Aula 1 - Matemática Financeira

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<p>1</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>AULA 1</p><p>Prof. Nelson Pereira Castanheira</p><p>2</p><p>CONVERSA INICIAL</p><p>A matemática financeira está a todo momento sendo utilizada por nós, mesmo</p><p>que não percebamos. Por isso a importância de conhecermos como funciona o mundo</p><p>financeiro ou o chamado mercado financeiro.</p><p>É comum ouvirmos a palavra juros e com essa palavra normalmente nos</p><p>assustamos. Por quê? Porque nos imaginamos pagando juros. Mas, se alguém paga,</p><p>alguém recebe. Então, os juros não são ruins para todo mundo. Você, por exemplo,</p><p>pode ter o seu dinheiro numa caderneta de poupança e ela está rendendo juros. Você,</p><p>portanto, está ganhando juros.</p><p>Mas precisamos conhecer os tipos de juros. Precisamos aprender a calculá-</p><p>los.</p><p>Quando você vai comprar algum bem e resolve não comprar à vista, ou seja,</p><p>vai comprar algo em prestações, mesmo que o lojista “jure” que não tem “juro”,</p><p>acredite: tem juro ou o lojista no longo prazo encerraria as suas atividades.</p><p>Mas, antes de entrar no assunto juro, precisamos aprender importantes</p><p>conceitos da matemática comercial, que nos darão a base para o entendimento da</p><p>matemática financeira.</p><p>Que conceitos são esses? Você precisa ter noção clara do que vem a ser razão</p><p>e proporção, bem como precisa saber identificar quando números ou grandezas são</p><p>diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.</p><p>Bons estudos!</p><p>TOP: RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>Você sabe que a divisão entre dois números pode ser representada por uma</p><p>fração. Por exemplo, 10 dividido por 2 por ser assim representado:</p><p>10</p><p>2</p><p>Quando queremos comparar duas grandezas, utilizamos o que a matemática</p><p>define como RAZÃO, que assim definimos: “Razão é o quociente entre dois números”.</p><p>Logo, a representação anterior é uma razão entre 10 e 2, que lemos 10 está</p><p>para 2.</p><p>Genericamente, podemos dizer que a razão entre dois números A e B é</p><p>A</p><p>B</p><p>, que</p><p>lemos A está para B.</p><p>3</p><p>Por exemplo, se queremos comparar a quantidade de alunas do sexo feminino</p><p>e alunos do sexo masculino em uma sala de aula que tenha 45 alunos, podemos</p><p>representar M como o número de alunos do sexo masculino e F como o número de</p><p>alunos do sexo feminino. Suponhamos que nessa turma de 45 alunos tenhamos 25</p><p>alunas do sexo feminino e 20 alunos do sexo masculino. Então, a razão entre M e F</p><p>será</p><p>20</p><p>25</p><p>.</p><p>Importante você observar que o valor do numerador da fração é chamado de</p><p>antecedente e o valor do denominador da fração é chamado de consequente. No</p><p>exemplo anterior, o antecedente vale 20 e o consequente vale 25 e nós lemos 20 está</p><p>para 25.</p><p>Podemos analisar mais exemplos.</p><p>a) A razão 3/4 nós lemos 3 está para 4; 3 é o antecedente e 4 é o consequente;</p><p>b) A razão x/6 nós lemos x está para 6; x é o antecedente e 6 é o consequente;</p><p>c) A razão 2/y nós lemos 2 está para y; 2 é o antecedente e y é o consequente.</p><p>1.1 Valor de uma razão</p><p>Sabemos que uma razão é um quociente. Então, se realizarmos a divisão do</p><p>valor do numerador pelo valor do denominador teremos um resultado. Esse resultado</p><p>é o valor da razão.</p><p>Por exemplo, o valor da razão</p><p>20</p><p>25</p><p>é 0,8; o valor da razão</p><p>3</p><p>4</p><p>é 0,75; o valor da</p><p>razão</p><p>48</p><p>6</p><p>é 8; e assim por diante.</p><p>1.2 Razões inversas</p><p>Dizemos que duas razões são inversas quando o produto delas é igual a 1. Por</p><p>exemplo, suponhamos as razões</p><p>5</p><p>8</p><p>e</p><p>8</p><p>5</p><p>. Para sabermos se elas são razões inversas,</p><p>precisamos realizar a multiplicação entre as duas. Temos então que:</p><p>5</p><p>8</p><p>.