses.
(c) Treze meses.
(d) Quatorze meses.
(e) Quinze meses.
12. Os juros simples de uma aplicação de R$ 350.000,00, à taxa de 4% 
a.m., aplicados por 72 dias, são de:
(a) R$ 30.000,00.
(b) R$ 31.200,00.
(c) R$ 32.400,00.
(d) R$ 33.600,00.
(e) R$ 36.000,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 41
FIXANDO CONCEITOS
13. Os juros simples de um investimento em uma previdência privada de 
R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de um ano, quatro meses e 
10 dias, são de:
(a) R$ 1.125,00.
(b) R$ 1.150,00.
(c) R$ 1.175,00.
(d) R$ 1.225,00.
(e) R$ 1.250,00.
Consulte o gabarito clicando aqui.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 42
UNIDADE 303
JUROS COMPOSTOS
 ■ Compreender o 
mecanismo de cálculo 
envolvendo a aplicação de 
juros compostos e taxas 
equivalentes considerando 
sua aplicação em 
operações de seguros.
 ■ Compreender o conceito 
de juros compostos 
ou taxas equivalentes 
considerando a sua 
aplicabilidade no setor de 
seguros.
Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de:
⊲ JUROS COMPOSTOS
⊲ CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES 
UTILIZADAS EM JUROS 
COMPOSTOS
⊲ TAXAS EQUIVALENTES
⊲ FIXANDO CONCEITOS 3
TÓPICOS 
DESTA UNIDADE
 ■ Entender a relação das 
operações de juros 
compostos com as 
operações de seguros 
considerando casos 
práticos do setor.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 43
UNIDADE 3
 JUROS COMPOSTOS 
No regime de juros compostos, os juros de cada período são calculados 
sobre o montante existente no período anterior. Dessa forma, os juros do 
período anterior são incorporados ao capital. Pode-se dizer, então, que, 
no regime de juros compostos, “os juros rendem juros”. Esse é o regime 
mais utilizado.
Exemplo
Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de 
juros compostos:
Os juros produzidos no fim de cada período são somados ao capital que os produziu, 
passando os dois, capital e juros, a render juros no período seguinte.
TABELA 9: JUROS COMPOSTOS – CRESCIMENTO
MÊS JUROS COMPOSTOS MONTANTE (F)
1 100,00 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00
2 102,00 × 0,02 × 1 = 2,04 104,04
3 104,04 × 0,02 × 1 = 2,08 106,12
Juros compostos são aqueles que, a partir do segundo período, são calculados sobre o 
montante relativo ao período anterior.
Importante
No regime de capitalização por 
juros compostos, o crescimento 
dos juros é exponencial.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 44
UNIDADE 3
 CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES 
 UTILIZADAS EM JUROS 
 COMPOSTOS 
J: Juros compostos
P: Capital inicial 
Valor presente ou valor atual.
F: Valor Futuro ou Montante
Valor do capital inicial acrescido de juros compostos.
i: Taxa de juros compostos
Período de capitalização
Ciclo de tempo necessário para gerar juros compostos. Exemplo: na cader-
neta de poupança, esse ciclo é de 30 dias.
n: Tempo de aplicação
Quantidade de períodos de capitalização do investimento.
Entendendo como calcular o montante 
(Valor Futuro) de um investimento
Supondo um investimento cujo capital inicial seja P, aplicado a uma taxa de 
juros compostos igual a “i” durante “n” períodos de capitalização, temos a 
tabela a seguir:
TABELA 10: JUROS COMPOSTOS
PERÍODO JUROS MONTANTE
1o J1 = P × i F1 = P + J1 = P + P × i = P (1 + i) ⊲ F1 = P1 (1 + i)
2o J2 = F1 × i
F2 = F1 + J2 = F1+ F1× i = F1 (1 + i) ⊲ 
F2 = P (1 + i) × (1 + i) ⊲ F2 = P (1 + i)2
Saiba mais
Veja outras nomenclaturas 
na Tabela 4 da Unidade 1.
Comentário
Nos enunciados de exercícios e/ou aplicações práticas, quando não estiver definido 
o período de capitalização, este será entendido como sendo aquele apresentado no 
tempo de aplicação do investimento.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 45
UNIDADE 3
3o J3 = F2 × i
F3 = F2 + J3 = F2+ F2× i = F2 (1 + i) ⊲ 
F3 = P (1 + i)2 × (1 + i) ⊲ F3 = P (1 + i)3
Analisando a sequência da tabela 10, podemos deduzir que, para “n” perío-
dos, teremos:
Fn = P (1 + i)n
onde:
F : Montante ou Valor Futuro
P : Capital inicial
i : Taxa de juros compostos
n : Tempo de aplicação
Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J)
Sabendo que, em qualquer investimento, o montante é sempre igual ao 
capital inicial adicionado aos juros, podemos escrever:
Jn = Fn – P
Substituindo a fórmula do montante temos que:
Jn = P (1 +i)n– P
Colocando o capital inicial em evidência:
Jn = P [(1 + i)n – 1]
Assim:
Jn : Juros compostos
P : Capital inicial
Importante
Essas fórmulas serão 
válidas exclusivamente se a 
taxa e o período estiverem na 
mesma unidade de tempo 
 (ano, mês, dia...)
Dicas da HP-12C®
 
Os resultados financeiros da 
HP-12C® sempre apresentam 
sinais contrários. Por isso, as 
respostas envolvendo dinheiro 
sempre aparecerão com sinais 
contrários entre PV, FV e/ou 
PMT. Para alterar o sinal, aperta-
se a tecla CHS.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 46
UNIDADE 3
i : Taxa de juros compostos
n : Tempo de aplicação
O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização.
Aplicação
1. Quais são o montante e os juros compostos de uma 
capitalização que começou com o valor R$ 4.000,00, a 
uma taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, consi-
derando o período de capitalização mensal?
Resolução: 
P = 4.000,00 
i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m. 
n = 14 meses
Sabemos que 
Fn = P(1 + i)n 
F = 4.000 × (1 + 0,025)14 
F = 4.000 × (1,025)14 
F = 4.000 × 1,412974 
F = 5.651,90
Logo: 
J = F – P 
J = 5.651,90 – 4.000,00 = 1.651,90
Outra forma de calcular os juros: 
J = P [(1 + i)n – 1] 
J = 4.000 [(1 + 0,025)14 – 1] 
J = 4.000 [0,412974] 
J = 1.651,90
Resposta: O montante do investimento é de R$ 5.651,90, e os 
juros compostos foram de R$ 1.651,90.
2. O montante de uma capitalização que começou com 
R$ 210.000,00, a uma taxa de juros compostos de 3% 
ao trimestre, durante 3 trimestres, é de:
Resolução: 
P = 210.000,00 
i = 3% a.t. = 3 ÷ 100 = 0,03 a.t. 
Dicas da HP-12C®
 
4.000 ⊲ PV
2,5 ⊲ i
14 ⊲ n
FV
–5.651,90
CHS (para mudar o sinal)
Resp.: 5.651,90
--------------------------------------
210.000 ⊲ PV
3 ⊲ i
3 ⊲ n
FV
–229.472,67
CHS (para mudar o sinal)
Resp.: 229.472,67
MATEMÁTICA FINANCEIRA 47
UNIDADE 3
n = 3 trimestres
Sabemos que 
Fn = P(1 + i)n 
F = 210.000,00 (1 + 0,03)3 
F = 210.000,00 (1,03)3 
F = 210.000,00 × 1,092727 
F = 229.472,67
Resposta: O montante do investimento é de R$ 229.472,67.
3. Um acordo com uma seguradora, a uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês, permitiu um pagamento em 
10 meses gerando um montante de R$ 1.218,99. O valor 
inicial acordado é de:
Resolução: 
F = 1.218,99 
i = 2% a.m. = 2 ÷ 100 = 0,02 a.m. 
n = 10 meses
Sabemos que 
Fn = P(1 + i)n 
1.218,99 = P(1 + 0,02)10 
1.218,99 = P(1,02)10 
1.218,99 = P × 1,218994 
P = 1.218,99 ÷ 1,218994 
P = 1.000,00
Resposta: O valor aplicado é de R$ 1.000,00.
4. Os juros de uma aplicação em uma previdência priva-
da de R$ 5.000,00, a uma taxa de juros de 1,5% ao mês, 
durante 24 meses, são de:
Resolução: 
P = 5.000,00 
i = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m. 
n = 24 meses
Sabemos que: 
F = P(1 + i)n 
F = 5.000,00 (1 + 0,015)24 
F = 5.000,00 (1,015)24 
F = 5.000,00 × 1,429503 
F = 7.147,51
Como: 
J = F – P 
J = 7.146,51 – 5.000,00 
J = 2.147,51
Usando a fórmula dos juros, teríamos: 
Dicas da HP-12C®
 
1.218,99 ⊲ FV
2 ⊲ i
10 ⊲ n
PV
–1.000
CHS (para mudar o sinal)
Resp.: 1.000
-------------------------------------------
5.000 ⊲ PV
1,5 ⊲ i
24 ⊲ n
FV
–7.147,51
CHS (para mudar o sinal)
Resp.: 7.147,51 (montante)
7.147,51 ⊲ ENTER
5.000,00 ⊲ (–)
Resp.: 2.147,51
MATEMÁTICA FINANCEIRA 48
UNIDADE 3
Dicas da HP-12C®
Cálculos de “J” têm sua resolução na HP-12C® de forma parcial, sendo necessário utili-
zar fórmula de juros, que não é feita de forma simplificada na HP-12C®.
J = P [(1 + i)n – 1] 
J = 5.000,00 [(1 + 0,015)24 – 1] 
J = 5.000,00 [(1,015)24 – 1] 
J = 5.000,00 × 0,429503 
J = 2.147,51
Resposta: Os juros da aplicação são de R$ 2.147,51.
5. Uma aplicação de um título de capitalização gera, em 
juros compostos, o valor de R$ 102,02 no fim de cinco 
meses, a uma taxa de juros de 1% ao mês. O montante 
dessa aplicação é de:
Resolução: 
J = 102,02 
i = 1% a.m. = 1 ÷ 100 = 0,01 a.m. 
n = 5 meses
Sabemos que: 
J = P [(1 + i)n – 1] 
102,02 = P [(1 + 0,01)5 – 1] 
102,02 = P [(1,01)5 – 1] 
102,02 = P × 0,05101 
P = 102,02 ÷ 0,05101 
P = 2.000,00
Como: 
F = P + J 
F = 2.000,00 + 102,02 
F = 2.102,02
Resposta: O montante da aplicação é de R$ 2.102,02.
Observe que, nos exercícios de aplicação, o período (n) e a taxa (i) 
estão na mesma unidade de tempo.
Saiba mais
Na utilização da HP-12C®, 
deve-se lembrar de limpar 
as memórias da calculadora 
para evitar pegar resultados 
antigos e incorporá-los ao 
exercício atual.
A forma de resolver essa 
questão é utilizar as seguintes 
teclas:
F FIN (limpar as memórias 
financeiras) e F REG (limpar as 
memórias de registros).
MATEMÁTICA FINANCEIRA 49
UNIDADE 3
 TAXAS EQUIVALENTES 
Denominam-se taxas equivalentes aquelas que, aplicadas a um mesmo capi-
tal, geram um mesmo valor futuro (montante), no mesmo intervalo de tempo.
Em juros compostos, calculamos a taxa equivalente utilizando a seguinte fórmula:
ip = (1 + ic)np/nc – 1
Onde:
ip: taxa de juros procurada.
ic: taxa de juros conhecida.
np: unidade de tempo procurada.
nc: unidade de tempo conhecida.
Importante
Lembre-se de multiplicar 
o resultado por 100 para 
apresentar a taxa percentual.
Importante
As unidades das variáveis np e 
nc têm que ser iguais, ou seja, 
dia/dia, mês/mês etc.
Dicas da HP-12C®
Caso queira utilizar a HP-12C® para facilitar seus cálculos, existe uma forma que pode 
ser considerada um “macete” a ser usado:
Exemplo 1: Transformar uma taxa de um período de capitalização menor para um 
maior (no caso abaixo, de mês para ano):
Transformar a taxa de 2% a.m. para taxa anual.
a) Transforme a taxa em decimal (dividindo por 100)
2 ⊲ ENTER 
100 ⊲ ÷ 
0,020000
b) Somar o numeral 1
0,02000 ⊲ ENTER 
1+ 
1,020000
c) Elevar a quantidade de períodos em que se deseja converter a taxa; no caso do 
exemplo, gostaríamos de converter a taxa de 1 mês (mensal) para 12 meses (anual)
1,020000 ⊲ ENTER 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 50
UNIDADE 3
12 ⊲ yx 
1,268242
d) Retira-se o numeral 1 e multiplica-se por 100
1,268242 ⊲ ENTER 
1 ⊳ – 
100 ⊲ (x) 
26,8242
Resposta: 26,82% a.a.
Exemplo 2: Para conversão de taxas de períodos maiores de capitalização para 
períodos menores (no exemplo a seguir, sairemos de um período de capitalização 
anual para um período mensal):
Transformar a taxa de 26,82% ao ano para uma taxa mensal:
a) Transforme a taxa em decimal (dividindo por 100) 
26,82 ⊲ ENTER
100 ⊲ ÷ 
0,2682
b) Somar o numeral 1 
0,2682 ⊲ ENTER 
1 ⊲ + 
1,2682
c) Inverter o expoente 
1,2682 ⊲ ENTER 
12 ⊲ 1/x 
0,083333
d) Elevar o resultado do expoente (sem mexer no resultado da conta anterior), digitar a Tecla yx 
 1,019997 
e) Retirar o numeral 1 e multiplicar por 100 
1,019997 ⊲ ENTER 
1 ⊲ - 
100 ⊲ x 
1,99972
Resposta: 2,00% a.m.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 51
UNIDADE 3
Aplicação
1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
Dados: 
ip = ?% a.a. 
ic = 2% a.m. 
np = ano, ou seja, 12 meses 
nc = mês, ou seja, 1 mês
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,02)12/1 – 1 
ip = (1,02)12 – 1 
ip = 1,268242 – 1 
ip = 0,268242 (você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa 
percentual) 
ip = 26,8242% a.a.
Resposta: A taxa anual equivalente a 2% a.m. é de 26,82% a.a.
2. Qual a taxa mensal equivalente a 30% a.a.?
Dados: 
ip = ?% a.m. 
ic = 30% a.a. 
np = mês, ou seja, 1 mês 
nc = ano, ou seja, 12 meses
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,30)1/12 – 1 
ip = (1,30)1/12 – 1 
ip (1,30)0,083333 - 1 
ip = 1,022104 – 1 
ip = 0,022104 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa 
percentual) 
ip = 2,2104% a.m.
Resposta: A taxa mensal equivalente a 30% a.a. é de 2,21% a.m.
3. Qual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre?
Dados: 
ip = ?% a.a. 
ic = 3% a.t. 
np = ano, ou seja, 12 meses 
nc = trimestre, ou seja, 3 meses
Dicas da HP-12C®
 
Para calcular (1,02)12 na HP-12C®: 
1,02 ⊲ ENTER 
12 ⊲ yx 
1,268242
Dicas da HP-12C®
 
1,30 ⊲ ENTER
12 ⊲ 1/x
0,083333 ⊲ yX
1,022104 ⊲ ENTER
1 ⊲ –
0,022104100 ⊲ x
2,2104
--------------------------------------------
1,03 ⊲ ENTER
4 ⊲ yX
1,125509
1 ⊲ –
100 ⊲ x
12,5509.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 52
UNIDADE 3
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,03)12/3 – 1 
ip = (1,03)4 – 1 
ip = 1,125509 – 1
ip = 0,125509 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa 
percentual) 
ip = 12,5509% a.a.
Resposta: A taxa anual equivalente a 3% a.t. é de 12,55% a.a.
4. Qual a taxa diária equivalente a 70% ao trimestre?
Dados: 
ip = ?% a.d. 
ic = 70% a.t. 
np = dia, ou seja, 1 dia 
nc = trimestre, ou seja, 90 dias
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,70)1/90 – 1 
ip = (1,70)0,011111– 1 
ip = 1,005913 – 1 
ip = 0,005913 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa 
percentual) 
ip = 0,59% a.d.
Resposta: A taxa diária equivalente a 70% a.t. é de 0,59% a.d.
Comentários
A solução de um problema de juros compostos passa pela observa-
ção das unidades, apresentadas na taxa e no período de capitaliza-
ção. Lembre-se sempre de converter a taxa para a mesma unidade do 
período de capitalização.
Dicas da HP-12C®
 
1,70 ⊲ ENTER
90 ⊲ 1/x
0,011111 ⊲ yX 
1,005913
1 ⊲ –
0,005913
100 ⊲ x
0,5913
MATEMÁTICA FINANCEIRA 53
UNIDADE 3
Importante
Em caso de dúvida sobre como representar as unidades de np e nc, utilize a unidade 
DIA como unidade padrão. 
Exemplo:
np = ano e nc = mês, utilize np/nc = 360/30
np = bimestre e nc = semestre, utilize np/nc = 60/180
np = trimestre e nc = quadrimestre, utilize np/nc = 90/120
Importante
Em problemas de juros compostos que não envolvam série de pagamento, é muito 
mais fácil converter a unidade de tempo, ou seja, use a taxa (i) dada pelo problema e 
mude a unidade de tempo.
Exemplo
Qual será o valor final pago por um seguro de R$ 
4.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 2,5% ao 
mês, pelo prazo de sete bimestres?
Resolução: 
P = 4.000,00 
i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m. 
n = 7 bimestres = 14 meses 
F = ?
Observação: como a questão não envolve série de pagamento, 
podemos converter o período de capitalização.
Logo: 
F = P (1 + i)n
Substituindo os dados já conhecidos, temos:
F = 4.000 × (1 + 0,025)14 
F = 4.000 × (1,025)14 
F = 4.000 × 1,412974 
F = 5.651,90
Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 5.651,90.
Dicas da HP-12C®
 
