Equação do Diodo e Método da Bisseção

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56 Cálculo Numérico
que a relação entre a corrente (Id) e a tensão (vd) no diodo é dada pela seguinte
expressão:
Id = IR
(
exp
(
vd
vt
)
− 1
)
, (3.22)
onde IR é a corrente de condução reversa e vt, a tensão térmica dada por vt = kT
q
com k, a constante de Boltzmann, T a temperatura de operação e q, a carga do
elétron. Aqui IR = 1pA = 10−12 A, T = 300 K. Escreva o problema como uma
equação na incógnita vd e, usando o método da bisseção, resolva este problema
com 3 algarismos significativos para os seguintes casos:
a) V = 30 V e R = 1 kΩ.
b) V = 3 V e R = 1 kΩ.
c) V = 3 V e R = 10 kΩ.
d) V = 300 mV e R = 1 kΩ.
e) V = −300 mV e R = 1 kΩ.
f) V = −30 V e R = 1 kΩ.
g) V = −30 V e R = 10 kΩ.
Dica: V = RId + vd.
E 3.2.9. (Propagação de erros) Obtenha os valores de Id no Problema 3.2.8.
Lembre que existem duas expressões disponíveis:
Id = IR
(
exp
(
vd
vt
)
− 1
)
(3.23)
e
Id = v − vd
R
(3.24)
Faça o estudo da propagação do erro e decida qual a melhor expressão em cada
caso.
3.3 Iteração de ponto fixo
Nesta seção, discutimos a abordagem da iteração do ponto fixo para a solu-
ção numérica de equações de uma variável real. Observamos que sempre podemos
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3.3. ITERAÇÃO DE PONTO FIXO 57
reescrever uma equação da forma f(x) = 0 (problema de encontrar os zeros de uma
função) em uma equação equivalente na forma g(x) = x (problema de ponto
fixo). Um ponto x = x∗ tal que g(x∗) = x∗ é chamado de ponto fixo da função
g(x). Geometricamente, um ponto fixo de uma função é um ponto de interseção
entre a reta y = x com o gráfico da função g(x) (veja Figura 3.3).
x
y
y = g(x)
y = x
x∗
x∗
Figura 3.3: Ponto fixo g(x∗) = x∗.
Exemplo 3.3.1. Resolver a equação ex = x+ 2 é equivalente a resolver f(x) = 0,
com f(x) = ex−x−2. Estes são equivalentes a resolver g(x) = x, com g(x) = ex−2,
isto é:
ex = x+ 2⇔ ex − x− 2 = 0⇔ ex − 2 = x (3.25)
Dada uma função g(x), a iteração do ponto fixo consiste em computar a
seguinte sequência recursiva:
x(n+1) = g(x(n)), n ≥ 1, (3.26)
onde x(1) é uma aproximação inicial do ponto fixo.
Exemplo 3.3.2 (Método babilônico). O método babilônico4 é de uma iteração de
ponto fixo para extrair a raiz quadrada de um número positivo A, isto é, resolver
a equação x2 = A.
Seja r > 0 uma aproximação para
√
A. Temos três possibilidades:
• r >
√
A =⇒ A
r
<
√
A =⇒
√
A ∈
(
A
r
, r
)
;
4Heron de Alexandria, 10 d.C. - 70 d.C., matemático grego.
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