Ejercicios resueltos y propuestos

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FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
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Introducción 
Me es grato presentar esta obra, en la cual mi máxima aspiración es el aprendizaje por parte de la 
juventud de esta ciencia tan bella como es la física. 
He tratado de realizar una adaptación de los problemas de física con la realidad nacional y mundial, de 
esta forma lograr un interés por parte del alumno que muchas veces se encuentra desentendido de esta 
ciencia por encontrarla separada de su realidad. 
El lenguaje para la resolución de los problemas es claro, pedagógico y tratando de mejorar el 
razonamiento del alumno en la resolución de problemas. 
Existe una evolución en la resolución de los ejercicios, empezando por los más sencillos y terminando 
en problemas tipo examen de ingreso a la universidad. Esto con el fin de que los primeros ejercicios 
sirvan como base a los últimos. 
 
Jimmy Christian Meruvia Maldonado. 
 
Prohibida su reproducción total o parcial. 
Agradecer a Dios sobre todas las cosas, a mi madre Carola Maldonado por su cariño y apoyo 
desinteresado, a mi padre, a Massiel Revollo y a todas las personas que directa e indirectamente 
me ayudaron en la elaboración de este libro. 
Esta obra está dedicada a la memoria de mi abuelo Fausto Maldonado a quien prometí escribir 
un libro y a Gabriel Meruvia Revollo a quien espero que en el futuro este libro le sirva para 
empezar a descubrir las maravillas que el señor nos ha regalado y de esta forma ser una mejor 
persona en busca de la evolución humana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
CAPÍTULO 1 
HISTORIA DE LA FÍSICA………………………………………………………………9 
 CAPÍTULO 2 
FACTORES DE CONVERSIÓN……………………………………………………..….12 
PROBLEMAS RESUELTOS………………………………………………………….…..14 
PROBLEMAS PROPUESTOS…………………………………………………………….18 
CAPÍTULO 3 
VECTORES…………………………………………………………………………..21 
SUMA Y RESTA GRÁFICA DE VECTORES…………………………………………..….23 
 
SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES………..………………………………..…26 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………………………………………28 
CAPÍTULO 4 
CINEMÁTICA 
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME……………………………………………..32 
 
PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………………….35 
 
GRÁFICOS M.R.U………………………………………………………………….50 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………………….53 
 
 
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CAPÍTULO 5 
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO………………….……..55 
PROBLEMAS RESUELTOS……………………………………………………...…..58 
GRÁFICOS M.R.U.A…………………………………………………….…..…...75 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………………………………..….83 
CAPÍTULO 6 
MOVIMIENTO VERTICAL……………………………………………………….…88 
PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………….…….91 
PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………………..109 
CAPÍTULO 7 
MOVIMIENTO PARABÓLICO………………………………………………………110 
PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………………..114 
PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………………..136 
CAPÍTULO 8 
MOVIMIENTO CIRCULAR…………………………………………………………140 
PROBLEMAS RESUELTOS…..………………………………………………………143 
PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………………..147 
CAPÍTULO 9 
ESTÁTICA Y DINÁMICA…………………………………………………………..155 
PROBLEMAS RESUELTOS ESTÁTICA………………………………………………..162 
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PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………………..166 
PROBLEMAS RESUELTOS DINÁMICA……………………………………………….169 
PROBLEMAS PROPUESTOS…………………………………………………………175 
DINÁMICA CON FUERZA DE ROZAMIENTO………………………………………..181 
DINÁMICA CIRCULAR…………………………………………………………....186 
FUERZAS COPLANARIAS PARALELAS (MOMENTO DE UNA FUERZA)………………….190 
EJERCICIOS RESUELTOS…………………………………………………………...191 
EJERCICIOS PROPUESTOS………………………………………………………...193 
CAPÍTULO 10 
TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA…………………………………………………..196 
PROBLEMAS RESUELTOS……………………………………………………..…….202 
PROBLEMAS PROPUESTOS…………………………………………………………206 
CAPÍTULO 11 
CANTIDAD DE MOVIMIENTO,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,216 
PROBLEMAS RESUELTOS…………………………………………………………….220 
PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………………….227 
CAPÍTULO 12 
APLICACIÓN DEL CÁLCULO EN LA CINEMÁTICA Y DINÁMICA……………………….235 
PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA……………………………………..……….236 
PROBLEMAS PROPUESTOS ………………………………………………………….242 
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PROBLEMAS RESUELTOS DINÁMICA………………………………………………...243 
PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………..………………………….,247 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desde la más remota antigüedad, las personas han tratado de comprender la naturaleza y los 
fenómenos que en ella se observan, como son, por ejemplo, el paso de las estaciones, el movimiento 
de los cuerpos y de los astros, los fenómenos climáticos, las propiedades de los materiales, etc. Las 
primeras explicaciones aparecen en la antigüedad, y se basaban en consideraciones puramente 
filosóficas, sin verificarse experimentalmente de forma rigurosa. Algunas interpretaciones, como la 
hecha por Ptolomeo de que la Tierra está en el centro del Universo, y alrededor de la cual giran los 
astros, perduraría durante muchos siglos. 
 
Galileo fue el pionero en el siglo XVI en el uso de experiencias para validar las teorías de la física. 
Galileo se interesó en el movimiento de los astros y de los cuerpos. Usando instrumentos como el 
plano inclinado, encontró la ley de la inercia de la dinámica, y con el telescopio, observó que Júpiter 
tenía satélites girando a su alrededor. En 1687, Newton publicó los Principios Matemáticos de la 
Naturaleza, en donde se describen dos teorías muy importantes de la física: las tres leyes de Newton 
sobre el movimiento, de la cual surge la mecánica clásica; y la ley de la gravitación de Newton. 
Ambas teorías concordaban bien con los experimentos. 
 
A partir del siglo 18, Boyle, Young, y muchos otros desarrollaron la termodinámica. En 1733, 
Bernoulli usó argumentos estadísticos junto con la mecánica clásica para extraer resultados de la 
termodinámica, iniciando la mecánica estadística. En 1798, Thompson demostró la conversión del 
trabajo mecánico en calor, y en 1847 Joule formuló la ley de conservación de la energía. 
 
Faraday, Ohm, y otros estudiaron los fenómenos relacionados con la electricidad y el magnetismo. En 
1855, Maxwell unificó ambos fenómenos en una sola teoría del electromagnetismo, que se basa en las 
ecuaciones de Maxwell. Una de las predicciones de esta teoría era que la luz es una onda 
electromagnética. 
 
En 1895, Roentgen descubrió los rayos X, que resultaron ser ondas electromagnéticas de frecuencias 
muy altas. Henri Becquerel descubrió las radioactividad en 1896, campo que se desarrolló con el 
trabajo posterior de Pierre Curie y Marie Curie y otros. Con esto empezó la física nuclear. 
 
En 1897, Thomson descubrió el electrón, la partícula elemental que transporta la corriente en los 
circuitos eléctricos. En 1904, propuso el primer modelo del átomo. 
 
En 1905, Einstein formuló la teoría de la relatividad especial,en la cual el espacio y el tiempo se 
http://www.buscator.com/enc/ptolomeo.html
http://www.buscator.com/enc/tierra.html
http://www.buscator.com/enc/universo.html
http://www.buscator.com/enc/galileo.html
http://www.buscator.com/enc/plano_inclinado.html
http://www.buscator.com/enc/ley_de_la_inercia.html
http://www.buscator.com/enc/dinamica.html
http://www.buscator.com/enc/telescopio.html
http://www.buscator.com/enc/jupiter.html
http://www.buscator.com/enc/1687.html
http://www.buscator.com/enc/newton.html
http://www.buscator.com/enc/principios_matematicos_de_la_naturaleza.html
http://www.buscator.com/enc/principios_matematicos_de_la_naturaleza.html
http://www.buscator.com/enc/las_tres_leyes_de_newton_sobre_el_movimiento.html
http://www.buscator.com/enc/las_tres_leyes_de_newton_sobre_el_movimiento.html
http://www.buscator.com/enc/mecanica_clasica.html
http://www.buscator.com/enc/la_ley_de_la_gravitacion_de_newton.html
http://www.buscator.com/enc/siglo_18.html
http://www.buscator.com/enc/boyle.html
http://www.buscator.com/enc/young.html
http://www.buscator.com/enc/termodinamica.html
http://www.buscator.com/enc/1733.html
http://www.buscator.com/enc/bernoulli.html
http://www.buscator.com/enc/mecanica_estadistica.html
http://www.buscator.com/enc/1798.html
http://www.buscator.com/enc/thompson.html
http://www.buscator.com/enc/1847.html
http://www.buscator.com/enc/joule.html
http://www.buscator.com/enc/energia.html
http://www.buscator.com/enc/faraday.html
http://www.buscator.com/enc/ohm.html
http://www.buscator.com/enc/electricidad.html
http://www.buscator.com/enc/magnetismo.html
http://www.buscator.com/enc/1855.html
http://www.buscator.com/enc/maxwell.html
http://www.buscator.com/enc/electromagnetismo.html
http://www.buscator.com/enc/ecuaciones_de_maxwell.html
http://www.buscator.com/enc/luz.html
http://www.buscator.com/enc/onda_electromagnetica.html
http://www.buscator.com/enc/onda_electromagnetica.html
http://www.buscator.com/enc/1895.html
http://www.buscator.com/enc/roentgen.html
http://www.buscator.com/enc/rayos_x.html
http://www.buscator.com/enc/henri_becquerel.html
http://www.buscator.com/enc/radioactividad.html
http://www.buscator.com/enc/1896.html
http://www.buscator.com/enc/pierre_curie.html
http://www.buscator.com/enc/marie_curie.html
http://www.buscator.com/enc/fisica_nuclear.html
http://www.buscator.com/enc/1897.html
http://www.buscator.com/enc/thomson.html
http://www.buscator.com/enc/electron.html
http://www.buscator.com/enc/1904.html
http://www.buscator.com/enc/atomo.html
http://www.buscator.com/enc/1905.html
http://www.buscator.com/enc/relatividad_especial.html
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unifican en una sola entidad, el espacio-tiempo. La relatividad formula unas ecuaciones diferentes 
para la transformación de movimientos cuando se observan desde distintos sistemas de referencia 
inerciales a aquellas dadas por la mecánica clásica. Ambas teorías coinciden a velocidades (relativas) 
pequeñas. En 1915, Einstein extendió la teoría especial de la relatividad para explicar la gravedad en 
la teoría general de la relatividad, la cual sustituye a la ley de la gravitación de Newton. 
 
En 1911, Rutherford dedujo la existencia de un núcleo atómico cargado positivamente a partir de 
experiencias de dispersión de partículas. A los componentes de carga positiva de este núcleo se les 
llamó protones. Los neutrones, que también forman parte del núcleo pero no poseen carga eléctrica, 
los descubrió Chadwick en 1932. 
 
Al comienzo de 1900, Planck, Einstein, Bohr, y otros desarrollaron la teoría cuántica a fin de explicar 
resultados experimentales anómalos sobre la radiación de los cuerpos. En esta teoría, los niveles 
posibles de energía pasan a ser discretos. En 1925, Heisenberg y en 1926, Schrödinger y Dirac 
formularon la mecánica cuántica, en la cual explican las teorías cuánticas precedentes. En la mecánica 
cuántica, los resultados de las medidas físicas son probabilísticos; la teoría cuántica describe el cálculo 
de estas probabilidades. 
 
La mecánica cuántica suministró las herramientas teóricas para la física de la materia condensada, la 
cual estudia el comportamiento de los sólidos y los líquidos, incluyendo fenómenos tales como la 
estructura cristalina, semiconductividad y superconductividad. Entre los pioneros de la física de la 
materia condensada se incluye Bloch, el cual desarrolló una descripción mecano-cuántica del 
comportamiento de los electrones en las estructuras cristalinas en 1928. 
 
La teoría cuántica de campos se formuló para extender la mecánica cuántica de manera consistente 
con la teoría especial de la relatividad. Alcanzó su forma moderna a finales de la década de 1940 
gracias al trabajo de Feynman, Schwinger, Tomonaga, y Dyson. Ellos formularon la teoría de la 
electrodinámica cuántica, en la cual se describe la interacción electromagnética. 
 
La teoría cuántica de campos suministró las bases para el desarrollo de la física de partículas, la cual 
estudia las fuerzas fundamentales y las partículas elementales. En 1954, Yang y Mills desarrollaron 
las bases del modelo estándar. Este modelo se completó en 1970, y con el se describe casi todas las 
partículas elementales observadas. 
La ''Física'' (del griego ''phisis'', la naturaleza) es la ciencia de la naturaleza en el sentido más amplio. 
Los físicos estudian las propiedades de la materia, la energía, el tiempo, el espacio y las interacciones 
entre ellos. Las leyes de la física se expresan generalmente como fórmulas matemáticas que se deducen 
a partir de las observaciones y medidas de fenómenos en la naturaleza usando el método científico. 
Campos de la Física: 
- La mecánica (Cinemática, estática y dinámica) 
- Electrostática y electrodinámica 
- Magnetismo y electromagnetismo 
- La mecánica de fluidos (Hidrostática e hidrodinámica) 
- Física óptica 
- La mecánica cuántica 
- Física nuclear 
http://www.buscator.com/enc/espaciotiempo.html
http://www.buscator.com/enc/1915.html
http://www.buscator.com/enc/teoria_general_de_la_relatividad.html
http://www.buscator.com/enc/1911.html
http://www.buscator.com/enc/rutherford.html
http://www.buscator.com/enc/proton.html
http://www.buscator.com/enc/neutrones.html
http://www.buscator.com/enc/chadwick.html
http://www.buscator.com/enc/1932.html
http://www.buscator.com/enc/1900.html
http://www.buscator.com/enc/planck.html
http://www.buscator.com/enc/einstein.html
http://www.buscator.com/enc/bohr.html
http://www.buscator.com/enc/cuantica.html
http://www.buscator.com/enc/1925.html
http://www.buscator.com/enc/heisenberg.html
http://www.buscator.com/enc/1926.html
http://www.buscator.com/enc/schrdinger.html
http://www.buscator.com/enc/dirac.html
http://www.buscator.com/enc/mecanica_cuantica.html
http://www.buscator.com/enc/probabilisticos.html
http://www.buscator.com/enc/fisica_de_la_materia_condensada.html
http://www.buscator.com/enc/estructura_cristalina.html
http://www.buscator.com/enc/semiconductividad.html
http://www.buscator.com/enc/superconductividad.html
http://www.buscator.com/enc/bloch.html
http://www.buscator.com/enc/1928.html
http://www.buscator.com/enc/teoria_cuantica_de_campos.html
http://www.buscator.com/enc/1940s.html
http://www.buscator.com/enc/feynman.html
http://www.buscator.com/enc/schwinger.html
http://www.buscator.com/enc/tomonaga.html
http://www.buscator.com/enc/dyson.html
http://www.buscator.com/enc/electrodinamica_cuantica.html
http://www.buscator.com/enc/fisica_de_particulas.html
http://www.buscator.com/enc/1954.html
http://www.buscator.com/enc/yang.html
http://www.buscator.com/enc/mills.html
http://www.buscator.com/enc/modelo_estandar.html
http://www.buscator.com/enc/anos_1970.html
http://www.buscator.com/enc/griego.html
http://www.buscator.com/enc/naturaleza.html
http://www.buscator.com/enc/ciencia.html
http://www.buscator.com/enc/materia.html
http://www.buscator.com/enc/energia.html
http://www.buscator.com/enc/tiempo.htmlhttp://www.buscator.com/enc/espacio.html
http://www.buscator.com/enc/matematicas.html
http://www.buscator.com/enc/metodo_cientifico.html
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- 
 
LA MECÁNICA
CINEMÁTICA ESTÁTICA DINÁMICA
 
 
 
Fuerzas fundamentales del universo: 
Interacción gravitatoria - Interacción electromagnética - Interacción nuclear débil -Interacción nuclear 
fuerte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.buscator.com/enc/fuerzas_fundamentales.html
http://www.buscator.com/enc/interaccion_gravitatoria.html
http://www.buscator.com/enc/interaccion_electromagnetica.html
http://www.buscator.com/enc/interaccion_nuclear_debil.html
http://www.buscator.com/enc/interaccion_nuclear_fuerte.html
http://www.buscator.com/enc/interaccion_nuclear_fuerte.html
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Las unidades de medidas son diversas en todo el mundo, por ejemplo en Inglaterra, Estados Unidos y 
otros países, las medidas de longitud son distintas, es normal que allí al preguntar sobre la medida de 
algún objeto la respuesta sea dada en pulgadas o pies. Lo cual para nuestro ámbito resulta algo extraño. 
 
En nuestra región existen medidas que podrían resultar extrañas en otros lugares, un ejemplo claro es 
que cuando se compra algún producto, se lo puede hacer por quintales, cuartilla, arroba o kilos. O 
incluso medidas de área que generalmente deberían estar expresadas en hectáreas o metros cuadrados, 
en algunas partes de nuestro territorio se lo hace por arrobas, chalamancas, etc. 
 
Si viajamos a otros países y para que nos confeccionen un traje, el sastre nos pide que compremos 7 pies 
de tela ¿a cuantos metros equivalen? Este dilema también ocurría entre países, al realizar intercambio de 
mercancía, el intercambio de resultados de investigaciones científicas, etc. 
 
Es por esto que se trata con el sistema internacional, estandarizar una medida que sean válidas para todo 
el mundo. 
 
 
El sistema internacional de medidas (SI.) 
Unidades básicas. 
Magnitud Nombre Símbolo 
Longitud metro m 
Masa kilogramo kg 
Tiempo segundo s 
Intensidad de corriente eléctrica ampere A 
Temperatura termodinámica kelvin K 
Cantidad de sustancia mol mol 
Intensidad luminosa candela cd 
 
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Unidad de longitud: 
metro (m) 
 
 
 
 
El metro es la longitud de trayecto 
recorrido en el vacío por la luz durante un 
tiempo de 1/299 792 458 de segundo. 
 
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del 
prototipo internacional del kilogramo 
 
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 
770 periodos de la radiación 
correspondiente a la transición entre los dos 
niveles hiperfinos del estado fundamental 
del átomo de cesio 133. 
 
Unidad de 
intensidad de 
corriente eléctrica 
El ampere (A) es la intensidad de una 
corriente constante que manteniéndose en 
dos conductores paralelos, rectilíneos, de 
longitud infinita, de sección circular 
despreciable y situados a una distancia de 
un metro uno de otro en el vacío, produciría 
una fuerza igual a 2.10-7 newton por metro 
de longitud. 
 
Unidad de 
temperatura 
termodinámica 
El kelvin (K), unidad de temperatura 
termodinámica, es la fracción 1/273,16 de 
la temperatura termodinámica del punto 
triple del agua. 
Observación: Además de la temperatura 
termodinámica (símbolo T) expresada en 
kelvins, se utiliza también la temperatura 
Celsius (símbolo t) definida por la 
ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K 
por definición. 
 
Unidad de cantidad 
de sustancia 
El mol (mol) es la cantidad de sustancia de 
un sistema que contiene tantas entidades 
elementales como átomos hay en 0,012 
kilogramos de carbono 12. 
 
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Cuando se emplee el mol, deben 
especificarse las unidades elementales, que 
pueden ser átomos, moléculas, iones, 
electrones u otras partículas o grupos 
especificados de tales partículas. 
 
Unidad de 
intensidad luminosa 
La candela (cd) es la unidad luminosa, en 
una dirección dada, de una fuente que emite 
una radiación monocromática de frecuencia 
540 1012 hertz y cuya intensidad energética 
en dicha dirección es 1/683 watt por 
estereorradián. 
 
FACTORES DE CONVERSIÓN EN LA CINEMÁTICA 
 
Para el capítulo del M.R.U. y posteriores es necesario poder realizar cualquier conversión de unidades, 
es por esto la gran importancia de los factores de conversión. 
 
MEDIDAS DE LONGITUD 
 
Medida Simbología 
Metro [m] 
Decímetro [dm] 
Centímetro [cm] 
Milímetro [mm] 
Kilómetro [km] 
Pulgada [pul] 
Pié [pie] 
Yarda [yrd] 
Milla [mill] 
1 metro [m] = 10 decímetros [dm] 
1 metro [m] = 100 centímetros [cm] 
1 metro [m] = 1000 milímetros [mm] 
1 kilómetro [km] = 1000 metros [m] 
1 pulgada [pul] = 2,54 centímetros [cm] 
1 pié [píe] = 12 pulgadas [pul] 
1 milla [mill] = 1609 metros [m] 
1 milla naútica = 1853 metros 
1 yarda = 0,9144 metros 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Convertir: 
 
1) 3 Kilómetros a metros 
 
- 3 Kilómetros son 3000 metros. 
 
2) 1500 metros a kilómetros 
km
m
Km
m 5,1
1000
1
1500 = 
- 1500 metros son 1,5 Kilómetros. 
 
3) 15 pulgadas a pies 
piés
pul
pié
pul 25,1
12
1
15 = 
- 15 pulgadas son 1,25 pies. 
 
4) 8 pulgadas a centímetros 
cm
pul
cm
pul 32,20
1
54,2
8 = 
- 8 pulgadas son 20,32 cm. 
 
5) 23 centímetros a pulgadas 
pul
cm
pul
cm 05,9
54,2
1
23 = 
- 23 centímetros equivalen a 9,05 pulgadas. 
 
6) 5 kilómetros a millas 
millas
m
milla
Km
m
Km 7,2
1852
10005
1852
1
1
1000
5 =

= 
 
7) 4 millas a kilómetros 
Km
m
Km
milla
m
millas 41,7
1000
1
1
1852
4 = 
 
8) 0,5 kilómetros a centímetros 
cm
m
cm
Km
m
Km 50000
1
100
1
1000
5,0 = 
 
9) 70 pulgadas a metros 
m
cm
m
pul
cm
pul 77,1
100
1
1
54,2
70 =
 
 
 
 
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10) 3 pies a metros 
 
m
cm
m
pul
cm
pie
pul
pies 91,0
100
44,91
100
1
1
54,2
1
12
3 == 
 
MEDIDAS DE TIEMPO 
 
Medida Simbología 
Segundo [s] 
Minuto [min] 
Hora [hr] 
Día [día] 
Semana [semana] 
Mes [mes] 
Año [año] 
 
1 año = 12 meses = 365 días 
1 mes = 30 días 
1 día = 24 horas 
1 hora = 60 minutos = 3600 segundo 
1 minuto = 60 segundos 
 
Convertir: 
1) 3 minutos a segundos 
s
s
180
min1
60
min3 = 
- 3 minutos son 180 segundos. 
 
2) 150 segundos a minutos 
min5,2
60
min1
150 =
s
s 
- 150 segundos son 2,5 minutos. 
 
3) 200 minutos a horas 
hrs
hr
33,3
min60
1
min200 = 
- 200 minutos son 3,33 horas. 
 
4) 0,2 horas a segundos 
s
s
hr
hrs 720
min1
60
1
min60
2,0 = 
- 0,2 horas son 720 segundos. 
 
5) 1500 segundos a horas 
hrs
hr
s
s 42,0
3600
1500
min60
1
60
min1
1500 == 
- 1500 segundos son 0,42 horas. 
 
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6) 2 meses a horas 
hrs
día
hrs
mes
días
meses 1440
1
24
1
30
2 = 
 
7) 70 horas a días 
días
hrs
día
hrs 92,2
24
1
70 = 
 
8) 2 años a segundos 
s
hr
s
día
hrs
año
días
años 7103,663072000
1
3600
1
24
1
365
2 ==
 
 
9) 1,5 siglos a meses. 
 
meses
año
meses
siglo
años
siglos 1800
1
12
1
100
5,1 = 
 
10) 500 meses a milenios. 
 
milenios
años
milenio
meses
año
meses 042,0
1000
1
12
1
500 = 
 
 
 
MEDIDAS DEVELOCIDAD 
 
Medida Simbología 
Metro por segundo [m/s],






s
m 
Centímetro por segundo [cm/s], 






s
cm 
Kilómetro por hora [Km/hr], 






hr
km 
Pulgada por segundo [pul/s], 






s
pul 
Milla por hora [mill/hr], 






hr
mill 
 
 
1 nudo = 0,51479 m/s 
 
Convertir: 
 
1) 30 [m/s] a [Km/hr] 
hr
Km
hr
s
m
Km
s
m
108
1000
360030
1
3600
1000
1
30 =

= 
- 30 [m/s] son 108 [Km/hr] 
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18 
 
 
 
2) 10 [Km/hr] a [m/s] 
s
m
s
hr
km
m
hr
Km
77,2
3600
1
1
1000
10 = 
- 10 [Km/hr] son 2,77 [m/s] 
 
 
3) 80 [cm/s] a [m/s] 
s
m
cm
m
s
cm
8,0
100
1
80 = 
- 80 [cm/s] equivalen a 0,8 [m/s] 
 
4) 200 [cm/s] a [Km/hr] 
Hr
Km
Hr
s
m
Km
cm
m
s
cm
2,7
1000100
3600200
1
3600
1000
1
100
1
200 =


= 
 
5) 4 [pul/s] a [m/s] 
s
m
cm
m
pul
cm
s
pul
1,0
100
1
1
54,2
4 = 
 
6) 120 [pul/s] a [Km/hr] 
hr
Km
hr
s
m
Km
cm
m
pul
cm
s
pul
97.10
1
3600
1000
1
100
1
1
54,2
120 = 
 
7) 15 [mill/hr] a [Km/hr] 
hr
Km
m
Km
mill
m
hr
mill
78,27
1000
1
1
1852
15 = 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
Convertir: 
Longitud 
1) 8 Kilómetros a metros 
2) 3 kilómetros a metros 
3) 2500 metros a kilómetros 
3) 850 metros a kilómetros 
4) 550 centímetros a metros 
5) 520 centímetros a metros 
6) 5,5 pulgadas a pies 
7) 3 pies a pulgadas 
8) 19 pulgadas a centímetros 
9) 21 centímetros a pulgadas 
10) 5,81 kilómetros a millas 
11) 4,78 millas a kilómetros 
12) 0,65 kilómetros a centímetros 
13) 89 pulgadas a metros 
14) 0,05 millas a centímetros 
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19 
 
 
15) 6 pies a metros 
16) 14 metros a pies 
17) 3 yardas a metros 
18) 22.75 metros a yardas 
19) 700 metros a kilómetros 
20) 150 centímetros a metros 
21) 50 centímetros a metros 
22) 3,5 pies a pulgadas 
 
Tiempo 
23) 6,5 minutos a segundos 
24) 200 segundos a minutos 
25) 40 minutos a horas 
26) 2,5 horas a minutos 
27) 0,1 horas a segundos 
28) 7200 segundos a horas 
29) 2,2 meses a horas 
30) 20 horas a días 
31) 5,5 días a horas 
32) 10 años a meses 
33) 36 meses a años 
34) 8 años a horas 
 
Velocidad 
35) 30 [m/s] a [Km/hr] 
36) 100 [m/s] a [Km/hr] 
37) 10 [Km/hr] a [m/s] 
38) 60 [Km/hr] a [m/s] 
39) 80 [cm/s] a [m/s] 
40) 200 [cm/s] a [Km/hr] 
41) 4 [pul/s] a [m/s] 
42) 12 [pul/s] a [Km/hr] 
43) 30 [m/s] a [pul/s] 
44) 100 [Km/hr] a [mill/hr] 
45) 40 [mill/hr] a [Km/hr] 
46) 5 [mill/hr] a [m/s] 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
20 
 
 
 
 
Las Matemáticas constituyen la más trascendental herramienta de la Ciencia, hasta el punto que sin los 
importantes avances matemáticos habidos durante los últimos siglos no podríamos comprender la 
Ciencia actual ni, evidentemente, sus aplicaciones técnicas; podemos decir que Ciencia y Matemáticas 
caminan de la mano a lo largo de la historia. 
Dentro de las Matemáticas, el álgebra vectorial, los vectores, son uno de los campos con más 
aplicaciones físicas: desde la cinemática hasta la mecánica cuántica, casi todas las ramas de la Física 
emplean vectores. 
Para Gibbs, un vector en el espacio se considera como un segmento de recta dirigido, o flecha. Gibbs 
dio las definiciones de igualdad, suma y multiplicación de vectores. No debe perderse de vista el hecho 
de que gran parte de las matemáticas modernas se desarrollaron con el propósito de resolver problemas 
reales. Así ocurrió con Gibbs y otros matemáticos respecto de los vectores. 
 
 
 
. 
J. W. Gibbs (1839-1903)
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
21 
 
 
 
Objetivos del capítulo.-El alumno luego de este capítulo será capaz de: 
Definir conceptos teóricos relacionados al tema. 
Graficar vectores polares y cartesianos. 
Conversiones de polar a cartesiano y viceversa. 
Realizar operaciones de suma y resta entre vectores gráfica y analíticamente. 
Introducción.-Como ya se menciono, los vectores son sin duda, una base para casi todos los 
campos de la física. 
En este capítulo se estudiarán los tipos de vectores existentes, su aplicación y las operaciones 
fundamentales entre vectores. 
Definición de vectores.- Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector 
posee unas características que son: 
Origen 
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. 
Módulo 
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del 
vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su 
extremo. 
Dirección 
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. 
Sentido 
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado 
de la línea de acción se dirige el vector. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
22 
 
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un 
origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto 
cualquiera con exactitud. 
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas 
Cartesianas. 
Magnitud escalar.- Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan 
correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello 
son las siguientes magnitudes, entre otras: Masa, temperatura, presión, densidad. 
Magnitud vectorial.- Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas 
precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. 
Vector 
Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos 
considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: 
• Un origen o punto de aplicación: A. 
• Un extremo: B. 
• Una dirección: la de la recta que lo contiene. 
• Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. 
• Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. 
 
Definición de vector resultante.-Es un vector que 
produce los mismos efectos que todos los vectores. 
Vectores cartesianos.-Son los expresados en 
términos de unidades en el eje “x “y en el eje “y”. 
Ejemplo: Graficar en vector cartesiano 𝐴(3𝑖, 2𝑗) 
 
El término “i” se refiere a la cantidad de unidades 
en el eje “x”, el termino J” se refiere a la cantidad 
de unidades en el eje “y”. 
Vectores polares.-Son los expresados en unidades 
y grados. 
3
2 A
y
x
2
3
y
x
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
23 
 
Ejemplo: 
Graficar el vector polar 5 unidades, 45grados. 
Las 5 unidades representan al “tamaño de 
vector” y los 45 grados al ángulo de apertura 
con respecto al eje “x”. 
 
1) Suma y resta gráfica de vectores.- 
Suma.- Ya sean estos cartesianos o polares, 
para realizar una suma de vectores en forma grafica basta con graficar todos los vectores y unirlos 
consecutivamente uno detrás del otro. El vector resultante será la línea entre el último vector y el 
origen. 
Ejemplo: Sumar los vectores a = (3i + 5j) y b = (-6i – 3j) 
3
5
-6
-3
A
B
 
 
Ahora graficamos el vector b en el final del vector a (Para esto se puede utilizar un transportador y 
una escuadra) 
y
3
2
A
y
x
5 u
nid
ad
es
45"
2
3 x
5 u
nid
ad
es
FÍSICA ICHRISTIAN MERUVIA 
 
24 
 
3
5
-6
-3
A
B
R
 
Como observamos la resultante es R = -3i + 2j. 
Resta.-Se sigue los pasos para hallar la suma, la única diferencia radica en que el sustraendo debe 
ser invertido (se saca el vector negativo). 
Ejemplo: Si 𝐴 = (−𝑖, −3𝑗) �⃗⃗� = (6𝑖, −2𝑗) Determinar: 𝐴 − �⃗⃗� 
6
-4
-1
-3
A B
R
- B
 
El vector resultante en R = (-7i + j) 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
25 
 
2) Conversión de vectores cartesiano a vectores polares y viceversa.- 
a) De cartesianos a polares.-Para convertir vectores cartesianos en polares, primeramente se debe 
hallar el módulo del vector con la fórmula: 
 M = 
Luego se calcula el ángulo del vector con la fórmula: 
 Tan α = 
Ejemplo: Convertir a = (2i - 6j) en un vector polar. 
Para el módulo aplicamos la fórmula: M = 
Reemplazando datos: M = 
 M = → M = → M = 6,32 u. 
Para el ángulo se aplica: Tan α = 
Tan α = -6/2 → Tan α = -3 → α =Tan-1(-3) 
α = -71,56º 
Pero como este es un ángulo negativo, se lo resta de 360º: 
 360º - 71,56º = 288,43º 
Por lo tanto a = (2i – 6j) = (6.32 u, 288.43º) 
 b) De polares a cartesianos.- Para convertir de un vector polar a uno cartesiano, se debe aplicar 
las siguientes formulas: 
i = M×Cos α ; j = M×Sen α 
Significa que para hallar la componente i, se debe multiplicar el módulo del vector polar con el 
coseno de su ángulo y para hallar el componente “j” se debe multiplicar el modulo por el seno del 
ángulo. 
Ejemplo: Convertir a = (8u, 30º) en un vector cartesiano. 
Para eje x: 
8×Cos 30 = 6,92i 
 Para eje y: 
22 ji +
i
j
22 ji +
22 )6()2( −+
364 + 40
i
j
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26 
 
8×Sen 30 = 4j 
El vector convertido será: a = (8u, 300) = (6,92i + 4j) 
3) Suma y resta analítica de vectores cartesianos.- 
 Suma.- Para sumar vectores cartesianos, se debe realizar una suma algebraica entre los 
componente “i” y los componentes”j” de los vectores. 
Ejemplo: Sumar a = (2i – 5j) y b = (-9i – 7j) 
 (2i – 5j) + (-9i – 7j) = (-7i - 12j) 
 (2i – 9i = -7i), (-5i -7j = -12j). 
 En el anterior ejemplo vemos como se realizo la suma algebraica 
Resta.- Para restar vectores cartesianos, se debe realizar las operaciones algebraicas 
correspondientes para posteriormente efectuar la suma algebraica. 
Ejemplo: (2i – 9j) – (4i – 15j) Aplicamos ley de signos 
 2i – 9j – 4i + 15j = 2i -4i -9j +14j = (-2i + 6j). 
 Ejemplo 2: Dados a = (i + j); b = (3i – 6j);c = (10i + 10j) 
Calcular a – (b-c) 
 Reemplazando valores: R = (i + j) – ((3i – 6j) - (10i + 10j)) 
R = (i + j) – (3i – 6j – 10i -10j) → R = i + j -3i +6j +10i +10j 
R = 1i -3i +10i +1j +6j +10j → R = (8i +17j) 
 
3) Suma y resta analítica de vectores polares.-Para sumar y restar vectores polares, se debe 
transformar estos en vectores cartesianos. 
Luego realizar las operaciones correspondientes (Sacar la resultante), entre los vectores ya 
transformados y por último, transformar este vector resultante (que está en cartesiano) a polar. 
Ejemplo: a = (20u, 10º); b = (15u, 50º); c = (5u, 110º) 
Calcular a + b -c. 
Calculamos las componentes i. j de los vectores polares: 
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27 
 
 Para eje x: Para eje y: 
Vector a: 20×Cos 10º = 19,69 i 20×Sen 10º = 3,47 j 
Vector b: 15×Cos 50º = 9,64 i 15×Sen 50º = 11,49 j 
Vector c: 5×Cos 110º = -1,71 i 5×Sen 110º = 4,69 j 
Como el vector c es negativo, se cambia de signos a este vector: 
 1,71i - 4,69j 
Se suman algebráicamente los componentes i, j. 
(19,69i + 9,64i + 1,71i) + (3,47j + 11,49j – 4,69j) 
 R = (31,04i + 10,27j) 
Ahora se convierte a un vector polar. 
 M = → M = 
 M = → M = 32,7 u. 
Para el ángulo: Tan α = 
Tan α = 10,27/31,04 → Tan α = 0,33 → α = Tan-1 0,33 
 α = 18,30º 
De esta forma el vector resultante es: R = (32.7u, 18,30º) 
PROBLEMAS PROPUESTOS. 
1) Hallar la resultante de los siguientes vectores (gráficamente). 
a = (4i + 8j); b = (-4i -9j); c = (-i -5j) 
a) a +b +c b) –a –b –c c) a –b –c 
d) –a –b +c e) c –b –a f) a +a +b –c 
2) Hallar gráficamente: 
a = (5u,30º); b = (7u,45º); c = (15u,-20º); d = (1u,170º) 
22 ji + 22 )27,10()04,30( +
47,10548,963 +
i
j
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28 
 
a) a +b +c +d b) a –b -c c) –a –b –c 
d) d + c +a –b e) d +d –a +b +a f) b +a –d –c 
3) Convertir los siguientes vectores cartesianos a su forma polar: 
a) (-2i,-6j) b) (-9i,-j) c) (80i,40j) 
d) (i,j) e) (-5i,-9j) f) ( -15i,-20j) 
g) (2i,-6j) h) (-3i,15j) i)(100i,50j) 
4) Convertir los siguientes vectores polares a su forma cartesiana. 
a) (8u,50º) b) (1u,1º) c) (40u,-152º) 
d) (0u,5º) e) (10u,0º) f) ( 99u,225º) 
g) (11u,355º) h) (12u,200º) i)(100u,180º) 
5) Realizar las siguientes operaciones en forma analítica: 
a = (-3i,-3j); b = (5i,6j); c = (-8i,-9j) 
a) a +b +c b) a –b -c c) –a –b -c 
d) b +b +b –a -c e) a –a +a –c -b f) c +b 
g) a –c h) 2a -2b -2c i) 3c -2a +5b 
 
6) Realizar las siguientes operaciones en forma analítica: 
a = (8u,10º); b = (12u,180º); c = (1u,360º); d = (15u,110º) 
a) a +b +c +d b) a –b -c c) –a –b +c 
d) b –a –c -d e) a + d –c -b f) c +b +d 
g) a –c -d h) a -b –c -d i) c -a +b +d 
7) Hallar el vector resultante: 
(9u,15º) + (10u,40º) + (2u,180º) + (6u,360º) + (20u,220º) 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
29 
 
 
 
 
 
 
Historia del concepto de movimiento: 
Anaximandro pensaba que la naturaleza procedía de la separación, por medio de un eterno 
movimiento, de los elementos opuestos (por ejemplo, frío-calor), que estaban encerrados en algo 
llamado materia primordial. 
Demócrito, decía que la naturaleza está formada por piezas indivisibles de materia llamadas átomos, 
y que el movimiento era la principal característica de éstos, siendo el movimiento un cambio de 
lugar en el espacio. 
Concepto de movimiento.- El movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio 
de posición que experimentan los cuerpos en el espacio, con respecto al tiempo y a un punto de 
referencia, variando la distancia de dicho cuerpo con respecto a ese punto o sistema de referencia, 
describiendo una trayectoria. Para producir movimiento es necesaria una intensidad de interacción o 
intercambio de energía que sobrepase un determinado umbral. 
La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento es la cinemática. 
Según las tres trayectorias más simples y comunes que podemos encontrar en la naturaleza el 
movimiento se clasifica en: 
Movimiento rectilíneo: Es el movimiento producido en una trayectoria que describe una línea 
recta, sin que el móvil (cuerpo en movimiento) cambie de dirección mientrasse está moviendo. 
 
Movimiento circular: Es el movimiento producido en una trayectoria circular, en la que el móvil 
se mueve alrededor de un punto, y siempre a la misma distancia dibujando un círculo. 
Movimiento parabólico: El móvil describe una trayectoria parabólica, es decir, una curva 
geométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Anaximandro
http://es.wikipedia.org/wiki/Naturaleza
http://es.wikipedia.org/wiki/Dem%C3%B3crito
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomo
http://es.wikipedia.org/w/wiki.phtml?title=Trayectoria&action=edit
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://es.wikipedia.org/w/wiki.phtml?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit
http://es.wikipedia.org/w/wiki.phtml?title=Curva_geom%C3%A9trica&action=edit
http://es.wikipedia.org/w/wiki.phtml?title=Curva_geom%C3%A9trica&action=edit
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
30 
 
 
 
Sir Isaac Newton.-Nació el 4 de Enero 1643 en Woolsthorpe Lincolnshire, Inglaterra y falleció el 
31 de Marzo 1727 en Londres, Inglaterra. 
 
 Difícilmente podría decirse que el camino de Newton a la fama estaba predeterminado. Su 
nacimiento fue prematuro, y durante algún tiempo pareció que no sobreviviría debido a su debilidad 
física. Su padre murió tres meses antes de que naciera. Cuando Newton tenía dos años de edad, su 
madre volvió a casarse, y el niño se fue a vivir con su anciana abuela a una granja de Woolsthorpe. 
Fue probablemente aquí, en un distrito de Inglaterra, donde adquirió facultades de meditación y 
concentración que más tarde le permitieron analizar y encontrar la solución de problemas que 
desconcertaban a otros científicos. 
Cuando Newton tenía doce años, ingresó en la Escuela del Rey, donde vivió con un boticario 
llamado Clark, cuya esposa era amiga 
de la madre de Newton. Pasó cuatro años en ese hogar, en el que se divertía construyendo toda clase 
de molinos de viento, carros mecánicos, relojes de agua y cometas. Encontró un desván lleno de 
libros científicos que le encantaba leer, y toda suerte de sustancias químicas. 
Cuando tenía dieciséis años, murió su padrastro, y el muchacho volvió a casa a fin de ayudar a su 
madre en la administración de su pequeña propiedad, pero Newton no sentía inclinación a la vida 
del campo. Por fin, se decidió que continuará su carrera académica e ingresó en el Colegio de la 
Trinidad, de Cambridge. 
Newton no se distinguió en el primer año de estudios en Cambridge. Pero por fortuna, tuvo la ayuda 
valiosa de Barrow, distinguido profesor de matemáticas. Barrow quedó impresionado con las 
aptitudes de Newton y en 1664, lo recomendó para una beca de matemáticas. Gracias a la 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
31 
 
instrucción de Barrow, tenía un excelente fundamento en la geometría y la óptica. Se familiarizó 
con la geometría algebraica de Descartes; conocía la óptica de Kepler, y estudió la refracción de la 
luz, la construcción de los telescopios y el pulimento de las lentes. 
En 1664 se cerró provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a la gran peste (bubónica), 
y Newton volvió a Woolsthorpe, donde paso un año y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus 
grandes descubrimientos científicos. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del 
cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que "había encontrado el método 
inverso de las fluxiones", es decir, el cálculo integral y e método para calcular las superficies 
encerradas en curvas como la hipérbole, y los volúmenes y de los sólidos. Años más tarde, cuando 
se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibnitz era 
considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi 
simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento. Su segundo gran descubrimiento se 
relacionó con la Teoría de la gravitación. 
El tercer gran esfuerzo, correspondió a la esfera de la óptica y la refracción de la luz. 
A la edad de treinta años fue elegido miembro de la Sociedad Real de Londres, que era el más alto 
honor para un científico. Para corresponder a este honor, obsequió a la Sociedad el primer 
telescopio reflector que manufacturó. 
Newton decidió consagrarse a la ciencia y volvió a Cambridge en 1667 para aceptar una plaza 
pensionada que no tardaría en convertirse en la de profesor de matemáticas. Durante los siguientes 
veinte años, Newton llevó la vida de profesor en Cambridge. 
Se ocupó también del estudio de la fuerza de la gravitación 
Newton fue elegido miembro del parlamento por Cambridge. Cuando se le nombró director de la 
casa de moneda de Inglaterra en 1701, renunció a su cátedra en Cambridge. En 1703 fue nombrado 
presidente de la Sociedad Real de Londres, cargo que ocupó durante el resto de su vida. En 1705 le 
concedió nobleza la Reina Ana, y fue el primer científico que recibió este honor por sus obras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo con su tren 
bala o Shinkansen en la década de 1960. Todo empezó a mediados de los años cincuenta, 
cuando pensaron en construir una nueva línea ferroviaria entre Tokio y Osaka, las dos 
principales ciudades del país, para resolver el problema de la saturación de la línea existente 
con una mejora sustancial de los tiempos de recorrido. Mitsubishi, Kawasaki, Hitachi y 
Sumitono se asociaron para que los trenes de alta velocidad japoneses unieran desde 1964 las 
principales ciudades niponas, dejando que el paisaje se desdibuje a 300 kilómetros por hora. 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Jap%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Shinkansen
http://es.wikipedia.org/wiki/1960
http://es.wikipedia.org/wiki/Tokio
http://es.wikipedia.org/wiki/Osaka
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
33 
 
Objetivos.-En este capítulo el alumno será capaz de: 
 
- Definir conceptos teóricos relacionados con el tema. 
- Aprender a utilizar fórmulas físicas simples. 
- Analizar formas de resolución de un problema en física. 
- Solucionar problemas relacionados con el tema. 
- Realizar gráficos en base a ecuaciones físicas. 
 
 
Introducción.- El estudio del movimiento de los cuerpos, es el comienzo para empezar a 
comprender los fenómenos físicos existentes. 
Al estudiar el Movimiento Rectilíneo Uniforme, el alumno descubre el inicio a una apasionante 
aventura en el campo de la física. 
 