Podemos fazer também a 
conversão em períodos. 
Nesse caso, sete bimestres 
são iguais a 14 meses (n=14):
4000 ⊲ PV
2,5 ⊲ i
14 ⊲ n
FV
-5.651,90 ⊲ CHS
5.651,90
MATEMÁTICA FINANCEIRA 54
UNIDADE 3
Importante
Relação entre as unidades de tempo
Dia = um dia. 
Mês = um mês ou 30 dias.
Bimestre = um bimestre ou dois meses ou 60 dias.
Trimestre = um trimestre ou 1,5 bimestre ou três meses ou 90 dias.
Quadrimestre = um quadrimestre ou dois bimestres ou quatro meses ou 120 dias.
Semestre = um semestre ou 0,5 ano ou 1,5 quadrimestre ou dois trimestres ou três 
bimestres ou seis meses ou 180 dias.
Ano = um ano ou dois semestres ou três quadrimestres ou quatro trimestres ou seis 
bimestres ou 12 meses ou 360 dias.
Aplicação
1. Quais são os juros compostos de uma capitalização de 
R$ 20.000,00, a 4% ao ano, durante 8 meses?
Dados: 
P = 20.000,00 
J = ? 
n = 8 meses 
i = 4% a.a.
Análise inicial 
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(mês e ano, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa 
de ano para meses.
ip = ?% a.m. 
ic = 4% a.a. 
np = mês, ou seja, 1 mês 
nc = ano, ou seja, 12 meses
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,04)1/12 – 1 
ip = (1,04)0,083333– 1 
ip = 1,003274 – 1 
ip = 0,003274 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar 
a taxa percentual) 
ip = 0,3274% a.m.
Dicas da HP-12C®
 
Nesse caso, 8 (oito) meses, 
quando convertidos para 
anos, seriam 0,66667 de 
um ano; portanto, pode-se 
calcular o valor do montante na 
calculadora e depois os juros:
20.000 ⊲ PV
4 ⊲ i
0,66667 ⊲ n
FV
– 20.529,84 ⊲ CHS
20.529,84
20.529,84 ⊲ ENTER
20.000,00 ⊲ (–)
529,84
Lembre-se de ativar a letra C 
no visor da calculadora HP-12C. 
Para ativar aperte a tecla STO e 
em seguida a tecla EEX.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 55
UNIDADE 3
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 20.000 × (1 + 0,003274)8 
F = 20.000 × (1,003274)8 
F = 20.000 × 1,026492 
F = 20.529,84
Logo: 
J = F – P = 20.529,84 – 20.000,00 J = 529,84
Resposta: Os juros compostos são de R$ 529,84. 
2. Qual é o montante produzido por um título de capi-
talização de R$ 6.000,00, em regime de juros compostos, 
aplicado durante seis meses, à taxa de 3,5% ao mês?
P = 6.000 
F = ? 
i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês 
n = 6 meses
Como: 
F = P × (1 + i)n
Logo: 
F = 6.000 (1 + 0,035)6 
F = 6.000 (1,035)6 
F = 6.000 × 1,229255 
F = 7.375,53
Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 7.375,53. 
3. Determine o valor original do seguro, sabendo que os 
juros compostos foram de 3,5% ao mês, por oito meses, 
e rendeu um valor total a pagar de R$ 19.752,14.
F = 19.752,14 
P = ? 
i = 3,5% a.m. 
n = 8 meses 
F = P × (1 + i)n 
19.752,14 = P (1 + 0,035)8 
19.752,14 = P (1,035)8 
19.752,14 = P × 1,316809 
19.752,14 ÷ 1,316809 = P 
P = 15.000
Resposta: O valor original do seguro foi de R$ 15.000,00. 
Dicas da HP-12C®
 
Nesse caso, o período (n) está 
em meses, e a taxa também 
está expressa em meses. 
Assim, basta lançarmos os 
valores
6.000 ⊲ PV
3,5 ⊲ i
6 ⊲ n
FV
– 7.375,53
CHS ⊲ 7.375,53
Dicas da HP-12C®
 
Nesse caso, o período (n) está 
em meses, e a taxa também 
está expressa em meses, 
bastando lançarmos os 
valores na calculadora:
19.752,14 ⊲ FV
3,5 ⊲ i
8 ⊲ n
PV
– 15.000,00
CHS ⊲ 15.000,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA 56
UNIDADE 3
4. O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado, a juros com-
postos, por dois dias, à taxa de 36% ao ano. Qual o mon-
tante obtido?
P = 12.000,00 
F = ? 
n = 2 dias 
i = 36% a.a.
Análise inicial
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(dia e ano, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de 
ano para dia.
ip = ?% a.d. 
ic = 36% a.a. 
np = dia, ou seja, 1 dia 
nc = ano, ou seja, 360 dias
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,36)1/360 – 1
ip = (1,36)0,002778 – 1 
ip = 1,000855 – 1 
ip = 0,000855 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar 
a taxa percentual) 
ip = 0,0855% a.d.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 12.000 × (1 + 0,000855)2 
F = 12.000 × (1,000855)2 
F = 12.000 × 1,001711 
F = 12.020,53
Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 12.020,53.
5. O pagamento de um Seguro de Veículos foi financia-
do para um cliente com valor original de R$ 1.500,00, 
sabendo que o seguro era, a juros compostos de 1,13% 
ao mês e com pagamento somente um semestre depois. 
Calcule os juros dessa operação.
F = ? 
P = 1.500 
i = 1,13% a.m. 
n = 1 semestre = 6 meses
Como: 
F = P × (1 + i)n
Dicas da HP-12C®
 Nesse caso, o período (n) 
está em dias, e a taxa (i) está 
considerada ao ano:
2 ⊲ ENTER
360 ⊲ ÷
0,00556
12.000,00 ⊲ PV
36 ⊲ i
0,00556 ⊲ n
FV
– 12.020,53
CHS ⊲ 12.020,53.
Obs.: Se você não conseguiu achar 
o valor exato dos centavos, verifique 
se utilizou todos os dígitos da 
conversão dos dois dias para ano.
Lembre-se de ativar a letra C no 
visor da calculadora HP-12C. Para 
ativar aperte a tecla STO e em 
seguida a tecla EEX.
Nesse caso, o período (n) está 
expresso em semestres. Como 
a taxa é mensal, devemos 
considerar que um semestre 
tem seis meses; portanto:
1.500,00 ⊲ PV
1,13 ⊲ i
6 ⊲ n
FV
– 1.604,62
CHS ⊲ 1.604,62.
Como o valor encontrado 1.604,62 é 
o montante e o valor solicitado foi o 
de juros, ainda temos que calculá-lo:
J = F – P 
J= 1604,62 – 1.500,00
J= 104,62
MATEMÁTICA FINANCEIRA 57
UNIDADE 3
Então: 
F = 1.500 (1 + 0,0113)6 
F = 1.500 (1,0113)6 
F = 1.500 × 1,069744 
F = 1.604,62
Resposta: O valor dos juros é de 1.604,62 – 1.500 = R$ 104,62.
6. Qual é o montante de uma capitalização que come-
çou com R$ 3.000,00, a juroscompostos de 2% ao mês, 
sabendo que, devido a problemas operacionais, teve que 
ser resgatado após somente um dia?
P = 3.000,00 
F = ? 
n = 1 dia (Período de capitalização = diário) 
i = 2% a.m.
Análise inicial
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(dia e mês, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de 
mês para dia.
ip = ?% a.d. 
ic = 2% a.m. 
np = dia, ou seja, 1 dia 
nc = mês, ou seja, 30 dias
Portanto:
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,02)1/30 – 1 
ip = (1,02)0,033333 – 1 
ip = 1,000660 – 1 
ip = 0,000660 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a 
taxa percentual) 
ip = 0,0660% a.d.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 3.000 × (1 + 0,000660)1 
F = 3.000 × (1,000660)1 
F = 3.000 × 1,000660 
F = 3.001,98
Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 3.001,98.
Dicas da HP-12C®
 
Nesse caso, o período (n) 
está expresso em dias. Como 
a taxa é mensal, devemos 
descobrir quantos dias há em 
um mês, dividindo um dia por 
30 dias, que representa
3.000,00 ⊲ PV
2 ⊲ i
0,033333 ⊲ n
FV
– 3.001,98
CHS ⊲ 3.001,98.
Lembre-se de ativar a letra C 
no visor da calculadora HP-12C. 
Para ativar aperte a tecla STO e 
em seguida a tecla EEX.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 58
UNIDADE 3
7. Caso você pague o seguro de seu veículo, que custa R$ 
8.000,00, com um prazo diferenciado, com juros com-
postos, a uma taxa de 3% ao quadrimestre, durante 
dois trimestres, o valor total que custará seu seguro 
será um montante de:
P = 8.000,00 
F = ? 
n = 2 trimestres 
i = 3% a.q.
Análise inicial
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(trimestre e quadrimestre, respectivamente). Portanto, devemos con-
verter a taxa de quadrimestre para trimestre.
ip = ?% a.t. 
ic = 3% a.q. 
np = trimestre, ou seja, 90 dias 
nc = quadrimestre, ou seja, 120 dias
Portanto:
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,03)90/120 – 1 ip = (1,03)0,75 – 1 
ip = 1,022417 – 1 
ip = 0,022417 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a 
taxa percentual) 
ip = 2,2417 % a.t.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 8.000 (1 + 0,022417)2 
F = 8.000 (1,022417)2 
F = 8.000 × 1,045336 
F = 8.362,69
Resposta: O montante (Valor Futuro) que se pode produzir é de 
R$ 8.362,69.
8. Considerando que, por causa de um problema ope-
racional, a seguradora demorou para pagar o valor que 
devia ao segurado, referente a uma indenização de R$ 
1.500,00, calcule o montante obtido utilizando juros 
compostos, a uma taxa de 6% ao ano, sabendo que esse 
pagamento demorou um semestre:
P = 1.500,00 
F = ? 
n = 1 semestre 
i = 6% a.a.
Dicas da HP-12C®
 Para calcular (1,03)90/120 na 
HP-12C®:
1,03 ⊲ ENTER
90 ⊲ ENTER
120 ⊲ ÷
0,750000 ⊲ yX 
1,022417
1 ⊲ -
0,022417
Dicas da HP-12C®
O período está expresso em 
trimestre (90 dias) e a taxa 
em quadrimestre (120 dias), 
portanto, temos que igualar a 
unidade de tempo entre a taxa 
(i) e o período (n). Neste caso, 
vamos converter o período (n) 
de trimestre para quadrimestre:
90 ⊲ ENTER
120 ⊲ (÷)
0,75 
(1 trimestre equivale a 0,75 de 
um quadrimestre).
Lembre-se que são 2 
trimestres; então: 
0,75 ⊲ ENTER
2 ⊲ × 
1,5 
(Equivale a 1,5 quadrimestre)
8.000,00 ⊲ PV
3 ⊲ i
1,5 ⊲ n
FV
– 8.362,69 ⊲ CHS
8.362,69
Lembre-se de ativar a letra C 
no visor da calculadora HP-12C. 
Para ativar aperte a tecla STO e 
em seguida a tecla EEX.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 59
UNIDADE 3
Análise inicial 
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(semestre e ano, respectivamente). Portanto, devemos converter a 
taxa de ano para semestre.
ip = ?% a.s. 
ic = 6% a.a. 
np = semestre, ou seja, 6 meses 
nc = ano, ou seja, 12 meses
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,06)6/12 – 1 
ip = (1,06)0,50 – 1 
ip = 1,029563 – 1 
ip = 0,029563 (você deve multiplicar por 100 para apresentar a 
taxa percentual) 
ip = 2,96563% a.s.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 1.500 (1 + 0,029563)1 
F = 1.500 × 1,029563 
F = 1.544,34
Observação: quando a questão não envolve séries de pagamentos, 
ou seja, não temos parcelas, podemos abrir mão do cálculo de taxa 
equivalente e converter o período de capitalização.
Façamos a questão anterior dessa forma: 
P = 1.500,00 
F = ? 
n = 1 semestre = 0,5 ano (período de capitalização = anual) 
i = 6% a.a.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 1.500 (1 + 0,06)0,5 
F = 1.500 (1,006)0,5 
F = 1.500 × 1,029563 
F = 1.544,34
Resposta: O montante (Valor Futuro) obtido é de R$ 1.544,34.
Dicas da HP-12C®
 
O período (n) está expresso 
em semestre, e a taxa é 
anual (i); portanto, teremos 
um período que equivalerá à 
metade de um ano, ou seja, 
0,5:
1.500,00 ⊲ PV
6 ⊲ i
0,5 ⊲ n
FV
-1.544,34 ⊲ CHS
1.544,34
Lembre-se de ativar a letra C 
no visor da calculadora HP-12C. 
Para ativar aperte a tecla STO e 
em seguida a tecla EEX.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 60
UNIDADE 3
9. Em uma capitalização com valor inicial de R$ 
4.300,00, a juros compostos de 5% ao mês, durante seis 
dias, quanto se ganhará de juros?
P = 4.300,00 
J = ? 
n = 6 dias (período de capitalização = diário) 
i = 5% a.m.
Análise inicial 
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(dia e mês, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de 
mês para dia.
ip = ?% a.d. 
ic = 5% a.m. 
np = dia, ou seja, 1 dia 
nc = mês, ou seja, 30 dias
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,05)1/30 – 1 
ip = (1,05)0,033333 – 1 
ip = 1,001628 – 1 
ip = 0,001628 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a 
taxa percentual) 
ip = 0,1628% a.d.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 4.300 × (1 + 0,001628)6 
F = 4.300 × (1,001628)6 
F = 4.300 × 1,009806 
F = 4.342,16
Logo: 
J = F – P = 4.342,16 – 4.300,00 
J = 42,16
Resposta: Os juros são de R$ 42,16.
Dicas da HP-12C®
 
O período (n) está expresso 
em dias e a taxa (i) em mês; 
então, o cálculo envolverá 
igualar a unidade de tempo 
entre o período e a taxa. 
Neste caso, será feita a 
equivalência de 6 dias em 
relação a 1 mês: 6/30 = 0,20.
4.300,00 ⊲ PV
5 ⊲ i
0,20 ⊲ n
FV
– 4.342,16 ⊲ CHS
4.342,16.
Deve-se lembrar que o valor 
procurado é o dos juros J.
J = F – P 
J = 4.342,16 – 4.300,00
J = 42,16
Lembre-se de ativar a letra C 
no visor da calculadora HP-12C. 
Para ativar aperte a tecla STO e 
em seguida a tecla EEX.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 61
UNIDADE 3
10. Sabendo que um Seguro Residencial, no valor origi-
nal de R$ 1.260,00, foi financiado a juros compostos 
com uma taxa de 8% ao quadrimestre, durante dois 
meses, podemos dizer que o valor total pago pelo 
seguro foi de:
P = 1.260,00 
F = ? 
n = 2 meses (período de capitalização = mensal) 
i = 8% a.q.
Análise inicial 
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(mês e quadrimestre, respectivamente). Portanto, devemos conver-
ter a taxa de quadrimestre para mês.
ip = ?% a.m. 
ic = 8% a.q. 
np = mês, ou seja, 1 mês 
nc = quadrimestre, ou seja, 4 meses
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,08)1/4 – 1 
ip = (1,08)0,25 – 1 
ip = 1,019427 – 1 
ip = 0,019427 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a 
taxa percentual) 
ip = 1,9427% a.m.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 1.260 × (1 + 0,019427)2 
F = 1.260 × (1,019427)2 
F = 1.260 × 1,039230 
F = 1.309,43 
Resposta: O montante (Valor Futuro) gerado é de R$ 1.309,43.
11. O Valor Futuro, obtido por um Título de Capitaliza-
ção de R$ 6.000,00, que utilizou juros compostos a uma 
taxa de 1,5% ao trimestre durante três dias, será de:
P = 6.000,00 
F = ? 
n = 3 dias (período de capitalização = diário) 
i = 1,5% a.t.
Análise inicial 
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(dia e trimestre, respectivamente). Portanto, devemos converter a 
taxa de trimestre para dia.
Dicas da HP-12C®
 
O período (n) está expressoem meses e a taxa (i) em 
quadrimestre; então, o cálculo 
envolverá igualar a unidade 
de tempo entre o período e 
a taxa. Neste caso, será feita 
a equivalência de 1 mês em 
relação a 1 quadrimestre: 1/4 
= 0,25. 
Como serão dois meses, 
teremos 0,25 × 2 = 0,5
1.260,00 ⊲ PV
8 ⊲ i
0,5 ⊲ n
FV
-1.309,43 ⊲ CHS
1.309,43
Lembre-se de ativar a letra C 
no visor da calculadora HP-12C. 
Para ativar aperte a tecla STO e 
em seguida a tecla EEX.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 62
UNIDADE 3
ip = ?% a.d. 
ic = 1,5% a.t. 
np = dia, ou seja, 1 dia 
nc = trimestre, ou seja, 90 dias
Portanto:
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,015)1/90 – 1 
ip = (1,015)0,011111 – 1 
ip = 1,000165 – 1 
ip = 0,000165 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a 
taxa percentual) 
ip =0,0165% a.d.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 6.000 × (1 + 0,000165)3 
F = 6.000 × (1,000165)3 
F = 6.000 × 1,000496 
F = 6.002,98
Resposta: O Valor Futuro (montante) será de R$ 6.002,98.
12. O montante obtido por uma indenização de seguro 
atualizada a juros compostos de R$ 240,00, a uma taxa 
de 3,5% ao mês, durante um semestre, será de:
P = 240,00 
F = ? 
n = 1 semestre 
i = 3,5% a.m.
Análise inicial 
O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade 
(semestre e mês, respectivamente). Portanto, devemos converter a 
taxa de mês para semestre.
ip = ?% a.s. 
ic = 3,5% a.m. 
np = semestre, ou seja, 6 meses 
nc = mês, ou seja, 1 mês
Portanto: 
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,035)6/1 – 1 
ip = (1,035)6 – 1 
ip = 1,229255 – 1 
ip = 0,229255 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar 
a taxa percentual) 
ip = 22,9255% a.s.
Dicas da HP-12C®
 