</p><p>8</p><p>5</p><p>=</p><p>40</p><p>40</p><p>= 1</p><p>Então, elas são razões inversas.</p><p>De forma genérica, podemos dizer que duas razões são inversas quando o</p><p>antecedente da primeira for igual ao consequente da segunda e o antecedente da</p><p>segunda for igual ao consequente da primeira.</p><p>Podemos analisar mais exemplos:</p><p>4</p><p>a)</p><p>13</p><p>4</p><p>e</p><p>4</p><p>13</p><p>são razões inversas, pois</p><p>13</p><p>4</p><p>.</p><p>4</p><p>13</p><p>=</p><p>52</p><p>52</p><p>= 1.</p><p>b)</p><p>10</p><p>12</p><p>e</p><p>12</p><p>10</p><p>são razões inversas, pois</p><p>10</p><p>12</p><p>.</p><p>12</p><p>10</p><p>=</p><p>120</p><p>120</p><p>= 1.</p><p>c)</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>e</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>são razões inversas, pois</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>.</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>7𝑥</p><p>7𝑥</p><p>= 1.</p><p>1.3 Razões iguais</p><p>Já aprendemos a calcular o valor de uma razão. Basta efetuarmos a divisão do</p><p>número que está no numerador pelo número que está no denominador da fração que</p><p>representa a razão.</p><p>Por exemplo, o valor da razão</p><p>10</p><p>5</p><p>é 2 porque 10 dividido por 5 é igual a 2 e o</p><p>valor da razão</p><p>54</p><p>27</p><p>é 2 porque 54 dividido por 27 é igual a 2. Logo, podemos afirmar que</p><p>as razões</p><p>10</p><p>5</p><p>e</p><p>54</p><p>27</p><p>são iguais.</p><p>Então, para verificarmos se duas ou mais razões são iguais, basta efetuarmos</p><p>o cálculo dos valores dessas razões e compararmos os resultados obtidos. Vejamos</p><p>um exemplo.</p><p>As razões</p><p>30</p><p>6</p><p>,</p><p>10</p><p>2</p><p>e</p><p>20</p><p>4</p><p>são iguais porque os seus valores são iguais. Vejamos:</p><p>30</p><p>6</p><p>= 5</p><p>10</p><p>2</p><p>= 5</p><p>20</p><p>4</p><p>= 5</p><p>Logo,</p><p>30</p><p>6</p><p>=</p><p>10</p><p>2</p><p>=</p><p>20</p><p>4</p><p>= 5.</p><p>1.4 Razões entre duas grandezas</p><p>A razão entre duas grandezas poderá ocorrer entre grandezas de mesma</p><p>espécie ou entre grandezas de espécies diferentes.</p><p>Caso estejamos analisando a razão entre grandezas de mesma espécie, é</p><p>importante lembrar que as duas grandezas deverão ter a mesma unidade de medida.</p><p>Por exemplo, se estamos analisando a razão entre as idades de duas pessoas, ou</p><p>ambas estão fornecidas em anos ou ambas estão fornecidas em meses. Ou seja, não</p><p>posso ter a idade de uma pessoa fornecida em anos e a da outra pessoa fornecida</p><p>em meses. Como outro exemplo, a razão entre o volume de uma caixa de leite cuja</p><p>5</p><p>capacidade é de um litro e a de uma caixa d’água cuja capacidade é 800 litros, é</p><p>1</p><p>800</p><p>.</p><p>Essa razão nos lemos um está para oitocentos.</p><p>Caso estejamos analisando a razão entre duas grandezas de espécies</p><p>diferentes, as unidades das duas grandezas deverão ser mencionadas. Por exemplo,</p><p>estamos representando a razão entre a quantidade de água despejada por uma</p><p>torneira (em litros) e o tempo (em minutos). A essa razão damos o nome de vazão e</p><p>representamos assim:</p><p>Vazão = 4 litros = 4 l/min</p><p>1 minuto</p><p>1.5 Proporção</p><p>Uma proporção nada mais é que a igualdade entre duas razões. Vimos no</p><p>capítulo 1.3 que</p><p>10</p><p>2</p><p>=</p><p>20</p><p>4</p><p>. Essa igualdade é uma proporção, que lemos dez está para</p><p>dois assim como vinte está para quatro.