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Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
1 
 
 
 
SABE – Sistema Aberto de Educação 
 
Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto 
Varginha - MG - 37010-540 
Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05 
 
Centro Universitário do Sul de Minas - UNIS/MG 
Unidade de Gestão da Educação a Distância – GEaD 
 
Mantida pela 
Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Varginha/MG 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Todos os direitos desta edição reservados ao Sistema Aberto de Educação – SABE. 
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou parte do mesmo, sob 
qualquer meio, sem autorização expressa do SABE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
650.015 
A474g. ALVES, Alessandro Ferreira. 
Guia de Estudo – Matemática Comercial e 
Financeira – Alessandro Ferreira Alves. 
Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2007. 
156p. 
 
1. Matemática Financeira. 2. Matemática 
Comercial. 3. Contabilidade. I. Título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
 
REITOR 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
 
GESTOR 
Prof. Ms. Tomás Dias Sant’ Ana 
 
 
Supervisor Técnico 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
 
Coord. do Núcleo de Recursos Tecnológicos 
Profª. Simone de Paula Teodoro Moreira 
 
 
Coord. do Núcleo de Desenvolvimento Pedagógico 
Profª. Vera Lúcia Oliveira Pereira 
 
 
Revisão ortográfica / gramatical 
Profª. Maria José Dias Lopes Grandchamp 
 
 
Design/diagramação 
Prof. César dos Santos Pereira 
 
 
Equipe de Tecnologia Educacional 
Profª. Débora Cristina Francisco Barbosa 
Jacqueline Aparecida da Silva 
Prof. Lázaro Eduardo da Silva 
 
 
 
Autor 
 
ALESSANDRO FERREIRA ALVES – alessandro@sabe.br 
Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia, 
mestre em Matemática pela UNICAMP e doutor em Engenharia Elétrica 
também pela UNICAMP, no UNIS/MG ministra Matemática, Estatística 
e Computação em cursos de graduação e pós-graduação, além de já 
ter coordenado cursos de pós-graduação e a Pesquisa e Extensão do 
curso de Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
TABELA DE ÍCONES 
 
 
 
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada. 
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma 
prática para ser realizada. Fique atento a ele. 
 
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na 
busca por mais informação. 
 
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto 
abordado para responder a um questionamento. 
 
CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de idéias, partes 
ou unidades do curso virão precedidas desse ícone. 
 
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode 
ser encarado como um sinal de alerta que o orienta para 
prestar atenção à informação indicada. 
 
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra 
página do módulo impresso ou endereço de Internet. 
 
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver 
necessidade de exemplificar um caso, uma situação ou 
conceito que está sendo descrito ou estudado. 
 
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência 
utilizados no curso e também faz sugestões para leitura 
complementar. 
 
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática 
de uso profissional ligada ao que está sendo estudado. 
 
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de 
ações para fins de verificação de uma rotina ou um 
procedimento (passo a passo) para a realização de uma 
tarefa. 
 
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema 
abordado de forma a possibilitar a obtenção de novas 
informações ao que já foi referenciado. 
 
REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos 
estudados anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
SUMÁRIO 
 
 
 
UNIDADE 01 – ASPECTOS PRELIMINARES, DIAGRAMA DE 
FLUXO DE CAIXA (DFC) E REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 9 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 9 
2. TEMPO E DINHEIRO: OBJETIVOS DE ESTUDO DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA ....................................................................................................... 10 
3. DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA .................................................................. 13 
4. CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS – EXEMPLO 
INTRODUTÓRIO ................................................................................................. 18 
5. APLICAÇÕES PRÁTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ................. 22 
6. ESTABELECIMENTO DAS NOTAÇÕES ............................................................ 23 
7. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA E DESCONTÍNUA .............................................. 25 
8. FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES ..................................................................... 26 
9. TAXA E PERÍODO .............................................................................................. 30 
10. VALOR FUTURO (OU MONTANTE) E CAPITAL .............................................. 31 
11. DETERMINAÇÃO DA DATA DE VENCIMENTO E PRAZO DAS 
APLICAÇÕES: CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS ........................... 34 
12. TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE.............................................. 38 
13. EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA A JUROS SIMPLES .......................................... 43 
 
UNIDADE 02 – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO E 
APLICAÇÕES ...................................................................................... 54 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 54 
2. O MECANISMO DA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (FÓRMULAS DE 
JUROS COMPOSTOS) ....................................................................................... 55 
3. EXTENSÕES AO USO DAS FÓRMULAS .......................................................... 62 
4. TAXAS EQUIVALENTES .................................................................................... 64 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
UNIDADE 03 – A CALCULADORA HP 12C – ASPECTOS 
INTRODUTÓRIOS E PRIMEIRAS FUNÇÕES ..................................... 66 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 66 
2. BREVE HISTÓRICO ........................................................................................... 67 
3. CONHECENDO A CALCULADORA HP 12C ...................................................... 69 
4. ALGUMAS FUNÇÕES BÁSICAS DA HP 12C .................................................... 70 
5. PRINCIPAIS FUNÇÕES MATEMÁTICAS ........................................................... 76 
6. ALGUMAS FUNÇÕES ESTATÍSTICAS NA HP 12C........................................... 82 
 
UNIDADE 04 – APLICAÇÕES ENVOLVENDO OS REGIMES DE 
CAPITALIZAÇÃO NA HP 12C ............................................................. 84 
1. O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ....................................................... 84 
1.1. Valor Futuro ou Montante - FV ..................................................................... 86 
1.2. Desconto ...................................................................................................... 87 
2. O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO OU REGIME EXPONENCIAL .. 90 
2.1. A Convenção Linear ..................................................................................... 91 
2.2. A Convenção Exponencial ........................................................................... 92 
2.3. Códigos de Erros .......................................................................................... 93 
 
UNIDADE 05 – TAXAS DE JUROS E APLICAÇÕES DIVERSAS ....... 95 
1) INTRODUÇÃO ....................................................................................................95 
2) TAXAS EQUIVALENTES .................................................................................... 95 
3) TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA .................................................................... 98 
4) CONVERSÃO DE UMA TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA E VICE-VERSA 99 
 
UNIDADE 06 – SÉRIES DE PAGAMENTOS OU ANUIDADES ......... 101 
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................ 101 
2. CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS OU ANUIDADES ........... 102 
3. SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS ..................... 103 
4. SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS .............. 108 
 
 
 
 
 
 
 
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5. SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS ..................... 110 
6. SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS COM TERMOS VENCIDOS .............. 113 
7. VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO VARIÁVEIS 
USANDO AS TECLAS < CF 0 >, <CF j >, <N j >, e <NPV> ............... 118 
8. VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ................................................................ 122 
9. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR OU IRR) ................................................. 125 
 
UNIDADE 07 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E 
FINANCICAMENTOS ......................................................................... 133 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................. 133 
2. CONCEITOS BÁSICOS .................................................................................... 134 
3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ........................................ 135 
3.1. Montagem da Planilha ................................................................................ 135 
4. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (OU TABELA PRICE) .................... 144 
5. APLICAÇÕES DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS NO SISTEMA FRANCÊS 
(OU TABELA PRICE) ........................................................................................ 151 
 
 
REFERÊNCIAS....................................................................................................... 156 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO GERAL DO MATERIAL 
 
 
 
 Olá pessoal, tudo bem? Estamos iniciando mais um módulo e espero que 
a nossa convivência seja a melhor possível. Tenho certeza, que todos já conhecem 
diversas definições e aplicações cotidianas que serão apresentadas neste material, 
já que o nosso módulo é a Matemática Financeira, ramo da Matemática que temos 
contato rotineiro e constante. 
 Atualmente, o cálculo financeiro e a análise de investimentos são 
ferramentas essenciais para a tomada de decisões e a gestão financeira das 
empresas e das pessoas. Desta forma, ter habilidade para lidar com cálculos e 
investimentos é hoje um requisito fundamental. 
 De uma outra forma, é nossa preocupação desenvolver a habilidade nos 
cálculos e investimentos de modo gradual e efetivo. Para tal, trazemos uma grande 
quantidade de exemplos de aplicação dos aspectos teóricos, que são resolvidos de 
forma analítica e com o uso da calculadora financeira HP 12C. Além disso, 
colocamos uma série de exercícios de fixação (propostos), além é claro de 
diagramas que facilitam a compreensão dos problemas. 
 Sendo assim, o nosso módulo está dividido em sete unidades, que são 
descritas abaixo: 
 
� Unidade 01 – Aspectos Preliminares, Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e 
Regime de Capitalização Simples. 
 
� Unidade 02 – O Regime de Capitalização Composto e Aplicações. 
 
� Unidade 03 – A Calculadora HP 12C: Aspectos Introdutórios. 
 
� Unidade 04 – Aplicações Envolvendo os Regimes de Capitalização na HP 
12C 
� Unidade 05 – Taxas de Juros e Aplicações. 
 
� Unidade 06 – Séries de Pagamentos e Anuidades. 
 
� Unidade 07 – Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos. 
 
 Pessoal, para finalizar gostaria de dizer que o referencial teórico possui 
uma série de exemplos resolvidos que darão suporte para a resolução dos demais 
exercícios propostos (exercícios de fixação); além é claro, sempre leiam os aspectos 
teóricos com muita calma e atenção. Sem mais para o momento, sempre lembrando 
que quem estiver com algum tipo de dúvida é só entrar no ambiente e enviar um e-
mail, que estarei sempre ao dispor de qualquer um de vocês. 
 
Tenham todos um bom trabalho! 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 01 – ASPECTOS PRELIMINARES, DIAGRAMA DE 
FLUXO DE CAIXA (DFC) E REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES 
 
 
 
“Tempo é dinheiro.” 
Benjamim Franklin 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
• Apresentar a Matemática Financeira, bem como a sua importância nos dias 
atuais; 
• Apresentar as principais definições e notações usadas no dia-a-dia da 
Matemática Financeira; 
• Apresentar e Interpretar os Diagramas de Fluxo de Caixa (DFC); 
• Apresentar as principais diferenças entre os regimes de capitalização simples 
e composto; 
• Apresentar exemplos envolvendo a equivalência financeira a Juros Simples; 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 Nosso objetivo aqui é apresentar a Matemática Financeira e seus principais 
elementos de trabalho. A Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada 
que estuda as operações financeiras de uma forma geral. Todos os dias, de uma 
forma ou de outra nos deparamos com tópicos relacionados à Matemática 
Financeira propriamente dita. 
 Ressaltamos, também, a importância do entendimento do diagrama de fluxo 
de caixa – uma representação fácil e simples das movimentações financeiras e que 
ajuda no entendimento dos principais problemas financeiros. 
 Além disso, trabalharemos a fundo com a equivalência financeira no regime 
de capitalização simples. 
 A Matemática Financeira trata, em essência, do estudo do valor do 
dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e 
comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificado em 
diferentes momentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
2. TEMPO E DINHEIRO: OBJETIVOS DE ESTUDO DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 Se algum amigo lhe pedisse uma quantia de R$1.000,00 emprestados para 
lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um ano, você acharia a proposta atraente? 
Por melhor que seja seu amigo, com certeza esse pedido não lhe agradaria. 
Algumas questões surgiriam em sua mente: 
 
• “Será que ele me pagará na data prevista? 
 
• Será que o poder de compra dos R$1.000,00 permanecerá inalterado durante 
um ano inteiro? 
 
• Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo, 
satisfazendo as minhas necessidades, ou poderia aplicá-lo na caderneta de 
poupança, ganhando os juros e rendimentos do período!” 
 
 Intuitivamente, você descartaria o principal aspecto da Matemática 
Financeira: 
 
 
Dinheiro tem custo associado ao tempo 
 
 
 Diversas razões influenciam a preferência pela posse atual do dinheiro: 
 
• Risco: existe sempre a possibilidade de não ocorrerem os planos 
conforme o previsto; em outras palavras, sempre haverá o risco de não 
receber os valores programados em decorrência de fatos imprevistos. 
 
• Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir 
no futuro, o que somente será atraente se existir alguma compensação. 
 
• Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, 
no presente, permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que 
surgirem. 
 
 Desta forma, existe um custo associado à posse do dinheiro no tempo, 
estudado pela Matemática Financeira e discutido ao longo do nosso módulo. 
 A Matemática Financeira compreende um conjunto detécnicas e 
formulações extraídas da Matemática, com o objetivo de resolver problemas 
relacionados às Finanças de modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo 
do valor do dinheiro ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
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11 
 Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se à idéia de que, ao 
longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se a oportunidade 
de aplicá-lo, obtendo-se, assim, uma remuneração (juros) sobre a quantia 
envolvida, quer em função de sua desvalorização por causa da inflação. 
 
 Desta forma, alguns princípios básicos sempre deverão ser respeitados: 
 
• Só se pode comparar valores (R$) se estes estiverem referenciados na 
mesma data. 
 
• Só se pode efetuar operações algébricas com valores referenciados na 
mesma data. 
 
 
 
 
Nunca some valores em datas diferentes 
 
 
 
 O tempo é uma das variáveis chaves para a Matemática Financeira. 
Existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do dinheiro no 
tempo: o Regime de Capitalização Simples ou Regime de Capitalização Linear 
(RCS) e o Regime de Capitalização Composto ou Regime de Capitalização 
Exponencial (RCC). 
 
 Independentemente da forma de capitalização dos juros, sempre existirão 
em problemas de Matemática Financeira alguns elementos básicos: 
 
• Capital Inicial ou Valor Presente: é a quantidade de moeda (ou dinheiro) 
que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outro, 
temporariamente, mediante determinada remuneração. Notação: PV, P ou 
C. 
 
• Juros: equivalem ao aluguel do dinheiro e são genericamente 
representados por taxa expressa em forma percentual ao período, 
simbolizada pela letra i (do inglês, interest rate, taxa de juros). É o nome 
que se dá à remuneração paga para que um indivíduo ceda 
temporariamente o capital que dispõe. Deve ser eficiente, de maneira a 
remunerar o risco (σ ) envolvido na operação de empréstimo ou aplicação, 
representado genericamente pela incerteza em relação ao futuro do capital 
emprestado ou aplicado. Os juros devem gerar um ganho real (r) ao 
proprietário do capital como forma de compensar sua privação por 
determinado período de tempo (o ganho é estabelecido basicamente em 
função das diversas outras oportunidades de investimento); a perda do 
poder aquisitivo, que é corroído pela inflação (θ ). Expressando 
algebricamente a taxa de juros: (1 + i) = (1 + r) .(1 + σ ).(1 + θ ). Embora 
 
 
 
 
 
 
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12 
seu valor seja comumente representado em forma de taxa percentual ao 
período, matematicamente, a taxa de juros deve ser operada em sua 
forma unitária. Notação: i = taxa, J = juros. 
 
• Montante ou Valor Futuro: é o resultado da aplicação do capital inicial. 
Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros 
capitalizados durante o período. Em algumas situações, como nas 
operações de desconto comercial (ou desconto bancário D = N.i.n), o valor 
futuro também é denominado valor nominal. É, portanto, a quantidade de 
moeda (ou dinheiro) que poderá ser usufruída no futuro. Notação: FV ou 
M. 
 
• Tempo: ou período de capitalização, corresponde à duração (em dias, 
semanas, meses, anos, etc.) da operação financeira. É comumente 
expresso em unidades do período a que se refere. Notação: n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13 
3. DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA 
 
 
 Para facilitar a representação das operações financeiras, costuma-se 
empregar o Diagrama de Fluxo de Caixa ou, simplesmente, DFC, que consiste na 
representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e 
saídas de caixa). 
 
 No diagrama de fluxo de caixa, alguns aspectos merecem ser destacados: 
 
• A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em 
dias, semanas, meses, anos, etc. 
 
• Os pontos 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim, o 
0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o 
número de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada seja 
meses, então consideram-se n meses. 
 
• As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm 
sempre sinal positivo e são representadas por setas apontadas para 
cima. 
 
• As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre 
sinal negativo e são representadas por setas apontadas para baixo. 
 
 A Figura 01 abaixo, ilustra diferentes diagramas de fluxo de caixa para 
operações de empréstimo e aplicação. 
 
 
Figura 01: Diagramas de Fluxo de Caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
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14 
 Por exemplo, o diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por 
alguém no valor de R$300,00, que será quitado mediante pagamento de R$340,00, 
daqui a seis meses, pode ser visto na Figura 02 abaixo: 
 
Figura 02: Diagrama de fluxo de um empréstimo no valor de R$300,00. 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
Exercício 01: Representar o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor 
de R$500,00 que será resgatado em três parcelas iguais, mensais, no valor de 
R$200,00. 
 
Solução: 
 
 
Observação Importante: A importância do desenho e da interpretação de 
diagramas de fluxo de caixa é, em muitas ocasiões, fundamental na Matemática 
Financeira. Por exemplo, uma compra a prazo de um componente eletrônico que 
custa a vista R$100,00 pode ser paga em duas parcelas mensais (entrada no ato) 
no valor de R$60,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja? 
 
Solução: Um leigo, em um primeiro momento, poderia achar que, já que se pagou 
R$120,00 (duas parcelas de R$60,00) para um bem financiado no valor de 
R$100,00, à taxa seria igual a 20%. Embora intuitivo, o raciocínio está errado. Na 
 
 
 
 
 
 
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15 
verdade, ao comprar e receber um bem no valor de R$100,00, o cliente já havia 
pago a entrada de R$60,00. Logo, financiou apenas a diferença no valor de 
R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 um mês depois. Assim, a taxa de 
juros incidente sobre a operação foi igual a 50% [=60/40 – 1)x100%]. 
 
 O diagrama de fluxo de caixa líquido da operação facilita o entendimento da 
operação financeira apresentada. Como na data zero existem dois valores, um 
positivo igual a R$100,00 e um negativo igual a R$60,00, ambos poderiam ser 
representados por um valor líquido igual a R$40,00. 
 
 
 A Figura 03 abaixo ilustra o nosso raciocínio acima. 
 
 
 
Figura 03: Diagrama de Fluxo de Caixa do caso da observação anterior. 
 
 
 
Exercício 02: Construa o diagrama de fluxo de caixa para os seguintes pagamentos 
ou recebimentos: 
 
 
 Ano FC 
 
 
 0 (500,00)1 
 1 250,00 
 2 200,00 
 3 150,00 
 4 100,00 
 
 
 
1 Toda vez que um valor de fluxo aparecer entre parênteses quer dizer pagamento. 
 
 
 
 
 
 
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16 
Solução: 
 
 
Exercício 03: Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir: 
 
 
 Ano FC 
 
 
 0 (700,00) 
 1 500,002 400,00 
 3 300,00 
4 200,00 
5 (300,00) 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
Exercício 04: Um cliente do Banco Bom Negócio gostaria de descontar uma nota 
promissória, no valor de R$3.000,00 , com vencimento para 30 dias. O gerente, além 
de cobrar-lhe juros antecipadamente de R$600,00, obriga-o a manter um Certificado 
de Depósito Bancário (CDB) no valor de R$400,00 e remunerado a 10% durante o 
prazo da operação. Qual o diagrama de fluxo de caixa correspondente? 
 
Solução: 
 
 
 
 
Exercício 05: A empresa AFA Chumbo pensa em abrir uma nova instalação 
industrial com investimento inicial igual a R$300,00. Os gastos anuais associados 
aos cinco anos de vida do negócio são estimados em R$80,00, e as receitas, em 
R$200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operação. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
4. CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS – EXEMPLO 
INTRODUTÓRIO 
 
 
 Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são 
formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Temos 
dois regimes de capitalização de juros: 
 
• Regime de Capitalização Simples (ou Linear) 
 
• Regime de Capitalização Composta (ou Exponencial) 
 
 
 O Regime de Capitalização Simples comporta-se como se fosse uma 
progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. 
Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação 
(aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros 
acumulados. 
 
 Por exemplo, admita um empréstimo de R$1.000,00 pelo prazo de 5 anos, 
pagando-se juros simples à razão de 10% ao ano. O quadro abaixo ilustra a 
evolução desta operação ao período, indicando os vários resultados. 
 
 
Quadro 01: Comportamento dos juros simples sobre o capital inicial de R$1.000,00 
e taxa de 10% ao ano. 
 
 
Ano 
 
 
Saldo no Início 
de cada ano 
(R$) 
 
Juros apurados para 
cada ano (R$) 
 
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano (R$) 
 
Crescimento 
anual do saldo 
devedor (R$) 
Início do 1 0 
ano 
- - 1.000,00 - 
Fim do 1 0 ano 1.000,00 0,10x1.000,00=100,00 1.100,00 100,00 
Fim do 2 0 ano 1.100,00 0,10x1.000,00=100,00 1.200,00 100,00 
Fim do 3 0 ano 1.200,00 0,10x1.000,00=100,00 1.300,00 100,00 
Fim do 4 0 ano 1.300,00 0,10x1.000,00=100,00 1.400,00 100,00 
Fim do 5 0 ano 1.400,00 0,10x1.000,00=100,00 1.500,00 100,00 
 
 
 Podemos fazer algumas observações como segue: 
 
a) os juros por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de 
R$1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano 
(0,10xR$1.000,00 = R$100,00); 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
19 
b) em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear 
(no exemplo, cresce R$100,00 por ano), revelando um 
comportamento idêntico a uma progressão aritmética. Os juros 
totais da operação atingem, nos 5 anos, R$500,00; 
 
c) se os juros simples, ainda, não forem pagos ao final de cada 
ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera 
pelo seu valor inicial (R$1.000,00), não ocorrendo 
remuneração sobre os juros que se formam no período. 
Assim no 5 0 ano, a remuneração calculada de R$100,00 é 
obtida com base no capital emprestado há 5 anos, ignorando-
se os R$400,00 de juros que foram se acumulando ao longo 
do período; 
 
d) como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do 
custo total da dívida no prazo contratado é processada 
simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa 
anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos. 
Se desejar converter esta taxa anual para mês, por exemplo, 
basta dividir a taxa anual por 12, isto é: 10% ao ano/12 meses 
= 0,8333% ao mês, e assim por diante. 
 
 O Regime de Capitalização Composto (RCC) incorpora ao capital não 
somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros 
acumulados até o momento anterior. É um comportamento equivalente a uma 
progressão geométrica (PG) no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado 
no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). 
 Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de R$1.000,00 deve ser 
paga em juros compostos à taxa de 10% ao ano, têm-se os resultados ilustrados no 
quadro a seguir: 
 
Quadro 02: Comportamento dos juros compostos sobre o capital inicial de 
R$1.000,00 e taxa de 10% ao ano. 
 
 
 
Ano 
 
 
Saldo no Início 
de cada ano 
(R$) 
 
Juros apurados para 
cada ano (R$) 
 
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano (R$) 
Início do 1 0 
ano 
- - 1.000,00 
Fim do 1 0 ano 1.000,00 0,10x1.000,00=100,00 1.100,00 
Fim do 2 0 ano 1.100,00 0,10x1.100,00=110,00 1.210,00 
Fim do 3 0 ano 1.210,00 0,10x1.210,00=121,00 1.331,00 
Fim do 4 0 ano 1.331,00 0,10x1.331,00=133,10 1.464,10 
Fim do 5 0 ano 1.464,10 0,10x1.464,10=146,41 1.610,51 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
20 
 
 Os seguintes comentários sobre o quadro ilustrativo acima são colocados: 
 
a) no critério composto, os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial 
de R$1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano. Este 
saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em 
períodos anteriores; 
 
b) o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, evoluindo de forma 
exponencial ao longo do tempo. O juro do primeiro ano é produto da 
incidência da taxa de 10% ao ano sobre o capital emprestado de R$1.000,00, 
totalizando R$100,00. No segundo ano, os R$210,00 de juros identificam: 
� juros referentes ao 1 0 ano: 0,10xR$1.000,00 = R$100,00 
� juros referentes ao 2 0 ano: 0,10xR$1.000,00 = R$100,00 
� juros s/os juros apurados no 1 0 ano: 0,10xR$100,00 = R$10,00 
 
 R$210,00 
 e, assim sucessivamente. 
 
 
 Diante dos resultados obtidos, podemos elaborar um quadro comparativo 
dos regimes de capitalização descritos anteriormente. 
 
Quadro 03: Quadro comparativo das duas situações descritas anteriormente. 
 
 
 
 
 
Capitalização 
Simples 
Capitalização 
Composta 
Diferença 
Composta-Simples 
Juros 
anuais 
(R$) 
Saldo 
devedor 
(R$) 
Juros 
anuais 
(R$) 
Saldo 
devedor 
(R$) 
Juros 
anuais 
(R$) 
Saldo 
devedor 
(R$) 
Início do 1 0 ano - 1.000,00 - 1.000,00 - - 
Fim do 1 0 ano 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00 Nihil Nihil 
Fim do 2 0 ano 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00 10,00 10,00 
Fim do 3 0 ano 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00 21,00 31,00 
Fim do 4 0 ano 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10 33,10 64,10 
Fim do 5 0 ano 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51 46,41 110,51 
 
 
 As seguintes observações são válidas: 
 
a) no primeiro período do prazo total os juros simples e compostos igualam-se 
(R$10,00), tornando também idêntico o saldo devedor de cada regime de 
capitalização. 
Assim, para operações que envolvam um só período de incidência de juros 
(também denominado de período de capitalização), é indiferente o uso do 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
21 
regime de capitalização simples ou composto, pois ambos produzem os 
mesmos resultados. 
 
b) A diferença entre os critérios estabelece-se nas operações com mais de um 
período de capitalização. Enquanto os juros simples crescem linearmente, 
configurando uma PA, os juros compostos evoluem exponencialmente,segundo o comportamento de uma PG. 
 
