C1 Nota de Aula 21 - 2023_2

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 21: Grá�cos.
Objetivo da Aula
� Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o grá�co de uma função.
1 Construção de Grá�cos
Separamos alguns exemplos de construção de grá�cos de funções utilizando o cálculo diferencial. Para
isso, em todos os exemplos seguiremos o seguinte roteiro.
(1) Domínio - veri�car sempre em que pontos a função está de�nida ou não está de�nida;
(2) Simetria - veri�car se a função é par ou ímpar. No caso de trabalharmos com funções periódicas,
determinar o período, caso exista.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais - Utilizar a primeira
derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e o teste da primeira derivada
para determinar os máximos e mínimos locais;
(4) Concavidade / Pontos de In�exão - Utilizar a segunda derivada para determinar a concavidade da
função e também os pontos de in�exão;
(5) Assíntotas - Utilizar os limites no in�nito para determinar a existência de assíntotas horizontais e
veri�car os pontos em que a função não está de�nida para determinar as assíntotas verticais;
(6) Raízes e Interseção com o eixo y - determinar as raízes da função e o ponto de interseção com o
eixo y, caso existam;
(7) Esboçar o grá�co.
Observação 1. Sempre que determinarmos os extremos relativos e os pontos de in�exão, se faz necessário
determinar o valor da função nesses pontos para que possamos representá-los no grá�co.
Exemplo 1. Esboce o grá�co da função f(x) = x3 − x2 − x+ 1.
Solução: Vamos seguir sempre o roteiro mencionado no início dessa seção.
(1) Domínio.
Como f é uma função polinomial, então Df = R.
(2) Simetria.
Note que
f(−x) = (−x)3 − (−x)2 − (−x) + 1 = −x3 − x2 + x+ 1.
Como f(−x) 6= f(x) e f(−x) = −f(x), então f não é par nem ímpar.
1
Universidade Federal do Pará
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(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais.
Vamos determinar a função f ′ e estudar o seu sinal. Desse modo,
f ′(x) = 3x2 − 2x− 1.
Agora, vamos determinar as raízes de f ′. Dessa forma, utilizando a fórmula de Bháskara, temos que
as raízes são x = 1 e x = −1
3
. Então, estudando o sinal da função f ′, temos o seguinte diagrama
Logo, f é crescente em
(
−∞,−1
3
)
∪ (1,+∞) e decrescente em
(
−1
3
, 1
)
.
Pelo teste da primeira derivada, −1
3
é máximo local e 1 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de In�exão.
Vamos determinar a função f ′′ e estudar o seu sinal. Sendo assim,
f ′′(x) = 6x− 2.
Logo, a raiz de f ′′ é x =
1
3
. Estudando o sinal de f ′′, temos o seguinte diagrama:
Logo, f tem concavidade para baixo em
(
−∞, 1
3
)
e para cima em
(
1
3
,+∞
)
.
Analisando a concavidade de f , podemos notar que x =
1
3
é um ponto de in�exão de f .
(5) Assíntotas.
Verticais. Como f está de�nido em R, então f não apresenta assíntotas verticais.
Horizontais. Para veri�car se existem assíntotas horizontais, devemos calcular os limites lim
x→+∞
f(x)
e lim
x→−∞
f(x). Assim,
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
(x3 − x2 − x+ 1) = lim
x→+∞
���
+∞
x3
��
���
���
���:1(
1− 1
x
− 1
x2
+
1
x3
)
= +∞
e
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
(x3 − x2 − x+ 1) = lim
x→−∞
���
−∞
x3
���
���
���
��:1(
1− 1
x
− 1
x2
+
1
x3
)
= −∞.
Portanto, f não apresenta assíntotas horizontais.
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(6) Raízes e Interseção com o eixo y.
Por inspeção, note que 1 é uma raiz de f(x). Se tratando de uma função polinomial, podemos utilizar
o Método de Briot-Ru�ni ou a divisão usual de polinômios para descobrir que x3 − x2 − x + 1 =
(x− 1)2(x+ 1). Logo, f(x) = (x− 1)2(x+ 1), e portanto, as raízes de f são −1 e 1 (note que 1 é
uma raiz dupla).
A interseção com o eixo y é feita fazendo x = 0 na expressão da função. Logo,
f(0) = 03 − 02 − 0 + 1 = 1.
Logo, o ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0, 1).
(7) Esboçar o grá�co.