Mecánica.-Es una parte de la física que estudia el movimiento y el equilibrio de los cuerpos. 
 
Cinemática.-Es una parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en 
cuenta sus causas o las fuerzas que las producen. 
 
Desplazamiento y distancia.-El desplazamiento es la distancia más corta entre la posición inicial y 
la posición final (línea recta), la distancia es todo el camino recorrido por el móvil o partícula. En la 
figura vemos que la distancia de la partícula es una línea recta y curva, y que el desplazamiento es 
la distancia más corta entre el punto de partida y el de llegada que en el grafico se representa por la 
línea recta. 
 
𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝑻𝒐𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 
 
∆𝒙 = 𝒙𝒇 − 𝒙𝟎 
 
1
2
 
 
En el dibujo, la distancia es todo el camino recorrido entre el punto 1 al punto 2 y el desplazamiento 
es la línea recta que une al punto 1 al 2. 
 
 
Velocidad.-La velocidad es un vector que contiene modulo dirección y sentido y se considera como 
el cambio de posición en un determinado tiempo. 
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34 
 
 
Diferencia entre velocidad y rapidez.-La velocidad es un vector, la rapidez es solo una magnitud 
(no tiene dirección ni sentido). 
Es muy común referirse a la velocidad para expresar de manera indistinta solo su módulo o en otros 
casos con su dirección y sentido, sobrentendiéndose en cada caso si se trata de uno u otro concepto. 
 
Características del M.R.U.-Este tipo de movimiento se caracteriza por la constancia de la 
velocidad. 
 
Como la velocidad es constante entonces la aceleración es nula (a = 0). 
 
Fórmulas: 
 
∆𝒙 = 𝒗 ∙ 𝒕 (𝟏) 
 
 
𝒙𝒇 = 𝒙𝟎 + 𝒗 ∙ 𝒕 (2) 
 
Donde: 
→x Desplazamiento del móvil o partícula, en metros (m) 
 →v Velocidad del móvil (constante), en metros por segundo (m/s) 
 →t Tiempo, en segundos (s). 
→fx Posición final, en metros (m). 
→0x Posición inicial, en metros (m). 
 Las fórmulas 1 y 2 básicamente son lo mismo ya que: 
 
0xxx f −= (Desplazamiento = posición final - posición inicial) 
 
 NOTA.-Las medidas están dadas de acuerdo al sistema internacional. 
 
 
 
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35 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 1 La velocidad de un coche es de 10 m/s ¿Cuál es la distancia que recorre en 20 segundos? 
Resolución: Analizando los datos utilizamos la fórmula 1 
Datos: v =10 m/s ∆X= v. t (Ecuación 1) 
 t = 20 s. ∆X= 10 × 20 
 ∆x =? ∆X= 200 m. 
Significa que al cabo de 20 segundos el móvil recorre una distancia de 200 metros. 
 2 El desplazamiento de un móvil es de 500 metros en 55 segundos 
Calcular la velocidad en kilómetros por hora (km/hr) 
 Datos: ∆x = 500 m ∆X= v. t 
 t = 55 s. 500= v×55 
 v =? Despejando: v =500/55 
 v = 9,09 m/s 
Pero como el problema nos pide en km/hr convertimos 
 9, 09 m/s ×
m
Km
1000
1
× = 32, 72 km/hr 
*Para convertir de m/s a km/hr basta con multiplicar la cifra por la constante 3,6 
 Para convertir de km/hr a m/s por la constante 0,28. 
3 La posición inicial de una partícula es 5 metros, esta avanza con una velocidad de 10 m/s 
durante 20 segundos. ¿Cuál es la posición final de dicha partícula? 
Datos: =0x 5 m Aplicando fórmula 2: 
 =0v 10 m/s xf = xo + v×t 
 t = 20 s xf = 5 + 10 × 20 
 ?=fx xf = 205 m. 
Significa que la partícula tiene una posición final de 205 metros. 
hr
s
1
3600
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36 
 
*El uso de la formula 1 o 2 depende si se tiene desplazamiento (fórmula 1) o si se tiene 
posiciones (fórmula 2). 
 
4 Una partícula inicialmente en el origen avanza a la posición x =3 m, luego a la posición 
x =15 m, luego retrocede hasta x = -10 m y finalmente llega a la posición x = 5 m. ¿Cuál es la 
distancia recorrida por la partícula y cual su desplazamiento? 
 1→→→ 2→→→→→→3 
 4←←←←←←←←←←←←←← 
 →→→→→→→→→→ 5 
 -10 m-------0 m------3m------5m------15m 
Para la distancia se toma en cuenta toda la trayectoria (tramo 1-2,2-3,3-4,4-5) 
Tramo 1 al 2, del origen a 3metros, total 3metros 
Tramo 2 al 3, de 3m a 15m, total 12 metros 
Tramo 3 al 4, de 15 m a –10 m, total 25metros (ver figura) 
Tramo 4 al 5, de -10 m a 5 m, total 15 metros 
La distancia total es la suma de todas las distancias: 
3m + 12m + 25m + 15 m = 55 metros. (Distancia) 
El desplazamiento es la distancia entre el punto de salida y el punto final: 
Punto de salida, origen (0 metros) 
Punto final, 5 metros 
Resta algebraica: 5-0= 5 metros. (Desplazamiento). 
5 Un móvil parte con una velocidad de 8 m/s hacia la derecha ,2 segundos después parte otro 
móvil en su persecución con una velocidad de 10 m/s a) ¿A qué distancia del punto de partida los 
móviles se interceptan? b) ¿Cuánto tiempo después de que el segundo móvil parte, los dos móviles 
se interceptan? 
 
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37 
 
En el punto A el móvil 2 parte después de 2 segundos, en el punto B los móviles ya se han 
interceptado. (Ver la figura). 
Datos: Móvil 1 Móvil 2 
 v=8 m/s v=10 m/s 
 t = t t = t-2 (por haber salido 2 segundos después) 
 Reemplazando datos: 
 ∆x= v×t ∆x= v×.t 
 ∆x= 8.t (1) ∆x= 10. (t-2) (2) 
Haciendo sistema de ecuaciones entre 1 y 2 * 
 Igualando ecuación 1 y 2: 
 8t = 10 (t-2) → 8t = 10t – 20 → -10t + 8t = -20 
 -2t = -20 → t = -20/-2 → t =10 s. 
El móvil 1 tarda 10 segundos hasta que intercepta al móvil 2. 
Para el móvil 2 basta restarle 2 segundos t = t-2 
 t = 10 – 2 = 8 seg. 
Reemplazando t = 10 seg. En ecuación 1: 
 ∆x= 8.t (1) → ∆x= 8×10 ∆x= 80 metros. 
Esto significa que los móviles se encuentran 80 metros después de su partida. 
*Se puede utilizar cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones. (Igualación, reducción, 
sustitución, matrices). 
 
6 Dos móviles se encuentran separados por una distancia de 1 kilómetro .El primero con una 
velocidad de 20 m/s, el segundo con una velocidad de 30 m/s en sentido contrario. Calcular el 
tiempo que tardan en pasar uno delante del otro y la distancia de la intercepción con respecto al 
primer móvil. 
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38 
 
x 1000 m
 
Según la figura el móvil uno se encuentra al comienzo en la posición 0 metros, el móvil dos se 
encuentra en 1000 metros y el cruce se da en la posición x. 
Datos: Móvil 1 Móvil 2 
 xo = 0 m xo= 1000 m 
 v = 20 m/s v= -30 m/s 
 xf= x xf= x 
La posición final de los dos móviles será x, la velocidad del segundo móvil es negativa puesto 
que este móvil va hacia la izquierda o en sentido contrario al móvil 1. 
Reemplazando datos: 
Para el móvil 1: xf = xo + v×t → x = o + 20×t 
 x = 20× t (1) 
Para el móvil 2: xf = xo + v× t → x= 1000 + (-30) t 
x = 1000 -30t (2) 
Resolviendo el sistema de ecuaciones 1 y 2 
Igualando: 20×t= 1000 -30t → 30t + 20t = 1000 → 50t = 1000 
 t = 1000/50 → t = 20 s. 
Significa que los móviles se interceptan después de 20 segundos. 
Reemplazando este valor en la ecuación 1: 
 x = 20 t (1) → x = 20×20 → x =400 m 
Significa que la distancia recorrida con respecto al móvil 1 es 400 m. 
*Si quisiéramos calcular la distancia con respecto al móvil 2, basta con restar la distancia inicial: 
1000 – 400 = 600m (distancia con respecto al móvil 2) 
 
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39 
 
7 Dos autos se encuentran separados una distancia de 3000 metros, el primero con una velocidad 
de 40 m/s hacia la derecha. Calcular la velocidad del segundo automóvil que va a la izquierda, para 
que los móviles se encuentren después de 30 segundos. 
 
 Datos: Auto 1 Auto 2 
 v = 40 m/s xo = 3000 m 
 xo = 0 mt = 30 s. 
 t = 30 s. xf = x 
 xf = x v = ? 
Resolución: Para el auto 1 
 xf = xo + v×t → x = 0 + 40×30 → x = 1200m (1) 
Para móvil 2: 
xf = xo + v× t → x = 3000 + v (30) → x = 3000 + 30×v (2) 
Reemplazando 1 en 2: 1200 = 3000 + 30.v → 1200 – 3000 = 30.v 
- 1800 = 30.v → v = -1800/30 → v = -60 m/s 
Esto significa que el móvil 2 debe tener una velocidad de 60 m/s, el signo negativo quiere decir 
que este móvil va a la izquierda o en sentido contrario al móvil 1. 
 
8 Un tren pasa por un poste con una velocidad de 15 m/s, si el tren tarda 3 segundos en pasar por 
el poste ¿Cuál es la longitud de dicho tren? 
ANTES DESPUÉS
L L
 
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40 
 
Se toma la parte trasera del tren como el punto de referencia (0 metros), para la posición inicial y 
final se toma en cuenta la parte delantera del tren antes y después de pasar por el poste. En este caso 
xo seria la longitud (L) y xf sería L + L =2L (ver figura). 
Datos: Resolución: 
 xo = L m xf = xo + v. t → 2L = L +15(3) 
 v = 15 m/s 2L - L = 45 m → L = 45 m 
 xf = 2L 
 t = 3 s. 
 Significa que la longitud del tren es de 45 metros. 
En este ejercicio, ya se toma en cuenta la longitud del cuerpo que en este caso es un tren, puesto que 
dicha longitud es significante, a este se le llama “Cuerpo extenso”. 
Cuando el cuerpo no tiene una longitud significativa (Como una partícula, una persona, etc), se lo 
llama “Punto material” 
 
9 Dos trenes se encuentran uno detrás del otro como se ve en la figura, la longitud y la velocidad 
del primer tren es de 40 metros y 15 m/s respectivamente, la longitud y la velocidad del segundo 
tren son 30 metros y 10 m/s respectivamente. Calcular el tiempo y la distancia requerida por el 
primer tren para pasar completamente al segundo tren. 
 
En la figura vemos como el tren 1 se encuentra detrás del tren 2 (antes), y luego de una distancia x 
lo pasa (después) 
Se toma en cuenta la parte delantera de los trenes con respecto al punto de referencia que es 0m en 
la figura .Para calcular la posición inicial (antes) y la posición final (después) de los mismos. 
Datos: Tren 1 
 xo = L1 
 xf = L1 + L2 + X + L2 + L1 = 2L1 + 2L2 +X 
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41 
 
 v1 = 15 m/s 
Datos: Tren 2 
 xo = L1 + L2 
 xf = L1 + L2 + X + L2 = L1 + 2L2 +X 
 v2 = 10 m/s 
Reemplazando datos: Tren 1 
 xf = xo + v. t → 2L1 + 2L2 +X = L1 + v1.t 
 2L1 – L1 + 2L2 + x = v1.t → L1 + 2L2 +X =v1.t 
 40 + 2×30 + X = 15.t → 40 + 60 + x = 15.t 
 x = 15.t -100 (1) 
Tren 2 : 
 xf = xo + v. t → L1 + 2L2 +X = L1 +L2 + v2.t 
 L2 + x = v2.t → 30 + x = 10.t → x = 10.t -30 (2) 
Resolviendo sistema de ecuaciones: Igualando 1 y 2 
 15. t – 100 = 10.t -30 → 5×t = 70 → t = 14 seg. 
Reemplazando este valor en ecuación 1: 
 x = 15×t -100 → x = 15×14 -100 → x = 110 m 
Significa que el tren 1 pasa al tren 2 completamente después de 14 segundos en 110 metros. 
 
10 Una partícula viaja durante 15 segundos a una velocidad de (10i -9j) m/s, Calcular la distancia 
recorrida por dicha partícula. 
Datos: v = (10i -9j) m/s 
 t = 15 s. 
 ∆X=? 
Resolución: Como la velocidad de la partícula esta en coordenadas cartesianas, primeramente 
hallamos su magnitud mediante la fórmula: |𝑣| = √𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 
IvI = → IvI = → IvI = 181 22 )9(10 −+ 81100 +
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42 
 
|𝑣| = 13,45 [𝑚/𝑠] 
Este resultado se reemplaza en la formula: ∆X= v× t 
∆X= 13.45 * 15 → ∆X= 201,8 m. 
 
 
11 Se produce un disparo a 2,04 Km. de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en 
oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s? 
Datos: v = 330 m/s; ∆X= 2,04 Km. × 1000 = 2040 metros. 
Reemplazando en la formula: ∆X= v. t 
2040= 330×t → t = 6,18 seg. 
 
12 Una persona tarda 1 minuto en descender por una escalera eléctrica que a su vez está 
descendiendo con una velocidad constante, si la persona duplica su velocidad, tarda 45 segundos. 
¿Qué tiempo tarda esta persona en descender si simplemente se para en la escalera? 
 
Resolución: Llamamos ve a la velocidad de la escalera y vp a la velocidad de la persona. 
La suma de la velocidad de la persona y de la escalera representa a la velocidad total de descenso de 
la persona. 
El tiempo de descenso será: t = 60 segundos (1 minuto). 
Aplicando la ecuación: ∆X= v. t tenemos: 
∆X= (ve +vp) ×60 (1) Esta es nuestra primera ecuación. 
Cuando la persona duplica su velocidad, el tiempo de descenso de la persona es t = 45 segundos; la 
ecuación será: 
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43 
 
∆X= (ve + 2vp) ×45 (2) Esta es nuestra segunda ecuación. 
 Cuando la persona esta simplemente parada en la escalera, su velocidad es cero (v = 0 m/s) ; la 
ecuación será: 
∆X = ve×t (3) Esta es nuestra tercera ecuación. 
Igualando la ecuación (1) y (2) tenemos: 
(ve +vp) ×60 = (ve + 2vp) ×45 
Desarrollando por distribuitividad: 
60×ve +60×vp = 45×ve +90×vp → 60×ve - 45×ve = 90×vp -60×vp 
15×ve = 30×vp → ve = 
15
30
×vp 
ve = 2× vp (Relaciones entre velocidades) 
Igualando ecuaciones (1) y (3) 
(ve +vp) ×60 = ve×t → 60×ve +60×vp = ve×t 
Reemplazando: ve = 2× vp (Relaciones entre velocidades) 
60×2× vp +60×vp = 2×vp×t → 120×vp +60×vp = 2×vp×t 
180×vp = 2×vp×t Dividiendo miembro a miembro entre vp 
180 = 2×t → t = 180/2 → t = 90 seg. 
Significa que la persona que simplemente está parada en las escaleras tarda 90 segundos en 
descender por ella. 
 
13 En la misión del Apolo 11, el hombre llega por primera vez a la luna; la velocidad promedio del 
Apolo 11 fue de 588 Km/hora, por otro lado se sabe que la galaxia Andrómeda se encuentra a una 
distancia de 2,2 millones de años luz. ¿Cuántos años hubiese tardado el Apolo 11 en llegar a la 
galaxia Andrómeda? 
 
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44 
 
La galaxia Andrómeda es una galaxia espiral, similar a la nuestra, aunque algo mayor. A una 
distancia de 2,2 millones de años luz, la galaxia Andrómeda es la galaxia espiral más cercana 
y el objeto más distante que se puede observar a simple vista. Antes de determinar su 
naturaleza por medio de poderosos telescopios, fue erróneamente considerada una nebulosa, o 
nube de materia interestelar. Por medio del telescopio se ve que junto a ella hay otras 
galaxias, de las cuales las más sobresalientes son dos pequeñas galaxias de forma elíptica. 
 
 
- Apolo 11 fue la primera misión de la NASA destinada a llevar tripulación humana hasta la 
Luna, tras seis vuelos no tripulados y dos viajes que sólo rodearon el satélite. 
- Hace 35 años, estos tres hombres se embarcaron en el ya legendario Apolo 11 con destino a 
la luna. El comandante Neil A. Armstrong, comandante de módulo Michael Collins y piloto 
del módulo lunar Edwin E. Aldrin Jr. 
- Es el 16 de julio de 1969 y el cohete Saturno V, con Armstrong, Collins y Aldrin Jr. a bordo 
del Apolo 11, se eleva desde el estado de Florida con destino al único satélite natural terrestre.Resolución: 
Primero calculamos la distancia que representa 1 año luz: 
Datos: ∆X=? ; v = 300000 km/s; t = 1 año. 
La velocidad de la luz en el vacío es de 300000 kilómetros por segundo. 
Transformando a unidades del sistema internacional tenemos: 
javascript:subWin3('/p4_noticias/site/extra/gadgets/zoom.html?/p4_noticias/site/artic/20040719/imag/FOTO1220040719223747.jpg',%20'Foto',%20370,%20400,%20200,%2075);
javascript:subWin3('/p4_noticias/site/extra/gadgets/zoom.html?/p4_noticias/site/artic/20040719/imag/FOTO2220040719223747.jpg',%20'Foto',%20450,%20364,%20200,%2075);
javascript:subWin3('/p4_noticias/site/extra/gadgets/zoom.html?/p4_noticias/site/artic/20040719/imag/FOTO3220040719223747.jpg',%20'Foto',%20292,%20400,%20200,%2075);
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45 
 
=
Km
metros
s
Km
1
1000
*
300000
3×108 m/s. 
=
hora
segundos
x
día
horas
x
año
días
x
año
1
3600
1
24
1
3651
3,15×107 seg. 
v = 3×108 m/s ; t = 3,15×107 seg, 
Remplazando en la fórmula: 
∆X= v. t → ∆X= 3×108 × 3,15×107 
∆X= 9,45×1015 m. 
Significa que la distancia que se recorre en 1 año luz es de 9,45×1015 metros. 
Por otro lado la galaxia Andrómeda se encuentra a una distancia de 2,2 millones de años luz; 
convirtiendo este dato: 
=
hora
segundos
día
horas
año
díasaño
1
3600
*
1
24
*
1
365
*
1
2200000
 6.93×1013 seg. 
Remplazando en la ecuación: ∆X= v. t 
 ∆X= 6.93*1013 * 3*108 → ∆X= 2,08×1022 metros. 
Significa que la galaxia Andrómeda se encuentra a una distancia de 2,08×1022 metros. 
La velocidad del Apolo 11 fue de 588 Km/hora; transformando este dato tenemos: 
=
.1
1000
*
.3600
1
*
588
Km
metros
seg
Hora
Hora
Km
 163,33 m/s. 
Entonces la velocidad del Apolo 11 fue de 163,33 m/s y tiene que recorrer una distancia de 
2,08×1022 metros hasta la galaxia Andrómeda 
Remplazando datos en la ecuación: ∆X= v. t 
2,08×1022= 163,33×t → t = 2,08×1022/163,33 
t = 1,27×1020 segundos. 
Convirtiendo a años tenemos: 
=
días
año
horas
día
segundos
hora
segundos
365
1
*
24
1
*
3600
1
*10*27,1 20 4,02×1012 años. 
Esto representa 4020000000000 años que el Apolo tardaría en llegar a la galaxia Andrómeda. 
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46 
 
¿Nos hace pensar esto en la inmensidad del universo? 
 
14 Tres automóviles se encuentran separados 10 y 20 metros como se ve en la figura, si las 
velocidades de los automóviles son 10 [𝑚/𝑠],5 [𝑚/𝑠] y 2 [𝑚/𝑠] respectivamente, calcular el 
tiempo en que los automóviles equidistan (las distancias entre ellos sean iguales). 
 
Para el auto 1 Para el auto 2 Para el auto 3 
smv /10= smv /5= smv /2= 
mx 00 = mx 100 = mx 300 = 
xx f = dxx f −= dxx f += 
- “d” es la distancia igual entre los autos. 
Reemplazando los datos de los tres autos en la ecuación de la trayectoria: 
tvxx f += 0 
Para el auto 1 Para el auto 2 Para el auto 3 
tvxx f += 0 tvxx f += 0 tvxx f += 0 
tx += 100 (1) tdx +=− 510 (2) tdx +=+ 230 (3) 
- Resolviendo el sistema de ecuaciones entre (1), (2) y (3): 
Sustituyendo (1) en (2) y (3): 
tdt +=− 51010 → 105 −= td (4) 
tdt +=+ 23010 → 308 +−= td (5) 
Igualando (4) y (5): 
308105 +−=− tt → 4013 = t → 07,3=t  s 
Reemplazando en (4) (También se puede remplazar en 5): 
 
105 −= td → 1007,35 −=d → 35,5=d  m 
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47 
 
Reemplazando en (1): 
tx += 100 → 07,3100 +=x → 7,30=x  m 
 Lo que significa que los autos equidistan 5,35 metros después de 3,07 segundos. 
- Notar que para la resolución del sistema de ecuaciones el alumno puede aplicar el método que 
mejor le convenga. 
¿Qué sucede luego de que el automóvil 1 pasa al automóvil 3, puede existir otro punto de 
equidistancia? Analice. 
 
15 Dos personas que platicaban en la esquina de una calle toman direcciones perpendiculares, uno 
hacia el norte y otro hacia el este, las velocidades constantes de las dos personas son de 1 m/s y 0,75 
m/s respectivamente. Calcular la separación en metros que tienen ambas personas luego de 2 
minutos. 
 
- Convirtiendo 2 minutos a segundos: 120
min1
60
min2 =
s
 s 
El desplazamiento para cada persona está dada por: 
tvx = 
Para la persona que va al norte: 
tvx = → 1201=x → mx 120= (Recorre 120 metros al norte) 
Para la persona que va al este: 
tvx = → 12075,0 =x → mx 90= (Recorre 90 metros al este) 
Formando un triángulo rectángulo como se ve en la figura: 
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48 
 
 
- Para calcular la separación en metros de las dos personas se aplica el teorema de Pitágoras: 
222 CACOHIP += 
Reemplazando datos: 
222 CACOHIP += → 222 90120 +=HIP → 225002 =HIP 
22500=HIP → 150=HIP 
Lo que significa que la separación entre las dos personas al cabo de 2 minutos es de 150 
metros. 
 
 
 
16 Dos autos A y B se mueven con velocidades constantes VA y VB en direcciones opuestas, 
dirigiéndose uno hacia el otro. Inicialmente la distancia de separación es L, cuando se cruzan el 
móvil A recorrió 1/4L. Determinar la razón VB/VA. 
 
 
Datos: 
Para el auto A: 
0=ox 
Lx f 4/1= 
 
Para el auto B: 
Lxo = 
Lx f 4/1= 
- El signo de la velocidad de B es negativo por ir en sentido contrario a A. 
 
Reemplazando en la ecuación del M.R.U.: 
vtxx of += 
 
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49 
 
tvL A+= 0
4
1
 (1) tvLL B−=
4
1
 (2) 
 
Desarrollando (2): 
tvL b=
4
3
 
 
 
Dividiendo (1) entre (2): 
tv
tv
L
L
B
A=
4
3
4
1
 
Simplificando: 
B
A
v
v
=
3
1
 → 3=
A
B
v
v
 
 
 
Significa que la relación entre las velocidades es de 3 a 1. 
 
 
17 Dos trenes de longitudes L1 y L2, van al encuentro con velocidades constantes 𝑣1 y 𝑣2, tardan 
20 segundos en cruzarse completamente. Si las velocidades son 𝑣1 y 8𝑣2/5, tardan en cruzarse 15 
segundos. ¿Cuánto tardan en cruzarse completamente si viajan en la misma dirección con 
velocidades 𝑣1 y 𝑣2? 
 
d1
d2
 
 
Primer cruce: 
𝑑1 = 𝑣1 ∙ 𝑡1 → 𝑑1 = 20 ∙ 𝑣1 𝑑2 = 𝑣2 ∙ 𝑡1 → 𝑑2 = 20 ∙ 𝑣2 
 
Segundo cruce: 
𝑑3 = 𝑣1 ∙ 𝑡2 → 𝑑3 = 15 ∙ 𝑣1 𝑑4 = 𝑣2 ∙ 𝑡2 → 𝑑4 =
8
5
∙ 15 ∙ 𝑣2 → 𝑑4 = 24 ∙ 𝑣2 
 
Tercer cruce: 
𝑑5 = 𝑣2 ∙ 𝑡3 𝑑6 = 𝑣1 ∙ 𝑡3 
 
Por otra parte analizando las distancias se concluye que: 
 
𝑑1 + 𝑑2 = 𝑑3 + 𝑑4 = 𝑑5 − 𝑑6 
Reemplazando: 
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50 
 
20 ∙ 𝑣1 + 20 ∙ 𝑣2 = 15 ∙ 𝑣1 + 24 ∙ 𝑣2 = 𝑣2 ∙ 𝑡3 − 𝑣1 ∙ 𝑡3 
 
{
5𝑣1 = 4𝑣2
20𝑣1 + 20𝑣2 = 𝑣2 ∙ 𝑡3 − 𝑣1 ∙ 𝑡3
 
 
 
20𝑣1 + 20 ∙
5
4
𝑣1 =
5
4
𝑣1 ∙ 𝑡3 − 𝑣1 ∙ 𝑡3 → 20 + 25 = (
5
4
− 1) 𝑡3 → 𝐭𝟑 = 𝟏𝟖𝟎 [𝐬] 
 
GRAFICOS DEL M.R.U. 
Principalmente existen dos gráficos en el movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.): 
1) Gráfica de la posición en función al tiempo (x→t) figura 1. 
2) Gráfica de la velocidad en función al tiempo. (v→t) 
 
1) Gráfico de la posición en función al tiempo 
 
En este grafico observamos que en un M.R.U. el 
desplazamiento es una línea recta que puede 
comenzar en el origen, o en otro punto si la posición 
inicial es distinta de cero. 
1.1 Cálculo de la velocidaden una grafica de 
distancia en función al tiempo.-Para hallar la 
velocidad en este tipo de graficas basta con observar 
uno de los valores del tiempo (eje x) y ver el 
desplazamiento correspondiente para dicho tiempo 
(eje y).En un gráfico observamos que para un valor 
de t = 10 la distancia recorrida por el móvil es 
desde -30 hasta 30 metros haciendo un total de 60 
metros recorridos. 
 Reemplazando en la fórmula: 
 ∆X= v. t tenemos: 
60 = v.10 → v = 60/10 → v =6 m/s 
De la misma forma si tomamos el valor de t = 2 s. La distancia recorrida será desde -30 metros 
hasta -18 metros haciendo un total de 12 metros recorridos. 
Reemplazando en la formula ∆X= v. t tenemos: 
12 = v.2 → v = 6 m/s. 
x 
t
Gráfico de la posición en 
función al tiempo
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
51 
 
De esta forma se observa que en este tipo de movimiento la velocidad es constante. 
Ecuación de la posición en función del tiempo.-La forma general de esta ecuación es: 
 ∆X= v. t donde el valor conocido es la velocidad. 
Ejemplos: ∆X= 5.t (velocidad 5 m/s) 
 ∆X= -3.t (velocidad -3 m/s) 
2) Gráfico de la velocidad en función al tiempo.- En este grafico se observa que en este tipo de 
movimiento la velocidad permanece constante a través del tiempo, en el gráfico vemos que la 
velocidad es de 20 m/s (1) y -20 m/s (2). 
 
2.1 Cálculo del desplazamiento en una ecuación de velocidad en función al tiempo.-Para hallar 
el desplazamiento en este tipo de graficas se debe simplemente aplicar la formula: 
tvxx f += 0 
Para el tiempo que queramos, en la gráfica anterior para una velocidad de 20 m/s y un tiempo t=5 s. 
el desplazamiento será: 
 ∆X= v. t → ∆X= 20×5 → ∆X= 100 m. 
 De la misma forma para un tiempo t = 2 s., el desplazamiento será: 
∆X= v. t → ∆X= 20×2 → ∆X= 40 m. 
Para el cálculo del desplazamiento en forma grafica se debe calcular el área de la figura que en este 
caso es un rectángulo. 
Para t=2 seg. Tenemos: 
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52 
 
Área rectángulo = base × altura → Arec= 2×20 
Arec = 40 → ∆X= 40 m. 
PROBLEMAS RESUELTOS (Gráficos). 
1 En la siguiente grafica de posición en función al tiempo calcular la velocidad y la ecuación de la 
posición en función al tiempo. 
 
 
 
 
 
 
Tomamos cualquier tiempo como ser: t = 3 s. que tiene un desplazamiento entre -20 metros y -
10 metros que sería un total de 10 metros desplazados. 
 Aplicamos la formula: ∆X= v. t 
 10 = v. 3 → v = 3,33 m/s 
 Para la obtención de la ecuación de la posición en función al tiempo simplemente reemplazamos 
este valor en la ecuación: ∆X= v. t 
 ∆X= 3,33. t (Ecuación ∆X → t) 
 
2 En la ecuación ∆X= 9. t .Calcular la velocidad y la posición del móvil para t =4 s. 
 Para el cálculo de la velocidad, se compara la ecuación propuesta con la ecuación ∆X= v. t 
 ∆X= v. t 
 ∆X= 9. t 
 De donde concluimos que la velocidad de este móvil es de 9 m/s 
 Para la posición reemplazamos t = 4 s. en ∆X= 9. t 
 ∆X= 9. (4) → ∆X= 36 m. 
 La posición del móvil en un tiempo de 4 segundos es de 36 metros. 
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53 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1 Se produce un disparo a 1,81 Km. de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en 
oír el disparo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s? R. 𝒕 = 𝟓, 𝟒𝟖[𝒔] 
2 La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 Km./s. Se produce un 
relámpago a 50 Km. de un observador. a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? 
¿Por qué? b) ¿con qué diferencia de tiempo los registra? R. a) La luz b) 𝟏𝟓𝟏, 𝟓𝟏[𝒔] 
3 ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 Km/s y 
el sol se encuentra a 150.000.000 Km. de distancia. R. 𝒕 = 𝟓𝟎𝟎 [𝒔] 
4 Un auto de fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempo 
 t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m. Calcular: 
a) ¿a qué velocidad se desplaza el auto? 
b) ¿en qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?. 
R. a) 𝟒𝟎[𝒎/𝒔] b) 𝟏𝟎𝟑, 𝟓[𝒎] 
5 ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 Km./h, después de un día y medio de 
viaje? R. 𝟑𝟐𝟒𝟎 [𝒌𝒎] 
6 ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el que se desplaza a 120 Km./h 
o el que lo hace a 45 m/s? R. El que lo hace a 45 m/s 
7 ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 Km./h para recorrer una 
distancia de 25.000 m? R. 𝟎, 𝟑𝟑 [𝒉] 
8 Una bicicleta parte con una velocidad de 3 m/s, 5 minutos después parte un automóvil en su 
persecución a una velocidad de 20 m/s a) ¿A qué distancia del punto de partida la bicicleta y el 
automóvil se interceptan? b) ¿Cuánto tiempo después de que el automóvil parte, este alcanza a la 
bicicleta? R. 𝒂) 𝟏𝟎𝟓𝟖, 𝟖𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒃) 𝟓𝟐, 𝟗𝟒 [𝒔] 
9 Dos autos se encuentran separados 7 kilómetros, uno avanza hacia la derecha con una velocidad 
de 20[𝑚/𝑠] y el otro avanza hacia la izquierda con una velocidad de 30[𝑚/𝑠], determinar el 
tiempo en el cual se encuentran separados 500[𝑚] R. 130 segundos y 150 segundos 
20 m/s 30 m/s
 
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54 
 
10 En una noche lluviosa, se observa un gran relámpago y luego de 5 segundos se escucha el 
trueno. Determinar la distancia aproximada a la que se encontraba dicho relámpago. 
 𝑹. ∆𝑿 = 𝟏𝟔𝟓𝟎[𝒎] 
11 Tres automóviles se encuentran separados 10 y 20 metros como se ve en la figura, si las 
velocidades de los automóviles son 25 [𝑚/𝑠],10 [𝑚/𝑠] y 4 [𝑚/𝑠] respectivamente, calcular el 
tiempo en que los automóviles equidistan (las distancias entre ellos sean iguales). 
 
R. 𝟏, 𝟏𝟏 [𝒔] 
12 Un tren de 50 metros de longitud, ingresa a un túnel con una velocidad constante de 40 [𝑚/𝑠] 
Determinar la longitud del túnel, si el tren tarda 20 [𝑠], en pasar completamente por el túnel. 
R. 𝑳 = 𝟕𝟓𝟎[𝒎] 
13 Una persona de 1,80 de estatura va caminando con una velocidad de 2 m/s constante y pasa 
junto a un poste de luz de 3 metros de altura. Encontrar la velocidad con que la sombra del peatón 
se mueve con respecto al poste. R 4,98 m/s 
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55 
 
 
 
 
 
 
Un auto F1 pesa solo 600kg (con piloto) y tiene cerca de 850 HP de potencia, lo que indica que 
tiene más de un caballo de fuerza por kilo. 
Acelera de 0 a 100 km/h en 2.3 segundos (dependiendo de la puesta punto). 
 
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56 
 
Objetivos.- Luego de este capítulo el alumno será capaz de: 
- Diferenciar el Movimiento Rectilíneo Uniforme del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado. 
- Definir conceptos teóricos relacionados con el tema. 
- Solucionar problemas relacionados con el tema. 
- Aplicacióndel sistema de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado en la física. 
 
Introducción.- En el capítulo anterior se estudiaron los cuerpos que tienen una velocidad constante, 
ahora bien ¿Qué pasa si esta velocidad varía en función al tiempo? ¿Cómo afecta esta variación en la 
trayectoria del cuerpo? Esta pregunta será respondida en este capítulo. 
Características.-Este tipo de movimiento se caracteriza por la variación de la velocidad. Aparece la 
aceleración, que es el cambio de velocidad en una unidad de tiempo. 
Fórmulas: La fórmula básica del M.R.U.A .es: 
2
00
2
1
tatvxx f ++= (1) 
 Esta es la ecuación de la trayectoria de un móvil o partícula. 
 Mediante la derivación que se estudiara en cursos superiores se determina la fórmula 2: 
tavv f += 0 (2) 
 
Donde: 
 xf → Posición final de la partícula o móvil en metros (m). 
 xo → Posición inicial de la partícula o móvil en metros (m). 
 vo → Velocidad inicial en m/s. 
 vf → Velocidad final en m/s. 
 a → Aceleración en metros por segundo al cuadrado m/s2 
 
 
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57 
 
 De las fórmulas 1 y 2 obtenemos una tercera fórmula: 
 
( )0202 2 xxavv ff −+= (3) 
Otras expresiones comunes son: 
t
vv
a
f 0−
= (Despejando aceleración en ecuación 2) 
∆X = vo·t + ½ a·t2 (Cuando se tiene desplazamiento en ecuación 1) 
vf2 = vo2 + 2·a (∆X) (Cuando se tiene desplazamiento en ecuación 3) 
 
Velocidad media.-Es el promedio entre la velocidad final y la velocidad inicial. Su fórmula es: 
2
0vv
v
f
m
+
=
 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑥1 + ∆𝑥2 + ∆𝑥3 … … … . .
∆𝑡1 + ∆𝑡2 + ∆𝑡3 … … … … .
 
Velocidad instantánea.- Es la velocidad que tiene un móvil en un preciso instante o tiempo. 
Consideraciones generales.- Para la resolución de problemas de M.R.U.A existen términos que por lo 
general se utilizan para este tipo de movimiento los cuales son: 
Un móvil parte del reposo.-Significa que el móvil tiene una velocidad inicial de 0 m/s. 
Un móvil parte del origen.-Significa que el móvil tiene una posición inicial de 0 m. 
Un móvil desacelera a razón de.- Significa que el móvil tiene una aceleración negativa. 
Un móvil alcanza la velocidad de.-Generalmente representa al a velocidad final del móvil. 
Un móvil se frena hasta detenerse.-Significa que la velocidad final del móvil es cero. 
 
 
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58 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
1 Mediante las fórmulas 1 y 2 determinar la fórmula 3. 
 Fórmula 1: xf = xo + vo×t +1/2 a×t2 
 Fórmula 2: vf = vo + a×t 
Despejando t en (2): 
 a×t = vf –vo → t = (vf –vo)/ a 
 Sustituyendo en 1: 
 xf = xo + vo× (vf –vo)/ a +1/2 a× (( vf –vo)/ a)2 
 xf – xo = (vo×vf – vo2)/a +1/2 a ( vf2 – 2 vf×vo + vo2)/a2 
 xf – xo = (vo×vf – vo2)/a + ( vf2 – 2 vf×vo + vo2)/ 2×a 
Sacando factor común que es 2×a: 
 xf – xo = ( 2× vo×vf – 2× vo2+ vf2 – 2 vf×vo + vo2)/2×a 
 (xf – xo) ×2×a = vf2 – vo2 
Despejando vf2: 
𝑣𝑓
2 = 𝑣0
2 + 2𝑎(𝑥𝑓 − 𝑥0) (Fórmula 3) 
2 Determinar la ecuación de la trayectoria para una partícula que tiene aceleración igual a cero. 
 Datos: a = 0 m/s2 
Reemplazando a = 0 en la ecuación 1: xf = xo + vo×t +1/2 a×t2 
xf = xo + vo×t +1/2 (0) ×t2 → xf = xo + vo×t 
Esta es la fórmula para a = 0, nótese que esta ecuación es la misma que del movimiento rectilíneo 
uniforme, donde la aceleración era 0. 
3 Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 segundos una 
 velocidad de 588 m/s. Calcular: 
 a) La aceleración del cohete. 
 b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 segundos? 
 
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59 
 
Datos: 
Como parte del reposo vo= 0 m/s; t = 30 s; vf = 588 m/s; a =? 
Resolución: 
a) Analizando los datos, la fórmula conveniente para este problema es la fórmula numero 2. 
 vf = vo + a×t → 588 = 0 + a×30 
 a = 588/ 30 → a = 19,6 m/s2 
 El cohete tiene una aceleración de 19,6 m/s2. 
 b) Para el espacio recorrido se utiliza la fórmula 1 o 2. 
 Reemplazando en la fórmula 1: ∆X = vo×t + ½ a×t2 (Fórmula cuando se quiere desplazamiento y no 
posiciones) 
 ∆X = 0×t + ½ (19,6) ×302 → ∆X = 8820 m. 
4 Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 segundos y recorre 
400 metros hasta detenerse. Calcular: 
a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? 
b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? 
Datos: t = 25 s; ∆X = 400 m; vf = 0 m/s; vo =? ; a = ? 
 Resolución: 
 Reemplazando datos en: ∆X = vo×t + ½ a×t2 
400 = vo×(25) + ½ a× 252 → 400 = 25×vo + 312,5×a 
Dividiendo la ecuación entre 25 y despejando vo: 
16 = vo + 12.5×a → vo = 16 -12,5×a (1) 
En vf = v0 + a×t 
0 = vo + a×25 → vo = -25×a (2) 
Igualando ecuaciones 1 y 2 
16 -12,5×a = -25×a → 12,5×a = -16 
 a = -16/12,5 → a = -1.28 m/s2. 
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60 
 
El signo negativo significa que el móvil está desacelerando. 
 Reemplazando en 1: vo = 16 -12,5×a (1) 
 vo = 16 -12,5×(-1,28) → vo = 32 m/s 
La velocidad inicial del móvil es de 32 m/s. 
5 ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 m/s, si parte del reposo acelerando 
constantemente a 20 m/s2? 
 
 
 Datos: vf = 60 m/s, vo = 0 m/s, a = 20 m/s2 
 Resolución: 
 Reemplazando datos en: tavv f += 0 
 60 = 0 + 20×t → t = 60/ 20 → t = 3 s. 
6 Una partícula parte del reposo con una posición inicial de 80 m. con respecto al origen de 
coordenadas, la desaceleración de la partícula es de 2 m/s2 constante. Calcular: La velocidad que 
tendrá después de 5 segundos y su posición al cabo de este tiempo. 
Datos: vo = 0 m/s., xo = 8 m., a = -2 m/s2,(Por ser desaceleración), t = 15 s. 
vf =? , xf =? 
Resolución: 
2
00
2
1
tatvxx f ++= 
xf = 80 + 0×15 + ½×(-2)×52 → xf = 55 m. 
Reemplazando en: tavv f += 0 
 vf = 0 + (-2)×5 → vf = -10 m/s. 
 
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61 
 
7 Un auto parte del reposo, a los 5 segundos posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es 
constante, calcular: La aceleración y el desplazamiento del auto. 
Datos: vo = 0 m/s, t = 5 s., vf = 90 km/h; a =?; ∆X =? 
Resolución: Primeramente convertimos la velocidad a m/s. 
90 km/h × 0,28 = 25,2 m/s → vf = 25,2 m/s 
Reemplazando: 
tavv f += 0 ó a = (vf – vo)/t (despejada) 
a = (25 +0)/5 → a = 5 m/s2. 
 8 Una partícula que se encuentra en la posición -100 metros con respecto al origen, viaja con una 
aceleración de 20 m/s2, si su velocidad inicial fue 10 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en pasar 
por el origen de coordenadas? 
Datos: xo = -100 m., a = 20 m/s2, vo= 10 m/s, xf = 0 m (Pasa por el origen).t =? 
Resolución: xf = xo + vo×t + ½ a×t2 
0 = -100 + 10×t + ½ (20) ×t2 
Ordenando: 10×t2 + 10×t -100 = 0 
Dividiendo toda la ecuación entre 10. : t2 + t -10 = 0 
Se trata de una ecuación de segundo grado que se resuelve con la fórmula: (fórmula de segundo 
grado). 
a
acbb
t
2
42 −−
= 
1=a ; 1=b ; 10−=c (“a” es el coeficiente del término cuadrático, “b” es el coeficiente del 
término lineal y “c” el coeficiente del término independiente) 
t = → t = 
t1= (-1 +6,4)/2 → t1= 2,7 s. 
t2 = (-1-6,4)/2 → t2 = -3,7 s. 
1*2
)10(*1*411 2 −−−+−
2
4011 +−+−
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62 
 
 Pero como no hay tiempo negativo la respuesta es t = 2,7 s. 
9 Un electrón en el tubo de rayos catódicos (pantalla del televisor) entra a una región donde se 
acelera de manera uniforme desde una rapidez de 3.00 × 104m/s. Hasta una rapidez de 5.00×106 m/s en 
una distancia de 2.00 cm. ¿Cuánto tiempo el electrón está en la región donde se acelera?, ¿Cuál es la 
aceleración del electrón? 
Datos: vo = 3.00 x 104m/s; vf = 5.00 x 106 m/s; ∆X = 2.00 cm. 
Resolución: Primeramente transformamos los 2 cm. a metros 
2 cm. ×1metro/100 cm. = 0,02 m. 
Aplicando la fórmula: vf 2 = vo2 + 2×a (∆X) 
 (5,00 x 106)2 = (3.00 x 104)2 + 2×a×(0,02) 
 2,5 x 1013 = 9,00 x 108 + 0,04×a 
 2,5 × 1013 = 0,04×a → a = 6,25 × 1014 m/s2 
Significa que el electrón tiene una aceleración de 6,25 × 1014 m/s2. 
Para el tiempo aplicamos la formula: vf = vo + a×t 
5.00 × 106 = 3.00 × 104 + 6,25 × 1014×t 
t = (5.00 x 106 - 3.00 x 104)/ 6,25 x 1014 
t = 7,95 x 10-9 s. 
10 Una particular inicia su movimiento en el punto 30 m. respecto al origen, con una velocidad de -16 
m/s y una desaceleración de 4 m/s2, Calcular el tiempo en que la partícula pasa por el origen. 
Datos: xo = 30m. ; vo = -16 m/s ; a = 4 m/s2 (Aunque se trata de desaceleración y debería tener signo 
negativo, es positiva debido a que como la velocidad inicial es negativa y la aceleración debe hacer 
que esta velocidad vaya bajando) 
Como calculamos el tiempo en que la particular pasa por el origen, la posición final será 0 m. 
 xf = 0 m;t =? 
Resolución: Aplicamos la ecuación de la trayectoria la cual es: 
xf = xo + vo×t + ½ a×t2 Reemplazando datos : 
0 = 30 - 16×t + ½×4×t2 → 2×t2 -16×t + 30 = 0 
Esta es una ecuación de segundo grado, resolviendo: 
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63 
 
Dividiendo entre 2: t2 - 8×t + 15 = 0 
 Por factorización matemática, dos números que multiplicados den 15 y sumados den 8.* 
 (t - 5) (t - 3) = 0 → t1 = 5s. ; t2 = 3 s. 
 Estos resultados significan que la partícula pasa dos veces por el origen, primero en t = 3 
segundos y después en t = 5 segundos. 
*También se podía utilizar la fórmula de la ecuación de segundo grado. 
11 Una partícula se mueve partiendo desde el reposo, con una aceleración de 2 m/s2 .Hallar la 
velocidad instantánea en t =10 segundos y la velocidad media al cabo de estos 10 primeros segundos. 
Datos: a = 2 m/s2 ; t = 10 s. ; 00 =v m/s 
Resolución. Para la velocidad instantánea aplicamos la formula: 
 vf = vo+ a×t → vf = 0 + 2×10 → vf = 20 m/s 
Para la velocidad media aplicamos la formula: 𝑣𝑚 =
𝑣𝑓+𝑣0
2
 
 vm = ( 0 + 20 )/2 → vm = 10 m/s 
12 Un automóvil avanza con una velocidad de 30 m/s, incrementa dicha velocidad a razón de 2 m/s 
cada segundo. Calcular la distancia recorrida por el automóvil al cabo de 120 segundos. 
Datos: Como el automóvil incrementa su velocidad 2 m/s cada segundo esto significa que su 
aceleración es: a = 2 m/s2. 
 vo = 30 m/s ; t = 120 s.; ∆X = ? 
Resolución: Mediante la fórmula ∆X = vo×t + ½ a×t2. 
 ∆X = 30×120 + ½×2×1202. → ∆X = 18000 m. 
La distancia recorrida al cabo de 120 segundos es de 18000 metros. 
 