 
Obs: No regime composto há uma capitalização dos juros, também entendida por 
juros sobre juros; os juros são periodicamente incorporados ao saldo devedor 
anterior e passam, assim, a gerar juros. Quanto maior for o número de períodos 
de incidência dos juros, maior será a diferença em relação à capitalização 
simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
22 
5. APLICAÇÕES PRÁTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 
 
 Os juros simples, principalmente diante de suas restrições técnicas, têm 
aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e 
comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime 
de capitalização linear. O uso de juros simples restringe-se principalmente às 
operações praticadas no âmbito do curto prazo. 
 
 No entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem 
geralmente prazos reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou 
rentabilidade) por esse regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos 
valores monetários da operação (encargos a pagar, para empréstimos, e 
rendimentos financeiros, para aplicações), e não para a apuração do efetivo 
resultado percentual. 
 
 É importante ressaltarmos, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado 
financeiro (nacional e internacional) estão referenciadas em juros simples, porém a 
formação dos montantes das operações processa-se exponencialmente (juros 
compostos). Por exemplo, a Caderneta de Poupança paga tradicionalmente 
uma taxa de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo mês o 
rendimento proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operação é linear, 
porém os rendimentos são capitalizados segundo o critério de juros compostos, 
ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros. 
 
 Para uma avaliação mais rigorosa do custo ou rentabilidade expressos em 
percentual, mesmo para aquelas operações que referenciam suas taxas em juros 
simples, é sugerida a utilização do critério de juros compostos. Tecnicamente mais 
correto por envolver a capitalização exponencial dos juros, o regime composto é 
reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de capitais. 
 
 Além disso, outros segmentos além do mercado financeiro também seguem 
as leis dos juros compostos, tais como o estudo do crescimento demográfico, do 
comportamento dos índices de preços da economia, da evolução do faturamento e 
de outros indicadores empresariais de desempenho, dos agregados 
macroeconômicos, da apropriação contábil de receitas e despesas financeiras, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
23 
6. ESTABELECIMENTO DAS NOTAÇÕES 
 
 
 A calculadora HP-12C e a tabela financeira que utilizaremos, adotam as 
seguintes convenções e simbologias para definir os elementos do Diagrama Padrão 
do Fluxo de Caixa: 
 
n - número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, semestres, 
trimestres ou dias; 
(n=0 indica a data de hoje ou a data do início do 1o período; n=1 indica a data do 
final do 1o período e assim por diante) 
 
i – taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem e sempre 
mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, trimestre, mês, dia); 
 
PV – Valor presente (Present Value), ou seja, valor do capital inicial aplicado. 
Corresponde ao valor monetário colocado no diagrama padrão de fluxo de caixa 
quando n=0; 
 
FV – Valor Futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumulado no final de 
n períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Corresponde ao valor monetário 
colocado no diagrama padrão do fluxo de caixa quando n=1, 2, 3, ... ; 
 
PMT – Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periodic PayMen T) que ocorre 
no final de cada período. Corresponde ao valor monetário de cada uma das 
prestações iguais colocadas no diagrama padrão do fluxo de caixa quando n=1, 2, 
3, ... . 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Nota Promissória – constitui um dos três tipos de títulos mais usados (os 
outros dois são: duplicata e letra de câmbio); pode ser usada entre 
pessoas físicas ou, ainda, entre pessoas físicas e instituições financeiras. 
Trata-se de um título de crédito, que corresponde a uma promessa de 
pagamento em que é especificado o valor nominal ou quantia a ser paga 
(que é a dívida inicial, normalmente acrescida de juros), a data de 
vencimento do título (em que a dívida deve ser paga), o nome e a 
assinatura do devedor, o nome do credor e da pessoa que deverá receber 
a importância a ser paga. Estudaremos os três tipos de títulos mais 
usados mais a frente. 
 
2) Para a Administração Financeira, o objetivo econômico das empresas é 
a maximização de seu valor de mercado a longo prazo, pois, dessa forma 
estará sendo aumentada a riqueza de seus proprietários (acionistas de 
sociedades por ações ou sócios de outros tipos de sociedade). Os 
proprietários de empresas privadas esperam que seu investimento 
produza um retorno compatível com o risco assumido, por meio de 
geração de resultados econômicos e financeiros (lucro e caixa) 
adequados por longo prazo. A geração de lucro e caixa é importante 
também em empresas públicas, pois, com o reinvestimento desses 
resultados, é possível executar a melhoria e a expansão dos serviços 
oferecidos à comunidade. Assim, uma empresa pode ser visualizada 
como um sistema que aumenta os recursos nela investidos. 
 
3) Finanças - Palavra de origem francesa, século XIII: Finer. Significa dívida 
ou prestação em dinheiro. Ciência que estuda as diversas formas pelas 
quais o estado, ou qualquer outro poder local obtém riquezas materiais 
necessárias ao seu funcionamento, e o modo com que essas riquezas 
são empregadas. É a ciência ou profissão do manejo do dinheiro próprio 
ou alheio. É a aplicação de uma série de princípios econômicos e 
financeiros objetivando a maximização da riqueza da empresa e do valor 
de suas ações. Arte e ciência de administrar fundos, ou seja, de 
administrar o processo, instituições, mercados e instrumentos envolvidos 
nas transferências de recursos entre pessoas, empresas e governo. 
Praticamente todos os indivíduos e organizações ganham ou levantam 
dinheiro e gastam ou investem dinheiro. Finanças são os processos pelos 
quais o dinheiro é transferido (por meio de financiamento e de 
investimento) entre empresas, indivíduos e governo. Sendo assim, a 
administração financeira possibilita a maximização da riqueza da 
empresa, de seus proprietários e de seus acionistas ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
25 
7. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA E DESCONTÍNUA 
 
 
 Pelo que vimos anteriormente, podemos compreender regime de 
capitalização como o processo em que os juros são formados e incorporados ao 
principal (ou capital). 
 
 Podem ser identificadas dois regimes de capitalização (ou formas), que são: 
 
• A Capitalização Contínua 
e 
• A Capitalização Descontínua 
 
 A Capitalização Contínua é um regime que se processa em intervalos 
de tempo bastante reduzidos – caracteristicamente em intervalo de tempo 
infinitesimal – promovendo grande freqüência de capitalização. A capitalização 
contínua, na prática, pode ser entendida em todo fluxo monetário distribuído ao 
longo do tempo e não somente num único instante. Por exemplo, o faturamento de 
um supermercado, a formação do custo de fabricação no processamento fabril, a 
formação da depreciação de um equipamento, etc. São capitalizações que se 
formam continuamente, e não somente ao final de um único período (mês, ano). 
 
 
 
 
 A forma de capitalização contínua encontra enormes 
dificuldadesem aplicações práticas, sendo pouco utilizada. 
 
 
 Na Capitalização Descontínua os juros são formados somente ao 
final de cada período de capitalização. A caderneta de poupança que paga juros 
unicamente ao final do período a que se refere sua taxa de juros (mês) é um 
exemplo de capitalização descontínua. Os rendimentos, neste caso, passam a 
ocorrer descontinuamente, somente um único momento do prazo da taxa (final do 
mês) e não se distribuem pelo mês. 
 
 De conformidade com o comportamento dos juros, a capitalização 
descontínua pode ser identificada tanto em juros simples como em juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
26 
8. FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES 
 
 
 Geralmente, os juros são calculados periodicamente: ao final de um 
dia, de um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-fixado por ocasião de 
um investimento ou empréstimo. 
 
 Se os juros têm taxa fixa e são calculados sempre a partir da quantia 
inicial, são denominados de juros simples. 
 
Exemplo: Consideremos um empréstimo de R$2.000,00 pelo qual deverão ser 
pagos 5% de juros simples por mês. Para saber de quanto serão os juros ao final de 
um mês, basta calcularmos: 
 
5% de R$2.000,00 = 0,05 x 2.000 = R$100,00 
 
 No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por 
diante. Para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos fazer: 
 
Juros = 2.000 x 0,05 x n 
 
 De modo geral, os juros simples J, resultantes da aplicação de um 
capital C a uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela 
fórmula: 
 
J = PV. i. n 
 
 Lembre-se que i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo, se 
temos uma taxa diária, n deverá ser calculado em dias, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J = PV. i. n 
onde: 
 
J = valor dos juros expressos em unidades monetárias; 
PV = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento; 
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária; 
n = prazo. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
27 
 
 Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros 
valores financeiros mediante simples dedução algébrica: 
 
PV = 
nxi
J
 i = 
nxPV
J
 n = 
ixPV
J
 
 
 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
1) Qual é o juro simples que um capital de R$30.000,00 produz, quando 
aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (ao mês)? 
 
Solução: Temos que PV = 30 000, n = 5 meses e i = 3,5% ao mês = 0,035 ao 
mês. Daí: 
J = PV x i x n 
J = 30000 x 0,035 x 5 
J = 5.250,00 
Ou seja, o juro é de R$5.250,00. 
 
2) Qual é o juro simples que um capital de R$2.500,00 rende quando aplicado 
durante um ano, à taxa mensal de 2%? 
 
Solução: Temos que PV = 2500, n = 1 ano = 12 meses, i = 2,0% ao mês = 0,02 
ao mês. Daí: 
J = PVx i x n 
J = 2500 x 0,02 x 12 
J = 600,00 
Ou seja, o juro é de R$600,00. 
 
 
3) Um capital de R$10.000,00, investido a juros simples de 13% ao ano, foi 
sacado após três meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento. 
Qual foi o juro? 
 
Solução: Na resolução deste problema é importante tomarmos cuidado com as 
unidades de tempo. Assim: 
3 meses e 10 dias = 100 dias 
Daí, temos que: 
J = PVx i x n 
J = 10000 x 0,13 x 
360
100
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
28 
Observe que o período n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o número 
de dias por 360, que é o ano comercial. 
J = 10000 x 0,13 x 
360
100
 
 
J = 361,11 
Ou seja, o juro é de R$361,11. 
 
 
4) Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de 
R$5.000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$720,00? 
 
Solução: Temos que PV = 5000, n = 4 meses e meio = 4,5 meses e J = 720. Daí: 
J = PVx i x n 
720 = 5000 x i x 4,5 
i = 
5,45000
720
x
 
i = 0,032 ao mês, i.e., i = 3,2% ao mês. 
 
 
5) Que capital inicial rende R$2.000,00 em cinqüenta dias, a uma taxa simples 
de 0,2% a.d. (ao dia)? 
 
Solução: Temos que J = 2000, n = 50 dias e i = 0,2% ao dia = 0,002 ao dia. Daí: 
J = PVx i x n 
2000 = PV x 0,002 x 50 
PV = 
002,050
2000
x
 
PV = 20000 
 
Ou seja, o capital inicial é de R$20.000,00. 
 
 
6) Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir num capital para que ele 
duplique de valor em um ano? 
 
Solução: Neste caso, temos que o juro é igual ao próprio capital inicial. Desta 
forma, temos que: 
J = PVx i x n 
PV = PV x i x 12 
i = 
12xPV
PV
 
i = 
12
1
 = 0,083333.... 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
29 
Ou seja, a taxa portanto será de 8,33% ao mês. 
 
Obs: Se calculada anualmente, essa mesma taxa se tornaria, evidentemente, 100% 
(afinal, o capital dobrou!). Portanto: 
8,33% a.m. = 100% a.a. 
 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
1) Um capital de R$80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante 
um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste 
período. 
 
2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros 
simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, 
calculou em R$270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. 
Determinar o valor do empréstimo. 
 
3) Um capital de R$40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 
meses, produzindo um rendimento financeiro de R$9.680,00. Pede-se 
apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. 
 
4) Uma aplicação de R$250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% 
ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de 
R$27.000,00. Calcular o prazo da aplicação. 
 
5) Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir num capital para 
que ele triplique de valor em dois anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
9. TAXA E PERÍODO 
 
 
 Como vimos nos problemas de juros simples, devemos tomar o cuidado 
no manejo das taxas e dos períodos de tempo, a fim de não tratá-los com unidades 
diferentes. 
 
 É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as 
aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em 
número de dias. Dessa forma, o número de dias pode ser calculado de duas 
maneiras: 
 
a) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro 
comercial ou ordinário; 
 
b) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano cível 
(365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato. 
Neste caso, será necessário recorrermos a uma tabela. 
 
 Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa 
diária de: 
 
 
a) Juro Exato: 
dias365
%12
= 0,032877% ao dia 
 
 
 
b) Juro Comercial: 
dias360
%12
= 0,033333% ao dia 
 
 
 
 Na ilustração, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao 
exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
31 
10. VALOR FUTURO (OU MONTANTE) E CAPITAL 
 
 
 Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro 
por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de Montante ou 
Valor Futuro, e identificado em juros simples por FV ou M. Em outras palavras, o 
montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: 
 
M = C + J (I) 
 
 Por outro lado, sabemos que: 
J = C. i. n (II) 
 
 Substituindo (II) em (I), obtemos que: 
 
M = C. (1 + i x n) ou FV = PV. (1 + i x n) 
 
 Evidentemente, o valor de FV desta fórmula pode ser obtido atravésde 
simples transformação algébrica: 
FV = 
)1( nxi
M
+
 
 
 A expressão (1+ i x n) é definida como fator de capitalização (ou de 
valor futuro – FCS) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, 
corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante. 
 O inverso, ou seja, 
).1(
1
ni+
 é denominado de fator de atualização 
(ou de valor presente – FAS). Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em 
uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual. Graficamente, tem-se: 
 
 
 C n = C t x 
�����FCS
ni ).1( + 
 
 C t C n C n 
 
 
 t n 
 
C t = C n x 
�����FAS
ni ).1(
1
+
 
Figura 04: A atualização e Capitalização no Regime Linear de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
1) Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. 
Determinar o valor acumulado ao final deste período. 
 
Solução: Temos que PV = 18000, n = 8 meses e i = 1,5% ao mês = 0,015 ao 
mês. Daí: 
FV = PV x (1 + i x n) 
FV = 18000 x (1 + 0,015 x 8) 
FV = 20.160,00 
 
2) Uma dívida de R$900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está 
oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o 
pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso 
antecipasse a liquidação da dívida. 
 
 
Solução: Temos que FV = 900000, n = 4 meses e i = 7,0% ao mês = 0,07 ao 
mês. Daí: 
FV = PV x (1 + i x n) 
900000 = PV x (1 + 0,07 x 4) 
PV = 703.125,00 
3) Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$29.800,00, à taxa de 
1,2% a.m., durante seis meses? 
 
Solução: Temos que PV = 29800, n = 6 meses e i = 1,2% ao mês = 0,012 ao 
mês. Daí: 
FV = 29800 x (1 + 0,012 x 6) 
FV = 31.945,60 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
 
1) Coloquei uma certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei, depois de 4 
anos, R$928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à 
base de juros simples? 
 
2) Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$3.230,00 depois de 2 
anos e 4 meses. Quanto emprestei? 
 
3) A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 
anos, triplique de valor? 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
33 
4) A que taxa mensal um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 
3anos, quadruplique de valor? 
 
5) Calcule os juros anuais e o montante final de R$1.250,00 à taxa de 5% a.a. 
 
6) Calcule o juro produzido e o montante de R$500,00, à taxa de 80% ao ano, 
durante 45 dias. 
 
7) Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer, rendesse, em 3 
anos, 3/5 do seu valor? Qual é o montante? 
 
8) A que taxa anual um capital de R$8.400,00, em 1 mês e 10 dias, renderia 
R$3,00? 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
34 
11. DETERMINAÇÃO DA DATA DE VENCIMENTO E PRAZO DAS 
APLICAÇÕES: CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS 
 
 
 Para determinar a data de vencimento e o prazo das aplicações, 
podemos usar a tábua para contagem de dias entre duas datas, que aparece logo 
abaixo. Para tanto, devemos subtrair, do número de dias correspondente à data 
posterior, o número correspondente à data anterior, tendo o cuidado de, no caso de 
anos bissextos, acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado. 
 
 
Tabela 01: Tábua para contagem de dias entre duas datas. 
 
JAN. FEV. MAR. ABR. MAIO JUN. JUL. AGO. SET. OUT. MOV. DEZ. 
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
2 33 61 92 122 153 
 
183 214 245 275 306 336 
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
31 90 151 212 243 304 365 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
Exercícios de Aprendizagem 
 
1) Calcular os juros simples que um capital de R$2.500,00 rende a uma taxa de 
2,7% ao mês, quando aplicado de 1 0 de fevereiro até 14 de maio. 
 
Solução: Na resolução desse problema usamos a Tabela 01 para a contagem 
dos dias. Assim, temos: 
 
1 0 de Janeiro 1 0 de Fevereiro 14 de 
Maio 
 
 
 
 32 (Tabela) 134 
(Tabela) 
 
134 – 32 = 102 = número de dias entre 1 0 de Fevereiro e 14 de Maio 
 
 Logo: 
J = 2500 x 
30
027,0
 x 102 
 
PV = 229,50 
Portanto, o juro foi de R$229,50. 
 
 
Tente fazer os demais! 
 
 
 
2) Um investimento a juros simples, realizado com base no ano civil em 18 de 
julho e à taxa anual de 20%, rendeu R$118,40 de juros em 30 de setembro. 
Calcular a quantia investida. 
 
3) Um banco anuncia que um investimento de R$9.523,80 rende em seis meses 
a quantia de R$1.047,62. De quanto será a taxa anual, calculada com base 
no ano comercial? 
 
4) Calcular em quanto tempo um capital de R$1.200,00 renderá R$144,00 de 
juros, quando aplicado a uma taxa de 3% a.m. 
 
5) Calcular os juros de R$1.200,00, aplicados a uma taxa de 15% a.a., durante 
três meses e dez dias. 
 
6) Calcular o juro que rende um capital de R$8.000,00 quando aplicado durante 
7 meses e 15 dias, à taxa anual de 30%. 
 
 
 
 
 
 
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36 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
 
1) Qual é o capital que, à taxa de 10% ao ano, produz R$1.485,80 em dois 
anos? 
 
2) A que taxa anual um capital de R$8.400,00, em 1 mês e 10 dias, renderia 
R$3,00? 
 
3) Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer rendesse, em 
3 anos, 3/5 do seu valor? 
 
4) Em quanto tempo R$120,00 aplicados a 15% ao ano produziriam juros de 
R$80,00? 
 
5) Apliquei 3/7 do meu capital a uma taxa de 8% ao ano. O restante apliquei 
à taxa de 10% ao ano, recebendo um juro anual de R$4.850,00. Qual era 
o meu capital inicial? 
 
6) Dois capitais aplicados rendem juros iguais. O primeiro a 130% ao ano, 
durante 8 meses; e o segundo a 90% ao ano, durante 9 meses. Determine 
esses capitais, sabendo que a diferença entre eles é de R$2.800,00. 
 
7) Quero que meu capital seja aplicado a uma determinada taxa de modo 
que dobre em 9 meses. Para tanto, qual será a taxa que devo usar? 
 
8) Pedi emprestada uma quantia a juros com taxa de 12% ao ano e tive de 
devolver o dobro do que usei. Por quanto tempo mantive o empréstimo? 
 
9) A que taxa mensal um capital quintuplica em 10 anos? 
 
10) Qual a taxa necessáriapara um capital duplicar em 3 anos e 4 meses? 
 
11) O montante, após um empréstimo de 18 meses, é 8/5 do capital 
emprestado. Qual é a taxa utilizada nesta operação? 
 
12) Um capital ficou depositado durante 2 anos, à taxa de 4% ao ano. Findo 
esse período, o montante foi reaplicado a 6% ao ano durante 18 meses. 
Determine o capital inicial, sabendo que o montante final foi de 
R$17.658,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
37 
13) O montante de uma aplicação, após 7 meses e 15 dias, foi de 
R$180.900,00. O mesmo capital, à mesma taxa e acrescido dos juros de 
32 meses, dá um montante de R$210.840,00. Determine o capital e a taxa 
mensal. 
 
14) Divida R$360,00 em duas partes, de tal forma que a primeira parte 
produza em 6 meses o mesmo juro que a segunda em 3 meses, ambas 
com a mesma taxa de aplicação. 
 
15) Dois capitais diferem em R$86.000,00. O maior, empregado durante 10 
meses, rendeu R$1.542,00. O menor, empregado durante 15 meses, 
rendeu R$1.926,00, à mesma taxa. Quais foram os capitais empregados e 
qual a taxa anual? 
 
16) Um capital de R$29.000,00, foi dividido em duas partes. A primeira está 
empregada a 16% ao ano e a segunda, a 11% ao ano. Determine essas 
partes, sabendo que a soma do rendimento anual de cada uma delas 
perfaz R$4.440,00. 
 
17) Calcule os juros de R$1.220,00, à taxa de 8% ao ano, aplicados de 10 de 
janeiro a 9 de maio. 
 
18) Quais os juros aferidos de 18 de novembro até 15 de março, a uma taxa 
de 4% ao mês, sobre um capital de R$400.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
38 
12. TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE 
 
 
 Para compreendermos de forma mais clara o significado destas taxas 
deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se 
refere à taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. 
 Por exemplo, vamos admitir um empréstimo bancário a uma taxa 
(custo) nominal de 24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de 
juros é anual. A seguir, deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. 
Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de 
cada ano, os dois prazos considerados são coincidentes. 
 O crédito direto ao consumidor promovido pelas Financeiras é outro 
exemplo de operação com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é 
definida ao mês e os juros capitalizados também mensalmente. 
 Porém em diversas outras operações estes prazos não são 
coincidentes. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se 
nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período de 
capitalização. 
Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes 
uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é empregada (capitalizada) ao principal todo 
mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois 
prazos – prazo da taxa: ano e prazo de capitalização: mês. 
 Como vimos anteriormente, devemos expressar estes prazos 
diferentes na mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa 
para o prazo de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização 
passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. 
 No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, 
esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros 
também denominada de taxa linear ou taxa nominal. Esta taxa proporcional é 
obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de 
vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). 
 Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a 
capitalização for definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um 
ano), o percentual de juros indicará sobre o capital a cada mês será: 
Taxa proporcional = 
12
%18
 = 1,5% ao mês 
 A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente 
em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
39 
descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre 
saldo devedor de conta corrente bancária, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumindo (esquema prático – taxas proporcionais) 
 
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção 
com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
 
Dadas duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i’, relativas, respectivamente, aos 
tempos n e n’, referidos na mesma unidade, temos: 
'' n
n
i
i
= (I) 
 
Obs: As taxas i e i’ devem ser ambas percentuais ou ambas unitárias. 
Assim, as taxas de 18% ao ano e 1,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, 
pois: 
 
1
12
015,0
18,0
1
12
5,1
18
== ou (1 ano = 12 meses) 
 
Vamos, então, determinar uma fórmula que nos permita obter, rapidamente, uma 
taxa proporcional à outra taxa dada. 
Sendo i a taxa de juro relativa a um período e i k a taxa proporcional que 
queremos determinar, relativa à fração 1/k do período, temos pela relação (I): 
1
1
k
i
ik = 
isto é: 
i
k
i
k = 
 
Nota: Note que i é sempre a taxa relativa ao maior período. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
40 
 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
 
1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 
 
2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. 
 
3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. 
 
4) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
 
a) 9% a.t. 
 
b) 24% a.a. 
 
c) 0,04% a.d. 
 
5) Calcule a taxa anual proporcional a: 
 
a) 1,5% a.m. 
 
b) 8% a.t. 
 
c) 21% a.s. 
 
d) 0,05% a.d. 
 
 
As taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um 
mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o 
mesmo juro. 
 
Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$2.000,00: 
 
• à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses; 
 
• à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres. 
 
No primeiro caso, temos: 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
41 
�
�
�
�
�
==
=
=
..04,0..%4
6
000.2
mamai
mesesn
PV
 
Logo: 
J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00. 
 
No segundo caso, temos: 
�
�
�
�
�
==
=
=
..12,0..%12
2
000.2
tatai
trimestresn
PV
 
Daí: 
 
J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00. 
 
Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e 12% ao 
trimestre são taxas equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e 
taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente à 
classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes, ou seja: 
 
Juros Simples: Taxas equivalentes ⇔ Taxas proporcionais 
 
De fato: 
 
Dadas as taxas de juros i, relativa a 1 período, e i k relativa a 1/k período, temos: 
J i = PV x i x 1 
e 
J
ki
 = PV x i k x k 
 
(� ) Suponhamos que i e i k sejam equivalentes, isto é, J i = J ki . Daí: 
J i = J ki � PV x i x 1 = PV x i k x k � i k
i
k = 
ou seja, 
i e i k são proporcionais. 
 
( ⇐ ) Suponhamos que i e i k sejam proporcionais, isto é, 
1
1
k
i
ik = . Daí: 
Multiplicando ambos os membros por PV, obtemos: 
PV x i k x k = PV x i x 1 
ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
42 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
1) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao 
ano. Determine o juro obtido. 
 
2) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500,00, aplicado durante 
2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. 
 
3) Calcular a taxaanual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre. 
 
4) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao 
trimestre. 
 
5) Mostre que 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre. 
 
6) Calcular o montante de um capital de R$600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% 
ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. 
 
7) Uma dívida de R$30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses 
antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 
15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
43 
13. EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA A JUROS SIMPLES 
 
 
 O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico 
da Matemática Financeira. 
 
Definição: Dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se 
equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa 
data comum (denominada data focal). 
 
 Por exemplo, R$120,00 vencíveis daqui a um ano e R$100,00, hoje, 
são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$100,00, 
capitalizados, produziriam R$120,00 dentro de um ano, ou os R$120,00, do final do 
primeiro ano, resultariam em R$100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os 
capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e a taxa de 20% ao ano, 
resultados idênticos. 
 
