RAZÃO E PROPORÇÃO

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RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Consideremos a seguinte afirmação: 
Na 2.
a
 fase do vestibular da Fuvest (São Paulo), o número de vagas está para o número de candidatos na razão de 
1 para 3. 
 
 Esta afirmação significa que a cada vaga existente correspondem três candidatos; e ela pode ser representada em 
matemática por 
1
3
 (lê-se: um para três). 
 
 Quando fazemos esta afirmação, estamos comparando o número de vagas existentes com o número de candidatos 
inscritos, por meio de uma divisão do primeiro número pelo segundo, e usando a palavra razão para designar o 
quociente obtido. 
 Nesta Unidade, veremos a importância do estudo da razão de dois números para conhecimentos futuros e para 
aplicação na vida real. 
 
 
2. RAZÃO 
 Vimos que: 
  Comparamos dois números, dividindo um deles pelo outro; 
  Chama-se razão o resultado obtido. 
 
 Então, de modo geral, diz-se que: 
 
Razão de dois números racionais (com o segundo diferente de zero) é o quociente do primeiro pelo segundo. 
 
A razão de dois números racionais a e b pode ser representada na forma 
a
b
 ou na forma a : b; em ambos os casos 
lê-se: “razão de a para b” ou “a está para b” ou “a para b”. 
 O primeiro número denomina-se antecedente e o segundo, consequente. 
 


antecedentea
consequenteb
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Determinar a razão de 20 para 16. 
 

20 5
fração irredutível que corresponde à razão pedida16 4
 
 
2) Uma prova de Matemática tem 10 questões. Um aluno acertou 8 dessas questões. Determinar: 
a) a razão do número de questões que acertou para o número total de questões 

8 4
10 5
 
 
b) a razão do número de questões que errou para o número de questões que acertou: 

2 1
8 4
 
 
OBSERVAÇÕES 
1.
a
) Sendo a razão de dois números racionais um número racional, valem para as razões todas as considerações e 
propriedades dos números racionais. 
2.
a
) Razão de duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas racionais, 
tomadas na mesma unidade. 
 
Exemplo 
Observar os cubos das figuras abaixo, e calcular a razão do volume do volume do primeiro para o volume do segundo. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 2 
 
2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
  
 
  
3 3
(razão)3 3
Volume do primeiro (2cm) 8cm 8 1
64 8Volume do segundo (4cm) 64cm
 
 
 
3. RAZÕES INVERSAS 
Sejam as razões 
3 4
e
4 3
 
Vemos que: 
 O antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa; 
 O produto das duas é igual a 1 
 
  
 
3 4
1 .
4 3
 
 
 Duas razões nestas condições são denominadas inversas. 
 
 Deve-se notar que a razão de antecedente zero não possui inversa. 
 
 
4. ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS 
 Estudaremos algumas razões especiais que serão úteis em nossa vida. 
 
4.1. Velocidade Média 
 Denomina-se velocidade média a razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la 
 

distância
velocidade média
tempo
 
 
 
Exemplo 
Um automóvel percorreu 384 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel? 
Distância percorrida = 384 km 
Tempo gasto = 5h 
Velocidade média = 
384 km
5 h
 = 76,8 km/h (lê-se: 76,8 quilômetros por hora) 
 
4.2. Escala 
 Denomina-se escala de um desenho a razão entre um comprimento considerado no desenho e o correspondente 
comprimento real, medidos com a mesma unidade. 
 

comprimento no desenho
escala
comprimento no real
 
 
 
Exemplo 
No desenho de uma casa, o comprimento da sala, que é de 6 m, está representado por um segmento de 3 cm. Qual foi a 
escala utilizada para o desenho? 
Comprimento no desenho = 3 cm 
Escala = 
3 1
ou 1 : 200
600 200
 
 
As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis, automóveis, etc.), nas plantas de casas e terrenos, 
nos mapas, nas cartas geográficas. 
 
3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
No quadro abaixo, vemos uma parte de um mapa do Estado de São Paulo, feito numa escala de 1/4 000 000, ou seja, 
cada 1 cm no desenho representa 40 km no real. 
 