O período (n) está expresso 
em dias, e a taxa (i) em 
trimestres; então, o cálculo 
envolverá dividir dias por 
trimestre: 1/90 = 0,01111. 
Como serão três dias, teremos 
0,01111 × 3 = 0,03333
6.000,00 ⊲ PV
1,5 ⊲ i
0,03333 ⊲ n
FV
–6.002,98 ⊲ CHS
6.002,98
Lembre-se de ativar a letra C 
no visor da calculadora HP-12C. 
Para ativar aperte a tecla STO e 
em seguida a tecla EEX.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 63
UNIDADE 3
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 240 (1 + 0,229255)1 
F = 240 (1,229255)1 
F = 240 × 1,229255 
F = 295,02
Observação: como a questão não envolve série de pagamento, 
podemos converter o período de capitalização:
P = 240,00 
F = ? 
n = 1 semestre = 6 meses (período de capitalização = mensal) 
i = 3,5% a.m.
Substituindo na fórmula do montante, temos: 
F = P (1 + i)n 
F = 240 (1 + 0,035)6 
F = 240 (1,035)6 
F = 240 × 1,229255 
F = 295,02
Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 295,02. 
13. Foi lançada uma nova capitalização por um banco 
no valor de R$ 20.000,00, a juros compostos de 17% ao 
ano, durante três anos. O valor dos juros recebidos ao 
final da capitalização é de:
P = 20.000,00 
J = ? 
n = 3 anos (período de capitalização = anual) 
i = 17% a.a.
Análise inicial 
O período de capitalização e a taxa estão na mesma unidade; por-
tanto, não há necessidade de converter a taxa.
Substituindo na fórmula dos juros, temos: 
J = P [(1 + i)n – 1] 
J = 20.000 × [(1 + 0,17)3 – 1] 
J = 20.000 × [(1,17)3 – 1] 
J = 20.000 × [0,601613] 
J = 12.032,26
Resposta: Os juros recebidos foram de R$ 12.032,26.
Dicas da HP-12C®
 
O período (n) está expresso 
em semestre, e a taxa (i), é 
mensal. Como sabemos que 
um semestre consiste em seis 
meses, devemos trabalhar 
com n = 6 meses:
240,00 ⊲ PV
3,5 ⊲ i
6 ⊲ n
FV
-295,02
CHS ⊲ 295,02
Dicas da HP-12C®
 
Não há conversão para fazer, 
pois o período (n) e a taxa (i) 
são anuais.
20.000,00 ⊲ PV
17 ⊲ i
3 ⊲ n
FV
– 32.032,26
CHS ⊲ 32.032,26.
O exercício solicita J ( juros):
J = F – P
J = 32.032,26 – 20.000,00
J = 12.032,26.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 64
FIXANDO CONCEITOS
 FIXANDO CONCEITOS 3 
Marque a alternativa correta.
1. O montante de uma aplicação em um título de capitalização de 
R$ 8.200,00, que tinha o prazo de oito meses para pagamento, no regime 
de juros compostos, à taxa de 1,5% ao mês, será de:
(a) R$ 8.921,37.
(b) R$ 9.020,38.
(c) R$ 9.091,19.
(d) R$ 9.189,28.
(e) R$ 9.237,24.
2. O capital inicial, em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês, 
durante quatro meses, que rendeu um montante de R$ 794,75, é de:
(a) R$ 720,00.
(b) R$ 730,00.
(c) R$ 740,00.
(d) R$ 750,00.
(e) R$ 760,00.
3. Os juros de uma aplicação de R$ 2.000,00, a 4,5% ao mês, durante oito 
meses, são de:
(a) R$ 802,98. 
(b) R$ 810,18.
(c) R$ 824,20. 
(d) R$ 836,30. 
(e) R$ 844,20.
4. O montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juros de 22% 
ao ano, durante oito meses, será de:
(a) R$ 13.701,07.
(b) R$ 16.521,37.
(c) R$ 16.692,30.
(d) R$ 17.308,21.
(e) R$ 17.492,38.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 65
FIXANDO CONCEITOS
5. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de:
(a) 0,40% a.a. 
(b) 59,79% a.a. 
(c) 60% a.a. 
(d) 69,79% a.a. 
(e) 79,59% a.a.
6. A taxa semestral equivalente a 36% ao ano é de:
(a) 16,62% a.s. 
(b) 17,64% a.s. 
(c) 18% a.s. 
(d) 18,62% a.s. 
(e) 20% a.s.
Consulte o gabarito clicando aqui.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 66
FIXANDO CONCEITOS04
DESCONTO e 
OPERAÇÕES 
de CURTO e LONGO PRAZOS
 ■ Reconhecer os diversos 
tipos de desconto e suas 
respectivas operações 
financeiras considerando 
casos práticos do ramo de 
seguros.
 ■ Entender as diferenças 
entre as operações de 
curto e de longo prazo 
considerando casos 
práticos do ramo de 
seguros. 
 ■ Reconhecer a importância 
do conhecimento sobre as 
operações de desconto 
para o corretor de seguros 
considerando as nuances 
da comercialização de 
produtos de seguros.
Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de:
⊲ O QUE É DESCONTO
⊲ DESCONTO A JUROS SIMPLES
⊲ DESCONTO A JUROS 
COMPOSTOS
⊲ FIXANDO CONCEITOS 4
TÓPICOS 
DESTA UNIDADE
 ■ Compreender como 
funcionam as operações 
financeiras que envolvem 
descontos comerciais 
considerando a análise de 
situações práticas do ramo 
de seguros.
 ■ Aprender como efetuar 
operações que envolvem 
juros simples ou juros 
compostos analisando 
casos práticos do ramo de 
seguros.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 67
UNIDADE 4
 O QUE É DESCONTO 
O desconto pode ser entendido como um “ganho” que o devedor tem ao 
antecipar o pagamento de um débito.
Operações envolvendo desconto são tradicionais no mercado financeiro. 
Quando uma empresa ou um agente financeiro decide antecipar um paga-
mento de título de crédito, nota promissória, letra de câmbio etc., o valor que 
será pago na antecipação não será o mesmo valor final, ou seja, o mesmo 
valor na data de vencimento. Essa diferença entre o Valor Final (F) e o valor 
pago na antecipação (P) é denominado DESCONTO (D).
Importante
O Valor Final (F) de um título também é chamado de Valor de Face, Valor Futuro ou 
Valor de Resgate.
O valor pago na antecipação (P) de um título também é chamado de Valor Presente ou 
Valor Descontado.
O prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu venci-
mento) é indicado por n.
FIGURA 6: ESQUEMA DE DESCONTO
0
P
n
F
F
D = F - P
n
Fonte: o autor (2021)
MATEMÁTICA FINANCEIRA 68
UNIDADE 4
Os descontos são classificados de acordo com o regime de juros das ope-
rações. Assim, temos:
 ■ Desconto simples, realizado sob o regime de juros simples e mais 
adotado em operações de curto prazo.
 ■ Desconto composto, realizado sob o regime de juros compostos e 
em operações de longo prazo.
 DESCONTO A JUROS SIMPLES 
O desconto realizado sob o regime de juros simples é classificado de duas 
formas: desconto racional simples (ou desconto “por dentro”) e descon-
to comercial ou bancário simples (ou desconto “por fora”). Por questões 
conceituais e de usabilidade, abordaremos somente o desconto comercial 
simples (ou "por fora").
Saiba mais
Embora a confusão entre juros e desconto seja frequente, lembramos que são dois 
critérios distintos. No cálculo de juros, a taxa da operação incide sobre o capital inicialou valor presente (como vimos nas unidades anteriores). Já nos cálculos de desconto, 
podemos ter a taxa da operação aplicada no montante final (desconto comercial ou 
"por fora"), ou aplicada sobre o valor inicial (desconto racional ou "por dentro").
FIGURA 7: COMPARAÇÃO ENTRE JUROS E DESCONTO
Sendo: P = Valor Presente ou valor descontado. 
 F = Valor Futuro ou valor de face.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 69
UNIDADE 4
 — Desconto comercial 
simples (ou “por fora”)
O valor do desconto é calculado a juros simples diretamente no valor de 
face ou valor futuro do título, sendo amplamente utilizado pelo mercado 
financeiro no que diz respeito a operações de crédito bancário e comercial 
de curto prazo.
Onde:
D = valor do desconto comercial simples (em moeda R$).
F = valor futuro ou valor de face ou valor nominal do título.
i
d
 = taxa de desconto.
n = prazo/período de antecipação (tempo)
Exemplo
Qual o valor do desconto comercial simples para um título de crédito com valor de face 
de R$ 12.000,00, que foi descontado seis meses antes de seu vencimento, a uma taxa 
de 3,5% ao mês, com regime de capitalização de juros simples?
Dados: 
F = 12.000 
n = 6 
id = 3,5% a. m. = 0,035
Cálculo: 
D = F × id × n
D = 12.000 × 0,035 × 6
D = 2.520,00
Resposta: O valor do desconto será de R$ 2.520,00. 
D =F × id × n
Importante
n e i
d
 devem estar na mesma 
unidade de tempo.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 70
UNIDADE 4
Exemplo
Um título de capitalização no valor de face de R$ 5.000,00 poderá ser resgatado, a 
qualquer momento, antes da data de vencimento, que é de 18 meses, a uma taxa de 2% 
ao mês. O dono do título está em dúvida sobre quando regastar e estipulou 3 prazos: seis 
meses, oito meses ou doze meses antes do vencimento.
Para ajudá-lo a resolver esse dilema, calcule o valor do desconto comercial simples 
para cada período determinado por ele.
N D
Seis meses ?
Oito meses ?
Doze meses ?
Dados: 
F = 5.000 
id = 2,0 % a.m. = 0,02
Cálculo: 
n = 6 meses antes do vencimento 
D = F × id × n 
D = 5.000 × 0,02 × 6 
D = 600,00
n = 8 meses antes do vencimento 
D = F × id × n 
D = 5.000 × 0,02 × 8 
D = 800,00
n = 12 meses antes do vencimento 
D = F × id
 × n 
D = 5.000 × 0,02 × 12 
D = 1.200,00
Resposta: Os valores do desconto nos períodos antes do vencimento são:
N D
Seis meses 600,00
Oito meses 800,00
Doze meses 1.200,00
Caso o resgate ocorra seis meses antes do vencimento, ficará com R$ 4.400,00, sendo 
descontado em R$ 600,00.
Se for oito meses antes do vencimento, ficará com R$ 4.200,00, sendo descontado em 
R$ 800,00,
E, se o resgate ocorrer em doze meses, ele terá em suas mãos R$ 3.800,00, sendo 
descontado em R$ 1.200,00.
Portanto, o ideal é que o dono do título aguarde o maior prazo possível para o resgate 
para que não sofra um desconto muito alto.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 71
UNIDADE 4
 DESCONTO A JUROS COMPOSTOS 
O desconto a juros compostos é utilizado basicamente em operações de lon-
go prazo e, assim como o desconto a juros simples, é classificado de duas 
formas: desconto racional (ou “por dentro”) e desconto comercial (ou “por 
fora”). Por questões conceituais e de usabilidade, abordaremos somente o 
desconto racional a juros compostos (ou "por dentro").
 — Desconto racional a juros 
compostos (ou “por dentro”)
O desconto racional composto é extraído da fórmula de juros compostos e, 
por envolver o valor futuro, possui larga utilização prática.
D = F - P e P = F - D
F = P (1 + i)n e P = F 
 (1+i)n 
Substituindo P em D, temos:
D = F – F 
 (1+i)n
D = F × [(1+i)n -1]
 (1+i)n
Saiba mais
As teclas financeiras da 
calculadora HP-12C também 
podem ser utilizadas para 
facilitar a resolução do desconto 
racional composto, assim como 
os juros compostos da unidade 
anterior.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 72
UNIDADE 4
Exemplo
Uma nota promissória no valor de R$ 24.000,00, a ser paga daqui a 
doze meses, foi descontada cinco meses antes do seu vencimento. 
Sabendo-se que foi aplicada a taxa mensal de desconto racional 
composto de 4,2%, qual foi o valor do desconto dessa operação?
Dados: 
F = R$ 24.000,00 
n = 5 meses de antecipação 
i = 4,2% ao mês = 0,042
Cálculo: 
D = F × [(1+i) -1]
 (1+i)n 
D = 24000 × [(1+0,042) -1]
 (1+0,042)5 
D = 24000 × 0,228397
 1,228397
D=24000 × 0,185931
D=4.462,34
Resposta: O valor do desconto foi de R$ 4.462,34. 
Dicas da HP-12C®
 
24.000,00 ⊲ FV
4,2 ⊲ i
5 ⊲ n
PV
– 19.537,66
CHS ⊲ 19.537,66.
O exercício solicita D 
(desconto):
D = F – P
D = 24.000,00 – 19.537,66
D = 4.462,34.
n
5
MATEMÁTICA FINANCEIRA 73
FIXANDO CONCEITOS
 FIXANDO CONCEITOS 4 
Marque a alternativa correta.
Calcule o valor do desconto comercial simples para os Títulos de 
Capitalização abaixo (exercícios 1, 2 e 3):
1. Ventcap: valor de face R$ 44.000,00, taxa de desconto 10,2% ao mês, 
resgate 120 dias antes do vencimento.
(a) R$ 12.250,00.
(b) R$ 15.725,00.
(c) R$ 17.952,00.
(d) R$ 19.950,00.
(e) R$ 21.250,00.
2. Capseguro: valor de face R$ 38.500,00, taxa de desconto 13% ao mês, 
resgate quatro meses antes do vencimento.
(a) R$ 10.250,00.
(b) R$ 15.025,00.
(c) R$ 17.152,00.
(d) R$ 19.150,00.
(e) R$ 20.020,00.
3. Ganhe Mais: valor de face R$ 18.000,00, taxa de desconto 9,8% ao mês, 
resgate em 30 dias antes do vencimento.
(a) R$ 1.764,00.
(b) R$ 5.725,00.
(c) R$ 7.952,00.
(d) R$ 9.950,00.
(e) R$ 11.250,00.
4. Calcule o desconto racional composto que foi dado a um título com valor 
de face de R$ 5.400,00, negociado quatro meses antes do seu vencimen-
to, a uma taxa de 11,25% ao mês.
(a) R$ 550,75.
(b) R$ 725,22.
(c) R$ 1.252,30.
(d) R$ 1.874,72.
(e) R$ 2.150,33.
Consulte o gabarito clicando aqui.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 74
UNIDADE 505
SÉRIES de 
PAGAMENTOS
 ■ Reconhecer as características 
das séries de pagamentos 
considerando casos práticos 
do ramo de seguros.
 ■ Entender o cálculo do valor 
presente ou futuro das 
parcelas em séries finitas ou 
infinitas considerando casos 
práticos do ramo de seguros.
 ■ Compreender o cálculo do 
valor presente e do valor 
das parcelas das séries de 
pagamentos perpétuas, 
postecipadas e antecipadas, 
considerando casos práticos.
Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de:
⊲ SÉRIES DE PAGAMENTOS
⊲ CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES
⊲ VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE 
 OU SÉRIE DE PAGAMENTO
⊲ VALOR DO MONTANTE OU VALOR 
 FUTURO DE UMA ANUIDADE
⊲ FIXANDO CONCEITOS 5
TÓPICOS 
DESTA UNIDADE
 ■ Reconhecer a 
aplicabilidade das séries 
de pagamentos para 
o cálculo de seguros 
voltados para investimento 
(ex.: Previdência 
Complementar) 
considerando casos 
práticos. 
 ■ Reconhecer as diversas 
características das 
operações envolvendo 
séries de pagamentos 
analisando situações do 
ramo de seguros. 
 ■ Aprender a efetuar 
operações que envolvem 
séries de pagamentos 
analisando casos práticos 
do ramo de seguros.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 75
UNIDADE 5
 SÉRIES DE PAGAMENTOS 
Séries de pagamentos ou renda certa ou anuidade são nomes dados à 
sequência finita ou infinita de “pagamentos” (PMT, PMT, ...), que são cha-
mados de termos da anuidade e que devem ocorrer em datas preestabe-
lecidas (t
1
, t
2
, ...).
De um modo geral, as séries têm por objetivo a quitação de empréstimo 
(amortização) de forma parcelada, ou a formação de um montante (capita-
lização) para utilização futura.
 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES 
As séries de pagamento podem ter características diversas, de acordo 
com a forma negociada:
 ■ Quanto ao número de termos:
Finitas: no caso de existir uma última prestação. Existe um 
número limitado (temporário) de prestações; e
Infinitas: quando não existir uma última prestação. Neste 
caso, a série chama-se perpetuidade.
 ■ Quanto à natureza:
Uniformes: quando todos os termos forem iguais. Também 
chamadasde constante ou, ainda, de renda fixa; e
Não uniformes: quando os termos forem diferentes. Tam-
bém chamadas de renda variável.
Anuidade
Fluxo de caixa constante que 
ocorre em intervalos regulares 
por um período fixo de tempo.
Atenção
Nesse caso, tanto para a amortização 
quanto para a capitalização, as 
prestações ou as amortizações estão 
pagando/rendendo juros a cada 
período. Para as séries de pagamento, 
cada período terá uma entrada 
ou saída de caixa, diferentemente 
das unidades anteriores, quando 
considerávamos o capital “parado” 
por “n” períodos, sendo movimentado 
apenas no final do prazo.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 76
UNIDADE 5
 ■ Quanto ao intervalo entre os seus termos:
Periódicas: quando o intervalo entre seus termos for constante.
Não periódicas: quando o intervalo não for constante.
 ■ Quanto ao vencimento de seus termos:
Postecipadas: quando os termos se posicionam no final de cada 
período.
Antecipadas: quando os termos se posicionam no início de cada 
período.
 ■ Quanto à ocorrência do primeiro termo:
Imediata: quando o primeiro termo ocorrer no primeiro período.
Diferidas: quando o primeiro termo só ocorrer após alguns perío-
dos, ou seja, quando houver uma carência. A esse prazo chama-se 
diferimento da anuidade, prazo de diferimento ou prazo de carência.
A modalidade apresentada no material reflete o sistema de amortização 
mais utilizado no Brasil. É caracterizado por ter as prestações uniformes 
(iguais) e com o intervalo de tempo constante. O primeiro pagamento ocor-
rerá no início do período (antecipada) ou ao final do período (postecipada).
 VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE 
 OU SÉRIE DE PAGAMENTO 
Saiba mais
Sistema Francês de Amortização ou CDC
Nesse tipo de amortização, à medida que o financiamento é amortizado (pago), a com-
posição entre valor amortizado e quantidade de juros, inclusa em cada prestação, vai se 
alterando. Com o correr do tempo, vai se amortizando mais e pagando-se menos juros. 
Uma das modalidades que adotam esse tipo de pagamento é o chamado crédito direto ao 
consumidor (CDC).
Nessa modalidade, a primeira prestação ocorre no final do período, ou seja, o pagamento é 
postecipado.
Um caso particular do Sistema Francês de Amortização é a Tabela Price. Nesse sistema, 
utiliza-se, no cálculo das prestações, a taxa proporcional no lugar da taxa equivalente.
O Sistema Francês de Amortização, ou CDC, é o mais utilizado pelas instituições financeiras 
e pelo comércio em geral.
Importante
Nos problemas de séries 
uniformes, precisamos, 
necessariamente, encontrar 
a taxa equivalente à unidade 
de tempo, do período de 
capitalização, dada 
 pelo problema.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 77
UNIDADE 5
O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus ter-
mos, em uma mesma data focal (Data 0) e a uma mesma taxa de juros.
FIGURA 8: CÁLCULO DE ANUIDADE
DATA 
FOCAL
t
1
PMT PMT
t
n
O valor atual na data focal será:
P = PMT1 + PMT2 + ... + PMTn 
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n
 — Anuidade Temporária por “n” Anos
 ■ Imediata e Postecipada: série de pagamentos em que o primei-
ro termo ocorre um período após a compra. Conhecido também 
como Sistema Francês de Amortização ou crédito direto ao consu-
midor (CDC). Usa-se a fórmula:
P = (1 + i)n – 1 × PMT
 (1 + i)n × i
P: valor atual da série 
n: número de termos 
i: taxa de juros
PMT: pagamento/recebimento
MATEMÁTICA FINANCEIRA 78
UNIDADE 5
 