 Vamos interpretar graficamente o raciocínio descrito anteriormente: 
FV = 100,00 x (1 + 0,20 x 1) 
 
 
 R$ 100,00 C n 
R$120,00 
 
 
 
 
PV = 
)12,01(
00,120
x+
 
 
Exemplo 01: Determinar se R$438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente 
a se receber hoje R$296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao 
mês. 
 
Nosso objetivo agora, é generalizar este raciocínio. 
 
 A equivalência de capitais pode então ser generalizada a partir da 
seguinte representação gráfica: 
 
 A1 A 2 B1 B 2 B 3 
 _____________________________________________ _ _ _ _ _ 
 
 0 1 2 3 4 5 n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
44 
 Os capitais A 1 , A 2 e B 1 , B 2 , B 3 dizem-se equivalentes se, quando 
expressos em valores de uma data comum (data de comparação ou data focal), e 
a mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais. 
 
Sendo a data de comparação no momento 0, tem-se: 
 
)51()41()31()21()11(
32121
xi
B
xi
B
xi
B
xi
A
xi
A
+
+
+
+
+
=
+
+
+
 
 
Sendo o momento 6 escolhido como data focal, tem-se: 
 
A 1 .(1 + i x 5) + A 2 .(1 + i x 4) = B 1 .(1 + i x 3) + B 2 .(1 + i x 2) + B 3 .(1 + i x 1) 
 
E, assim por diante. 
 
 
Na questão da equivalência financeira em juros simples, é importante 
ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados (fracionados) sob 
pena de alterar os resultados. Em outras palavras, dois capitais 
equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o mesmo 
resultado na data focal pelo critério de juros simples. Por exemplo, 
admitamos que o montante final de dois anos de R$100,00 aplicados 
hoje, à taxa de juros simples de 20% ao ano, é igual a R$140,00. No 
entanto, este processo de capitalização linear não pode ser fracionado de 
forma alguma. Por exemplo, apurar inicialmente o montante ao final do 
primeiro ano e, a partir daí, chegar ao montante do segundo ano envolve 
a capitalização dos juros (juros sobre juros), prática esta não adotada no 
regime de juros simples. 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes, dado 
que: 
 
PV.(1 + 0,2 x 2) ≠ PV.(1 + 0,2 x 1).(1 + 0,2 x 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
45 
 Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do 
prazo, a equivalência de capitais em juros simples é dependente da data de 
comparação escolhida (data focal). 
 
 Ilustrativamente, admitamos que A deve a B os seguintes pagamentos: 
 
• R$50.000,00 de hoje a 4 meses; 
 
• R$80.000,00 de hoje a 8 meses. 
 
 Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em 
substituição ao original. A proposta de A é a de pagar R$10.000,00 hoje, 
R$30.000,00 de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano. 
 
 Sabe-se que B exige uma taxa de juros simples de 2,0% ao mês. Esta 
taxa é a que consegue obter normalmente em suas aplicações de capital. Pede-se 
apurar o saldo a ser pago. 
 
 O problema é mais facilmente visualizado no gráfico a seguir, onde 
convencionou-se representar a dívida original na parte superior, e a proposta 
alternativa de pagamento na parte inferior. 
 
 
 
 
 
 A ilustração apresentada é de substituição de uma proposta de 
pagamentos por outra equivalente. Para serem equivalentes, os pagamentos devem 
produzir os mesmos resultados, a uma determinada taxa de juros, em qualquer data 
comum. 
 
 Primeiramente, vamos admitir que a data focal selecionada é o momento 
hoje. Assim, ao igualar os pagamentos das propostas em valores representativos da 
data focal escolhida, tem-se: 
 
DATA FOCAL = 0 
 
)1202,01()602,01(
00,000.30
00,000.10
)802,01(
00,000.80
)402,01(
00,000.50
x
X
xxx +
+
+
+=
+
+
+
 
 
46.296,30 + 68.965,50 = 10.000,00 + 26.785,70 + 
24,1
X
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
46 
ou seja, 
 
X = R$97.310,40 
 
 Suponha que B resolva definir o mês 12 a data focal para determinar o 
valor do saldo a ser pago. Expressando-se os pagamentos na data focal escolhida, 
tem-se: 
 
DATA FOCAL = 12 
 
50.000,00 x (1 + 0,02 x 8) + 80.000,00 x (1 + 0,02 x 4) = 10.000,00 x (1 + 0,02 x 12) 
+ 
 
+ 30.000,00 x (1 + 0,02 x 6) + X 
 
ou seja, 
 
144.400,00 = 46.000,00 + X 
 
portanto, 
X = R$98.400,00 
 
 Como resultado, verifica-se que o saldo a pagar altera-se quando a data 
focal é modificada. Esta característica é típica de juros simples (em juro composto 
este comportamento não existe), sendo explicada pelo fato de não ser aceito o 
fracionamento dos prazos. 
 
 Na prática, a definição da data focal em problemas de substituição de 
pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida naturalmente pelas 
partes, não se verificando um posicionamento técnico definitivo da Matemática 
Financeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
47 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
 
1) Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$18.000,00 resgatando 
R$21.456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples 
auferida nesta aplicação. 
 
Solução: Temos que PV = 18.000,00, FV = 21.456,00 e n = 4 meses. Daí: 
 
21.456,00 = 18.000,00 x ( 1 + 4 x i) 
 
1,192 = 1 + 4i 
 
4i = 0,192 
 
i = 0,048 que representa 4,8% ao mês. 
 
 
2) Se uma pessoa necessitar de R$100.000,00 daqui a 10 meses, quanto 
deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear 
de 12% ao ano? 
 
Solução: Temos que FV = 100.000,00, n = 10 meses e i = 12% ao ano ou i = 
12
%12
 = 1% ao mês = 0,01 a.m. Daí: 
FV = PV x ( 1 + i x n) 
 
100.000,00 = PV x ( 1 + 0,01 x 10) 
 
PV = 90.909,09 
 
 
3) Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital 
triplique de valor após 2 anos. 
 
Solução:Temos que PV = 1, FV = 3 e n = 24 meses = 12 bimestres. Daí: 
 
3 = 1 x ( 1 + i x 12) 
 
3 = 1 + 12.i 
 
12i = 2 
 
i = 0,166666... ou 16,666666...% a.b. (ao bimestre) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
48 
4) Um título com valor nominal de R$7.200,00 vence em 120 dias. Para uma 
taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor desse título: 
 
a) hoje; 
b) dois meses antes de seu vencimento; 
c) um mês após o seu vencimento. 
 
Solução: 
 
a) C 0 = 
�
�
�
	
�
+ 4
12
312,0
1
00,200.7
x
 = 
104,1
00,200.7
 = R$6.521,74 (Neste caso devemos 
atualizar) 
 
b) C 2 = 
�
�
�
	
�
+ 2
12
312,0
1
00,200.7
x
 = 
052,1
00,200.7
 = R$6.844,11 (Neste caso devemos 
atualizar) 
 
c) C 5 = 7.200,00 x ( 1+ 
12
312,0
 x 1) = R$7.387,20 (Neste caso devemos 
capitalizar) 
 
5) Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e R$56.000,00 cada. 
O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O 
devedor deseja propor a substituição destas suas obrigações por um único 
pagamento ao final do 5 0 mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de 
juros simples, determinar o valor deste pagamento único. 
 
Solução: Temos a seguinte disposição geométrica: 
 
0 2 3 5 
 25.000,00 56.000,00 
M 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
49 
 
Data Focal: mês 5 (ou quinto mês), ou seja, devemos capitalizar os dois capitais 
para o Momento 5. 
 
Desta maneira, temos que: 
 
M = 25.000,00 x ( 1 + 0,03 x 3) + 56.000,00 x ( 1 + 0,03 x 2) 
 
M = 27.250,00 + 59.360,00 
 
M = 86.610,00 
 
 
6) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: 
 
• R$35.000,00 vencíveis no fim de 3meses; 
 
• R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. 
 
 Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas 
financeiras 
 aplicando-as em uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros 
simples. 
 Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança 
de 
 forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas 
datas de 
 vencimentos sem deixar saldo final na conta. 
 
 
 
 Solução: Temos a seguinte disposição geométrica: 
 
 
 
Data Focal: data zero (hoje) - (Neste caso devemos atualizar os dois capitais) 
 C 0 
 
3 
 35.000,00 
 5 
 65.000,00 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
50 
 
Além disso, i = 66% ao ano = 5,5% ao mês ou 0,055 ao mês. Logo: 
 
C 0 = 
)5055,01(
00,000.65
)3055,01(
00,000.35
xx +
+
+
 (Neste caso devemos atualizar os dois capitais) 
 
C 0 = 30.042,92 + 50.980,39 
 
C 0 = 81.023,31 
 
 A pessoa, depositando hoje R$81.023,31 numa poupança que paga 
5,5% ao mês de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de resgatar 
suas dívidas nas respectivas datas de vencimento. 
 Logo, ao capitalizar o capital aplicado para os momentos 3 e 5, o 
resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos, isto é: 
 
 
Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16 
 (–) Resgate (35.000,00) 
 
 
 
Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30 
 (–) Resgate (65.000,00) 
 
 O saldo remanescente de R$925,30 é devido à capitalização dos juros, 
procedimento este incorreto no regime linear. Foi demonstrado que em juros simples 
o prazo da operação não pode ser fracionado, originando-se daí a diferença 
encontrada. 
 
 
7) Uma dívida no valor de R$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor 
pretende resgatar a dívida pagando R$4.800,00 hoje, R$14.000,00 de hoje 
dois meses, e o restante um mês após a data do vencimento. Sendo o 
momento deste último pagamento definido como a data focal da operação, e 
sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta 
operação, determinar o montante do pagamento. 
 
 
 
 Saldo: R$925,30 
 Saldo: R$53.392,16 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
51 
 Solução: Temos a seguinte disposição geométrica: 
 
 
Data Focal: Momento 7 – Devemos capitalizar todos os capitais (4.800,00, 14.000,00 
e 48.000,00) para a data 7 (mês 7). 
 
Logo: 
48.000,00 x ��
�
�
		
�
+ 1
12
348,0
1 x = 4.800,00 x ��
�
�
		
�
+ 7
12
348,0
1 x + 14.000,00 x ��
�
�
		
�
+ 5
12
348,0
1 x + M 
 
43.392,00 = 5.774,40 + 16.030,00 + M 
 
M = R$27.587,60 
 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
1) Um aluno na aula de Matemática Financeira faz a seguinte argumentação para a 
sala, a respeito de um dos fatores (inflação) que determinam a existência dos 
juros: 
 
 “Inflação (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisitivo da moeda exige 
que o investimento produza retorno menor que o capital investido”. 
 
Esta argumentação é coerente ou não? Justifique a sua resposta. 
 
2) Qual é o capital que diminuído do seu juro simples de 18 meses, à taxa de 6% ao 
ano, se reduz a R$ 8.736,00? 
 
3) Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% 
ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21% ao ano. A que taxa única 
0 2 6 7 
4.800,00 14.000,00 
48.000,00 
M 
Dívida Original 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
52 
essa pessoa poderia empregar todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento 
anual? 
 
4) Uma determinada taxa foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00 durante 3 anos. 
Sabendo que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo 
tempo, a juros simples de 5% ao ano, renderia mais R$ 600,00 que o primeiro, é 
possível dizer que a taxa aplicada sobre o capital é de? 
 
5) Uma pessoa aplicou R$110.000,00 do seguinte modo: 
 
• R$68.000,00 a 5% ao ano; 
 
• R$42.000,00 a uma taxa desconhecida. 
 
Sabendo que, ao fim de meio ano, a primeira importância tinha rendido R$125,00 a 
mais do que a segunda, responda a que taxa esta última foi aplicada, considerando 
o regime linear de juros. 
 
6) Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$130,00 a vista, ou nas 
seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. 
Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada. 
 
7) Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: 
• R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias; 
• R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias; 
• R4 100.000,00 vencíveis em 114 dias; 
 
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos 
pelo seguinte esquema: 
 
• R$ 20.000,00 em 60 dias; 
• R$ 50.000,00 em 100 dias; 
• Restante em 150 dias. 
 
Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas 
operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando como 
data focal o momento atual. 
 
 
8) Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos: 
 
• R$ 22.000,00 de hoje a 2 meses; 
• R$ 57.000,00 de hoje a 5 meses; 
• R$ 90.000,00 de hoje a 7 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
53 
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, 
vencíveis o primeiro ao final do 6 0 mês e o segundo no 8 0 mês. Sendo de 3,7% ao 
mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes 
datas de comparação: 
 
a) hoje; 
 
b) no vencimento do primeiro pagamento proposto; 
 
c) no vencimento do segundo pagamento proposto. 
 
 
9) Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro 
pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 
dias. Sendo de 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor 
interessa adquirir o bem à vista.Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
54 
 
UNIDADE 02 – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO E 
APLICAÇÕES 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
• Apresentar toda teoria envolvendo o regime de capitalização composto, bem 
como, apresentar diversas aplicações; 
• Trabalhar sem dificuldades com exercícios envolvendo logaritmos no cálculo 
envolvendo o regime composto; 
• Diferenciar taxa nominal e taxa efetiva; 
• Diferenciar a convenção linear e exponencial; 
• Resolver diversas aplicações envolvendo todos os tópicos discutidos na 
teoria. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 Já vimos que os juros simples são aqueles calculados à taxa fixa, 
sempre a partir da mesma quantia inicial (capital inicial). 
 Nosso objetivo aqui, é apresentar os principais aspectos relacionados às 
operações no regime de capitalização composto. 
 O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada 
período são acrescidos ao capital formando o montante (capital + juros) do período. 
Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando 
um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros 
sobre juros formados em períodos anteriores), e assim por diante. 
 Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para 
os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo 
remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. 
 Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros 
simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. No 
critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, 
retratando melhor a realidade das operações que o regime linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
55 
2. O MECANISMO DA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (FÓRMULAS 
DE JUROS COMPOSTOS) 
 
 
 No regime de capitalização composta (RCC), ou regime de juros 
compostos , a incidência de juros ocorre sempre de forma acumulativa, ou seja, os 
juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente (a taxa de juros 
incidirá sobre o montante acumulado no final do período imediatamente anterior). 
 
 Por exemplo, em uma operação de empréstimo de R$100,00 por três 
meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de cada período incidirão sempre sobre o 
montante do final do período anterior. Assim, a composição dos valores futuros, 
mediante o emprego de juros simples e compostos, pode ser vista no Quadro 04 
abaixo: 
 
Quadro 4. Capitalizações simples e composta. 
 
 N FV(Juros Simples) FV(Juros Compostos) 
 
 0 100,00 100,00 
 0,1 106,00 104,81 
 0,5 130,00 126,49 
 0,8 148,00 145,65 
 1 160,00 160,00 
 2 220,00 256,00 
 3 280,00 409,60 
 
 
 
 
 
 
Vejamos a Figura 04 abaixo: 
 
Figura 04. Evolução do valor futuro. 
O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido no 
regime de capitalização simples para períodos superiores à unidade. Para períodos 
menores que 1, o valor futuro, calculado mediante o emprego de juros simples é maior. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
56 
 Note que a forma de capitalização da taxa de juros no regime de 
capitalização composta impede quaisquer operações de multiplicação ou divisão de 
taxas de juros. Para tornar compatíveis taxas e prazos, converta sempre os 
prazos para a mesma base das taxas fornecidas. Evite, mais uma vez, converter 
taxas. 
 
 
No Regime de Juros Compostos 
Nunca multiplique ou divida a taxa de juros!!! 
 
 
 Para melhor entendermos este contexto e definir as fórmulas de cálculo 
a serem utilizadas, admita ilustrativamente uma aplicação de R$1.000,00 a taxa 
composta de 10% ao mês. Denotando por PV o Valor Presente (capital) e FV o 
Valor Futuro (Montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cada mês: 
 
� Final do 1 0 mês: o capital de R$1.000,00 produz juros de R$100,00 (10% x 
R$1.000,00) e um montante de R$1.100,00 (R$1.000,00 + R$100,00), ou 
seja: 
 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$1.100,00 
 
� Final do 2 0 mês: o montante do mês anterior (R$1.100,00) é o capital deste 
2 0 mês, servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Desta 
forma: 
 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 2 = R$1.210,00 
 
 O montante do 2 0 mês pode ser assim decomposto: 
 
R$1.000,00 capital aplicado 
R$100,00 juros referentes ao 1 0 mês (10% x R$1.000,00) 
R$100,00 juros referentes ao 2 0 mês (10% x R$1.000,00) 
R$10,00 juros sobre os juros produzidos no 1 0 mês (10% x R$100,00) 
 
 
� Final do 3 0 mês: dando seqüência ao raciocínio de juros compostos: 
 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 3 = R$1.331,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
57 
� Final do enésimo mês: aplicando-se a evolução dos juros compostos 
exposta para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao 
final do período atinge: 
 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x ... x (1 + 0,10) 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) n 
 
Generalizando, temos que: 
 
FV = PV x (1 + i) n e PV = 
ni
FV
)1( +
 
onde (1 + i) n é o fator de capitalização (ou de valor futuro), - FCC (i, n) a juros 
compostos, e 
ni)1(
1
+
 o fator de atualização (ou de valor presente) – FAC (i, n) 
a juros compostos. 
 A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em 
juros compostos se processa mediante a aplicação destes fatores, conforme 
podemos visualizar na Figura 05 abaixo: 
 
 
Figura 05. Movimentação de um capital na escala de tempo a juros compostos. 
 
 
 Olhando de outra forma, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é 
apurado pela diferença entre o Valor Futuro (FV) e o Valor Presente (PV), 
podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão: 
 
J = FV – PV 
Como 
 
FV = PV x (1 + i) n 
 
Colocando-se PV em evidência, obtemos: 
 
J = PV x [(1 + i) n - 1] 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
58 
 
 Resumindo, da equação geral para capitalização composta, é possível 
deduzirmos outras equações (equações derivadas) que nos permite a obtenção 
direta do valor presente, da taxa ou do prazo da operação com as notações 
descritas abaixo. Vejamos a Figura 03 abaixo: 
 
 
Figura 06: Principais Fórmulas no Regime de Capitalização Composta. 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
 
1) Se uma pessoa deseja obter R$27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá 
ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros 
compostos ao mês? 
 
 Solução: Do problema temos que: FV = 27.500,00, i = 1,7% ao mês = 0,017 
a.m. e n = 
 1 ano = 12 meses. Daí: 
FV = PV x (1 + i) n 
27.500,00 = PV x (1 + 0,017)12 
PV = 22.463,70 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
59 
2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$12.000,00 em um título pelo 
prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? 
 
Solução: Do problema temos que: PV = 12.000,00,i = 3,5% ao mês = 0,035 a.m. 
e n = 8 meses. Daí: 
FV = PV x (1 + i) n 
FV = 12.000,00 x (1 + 0,035) 8 
FV = 15.801,71 
 
 
3) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de 
R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de um 
quadrimestre. 
 
Solução: Do problema temos que: PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV = 
43.894,63. Daí: 
FV = PV x (1 + i) n 
3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i) 4 
00,000.40
63,894.43
 = (1 + i) 4 
1,097366 = (1 + i) 4 
4 097366,1 = 4 4)1( i+ 
1,0235 = 1 + i 
i = 0,0235 ou 2,35% ao mês 
 
4) Uma aplicação de R$22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa 
composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40 em certa 
data futura. Calcular o prazo da operação. 
 
 Solução: Do problema temos que: PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês = 0,024 
a.m. e FV = 26.596,40. Daí: 
FV = PV x (1 + i) n 
26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024) n 
00,000.22
40,596.26
 = (1,024) n 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
60 
1,208927 = (1,024) n 
log (1,208927) = log (1,024) n 
0,082400 = n x log(1,024) 
n = 
)024,1log(
082400,0
 
n = 8 meses 
 Obs: Toda vez que interessar o cálculo do expoente n, devemos utilizar o 
logaritmo decimal. 
 
 
 
 
5) Determinar o juro pago de um empréstimo de R$88.000,00 pelo prazo de 5 
meses á taxa composta de 4,5% ao mês. 
 
 Solução: Do problema temos que: PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5% a. 
m. = 0,045 a.m. Daí: 
J = PV x [ (1 + i) n – 1] 
J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045) 5 – 1] 
J = 21.664,02 
 
 
Tente fazer os demais! 
 
 
6) Calcular o montante de um capital inicial de R$6.000,00, a juros 
compostos de 5% ao mês, durante 6 meses. 
 
7) Calcular o montante para um capital inicial de R$10.000,00, a juros 
compostos de 4% ao mês, durante 8 meses e 12 dias. 
 
8) Qual o montante que um capital inicial de R$8.000,00 pode produzir, 
aplicado do dia 3 de março a 16 de julho, à taxa de 3% ao mês de juros 
compostos? 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
61 
9) Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$40.000,00 a juros 
compostos de 2% ao mês, durante 5 meses. Calcular essa quantia. 
 
10) Durante quanto tempo é preciso aplicar R$5.000,00, à taxa de 7% ao mês, 
para produzir o montante de R$12.000,00? 
 
11) Um capital de R$7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu um 
montante de R$9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada? 
 
12) Na porta do Banco AFA, encontra-se um cartaz onde se lê “Aplique hoje 
R$1.788,80 e receba R$3.000,00 daqui a 6 meses”. Qual é a taxa mensal 
de juros que o banco está aplicando sobre o dinheiro investido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
62 
3. EXTENSÕES AO USO DAS FÓRMULAS 
 
 
 
 Deve-se acrescentar ao estudo de juros compostos que o valor presente 
(capital) não se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero. Em 
verdade, o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do 
valor futuro (montante). 
 
Exemplo: Suponha que seja de nosso interesse calcular quanto será pago por um 
empréstimo de R$20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 
meses à data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a 
dívida à taxa composta de 2,5% ao mês. 
 
Solução: O problema envolve basicamente o cálculo do valor presente, ou seja, um 
valor atualizado a uma data anterior à do montante (mês 9). Daí: 
 
PV = 
55 )025,1(
00,000.20
)025,01(
00,000.20
=
+
 = R$17.677,10 
 
Graficamente, temos a seguinte representação do problema: 
 
 
Figura 07. Representação Gráfica do Exemplo anterior. 
 
 
 
 
As expressões de cálculos PV e FV permitem capitalizações e 
atualizações envolvendo diversos valores e não somente um 
único capital ou montante. 
 
 
 
Exemplo: Admita um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos: 
R$15.000,00 de hoje a 2 meses; R$40.000,00 de hoje a 5 meses; R$50.000,00 de 
hoje a 6 meses e R$70.000 de hoje a 8 meses. O devedor deseja apurar o valor 
presente (na data zero) destes fluxos de pagamento, pois está negociando com o 
banco a liquidação imediata de toda a sua dívida. A taxa de juros considerada nesta 
antecipação é de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
63 
Solução: Vejamos a representação gráfica da dívida na figura abaixo: 
 
 
 
 
Figura 08. Representação gráfica da dívida do Exemplo 2. 
 
 
 
 
Utilizando-se a fórmula do valor presente: 
 
 
PV = 
8652 )03,1(
00,000.70
)03,1(
00,000.50
)03,1(
00,000.40
)03,1(
00,000.15
+++ 
 
 
PV = 14.138,94 + 34.504,35 + 41.874,21 + 55.258,65 
 
PV = R$145.776,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
64 
4. TAXAS EQUIVALENTES 
 
 
 Vimos no regime de capitalização simples, que a taxa equivalente é a 
própria taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% 
ao trimestre são ditas proporcionais, pois mantêm a seguinte relação: 
 
� �
taxasprazos
9
3
3
1
= 
 
 São também equivalentes, pois promovem a igualdade de montantes de 
um mesmo capital ao final de certo período de tempo. 
 
 Por exemplo, em juros simples um capital de R$80.000,00 produz o 
mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t. 
 
 n = 3 meses 
�
�
�
=+=
=+=
00,200.87$)109,01(00,000.80.).%9(
00,200.87$)303,01(00,000.80.).%3(
RxtaFV
RxmaFV
 
 
 
n = 12 meses 
�
�
�
=+=
=+=
00,800.108$)409,01(00,000.80.).%9(
00,800.108$)1203,01(00,000.80.).%3(
RxtaFV
RxmaFV
 
 
 
 
e assim por diante. 
 
 O conceito de taxa equivalente que vimos no regime de capitalização 
simples continua sendo válido para a capitalização composta, no entanto, sendo 
diferente sua fórmula de cálculo. Por se tratar de capitalização exponencial, a 
expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do 
período inteiro, isto é: 
 
i qq i+= 1 - 1 
 
onde: 
q = número de períodos de capitalização. 
 
Exemplo: A taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 
1,66%, pois: 
i 6 = 6 103826,01+ – 1 
i 6 = 6 103826,01+ - 1 = 1,0166 - 1 = 0,0166 ou 1,66% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
65 
Conclusão do Exemplo: Desta forma, para um mesmo capital e prazo de aplicação, 
é indiferente (equivalente) o rendimento de 1,66% a.m. ou 10,3826% ao semestre. 
 
Assim, ilustrativamente um capital de R$100.000,00 aplicados por dois anos produz: 
 
• Para i = 1,66% e n = 24 meses: FV = 100.000,00 x (1,0166) 24 = 
R$148.457,63 
 
• Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: FV = 100.000,00 x (1,103826) 4 
= R$148.457,63 
 
Exemplo 02: O banco AFA divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação 
financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma aplicação de 
R$10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de R$11.200,00 (R$10.000,00 
x 1,12). Efetivamente, os 12% constituem-se na taxa de rentabilidade da operação 
para o período inteiro de um semestre, e, em bases mensais, esse percentual pode 
ser expresso em termos de taxa equivalente composta. 
 