 
 
 
5. PROPORÇÃO 
 
Sejam os números 6, 9, 12 e 18. 
Nessa ordem, vamos calcular: 
 
A razão do 1.
o
 para o 2.
o
: A razão do 3.
o
 para o 4.
o
: 
 
6 2
9 3
 
12 2
18 3
 
 
Observando que a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto, podemos escrever: 
6 : 9 = 12 : 18 ou 
6 12
9 18
 
Nesse caso, dizemos que os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem, formam uma proporção. 
Na proporção 6 : 9 = 12 : 18 ou 
6 12
9 18
, destacamos: 
I) A sua leitura é: 6 está para 9, assim como 12 está para 18. 
II) Os números 6, 9, 12 e 18 são denominados termos da proporção. 
III) O primeiro e o quarto termos são denominados extremos, enquanto o segundo e o terceiro termos são 
denominados meios. 
 
De uma forma geral: 
 
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, foram uma proporção quando a razão do 
primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto. 
a : b = c : d ou 
a c
b d
 (lê-se: a está para b assim como c, está para d) 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Sendo a proporção uma igualdade de duas razões, os antecedentes e os consequentes das razões iguais são 
chamados antecedentes e consequentes da proporção. 
 
 
 
6. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 
 
Considerando as seguintes proporções, observe: 
 
 
4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
1) 
6 15
8 20
 
 Produto dos extremos = 6 . 20 = 120 
 Produto dos meios = 8 . 15 = 120 
 O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 
 
2) 
1 4
3 12
 
 Produto dos extremos = 1 . 12 = 12 
 Produto dos meios = 3 . 4 = 12 
 O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 
 
 Então: 
     
produto dos produtos dos
extremos meios
6 15
6 20 8 15
8 20
 
     
produtos dosproduto dos
meiosextremos
1 4
1 12 3 4
3 12
 
 
Daí a propriedade fundamental: 
 
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, e vice-versa. 
    
produto dos produtos dos
extremos meios
a c
a d b c
b d
 
 
 
7. RESOLUÇÃO DE UMA PROPORÇÃO 
 
Resolver uma proporção significa determinar o valor do termo desconhecido dessa proporção. 
 
a) Resolver a proporção:  

  

x 3 3
x 1
x 1 5
 
 
 Aplicando a propriedade fundamental: 
   



    
x 3 3
x 1 5
5 x 3 3 x 1
 
 Resolvendo a equação: 5 + 15 = 3x + 3 
 5x - 3x = 3 - 15 
 2x = - 12 
 x = -
12
2
 
 Logo: x = - 6 x = - 6 
 
 
 
b) Numa maquete, a altura de um edifício é de 90 cm. Qual a altura real do prédio, sabendo que a maquete foi 
construída na escala 
1
30
? 
 Altura na maquete: 90 cm. 
 Altura no real: x 
 Escala = 
altura na maquete
altura no real
 
 
1 90
30 x
 
 1 . x = 30 . 90  aplicamos a propriedade fundamental 
 
x = 2.700 cm = 27 m. 
 
5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
 
8. QUARTA PROPORCIONAL DE TRÊS NÚMEROS DADOS 
 
Dados três números racionais, a, b e c, denomina-se quarta proporcional desses números, número x, tal que 
a c
b x
 
 
Exemplo 
Calcular a quarta proporcional dos números 3, 10 e 6. 
  a
3 6
pela definição de 4. proporcional
10 x
 
  



3 x 10 6
3x 60
60
x
3
x 20
 
 
Resposta: A 4.
a
 proporcional dos números dados é 20. 
 
 
9. TERCEIRA PROPORCIONAL DE DOIS NÚMEROS DADOS 
 
Dados dois números racionais, a e b, denomina-se terceira proporcional desses números um número x, tal que 
a b
b x
 
Exemplo 
Calcular a terceira proporcional dos números 2 e 6. 
  a
2 6
pela definição de 3. proporcional
6 x
 
  



2 x 6 6
2x 36
36
x
2
x 18
 
 
Resposta: A 3.
a
 proporcional dos números dados é 18. 
 