13 La velocidad de un avión disminuye de 20 m/s a 6 m/s. Si se sabe que este decremento se 
produce en un desplazamiento de 100 metros .Calcular la desaceleración del avión. 
Datos: vo = 20 m/s; vf = 6 m/s; ∆X = 100 m.; a =? 
Resolución: Aplicamos la fórmula: vf2= vo2 + 2×a (∆X) 
 (6)2 = 202 + 2×a(100) → 36 = 400 + 200×a 
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64 
 
 a = (36-400)/200 → a = -1,82 m/s2 
14 Un móvil parte con una velocidad inicial de 40 m/s, si el móvil tiene una desaceleración de 
 4 m/s2 .Calcular después de que tiempo el móvil cambia de sentido en su trayectoria. 
Datos: vo = 40 m/s; a = -4 m/s2; vf = 0 m/s; t =? 
Para el instante en que el móvil cambia de sentido se toma la velocidad final como 0. vf = 0 m/s 
Resolución: Reemplazando datos en vf = v0+ a*t 
 0 = 40 + (-4) ×t → -40 = -4×t → t = -40 /-4 → t = 10 s. 
Significa que el móvil cambia de sentido después de 10 segundos. 
15 Una automóvil parte con una velocidad constante de 30 m/s, otro automóvil parte en su 
persecución después de 7 segundos con una velocidad inicial de 2 m/s y una aceleración de 1m/s2. 
Calcular el tiempo en que el segundo automóvil intercepta al primero y después de que distancia. 
 
El automóvil 1 avanza con velocidad constante (M.R.U.), el automóvil 2 tiene una aceleración 
(M.R.U.A.) 
Como el automóvil 2 sale 7 segundos después, entonces calculamos el desplazamiento recorrido por el 
automóvil 1 en ese tiempo. 
 ∆X= v. t → ∆X= 30×7 → ∆X= 210 m. 
En el siguiente dibujo vemos como quedan los autos después de los 7 segundos iniciales (a) y luego se 
observa a los autos ya interceptados (b). 
 
 
 Auto 2 a Auto 1 Auto 1 b Auto 2 
 
 0 m 210 m xf 
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65 
 
Se toma como punto de referencia al punto 0 metros. De esta manera la posición inicial del segundo 
auto es de 0 metros, la posición inicial del primer auto es de 210 metros y xf es la posición donde se 
interceptan. 
 Datos: Móvil 1 Móvil 2 
 𝑥0 = 210[𝑚] 𝑥0 = 0[𝑚] 
 xf = ? xf = ? 
 v = 30 m/s vo = 2 m/s 
 a = 1 m/s2 
Reemplazando en la ecuación de la trayectoria: 
Móvil 1 : xf = xo + v. t → xf = 210 + 30×t (1) (M.R.U.) 
Móvil 2 : xf = xo + vo×t +½× a×t2 (2) (M.R.U.A.) 
 xf = 0 + 2×t + ½ × 1 × t2 → xf = 2×t + 0,5×t2 (2) 
 Igualando la ecuación 1 y 2 : 
 210 + 30×t = 2×t + 0,5×t2 → 0,5×t2 – 28×t -210 = 0 
Dividiendo ambos lados entre 0,5 para simplificar la expresión: 
t 2 – 56×t – 420 = 0 
Esta es una ecuación de segundo grado que se resuelve mediante la fórmula: 
t = (fórmula de segundo grado) → t = 
 t = → t = 
 t = → t = (56 + 69,4)/2 → t1 = 62,7 s. 
 t2 = (56 – 69,4)/2 → t2 = -6,7 s. 
Pero como no existe tiempo negativo entonces la respuesta es t = 62,7 s. 
Reemplazando en la ecuación 1: xf = 210 + 30×t 
a
cabb
*2
**42 −−+−
1*2
)420(*1*45656 2 −−−++
2
1680313656 +−++
2
481656 −++
2
4,6956 −++
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
66 
 
 xf = 210 + 30×62,7 → xf = 2091 m. 
Significa que los automóviles se interceptan después de 62,7 segundos, luego de que el segundo 
móvil recorrió 2091 m. y de que el primer móvil recorrió 2091 metros + 210 metros que recorrió 
durante los 7 primerossegundo = 2301 m. 
El ejercicio anterior también se lo puede resolver mediante el método grafico: 
Se elaboran tablas para las ecuaciones de la trayectoria de los dos móviles donde se asigna valores para 
el tiempo, calculando la respectiva posición final para este tiempo: 
 Móvil 1: xf = 210 + 30×t 
t xf 
0 0 
10 70 
20 240 
30 510 
40 880 
50 1350 
60 1920 
70 2590 
Móvil 2: xf = 2×t + 0,5×t2 
t xf 
0 210 
10 510 
20 810 
30 1110 
40 1410 
50 1710 
60 2010 
70 2310 
 El gráfico del móvil 1 es una recta por ser una ecuación lineal, el grafico del móvil 2 es una parábola 
por ser una ecuación de segundo grado. 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
67 
 
Graficando: 
 
Observando el gráfico notamos que la intersección de los dos móviles se realiza en los punto t = 62 s. 
y xf = 2100 m. 
Estos datos se aproximan a los resultados del método analítico. 
 El problema de aplicar el método grafico para la resolución de ejercicios es que los resultados no son 
exactos. 
16 Dos partículas se encuentran separadas 100 metros en el momento que parten en la misma 
dirección, la partícula de atrás con velocidad constante de 5 m/s y la de adelante parte del reposo con 
una aceleración de 1  2/ sm , ¿La partícula de atrás alcanza a la de adelante? ¿En qué tiempo?, si no 
¿Cuál debió ser la velocidad mínima para que la partícula de atrás alcance a la de adelante? 
 
Datos de la partícula con M.R.U.: 
mx 00 = ; xx f = ; smv /5= 
Reemplazando en: tvxx f += 0 
tx += 50 (1) 
Datos de la partícula con M.R.U.A.: 
mx 1000 = ; xx f = ; smv /00 = (Por qué parte del reposo). 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 20 40 60 80
p
o
si
ci
ó
n
 e
n
 m
e
tr
o
s
tiempo en segundos
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
68 
 
Reemplazando en: 2
00
2
1
tatvxx f ++= 
( ) 21
2
1
0100 ttx ++= → 
25,0100 tx += (2) 
Igualando (1) y (2): 
25,01005 tt += 
Ordenando: 
010055,0 2 =+− tt 
Aplicando la ecuación de segundo grado: 
a
acbb
t
2
42 −−
= → 
( )( )
( )5,02
1005,04255 −
=t 
1
200255 −
=t → 
1
1755 −
=t 
- La raíz de un número negativo es imaginario por lo cual no existe solución real posible. 
Significa que la partícula que se encuentra detrás no alcanzará nunca a la de adelante. 
- Para hacer el análisis de cuál debe ser la velocidad mínima para que la partícula de atrás alcance a la 
de adelante se toma en cuenta que: 
adv 2 
Siendo “a” la aceleración de la partícula de adelante y “d” la distancia que las separa. 
Reemplazando datos se tiene: 
( ) ( )10012 v → 200v → 14,14v  sm / 
Significa que para que la partícula de atrás alcance a la de adelante la velocidad debe ser mayor 
a 14,14 m/s. 
- Ahora bien, ¿De dónde se concluye que adv 2 para que la partícula de atrás alcance a la de 
adelante? 
Demuestre que esta expresión es válida. 
- Supongamos que la velocidad de la partícula de atrás es mayor a 14,14 m/s por ejemplo 20 m/s, 
entonces pasará a la partícula que se encuentra adelante, pero la misma irá adquiriendo cada vez más 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
69 
 
velocidad y a su vez pasará a esta partícula. Por lo cual existen dos tiempos en que las partículas tienen 
la misma posición (se cruzan). 
Realice el anterior ejercicio con smv /20= y calcule los tiempos en que las partículas se cruzan. 
17 Dos masas de longitud despreciable, tienen velocidades iniciales de smvA /5= y smvB /2= , 
parten desde un mismo punto en sentidos contrarios como se ve en la figura, la primera masa tiene una 
desaceleración de 2  2/ sm y la segunda una aceleración de 1  2/ sm . Determinar el tiempo en que 
las masas se encuentran separadas 4 metros. (Asumir que luego que las masas se detienen, cambian de 
sentido) 
 
 
Datos para la masa “A”: 
xx =0 
mx f 0= 
smv /50 −= (Por ir a la izquierda) 
2/2 sma = (Aunque se trata de una desaceleración y se menciono que debería tener signo negativo, en 
este caso como la velocidad inicial es negativa, la aceleración debe tener signo contrario) 
Reemplazando en la ecuación de la trayectoria: 
2
00
2
1
tatvxx f ++= 
( ) 22
2
1
50 ttx +−= → 25 ttx −= (1) 
Datos para la masa “B”: 
xx =0 
mx f 4= 
smv /20 = 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
70 
 
2/1 sma = 
Reemplazando en la ecuación de la trayectoria: 
2
00
2
1
tatvxx f ++= 
( ) 21
2
1
24 ttx ++= → 425,0
2 +−−= ttx (2) 
Igualando (1) y (2): 
425,05 22 +−−=− tttt → 0475,0
2 =+− tt 
Aplicando la ecuación de segundo grado: 
a
acbb
t
2
42 −−
= → 
( )( )
( )5,02
45,04497 −
=t 
1
417 
=t → 
1
4,67 
=t 
6,01 =t  s 
4,132 =t  s 
- Si se realiza un análisis separado de las masas se observa que después de 6,01 =t segundos la masa 
“A” recorre 2,63 metros y la masa “B” recorre 1,37 metros que sumadas dan la separación de 4 metros. 
- Ahora bien, ¿qué interpretación tiene el resultado de 4,132 =t segundos? ¿Vuelven a estar separados 
4 metros? 
Sucede que la masa “A” está desacelerando y después de cierto tiempo frena hasta detenerse, luego de 
esto cambia de sentido(hacia la derecha) y comienza a aumentar su velocidad y como su aceleración es 
mayor a la de la masa ”B” entonces lógicamente llegará a estar separado nuevamente 4 metros de esta 
en ( 4,132 =t segundos) y luego la rebasará. 
¿Qué pasa después de que la masa “A” rebasa a la masa “B”? ¿Vuelven a estar separados 4 metros? 
¿Dónde está este resultado? 
Otro análisis: 
- Calculemos el tiempo en que la masa “A” cambia de sentido. Para esto se supone que la velocidad de 
esta masa en ese instante es 0. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
71 
 
smv f /0= 
smv /50 −= 
2/2 sma = 
Aplicando la fórmula: tavv f += 0 
t+−= 250 → 5,2=t  s 
- Lo que significa que el tiempo de inversión es de 2,5 segundos. 
Ahora calculamos la distancia recorrida por las dos masas en ese tiempo. 
Para la masa “A”: 
2
00
2
1
tatvxx f ++= → ( ) ( ) ( )
2
5,22
2
1
5,250 +−=fx 
25,6−=fx  m (Recorre 6,25 metros hasta el punto en que cambia de sentido). 
Para la masa “B”: 2
00
2
1
tatvxx f ++= → ( ) ( ) ( )
2
5,21
2
1
5,220 ++=fx 
12,8=fx  m (Recorre 8,12 metros en ese tiempo). 
Reemplazando en: tavv f += 0 
5,212 +=fv → 5,4=fv  sm / (En ese instante la masa “B” tiene una velocidad de 4,5 m/s. 
En ese instante sucede que: 
 
Ahora analizamos el tiempo que tardan en estar separados 4 metros. 
Aquí se tiene dos opciones, la primera que la masa “A” esté separada 4 metros por detrás de la masa 
“B” y la segunda que se encuentre 4 metros delante la masa “B”. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
72 
 
Para la masa “A”: 
2
00
2
1
tatvxx f ++= → ( )
22
2
1
025,64 ttx ++−= 
225,64 tx +−= (1) 
 
Para la masa “B”: 
2
00
2
1
tatvxx f ++= → ( )
21
2
1
5,412,8 ttx ++= 
25,05,412,8 ttx ++= (2) 
Igualando (1) y (2): 
22 5,05,412,825,64 ttt ++=+− 
Ordenando con 4 (La masa “A” 4 metros detrás de la masa “B”): 
037,105,45,0 2 =−− tt 
Aplicando la ecuación de segundo grado: 
a
acbb
t
2
42 −−
= → 
( )( )
( )5,02
37,105,0425,205,4 −−+
=t 
1
415,4 +
=t → 
1
40,65,4 +
=t → 9,10=t  s 
- Se anula el resultado negativo. 
Este tiempo sumado a los 2,5 segundos que la masa “A” cambia de sentido es el tiempo total: 
5,29,10 +=t → 4,13=t  s 
Significa que la masa “A” se encuentra 4 metros detrás la masa “B” en 13,4 segundos. 
(Resultado idéntico al otro análisis) 
Ordenando con -4 (La masa “A” 4 metrosdelante de la masa “B”): 
037,185,45,0 2 =−− tt 
Aplicando la ecuación de segundo grado: 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
73 
 
a
acbb
t
2
42 −−
= → 
( )( )
( )5,02
37,185,0425,205,4 −−+
=t 
1
575,4 +
=t → 
1
55,75,4 +
=t → 05,12=t  s 
- Se anula el resultado negativo. 
Este tiempo sumado a los 2,5 segundo que la masa “A” cambia de sentido: 
5,205,12 +=t → 55,14=t  s 
Significa que la masa “A” se encuentra 4 metros delante la masa “B” en 14,55 segundos. 
En conclusión, las masas se encuentran separadas una distancia de 4 metros en los tiempos: 
st 6,0= ; st 4,13= y st 55,14= 
- Aunque este ejercicio es amplio, existen muchas variables de solución, denotando la amplitud de 
problemas que se pueden plantear y sus distintas soluciones. 
 
18 Un tren de 50 metros de longitud, tiene una aceleración de  2/2 sm , en el instante que ingresa a 
un túnel tiene una velocidad de  sm /10 . Si en el instante que sale completamente del túnel tiene una 
velocidad de  sm /40 . Determinar la longitud del túnel. 
 
Datos: 
smv /100 = ; smv f /40= ; 
2/2 sma = 
mx 500 = ; ddx f +=++= 1005050 
Remplazando en la ecuación: ( )0202 2 xxavv ff −+= 
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74 
 
( )50100221040 22 −++= d → ( )d++= 5041001600 
d42001500 += → d41300 = → 
4
1300
=d → 325=d  m 
Significa que la longitud del túnel es de 325 metros. 
19 Una moto recorre 150 metros en 5 segundos, si al cabo de este tiempo su velocidad es de 50 m/s, 
calcular la velocidad inicial de la moto y su aceleración. 
Datos: 
mx 150= ; st 5= ; smv f /50= ; ?0 =v ; ?=a 
 Reemplazando en la fórmula: 
2
0
2
1
tatvx += (Que es la misma que la ecuación de la trayectoria ya que 
0xxx f −= ) 
2
0 5
2
1
5150 += av → av 5,125150 0 += (1) 
Reemplazando en la fórmula: 
tavv f += 0 → 550 0 += av → av 550 0 += 
 av 5500 −= (2) 
Reemplazando (2) en (1): 
( ) aa 5,125505150 +−= → aa 5,1225250150 +−= 
1005,12 =a → 8=a  2/ sm 
Reemplazando en (2): 
av 5500 −= → 85500 −=v → 100 =v  sm / 
Significa que la moto tenía una velocidad inicial de 10  sm / y una aceleración de 8  2/ sm 
- Si se realiza este problema literalmente resulta que se tiene: 
2
2
1
tatvx f −= 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
75 
 
- ¿Esta es una cuarta fórmula? Demuestre de esta fórmula. 
En realidad la fórmula principal es: 2
00
2
1
tatvxx f ++= que por medios algebraicos y de 
derivación se obtienen las otras fórmulas, estos aspectos se estudiarán en temas más adelante. 
 
GRÁFICOS DEL M.R.U.A. 
Existen tres tipos de gráficos fundamentales en el M.R.U.A., estos son: Gráfico de la posición en 
función al tiempo, grafico de la velocidad en función al tiempo. 
1) Gráfico de la posición en función al tiempo.- Este grafico se obtiene a través de la ecuación de la 
trayectoria. 2
00
2
1
tatvxx f ++= 
Como esta función es cuadrática, entonces el grafico de la posición en función al tiempo es una 
parábola. 
Para elaborar este gráfico se debe construir una tabla de la posición en función al tiempo para 
posteriormente graficar la función. (Ver ejercicio 15). 
x 
t
parábola
 
 
 
 
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76 
 
2) Gráfico de la velocidad en función al tiempo.- 
Este grafico se obtiene a partir de la ecuación: vf = 
vo + a×t .Esta ecuación es lineal y por lo tanto es 
una recta. 
 En este gráfico observamos la velocidad en 
función al tiempo de cuatro formas: 
 1) Vemos una partícula que al comienzo está en 
reposo por eso en t = 0 s, su velocidad es también 0 
m/s. Nótese que esta partícula tiene aceleración 
positiva, es por esto que la velocidad se 
incrementando en el paso del tiempo. 
2) Vemos una partícula que al comienzo también está en reposo, pero que esta partícula tiene 
aceleración negativa es por eso que su velocidad va disminuyendo en el paso del tiempo. 
 3) Aquí observamos una partícula que tiene cierta velocidad inicial y una aceleración positiva. 
 4) Una partícula con velocidad inicial pero con aceleración negativa. 
2.1) Cálculo de la aceleración en un gráfico de la velocidad en función al tiempo.- En estos 
gráficos, la aceleración es la pendiente de la velocidad. 
 
3) Gráfico de la aceleración en función al tiempo.-Como la aceleración es constante, el grafico de la 
aceleración en función al tiempo es una recta paralela al eje x. 
 
 
 
 
 
v 
t
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77 
 
PROBLEMAS RESUELTOS. (Gráficos) 
1 Calcular la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración de una partícula que tiene como 
ecuación de la trayectoria la fórmula xf = -5 + 3×t + 8×t2 
Resolución: Para calcular las magnitudes pedidas basta con comparar la ecuación planteada con la 
ecuación de la trayectoria de la partícula. 
 xf = xo + vo×t +½× a×t2 (Ecuación de la trayectoria) 
 xf = -5 + 3×t + 8×t2 (Ecuación planteada) 
 -------------------------------- 
Por comparación: xo = -5; v0 = 3; ½× a = 8 
½× a = 8 → a = 16 m/s2. 
De donde concluímos que: xo = -5 m; v0 = 3 m/s; a = 16 m/s2 
 
2 Según el siguiente grafico de posición en función al 
tiempo de una partícula .Hallar la ecuación de la 
posición y la ecuación de la velocidad en función al 
tiempo para esta partícula. 
 En primer lugar se observa que la posición inicial de la 
partícula es 0 m. 
 Se debe obtener dos puntos cualesquiera del gráfico. 
X=m 
t=s
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 6
 
X=m 
t=s
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 6
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
78 
 
 Como observamos en el grafico los puntos tomados son: 
 P1 (4,30); p2 (5.5, 50), esto significa que para 
 t = 4 la posición es 30 y para t = 5,5 la posición es 50 
Reemplazamos estos datos en la ecuación de la trayectoria: 
Con p1. xf = xo + vo×t +½× a×t2 → 30 = 0 + vo(4) + ½×a×(42) 
 30 = 4×vo + 8×a → vo = 7,5 – 2×a (1) 
Con p2: 50 = 0 + vo×(5,5) + ½×a×(5,52) → vo = 9,1 – 2,75×a (2) 
Igualando 1 y 2: 7,5 – 2×a = 9,1 – 2,75×a 
Despejando a: 0,75×a = 1,6 → a = 2,13 m/s2 
Reemplazando en 1: vo = 7,5 – 2×a → vo = 7,5 – 2×2,13 
 vo = 3,23 m/s. 
Reemplazando en las ecuaciones de posición y velocidad en función al tiempo tenemos: 
xf = 3,23×t + 1,065×t2 : vf = 3,23 + 2,13×t 
 
 3 En la ecuación v = -8 + 5×t (que es la ecuación de la velocidad en función al tiempo). a) Calcular la 
velocidad inicial y la aceleración del móvil).b) Calcular la velocidad para un tiempo t = 10 s. 
Resolución: a) Se debe comparar la ecuación dada con la ecuación de la velocidad en función al 
tiempo que es: vf = v0+ a×t 
 vf = vo + a×t 
 v = -8 + 5×t 
 Comparando: vo = -8 m/s; a = 5 m/s2 
b) Reemplazamos el valor de t =10 s. en la ecuación planteada. 
 v = -8 + 5×t → v = -8 + 5×10 → v = 42 m/s. 
 
 
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79 
 
4 Para el siguiente gráfico de velocidad en función al tiempo, calcular la distancia recorrida por el 
móvil. 
v
t
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1
2
3
4
6
 
 Parahallar la distancia recorrida se debe calcular el área de las distintas figuras (ver grafico).En el 
grafico observamos las siete áreas a calcularse. 
Área de rectángulo = base × altura 
Área del triangulo = (base × altura)/2 
A1 = base × altura = 2×2 = 4 
A2 = (base × altura)/2 = (2×8)/2 = 8 
A3 = base × altura = 4 × 10 = 40 
A4 = (base × altura)/2 = (2×10)/2 = 10 
A5 = (base × altura)/2 = (1×6)/2 = 3 
A6 = base × altura = 2 × 6 =12 
A7 = (base × altura)/2 = (2×6)/2 = 6 
La distancia total recorrida por el móvil es la suma de las áreas calculadas: 
Dist. = 4 + 8 + 40 + 10 + 3 + 12 + 6 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
80 
 
 Distancia. = 83 metros. 
Cuando la velocidad es negativa, el móvil cambia de sentido por lo cual el desplazamiento es: 
∆𝒙 = (𝟒 + 𝟖 + 𝟒𝟎 + 𝟏𝟎) − (𝟑 + 𝟏𝟐 + 𝟔) → ∆𝐱 = 𝟒𝟏 [𝐦] 
5 En la siguiente gráfica calcular la posición y el tiempo en que las dos partículas se interceptan. 
 
 Simplemente observamos la intercepción en el gráfico 
 x = 650 m; t = 6,2 s. 
6 Hallar la velocidad en t = 8 s. en la siguiente grafica de posición en función al tiempo. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
81 
 
 
Trazamos una recta tangente al punto en el cual queremos hallar la velocidad que en este caso es 
t = 8 seg. 
Luego se pasa a calcular la pendiente de la recta tangente. 
 Pendiente = (y2 – y1)/((x2 – x1) 
Reemplazando datos: Pendiente = (45 – 20)/(12 – 8) 
 Pendiente = 6,25 
 Esta pendiente resulta ser la velocidad para 
 t = 8 segundos. v = 6,25 m/s. 
 
 7 Las ecuaciones de las trayectorias de dos partículas son: 
xf = 300 -25×t – 4×t2 y xf = 2×t + 6×t2 respectivamente. 
Calcular la posición y el tiempo en que las partículas se interceptan. 
Analíticamente: Igualamos las dos ecuaciones. 
 300 -25×t – 4×t2 = 2×t + 6×t2 → -10×t2 – 27×t + 300 = 0 
 10×t2 + 27×t-300 = 0 dividiendo entre 10 : 
 t2 +2,7×t-30=0 Resolviendo por la ecuación de 
segundo grado tenemos: 
 t = 4,29 s. Reemplazando este valor en 1 o 2: 
xf = 300 -25×t – 4×t2 → xf = 300 – 25×4,29 – 4×(4,292) 
xf = 174,34 m. 
 
 
 
 
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82 
 
Método gráfico: Se grafican la dos curvas. 
xf = 300 -25×t – 4×t2 
t x 
0 300 
1 271 
2 234 
3 189 
4 136 
5 75 
xf = 2×t + 6×t2 
t x 
0 0 
1 8 
2 28 
3 60 
4 104 
5 160 
 
 
Como observamos la intercepción de los móviles se da en el punto 
t = 4, 2 s. y x = 170 m. (aproximados a la resolución analítica) 
 
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6
P
o
si
ci
ó
n
tiempo
x
x
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83 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 1 Analizar los movimientos rectilíneos a y b representados en las siguientes gráficas: 
 
 Si la posición en t = 0 es 5 m para el movimiento a y 50 km para el b, expresar analíticamente las 
ecuaciones del movimiento a partir de los datos incluidos en las gráficas. 
R. 𝒙𝒇 = 𝟓 + 𝟐𝟎𝒕 − 𝟏, 𝟑𝟑𝒕
𝟐 𝒙𝒇 = 𝟓𝟎 + 𝟐𝟎𝟎𝒕 − 𝟏𝟎𝒕
𝟐 
2 Un móvil se desplaza sobre el eje “x” con movimiento uniformemente variado. La posición en el 
instante t0 = 0 s es x0 = 10 m; su velocidad inicial es v0 = 5 m/s y su aceleración a = -4 m/s
2. Escribir 
las ecuaciones horarias del movimiento (posición en función al tiempo y velocidad en función al 
tiempo); graficar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo; y calcular (a) la posición, 
(b) velocidad y (c) aceleración para t = 2 s. 
R. 𝒙 = 𝟏𝟎 + 𝟓𝒕 − 𝟐𝒕𝟐 𝒗 = 𝟓 − 𝟒𝒕 𝒂) 𝟏𝟐 [𝒎] 𝒃) − 𝟑 [𝒎/𝒔] 𝒄) − 𝟒 [𝒎/𝒔𝟐] 
3 Una partícula parte del reposo con una aceleración constante de 4 m/s2, transcurridos 2 horas deja 
de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar: 
a) ¿Cuántos km recorrió en los 20 primeros minutos? 
b) ¿Qué distancia habrá recorrió a las 8 horas de la partida? 
R. a) 𝟐𝟖𝟖𝟎[𝑲𝒎] b) 𝟕𝟐𝟓𝟕𝟔𝟎[𝑲𝒎] 
4 Un automóvil que avanza a una velocidad de 16 m/s observa un poste que está a 25 metros, 
… después de 0,5 segundos aplica los frenos, la desaceleración provocada por los frenos es de 6 
……m/s2. ¿Choca el auto con el poste? 
R. Si 
5 Una partícula parte en la posición 𝑥 = 2[𝑚] con una velocidad de 5[𝑚/𝑠]. Si la aceleración de la 
partícula es de −3[𝑚/𝑠2]. Determinar el tiempo en que la partícula tiene una posición de 𝑥 =
−25[𝑚], determinar la velocidad que tiene la partícula en la posición 𝑥 = −25[𝑚], determinar la 
distancia y el desplazamiento recorrido. 
R. 𝒕 = 𝟔, 𝟐𝟐 [𝒔] 𝒗𝒇 = −𝟏𝟑, 𝟔𝟔[𝒎/𝒔] 𝒅 = 𝟑𝟓, 𝟑𝟒[𝒎] ∆𝒙 = 𝟐𝟕[𝒎] 
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84 
 
6 La velocidad de un vehículo aumenta uniformemente desde 10 km/h hasta 90 km/h en 10 
segundos, Calcular la velocidad media del coche y calcular la aceleración del mismo. 
R. 𝒗𝒎 = 𝟏𝟑, 𝟖𝟗 [𝒎/𝒔] 𝒂 = 𝟐, 𝟐𝟐 [𝒎/𝒔
𝟐] 
7 Una partícula que parte del reposo adquiere una velocidad de 35 m/s en t = 8 segundos. Hallar la 
velocidad y la aceleración que lleva la partícula después de 40 segundos de iniciar su movimiento. 
R. 𝒗 = 𝟏𝟕𝟒, 𝟖 [𝒎/𝒔] 𝒂 = 𝟒, 𝟑𝟕 [𝒎/𝒔𝟐] 
8 Un tren eléctrico que parte del reposo acelera a razón de 2m/s2 durante 20 segundos, luego de esto 
permanece con velocidad constante. Calcular la distancia recorrida por el tren durante los primeros 2 
minutos. R. 𝒅 = 𝟒𝟒𝟎𝟎[𝒎] 
9 Una partícula parte en la posición 𝑥0 = 5 [𝑚], con una velocidad de 5 [𝑚/𝑠] y una aceleración 
constante de 2 [𝑚/𝑠2] , calcular: a) El tiempo en que la partícula pasa por la posición 20 [𝑚] b) La 
velocidad con la que pasa por este punto. R. 𝒕 = 𝟐, 𝟏𝟏 [𝒔] 𝒗 = 𝟗, 𝟐𝟐 [𝒎/𝒔] 
10 Dos automóviles separados por 1500 metros avanzan uno hacia el otro, el primero avanza con 
velocidad constante de 10 m/s, el segundo con una velocidad inicial de 2 m/s comienza a acelerar a 
razón de 1m/s2. ¿Luego de que tiempo y en qué posición los móviles se interceptan? 
R. 𝒕 = 𝟒𝟒, 𝟎𝟕[𝒔] 𝒙 = 𝟏𝟎𝟓𝟗, 𝟑[𝒎] 
11 Una partícula tiene como ecuación de la trayectoria a: 
 x = -10 + 2×t – 8×t2 .Calcule la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración de esta partícula. 
R. 𝒙𝟎 = −𝟏𝟎[𝒎] 𝒗𝟎 = 𝟐[𝒎/𝒔] 𝒂 = −𝟏𝟔[𝒎/𝒔
𝟐] 
12 En el siguiente gráfico de velocidad en función al tiempo .Calcular la distancia y el desplazamiento 
recorrido por la particular. 
70
60
50
40
30
20
10
-10
-20
-30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
 
R. 𝒅𝒊𝒔𝒕 = 𝟐𝟓𝟎[𝒎] ∆𝒙 = 𝟏𝟕𝟎[𝒎] 
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85 
 
13 Una particular avanza los primeros 4 segundos con una velocidad constante de 10 m/s, los 
siguiente 3 segundos acelera a razón de 3m/s2 , luego de estos 3 segundos permanece con velocidad 
constante durante 6 segundos, finalmente la partícula desacelera hasta detenerse en 40 segundos. 
Calcular el desplazamiento total de la partícula. R. 𝟓𝟕𝟕, 𝟒[𝒎] 
14 Un tren que va a una velocidad de 50 m/s, aplica los frenos hasta detenerse. ¿Cuál debe ser su 
desaceleración mínima para que el tren se detenga antes de los 2000 metros? R. – 𝟎, 𝟔𝟐𝟓[𝒎/𝒔𝟐] 
15 Un aeroplano que partió del reposo,viaja de La paz a Cochabamba con una aceleración de 1 m/s2 
durante los primeros 2 minutos de su viaje, luego viaja con velocidad constate, Si el aeroplano llega a 
Cochabamba a la 8 de la noche y sabiendo que la distancia aproximada entre estas ciudades es de 400 
kilómetros, calcular a qué hora partió el aeroplano de La Paz. 
R. 𝑨 𝒍𝒂𝒔 𝟕 𝒄𝒐𝒏 𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 𝒚 𝟐𝟔 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔. 
16 Un electrón debido a la acción de un campo magnético acelera uniformemente a razón de 0,5 
cm/s2, si al cabo de 30 cm. de recorrido su velocidad es de 50 cm/s ¿Cuál fue su velocidad inicial? 
R. 𝟗, 𝟏𝟑[𝒄𝒎/𝒔] 
17 El aeropuerto internacional “Jorge Wilsterman” de la ciudad de Cochabamba tiene una longitud de 
2635 metros (ver especificaciones abajo), si un avión Boind 707 parte del reposo y despega después de 
haber recorrido 2000 metros (mínimo necesario para que una aeronave de estas características 
despegue). Si la velocidad necesaria de despegue es de 284 Km/h, Calcular: 
 a) El tiempo en que dicho avión despega 
 b) La aceleración que el avión adquiere. 
 
Especificaciones de la pista de aterrizaje del aeropuerto internacional “Jorge Wilsterman” 
LONGITUD : 2.635 metros 
ANCHURA : 45 metros 
SUPERFICIE : Pavimento flexible 
RESISTENCIA : PCN 41/F/B/X/T 
R. 𝒕 = 𝟓𝟎, 𝟖[𝒔] 𝒂 = 𝟏, 𝟓𝟓[𝒎/𝒔𝟐] 
 
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86 
 
18 Un PORSCHE 918 Spyder Weissach que tiene una aceleración de 0 a 100 km/h en 2 segundos, 
está parado en una vía, cuando observa que 10 metros detrás de él se le acerca otro auto que en ese 
instante viaja a 80 km/h y comienza a desacelerar a razón de 7 [𝑚/𝑠2]. Si el PORSCHE comienza a 
acelerar en ese mismo momento. ¿Logra evitar la colisión? Grafique. 
R. No 
 
 
19 En una carretera, el auto 1 acelera y quiere sobrepasar al auto 2 pero en la vía un tercer auto viaja 
en sentido contrario como se ve en la figura. Para los datos que se observan. ¿El auto 1 choca con el 
auto 3, antes de volver a su carril? 
Longitudes de los autos: 𝑳𝟏 = 𝟒 [𝒎] 𝑳𝟐 = 𝟑 [𝒎] 
 
35 m
V=1 m/s
V=2 m/s
V0=3 m/s
a=1 m/s^2 
1
2
3
 R. Afortunadamente no. 
 
http://www.autocity.com/porsche/918/spyder-weissach-package_2p_descapotable-ficha/
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87 
 
20 Dos autos se encuentran separados 100 metros, el de atrás parte del reposo y acelera a razón de 
2 [m/s2] persiguiendo al de adelante, el de adelante lleva una velocidad constante de 10 m/s. ¿Cuál 
es la máxima distancia de separación entre los 2 autos antes de que el de atrás alcance al de adelante? 
R. 125 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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88 
 
 
Galileo Galilei.-Astrónomo y Físico, nació el año de 1564 y murió en el año de 1642. 
 
 Galileo Galilei nació el 15 de febrero de 1564 en Pisa, Italia. Galileo inició el "método científico 
experimental", y era el primero en utilizar un telescopio que refractaba para hacer descubrimientos 
astronómicos importantes. 
En 1604 Galileo aprendió de la invención del telescopio en Holanda y lo modificó construyendo un 
modelo sumamente superior. Con él hizo una serie de descubrimientos profundos incluyendo las lunas 
del planeta Júpiter y las fases del planeta Venus (similar a los de la luna de la tierra). 
Como profesor de astronomía en la Universidad de Pisa, requirieron a Galileo enseñar la teoría 
aceptada de su tiempo que el sol y todos los planetas giran alrededor de la tierra. Más adelante en la 
Universidad de Padua lo expusieron a una nueva teoría, propuesta por Nicolaus Copernicus, de que la 
tierra y el resto de planetas giran alrededor del Sol. Las observaciones de Galileo con su telescopio 
nuevo lo convencieron de la verdad de la teoría sol-centrada o heliocéntrica de Copernicus. 
La ayuda de Galileo para la teoría heliocéntrica lo puso en apuro con la iglesia católica. En 1633 la 
inquisición le condenaba como hereje y fue forzado al "recant" (retírese público) su ayuda de 
Copernicus. Lo condenaron al encarcelamiento de por vida, pero debido a su edad avanzada le 
permitió que terminara su detención en su chalet fuera de Florencia, Italia. 
Galileo como científico pone la originalidad en su método de investigación. Primero él redujo 
problemas a un sistema simple de términos en base de experiencia diaria y común de lógica. Después 
él los analizaba y resolvió según descripciones matemáticas simples. El éxito con el cual él aplicó esta 
técnica al análisis del movimiento abrió la manera para la física matemática y experimental moderna. 
Isaac Newton utilizó una de las descripciones matemáticas de Galileo, "la ley de la inercia," como la 
fundación para su "primera ley del movimiento." Galileo murió en 1642, el año del nacimiento del 
neutonio. 
 
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89 
 
 
 
 
 
El edificio más alto del mundo, que sigue creciendo está en Dubai. Y es el edificio Burj Dubai, ya 
es oficialmente el edificio más grande del mundo. El 23 de Julio, llegó a la altura de 512,1 metros, 
superando al Taipei 101 en Taiwán que tenía el récord con 4 metros menos. 
¿Cuánto tardará un objeto que es dejado caer desde la cima en llegar al piso? 
http://blog.yaaqui.com/el-edificio-mas-alto-del-mundo-que-sigue-creciendo_articulo_9_3609.html
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90 
 
Objetivos.- Luego de este capítulo el alumno será capaz de: 
Definir aspectos teóricos con respecto al tema. 
Aplicación de formulas físicas en el movimiento vertical. 
Solucionar problemas relacionados con el tema. 
Introducción.- Antes de los experimentos realizados por el científico italiano Galileo Galilei en el 
siglo XVII, se pensaba que los cuerpos con mayor masa caían con mayor velocidad a los cuerpos más 
ligeros. Esto solo es cierto solo si existe resistencia del aire. 
Galileo Galilei llegó a la conclusión de que todos los objetos caen con una aceleración constante o sea 
con un movimiento uniformemente variado, Galilei llegó a estas conclusiones mediante observaciones 
en planos inclinados. 
El valor que este científico le puso a esta aceleración constante es de 980 cm/s2. 
La gravedad.-La gravedad es la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre los cuerpos. 
La aceleración que produce la fuerza de gravedad es aproximadamente de 9,8 m/s2 (g = 9,8 m/s2). 
Esta aceleración es constante para cada lugar de la tierra y varía relativamente un poco de unos puntos 
a otros. 
Consideraciones generales.-Existen términos que muy a menudo se utilizan en el movimiento 
vertical, esto son: 
1) Se deja caer.-Se refiere a una caída libre, por lo cual la velocidad inicial es 0 (vo = 0 m/s). 
2) Altura máxima.-Se refiere a que el móvil a adquirido su máxima altura, en este punto la velocidad 
final es 0 (vf = 0 m/s). 
3) Tiempo de vuelo.- Se refiere al tiempo que tarda el móvil en subir y en bajar. 
(Tiempo total). 
Para poder resolver problemas del movimiento vertical se debe tener presente algunos aspectos 
importantes: 
1) Signo de la velocidad.- Se toma como referencia que cuando el objeto va hacia arriba la velocidad 
del objeto es positiva. Cuando el objeto va hacia abajo, la velocidad en negativa. 
Así que asumiendo esta referencia la gravedad seria negativa 
(g = - 9,8 m/s2) 
2) Punto de referencia.-Es muy importante determinar bien cuál va a ser la altura inicial (yo) y la 
altura final (yf). 
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91 
 
3) Simetría.- Si lanzamos un objeto con cierta velocidad hacia arriba, y en ausencia de fuerzas 
externas como el viento, este regresa al punto de partida con la misma velocidad. Por ejemplo, si 
lanzamos desde el piso una moneda hacia arriba con una velocidad de 3 m/s, esta llega al piso con una 
velocidad de -3 m/s. 
4) La masa no importa.- Si subimos a una altura de 100 metros y dejamos caer al mismo tiempo una 
moneda de 100 gramos y una garrafa de 20 Kg.. ¿Cuál de ellas caerá primero al piso? La respuesta más 
común a priori sería que la garrafa por ser más pesada, sin embargo se ha demostrado que la masa no 
es relevante y que ambas caerán al mismo tiempo. ¿Y por que una pluma caerá mucho después que una 
moneda?, esto es debido a las fuerzas externas, entre ellas la resistencia del aire sobre la pluma. 
 Este tipo de movimiento es básicamente un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo 
la aceleración igual a la gravedad. 
Fórmulas del M.R.U.A.: 
 xf = xo + vo×t +1/2 a×t2 (1) 
 vf = vo + a×t (2) 
 vf 2 = vo2 + 2×a (xf – xo) (3) 
 
Como este movimiento se realiza en la vertical (eje « y »), las posiciones (alturas) se denominaran 
como « y » 
Reemplazando a = g = -9,8 m/s2 tenemos: 
 yf = yo + vo×t + ½×g×t2 → yf = yo + vo×t + ½×(-9,8) ×t2 
2
00 9,4 ttvyy f −+= (1) 
vf = vo + g×t → vf = vo +(- 9,8) ×t 
tvv f −= 8,90 (2) 
vf2 = vo2 + 2×g×(yf – yo) → vf2 = vo2 +2×(-9,8) ×(yf – yo) 
( )0202 6,19 yyvv ff −−= (3) 
 
 
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92 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
1 Determinar las ecuaciones para un cuerpo en caída libre. (Un cuerpo en caída libre tiene velocidad 
inicial cero) 
Resolución: Como el cuerpo está en caída libre, entonces su velocidad inicial es 0 m/s. Reemplazando 
este valor en las tres ecuaciones tenemos: 
vo = 0 m/s 
yf = yo + vo×t – 4,9×t2 → yf = yo – 4,9×t2 (1) 
vf = vo - 9,8×t → vf = - 9,8×t (2) 
vf 2 = vo2 - 19,6×(yf – yo) → vf 2 = - 19,6×(yf – yo) (3) 
Estas son las tres ecuaciones para una caída libre. 
 
2 Calcular el tiempo de vuelo para un objeto que es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 5 [𝑚/𝑠] 
 En este problema se toma como posición inicial el piso (yo = 0 m). 
5 m/s
 
 
 Resolución: El tiempo de subida del móvil es igual al tiempo de bajada, entonces calculamos el 
tiempo de subida. vf = vo - 9,8×t (2) 
 Como queremos hallar el tiempo de subida, entonces el objeto alcanzara su altura máxima y por lo 
tanto su velocidad final es 0 m/s. 
 
 
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93 
 
Datos: vo = 5 m/s 
 vf = 0 m/s 
 Reemplazando datos: vf = vo - 9,8×t → 0 = 5 – 9,8×t 
 t = 5/9,8 → t = 0,51 s. 
Es te resultado significa que el tiempo de subida del móvil es 0,51 segundos. 
El tiempo de vuelo será dos veces el tiempo de subida. 
tv = 0,51×2 → tv = 1,02 s. 
3 Se deja caer una moneda desde un edificio de 120 metros. 
¿Cuánto tarda la moneda hasta llegar al suelo? 
Como la moneda se deja caer desde la parte superior del edificio, 
la posición inicial de la moneda será la altura del edificio. 
(yo = 120 metros). 
 La posición final de la moneda es el suelo (yf = 0 metros). 
Datos: yo = 120 m.; yf = 0 m. ; vo = 0 m/s (se deja caer) ; t =? 
Resolución: Aplicando la fórmula: 
 yf = yo + vo×t – 4,9×t2 → 0 = 120 + 0×t – 4,9×t2 
 4,9×t2 = 120 → t2 = 120/4,9 → t2 = 24,49 
 t = → t = 4,95 s. 
Significa que la moneda tarda 4,95 segundos un caer de una altura de 120 metros hasta el suelo. 
 
4 Desde la parte superior de un edificio, se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una 
velocidad inicial de 3 m/s, si el edificio tiene una altura de 150 metros. ¿Calcular a qué altura estará la 
piedra después de 4 segundos? 
Datos: yo = 150 m. ; yf = ? ; vo = -3 m/s ; t = 4 s. 
49,24
120 m 
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94 
 
3 m/s
150 m
 
La altura inicial de la piedra es 150 metros y luego de 3 segundos llegará hasta una posición final 
desconocida (xf =?). 
La velocidad inicial de la piedra es de -3 m/s, esta velocidad es negativa por que la piedra va hacia 
abajo. 
Resolución: Reemplazando datos en la fórmula: yf = yo + vo×t – 4,9×t2 
yf = 150 – 3×4 - 4,9×(42) → yf = 150 – 12 – 78,4 → yf = 59,6 m. 
Significa que a los 4 segundos, la piedra se encuentra a una altura de 59,6 metros. 
 
