aula03

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3ºAula
Modelos lineares de otimização
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
•  conhecer como aplicar a Pesquisa Operacional em problemas de planejamento urbano;
•  conhecer como aplicar a Pesquisa Operacional em problemas de investimento;
•  conhecer como aplicar a Pesquisa Operacional em problemas de planejamento de produção;
•  conhecer como aplicar a Pesquisa Operacional em problemas de indústria química, de alimentos ou de base, que 
tenham problemas de mistura de matérias-primas.
Prezados(as) alunos(as),
Nesta terceira aula, estudaremos os principais modelos 
lineares de otimização. Esses modelos representam a maior 
parte das aplicações de PL e consequentemente de PO que os 
profissionais encontram no dia a dia.
Bons estudos!
26Pesquisa Operacional
Seções de estudo
1 - Modelagem em planejamento urbano
2 - Modelagem em investimento
3 - Programação linar e planejamento de produção 
4 – Probelma da mistura e refi nação
1 - Modelagem em planejamento 
urbano
Planejamento urbano trata de três áreas gerais: 1) 
construção de novos projetos habitacionais; 2) recuperação 
de áreas habitacionais e recreacionais urbanas deterioradas; 
e 3) planejamento de instalações públicas (como escolas e 
aeroportos). As restrições associadas com esses projetos 
são tanto econômicas (terreno, construção, fi nanciamento) 
quanto sociais (escolas, parques, nível de renda). Os objetivos 
do planejamento urbano variam. No desenvolvimento de 
projetos habitacionais, de modo geral o lucro é o motivo 
para a consecução do projeto. Nas duas categorias restantes, 
os objetivos envolvem considerações sociais, políticas, 
econômicas e culturais. A seguir veremos um exemplo 
de como modelar um problema de planejamento urbano, 
adicionando as restrições e objetivos nas equações de PL. 
1.1 – Exemplo de Modelo de 
renovação urbana
A seguir, veremos um exemplo resolvido baseado 
em Taha (2008). A cidade de Dourados enfrenta uma séria 
carência orçamentária. Em busca de uma solução de longo 
prazo, a câmara de vereadores da cidade aprova uma melhoria 
da base de cobrança de impostos que prevê a condenação de 
uma área habitacional do centro da cidade e sua substituição 
por um conjunto habitacional moderno. O projeto envolve 
duas fases: 1) demolição das casas que estão aquém do padrão 
para liberar terreno para o novo projeto; e 2) construção do 
novo conjunto urbano. A seguir daremos um resumo da 
situação.
1. Um total de 300 casas aquém do padrão podem ser 
demolidas. Cada casa ocupa um lote de 0,25 acres. 
O custo da demolição de uma casa condenada é de 
$ 2.000.
2. Os tamanhos de lotes para domicílios (unidades) 
simples, duplos, triplos e quádruplos são de 0,18; 
0,28; 0,4 e 0,5 acres, respectivamente. Ruas, espaços 
abertos e instalações públicas ocupam 15% da área 
disponível.
3. No novo conjunto habitacional, as unidades triplas 
e quádruplas representam no mínimo 25% do total. 
Unidades simples devem representar no mínimo 
20% de todas as unidades, e unidades duplas, no 
mínimo 10%.
4. O imposto cobrado por unidade para unidades 
simples, duplas, triplas e quádruplas é de $ 1.000, $ 
1.900, $ 2.700 e $ 3.400, respectivamente.
5. O custo da construção por unidade domiciliar 
simples, dupla, tripla e quádrupla é de $ 50.000, $ 
70.000. $ 130.000 6 $ 160.000, respectivamente. O 
fi nanciamento acordado com um banco local será 
de no máximo $ 15 milhões.
Quantas unidades de cada tipo devem ser construídas 
para maximizar a arrecadação de impostos?