</p><p>De forma genérica, se temos uma razão</p><p>A</p><p>B</p><p>e outra razão</p><p>C</p><p>D</p><p>, dizemos que elas</p><p>formam uma proporção se</p><p>A</p><p>B</p><p>=</p><p>C</p><p>D</p><p>. Aos termos A e D chamamos de extremos e aos</p><p>valores B e C chamamos de meios e lemos A está para B assim como C está para D.</p><p>1.6 Propriedade fundamental das proporções</p><p>Segundo Castanheira e Macedo (2010, p. 228), “Em qualquer proporção, o</p><p>produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Essa é a propriedade</p><p>fundamental das proporções, que nos permite calcular um dos quatro termos, quando</p><p>ele é desconhecido.</p><p>Resolvemos problemas dessa natureza, fazendo a multiplicação em “X”.</p><p>Vejamos alguns exemplos.</p><p>a) Calcular o valor de m na proporção</p><p>10</p><p>𝑚</p><p>=</p><p>50</p><p>10</p><p>.</p><p>Aplicando a propriedade fundamental, ou seja, multiplicando em X, temos que:</p><p>50 . m = 10 . 10  50 . m = 100  m =</p><p>100</p><p>50</p><p> m = 2</p><p>b) Calcular o valor de y na proporção</p><p>𝑦</p><p>6</p><p>=</p><p>30</p><p>10</p><p>.</p><p>Aplicando a propriedade fundamental, ou seja, multiplicando em X, temos que:</p><p>y . 10 = 6 . 30  y . 10 = 180  y =</p><p>180</p><p>10</p><p> y = 18</p><p>6</p><p>ROLÊ 1 - NÚMEROS E GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS</p><p>Outro conceito muito importante que precisamos conhecer é o de sucessão de</p><p>números e de grandezas que são diretamente proporcionais.</p><p>2.1 Números diretamente proporcionais</p><p>Ao analisarmos duas secessões de números, como saber se elas são</p><p>diretamente proporcionais?</p><p>Primeiramente, identifique com clareza quais são as duas sucessões de</p><p>números a analisar. Imaginemos que queremos estabelecer a relação entre o número</p><p>de pneus e a quantidade de automóveis de passeio. Temos que:</p><p>Automóveis: 1 2 3 4</p><p>Pneus: 4 8 12 16</p><p>Depois, vamos estabelecer as razões entre esses números,</p><p>mantendo a</p><p>correspondência entre eles. Temos que:</p><p>1</p><p>4</p><p>,</p><p>2</p><p>8</p><p>,</p><p>3</p><p>12</p><p>,</p><p>4</p><p>16</p><p>Por último, vamos calcular o valor de cada uma dessas razões. Se todas</p><p>tiverem o mesmo valor, então as sucessões de números são diretamente</p><p>proporcionais. Temos que:</p><p>1</p><p>4</p><p>= 0,25</p><p>2</p><p>8</p><p>= 0,25</p><p>3</p><p>12</p><p>= 0,25</p><p>4</p><p>16</p><p>= 0,25</p><p>Como a razão é constante, no caso igual a 0,25, dizemos que as sucessões de</p><p>números que representam a quantidade de automóveis de passeio e o número de</p><p>pneus são diretamente proporcionais.</p><p>Duas observações importantes:</p><p>a) Esse valor de cada razão, que no exemplo é 0,25, é o denominado fator de</p><p>proporcionalidade;</p><p>b) Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as</p><p>razões entre os correspondentes números são iguais.</p><p>2.2 Grandezas diretamente proporcionais</p><p>7</p><p>Vamos agora analisar grandezas que sejam diretamente proporcionais.</p><p>Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais se, ao</p><p>aumentarmos o valor de uma delas, o valor da outra também aumenta. Em</p><p>consequência, se diminuirmos o valor de uma das grandezas, o valor da outra</p><p>grandeza também diminui.</p><p>Conceitualmente é fácil verificar essa condição. Por exemplo, se uma caneta</p><p>custa R$ 5,00, é fácil entendermos que aumentarmos a quantidade de canetas</p><p>também aumentaremos o valor a pagar por elas. Outro exemplo: se a uma velocidade</p><p>constante um carro leva uma hora para percorrer certa distância, sabemos que na</p><p>mesma velocidade ele levará o dobro do tempo para percorrer o dobro da distância</p><p>anterior. E assim por diante. Assim, verificamos que as grandezas preço e número de</p><p>canetas são diretamente proporcionais, assim como as grandezas tempo e distância</p><p>são diretamente proporcionais, considerando os dois exemplos anteriores.