Exemplo
Uma pessoa paga um seguro parcelado em quatro prestações de 
R$ 200,00, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do final do 
mês da compra (Pagamento Postecipado ou CDC) e a seguradora 
afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. O 
preço do seguro à vista é de:
Dados: 
n = 4 
PMT = 200,00 
i = 2% a.m. 
P = ?
Cálculo:
P = (1 + i)n – 1 × PMT
 (1 + i)n × i
P = (1 + 0,02)4 – 1 × 200
 (1 + 0,02)4 × 0,02
P = 0,082432 × 200
 0,021649
 
P = 761,55
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
TABELA 11: SOLUÇÃO COM HP–12C®
DIGITAR 
VALOR
CLICAR 
TECLA
APARECE 
NO VISOR
ENTENDIMENTO
f CLx 0,00 Limpar Pilha
g 8 0,00 Desativar função BEGIN
200 CHS -200,00 Trocar sinal do Termo
PMT -200,00 Armazenar o Termo da Série 
(Pagamento)
2 i 2,00 Armazenar Taxa
4 n 4,00 Armazenar Número Períodos
PV 761,55 Apresentar Valor Atual da Série
Dicas da HP-12C®
Exemplo: G END
(significa que os pagamentos 
ocorrem no fim de cada 
período).
200 ⊲ PMT
2 ⊲ i
4 ⊲ n
PV
– 761,55 ⊲ CHS
761,55
Dicas
Sempre utilizar seis 
casas decimais para 
os cálculos e aplicar o 
arredondamento no final.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 79
UNIDADE 5
 ■ Imediata e Antecipada: série de pagamentos em que o primeiro 
termo ocorre no momento da compra. Usa-se a fórmula:
P = ( 1 + i)n – 1 × PMT
 (1 + i)n–1 × i
Onde:
P : valor atual da série 
n : número de termos 
i : taxa de juros
PMT : pagamento/recebimento
Exemplo
Uma pessoa paga um seguro de forma parcelada em quatro 
prestações de R$ 196,08. As prestações serão pagas a partir do 
momento da compra (Pagamento Antecipado) e a seguradora 
afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. 
O preço do seguro à vista é de:
Dados: 
n = 4 
PMT = 196,08 
i = 2% a.m. = 0,02 
P = ?
Cálculo:
P = (1 + i)n – 1 × PMT
 (1 + i)n–1 × i
P = (1 + 0,02)4 – 1 × 196,08
 (1 + 0,02)4–1 × 0,02
P = 0,082432 × 196,08
 0,021224
P = 761,55
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
Dicas da HP-12C®
Exemplo: o pagamento é 
antecipado; por isso, devem ser 
acionadas as teclas G BEG.
G BEG (deve aparecer BEGIN 
no visor de sua calculadora).
G ⊲ BEG
196,08 ⊲ PMT
2 ⊲ i
4 ⊲ n
PV
– 761,55 ⊲ CHS
761,55
G ⊲ END
MATEMÁTICA FINANCEIRA 80
UNIDADE 5
 ■ Diferida por “m” anos: nesse caso, o primeiro pagamento só 
ocorre em prazos superiores a um período, ou seja, a carência 
deve ser superior a um período. Usa-se a fórmula:
P = 1 × (1 + i)n –1 × PMT
 (1 + i)m-1 (1 + i)n × i
Onde:
P : valor atual da série 
n : número de termos 
m : prazo de carência
i : taxa de juros
PMT : pagamento/recebimento
Exemplo hipotético
Uma pessoa faz um seguro e irá pagá-lo em quatro prestações men-
sais de R$ 2.626,24. As prestações serão pagas a partir do quarto mês 
da compra (quatro meses de carência). A seguradora afirmou estar 
cobrando uma taxa de juros compostos de 2,0% a.m. Qual é o preço 
do seguro à vista?
TABELA 12: SOLUÇÃO COM HP-12C®
DIGITAR 
VALOR
CLICAR 
TECLA
APARECE 
NO VISOR ENTENDIMENTO
f CLx 0,00 Limpar Pilha
g 7 Begin Ativar função BEGIN
196,08 CHS -196,08 Trocar sinal do Termo
PMT -196,08 Armazenar o Termo da Série 
(Pagamento)
2 i 2,00 Armazenar Taxa
4 n 4,00 Armazenar Número Perío-
dos
PV 761,55 Apresentar Valor Atual da Série
MATEMÁTICA FINANCEIRA 81
UNIDADE 5
FIGURA 9: CÁLCULO DE PRESTAÇÕES MENSAIS
Solução 1
PMT = 2.626,24
n = 4 meses
m = 4 meses (tempo de carência) 
i = 2,0% a.m.
P = ?
P = 1 × (1 + i)n – 1 × PMT
 (1 + i )m–1 (1 + i)n × i
P = 1 × (1 + 0,02)4 – 1 × 2.626,24
 (1 + 0,02 )4 – 1 (1 + 0,02)4 × 0,02
P = 0,942322 × 3,807729 × 2.626,24
P = 9.423,23
Note que, estruturando o exercício em duas etapas, é possível trazer os 
valores para o dia de hoje.
Solução 2
Após observarmos o fluxo de caixa, podemos resolver esse problema tra-
zendo os pagamentos para o terceiro mês, utilizando a fórmula da Anuida-
de Temporária por “n” anos imediata e postecipada:
P = (1 + i)n – 1 × PMT
 (1 + i)n × i
P = (1 + 0,02)4 – 1 × 2.626,24
 (1 + 0,02)4 × 0,02
P = 3,807729 × 2.626,24
Dicas
A solução de problemas 
ligados a prazos de carência 
deve ser realizada em duas 
etapas. Primeiramente, 
resolvemos aárea que 
contém os termos da série e, 
depois, a área do prazo de 
carência (sem o BEGIN). Para 
facilitar o cálculo é indicado 
subtrair um mês da carência. 
1
0
P
PMT PMT................................
2 3 4 5 6 7
Dicas da HP-12C®
G ⊲ END
2.626,24 ⊲ PMT
2 ⊲ i
4 ⊲ n
PV
– 10.000,00 ⊲ CHS
f CLX (Limpa os registros)
10.000,00 ⊲ FV
2 ⊲ i
3 ⊲ n
PV
- 9.423,23 ⊲ CHS
9.423,23
Note que, estruturando o 
exercício em duas etapas, é 
possível trazer os valores para o 
dia de hoje.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 82
UNIDADE 5
P= 10.000,00
Posteriormente, traremos o valor obtido no terceiro mês para a data focal zero.
Sabemos que:
 