Notemos primeiramente que
f
(
−1
3
)
=
32
27
, f(1) = 0, f
(
1
3
)
=
16
27
e f(−1) = 0.
Assim, o grá�co de f(x) = x3 − x2 − x+ 1 é dado por
�
Exemplo 2. Esboce o grá�co de f(x) = x4 − 2x2.
Solução:
(1) Domínio.
Note que Df = R.
(2) Simetria.
Observe que
f(−x) = (−x)4 − 2(−x)2 = x4 − 2x2 = f(x).
Então f é uma função par.
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(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais.
Calculando a primeira derivada, temos que
f ′(x) = 4x3 − 4x.
Calculando as raízes da primeira derivada, temos que
f ′(x) = 0 ⇒ 4x(x2 − 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = −1.
Estudando o sinal de f ′ podemos construir o seguinte diagrama e exibir os intervalos de crescimento
e descrescimento de f .
Então, f é decrescente em (−∞,−1)∪ (0, 1) e crescente em (−1, 0)∪ (1,∞). Utilizando o diagrama
acima, segue do teste da primeira derivada que −1 e 1 são mínimos locais e 0 é máximo local.
(4) Concavidade / Pontos de In�exão.
Para estudar a concavidade, devemos estudar o sinal da função f ′′. Sendo assim, note que
f ′′(x) = 12x2 − 4.
Logo
f ′′(x) = 0 ⇒ 12x2 − 4 = 0 ⇒ 4(3x2 − 1) ⇒ 4(
√
3x− 1)(
√
3x+ 1).
Sendo assim, as raízes são x = −
√
3
3
e x =
√
3
3
. Dessa forma, utilizando o diagrama abaixo, podemos
determinar a concavidade de f .
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Então, f possui concavidade para cima em
(
−∞,−
√
3
3
)
∪
(√
3
3
,+∞
)
e possui concavidade para
baixo em
(
−
√
3
3
,
√
3
3
)
. Utilizando o diagrama acima, podemos perceber que x = −
√
3
3
e x =
√
3
3
são pontos de in�exão de f .
(5) Assíntotas.
Verticais. Como o domínio de f é R, então não há assíntotas verticais.
Horizontais. Calculando os limites no in�nto, temos que
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
(x4 − 2x2) = lim
x→+∞
���
+∞
x4
�
��
�
��*
1(
1− 2
x2
)
= +∞
e
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
(x4 − 2x2) = lim
x→−∞
���
+∞
x4
��
�
��
�*1(
1− 2
x2
)
= +∞.
Então, não há assíntotas horizontais.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y.
Fazendo f(x) = 0, obtemos
x4 − 2x2 = 0 ⇒ x2(x2 − 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = −
√
2 ou x =
√
2.
Então as raízes são 0 (raiz dupla), −
√
2 e
√
2. Agora, fazendo
f(0) = 04 − 2 · 02 = 0,
notamos que a função intersecta o eixo y na origem.
(7) Esboçar o grá�co.
Primeiro notemos que
f(0) = 0, f(−
√
2) = f(
√
2) = 0, f(−1) = f(1) = −1 e f
(
−
√
3
3
)
= f
(√
3
3
)
= −5
9
.
Sendo assim, o grá�co de f(x) = x4 − 2x2 é dado por
�
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Exemplo 3. Esboce o grá�co da função f(x) = x · tg x, x ∈
(
−π
2
,
π
2
)
.
Solução:
(1) Domínio.
Note que Df =
(
−π
2
,
π
2
)
.
(2) Simetria.
Observe que
f(−x) = (−x) tg (−x) = −x · sen (−x)
cos(−x)
.
Como a função seno é ímpar e a função cosseno é par, temos que sen(−x) = − sen(x) e cos(−x) =
cos(x). Então,
f(−x) = −x · − sen x
cosx
= x · sen x
cosx
= x tg x = f(x).
Logo, f é uma função par. Note que f não é periódica.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais.
Calculando f ′, obtemos
f ′(x) = tg x+ x sec2 x.
Note que se f ′(x) = 0, então,
tg x+ x sec2 x = 0
sen x
cos x
+
x
cos2 x
= 0
sen x cos x+ x
cos2 x
= 0
sen x cos x+ x = 0 · cos2 x
1
2
sen 2x+ x = 0
sen 2x = −2x,
o que implica que x = 0. Sendo assim, para estudarmos o sinal de f ′, observamos que sec2 x > 0
para todo x ∈ Df , e que se x < 0 então, tg x < 0 e se x > 0 então tg x > 0, ou seja, se x < 0
então f ′(x) < 0 e se x > 0 então f ′(x) > 0. Portanto, temos o seguinte quadro:
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de In�exão.