</p><p>Imaginemos que queremos analisar as grandezas quantidade de pães</p><p>produzidos em uma padaria e o tempo para a produção desses pães, que é função</p><p>do tamanho do forno disponível.</p><p>Quantidade de pães: 400 800 1200 1600</p><p>Tempo gasto (horas): 1 2 3 4</p><p>Vamos estabelecer as razões entre os valores dessas duas grandezas,</p><p>mantendo a correspondência entre eles. Temos que:</p><p>400</p><p>1</p><p>,</p><p>800</p><p>2</p><p>,</p><p>1200</p><p>3</p><p>,</p><p>1600</p><p>4</p><p>Vamos calcular o valor de cada uma dessas razões. Se todas tiverem o mesmo</p><p>valor, então as grandezas são diretamente proporcionais. Temos que:</p><p>400</p><p>1</p><p>= 400 pães por hora</p><p>800</p><p>2</p><p>= 400 pães por hora</p><p>1200</p><p>3</p><p>= 400 pães por hora</p><p>1600</p><p>4</p><p>= 400 pães por hora</p><p>Como as sucessões de números são diretamente proporcionais, as grandezas</p><p>correspondentes são diretamente proporcionais.</p><p>Duas observações importantes:</p><p>c) Esse valor de cada razão, que no exemplo é 400, é o denominado fator de</p><p>proporcionalidade;</p><p>8</p><p>d) Duas grandezas são diretamente proporcionais quando as razões entre os</p><p>correspondentes números são iguais; quando um dos números cresce ou</p><p>diminui, o outro número também cresce ou diminui, respectivamente.</p><p>Resumidamente:</p><p>Aumentou quantidade  Aumentou o preço  Grandezas são</p><p>de alimento a ser pago diretamente proporcionais</p><p>Diminuiu quantidade  Diminuiu o preço  Grandezas são</p><p>de alimento a ser pago diretamente proporcionais</p><p>ROLÊ 2 - NÚMEROS E GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS</p><p>Outro conceito igualmente importante que precisamos conhecer é o de</p><p>sucessão de números e de grandezas que são inversamente proporcionais.</p><p>3.1 Números inversamente proporcionais</p><p>Ao analisarmos duas secessões de números, como saber se elas são</p><p>inversamente proporcionais?</p><p>Primeiramente, identifique com clareza quais são as duas sucessões de</p><p>números a analisar. Imaginemos que queremos estabelecer a relação entre o número</p><p>de bombons a distribuir entre certa quantidade de crianças e o número de crianças</p><p>que poderá variar de uma a quatro.</p><p>Para sabermos se essas duas sucessões de números são inversamente</p><p>proporcionais, devemos:</p><p>a) primeiro, estabelecemos uma correspondência entre os números das duas</p><p>sucessões; suponhamos que temos 48 bombons disponíveis e que fizemos</p><p>a distribuição como representado a seguir:</p><p>Bombons: 48 24 16 12</p><p>Crianças: 1 2 3 4</p><p>b) depois, ao observarmos que as razões são diferentes, ou seja,</p><p>48</p><p>1</p><p>≠</p><p>24</p><p>2</p><p>(logo,</p><p>não são sucessões de números diretamente proporcionais), vamos efetuar</p><p>9</p><p>o produto dos números correspondentes e verificar se os resultados são</p><p>iguais:</p><p>1 . 48 = 2 . 24 = 3 . 16 = 4 . 12 = 48</p><p>c) por último, precisamos verificar se esses produtos são iguais, ou seja, de</p><p>valor constante; se os produtos forem iguais, as sucessões de números são</p><p>inversamente proporcionais; no caso, todos são iguais a 48.</p><p>Quando o produto é constante, as duas sucessões de números são</p><p>inversamente proporcionais e o valor do produto, que no caso é igual a 48, nós</p><p>denominamos de fator de proporcionalidade. Observe que 3 . 16 =</p><p>3</p><p>1/16</p><p>3.2 Grandezas inversamente proporcionais</p><p>Vamos agora analisar grandezas que sejam inversamente proporcionais.</p><p>Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais se, ao</p><p>aumentarmos o valor de uma delas, o valor da outra diminui. Em consequência, se</p><p>diminuirmos o valor de uma das grandezas, o valor da outra grandeza aumenta.