P = 
 F 
, logo,
 
P = 
10.000 
= 9.423,23
 (1 + i)n (1,02)3
Veja o fluxo de caixa pronto deste exemplo:
FIGURA 10: FLUXO DE CAIXA
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
A solução de problemas ligados a prazos de carência deve ser realizada em 
duas etapas. Primeiramente, resolvemos a área que contém os termos da 
série (desativando a função BEGIN) e, depois, a área do prazo de carência. 
Para facilitar o cálculo é indicado subtrair um mês da carência.
TABELA 13: SOLUÇÃO COM HP-12C®
DIGITAR 
VALOR
CLICAR 
TECLA
APARECE 
NO VISOR ENTENDIMENTO
1a Parte f CLx 0,00 Limpar Pilha
g 8 Desativar Função BEGIN
2.626,24 CHS -2.626,24 Trocar sinal do Termo
PMT -2.626,24 Armazenar Termo da Série
2 i 2,00 Armazenar Taxa
4 n 4,00 Armazenar Número Períodos
PV 10.000,01 Apresentar Valor Atual da Série 
no terceiro mês
f X< > Y 10.000,01 Limpar Registros Financeiros
CHS -10.000,01 Trocar o sinal do valor 
encontrado na 1a parte
1
0
P = 9.423,23 P
1
= 10.000,00
3 meses de desconto
PMT PMT = 2.626.24................................
2
3
4 5 6 7
MATEMÁTICA FINANCEIRA 83
UNIDADE 5
FV -10.000,01 Armazenar o valor encontrado 
na 1a parte do problema na 
Função Valor Futuro
2 i 2,00 Armazenar Taxa
3 n 3,00 Armazenar no Períodos relati-
vos a antecipação
PV 9.423,23 Aparece o Valor Atual da Série 
no início do investimento
 — Anuidade perpétua
 ■ Imediata Postecipada: somatório de um número infinito de ter-
mos de uma série cujos pagamentos acontecem no final do perío-
do. Usa-se a fórmula:
Onde:
P: valor atual da série.
i: taxa de juros.
PMT: pagamento/recebimento.
 ■ Imediata e Antecipada: somatório de um número infinito de ter-
mos de uma série cujos pagamentos acontecem no início do perío-
do. Usa-se a fórmula:
P = 1 × PMT
 i
P = 1 + i × PMT
 i
Exemplo
Se uma Previdência Privada está rendendo um valor mensal de R$ 
600,00 e se a melhor aplicação no mercado financeiro é de 2% a.m., 
a primeira estimativa do valor à vista que deve ser aplicado nessa 
previdência, considerando o recebimento das parcelas no final de 
cada mês, é de:
PMT = 600,00 
i = 2% a.m.
P = 1 × PMT
 i
Importante
Quando falamos em 
Anuidade Perpétua, 
não teremos um 
período de tempo 
definido (n=?). Assim, 
convencionou-se 
utilizar 9999 no 
período (n), e não 
deverá ser utilizado a 
tecla FV.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 84
UNIDADE 5
Onde:
P: valor atual da série.
n: número de termos.
i: taxa de juros.
PMT: pagamento/recebimento.
P = 1 × 600
 0,02
P = 30.000
TABELA 14: SOLUÇÃO UTILIZANDO A CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C©
DIGITAR 
VALOR
CLICAR 
TECLA
APARECE 
NO VISOR ENTENDIMENTO
f CLx 0,00 Limpar Pilha
g 8 0,00 Desativar função BEGIN
600 CHS -600,00 Trocar sinal do Termo
PMT -600,00 Armazenar o Termo da Série 
(Pagamento)
2 i 2,00 Armazenar Taxa
9999 n 9999 Armazenar Número Períodos
PV 30.000,00 Apresentar Valor Atual da Série
Dicas da HP-12C®
Exemplo:
G ⊲ END
600 ⊲ PMT
2 ⊲ i
9999 ⊲ n
PV
– 30.000,00 ⊲ CHS
 30.000,00
Obs.: utilizou- se o 9999 
como a quantidade de 
períodos (n), pois, como a 
série é infinita, o 9999 faz 
com que o valor pareça 
infinito para a HP-12C®.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 85
UNIDADE 5
Exemplo
Se uma Previdência Privada está rendendo um valor mensal de R$ 
600,00 e se a melhor aplicação no mercado financeiro é de 2% 
a.m., a primeira estimativa do valor à vista que deve ser aplicado 
nessa previdência, considerando o recebimento das parcelas no 
início de cada mês, é de:
Dados: 
n = infinito 
PMT = 600,00 
i = 2% a.m. 
P = ?
Cálculo:
P = 1 + i × PMT
 i
P = 1+ 0,02 × 600,00
 0,02
P = 51,00 × 600,00
P = 30.600,00
TABELA 15: SOLUÇÃO UTILIZANDO A CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C©
DIGITAR 
VALOR
CLICAR 
TECLA
APARECE 
NO VISOR ENTENDIMENTO
f CLx 0,00 Limpar Pilha
g 7 Begin Ativar Função BEGIN
600 CHS -600,00 Trocar sinal do Termo
PMT -600,00 Armazenar o Termo da Série 
(Pagamento)
2 i 2,00 Armazenar Taxa
9999 n 9999 Armazenar Número Perío-
dos
PV 30.600,00 Apresentar Valor Atual da Série
Dicas da HP-12C®
Exemplo:
G ⊲ BEG
600 ⊲ PMT
2 ⊲ i
9999 ⊲ n
PV
-30.600,00 ⊲ CHS
30.600,00
Obs.: utilizou- se o 9999 como 
a quantidade de períodos (n), 
pois, como a série é infinita, 
o 9999 faz com que o valor 
pareça infinito para a HP-12C®.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 86
UNIDADE 5
 VALOR DO MONTANTE OU VALOR 
 FUTURO DE UMA ANUIDADE 
Chamamos de montante da anuidade a soma dos valores dos montantes 
de seus termos, considerando uma taxa de juros e uma data focal.
FIGURA 11: MONTANTE DA ANUIDADE
 — Montante das Anuidades por 
Prazo Certo de “n” Anos
 ■ Postecipada: somatório do número finito dos montantes dos ter-
mos de uma série cujos pagamentos acontecem no fim do perío-
do. Usa-se a fórmula:
Onde:
F: montante da série.
n: número de termos.
i: taxa de juros.
PMT: pagamento/recebimento
DATA 
FOCAL
t
1
PMT PMT
t
n
F = (1 + i )n –1 × PMT
 i
MATEMÁTICA FINANCEIRA 87
UNIDADE 5
 ■ Antecipada: somatório do número finito dos montantes dos ter-
mos de uma série cujos pagamentos acontecem no início do perío-
do. Usa-se a fórmula:
F = (1 + i) × (1 + i )n –1 × PMT
 i
Exemplo
Calcular o montante referente às parcelas de uma previdência privada 
pagas de forma postecipada no valor de R$ 5.000,00, a uma taxa de 2% 
a.m., durante 24 meses.
Dados:
n = 24 meses 
PMT = 5.000,00 
i = 2% a.m. 
F = ?
Cálculo:
F = (1 + i)n – 1 × PMT
 i
F = (1 + 0,02)24 – 1 × 5.000,00
 0,02
F = 30,421862 × 5.000,00
F = 152.109,31
TABELA 16: SOLUÇÃO UTILIZANDO A CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C©
DIGITAR 
VALOR
CLICAR 
TECLA
APARECE 
NO VISOR ENTENDIMENTO
f CLx 0,00 Limpar Pilha.
g 8 Desativar função BEGIN.
5000 CHS -5.000,00 Trocar sinal do Termo.
PMT -5.000,00 Armazenar o Termo da Série 
(Pagamento).
2 i 2,00 Armazenar Taxa.
24 n 24 Armazenar Número Períodos.
FV 152.109,31 Apresentar Valor Futuro da Série.
Dicas da HP-12C®
Dicas da HP
Exemplo:
G ⊲ END
5.000,00 ⊲ PMT
2 ⊲ i
24 ⊲ n
FV
– 152.109,31 ⊲ CHS
152.109,31
MATEMÁTICA FINANCEIRA 88
UNIDADE 5
Onde:
F: montante da série.
n: número de termos.
i: taxa de juros.
PMT: pagamento/recebimento.
Exemplo
Calcular o montante referente às parcelas de uma previdência privada 
pagas de forma antecipada no valor de R$ 5.000,00, a uma taxa de 2% 
a.m., durante 24 meses:
Dados: 
n = 24 meses 
PMT = 5.000,00 
i = 2% a.m. = 0,02 
F = ?
Cálculo:
F = (1 + i) × (1 + i)n – 1 × PMT
 i
F = (1 + 0,02) × (1 + 0,02)24 – 1 × 5.000,00
 0,02
F = 1,02 × 30,421862 × 5.000,00
F = 155.151,50.
TABELA 17: SOLUÇÃO UTILIZANDO A CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C©
DIGITAR 
VALOR
CLICAR 
TECLA
APARECE 
NO VISOR ENTENDIMENTO
f CLx 0,00 Limpar Pilha
g 7 Begin Ativar Função BEGIN
5000 CHS -5.000,00 Trocar sinal do Termo
PMT -5.000,00 Armazenar o Termo da Série 
(Pagamento)
2 i 2,00 Armazenar Taxa
24 n 24 Armazenar Número Períodos
FV 155.151,50 Apresentar Valor Futuro da Série
Dicas da HP-12C®
Exemplo:
G ⊲ BEG
5.000,00 ⊲ PMT
2 ⊲ i
24⊲ n
FV
– 155.151,50 ⊲ CHS
155.151,50
MATEMÁTICA FINANCEIRA 89
FIXANDO CONCEITOS
 FIXANDO CONCEITOS 5 
Marque a alternativa correta.
1. Sabendo que uma pessoa financia um seguro e irá pagá-lo em 36 pres-
tações mensais de R$ 450,00, sem entrada, que a primeira prestação será 
paga um mês após a compra e que o corretor afirmou estar cobrando uma 
taxa de juros compostos de 3,5% a.m. O preço do seguro à vista, despre-
zando-se os centavos, é de:
(a) R$ 8.000,00. (d) R$ 15.652,00.
(b) R$ 9.000,00. (e) R$ 16.200,00.
(c) R$ 9.130,00.
2. Sabendo que uma pessoa faz um seguro de um automóvel e paga, à 
vista, aproximadamente R$ 15.650,00. Supondo que tal pessoa desejasse 
pagar o seguro do automóvel em 36 parcelas mensais, a uma taxa de juros 
compostos de 2,95% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da 
compra, o valor da prestação a ser paga é de:
(a) R$ 430,72. (d) R$ 441,00.
(b) R$ 434,72. (e) R$ 691,10.
(c) R$ 440,00. 
3. O montante de um parcelamento de seguros postecipado de R$ 
1.000,00, a uma taxa de juros de 2,5% a.m., durante 36 meses, é de:
(a) R$ 36.078,01. (d) R$ 50.316,43.
(b) R$ 36.902,36. (e) R$ 57.301,41.
(c) R$ 40.315,25.
4. Sabendo que Mariana deseja receber uma renda mensal de R$ 3.000,00 
e supondo que a renda não seja extinta com sua morte e que a taxa da 
melhor aplicação é de 1% a.m., a primeira estimativa do valor da previdên-
cia necessário para gerar a renda desejada, considerando aquele recebi-
mento no final de cada mês, é de:
(a) R$ 250.000,00. (d) R$ 310.000,00.
(b) R$ 280.000,00. (e) R$ 350.000,00.
(c) R$ 300.000,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 90
FIXANDO CONCEITOS
5. Sabendo que um investidor fez 12 aplicações consecutivas de valor uni-
tário e de periodicidade mensal (Série Antecipada) em um Plano de Pre-
vidência Privada, capitalizando integralmente cada um desses valores, e 
que a taxa de juros compostos utilizados nas aplicações foi de 2,35% a.m., 
o montante obtido pelo investidor é de:
(a) R$ 9,73. (d) R$ 14,00.
(b) R$ 9,90. (e) R$ 16,00.
(c) R$ 10,16.
Consulte o gabarito clicando aqui.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 91
ANEXOS
 ANEXOS 
 — ANEXO 1 – Revisão de Matemática
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos 
homens.”
Leopold Kronecker, matemático alemão, do século XIX
Os números são um dos principais objetos da Matemática. Existem várias 
definições para conceituar números, mas podemos entender, basicamen-
te, que um número é o resultado da comparação entre uma grandeza e 
a unidade. Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma 
contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a 
comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real. Os 
conjuntos de números na matemática são:
 ■ Conjunto dos números naturais, ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
 ■ Conjunto dos números inteiro, ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
 ■ Conjunto dos números racionais, Q, que são representados por fra-
ções do tipo m/n, onde m ϵ ℤ e n ϵ ℕ.
 ■ Conjuntos dos números reais ℝ, de tal forma que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
 REGRAS DE SINAIS NAS 
 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 
 ■ Nas operações matemáticas envolvendo números inteiros, faz-se 
necessário conhecer as regras dos sinais positivo (+) e negativo (-);
 ■ Na soma de dois ou mais números que apresentem o mesmo sinal, 
efetua-se a soma e atribui-se ao resultado final, o mesmo sinal dos 
números da operação.
Exemplos:
20 + 35 = 55
14 + (+ 16) = 14 + 16 = 30
-30 + (-100) = -30 -100 = -130
MATEMÁTICA FINANCEIRA 92
ANEXOS
 ■ Na soma de dois números ou mais números que apresentem 
sinais diferentes, subtrai-se do maior número em valor absoluto, o 
menor número (também em valor absoluto), e atribui-se à diferença 
encontrada, o sinal do número de maior valor absoluto;
Exemplos: 
150 + (-20) = 150 – 20 = 130
25 + (-55) = 25 – 55 = -30
-40 + (+16) = -40 + 16 = -24
 ■ Na subtração de um número negativo, o sinal é alterado e os valo-
res somados;
Exemplos: 
62 – (-18) = 62 + 18 = 80
-10 – (-30) = -10 + 30 = 20
-115 – (-15) = -115 + 15 = -100 
 ■ Na multiplicação ou divisão, o que vale são as seguintes regras:
— dois números com o mesmo sinal, atribui-se ao resultado da 
operação o sinal positivo (+);
— dois números com sinais diferentes, atribui-se ao resultado da 
operação o sinal negativo (-).
Exemplos:
20 × 2 = 40
15 × (-30) = -450
60 ÷ (-20) = - 3
-100 ÷ (-5) = 20
 EXPRESSÕES NUMÉRICAS E AS 
 REGRAS DE PONTUAÇÃO 
Além das regras de sinais, as expressões numéricas também são calcula-
das obedecendo uma ordem nas operações indicadas pelas pontuações, 
como parênteses, colchetes e chaves.
A colocação da pontuação em uma expressão numérica, influenciará o 
resultado final. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 93
ANEXOS
Exemplo:
15 - 7 - 3
Esta expressão pode ser calculada de duas maneiras:
15 - (7 – 3) = 11 ou (15 – 7) -3 = 5
Portanto, para encontrar a solução de uma expressão numérica, deve-se 
obedecer a seguinte ordem:
1°) Operações indicadas entre parênteses, ( );
2°) Operações indicadas entre colchetes, [ ];
3°) Operações indicadas entre chaves, { }.
Em expressões numéricas que apresentem mais de uma operação mate-
mática dentro da mesma pontuação, ou que não possuam sinais de pon-
tuação, a regra abaixo deverá ser obedecida para encontrar a solução:
1°) São efetuadas as operações de multiplicação e divisão;
2°) São efetuadas as operações de adição e subtração, conforme 
as regras de sinais das operações matemáticas.
Exemplos:
Calcular os resultados das seguintes expressões numéricas:
a) 12 × 4 – 5 = 48 – 5 = 43
b) 20 × (4 + 1) = 20 × 5 = 100
c) 45 + {-3 × [ -1 + (10+5)]} = 
 45 + {-3 × [ -1 + 15]} = 
 45 + {-3 × 14} = 
 45 + {-42} = 
 45 – 42 = 3
MATEMÁTICA FINANCEIRA 94
ANEXOS
 O USO DE FRAÇÕES E A DIVISÃO 
As frações expressam sempre uma divisão de um número por outro. Os 
termos de uma fração são o numerador e o denominador. O numerador 
corresponde ao dividendo, enquanto o denominador corresponde ao divi-
sor. O resultado de uma fração equivale ao quociente da divisão.
Passemos a um exemplo prático: suponha que chamei quatro amigos para 
minha casa. Quando chegaram, pedi uma pizza de oito fatias. Se cada um 
de nós comeu um pedaço de pizza, então, do total, foram comidas cinco 
fatias.
Qual é a porcentagem de pedaços de pizza em relação ao total?
Veja a representação gráfica da pizza com oito pedaços. A relação entre 
cinco fatias que foram comidas (mais claras) e oito fatias (total de fatias) 
pode ser expressa sob a forma de fração ou armando-se uma conta de 
divisão.
 — Frações Próprias e Impróprias
No caso do exemplo anterior, a pizza inteira possuía oito fatias e só foram 
consumidas cinco fatias; portanto, consideramos que, nesse exemplo, a 
 5 = 0,62500
 8
MATEMÁTICA FINANCEIRA 95
ANEXOS
fração foi própria, pois se consumiu menos do que o inteiro, ou seja, uma 
só pizza alimentou a todos os amigos.
Caso fosse necessário pedir uma outra pizza, haveria um consumo maior 
do que uma pizza, ou seja, maior do que um inteiro; no caso de faltar pizza 
para a demanda, a fração seria imprópria.
 — Frações Próprias
Acontece quando o denominador é maior que o numerador, significando 
que o resultado é inferior ao número 1. No exemplo anterior, o denomina-
dor “8” é maior do que o numerador “5”. O quociente “0,62500” (o resulta-
do) é menor do que o número 1.
Exemplos de frações próprias:
 ■ 270 dias é fração do ano comercial (360 dias), pois é menor do 
que o tempo de um ano e representa 3/4 ou 0,75 do ano.
Numerador  270 = 3 = 0,75
Denominador 360 4
 ■ Um semestre (180 dias) é fração do ano comercial, pois é menor 
do que o tempo de um ano (um semestre é 1/2 – metade – do ano 
ou 0,5 do ano).
Numerador  180 = 1 = 0,5
Denominador 360 2
 ■ Um trimestre (90 dias) é fração do ano comercial, pois é menor 
do que o tempo de um ano (um trimestre é 1/4 do ano ou 0,25 do 
ano).
Numerador  90 = 1 = 0,25
Denominador 3604
 ■ Um mês (30 dias) é fração do ano, pois é menor do que o tempo 
de um ano (um mês é 1/12 do ano ou, aproximadamente, 0,0833 
do ano).
Numerador  30 = 1 = 0,0833
Denominador  360 12
 ■ Um dia é fração do mês, pois ele é menor do que o tempo de um 
mês (um dia é 1/30 do mês ou, aproximadamente, 0,0333 do mês).
Numerador  = 1 = 0,0333
Denominador 30
MATEMÁTICA FINANCEIRA 96
ANEXOS
 ■ Uma hora é fração do dia, pois ela é menor do que o tempo de 
um dia (uma hora é 1/24 do dia ou, aproximadamente, 0,041667 
do dia).
Numerador  = 1 = 0,0333
Denominador 30
 ■ Um minuto é fração de uma hora, pois ele é menor do que o tem-
po de uma hora (um minuto é 1/60 da hora ou, aproximadamente, 
0,016667 da hora).
Numerador = 1 = 0,016667
Denominador 60
Vamos agora representar o trimestre como fração do ano comercial.
Quando agrupamos os doze meses do ano em grupos de três, obtemos 
quatro períodos ou quatro trimestres. Cada trimestre representa a quarta 
parte de um ano ou 1/4 ou 0,25 ou 25% do ano.
 — Frações Impróprias
Acontece quando o numerador é maior que o denominador, significando 
que o resultado é maior do que a unidade (maior do que um).
Contudo, já que costumamos representar as relações entre as quantida-
des sob a forma de fração, colocando uma quantidade no numerador e 
outra no denominador, também chamamos de fração essa forma de dividir 
(no caso, impropriamente, daí o nome fração imprópria).
Exemplos de frações impróprias:
 ■ Um ano e um semestre é uma vez e meia o tempo de um ano 
(3/2 ou 1,5 ano).
Numerador 360 + 180 = 540 = 3 = 1,5
Denominador 360 360 2
Ano Comercial
Com o objetivo de facilitar 
cálculos, considera-se que o mês 
comercial sempre terá 30 dias e 
o ano comercial sempre terá 360 
dias. Resolução 2.197 do Conselho.
UM ANO
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1º TRIMESTRE 2º TRIMESTRE 3º TRIMESTRE 4º TRIMESTRE
Frações Impróprias 
Quando dividimos o numerador 
pelo denominador, no caso das 
frações impróprias, o resultado 
sempre será maior do que 1.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 97
ANEXOS
 ■ Um ano é duas vezes o tempo de um semestre.
Numerador = 360 = 2 
Denominador 180
 ■ Um dia é 24 vezes o tempo de uma hora.
Numerador = 24 = 24
Denominador 1
 ■ Uma hora é 60 vezes o tempo de um minuto.
Numerador = 60 = 60
Denominador 1
 FATORAR, EXPONENCIAR E RADICIAR 
 — Fatorar
Significa apresentar um número sob a forma de um produto de outros 
números, chamados fatores. Todo número natural, maior que 1, pode ser 
decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Vale relembrar o conceito de números primos para deixar mais claro o pro-
cesso de fatoração. Um número é primo quando ele é divisível por apenas 
dois números distintos, ou seja, por 1 e por ele mesmo.
Veja a progressão dos números:
 ■ O número 0 é divisível por 1, 2, 3..., ou seja, por todos os núme-
ros naturais menos ele mesmo;
 ■ O número 1 é divisível por 1, ou seja, apenas por ele mesmo;
 ■ O número 2 é divisível por 1 e por 2, ou seja, por 1 e por ele 
mesmo;
 ■ O número 3 é divisível por 1 e por 3, ou seja, por 1 e por ele 
mesmo;
 ■ O número 4 é divisível por 1, 2 e por 4, ou seja, por 1 por 2 e por 
ele mesmo;
 ■ O número 5 é divisível por 1 e por 5, ou seja, por 1 e por ele 
mesmo;
MATEMÁTICA FINANCEIRA 98
ANEXOS
 ■ O número 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6, ou seja, por 1, por ele mes-
mo e por 2 e 3;
 ■ O número 7 é divisível por 1 e por 7, ou seja, por 1 e por ele 
mesmo;
 ■ O número 8 é divisível por 1, 2, 4 e 8, ou seja, por 1, por ele mes-
mo e por 2 e 4;
 ■ O número 9 é divisível por 1, 3 e 9, ou seja, por 1, por ele mesmo 
e por 3;
 ■ O número 10 é divisível por 1, 2, 5 e 10, ou seja, por 1, por ele 
mesmo e por 2 e 5; e
 ■ O número 11 é divisível por 1 e por 11, ou seja, por 1 e por ele 
mesmo.
Em relação aos números acima, podemos afirmar que os números 2, 3, 5, 7 
e 11 são primos, por só serem divisíveis por 1 e por eles mesmos.
Com base neste raciocínio, poderíamos continuar listando todos os núme-
ros naturais.
Regra prática para a fatoração
Os “fatores” de um número são valores que, ao serem multiplicados entre 
si, resultam neste próprio número.
Exemplo: Na equação 5 × 4 = 20, 5 e 4 são os fatores de 20.
Uma vez compreendido o que são números primos, vamos aprender a for-
ma mais simples de fazer a fatoração de um número. Acompanhe os pas-
sos para descobrir a decomposição:
Fatoração – Exemplo 1:
630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
 1 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 99
ANEXOS
1. Dividimos o número pelo menor número possível para que a divi-
são seja exata;
2. O resultado da divisão anterior deve ser colocado e, posteriormen-
te, dividido pelo menor número possível de forma que a divisão 
seja exata;
3. Esse processo deve ser feito sucessivamente até que se encontre 
o número 1 (quociente), que é divisível de forma exata apenas por 
ele mesmo.
Fatoração – Exemplo 2:
Decomposição do número 625 num produto de fatores:
Fatoração – Exemplo 3:
Decomposição do número 40:
 — Exponenciação ou Potenciação
Podemos afirmar que a multiplicação é a forma simplificada de calcularmos 
uma adição com várias parcelas iguais, e a potenciação é a forma de con-
seguirmos fazer multiplicações com várias parcelas iguais.
Sendo assim, a potenciação ou exponenciação é a operação de elevar um 
número ou expressão a uma dada potência.
625 = 5 × 5 × 5 × 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1 
40 = 2 × 2 × 2 × 5
40 2
20 2
10 2
5 5
1
3²
MATEMÁTICA FINANCEIRA 100
ANEXOS
Note que temos o número 3 com o número 2 sobrescrito à sua direita, 
formando 3².
Dizemos que o número 3 está elevado à segunda potência ou ao 
quadrado.
Nesta potência, o número 3 é a sua base, e ao número 2 damos o nome de 
expoente. Esta potência representa a multiplicação de dois fatores iguais 
a três.
Dessa forma: 3² é igual a 3 multiplicado por 3, que é igual a 9.
Potências com expoente 2 ou 3 possuem uma outra forma particular de 
leitura: respectivamente, ao quadrado e ao cubo.
Já os demais números, quando passam a ser expoentes, são lidos da 
seguinte forma, com seu número ordinal seguido da palavra potência.
Exemplo:
25 = dois elevado à quinta potência.
28 = dois elevado à oitava potência.
Observe exemplos abaixo:
a) 3² = 3 x 3 = 9
No caso acima, o “3” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele foi 
multiplicado (“2”) é o “expoente”. Também pode-se dizer "três ao quadrado".
Como se pode ver, fixamos a base (o “3”) e somamos o número de vezes 
que ele foi multiplicado, ou seja, pelo número do expoente (o “2” é o 
expoente).
b) 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
No caso acima, o “5” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele 
foi multiplicado (“4”) é o “expoente”.
Como se pode ver, fixamos a base (o “5”) e somamos o número de vezes 
que ela foi multiplicada (o “4” é o expoente).
c) 2³ = 2 x 2 x 2 = 8
No caso acima, o “2” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele 
foi multiplicado (“3”) é o “expoente”. Como se pode ver, fixamos a base (o 
“2”) e somamos o número de vezes que ela foi multiplicada (o “3” é o 
expoente). Pode-se dizer também "dois elevado ao cubo".
Isto é básico
a0 = 1
a1 = a
MATEMÁTICA FINANCEIRA 101
ANEXOS
 — Radiciar
Radiciar é achar a raiz de um número, ou seja, dividir sucessivamente um 
número por outro, uma quantidade de vezes definida, e produzir sempre 
resto zero. A quantidade de vezes que efetuamos as divisões é chamada 
de índice.
Exemplo:
O valor da raiz quadrada é o resultado que se encontra ao dividir-
mos um número por outro, duas vezes, sendo o resto igual a zero.
Qual o número que ao dividir 64 duas vezes sucessivamente pro-
duz resto zero?
Esse número é 8, pois 82 = 64 (8 × 8 = 64).
Na radiciação, o símbolo √ é o radical, “2” é o índice, “64” é o radicando e 
“8” é a raiz. 
A radiciação pode ser representada sob a forma de exponenciação:²√641 =8
²√641 = 641/2, onde 1 é o expoente do radicando e 2 é o índice da raiz.
Quando o índice é “2” ou quando não há um índice especificado no radical, 
chamamos de raiz quadrada.
Você sabe dizer qual o número que ao dividir 64 três vezes sucessivamen-
te produz resto zero? 
Esse número é 4, pois 43 = 64 (4 × 4 × 4 = 64).
No cálculo abaixo, “3” é o índice, “64” é o radicando, e “4” é a raiz, pois
43 = 4 × 4 × 4 = 64.
 3√641 = 4 ou 641/3 = 4
Quando o índice é “3”, chamamos de raiz cúbica. No exemplo anterior, “4” 
é a raiz cúbica de 64.
Método da fatoração: consiste em pegar o número em que a raiz quadra-
da é proposta e decompô-lo em fatores primos, transformá-los em potên-
cias com expoente referente à raiz (o que anula os expoentes) e, depois, 
multiplicá-los.
Isto é básico
MATEMÁTICA FINANCEIRA 102
ANEXOS
 PORCENTAGENS 
 — O Significado das Porcentagens
As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número debaixo da 
fração) iguais a 100 são conhecidas por razões centesimais e podem ser 
representadas pelo símbolo “%”.
O símbolo “%” é lido como por “cento”; “5%” lê-se “5 por cento”, e “25%” 
lê-se “25 por cento”.
Exemplos
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Vamos calcular a raiz quadrada de 2025.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 103
ANEXOS
O símbolo “%” significa centésimos; assim, “5%” é uma outra forma de se 
escrever 0,05 ou 5/100.
Quando fazemos as contas de qual é o percentual de determinado item, o 
que está sendo feito é colocar todos os itens na mesma escala de compa-
ração onde todos têm como base o número 100, que representa o inteiro.
Dessa forma, quando utilizamos o exemplo de que, em cada 100 seguros 
efetivados por um determinado corretor, 2 contêm erros de preenchimento 