Interpretação do Exemplo: Assim, os 12% de rendimentos do semestre 
determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme o 
enunciado pelo banco. 
De outra forma, temos: 
i 6 = 6 12,1 - 1 = 1,91% ao mês 
De forma natural, ao se aplicar R$10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de 
1,91% ao mês, chega-se ao montante de R$11.200,00. 
 
 
 
Sendo assim, verificamos que o processo de 
descapitalização da taxa de juro no regime composto 
processa-se pela apuração de sua média geométrica, ou 
seja, da taxa equivalente. Neste caso, o percentual de juro 
considerado representa a taxa efetiva de juro na operação.Mais a frente, resolveremos mais exercícios relacionados aos dois 
regimes de capitalização discutidos anteriormente, com enfoque voltado para a HP 
12C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
66 
 
UNIDADE 03 – A CALCULADORA HP 12C – ASPECTOS 
INTRODUTÓRIOS E PRIMEIRAS FUNÇÕES 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
• Apresentar a mais popular calculadora financeira do mundo – a HP 12C; 
• Apresentar as funções básicas da HP12C, como por exemplo, cálculo de 
porcentagens, etc; 
• Trabalhar sem dificuldades com datas; 
• Mostrar a importância e facilidade de se trabalhar em Matemática Financeira 
com a calculadora HP 12C; 
• Resolver diversas aplicações com a utilização da HP 12C. 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 A fim de apresentar a mais popular calculadora financeira no 
mercado brasileiro, foram efetuadas perguntas e respostas, do ponto de vista de 
uma pessoa que acabou de tirar à calculadora da caixa. Sendo assim, este material 
tem por objetivo apresentar de forma bastante simples e clara os principais recursos 
disponíveis na calculadora HP 12C, os quais envolvem operações aritméticas, 
algumas funções básicas, cálculos com datas, operações com percentagens e 
outros recursos aplicáveis à Matemática Financeira, bem como, trabalhar com 
conceitos mais complexos. 
 
 Depois de tantas contas feitas no braço, chegou à hora de resolvê-las 
usando a HP-12C. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
67 
 
2. BREVE HISTÓRICO 
 
 
 De todas as máquinas financeiras atualmente disponíveis no mercado, a 
HP 12C é, provavelmente, a mais antiga. Foi lançada em 1981, dentro da classe 
série de calculadoras 10C, composta pelas máquinas HP 10C, 11C, 12C, 15C e 
16C, todas lançadas entre os anos de 1981 e 1985. 
 Suas características principais incluem o fato de possuir mais de 120 
funções específicas para usos em negócios, as quais permitem trabalhar com 20 
diferentes fluxos de caixa, operações com taxas internas de retorno e valores 
presentes líquidos. É caracterizada por trabalhar com a lógica RPN (do inglês 
Reverse Polish Notation, ou Notação Polonesa Reversa) – o que permite uma 
entrada mais rápida de dados e a execução mais eficiente nos cálculos. Apresenta, 
ainda, de acordo com o site da HP (htpp://www.hp.com), baterias de longa duração, 
tamanho pequeno e conveniente, além de programação pelo teclado. 
 O site do HP Museum (http://www.hpmuseum.org) a apresenta como a 
calculadora que não morreria, sendo a mais antiga e mais bem vendida calculadora 
de todo o mundo. Embora outros modelos mais novos e com muito mais recursos 
tenham sido lançados posteriormente, as vendas da velha HP 12C seguem a todo 
vapor. 
 Alguns catálogos de vendas destacaram a superioridade mecânica de 
outras máquinas, como a HP 17BII (apresentada como 15 vezes mais rápida que a 
12C e com capacidade de armazenamento e processamento quatro vezes superior) 
ou a HP 19BII (15 vezes mais rápida e com capacidade 9 vezes superior de 
processamento de informações). 
 E quais seriam as razões da persistência do uso da velha HP 12C a 
ponto, por exemplo, de justificar sua aplicação em um texto escrito longos 25 anos 
depois? O próprio HP Museum apresenta algumas justificativas? 
 
i. É uma calculadora puramente RPN, sem opções algébricas para 
confundir o comprador, ou o usuário. As calculadoras mais novas, HP 
17B e 19B, foram lançadas em versões algébricas, rapidamente 
substituídas pelas versões BII, com RPN opcional; 
 
ii. Os compradores, geralmente profissionais ligados a áreas de negócios, 
são sempre ligeiramente conservadores – o que os tornam mais 
ligados pela HP 12C, já tradicional no mercado; 
iii. Possui uma excelente aparência (cara – gestão a vista no linguajar do 
Marketing); 
 
iv. Como todas as outras calculadoras da série 10C, possui uma boa e 
sólida aparência “feita como um tijolo”, especialmente quando 
comparadas com outros modelos de calculadoras disponíveis no 
mercado; 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
68 
 
v. Ela já se tornou parte do “elegante uniforme executivo de negócios”, o 
que a distingue facilmente dos modelos mais baratos. 
 
vi. Talvez forneça as funções apropriadas, de forma apropriada e pelo 
preço mais justo possível. 
 
 De um modo geral, as duas principais características da calculadora 
poderiam ser representadas por sua robustez (bem cuidada, a máquina dura 
indeterminadamente) e simplicidade (é fácil de operar, possuindo as principais 
funções necessárias em Matemática Financeira, por exemplo). 
 Com a evolução das planilhas eletrônicas, como o Excel, os usos da HP 
12C ficaram limitados a rápidas operações, ou cálculos mais simples. Didaticamente, 
ainda representa um excelente recurso, em função de executar as principais funções 
financeiras e apresentar um custo muito mais baixo que um microcomputador 
portátil, por exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
69 
3. CONHECENDO A CALCULADORA HP 12C 
 
 
Pergunta inicial: Como faço para saber se a minha calculadora HP 12C2 está OK? 
 
Resposta: Com a calculadora desligada pressione X e segure, pressione ON e 
então solte X. Aparecerá running no visor e depois –8,8,8,8,8,8,8,8,8,8. 
 
 
Figura 01: A Calculadora HP-12C 
 
• A diferença inicial entre uma calculadora HP 12C e as calculadoras 
convencionais está na forma de entrada dos dados. 
 
• As calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta, ou 
seja, obedecendo à seqüência natural da Matemática. 
 
• Por exemplo, para fazermos a operação 2 + 3, tecla-se primeiro 2, depois +, 
em seguida 3 e finalmente a tecla =. 
 
• A HP 12C opera com o sistema de entrada de dados RPN (Notação 
Polonesa Reversa), onde introduzimos primeiro os dados, separados pela 
tecla ENTER, para depois inserir as operações, ou em outras palavras, 
introduzimos em primeiro lugar os dados e depois as operações em ordem 
inversa. 
 
 
 
2 A Calculadora HP 12C pesa 113 gramas, não possui a tecla < = > e seu visor é de cristal líquido. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
70 
4. ALGUMAS FUNÇÕES BÁSICAS DA HP 12C 
 
 
 A calculadora HP-12C possui quatro memórias (X, Y, Z e T), chamadas 
de memórias principais, que funcionam como se fosse um tambor rotativo. A 
memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no visor. Todas as operações 
aritméticas são efetuadas apenas com os conteúdos das memórias X e Y. 
 A função <x> e <y>, ao ser acionada, troca os conteúdos das memórias 
X e Y, mantendo as memórias Z e T inalteradas. 
 A tecla <ON> serve apenas para ligar ou desligar a HP-12C. 
 A função <CHS> troca o sinal do número que aparece no visor. Por 
exemplo, para trocar o sinal do número 58, procede-se da seguinte maneira: 
 
58 <CHS> resultando – 58 (no visor). 
 
 Uma mesma tecla da HP-12C pode operar as seguintes funções: 
 
i) função normal, escrita na face superior da tecla; 
 
ii) função amarela, <f>, escrita na parte superior da tecla; 
 
iii) função azul, <g>, escrita na face lateral inferior da tecla. 
 
 
Exemplo: A tecla <1/x> é utilizada para calcular o inverso de um número x ≠ 0. Se 
acionarmos a tecla azul <g> e depois a mesma tecla <e x >, ela passará a executar a 
função azul <e x >. 
 
 A função <STO> serve para guardar e operar com as 20 memórias fixas 
existentes na calculadora HP-12C, chamadas de memórias secundárias. Essas 
memórias serão indexadas de 0 a 9 e de .0 a .9. 
 A função <RCL> serve para chamar os valores das 20 memórias (0 a 9 e 
.0 a .9) para o visor. 
 
Exemplo: Guardar os números 47, – 150 e 298 nas memórias secundárias e 
indexadas pelos números 4, 0 e .3, escolhidos aleatoriamente.47 <STO> 4 
 
150 <CHS> – 150 <STO> 0 
 
298 <STO> .3 
 
Recuperar as memórias 4, 0 e .3 
 
<RCL> 4 no visor aparecerá 47 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
71 
 
<RCL> 0 no visor aparecerá – 150 
 
<RCL> .3 no visor aparecerá 298. 
 
 A limpeza dos dados na HP-12C é feita através de diversas funções, 
relacionadas a seguir: 
 
a) função <CLX>: limpa apenas o visor (memória X); 
 
b) função <f> <FIN>: limpa apenas o conteúdo das memórias financeiras, isto é, 
coloca zeros para <n>, <i>, <PV>, <PMT> e <FV>; 
 
c) função <f> <REG>: limpa, de uma só vez, os conteúdos da memória principal, 
secundária e financeira; 
 
d) função <f> <PREFIX>: cancela o prefixo amarelo <f> ou o prefixo azul <g>; 
 
e) função <f> <PRGM>: limpa os programas que estão gravados na HP-12C. 
 
 As teclas <+>, <– >, <x> e < ÷ > servem para efetuar as operações 
aritméticas. 
 
 
 
 Iremos trabalhar sempre com duas casas decimais, 
salvo especificação em contrário. Para isso, procede-se da 
seguinte maneira: pressiona-se a tecla <f> e a seguir 
pressiona-se o número 2. Aparecerão duas casas decimais 
no visor. Se você quiser operar com 5 casas decimais, por 
exemplo, pressionar <f> e a seguir pressionar o número 5. 
Aparecerão cinco casas decimais no visor. 
 
 Ao trabalharmos com duas casas decimais, a HP 
12C, no seu visor, apresentará um número com duas casas 
após a vírgula, mas, em sua “memória”, o número 
armazenado terá uma precisão bem maior. Desta forma, por 
exemplo, (25 ÷ 14) x 100 será na calculadora igual a 1, 79 x 
100 e, finalmente, 178,59. 
 
 
Vejamos alguns exemplos abaixo: 
 
Exemplo 01: Efetuar 12 + 49 + 5,8 
 
12 <ENTER> 49 <+> 5.8 <+>, aparece no visor o resultado final igual a 66,80. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
72 
Exemplo 02: Efetuar 37 – 12 
 
37 <ENTER> 12 <–>, aparece no visor o resultado final igual a 25. 
 
 
Exemplo 03: Efetuar 5,7 x 2,5 
 
5,7 <ENTER> 2,5 <x>, aparece no visor o resultado final igual a 14,25. 
 
Exemplo 04: Efetuar 58,2 ÷ 2,6 
 
58,2 <ENTER> 2,6 < ÷ >, aparece no visor o resultado final igual a 22,38. 
 
Exemplo 05: Efetuar 10 + (6 x 4) – 13 
 
10 <ENTER> 6 <ENTER> 4 <x> <+> 13 <–>, aparece no visor o resultado final igual 
a 21. 
 
Exemplo 06: Efetuar (10 + 7) x (15 – 8) 
 
10 <ENTER> 7 <+> 15 <ENTER> 8 <–><x>, aparece no visor o resultado final igual 
a 119. 
 
 
Independentemente de o usuário informar, a própria HP-12C 
resolve o problema dando a prioridade Matemática adequada 
para as operações. Ver diferença de procedimento nos 
Exemplos 05 e 06. 
 
 Para trabalhar com arredondamento de duas casas decimais após a 
vírgula, utiliza-se o procedimento: pressionar as teclas <f> 2 e logo a seguir <f> 
<RND>. Similarmente, para arredondar para três casas decimais após a vírgula, 
basta pressionar <f> 3 <f> <RND> e assim por diante. 
 
 A função <R↓ >, quando acionada, desencadeia as seguintes 
transferências nas memórias principais: 
 
• o conteúdo de X é transferido para T; 
• o conteúdo de T é transferido para Z; 
• o conteúdo de Z é transferido para Y; 
• o conteúdo de T é transferido para X. 
 Desta forma, existe um giro completo no tambor para cada vez que a 
função <R↓ > é acionada, sem que haja qualquer perda de informação. Acionando, 
quatro vezes consecutivas, a função <R↓ >, conhecemos os conteúdos das quatro 
memórias X, Y, Z e T (ao passarem pelo visor) e o tambor vai para sua posição 
inicial. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
73 
 A HP 12C possui a “pilha operacional”, que não é a pilha elétrica que 
permite o funcionamento e sim um arquivo com quatro compartimentos (memórias 
principais), onde ela armazena dados para efetuar operações. 
 Para realizar qualquer cálculo, é fundamental saber como introduzir os 
dados nesses compartimentos (memórias principais) e como se relacionam. 
 Esses compartimentos encontram-se empilhados dentro da calculadora 
(daí o nome de “pilha operacional”), sendo aquele que aparece no visor “X” e os 
demais, nessa ordem, “Y”, “Z” e “T”. Para um melhor entendimento do processo, 
vejamos o exemplo no quadro abaixo. 
 
 
Quadro 01: A rotatividade das memórias na HP 12C. 
T
ec
la
 
M
em
ór
i
a 
 
5 E
N
T
E
R
 
3 E
N
T
E
R
 
9 E
N
T
E
R
 
7 R
↓
 
R
↓
 
R
↓
 
R
↓
 
+
 
x>
 <
y 
 T 5 5 7 9 3 5 5 5 
 Z 5 5 3 3 5 7 9 3 5 5 
 Y 5 5 3 
 
V
is
o
r 
 
X 
 
 
5 
 
 
5 
 
 
3 
 
 
3 
 
 
9 
 
 
9 
 
 
7 
 
 
9 
 
 
3 
 
 
5 
 
 
7 
 
 
16 
 
 
3 
 
Resolver a seguinte expressão: (2 + 3) + (12 – 8) x (7 – 1). Vejamos a resolução no 
Quadro 02 abaixo: 
 
Quadro 02: Seqüência de passos na resolução da expressão (2 + 3) + (12 – 8) x (7 
– 1). 
T
ec
la
 
M
em
ór
i
a 
 
2 E
N
T
E
R
 
3 +
 
12
 
E
N
T
E
R
 
8 – 
 
7 E
N
T
E
R
 
1 – x +
 
 T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 
 Z 0 0 0 0 0 5 5 5 5 4 4 5 5 5 
 Y 0 2 2 0 5 12 12 5 4 7 7 4 5 5 
 
V
is
o
r 
 
X 
 
 
2 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
5 
 
 
12 
 
 
12 
 
 
8 
 
 
4 
 
 
7 
 
 
7 
 
 
1 
 
 
6 
 
 
24 
 
 
29 
 
O resultado final da expressão é 29. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
74 
 
Exercício: Efetuar 10 + 6 x 4 – 13. (Faça um quadro semelhante ao anterior). 
 
 
 
 
 
Você sabe como trocar o ponto pela vírgula na HP 12C? 
Basta efetuar os seguintes passos: 
 
• desligue a calculadora; 
• com a calculadora desligada, pressione ao mesmo 
tempo as teclas ON e . 
• solte a tecla ON e logo após a tecla . 
 
 
 
 A função < ∆ DYS> fornece o número de dias entre duas datas, calculado 
com base no ano comercial (360 dias). 
 Com a função <DATE> obtém-se uma data futura ou data passada, 
tomando-se como base uma data especificada. 
 Essas duas funções são úteis nas operações correntes do mercado 
financeiro, permitindo relacionar a data de aplicação, a data de resgate e o prazo de 
aplicação. 
 As funções <MDY> e <DMY> estabelecem o formato das datas e indicam 
a ordem de apresentação, respectivamente, MÊS, DIA, ANO e DIA, MÊS, ANO. 
 É necessário fixar em 6 (seis) o número de casas decimais para que 
apareçam no visor as datas digitadas. Para isso, pressiona-se primeiro <f> e depois 
o número 6. 
 Se o leitor quiser estabelecer o formato DIA, MÊS, ANO é só pressionar 
as funções <g> <DMY> e aparecerão, embaixo à direita, no visor, as letras DMY, e 
para que as letras DMY desapareçam do visor é só pressionar <g> <MDY>. 
 
 
 
 
É recomendável limpar todos registradores (inclusive o 
visor), usando a função <f> <REG>, antes de se iniciar 
qualquer operação com a HP-12C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 01: Encontrar o número de dias entre as datas 17/03/2000 e 26/05/2000. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<g> <DMY> 0,00 DMY Estabelece o formato da 
data 
<f> 6 0,000000 DMY Número de casas 
decimais exigidas 
17.032000 <ENTER> 17,032000 DMY Mostra a data passada 
26.052000 26,052000 DMY Mostra a data atual 
<g> < ∆ DYS> 70,000000 DMY Número de dias entre as 
duas datas 
 
 
Exemplo 02: Adicionar 41 dias à data 17/04/2000. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<g> <DMY> 0,00 DMY Estabelece o formato da 
data 
<f> 6 0,000000 DMY Número de casas 
decimais exigidas 
17.042000 <ENTER> 17,042000 DMY Mostra a data atual 
41 <g> < ∆ DATE> 28.05.2000 7 DMY Data pedida e dia da 
semana (Domingo)3 
 
 
Exemplo 03: Se hoje é 24 de abril de 2000, achar a data e o dia da semana em que 
ocorreu o vencimento de uma nota promissória resgatada há 150 dias.Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<g> <DMY> 0,00 DMY Estabelece o formato da 
data 
<f> 6 0,000000 DMY Número de casas 
decimais exigidas 
17.042000 <ENTER> 17,042000 DMY Mostra a data de hoje 
150 <CHS> <g> <DATE> 26.11.1999 5 DMY Data de vencimento e dia 
da semana (Sexta-feira) 
 
 
 
3 O dígito que aparece bem à direita do visor indica o dia da semana, sendo 1 para segunda-feira, 2 para terça-
feira, ..., 6 para sábado e 7 para domingo. 
 
 
 
 
 
 
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5. PRINCIPAIS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
 
 
 Vejamos agora as principais funções matemáticas na HP-12C, bem como 
alguns exemplos para fixação das idéias. 
 
• Potenciação <y x > 
 
1) Calcular 6 5 ; (1,09) 6− ; (2,75) 360/145 ; (5 + 4) 3 ÷ (8 + 5) 2 . 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
6 <ENTER> 5 <y x > 7.776,00 Resultado de 6 5 
<CLX> 0,00 Limpa o visor 
1.09 <ENTER> 6 <CHS> 
<y x > 
0,60 Resultado de (1,09) 6− 
<CLX> 0,00 Limpa o visor 
2.75 <ENTER> 2,75 A base 
145 <ENTER> 360 < ÷ > 
<y x > 
1,50 
Resultado de (2,75) 360
145
 
<CLX> 0,00 Limpa o visor 
5 <ENTER> 4 <+> 3 
<y x > 8 <ENTER> 5 <+> 
2 <y x > < ÷ > 
4,31 Resultado de 
 (5 + 4) 3 ÷ (8 + 5) 2 
 
• Inverso de um Número: < 1/x> 
1) Calcular ¼, (1,35) 2/1 ; (1,22) 6/1− e 
56
7
. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
4 <1/x> 0,25 ¼ em fração decimal 
<CLX> 0,00 Limpa o visor 
1.35 <ENTER> 2 <1/x> 
<y x > 
1,16 (1,35) 2/1 em fração 
decimal 
<CLX> 0,00 Limpa o visor 
1.22 <ENTER> 
6 <CHS> <1/x> <y x > 0,97 (1,22) 6/1− em fração 
decimal 
<CLX> 0,00 Limpa o visor 
7 <ENTER> 56 <1/x> 
<x> 3 
0,13 
56
7
 em fração decimal 
 
 
 
 
 
 
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• Porcentagem: < %> - permite o cálculo da porcentagem de um determinado 
número. 
 
 
1) Calcular 7% de R$ 37.490,00. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
37490 <ENTER> 7 <%> 2.624,30 7% de 37.490 
 
 
 
 
 
2) Uma geladeira, adquirida por R$ 780,00, foi vendida com um lucro de 20,75% 
sobre o preço de compra. Qual o preço de venda? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
780 <ENTER> 780,00 Preço de compra 
20.75<%> <+> 941,80 Preço de venda 
 
 
 
 
• Percentagem do Total: < %T > – possibilita encontrar quanto um número 
representa, percentualmente, em relação a outro número. 
 
1) Encontrar quanto 45 representa, percentualmente, em relação a 150. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
150 <ENTER> 45 <%T> 30,00 Indica que 45 é 30% de 
150 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Efetuar a soma das parcelas R$ 1.550,00, R$ 3.450,00, R$ 4.720,00 e R$ 
5.200,00 e a participação percentual de cada uma delas no total. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1550 <ENTER> 1.550,00 Primeira parcela 
3450 <+> 5.000,00 Soma da primeira e 
segunda parcelas 
4720 <+> 9.720,00 Soma da primeira, 
segunda e terceira 
parcelas 
5200 <+> 14.920,00 Total 
1550 <%T> 10,39 % da primeira parcela 
sobre o total 
 <CLX> 3450 <%T> 23,12 % da segunda parcela 
sobre o total 
<CLX> 4720 <%T> 31,64 % da terceira parcela 
sobre o total 
<CLX> 5200 <%T> 34,85 % da quarta parcela 
sobre o total 
 
 
• Diferença Percentual entre os Números: < % ∆ > – devemos digitar 
primeiro o valor antigo e, depois, o valor atual. 
 
1) Se o preço de um produto em maio de 2000 é de R$ 230,00 e em junho de 2000 
é de R$ 274,00, calcular a variação percentual de preços. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
230 <ENTER> 230,00 Valor antigo 
274 < ∆ %> 19,13 % de aumento 
 
 
2) Calcular a percentagem de prejuízo de um investidor que aplicou R$ 1.650,00 em 
CDB a prazo fixo e, antes do resgate, vendeu R$ 1.525,60. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1650 <ENTER> 1.650,00 Valor da aplicação 
1525,60 < ∆ %> – 7,54 % de prejuízo 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Um equipamento de som está anunciado por R$ 950,00 para pagamento a prazo 
ou cartão de crédito. Para o pagamento a vista, é dado um desconto de 18%. Qual o 
valor do desconto? Por quanto sai o equipamento de som se você pagar a vista? 
Qual o percentual de acréscimo que você pagará se optar pelo cartão de crédito? 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
950 <ENTER> 950,00 Valor do equipamento 
18 <%> 171,00 Valor do desconto 
< – > 779,00 Preço a vista 
950 < ∆ %> 21,95 % do acréscimo pago 
pelo cartão de crédito 
 
 
• Raiz Quadrada de um Número x: < x > 
 
Calcular a raiz quadrada dos números 135,785 e 0,0378. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
135.785 <g> < x > 11,65 Resultado de 785,135 
0.0378 <g> < x > 0,19 Resultado de 0378,0 
 
 
• Logaritmo Neperiano (base e = 2,7182): <LN> 
 
Calcular o logaritmo dos números 3,489; 5 e 0,37. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
3.489 <g> <LN> 1,25 Logaritmo de 3.489 
5 <g> <LN> 1,61 Logaritmo de 5 
0.37 <g> <LN> – 0,99 Logaritmo de 0,37 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Antilogaritmo: <e x > 
 
Tendo o logaritmo de um número, obtém-se o número. 
 
Calcular o antilogaritmo dos números 1,25; 1,61 e – 0,99. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.25 <g> <e x > 3,49 Antilogaritmo de 1,25 
1.61 <g> < e x > 5,00 Antilogaritmo de 1,61 
0.99 <CHS> <g> < e x > 0,37 Antilogaritmo de – 0,99 
 
 
• Somatório: <�+ > e <�− > 
 
Exemplo: Uma pessoa foi a um supermercado e comprou 18 latas de conserva a R$ 
0,85 cada, 36 quilos de arroz a R$ 0,75 o quilo e 8 quilos de feijão a R$ 0,95 o quilo. 
Quanto gastou esta pessoa? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
18 <ENTER> 0.85 <x> 15,30 Valor das latas de 
conserva 
<�+ > 1,00 Armazena o primeiro valor 
36 <ENTER> 0.75 <x> 27,00 Valor do arroz 
<�+ > 2,00 Armazena o segundo valor 
8 <ENTER> 0.95 <x> 7,60 Valor do feijão 
<�+ > 3,00 Armazena o terceiro valor 
<RCL> 2 49,90 Total dos gastos 
 
 
 
Quando se utiliza a função <�+ >, a soma dos números fica 
armazenada em <RCL> 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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81 
Exemplo: Suponhamos que tenha ocorrido um engano e que o preço do arroz não 
seja R$ 0,75 o quilo e sim R$ 1,10. Se os dados estão contidos na calculadora, é 
possível corrigir os cálculos utilizando a função <�− >, como segue. 
 