 Modelo matemático. Além de determinar o número 
de unidades de cada tipo a ser construído, precisamos também 
decidir quantas casas devem ser demolidas para liberar espaço 
para o novo projeto habitacional. Assim, as variáveis do 
problema podem ser defi nidas da seguinte maneira:
x1 = número de unidades simples
x2 = número de unidades duplas
x3 = número de unidades triplas
x4 = número de unidades quádruplas
x5 = número de casas antigas a demolir
 O objetivo é maximizar a arrecadação de impostos 
de todos os quatro tipos de residências, isto é, 
Maximizar z = 1.000x1 + 1.900x2 + 2.700x3 + 3.400x4
A primeira restrição do problema trata da disponibilidade 
de terreno. 
Área usada para construção de novas casa ≤ Área líquida 
disponível
Pelos dados do problema, temos:
Área necessária para novas casas = 0,18x1 + 0,28x2 + 
0,4x3 + 0,5x4
Para determinar a área disponível, cada casa demolida 
ocupa um lote de 0,25 acres, o que resulta em um total de 
0,25x5 acres. Deixando 15% para espaços abertos, ruas e 
instalações públicas, a área líquida disponível é 0,85(0,25x5) = 
0,2125x5. A restrição resultante é: 
0,18x1 + 0,28x2 + 0,4x3 + 0,5x4 ≤ 0,2125x5 
Ou:
0,18x1 + 0,28x2 + 0,4x3 + 0,5x4 - 0,2125x5 ≤ 0
O número de casas demolidas não pode exceder 300, o 
que é expresso como:
x5 ≤ 300
 Em seguida, adicionamos as restrições que limitam o 
número de unidades de cada tipo de casa. 
(Número de unidades simples) (20% do total de unidades)
(Número de unidades duplas) (10% do total de unidades)
(Número de unidades triplas e quádruplas) (25% do total 
de unidades)
Essas restrições são expressas matematicamente como:
x1 ≥ 0,2(x1 + x2 + x3 + x4)
x2 ≥ 0,1(x1 + x2 + x3 + x4)
x3 + x4 ≥ 0.25(x1+ x2 + x3 + x4)
A única restrição restante trata de manter o custo de 
demolição/construção dentro do orçamento permitido, isto 
é, 
(Custo de demolição e construção) ≤ (Orçamento 
disponível)
Exprimindo todos os custos em milhares de dólares, 
obtemos: 
(50x1 + 70x2 + 130x3 + 160x4) + 2x5 ≤ 15.000
Assim, o modelo completo se torna:
27
Maximizar z = l.000x1 + 1.900x2 + 2.700x3 + 3.400x4
sujeito a:
0,18x1 + 0,28x2 + 0,4x3 + 0,5x4 - 0,2125x5 ≤ 0
x5 ≤ 300
-0,8x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,2x4 ≤ 0
0,1x1 – 0,9x2 + 0,1x1 + 0,1x4 ≤ 0
0,25x1 + 0,25x2 - 0,75x3 - 0,75x4 ≤ 0
50x1 + 70x2 + 130x3 + 160x4 + 2x5 ≤ 15.000
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Solução:
A solução ótima (usando o solver), tendo:
Arrecadação total de impostos = z = $ 343.965
Número de unidades residenciais simples = x1 = 35,83 
≅	36 unidades
Número de unidades residenciais duplas = x2 = 98,53 ≅	
99 unidades
Número de unidades residenciais triplas = x3 = 44,79 ≅	
45 unidades
Número de unidades residenciais quádruplas = x4 = 0 
unidades
Número de casas demolidas = x5 = 244,49 ≅ 245 
unidades
 
2 - Modelagem em investimento
Hoje, há inúmeras oportunidades de investimento 
disponíveis para os investidores. Exemplos de problemas 
de investimento são orçamentos de capital para projetos, 
estratégia de investimentos em títulos, seleção de carteira de 
ações e determinação da política de empréstimos bancários. 
Em muitas dessas situações, a programação linear pode ser 
usada para selecionar o mix ótimo de oportunidades que 
maximizará o retorno, atendendo às condições estabelecidas 
pelo investidor.