de cadastro, o que podemos entender é que 2% do que é feito não serão 
aprovados pelo setor de qualidade.
As expressões “por cento” e “porcentagem” representam que, a cada 100 
aparelhos fabricados, sabemos que, neste exemplo, 2 terão problemas 
(100 × 0,02 = 2).
Imagine agora que você atrasou o condomínio no valor de R$ 150,00 e 
deve pagar multa de 2%.
Para calcular o valor da multa, multiplique 150,00 por 2% (0,02). 150,00 × 
0,02 = 3,00 (valor da multa é R$ 3,00).
O valor total a ser pago, em reais, é igual a 150,00 + 3,00 = 153,00, ou 
seja, R$ 153,00.
 — O Denominador 100
Toda vez que tivermos uma fração e o denominador for 100, estaremos 
diante de uma porcentagem.
 ■ 1/100 (1% ou 0,01) – lê-se “um por cento”, “um centésimo”;
 ■ 5/100 (5% ou 0,05) – lê-se “cinco por cento”, “cinco centésimos”;
 ■ 10/100 (10% ou 0,1) – lê-se “dez por cento”, “um décimo”;
 ■ 50/100 (50% ou 0,5) – lê-se “cinquenta por cento”, “um meio”, 
“metade”;
 ■ 100/100 (100% ou 1) – lê-se “cem por cento”, “um inteiro”;
 ■ 150/100 (150% ou 1,5) – lê-se “cento e cinquenta por cento”, “um 
e meio”; e
 ■ 200/100 (200% ou 2) – lê-se “duzentos por cento”, “dois”.
Estamos bastante acostumados a efetuar as quatro operações fundamen-
tais (somar, subtrair, multiplicar e dividir).
Façamos, porém, uma pequena revisão de conceitos que aprendemos nos 
ensinos fundamental e médio. Vamos efetuar algumas operações utilizan-
do números escritos sob a forma de porcentagens ou nas suas formas 
decimais equivalentes.
Importante
Nas operações (soma, diminuição, 
multiplicação e divisão) com 
porcentagem, trabalhamos com o 
valor no formato decimal, ou seja, 
divido por 100. 
Exemplo: 3% = 3 ÷ 100 = 0,03
MATEMÁTICA FINANCEIRA 104
ANEXOS
 — Maneiras de se Expressar 
as Porcentagens
Há várias maneiras de se expressar porcentagens:
 ■ 5% ou “5:100” (cinco dividido por cem) ou 5 ÷ 100 ou 0,05 (cinco 
centésimos);
 ■ 10% ou “10:100” (dez dividido por cem) ou 10 ÷ 100 ou 0,10 (um 
décimo); e
 ■ 3,33% ou “3,33:100” (três vírgula trinta e três dividido por cem) 
ou 3,33 ÷ 100 ou 0,0333 (trezentos e trinta e três décimos de milé-
simos).
Quando efetuamos o cálculo com máquina de calcular, podemos fazê-lo 
usando a tecla de porcentagem. É importante, entretanto, que você saiba 
o significado dos resultados, como no caso da multiplicação anteriormente 
observado.
 — Somar, Subtrair, Dividir e 
Multiplicar Porcentagens
Exemplos:
 ■ Somar: 5% + 10% = 0,05 + 0,1 = 0,15 ou 15%.
 ■ Subtrair: 10% – 4% = 0,1 – 0,04 = 0,06 ou 6%.
 ■ Multiplicar: 10% × 5% = 0,1 × 0,05 = 0,005 ou 0,5% (lê-se cinco 
milésimos ou meio por cento). Como você vê, 10% × 5% não é igual 
a 50%!
Quando desejamos multiplicar porcentagens com o objetivo de acumu-
lar os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, 
somando-se “um” ao valor das porcentagens, multiplicando os fatores e, 
após, deduzindo-se “um” do resultado.
Multiplicar Acumulando: 10% × 5%, acumulando o resultado.
(1 + 0,10) × (1 + 0,05) – 1 = (1,1 × 1,05) – 1 = 1,155 – 1 = 0,155 ou 15,5%
Quando queremos multiplicar acumulando um percentual a um valor, basta 
transformar essa porcentagem em fator e multiplicar ao valor.
Utilizando o exemplo da multa referente ao condomínio, conforme visto 
anteriormente, primeiro calculamos a multa de 2% e depois a somamos ao 
valor principal. Esta operação poderia ser feita em uma só operação:
MATEMÁTICA FINANCEIRA 105
ANEXOS
150,00 × 1,02 = 153,00 
Dividir: 10% ÷ 5% = 0,1 ÷ 0,05 = 2 ou 200%
Quando desejamos dividir porcentagens com o objetivo de desacumu-
lar os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, 
somando-se “um” ao valor das porcentagens, dividindo-se os fatores e, 
após, deduzindo-se “um” do resultado.
Dividir (Des) Acumulando: 10% ÷ 5%, (des) acumulando-se os resultados.
(1 + 0,10) ÷ (1 + 0,05) – 1 = 1,04761905 – 1 = 0,04761905 ou 4,76%
 EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Chamamos de equação do 1º grau toda equação que pode ser representa-
da sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais e a é diferen-
te de 0. A letra x recebe o nome de incógnita e é o valor que queremos 
encontrar para satisfazer a igualdade.
Exemplo
Uma aplicação em uma capitalização rendeu R$ 100,00 de juros, os quais, somados 
ao valor aplicado, totalizaram R$ 400,00.
Podemos representar essa aplicação em forma de equação:
x + 100 = 400, onde x é o valor aplicado, 100 são os juros ganhos e 400 é o saldo 
final da aplicação.
Para resolvermos essa equação utilizamos as seguintes regras:
1. Tudo que tem a incógnita, neste caso x, fica de um lado do sinal de igual e tudo que 
não tem a incógnita fica do outro lado do sinal de igual.
2. Quando um termo muda de lado, ele troca de sinal. Se ele está somando, passa 
para o outro lado subtraindo e vice-versa; se está multiplicando, passa para o outro 
lado dividindo e vice-versa.
Então,
x = 400 – 100, o valor 100, que estava somando do lado esquerdo do sinal de igual, 
passou para o lado direito subtraindo.
Fazendo a operação 400 – 100, temos que: x = 300
Substituindo x na equação inicial, teremos que: 300 + 100 = 400, ou seja, 400 = 400 
a igualdade foi satisfeita.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 106
ANEXOS
 — ANEXO 2 – Utilizando a 
calculadora HP-12C ®
n
12x
iiiiiiii
12÷
PPPPPPPVVVVVVVPV
CFo
PPPPPPPMMMMMMMTTTTTTTPMT
CFj
FFFFFFFFVVVVVVVVFV
Nj
CCCCCCCCHHHHHHHHSSSSSSSSCHS
DATE
777777777 888888888
BEG END
999999999
MEM
÷
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ex
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LN
∆∆∆∆∆∆∆∆%%%%%%%%∆%
CFo
%%%%%%%%%
INTG
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∆DYS
444444444
D.MY
555555555
M.DY
666666666 xxxxxx
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PSE
SSSSSSSSSSSSSSSSTTTTTTTTSST
BST GTO
CCCCCCCCLLLLLLLLXXXXXXXXCLX
X=0
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R
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222222222 333333333
n!
–––
OOOOONNNNONON f g SSSSSSSSTTTTTTTTOOOOOOOOSTO RRRRRRRRCCCCCCCCLLLLLLLLRCL
LSTx
..0000000000000000000
S
ΣΣΣΣΣΣΣΣ++++++Σ+
Σ-
+++++++
AMORT
BOND
INT NPV RND IRR
DEPRECIATION
PRICE
P / R Σ PRGM FIN
CLEAR
REG PREFIX
SL SOYD DBYTM
RRRRRRRRR yyyyyyxxxxx yyyyyyx y<>
x
x xw
A calculadora HP-12C® possui três funções por tipos de tecla: brancas, 
amarelas e azuis. As funções das teclas brancassão automáticas, e 
as funções das teclas amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das 
teclas, respectivamente. Para ativá-las, é necessário pressionar antes 
a tecla [f] para as amarelas ou [g] para as azuis.
Ligar/Desligar a calculadora [ON]
Apagar o que aparece no visor [CLX]
Apagar conteúdo de todos os registros [f] [CLX] (função amarela REG)
Apagar o conteúdo da memória financeira [f] [X<>Y] (função amarela FIN)
Fixar a quantidade de casas decimais [f] [número de casas desejado]
Introduzir um número [número] [ENTER]
Fazer um cálculo simples [número] [ENTER] [número] [operação]
Calcular porcentagem [número] [ENTER] [percentual] [%]
Calcular exponencial (potenciação) [número] [ENTER] [potência] [yx]
Extrair raiz (radiciação) [número] [ENTER] [raiz] [1/x] [yx]
Armazenar na memória [número] [ENTER] [STO] [número da memória 
onde será armazenado]
Buscar um número na memória [RCL] [número da memória onde foi armazenado]
Trocar sinal de um número 
(positivo para negativo e vice-versa)
[CHS]
MATEMÁTICA FINANCEIRA 107
ANEXOS
FUNÇÕES FINANCEIRAS:
Apagar o conteúdo da memória financeira [f] [X<>Y] (função amarela FIN)
Número de períodos [número] [n]
Taxa de juros (sempre em percentual) [número] [i]
Valor presente, principal, capital [número] [PV]
Valor das parcelas [número] [PMT]
Valor futuro, montante [número] [FV]
Cálculos financeiros com períodos fra-
cionados – no visor aparecerá a letra c
[STO] [EEX]
Pagamentos antecipados (ligar o BEGIN) 
– a palavra BEGIN aparecerá no visor
[g] [7] (função azul BEG)
Pagamentos postecipados (desligar o 
BEGIN) – a palavra BEGIN desaparecerá 
no visor
[g] [8] (função azul END)
Observações:
 ■ Mantenha a sua calculadora configurada para trabalhar com perío-
dos fracionados, ou seja, mantenha a letra c ligada no visor.
 ■ Sempre apague o conteúdo da memória financeira antes de intro-
duzir os valores das teclas financeiras.
 ■ Em caso de cálculos envolvendo séries de pagamentos, verifique 
se o pagamento é antecipado ou postecipado para que a função 
BEGIN seja ligada (antecipado) ou desligada (postecipado).
 ■ Em um cálculo usando as funções financeiras, utiliza-se apenas 4 
(quatro) das 5 (cinco) teclas ( n, i, PV, PMT e FV), sendo que n e i 
sempre serão usados, e somente duas das três teclas de valores 
financeiros (PV, PMT e FV) serão utilizadas. Introduzimos valores 
em 3 (três) teclas e pressionamos a quarta tecla cujo resultado 
queremos saber.
 ■ A HP trabalha como um fluxo de caixa, ou seja, um valor financeiro 
entra, e outro valor financeiro sai. Se você introduzir um valor finan-
ceiro positivo, o outro valor financeiro será negativo e vice-versa. 
Dicas para a Utilização Básica da HP-12C®:
1. Preparando a HP-12C® para qualquer tipo de cálculo
a) Bateria fraca
Ao ligar sua calculadora, caso fique piscando um asterisco (*) em 
sua tela, isso significa que a bateria (ou pilha) deve ser trocada.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 108
ANEXOS
b) Formatação do número
Com a calculadora desligada, pressione simultaneamente a tecla 
PONTO (.) e a tecla ON, a fim de configurar ponto (.) ou vírgula (,) 
para separar os números inteiros dos decimais. (A representação 
dos números difere de um país para o outro. Exemplo: no Brasil, 
1.000,00 e, nos EUA, 1,000.00.)
c) Sua calculadora deve mostrar sempre a letra “c” no visor 
Dessa forma, seus cálculos de períodos fracionários serão sempre 
corretos. Caso contrário, serão desprezados os valores após a vír-
gula. A forma de fazer isso acontecer é apertando as teclas STO 
e, após, EEX.
2. Operação básica da calculadora
A calculadora trabalha com sistema de empilhamento de dados, 
como se fosse um computador. Por isso, primeiro informamos os 
valores seguidos da tecla “ENTER” e, depois, as operações dese-
jadas.
3. Apagando número da tela
a) CLX apaga somente o último valor registrado.
n
12x
iiiiiiii
12÷
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CFo
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CLEAR
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SL SOYD DBYTM
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x xw
4. Utilizando as funções
Sua calculadora tem três “camadas” de teclas, que possuem fun-
ções distintas.
Teclas brancas – Representam as funções primárias e são as 
posicionadas na parte central das teclas.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 109
ANEXOS
Teclas amarelas – Representam as funções secundárias e são 
acionadas pela tecla f (amarela).
Teclas azuis – Representam as terceiras funções das teclas e são 
acionadas pela tecla g (azul).
n
12x
iiiiiiii
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AMORT
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DEPRECIATION
PRICE
P / R Σ PRGM FIN
CLEAR
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5. Funções financeiras
n
x
i
12÷
PV
CFo
PMT
CFj
FV
Nj
CHS
DATE12
Número 
de período
Taxa de Juros
Valor 
presente
Prestação
Valor 
futuro
6. Outras funções importantes
a) Casas decimais: usar a tecla F e o número de casas desejadas 
(Por exemplo: F 9 = nove casas decimais);
b) Limpar registros financeiros: Tecla F e tecla FIN fazem a limpe-
za de todos os registros de cálculo financeiro (teclas financeiras);
c) Limpar memória: Tecla F e tecla REG fazem a limpeza dos 
outros registros (inclusive registros financeiros e de memória);
d) CHS: serve para tornar um número positivo em número negati-
vo ou vice-versa.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 110
ANEXOS
Exemplo
Como faço para somar 2+2?
Resolução
O formato para fazer esse cálculo será o seguinte:
1. tecle 2 2. tecla “ENTER” 3. tecle 2 4. tecla “+” 5. 4 será o resultado no visor
n
12x
iiiiiiii
12÷
PPPPPPPVVVVVVVPV
CFo
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CCCCCCCCHHHHHHHHSSSSSSSSCHS
DATE
777777777 888888888
BEG END
999999999
MEM
÷
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ex
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LN
∆∆∆∆∆∆∆∆%%%%%%%%∆%
CFo
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INTG
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∆DYS
444444444
D.MY
555555555
M.DY
666666666 xxxxxx
RRRRRRRR //////// SSSSSSSSR / S
PSE
SSSSSSSSSSSSSSSSTTTTTTTTSST
BST GTO
CCCCCCCCLLLLLLLLXXXXXXXXCLX
X=0
EEEEEEE
N
T
E
R
E
N
T
E
R
111111111
x, r y, r
222222222 333333333
n!
–––
OOOOONNNNONON f g SSSSSSSSTTTTTTTTOOOOOOOOSTO RRRRRRRRCCCCCCCCLLLLLLLLRCL
LSTx
..0000000000000000000
S
ΣΣΣΣΣΣΣΣ++++++Σ+
Σ-
+++++++
AMORT
BOND
INT NPV RND IRR
DEPRECIATION
PRICE
P / R Σ PRGM FIN
CLEAR
REG PREFIX
SL SOYD DBYTM
RRRRRRRRR yyyyyyxxxxx yyyyyyx y<>
x
x xw
5 2 1 e 3 4
MATEMÁTICA FINANCEIRA 111
ANEXOS
Exemplo
Como faço para dividir 8 por 2?
Resolução
O formato para fazer esse cálculo será o seguinte:
1. tecle 8 2. “ENTER” 3. tecle 2 4. tecle “÷” 5. 4 será o resultado no visor
n
12x
iiiiiiii
12÷
PPPPPPPVVVVVVVPV
CFo
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DEPRECIATION
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CLEAR
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5 2 1 e 3 4
MATEMÁTICA FINANCEIRA 112
ANEXOS
Exemplo
Como faço para achar a potência 32 do número 1,122185?
Resolução
O formato para fazer esse cálculo será o seguinte:
1. tecle 1,122185 2. tecla “ENTER” 3. tecle 32 4. tecla ”yx” 5. 40,00025 será o 
resultado no visor.
n
12x
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Σ-
+++++++
AMORT
BOND
INT NPV RND IRR
DEPRECIATION
PRICE
P / R Σ PRGM FIN
CLEAR
REG PREFIX
SL SOYD DBYTM
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x
x xw
5 2 1 e 34
MATEMÁTICA FINANCEIRA 113
ANEXOS
Exemplo
Como faço para achar a raiz quadrada do número 25?
Resolução
O formato para fazer esse cálculo será o seguinte:
1. tecle 25 2. tecla “ENTER” 3. tecla “g” 4. tecla ”yx” 5. 5 será o resultado no visor.
n
12x
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777777777 888888888
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BST GTO
CCCCCCCCLLLLLLLLXXXXXXXXCLX
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111111111
x, r y, r
222222222 333333333
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LSTx
..0000000000000000000
S
ΣΣΣΣΣΣΣΣ++++++Σ+
Σ-
+++++++
AMORT
BOND
INT NPV RND IRR
DEPRECIATION
PRICE
P / R Σ PRGM FIN
CLEAR
REG PREFIX
SL SOYD DBYTM
RRRRRRRRR yyyyyyxxxxx yyyyyyx y<>
x
x xw
5 2 1 34
Importante
A radiciação pode ser calculada como uma exponenciação; portanto, os cálculos de 
exponenciação e de radiciação são semelhantes. Eles envolvem a digitação da base (o 
número que se quer exponenciar) e do expoente (o valor que representa o número de 
vezes que se quer exponenciar).
MATEMÁTICA FINANCEIRA 114
ANEXOS
Exemplo
Como faço para achar a raiz cúbica de 125?
Resolução
O formato para fazer esse cálculo será o seguinte:
1. tecle 125 2. tecla “ENTER” 3. tecle 3 4. Tecla “1/x” 5. Tecla “yx” 6. 5 será o resul-
tado no visor.
n
12x
iiiiiiii
12÷
PPPPPPPVVVVVVVPV
CFo
PPPPPPPMMMMMMMTTTTTTTPMT
CFj
FFFFFFFFVVVVVVVVFV
Nj
CCCCCCCCHHHHHHHHSSSSSSSSCHS
DATE
777777777 888888888
BEG END
999999999
MEM
÷
yyyyyyxxxxyx 11111111////////xxxxx//////1/x
ex
%%%%%%%%TTTTTTTT%T
LN
∆∆∆∆∆∆∆∆%%%%%%%%∆%
CFo
%%%%%%%%%
INTG
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∆DYS
444444444
D.MY
555555555
M.DY
666666666 xxxxxx
RRRRRRRR //////// SSSSSSSSR / S
PSE
SSSSSSSSSSSSSSSSTTTTTTTTSST
BST GTO
CCCCCCCCLLLLLLLLXXXXXXXXCLX
X=0
EEEEEEE
N
T
E
R
E
N
T
E
R
111111111
x, r y, r
222222222 333333333
n!
–––
OOOOONNNNONON f g SSSSSSSSTTTTTTTTOOOOOOOOSTO RRRRRRRRCCCCCCCCLLLLLLLLRCL
LSTx
..0000000000000000000
S
ΣΣΣΣΣΣΣΣ++++++Σ+
Σ-
+++++++
AMORT
BOND
INT NPV RND IRR
DEPRECIATION
PRICE
P / R Σ PRGM FIN
CLEAR
REG PREFIX
SL SOYD DBYTM
RRRRRRRRR yyyyyyxxxxx yyyyyyx y<>
x
x xw
6 245 1 e 3
Aplicação
Qual o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, a juros compostos, a 
uma taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 14 meses?
Resolução: 
P = 4.000,00 i = 2,5% a.m. n = 14 meses F = ?
1. Aperte a tecla f e depois a tecla X< >Y, para limpar a memória financeira;
2. Digite 4.000 e tecle CHS, para trocar o sinal, e depois tecle PV;
3. Digite 2,5 e tecle i ;
4. Digite 14 e tecle n;
5. Tecle FV e no visor aparecerá o resultado, R$ 5.651,90.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 115
ANEXOS
Aplicação
Achar a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) de 4.567,88, 
usando sua calculadora financeira:
32√4.567,881 = 1,301266 ou 4.567,88 1/32 = 1,301266
Resposta: 1,301266 (observe que a raiz não é um número inteiro) Usando a calculadora 
financeira HP-12C®:
1. Digite 4567,88 e aperte a tecla ENTER
2. Digite 32 e aperte a tecla 1/x
3. Aperte a tecla yx
4. O resultado é 1,301266
Isto significa que o número 1,301266 elevado ao expoente 32 resulta no número 
4.567,88.
1,30126632 = 4.567,88
Qual é o número que ao dividir 8.888 duas vezes sucessivamente pro-
duz resto zero? Esse número é 94,27619 (use sua calculadora financeira, 
elevando 8.888 à potência 1/2 ou 0,5).
2√8.8881 = 94,27619
Usando a calculadora financeira HP-12C®:
1. Digite 8888 e aperte a tecla ENTER
2. Digite 2 e aperte a tecla 1/x
3. Aperte a tecla yx
4. O resultado é 94,27619
Qual é o número que ao dividir 8.888 três vezes sucessivamente produz resto zero? 
Esse número é 20,71419 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888 
à potência 1/3 ou, aproximadamente, 0,333333). Use o exemplo anterior como guia.
3√8.8881 = 20,71419
Qual é o número que ao dividir 8.888 nove vezes sucessivamente produz resto zero? 
Esse número é 2,746351 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888 
à potência 1/9, ou, aproximadamente, 0,111111).
9√8.8881 = 2,746351
MATEMÁTICA FINANCEIRA 116
ANEXOS
 — ANEXO 3 – Matemática 
Financeira no Excel
Além da calculadora HP-12C®, temos à nossa disposição outra ferramenta 
que pode ser utilizada nos cálculos financeiros: o Microsoft Excel.
O Microsoft Excel é um editor de planiha eletrônica da família Office, que pos-
sui diversas funções, das mais simples, como operações matemáticas (soma, 
substração, multiplicação, divisão, etc.) às mais complexas (produzir relatórios 
gerenciais, gerar gráficos e trabalhar com grande volume de dados).
Para a Matemática Financeira, essa ferramenta passou a ser uma grande 
aliada, pois substitui as calculadoras financeira e científica e permite traba-
lhar com cálculos mais complexos.
Importante: No dia da sua prova o Excel não poderá ser utilizado, apenas a 
calculadora financeira HP-12C.
A seguir, apresentaremos as funções básicas da Matemática Financeira 
no Excel.
Célula
Linhas
Planilha
Colunas
Menu
Barra de
Ferramentas
MATEMÁTICA FINANCEIRA 117
ANEXOS
Os operadores utilizados pelo Excel para a elaboração das fórmulas são 
encontrados no teclado do computador:
DESCRIÇÃO OPERADOR
Adição +
Subtração -
Multiplicação *
Divisão /
Exponenciação ^
O Excel segue a mesma regra da matemática para a sequência de opera-
ções em uma expressão:
1°) Radiciação e Exponenciação.
2°) Divisão e Multiplicação.
3°) Subtração e Adição.
Além da regra matemática, quando ocorrem várias operações em uma 
mesma expressão elas devem ser isoladas por parênteses “( )” e a ordem 
será de dentro pra fora.
Exemplo
Para calcular a expressão: 5 × 2 + 4 × (10-4), cada operação deverá ser separada por ( ).
Manualmente seria: 5 × 2 + 4 × (10-4) = 10 + 4 × 6 = 10 + 24= 34
MATEMÁTICA FINANCEIRA 118
ANEXOS
Resultado:
No item FÓRMULAS do Menu, encontram-se todas as fórmulas matemáticas e 
funções utilizadas em operações financeiras:
MATEMÁTICA FINANCEIRA 119
ANEXOS
Aplicações de Matemática Financeira
Juros Simples
Exemplo
Em um seguro de automóvel com prêmio de R$ 1.200,00, que será pago em sete par-
celas mensais e com juros simples de 3,5% ao mês, qual será o valor total, pago ao final 
do parcelamento, nesse seguro?
Dados: 
P = R$ 1.200,00 
n = 7 parcelas mensais 
i = 3,5% ao mês
Fórmula: 
F = P ( 1 + i × n)
Excel:
MATEMÁTICA FINANCEIRA 120
ANEXOS
Juros Compostos
Exemplo
Um título de capitalização de R$ 8.000,00 é contratado a juros compostos de 2,9% ao 
mês, pelo período de 18 meses. Qual será o valor resgatado no final do período?
Dados: 
P = R$ 8.000,00 
n = 18 meses 
i = 2,9% ao mês
Fórmula: 
F = P ( 1 + i)n
Saiba mais
Para este caso, o sinal negativo no Excel funciona da mesma forma que a tecla CHS na 
calculadora HP-12C®, diferenciando a entrada e a saída, conforme o diagrama de fluxo 
de caixa.
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 121
ANEXOS
Curiosidade
No final deste anexo, apresentaremos uma tabela com as principais funções financeiras 
do Excel e os atributos necessários para o cálculo de cada função.
Para operações com juros compostos, o Excel possui fórmulas prontas, 
sendo necessária apenas a inclusão dos dados. 
1° passo: selecione a célula em que você deseja obter o resultado 
e digita o sinal de igual “=” e o sinal negativo “-”. Neste exemplo, a 
célula selecionada foi a B7.
2° passo: no Menu, clique em “Fórmulas” e depois “Inserir função”. 
Será aberta uma caixa onde deverá ser selecionada a função mais 
apropriada para o cálculo. Neste exemplo, foi selecionada a função 
de valor futuro “VF”.
2º
2º
1º
3° passo: após selecionar a função desejada, será aberta uma cai-
xa para a inclusão dos argumentos da função. Para este exemplo, 
os argumentos serão: Taxa, Período e Valor Presente.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 122
ANEXOS
3º
3º
MATEMÁTICA FINANCEIRA 123
ANEXOS
4° passo: clique em “OK” para obter o resultado.
4º
Para as demais operações de Matemática Financeira, deve-se utilizar a fun-
ção correspondente, conforme tabela abaixo.
Principais Funções Financeiras no Excel
FUNÇÃO ARGUMENTO DESCRIÇÃO
DESC (liquidação;vencimento;
pr;resgate;base)
Retorna a taxa de desconto de 
um título.
DURAÇÃO (liquidação;vencimento;cupom;
lcr;frequência;base)
Retorna a duração anual de um 
título com pagamentos de juros 
periódicos.
DURAÇÃOP (taxa;pv;fv) Retorna o número de períodos 
exigido por um investimento 
para atingir um valor 
especificado.
EFETIVA (taxa_nominal;núm_por_ano) Retorna a taxa de juros efetiva 
anual.
ÉPGTO (taxa;período;nper;vp) Retorna os juros pagos durante 
um período específico do 
investimento.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 124
ANEXOS
IPGTO (taxa;período;nper;vp;vf;tipo) Retorna o pagamento dos juros 
de um investimento durante um 
determinado período, com base 
nos pagamentos constantes, 
periódicos e na taxa de juros 
constante.
JUROSACUM (emissão;primeiro_
juro;liquidação;taxa;valor_nominal;…)
Retorno dos juros acumulados 
de um título que paga juros 
periódicos.
JUROSACUMV (emissão;liquidação;taxa;valor_
nominal;base)
Retorno dos juros acumulados 
de um título que paga juros no 
vencimento.
MTIR (valores;taxa_financ;taxa_reinvest) Retorna a taxa interna de 
retorno para uma série de 
fluxos de caixa periódicos, 
considerando o custo de 
investimento e os juros de 
reinvestimento de caixa.
NPER (taxa;pagto;vp;vf;tipo) Retorna o número de períodos 
de um investimento com base 
em pagamentos constantes 
periódicos e uma taxa de juros 
constante.
PGTO (taxa;nper;vp;vf;tipo) Calcula o pagamento de um 
empréstimo com base em 
pagamentos e em uma taxa de 
juros constante.
TAXA (nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) Retona a taxa de juros por 
período em um empréstimo 
ou investimento. Por exemplo, 
use 6%/4 para pagamentos 
trimestrais a uma taxa de 6% 
TPA.
TIR (valores;estimativa) Retorna a taxa interna de 
retorno de uma série de fluxos 
de caixa.
VF (taxa;nper;pagto;vp;tipo) Retorna o valor futuro de um 
investimento com base em 
pagamentos constantes e 
períodos e uma taxa de juros 
constante.
VP (taxa;per;pgto;vf;tipo) Retorna o valor presente de 
um investimento: a quantia 
total atual de uma série de 
pagamentos futuros.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 125
ANEXOS
VPL (taxa;valor1;valor2;…) Retorna o valor líquido atual de 
investimento, com base em uma 
taxa de desconto e uma série 
de pagamentos futuros (valores 
negativos) e renda (valores 
positivos).
Algumas convenções utilizadas na Matemática Financeira são diferentes 
quando utilizadas no Excel. Na tabela a seguir relacionamos as principais:
MF EXCEL DESCRIÇÃO
F VF Valor Futuro.
i TAXA Taxa de juros por período de 
capitalização.
n NPER Período de capitalização: anos, 
meses, semestres, trimestres, 
bimestres, meses ou dias.
P VP Valor Presente.
PMT PGTO Valor da prestação da série 
uniforme.
 