Teclas Visor Observação 
36 <ENTER> 0,75 <x> 27,00 Valor do arroz (errado) 
<g> <�− > 2,00 
36 <ENTER> 1.10 <x> 39,60 Valor do arroz (correto) 
<�+ > 3,00 
<RCL> 2 62,50 Total dos gastos 
 
 
• Último X: < LSTx > – é um registrador automático utilizado para preservar o 
valor que aparece no visor antes da execução de uma função, podendo ser 
recuperado para correção ou utilizado em outro cálculo. 
 
Exemplo: Uma empresa vendeu em janeiro de 2001 5.876 unidades de certo 
produto, faturando um total de R$ 79.684,85 nesta venda. Encontrar o preço unitário 
deste produto admitindo-se que houve um engano e que foram vendidas 5.786 
unidades do produto. Refazer o cálculo. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
79684.85 <ENTER> 79.684,85 Valor da venda 
5876< ÷ > 13,56 Preço unitário errado 
<g> <LSTx> 5876,00 Recupera a última 
entrada 
<x> 79.684,85 Recompõe o valor da 
venda 
5786 < ÷ > 13,77 Preço unitário correto 
 
 
 
 
 
 
 
 
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82 
6. ALGUMAS FUNÇÕES ESTATÍSTICAS NA HP 12C 
 
 
 Vejamos algumas funções estatísticas básicas na calculadora HP 12C.• Média Aritmética 
 
Exemplo: Várias empresas entregaram ao Banco Boa Praça, diversos borderôs4 de 
cobrança conforme o quadro abaixo: 
 
Empresa Número de 
Títulos 
Valor Total 
A 25 R$ 45.000,00 
B 31 R$ 84.500,00 
C 16 R$ 24.000,00 
D 10 R$ 31.000,00 
E 28 R$ 52.000,00 
 
 Calcular a média aritmética do valor dos títulos por borderô e a média 
aritmética da quantidade de títulos. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
25 <ENTER> 25,00 Número de títulos da empresa A 
45000 <�+ > 1,00 Valor total dos títulos da empresa A 
31 <ENTER> 31,00 Número de títulos da empresa B 
84500 <�+ > 2,00 Valor total dos títulos da empresa B 
16 <ENTER> 16,00 Número de títulos da empresa C 
24000 <�+ > 3,00 Valor total dos títulos da empresa C 
10 <ENTER> 10,00 Número de títulos da empresa D 
31000 <�+ > 4,00 Valor total dos títulos da empresa D 
28 <ENTER> 28,00 Número de títulos da empresa E 
52000 <�+ > 5,00 Valor total dos títulos da empresa E 
<g> < x > 47.300,00 Média aritmética dos valores por 
borderô 
<g> <s> 23.557,38 Desvio Padrão 
 
 
4 Borderô – relação de títulos de crédito entregues a um banco para desconto ou cobrança. 
 
 
 
 
 
 
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83 
 
• Média Aritmética Ponderada – é a média de um conjunto de números com 
seus respectivos pesos. 
 
Exemplo: Uma pessoa fez diversas aplicações em uma instituição financeira com as 
seguintes taxas, conforme quadro abaixo: 
 
Ordem Valor Taxa (Mensal) 
1 R$ 5.000,00 4,5% 
2 R$ 8.000,00 2,5% 
3 R$ 6.500,00 3,5% 
4 R$ 2.000,00 3% 
5 R$ 1.500,00 2,75% 
 
 Calcular a taxa média ponderada. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
4.5 <ENTER> 4,50 Insere o valor da primeira 
taxa (em %) 
5000 <�+ > 1,00 Valor da primeira aplicação 
2.5 <ENTER> 2,50 Insere o valor da segunda 
taxa (em %) 
8000 <�+ > 2,00 Valor da segunda aplicação 
3.5 <ENTER> 3,50 Insere o valor da terceira 
taxa (em %) 
6500 <�+ > 3,00 Valor da terceira aplicação 
3 <ENTER> 3,00 Insere o valor da quarta 
taxa (em %) 
2000 <�+ > 4,00 Valor da quarta aplicação 
2.75 <ENTER> 2,75 Insere o valor da quinta taxa 
(em %) 
1500 <�+ > 5,00 Valor da quinta aplicação 
<g> < x w > 
3,28 Valor da taxa média 
ponderada (em %) 
<RCL> 2 23.000,00 Valor Total das aplicações 
 
A média ponderada de 3,28% ao mês, se aplicada sobre o total de R$ 23.000,00, 
nos fornecerá o mesmo valor que os valores individuais aplicados a suas respectivas 
taxas. 
 
 
 
 
 
 
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84 
 
UNIDADE 04 – APLICAÇÕES ENVOLVENDO OS REGIMES 
DE CAPITALIZAÇÃO NA HP 12C 
 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
• Apresentar os cálculos envolvendo os dois regimes de capitalização na HP 
12C; 
• Estar plenamente familiarizado com os cálculos dos juros compostos na HP 
12C; 
• Identificar os tipos de erros que podem acontecer nas operações na HP 12C; 
• Resolver problemas no regime de capitalização composta envolvendo as 
convenções linear e exponencial. 
 
 
1. O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
 
 Vejamos os cálculos do regime de capitalização simples, utilizando a 
calculadora HP 12C. 
 
1) Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.500,00, 
pelo prazo de 18 meses, à taxa de 5% ao mês. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
2500 <ENTER> 2.500,00 Valor do empréstimo 
5<%> 125,00 Valor mensal dos juros 
18 <x> 2.250,00 Valor total dos juros 
 
 
2) Calcular os juros de um empréstimo no valor de R$ 20.000,00, à taxa de 18% 
ao ano, pelo prazo de 9 meses. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
20000 <ENTER> 20.000,00 Valor do empréstimo 
18<ENTER>12< ÷ ><%> 300,00 Valor mensal dos juros 
9<x> 2.700,00 Valor total dos juros 
 
 
 
 
 
 
 
 
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85 
3) Uma aplicação de R$ 19.000,00, pelo prazo de 120 dias, obteve um 
rendimento de R$ 1.825,00. Qual a taxa anual de juros simples dessa 
aplicação? 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
120 <ENTER> 120,00 Prazo em dias 
360< ÷ > 0,33 Prazo em anos 
19000 <x> 6.333,33 Valor Aplicado x Prazo 
<1/x> 1825 <x> 0,29 Taxa Anual (forma 
unitária) 
100 <x> 28,82 Taxa Anual (forma 
percentual) 
 
 
 
4) Sabendo-se que os juros de R$ 546,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 
6.500,00, à taxa de 1,2% ao mês, calcular o prazo da aplicação. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
6500 <ENTER> 6.500,00 Valor da Aplicação 
1.2<%> 78,00 Valor dos juros por mês 
546 <x> <y> < ÷ > 7,00 Prazo da aplicação em 
meses 
 
 
 
5) Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 4.000,00, 
à taxa de juros de 24% ao ano, pelo prazo de 10 meses. 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
4000 <ENTER> 4.000,00 Valor do empréstimo 
24<ENTER> 12< ÷ ><%> 80,00 Valor mensal dos juros 
10 <x> 800,00 Valor total dos juros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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86 
1.1. Valor Futuro ou Montante - FV 
 
 
 
6) Uma pessoa aplicou R$ 2.700,00 a uma taxa de juros simples de 2,8% ao 
mês, pelo prazo de 3 meses. Quanto resgatou? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
2700 <ENTER> 2.700,00 Valor da aplicação 
2.8<%> 75,60 Valor mensal dos juros 
3 <x> <+> 2.926,80 Valor do resgate 
 
 
 
7) Uma empresa aplicou R$ 50.000,00 no mercado financeiro, a uma taxa de 
juros simples de 18% ao ano, pelo prazo de 4 meses. Quanto à empresa 
resgatou? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
50000 <ENTER> 50.000,00 Valor da aplicação 
18 <ENTER> 1 < ÷ > <%> 750,00 Valor mensal dos juros 
4 <x> <+> 53.000,00 Valor do resgate 
 
 
 
8) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 7.500,00, 
aplicado a uma taxa de juros simples de 12% ao ano, por 220 dias. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
7500 <ENTER> 7.500,00 Valor da aplicação 
12 <ENTER> 360 < ÷ > 
<%> 
2,50 Valor diário dos juros 
220 <x> 550,00 Valor dos juros 
<+> 8.050,00 Valor do montante 
 
 
 
 
 
 
 
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87 
 
9) Para montar uma microempresa, uma pessoa contraiu um empréstimo no 
banco ALFA ao custo de 24% ao ano. Quitou à dívida um ano depois, pelo 
montante de R$ 35.500,00. Calcular o valor do empréstimo e o valor pago de 
juros. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
35500 <STO> 1 35.500,00 Montante da dívida 
24 <ENTER> 100 < ÷ > 1 
<+> 
1,24 1 + a taxa na forma 
unitária 
< ÷ > 28.629,03 Valor do empréstimo 
<CHS> <RCL> 1 <+> 6.870,97 Valor do juro 
 
Ou de uma outra forma: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
35500 <ENTER> 35.500,00 Montante da dívida 
1 <ENTER> 24 <%> <+> 1,24 1 + a taxa na forma 
unitária 
< ÷ > 28.629,03 Valor do empréstimo 
35500 <-> 6.870,97 Valor do juro 
 
 
10) O Sr. Alessandro aplicou R$ 1.250,00 a juros simples, no banco BETA, à 
taxa de 2,3% ao mês, pelo prazo de 4 meses e 12 dias. Calcular o valor dos 
juros e o valor resgatado pelo Sr. Alessandro. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1250 <ENTER> 1.250,00 Valor da aplicação 
2.3 <%> 30 < ÷ > 0,96 Valor diário dos juros 
132 <x> 126,50 Valor dos juros em 4 
meses e 12 dias 
<+> 1.376,50 Valor resgatado 
 
 
1.2. Desconto 
 
11) Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 120.000,00 no banco ALFA-
BETA. O prazo do título era de 54 dias e a taxa de desconto comercial (por 
fora), de 8% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
88 
Calcular: 
 
i. O valor creditado na conta da empresa; 
ii. A taxa mensal de juros da operação. 
 
 
Teclas VisorObservação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
120000 <STO> 1 120.000,00 Valor do título 
8 <%> 30 < ÷ > 
54 <x> <– > 102.720,00 Valor creditado na conta 
da empresa 
<RCL> 1 < ∆ %> 16,82 Taxa de juros para os 54 
dias (em %) 
30 < ÷ > 54 <x> 9,35 Taxa mensal de juros da 
operação em (%) 
 
 
12) Uma nota promissória, no valor de R$ 15.000,00 em seu vencimento, foi 
descontada 3 meses antes de seu prazo de resgate, a uma taxa de desconto 
comercial (por fora) de 28% ao ano. Calcular o valor de face da nota 
promissória e a taxa anual de juros da operação. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
15000 <STO> 1 15.000,00 Valor do título 
28 <ENTER> 12 < ÷ > 
<%> 3 <x> <– > 13.950,00 Valor de face da nota 
promissória 
<RCL> 1 < ∆ %> 7,53 Taxa de juros para os 3 
meses (em %) 
4 <x> 
ou 
12 < ÷ > 3 <x> 
30,11 Taxa anual de juros da 
operação em (%) 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
89 
 
13) Uma duplicata no valor de R$ 15.000,00 foi descontada 54 dias antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial (por fora) cobrada 
pelo banco é de 8% ao mês, o IOF5 é de 0,0041% ao dia e o banco cobra 
15% de taxa administrativa, pede-se o valor líquido liberado pelo banco e a 
taxa mensal de juros da operação. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
15000 <STO> 1 15.000,00 Valor do título 
8 <%> 30 < ÷ > 54 <x> <– 
> 
12.840,00 Valor líquido antes do 
IOF 
<STO> 2 <RCL> 1 
0.0041<%> 54 <x> 33,21 Valor do IOF 
<CHS> <RCL> 2 <+> 12.806,79 Valor líquido após o IOF 
<STO> 3 <RCL> 1 
1.5 <%> <CHS> 
<RCL> 3 <+> 12.581,79 Valor líquido liberado pelo 
banco 
<RCL> 1 < ∆ %> 19,22 Taxa de juros para os 54 
dias (em %) 
54 < ÷ > 30 <x> 10,68 Taxa mensal de juros da 
operação (em %) 
 
 
 
 
5 IOF – Imposto sobre Operações Financeiras 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
90 
2. O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO OU REGIME 
EXPONENCIAL 
 
 
 Vejamos os cálculos envolvendo o regime de capitalização exponencial 
na calculadora HP 12C. 
 
14) Calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.200,00, pelo prazo de 8 
meses, à taxa de juros compostos de 3,5% ao mês. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1200 <CHS> <PV> -1.200,00 Insere a aplicação 
8 <n> 8,00 Insere o prazo 
3.5 <i> 3,50 Insere a taxa 
<FV> 1.580,17 Valor de resgate 
 
 
15) Calcular a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação de R$ 4.000,00 
que produz um montante de R$ 4.862,02 ao final de 8 meses. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
4000 <CHS> <PV> -4.000,00 Insere a aplicação 
4862.02 <FV> 4.862,02 Insere o montante 
8 <n> 8,00 Insere o prazo em meses 
<i> 2,47 Taxa mensal de juros (em 
%) 
 
 
16) Uma aplicação de R$ 20.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa de 
juros compostos de 1,75% ao mês, um montante de R$ 22.582,44 em certa 
data futura. Calcular o prazo da operação. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
20000 <CHS> <PV> -20.000,00 Insere a aplicação 
22582.44 <FV> 22.582,44 Insere o montante 
1.75 <i> 1,75 Insere a taxa mensal 
<n> 7,00 Prazo da operação (em 
meses) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
91 
Exercícios de Fixação 
 
Exercício 01: Se eu quiser comprar um carro no valor de R$22.000,00, quanto devo aplicar 
hoje para que, daqui a 2 anos, possua tal valor, a uma taxa de aplicação de 18%ao ano a 
juros compostos? Resposta: R$15.800,06 
 
Exercício 02: Calcular os juros de um empréstimo de R$8.000,00, pelo prazo de 9 meses, à 
taxa de juros compostos de 5,5% ao mês. Resposta: R$4.952,75 
 
Exercício 03: Se R$20.000,00 forem aplicados a 12% ao ano, pelo prazo de 4 anos, qual o 
montante resgatado ao final do prazo de aplicação? (Considerar juros compostos). 
Resposta: R$31.470,39 
 
Exercício 04: Se a taxa anterior fosse de 15% ao ano, qual seria o montante resgatado? 
Resposta: R$34.980,13 
 
Exercício 05: Ao final de 2 anos, uma pessoa deverá efetuar um pagamento de R$5.700,00 
referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, a uma taxa de 
3,5% ao mês. Calcular o valor do empréstimo. (Considerar juros compostos). 
Resposta: R$R$2.496,36 
 
 
2.1. A Convenção Linear 
 
 A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte 
inteira do período e de juros simples para a parte fracionária. 
 O cálculo do montante na convenção linear é dado por 
FV = PV x (1 + i) n x 
�
�
�
�
�
+
q
p
xi1 
onde: 
q
p
= parte fracionária do período. 
 
Exemplo: Seja um capital de R$ 25.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano, pelo 
prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante pela convenção linear. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
25000 <CHS> <PV> -25.000,00 Insere o empréstimo 
18 <i> Insere a taxa anual 
4 <ENTER> 9 <ENTER> 18,00 
12 < ÷ > <+> <n> 4,75 Insere o prazo 
<FV> 55.012,82 Valor do Montante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
92 
2.2. A Convenção Exponencial 
 
 
 A convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para 
todo o período (ou seja, utiliza a capitalização composta tanto para a parte inteira 
como para a parte fracionária). 
 O cálculo do montante na convenção exponencial é dado por 
FV = PV x (1 + i) q
p
n+
. 
 
 
 
 
a) Para cálculos na convenção exponencial, na HP-12C é 
necessário que, no visor, embaixo à direita, apareça à letra 
“c”. Para isto, o leitor deve pressionar as funções <STO> 
<EEX>. Para retirar a letra “c” do visor, pressione essas 
mesmas funções. 
 
b) Se a letra “c” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C 
faz o cálculo na convenção linear. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja um capital de R$ 25.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano, pelo 
prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante pela convenção exponencial. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<STO> <EEX> 0,00 c Introduz “c” no visor 
25000 <CHS> <PV> -25.000,00 c Insere o empréstimo 
18 <i> 18,00 c Insere a taxa anual 
9 <ENTER> 12 
 < ÷ > 4 <+> <n> 4,75 c Insere o prazo 
<FV> 54.875,63 c Valor do Montante 
 
Obs: Note que os valores futuros apurados são diferentes, ou seja, o montante na 
convenção linear é ligeiramente superior ao obtido na convenção exponencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
93 
Exercícios de Fixação 
 
 
Exercício 01: Uma pessoa empresta a um amigo, hoje, a importância de 
R$3.450,00, à taxa de juros compostos de 17,5% ao ano pelo prazo de 2 anos e 6 
meses. Calcular o valor de resgate pelas convenções exponencial e linear. 
 
Exercício 02: Alessandro, aplicou, em uma instituição financeira, a importância de 
R$2.000,00 pelo prazo de 4 meses e 23 dias, à taxa de 3,25% ao mês. Calcular o 
valor de resgate pelas convenções linear e exponencial. 
 
Exercício 03: Qual a taxa mensal do rendimento de uma aplicação no valor de 
R$5.000,00, pelo prazo de 4 meses e 18 dias, sabendo-se que o montante foi de 
R$6.200,00? (Usar convenção exponencial). 
 
Exercício 04: A aplicação de certo capital, à taxa de 21,75% ao ano, gerou um 
montante de R$14.500,00 ao final de 1 ano e 9 meses. Calcular o valor dos juros 
pela convenção exponencial. 
 
Exercício 05: Um Certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a R$5.700,00 
rende juros de 28,5% ao ano. Sendo seu prazo de 243 dias, calcular o valor de 
resgate, antes do imposto de renda. Usar a convenção exponencial. 
 
 
2.3. Códigos de Erros 
 
 Eventualmente, na operação da HP-12C pode ocorrer alguma falha, 
resultando em um procedimento incorreto, muitas vezes indicadopor uma 
mensagem de erro. Vejamos a descrição das principais mensagens de erro da 
calculadora, a seguir: 
 
Quadro 03: Códigos de Erro na calculadora HP-12C. 
Código de Erro Observação 
 
Error 0 
Erro em operações matemáticas. 
Exemplos: divisão de números por zero, 
raiz quadrada de um número negativo, 
logaritmo de número menor ou igual a zero, 
fatorial de número não inteiro. 
 
 
 
 
Error 1 
Ultrapassagem da capacidade de 
armazenamento e processamento da 
máquina: a magnitude do resultado é igual 
ou superior a 10100. Por exemplo, fatorial 
de 73. Observe que a mensagem de erro 
não aparece: apenas uma série de noves 
aparece no visor. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
94 
 
Error 2 
Operações estatísticas com erro. Por 
exemplo, média com n igual a zero. 
 
 
 
 
Error 3 
 
Erro no cálculo da taxa interna de retorno 
(IRR). Nesse caso, a mensagem informa 
que o cálculo é complexo, podendo 
envolver múltiplas respostas, e não poderá 
prosseguir, a menos que você forneça uma 
estimativa para a taxa interna de retorno. 
 
 
 
Error 4 
Erro em operações com a memória da 
calculadora. Por exemplo: tentativa de 
introdução de mais de 99 linhas de 
programação; tentativa de desvio (GTO) 
para uma linha inexistente em um 
programa; tentativa de operação com os 
registradores de armazenamento (R5 a R9) 
ou R.0 a R.9); tentativa de utilização de um 
registrador ocupado com linha de 
programação. 
 
 
 
Error 5 
Erro em operações com juros compostos. 
Provavelmente, algum valor foi colocado 
com o sinal errado (todos os valores têm o 
mesmo sinal), ou os valores de i, PV e FV 
são tais que não existe solução para n. 
 
 
 
 
Error 6 
Problemas com o uso dos registradores de 
armazenamento de armazenamento. O 
registrador de armazenamento 
especificado não existe, ou foi convertido 
em linha de programação. O número de 
fluxos de caixa inseridos foi superior a 20. 
 
 
Error 7 
Problemas no cálculo da taxa interna de 
retorno (IRR). Não houve troca no sinal do 
fluxo de caixa. 
 
 
 
Error 8 
Problemas com o calendário. Pode ser 
decorrente do emprego de data 
inapropriada ou em formato impróprio; 
tentativa de adição de dias além da 
capacidade da máquina. 
 
 
 
Error 9 
Problemas no auto-teste. Ou o circuito da 
calculadora não está funcionando 
corretamente, ou algum procedimento no 
auto-teste apresentou falhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
95 
 
UNIDADE 05 – TAXAS DE JUROS E APLICAÇÕES 
DIVERSAS 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
• Apresentar os diversos tipos de taxas existentes no mercado; 
• Calcular sem dificuldades taxas equivalentes no regime de capitalização 
composto; 
• Diferenciar taxa nominal de taxa efetiva no regime de capitalização composto; 
• Converter sem problemas taxa nominal em taxa efetiva e vice-versa; 
• Resolver aplicações envolvendo os diversos tipos de taxa. 
 
 
1) INTRODUÇÃO 
 
 
 No mercado financeiro brasileiro impera uma enorme confusão quanto 
aos conceitos de taxas de juros, principalmente no que se refere às taxas nominal, 
efetiva e real. A falta desses conceitos tem dificultado a realização de bons negócios 
entre os técnicos e os executivos. Abordaremos, no momento, apenas taxas 
equivalentes, nominal e efetiva, deixando a taxa real para o futuro (Correção 
Monetária). 
 
 
2) TAXAS EQUIVALENTES 
 
 
Dizemos que duas taxas são equivalentes, a juros compostos, 
quando, aplicadas a um mesmo capital e durante o mesmo 
prazo de aplicação, produzem resultados iguais (i.e., montantes 
iguais). 
 
 O conceito de taxa equivalente que vimos no regime de capitalização 
simples continua sendo válido para a capitalização composta, no entanto, sendo 
diferente sua fórmula de cálculo. Por se tratar de capitalização exponencial, a 
expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do 
período inteiro, isto é: 
 
i qq i+= 1 - 1 
 
onde: 
q = número de períodos de capitalização. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
96 
Exemplo 01: Quais as taxas anual, semestral e trimestral equivalentes à taxa de 5% 
ao mês? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.05 <ENTER> 1,05 1 + a taxa mensal 
(unitária) 
12 <y x > 1,80 1 + a taxa anual (unitária) 
1 < – > 100 <x> 79,59 Taxa Anual (em %) 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.05 <ENTER> 1,05 1 + a taxa mensal 
(unitária) 
6 <y x > 1,34 1 + a taxa semestral 
(unitária) 
1 < – > 100 <x> 34,01 Taxa Semestral (em %) 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.05 <ENTER> 1,05 1 + a taxa mensal 
(unitária) 
3 <y x > 1 < – > 100 <x> 15,76 Taxa Trimestral (em %) 
 
 
Exemplo 02: Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24,38% ao ano? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.2438 <ENTER> 1,24 1 + a taxa anual (unitária) 
12 <1/x> <y x > 1,02 1 + a taxa mensal 
(unitária) 
1 < – > 100 <x> 1,83 Taxa Mensal (em %) 
 
 
Exemplo 03: Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 0,005% ao dia? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.00005 <ENTER> 1,000005 1 + a taxa diária (unitária) 
360 <ENTER> 12 < ÷ > 
<y x > 
1,00150 1 + a taxa mensal 
(unitária) 
1 < – > 100 <x> 0,15 Taxa Mensal (em %) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
97 
Exemplo 04: Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 12% ao trimestre? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.12 <ENTER> 1,12 1 + a taxa trimestral 
(unitária) 
2 <ENTER> 3 < ÷ > <y x > 1,08 1 + a taxa bimestral 
(unitária) 
1 < – > 100 <x> 7,85 Taxa Bimestral (em %) 
 
 
Exemplo 05: Qual a taxa diária equivalente à taxa de 23,78% ao ano? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
23.78 <ENTER> 100 < ÷ > 
1 <+> 
1,24 1 + a taxa anual (unitária) 
360 <1/x> <y x > 1,00 1 + a taxa diária (unitária) 
1 < – > 100 <x> 0,06 Taxa Diária (em %) 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
Exercício 01: Qual a taxa equivalente à taxa de 27% ao ano pelo prazo de 8 
meses? 
 
Exercício 02: Calcular a taxa para 28 dias, equivalente à taxa de 15% ao trimestre. 
 
Exercício 03: Calcular a taxa para 187 dias, equivalente a 36% ao ano. 
 
Exercício 04: Calcular a taxa para 492 dias, equivalente a 8% ao trimestre. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
98 
 
3) TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
 
 Para que uma taxa de juros seja considerada EFETIVA é necessário que 
o período ao qual ela se refere coincida com o período de capitalização, caso 
contrário, a taxa será dita NOMINAL. 
 
 A taxa nominal geralmente é fornecida em termos anuais, e os períodos 
de capitalização podem ser diários, mensais, trimestrais ou semestrais. Vejamos, 
alguns exemplos de taxas nominais: 
 
a) 24% ao ano com capitalização mensal; 
b) 18% ao ano com capitalização semestral; 
c) 60% ao ano com capitalização trimestral; 
d) 14% ao semestre com capitalização trimestral; 
e) 12% ao trimestre com capitalização diária; 
 
 A taxa nominal é muito utilizada no mercado financeiro, embora o seu 
valor não seja usado nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva. O que 
realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, obtida pelo critério de 
juros simples (taxa proporcional simples ou linear). Claramente, percebemos que 
uma taxa equivalente a uma taxa efetiva embutida será sempre maior do que a taxa 
nominal que lhe deu origem, pois esta equivalência é feita no critério de juros 
compostos. 
 
