Exercicios_aula04_Eixo_Dim_Estatico

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São Carlos
Elementos de Máquina (SEM 0241) – FORTULAN CA (2023)
LISTA DE EXERCÍCIOS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS (SEM 0241)
Lista de exercícios – Aula 04 – Eixos pré-dimensionamento estático
Professor: Carlos Alberto Fortulan
Notas de Aulas v.2023
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LISTA DE EXERCÍCIOS
Passos para dimensionamento estático de eixos:
a) Elaboração de um modelo gráfico com as forças atuantes;
b) Determinação das reações de apoio e desenho dos Diagramas MNQ;
c) Esboço do eixo para planejamento, aqui se observa: o comprimento; escalonamentos;
apoios de: rolamentos, engrenagem, polias; rasgos de anéis elásticos;
d) Determinação do Momento Equivalente (Meq) para as seções de interesse;
e) Pré-dimensionamento das seções pelos seu momentos equivalentes, iniciando pela seção
de maior momento equivalente, a demais:
a) Analiticamente;
b) Planejamento: o escalonamento de diâmetro é necessário para posicionamento;
montagem; fabricação e manutenção; por algumas destas razões muitas vezes o
diâmetro será maior do que necessitaria devido às tensões atuantes. Então, é comum
que nas variações diametrais de apoio se tenha d1/d2 de 1,2 a 1,4, para rolamentos e
engrenagens respectivamente.
f) Elaborar esboço com as pré dimensões.
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Ex. 4.1 – Pré dimensione estaticamente a seção
submetida à tensão máxima de um eixo de aço
ABNT 1040 temperado e revenido a 650ºC que
está apoiado em mancais A e D. Duas polias são
unidas a ele por interferência, tendo a polia B 
4,0 in e a polia C  8,0 in.
Trace os diagramas Mf, Q e Mt e trace o círculo de
Mohr correspondente ao ponto mais crítico, e
determine as tensões principais e as direções em
que elas atuam e as desenhe no círculo de Mohr
Verifique os coeficientes de segurança segundo os
critérios de resistência de Von Misses, Tresca e
Normal.
Fonte: Adaptado de SHIGLEY, JE, Projeto de engenharia mecânica, Ed. Bookman, 7ed, 2005 . P148.
Utilize N=2,5
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b) Determinação das forças, das reações de apoio e desenho dos Diagramas MNQ;
x
Ray
600
Rdy
y
x
Raz
10
Rdz
z
1200
10 10
1010 10
Mf(lbf.in)
Q (lbf) 200
400
෍𝐹𝐴 = 0 → 𝑅𝑎𝑦 − 600 + 𝑅𝑑𝑦=0
෍𝑀𝐴 = 0 → 600.20 − 𝑅𝑑𝑦 . 30 = 0 → 𝑅𝑑𝑦 = 400𝑙𝑏𝑓
𝑅𝑎𝑦 = 200 𝐿𝑏𝑓
400.10=40002000
1600Mt(lbf.in)
8000
4000
a) Elaboração de um modelo gráfico com as forças atuantes;
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𝑀𝑓𝑟𝐵 = 𝑀𝑓𝑦
2 +𝑀𝑓𝑧
2 = 20002 + 80002 = 8246 𝐿𝑏𝑓. 𝑖𝑛
𝑀𝑓𝑟𝐶 = 40002 + 40002 = 5656 𝐿𝑏𝑓. 𝑖𝑛
d) Determinação do Momento Equivalente (Meq);
𝑑 = 2,17.
3
𝑁.
𝑀𝑒𝑞
𝜎𝑦
= 2,17.
3
2,5.