Calculando f ′′, obtemos
f ′′(x) = sec2 x+ sec2 x+ 2x sec2 x tg x = 2 sec2 x (1 + x tg x) .
Note que para x ∈
(
−π2 ,
π
2
)
, temos que sec2 x 6= 0. Logo, para encontramos uma raiz de f ′′, temos
que encontrar uma raiz de 1 + x tg x. Mas note que para isso, devemos encontrar algum valor de x
tal que
1 + x tg x = 0 ⇒ x tg x = −1 ⇒ x · sen x
cosx
= −1.
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Agora, observe quese x > 0 então sen x > 0 e se x < 0 então sen x < 0. Logo o produto
x sen x > 0 e como cosx > 0 para x ∈ Df então x tg x > 0 no domínio que estamos considerando.
Então, f ′′ não possui raiz. E como 1 + x tg x > 0, temos o seguinte quadro:
(5) Assíntotas.
Em se tratando de assíntotas da função f(x) = x tg x, note que não faz sentido calcularmos os limites
no in�nito de uma função de�nida em um intervalo. Como nesse intervalo a função f é contínua,
então não há assíntotas em pontos de seu interior. Porém se faz necessário, estudar os limites nas
extremidades do intervalo, mesmo que elas não pertençam ao mesmo. Sendo assim, vamos calcular
os seguintes limites:
lim
x→−π
2
+
x tg x = lim
x→−π
2
+
x sen x
cosx
.
Como lim
x→−π
2
+
x sen x =
π
2
, lim
x→−π
2
+
cosx = 0 e cosx > 0 para valores a direita de −π
2
, temos que
lim
x→−π
2
+
x tg x = +∞.
Analogamente, temos que
lim
x→π
2
−
x tg x = +∞.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y.
Observe que a única raiz da função f(x) = x tg x é em x = 0, implicando que a interseção com o
eixo y é a origem.
(7) Esboçar o grá�co.
Logo, o grá�co de f(x) = x tg x é dado por
�
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Exemplo 4. Esboce o grá�co da função f(x) =
ex
x
.
Solução:
(1) Domínio.
Note que Df = R− {0}.
(2) Simetria.
Observe que
f(−x) = e
−x
−x
= −e
−x
x
.
Como f(−x) 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x), então f não é par nem ímpar.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais.
Calculando f ′, obtemos que
f ′(x) =
(ex)′x− ex(x)′
x2
=
ex(x− 1)
x2
.
Agora, observe que ex > 0 e x2 > 0 para todo x ∈ Df . Desse modo, para estudarmos o sinal de f ′
temos que estudar o sinal de x− 1. E, dessa forma, obtemos o seguinte quadro:
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 1 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de In�exão.
Calculando f ′′, obtemos
f ′′(x) =
[ex(x− 1)]′x2 − ex.(x− 1).2x
x4
=
ex(x2 − 2x+ 2)
x3
.
Observe que para x ∈ Df , temos ex > 0 e x2 − 2x+ 2 > 0. Logo, o termo que determina o sinal de
f ′′ é o x3. Mas lembre que x 6= 0. Logo, obtemos o seguinte quadro:
Observe que não há pontos de in�exão.
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(5) Assíntotas.
Verticais. Note que
lim
x→0+
ex
x
=
[
1
0
]
.
Como lim
x→0+
ex = 1, lim
x→0+
x = 0 e x > 0, logo,
lim
x→0+
ex
x
= +∞.
Analogamente, temos que
lim
x→0−
ex
x
= −∞.
Portanto, x = 0 é uma assíntota vertical.
Horizontais. Agora observe que
lim
x→+∞
ex
x
=
[
+∞
+∞
]
.
Pela Regra de l'Hôspital, temos que
lim
x→+∞
ex
x
= lim
x→+∞
=
ex
1
= +∞.
Agora, note que
lim
x→−∞
ex
x
= lim
x→−∞
ex · lim
x→−∞
1
x
= 0.
Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y.
Observe que f não possui raízes e não há interseção com o eixo y.
(7) Esboçar o grá�co.
Logo, o grá�co de f é dado por
�
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Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de�nições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.5 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.5 do livro texto.
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