5 En Cochabamba, se encuentra el Cristo más grande del mundo. El denominado Cristo de la 
Concordia tiene una altura aproximada de 40,44 metros, si se deja caer un objeto de la parte superior 
del Cristo ¿Cuánto tarda en llegar al piso este objeto? 
 
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95 
 
Datos: vo = 0 m/s; yo = 40,44 m; yf = 0 m; t =? 
yf = yo + vo×t – 4,9×t2 → 0 = 40,44 + 0×t -4,9×t2 
t = 2,87 s. 
Significa que el objeto tarda en caer 2,87 segundos en caer desde la parte superior del Cristo. 
 
6 Un objeto es lanzado desde el piso con una velocidad inicial de 8 m/s. a) ¿En qué tiempo el objeto 
logra una altura máxima? b) ¿Cual es su altura máxima? 
Datos: vo = 8m/s; vf = 0 m/s (logra su altura máxima); t =? 
Resolución: 
a) Reemplazando en la formula: vf = vo - 9,8×t 
 0 = 8 – 9,8×t → 9,8×t = 8 → t = 8/9,8 → t = 0,82 s. 
 b) En la fórmula: yf = yo + vo×t – 4,9×t2 
 Como el objeto es lanzado desde el suelo entonces yo = 0 m.. 
 Reemplazando datos: yf = 0 + 8×0,82 – 4,9×(0,822) 
 yf = 3,26 m. 
 La altura máxima a la que llega el objeto es de 3,26 metros. 
 7 Se deja caer un objeto desde una altura de 3,26 metros .Calcular el tiempo en que este objeto tarda 
en llegar al suelo y con qué velocidad llega. 
Datos: vo = 0 m.; yo = 3,26 m; yf = 0 m.; t =? ; vf =? 
Resolución: Según los datos aplicamos la fórmula: 
 yf = yo + vo×t – 4,9×t2 → 0 = 3,26 + 0×t – 4,9×t2 
 4,9×t2 = 3,26 → t2 = 3,26/4,9 → t = 0,82 s. 
 Para la velocidad fina aplicamos la fórmula: 
 vf = vo – 9,8×t → vf = 0 -9,8×0,82 → vf = - 8 m/s. 
 El signo negativo nos indica que el cuerpo en ese instante está dirigido hacia abajo. 
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96 
 
8 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una 
velocidad de 15 m/s desde la orilla de un edificio de 150 metros 
de alto. a) Calcular el tiempo en el cual la pelota chocará contra 
el piso. b) ¿Que distancia recorrió en total? 
 Para la resolución de este problema se toman dos tramos: 
Tramo 1.-La pelota llega a su altura máxima desde el techo del 
edificio. 
Tramo 2.-Desde su altura máxima, la pelota cae hasta chocar 
con el piso. 
Datos del tramo 1: yo = 150 m.; yf =? ; vo = 15 m/s.; 
vf = 0 m.(por que llega a su altura máxima). 
Reemplazando en la fórmula: vf2 = vo2 - 19,6×(yf – yo) 
 02 = 152 -19,6×(yf – 150) → 0 = 225 – 19,6×yf + 2940 
 0 = 3165 – 19,6×yf → 19,6×yf = 3165 yf = 161,48 m. 
 La posición final de la pelota (altura máxima), es de 161,48 metros. 
 Reemplazando estos datos en: vf = vo – 9,8×t → 0 = 15 – 9,8×t 
 t = 15/9,8 → t = 1,53 s. 
El tiempo en que la partícula tarda en llegar a su altura máxima es 1,53 segundos. 
Datos tramo 2: Para el tramo 2 se toma como posición inicial, la altura de 161,48 metros (posición 
final para el tramo 1).La posición final de la pelota es el suelo (yf = 0 m.).La velocidad inicialen este 
tramo es 0 m/s. 
yo = 161,48 m.;yf = 0 m.; vo = 0 m/s ; t = ? 
 Remplazando en la fórmula: yf = yo + vo×t – 4,9×t2 
 0 = 161,48 + 0×t – 4,9×t2 → 4,9×t2 = 161,48 
 t2 =161,48/4,9 → t = 5,74 s. 
Significa que la pelota tarda 5,74 segundos en llegar de su altura máxima al suelo. 
Para hallar el tiempo total en el que la pelota está en el aire, basta con sumar el tiempo de subida y el 
tiempo de bajada. 
 tv = ts + tb → tv = 1,53 + 5,74 → tv = 7,27 s. 
15 m/s
150 m
ALTURA 
MÁXIMA
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97 
 
 Para hallar la distancia total recorrida por la pelota se suma la distancia recorrida en el tramo 1 y 2. 
Tramo 1: 161,48 – 150 = 11,48 metros. 
Tramo 2: 161,48 metros. 
 Distancia total = 11,48 + 161,48 = 172,96 m. 
9 Se deja caer una piedra desde lo alto de un barranco, la piedra choca contra el suelo después de 8 
segundos. ¿Qué altura tiene dicho barranco? 
Datos: vo = 0m/s; t = 8s.; y0 =?; yf = 0 m. 
Aplicando la fórmula: yf = yo + vo×t – 4,9×t2 
0 = yo + 0×(8) -4,9×(82) → yo = 4,9×64 
yo = 313,6 m. 
10 Desde un gran edificio de 250 metros de alto, se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con 
una velocidad de 10 m/s. En ese preciso instante, se lanza verticalmente hacia arriba otra piedra desde 
la base del edificio con una velocidad de 150 m/s. Calcular el tiempo y la posición en el cual las piedra 
se cruzan. 
 
La base del edificio es 0 metros, la parte superior del edificio es de 250 metros. Entonces la piedra que 
es lanzada de lo alto del edificio tiene una posición inicial de 250 metros y una posición final de x 
(donde se realiza el cruce de las piedras). 
Por su parte la piedra que es lanzada hacia arriba desde la base del edificio tiene una posición inicial de 
0 metros y una posición fina de x. 
Datos piedra 1: yo = 250 m.; yf = y; vo = -10 m/s (negativo por ir hacia abajo) 
Reemplazando en la fórmula: yf = yo + vo×t – 4,9×t2 
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98 
 
y = 250 -10×t -4,9×t2 (1) 
Datos piedra 2: yo = 0 m.; yf = y; vo = 150 m/s 
Reemplazando en la fórmula: yf = yo + vo×t – 4,9×t2 
y = 0 + 150×t -4,9×t2 (2) 
Igualando las ecuaciones 1 y 2: 
150×t -4,9×t2 = 250 -10×t -4,9×t2 
-4,9×t2 + 4,9×t2 +150×t +10×t = 250 
160*t = 250 → t = 1,56 s. 
Remplazando este resultado en la ecuación 1: 
y = 250 -10×t -4,9×t2 → y = 250 – 10×1,56 -4,9×(1,562) 
y = 222,47 m. Significa que las piedras se cruzan después de 1,56 segundos a una altura de 222,47 
metros. 
11 Un zeppelín va ascendiendo con una velocidad constante de 5 m/s, desde este cae una bomba que 
tarda en llegar al piso 10 segundos. ¿A qué altura se encuentra el zeppelín en el instante que deja caer 
la bomba? 
 
Imagen del Zeppelín alemán armado. Véanse las barquillas, una de las dos "caparazones" de propulsión, 
llevando su motor, ametralladora y dínamo y la ametralladora emplazada en la popa. 
Cuando se deja caer la bomba, el zeppelín le transmite su velocidad, como el zeppelín va hacia arriba 
entonces le transmite a la bomba una velocidad positiva. 
Datos para la bomba: vo = 5 m/s; t = 10 s.; y0 =?; yf = 0 m. 
Reemplazando datos en la fórmula: yf = yo + vo×t – 4,9×t2 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
99 
 
0 = yo + 5×10 -4,9×102 → yo = 440 m. 
Significa que el zeppelín se encontraba a 440 metros. 
12 En el planeta X, se deja caer un objeto desde una altura de 1000 metros y se observa que el objeto 
tarda 44 segundos en llegar a la superficie de dicho planeta. Calcular la aceleración debida a la 
gravedad de ese planeta. 
Datos: vo = 0 m/s; yo = 1000 m.; yf = 0 m.; a =? 
Reemplazando datos en la fórmula: yf = yo + vo×t + ½×a×t2 
 0 = 1000 + 0×44 + ½×a×442 → -968×a = 1000 
 a = -1,03 m/s2 
Significa que la gravedad de ese planeta es de 1,03 m/s2 (mucho menos que en el planeta tierra). 
13 Se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con una velocidad de 8 m/s, si el objeto tarda en llegar 
al piso 4,5 segundos. ¿Cuál es la velocidad final del objeto? 
Datos: vo = -8 m/s (negativo por dirigirse hacia abajo) 
t = 4,5 s.; vf =? 
Reemplazando valores en la ecuación: vf = vo - 9,8×t 
 vf = -8 -9,8×4,5 → vf = -52,1 m/s. 
14 Un cañón antiaéreo dispara un proyectil en forma vertical con una velocidad de700 m/s. ¿Qué 
altura máxima alcanzara el proyectil? 
Datos: vo = 700 m/s; vf = 0 m/s (altura máxima); yo = 0 m.; yf =? 
Reemplazando datos en la ecuación: vf 2 = vo2 - 19,6×(yf – yo) 
0 = 7002 -19,6×(yf -0) → 0 = 49000 -19,6×yf 
19,6×yf = 49000 → yf = 25000 m. 
Significa que la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 25000 metros. 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
100 
 
15 Se deja caer un cuerpo, el cual recorre en el último segundo la mitad de toda su trayectoria. 
Calcular la altura de donde el cuerpo cae y su tiempo de vuelo. 
 
Para resolver este problema, se debe separar la caída en dos tramos 
Tramo 1.-El cuerpo comienza su caída desde una posición inicial yo, para llegar hasta una posición 
final yo/2 (recorre media trayectoria). 
Datos: vo = 0 m/s; yo = yo; yf = yo/2 
Reemplazando datos en la fórmula: vf 2 = vo2 -19,6×(yf – yo) 
vf 2 = 02 -19,6×( yo/2 - yo) → vf 2 = -19,6(-0,5× yo) 
 
vf 2 = 9,8×yo → 𝑣𝑓 = ±√9,8 ∙ 𝑦0 (1) 
Tramo 2.- El cuerpo en el último segundo, tiene una velocidad inicial igual a la velocidad final del 
tramo 1.La posición inicial del cuerpo es yo/2 y su posición final es 0 metros. (Ver figura). 
Datos: vo = - (velocidad inicial igual a la velocidad final del primer tramo, esta es negativa 
por ir hacia abajo); yo = yo/2; yf = 0m.; t = 1s. 
Reemplazando datos en la fórmula: 𝑦𝑓 = 𝑦0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 − 4,9. 𝑡
2 
0 = yo/2 - ×1 -4,9×(1)2 → = yo/2 -4,9 
Elevando miembro a miembro al cuadrado tenemos: 
( )2 = (0,5×yo -4,9)2 
yo*8,9
yo*8,9 yo*8,9
yo*8,9
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
101 
 
 9,8×yo = 0,25×yo2 -2×0,5×yo×4,9 +4,92 
9,8×yo = 0,25×yo2 -4,9×yo + 24,01 → 0,25×yo2 -14,7×yo +24,01 = 0 
Dividiendo toda la ecuación entre 0,25: 
 yo2 -58,8×yo +96,04 = 0 (2) (Ecuación de segundo grado) 
Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: 
yo = → yo = 
yo = → yo = 
 yo1 = 57,12 m. → yo2 = 1,69 m. 
Para el tramo 2 tenemos: 
t = 1s.; yo = 57,12/2 ó yo = 1,69/2; vo =? 
Con yo = 57,12/2 → yo = 28,56 m. 
yf = yo + vo×t -4,9×t2 → 0 = 28,56 + vo×1 -4,9×12 
vo = -28,8 + 4,9 → vo = -23,9 m/s 
Con yo = 1,69/2 → yo = 0.845 m. 
yf = yo + vo×t -4,9*t2 → 0 = 0,845 + vo×1 -4,9×12 
vo = -0,845 + 4,9 → vo = 4,05 m/s 
Pero como el cuerpo va hacia abajo se anula la velocidad 4,05 m/s, de esta forma la velocidad inicial 
para el segundo tramo es vo = -23,9 m/s. 
Para hallar el tiempo de vuelo debemos calcular el tiempo empleado en el primer tramo. 
Esta velocidad inicial del tramo 2 es la velocidad final para el primer tramo. 
Datos primer tramo: vf = -23,9 m/s: vo = 0 m/s 
Aplicando en la formula: vf = vo -4,9×t 
23,9 = 0 -4,9×t → t = -23,9/-4,9 → t = 4,88 s. 
El tiempo de vuelo es la suma de los tiempos de los dos tramos: 
a
cabb
*2
**42 −−+−
1*2
04,96*1*48,588,58 2−+
2
28,30738,58 −+
2
44,558,58 −+
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102 
 
tv = 4,88 +1 → tv = 5,88 s. 
Estos datos significan que para que un objeto caiga en el último segundo la mitad de su trayectoria, 
estedebe caer de una altura de 57,12 metros y su tiempo de vuelo es de 5,88 segundos. 
 
16 Se lanza verticalmente hacia abajo una piedra de lo alto de un edificio de 400 metros, luego de 1 
segundo se lanza verticalmente hacia arriba desde la base del edificio otra piedra con una velocidad de 
50 m/s. ¿Cuál debe ser la velocidad del la primera piedra para que estas se encuentre justo cuando la 
segunda piedra alcance su altura máxima? 
400 m
y
 
La piedra 1 tiene una altura inicial de 400 metros, la piedra 2 una altura inicial de 0 metros y el cruce 
se lo realiza en y. 
Datos piedra 1: yo = 400 m.; yf = y; vo =?; t = t. 
Reemplazando datos en la ecuación: yf = yo + vo×t -4,9×t2 
y = 400 +vo×t -4,9×t2 (1) 
Datos piedra 2: yo = 0 m.; yf = y; vf = 0 m (esto debido a que la segunda piedra deba alcanzar su 
altura máxima); vo = 50 m/s; t = t. 
Reemplazando datos en la ecuación: vf 2 = vo2 -19,6×(yf – yo) 
0 = 502-19,6×(y -0) → 19,6×y = 2500 → y = 127,55 m. 
Este dato significa que la altura máxima de la piedra 2 es de 127,55 metros, y es aquí justamente 
donde se realizara la intersección de las piedras. 
Ahora aplicando la formula: yf = yo + vo×t -4,9×t2 
y = 0 + 50×t -4,9× t2 → 127,5 = 50×t -4,9× t2 
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103 
 
4,9×t2 -50×t +127,5 = 0 (ecuación de segundo grado) 
Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: 
t = → t = t = → 
 t = 
50
9.8
 → t = 5,1 s. 
Como la otra piedra sale un segundo antes su tiempo es: t = 6,1 s 
Reemplazando este valor en la ecuación 1: y = 400 +vo×t -4,9×t2 
127,55 = 400 +vo×6,1 -4,9×6,12 → -90,12 = 6,1vo 
vo = -14,77 m/s. 
Esto representa que la velocidad del segundo móvil debe ser 14,77 m/s hacia abajo. 
17 En Cochabamba se encuentra el edificio Colón, que tiene una altura de 100 metros, si se lanza 
verticalmente hacia abajo una moneda de lo alto del edificio con una velocidad de 10 m/s y luego de 1 
segundo se lanza verticalmente hacia arriba de la base del edificio otra moneda con una velocidad de 
50 m/s, a) ¿A qué altura del edificio las monedas pasan una alado de la otra? b) ¿Luego de que tiempo? 
 
 
 
Datos de la piedra que se lanza hacia abajo: 
100 −=v  sm / (El signo negativo porque la piedra va hacia abajo) 
a
cabb
*2
**42 −−+−
9,4*2
5,127*9,4*4)50(50 2 −−−+
9,4*2
2500250050 −−+
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104 
 
1000 =y  m (La altura inicial de la piedra es de 100 metros). 
 
- Se calcula la altura que la piedra tiene después de 1 segundo: 
2
00 9,4 ttvyy f −+= 
( ) ( )219,4110100 −−=fy → 9,410100 −−=fy 
1,85=fy  m (Lo que significa que después de 1 segundo la piedra se encuentra a 85,1 metros de 
altura). 
- Ahora se calcula la velocidad que tiene en ese instante: 
tvv f −= 8,90 → 18,910 −−=fv → 8,19−=fv  sm / 
- En ese instante la piedra que es lanzada de la base del edificio sale hacia arriba. 
- Realizando el análisis en este punto para las dos piedras: 
 
- Como se observa en la figura, la piedra de arriba tiene una altura inicial de 85,1 metros y su altura 
final (donde se cruzará con la otra piedra) es desconocido (y). 
- La piedra que de abajo tiene una altura inicial igual a cero (por ser el piso) y su altura final es el 
punto y. 
Datos piedra de arriba: 
8,190 −=v  sm / 
1,850 =y  m 
yy f = (Desconocido) 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
105 
 
Datos piedra de abajo: 
500 =v  sm / 
00 =y  m 
yy f = (Desconocido) 
Reemplazando los datos de ambas piedras en la ecuación de la trayectoria: 
2
00 9,4 ttvyy f −+= 
 Piedra de arriba Piedra de abajo 
29,48,191,85 tty −−= (1) 
29,4500 tty −+= (2) 
Igualando las ecuaciones (1) y (2): 
 
1.85508,19 −=−− tt → 1,858,69 −=− t → 
8,69
1,85
−
−
=t 
22,1=t  s (Las piedras pasan una a lado de la otra en 1,22 segundos) 
Reemplazando en (2) (También se puede remplazar en 1) 
29,4500 tty −+= → ( )222,19,422,1500 −+=y 
29,761−=y → 71,53=y  m 
- Lo que significa que las piedras se cruzan después de 1,22 segundos en una altura de 53,71 metros. 
 
18 De la parte superior de una torre de 100 metros de alto se deja caer un objeto, 1 segundo después 
se lanza verticalmente hacia abajo un segundo objeto desde la misma altura con una velocidad de 12 
m/s a) ¿Luego de que tiempo los objetos se encuentran a la misma altura? b) Realice el mismo análisis 
si la altura del edificio es de 30 metros c) Realice el mismo análisis si la velocidad del segundo objeto 
es de 8 m/s. 
a) Como el primer objeto cae 1 segundo antes que el segundo objeto, este ya ha recorrido cierta 
distancia. 
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106 
 
- Se calcula la altura a la que se encuentra el primer objeto luego de 1 segundo. 
2
00 9,4 ttvyy f −+= → ( )
2
19,40100 −+= ty f 
1,95=fy  m 
Lo que significa que al cabo de ese segundo este objeto se encuentra a una altura de 95,1 metros. 
- Ahora calculamos la velocidad de este objeto luego de 1 segundo. 
tvv f −= 8,90 → ( )18,90 −=fv → 8,9−=fv  sm / 
En ese instante la velocidad de este objeto es de 9,8 m/s (El signo negativo por ir hacia abajo). 
Luego de 1 segundo, el otro objeto es lanzado verticalmente hacia abajo, como se observa en la figura. 
 
Datos objeto “1”: 
my 1,950 = ; yy f = ; smv /8,90 −= 
Reemplazando en: 
2
00 9,4 ttvyy f −+= 
29,48,91,95 tty −−= (1) 
Datos objeto “2”: 
my 1000 = ; yy f = ; smv /120 −= 
Reemplazando en: 
2
00 9,4 ttvyy f −+= 
29,412100 tty −−= (2) 
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107 
 
Igualando ambas ecuaciones: 
22 9,4121009,48,91,95 tttt −−=−− 
1,951008,912 −=− tt → 9,42,2 = t → st 22,2= 
Reemplazando en (1): 
( ) ( )222,29,422,28,91,95 −−=y → my 19,49= 
 Lo que significa que los dos objetos se encuentran a la misma altura (49,19 metros) en un tiempo 
de 3,22 segundos después de haber dejado caer el primer objeto (1+2,22). 
b) Realizando el análisis para un edificio de 30 metros. 
( ) ( )219,41030 −+=fy → my f 1,25= 
tvv f −= 8,90 → 18,90 −=fv → smv f /8,9−= 
Reemplazando en la ecuación: 
2
00 9,4 ttvyy f −+= y luego igualando: 
22 9,412309,48,91,25 tttt −−=−− → 1,25308,912 −=− tt 
9,42,2 =t → st 22,2= 
Reemplazando en (1): 
29,48,91,25 tty −−= → my 80,20−= 
 ¿Qué interpretación tiene este resultado negativo de la altura? 
Matemáticamente la respuesta es correcta pero en la realidad este resultado significaría que los 
objetos tendrían la misma altura en -20,80 metros, que figurara que ambos están por debajo del 
piso. Es por esto que concluimos que no existe intersección posible. 
 
 
 
 
 
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108 
 
¿Cuál es la altura del edificio para que exactamente los dos objetos tengan la misma altura cuando 
lleguen al piso? 
- Realice ese análisis. 
c) Ahora la velocidad del segundo objeto es de 8 m/s, la altura se mantiene en 100 metros. 
- Luego de 1 segundo, el primer objeto tiene una velocidad de -9,8 m/s. En ese instante el objeto 2 
tiene una velocidad de solamente -8 m/s. ¿Es posible que lo alcance teniendo menor velocidad? 
Reemplazando en la ecuación: 
2
00 9,4 ttvyy f −+= y luego igualando: 
22 9,481009,48,91,95 tttt −−=−− → 1,951008,98 −=− tt 
9,48,1 =− t → st 72,2−= 
Como físicamente el resultado negativo del tiempo se descarta, ratifica el análisis de que no 
existe posibilidad de que los dos objetos se encuentren a la misma altura. 
¿Cuáles la velocidad mínima del segundo objeto para que puedan tener la misma altura? 
- Realice ese análisis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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109 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS. 
1 Un jugador de fútbol de la selección nacional, tras un centro cabecea un balón en forma vertical. Si 
el balón adquiere una velocidad inicial de 10 m/s y si el jugador mide 1,75 metros aproximadamente. 
¿Cuál es la altura máxima que alcanzara el balón? R. 𝒚𝒇 = 𝟔, 𝟖𝟓 [𝒎] 
2 Dos objetos, uno de 4 y el otro de 6 kilogramos se dejan caer de una altura de 100 metros. ¿Cuál es 
el tiempo que empleara cada masa en llegar al piso? ¿Qué influencia tiene la masa en un movimiento 
vertical? R. 𝒕 = 𝟒, 𝟓𝟐 [𝒔] Nada, si no existen fuerzas externas. 
3 En un planeta extraño, se deja caer un comunicador desde la plataforma de una nave espacial, si se 
observa que el comunicador llega a la superficie del planeta en 3 segundos y que su velocidad justo 
antes de golpear al piso es de 100 m/s. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en este planeta? 
R. 𝒈 = −𝟑𝟑, 𝟑𝟑[𝒎/𝒔𝟐] 
4 Desde un globo que está descendiendo a una velocidad constante de 9 m/s se deja caer una piedra 
que llega al piso en 20 segundos. ¿Cuál es la altura del globo cuando la piedra llega al piso? 
R. 𝟏𝟗𝟔𝟎 [𝒎] 
5 ¿Cual debe ser la altura del cual debe caer el agua de una presa para golpear a una turbina con una 
velocidad de 80 m/s? R. 𝒚𝟎 = 𝟑𝟐𝟔, 𝟓𝟑[𝒎] 
6 Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra que regresa al punto de partida después de 6 
segundos. Calcular la velocidad inicial con la que la piedra se lanzo. ¿Cuál es la altura máxima a la que 
llega? R. 𝒗𝟎 = 𝟐𝟗, 𝟒𝟑 [𝒎/𝒔] 𝒚𝒇 = 𝟒𝟒, 𝟏𝟗 [𝒎] 
7 Se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con una velocidad de 500 m/s, si el objeto tarda en 
llegar al piso 4,5 segundos. ¿Cuál es la velocidad final del objeto y cual la altura de donde se lo lanzo? 
R. 𝒗𝒇 = −𝟓𝟒𝟒, 𝟏[𝒎/𝒔] 𝒚𝟎 = 𝟐𝟑𝟒𝟗, 𝟐𝟐[𝒎] 
8 Desde una altura de 100 metros, se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con una velocidad de 
10[𝑚/𝑠]. Determinar: a) El tiempo en que el objeto llega al piso. b) La velocidad con que el objeto 
choca en el piso. R. 𝒂) 𝒕 = 𝟑, 𝟔𝟏 [𝒔] 𝒃) 𝒗𝒇 = −𝟒𝟓, 𝟒𝟏 [𝒎/𝒔] 
9 Un cuerpo cae libremente recorriendo en los dos últimos segundos de su recorrido 50 metros. 
Calcular el tiempo de vuelo de dicho cuerpo. R. 𝟑, 𝟓𝟓 [𝒔] 
10 Una pelota cae libremente y durante los tres últimos segundos recorre las 2/5 partes de su 
trayectoria total. Calcular la altura de donde la pelota cayó. R. 𝟖𝟔𝟖 [𝒎] 
11 En una película del conocido zorro, este cae desde la rama de un árbol que está a 5 metros del suelo 
para llegar a su caballo. El caballo se encuentra a una distancia de 8 metros de la base del árbol. Si la 
altura del caballo es de 1,60 metros aproximadamente, ¿Cual debe ser la velocidad constante de este 
para atrapar al zorro? R. 𝒗 = 𝟗, 𝟔𝟒[𝒎/𝒔] 
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110 
 
12 Desde un árbol de 20 metros de altura, se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con una 
velocidad inicial de 2 [m/s] , ¿Cuál debe ser la velocidad constante de una persona que se encuentra a 
7 metros de la base del árbol, para que alcance al objeto cuando este se encuentra a 45 centímetros del 
suelo? 
2 m/s
7 m
v
 
R. 3,89 [
𝒎
𝒔
] 
13 Una bola de billar es lanzada hacia arriba y se observa que esta llega hasta una altura de 10 metros. 
¿Con que velocidad se lanzo la bola? R. 𝟏𝟒 [𝒎/𝒔] 
14 La ecuación de la trayectoria de un objetos es yf = 208 -6×t -4,9×t2. ¿A qué altura se encontrara el 
objeto al cabo de 2 segundos? R. 𝟏𝟕𝟔, 𝟒 [𝒎] 
15 La ecuación de la trayectoria de un objeto es yf = 208 -6×t -4,9×t2. Si la ecuación de la trayectoria 
de un segundo objeto es yf = 8×t -4,9×t2. ¿En qué instante los dos objetos se interceptarán? 
R. 𝒕 = 𝟏𝟒, 𝟖𝟔 [𝒔] 
16 Desde una torre 320 metros de alto, se deja caer una piedra. En ese momento, se dispara 
verticalmente hacia arriba una bala desde la base del edificio con una velocidad de 100 m/s. Calcular el 
tiempo y la posición en el cual las piedra y la bala se cruzan. 
R. 𝒕 = 𝟑, 𝟐[𝒔] 𝒚 = 𝟐𝟔𝟗, 𝟖𝟐[𝒎] 
17 Teniendo como dato la altura inicial, determinar una ecuación algebraica para determinar el tiempo 
de un objeto que cae libremente hasta llegar al piso. 
R. 𝒕 = √
𝟐𝒚𝟎
𝒈
 
18 Un ascensor está bajando con una velocidad constante de 2 m/s, desde el techo del ascensor que 
tiene 2,5 metros de alto, se deja caer una moneda. ¿Cuánto tarda la moneda en llegar al piso? 
 
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111 
 
 
 
 
 
Arriba: Aviones japoneses en pleno bombardeo. Abajo: Peral Harbor devastada por el ataque Nipón. (Las 
bombas adquieren un movimiento parabólico) 
La Armada Imperial Japonesa lanzó su ataque a Pearl Harbor en la mañana del 7 de diciembre de 1941. 
El ataque sorpresa a Pearl Harbor, en la isla de Oahu en Hawái, fue dirigido a la Flota del Pacífico de la 
Armada de los Estados Unidos y las fuerzas aéreas que defendían la zona. El ataque destruyó a 13 buques 
de guerra y 188 aeronaves, dejó a 2.403 militares y 68 ciudadanos estadounidenses muertos. El Almirante 
Isoroku Yamamoto planeó el ataque como el inicio de la Campaña del Pacífico de la Segunda Guerra 
Mundial, que fue dirigido por el vicealmirante Chuichi Nagumo, quien perdió a 64 militares. Sin 
embargo, los tres portaaviones estadounidenses de la Flota del Pacífico no estaban en el puerto y por lo 
tanto no fueron atacados. Estados Unidos tardó en recuperarse entre seis meses a un año. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Armada_Imperial_Japonesa
http://es.wikipedia.org/wiki/7_de_diciembre
http://es.wikipedia.org/wiki/1941
http://es.wikipedia.org/wiki/Pearl_Harbor
http://es.wikipedia.org/wiki/Oahu
http://es.wikipedia.org/wiki/Haw%C3%A1i
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Flota_del_Pac%C3%ADfico&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Armada_de_los_Estados_Unidos
http://es.wikipedia.org/wiki/Buque_de_guerra
http://es.wikipedia.org/wiki/Buque_de_guerra
http://es.wikipedia.org/wiki/Aeronave
http://es.wikipedia.org/wiki/Almirante
http://es.wikipedia.org/wiki/Isoroku_Yamamoto
http://es.wikipedia.org/wiki/Guerra_del_Pac%C3%ADfico_%281937-1945%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Segunda_Guerra_Mundial
http://es.wikipedia.org/wiki/Chuichi_Nagumo
http://es.wikipedia.org/wiki/Portaaviones
http://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos
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112 
 
Objetivos.-El alumno luego de este capítulo será capaz de: 
Diferenciar un movimiento unidimensional de un bidimensional. 
Definir conceptos teóricos con respecto al tema. 
Aprender a descomponer la velocidad. 
Aplicar las fórmulas en casos prácticos. 
 
Introducción.-Hasta ahora se estudiaron movimientos unidimensionales (en una sola dimensión), en 
este capítulo se estudiará el movimiento parabólico que junta un movimiento en el eje “x” y otro en el 
eje “y”. 
Características.-El movimiento parabólico se caracteriza por la existencia de movimiento tanto en el 
eje x como en el eje y. (Movimiento bidimensional) y que la trayectoria que describe el cuerpo es una 
parábola. 
Se considera a este movimiento como una conjunción del M.R.U. y el movimiento vertical. 
En el siguiente gráfico se observa un movimiento parabólico. 
vx
vy
 
Se puede apreciar que la componente de la velocidad en el eje “x” es constante y que la componente de 
la velocidad en el eje “y” varía en función al tiempo. 
De estamanera es que las ecuaciones para el movimiento parabólico se dividen en dos, uno para el eje 
x donde la partícula tiene velocidad constante (M.R.U.) y para el eje y donde la partícula tiene un 
movimiento vertical. 
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113 
 
 
 Para el eje x (M.R.U.): Para el eje y (Mov.Vertical): 
 ∆X= vx. t (1) yf = yo +voy×t – 4,9×t2 (1) 
 xf = xo + vx. t (2) vfy = voy -9,8×t (2) 
 vf2y = vo2y -19,6×(yf –yo) (3) 
 
Mediante estas fórmulas, se pueden determinar otras fórmulas consideradas especiales, estas son: 
 
 ∆𝑥 =
𝑣0
2∙𝑠𝑒𝑛(2𝛼)
9,8
 (Ecuación que permite calcular el alcance máximo del cuerpo) 
 
 𝐻𝑚𝑎𝑥 =
𝑣0
2∙𝑠𝑒𝑛2𝛼
19,6
 (Ecuación que permite calcular la altura máxima del cuerpo). 
 
𝑡𝑣 =
2∙𝑣0∙𝑠𝑒𝑛𝛼
9,8
 (Ecuación que permite calcular el tiempo de vuelo o total). 
 
A continuación se observa un grafico donde se muestra el alcance máximo, la altura máxima y el 
ángulo. 
θ
Altura 
máxima
Hmax
Δx
Alcance
Horizontal 
máximo
v0
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
114 
 
Las fórmulas especiales solo se pueden aplicar cuando el cuerpo parte del suelo (yo = 0 m) y llega 
hasta el suelo (yf = 0m) o la mitad de su distancia horizontal recorrida que es donde se encuentra su 
altura máxima. 
Generalmente en este tipo de problemas el dato de la velocidad inicial es un valor bidimensional o sea 
que es un vector polar, es así que en muchos de los ejercicio es necesario primeramente descomponer 
el vector velocidad tanto en su componente x como en su componente y. (Ver capítulo de vectores). 
Descomposición del vector velocidad.-Como ya se vio en el capítulo dedicado a los vectores, para 
descomponer un vector polar a cartesiano se aplican las fórmulas: 
i = M×Cos α j = M×Sen α 
Adecuando estas fórmulas al vector velocidad tenemos: 
𝑣𝑥 = 𝑣 ∙ cos 𝛼 𝑣𝑦 = 𝑣 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
Ejemplo: La velocidad inicial de un proyectil es de 20 m/s con un ángulo de tiro de 55 grados. 
Calcular las componentes “x” y “y” de dicha velocidad. 
 
Datos: vo = 20 m/s; α = 55º 
 Aplicando las fórmulas anteriores tenemos: 
En el eje x En el eje y 
vx = v×Cos α vy = v×Sen α 
vx = 20×Cos 55 vy = 20×Sen 55 
vx = 20×0,57 vy = 20×0,82 
vx = 11,47 m/s. vy = 16,38 m/s. 
Esto significa que este proyectil tiene una velocidad inicial en x de 11,47 m/s y la velocidad inicial 
en y de 16,38 m/s. 
Para finalizar diremos que para resolver problemas del movimiento parabólico se debe conjuncionar el 
M.R.U. (movimiento rectilíneo uniforme) y el M.V. (movimiento vertical). 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
115 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
1 La velocidad inicial de un proyectil es de 10 m/s con una ángulo de inclinación inicial de 
80º.Calcular las componentes “x” y “y” de la velocidad. 
Datos: vo = 10 m/s.; α = 80º 
 En el eje x: En el eje y: 
 vxo = vo × Cos α vyo = vo × Sen α 
 vxo = 10 × Cos 80º vyo = 10 × Sen 80º 
 vxo = 1,74 m/s. vyo = 9,84 m/s. 
Significa que este proyectil tiene una velocidad inicial en “x” de 1,74 m/s, y una velocidad inicial en 
“y” de 9,84 m/s. 
 
2 Una partícula que tiene una trayectoria parabólica tiene una velocidad inicial de (3i, 4j).Calcular el 
módulo y la dirección de dicha velocidad. 
La velocidad inicial (-3i, 4j) representa a las velocidades en el eje”x” y “y” iniciales por lo cual: 
Datos: vxo = 3 m/s; vyo = 4 m/s 
Para el módulo aplicamos la fórmula: lvol = 
Reemplazando datos: lvol = 
22 43 + → lvol = 
lvol = 5 m/s. 
Para el ángulo se aplica la fórmula: Tan α = vy/vx 
Reemplazando datos: Tan α = 4/3 → α = Tan-1(4/3) 
α = 53,13º 
Cabe notar que en el problema anterior se calculaba los componentes x, y de la velocidad teniendo el 
módulo del vector velocidad y ángulo de tiro. En este problema teniendo los componentes x, y se 
calcula el módulo y el ángulo del vector. (Lo contrario) 
 
 
22 vyovxo +
25
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
116 
 
3 La velocidad inicial de una bala de cañón es de 150 m/s con un ángulo de disparo de 33º con 
respecto a la horizontal. Calcular la velocidad y el ángulo que tendrá la bala al cabo de 3 segundos. 
Datos: vo = 150 m/s.; α = 33º; t = 3 s; vf =?; θ =?. 
Resolución: Primeramente descomponemos la velocidad inicial es sus componentes “x”y”y”. 
En el eje x: En el eje y: 
vxo = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
vxo = 150×Cos33º vyo = 150×Sen33º 
vxo = 125,80 m/s vyo = 81,70 m/s. 
Significa que la bala tiene una velocidad inicial en “x” de 125,80 m/s, y una velocidad inicial en “y” 
de 81,70 m/s. 
Calculando la velocidad al cabo de los primeros 3 segundos del recorrido tenemos: 
 En el eje x: En el eje y: (M.V.) 
La velocidad en “x” es constante Para el eje “y” aplicamos la fórmula: 
(M.R.U), así que al cabo de los 3 vfy = voy -4,9×t Reemplazando datos: 
primeros segundos la velocidad en”x” vfy = 81,70 -4,9×3 
seguirá siendo vx = 125,8 m/s. vfy = 67 m/s. 
Estas son las componentes de la velocidad al cabo de 3 segundos, en el problema se pide hallar la 
velocidad y el ángulo al cabo de 3 segundos. Entonces lo que se debe hacer es sacar el módulo y el 
ángulo de las componentes “x” y”y” de la velocidad. 
Para el módulo: lvfl = → lvfl = 
lvol = → lvol = 142,52 m/s 
Para el ángulo: Tan α = vy/vx → Tan α = 67/125,8 → Tan α = 0,53 
α = Tan-10,53 → α = 28,04º. 
Significa que al cabo de 3 segundos la bala tiene una velocidad de 142,52 m/s y un ángulo de 
28,04º. 
 
22 vyfvx + 22 678,125 +
64,20314
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
117 
 
4 Determinar la fórmula especial: ∆X= . 
 
En el eje x: 
vx = vo × Cosα 
Reemplazando: 
∆X= vo × Cos α × t (1) 
En el eje y: 
vyo = vo × Sen α 
En la altura máxima el cuerpo tendrá una velocidad igual a 0 m/s. Además la distancia recorrida es la 
mitad del alcance máximo y el tiempo es la mitad del tiempo de vuelo. 
Datos: vfy = 0 m/s (por llegar a su altura máxima) 
Aplicando la fórmula: vfy = voy -9,8×t → 0 = vo × Sen α -9,8×t 
t = vo × Sen α/4,9 .Este es el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar su altura máxima, este tiempo es 
exactamente la mitad del tiempo total. Así que para hallar el tiempo total se multiplica el resultado por 
2. 
t = 2 × vo × Sen α/9,8 (2) 
Reemplazamos la ecuación 2 en 1 y tenemos: 
∆X= vo × Cos α ×( 2 × vo ×Sen α/9,8) Realizando operacionestenemos: 
∆X= vo2 × 2 × Cos α × Sen α/9,8 
Pero por trigonometría se sabe que 2 × Cos α × Sen α = Sen 2 α 
g
asenvo )2(*2
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
118 
 
Reemplazando tenemos: ∆X= vo2 × Sen 2α/9,8 
 ∆X= (Fórmula especial para el alcance máximo). 
5 Un proyectil es disparado con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de inclinación de 60º respecto 
de la horizontal. Calcular la altura máxima que logra el proyectil y el tiempo que tarda en alcanzar esa 
altura. 
Descomponemos la velocidad: 
En el eje x: En el eje y: 
vx = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
vx = 50×Cos 60º vyo = 50×Sen 60º 
vx = 25 m/s. vyo = 43,30 m/s 
Como se quiere calcular la altura máxima, en este punto la velocidad en”y” es igual a 0 m/s. 
Datos eje”y”:vyo = 43,30 m/s; vyf = 0 m/s (Por llegar a su altura máxima); 
yo = 0 m(el proyectil parte del suelo) ; yf =?(Altura máxima) 
Remplazando datos en la fórmula: vf2y = vo2y -19,6×(yf –yo) 
02 = 43,32 -19,6×(yf –0) → -1874,89 = -19.6× yf → yf = 95,65 m. 
Para el tiempo aplicamos la fórmula: vfy = voy -9,8×t 
vfy = voy -9,8×t → 0 = 43,3 -9,8×t → t = -43,3/-9,8 → t = 4,41 s. 
Significa que el proyectil logra su altura máxima de 95,65 metros en 4,41 segundos. 
Se debe apreciar que en este problema no se requirieron los dato del eje”x”, solamente se trabajó con el 
eje “y”. 
Otro método: 
Se puede aplicar la fórmula especial: 
H = Remplazando datos: 
H = → H = 
g
asenvo )2(*2
g
senavo
*2
* 22
6,19
60*50 22 sen
6,19
)º60(*2500 2sen
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
119 
 
H = 
H = → H = 95,65 m. 
(Resultado exacto al método anterior). 
Calculamos el tiempo de vuelo con la fórmula especial: 
tv = → tv = → tv = 86,6/9,8tv = 8,84 s. Significa que el tiempo total o 
de vuelo del proyectil es de 8,82 segundos. 
Para encontrar el tiempo que tarda el proyectil en lograr su altura máxima, se debe dividir el tiempo de 
vuelo entre 2. 
t = tv/2 → t = 8,82/2 → t = 4,41s. 
En este problema nos damos cuenta cómo es posible resolver un ejercicio mediante distintos métodos. 
 
6 En un clásico del fútbol nacional Wilsteman-Bolivar, un jugador que se encuentra a 30 metros del 
arco contrario remata un tiro libre, el balón sale disparado con una velocidad de 20 m/s con un ángulo 
de 45º.Si el arco tiene una altura de 2,5 metros aproximados. ¿Llegará el balón al arco?¿Si es así, en 
cuanto tiempo llegará al arco?. 
 
6,19
)86,0(*2500 2
6,19
75,0*2500
g
senavo**2
8,9
º60*50*2 sen
http://images.google.com.bo/imgres?imgurl=http://www.as.com/futbol/as/futbol/imagenes/capturas/2004/enero/3/8.jpg&imgrefurl=http://www.asoccer.co.il/forum/index.php?showtopic=5692&st=20&h=304&w=400&sz=10&tbnid=_mELLqPmDJAJ:&tbnh=91&tbnw=119&start=33&prev=/images?q=futbol&start=20&hl=es&lr=&sa=N
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
120 
 
 
 
Descomponiendo el vector velocidad: 
 En el eje x: En el eje y: 
vx = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
vx = 20×Cos 45º vyo = 20×Sen 45º 
vx = 14,14 m/s. vyo = 14,14 m/s. 
Primeramente se debe calcular el tiempo que el balón requiere para llegar a una distancia de 30 metros. 
Datos eje”x”: vx = 14,14 m/s; ∆X= 30 m; t =? 
En el eje x: ∆X= vx. t → 30 = 14,14*t → t = 2,12 s. 
El balón necesita 2,12 segundos para avanzar 30 metros. 
Ahora calculamos la altura que adquirirá el balón en este tiempo. 
Datos eje “y”: vyo = 14,14 m/s; t = 2,12 s; yo = 0 m. (El balón sale del suelo)yf =? 
Reemplazando en la ecuación: yf = yo + voy×t – 4,9×t2 
 yf = 0 +14,14×2,12 -4,9×2.122 → yf = 30 – 22,02 → yf = 8 m. 
Significa que al cabo de 2,12 segundos, el balón tendrá una altura de 8 metros y como el arco se 
encuentra a solo 2,5 metros, el balón no llega al arco. 
 
 
http://indexbol.webcindario.com/html/images/tf221006.jpg
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
121 
 
7 En un clásico del fútbol Argentino Boca-River, un jugador se encuentra a 25 metros del arco a 
punto de rematar un tiro libre, el arco tiene una altura aproximada de 2,5 metros. Si después del remate 
la pelota adquiere una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál debe ser el ángulo con el cual el jugador debe 
rematar el balón para que este pegue en el travesaño? 
 
Martín Palermo de Boca Juniors y Ariel Ortega de River Plate 
 
En el eje x: Remplazando en la ecuación: 
vx = vo×Cosα → vx = 10× Cos α 
Y luego en: ∆X = vx. t → 25 = 10× Cos α×t 
 t = 2,5/ Cos α (1) 
Datos eje x: En esta ecuación las incógnitas son t y α. 
vx = 10× Cos α ; ∆X= 25 m . 
 En el eje y: Remplazando en la ecuación: 
 voy = voy×Sen α → voy = 10× Sen α 
Y luego en : 
yf = yo + voy×t – 4,9×t2 
2,5 = 0 + 10× Sen α×t -4,9×t2 (2) 
Datos eje y: 
 voy = 2× Sen α; yo = 0 m; yf = 2,5 m. 
Sustituyendo la ecuación 1 en 2: 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
122 
 
2,5 = 10 × Sen α ×(2,5/Cos α) -4,9 × (2,5/Cos α )2 
2,5 = 25 × Sen α/ Cos α -4,9(6,25/Cos2 α) 
2,5 = 25 × Tan α – 30,63/ Cos2 α 
2,5 = 25×Tan α -30,63×(1+ Tan2 α) 
Esto es debido a que: Sen α/ Cos α = Tan α 
1/ Cos2 α = 1+ Tan2 α (Por leyes trigonométricas) 
2,5 = 25×Tan α -30,63 – 30,63×Tan2 α Dividiendo entre 2,5 tenemos: 
1 = 10 × Tan α -3,14 -3,14 × Tan2 α Ordenando tenemos: 
3,14 × Tan2 α -10 × Tan α +4,14 = 0 (Ecuación de segundo grado) 
Resolviendo: 
Tan α= → Tan α = 
Tan α = → 𝑡𝑔 𝛼 =
10±6,92
6,28
 
Tan α = 16,92/6,28 
Tan α = 2,69 → α = Tan-1 2,69 → α = 69,64º 
Esto significa que el ángulo con el que el jugador debe patear para que la pelota de en el travesaño 
es de 69,64º 
 
8 Cual es el tiempo de vuelo de un proyectil que tiene una velocidad inicial de 60 m/s y tiene un 
ángulo de disparo de 80º con respecto a la vertical. 
 
Hallamos el ángulo con respecto a la horizontal restando este ángulo de 90º 
 90º -80º = 10º Este es el ángulo con respecto a la horizontal. 
Aplicando la fórmula especial para el tiempo de vuelo: 
a
cabb
*2
**42 −−+−
14,3*2
14,4*14,3*41010 2 −−+
28,6
5210010 −−+
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
123 
 
tv = → tv = → tv = 2,13 s. 
El tiempo de vuelo o total del proyectil es de 2,13 segundos. 
 
9 Un tigre da un salto horizontal desde un barranco que tiene una altura de 10 metros con una rapidez 
de 4 m/s. ¿A qué distancia de la base del barranco caerá el tigre? 
Vx=4 m/s
Vy=0 m/s
 
Como el tigre salta horizontalmente entonces tiene una velocidad en el eje x de 4 m/s, por otra parte la 
velocidad inicial en el eje y es igual a 0 m/s. 
Datos en el eje x: vx = 4 m/s. 
Remplazando en la fórmula: 
∆X= vx. t → ∆X= 4*t (1) 
Datos en el eje y: voy = 0 m/s; yo = 10 m; yf = 0 m. 
Remplazando en la fórmula: yf = yo +voy×t – 4,9×t2 
0 = 10 + 0×t -4,9*t2 → 4,9×t2 = 10 → t = 1,43 s. 
Remplazando este resultado en la ecuación 1 tenemos: 
∆X= 4×t → ∆X= 4×1,43 → ∆X= 5,71 m. 
Significa que el desplazamiento del tigre es de 5,71 metros. 
 
 
g
senavo**2
8,9
º10*60*2 sen
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
12410 Una canica rueda por una mesa que tiene una altura de 1 metro y se observa cae a 2 metros de la 
base de la mesa. ¿Cual fue la velocidad con que la canica dejo la mesa? 
 
La velocidad inicial con que salió la canica de la mesa es la velocidad en”x”, la velocidad inicial en 
“y” es igual a 0 m/s. 
Datos eje “x”: ∆X = 2 m; vx =? 
Reemplazando en la fórmula: ∆X= vx. t → 2 = vx. t → vx = 2/ t (1) 
Datos eje “y”: voy = 0 m/s; yo = 1 m; yf = 0 m. 
Remplazando en la fórmula: yf = yo + voy*t – 4,9*t2 
0 = 1 +0*t -4,9*t2 → t2 = 1/4,9 → t = 0,45 s. 
Remplazando este dato en la ecuación 1: vx = 2/ t 
vx = 2/0,45 → vx = 4,43 m/s. 
Significa que la canica sale de la mesa con una velocidad de 4,43 m/s. 
11 Un avión B-2 en una prueba nuclear, viaja a una velocidad constante de 100 m/s. Deja caer una 
bomba atómica que debe llegar a una isla desierta que se encuentra a 5 kilómetros de distancia. ¿A que 
altura debe encontrarse el bombardero B-2 para que la bomba de en el blanco? 
 
El bombardero B-2 es la aeronave más cara del mundo ($2billones). 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
125 
 
 
El avión lleva una velocidad horizontal de 100 m/s, esta velocidad inicial en “x” es adquirida por la 
bomba por lo cual la velocidad inicial de la bomba es vx = 100 m/s, por otra parte la velocidad inicial 
en “y” de la bomba es igual a 0 m/s. 
Datos eje “x”: vox = 100 m/s; ∆X = 5 km = 5000 m. 
Remplazando en la fórmula: ∆X= vx. t 
5000 = 100×t → t = 50 s. 
La bomba tarda 50 segundos en recorrer una distancia horizontal de 5000 metros. 
Datos eje “y”: voy = 0 m/s; yo =?; yf = 0 m. 
Remplazando en la fórmula: yf = yo + voy×t – 4,9×t2 
0 = yo + 0×t -4,9×t2 → yo = 4,9×t2 
Remplazando el valor de t = 50 tenemos: 
yo = 4,9×(50)2 → yo = 12250 m. 
Significa que el bombardero B-2 debe estar a una altura de 12250 metros para que la bomba 
impacte en una isla que se encuentra a 5000 metros de distancia. 
12 Calcular el ángulo con el que debe ser lanzado un proyectil que es lanzado con una velocidad 
inicial de 100 m/s para impactar en un blanco que se encuentra a 200 metros de distancia. 
Datos: vo =100 m/s; ∆X= 200 m. 
Como el proyectil tiene una posición inicial de 0 m. y una posición final de 0 m. también, se puede 
aplicar la fórmula especial: 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
126 
 
 ∆X= → 200 = 
 200 ×9,8 = 10000 × sen (2 ×α) 
1960/10000 = sen (2 ×α) → sen (2 ×α) = 0,196 
 2 × α = sen-1 0,196 → 2 ×α = 11,30º → α = 11,30/2 
 α = 5,65º 
Para que el proyectil que tiene una velocidad inicial de 200 m/s llegue a un blanco situado a 200 
metros este debe ser disparado con un ángulo de 5,65º. 
13 ¿Cual debe ser en ángulo con el que se dispara una bala para que su alcance horizontal sea 2 veces 
su altura máxima? 
Datos: 
∆X= 2H (1) (Alcance horizontal dos veces la altura máxima). 
Aplicando fórmulas especiales tenemos: 
 ∆X= ; H = 
g
asenvo
2
* 22
 
Remplazando en la ecuación 1 tenemos: 
 = 2× 
g
asenvo
2
* 22
 
Simplificando: sen 2α = sen2 α 
Por trigonometría se sabe que sen 2α = 2×sen α×cos α 
Entonces: 2×sen α×cos α = sen2 α Dividiendo entre sen α 
2×cos α = sen α → sen α/ cos α = 2 → tan α = 2 
α = tan-1 2 → α = 63,43º 
 
 
g
asenvo 2*2
8,9
)*2(*1002 asen
g
asenvo 2*2
g
asenvo 2*2
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
127 
 
14 ¿Cuál debe ser el ángulo de un objeto que tiene un movimiento parabólico para que tenga el 
máximo alcance posible? 
En la fórmula especial: ∆X= 
Por trigonometría se sabe que el máximo valor que puede tomar la función seno es 1. 
Como en la fórmula especial el seno de 2*α es directamente proporcional al alcance máximo, entonces 
se debe buscar que el valor de sen 2α sea máximo. 
Como el valor máximo de la función seno es 1 tenemos: 
 sen 2α = 1 → 2α = sen-1 1 → 2α = 90º 
 α = 90º/2 → α = 45º 
Significa que para que un objeto que tiene un movimiento parabólico logre su máximo alcance, este 
debe ser disparado con un ángulo de 45º. 
15 Desde uno de los vértices de la azotea de un pequeño edificio, se lanza una piedra con una 
velocidad de 40 m/s, luego se observa que la piedra pasa rozando el otro vértice del edificio. El ancho 
que tiene el edificio es de 20 metros y la piedra llega al suelo a una distancia que se encuentra a 40 
metros de la base del edificio. Calcular la altura dicho edificio. 
20 m 40 m
 
Se toman dos tramos, el primer tramo desde que la piedra es lanzada del vértice 1 hasta que la piedra 
roza por el vértice2 de la azotea del edificio. El segundo tramo se toma desde el vértice 2 del edificio 
hasta el suelo. 
Tramo 1: vo = 40 m; yo = 0 m; yf = 0 m; ∆X= 20 m. 
g
asenvo 2*2
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
128 
 
Se toma la posición final e inicial de la piedra como 0 m. ya que nuestro punto de referencia es la 
azotea del edificio. 
Aplicando la fórmula especial: ∆X=
g
asenvo 2*2
 
Remplazando datos tenemos: 20 = 
 20 × 9,8 = 1600 × sen 2α 
196 = 1600×sen 2α → sen 2α = 196/1600 → sen 2α = 0,1225 
2α = sen-1 0,1255 → 2α = 7,04 → α = 3,52º 
El ángulo de tiro es de 3,52º. 
Calculando la velocidad final en el tramo 1 tenemos: 
Descomponemos la velocidad: 
En el eje x: En el eje y: 
vx = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
vx = 40×Cos 3,52º vyo = 40×Sen 3,52º 
vx = 39,92 m/s. vyo = 2,46 m/s 
Remplazando en la fórmula: vf2y = vo2y -19,6 ×(yf –yo) 
vf2y = 2,462 -19,6×(0) → vfy = 2,46 m/s. 
Se debe apreciar que la velocidad inicial y final en el eje “x”y”y” son iguales, esto es debido a la 
simetría que existe en este tipo de movimiento. 
Tramo 2: La velocidad inicial de este tramo en el mismo que el del tramo 1, pero ya que en este tramo 
la piedra está dirigido hacia abajo la velocidad inicial en “y” es negativa. 
Datos eje x: vox = 39,92 m/s; ∆X= 40 m. 
Remplazando en la fórmula: ∆X= vx. t → 40 = 39,92 × t → t = 1,002 s. 
Datos eje y: voy = -2,46 m/s (Por i r hacia abajo); yo =?; yf = 0 m. 
Aplicando la fórmula: yf = yo + voy ×t – 4,9 ×t2 
8,9
2*402 asen
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
129 
 
0 = yo -2,46 ×1 -4,9*12 → yo = 2,41 +4,9 → yo = 7,31 m. 
Significa que la altura del edificio es de 7,31 metros. 
 
16 Un misil es lanzado dos veces con ángulos de tiro distintos “α” y “b” respectivamente, en los dos 
lanzamientos la velocidad inicial fue el mismo y el alcance máximo también fue el mismo. Para que 
esto suceda, ¿Qué relación debe existir entre α y b? 
Aplicando la fórmula especial: ∆X= 
Remplazando α y b tenemos: 
Para α: ∆X= 
Para b: ∆X= 
Como el alcance en ambos casos es el mismo igualamos estas ecuaciones: 
 = Simplificando tenemos: 
 sen 2α = sen 2b 
Por trigonometría se sabe que: 
sen 2α –sen 2b = 2×cos (α +b) ×sen (α -b) 
Entonces: 2×cos (α +b) ×sen (α -b) = 0 
cos (α +b) = 0 → α +b = 90 (ángulos suplementarios) 
sen (α -b) = 0 → α –b = 0 → α = b (ángulos iguales) 
Pero como existe la restricción de que los ángulos son distintos, entonces la respuesta es α +b = 90 
(los ángulos deben ser suplementarios). 
 
 
 
g
asenvo 2*2
g
asenvo 2*2
g
bsenvo 2*2
g
asenvo 2*2
g
bsenvo 2*2
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA130 
 
17 En un partido de básquet entre los Ángeles Lakers y los Chicago Bulls, Michael Jordan se 
encuentra a 5 metros del aro y decide lanzar, si el jugador lanza la pelota con un ángulo de 40º con 
respecto a la horizontal. ¿Con que velocidad inicial debe lanzar la pelota para encestar? (La estatura de 
Michael Jordan es de 2,05 m. aproximados y la altura del aro de Básquet es de 3 metros). 
 
 
Datos eje x: ∆X= 5 m. 
 ∆X= vx×t → 5 = vx×t → 5 = vo×cos α×t → 5 = vo×cos 40*t 
 t = 6,53/vo (1) 
Datos eje y: yo = 2,05 m; yf = 3 m 
yf = yo + voy × t – 4,9 ×t2 → 3 = 2,05 + vo ×sen α × t -4,9×t2 
0,95 = vo×sen 40×t -4,9×t2 → 0,95 = 0,64×vo×t -4,9×t2 
4,9×t2 -0,64×t×vo +0,95 = 0 (2) 
Sustituyendo ecuación 1 en 2: 
4,9×(6,53/vo)2 -0,64×(6,53/vo) ×vo + 0,95 = 0 
(208,94/vo2) – 4,18 +0,95 = 0 → (208,94/vo2) = 3,23 
208,94 = 3,23×vo2 → vo2 = 64,70 → vo = 8,04 m/s 
Significa que el jugador debe lanzar la pelota con una velocidad inicial de 8,04 m/s para poder 
encestar. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
131 
 
18 Un Misil es disparado con una velocidad de 100 m/s con un ángulo de inclinación de 45º con 
respecto a la horizontal. Dos segundos después y a una distancia de 800 metros se dispara 
verticalmente hacia arriba un pequeño cohete de prueba. ¿Cuál debe ser la velocidad del cohete para 
interceptar al misil? 
45º
 
 
Para el misil: 
Descomponiendo el vector velocidad: 
En el eje x: En el eje y: 
vx = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
vx = 100×Cos 45º vyo = 100×Sen 45º 
vx = 70,71 m/s. vyo = 70,71 m/s. 
Datos eje x: ∆X= 800 m. 
Remplazando en la fórmula: ∆X= vx.t → 800 = 70,71×t 
t = 11,31 s. 
Datos eje y: voy = 70,71 m/s; yo = 0 m/s; yf =? 
Remplazando datos en la ecuación: yf = yo + voy×t – 4,9×t2 
yf = 0 +70,71×11,31 -4,9×11,312 → yf = 173,21 m. 
Significa que cuando el misil tiene un desplazamiento horizontal de 800 metros, su altura es de 
173,21 metros en un tiempo de 11,31 segundos. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
132 
 
Para el cohete: El cohete tiene un movimiento vertical. 
Como el cohete es disparado después de 2 segundos el tiempo en el cual tiene que interceptar al misil 
es de 11,31 -2. t = 9,31 s. 
En este tiempo debe conseguir una altura de 173,21 metros para que se de la intercepción. 
Datos: yo = 0 m; yf = 173 m; t = 9,31 s; vo =? 
Remplazando en la fórmula: yf = yo + voy×t – 4,9×t2 
173 = 0 +vo×9,31 -4,9×9,312 → 173 + 424,71= 9,31×vo 
9,31*vo = 597,71 → vo = 64,20 m/s. 
Significa que para que el cohete intercepte al misil, este debe tener una velocidad inicial de 64,20 
m/s. 
Cálculo de la velocidad del cohete en el momento de la intercepción: 
Datos: vo = 64,20 m/s; t = 9,31 s; vf =? 
Remplazando en la fórmula: vf = vo -9,8×t 
vf = 64,20 -9,8×9,31 → vf = -27,03 m/s. 
Como esta velocidad es negativa, significa que en el momento de la intercepción el cohete está de 
bajada. 
19 Un proyectil es disparado con una velocidad inicial de 100 m/s con un ángulo de de 50º con 
respecto a la horizontal. ¿Que tiempo después debe lanzarse otro proyectil que tiene una velocidad 
inicial de 200 m/s con un ángulo de 45º, para que exista coalición entre los dos proyectiles? 
50º
y
x
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
133 
 
Descomponiendo el vector velocidad para el proyectil 1: 
En el eje x: En el eje y: 
vx = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
vx = 100×Cos 50º vyo = 100×Sen 50º 
vx = 64,28 m/s. vyo = 76,60 m/s. 
Remplazando en la fórmula: ∆X= vx.t → ∆X= 64,28×t (1) 
Remplazando en la fórmula: yf = yo + voy×t – 4,9×t2 
 yf = 0 +76,60*t -4,9×t2 (2) 
Descomponiendo el vector velocidad para el proyectil 2: 
En el eje x: En el eje y: 
vx = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
vx = 200×Cos 45º vyo = 200×Sen 45º 
vx = 141,42 m/s. vyo = 141,41 m/s. 
Como el proyectil 2 es lanzado después que el proyectil 1 se agrega una variable llamada t2 que 
representa el tiempo que el proyectil 2 es lanzado luego del proyectil 1. 
De esta forma el tiempo empleado por el proyectil 2 es: t - t2 
Remplazando en la fórmula: ∆X= vx.t → ∆X= 141,41*(t - t2) 
 ∆X= 141,41×t -141,41× t2 (3) 
Remplazando en la fórmula: yf = yo + voy×t – 4,9×t2 
yf = 0 + 141,41×(t - t2) -4,9×(t - t2)2 
yf = 141,41×t -141,41×t2 -4,9×t2 +9,8×t*t2 -4,9×t22 (4) 
Igualando ecuaciones 1 y 3 tenemos: 
 64,28×t = 141,41×t -141,41× t2 
141,41× t2 = 77,13×t → t = 1,83×t2 (5) 
Igualando ecuaciones 2 y 4 tenemos: 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
134 
 
141,41×t -141,41×t2 -4,9×t2 +9,8×t×t2 -4,9×t22 = 76,60×t -4,9×t2 
-64,82×t = -4,9×t22 +9,8×t×t2 -141,42×t2 (6) 
Sustituyendo ecuación 5 en 6 tenemos: 
64,82×(1,83×t2) = -4,9×t22 +9,8×(1,83×t2) × t2 -141,42×t2 
-118,62× t2 = -4,9×t22 +17,93× t22 -141,42× t2 Dividiendo entre t2 : 
-118,62 = -4,9×t2 +17,93×t2 -141,42 
22,8 = 13,03×t2 → t2 = 1,75 s. 
Significa que para que exista una coalición, el proyectil 2 debe ser disparado luego de 1,75 
segundos con relación al proyectil 1. 
20 Determinar la ecuación de la trayectoria de un cuerpo que tiene un movimiento parabólico. 
vx = vo×Cos α vyo = vo×Sen α 
Remplazando en la ecuación: 
 ∆X= vx.t → ∆X= vo×Cos α×t → t = ∆X/ vo×Cos α (1) 
Remplazando en la ecuación: 
 yf = yo + voy×t – 4,9×t2 → yf = yo + vo×Sen α×t -4,9×t2 (2) 
Sustituyendo ecuación 1 en 2 tenemos: 
yf = yo + vo×Sen α× (∆X/ vo×Cos α ) × -4,9×(∆X/ vo×Cos α )2 
Pero como (Sen α/ Cos α) = Tan α 
𝐲𝐟 = 𝐲𝟎 + ∆𝐱 ∙ 𝐭𝐠 𝛂 −
𝟒, 𝟗 ∙ ∆𝐱𝟐
𝐯𝟎
𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂
 
(Ecuación de la trayectoria del movimiento parabólico) 
Esta ecuación nos permite relacionar el desplazamiento con la altura del cuerpo, por ejemplo si se 
tuviera como datos la velocidad inicial y el ángulo de tiro, mediante esta ecuación se puede 
determinar a qué altura se encuentra el cuerpo en cierta distancia recorrida. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
135 
 
21 Un proyectil con yo =0 m., se dispara con una velocidad inicial de 60 m/s y un ángulo de tiro de 
30º, Calcular la distancia recorrida sobre la horizontal cuando su altura es de 8 metros. 
Datos: yf = 8m; yo = 0 m; vo = 60 m/s; α = 30º; ∆X=? 
 Aplicando la ecuación: yf = yo +∆X×Tan α - 
8 = 0 +∆X×Tan 30º -(4,9×∆X2/602×Cos230) 
8 = 0,58×∆X -4,9×∆X2/2700 Multiplicando por 2700 tenemos: 
21600 = 1566×∆X -4,9×∆X2 
4,9×∆X2 -1566×∆X +21600 = 0 Dividiendo entre 4,9: 
∆X2 -319,59×∆X +4408,16 = 0 (Ecuación de segundo grado) 
∆X = 
∆X = 
∆X = 
∆X = → ∆X1 = 
∆X1 = 305,14 m. 
∆X2 = → ∆X2 = 14,45 m. 
Significa que cuando el proyectil tiene una altura de 8 metros puede tener 305,14 metros de 
desplazamiento ó 14,45 metros de desplazamiento. 
aCosvo
x
22
2
*
*9,4 
a
cabb
*2
**42 −−+−
1*2
16,4408*1*4)59,319(59,319 2 −−−+
1*2
64,1763277,10213759,319 −−+
2
69,29059,319 −+
2
69,29059,319 +
2
69,29059,319 −
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
136 
 
y
x
8 metros
14,45 
metros
305,14 
metros
 
22 En la guerra del Chaco(1932-1935), el ejército boliviano en su gran mayoría utilizaba los fusiles 
Máuser. La bala del fusil Máuser tenían una velocidad inicial de aproximadamente 200 m/s, si un 
soldado boliviano divisa un blanco enemigo que se encuentra a 100 metros de distancia. ¿Con que 
ángulo debió disparar para dar impacto en el blanco? 
 
Fusil Máuser 
Resolución: 
Aplicando la fórmula especial: ∆X =
8,9
2*2 asenvo
 
100 =
8,9
2*2002 asen
 → 980 = 40000× sen 2 α 
sen 2 α = 0,0245 → 2×α = sen-1 0,0245 
2×α = 1,4 → α = 1,4/2 → α = 0,70 
Significa que el soldado boliviano debió disparar con un ángulo de tiro de 0,7 grados (muy 
pequeño). 
Lógicamente en la realidad 0,7 grados es imperceptible al ojo humano, de tal manera, sería como disparar en línea 
recta. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
137 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1 Un cuerpo es lanzado con una velocidad inicial de 150 m/s y un ángulo de 70º ¿Cuales son las 
componentes de esta velocidad? R. 𝒗𝒙 = 𝟓𝟏, 𝟑𝟎[𝒎/𝒔] 𝒗𝒚𝟎 = 𝟏𝟒𝟎, 𝟗𝟓[𝒎/𝒔] 
2 La velocidad de un proyectil en el eje x es de 40 m/s, la velocidad final en el eje y es de -9 m/s. 
Determinar el módulo y el ángulo de dicha velocidad. R. 𝒗 = 𝟒𝟏[𝒎/𝒔] 𝜶 = 𝟑𝟒𝟕, 𝟑𝟐° 
3 Un proyectil de mortero es disparado con una velocidad inicial de 90 m/s y un ángulo de elevación 
de 60º. Calcular el tiempo de vuelo, la altura máxima y el desplazamiento de este proyectil. 
R. 𝒕𝒗 = 𝟏𝟓, 𝟗𝟏[𝒔] 𝑯𝑴𝑨𝑿 = 𝟑𝟎𝟗, 𝟗𝟓[𝒎] ∆𝒙 = 𝟕𝟏𝟓, 𝟕𝟗[𝒎] 
4 Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 40 m/s y un ángulo de elevación de 30º con 
respecto a la horizontal. A una distancia de 100 metros se encuentra una pared de 3 metros. ¿A qué 
altura pasará el proyectil por encima de la pared? R. 𝟏𝟑, 𝟖𝟕[𝒎] 
5 Un caballo realiza un salto horizontal desde una altura de 3 metros con una velocidad de 5 m/s 
¿Cuál es la distancia a la que caerá el caballo? R. ∆𝒙 = 𝟑, 𝟗[𝒎] 
6 Se patea una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s y un ángulo de 50º con respecto a la 
horizontal. ¿Cuánto tiempo después el balón regresará al piso? R. 𝒕 = 𝟒, 𝟔𝟗 [𝒔] 
7 Se hace deslizar sobre una mesa de 0,90 metros de altura un vaso de cerveza, el cual cae al piso a 
una distancia de 2 metros de la base de la mesa. ¿Cuál fue la velocidad del vaso al abandonar la mesa? 
R. 𝒗 = 𝟒, 𝟔𝟓[𝒎/𝒔] 
8 Blooming y Oriente disputan la final del fútbol Boliviano, un jugador se encuentra a 31,25 metros 
del arco a punto de rematar un tiro libre, el arco tiene una altura aproximada de 2,5 metros. Si después 
del remate la pelota adquiere una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál debe ser el ángulo con el cual el jugador 
debe rematar el balón para que este pegue en el travesaño? 
R. 𝜶 = 𝟑𝟎° 𝜶 = 𝟔𝟑, 𝟖𝟖° 
9 Una avioneta de rescate, viaja a una rapidez de 60 m/s. Deja caer una caja con provisiones en una 
isla que se encuentra a 2 kilómetros de distancia. ¿A qué altura debe encontrarse la avioneta para que 
las provisiones lleguen a la isla? R. 𝒚𝟎 = 𝟓𝟒𝟒𝟑, 𝟑𝟓[𝒎] 
10 La velocidad inicial de una flecha es de 10 m/s con un ángulo de disparo de 55º con respecto a la 
horizontal. ¿Cuál es la velocidad y el ángulo que tendrá la flecha al cabo de 1 segundo? ¿La flecha 
estará en su tramo de subida o de bajada? 
R. 𝒗 = 𝟓, 𝟗𝟓[𝒎/𝒔] 𝜶 = 𝟑𝟒𝟒, 𝟑𝟔° 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒋𝒂𝒅𝒂 
11 Determinar las fórmulas especiales: 
H = y tv = 
g
senavo
*2
* 22
g
senavo**2
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138 
 
12 Se dispara un pequeño proyectil con una velocidad de 65 m/s y un ángulo de 60º con respecto a la 
horizontal, el proyectil pasa rozando un acantilado de 100 metros de altura. ¿A qué distancia del 
acantilado cae el proyectil? ¿Cuál fue su tiempo de vuelo? 
 
R. 𝟒𝟐𝟒, 𝟏𝟔 [𝒎] 𝟏𝟑, 𝟎𝟓 [𝒔] 
13 De un depósito de agua, sale verticalmente un chorro de agua con una velocidad horizontal de 
10 [𝑚/𝑠], si el agujero del depósito se encuentra a 50 metros de altura, determinar la distancia 
horizontal a la que llega el agua de la base del edificio. 
50 
metros
10 m/s
 
R. ∆𝒙 = 𝟑𝟏, 𝟗𝟒[𝒎] 
14 ¿Cuál es el ángulo con el que debe dispararse un mortero para que su alcance sea 4 veces su altura? 
R. 𝟒𝟓° 
15 ¿Cuál es el ángulo con el que debe dispararse una flecha para que su altura sea el doble que su 
alcance? R. 𝜶 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟕𝟎 
16 Se lanzan 3 piedras, la primera con una velocidad inicial de 5 m/s y un ángulo de 20º, la segunda 
con una velocidad de 8 m/s y un ángulo de 70º y la tercera con una velocidad de 6 m/s y un ángulo de 
45º.¿Cual dura más tiempo en el aire? 
17 Un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y un ángulo de tiro de 30º, alcanza una altura de 
20 metros, ¿Cuál es el desplazamiento del proyectil para esa altura? 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
139 
 
R. ∆𝒙 = 𝟑𝟓𝟗𝟎, 𝟏𝟖[𝒎] ∆𝒙 = 𝟑𝟒, 𝟖𝟐[𝒎] 
18 Un proyectil se dispara con una velocidad de 40 m/s y un ángulo de 35º, otro proyectil se dispara 
con la misma velocidad del primero pero un ángulo de 55º ¿Cual tiene mayor desplazamiento? ¿Cual 
dura más en el aire? ¿Por qué? 
19 Si la velocidad inicial de un cuerpo que tiene una trayectoria parabólica es de 40 m/s. ¿Cuál debe 
ser el ángulo de tiro para que el cuerpo permanezca en el aire 10 segundos? 
R. No existe ángulo posible. 
20 ¿Cuál debe ser el ángulo de un objeto que tiene un movimiento parabólico para que llegue a la 
máxima altura posible? R. 𝟖𝟗. 𝟗𝟗° 
21 Un proyectil es disparado con una velocidad inicial vi1 m/s con un ángulo de α con respecto a la 
horizontal. ¿Que tiempo después debe lanzarse otro proyectil que tiene una velocidad inicial de vi2 m/s 
con un ángulo de θ, para que exista coalición entre los dos proyectiles? (Ver problema #19 resuelto). 
22 Una manguera lanza agua con una velocidad de 20 [𝑚/𝑠] y un ángulo de inclinación de 30° como 
se ve en la figura, determinar: a) La altura máxima a la que llega el chorro de agua b) La velocidad con 
que el chorro de agua golpea el piso c) El tiempo que el chorro permanece en el aire. 
30º
2 m
 
R. 𝒚𝒇 = 𝟕, 𝟏𝟎[𝒎] 𝒗 = 𝟐𝟎, 𝟗𝟑[𝒎/𝒔] 𝒕 = 𝟐, 𝟐𝟐[𝒔] 
23 Se patea un balón con una velocidad de 40 m/s, y un ángulo de disparo de 300, una pared de 
concreto se encuentra a 5 metros del balón. ¿Cuántos metros encima de la pared pasa el balón? (La 
altura de la pared es de 2 metros) 
5 metros
 
R. a 0,70 metros 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
140 
 
 
24 Un tanque de guerra avanza con velocidad constante de 10, 94 [𝑚/𝑠] hacia una trinchera que se 
encuentra a 20 metros de distancia. En ese instante de la trinchera se dispara un mortero que lanza un 
proyectil con una velocidad inicial de 10 [𝑚/𝑠]. ¿Cuál debe ser el ángulo de disparo para que el 
proyectil impacte en el tanque? ¿En qué tiempo se da el impacto? (No tome en cuenta la altura del 
tanque). R. 𝟑𝟎𝟎 𝟏, 𝟎𝟐 [𝒔] 
 
v
20 metros
α
 
 
25 Se deja caer una pelota verticalmente sobre un punto A de un plano inclinado que forma un ángulo 
de 35º con un plano horizontal. La pelota rebota formando un ángulo de 60º con la vertical. Sabiendo 
que el próximo rebote tiene lugar en B a una distancia de 15 metros de A más abajo del plano. 
Determine: a.) La velocidad que llevaba cuando la pelota rebotó en el punto “A” b.) El tiempo 
transcurrido desde que la pelota rebota en A hasta que la pelota rebota en B 
15 metros
60º
35º
 
26 Una manzana cae de una altura 𝑦0, en ese preciso instantese dispara un balín apuntando hacia la 
manzana como se ve en la figura, como el balín apunta a la amanzana y se dispara al mismo instante en 
que la manzana se deja caer, el balín siempre impactará en la manzana si la velocidad es la suficiente 
para impactar a la manzana y no chocar con el piso. 
Determine la expresión de la velocidad inicial mínima del balín en función a la altura 𝑦0 y la distancia 
horizontal ∆𝑥 para que impacte con la manzana antes de chocar al piso. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
141 
 
y0
Δx
 
 
R.- 𝒗𝟎 = √
𝒈(∆𝒙𝟐+𝒚𝟎
𝟐)
𝟐𝒚𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
142 
 
 
 
 
Competencia de motos en el momento que dan una curva. 
 
Objetivos de capítulo.-Luego de este capítulo el alumno será capaz de: 
Definir conceptos teóricos referentes al tema. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
143 
 
Introducción.- Hasta ahora se estudiaron las leyes físicas referentes a móviles que se desplazan en 
línea recta o en movimiento parabólico, en este capítulo se verá cuales son las leyes físicas para un 
movimiento circular. 
En este movimiento el radio de curvatura es constante y las magnitudes que lo definen son lineales y 
angulares. 
Como ocurre con el movimiento rectilíneo, en el movimiento circular existen dos tipos de 
movimientos. Uno donde la velocidad es constante y otro donde la velocidad varía en función al 
tiempo. 
1) Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.).-Este tipo de movimiento se caracteriza por la 
constancia de la velocidad y que la trayectoria que describe el móvil es un círculo. 
La constancia de la velocidad angular representa que el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. 
Velocidad Lineal o tangencial (v).-Esta es la velocidad que fué estudiada en los anteriores capítulos 
que en un movimiento circular es la longitud de la curva (S) que recorre el móvil en una unidad de 
tiempo. 
Velocidad angular (w).-Es el ángulo (α) que describe un cuerpo en movimiento circular en una 
unidad de tiempo. 
 
Ecuaciones para el M.C.U.: 
θf = θo +w×t (1) 
Donde: 
θf = Posición angular final. Se mide en Radianes (Rad). 
θo = Posición angular inicial Se mide en Radianes (Rad). 
w = Velocidad angular Se mide en Radianes por segundo (Rad/s).* 
t = Tiempo Se mide en segundos (s.) 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
144 
 
*La velocidad angular (w), se puede medir también en r.p.m, r.p.s., º/s, vueltas/s, etc. 
Nótese la similitud de la fórmula del M.C.U. con la fórmula del M.R.U.: 
M.C.U. M.R.U. 
θf = θo +w×t xf = xo +v×t 
Las fórmulas son similares, la única diferencia radica en el hecho de que en el M.C. las magnitudes 
son angulares. 
Periodo (T).-Es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta, giro o revolución. 
Su fórmula es: T = 2×π/w 
Frecuencia (F).-Es el número de vueltas, giros o revoluciones que el móvil dá en una unidad de 
tiempo (generalmente esta unidad de tiempo es el segundo). 
Su fórmula es: F = 1/T 
Es así que la frecuencia es inversa al periodo. 
Aceleración centrípeta.-Aunque el módulo de la velocidad es constante, existe una variación de la 
dirección. A esta variación de la dirección del vector velocidad se denomina aceleración centrípeta. 
 Su fórmula es: Ac = v2/r ó Ac = w2×r 
Donde: 
v = velocidad lineal (m/s) 
w = velocidad angular (Rad/s) 
 r = radio de la trayectoria circular (m). 
Relación entre las magnitudes lineales y angulares.-Las relaciones entre las magnitudes lineales y 
angulares son: 
x = θ×r v = w×r 
 
Para encontrar la magnitud lineal, basta con multiplicar la magnitud angular por su radio. 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
145 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
1 Un móvil da 6 vueltas es 8 segundos. ¿Cuál es su velocidad en radianes por segundo? 
Datos: θo = 0 vueltas; θf = 6 vueltas; t = 8 s.; w =? 
Remplazando en la fórmula: θf = θo +w×t → 6 = 0 +w×8 
w = 6/8 → w = 0,75 vueltas/s. 
Significa que el móvil tiene una velocidad de 0,75 vueltas/s. 
Transformando a Rad/s tenemos: 
 = 4,71 Rad/s 
w = 4,71 Rad/s. 
2 La velocidad angular de un móvil es de 56 Rad/s, si el móvil gira 8 segundos ¿Cuál es su posición 
angular al cabo de este tiempo en grados? 
Datos: θo = 0 Rad; w = 56 Rad/s; t = 8s; θf =? 
Remplazando en la fórmula: θf = θo +w×t → θf = 0 +56×8 
θf = 448 Rad. 
Transformando a grados: 
 = 25681,52º 
θf = 25681,52º 
3 Un esmeril de 40 cm. de diámetro gira a razón de 100 r.p.m. (Revoluciones por minuto) ¿Cuál es su 
velocidad angular en Rad/s y cual la velocidad lineal en su borde? 
Primeramente se halla el radio de la circunferencia que es la mitad de su diámetro. 
r = D/2 → r = 40/2 → r = 20 cm. Transformando a metros: 
r = 0,2 m. 
El término “revoluciones por minuto” significa el número de vueltas que el móvil da en 1 segundo. 
Transformando a Rad/s. tenemos: 
vuelta
Rad
vuelt
1
**2
*75,0

Rad
Rad
**2
º360
*448

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146 
 
* = 10,47 Rad/s 
w = 10,47 Rad/s. 
Significa que la velocidad angular de este móvil es de 10,47 Rad/s. 
Para calcular la velocidad lineal en el borde del esmeril utilizamos la fórmula: 
v = w×r → v = 10,47×0,2 → v = 2,09 m/s. 
Significa que la velocidad lineal o tangencial del móvil es de 2,09 m/s. 
4 ¿Cual es la aceleración centrípeta de un móvil que tiene una velocidad angular de 40 Rad/s y un 
radio de 50 cm? 
Datos: w = 40 Rad/s; r = 0,5 m.; Ac =? 
Aplicando la fórmula: Ac = w2×r → Ac = 402×0,5 → Ac = 800 m/s2. 
5 ¿Cual es periodo y la frecuencia de un móvil que tiene una velocidad angular de 9 Rad/s? 
Aplicando la fórmula: T = 2×π/w → T = 2×3,14/9 
T = 0,7 s. Significa que el móvil tarda 0,7 segundos en dar una vuelta. 
Aplicando la fórmula: f = 1/T → f = 1/0,7 → f = 1,43 vueltas por segundo. 
El móvil da 1,43 vueltas cada segundo. 
6 Un disco gira a 45 r.p.m ¿Cuál es la velocidad tangencial en un punto situado a 10 cm. del centro? 
Datos: w = 45 rev/min.; r = 0,1 m. 
 = 4,71 Rad/s. 
w = 4,71 Rad/s. 
Aplicando la fórmula: v = w×r → v = 4,71×0,1 
v = 0,471 m/s. 
Esto nos indica que cuanto mayor es el radio, mayor será la velocidad lineal en ese punto. 
 
.min
.100revol
.60
.min1
*
.1
.**2
segrevol
Rad
segrev
Radrev
60
.min1
*
.1
**2
*
.min
45 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
147 
 
7 Se hace rodar un balón por un plano inclinado, el balón recorre una distancia de 5 metros en los 
cuales da 6 giros ¿Cuál es el radio del balón? 
Datos: x = 5m; θf = 6 giros o vueltas. 
Transformando las vueltas en radianes: = 37,68 Rad. 
El desplazamiento angular es de 37,68 Radianes. 
Aplicando la fórmula: x = θ×r → 5 = 37,68×r → r = 0,13 m. 
El radio del balón es de 13 centímetros. 
8 Un electrón gira alrededor de un campo magnético con una órbita de 1 metro, si el electrón tiene 
una velocidad tangencial de 6*106 m/s ¿Cuál es la aceleración centrípeta del electrón? 
Datos: r = 1 m; v = 6×106 m/s; Ac =? 
Remplazando datos en la ecuación: Ac = v2/r → Ac = (6×106)2/1 
Ac = 6×1012 m/s2. 
9 Si la velocidad angular de una partícula es de 4 Rad/s y en su velocidad lineal es de 8 m/s ¿Cuál esla aceleración centrípeta de esta partícula? 
Datos: w = 4 Rad/s; v = 8 m/s; Ac =? 
Remplazando en las ecuaciones: Ac = v2/r Ac = w2×r 
Ac = 82/r → Ac = 64/r (1) 
Ac = 42×r → Ac = 16×r (2) 
Igualando 1 y 2: 
64/r = 16×r → r2 = 4 → r = 2 m. 
Remplazando este resultado en 1: 
Ac = 64/r → Ac = 64/2 → Ac = 32 m/s2. 
10 ¿Cual es la velocidad angular de la luna, sabiendo que completa una vuelta alrededor de la tierra 
en 28 días? (La distancia entre la tierra y la luna es de 38,4×104 metros aproximadamente). 
Datos: T = 28 días; r = 38,4×104 m. 
El periodo lunar es de 28 días. Convirtiendo este dato a segundos: 
.1
.**2
*.6
velt
Rad
vuelt

FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
148 
 
 = 2419200 s. 
T = 2419200 s. 
Aplicando la fórmula: f = 1/T → f = 1/2419200 → f = 4,13×10-7 vueltas en 1 s. 
Entonces: w = 4,13×10-7 vueltas/s. 
Transformando a m/s: 
 = 2,59×10-6 
w = 2,59×10-6 Rad/s. 
La velocidad angular de la luna es de 2,59×10-6 Rad/s. 
2) Movimiento circular uniformemente acelerado (M.C.U.A.).-Es el movimiento circular en el cual 
aparece una magnitud vectorial denominada la aceleración angular. 
Aceleración angular (δ)-Es la variación de la velocidad angular en una unidad de tiempo. 
Aceleración lineal o tangencial (a).-Es la variación de la velocidad tangencial en una unidad de 
tiempo. 
Relación entre la aceleración angular y tangencial.-La aceleración lineal o tangencial de un móvil, 
es la aceleración angular por el radio. 
a = 𝜶×r 
Ecuaciones para el M.C.U.V: 
θf = θo +w0×t + ½×δ×t2 (1) 
wf = wo + δ×t (2) 
wf2 = wo2 + 2×δ×(θf – θo) (3) 
Nótese la similitud de estas ecuaciones con las de movimiento rectilíneo uniformemente 
acelerado (M.R.U.A.). 
 
 
hora
segundos
día
horas
días
1
3600
*
1
24
*28
.1
**2
*
.
10*13,4 7
vuelt
Rad
seg
vuelt −
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
149 
 
Aceleración total 
Para una partícula en M.C.U.A., la aceleración total, tiene dos componentes perpendiculares entre si, la 
aceleración centrípeta y la aceleración tangencial. 
𝒂 = √𝒂𝒄𝟐 + 𝒂𝒕
𝟐 
El ángulo se calcula mediante la siguiente fórmula: 𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏
𝒂𝒕
𝒂𝒄
 
Transferencia de las velocidades.-Cuando dos cuerpos están unidos por su eje, estos se transmiten 
velocidad angular. 
Cuando dos cuerpos están unidos por una polea o sus contornos tienen contacto, estos se transmiten 
velocidad lineal. 
PROBLEMAS RESUELTOS 
1 La hélice de un pequeño aeroplano tiene una velocidad angular inicial de 40 Rad/s, después de 30 
segundos la hélice dio 1000 vueltas ¿Cuál es la aceleración angular de la hélice? 
Datos: wo = 40 Rad/s; t = 30 s; θf = 1000 vueltas. 
Convertimos las vueltas a radianes: 
 = 6280 Rad. 
θf = 6280 Rad. 
Remplazando en la fórmula: θf = θo +wo×t + ½×δ×t2 
6280 = 0 + 40×30 + ½×δ×302 → 5080 = 450× δ 
 δ = 11,29 Rad/s2. 
La aceleración angular de la hélice es de 11,29 Rad/s2. 
2 Un disco que parte del reposo, acelera uniformemente a razón de 2 Rad/s2 hasta alcanzar una 
velocidad angular de 10 Rad/s ¿En qué tiempo logra esta velocidad? 
Datos: wo = 0 Rad/s; wf = 10 Rad/s; δ = 2 Rad/s2; t=? 
Aplicando la fórmula: wf = wo + δ×t → 10 = 0 +2×t t = 5 s. 
3 Un automóvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s en 5 segundos ¿Cuantas vueltas dio la 
llanta del auto si tiene un radio de 30 cm? 
vuelta
Rad
vueltas
1
**2
*1000

FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
150 
 
Datos: vo = 10 m/s; vf = 20 m/s; t = 5 s.; r = 0,3 m. 
Remplazando en la ecuación del M.R.U.V.: vf = vo + a×t 
20 = 10 + a×5 → a = 2 m/s2 
En la fórmula: xf = xo + vo×t + ½× a×t2 
xf = 0 +10×5 + ½×2×52 → xf = 75 m. 
Aplicando la fórmula: x = θ×r → 75 = θ×0,3 
θ = 250 Rad. 
Convirtiendo a vueltas: 
 = 39,8 vueltas. 
Las llantas del auto dan 39,8 vueltas. 
4 Una rebobinadora que parte del reposo acelera a razón de 1 Rad/s2 durante 2 segundos ¿Qué 
longitud de cable enroscó en ese tiempo sabiendo que el radio de la rebobinadora es de 50 cm? 
Datos: wo = 0 Rad/s; δ = 1 Rad/s2; t= 2 s.; r = 0,5 m. 
Aplicando la fórmula: θf = θo +wo×t + ½×δ×t2 
θf = 0 +0×2 + ½×1×22 → θf = 2 Rad. 
Aplicando la ecuación: x = θ×r → x = 2×0,5 → x = 1 m. 
Significa que la rebobinadora enroscó 1 metro de cable. 
5 Se desconecta un ventilador que llevaba una velocidad angular de 50 Rad/s. Si el ventilador tarda 
15 segundos en detenerse ¿Cuál es su desaceleración? ¿Cuantas vueltas dió el ventilador hasta 
detenerse? 
Datos: wo = 50 Rad/s; wf = 0 Rad/s; t = 15 s. 
Aplicando la fórmula: wf = wo + δ×t → 0 = 50 + δ×15 
δ = -50/15 → δ = -3,33 Rad/s2 
Significa que la desaceleración del ventilador es de 3,33 Rad/s2. 
Aplicando la fórmula: wf2 = wo2 + 2δ×(θf – θo) 
0 = 502 +2×(-3,33) ×(θf -0) → θf = -2500/-3-33 
θf = 750 Rad. 
Rad
vuelt
Rad
**2
.1
*250

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151 
 
Convirtiendo a vueltas tenemos: 
 = 119,37 vueltas. 
Significa que el ventilador antes de detenerse dá 119,37 vueltas. 
6 Una partícula que lleva un movimiento circular inicialmente tiene un ángulo de abertura de 20º, en 
ese instante su velocidad es de 0,1 Rad/s, luego de 10 segundos, la partícula recorre 100º más ¿Cuál es 
la aceleración de la partícula en Rad/s? 
Convirtiendo los grados a radianes tenemos: 
 = 0,35 Rad. 
 = 2,1 Rad. 
Datos: θf = 2,1 Rad; θo = 0,35 Rad; t = 10 s; wo = 0,1 Rad/s. 
Aplicando la fórmula: θf = θo +wo×t + ½×δ×t2 
2,1 = 0,35 + 10×0,1+ ½× δ×102 → 0,75 = 50× δ 
δ = 0,015 Rad/s2 
7 Una rueda tiene una desaceleración constante de 8 Rad/s2, si al cabo de 100 vueltas esta queda en 
reposo ¿Cuál fue su velocidad inicial? 
Convirtiendo vueltas a radianes: 
 = 628 Rad. 
Datos: θf = 628 Rad; θo = 0 Rad; δ = -8 Rad/s2; wf = 0 Rad/s 
Aplicando la fórmula: wf2 = wo2 + 2×δ×(θf – θo) 
02 = wo2 + 2×(-8) ×(620 -0) → wo2 = 9920 
wo = 99,6 Rad/s. 
Significa que la velocidad inicial de la rueda era de 99,6 radianes. 
8 Dos engranajes con radios de 40 y 10 cm. respectivamente están girando uno engranado al otro, el 
que tiene radio mayor gira a razón de 100 Rad/s ¿Cuál será la velocidad angular del engranaje de 
menor radio? 
El engranaje de radio mayor, transmite una velocidad lineal al de radio menor. 
.**2
1
*750
Rad
vuelta
Rad

º360
**2
º*20
Rad
º360
**2
º*120
Rad
.1
.**2
*100
vuelt
Rad
vuelt

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152 
 
Calculando la velocidad lineal del engranaje 1 tenemos: 
v1 = w1×r1 → v1 = 100×0,4 → v1 = 40 m/s. 
Significa que la velocidad lineal o tangencial del engranaje 1 es de 40 m/s. 
 Este engranaje le transmite su velocidad tangencial al engranaje 2: 
 v1 = v2 → v2 = 40 m/s. 
Aplicando la fórmula: v = w×r → 40 = w2×0,1 → w2 = 400 Rad/s. 
Significa que la velocidad del segundo engranaje es de 400 Rad/s. 
9 Dos aros parten del mismo punto pero en direcciones contrarias con velocidad de 2 Rad/s .en 
ambos casos. La aceleración de los aros son de 0,5 Rad/s2 ¿Cuál es la relación entre los radios de los 
aros si luego de 15 segundos se encuentran separados 100 metros? 
 
 
 
 
 
 
Aro 1 Aro2 
wo1 = -2 Rad/s (Por ir a la izquierda) wo2 = 2 Rad/s 
v1 = wo1×r1 v2 = wo2×r2 
v1 = -2×r1 (1) v2 = 2×r2 (2) 
 
Remplazando en la ecuación:𝑥𝑓=𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 
Para aro 1: 
0 = xo - 2×r1×t - ½×(0,5×r1) ×t2 → xo = 2×r1×t +-0,25×r1×t2 (3) 
Para aro 2: 
100 = xo +2×r2×t +½×(0,5×r2)×t2 →xo =100 - 2×r2×t -0,25×r2×t2 (4) 
Igualando : 
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153 
 
2×r1×t +0,25×r1×t2 = 100- 2×r2×t -0,25×r2×t2 
Remplazando el valor de t = 15 s. 
+30×r1+0,25×r1×225 = 100 -30×r2 -0,25×r2×225 
86,25×r1 = 100 -86,25×r2 
Dividiendo entre 86,25 
r1 = 1,16 –r2 (Relación entre los aros). 
10 Dos aros de radios 20 y 30 centímetros esta unidos por una polea, el aro mayor tiene una velocidad 
angular de 60 Rad/s ¿Cual es la velocidad angular del segundo aro?. 
 
El aro de radio 0,3 metros le transmite una velocidad lineal al aro de radio 0,2 metros mediante la 
polea. 
Datos aro 1: w = 60 Rad/s; r1 = 0,3 m. 
v1 = w1×r1 → v1 = 60×0,3 → v1 = 18 m/s. 
Significa que la velocidad lineal en el borde es de 18 m/s, esta velocidad es transmitida al aro 2 
mediante la polea. 
Entonces: v1 = v2 → v2 = 18 m/s. 
Calculando la velocidad angular del aro 2: 
v2 = w2×r2 → 18 = w2×0,2 → w2 = 90 Rad/s. 
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154 
 
Significa que la velocidad angular del aro 2 es de 90 Rad/s. 
11 Calcular la velocidad lineal en el borde del aro 4. 
 
Datos: v1 = 8 m/s; r1 = 0,8 m; r2 = 0,3 m; r3 = 0,5 m; r4 = 0,7 m. 
Para aro 1: v1 = w1×r1 → 8 = w1×0,8 → w1 = 10 Rad/s 
El aro 1 transmite al aro 2 una velocidad angular: 
w1 = w2 → w2 = 10 Rad/s. 
Para aro 2: v2 = w2×r2 → v2 = 10×0,3 → v2 = 3 m/s. 
El aro 2 transmite al aro 3 una velocidad lineal por la polea: 
v2 = v3 → v3 = 3 m/s. 
Para el aro 3: v3 = w3×r3 → 3 = w3×0,5 → w3 = 6 Rad/s. 
El aro 3 le transmite una velocidad angular al aro 4: 
w3 = w4 → w4 = 6 Rad/s. 
Para el aro 4: v4 = w4×r4 → v4 = 6×0,7 → v4 = 4,2 m/s. 
Por lo cual la velocidad lineal o tangencial en el borde del aro 4 es de 4,2 m/s. 
 
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155 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1 Defina los conceptos de velocidad lineal o tangencial, aceleración centrípeta, Periodo, frecuencia y 
aceleración angular. 
2 Hallar la velocidad angular en 𝑟𝑎𝑑/𝑠, del segundero, minutero y horero de un reloj. 
R. 𝟎, 𝟏𝟎𝟓 [𝒓𝒂𝒅/𝒔] 𝟏, 𝟕𝟒 × 𝟏𝟎−𝟑[𝒓𝒂𝒅/𝒔] 𝟏, 𝟒𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒[𝒓𝒂𝒅/𝒔] 
3 Un móvil da 30 vueltas en 2 minutos. ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por segundo? 
R. 𝟏, 𝟓𝟕 [𝒓𝒂𝒅/𝒔] 
4 Una rueda de 20 centímetros de radio gira con velocidad angular constante de 50 r.p.m., luego de 
30 segundos. Determinar: a) El número de vueltas que dio. b) La velocidad lineal en el borde de la 
rueda. c) El periodo y la frecuencia. d) La aceleración centrípeta. 
5 Un electrón gira alrededor de un campo magnético con una órbita de 0,28 metros de radio, si el 
electrón tiene una velocidad angular de 5,2×10-3 Rad/s ¿Cuál es la aceleración centrípeta del electrón? 
R. 𝑨𝒄 = 𝟕, 𝟓𝟕 × 𝟏𝟎
−𝟔 [𝒎/𝒔𝟐] 
6 Una bicicleta aumenta su velocidad de 2 m/s a 5 m/s en 10 segundos ¿Cuantas vueltas dio la llanta 
de la bicicleta si tiene un diámetro de 0,8 metros? R. 𝟏𝟑, 𝟗𝟑[𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕] 
7 Una partícula que lleva un movimiento circular, tiene una velocidad tangencial de 5 cm/min y una 
velocidad angular de 89 Rad/s ¿Cuál es el radio de su trayectoria? ¿Cuál es su aceleración centrípeta? 
R. 𝒓 = 𝟗, 𝟑𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔 [𝒎] 
8 Dos engranajes con radios de 100 y 30 cm. respectivamente están girando uno engranado al otro, el 
que tiene radio mayor gira a razón de 20 Rad/s ¿Cuál será la velocidad angular del engranaje de menor 
radio? 
100 cm
 
R. 𝟔𝟔, 𝟔𝟕 [𝒓𝒂𝒅/𝒔] 
9 La turbina de un avión gira a razón de 1000 vuelt/s, de pronto desacelera a razón de 100 Rad/s2 
hasta detenerse. ¿Cuantas vueltas dio la turbina? R. 𝟑𝟏𝟒𝟏𝟓 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 
10 Una hélice tiene una velocidad angular de 15º/s. ¿Cuál es su periodo? ¿Cuál su frecuencia? 
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156 
 
R. 𝑻 = 𝟐𝟒, 𝟏𝟓 [𝒔] 𝒇 = 𝟎, 𝟎𝟒 [𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕/𝒔] 
11 Una partícula que parte de reposo recorre 100º en 5 segundos. ¿Cuál es la aceleración angular de 
la partícula? ¿Cuantas vueltas recorre en 3 horas? 
R. 𝜶 = 𝟎, 𝟑𝟓 [𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐] 𝟑𝟐𝟒𝟖𝟕𝟔𝟔, 𝟓𝟏 [𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔] 
12 ¿Cual es la velocidad tangencial del aro 5? 
 
 
R. 𝒗𝟓 = 𝟏, 𝟓𝟓 [𝒎/𝒔] 
13 Una rueda de 10 cm de radio, gira a razón de 5 𝑟. 𝑝. 𝑠. y una aceleración de 2[𝑟𝑎𝑑/𝑠2], después de 
2 segundos. ¿Cuál es su aceleración total? 
R. 𝑎𝑡 = 125, 31[𝑚/𝑠
2]
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157 
 
 
 
 
 
 
 
(Plano inclinado) 
 
 
(Polea simple) 
 
 
 
http://images.google.com.bo/imgres?imgurl=http://cienciafacil.com/planoinclinado.jpg&imgrefurl=http://cienciafacil.com/aparatosdelaboratorio.html&h=598&w=800&sz=56&hl=es&start=1&tbnid=VCmlitv2i5ygyM:&tbnh=107&tbnw=143&prev=/images?q=plano+inclinado&gbv=2&hl=es
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158 
 
1) Leyes de la dinámica de una partícula 
Las leyes de Newton en su forma convencional fueron enunciados por el físico matemático británico Sir 
Isaac Newton (1642-1727) en su libro principios Matemáticos de la Filosofía Natural (1687). Newton 
enunció tres leyes fundamentales en las cuales se basa la mecánica clásica, que se enuncian a 
continuación. 
a) Primera ley de Newton 
- Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre él 
actúe una fuerza externa. 
La primera ley únicamente contiene un significado preciso para una fuerza nula, es decir, que todo cuerpo 
en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme no está sometido a la acción de ninguna fuerza, se dice 
que es un cuerpo libre (o partícula libre). La primera ley, por sí sola, únicamente da una noción cualitativa 
acerca de la fuerza. 
a.1) Inercia 
La inercia es una propiedad de los cuerpos que mide la resistencia al cambio de su estado de movimiento, 
es decir al cambio de la velocidad y/o dirección. 
a.2) Momento lineal 
El momento lineal es una magnitud física que caracteriza el estado dinámico de una partícula y se define 
como: 
vmp =
 
Donde: 
→p El momento lineal de la partícula en  smKg / 
→m La masa de la partícula en  Kg 
→v Es la velocidad de la partícula en  sm / 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
159 
 
b) Segunda ley de Newton 
- Todo cuerpo sobre el que actúa una fuerza o varias se mueve de tal forma que la variación de su 
momento lineal o cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual a la fuerza neta, 
matemáticamente expresada como: 
t
p
Fneta


= 
Reduciendo esta ecuación se tiene: 
amFneta = 
Donde: 
 
→F Es la fuerza neta que actúa sobre la partícula medida en Newton  N 
 
→m La masa de la partícula en  Kg 
→a Es la aceleración que adquiere la partícula en  2/ sm 
Otra medida para la Fuerza: 
 
 La DINA. 
  .101 5dinN = 
 
El KILOPONDIO Y EL KILOGRAMO FUERZA 
1Kp= 1Kg-F=9,8 N 
 
 
c) Tercera ley de Newton 
 
- Considerando la interacción de dos cuerpos, la fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre 1 ( )12F es igual 
en magnitud a la fuerza que ejerce 1 sobre 2 ( )21F pero de signo contrario, es decir: 
 
( ) ( )2112 FF −= 
 
También conocida como el principio de acción – reacción. 
 
FÍSICA ICHRISTIAN MERUVIA 
 
160 
 
w
N N
w
 
FUERZAS EN ESTÁTICA Y DINÁMICA 
 
1) La Normal 
 
Es la reacción que aparece cuando un objeto se pone en contacto con una superficie, es siempre 
perpendicular al plano de apoyo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Peso y masa 
 
El peso es la fuerza gravitacional que experimenta un cuerpo que se halla cerca de la superficie terrestre, 
bajo esta condición la fuerza gravitacional se puede considerar como constante, cuya prueba es la caída de 
los objetos con la misma aceleración que se llama la gravedad. El peso de un cuerpo está dado por la 
expresión: 
 
gmw = 
Donde: 
 →w Es el peso del cuerpo o partícula, se mide en  N (Newton, por ser una fuerza) 
→m Es la masa del cuerpo o partícula medida en Kilogramos  Kg 
→g Es la aceleración producida por la gravedad que tiene un valor de 9,8 y se mide en  2/ sm 
 
La aceleración de la gravedad g es la misma para todas las masas situadas en un mismo punto, pero varía 
ligeramente de un lugar a otro de la superficie terrestre. Por ejemplo, Cualquier objeto pesa más a nivel 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
161 
 
del mar comparado en la cima de una montaña, o si está cerca del polo pesa más que el ecuador terrestre, 
sin embargo, su masa es la misma. Esto debido a que la tierra no es redonda. 
 
Si comparamos el peso de un cuerpo en la tierra y en la luna, se tiene un objeto de 10 Kilogramos de 
masa, en la tierra pesa 98 Newtons, pero en la luna es de solo 16 Newtons (esto es debido a que la 
gravedad lunar es de solamente 1,6 [𝑚/𝑠2]. 
 
La masa es la propiedad intrínseca de un cuerpo que mide su inercia, es decir, la resistencia del cuerpo a 
cambiar su movimiento por conclusión, la masa es distinta al peso. 
 
3) Fuerza de rozamiento o de fricción ( )rF 
La fuerza de rozamiento o de fricción es la fuerza que experimenta un cuerpo cuando está en contacto 
con alguna superficie. Se identifican dos tipos de fuerza de fricción: 
- La fuerza de fricción cinética que está presente cuando un cuerpo se encuentra en movimiento 
- L a fuerza de fricción estática cuando el cuerpo está en reposo. 
Si tratamos de deslizar una caja con libros por el piso, no lo logramos si no aplicamos una cierta fuerza 
mínima. Pero cuando ya logramos que la caja se mueva, necesitamos menos fuerza para mantener la caja 
en movimiento. 
La fórmula de la fuerza de rozamiento o fricción está dada por: 
Nfr =  
Donde: 
→rf Es la fuerza de rozamiento o fricción que se mide en Newtons  N 
→ Es el coeficiente de fricción entre las superficies de contacto que no tiene medida (es solo un 
número). 
→N Es la normal del cuerpo, que es una fuerza y también se mide en Newtons  N . 
Es prudente notar que  es un número mayor o igual a 0 pero menor o igual a 1. 
 
10  
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
162 
 
 
El valor de  dependerá de la situación y de la superficie en contacto: si el cuerpo está en movimiento, 
se trabaja con el coeficiente de fricción cinético (𝜇𝐶 𝑂 𝜇𝐾 ); si el cuerpo se encuentra quieto, se trabaja 
con el coeficiente de fricción estático (𝜇𝑒 𝑂 𝜇𝑠 ). 
 
ce   
Significa que el coeficiente estática es mayor que el coeficiente cinético. 
 Coeficientes de fricción aproximados de algunos materiales 
 
MATERIALES µe µc 
Acero sobre acero 0,74 0,57 
Aluminio sobre acero 0,61 0,47 
Vidrio sobre vidrio 0,94 0,4 
Teflón sobre teflón 0,04 0,04 
Hule sobre concreto (seco) 1 0,8 
Hule en concreto (húmedo) 0,3 0,25 
 
La dirección de la fuerza de rozamiento es opuesta a la dirección del movimiento es decir se opone al 
movimiento. 
 
 4) Tensión 
La tensión, es la fuerza que se presenta en cuerdas, cadenas o barras 
que interacciona con un cuerpo en estudio. 
 
En el dibujo, por una polea pasa una cuerda que sostiene dos masa 
(m1 y m2), la cuerda está sometida a una tensión debida a que esta 
sostiene el peso de los dos cuerpos. 
 
 
 
 
 
 
7 kg 9 kg
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
163 
 
F1N
60º
30º
F2
mg
 
La cuerda ideal 
Para la resolución de problemas, se trabaja con cuerdas ideales que se caracterizan por lo siguiente: 
- No tienen masa. 
- Son indeformables. 
 
 
En la realidad no existen cuerdas ideales, pero para la resolución de ejercicios en dinámica se puede 
aceptar estas características. 
 
5) El diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) 
 
El diagrama de cuerpo libre es un esquema que representa al cuerpo aislado, es decir, libre de soportes y/o 
uniones entre otros cuerpos, en el cual se dibujan solamente las fuerzas que se aplican a dicho cuerpo 
(llamadas externas) debido a la interacción con otros. 
Ejemplo: 
- Realizar el diagrama de cuerpo libre del siguiente dibujo: 
M60º 30º
 
Se debe dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el bloque en un sistema de coordenadas rectangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
164 
 
ESTÁTICA 
En la estática como los objetos se encuentran en reposo (quietos), no existe aceleración 
por lo cual la ecuación de la dinámica se convierte en: 
∑ 𝐹 = 0 
 
Pasos a seguir en la resolución de problemas de estática 
PASO 1.- Se realiza el D.C.L. (si así lo amerita el ejercicio) colocando todas las fuerzas que actúan sobre 
el cuerpo teniendo cuidado donde se repiten los ángulos. 
PASO 2.- Se deben descomponer las fuerzas que no están sobre el eje de coordenadas, recordando por 
trigonometría que la descomposición de la fuerza que se encuentra alado del ángulo es la función 
trigonométrica coseno. 
PASO 3.- Se debe reemplazar el la fórmula ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 todas las fuerzas del D.C.L., 
para la estática se puede asumir en el eje cartesiano derecha y arriba fuerzas positivas, 
izquierda y abajo negativas. 
PASO 4.- Se resuelven las ecuaciones o sistema de ecuaciones (parte matemática) y se 
dan las respuestas. 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
1 Se tiene una esfera como se muestra en la figura. Determinar el 
valor de la tensión en la cuerda y la reacción en la pared vertical, para 
que el cuerpo permanezca en equilibrio. 
 𝑊 = 120 𝑁 
 
PASO 1 Y PASO 2.- Las fuerzas que actúan en este cuerpo son: La 
tensión de la cuerda, el peso de la esfera y la reacción o normal entre la 
esfera y la pared de apoyo. 
 
 
37º
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
165 
 
D.C.L. 
T
R
W
37º
 
PASO 3.-
∑ 𝐹𝑥 = 0 
+𝑅 − 𝑇𝑠𝑒𝑛 37° = 0 
PASO 4.- Se resuelven las ecuaciones 
observando la ecuación del eje x y y 
+𝑅 = 𝑇𝑠𝑒𝑛 37° → +𝑅 = 0,60 𝑇 (1) 
Reemplazando el valor de T: 
𝑅 = 0,60 ∙ 150 → 𝑹 = 𝟗𝟎[𝑵] 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
+𝑇𝑐𝑜𝑠 37° − 𝑤 = 0 
0,80 𝑇 = 𝑤 → 0,80 𝑇 = 120 
𝑻 = 𝟏𝟓𝟎[𝑵] 
Como ya se obtuvo la tensión de la cuerda en el 
eje “y”, se reemplaza este valor en el eje “x” 
para calcular la reacción. 
 
 
 
 
 
 
 
2 En la figura. Calcular el valor de cada reacción, sabiendo que el peso de la esfera es 80 Newton. 
 
 
 
 
 
 
 53º 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
166 
 
 
D.C.L. 
53º
53º N1
N2
m.g
 
 
EJE “X” 
∑ Fx = 0 
N1 − N2 ∙ COS 53° = 0 
N1 = N2 ∙ COS 53° 
Reemplazando el valor de N2: 
N1 = 101,26 ∙ 0,60 
N1 = 60,94 [N] 
 
 
 
EJE “Y” 
∑ Fy = 0 
N2 ∙ SEN 53° − mg = 0 
N2 ∙ 0,79 = 80 
N2 = 101,26 [N] 
 
 
 
 
 
 
3El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Calcular el valor del ángulo "𝜃". Sabiendo que el peso 
1 es el doble que el peso 2. 
 
 
 
 
 
 1 
 2 
 𝜃 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
167 
 
 
Para la masa 1: 
EJE “X” 
∑ Fx = 0 
T2 − T1 ∙ sen θ = 0 → 𝐓𝟐 = 𝐓𝟏 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝛉 (1) 
EJE “Y” 
∑ Fy = 0 
T1 ∙ cos θ − w1 = 0 → 𝐓𝟏 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝛉 = 𝐰𝟏 (2) 
 
Para la masa 2: 
∑ Fy = 0 
T2 − w2 = 0 → 𝐓𝟐 = 𝐰𝟐 (3) 
 
Igualando las ecuaciones 1 y 3: 
T1 ∙ sen θ = w2 → T1 =
w2
sen θ
 
 
Igualando con 2: 
w2
sen θ
=
w1
cos θ
 
 
Como el peso 1 es el doble del peso 2 → 𝑤1 = 2𝑤2 
Reemplazando este dato: 
w2
sen θ
=
2w2
cos θ
 → 
1
2
=
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃
 → tan 𝜃 = 0,5 → 𝜃 = 26,560 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
168 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1 El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Calcular el valor del ángulo "𝜃": 𝑊1 = 80 𝑁 
 𝑊2 = 60 𝑁 
 
 
 
 
 
R. 𝜶 = 𝟑𝟔, 𝟖𝟕𝟎 
 
2 En la figura, calcular el valor de F, de tal manera que el sistema este en equilibrio y la reacción en 
“A” debido a F sea cero. La esfera pesa 100 N. 
 A 
 
 F 
 
 
R. 𝑭 = 𝟏𝟕𝟑, 𝟐𝟎 [𝑵] 
 
3 Dos esferas que tienen el mismo peso (20 N) y el mismo radio de 20 cm, están suspendidos 
mediante dos alambres AB y AC de igual longitud (20 cm). Calcular la tensión en cada alambre. 
Calcular la fuerza de contacto entre las esferas. 
 
A
B C
AB=AC=20 cm
 
R. 𝑻 = 𝟐𝟑, 𝟎𝟗 [𝑵] 𝑹 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟒 [𝑵] 
 1 
 2 
 𝜃 
60
º 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
169 
 
4 Sobre una rampa muy lisa (sin fricción), un automóvil de 1130 kg se mantiene en su lugar con un 
cable ligero, como se muestra en la figura. El cable forma un ángulo de 31° por arriba de la 
superficie de la rampa, y la rampa misma se eleva a 25.0° por arriba de la horizontal. Determine la 
tensión del cable y la normal. 
R. 𝑻 = 𝟓𝟒𝟒𝟐 [𝑵] 𝑵 = 𝟕𝟐𝟔𝟏, 𝟎𝟑 [𝑵] 
5 Determinar la tensión de la cuerda y la reacción del apoyo. La masa de la bola es de 30 [𝑘𝑔] 
La longitud de la cuerda que sostiene a la bola es de 2 [𝑚] y el radio de la esfera es de 15 [𝑐𝑚] 
40º
 
R. 𝑻 = 𝟏𝟖𝟗, 𝟒𝟒 [𝑵] 𝑵 = 𝟐𝟑𝟖, 𝟒𝟑 [𝑵] 
6 Determinar las reacciones sobre las superficies si la masa de la bola es de 15 [𝑘𝑔] 
30º45º
 
R. 𝑹𝟏 = 𝟕𝟓, 𝟏𝟏 [𝑵] 𝑹𝟐 = 𝟏𝟎𝟕, 𝟑 [𝑵] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
170 
 
 
7 Determinar las fuerzas de reacción en los puntos de contacto, el peso de la esfera es de 10 N : 
30º
A
B
F=100 N
 
R. 𝑹𝑨 = 𝟏𝟖𝟖, 𝟎𝟏 [𝑵] 𝑹𝑩 = 𝟏𝟗𝟖, 𝟑𝟔 [𝑵] 
 
 
8 Dos esferas idénticas se colocan en el sistema mostrado. Calcular las reacciones en las superficies. 
𝑤1 = 𝑤2 = 50 [𝑁] 
20º
45º
 
R. 𝑹𝑨 = 𝟑𝟔, 𝟑𝟑 [𝑵] 𝑹𝑩 = 𝟔𝟑, 𝟐𝟐 [𝑵] 𝑹𝑪 = 𝟓𝟏, 𝟓𝟓 [𝑵] 𝑹𝑫 = 𝟑𝟖, 𝟔𝟔 [𝑵] 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
171 
 
 
DINÁMICA 
 
Se debe dibujar todas las fuerzas en un diagrama de cuerpo libre. 
- Se debe tener cuidado en observar si el movimiento se realiza en el eje x o en el eje y para 
colocar la aceleración en el eje x o en el eje y. 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
 
EJEMPLO 1 
Si el sistema que se muestra en la figura repentinamente se libera, determinar la aceleración que 
adquieren los bloques. (La polea es ideal o sea no tiene peso). 
5 Kg
10 Kg
 
Es natural pensar que como el bloque del lado derecho (10 Kg.) es más pasado que el bloque del lado 
izquierdo (5 Kg.) el movimiento se realiza en sentido indicado por la flecha azul (de izquierda a derecha). 
 
Realizando un diagrama de cuerpo libre para el bloque de 5 Kg. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
172 
 
 
Como este cuerpo al liberarse el sistema va hacia arriba, todas las fuerzas en esa dirección (hacia arriba) 
se toman como positivo (+) en este caso la tensión (T), por el contrario el peso o m.g (acordándonos que 
el peso es la masa por la gravedad) del cuerpo que tiene sentido contrario al movimiento se toma como 
negativo (-) 
Aplicando la fórmula: 
Para el eje “x” 
 = amFx 
Pero como en el eje “x” ninguna fuerza actúa sobre el cuerpo, este eje no se toma en cuenta. 
 
Para el eje “y” 
 = amFy 
amgmT =−+ 
La tensión con signo positivo por tener la dirección del movimiento y el peso o masa por gravedad con 
signo negativo. 
Reemplazando datos: 
aT 558,9 =−+ 
aT 549 =−+ (1) (Resulta una ecuación con dos incógnitas) 
Realizando un diagrama de cuerpo libre para el bloque de 10 Kg. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
173 
 
 
 
Para el eje “y” 
 = amFy 
 
maTmg =− 
Reemplazando datos: 
aT 108,910 =− 
aT 1098 =− (2) (Resulta otra ecuación con las mismas incógnitas) 
 
Realizando el sistema de ecuaciones entre (1) y (2) 



=+−
=−
aT
aT
1098
549
 
 → 𝒂 = 𝟑, 𝟐𝟕 [𝒎/𝒔𝟐] 
Reemplazando en (1) 
27,3549 =−T 
 NT 33,65= 
 
 
 
 
 
a1549 =
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
174 
 
A=2 m/s2
F 
N 
mg
FFr
EJEMPLO 2 
Un elevador sube con una aceleración constante de 2 [𝑚/𝑠2], en el piso del elevador se encuentra una 
caja de 50 [𝑘𝑔] de masa. ¿Qué fuerza horizontal se le debe aplicar para que la caja avance con velocidad 
constante? (El coeficiente de fricción cinético entre el piso del elevador y la caja es de 0,4) 
 
 Diagrama de Cuerpo Libre de la caja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎 (La aceleración está en el eje “y”) 
N − m ∙ g = m ∙ a → N = 50 ∙ 2 + 50 ∙ 9,8 → 𝑵 = 𝟓𝟗𝟎[𝑵] 
∑ 𝐹𝑥 = 0 (En el eje “x” la velocidad es constante) 
F − fr = 0 → F = μ ∙ N → F = 0,4 ∙ 590 → 𝑭 = 𝟐𝟑𝟔 [𝑵] 
 
EJEMPLO 3 
Determinar la tensión del bloque de 2 kg y la aceleración del bloque de 5 kg. Mostrado en la figura (Los 
coeficientes de fricción entre los bloques y entre el bloque de 5 kg y el piso es 0,3) 
2 kg
5 kg
F= 100 N
U=0,3
U=0,3
 
Para el bloque de 2kg: 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
175 
 
T fr1
N
W1
 
 
 
 
Eje “x” 
∑ 𝐹𝑥 = 0 
T = fr1 → T = μ ∙ N 
Reemplazando la ecc. (2) 
T = μ ∙ w1 → T = 0,3 ∙ 2 ∙ 9,8 
𝐓 = 𝟓, 𝟖𝟖 [𝐍] 
 
Eje “y” 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝐍 = 𝐰𝟏 (2) 
 
 
 
Para el bloque de 5 kg 
F
N
W1
W2
fr1fr2
 
Eje “x” 
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎 
F − fr1 − fr2 = m2 ∙ a 
𝐹 − 𝜇 ∙ 𝑤1 − 𝜇(w1 + w2) = m2 ∙ a 
𝒂 =
𝑭 − 𝝁 ∙ 𝒘𝟏 − 𝝁(𝒘𝟏 + 𝒘𝟐)
𝒎𝟐
 
 
Reemplazando datos: 
a =
100 − 0,3 ∙ 2 ∙ 9,8 − 0,3(2 ∙ 9,8 + 5 ∙ 9,8)
5
 
 
𝒂 = 𝟏𝟒, 𝟕𝟏 [𝒎/𝒔𝟐] 
 
 
Eje “y” 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
N − w1 − w2 = 0 → 𝐍 = 𝐰𝟏 + 𝐰𝟐 (2) 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
176 
 
 
EJEMPLO 4 
En el sistema mostrado en la figura, el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie, es 
0,3. La masa del bloque es de 10 kilogramos y la fuerza es de 28,936 [𝑁]. Determinar el ángulo mínimopara que el bloque se mueva. 
F
θ
µe
 
Eje “x” 
∑ Fx = m ∙ a 
F ∙ cosθ − μ ∙ N = 0 (1) 
 
Eje “y” 
∑ Fy = 0 
N + F ∙ senθ − m ∙ g = 0 → N = m ∙ g − F ∙ senθ (2) 
 
Reemplazando 2 en 1: 
𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇(m ∙ g − F ∙ senθ)=0 
 
Reemplazando datos: 
28,936 ∙ cosθ − 0,3 ∙ (10 ∙ 9,8 − 28,936 ∙ senθ) = 0 
28,936 ∙ cosθ − 29,4 + 8,6808 ∙ senθ = 0 
Resolviendo la ecuación trigonométrica, la solución aceptable es: 𝜃 = 300 
Entonces para que el bloque se mueva el ángulo debe ser mayor a 300 
𝜃 > 300 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
177 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1 Un bloque de masa 20 Kg está sometido a una fuerza de 40 Newtons, determinar la aceleración del 
bloque. R. 𝒂 = 𝟐[𝒎/𝒔𝟐] 
 
2 Para el ejercicio anterior, que sucede si la masa del bloque se duplica. R. 𝒂 = 𝟏[𝒎/𝒔𝟐] 
 
3 Determinar el peso para las siguientes masas: 30 Kg, 10 Kg, 1 Kg, 50 gr. 
R. 𝟐𝟗𝟒[𝑵], 𝟗𝟖[𝑵], 𝟗, 𝟖[𝑵], 𝟎, 𝟒𝟗[𝑵] 
 
4 Calcular la normal y la aceleración que adquiere el bloque. Si la fuerza F es 100 N.. 
 La masa m = 10 Kg y el ángulo de inclinación es 30º. 
10 kg
F
30º
 
R. 𝒂 = 𝟖, 𝟔𝟔[𝒎/𝒔𝟐] 𝑵 = 𝟒𝟖[𝑵] 
 
5 Un bloque de masa 20 Kg. Es empujada por una fuerza como se ve en la figura, si el ángulo que forma 
la fuerza con la horizontal es 60º y el valor de la fuerza es de 5 Newtons. Calcular la normal y la 
aceleración que adquiere el bloque. (No existe rozamiento) 
 
20 kg
F
60º
 
R. 𝒂 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓[𝒎/𝒔𝟐] 𝑵 = 𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟑[𝑵] 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
178 
 
6 Encontrar la normal y la aceleración que adquiere el sistema de fuerzas que actúan sobre el bloque: 
3 kg
F=5 N
70º
F=10 N
F=20 N
40º
 
R. 𝒂 = 𝟗, 𝟎𝟏[𝒎/𝒔𝟐] 𝑵 = 𝟑𝟕, 𝟓𝟔[𝑵] 
 
7 Encontrar la aceleración que adquiere un bloque de masa 10 Kg, cuando sobre éste actúa una fuerza 
constante de 60 N, como se indican en las figuras, los ángulos de inclinación valen 30º. Las superficies de 
apoyo son lisas. 
 𝑹. 𝒂 = 𝟓, 𝟏𝟗 [𝒎/𝒔𝟐] 𝑵 = 𝟔𝟖 [𝑵] 𝒂 = 𝟓, 𝟏𝟗 [𝒎/𝒔𝟐] 𝑵 = 𝟏𝟐𝟖 [𝑵] 
M
F
θ
M
F
θ
a) b)
 
M
F
θ
M
F
θ
c) d)
 
 R. 𝒂 = 𝟏, 𝟏[𝒎/𝒔𝟐] 𝑵 = 𝟖𝟒, 𝟖𝟕[𝑵] R. 𝒂 = 𝟎, 𝟐𝟗[𝒎/𝒔𝟐] 𝑵 = 𝟏𝟏𝟒, 𝟖𝟕[𝑵] 
 
 
8 Si no existe rozamiento, calcular la aceleración que adquiere el bloque de 5 Kg, si es arrastrado por el 
plano inclinado cuyo ángulo con respecto a la horizontal es de 30º por una fuerza de 20 N. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
179 
 
 
R. 𝒂 = 𝟎, 𝟗[𝒎/𝒔𝟐 ] 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒋𝒂𝒅𝒂 
9 Si el bloque de masa 50 Kg. Se suelta por el plano inclinado que tiene un ángulo de 60º, calcular la 
aceleración que dicho bloque adquiere. ¿Qué velocidad tiene el bloque al final del plano inclinado? 
 
M
60º
2 metros
 
R. 𝒂 = 𝟖, 𝟒𝟖[𝒎/𝒔𝟐] 𝒗𝒇 = 𝟔, 𝟐𝟔[𝒎/𝒔] 
 
10 Determinar la aceleración con el que el bloque de 10 kilogramos de masa sube (o baja) por el plano 
inclinado (la fuerza de 50 N es paralela al plano horizontal). 
F=50 N
60º
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
180 
 
11 Si el sistema que se muestra en la figura repentinamente se 
libera, determinar: 
 a) La aceleración que adquieren los bloques 
b) La tensión de la cuerda. 
 (La polea es ideal o sea no tiene peso). 
 
R. 𝒂 = 𝟏, 𝟐𝟐[𝒎/𝒔𝟐] 𝑻 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟒[𝑵] 
 
12 Calcular la aceleración del bloque 1, la aceleración del bloque 2 
y las tensiones de las cuerdas. 
Kgm 31 = , Kgm 42 = 
M1
M2
 
 
R. 𝒂𝟏 = 𝟐, 𝟒𝟓[𝒎/𝒔
𝟐] 𝒂𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟐𝟓[𝒎/𝒔
𝟐] 
 
13 Calcular la masa 2 para que el sistema adquiera una aceleración de 1 [𝑚/𝑠2]. (m1 = 2 Kg.) 
M1
M2
 
R. 𝒎𝟐 = 𝟏, 𝟔𝟑[𝒌𝒈] 𝒎𝟐 = 𝟐, 𝟒𝟓[𝒌𝒈] 
7 kg 9 kg9 kg7 kg
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
181 
 
14 El bloque A parte del reposo y tarda 2 segundos en subir una altura de 1 metro. Si la masa de A es de 
4 kg. ¿Cuál es la masa de B? ¿Cuál es la tensión de la cuerda? ¿Cuál es la aceleración? 
 
 
R. 𝒎𝒃 = 𝟒, 𝟒𝟑[𝒌𝒈] 𝑻 = 𝟒𝟏, 𝟐[𝑵] 𝒂 = 𝟎, 𝟓[𝒎/𝒔
𝟐] 
15 Determinar en forma algebraica la tensión (T) y la aceleración en función a las masas M1 y M2. 
Siendo 𝑀1 > 𝑀2 
M1
M2
 
 R. 𝑻 =
𝒈(𝑴𝟏∙𝑴𝟐−𝑴𝟐
𝟐)
𝑴𝟏+𝑴𝟐
+ 𝑴𝟐 ∙ 𝒈 𝒂 =
𝒈(𝑴𝟏−𝑴𝟐)
𝑴𝟏+𝑴𝟐
 
 
16 Determinar las tensiones y la aceleración del sistema si no existe rozamiento entre los bloques y la 
superficie. 
 
R. 𝑎 = 1,3 [𝑚/𝑠2] 𝑇1 = 13[𝑁] 𝑇2 = 23,4[𝑁] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
182 
 
17 ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio que se necesita para detener un automóvil de 1500 Kg. de 
masa en 5 segundos si viaja a 36 km/h? R. 𝑭 = 𝟑𝟎𝟎𝟎[𝑵] 
 
18 Determinar las tensiones y la aceleración del sistema si no existe rozamiento entre los bloques y la 
superficie. 
4 Kg
5 Kg
2 Kg
 
R. 𝑻𝟏 = 𝟑𝟓, 𝟔𝟓[𝑵] 𝑻𝟐 = 𝟐𝟒, 𝟗𝟒[𝑵] 𝒂 = 𝟐, 𝟔𝟕[𝒎/𝒔
𝟐] 
 
19 Dentro de un carrito se tiene un péndulo suspendido del techo, cuyo hilo forma un ángulo de 37º con 
la vertical. Determinar la aceleración del carrito. 
 �⃑� 
 
 37º 
 
 
 
 
R. 𝒂 = 𝟕, 𝟑𝟖[𝒎/𝒔𝟐] 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
183 
 
20 Determinar las aceleraciones y tensiones que se muestran en el sistema. 
5 kg
1 kg
2 kg
 
R 𝑎1 = −6,82[𝑚/𝑠
2] 𝑎2 = 7,24[𝑚/𝑠
2] 𝑎3 = 6,4[𝑚/𝑠
2] 𝑇1 = 34,08[𝑁] 𝑇2 = 17,04[𝑁] 
21 Si 𝑀 = 2𝑚, determinar las aceleraciones de los bloques. 
m
M
 
R 𝑎1 = 3,26[𝑚/𝑠
2] 𝑎2 = −6,53[𝑚/𝑠
2] 
22 Si la masa de “A” es 10 kilogramos, determinar el valor de la masa “B” para equilibrar el sistema 
mostrado. 
A
B
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
184 
 
DINÁMICA CON FUERZA DE ROZAMIENTO 
 
1 El coeficiente entre el hule y el pavimento normal es de 0,6¿En que pendiente máxima puede usted 
dejar estacionado su automóvil sin el freno de mano? Mencione el ángulo. 
R. 𝟑𝟎, 𝟗𝟔° 
2 Una bloque de masa 10 Kg. Entra a una pista horizontal áspera con una velocidad de 40 m/s, Si el 
coeficiente de rozamiento cinético ( 2,0=c ) determinar la distancia que el bloque recorre hasta 
detenerse. R. 𝒅 = 𝟒𝟎𝟖, 𝟏𝟔[𝒎] 
 
3 Un bloque de masa 20 Kg está sometido a una fuerza horizontalde 40 Newton, si el coeficiente de 
fricción entre el bloque y la superficie es de 2,0= , determinar la aceleración del bloque.(Comparar el 
resultado con el ejercicio 1 de la pág.) R. 𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟒[𝒎/𝒔𝟐] 
 
4 De la parte superior de un plano inclinado se deja caer 
un ladrillo de masa 5 Kg., si el coeficiente de rozamiento 
cinético es de 0,1, determinar la aceleración que adquiere 
el ladrillo. R. 𝒂 = 𝟖[𝒎/𝒔𝟐] 
 
 
 
 
5 Un bloque de 100 N. de peso inicialmente en reposo, es sometido a una fuerza exterior de 80 N sobre 
un plano horizontal. Si se sabe qué 9,0=e y 5,0=c , ¿El bloque se mueve?, ¿Si el bloque se mueve, 
que aceleración desarrolla? ¿Si no se mueve, cual debió ser la fuerza mínima para que el bloque se 
mueva? ¿Qué aceleración tendría?R. 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒗𝒆 𝑭 = 𝟗𝟎[𝑵] 𝒂 = 𝟑, 𝟖𝟏[𝒎/𝒔𝟐] 
 
6 Si el coeficiente de rozamiento es de 0,2, calcular la aceleración que adquiere el bloque de 4 Kg, si es 
empujado por el plano inclinado cuyo ángulo con respecto a la horizontal es de 30º por una fuerza de 
 30 N. 
M
60º
u=0,1
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
185 
 
30º
U=0,2
F
 
R. 𝒂 = 𝟎, 𝟗𝟎[𝒎/𝒔𝟐] 
 
7 Un ladrillo de 20 Newton de peso se apoya a una pared vertical mediante una fuerza horizontal, el 
coeficiente de rozamiento es de 0,1. Calcular el mínimo valor de la fuerza horizontal para que el ladrillo 
quede quieto. 
 
R. 𝑭 = 𝟐𝟎𝟎[𝑵] 
8 Determinar las tensiones y la aceleración del sistema si el coeficiente de fricción es de 1,0= entre 
los bloques y la superficie. 
6 Kg
10 Kg
2 Kg
u=0,1
 
 
9 Si lanzamos horizontalmente una caja de madera de 300 gramos por el piso a una velocidad de 10 m/s 
y observamos que tarda en detenerse 1,5 segundos. Calcular el coeficiente de fricción entre el piso y la 
caja. R. 𝝁 = 𝟎, 𝟔𝟖 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
186 
 
10 Determinar la aceleración del sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 Un bloque de 1,5 [𝑘𝑔], se encuentra sobre una superficie horizontal rugosa. Experimentalmente 
calculados, los coeficientes de fricción para las superficies resultan ser: 𝜇𝑒 = 0,6 𝜇𝑐 = 0,4, si se aplica 
una fuerza horizontal F, calcúlese: 
a) El o los valores de F, que mantendrán el bloque aún en reposo. 
b) El o los valores de F, que moverán el bloque con velocidad constante. 
c) El o los valores de F, que trasladarán el bloque con una aceleración de 2,4 [𝑚/𝑠2] 
 
12 Se intenta mover una caja atando una cuerda a ella y tira de la cuerda hacia arriba con un ángulo de 
30° sobre la horizontal. ¿Qué fuerza debe aplicar al tirar para mantener la caja en movimiento con 
velocidad constante? ¿Esto es más fácil o difícil que tirar horizontalmente? Suponga que 𝑤 = 500 [𝑁] y 
𝜇𝑐 = 0,4 
 
13 Una caja pesa 40.0 N descansa en una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática entre la 
caja y la superficie es de 0.40, y el coeficiente de fricción cinética es de 0.20. a) Si no se aplica alguna 
fuerza horizontal a la caja en reposo, ¿qué tan grande es la fuerza de fricción ejercida sobre la caja? b) 
¿Qué magnitud tiene la fuerza de fricción si una persona aplica una fuerza horizontal de 6.0 N a la caja en 
reposo? c) ¿Qué fuerza horizontal mínima debe aplicar la persona para poner en movimiento la caja? 
d) ¿Qué fuerza horizontal mínima debe aplicar la persona para que la caja siga moviéndose con velocidad 
constante, una vez que haya comenzado a moverse? e) Si la persona aplica una fuerza horizontal de 
18.0 N, ¿qué magnitud tiene la fuerza de fricción y qué aceleración tiene la caja? 
 
14 Los dos bloques idénticos que se muestran en la figura se sueltan desde el reposo. Si se ignoran las 
masas de las poleas y el efecto de la fricción. Determinar: a) La velocidad del bloque después de que este 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
187 
 
se ha movido 2 metros. b) La tensión de la cuerda. c) Si se sabe que los coeficientes de fricción estática y 
cinética son 𝜇𝑠 = 0,3 y 𝜇𝑘 = 0,2 determinar la velocidad del bloque después de que este se a movido 2 
metros y la tensión de la cuerda. (masa 2 kilogramos). 
60º60º
BA
 
15 Determinar la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda: 
3 kg
7 kg
F= 200 N
U=0,2
U=0,1
R. 𝒂 = 𝟏𝟕, 𝟖𝟒 [𝒎/𝒔𝟐] 𝑻 = 𝟓𝟗, 𝟒 [𝑵] 
16 ¿Cuál es la aceleración mínima del carrito para que el bloque no resbale? Si la aceleración es menor 
al límite ¿Con que aceleración resbala el bloque? (𝜇𝑠 = 0,7 𝜇𝑘 = 0,4) 
a
µ
 
R. 𝒂𝒙 = 𝟏𝟒 [𝒎/𝒔
𝟐] 𝒂𝒚 = 𝟒, 𝟐 [𝒎/𝒔
𝟐] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
188 
 
DINÁMICA CIRCULAR 
 
 
FUERZA CENTRÍPETA Y CENTRÍFUGA 
La aceleración centrípeta de un cuerpo da lugar a una fuerza dirigida hacia el centro de la trayectoria y 
que recibe el nombre de fuerza central o centrípeta. 
Según la tercera ley de Newton, a toda acción le corresponde una reacción igual y opuesta. La fuerza 
contraria dirigida en sentido contrario a la centrípeta recibe el nombre de fuerza centrífuga. 
 
𝑭𝑪 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒄 
 
Donde 𝑎𝑐 Es la aceleración centrípeta que se mide en [𝑚/𝑠
2] 
Debemos recordar por movimiento circular que: 
𝒂𝒄 =
𝒗𝟐
𝒓
 y 𝒂𝒄 = 𝒘
𝟐 ∙ 𝒓 
En el movimiento circular uniforme, tanto la aceleración como la fuerza neta están dirigidas hacia el 
centro del círculo. 
 
 
E 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
189 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1 Hallar la máxima velocidad a la que un automóvil puede tomar una curva de 35 m de radio sobre una 
carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es 0,40. 
 
R. 𝒗 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟏[𝒎/𝒔] 
2 Una curva de 30 metros de radio está peraltada de manera que un automóvil puede tomarla a una 
velocidad de 15 m/s. Hallar la pendiente de la curva. 
 
 
 R. 𝟑𝟕, 𝟒𝟑° 
 
3 Una bola B está unida al extremo de un hilo de 24 centímetros de longitud cuyo otro extremo es un 
punto fijo O. La bola describe una circunferencia horizontal de radio CB como indica la figura. Hallar la 
velocidad de la bola sabiendo que el hilo forma un ángulo de 30 grados con la vertical. 
B C
O
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
190 
 
4 Un cuerpo de 2 kilogramos unido a una cuerda describe una circunferencia vertical de 3 metros de 
radio. Hallar: a) La mínima velocidad 𝑣𝑡 que debe tener el cuerpo en la posición más alta para que la 
cuerda permanezca tirante, b) La mínima velocidad 𝑣𝑏 en la posición más baja para que la cuerda siga 
tirante cuando el cuerpo se dirige hacia la posición superior de la circunferencia, c) La tensión 𝑡𝑏 en la 
cuerda cuando el cuerpo está en la posición inferior de la circunferencia moviéndose a la velocidad crítica 
𝑣𝑏. 
vt
vb
 
 
 
 
5 Un carrito de control remoto con masa de 2 kg se mueve a una 
rapidez constante de 15[𝑚/𝑠], en un círculo vertical dentro de un 
cilindro hueco metálico de 5 m de radio. ¿Qué magnitud tiene la 
fuerza normal ejercida sobre el coche por las paredes del cilindro 
a) en el punto A (parte inferior del círculo vertical)? 
b) ¿Y en el punto C (parte superior del círculo vertical)? 
c) En B y en D 
 
R. En A 𝑵 = 𝟏𝟎𝟗, 𝟔[𝑵] en C 𝑵 = 𝟕𝟎, 𝟒[𝑵] 
 𝑬𝒏 𝑩 𝑵 = 𝟗𝟎[𝑵] 𝒆𝒏 𝑫 𝑵 = 𝟗𝟏, 𝟑𝟖[𝑵] 
 
 
 
 
R=5 m
30º
A
B
A
C
D
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
191 
 
 
 
7 Una pequeña esferita se encuentra inicialmente en el fondo de una superficie cónica de semiángulo 
𝜃 = 45º, tipo embudo. Si la superficie rota en torno a su eje con una rapidez de 48 r-p-m, el 
coeficiente de fricción es igual a 0,2; calcular el radio de la circunferencia que describe la esferita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R. 𝒓 =
𝒈(𝒄𝒐𝒔𝜽−𝝁∙𝒔𝒆𝒏𝜽)
𝒘𝟐(𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∙𝒄𝒐𝒔𝜽)
 
 
7 En el siguiente carrusel tipo sillas voladoras, siendo 𝑏 = 1,2[𝑚], 𝐿 = 3[𝑚], ∅ = 45º. Calcular la 
rapidez angular del carrusel. 
 w 
 𝒃 = 𝟏, 𝟐[𝒎]∅ 𝑳 = 𝟑[𝒎] 
 
 
 
R. 𝒘 = 𝟏, 𝟕𝟐[𝑹𝒂𝒅/𝒔] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
192 
 
 
FUERZAS COPLANARIAS PARALELAS 
 
 
El momento de una fuerza o torque es el producto de la fuerza por la distancia o brazo a un punto dado. 
 
 
𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑 
 
 
Donde: 𝑀 → Es el momento de la fuerza que se mide en [𝑁 ∙ 𝑚] 
 
 𝐹 → Es la fuerza que se mide en [𝑁] 
 
 𝑑 → Es la distancia que se mide en [𝑚] 
 
Para que el sistema quede en reposo se debe cumplir que la suma de los momentos lineales sea igual a 0. 
 
 
 
∑ 𝑀 = 0 
 
Signo del momento 
Cuando el momento va en el sentido de las agujas del reloj es negativo, cuando va al otro lado el signo es 
positivo. Esto es válido para fuerzas coplanares. 
 
 
+ -
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
193 
 
EJEMPLO 1 
Calcular el peso que falta que equilibrará el sistema. 
 
 
30 
kilogramos
50 
kilogramos
5 metros
2 m
8 metros
w
 
 
30 ∙ 9,8 ∙ 5 + 50 ∙ 9,8 ∙ 2 − 𝑤 ∙ 8 = 0 → 2450 = 8𝑤 → 𝑤 = 306,25[𝑁] 
 
𝑚 = 31,25[𝑘𝑔] 
 
EJEMPLO 2 
 
Una viga horizontal uniforme con una longitud de 8 m y un peso de 200 N se une a una pared mediante 
una junta articulada. Su extremo lejano está sostenido mediante un cable que forma un ángulo de 53° con 
la viga. Una persona de 600 N está de pie a 2 m de la pared. Encuentre la tensión en el cable así como la 
magnitud y dirección de la fuerza que ejerce la pared en la viga. 
53º
8 m
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
194 
 
D.C.L. 
53º
WbWp
θ
R T
BA
 
Wp es el peso de la persona, Wb es el peso de la viga, T es la tensión, R es la reacción de la pared que 
tiene sus componentes en el eje “x” y “y”. 
Por dinámica: 
∑ Fx = 0 
R ∙ cos θ − T ∙ cos 530 = 0 → R ∙ cos θ = T ∙ cos 530 (1) 
 
∑ Fy = 0 
R ∙ sen θ + T ∙ sen 530 − wp − wb = 0 (2) 
 
Por momento de la fuerza: 
Determinando el momento en el punto “A” 
 
∑ M = 0 → −WP ∙ D1 − WB ∙ D2 + T ∙ sen 53
0 ∙ D3 = 0 (3) 
 
Reemplazando datos en (3) 
 
−600 ∙ 2 − 200 ∙ 4 + T ∙ 0,79 ∙ 8 = 0 → 6,38 ∙ T = 2000 → 𝐓 = 𝟑𝟏𝟑, 𝟒𝟕 [𝐍] 
 
Reemplazando este valor en (1) y (2): 
 
R ∙ cos θ = 313,47 ∙ cos 530 → R ∙ cos θ = 188,66 
 
R ∙ sen θ + 313,47 ∙ sen 530 − 600 − 200 = 0 → R ∙ sen θ = 549,65 
 
Dividiendo: 
 
R∙sen θ 
R∙cos θ
=
549,65
188,66
 → tan θ = 2,91 → θ = 71, 10 
 
Reemplazando: R = 581 [N] 
 
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195 
 
wMUCHACHO HOMBRE
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1 Determinar F en la siguiente palanca. 
 
15 cm
10 cm
20 kp
F
 
R. 𝑭 = 𝟑𝟎[𝑲𝒑] 
 
 
2 Hallar la longitud de los brazos de una palanca de 36 cm de largo, sabiendo que permanece en 
equilibrio cuando de sus extremos penden dos masas de 10 kg y 20 kg respectivamente. Se supone que la 
palanca no tiene peso. 
 
 x 36-x 
 
 
 
 
 20 kg 10 kg 
R. 𝒙 = 𝟏𝟐[𝒄𝒎] 
 
3 Averiguar en qué punto de una barra de longitud 12 metros, de peso despreciable, se debe colocar un 
cuerpo de manera que el peso soportado por un muchacho en uno de sus extremos sea la tercera parte del 
que soporta un hombre en el otro. R. 𝑎 9 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑐ℎ𝑎𝑐ℎ𝑜 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
196 
 
4 Una barra uniforme de 4 m de longitud y 15 kp de peso se mantiene en posición horizontal apoyada 
sobre un punto de apoyo, cuando de sus extremos penden pesos de 20 y 25 kp. Calcular la posición del 
punto de apoyo o fulcro. 
 
15 kp20 kp 25 kp
x
 
 
R. 𝒙 = 𝟐, 𝟏𝟕[𝒎] 
 
5 Una barra uniforme AB, de 100 cm de longitud y 60 kp de peso, está sometido a la acción de una 
fuerza vertical hacia debajo de 2 kp aplicada en un punto situado a 20 cm del extremo A, y a las fuerza 
verticales hacia arriba de 5, 3 y 8 kp aplicadas, respectivamente, en A, a 60 cm de A y en B. ¿Que es 
necesario añadir al sistema para que se encuentre en equilibrio? (El equilibrante y su punto de aplicación) 
R. 𝟒𝟔 𝒌𝒑 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒊𝒃𝒂 𝒂 𝟒𝟒, 𝟕𝟖 𝒄𝒎 𝒅𝒆 𝑨 
 
 
6 Una barra AB de 100 cm de longitud, apoyada en sus extremos, tiene su centro de gravedad a 20 cm 
del extremo A. Teniendo en cuenta que el peso de la barra es de 100 kp, calcular las fuerzas ejercidas 
sobre los apoyos A y B. 𝑹𝑨 = 𝟖𝟎[𝒌𝒑] 𝑹𝑩 = 𝟐𝟎[𝒌𝒑] 
 
 
7 Un tablón de 8 metros de largo tiene su centro de gravedad a 3 metros del extremo A, está apoyado 
sobre 2 fulcros que se encuentran a 1 [𝑚] y 1,5 [𝑚] de los extremos A y B, a 6 metros del extremo A se 
apoya un peso de 100 [𝑁], determinar las fuerzas ejercidas sobre los putos A y B. (Masa de la tablón 15 
Kg) 
A B
1 m 1,5 m
8 m
mg
3 m
W
6 m
F1 F2
 
 
 
 
8 Una persona de 80 kilogramos va caminando por una tabla como se ve en la figura, si la tabla tiene 
una masa de 20 kilogramos, determinar la distancia al punto B hasta que la persona puede caminar para 
que la tabla siga en reposo. (La tabla tiene una longitud de 30 metros). 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
197 
 
B1 m
W
3 m
 
R. 𝒂 𝟔, 𝟐𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐 𝑩 
 
9 Determinar la posición donde se debe colocar un apoyo para que el sistema siga en reposo. 
La longitud de la tabla es de 3 metros. 
F1= 10 N
F2= 5 N
20º
X
 
 
R. 𝒙 = 𝟏, 𝟕𝟖 [𝒎] 
 
 
10 Una escalera uniforme de longitud “l” descansa sobre una pared vertical lisa. La masa de la escalera 
es “m” y el coeficiente de fricción estática entre la escalera y el suelo es 0,4. Encuentre el ángulo mínimo 
𝜃 en el que la escalera no se desliza. 
 
 
θ
 R. 𝟓𝟏𝟎 
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198 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ENERGIA DEL RESORTE) 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
199 
 
 
 
1) Trabajo 
 
En la vida diaria el concepto de trabajo, está referido a algún esfuerzo que realizamos como por ejemplo 
el cargar una maleta, organizar los papeles de una oficina, etc., en física el concepto de trabajo (W de 
Work) va referido a la distancia que recorre un cuerpo o partícula debido a la acción de una fuerza que 
actúa sobre este cuerpo o partícula. 
1.1) Definición de trabajo (W) 
Es una cantidad escalar igual al producto de la magnitud del desplazamiento y la componente de la fuerza 
en dirección del desplazamiento. 
En pocas palabras, es la multiplicación de la fuerza por la distancia. 
Se deben de cumplir tres requisitos: 
1.- Debe haber una fuerza aplicada 
2.-La fuerza debe ser aplicada a través de cierta distancia (desplazamiento) 
 
3.-La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento. 
 
 
 
dFW = 
 
 
→W Es el trabajo realizado por la fuerza y se mide en Newton por metro o en Joules  mN. o  J 
 
→F Es la fuerza aplicada que se mide en Newtons  N 
 
→d La distancia recorrida por el bloque o partícula que se mide en metros  m 
Un joule esigual al trabajo realizado por una fuerza de un newton al mover un objeto a través de 
una distancia paralela de un metro. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
200 
 
 
Cuando la partícula experimenta una fuerza constante pero no actúa en la dirección paralela a la 
trayectoria rectilínea, si no que la fuerza forma un ángulo de inclinación respecto a la horizontal como se 
muestra en la figura, el trabajo está dado por la siguiente ecuación: 
 
 
1.2) Trabajo de la fuerza de rozamiento 
Es el trabajo debido a la fuerza de rozamiento 
 
dfW rfr = 
Además que Nf r =  
 
Entonces: 
dNW fr =  
 
 
2) Energía 
 
Existen muchos formas de energía en la naturaleza como: eléctrica, térmica, luminosa, nuclear, etc. En 
realidad la energía es única pero se presenta en distintas formas, esto viene acompañado de la aseveración 
“La energía no se crea ni se destruye, solamente se transforma” 
 
2.1) La energía mecánica 
 
Las formas de energía mecánica son la cinética y la potencial, dentro la energía potencial está, la 
gravitacional y la del resorte. 
 
Debemos notar que cualquier energía se mide en Joules  J al igual que el trabajo. 
 
a) Energía Cinética ( )cE 
 
Cuando un cuerpo se encuentra con una velocidad entonces dicho cuerpo tiene energía cinética. 
 
 
Lo que significa que cuando un cuerpo tiene una velocidad, debemos asumir que el cuerpo tiene una 
energía cinética. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
201 
 
 
La fórmula de la energía cinética está dada por: 
 
2
2
1
mvEc = 
 
 
Donde: 
→cE Es la energía cinética del cuerpo y se mide en Joules  J 
→m Es la masa del cuerpo y se mide en Kilogramos  Kg 
→v Es la velocidad del cuerpo y se mide en metros por segundo  sm / 
 
 
 
b) Energía potencial gravitacional ( )
pE 
Cuando un cuerpo se encuentra a una cierta altura entonces dicho cuerpo tiene energía potencial. 
 
 
Lo que significa que cuando un cuerpo tiene una cierta altura, debemos asumir que el cuerpo tiene una 
energía potencial. 
 
La fórmula de la energía potencial está dada por: 
 
hgmE p = 
Donde: 
→pE Es la energía potencial del cuerpo y se mide en Joules  J 
→m Es la masa del cuerpo y se mide en Kilogramos  Kg 
→g Es la gravedad 9,8  2/ sm 
→h Es la altura del cuerpo y se mide en metros  m 
 
 
c) Energía del resorte o energía potencial elástica ( )RE )( PEE 
 
Se presenta cuando un resorte se deforma de su posición original. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
202 
 
 
En la figura se muestra arriba un resorte libre y abajo deformado por un una masa. 
 
La fórmula de la energía del resorte está dada por: 
 
2
2
1
xkER = 
Donde: 
→RE Es la energía del resorte y se mide en Joules  J 
→k Es la constante de rigidez del resorte y se mide en  mN / 
→x Es la longitud de deformación del resorte y se mide en metros  m 
 
 
d) Energía mecánica )( ME 
 
Es la suma de las tres energías antes mencionadas. 
RpcM EEEE ++= 
 
 
2.2) Relación entre el trabajo y la energía 
 
El trabajo es igual al cambio de energía en un cuerpo. 
0MMf EEW −= 
 
2.3) Conservación de la energía 
 
Este teorema muy importante en la mecánica clásica nos enuncia que la energía total de la partícula se 
mantiene constante durante el movimiento de una partícula o cuerpo. 
 
...................MCMBMA EEE == 
 
Significa que si las fuerzas son conservativas o sea que no existe fuerza de rozamiento en la trayectoria de 
la partícula, la energía mecánica en los distintos puntos es igual. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
203 
 
 
 
Por ejemplo si en la figura, no existe rozamiento entonces la energía mecánica de la masa es la misma en 
A, B y C. 
 
Cuando las fuerzas no son conservativas, la energía mecánica en el punto A es igual a la energía 
mecánica en el punto B más el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento. 
 
frMBMA WEE +=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
204 
 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
1 Se deja caer una pelota desde una altura de 10 metros, determinar la velocidad con la cual la pelota 
llega al piso. 
Solución: 
En el punto A existe energía potencial y en el punto B solo existe energía cinética. 
𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵 → 𝐸𝑃𝐴 = 𝐸𝐶𝐵 → 𝑚𝑔ℎ𝐴 =
1
2
𝑚𝑣𝐵
2 Simplificando “m” y despejando “v” 
𝑔ℎ𝐴 =
1
2
𝑣𝐵
2 → 2𝑔ℎ𝐴 = 𝑣𝐵
2 → 𝑣𝐵 = √2𝑔ℎ𝐴 Reemplazando datos: 
𝑣𝐵 = √2 ∙ 9,8 ∙ 10 → 𝑣𝐵 = 14[𝑚/𝑠] 
 
Si se resuelve este ejercicio mediante el análisis de movimiento vertical, se constata que el resultado 
es el mismo. 
 
 2 Una pequeña masa m descansa en la parte superior de una esfera lisa de radio R. si se deja deslizar 
desde el reposo, para que valor del ángulo 𝜃 se desprende de la masa. 
 
θ
A
B
 
 
Primero realizamos un diagrama de cuerpo libre analizando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo: 
θ
w
θ
N
 
 
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205 
 
Por conservación de la energía: 
En el punto “A” existe energía potencial, en el punto “B” existe energía potencial y cinética. Con esto 
determinamos la velocidad en el punto “B”. 
EMA = EMB → 𝐸𝑃𝐴 = 𝐸𝐶𝐵 + 𝐸𝑃𝐵 → 𝑚𝑔ℎ𝐴 =
1
2
𝑚𝑣𝐵
2 + 𝑚𝑔ℎ𝐵 (Simplificando “m”) 
𝑔ℎ𝐴 =
1
2
𝑣𝐵
2 + 𝑔ℎ𝐵 → 𝑣𝐵
2 = 2(𝑔ℎ𝐴 − 𝑔ℎ𝐵) 
Como la altura ℎ𝐴 resulta ser el radio: 𝑣𝐵
2 = 2(𝑔𝑅 − 𝑔ℎ𝐵) (1) 
 
Aplicando la sumatoria de fuerzas en el punto “B”: 
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑐 
𝑤 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑁 = 𝑚
𝑣2
𝑟
 
En el punto donde la masa se separa de la superficie, la normal es nula 𝑁 = 0, puesto que este es el límite 
donde ya no existe contacto. Reemplazando: 
𝑤 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑁 = 𝑚
𝑣2
𝑟
 → 𝑤 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 0 = 𝑚
𝑣2
𝑅
 → 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚
𝑣2
𝑅
 → 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑣2
𝑅
 
Reemplazando la ecuación (1): 
𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2(𝑔𝑅−𝑔ℎ𝐵)
𝑅
 → 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2𝑔(𝑅−ℎ𝐵)
𝑅
 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2(𝑅−ℎ𝐵)
𝑅
 
 
 
Por trigonometría analizando el triángulo rectángulo se tiene: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
ℎ𝐵
𝑅
 
 
Igualando las dos ecuaciones se tiene: 
ℎ𝐵
𝑅
=
2(𝑅−ℎ𝐵)
𝑅
 Despejando ℎ𝐵: 
 
ℎ𝐵 = 2𝑅 − 2ℎ𝐵 → 3ℎ𝐵 = 2𝑅 → ℎ𝐵 =
2
3
𝑅 
 
Reemplazando en: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
ℎ𝐵
𝑅
 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2
3
𝑅
𝑅
 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2
3
 
 
𝜃 = 48,19° 
 
Ahora bien, que pasaría si existiría fuerza de rozamiento en la superficie. ¿El ángulo donde la masa se separa de la 
superficie circular sería mayor o menor? (Revise el ejercicio con fuerza de rozamiento en el tema de dinámica con 
derivadas e integrales). 
 
3 Un bloque de 1 [𝑘𝑔]está bajando desde una pendiente con una velocidad de 2[𝑚/𝑠] en el punto”A” 
como se ve en la figura, en el tramo A-B no existe fricción y en el tramo B-C existe un coeficiente de 
fricción de 0,7. El bloque comprime a un resorte que tiene una constante 𝐾 = 7000[𝑁/𝑚]. Determinar: 
a) La compresión del resorte b) La atura que el bloque logra cuando vuelve a subir. 
 
 
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206 
 
5 m
3 m
A
B
C
µ=0,7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tramo A-B 
EMA = EMB → EPA + ECA = ECB → mghA +
1
2
mvA
2 =
1
2
mvB
2 (Simplificando “m”) 
 
 
ghA +
1
2
vA
2 =
1
2
vB
2 → 9,8 ∙ 5 + 0,5 ∙ 22 =0,5 ∙ vB
2 → vB
2 = 102 → 𝒗𝑩 = 𝟏𝟎, 𝟏[𝒎/𝒔] 
 
 
Tramo B-C 
EMB = EMC + Wfr → ECB = ErC + Wfr → 
1
2
mvB
2 =
1
2
kx2 + μmgd (Reemplazando datos) 
 
0,5 ∙ 1 ∙ 102 = 0,5 ∙ 7000 ∙ 𝑥2 + 0,7 ∙ 1 ∙ 9,8 ∙ 4 → 51 = 3500𝑥2 + 27,44 
 
23,56 = 3500𝑥2 → 𝑥 = 0,082[𝑚] 
 
En el tramo de vuelta 
Tramo C-B 
EMC = EMB + Wfr → 
1
2
kx2 =
1
2
mvB
2 + μmgd → 
 
 0,5 ∙ 7000 ∙ 0,0822 = 0,5 ∙ 1 ∙ vB
2 + 0,7 ∙ 1 ∙ 9,8 ∙ 3 → 23,53 = 0,5 ∙ vB
2 + 20,58 
 
𝑣𝑏 = √5,9 → 𝒗𝒃 = 𝟐, 𝟒𝟑 [𝒎/𝒔] 
 
 
 
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207 
 
Tramo B-A 
ECB = EPA → 
1
2
mvB
2 = mghA → 
1
2
vB
2 = g ∙ hA → 0,5 ∙ 5,9 = 9,8 ∙ hA 
 
𝒉𝑨 = 𝟎, 𝟑𝟎 [𝒎] 
 
 
 
3) Potencia 
 
La potencia es la rapidez con la cual se realiza un trabajo. 
 
La fórmula de la potencia está dada por: 
t
W
P = 
Donde: 
 
→P Es la potencia realizada y se mide en Watts  w 
→W Es el trabajo realizado por la fuerza y se mide en Newton por metro o en Joules  mN. o  J 
→t Es el tiempo y se mide en segundos  s 
 
 
Como dFW = y reemplazando en la anterior fórmula: 
 
t
dF
P

= y por el movimiento rectilíneo uniforme se sabe que:
t
d
v =
 
 
 
Entonces la potencia se pude expresar también como: 
 
vFP = 
 
→P Es la potencia realizada y se mide en Watts  w 
→F Es la fuerza y se mide en Newton  N 
→v Es la velocidad del cuerpo en metros por segundo  sm / 
 
 
Otras unidades de potencia comunes son: 
 
- El Kilowatt )(Kw 
wKw 10001 = 
- El caballo potencia (Horse power H.P.) 
wPH 745..1 = 
- El caballo vapor (C.V.) 
wVC 735..1 = 
 
 
 
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208 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
TRABAJO 
 
1 Determinar el trabajo mecánico que se necesita para levantar un bloque de 50 Kg. una altura de 3 
metros. R. 𝑾 = 𝟏𝟒𝟕𝟎[𝑱] 
2 ¿Cual es el trabajo que se realiza para alzar verticalmente una garrafa vacían (20 Kg.) hasta una altura 
de 1,5 metros? R. 𝑾 = 𝟐𝟗𝟒[𝑱] 
 
3 Un bloque de 3 Kilogramos entra a una pista áspera y se detiene luego de recorrer 2 metros, si el 
coeficiente de fricción es de 0,3. Determinar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. 
R. 𝑾𝒇𝒓 = 𝟏𝟕, 𝟔𝟒[𝑱] 
 
4 Determinar el trabajo realizado por el bloque si este avanza 10 metros. 
 
R. 𝑾 = 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑[𝑱] 
5 Una persona está empujando una cortadora de pasto con un ángulo con respecto a la horizontal de 75º 
y una fuerza de 4 Newtons, Determinar el trabajo que realiza la persona si recorre 1000 metros. 
 
6 Un estudiante lleva en sus brazos una caja de 20 kg de masa. Si va caminando horizontalmente con la 
caja 100 m ¿Cuál es el trabajo que realizo con sus brazos? R. 𝟎[𝑱] 
 
 
 
 
 
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209 
 
 
7 Una grúa eléctrica se encuentra sobre una superficie horizontal. Levanta un bloque de cemento de 
10000 [𝑘𝑔] con una velocidad vertical uniforme hasta una altura de 5 [𝑚], luego gira paralelamente con 
una velocidad uniforme en una semicircunferencia de radio 10 metros y coloca verticalmente con 
velocidad uniforme sobre el suelo. Calcular el trabajo total hecho sobre el bloque de cemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
R. 𝑾 = 𝟎[𝑱] 
 
 
 
 
 
 
ENERGÍA 
 
1 Calcular la energía cinética que tiene un cuerpo de masa 500 gramos y tiene una velocidad constante 
de  sm /3 . R. 𝑬𝒄 = 𝟐, 𝟐𝟓[𝑱] 
 
2 Determinar la energía potencial que tiene una masa de 1 tonelada que se encuentra a una altura de 3 
metros. 
3 ¿Cuál tiene mayor energía potencial? 
- Un bloque de 100 gramos que se encuentra a una altura de 100 metros 
- Un ladrillo de 200 gramos de masa que se encuentra a una altura de 30 metros. 
- Una persona de 70 kg que se sube a una mesa de 1 metro de alto. 
- Un automóvil de 1,5 toneladas de peso que se suspende a una altura de 5 centímetros. 
 
4 Un resorte que tiene una longitud de 20 centímetros es estirado hasta una longitud de 25 centímetros, 
si la constante elástica del resorte es  mN /100 , determinar la energía elástica de este resorte. 
R. 𝑬𝒓 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 [𝑱] 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
210 
 
5 Un resorte que tiene una longitud de 10 centímetros es encogido hasta una longitud de 8 centímetros, 
si la constante elástica del resorte es  mN /200 , determinar la energía elástica de este resorte. 
R. 𝟎, 𝟎𝟒 [𝑱] 
6 Una bola de 25 Kg se suelta desde una altura H = 10 m, hallar la fuerza normal en los puntos A, B 
y C si no existe rozamiento alguno.(el radio es de 8 m) 
8 m10 m
 
R. 𝑬𝒏 𝑨 𝟖𝟓𝟕, 𝟓 [𝑵] 𝑬𝒏 𝑩 𝟏𝟐𝟐, 𝟒𝟔 [𝑵] 𝑬𝒏 𝑪 𝒚𝒂 𝒏𝒐 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂. 
 
 
7 Se arroja verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 8 m/s, determinar la altura 
máxima alcanzada por la piedra. Determinar el trabajo realizado hasta la altura máxima. 
 
8 Un resorte comprimido 7 centímetros por un bloque de 2[𝐾𝑔] se libera de repente, si la constante 
elástica del resorte es de  mN /50 , calcular la velocidad que adquiere el bloque. 
 
2 Kg
 
R. 𝟎, 𝟑𝟓 [𝒎/𝒔] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
211 
 
9 Un bloque de 5.00 kg se mueve con 𝑣0 = 6 [𝑚/𝑠] en una superficie horizontal sin fricción hacia un 
resorte con fuerza constante 𝑘 = 700[𝑁/𝑚] que está unido a una pared. El resorte tiene masa 
despreciable. 
 
a) Calcule la distancia máxima que se comprimirá el resorte. b) Si dicha distancia no debe ser mayor que 
0.150 m, ¿qué valor máximo puede tener 𝑣0 ? 
 
K=700 N/m
5 Kg
 
R. 𝒂) 𝟎, 𝟓𝟏 [𝒎] 𝒃) 𝟏, 𝟕𝟕 [𝒎/𝒔] 
 
10 Un resorte comprimido 7 centímetros por un bloque de 500 gramos se libera de repente, si la 
constante elástica del resorte es de  mN /100 , calcular la velocidad del bloque en el punto B si el 
coeficiente de fricción entre A y B es de 0,1 y la distancia entre dichos puntos es de 30 
centímetros.(Comparar el resultado con el ejercicio anterior). 
500 g 500 g
µ=0,1
500 g
30 cm
A B
 
R. 𝟎, 𝟔𝟑 [𝒎/𝒔] 
11 ¿Cuántas veces aumenta la energía cinética de un móvil cuando se duplica su velocidad? 
R. 𝟒 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 
12 Determinar cuántas veces aumenta su energía cinética cuando se duplica su masa manteniendo su 
velocidad. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
212 
 
13 Un bloque de 200 gramos de masa comprime un resorte 7 centímetros, si se suelta el bloque, este 
asciende por un plano inclinado, si la superficie es lisa y la constante elástica del resorte es de 1000 N/m, 
¿El bloque alcanza la cima del plano inclinado? 
 
 
40 cm200 gr
 
R. Si 
 
 
14 Resolver el ejercicio anterior sabiendo que el ángulo de inclinación es de 20º y el coeficiente de 
rozamiento entre A-B es 0,1 y en el tramo B-C e l coeficiente de fricción es de 0,2.(La distancia entre A y 
B es de 10 centímetros). 
 
40 cm200 gr
A B
C
20º
 
 
15 En la figura se muestra un bloque que se desliza sin fricción, el bloque pasa por el punto A con una 
velocidad de 10 m/s, determinar la velocidad del bloque cuando pasa por el punto B. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
213 
 
 
R. 𝟑𝟐, 𝟐𝟔 [𝒎/𝒔] 
 
16 Una esfera sólida uniforme rueda sin resbalar subiendo una colina, como se muestra en la figura. En 
la cima, se está moviendo horizontalmente y después se cae por un acantilado vertical. ¿A qué distanciadel pie del acantilado cae la esfera y con qué rapidez se está moviendo justo antes de tocar el suelo? 
 
25 m/s
28 m
 
 
 
 
17 Un patinador de 60 [𝑘𝑝] de peso lleva una cierta velocidad y entra a un rizo de 3 [𝑚] de diámetro 
como se ve en la figura, cuando se encuentra en el punto “B” la fuerza de contacto entre la superficie y el 
patinador es de 20 [𝑘𝑝], si en toda la pista no existe rozamiento, determinar la velocidad con la que el 
patinador entró a la pista y la atura máxima a la que llegará luego de pasar por el rizo. 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
214 
 
 
R. 𝟖, 𝟖𝟓 [𝒎/𝒔] 𝟐 [𝒎] 
18 Un bloque de masa 1 Kg. Se abandona del reposo del punto “A”, sobre una pista constituida por un 
cuadrante de circunferencia de radio 1,5 metros. Se desliza sobre la pista y alcanza el puto “B” con una 
velocidad de 3,6 m/s. Determinar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento desde A hasta B sobre 
el arco circular. 
R
A
B
 
 
 
19 Una masa de 3 kg, se suelta por un plano inclinado de 30º, a 5 metros de un resorte como se ve en la 
figura, cuya constante es de 200 [𝑁/𝑚]. a) ¿Cuál es la compresión máxima del resorte? b) Al rebotar la 
masa hacia arriba. ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando llega al resorte? (𝜇𝑒 = 0,2 𝜇𝑐 = 0,1) 
 
30º
5 m
 
 
R. 𝒙 = 𝟎, 𝟖𝟒 [𝒎] 𝒗 = 𝟔, 𝟑𝟔 [𝒎/𝒔] 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
215 
 
 
20 Originalmente el resorte mostrado en la figura, se encuentra perpendicular al plano, en esa posición, 
se suelta el bloque A que avanza hasta una posición en la que sigue en contacto con el plano. Sabiendo 
que la longitud original del resorte indeformado es 𝐿0 = 50 [𝑐𝑚] y la constante de rigidez es de 𝑘 =
5𝑚𝑔
𝐿0
, determinar la velocidad en el momento de la separación del plano. (Las masas de A y B son las 
mismas). (Sugerencia: Realice un D.C.L. tomando en cuenta la fuerza del resorte y luego resuelva por 
conservación de la energía) 
 
L0
A
B
 
R. 𝟏, 𝟕𝟏 [𝒎/𝒔] 
 
 
 
21 Originalmente una masa se encuentra sujeta por dos resortes como se ve en la figura, en ese punto 
los resortes no están deformados. Luego, se estiran los resortes jalando la masa horizontalmente una 
distancia de “x” metros. Demostrar que la fuerza en ese punto está dada por la expresión 
𝐹 = −2𝑘 (1 −
𝐿
√𝑥2+𝐿2
) y que la energía elástica del sistema está dada por la expresión 
𝐸 = 𝑘𝑥2 + 2𝑘𝐿(𝐿 − √𝑥2 + 𝐿2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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216 
 
 
22 Si originalmente los bloque están en reposo y se sabe que la masa 2 es el doble de la masa 1. 
Determinar la ecuación de la velocidad en función de la altura “h” que tiene la masa 2. (Utilice el método 
de las energías). 
 
m1
m2
h
 µk
 
 
R. 𝒗 = √
𝟐
𝟑
𝒈𝒉(𝟐 − 𝝁) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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217 
 
 
POTENCIA 
 
 
1 Calcular la potencia en Watts que desarrolla un automóvil que realiza una fuerza de 10 N. durante 5 
minutos sobre una pista horizontal de 100 metros de largo. 
R. 𝑷 = 𝟑, 𝟑𝟑 [𝒘] 
2 Calcular el ejercicio anterior en H.P. y C.V. 
R. 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟒[𝑯. 𝑷. ] 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓[𝑪. 𝑽. ] 
3 Una máquina eléctrica tiene una potencia de 10 Kw, si la máquina funciona 1 hora ¿Cuál es el trabajo 
realizado por la máquina en kilojouls? 
R. 𝑾 = 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎[𝑲𝑱] 
 
4 Un tanque que tiene una capacidad para 1000 litros (asumimos que 1 litro equivale a 1 Kilo) está 
colocado a 10 metros de altura, por encima de una cisterna. La bomba de agua de la cisterna hace subir 
agua de la cisterna hasta el tanque de agua, si el tanque se llena exactamente en 15 minutos, calcular la 
potencia del motor de la bomba en H.P. R. 𝟎, 𝟏𝟓 [𝑯. 𝑷. ] 
 
5 Se tiene una bomba de agua de 15 C.V. y una eficiencia de 60% ¿Cuántos litros de agua puede extraer 
de un pozo en 2 horas si el pozo tiene una profundidad de 2 metros. 
 
6 Hallar la potencia media empleada en elevar un peso de 40 N. a una altura de 10 metros en 1 minuto. 
 
7 Cual es la potencia en Watios de un automóvil que genera una fuerza de 50 Newtons y tiene una 
velocidad constante de 30 m/s. R. 𝟏𝟓𝟎𝟎 [𝒘] 
 
 
8 Si la potencia que tiene un motor es de 1000 W, y la fuerza constante que genera es de 200 N, calcular 
la velocidad constante con la que puede transportar una banda. R. 𝒗 = 𝟓[𝒎/𝒔] 
 
9 Calcular la potencia que desarrollara un hombre al llevar sobre sus espaldas un bulto que pesa 300 N a 
lo largo de una pendiente de 30 grados de inclinación y de 40 m de longitud y que tarda 20 segundos. 
R. 𝑷 = 𝟑𝟎𝟎[𝒘] 
 
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218 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://images.google.com.bo/imgres?imgurl=http://www.anzils.com.ar/Mesa%20de%20pool%20Comercial.jpg&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/1008843/C?mo-construir-una-mesa-de-pool-+-curso-de-pool.html&h=450&w=600&sz=39&hl=es&start=163&tbnid=bZKi_qMhAbFs_M:&tbnh=101&tbnw=135&prev=/images?q=mesa+billar&start=160&gbv=2&ndsp=20&hl=es&sa=N
http://images.google.com.bo/imgres?imgurl=http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/rosa/choque.jpg&imgrefurl=http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/rosa/myt.html&h=591&w=804&sz=42&hl=es&start=259&tbnid=XVztB-909t-o8M:&tbnh=105&tbnw=143&prev=/images?q=mesa+billar&start=240&gbv=2&ndsp=20&hl=es&sa=N
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
219 
 
Un choque o colisión es la interacción entre dos o más cuerpos, en la cual actúa una fuerza muy grande en 
un tiempo muy pequeño. 
 
 
1) Impulso o impulsión 
 
 
Es la interacción entre dos cuerpos de una fuerza grande en un tiempo muy pequeño, un ejemplo clásico 
del impulso es cuando se remata una pelota de fútbol, actúa una fuerza grande pero en un tiempo muy 
pequeño (generalmente menos de 1 segundo). 
 
La fórmula del impulso está dada por: 
tFI = 
 
Donde: 
→I Es el impulso que se mide en Newtons segundo  sN  
→F Es la fuerza aplicada en Newtons  N 
→t Es el tiempo que actúa la fuerza y se mide en segundos  s 
 
 
2) Cantidad de movimiento en mecánica clásica 
 
Mecánica newtoniana 
Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana 
en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define el 
momento lineal como el producto de la masa por la velocidad: 
�⃗� = 𝑚�⃗� 
 
Donde: 
 
→p Es la cantidad de movimiento de un cuerpo y se mide en  smKg / 
→m Es la masa de la partícula y se mide en Kilogramos  Kg 
→v Es la velocidad de la partícula y se mide en metros por segundo  sm / 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
220 
 
La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa 
como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia 
cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos 
vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la 
masa del objeto móvil como a su velocidad. 
 
3) Relación entre el impulso y la cantidad de movimiento 
 
También el impulso (I) , recibido por una partícula oun cuerpo como la variación de la cantidad de 
movimiento durante un periodo de tiempo dado: 
∆�⃗� = �⃗�𝑓 − �⃗�𝑜 
Siendo: 
→fp Es la cantidad de movimiento al final del intervalo 
→op Es la cantidad de movimiento al inicio del intervalo 
 
4) Conservación de la cantidad de movimiento 
La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de 
movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas 
fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. 
En fórmula esto significa que: 
of pp = 
Por lo que para dos masas se tiene que: 
ff vmvmvmvm 2211202101 +=+ 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
221 
 
4.1) Coeficiente de restitución 
Es un parámetro a dimensional (sin dimensión) que expresa la relación entre las velocidades relativas. 
1020
12
vv
vv
e
ff
−
−
−= 
 
Este coeficiente tiene los siguientes límites: 
10  e 
Lo que significa que en ningún caso el coeficiente de restitución e, puede ser menor que 0 ni mayor que 1. 
 
Para un choque elástico 1=e 
Para un choque inelástico 10  e 
Para un choque completamente inelástico (plástico) 0=e 
 
Para el choque completamente inelástico, se asume que no existe “rebote” por lo cual después del choque 
los objetos viajan juntos. 
 
𝑣1𝑓 = 𝑣2𝑓 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
222 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
1 Una pelota de tenis de 200 gramos, choca con una pared a una velocidad de15[𝑚/𝑠], rebota 
horizontalmente y regresa con una velocidad de 6[𝑚/𝑠]. Determinar a) La variación en la cantidad de 
movimiento b) El impulso c) Si el choque duró 0,1 segundos determinar la fuerza que actuó durante el 
choque d) Determinar el coeficiente de restitución del choque. 
15 m/s
6 m/s
 
 
 
 
 
Datos: 
𝑣𝑓 = −6[𝑚/𝑠] (Negativo por ir a la izquierda o en sentido contrario) 
𝑣0 = 15 [𝑚/𝑠] 
 
a) La variación de la cantidad de la cantidad de movimiento está dada por: 
 ∆�⃗� = �⃗�𝑓 − �⃗�𝑜 → ∆�⃗� = 𝑚 ∙ 𝑣𝑓 − 𝑚 ∙ 𝑣0 → ∆�⃗� = 𝑚 ∙ 𝑣𝑓 − 𝑚 ∙ 𝑣0 
∆𝑝 = 0,2 ∙ (−6) − 0,2 ∙ (15) → ∆�⃗� = −4,2[𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠] 
b) Como el impulso es la variación de la cantidad de movimiento: 
𝐼 = ∆𝑝 → 𝐼 = 4,2 [𝑁. 𝑚] 
c) El impulso está dado por: 𝐼 = 𝐹 ∙ 𝑡 → 4,2 = 𝐹 ∙ 0,1 → 𝐹 = 42[𝑁] 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
223 
 
 
2 Un carrito viaja horizontalmente con una velocidad de 5 m/s, una persona corre en la misma dirección 
con una velocidad de 6 m/s, si la persona aborda el carrito, determine la velocidad que adquieren los dos 
estando juntos. (Suponga que la masa del carrito y de la persona es la misma) 
5 m/s
6 m/s
v
 
 
 
Datos: 
𝑣10 = 5 [𝑚/𝑠] (Velocidad inicial del carrito) 
𝑣20 = 6 [𝑚/𝑠] (Velocidad inicial de la persona) 
Ambas velocidades son positivas por que el carrito y la persona van en el mismo sentido. 
 
 
 
Aplicando la fórmula: 𝑚1 ∙ 𝑣10 + 𝑚2 ∙ 𝑣20 = 𝑚1 ∙ 𝑣1𝑓 + 𝑚2 ∙ 𝑣2𝑓 
𝑚 ∙ 5 + 𝑚 ∙ 6 = 𝑚 ∙ 𝑣1𝑓 + 𝑚 ∙ 𝑣2𝑓 (Como la masa es la misma, ya no se hace la distinción entre 
𝑚1 𝑦 𝑚2) 
Después de que la persona aborda al carrito ambos tienen la misma velocidad por lo cual: 
11𝑚 = 𝑚𝑣 + 𝑚𝑣 → 11𝑚 = 2𝑚𝑣 → 11 = 2𝑣 → 𝒗 = 𝟓, 𝟓 [𝒎/𝒔] 
 
Lo cual significa que la velocidad del carrito aumenta y de la persona disminuye. 
 