126
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 GABARITO 
Fixando Conceitos
UNIDADE 1 UNIDADE 2 UNIDADE 3
1 – E 1 – A 1 – E
2 – A 2 – C 2 – A
3 – A 3 – E 3 – E
4 – B 4 – A 4 – A
5 – B 5 – E
6 – C 6 – A
7 – C
8 – D
9 – C
10 – D
11 – E
12 – D
13 – D
UNIDADE 4 UNIDADE 5
1 – C 1 – C
2 – E 2 – E
3 – A 3 – E
4 – D 4 – C
5 – D
Unidade 1
1) E
Resposta: Todas as afirmativas estão corretas.
2) A
Solução: 
Juros = R$ 3.050 – R$ 3.000 = R$ 50
Taxa de juros no período = 50 / 3.000 = 0,016667 ou 1,67%
Resposta: A taxa de juros foi de 1,67%.
127
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
3) A 
Solução
T0 = – 5.000,00
T1 = – 1.000,00
T2 = + 3.500,00
T3 = + 3.500,00
Total de gastos (T0 , T1) = – 5.000 – 1.000 = – 6.000
Total de ganhos (T2 , T3 ) = 3.500 + 3.500 = 7.000
Total líquido ganho no projeto = 7.000 – 6.000 = 1.000
4) B
Solução:
i = 4% = 0,04 
Valor financiado ou capital inicial = 1.500,00 
i = (valor final - capital inicial) / capital inicial 
Juros = valor final – capital inicial 
i =Juros / capital inicial 
0,04 = (valor final – 1.500,00) / 1.500,00 
0,04 × 1.500,00 = valor final – 1.500,00 
60 = valor final – 1.500,00 
Valor final = 60 + 1.500,00 = 1.560,00
Resposta: O valor recebido no final da aplicação será de R$ 1.560,00.
Unidade 2
1) Como 1 ano = 12 meses, temos que:
i =
 42% 
= 3,5%a.m.
 12
Resposta: 3,5% ao mês é proporcional a 42% ao ano.
2) Como 1 ano = 4 trimestres, temos que: i = 4 × 8%
i = 32% a.a.
Resposta: 8% ao trimestre é proporcional a 32% ao ano.
3) Dados:
P = 10.000
F = ? (capital acumulado)
i = 3,5÷100 = 0,035 ao mês 
n = 6 meses
128
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Como:
F = P × (1 + i × n)
Então:
F = 10.000 (1 + 0,035 × 6)
F = 10.000 (1 + 0,21)
F = 10.000 × 1,21
F = 12.100
Resposta: O valor futuro é R$ 12.100,00.
4) Dados: 
P = 50.000 
J = 7.500
n = 5 meses 
i = ? (mensal)
Como:
J = P × i × n
Então:
7.500 = 50.000 × i × 5
7.500 = 250.000 × i
7.500÷250.000 = i
i = 0,03
i = 0,03 × 100 = 3%
Resposta: A taxa mensal é de 3%.
5) Dados: 
P = 30.000 
J = 24.000
i = 40÷100 = 0,4 ao ano 
n = ?
Como: 
J = P × i × n 
Então:
24.000 = 30.000 × 0,4 × n
24.000 = 12.000 × n
24.000÷12.000 = n
n = 2
Resposta: O tempo é de 2 anos.
129
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
6) Dados:
P = 10.000
J = 6.000
n = 4 anos
i = ? (ao ano)
Como:
J = P × i × n 
Então:
6.000 = 10.000 × i × 4
6.000 = 40.000 × i
6.000÷40.000 = i
i = 0,15
i = 0,15 × 100 = 15%
Resposta: A taxa anual é de 15%.
7) Dados:
P = 60.000
i = 9 ÷ 100 = 0,09 ao mês 
J = ?
n = 146 dias
n = 146÷30 = 4,866667 (Divide-se por 30 para transformar dias 
em meses.) 
Como:
J = P × i × n
Então:
J = 60.000 × 0,09 × 4,866667
J = 26.280
Resposta: Os juros são de R$ 26.280,00.
8) Dados:
P = ?
F = 86.400
n = 8 meses
i = 138% a.a. ÷ 12 meses = 11,5% a.m ÷ 100 = 0,115 (Divide-se por 
12 para transformar ano em mês.)
Como:
F = P × (1 + i × n)
130
GABARITO
MATEMÁTICAFINANCEIRA
Então:
86.400 = P × ( 1 + 0,115 × 8)
86.400 = P × (1 + 0,92)
86.400 = P × 1,92
P =
 86.400 
⊲ P = 45.000,00
 1,92
Resposta: O valor investido é de R$ 45.000,00
9) Dados: 
P = 740.000 
F = 953.120
i = 3,6 ÷ 100 = 0,036 ao mês n = ? (meses)
Como:
F = P (1 + i × n)
Então:
953.120 = 740.000 (1 + 0,036 × n)
953.120 ÷ 740.000 = 1 + 0,036 × n
1,288 = 1 + 0,036 × n
1,288 – 1 = 0,036 × n
0,288 = 0,036 × n
0,288 ÷ 0,036 × n
n = 8
Resposta: O tempo de aplicação foi de 8 meses.
10) Dados:
F = 2 × P
J = F – P
J = 2 × P – P
i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês 
n = ? (meses)
Como:
J = P × i × n
Então:
P = P × 0,04 × n 
P÷P = 0,04 × n 
1 = 0,04 × n
1÷0,04 = n
n = 25
Resposta: Duplica-se em 25 meses.
131
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
11) Dados: 
P = 32.000 
J = 4.800
i = 12% ÷ 12 meses = 1% a.m. ÷ 100 = 0,01 ao mês (Divide-se por 12 
para transformar ano em mês.)
n = ? (mensal)
Como:
J = P × i × n
Então:
4.800 = 32.000 × 0,01 × n
4.800 = 320 × n
4.800 ÷ 320 = n
n = 15 meses
Resposta: O tempo da aplicação é de 15 meses.
12) Dados:
P = 350.000 
J = ?
i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês
n = 72 dias = 72÷30 =2,4 (Divide-se por 30 para transformar dias em 
meses.)
Como:
J = P × i × n
Então:
J = 350.000 × 0,04 × 2,4
J = 33.600
Resposta: Os juros são de R$ 33.600,00.
13) Dados: 
P = 2.500
J = ?
i = 3÷100 = 0,03 ao mês
n = 1 ano 4 meses e 10 dias
n = 360 + 120 + 10 = 490 dias = 490÷30 = 16,333333 (Divide-se 
por 30 para transformar dias em meses.)
Então:
J = P × i × n
J = 2.500 × 0,03 × 16,333333
J = 1.225
Resposta: O valor dos juros é de R$ 1.225,00.
132
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Unidade 3
1) Dados: 
P = 8.200 
F = ?
i = 1,5% a.m. 
n = 8 meses
F = P × (1 + i)n
F = 8.200 × (1 + 0,015)8
F = 8.200 × (1,015)8
F = 8.200 × 1,126493
F = 9.237,24
Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 9.237,24.
2) Dados:
P = ?
F = 794,75
i = 2,5% a.m.
n = 4 meses 
F = P × (1 + i)n
794,75 = P × (1 + 0,025)4
794,75 = P × (1,025)4
794,75 = P × 1,103813
794,75 ÷ 1,103813 = P
P = 720
Resposta: O Valor Presente era de R$ 720,00.
3) Dados: 
P = 2.000 
F = ?
i = 4,5% a.m.
n = 8 meses
F = P × (1 + i)n
F = 2.000 × (1 + 0,045)8
F = 2.000 × (1,045)8
F = 2.000 × 1,422101
F = 2.844,20 J = F – P
J = 2.844,20 – 2.000 = 844,20
Resposta: O valor dos juros é de R$ 844,20.
Dicas da HP-12C®
 