8361
63000
= 1,5"
𝑀𝑒𝑞 = 𝑀𝑓𝑟
2 +
3
4
𝑀𝑡
2 = 82462 +
3
4
16002 = 8361 𝐿𝑏𝑓. 𝑖𝑛
O momento máximo de flexão está no ponto B, a 
direita
e) Pré-dimensionamento da seção crítica: (Maior momento equivalente)
b c
c
d
c) Esboço do eixo para planejamento, aqui se observa: o comprimento; escalonamentos; apoios de: rolamentos, 
engrenagem, polias; rasgos de anéis elásticos;
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𝜎𝑥 =
𝑀𝑓𝑟
𝑊𝑓
=
8246
𝜋. 𝑑3
32
=
8246.32
𝜋. 1,53
= 24.887 𝑃𝑆𝐼
𝜏𝑥𝜁 =
𝑀𝑡
𝑊𝑓
=
1600
𝜋. 𝑑3
16
=
1600.16
𝜋. 1,53
= −2414 𝑃𝑆𝐼
Mt
𝜎1
𝜎𝐼𝐼
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜎𝐼,𝐼𝐼 =
𝜎𝑓
2
±
𝜎𝑓
2
2
+ 𝜏2 =
24887
2
± 12675 → +25119/−232𝑃𝑆𝐼
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎𝑓
2
2
+ 𝜏2 =
24887
2
2
+ 24142 = 12675 𝑃𝑆𝐼
𝑡𝑔 2𝛼 =
2. 𝜏
𝜎𝑓
=
2. (−2414)
24887
= 2𝛼 = −11º; 𝛼 = −5,5º
𝜎𝑉 = 𝜎𝑓
2
+ 3. 𝜏2 = 24887 2 + 3.24142 = 25236 𝑃𝑆𝐼 → 𝑁 = 2,496
N=2,508
𝜎𝑇 = 𝜎𝑓
2
+ 3. 𝜏2 = 24887 2 + 4.24142 = 25.351 𝑃𝑆𝐼 → 𝑁 = 2,485
f) Tensões e direções principais no ponto de máxima tensão na seção de máximo momento equivalente
b
𝜎1
𝜎𝐼𝐼
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K
K
K
K
Tensão 
normal
Tresca
I
II
Energia de
distorção
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E. 10
Ex. 4.2- O eixo representado na figura, está apoiado
em mancais nas extremidades (bloqueio em A) e
carrega uma engrenagem cilíndrica helicoidal que no
seu diâmetro primitivo (200mm) está submetidas aos
esforços e direções mostradas com reação de torque
em A. Trace os diagramas M, N e Q.
Faça um esboço do eixo e aplicando um aço AISI 1030,
temperado e revenido a 540ºC pré-dimensione o eixo
à partir da seção que contém o maior momento
equivalente.
Para o diâmetro adotado, determine o ponto de
máximo as tensão principal atuante e sua direção.
Fonte: Adaptado de SHIGLEY JE, Projeto de engenharia mecânica, Ed. Bookman, 7ed, p562, 2005. 
Alunos
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Fonte: POPOV EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. Amorelli MOC. Ed. Edgard Blücher, 1978. p.345 (adaptado)
Ex. 4.3– Pré Dimensione o eixo abaixo, pela seção mais de maior momento
equivalente para coeficiente de segurança igual a 2. Em cada roda são consumidos
10CV. Material SAE 1040 Revenido 650ºC.
1 CV = 0,9863 HP
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𝑀𝑓𝑟𝐵(𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎) = 𝑀𝑓𝑦
2 +𝑀𝑓𝑧
2 = 6712 + 4832 = 1084 𝑁.𝑚 𝑀𝑓𝑟𝐶(𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎) = 3352 + 9872 = 1042 𝑁.𝑚
d) Determinação do Momento Equivalente (Meq);
𝑀𝑒𝑞𝐵(𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎) = 𝑀𝑓𝑟
2 +
3
4
𝑀𝑡
2 = 10842 +
3
4
11212 = 1455 𝑁.𝑚
c
c) Esboço do eixo para planejamento, aqui se observa: o comprimento; escalonamentos; apoios de: rolamentos, 
engrenagens.
b
𝑀𝑒𝑞𝐶(𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎) = 𝑀𝑓𝑟
2 +
3
4
𝑀𝑡
2 = 10422 +
3
4
22422 = 2204 𝑁.𝑚
Seção de maior Momento Equivalente “C”;
𝑑 = 2,17.
3
𝑁.
𝑀𝑒𝑞
𝜎𝑦
= 2,17.
3
2,5.
2204
434.106
= 0,58𝑚 → 58mm
e) Pré-dimensionamento da seção crítica: (Maior momento equivalente)
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Ex 4.4 - No eixo mostrado estão montadas duas engrenagens cilíndricas de dentes
retos com ângulo de pressão de 20º. Trace os diagramas Mf, Q e Mt. Considerando
somente as tensões de flexão e torção e dimensione estaticamente (pré
dimensionamento dinâmico) as seções do eixo, determine a seção submetida à
tensão máxima e trace o círculo de Mohr no ponto de máxima tensão.
Shigley, J.P. Mechanical Engineering Design. 
3nd ed. International Student Edition. McGraw-
Hill. (1985) p345.
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Norton, pg605
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Norton, pg603
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Fr
Ft
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Ex4.5- Em continuidade ao exercício 4.4, faça um
esboço preliminar do eixo e identifique as seções
potencialmente críticas à falha por fadiga
(concentração de tensão). Aplique chavetas e anéis
elásticos nas engrenagens e anéis elásticos nos
rolamentos.
2570N.m
2971N.m
881,5N.m
4191,8N.m
3947N.m
5710N
6620N
1606N
1962N
9318N
13236N
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