 
10. OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
1.
a
 propriedade (P1) 
Seja a proporção: 
5 10
4 8
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 
   
     
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18 1. 2. 3. 4.
4 8 5 10 5 10 1. 3.
 
   
      
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18 1. 2. 3. 4.
4 8 4 8 4 8 2. 4.
 
   
      
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2 1. 2. 3. 4.
4 8 5 10 5 10 1. 3.
 
   
      
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2 1. 2. 3. 4.
4 8 4 8 4 8 2. 4.
 
 
Logo: 
Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim 
como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto). 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
 
6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
 
 
2.
a
 propriedade (P2) 
Seja a proporção: 
10 5
8 4
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 10 15 10 antec. antec. 1. antec.
8 4 8 4 8 12 8 conseq. conseq. 1. conseq.
 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 5 15 5 antec. antec. 2. antec.
8 4 8 4 4 12 4 conseq. conseq. 2. conseq.
 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 10 5 10 antec. antec. 1. antec.
8 4 8 4 8 4 8 conseq. conseq. 1. conseq.
 
 
      
 
o
o
10 5 10 5 5 5 5 antec. antec. 2. antec.
8 4 8 4 4 4 4 conseq. conseq. 2. conseq.
 
 
Logo: 
Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o seu consequente. 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
 
11. APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES 
 
Veremos, por meio de exemplos práticos, como aplicar essas propriedades na resolução de exercícios. 
1.
o
 exemplo: Determinar x e y na proporção 
x 3
y 4
, sabendo-se que x + y = 28. 
   
     1
x 3 x y 3 4 x y 3 4
ou aplicando-se P
y 4 x 3 y 4
 
Como x + y = 28, resulta: 
          
28 7 84
x 7 28 3 7x 84 x x 12
x 3 7
 
          
28 7 112
y 7 28 4 7y 112 y y 16
x 4 7
 
 
Logo: x = 12 e y = 16. 
 
2.
o
 exemplo: A razão de dois números é de 5 para 2, e a diferença entre eles é 60. 
Determine os dois números. 
 
Resolução 
Representando os números por x e y, temos: 
 
  
   
     1
x 5
a razão é de 5 para 2
y 2
x y 60 a diferença é 60
x 5 x y 5 2 x y 5 2
ou aplicando-se P
y 2 x 5 y 2
 
Como x - y = 60, resulta: 
          
          
60 3 300
x 3 60 5 3x 300 x x 100
x 5 3
60 3 120
y 3 60 2 3y 120 y y 40
y 2 3
 
 
7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
Logo: Os números são 100 e 40. 
 
 
3.
o
 exemplo: Sabendo-se que 
a b
3 2
 e a + b = 30, determinar a e b. 
 
    
 
2
a b a b a a b b
ou aplincando-se P
3 2 3 2 3 3 2 2
 
Como a + b = 30, resulta: 
          
30 a 90
5 a 30 3 5a 90 a a 18
5 3 5
 
          
30 b 60
5 b 30 2 5b 60 b b 12
5 2 5
 
Logo: a = 18 e b = 12. 
 
 
12. SEQUÊNCIA DE RAZÕES IGUAIS (PROPORÇÃO MÚLTIPLA) 
Consideremos as razões: 
3 10 16
, ,
6 20 32
 
Verificamos que todas são iguais, pois: 
  
3 1 10 1 16 1
6 2 20 2 32 2
 
 
Podemos, então, escrever: 
 
3 10 16
6 20 32
 
 
Ao igualarmos as razões acima, formamos uma sequência de razões iguais ou uma proporcional múltipla. 
 
Exemplo 
Resolver a proporção múltipla  
x y z
3 5 2
, sabendo-se que x + y + z = 200. 
Como vale para as proporções múltiplas a propriedade P3, temos: 
 
   
 
x y z x y z x y z
ou ou
3 5 2 3 5 2 3 5 2
 
Como x + y + z = 200, resulta: 
       
200 x 20 x
x 20 3 x 60
10 3 1 3
 
 
       
200 y 20 y
y 20 5 y 100
10 5 1 5
 
       
200 z 20 z
z 20 2 z 40
10 2 1 2
 
 
Logo: x = 60, y = 100 e z = 40. 
 