HP
8200 ⊲ PV
1,5 ⊲ i
8 ⊲ n
FV
– 9.237,24
CHS
9.237,24
Dicas da HP-12C®
 
HP
794,75 ⊲ FV
2,5 ⊲ i
4 ⊲ n
PV
– 720,00
CHS
720
Dicas da HP-12C®
 HP
2000 ⊲ PV
4,5 ⊲ i
8 ⊲ n
FV
– 2.844,20
CHS
2844,20
2000 ⊲ (-)
844,20
133
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
4) Dados: 
P = 12.000 
F = ?
i = 22% a.a. 
n = 8 meses
Análise inicial: o período de capitalização e a taxa não estão na mesma 
unidade, mês e ano, respectivamente; portanto, devemos converter a taxa 
de ano para mês.
ip = ?% a.m. 
ic = 22% a.a.
np = mês, ou seja, 1 mês
nc = ano, ou seja, 12 meses
Portanto:
ip = (1 + ic)np/nc 1
ip = (1 + 0,22)1/12 – 1
ip = (1,22)1/12 –1
ip = (1,22)0,083333 –1
ip = 1,016709 – 1
ip = 0,016709 (você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa 
percentual) ip = 1,6709% a.m.
F = P × (1 + i)n
F = 12.000 × (1 + 0,016709)8
F = 12.000 × (1,016709)8
F = 12.000 × 1,141756
F = 13.701,07
Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 13.701,07.
Dicas da HP-12C®
 
Lembre-se de ativar a letra 
C no visor da calculadora 
HP-12C. Para ativar aperte 
a tecla STO e em seguida a 
tecla EEX.
HP
Converter 8 meses para ano:
8 ⊲ ENTER
12 ⊲ (÷)
0,666667
12000 ⊲ PV
22 ⊲ i
0,666667 ⊲ n
FV
– 13.701,07
CHS
13.701,07
134
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
5) Dados:
5% ao mês (converter ao ano) 
ip = ?% a.a.
ic = 5% a.m.
np = ano, ou seja, 12 meses 
nc = mês, ou seja, 1 mês
Portanto:
ip = (1 + ic)np/nc – 1 
ip = (1 + 0,05)12/1 – 1 
ip = (1,05)12 – 1
ip = 1,795856 – 1
ip = 0,795856 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual.) 
ip = 79,5856% a.a.
Resposta: A taxa equivalente é de 79,59% a.a.
Dicas da HP-12C®
HP
Converter 5% a.m. para taxa 
anual requer usar um recurso:
5 ⊲ ENTER
100 ⊲ (÷)
0,0500
0,0500 ⊲ ENTER
1 ⊲ (+)
1,05
1,05 ⊲ ENTER
12 ⊲ yx
1,79586
1,79586 ⊲ ENTER
1 ⊲ (–)
0,79586
0,79586 ⊲ ENTER
100 ⊲ (x)
79,585633
135
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
6) Dados:
36% ao ano (converter para semestre)
ip = ?% a.s. 
ic = 36% a.a.
np = semestre, ou seja, 6 meses 
nc = ano, ou seja, 12 meses
Portanto:
ip = (1 + ic)np/nc – 1
ip = (1 + 0,36)6/12 – 1
ip = (1,36)6/12 – 1
ip = (1,36)0,5 – 1
ip = 1,166190 – 1
ip = 0,166190 (você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa 
percentual) 
ip = 16,6190% a.s.
Resposta: A taxa equivalente é de 16,62% a.s.
Unidade 4
1) Dados:
F = 44.000,00
i = 10,2% a.m. = 0,102
n = 120 dias ÷30=4 meses
D =F x id x n
D = 44000 x 0,102 x 4
D = 17.952,00
Resposta: O valor do desconto no título Vent cap é de R$ 17.952,00.
2) Dados:
F = 38.500,00
i = 13% a.m. = 0,13
n = 4 meses
D =F x id x n
D = 38500 x 0,13 x 4
D = 20.020,00
Resposta: O valor do desconto no título Capseguro é de R$ 20.020,00.
Dicas da HP-12C®
Converter 36% a.a. para taxa 
semestral:
36 ⊲ ENTER
100 ⊲ (÷)
0,36
0,36 ⊲ ENTER
1 ⊲ (+)
1,36
1,36 ⊲ ENTER
2 ⊲ 1/x
0,50
0,50 ⊲ yx
1,16619
1,16619 ⊲ ENTER
1 ⊲ (–)
0,16619
0,16619 ⊲ ENTER
100 ⊲ (x)
16,62
136
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
3) Dados:
F = 18.000,00
i = 9,8% a.m. = 0,098
n = 30 dias ÷ 30 = 1 mês
D =F x id x n
D = 18000 x 0,098 x 1
D = 1.764,00
Resposta: O valor do desconto no título Ganhe Mais é de R$ 1.764,00.
4) Dados:
F = R$ 5.400,00
n = 4 meses de antecipação
i = 11,25% ao mês = 0,1125
D=?
D=F ×
 [(1+i)n -1]
 (1+i)n 
D=5400 ×
 [(1+0,1125)4 -1]
 (1+0,1125)4 
D=5400 ×
 (0,531793 )
 1,531793
D=5400 × 0,347170
D=1.874,72
Resposta: O desconto racional composto foi de R$ 1.874,72.
Unidade 5
1) Dados:
n = 36 meses 
i = 3,5% a.m.
PMT = R$ 450,00 (pagas no final do mês) – Temporária Imediata e 
Postecipada 
P = ? (Valor atual quando pago à vista)
Sabemos que, para calcular o valor atual de uma série Temporária Imediata 
e Postecipada, devemos utilizar a fórmula:
P =
 (1 + i)n – 1 
× PMT
 (1 + i)n × i
P = 
 (1 + 0,035)36 – 1 
 × 450,00
 (1 + 0,035)36 × 0,035 
Dicas da HP-12C®
HP
g ⊲ end (tecla 8) 450,00 ⊲ pmt
3,5 ⊲ i
36 ⊲ n
pv
– 9.130,72
CHS
9.130,72
137
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
P = 20,290494 × 450,00
P = 9.130,72
Resposta: O preço à vista, desprezando os centavos, será de R$ 9.130,00.
2) Dados:
P = R$ 15.650,00
n = 36 meses 
i = 2,95% a.m.
PMT = ? (pagas no início do mês) – Temporária Imediata e Antecipa-
da. Sabemos que para calcular o valor atual de uma série Temporária 
Imediata e Antecipada devemos utilizar a fórmula:
P = 
 (1 + i)n – 1 
× PMT
 (1 + i)n – 1 × i
15.650,00 = 
 (1 + 0,0295)36 – 1 
× PMT
 (1 + 0,0295)36 – 1 × 0,0295
15.650,00 = 22,644931 × PMT
PMT = 15.650,00 ÷ 22,644931
PMT = 691,10
Resposta: O valor da prestação a ser paga é de R$ 691,10.
3) Dados:
PMT = R$ 1.000,00
n = 36 meses 
i = 2,5% a.m.
F = ? (Montante de uma série com termos postecipados)
Sabemos que, para calcular o montante de uma anuidade postecipada, 
devemos usar a fórmula:
F =
 (1 + i)n – 1 
× PMT
 i
F =
 (1 + 0,025)36 – 1 
× 1.000,00
 0,025
F = 57,301413 × 1.000,00
F = 57.301,41
Resposta: O montante será de R$ 57.301,41.
Dicas da HP-12C®
HP
g ⊲ beg (tecla 7) 15.650 ⊲ PV
2,95 ⊲ i
36 ⊲ n
pmt
– 691,10
CHS
691,10
Dicas da HP-12C®
HP
g ⊲ end (tecla 8)
1.000 ⊲ pmt
2,5 ⊲ i
36 ⊲ n
FV
– 57.301,41
CHS
57.301,41
138
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
4) Dados:
PMT = R$ 3.000,00
n = Infinito (Renda Perpétua) 
i = 1,0% a.m.
P =? (Valor atual de uma série com termos postecipados)
Sabemos que, para calcular o valor atual de uma anuidade série perpétua 
imediata postecipada, devemos usar a fórmula:
P =
 1 
× PMT
 i
P =
 1 
× 3.000,00 
 0,01
P = 100 × 3.000,00
P = 300.000,00
Resposta: O valor necessário é de R$ 300.000,00.5) Dados:
12 F=?1 2 3 4 5 6 7 8
i = 2,35% a.m.
9 10 11
F = ?
i = 2,35% a.m.
PMT = 1,00 (valor unitário, série antecipada) 
n = 12 meses
F = (1 + i) × 
 (1 + i)n – 1
 × PMT
 i
F = (1 + 0,0235) ×
 (1 + 0,0235)12 – 1 
× 1
 0,0235
F = 1,0235 × 13,679167 × 1
F = 14,00
Resposta: O montante do investimento é de R$ 14,00.
Dicas da HP-12C®
HP
G ⊲ end
3.000 ⊲ pmt
1,0 ⊲ i
9999 ⊲ n
PV
– 300.000
CHS
300.000
Dicas da HP-12C®
HP
g ⊲ beg 
1,00 ⊲ pmt
2,35 ⊲ i
12 ⊲ n
FV
– 14,00
CHS
14,00
139
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ABREU FILHO, J. C. F. et al. Finanças corporativas – Série Gestão Empre-
sarial. Rio de Janeiro: FGV Management Publicações, 2007.
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2006.
______. Matemática Financeira – Edição Universitária. São Paulo: 
Atlas, 2017.
BRUNI, A. L.; FAMA, R. A matemática das finanças. Atlas, 2003.
DE AZEVEDO, G. H. W. Seguros, matemática atuarial e financeira. São 
Paulo: Saraiva, 2017.
______. ______. Matemática financeira: princípios e aplicações. São 
Paulo: Saraiva, 2015.
AZEVEDO, G. H. W. A. Matemática Financeira – Princípios e aplicações 
São Paulo: Saraiva. [Edição eletrônica – Kindle].
ESCOLA DE NEGÓCIOS E SEGUROS. Matemática financeira. Diretoria 
de Ensino Técnico. Assessoria técnica de Hugo César Said Amazonas. 3. 
ed. 1a reimpressão. Rio de Janeiro: Funenseg, 2015. 210 p.
______. ______. 4. ed. Rio de Janeiro: Funenseg, 2016. 210 p.
______. Matemática financeira. Diretoria de Ensino Técnico. Assessoria 
técnica de André Gustavo de Paula Fonseca.
5. ed. Rio de Janeiro: Funenseg, 2017. 210 p.
______. ______. 5. ed. Rio de Janeiro: Funenseg, 2018. 166 p.
LIMA, E. L. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 
280 p.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 1998. 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
SEGUNDO FILHO, J. Controles financeiros e fluxo de caixa. Rio de 
Janeiro: Qualitymark, 2005.
VEIGA, R. P. Como usar a Calculadora HP-12C – Guia essencial das 
funções financeiras e estatísticas. São Paulo: Saint Paul, 2009.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000.
	Fixando Conceitos
	CONCEITOS
	BÁSICOS
	 A MATEMÁTICA FINANCEIRA 
	 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
	 FLUXO DE CAIXA 
 – Conceito e Funcionamento 
	 JURO(S) e Taxa de Juros – 
 Diferenças e Forma 
 de Cálculo 
	Esquema
	Formulação Matemática
	Regimes de Capitalização
	 CONCEITOS FINANCEIROS DIVERSOS 
	 ERROS MAIS COMUNS 
	Pontos de Atenção
	Método de Resolução
	 A CALCULADORA HP-12C® 
 – Operações 
	 FIXANDO CONCEITOS 1 
	juros 
	simples
	 JUROS SIMPLES 
	 TAXAS PROPORCIONAIS 
	 JUROS SIMPLES COMERCIAIS 
 E JUROS SIMPLES EXATOS 
	 VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES) 
	 FIXANDO CONCEITOS 2 
	juros compostos
	 JUROS COMPOSTOS 
	 CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES 
 UTILIZADAS EM JUROS 
 compostos 
	 TAXAS EQUIVALENTES 
	 FIXANDO CONCEITOS 3 
	DESCONTO e OPERAÇÕES 
	de CURTO e LONGO PRAZOS
	 O QUE É DESCONTO 
	 DESCONTO A JUROS SIMPLES 
	Desconto comercial simples (ou “por fora”)
	 DESCONTO A JUROS COMPOSTOS 
	Desconto racional a juros compostos (ou “por dentro”)
	 FIXANDO CONCEITOS 4 
	séries de
	pagamentos
	 SÉRIES DE PAGAMENTOS 
	 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES 
	 VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE 
 OU SÉRIE DE PAGAMENTO 
	Anuidade Temporária por “n” Anos
	Anuidade perpétua
	 VALOR DO MONTANTE OU VALOR 
 FUTURO DE UMA ANUIDADE 
	Montante das Anuidades por Prazo Certo de “n” Anos
	 FIXANDO CONCEITOS 5 
	 anexoS 
	ANEXO 1 – Revisão de Matemática
	 REGRAS DE SINAIS NAS 
 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 
	 EXPRESSÕES NUMÉRICAS E AS 
 REGRAS DE PONTUAÇÃO 
	 O USO DE FRAÇÕES E A DIVISÃO 
	Frações Próprias e Impróprias
	Frações Próprias
	Frações Impróprias
	 FATORAR, EXPONENCIAR E RADICIAR 
	Fatorar
	Exponenciação ou Potenciação
	Radiciar
	 PORCENTAGENs 
	O Significado das Porcentagens
	O Denominador 100
	Maneiras de se Expressar as Porcentagens
	Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens
	 EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
	ANEXO 2 – Utilizando a 
calculadora HP-12C ®
	ANEXO 3 – Matemática Financeira no Excel
	 GABARITO 
	 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS