Física 1-196-198

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Capítulo 11194
33 (UF-MS) Uma partícula executa movimento uni-
forme no sentido anti-horário com velocidade 
angular de π
4
 rad/s sobre uma circunferência de 
diâmetro AB = 8 cm. Sabe-se que 3 segundos 
após passar pelo ponto A a partícula está passan-
do por um ponto C. 
AB
 
Figura 18. Exemplos de transmissão de movimento circular. 
A
lA
M
y
/O
TH
er
 
IM
A
g
eS
fe
r
N
A
N
D
O
 f
A
V
O
r
eT
TO
/C
r
IA
r
 IM
A
g
eM
k
U
r
T 
M
ö
b
U
S/
A
g
êN
C
IA
 k
ey
ST
O
N
e
(a) (b) (c)
5. Transmissão de movimento circular
Observe abaixo alguns casos de transmissão de movimento circular.
(b)
Figura 19.
C
O
N
C
eI
TO
g
r
A
f
É correto afirmar que:
a) o módulo do vetor velocidade média no trecho 
AC é 4 2 + 2
3
 cm/s.
b) os pontos A, B e C são vértices de um triân-
gulo isósceles.
c) o período, a aceleração centrípeta e a velo-
cidade escalar da partícula no ponto C são, 
respectivamente, 8 s, zero e π cm/s.
d) o período, a aceleração centrípeta e a velo-
cidade escalar da partícula no ponto C são, 
respectivamente, 4 s, zero e 4π cm/s.
e) a medida do arco AC é 22 cm.
No caso da figura 18a, a transmissão é feita por uma correia; na figura 18b (bici-
cleta) é uma corrente que transmite o movimento de uma roda dentada a outra. No 
exemplo da figura 18c não há correia nem corrente, e a transmissão é feita diretamente 
de uma roda a outra; nesse caso são usadas rodas dentadas para evitar o deslizamento.
De modo geral, os vários dispositivos de transmissão 
de movimento circular encaixam-se em um dos dois ca-
sos esquematizados na figura 19: transmissão por con-
tato (fig. 19a) ou por meio de correia ou corrente (fig. 
19b). No caso do contato, as rodas giram em sentidos 
opostos e, no caso de correia (ou corrente), as duas gi-
ram no mesmo sentido.
Nos dois casos, para que não haja escorregamen-
to, os pontos das periferias das duas rodas devem ter 
a mesma velocidade linear v. Supondo que os ângulos 
sejam medidos em radianos, temos v = ω · r. Assim:
ω
A
 · R
A
 = ω
B
 ∙ R
B 7
Já vimos que, para ângulos em radianos, vale a 
equação ω = 2πf. Substituindo em 7 :
(2πf
A
)r
A
 = (2πf
b
)r
b
 ⇒ fA · RA = fB ∙ RB
(a)
Cinemática angular 195
6. Rolamento
Na figura 20 representamos um menino andando 
de bicicleta. As rodas da bicicleta têm, simultaneamen-
te, movimentos de translação e rotação. Dizemos que 
as rodas estão rolando sobre o chão ou que as rodas 
têm movimento de rolamento. 
Vamos admitir que a bicicleta tenha movimento re-
tilíneo e uniforme, com as rodas rolando sem escorre-
gar. fixando a atenção sobre um ponto P da periferia 
de uma das rodas (fig. 21) e supondo que a roda gire 
no sentido horário, o centro C move-se para a direita 
com velocidade v
C
. No instante t = 0, o ponto P está 
em contato com o solo; em seguida, representamos as 
posições do ponto P depois de 1
4
 de volta t = T
4
, meia 
volta t = T
2
, 3
4
 de volta t = 3T
4
 e uma volta (t = T).
O ponto P descreve uma curva denominada cicloide (para um observador no solo).
Como a roda rolou sem escorregar, a distância d assinalada na figura 21 é igual ao 
perímetro da circunferência: d = 2πr. Por outro lado, essa foi a distância percorrida 
pelo centro C (e pela bicicleta) durante o intervalo de tempo igual a um período (T ); 
portanto, temos também d = v
C
 · T. Assim:
d = 2πr = v
C
 · T ⇒ v
C
 = 
2πr
T
Mas T = 1
f
 = 2π
ω
 (para ângulos em radianos).
Portanto:
v
C
 = 
2πr
T
 = 2πrf = ωr 8 
Observando as igualdades em 8 , percebemos um fato interessante: a velocidade 
do centro da roda (e da bicicleta) é igual à velocidade linear (fig. 23) de um ponto da 
periferia de uma roda com rotação pura (sem translação) de período T, frequência f e 
velocidade angular ω. essa observação nos ajuda a calcular a velocidade instantânea de 
um ponto da roda durante o rolamento. 
Suponhamos que inicialmente a bicicleta esteja suspensa em um suporte (fig. 23a), 
com o garoto pedalando, de modo que a roda traseira tem período T, frequência f e ve-
locidade angular ω; os pontos da periferia dessa roda (fig. 23b) têm velocidade linear v
C
.
Figura 20.
d = 2πR = v
C
 · T
t = 0 t = Tt =
T
4
P
P
ω
P
CCCC
R
v
C C vC
P
cicloide
P
t =
T
2
t =
3T
4
Figura 21.
Figura 22. Roda com rota-
ção pura: 
v
C
 = 
2πR
T
 = 2πRf = ωR
R
ω
v
C
v
C
v
C
v
C
v
C
v
C
v
0
lU
IZ
 A
U
g
U
S
T
O
 r
Ib
e
Ir
O
lU
IZ
 A
U
g
U
S
T
O
 r
Ib
e
Ir
O
lU
IZ
 A
U
g
U
S
T
O
 r
Ib
e
Ir
O
(b)
(c)
D vC
C vC
A vC
E vC
B
v
C
(d) (e)D vC
AvC
B
v
C
E
v
C
Figura 23.
Z
A
P
T
Z
A
P
T
Z
A
P
T
Z
A
P
T
Z
A
P
T
D 2vC
v
C
v
C
A v
A
 = 0
E
B
v
C
 · 2
2
(a)
Capítulo 11196
Exercícios de Aplicação
Suponhamos agora que a bicicleta seja colocada em contato com o solo (fi g. 23c), 
com o garoto pedalando com a mesma frequência; cada ponto da roda (e da bicicleta) 
adquire uma velocidade de translação para a direita (fi g. 23d) cujo valor é v
C
. A super-
posição das fi guras b e d nos dá a fi gura e, que mostra a velocidade resultante dos 
quatro pontos escolhidos. É importante observar que o ponto que está em contato com 
o solo tem velocidade nula. Isso explica o fato de uma foto da roda em movimento fi car 
menos nítida na parte de cima que na parte de baixo. 
34. Duas rodas dentadas, A e B, de raios R
A
 = 12 cm 
e R
B
 = 6,0 cm, estão acopladas, como mostra a 
figura a. A roda A gira no sentido anti-horário, 
com frequên cia f
A
 = 30 Hz. Qual é a frequência 
da roda B?
Figura a.
Resolu•‹o:
A roda B deve girar no sentido horário (oposto ao 
de A), como mostra a figura b. 
A
v
B
v
A
ω
A
ω
B
B
Figura b.
A condição para que não haja escorregamento é 
que a velocidade linear de um ponto da periferia 
de A (v
A
) seja igual à velocidade linear de um 
ponto da periferia de B (v
B
):
v
A
 = v
B
Como v = 2πfR, substituindo na equação acima, 
temos:
2π · f
A
 · R
A
 = 2π · f
B
 · R
B
(30) (12) = fB · (6,0)
f
B
 = 60 Hz
35. A figura ilustra duas polias acopladas por uma 
correia. A polia A, de raio 12 cm, gira no sentido 
horário com velocidade angular 50 rad/s. A polia 
B tem raio 30 cm.
a) Em que sentido gira a polia B?
b) Qual é a velocidade angular da polia B?
36. As rodas dentadas têm raios R
A
 = 15 cm e 
R
B
 = 20 cm. Sabe-se que a roda A gira no sentido 
horário com frequência 40 Hz. 
Responda:
a) Em que sentido gira a roda B?
b) Qual é a frequência do movimento de B?
37. Em uma bicicleta o pedal faz girar uma roda den-
tada chamada coroa. Por meio de uma corrente, 
a coroa está acoplada a outra roda dentada, a 
catraca, que movimenta a roda traseira da bici-
cleta. Suponhamos que a coroa tenha 35 dentes 
e a catraca, 7 dentes. Suponhamos também que 
Il
U
ST
r
A
ç
õ
eS
: 
C
O
N
C
eI
TO
g
r
A
f