 
PARTE I: NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
1. Introdução 
 Consideremos o seguinte problema: 
 Dois amigos jogaram na loteria esportiva e ganharam Cr$ 6 000 000. Como o primeiro entrou com Cr$ 1 200 e o 
segundo com Cr$ 1 800, combinaram que o prêmio seria dividido em partes proporcionais a estas quantias. Quanto 
coube a cada um? 
 Para darmos a resposta a esta situação, devemos aprender a dividir um número (no caso, Cr$ 6 000 000) em partes 
proporcionais a dois outros (no caso, Cr$ 1 200 e Cr$ 1 800). 
 É o que estudaremos nesta Unidade. 
 
2. Números Diretamente Proporcionais 
 Sejam dois conjuntos, A e B, de números racionais em correspondência biunívoca: 
 
8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
B = {6, 9, 15, 18, 30} 
 
Determinando as razões entre os elementos correspondentes, verificamos que são iguais, isto é: 
    
2 3 5 6 10 1
6 9 15 18 30 3
 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são diretamente proporcionais. 
O número 
1
3
 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Exemplos: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 5, 12) e (4, 10, 24) são diretamente proporcionais. 
  
2 1 5 1 12 1
,
4 2 10 2 24 2
 
Como   
2 5 12 1
4 10 24 2
, as sucessões são diretamente proporcionais. 
 
2) As sucessões (4, x, 10) e (y, 14, 20) são diretamente proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
  
          
          
4 x 10
pela definição
y 14 20
4 10 80
10 y 4 20 10y 80 y y 8
y 20 10
x 10 140
20 x 14 10 20x 140 x x 7
14 20 20
 
 
Logo: x = 7 e y = 8. 
 
 
3. DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Seja o problema: 
Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
 Representar os números procurados por x, y e z; 
 Considerar as sucessões (x, y, z) e (4, 2, 3) como diretamente proporcionais. 
 
Então 
   


  

x y z 180 a soma dos três números é igual a 180
x y z
os números são diretamente proporcionais a 4, 2 e 3
4 2 3
 
 
    
 
       
       
       
x y z x y z x y z
ou ou pela propriedade das proporções
4 2 3 4 2 3 4 2 3
180 x 20 x
x 20 4 x 80
9 4 1 4
180 y 20 y
y 20 2 y 40
9 2 1 2
180 z 20 z
z 20 3 z 60
9 3 1 3
 
 
Resposta: Os números são 80, 40 e 60. 
 
 
4. NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Consideremos dois conjuntos, A e B, em correspondência biunívoca: 
 A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
 
9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
B = {45, 30, 18, 15, 9} 
 
 
Determine o produto entre os elementos correspondentes, vemos que são iguais, isto é: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9 = 90 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são inversamente proporcionais. 
O número 90 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Considerando que: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9, vem que: 
   
2 3 5 6 10
1 1 1 1 1
45 30 18 15 9
 
 
Podemos dizer que: 
Os elementos do conjunto A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos do conjunto B. 
 
Exemplo: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 6, 9) e (18, 6, 4) são inversamente proporcionais. 
2 . 18 = 36 , 6 . 6 = 36 9 . 4 = 36 
 
Como 2 . 18 = 6 . 6 = 9 . 4 = 36, as sucessões são inversamente proporcionais. 
 
2) As sucessões (2, x, 15) e (y, 12, 4) são inversamente proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
     
        
        
2 y x 12 15 4 pela definição
60
2 y 15 4 2y 60 y y 30
2
60
x 12 15 4 12x 60 x x 5
12
 
Logo: x = 5 e y = 30. 
 
 
5. DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Seja o problema: 
Dividir o número 390 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
 Representar os números procurados por x, y, z; 
 Considerar as sucessões (x, y, z) e (2, 4, 3) como inversamente proporcionais. 
 
Então: 
   

  


 
   
 
x y z 390 a soma dostrês números é 390
x y z
os números são diretamente proporcionais aos inversos de 2,4 e 3
1 1 1
2 4 3
x y z x y z x y z
ou ou
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 3 2 4 3 2 4 3
 
 
Como x + y + z = 390, resulta: 
  
 
 
390 390 390
390
1 1 1 6 3 4 13
2 4 3 12 12

30
12
13

1
360 
 
10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
     
     
     
360 x 1
x 360 x 180
11 2
2
360 y 1
y 360 y 90
11 4
4
360 z 1
z 360 z 120
11 3
3
 
 
Logo: Os números são 180, 90 e 120. 
 
 
PARTE II: REGRA DE TRÊS 
 
1. Introdução 
Consideremos os seguintes problemas: 
 
1.
o
) Um automóvel, com uma velocidade média de 60 km/h, leva 5 horas para percorrer a distância entre duas cidades A 
e B. Se a sua velocidade média fosse de 80 km/h, qual seria o tempo gasto para percorrer a mesma distância? 
 
Representando por x o tempo pedido, observamos que: 
 Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade média (60 km/h e 80 km/h) com dois valores da 
grandeza tempo (5h e xh) 
 Queremos determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 
 
2.
o
) Uma rua mede 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. 
Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? 
 
Representando por x o tempo pedido e observando que faltam 420 m para terminar o asfalto, temos: 
 Estamos relacionando dois valores da grandeza comprimento (180 m e 420 m) com dois valores da grandeza tempo 
(6 d e x d); 
 Queremos determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 
 
 
2. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 Quando colocamos gasolina em nosso carro, despendemos certa importância dinheiro. A quantidade colocada e o 
preço que pagamos por ela são duas grandezas variáveis dependentes. 
 O mesmo ocorre quando compramos arroz, feijão, batata, açúcar ... O peso e o custo da mercadoria comprada são 
grandezas variáveis dependentes. 
 Consideremos, então, o exemplo seguinte, tomando como base o preço da batata em janeiro de 1985: 
1 kg de batata custa Cr$ 1 000 
2 kg de batata custam Cr$ 2 000 
3 kg de batata custam Cr$ 3 000 
4 kg de batata custam Cr$ 4 000 
.................................................. 
 
Pelos valores encontrados, verificamos que: 
 Variando o peso, o custo também varia; 
 Duplicando, triplicando, ... o peso, o custo duplica, triplica, ... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas peso e custo são diretamente proporcionais. 
 
Daí a definição: 
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde o dobro, o triplo ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Quantidade (em kg) Peço (em Cr$) 
1 1 000 
2 2 000 
3 3 000 
4 4 000 
 
11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que exprimem as medidas das grandezas, temos: 
1 1000 1 1000 1 1000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
 
Vemos que, duas a duas, as razões são iguais: 
1 1000 1 1000 1 1000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre os dois valores de uma é igual à razão entre os 
dois valores correspondentes da outra. 
 
 
3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Consideremos a velocidade de um automóvel (suposta constante) e o tempo que ele gasta para percorrer certa 
distância: 
Com velocidade de 40 km/h, gasta 6 horas para percorrer a distância. 
Com velocidade de 80 km/h, gastará 3 horas para percorrer a mesma distância. 
Com velocidade de 120 km/h, gastará 2 horas para percorrer a mesma distância. 
 
Pelo valores encontrados, verificamos que: 
 Variando a velocidade, o tempo também varia; 
 Duplicando, triplicando ... a velocidade, o tempo fica reduzido à metade, à terça parte ... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. 
Daí a definição: 
 
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde a metade, a terça parte ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Velocidade Tempo 
40 km/h 6 h 
80 km/h 3 h 
120 km/h 2 h 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que exprimem as medidas das grandezas, temos: 
40 6 40 6 80 3
e , e , e
80 3 120 2 120 2
 
 
Vemos que uma razão é igual ao inverso da outra: 


40 3
6
80 6 inverso de
3
 

40 2
6
120 6 inverso de
2
 


80 2
3
120 3 inverso de
2
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a razão dos dois valores de uma é igual ao inverso da razão 
dos dois valores correspondentes da outra. 
 
 
 
12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 Aprenderemos, agora, a resolver problemas que relacionam dois valores de uma grandeza A com dois valores de 
uma grandeza B, chamados problemas de regra de três simples. 
 Resolver esses problemas significa determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 
 
Técnica Operatória 
Representaremos por 



1 2
1 2
a e a os dois valores da grandeza A.
b e b os dois valores da grandeza B.
 
 
Teremos, então, o seguinte esquema: 
Grandeza A Grandeza B 
 a1 ______________ b1 
 a2 ______________ b2 
 
Quando as grandezas A e B são diretamente proporcionais, escrevemos a proporção: 
 1 1
2 2
a b
as razões são iguais
a b
 
 
Quando as grandezas A e B são inversamente proporcionais, escrevemos a proporção: 
  a a1 2
2 1
a b
a 1. razão é igual ao inverso da 2.
a b
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1.
o
 exemplo: Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, produz 100 peças. Quantas peças iguais a essas serão 
produzidas pela máquina em 2h 30min? 
 
Tempo Produção 
40 min _____________ 100 peças 
150 min ____________ x peças (lembrete: 2h 30min = 150 min) 
 
As grandezas são diretamente proporcionais, pois, dobrando-se o tempo de funcionamento, o número de peças 
produzidas também dobrará. 
 
Então: 
40 100
150 x
 
        
15 000
40 x 150 100 40x 15 000 x x 375
40
 
Resposta: Em 2h 30min, a máquina produzirá 375 peças. 
 
2.
o
 exemplo: Para realizar um serviço de terraplenagem, 4 máquinas levam 15 dias. Em quantos dias 6 máquinas iguais 
às primeiras fariam o mesmo serviço? 
N.
o
 de máquinas Tempo 
 4 máq. _________ 15 dias 
 6 máq. _________ x dias 
 
As grandezas são inversamente proporcionais, pois, dobrando-se o número de máquinas, o tempo gasto para fazer o 
mesmo serviço fica reduzido à metade. 
 
Então: 

        
4 x
6 15
60
6 x 4 15 6x 60 x x 10
6
 
 
Resposta: As 6 máquinas fariam o serviço em 10 dais. 
 
 
 
 
 
13 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Estudaremos, agora, problemas que relacionam três ou mais grandezas. 
 
1.
o
 exemplo: 4 operários produzem, em 10 dias, 320 peças de certo produto. Quantas peças desse produto serão 
produzidas por 10 operários em 16 dias? 
 
N.
o
 de operários N.
o
 de dias N.
o
 de peças 
 4 _____________ 10 ______________ 320 
 10 ____________ 16 ______________ x 
 
Para verificar a proporcionalidade, consideremos separadamente a grandeza que possui a incógnita com cada uma das 
outras grandezas. 
 
Assim: 
Número de operários e número de peças são grandezas diretamente proporcionais. 
Número de dias e número de peças são grandezas diretamente proporcionais. 
 
Teremos, então, as razões: 
4 10 320
10 16 x
 
 
Escrevemos a proporção igualando a razão que contém o termo desconhecido com o produto das outras razões: 

320 4
x
1
10

1
10
1
16
     
4
320 1
x 320 4 x 1 280
x 4
 
 
Resposta: Serão produzidas 1 280 peças.2.
o
 exemplo: 18 operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias, 12 
operários que trabalham 9 horas por dia farão serviço idêntico? 
N.
o
 de operários N.
o
 de horas por dias N.
o
 de dias 
 18 _____________ 7 ______________ 12 
 12 _____________ 9 ______________ x 
 
Número de operários e número de dias são grandezas inversamente proporcionais. 
Número de horas por dia e número de dias são grandezas inversamente proporcionais. 
 
As razões são: 

12
18
18 inverso de
12
 , 

9
7
7 inverso de
9
 , 
12
x
 
 
A proporção é: 
12 12
x
6
18
2

1
9
1
7
 
      
12 6 84
6x 84 x x 14
x 7 6
 
 
Resposta: Farão serviço idêntico em 14 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Sabendo que: 
a b c
7 3 2
a b c 16

 

   
 
Calcule os valores de a, b e c 
 
Questão 02 
Dois números estão entre si como 2 está para 1. 
Sabendo que a diferença entre eles é 40, calcule os 
dois números. 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 75. O maior deles está 
para 5, assim como o menor está para 2. Quais são 
esses números? 
 
Questão 04 
Divida: 
a) 357 em partes diretamente proporcionais a 1, 7 e 13; 
b) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6; 
 
Questão 05 
Precisamos repartir R$ 5000,00 entre Marcelo, 7 anos, 
Luciano, 8 anos, e Alexandre, 10 anos, de modo que 
cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. 
Como devemos fazer a divisão? 
 
Questão 06 
Marlene está lendo um livro com 352 página. Em 3 
horas ela já leu 48 páginas. Quanto tempo Marlene vai 
levar para ler o livro todo? 
 
Questão 07 
Três torneiras idênticas, abertas completamente, 
enchem um tanque com água em 2h24min. Se, em vez 
de 3, fossem 5 dessas torneiras, quanto tempo levariam 
para encher o mesmo tanque.? 
 
Questão 08 
Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias são 
necessários 90 kg de ração. Quantos coelhos é possível 
alimentar em 20 dias com 117 kg de ração? 
 
Questão 09 
Para produzir 1 000 livros de 240 páginas, uma editora 
consome 360 Kg de papel. Quantos livros de 320 
páginas é possível fazer com 720 kg de papel? 
 
Questão 10 
Se 12 operários, trabalhando 10 horas diárias, levantam 
um muro de 20 m de comprimento 6 dias, em quanto 
tempo 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, 
levantarão um muro de 30 m com a mesma altura e 
largura do anterior? 
 
 
 
15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Se x – y = 20 e 
x
3
y
 , pode-se dizer corretamente que 
x
2
 + y
2
 vale: 
a) 900 b) 1000 
c) 1100 d) 1200 
 
Questão 02 
Na proporção 
2 6
5 5
x 2 x 4

 
, o valor de x é elemento do 
conjunto: 
a) {–20, –10} 
b) {–5, 1} 
c) {5, 10} 
d) {4, 20} 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 45. O maior deles está 
para 9 assim como o menor está para 4. Logo, o maior 
número é: 
a) 60 
b) 72 
c) 75 
d) 81 
 
Questão 04 
João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou 
com R$ 20000,00 e Maria, com R$ 30000,00. Se ao fim 
de um ano eles obtiverem um lucro de R$ 7500,00, 
quanto vai caber a cada um? 
 
Questão 05 
O relógio de Nanci atrasa 26 segundos a cada 48 horas. 
Quanto vai atrasar em 30 dias? 
 
Questão 06 
Um navio foi abastecido com comida suficiente para 
alimentar 14 pessoas durante 45 dias. Se 18 pessoas 
embarcarem nesse navio, para quantos dias, no 
máximo, as reservas de alimento serão suficientes? 
Questão 07 
Para revestir uma parede de 3 m de comprimento por 
2,25 m de altura, são necessários 300 azulejos. 
Quantos azulejos seriam necessários se a parede 
medisse 4,5 m x 2 m? 
 
Questão 08 
Uma montadora de automóveis demora 8 dia; para 
produzir 200 veículos; trabalhando 9 horas por dia. 
Quantos veículos montará em 15 dias, funcionando 
12 horas por dia? 
 
 
 
 
 
 
16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
 
Questão 09 
Para abrir uma valeta de 50 m de comprimento e 2 m de 
profundidade, 10 operários levam 6 dias. Quantos dias 
serão necessários para abrir 80 m de valeta com 3 m de 
profundidade, dispondo de 16 operários? 
 
Questão 10 
Se 5 homens podem arar um campo de 10 hectares em 
9 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos homens 
serão necessários para arar 20 hectares em 10 dias, 
trabalhando 9 horas por dia? 
 
 
 
*F4. João: R$ 3000,00 ; Maria: R$ 4500,00 
 
 
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GABARITO 
Questões F1 F2 F3 F4 F5 
Respostas 1000 C D * 390 seg. 
Questões F6 F7 F8 F9 F10 
Respostas 35 dias 
400 
azulejos 
500 
9 
dias 
8 homens 
mailto:profraulbrito@hotmail.com
 
17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 2 RAZÃO E PROPORÇÃO