 Quando dizemos que a taxa é de 60% ao ano, com capitalização 
mensal, significa que a taxa a ser efetivamente considerada será de 5% ao mês, isto 
é: 
 
12
%60 anoao
 = 5% ao mês. 
 
 Ora, 5% ao mês aplicados (ou capitalizados) durante 12 meses 
equivalem a 79,59%ao ano. Vejamos: 
 
[(1,05)12 – 1] x 100 = 79,59% ao ano, 
 
que é, a taxa efetiva anual equivalente a 60% ao ano, com capitalização mensal. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
99 
4) CONVERSÃO DE UMA TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA E 
VICE-VERSA 
 
 
 O cálculo da taxa efetiva é obtido pela expressão 
 
i f = 11 −�
�
�
	
�
+
k
k
i
, 
 
onde: 
i f = taxa efetiva de juros; 
i = taxa nominal de juros; 
k = número de capitalizações para um período da taxa nominal. 
 
 
Exemplo 01: Uma taxa nominal de 28% ao ano é capitalizada semestralmente. Qual 
a taxa efetiva anual equivalente? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
28 <ENTER> 
2 < ÷> 100 < ÷> 1 <+> 1,14 1 + a taxa efetiva 
semestral (unitária) 
2 <y x > 1,30 1 + a taxa efetiva anual 
(unitária) 
1 < – > 100 <x> 29,96 Taxa Efetiva Anual 
Equivalente (em %) 
 
 
Exemplo 02: Calcular a taxa nominal anual, com capitalização trimestral, da qual 
resultou a taxa efetiva de 32% ao ano. 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.32 <ENTER> 1,32 1 + a taxa efetiva anual 
(unitária) 
4 <1/x> <y x > 1,2875 1 + a taxa nominal 
trimestral (unitária) 
1 < – > 4 <x> 100 <x> 28,75 Taxa Nominal Anual (em 
%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
100 
Exemplo 03: Qual a taxa efetiva mensal, equivalente a uma taxa nominal de 36% ao 
ano, com capitalização trimestral? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
36 <ENTER> 4 < ÷> 
100 < ÷> 1 <+> <y x > 1,09 1 + a taxa efetiva 
trimestral (unitária) 
4 <y x > 1,4116 1 + a taxa efetiva anual 
equivalente (unitária) 
12 <1/x> <y x > 1,03 1 + a taxa efetiva mensal 
equivalente (unitária) 
1 < – > 100 <x> 2,91 Taxa Efetiva Mensal 
Equivalente (em %) 
 
Exemplo 04: Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 28% 
ao ano, com capitalização semestral? 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
28 <ENTER> 2 < ÷ > 
100 < ÷ > 1 <+> 1,14 1 + a taxa efetiva semestral 
(unitária) 
2 <y x > 1,2996 1 + a taxa efetiva trimestral 
equivalente (unitária) 
4 <1/x> <y x > 1,0677 1 + a taxa efetiva trimestral 
equivalente (unitária) 
1 < – > 100 <x> 6,77 Taxa Efetiva Trimestral 
Equivalente (em %) 
 
Exercícios de Fixação 
 
Exercício 01: Uma taxa nominal de 17,25% ao ano é capitalizada mensalmente. 
Calcular a taxa efetiva anual equivalente. 
 
Exercício 02: Calcular a taxa nominal anual, com capitalização mensal, da qual 
resultou a taxa efetiva de 19,75% ao ano. 
 
Exercício 03: Se R$20.000,00 forem aplicados a 18% ao ano, capitalizados 
semestralmente, qual será o montante ao final de 3 anos? 
 
Exercício 04: Calcular o valor de resgate de uma aplicação no valor de R$2.500,00, 
à taxa de 9% ao semestre, capitalizados mensalmente, se o prazo de aplicação for 
de 3 meses. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
101 
UNIDADE 06 – SÉRIES DE PAGAMENTOS OU ANUIDADES 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
• Apresentar os conceitos fundamentais que envolve a teoria das séries de 
pagamentos; 
• Classificar sem dificuldades uma série de pagamentos de acordo com os diversos 
critérios de classificação; 
• Interpretar os diagramas de fluxo de caixa envolvendo cada tipo de série de 
pagamento; 
• Estar plenamente familiarizado com a teoria envolvendo o VPL (Valor Presente 
Líquido); 
• Resolver aplicações envolvendo a Taxa Interna de Retorno (IRR); 
• Resolver diversas aplicações envolvendo os tópicos teóricos discutidos 
anteriormente. 
 
 
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
 Denominamos de série de pagamentos ou recebimentos, série de 
prestações ou anuidades a toda seqüência finita ou infinita de pagamentos ou 
recebimentos em datas previamente estipuladas. 
 Cada um destes pagamentos ou recebimentos, referidos a uma mesma 
taxa de juros compostos, será chamado de termo da série ou termo da anuidade. 
 O intervalo de tempo entre dois períodos chama-se período, e a soma 
dos períodos define a duração da série de pagamentos ou anuidades. 
 O valor atual ou valor presente de uma série de pagamentos ou 
anuidades é a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta realizada para 
uma mesma data e à mesma taxa de juros compostos. 
 Similarmente, o montante ou valor futuro de uma série de 
pagamentos ou anuidades é a soma dos montantes ou valores futuros dos seus 
termos, considerada uma dada taxa de juros compostos e uma data. 
 Como já vimos anteriormente, um fluxo de caixa representa uma série de 
pagamentos ou de recebimentos que devem ocorrer em determinados intervalos de 
tempo. 
 É bastante comum defrontarmo-nos com operações financeiras que 
representaremos por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos 
de diferentes tipos envolvendo uma seqüência de desembolsos de caixa. Do mesmo 
modo, temos os fluxos de pagamentos/recebimentos de prestações, oriundas de 
compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos, etc. 
 Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem 
que haja amortização, que é o caso dos aluguéis e das operações de arrendamento 
mercantil. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
102 
2. CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS OU 
ANUIDADES 
 
 
• Quanto ao Número de termos: 
 
- Finita: quando existir a última prestação. 
 
- Infinita (ou Perpétua): quando não existir a última prestação. 
 
 
• Quanto á Natureza dos seus termos: 
 
- Uniforme: quando todos os termos forem iguais. 
 
- Não Uniforme (ou Variável): quando os termos forem diferentes. 
 
 
• Quanto ao Intervalo entre seus termos: 
 
- Periódica: quando o intervalo de tempo entre dois termos sucessivos 
for constante. 
 
- Não-periódica: quando o intervalo de tempo entre dois termos 
sucessivos não for constante. 
 
 
• Quanto ao Vencimento de seus termos: 
 
- Postecipada (ou Vencida): quando os termos ocorrerem ao final de 
cada período. 
 
- Antecipada: quando os termos ocorrerem no início de cada período. 
 
 
• Quanto à Ocorrência do primeiro termo: 
 
- Diferida: quando o primeiro termo só ocorrer após alguns períodos; a 
este prazo damos o nome de prazo de diferimento ou prazo de 
carência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
103 
3. SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS 
 
 
Características: 
 
- Os pagamentos são periódicos e sem diferimento; 
- Os termos são iguais; 
- O intervalo de tempo entre cada termo é constante; 
- Os termos ocorrem ao final dos períodos; 
- O primeiro termo ocorre ao final do primeiro período. 
 
 
 Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será 
representado por PMT; as demais variáveis serão representadas pelos símbolos já 
conhecidos (PV, i, n e FV), ou seja: 
 
PV = valor presente, valor atual, capital inicial ou principal; 
FV = valor futuro ou montante; 
 
i = taxa de juros compostos, coerente com a unidade de tempo (mês, trimestre, etc.); 
n = número de pagamentos ou recebimentos, número de períodos (coincidentes 
com o número de prestações) referentes à unidade de tempo da taxa. 
 
 
Representação Gráfica 
 
 
• AMORTIZAÇÃO6 
 
 PV 
 
 
 
 0 1 2 3 4 n – 1 
n 
 
 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT 
PMT6 Por amortização entendemos a ação de saldar uma dívida por meio de parcelas periódicas, constantes ou não. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
104 
 Na amortização, o valor presente (PV) é obtido pela expressão 
 
PV = PMT x 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
, 
onde 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
 é o fator de valor atual7, para uma série de pagamentos iguais. 
 
 O valor futuro de PMT, na amortização, é obtido por 
 
PMT = PV x 
1)1(
)1(
−+
+
n
n
i
ixi
, 
 
onde 
1)1(
)1(
−+
+
n
n
i
ixi
 é o fator de recuperação de capital, para uma série de 
pagamentos iguais. 
 
 
• CAPITALIZAÇÃO 
 
 FV 
 
 
 0 1 2 3 4 n – 1 
n 
 
 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT 
PMT 
 
 
 Na capitalização, o valor de FV é obtido pela expressão 
 
FV = PMT x 
i
i
n 1)1( −+
, 
onde 
i
i
n 1)1( −+
 é o fator de acumulação de capital8, para uma série de 
pagamentos iguais. 
 
7 A expressão 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
 é também conhecida por fator de correção da amortização e é representada 
internacionalmente por , onde se lê: “ a n-cantoneira i”. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
105 
 
 O valor de PMT, na capitalização, é obtido por 
PMT = FV x 
1)1( −+ ni
i
, 
 
1)1( −+ ni
i
 é o fator de formação de capital para uma série de pagamentos iguais. 
 
 
Exemplo 01: Uma loja vende certo eletrodoméstico em 6 prestações mensais iguais 
de R$ 72,30, sendo a primeira, paga 30 dias após a compra. A taxa de juros de 
crédito pessoal da loja é de 6,5% ao mês. Qual o preço à vista dessa mercadoria? 
 
Solução: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
6 <n> 6,00 Insere o número de 
prestações mensais 
6.5 <i> 6,50 Insere a taxa mensal de 
juros 
72.30 <CHS> <PMT> - 72,30 Valor da prestação 
mensal 
<PV> 350,01 Preço à vista da 
mercadoria 
 
 
Exemplo 02: Uma financeira, operando com a taxa de 8% ao mês, concedeu um 
empréstimo de R$ 3.000,00, a ser amortizado em 6 prestações mensais iguais, a 
primeira vencendo em 30 dias. Calcular o valor da prestação mensal. 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
8 <i> 8,00 Insere a taxa mensal 
6 <n> 6,00 Insere o número de 
prestações mensais 
3000 <CHS> <PV> - 3000,00 Insere o valor do 
empréstimo 
<PMT> 648,95 Valor da prestação 
mensal 
 
 
8 A expressão 
i
i
n 1)1( −+
 é internacionalmente conhecida por , em que se lê: “S n-cantoneira i”. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
106 
Exemplo 03: Um cliente deposita R$ 260,00 ao final de cada mês, durante 8 meses, 
a uma taxa de 1,57% ao mês. Quanto o cliente terá na data do último depósito? 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
8 <n> 8,00 Insere o número de 
prestações mensais 
1.57 <i> 1,56 Insere a taxa mensal 
260 <CHS> <PMT> - 260,00 Insere o depósito mensal 
<FV> 2.197,96 Valor do Montante 
 
 
Exemplo 04: Uma pessoa irá necessitar de R$ 6.000,00 daqui a 10 meses. Quanto 
deverá depositar mensalmente em uma instituição financeira que rende 1,35% ao 
mês de juros? 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
6000 <CHS> <FV> - 6.000,00 Insere o Montante 
10 <n> 10,00 Insere o número de 
depósitos mensais 
1.35 <i> 1,35 Insere a taxa mensal 
<PMT> 564,45 Valor do depósito mensal 
 
 
Exemplo 05: Um empréstimo bancário de R$ 7.000,00 deve ser liquidado em 
prestações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 1.017,99. Sabendo-se 
que a taxa contratada pelo banco é de 5,75% ao mês e que a primeira prestação 
vence um mês após a data da operação, calcular o número de prestações mensais. 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
7000 <CHS> <PV> - 7.000,00 Insere o valor do 
empréstimo 
10117.99 <PMT> 1.017,99 Insere o valor da 
prestação 
5.75 <i> 5,75 Insere a taxa mensal 
<n> 9,00 Número de Prestações 
Mensais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
107 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
Exemplo 06: Um investidor aplica mensalmente R$ 1.243,57 em uma instituição 
financeira, gerando um montante no valor de R$ 9.500,00 na data do último 
depósito. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2,9% ao mês e que o primeiro 
depósito é feito um mês após a data da operação, calcular o número de depósitos 
mensais. 
 
 
Exemplo 07: Certa loja está anunciando uma geladeira por R$ 850,00 à vista ou em 
9 prestações mensais, iguais e consecutivas no valor de R$ 129,94, sendo a 
primeira paga 30 dias após a compra. Qual a taxa mensal de juros cobrada pela loja. 
 
 
Exemplo 08: No final de cada mês, uma pessoa aplicou R$ 314,22 numa instituição 
financeira, resgatando R$ 3.400,00 ao final de 10 , meses. Qual a taxa mensal de 
rendimento do aplicador. 
 
 
Exemplo 09: Um empréstimo no valor de R$ 8.500,00 é concedido, para pagamento 
em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$1.766,78 sendo a primeira paga 
30 dias após a operação. Calcular o custo mensal deste empréstimo. 
 
 
Exemplo 10: Qual o valor atual de um equipamento que será pago em 6 prestações 
trimestrais, iguais e sucessivas de R$9.000,00, sendo a primeira paga 3 meses após 
a operação, à taxa de juros de 4,5% ao mês? 
 
 
Exemplo 11: Calcular o custo anual de um empréstimo, no valor de R$15.000,00, 
que será liquidado em 18 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$1.437,82, 
sendo a primeira paga 30 dias após a operação. 
 
 
Exemplo 12: Uma agência de automóveis vende um carro, sendo R$6.000,00 de 
entrada e o restante financiado em 9 prestações mensais, iguais e sucessivas, no 
valor de R$857,19, vencendo, a primeira, após um mês. Se a taxa de juros é de 
1,8% ao mês, qual o preço à vista do carro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
108 
4. SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS 
 
 
 Características: 
 
- Os pagamentos são periódicos e sem diferimento; 
- Os termos são iguais; 
- Os termos ocorrem no início dos períodos; 
- O primeiro termo ocorre no início do primeiro período, a primeira 
prestação é paga ou recebida na data do contrato do empréstimo ou 
financiamento. 
 
 
 
Representação Gráfica 
 
 
• AMORTIZAÇÃO 
 
 PV 
 
 
 
 0 1 2 3 4 n – 1 
n 
 
 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
PMT 
 
 
 Na amortização, o valor presente (PV) é obtido pela expressão 
 
PV = PMT x (1 + i) x 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
. 
 
 O valor de PMT é dado por 
 
PMT = 
ixi
i
xi
PV
n
n
)1(
1)1(
)1(
+
−+
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
109 
 
• CAPITALIZAÇÃOFV 
 
 
 0 1 2 3 4 n – 1 
n 
 
 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 
 
 Na capitalização, o valor de FV é dado por: 
 
FV = PMT x (1 + i) x 
i
i
n 1)1( −+
 
 
 O valor de PMT é dado por: 
 
PMT = 
i
i
xi
FV
n 1)1(
)1(
−+
+
 
 
 
 
1) Para trabalhar com série de pagamentos ou recebimentos 
antecipados, pressione as funções <g> <BEG> e aparecerá 
no visor a palavra BEGIN, que significa “início”, ou seja, 
pagamentos ou recebimentos feitos no início do período. 
Para retirar essa instrução, basta pressionar as funções 
<g> <END>. 
 
2) Para a série de pagamentos ou recebimentos postecipados, 
você nada fará, o que indica que a calculadora resolverá o 
problema, considerando pagamentos ou recebimentos 
postecipados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
110 
5. SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS 
 
 Vejamos agora alguns exemplos resolvidos na calculadora: 
 
 
Exemplo 01: Calcular o preço à vista de um eletrodoméstico, adquirido em 3 
prestações iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$33,28. A primeira prestação 
será paga na data da compra e a taxa de juros da loja é de 6,25% ao mês. 
 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver problemas 
com pagamentos 
antecipados 
3 <n> 3,00 BEGIN Introduz o número de 
pagamentos mensais 
6.25 <i> 6,25 BEGIN Introduz a taxa mensal 
33.98 <CHS> <PMT> - 33,98 BEGIN Introduz o valor dos 
pagamentos iguais 
<PV> 94,08 BEGIN Preço à vista 
 
 
 
 
Exemplo 02: O preço à vista de uma televisão é R$1.350,00 ou está sendo 
negociada em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo, a primeira, paga 
hoje. Sabendo-se que a loja opera com uma taxa de juros de 7% ao mês, qual o 
valor da prestação mensal. 
 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver problemas 
com pagamentos 
antecipados 
1350 <CHS> <PV> -1.350,00 
BEGIN 
Preço à vista 
6 <n> 6,00 BEGIN Insere o número de 
prestações 
7 <i> - 33,98 BEGIN Introduz a taxa mensal 
<PMT> 94,08 BEGIN Valor da prestação 
mensal 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
111 
 
Exemplo 03: Calcular o montante de 15 depósitos mensais, iguais e sucessivos, no 
valor de R$850,00, à taxa de 1,31% ao mês, sendo o primeiro depósito realizado 
hoje. 
 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver problemas 
com pagamentos 
antecipados 
15 <n> 15,00 
BEGIN 
Insere o prazo em meses 
1.31 <i> 1,31 
BEGIN 
Insere a taxa mensal 
850 <CHS> <PMT> -850,00 BEGIN Valor do depósito 
<FV> 14.171,48 BEGIN Valor do Montante 
 
 
 
Exemplo 04: A aplicação de 18 parcelas mensais, iguais e sucessivas, gerou um 
montante de R$5.400,00. Sabendo-se que a taxa de juros da operação foi de 1,7% 
ao mês e que a primeira parcela é aplicada hoje, calcular o valor de cada aplicação. 
 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver problemas 
com pagamentos 
antecipados 
5400 <CHS> <PV> -5.400,00 
BEGIN 
Insere o Montante 
18 <n> 18,00 BEGIN Insere o número de 
parcelas mensais 
1.7 <i> 1,70 BEGIN Introduz a taxa mensal 
<PMT> 254,63 BEGIN Valor de cada aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
112 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
Exemplo 05: O preço à vista de um bem é R$15.000,00, mas o mesmo poderá ser 
pago em 4 prestações de R$3.900,00, a primeira como entrada e as demais com 
vencimento em 30, 60 e 90 dias. Qual a taxa mensal de juros embutida no crediário. 
 
 
 
Exemplo 06: Quantas aplicações mensais de R$362,78 são necessárias para obter 
um montante de R$8.864,11, a uma taxa de 1,87% ao mês, sendo a primeira 
aplicação feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate 
daquele valor. 
 
 
Exemplo 07: Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular, 
ao final de 18 meses, um montante de R$4.500,00, a uma taxa de 24,89% ao ano, 
sendo que as prestações são iguais e sucessivas e em número de 18? 
 
 
Exemplo 08: Calcular o montante, ao final de 18 meses, resultante da aplicação de 
12 parcelas mensais, iguais e sucessivas no valor de R$470,00, sabendo-se que a 
taxa contratada é 1,32% ao mês e que a primeira aplicação é feita hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
113 
6. SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS COM TERMOS VENCIDOS 
 
 
 O Valor Presente é calculado pela soma dos valores atualizados de cada 
um de seus termos a uma mesma taxa i. O Valor Futuro pode ser determinado pelo 
somatório dos montantes de cada termo ou, capitalizando o valor presente para a 
data futura desejada. 
 
 Graficamente, temos o seguinte fluxo de caixa: 
 
 PV 
 
 
 
 1 2 3 n – 1 
n 
 
 
 
 PMT 1 
 PMT 3 PMT 1−n 
 PMT 2 
 
PMT n 
 
 O Valor Presente é obtido pela expressão Matemática: 
 
PV = 
n
n
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
 
 
 O Valor Futuro é dado por: 
 
FV = PMT 1 x (1 + i)
1−n + PMT 2 x (1 + i)
2−n + ... + PMT n 
ou seja, 
FV = PV x (1 + i) n 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
114 
 
Exemplo 01: Calcular o valor presente de uma série de 5 pagamentos mensais, 
consecutivos, de R$1.700,00, R$3.000,00, R$1.250,00, R$2.300,00 e R$3.550,00, 
respectivamente, a uma taxa de 1,32% ao mês. 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1.32 <i> 1,32 Insere a taxa mensal 
1700 <CHS> <FV> -1.700,00 Valor do primeiro 
pagamento 
1 <n> 1,00 Prazo do primeiro 
pagamento 
<PV> 1.677,85 Valor atualizado do primeiro 
pagamento 
3000 <CHS> <FV> -3.000,00 Valor do segundo 
pagamento 
2 <n> 2,00 Prazo do segundo 
pagamento 
<PV> 2.922,34 Valor atualizado do 
segundo pagamento 
<+> 4.600,19 Valor presente dos dois 
primeiros pagamentos 
1250 <CHS> <FV> -1.250,00 Valor do terceiro pagamento 
3 <n> 3,00 Prazo do terceiro 
pagamento 
 <PV> 1.201,78 Valor atualizado do terceiro 
pagamento 
 <+> 5.801,97 Valor presente dos três 
primeiros pagamentos 
2300 <CHS> <FV> -2.300,00 Valor do quarto pagamento 
4 <n> 4,00 Prazo do quarto pagamento 
<PV> 2.182,46 Valor atualizado do quarto 
pagamento 
<+> 7.984,44 Valor presente dos quatro 
primeiros pagamentos 
3550 <CHS> <FV> -3.550,00 Valor do quinto pagamento 
 5 <n> 5,00 Prazo do quinto pagamento 
<PV> 3.324,70 Valor atualizado do quinto 
pagamento 
<+> 11.309,14 Valor presente dos cinco 
pagamentosGuia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
115 
Para calcular o valor futuro, ao final do quinto mês, pela HP 12C, vem: 
 
 Teclas Visor Observação 
11309.14 <CHS> <PV> -11.309,14 Valor presente dos cinco 
pagamentos 
5 <n> 5,00 Insere o prazo em meses 
<FV> 12.075,51 Valor Futuro 
 
 
Exemplo 02: Um empréstimo foi liquidado em 3 pagamentos anuais e sucessivos de 
R$12.000,00, R$15.000,00 e R$18.000,00, respectivamente. A taxa de juros 
cobrada pela instituição financeira é de 25% ao ano. Qual o montante pago ao final 
do terceiro ano? 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
25 <i> 25,00 Insere a taxa anual 
12000 <CHS> <FV> -12.000,00 Valor do primeiro 
pagamento 
2 <n> 2,00 Prazo a vencer o primeiro 
pagamento 
<FV> 18.750,00 Montante do primeiro 
pagamento 
15000 <CHS> <PV> -15.000,00 Valor do segundo 
pagamento 
1 <n> 1,00 Prazo a vencer do 
segundo pagamento 
<FV> 18.750,00 Montante do segundo 
pagamento 
<+> 37.500,00 Montante dos dois 
pagamentos 
18000 <+> 55.500,00 Montante dos três 
pagamentos 
 
 
Para calcularmos o valor presente, na HP 12C, temos: 
 
 Teclas Visor Observação 
55500 <CHS> <FV> -55.500,00 Valor do montante 
3 <n> 3,00 Insere o prazo em meses 
<PV> 28.416,00 Valor do emprestimo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
116 
Exemplo 03 Uma pessoa aplicou numa instituição financeira a juros compostos de 
1,38% ao mês. Os resgates foram de: R$1.900,00 em 2 meses; R$4.600,00 em 5 
meses; R$9.700,00 em 6 meses. Calcular o valor da aplicação. 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
1,38 <i> 1,38 Insere o valor da taxa 
mensal 
1900 <CHS> <FV> -1.900,00 Valor do primeiro resgate 
2 <n> 2,00 Prazo do primeiro resgate 
em meses 
<PV> 1.848,63 Valor atualizado do 
primeiro resgate 
4600 <CHS> <FV> -4.600,00 Valor do segundo resgate 
5 <n> 5,00 Prazo do segundo 
resgate em meses 
<PV> 4.295,33 Valor atualizado do 
segundo resgate 
<+> 6.143,95 Valor presente dos dois 
resgates 
9700 <CHS> <FV> -9.700,00 Valor do terceiro resgate 
6 <n> 6,00 Prazo do terceiro resgate 
em meses 
<PV> 8.934,25 Valor atualizado do 
terceiro resgate 
<+> 15.078,20 Valor da aplicação 
 
 
Exemplo 04: Na venda de um barco, a Loja AFA oferece duas opções a seus 
clientes: 
1 a Opção: R$5.000,00 de entrada, mais duas parcelas trimestrais, sendo, a primeira, 
de R$9.000,00 e a segunda de R$12.000,00; 
2 a Opção: Sem entrada, pagamento em 3 parcelas bimestrais de R$6.000,00, 
R$9.500,00 e R$14.000,00. 
 
Se a taxa de juros da loja é 7,5% ao mês, qual a melhor opção para o comprador? 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
7,5 <i> 7,50 Insere o valor da taxa 
mensal 
5000 <ENTER> 5.000,00 Valor da entrada 
9000 <CHS> <FV> -9.000,00 Valor da primeira parcela 
trimestral 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
117 
3 <n> 3,00 Prazo da primeira parcela 
trimestral 
<PV> 7.244,65 Valor atual da primeira 
parcela trimestral 
<+> 12.244,65 Valor atual da primeira 
parcela trimestral + a 
entrada 
12000 <CHS> <FV> -12.000,00 Valor da segunda parcela 
trimestral 
6 <n> 6,00 Prazo da segunda 
parcela trimestral 
<PV> 7.775,54 Valor atual da segunda 
parcela trimestral 
<+> 20.020,18 Valor atual da primeira 
opção 
6000 <CHS> <FV> -6.000,00 Valor da primeira parcela 
bimestral 
2 <n> 2,00 Prazo da primeira parcela 
bimestral 
<PV> 5.192,00 Valor atual da primeira 
parcela bimestral 
9500 <CHS> <FV> -9.500,00 Valor da segunda parcela 
bimestral 
4 <n> 4,00 Prazo da segunda 
parcela bimestral 
<PV> 7.113,61 Valor atual da segunda 
parcela bimestral 
<+> 12.305,60 Valor atual das duas 
parcelas bimestrais 
14000 <CHS> <FV> -14.000,00 Valor da terceira parcela 
bimestral 
6 <n> 6,00 Prazo da terceira parcela 
bimestral 
<PV> 9.071,46 Valor atual da terceira 
parcela bimestral 
<+> 21.377,06 Valor atual da segunda 
opção 
 
Resposta: A melhor opção para o comprador é a primeira, pois apresenta o menor 
valor presente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
118 
7. VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO VARIÁVEIS 
USANDO AS TECLAS < CF 0 >, <CF j >, <N j >, e <NPV> 
 
 
 
 Da fórmula para séries de pagamentos variáveis com termos vencidos, tem-se: 
 
PV = 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
, 
onde: 
CF j = fluxo de caixa de ordem j, para j = 1, 2, 3, ..., n; 
i = taxa de desconto 
 
 A função <CF 0 > representa o fluxo de caixa no momento zero (fluxo de 
caixa inicial); a função <N j > representa o número de vezes que o valor do fluxo de 
caixa de ordem j (CF j ) se repete, e a função <NPV> representa o valor presente 
líquido. 
 
 
Para a função <NPV>, a HP 12C calcula diretamente o valor 
presente líquido de até 20 (vinte) grupos de fluxo de caixa 
(excluindo o fluxo inicial), cada grupo contendo um máximo de 
99 fluxos iguais. 
 
 
Exemplo 01: Calcular o valor presente ou valor atual do fluxo de caixa abaixo, 
utilizando 5% a.m. como taxa de desconto. 
 
 
 1.500 1.500 
 
 1.000 
 
 
 0 3 
 1 2 4 
 
 
 1.000 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
119 
Resolvendo na HP 12C, vem: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
5 <i> 5,00 Insere o valor da taxa de 
desconto (%) 
0 <g> <CF 0 > 0,00 Fluxo na data zero 
1000 <g> <CF j > 1.000,00 Fluxo na data 1 
1500 <g> <CF j > 1.500,00 Fluxo na data 2 
1000 <CHS> <g> <CF j > 1.000,00 Fluxo na data 3 
1500 <g> <CF j > 1.500,00 Fluxo na data 4 
<f> <NPV> 2.683,14 Valor presente ou Valor 
Atual do fluxo de caixa 
 
 
Exemplo 02: Um empréstimo foi liquidado em quatro prestações anuais e 
sucessivas de R$25.000,00, R$35.000,00, R$40.000,00 e R$50.000,00. A taxa de 
juros cobrada pela instituição financeira foi de 27% aa. Qual o valor do empréstimo? 
 
Resolvendo na HP 12C, vem: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
25000 <g> <CF j > 25.000,00 Fluxo na data 1 
35000 <g> <CF j > 35.000,00 Fluxo na data 2 
40000 <g> <CF j > 40.000,00 Fluxo na data 3 
50000 <g> <CF j > 50.000,00 Fluxo na data 4 
27 <i> 27,00 Taxa de juros anual (em %) 
<f> <NPV> 80.132,76 Valor do empréstimo 
 
 
Exemplo 04: Um investimento, com 3 anos de vida útil, irá gerar receitas 
mensais de acordo com o quadro abaixo. A taxa de desconto será 36% ao ano, 
capitalizada de maneira mensal. Calcular quanto vale este investimento hoje. 
 
Meses Número de Meses Valor (em R$) 
1 a 12 12 8.000,00 
13 a 20 08 9.000,00 
21 a 24 04 10.000,00 
25 a 35 11 15.000,00 
36 01 20.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
120 
Resolvendo na HP 12C, vem: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
8000 <g> <CF j > 8.000,00 Valor dos fluxos do primeiro 
grupo 
12 <g> < N j > 12,00 Número de vezes que este 
valor se repete 
9000 <g> <CF j > 9.000,00 Valor dos fluxos do segundo 
grupo 
8 <g> < N j > 8,00 Número de vezes que este 
valor se repete 
10000 <g> <CF j > 10.000,00 Valor dos fluxos do terceiro 
grupo 
4 <g> < N j > 4,00 Número de vezes que este 
valor se repete 
15000 <g> <CF j > 15.000,00 Valor dos fluxos do quarto 
grupo 
11 <g> < N j > 11,00 Número de vezes que este 
valor se repete 
20000 <g> <CF j > 20.000,00 Valor do fluxo do quinto 
grupo 
36 <ENTER> 12 < ÷ > <i> 12,00 Número de vezes que estevalor se repete 
<f> <NPV> 219.699,76 Valor do Investimento hoje 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
121 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
 
Exercício 01: Um empréstimo foi liquidado em 7 prestações mensais, sendo as 
3 primeiras no valor de R$1.500,00, as 2 seguintes no valor de R$2.000,00, a 
sexta no valor de R$3.000,00 e a sétima no valor de R$3.000,00. Sabendo-se 
que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 6,5% a.m.. Pede-se: 
 
a) Desenhar o fluxo de caixa dessa operação (sob o ponto de vista da 
instituição financeira); 
 
b) Calcular o valor do empréstimo. 
 
 
Exercício 02: Calcular o valor presente de um fluxo de caixa com 4 prestações 
mensais e sucessivas, crescentes, em progressão aritmética de razão igual a 
R$2.000,00. O valor da primeira prestação é de R$10.000,00 e a taxa de juros 
é de 5,75% ao mês. 
 
Exercício 03: Um consumidor adquire uma geladeira pelo sistema de crediário, 
para pagamento em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de 
R$124,75. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 4,8% ao mês 
e que a primeira prestação será paga ao final do quarto mês (3 meses de 
carência), calcular o valor financiado pelo consumidor. 
 
 
 
Exercício 04: Um eletrodoméstico é vendido, à vista, por R$450,00, ou em 4 
pagamentos mensais, iguais e sucessivos, no valor de R$78,49, ocorrendo, o 
primeiro pagamento, 3 meses após a compra. Qual deve ser o valor da entrada, 
admitindo uma taxa de juros de 6,5% ao mês? 
 
 
 
Exercício 05: Um financiamento é concedido para pagamento em 4 prestações 
mensais, sendo a primeira no valor de R$3.000,00, a segunda, de R$2.000,00; 
a terceira, de R$4.000,00 e a quarta, de R$5.000,00, com 4 meses de carência. 
Se a taxa de juros da instituição financeira é de 5% ao mês, calcular o valor 
financiado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
122 
8. VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
 
 
 O valor presente líquido de um fluxo de caixa consiste em calcular o 
valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos), descontado a uma 
taxa, e deduzir, deste, o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento 
ou do investimento). 
 
 Da equação 
 
PV = 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
, 
 
 tem-se: 
 
NPV = 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
 – CF 0 
 
 Se NPV > 0, então haverá um ganho adicional (expresso em valores de 
hoje) em relação ao mesmo investimento aplicado à taxa de desconto, isto é, o 
investimento será atrativo; caso contrário, teremos uma perda (expressa em valores 
de hoje) e o investimento não será atrativo. 
 
 
Exemplo 01: Um empréstimo, no valor de R$10.000,00 será liquidado em 3 
restações mensais e sucessivas de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$7.500,00. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 7% ao mês, calcular o valor presente líquido. 
 
Resolvendo na HP 12C, vem: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
10000 <CHS> <g> <CF 0 > -10.000,00 Valor do empréstimo 
3000 <g> <CF j > 3.000,00 Valor do primeiro 
pagamento 
5000 <g> <CF j > 5.000,00 Valor do segundo 
pagamento 
7500 <g> <CF j > 7.500,00 Valor do terceiro pagamento 
7 <i> 7,00 Taxa mensal de juros (%) 
<f> <NPV> 3.293,17 Valor presente líquido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
123 
 
Exemplo 02: Examinar se o projeto a seguir pode ser aceito, adotando-se uma 
taxa de 8% ao ano. 
Investimento inicial = R$8.000,00 
Vida útil = 10 meses 
Receitas líquidas mensais = R$900,00 
Valor residual = R$2.000,00 
 
A Figura abaixo descreve o diagrama de fluxo de caixa do projeto. 
 
 
 
 
A solução deste problema é obtida da seguinte maneira, pela HP 12C: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
8000 <CHS> <g> <CF 0 > -8.000,00 Valor do investimento inicial 
900 <g> <CF j > 900,00 Valor da primeira receita 
líquida mensal 
9 <g> <N j > 9,00 Número de vezes que este 
valor se repete 
2900 <g> <CF j > 2.900,00 Valor da décima receita 
líquida mensal 
8 <i> 8,00 Taxa mensal de juros (em 
%) 
<f> <NPV> -1.034,54 Valor presente líquido 
 
Resposta: Como o NPV = -1.034,54 < 0 concluímos que o projeto não deve ser 
aceito. 
 
8.000 
1 9 
 900 
 
 2.900 = 900 + 2.000 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
124 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
 
Exercício 01: Verificar se o investimento abaixo é atrativo, considerando uma taxa 
de 18% ao ano. Construa o diagrama de fluxo de caixa associado. 
 
Custo inicial = R$200.000,00 
Custo anual operacional = R$20.000,00 
Receita anual = R$70.000,00 
Vida útil = 10 anos. 
 
 
 
 
Exercício 02: Um apartamento foi colocado à venda por R$60.000,00 à vista, ou em 
3 anos de prazo, com R$25.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de 
R$1.200,00, no primeiro ano, mais 12 prestações mensais de R$2.000,00, no 
segundo ano e mais 12 prestações mensais de R$2.500,00 no último ano. 
Suponhamos que você esteja interessado em adquiri-lo até mesmo à vista. Qual 
seria a sua decisão, se você tivesse também a opção de aplicar seus recursos em 
um título de renda fixa, a uma taxa de 3% ao mês? Qual seria a sua decisão se as 
taxas fossem de 3,5% ao mês e 4% ao mês? Construir o diagrama de fluxo de caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
125 
9. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR OU IRR) 
 
 
A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que torna o valor presente 
líquido de um fluxo de caixa igual a zero. A taxa interna de retorno será obtida 
igualando a equação NPV = 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
 – CF 0 a zero, isto é, 
 
 
 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
– CF 0 = 0 
 
 
ou seja, 
 
 
 
CF 0 = n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
 
 
 
Ou ainda, 
 
 
CF 0 = �
= +
n
j
j
j
i
CF
1 )1(
 
 
Em outras palavras, a taxa interna de retorno iguala, no momento zero, o valor 
presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas no 
fluxo de caixa. 
 
 
A taxa interna de retorno, nas operações de empréstimos, 
financiamentos ou de aplicações de recursos, nada mais é do 
que a taxa de juros da operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
126 
Exemplo 01: Calcular a taxa interna de retorno, correspondente a um 
empréstimo de R$15.000,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais de 
R$4.500,00, R$5.000,00, R$3.500,00 e R$5.500,00. O fluxo de caixa desta 
operação, tomando-se como referência à instituição financeira, é representado como 
segue: 
 
 
 
 
A HP 12C faz este cálculo usando a função <IRR> (que significa Internal Rate 
Return). 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
15000 <CHS> <g> <CF 0 
> 
-15.000,00 Valor do empréstimo 
4500 <g> <CF j > 4.500,00 Valor do primeiro 
pagamento 
5000 <g> <CF j > 5.000,00 Valor do segundo 
pagamento 
3500 <g> <CF j > 3.500,00 Valor do terceiro 
pagamento 
5500 <g> <CF j > 5.500,00 Valor do quarto 
pagamento 
<f> <IRR> 8,81 Taxa Interna de Retorno 
Mensal (em %) 
 
15.000 
4.500 
5.000 
3.500 
1 2 3 4 
 5.500 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
127 
 
Exemplo 02: Um equipamento no valor de R$45.000,00 é totalmente 
financiado, para pagamento em 9 parcelas mensais, sendo, as 3 primeiras, de 
R$4.500,00, as 2 seguintes, de R$5.000,00, as 3 seguintes, R$6.500,00 e, a nona, 
de R$7.500,00. Qual a taxa interna de retorno dessa operação? 
 
Resolvendo diretamente na HP 12C, vem: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
45000 <CHS> <g> <CF 0 
> 
-45.000,00 Valor dofinanciamento 
4500 <g> <CF j > 4.500,00 Valor dos fluxos do 
primeiro grupo 
3 <g> <N j > 3,00 Número de vezes que 
este valor se repete 
5000 <g> <CF j > 5.000,00 Valor dos fluxos do 
segundo grupo 
2 <g> <N j > 2,00 Número de vezes que 
este valor se repete 
6500 <g> <CF j > 6.500,00 Valor dos fluxos do 
terceiro grupo 
3 <g> <N j > 3,00 Número de vezes que 
este valor se repete 
7500 <g> <CF j > 7.500,00 Valor do fluxo do quarto 
grupo 
<f> <IRR> 2,16 Taxa Interna de Retorno 
Mensal (em %) 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
128 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A instrução <g> <CF 0 > armazena o valor do investimento inicial 
(ou valor do empréstimo ou do financiamento) no registrador zero (R 0 ); a 
instrução < CF j > armazena os fluxos de caixa nos registradores R 1 , R 2 , 
R 3 , ... . O número de grupos de fluxos de caixa é acumulado no registrador 
<n>. No exemplo acima, pressionando <RCL> 0, obtém-se -45.000,00 (valor 
do fluxo no momento zero), pressionando <RCL> 1, aparece no visor 
4.500,00 (valor dos fluxos do primeiro grupo), pressionando <RCL> 2, 
aparece no visor 5.000,00 (valor dos fluxos do segundo grupo), 
pressionando <RCL> 3, aparece no visor 6.500,00 (valor dos fluxos do 
terceiro grupo), pressionando <RCL> 4, obtém 7.500,00 (valor do fluxo no 
quarto grupo) e, pressionando <RCL> <n>, aparecerá 4,00 no visor (número 
de grupos de fluxos de (caixa).Este procedimento, em caso de erro, permite 
realizar correções nos valores dos fluxos. Suponahmos que, no exemplo 
acima, o valor dos fluxos do segundo grupo fosse R$8.000,00, em vez de 
R$5.000,00, e que os demais dados introduzidos na calculadora estivessem 
corretos. Para corrigir o valor do fluxo e calcular a nova taxa de retorno, 
procedemos como segue: 
 
 
 
Teclas Visor Observação 
<RCL> 2 5.000,00 Valor dos fluxos do 
segundo grupo 
8000 <STO> 2 8.000,00 Novo valor dos fluxos 
no segundo grupo 
<f> <IRR> 4,45 Nova taxa interna de 
retorno mensal (em %) 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
129 
 
Exemplo 03: Um consumidor adquire um bem, pelo sistema de crediário, para 
pagamento em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, no valor de R$86,92. 
Sabendo-se que o valor financiado pela loja foi de R$340,00 e que a primeira 
prestação será paga ao final do quarto mês (3 meses de carência), pede-se: 
 
a) Desenhe o fluxo de caixa sob o ponto de vista do consumidor; 
b) Qual a taxa de juros cobrada pela loja? 
 
Solução: 
 
a) O fluxo de caixa sob o ponto de vista do consumidor é dado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 9 (meses) 
 
 
 
 
 86,92 
 
 
b) Resolvendo na HP 12C, tem-se: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
340 <g> <CF 0 > 340,00 Valor financiado 
0 <g> <CF j > 0,00 Valor dos fluxos do 
primeiro grupo 
3 <g> <N j > 3,00 Número de vezes que 
este valor se repete 
86.92 <CHS> <g> <CF j 
> 
-86,92 Valor dos fluxos do 
segundo grupo 
6 <g> <N j > 6,00 Número de vezes que 
este valor se repete 
<f> <IRR> 6,91 Taxa de juros mensal 
cobrada pela loja (em %) 
 
340 
0 
4 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
130 
 
 
Exemplo 04: Calcular a taxa interna de retorno (anual), correspondente a um 
empréstimo no valor de R$5.500,0, a ser liquidado em 3 pagamentos mensais de 
R$1.500,00, R$2.000,00 e R$2.500,00, respectivamente. 
 
 
Resolvendo na HP 12C, tem-se: 
 
 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
5500 <CHS> <g> <CF 0 > -5.500,00 Valor do empréstimo 
1500 <g> <CF j > 1.500,00 Valor do fluxo do primeiro 
grupo 
2000 <g> <CF j > 2.000,00 Valor do fluxo do 
segundo grupo 
2500 <g> <CF j > 2.500,00 Valor do fluxo do terceiro 
grupo 
<f> <IRR> 4,12 Taxa interna de retorno 
mensal (em %) 
100 < ÷> 1 <+> 1,04 1 + a taxa interna de 
retorno mensal (forma 
unitária) 
12 <y x > 1 <–> 100 <x> 62,33 Taxa interna de retorno 
anual (em %) 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
131 
 
Exemplo 05: A respeito de um projeto, os seguintes dados são conhecidos: 
 
Custo Inicial = R$30.000,00 
Valor Residual = R$5.000,00 
Vida Econômica = 10 anos 
Receita Anual = R$13.000,00 
Custo Operacional Anual = R$6.000,00 
 
Calcular a taxa interna de retorno (IRR) anual desse investimento. 
 
Resolvendo na HP 12C, tem-se: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
30000 <CHS> <g> <CF 0 
> 
-30.000,00 Investimento inicial 
7000 <g> <CF j > 7.000,00 Valor dos fluxos do 
primeiro grupo (receita 
líquida anual) 
9 <g> <N j > 9,00 Número de vezes que 
este valor se repete 
12000 <g> <CF j > 12.000,00 Valor do fluxo do 
segundo grupo 
<f> <IRR> 20,15 Taxa interna de retorno 
anual (em %) 
Ou ainda: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
30000 <CHS> <PV> -30.000,00 Custo inicial do 
investimento 
10 <n> 10,00 Vida econômica (em 
anos) 
7000 <PMT> 7.000,00 Receita líquida anual 
5000 <FV> 5.000,00 Valor residual 
<i> 20,15 Taxa interna de retorno 
anual (em %) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
132 
Exemplo 06: Um apartamento está sendo vendido por R$50.000,00 à vista ou, 
acertando 30% deste valor como entrada e o restante em cinco prestações mensais, 
iguais e sucessivas, no valor de R$3.000,00, seguidas de mais sete prestações 
mensais, iguais e sucessivas, de R$4.000,00. Calcular a taxa de juros implícita neste 
plano. 
Solução: Resolvendo diretamente na HP 12C, tem-se: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
50000 <ENTER> 50.000,00 Valor à vista do 
apartamento 
30 <%> <–> <CHS> <g> 
<CF 0 > 
35.000,00 Valor financiado 
3000 <g> <CF j > 3.000,00 Valor dos fluxos do primeiro 
grupo 
5 <g> <N j > 5,00 Número de vezes que este 
valor se repete 
4000 <g> < CF j > 4.000,00 Valor dos fluxos do segundo 
grupo 
7 <g> < N j > 7,00 Número de vezes que este 
valor se repete 
<f> <IRR> 3,11 Taxa de juros mensal (em 
%) 
 
 
Exemplo 07: Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de 
R$7.000,00, no momento inicial, e os seguintes benefícios esperados de caixa ao 
final dos 3 meses imediatamente posteriores: R$1.800,00, ao final do primeiro mês; 
R$2.500,00, ao final do segundo mês e R$3.000,00, ao final do terceiro mês. 
Calcular a rentabilidade (taxa de retorno) mensal dessa operação. 
 
Solução: Resolvendo diretamente na HP 12C, tem-se: 
 
 Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
7000 <CHS> <g> <CF 0 > -7.000,00 Valor aplicado 
1800 <g> < CF j > 1.800,00 Valor do fluxo do primeiro 
grupo 
2500 <g> < CF j > 2.500,00 Valor do fluxo do segundo 
grupo 
3000 <g> < CF j > 3.000,00 Valor do fluxo do terceiro 
grupo 
<f> <IRR> 1,96 Rentabilidade mensal (em 
%) 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
133 
UNIDADE 07 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE 
EMPRÉSTIMOS E FINANCICAMENTOS 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
 
• Apresentar os principais conceitos envolvendo os sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos; 
• Resolver sem grandes dificuldades problemas cotidianos envolvendo o 
Sistema de Amortização Constante (SAC); 
• Resolver sem grandes dificuldades problemas cotidianos envolvendo o 
Sistema de Amortização Francês (ou popularmente conhecido como Tabela 
Price). 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fator preponderante na 
decisão da implantação de um investimento como, por exemplo, a construção da 
casa própria, a aquisição de um equipamento industrial, a compra de um veículo, 
etc. A prazo ou à vista, é necessário que se tenha disponibilidade de recursos.Na 
falta destes, ou se forem insuficientes, deve-se recorrer a empréstimos. 
 Seguindo as práticas usuais, os empréstimos podem ser de curto, médio e 
longo prazo. 
 Os empréstimos de curto e médio prazos caracterizam-se, normalmente, 
por serem saldados em até 12 meses. Consistem em operações de crédito 
realizadas pela empresa, para suprir necessidades de capital de giro. 
 Os empréstimos de longo prazo (financiamentos), por existirem várias 
modalidades de restituição do principal e dos encargos financeiros, têm um 
tratamento especial. Essas operações de créditos têm suas condições previamente 
fixadas por contratos bilaterais entre a empresa e o órgão financiador (instituição 
financeira). 
 O valor desses empréstimos (o principal) deverá ser restituído à 
instituição financeira, acrescidos da sua remuneração (juros). Às formas de 
devolução do principal, mais os juros, chamamos de sistema de amortização9. É de 
nosso interesse estudar os principais tipos de sistemas de amortização praticados 
instituições bancárias ou instituições financeiras. 
 
9 Os empréstimos de longo prazo merecem tratamento especial, sendo que as maneiras mais comuns de 
quitação de divida (ou sistemas de amortização) são diferentes no sentido de como são obtidas as parcelas 
(podendo ser constantes, variáveis ou até únicas). 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
134 
 
2. CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 Para melhor entendimento desse capítulo, daremos os principais 
conceitos de uso corrente nas operações de empréstimos e financiamentos, a saber: 
 
a) CREDOR: aquele que concede o empréstimo ou financiamento; 
 
b) DEVEDOR ou MUTUÁRIO: aquele que recebe o empréstimo ou 
financiamento; 
 
c) TAXA DE JUROS: taxa contratada entre as partes; 
 
d) PRESTAÇÃO: soma da amortização, acrescida dos juros e outros 
encargos financeiros pagos em um dado período; 
 
e) AMORTIZAÇÃO: refere-se às parcelas de devolução do principal (capital 
emprestado); 
 
f) PRAZO DE AMORTIZAÇÃO: intervalo de tempo durante o qual serão 
pagas as amortizações; 
 
g) SALDO DEVEDOR: trata-se do estado da dívida (débito) em determinado 
estado de tempo; 
 
 
h) IOF: imposto sobre operações financeiras; 
 
i) PRAZO DE CARÊNCIA: corresponde ao período compreendido entre a 
primeira liberação do empréstimo ou financiamento e o pagamento da 
primeira amortização; 
 
j) PRAZO TOTAL: considera-se a soma do prazo de carência com o prazo 
de amortização; 
 
k) PLANILHA: quadro onde são colocados os valores referente ao 
empréstimo ou financiamento, constituído de várias colunas, que 
apresentam, após cada pagamento, a parcela de juros pagos, a 
amortização, a prestação, os encargos financeiros (IOF, aval, comissões, 
taxa de abertura de crédito, etc.) e o saldo devedor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
135 
3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
 
 Também chamado Sistema Hamburguês, foi amplamente utilizado pelo 
Sistema Financeiro de Habitação (SFH), a partir de 1971, que o adotou nos 
financiamentos de compra da casa própria. Atualmente, ele é muito usado para 
financiamentos de longo prazo. 
 No Sistema de Amortização Constante (SAC), as parcelas de 
amortização do principal são sempre iguais (ou constantes). O valor da 
amortização é calculado através da divisão do capital emprestado pelo número de 
amortizações. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de 
juros contratada pelo saldo devedor existente sobre o período anterior, assumindo 
valores decrescentes nos períodos. A prestação, a cada período, é igual à soma da 
amortização e dos encargos financeiros (juros, comissões, etc.), sendo periódica, 
sucessiva e decrescente em progressão aritmética, de razão igual ao produto da 
taxa de juros pela parcela de amortização. 
 
3.1. Montagem da Planilha 
 
 Serão utilizadas as seguintes etapas: 
 
Primeira etapa: O valor da amortização (A) é dado por 
 
A = 
n
PV
, ( I ) 
onde: 
 
PV = principal (valor do empréstimo ou do financiamento); 
n = número de amortizações. 
 
Segunda etapa: O saldo devedor de cada período t, (P t ), é dado por: 
 
P t = P 1−t – A = A x (n – t) ( II ) 
 
Terceira etapa: O valor dos juros de cada período t, (J t ), é dado por: 
J t = i x P 1−t , ( III ) 
onde: 
i = taxa de juros. 
 
Quarta etapa: O valor da prestação para cada período t, (PMT t ), é dado por: 
 
PMT t = A + J t ( IV ) 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
136 
 
Exemplo 01: Uma empresa solicita um empréstimo no valor de R$100.000,00, que o 
banco libera no ato da assinatura do contrato, pelo SAC. A taxa de juros cobrada 
pelo banco é 6% ao mês e o principal será amortizado em 5 parcelas mensais. 
Pede-se: 
 
a) Construir a planilha da operação de crédito; 
 
b) Calcular o custo efetivo (mensal) do empréstimo. 
 
Solução: De acordo com o Exemplo, temos que: 
 
PV = 100.000 UM; 
n = 5 meses; 
i = 6% ao mês = 0,06 ao mês 
 
a) Construção da planilha 
Vamos desenvolver as etapas descritas anteiormente: 
 
Primeira etapa: O cálculo da amortização mensal será feito pela fórmula (I). 
Sendo assim, temos que: 
A = 
5
000.100
 = 20.000 
 Logo, 
A = R$20.000,00/mês 
 
Segunda etapa: O saldo devedor, após o pagamento de cada prestação mensal, é 
dado pela fórmula (II). Desta maneira, temos que: 
 
� saldo devedor ao final do primeiro mês: P1 = 100.000 – 20.000 = 80.000; 
 
� saldo devedor ao final do segundo mês: P 2 = 80.000 – 20.000 = 60.000; 
 
� saldo devedor ao final do terceiro mês: P 3 = 60.000 – 20.000 = 40.000; 
 
� saldo devedor ao final do quarto mês: P 4 = 40.000 – 20.000 = 20.000; 
� saldo devedor ao final do quinto mês: P 5 = 20.000 – 20.000 = 0. 
 
Terceira etapa: O cálculo dos juros de cada mês é feito pela fórmula (III). Temos 
então que: 
 
� juros do primeiro mês: J 1 = 0,06 x 100.000 = 6.000; 
� juros do segundo mês: J 2 = 0,06 x 80.000 = 4.800; 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
137 
� juros do terceiro mês: J 3 = 0,06 x 60.000 = 3.600; 
 
� juros do quarto mês: J 4 = 0,06 x 40.000 = 2.400; 
 
� juros do quinto mês: J 5 = 0,06 x 20.000 = 1.200. 
 
Quarta etapa: O valor da prestação para cada mês é dado pela expressão (IV). 
Temos que: 
� prestação ao final do primeiro mês: PMT 1 = 20.000 + 6.000 = 26.0000; 
 
� prestação ao final do segundo mês: PMT 2 = 20.000 + 4.800 = 24.800; 
 
� prestação ao final do terceiro mês: PMT 3 = 20.000 + 3.600 = 23.600; 
 
� prestação ao final do quarto mês: PMT 4 = 20.000 + 2.400 = 22.400; 
 
� prestação ao final do quinto mês: PMT 5 = 20.000 + 1.200 = 21.200. 
 
 
 A partir destas informações podemos construir a planilha da operação de 
crédito como segue no Quadro 01 abaixo: 
 
 
Quadro 01: A planilha da operação de crédito. 
MÊS P i A J i PMT i 
0 100.000 
1 80.000 20.000 6.000 26.000 
2 60.000 20.000 4.800 24.800 
3 40.000 20.000 3.600 23.600 
4 20.000 20.000 2.400 22.400 
5 0 20.000 1.200 21.200 
TOTAL 100.000 18.000 118.000 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
138 
 
b) Uma vez construída a planilha da operação de crédito, calculamos o seu 
custo efetivo mensal. O fluxo de caixa do banco é dado abaixo: 
 
 
 
 
 
 O presente problema pode ser resolvido na HP 12C, calculando a taxa 
interna de retorno do fluxo de caixa acima: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
100000 <CHS> <g> 
<CF 0 > 
-100.000,00 Valor do Empréstimo 
26000 <g> <CF j > 26.000,00 Valor do primeiro 
pagamento 
24800 <g> <CF j > 24.800,00 Valor do segundo 
pagamento 
23600 <g> <CF j > 23.600,00 Valor do terceiro 
pagamento 
22400 <g> <CF j > 22.400,00 Valor do quarto 
pagamento 
21200 <g> <CF j > 21.200,00 Valor do quinto 
pagamento<f> <IRR> 6,00 Custo efetivo mensal 
(em %) 
 
 Desta forma, concluímos que o custo efetivo será de 6% ao mês, pois a 
empresa não paga qualquer outro encargo financeiro ao banco, apenas a taxa de 
juros de 6% ao mês. 
 
 
100.000 
24.800 
 
23.600 
22.400 
21.200 
1 2 3 4 5 (meses) 
26.000 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
139 
Exemplo 02: Utilizaremos o mesmo enunciado do exemplo anterior, considerando, 
porém, que o banco concedeu quatro meses de carência e os juros serão pagos 
mensalmente; a taxa de abertura de crédito, de 0,5% sobre o valor financiado, é 
paga no ato; o IOF de 3,5% sobre o valor do financiamento é também pago no ato. 
Pede-se: 
a) Construir a planilha do financiamento; 
b) Calcular o custo efetivo (anual) deste empréstimo. 
 
Solução: 
 
a) Usando os cálculos do exemplo anterior temos a planilha descrita no Quadro 
02 abaixo: 
Quadro 02: A planilha do Exemplo 02. 
MÊS P t A J t TAC IOF PMT t 
0 100.000 *500 **3.500 4.000 
1 100.000 6.000 6.000 
2 100.000 6.000 6.000 
3 100.000 6.000 6.000 
4 80.000 20.000 6.000 26.000 
5 60.000 20.000 4.800 24.800 
6 40.000 20.000 3.600 23.600 
7 20.000 20.000 2.400 22.400 
8 0 20.000 1.200 21.200 
TOTAL 100.000 36.000 500 3.500 140.000 
 
* Taxa de abertura de crédito = TAC = 0,5% de 100.000 = 500; 
** IOF = 3,5 DE 100.000 = 3.500. 
 
b) O fluxo de caixa do banco, para esta operação, é dado abaixo: 
 
 
 6.000 
 24.800 
23.600 
22.400 
21.200 
 1 2 3 4 5 6 7 8 (meses) 
100.000 
4.000 
 26.000 
0 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
140 
 O cálculo do custo efetivo do empréstimo é a taxa interna de retorno do 
fluxo de caixa acima. Resolvendo na HP 12C, temos que: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
100000 <ENTER> 4000 <– 
> 96000 <CHS> <g> 
<CF 0 > 
-96.000,00 Valor emprestado 
6000 <g> <CF j > 6.000,00 Valor dos fluxos do 
primeiro grupo 
3 <g> <N j > 3,00 Número de vezes que 
este valor se repete 
26000 <g> <CF j > 26.000,00 Valor do fluxo do 
segundo grupo 
24800 <g> <CF j > 24.800,00 Valor do fluxo do 
terceiro grupo 
23600 <g> <CF j > 23.600,00 Valor do fluxo do quarto 
grupo 
22400 <g> <CF j > 22.400,00 Valor do fluxo do quinto 
grupo 
21200 <g> <CF j > 21.200,00 Valor do fluxo do sexto 
grupo 
<f> <IRR> 6,84 Custo efetivo mensal 
(em %) 
100 < ÷ > 1 <+> 1,07 1 + a taxa mensal (forma 
unitária) 
12 <y x > 1 <–> 100 <x> 121,28 Custo efetivo anual (em 
%) 
 
 
Nos empréstimos realizados, na prática, é comum as 
instituições financeiras cobrarem o imposto sobre operações 
financeiras, aval, comissões, etc. Estes encargos adicionais 
aumentam a taxa de juros para o devedor, tornando 
indispensável o seu cálculo. 
 
Exemplo 03: Um banco empresta R$300.000,00 nas seguintes condições: 
 
a) Juros de 18% a.a., capitalizados semestralmente; 
b) Carência de um ano; 
c) Taxa de Abertura de Crédito (TAC) de 0,75% sobre o valor financiado, pago 
no ato; 
d) Comissão de 1% sobre o saldo devedor anual; 
e) IOF de 2,5% sobre o valor do financiamento, pago no ato; 
f) Amortizações semestrais constantes; 
g) Prazo total do financiamento 3 anos e 6 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
141 
Construir a planilha de financiamento e calcular o custo efetivo anual deste 
empréstimo. 
 
 
Solução: De acordo com o Exemplo, temos: 
 
PV = R$300.000,00 
i = 18% ao ano = 9% ao semestre (taxa efetiva semestral) 
carência = m = 1 ano = 2 semestres 
prazo total do financiamento = 3 anos e 6 meses = 7 semestres 
 
 
Obs: O Prazo Total do Financiamento (PTF) é dado por: 
 
PTF = n + m – 1, (V) 
onde: 
n = o número de amortizações 
m = prazo de carência 
 
Vamos considerar série de pagamentos com diferimento e termos antecipados. 
 
Logo, 
 
7 = n + m – 1 ou 7 = n + 2 – 1 ou n = 6 semestres 
 
O valor da amortização semestral será dado por: 
 
A = 
6
000.300
 = 50.000 
 
Desta maneira, temos a seguinte planilha: 
 
SEMESTRE P t A J TAC COM IOF PMT t 
0 300.000 2.250 7.500 9.750 
1 300.000 27.000 27.000 
2 250.000 50.000 27.000 2.500 79.500 
3 200.000 50.000 22.500 72.500 
4 150.000 50.000 18.000 1.500 69.500 
5 100.000 50.000 13.500 63.500 
6 50.000 50.000 9.000 500 59.500 
7 0 50.000 4.500 54.500 
TOTAL 300.000 121.500 2.250 4.500 7.500 435.750 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
142 
Alguns valores da planilha foram calculados como segue: 
 
TAC = 0,75%% de 300.000 = r$2.250,00 
 
Comissão: 
 
- Primeiro ano (segundo semestre) = 1% de R$250.000,00 = R$2.500,00 
 
- Segundo ano (quarto semestre) = 1% de R$150.000,00 = R$1.500,00 
 
- Terceiro ano (sexto semestre) = 1% de R$50.000,00 = R$500,00 
 
IOF = 2,5% de R$300.000,00 = R$7.500,00 
 
 
Agora, vamos elaborar o diagrama de fluxo de caixa na visão do banco 
(considerando múltiplos de 1000). Sendo assim, temos a seguinte representação 
gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 69,50 
 63,50 
 59,50 
 1 2 3 4 5 6 7 (semestres) 
 
 27 
54,50 
300 
 9,75 
0 
 79,50 
72,50 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
143 
Para calcularmos o custo efetivo do empréstimo na calculadora HP 12C devemos 
calcular a taxa interna de retorno de caixa como segue: 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
290.25 <CHS> <g> 
<CF 0 > 
-290,25 Valor do fluxo na data 
zero 
27 <g> <CF j > 27,00 Valor do primeiro 
pagamento 
79.5 <g> <CF j > 79,50 Valor do segundo 
pagamento 
72.50 <g> <CF j > 72,50 Valor do terceiro 
pagamento 
69.5 <g> <CF j > 69,50 Valor do quarto 
pagamento 
63.5 <g> <CF j > 63,50 Valor do quinto 
pagamento 
59.5 <g> <CF j > 59,50 Valor do sexto 
pagamento 
59.5 <g> <CF j > 59,50 Valor do sétimo 
pagamento 
<f> <IRR> 10,29 Custo efetivo semestral 
(em %) 
100 < ÷ > 1 <+> 1,10 1 + a taxa efetiva 
semestral (forma 
unitária) 
2 <y x > 1 <–> 100 <x> 21,64 Custo efetivo anual do 
empréstimo (em %) 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
144 
4. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (OU TABELA PRICE) 
 
 
 Este sistema também é conhecido pelos nomes “Sistema Price10” ou 
“Sistema de Prestação Constante” e é muito utilizado nas compras a prazo de 
bens de consumo (com crédito direto ao consumidor). 
 O sistema estipula que as prestações devem ser iguais, periódicas e 
sucessivas. 
 Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes e as 
parcelas de amortização assumem valores crescentes. A soma dessas duas 
parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. 
 Com o auxílio de sua calculadora HP 12C pode-se obter facilmente as 
parcelas de capital (amortização) e as de juros, correspondentes a cada prestação, o 
saldo devedor após cada pagamento, a soma das parcelas de juros consecutivas e 
o valor das amortizações acumuladas até certo período. 
 
 
 
O Sistema Price apresenta as seguintes características: 
 
a) quando a taxa de juros for anual, com pagamento mensal, 
semestral ou trimestral, usa-se a taxa proporcional ao 
período de pagamento; 
 
b) quando a taxa de juros for mensal, com pagamento 
semestral, trimestral ou anual, usa-se a taxa equivalente 
ao período de pagamento. 
 
 
 
Exemplo 04: Um empréstimo de R$70.000,00 deve ser liquidado em 5 prestações 
mensais, pelo Sistema Price, sendo que a primeira vence um mês após a data do 
contrato. A taxa de juros cobrada é de 36% ao ano. Calcular o valor das prestações, 
os valores das parcelas de amortizações, as parcelas de juros de cada prestação e o 
saldo devedor após cada pagamento e construir a planilha do empréstimo. 
 
Solução: Vamos usar a função amarela AMORT que permite o desdobramento das 
prestações iguais (PMT) em amortizações e juros. Com esta função, poderemoscalcular, também, o total de juros e amortizações entre duas prestações. Desta 
maneira, na calculadora HP 12C podemos resolver o Exemplo da seguinte forma: 
 
10 Sistema Price – normalmente os juros vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo, ao contrário 
da amortização, que vai aumentando. 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
145 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
70000 <CHS> <PV> 70.000,00 Valor emprestado 
5 <n> 5,00 Número de prestações 
mensais 
3 <i> 3,00 Taxa de juros mensal (usamos 
a taxa proporcional ao 
período) 
<PMT> 15.284,82 Valor das prestações mensais 
1 <f> <AMORT> 2.100,00 Juros referentes à primeira 
prestação 
<x <>y> 13.184,82 Amortização referente à 
primeira prestação 
RCL <PV> -56.815,18 Saldo devedor após o 
pagamento da primeira 
prestação 
1 <f> <AMORT> 1.704,46 Juros referentes à segunda 
prestação 
<x <>y> 13.580,36 Amortização referente à 
segunda prestação 
RCL <PV> -43.234,82 Saldo devedor após o 
pagamento da segunda 
prestação 
1 <f> <AMORT> 1.297,04 Juros referentes à terceira 
prestação 
<x <>y> 13.987,78 Amortização referente à 
terceira prestação 
RCL <PV> -29.247,04 Saldo devedor após o 
pagamento da terceira 
prestação 
1 <f> <AMORT> 877,41 Juros referentes à quarta 
prestação 
<x <>y> 14.407,41 Amortização referente à 
quarta prestação 
RCL <PV> -14.839,63 Saldo devedor após o 
pagamento da quarta 
prestação 
1 <f> <AMORT> 445,19 Juros referentes à quinta 
prestação 
<x <>y> 14.839,63 Amortização referente à quinta 
prestação 
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor após o 
pagamento da quarta 
prestação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
146 
De acordo com os cálculos acima, podemos construir a seguinte planilha do 
empréstimo: 
 
MÊS P t A J t PMT t 
0 70.000 
1 56.815,18 13.184,82 2.100 15.284,82 
2 43.234,82 13.580,36 1.704,46 15.284,82 
3 29.247,04 13.987,78 1.297,04 15.284,82 
4 14.839,63 14.407,41 877,41 15.284,82 
5 0,00 14.839,63 445,19 15.284,82 
TOTAL 70.000,00 6.424,10 76.424,10 
 
Obs: Os dados do Exemplo (PV, n e i) podem ser introduzidos em qualquer ordem. 
 
O fluxo de caixa na visão da instituição financeira é dado abaixo: 
 
 
 
 
Exemplo 05: Um empréstimo de R$90.000,00 deve ser liquidado em 4 prestações 
trimestrais, pelo Sistema Price, a uma taxa de juros de 3,5% ao mês. Elaborar a 
planilha do empréstimo. 
 
Solução: Os dados do Exemplo são os seguintes: 
PV = 90.000,00 
n = 4 trimestres 
i = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês 
 
 Além disso, da teoria sobre taxas sabemos que a taxa trimestral composta 
equivalente a 3,5% ao mês é dada por i t = 10,87% ao trimestre. 
 
70.000 
 15.284,82 
 0 1 2 3 4 5 (meses) 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
147 
 
 Resolvendo o Exemplo pela calculadora HP 12C (função amarela 
AMORT), temos que: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
90000 <CHS> <PV> -90.000,00 Valor emprestado 
4 <n> 4,00 Número de prestações 
trimestrais 
10.87 <i> 10,87 Taxa de juros trimestral 
(usamos a taxa 
equivalente composta) 
<PMT> 28.928,89 Valor das prestações 
trimestrais 
1 <f> <AMORT> 9.783,00 Juros referentes à 
primeira prestação 
<x <>y> 19.145,89 Amortização referente à 
primeira prestação 
RCL <PV> -70.854,11 Saldo devedor após o 
pagamento da primeira 
prestação 
1 <f> <AMORT> 7.701,84 Juros referentes à 
segunda prestação 
<x <>y> 21.227,05 Amortização referente à 
segunda prestação 
RCL <PV> -49.627,06 Saldo devedor após o 
pagamento da segunda 
prestação 
1 <f> <AMORT> 5.394,46 Juros referentes à 
terceira prestação 
<x <>y> 23.534,43 Amortização referente à 
terceira prestação 
RCL <PV> -26.092,62 Saldo devedor após o 
pagamento da terceira 
prestação 
1 <f> <AMORT> 2.836,27 Juros referentes à 
quarta prestação 
<x <>y> 26.902,62 Amortização referente à 
quarta prestação 
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
148 
Portanto, temos a seguinte planilha: 
 
TRIMESTRE P t A J t PMT t 
0 90.000 
1 70.854,11 19.145,89 9.783,00 28.928,89 
2 49.627,06 21.227,05 7.701,84 28.928,89 
3 26.092,62 23.534,43 5.394,46 28.928,89 
4 0,00 26.092,62 2.836,27 28.928,89 
TOTAL 90.000,00 25.715,57 115.715,57 
 
 
O fluxo de caixa da instituição financeira é: 
 
 
 
 
Exemplo 06: Um cliente financiou a compra de um eletrodoméstico em 6 prestações 
mensais, iguais e sucessivas, pelo Sistema Francês, vencendo a primeira prestação 
30 dias após a compra. Sabendo-se que o valor financiado é de R$650,00 e que a 
taxa de juros da loja é de 4,5% ao mês, calcular o valor da prestação mensal e 
construir a planilha da operação. 
 
Solução: Os dados do Exemplo são: 
PV = R$650,00 
n = 6 meses 
i = 4,5% ao mês 
PMT = ? 
 
 90.000 
 0 1 2 3 4 (trimestres) 
 
28.928,82 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
149 
Resolvendo na HP 12C, temos: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
650 <CHS> <PV> -650,00 Valor fianciado 
6 <n> 6,00 Número de prestações 
mensais 
4.5 <i> 4,50 Taxa de juros mensal 
<PMT> 126,02 Valor das prestações 
mensais 
 
 
Agora, vamos construir a planilha do financiamento através da função AMORT. 
 
 
MÊS P t A J t PMT t 
0 650,00 
1 -553,,23 96,77 29,25 126,02 
2 -452,10 101,13 24,90 126,02 
3 -346,43 105,68 20,34 126,02 
4 -236,00 110,43 15,59 126,02 
5 -120,59 115,40 10,62 126,02 
6 0,00 120,59 5,43 126,02 
TOTAL 650,00 106,13 756,13 
 
 
O fluxo de caixa da loja está representado logo abaixo: 
 
 
650 
 126,02 
0 1 2 3 4 5 6 (meses) 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
150 
Para calcularmos o custo efetivo mensal desta operação, procede-se da seguinte 
maneira: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
650 <CHS> <g> <CF 0 > -650,00 Valor financiado 
126.02 <g> <CF j > 126,02 Valor da prestação 
mensal 
6 <g> <N j > 6,00 Número de prestações 
mensais 
<f> <IRR> 4,50 Custo do empréstimo 
(em %) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
151 
5. APLICAÇÕES DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS NO SISTEMA 
FRANCÊS (OU TABELA PRICE) 
 
 
 Problemas sobre o cálculo do saldo devedor após o pagamento da 
prestação de ordem t, juros correspondentes à prestação de ordem t, amortização 
correspondente à prestação de ordem t, amortizações acumuladas até o período de 
ordem t, etc., podem ser resolvidos usando fórmulas matemáticas. 
 Resolvemos estes problemas utilizando basicamente as funções 
financeiras da calculadora, apesar de HP 12C possuir uma função específica para a 
solução de tais problemas. 
 
Exemplo 07: Consideremos os seguintes dados: 
Valor do Empréstimo: PV = 180.000,00 
Número de prestações mensais: n = 18 
Taxa Mensal de Juros: i = 3,5% ao mês 
Sistema de Amortização: Sistema Price 
Pede-se: 
 
a) Calcular o saldo devedor existente após o pagamento da décima segunda 
prestação, t = 12. 
 
Fórmula: 
P t = PMT x 
ixi
i
tn
tn
−
−
+
−+
)1(
1)1(
 para t = 1, 2, 3, 4, ..., n. 
 
A solução através da HP 12C, será obtida da seguinte maneira: 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
180000 <CHS> <PV> -180.000,00 Valor do empréstimo 
18 <n> 18,00 Número de prestações 
mensais 
3.5 <i> 3,50 Taxa mensal de juros 
<PMT> 13.647,03 Valor das prestações 
mensais 
18 <ENTER> 12 <–> 6,00 n – t 
<n> <PV> -72.718,93 Valor do saldo 
devedor do décimo 
segundo mês 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
152 
 
b) Calcular o valor da parcela de juros correspondente à nona prestação t = 9; 
 
 
Fórmula: 
J t = i x PMT x 
ixi
i
tn
tn
1
1
)1(
1)1(
+−
+−
+
−+
 para t = 1, 2,3, 4, ..., n. 
 
 
A solução através da HP 12C, será obtida da seguinte maneira: 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
13647.03 <CHS> 
<PMT> 
-13.647,03 Valor das prestações 
mensais 
3.5 <i> 3,50 Taxa mensal de juros 
10 <n> 10,00 n – t + 1 = 18 – 9 + 1 = 
10 
<PV> 113.496,97 Valor presente de 10 
prestações de 
13.647,04 
18 <ENTER> 12 <–> 6,00 n – t 
<RCL> <i> <%> 3.972,39 Valor da parcela de 
juros correspondente 
à nona prestação 
 
 
 
c) Calcular o valor da parcela de amortização correspondente à décima quinta 
prestação, t = 15; 
 
Fórmula: 
A t = A1 x (1 + i)
1−t para t = 1, 2, 3, 4, ..., n. 
onde 
A 1 = PMT – i x PV 
 
é o valor da primeira amortização. 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
153 
A solução através da HP 12C, será obtida da seguinte maneira: 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
180000 <ENTER> 180.000,00 Valor do empréstimo 
3.5 <%> 6.300,00 Valor dos juros da 
primeira prestação 
13647.03 <–> <CHS> 7.347,03 Parcela de 
amortização da 
primeira prestação 
1.035 <ENTER> 1,03 1 + taxa mensal de 
juros (forma unitária) 
14 <y x > <x> 11.892,60 Valor da amortização 
da décima quinta 
prestação 
 
 
d) Calcular a soma das parcelas correspondentes às oito primeiras 
amortizações; 
 
Fórmula: 
�
=
t
k
kA
1
= PMT x 
�
�
�
�
�
+
−+
−
+
−+
−
−
ixi
i
ixi
i
tn
tn
n
n
)1(
1)1(
)1(
1)1(
 
 
A solução através da HP 12C, será obtida da seguinte maneira: 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
13647.03 <CHS> 
<PMT> 
-13.647,03 Valor das prestações 
mensais 
3.5 <i> 3,50 Taxa mensal de juros 
18 <n> 18,00 Número de prestações 
mensais 
10 <n> <PV> 113.496,96 Valor das 
amortizações das 10 
últimas prestações (18 
– 8 = 10) 
<–> 66.503,03 Valor das 
amortizações 
correspondentes às 
oito primeiras 
prestações 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
154 
 
e) Calcular o total de juros acumulados até a oitava prestação. 
 
Fórmula: 
�
=
t
k
kJ
1
= t x PMT – �
=
t
k
kA
1
 
 
A solução através da HP 12C, será obtida da seguinte maneira: 
 
 
Teclas Visor Observação 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 
8 <ENTER> 8,00 Número de prestações 
mensais 
13647.03 <x> 109.176,24 Valor das prestações 
acumuladas 
66503,03 <–> 42.673,21 Total de juros 
acumulados até a 
oitava prestação 
 
 
 
 
 
 
 
 Guia de Estudo – MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
155 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
 
Bibliografia Básica: 
 
 
FARIA, R. G. de. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: McGraw-Hill, 
1993. 
HAZZAN, S. e POMPEU, J. N. Matemática Financeira. São Paulo: Atual. 1986. 
LAUREANO, J. L. e outros. Os Segredos da Matemática Financeira. São Paulo: 
Ática, 1987. 
 
 
 
 
Bibliografia Complementar: 
 
 
MATIAS, W. F. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1982. 
PUCCINI, A. de L. Matemática Financeira. Objetiva e Aplicada. Editora Saraiva, 
2000.