3 Se produce un choque horizontal entre dos masas de 25[𝑘𝑔] y 40[𝑘𝑔] que tienen velocidades de 
100[𝑚/𝑠] y 90[𝑚/𝑠] respectivamente como se indica en la figura. Si el choque es completamente 
inelástico, determinar las velocidades después del choque. 
25 kg 40 kg
100 m/s 90 m/s
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
224 
 
 
Datos: 
Masa 1 Masa 2 
𝑚1 = 25 [𝐾𝑔] 𝑚2 = 40 [𝐾𝑔] 
 𝑣10 = 100 [𝑚/𝑠] 𝑣20 = −90 [𝑚/𝑠] 
 
 
 
 
Aplicando la fórmula: 𝑚1 ∙ 𝑣10 + 𝑚2 ∙ 𝑣20 = 𝑚1 ∙ 𝑣1𝑓 + 𝑚2 ∙ 𝑣2𝑓 
25 ∙ 100 + 40 ∙ (−90) = 25 ∙ 𝑣1𝑓 + 40 ∙ 𝑣2𝑓 → −1100 = 25 ∙ 𝑣1𝑓 + 40 ∙ 𝑣2𝑓 
 
Como el choque es completamente inelástico, 𝑒 = 0. Lo que significa que después del choque los objetos 
viajan juntos por lo cual llevan la misma velocidad final. 
Entonces: −1100 = 25 ∙ 𝑣𝑓 + 40 ∙ 𝑣𝑓 → −1100 = 65 ∙ 𝑣𝑓 → 𝒗𝒇 = −𝟏𝟔, 𝟗𝟐 [𝒎/𝒔] 
 (Van juntos a la izquierda) 
 
4 Una flecha de 150 gramos, se incrusta en una bola de madera de 2 kilogramos que cuelga de una 
cuerda de masa despreciable, si la velocidad de la flecha justo antes de incrustarse con la bola es de 
50 [𝑚/𝑠]. Determinar: a) La velocidad que adquieren ambos cuerpos. b) La atura máxima que logran las 
masas. c) El ángulo máximo que la cuerda de 2 metros tiene con respecto a la vertical. d) La tensión de la 
cuerda en la altura máxima. 
θ
 
a) La velocidad que adquieren ambos objetos se calcula mediante la conservación de la cantidad de 
movimiento. 
Aplicando la fórmula: 𝑚1 ∙ 𝑣10 + 𝑚2 ∙ 𝑣20 = 𝑚1 ∙ 𝑣1𝑓 + 𝑚2 ∙ 𝑣2𝑓 
 0,150 ∙ 50 + 2 ∙ 0 = 0,150 ∙ 𝑣1𝑓 + 2 ∙ 𝑣2𝑓 (Como la flecha se incrusta en la bola entonces 
tienen la misma velocidad) 
7,5 = 0,150 ∙ 𝑣𝑓 + 2 ∙ 𝑣𝑓 → 7,5 = 2,15 ∙ 𝑣𝑓 → 𝒗𝒇 = 𝟑, 𝟒𝟗 [𝒎/𝒔] 
 
 
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225 
 
 
b) La altura máxima que logran las masas se calcula mediante conservación de la energía: 
En el punto más bajo, existe energía cinética, en el más alto existe energía potencial. 
𝐸𝐶𝐴 = 𝐸𝑃𝐵 → 
1
2
𝑚𝑣𝐴
2 = 𝑚𝑔ℎ → 
1
2
𝑚(3,49)2 = 𝑚 ∙ 9,8 ∙ ℎ 
6,08 = 9,8 ∙ ℎ → 𝒉 = 𝟎, 𝟔𝟐 [𝒎] 
c) cos θ =
2−0,62
2
 → cos 𝜃 =
1,38
2
 
 
 𝜃 = 46,37° 
d) Realizando D.C.L. 
∑ 𝐹𝑦 = 0 → +𝑇 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑤 = 0 
 𝑇 =
𝑤
𝑐𝑜𝑠𝜃
 → 𝑇 =
(𝑚1+𝑚2)
𝑐𝑜𝑠𝜃
 
𝑇 =
2,15∙9,8
𝐶𝑂𝑆 46,37°
 → 𝑻 = 𝟑𝟎, 𝟓𝟑 [𝑵] 
5 Un bloque de masa m1=1.88 kg se desliza a lo largo de una mesa sin fricción a una velocidad de 10.3 
m/s. Directamente enfrente de él, y moviéndose en la misma dirección, está un bloque de masa m2= 4.92 
kg que se mueve a razón de 3.27 m/s. Un resorte de masa despreciable con una constante elástica k=11.2 
N/cm está unido a la parte posterior de m2, como se muestra en la figura. Cuando los bloques chocan, 
¿cuál es la máxima comprensión del resorte? 
 
 
En el momento que la masa de atrás comprime completamente al resorte, las dos majas viajan juntas. 
Entonces: 
𝑝0 = 𝑝𝑓 → 𝑚1 ∙ 𝑣10 + 𝑚2 ∙ 𝑣20 = 𝑚1 ∙ 𝑣1𝑓 + 𝑚2 ∙ 𝑣2𝑓 
Como la velocidad es la misma: 
𝑚1 ∙ 𝑣10 + 𝑚2 ∙ 𝑣20 = (𝑚1 + 𝑚2) ∙ 𝑣𝑓 → 1,88 ∙ 10,3 + 4,92 ∙ 3,27 = (1,88 + 4,92) ∙ 𝑣𝑓 
 
𝑣𝑓 = 5,21 [𝑚/𝑠] 
 
Cuando el resorte está comprimido, existe energía cinética y energía del resorte. 
𝐸𝐶1 + 𝐸𝐶2 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑟 → 
1
2
∙ 1,88 ∙ 10,32 +
1
2
∙ 4,92 ∙ 3,272 =
1
2
(1,88 + 4,92) ∙ 5,212 +
1
2
∙ 1120 ∙ 𝑥2 
 
𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟒 [𝒎] 
T
w
?
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226 
 
6 Para estudiar la colisión frontal de dos esferas iguales, se suspenden en forma de péndulos de igual 
longitud. Si la primera de ellas se suelta desde un ángulo θ mientras la segunda está en reposo y después 
de la colisión la segunda sube hasta un ángulo θ',mostrar que el coeficiente de restitución de la colisión 
está dado por: 
1
1
2
 Por conservación de la cantidad de movimiento: (en el momento que las esferas chocan) 
1020
12
vv
vv
e
ff
−
−
−=
 𝑣20 = 0[𝑚/𝑠] (La esfera 2 está en reposo) 
 
𝑒 = −
𝑣2𝑓−𝑣1𝑓
−𝑣10
 → 𝑒 =
𝑣2𝑓−𝑣1𝑓
𝑣10
 → 𝑣2𝑓 = 𝑒 ∙ 𝑣10 + 𝑣1𝑓 (1) 
 
ff vmvmvmvm 2211202101 +=+
 
𝑚 ∙ 𝑣10 = 𝑚 ∙ 𝑣1𝑓 + 𝑚 ∙ 𝑣2𝑓 → 𝑣10 = 𝑣1𝑓 + 𝑣2𝑓 (2) 
 
Reemplazando 2 en 1: 
𝑣2𝑓
𝑣1𝑓
=
𝑒+1
1−𝑒
 → 
𝑣2𝑓
𝑣10−𝑣2𝑓
=
𝑒+1
1−𝑒
 (3) 
 
Por trigonometría: 
 
h1
h2
L L
L
θ θ`
 
 
cos 𝜃 =
𝐿−ℎ1
𝐿
 cos 𝜃` =
𝐿−ℎ2
𝐿
 
 
22 1
2
sen
e
sen



= −
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
227 
 
 
ℎ1 = 𝐿 − 𝐿 ∙ cos 𝜃 ℎ2 = 𝐿 − 𝐿 ∙ cos 𝜃` 
Por conservación de la energía en el momento del choque: 
𝑣10
2 = 2𝑔ℎ1 → 𝑣10 = √2𝑔ℎ1 
𝑣2𝑓
2 = 2𝑔ℎ2 → 𝑣2𝑓 = √2𝑔ℎ2 
Reemplazando: 
𝑣10 = √2𝑔𝐿(1 − cos 𝜃) 
𝑣2𝑓 = √2𝑔𝐿(1 − cos 𝜃`) 
Reemplazando en 3: 
√2𝑔𝐿(1−cos 𝜃`)
√2𝑔𝐿(1−cos 𝜃)−√2𝑔𝐿(1−cos 𝜃`)
=
𝑒+1
1−𝑒
 → 
√(1−cos 𝜃`)
√(1−cos 𝜃)−√(1−cos 𝜃`)
=
𝑒+1
1−𝑒
 
e = 2 ∙
√(1 − cos θ`)
√(1 − cos θ)
− 1 
Por trigonometría: 
sen 
θ
2
= √
1 − cos θ
2
 
Reemplazando: 
𝒆 = 𝟐 ∙
𝒔𝒆𝒏 
𝜽`
𝟐
𝒔𝒆𝒏 
𝜽
𝟐
− 𝟏 
 
Energía en el movimiento rotacional 
Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que 
podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva cantidad llamada 
momento de inercia, que depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye tal 
masa. 
 
𝐼 = 𝑚 ∙ 𝑟2 
Donde: 
𝐼 → 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚2] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
228 
 
𝑟 → 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 [𝑚] 
 
Conservación del momento angular 
Al igual que la conservación de la energía y del momento lineal, este principio es una ley de 
conservación universal: Si el torque externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento 
angular total del sistema es constante (se conserva). 
 
𝐼1 ∙ 𝑤1 = 𝐼2 ∙ 𝑤2 
 
EJEMPLO 
Un bloque de 2 kg en una superficie horizontal sin fricción está atado a un cordón sin masa que 
pasa por un agujero en la superficie. El bloque inicialmente está girando a una distancia de 50 
centímetros del agujero, con rapidez angular de 4 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]. Se tira del cordón desde abajo, 
acortando el radio del círculo que describe el bloque a 25 centímetros. a) ¿Se conserva el 
momento angular del bloque? b) ¿Qué valor tiene ahora la rapidez angular? c) ¿Cuál es la tensión 
de la cuerda antes y después? 
 
El momento angular se conserva: 
𝐼1 ∙ 𝑤1 = 𝐼2 ∙ 𝑤2 
𝑚 ∙ 𝑟1
2 ∙ 𝑤1 = 𝑚 ∙ 𝑟2
2 ∙ 𝑤2 → 𝑟1
2 ∙ 𝑤1 = 𝑟2
2 ∙ 𝑤2 → 0,50
2 ∙ 4 = 0,252 ∙ 𝑤2 
𝒘𝟐 = 𝟏𝟔 [𝒓𝒂𝒅/𝒔] 
𝑇 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑐 → 𝑇 = 𝑚 ∙ 𝑤2 ∙ 𝑟 → 𝑇 = 2 ∙ 42 ∙ 0,5 → 𝑻 = 𝟏𝟔 [𝑵] 
𝑇 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑐 → 𝑇 = 𝑚 ∙ 𝑤2 ∙ 𝑟 → 𝑇 = 2 ∙ 162 ∙ 0,25 → 𝑻 = 𝟏𝟐𝟖 [𝑵] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
229 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1 Una pelota de tenis de 100 g de masa y velocidad horizontal de 10 m/s choca contra una pared vertical 
y retorna con una velocidad también horizontal de 8 m/s. 
a) La variación de la cantidad de movimiento de la pelota es: 
b) El coeficiente de restitución es: 
R. a) −𝟏, 𝟖[𝒌𝒈 ∙ 𝒎/𝒔] b) 𝒆 = 𝟎, 𝟖 
 
2 Un balón de fútbol de masa 0,8 kg rebota en la cabeza de un futbolista. La velocidad de recepción del 
balón es de 15 m/s y la de despeje es de 18 m/s; ambas velocidades tienen sentidos opuestos. El balón se 
encuentra en contacto con la cabeza durante 0,1 s ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en newton que ejerce 
la cabeza sobre el balón? 
R. 𝑭 = 𝟐𝟔𝟒[𝑵] 
3 Dos bloques tienen masas de 3 kg y 2 kg y velocidades de 4 m/s y 6m/s. Las dos masas van una al 
encuentro de la otra en forma horizontal. Si el coeficiente de restitución es de 0,5 ¿Cuáles son las 
velocidades de los bloques después del choque? 
 R. 𝟐 𝒚 𝟑 [𝒎/𝒔] 𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔 
4 Dos masas de 1 Kg y 3 Kg se mueven en la misma dirección pero en sentido contrario, con 
velocidades de 20 m/s y 40 m/s respectivamente, si el choque es completamente inelástico, determinar las 
velocidades y direcciones de las masas después del choque. 
5 Dos canicas de 50 gramos y 30 gramos chocan frontalmente, si las velocidades antes del choque son 1 
m/s y 4 m/s respectivamente, calcular las velocidades que están adquieren después del choque si después 
del mismo estas permaneces juntas. 
6 Un carrito viaja horizontalmente con una velocidad de 5 m/s, una persona corre en la misma dirección 
con una velocidad de 6 m/s, si la persona aborda el carrito, determine la velocidad que adquieren los dos 
estando juntos. (La masa de la persona es el doble que del carrito) R. 𝟓, 𝟔𝟕[𝒎/𝒔] 
7 Se realiza un choque frontal entre 2 automóviles de 500 Kg y 700 Kg que viajan con velocidades de 30 
m/s y 50 m/s, si el coeficiente de restitución es de 0,4. Calcular las velocidades después del choque. 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
230 
 
500 kg
30 m/s
700 kg
50 m/s
 
8 Un cañón de 300 Kg dispara un proyectil de 100 gramos de masa con una velocidad de 400 m/s, 
calcular la velocidad con la que el cañón retrocede. R. 𝟎, 𝟏𝟑𝟑 [𝒎/𝒔] 
 
9 Dos esferitas de masas 200 [𝑔𝑟] y 400 [𝑔𝑟] van en el mismo sentido con velocidades de 1,5 [𝑚/𝑠] 
y 0,85 [𝑚/𝑠] respectivamente como se ve en la figura, si el choque es elástico. Determinar las 
velocidades de las esferitas después del choque. 
200 gr
400 gr
1,5 m/s 0,85 m/s
 
 
10 Una esfera de 2 kilogramos lleva una velocidad de 10 [m/s] por una superficie lisa, choca con una 
masa de 5 kilogramos en reposo que se encuentra sujeta al techo mediante una cuerda ideal de 10 metros 
de longitud. Si después del choque las dos masas permanecen juntas. Determinar: a) La velocidad de las 
masas después del choque. b) La altura máxima a la que se elevan las masas. c) El ángulo de inclinación 
máximo que logran las masas con respecto a la vertical. d) La tensión de la cuerda en la altura máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
231 
 
 
 
θ
m1 m2
m1
m2
10 m/s
 
R. 𝒗 = 𝟐, 𝟖𝟔[𝒎/𝒔] 𝒉 = 𝟎, 𝟒𝟐[𝒎] 𝜽 = 𝟏𝟔, 𝟔𝟔° 𝑻 = 𝟕𝟏, 𝟔𝟏[𝑵] 
 
11 Un balón de futbol de 420 gramos, avanza sobre una superficie horizontal lisa con una velocidad de 
30 [m/s], choca contra una pared y regresa con una velocidad de 5 [m/s]. Determinar: a) La variación de 
la cantidad de movimiento. b) El impulso. c) Si el balón estuvo en contacto con la pared 0,2 segundos 
¿Cuál fue la fuerza que actuó durante el choque? d) ¿Cuál es el coeficiente de restitución? 
 
 
R. 𝒂) ∆𝒑 = −𝟏𝟒, 𝟕 [𝒌𝒈 𝒎/𝒔] 𝒃) 𝑰 = 𝟏𝟒, 𝟕[𝑵 ∙ 𝒔] 𝒄) 𝟕𝟑, 𝟓[𝑵] 𝒅) 𝟎, 𝟏𝟕 
 
12 Dos bloques 𝑀1 = 3[𝑘𝑔] y 𝑀2 = 5[𝑘𝑔] llevan la misma dirección pero sentidos opuestos y va uno al 
encuentro del otro como se muestra en la figura. Antes del choque 𝑀1 lleva una velocidad de 10 [𝑚/𝑠], 
después del choque 𝑀2 lleva una velocidad de 20 [𝑚/𝑠] a la izquierda. Si 𝑒 = 0,4 determinar la 
velocidad de 𝑀1 después del choque y de 𝑀2 antes del choque. 
 
ANTES
M1 M2
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
232 
 
DESPUÉS
M1 M2
 
 
R. 𝒗𝟐𝟎 = −𝟓𝟑, 𝟏𝟓 [𝒎/𝒔] 𝒗𝟏𝒇= −𝟒𝟓, 𝟐𝟔 [𝒎/𝒔] 
13 Una esfera 𝑚1 = 5[𝑘𝑔] se deja caer desde una altura de 5 metros, resbala por un plano inclinado 
como se ve en la figura e impacta con un bloque 𝑚2 = 20 [𝑘𝑔], después del choque permanecen juntos. 
Si en toda la superficie no existe rozamiento, determinar: a) La velocidad de la masa 𝑚1 antes de chocar 
con 𝑚2. b) La velocidad que llevan juntos después del choque. c) La altura máxima hasta la que se elevan 
las dos masas. d) La tensión de la cuerda en el punto más alto. La cuerda mide 3 metros. 
 
θ
m1 m2
m2
m1
m1
5 metros
 
14 El bloque A tiene una masa de 1 kg, y el B, de 3 kg. A y B se juntan a la fuerza, comprimiendo un 
resorte Si entre ellos; luego, el sistema se suelta del reposo en una superficie plana sin fricción. El 
resorte, de masa despreciable, está suelto y cae a la superficie después de extenderse. El bloque B 
adquiere una rapidez de 1.20 m/s. a) ¿Qué rapidez final tiene A? b) ¿Cuánta energía potencial elástica se 
almacenó en el resorte comprimido? 
 
R. a) −𝟑, 𝟔 [𝒎/𝒔] b) 𝟖, 𝟔𝟒 [𝑱] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
233 
 
 
15 Se lanza una pelota contra la pared vertical sin fricción inmediatamente antes de que la pelota golpee 
la pared, su velocidad tiene una magnitud v y forma un ángulo de 30º con la horizontal. Si se sabe que 
e=0,90, determine la magnitud y dirección de la velocidad de la pelota cuando esta rebota en la pared. 
 
30º
 
R. 𝟎, 𝟗𝟐𝒗 𝟑𝟐𝟕, 𝟑𝟎𝟎 
16 Dos carros, A y B, se empujan, uno hacia el otro. Inicialmente B está en reposo, mientras que A se 
mueve hacia la derecha a 0.5m/s. Después del choque, A rebota a 0.1m/s, mientras que B se mueve 
hacia la derecha a 0,3 m/s. En un segundo experimento A está cargado con una masa de 1 kg y se dirige 
hacia B con una velocidad de 0.5m/s. Después de la colisión A permanece constante, mientras que B se 
desplaza hacia la derecha a 0.5m/s. Encontrar la masa de cada carro. 
 
 R. 1 2A Bm Kg y m Kg= = 
 
 
 
17 Un tronco de un árbol de 45 Kg. flota en un río cuya velocidad es de 8 km/hora. Un cisne de 10 kg 
intenta aterrizar en el tronco mientras vuela a 8 km/h en sentido contrario al de la corriente. El cisne 
resbala a lo largo del tronco y sale del extremo de éste con una velocidad de 2 km /h. Calcular la 
velocidad final del tronco. Despreciar la fricción del agua. 
R. 6.66 /tdv km h= 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
234 
 
 
 
 
 
 
18 Una bola de masa m está suspendida por una cuerda de longitud L arriba de un bloque que descansa 
sobre uno de sus extremos, como se muestra en la figura. La bola se desplaza hacia atrás un ángulo  y 
se suelta. En el ensayo A, rebota elásticamente en el bloque. En el ensayo B una cinta adhesiva por los 
dos lados hace que la bola se fije al bloque en un choque totalmente inelástico. ¿En cuál caso es más 
probable que la bola derribe al bloque? Explique. 
 
 
19 Una partícula que se mueve con una velocidad v =13m/s, se desintegra en dos fragmentos de masas 
m1 = 370g y m2 = 450g, los cuales salen formando los ángulos α= 56º y β = 21º que muestra la figura. 
Determine la magnitud de la velocidad de cada fragmento. 
 
R. v1 = 10.57 m/s y v2 = 20.17m/s 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
235 
 
20 Un disco de 0.3 kg inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal sin roce es golpeado por 
otro disco de 0.2 kg que se movía a lo largo del eje X, con una rapidez de 2 m/s. Después del choque el 
disco de 0.2 kg tiene una rapidez de 1m/s y se mueve en una dirección que forma un ángulo de 53º con el 
eje X. Determine: 
a) La magnitud de la velocidad del disco de 0.3 kg después de la colisión 
b) El ángulo que éste forma con el eje X. 
 
R. v =1.075 m/s y θ = 29. 7° 
 
 
 
21 Una bala de 20 g es disparada horizontalmente hacia un bloque de 300 g que se encuentra en reposo 
sobre una superficie lisa. Después de que la bala se incrusta en el bloque, éste se mueve 0.3 m a la 
derecha antes de alcanzar el reposo en forma momentánea. Determine la rapidez inicial de la bala. El 
resorte tiene una rigidez k=200N/m y originalmente no se encuentra estirado. 
R. v=120m/s 
 
 
 
 
 
22 Se colocan dos trineos de 22.7 kg separados por una distancia pequeña, uno atrás del otro, como se 
muestra en la figura. Un gato de 3.63 kg que está en uno de los trineos brinca al otro e inmediatamente se 
regresa al primero. Ambos brincos se efectúan a una velocidad de 3.05 m/s respecto al trineo donde el 
gato estaba en reposo cuando se efectuó el brinco. Halle las velocidades finales de los dos trineos. 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
236 
 
 
 
23 Un cañón se une rígidamente a una cureña, que puede moverse a lo largo de una vía pero está 
conectado a un poste por medio de un gran resorte inicialmente sin deformar y constante de fuerza k = 
2.00 x 104 N/m. El cañón dispara un proyectil de 200 Kg a una velocidad de 125 m/s dirigida 45° sobre 
la horizontal. a) Si la masa del cañón y la cureña es de 5000 kg, encuentre la rapidez de retroceso del 
cañón. b) Determine la extensión máxima del resorte. c) Encuentre la fuerza máxima que el resorte ejerce 
sobre el carro. 
45º
 
 R. 𝒂) − 𝟑, 𝟓𝟒 [𝒎/𝒔] 𝒃) 𝟏, 𝟕𝟕 [𝒎] 𝒄) 𝟑, 𝟓𝟒 × 𝟏𝟎𝟒 [𝑵] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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237 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 𝒂(𝒕)𝒅𝒕
𝟓
𝟐
 
 
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238 
 
 
 
Como ya se vio al principio del libro, la variación de la posición en función del tiempo es la velocidad. 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 , que cuando ∆𝑡 → 0 (el tiempo tiende a 0, esto significa en un preciso instante) la velocidad 
instantánea será: 
𝑣 =
𝜕𝑥
𝜕𝑡
 , lo que significa que la velocidad instantánea es la derivada de la posición en función del 
tiempo. 
Del mismo modo la aceleración será: 𝒂 =
𝜕𝑣
𝜕𝑡
 , lo que significa que la aceleración instantánea es la 
derivada de la posición en función del tiempo. 
De manera inversa, 𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑(𝑡) + 𝑣0 ; lo que significa que la integral de la aceleración mas la 
constante de integración que en este caso es la velocidad inicial resulta ser la velocidad. 
𝑥 = ∫ 𝑣 𝑑(𝑡) + 𝑥0 , de la misma forma la posición es la integral de la velocidad mas la posición 
inicial. 
Como resumen se muestra la siguiente tabla. 
𝑣 =
𝜕𝑥
𝜕𝑡
 𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑(𝑡) + 𝑣0 
𝒂 =
𝜕𝑣
𝜕𝑡
 𝑥 = ∫ 𝑣 𝑑(𝑡) + 𝑥0 
 
 
 
 
 
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239 
 
 
Ejemplo 1: 
La aceleración en función al tiempo de una partícula está dada por la siguiente ecuación:𝑎(𝑡) = 2 − 0,1𝑡 
En el instante 𝑡 = 0, la partícula avanza a una velocidad de 10 m/s y se encuentra en 𝑥 = 50 𝑚. a) 
Determinar las expresiones para su velocidad y su posición en función del tiempo. b) ¿En qué tiempo la 
partícula tiene su máxima velocidad positiva? c) ¿Cuál es esa velocidad? d) ¿Dónde está la partícula en 
ese momento? 
Resolución: 
a) Como ya se mencionó, la velocidad es la integral de la aceleración mas la velocidad inicial. 
𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑(𝑡) + 𝑣0 
Entonces: 
𝑣 = ∫(2 − 0,1𝑡)𝑑𝑡 + 10 → 𝑣 = 2𝑡 −
0,1
2
𝑡2 + 10 → 𝑣(𝑡) = −0,05𝑡2 + 2𝑡 + 10 
De la misma forma para la posición se debe integrar la velocidad. 
𝑥 = ∫ 𝑣 𝑑(𝑡) + 𝑥0 → 𝑥 = ∫(−0,05𝑡
2 + 2𝑡 + 10) 𝑑(𝑡) + 50 →𝑥(𝑡) = −0,017𝑡3 + 𝑡2 + 10𝑡 + 50 
b) Para la máxima velocidad positiva, se deriva la ecuación de la velocidad y se iguala a 0 (para 
maximizar). Esto resulta lo mismo que igualar la ecuación de la aceleración a 0. 
𝑎 = 2 − 0,1𝑡 → 2 − 0,1𝑡 = 0 → 𝑡 =
2
0,1
 → 𝑡 = 20 [𝑠] 
c) Esto significa que la máxima velocidad se da en 20 segundos, para calcular esta velocidad se 
reemplaza el tiempo en la ecuación de la velocidad. 
𝑣 = −0,05𝑡2 + 2𝑡 + 10 → 𝑣 = −0,05(20)2 + 2(20) + 10 → 𝑣 = 30[𝑚/𝑠] 
d) Reemplazando 𝑡 = 20 [𝑠] en la ecuación de la posición: 
𝑥 = −0,017𝑡3 + 𝑡2 + 10𝑡 + 50 → 𝑥 = −0,017(20)3 + 202 + 10(20) + 50 
→ 𝑥 = 514[𝑚] 
 
 
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240 
 
 
Ejemplo 2: 
La ecuación de la posición en función al tiempo está dada por: 𝑥(𝑡) = −𝑡3 + 1 .Determinar los puntos en 
que la partícula cambia de sentido, la distancia y el desplazamiento recorrido y la rapidez y la velocidad 
media entre 𝑡 = 0[𝑠] y 𝑡 = 3[𝑠]. Determinar las ecuaciones 𝑣 → 𝑡 y 𝑎 → 𝑡. Graficar 𝑣 → 𝑡 y 𝑎 → 𝑡 
Derivando de obtiene las ecuaciones de la velocidad y aceleración en función al tiempo. 
𝑣(𝑡) = −3𝑡2 𝑎(𝑡) = −6𝑡 
Para determinar el o los tiempos donde la partícula cambia de sentido y sus posiciones (puntos de 
inversión) la ecuación de la velocidad se iguala a 0. 
−3𝑡2 = 0 → 𝑡 = 0 [𝑠] 
Remplazando en la ecuación de la posición: 𝑥(0) = 1 [𝑚] 
Calculando la posición para 𝑡 = 3[𝑠] 𝑥(3) = −26 [𝑚] 
Para este ejemplo, la distancia y el desplazamiento son iguales puesto que el punto de inversión se da en 
𝑡 = 0 [𝑠]: 
𝑑 = 27 [𝑚] ∆𝑥 = 27 [𝑚] 
La rapidez media es: 
distancia
𝑡
 → 𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 9 [𝑚/𝑠] 
La velocidad media es: 
∆x
𝑡
 → 𝑉𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 9 [𝑚/𝑠] 
 
 
 
 
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6
p
o
si
ci
ó
n
Tiempo
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241 
 
 
 
 
 
 
 
t x v a 
0 1 0 0 
1 0 -3 -6 
2 -7 -12 -12 
3 -26 -27 -18 
4 -63 -48 -24 
5 -124 -75 -30 
 
 
 
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 1 2 3 4 5 6
V
e
lo
ci
d
ad
Tiempo
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 1 2 3 4 5 6
A
ce
le
ra
ci
ó
n
Tiempo
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
242 
 
 
REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UN MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL 
Se pueden denotar de la siguiente manera: 
𝑥 = 𝑥(𝑡) 
𝑦 = 𝑦(𝑡) 
Llamadas ecuaciones paramétricas del movimiento. Muestran las posiciones en función al tiempo. 
A partir de ellas y en forma secuencial, es posible elaborar la siguiente información: 
 
1) La ecuación de la trayectoria: se obtiene eliminando t en las ecuaciones paramétricas. 
2) Velocidad: Derivando las ecuaciones paramétricas. 𝑣𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑡
 ; 𝑣𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑡
 
3) Rapidez: Se calcula por cuadratura de la velocidad o sea: r = √vx
2 + vy
2 
4) Ecuación del movimiento sobre la trayectoria: Se obtiene integrando la función de la rapidez: 
𝑠(𝑡) = ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
 
5) Aceleración tangencial (eje x): Se calcula derivando la función de la rapidez: 𝑎𝑡 =
𝜕𝑟
𝜕𝑡
 
6) Aceleración normal (eje y): an = √a
2 − at
2 
7) Radio de curvatura: δ =
r2
an
 
 
Ejemplo 3: 
Analizar el movimiento de una partícula que tiene las siguientes ecuaciones paramétricas: 
𝑥(𝑡) = 5𝑡 𝑦(𝑡) = 5𝑡2 
1) La ecuación de la trayectoria: 
Despejando t en 1: t =
x
5
 Reemplazando en 2: 𝑦 = 5 (
𝑥
5
)
2
 → 𝑦 =
𝑥2
5
 Por lo que se 
sabe que la trayectoria es una parábola. 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
243 
 
 
2) Velocidad: 
𝑣𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑡
 → 𝑣𝑥 = 5 [𝑚/𝑠] → 𝑎𝑥 = 0 [𝑚/𝑠
2] 
𝑣𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑡
 → 𝑣𝑦 = 10𝑡 [𝑚/𝑠] → 𝑎𝑦 = 10 [𝑚/𝑠
2] 
3) Rapidez: 
 r = √vx
2 + vy
2 → 𝑟 = [52 + (10𝑡)2]
1
2 → 𝑟 = (25 + 100𝑡2)
1
2 
4) Ecuación del movimiento sobre la trayectoria: 
𝑠(𝑡) = ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
 → 𝑠(𝑡) = ∫(25 + 100𝑡2)
1
2 𝑑𝑡 
𝑡
0
 
5) Aceleración tangencial (eje x): Se calcula derivando la función de la rapidez: 𝑎𝑡 =
𝜕𝑟
𝜕𝑡
 
 
 
𝑎𝑡 =
𝜕𝑟
𝜕𝑡
 → 𝑎𝑡 =
1
2
(25 + 100𝑡2)− 
1
2(200𝑡) → 𝑎𝑡 = 100𝑡 (25 + 100𝑡
2)− 
1
2 
6) Aceleración normal (eje y): an = √a
2 − at
2 
𝑎 = √𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 → 𝑎 = √𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 → 𝑎 = √𝑜2 + 102 → 𝑎 = 10 
an = √a2 − at
2 → an = √102 − 10000𝑡2 (25 + 100𝑡2)− 1 → an = 10(1 + 4t
2)− 
1
2 
7) Radio de curvatura: 
δ =
r2
an
 → δ =
25 + 100t2
10(1 + 4t2)− 
1
2
 → δ =
25(1 + 4t2)
10(1 + 4t2)− 
1
2
 → 
 δ = 
5
2
(1 + 4t2) 
3
2 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
244 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1) La ecuación de la posición en función al tiempo de una partícula está dada por la siguiente 
ecuación: 𝑥(𝑡) = 5𝑡3 − 𝑡2 + 2𝑡 + 3 a) Determinar las ecuaciones de la velocidad y la 
aceleración en función al tiempo. b) Calcular la posición de la partícula, la velocidad y la 
aceleración en los instantes 𝑡 = 0, 𝑡 = 5 𝑦 𝑡 = 10 c) ¿Para qué tiempo la partícula cambia de 
sentido? d) ¿Cual es la velocidad máxima negativa que logra la partícula y en qué tiempo? 
2) La aceleración de una partícula está dada por la ecuación: 𝑎(𝑡) = 𝐴𝑡 − 𝐵𝑡2 , teniendo 𝐴 =
2,5 y 𝐵 = 1,7. En un tiempo 0 segundos, la partícula se encuentra en reposo en el origen de 
coordenadas. a) Determinar las ecuaciones de la velocidad y la posición en función al tiempo. 
b) ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza la partícula? 
3) La aceleración de un auto está dado por la ecuación: 𝑎(𝑡) = 1,2𝑡 a) Si la rapidez en 𝑡 =
1[𝑠] 𝑒𝑠 5[𝑚/𝑠] ¿Cuál será la velocidad en 𝑡 = 2[𝑠]? b) Si la posición en 𝑡 = 1[𝑠] 𝑒𝑠 6[𝑚] 
¿Cuál será la posición en 𝑡 = 2[𝑠]? c) Grafique 𝑎 → 𝑡, 𝑣 → 𝑡, 𝑥 → 𝑡 
4) Una partícula tiene la siguiente ecuación de la posición en función al tiempo: 
 x(t) =
t3
3
−
7t2
2
+ 10t Determinar: a) Las ecuaciones de la velocidad y la aceleración en 
función al tiempo. b) Los tiempos y las posiciones donde la partícula cambia de sentido. c) La 
distancia, el desplazamiento, la rapidez media y la velocidad media de la partícula entre t =
1[s] y t = 4[s]. d) La velocidad máxima negativa que alcanza la partícula. 
5) La ecuación de la aceleración en función al tiempo está dada por: 𝑎(𝑡) =
1
3
𝑡2. Si para un 
tiempo 𝑡 = 2[𝑠] la velocidad es de 3[𝑚/𝑠] y la posición es de 4[𝑚]. Determinar: a) Las 
ecuaciones de la velocidad y la posición en función al tiempo. b) La posición, la velocidad y la 
aceleración para 𝑡 = 1[𝑠]. 
6) Analizar el movimiento de una partícula que tiene las siguientes ecuaciones paramétricas: 
𝑥(𝑡) = −2𝑡2 𝑦(𝑡) = 4𝑡2 
7) Una partícula tiene una aceleración variable en el tiempo, según la siguiente ecuación: 𝑎(𝑡) =
2𝑡 − 13 en 𝑐𝑚/𝑠2. Determinar la rapidez media y la velocidad media en el intervalo de 0 a 12 
segundos. 
8) Una partícula se mueve sobre una trayectoria parabólica: 𝑦 = 3𝑥2, determinar la magnitud de 
las variables cinemáticas en la posición: 𝑥 = 1/8[𝑚], con una rapidez constante de 2 [𝑚/𝑠] 
R. �̇� = 𝟖/𝟓 [𝒎/𝒔] �̇� = 𝟔/𝟓[𝒎/𝒔] 
9) Una partícula en movimiento describe su trayectoria con una rapidez variable según: 
�̇� = 2 + 0,3𝑡2, si tras recorrer una distancia de 4,8 metros, su aceleración alcanza de 
2,4 [𝑚/𝑠2], calcular el radio de la curvatura en ese instante.10) Una cuerda de longitud 𝐿 = 2𝐻, tiene un extremo atado a una masa “m” y el otro extremo está 
fijo a la parte posterior de un automóvil. Inicialmente la masa “m” y el punto de unión del 
extremo de la cuerda con el automóvil se desplaza con velocidad “v”. Determinar la velocidad 
de “m” cuando el automóvil se ha desplazado “x” metros. 
 
R. 𝒗 =
𝒙𝒗
√𝑯𝟐+𝒙𝟐
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
245 
 
 
La derivada de la velocidad con respecto al tiempo de una partícula es igual a la resultante de todas las 
fuerzas externas ejercidas sobre la partícula dividida por la masa de esta. 
∑ 𝐹 = 𝑚 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
 
Ejemplo 1: 
Un cuerpo cuya masa es de 2 kilogramos, se desplaza sobre una superficie horizontal lisa bajo la acción 
de una fuerza horizontal 𝐹 = 25 + 𝑡2, donde F está expresado en Newtons. a) Calcular la ecuación de la 
velocidad en función al tiempo. b) Calcular la velocidad de la masa cuando 𝑡 = 5 [𝑠], el cuerpo se 
encontraba en reposo cuando 𝑡 = 0 [𝑠] 
∑ 𝐹 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 = 25 + 𝑡2 𝑚 𝑑𝑣 = (25 + 𝑡2) 𝑑𝑡 
∫ 𝑚 𝑑𝑣 = ∫ (25 + 𝑡2) 𝑑𝑡 
𝑡𝑓
𝑡𝑜
𝑣𝑓
𝑣0
 𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣0) = 25𝑡 + |
𝑡3
3
|
0
5
 
Reemplazando datos: 
2𝑣𝑓 = 25 ∙ 5 +
125
3
 𝑣𝑓 = 83,33 [𝑚/𝑠] 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1) La fuerza resultante sobre un objeto de masa 𝑚 = 100 [𝑘𝑔] 𝑒𝑠: 𝐹 = 100 − 2𝑡; donde F se mide 
en Newton y t en segundos. Encontrar la posición del cuerpo para 𝑡 = 20 [𝑠]. En 𝑡 = 0 [𝑠], 𝑣 =
10 [𝑚/𝑠] 𝑦 𝑥 = 4[𝑚] 
R. 377,33 [𝒎] 
2) Un cuerpo de 4 [𝑘𝑔] de masa, es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 
60 [𝑚/𝑠]. El cuerpo encuentra resistencia en el aire de 𝐹 = −
3𝑣
100
 donde F es la resistencia del aire 
que se mide en Newton y v es la velocidad en [𝑚/𝑠]. Calcular en tiempo que transcurre desde el 
lanzamiento hasta que alcanza su altura máxima. 
R. 𝟔 [𝒔] 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
246 
 
3) Una lancha de masa “m” navega en un lago con una velocidad v, en ese instante se desconectó 
el motor. Considerando la fuerza de resistencia del agua proporcional a su velocidad 𝐹 = −𝑘𝑣, 
donde k es una constante, determinar la distancia recorrida hasta que la lancha se detiene. 
R. 
𝒎𝒗
𝒌
 
TRABAJO MECÁNICO 
El trabajo total sobre la partícula cuando esta se mueve de “A” a “B”, es la suma de todos los trabajos 
infinitesimales efectuada en los sucesivos desplazamientos infinitesimales, 
𝑊 = ∫ 𝐹𝑡 𝑑𝑠
𝑏
𝑎
 
 
Ejemplo 1: 
 
Una pequeña masa m comienza a resbalar de la parte superior de una esfera de radio R. si se deja deslizar 
desde el reposo, para que valor del ángulo 𝜃 se desprende de la masa. (El coeficiente de rozamiento entre 
la masa y la superficie es de 0,4) 
 
 
θ
A
B
 
 
Por conservación de la energía: 
En el punto “A” existe energía potencial, en el punto “B” existe energía potencial y cinética mas el 
trabajo de la fuerza de rozamiento. Con esto determinamos la velocidad en el punto “B”. 
EMA = EMB → 𝐸𝑃𝐴 = 𝐸𝐶𝐵 + 𝐸𝑃𝐵 + 𝑊𝑓𝑟 
 
Determinando el trabajo de la fuerza de rozamiento: 
 
𝑓𝑟 = 𝜇𝑚𝑔𝑆𝑒𝑛𝛼 → 𝑊𝑓𝑟 = − ∫ 𝜇𝑚𝑔𝑆𝑒𝑛𝛼 𝑑𝑠
𝛼
𝜋/2
 
 
El objeto se mueve desde un ángulo 𝜋/2 hasta 𝛼 como se ve en la figura. 
Además se tiene que: 
 
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247 
 
 
𝑑𝑠 = 𝑟 ∙ 𝑑𝛼 
 
Reemplazando se tiene: 
𝑊𝑓𝑟 = − ∫ 𝜇𝑚𝑔𝑟 ∙ 𝑆𝑒𝑛𝛼 𝑑𝛼
𝛼
𝜋/2
 → 𝑊𝑓𝑟 = −𝜇𝑚𝑔𝑟 ∫ 𝑆𝑒𝑛𝛼 𝑑𝛼
𝛼
𝜋/2
 
 
𝑊𝑓𝑟 = 𝜇𝑚𝑔𝑟 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝛼|.𝜋/2
𝛼 → 𝑊𝑓𝑟 = 𝜇𝑚𝑔𝑟 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝛼 
 
 
π/2
α
x
r
hB
 
 
Por trigonometría se tiene que: 
𝐶𝑜𝑠𝛼 =
𝑥
𝑟
 → 𝐶𝑜𝑠𝛼 =
√𝑟2−ℎ2
𝑟
 
Reemplazando: 
𝑊𝑓𝑟 = 𝜇𝑚𝑔𝑟 ∙
√𝑟2−ℎ2
𝑟
 → 𝑊𝑓𝑟 = 𝜇𝑚𝑔√𝑟2 − ℎ𝐵
2 
 
 
Reemplazando en la ecuación de la energía tenemos: 
 
 
 mghA =
1
2
mvB
2 + mghB + μmg√r
2 − hB
2 (Simplificando “m”) 
gr =
1
2
vB
2 + ghB + μg√r
2 − hB
2 (1) 
 
Aplicando la sumatoria de fuerzas en el punto “B”: 
∑ Fy = m ∙ ac 
w ∙ cosθ − N = m
v2
r
 
 
En el punto donde la masa se separa de la superficie, la normal es nula N = 0, puesto que este es el límite 
donde ya no existe contacto. Reemplazando: 
w ∙ cosθ − N = m
v2
r
 → w ∙ cosθ − 0 = m
v2
r
 → m ∙ g ∙ cosθ = m
v2
r
 → g ∙ cosθ =
v2
r
 
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248 
 
 
v2 = g ∙ r ∙
hB
r
 → v2 = ghb (2) 
 
Reemplazando (2) en (1): 
 
gr =
1
2
ghB + ghB + μg√r2 − hB
2 → r =
3
2
hB + μ√r2 − hB
2 
r −
3
2
hB = μ√r2 − hB
2 → 2 r − 3hB = 2μ√r2 − hB
2 → 4r2 − 12rhB + 9hB
2
= 4μ2 (r2 − hB
2
) 
Ordenando: 
(9 + 4μ2)hB
2 − 12rhb + 4r
2 − 4μ2r2 = 0 
Despejando ℎ𝑏 con la ecuación de segundo grado: 
ℎ𝑏 =
2𝑟(3 ± √5𝜇2 + 4𝜇4)
9 + 4𝜇2
 
Por trigonometría se tiene: 
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
ℎ𝑏
𝑟
 → 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
2𝑟(3±√5𝜇2+4𝜇4)
9+4𝜇2
𝑟
 → 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
2(3±√5𝜇2+4𝜇4)
9+4𝜇2
 
Reemplazando el valor de 𝜇: 
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
2(3±√5∙0,42+4∙0,44)
9+4∙0,42
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,82 → 𝜃 = 34,97° 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,425 → 𝜃 = 64,83° 
 
El ángulo no puede ser menor al ángulo del mismo ejercicio sin rozamiento (Revisar ejercicio sin 
rozamiento)(con rozamiento el ángulo donde el bloque se separa debe ser obviamente mayor), por lo 
cual la solución aceptable es: 
𝜃 = 64,83° 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
249 
 
 
Ejemplo 2: 
Una esfera de 100 gramos es soltada desde el punto “A” (media circunferencia) como se muestra en la 
figura, si el coeficiente de rozamiento entre la esfera y la superficie es 0,4 determinar la altura a la que 
llega dicha esfera (El radio de la circunferencia es 1 metro).(La esfera resbala). 
R. 𝟎, 𝟑𝟏 [𝒎] 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1) Una fuerza aplicada a un cuerpo varia como la distancia x a la posición inicial según la ecuación 
𝐹 = 3𝑥 + 2𝑥3[𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒]. El objeto pasa del punto 𝑥 = 0 a 𝑥 = 12 [𝑚]. ¿Qué trabajo realiza la 
fuerza, si su dirección y sentido coinciden con el desplazamiento? 
R. 𝑾 = 𝟏𝟎𝟓𝟖𝟒[𝑱] 
2) Una partícula, cuya masa es 4 Kilogramos, se mueve sobre una circunferencia horizontal de radio 
1 m, entre los puntos o y 
𝜋
2
, con una aceleración tangencial dada por la fórmula 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃. 
Calcular el trabajo realizado con dicha aceleración. 
 
1 metro
θ
π/2
o
 
 R. 𝝅 [𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆] 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
250 
 
 
3) Un bloque de masa 1 kilogramo se suelta en el punto “A”, sobre una pista semicircular con radio 
1,5 metros. Si el bloque alcanza el punto B con una velocidad de 3,6 m/s. Determinar el trabajo de 
la fuerza de rozamiento entre el punto A y B. 
 
 
R. 𝑾 = −𝟖, 𝟐𝟐 [𝑱] 
 
4) Una partícula se mueve a lo largo del eje x desde x = 1 metros hasta x= 2 metros bajo la influencia 
de una fuerza 𝑭 =
𝒙
𝒙𝟐+𝟑
 donde F está en newtons y x en metros. Determine el trabajo realizado 
por esta fuerza en la partícula durante este desplazamiento. 
R. 𝟎, 𝟐𝟖 [𝑱𝒖𝒍𝒔] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
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251 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA I CHRISTIAN MERUVIA 
 
252 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
BEER, JOHNSTON, CORNWELL, “MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS”, 2013, 
MÉXICO, MCGRAW-HILL.FREDERICK BUECHE, EUGENE HETCH, “FÍSICA GENERAL”, 2007, MÉXICO, 
MCGRAW-HILL. 
GOÑI GALARZA JUAN, “FÍSICA GENERAL”, 1992, LIMA-PERÚ, LATINAS EDITORES. 
MENDOZA DUEÑAS JORGE, “FÍSICA GENERAL”, 2003, LIMA – PERÚ. 
SERWAY, JEWETT, “FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA”, MÉXICO, 2008, 
CENGAGE LEARNING EDITORES. 
YOUNG, FREEDMAN, “FÍSICA UNIVERSITARIA”, 2009, MÉXICO, PEARSON 
EDUCACIÓN.