</p><p>Por exemplo, para percorrer certa distância a uma velocidade média de 45</p><p>quilômetros por hora, um automóvel leva quatro horas. Ao dobrar a velocidade média</p><p>para 90 quilômetros por hora, esse mesmo automóvel percorrerá essa mesma</p><p>distância na metade do tempo, ou seja, em duas horas.</p><p>Ou seja, ao aumentar a grandeza velocidade, diminuímos a grandeza tempo.</p><p>Então, elas são grandezas inversamente proporcionais.</p><p>Observe que os produtos dessas grandezas são iguais:</p><p>45 . 4 = 90 . 2 = 180</p><p>Então, as grandezas correspondentes são inversamente proporcionais.</p><p>Resumidamente:</p><p>Aumentou velocidade  Diminuiu o tempo  Grandezas são</p><p>do veículo gasto inversamente proporcionais</p><p>Diminuiu velocidade  Aumentou o tempo  Grandezas são</p><p>do veículo gasto inversamente proporcionais</p><p>TRILHA 1 - EXERCÍCIOS SOBRE RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>1. Calcular o valor das razões:</p><p>10</p><p>a)</p><p>42</p><p>7</p><p>b)</p><p>6</p><p>30</p><p>c)</p><p>100</p><p>0,1</p><p>d)</p><p>1</p><p>1000</p><p>e)</p><p>828</p><p>6</p><p>2. Qual a razão inversa da razão:</p><p>a)</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>b)</p><p>4</p><p>17</p><p>c)</p><p>25</p><p>9</p><p>3. Verificar se as razões a seguir formam uma proporção:</p><p>a)</p><p>25</p><p>10</p><p>=</p><p>15</p><p>6</p><p>b)</p><p>12</p><p>9</p><p>=</p><p>24</p><p>15</p><p>4. Calcular o valor desconhecido nas proporções a seguir:</p><p>a)</p><p>20</p><p>14</p><p>=</p><p>10</p><p>𝑥</p><p>b)</p><p>𝑦</p><p>12</p><p>=</p><p>15</p><p>6</p><p>c)</p><p>25</p><p>10</p><p>=</p><p>𝑚</p><p>5</p><p>TRILHA 2 - EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS E GRANDEZAS DIRETAMENTE E</p><p>INVERSAMENTE PROPORCIONAIS</p><p>5. Dois skates completos, para iniciantes, estão sendo vendidos por R$ 338,00. Qual</p><p>o preço de cinco skates iguais a esses?</p><p>6. Uma fábrica de sapatos tem uma máquina que produz 48 pares de determinado</p><p>modelo por hora. Quantos pares desse mesmo modelo essa máquina produzirá em</p><p>três horas e meia?</p><p>7. Uma piscina leva 8 horas para ser enchida com 30 torneiras, onde cada têm uma</p><p>vazão de 300 litros por hora. Em quantas horas essa mesma piscina ficará cheia se</p><p>10 dessas torneiras não estiverem funcionando?</p><p>8. Temos 36 carrinhos para distribuir entre um grupo de 4 crianças. As sucessões de</p><p>números de carrinhos e da quantidade de crianças são direta ou inversamente</p><p>proporcionais?</p><p>11</p><p>ELO</p><p>Estudamos a base da matemática comercial e financeira, iniciando com os</p><p>conceitos de razão e proporção. A partir do entendimento desses conceitos,</p><p>estudamos números e grandezas diretamente e inversamente proporcionais.</p><p>Agora, estamos prontos para aprender regra de três simples e regra de três</p><p>composta e, na sequência, uma análise detalhada da parte financeira.</p><p>Você conhece bem regra de três?</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial e</p><p>financeira. 2. ed. Curitiba: Editora Ibpex, 2008.</p><p>CASTANHEIRA, Nelson Pereira; Macedo, Luiz Roberto Dias de. Matemática</p><p>financeira aplicada. 3. ed. Curitiba: Editora Ibpex, 2010.</p><p>CASTANHEIRA, Nelson P.; SERENATO, Verginia S. Matemática financeira &</p><p>análise financeira para todos os níveis. 3. ed. Curitiba; Editora Juruá, 2014.</p><p>RESPOSTAS</p><p>1.</p><p>a) 6</p><p>b) 0,2</p><p>c) 1000</p><p>d) 0,001</p><p>e) 138</p><p>2.</p><p>a)</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>b)</p><p>17</p><p>4</p><p>c)</p><p>9</p><p>25</p><p>3.</p><p>a) SIM</p><p>b) NÃO</p><p>12</p><p>4.</p><p>a) x = 7</p><p>b) y = 30</p><p>c) m = 12,5</p><p>5. R$ 845,00</p><p>6. 168 pares</p><p>7. 12 horas</p><p>8. Inversamente proporcionais.</p>