2.1 - Modelo de política de 
empréstimo
Nesse exemplo, adaptado de Taha (2008), temos o 
Banco do Brasileiro, que está em processo de elaboração de 
uma política de empréstimo que envolve um máximo de $ 12 
milhões. A Tabela 1 apresenta os dados pertinentes aos tipos 
de empréstimos disponíveis.
 
Tabela 1: Empréstimos disponíveis no Banco do 
Brasileiro
Tipo de empréstimo Taxa de juros Taxa de inadimplência
Pessoal 0,140 0,10
Automóvel 0,130 0,07
Habitacional 0,120 0,03
Agrícola 0,125 0,05
Comercial 0,100 0,02
Fonte: adaptado de Taha (2008).
A concorrência com outras instituições fi nanceiras 
requer que o banco destine no mínimo 40% dos fundos 
a créditos agrícola e comercial. Para auxiliar o setor de 
construção de residências da região, a quantia destinada 
ao crédito habitacional deve ser igual a no mínimo 50% 
dos empréstimos pessoais para aquisição de automóveis e 
aquisição habitacional. O banco também estabeleceu uma 
política de não permitir que a taxa global de inadimplência 
sobre todos os empréstimos exceda 4% (TAHA, 2008).
Modelo matemático. A situação procura determinar a 
quantidade de empréstimos em cada categoria, o que resulta 
nas seguintes defi nições das variáveis:x1 = empréstimos pessoais (em milhões de dólares)
x2 = empréstimos para compra de automóveis
x3 = empréstimos habitacionais
x4 = empréstimos agrícolas
x5 = empréstimos comerciais
O objetivo do Banco do Brasileiro é maximizar seu 
retorno líquido, que é a diferença entre receita de juros e 
créditos inadimplentes. A receita de juros é obtida somente 
com base em empréstimos em boa posição. Portanto, como 
10% dos empréstimos pessoais são créditos inadimplentes, o 
banco receberá juros sobre apenas 90% do valor emprestado 
— isto é, receberá 14% de juros sobre 0,9x1 do empréstimo 
original, x1. O mesmo raciocínio é aplicado aos outros quatro 
tipos de empréstimos. Assim,
 Total de juros
= 0,14(0.9x1) + 0,13(0,93x2) + 0,12(0,97x3) + 
0,125(0,95x4) + 0,1 (0.98x5)
= 0,126x1 + 0,1209x2 + 0,1164x3 + 0,11875x4 + 0,098x5
Também temos:
Créditos inadimplentes = 0,1x1 + 0,07x2 + 0,03x3 + 
0,05x4 + 0,02x5
Ainda seguindo a linha de Taha (2008), a função objetivo 
é expressa como Maximizar z = Total de juros - Créditos 
inadimplentes: 
= (0,126x1 + 0,1209x2 + 0,1164x3 + 0,11875x4 + 
0,098x5) - (0,1x1 + 0,07x2 + 0,03x3 + 0,05x4 + 0,02x5)
= 0,026x1 + 0,0509x2 + 0,0864x3 + 0,06875x4 + 0,078x5
O problema tem cinco restrições:
1. O total de fundos não deve exceder $ 12 (milhões)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 12
2. Os empréstimos agrícolas e comerciais são iguais a 
no mínimo 40% de todos os empréstimos
x4 + x5 ≤ 0,4(x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
 ou
0,43x1 + 0,4x2 + 0,4x3 - 0,6x4 - 0,6x5 ≥ 0
3. O crédito habitacional deve ser igual a no mínimo 
50% dos empréstimos pessoais, para compra de 
automóveis e habitacional
x3 ≥ 0,5(x1 + x2 + x3)
 ou
0,5x1 + 0,5x2 - 0,5x3 ≤ 0
4. Créditos inadimplentes não devem exceder 4% de 
todos os empréstimos
28Pesquisa Operacional
0,1x1 + 0,07x2 + 0,03x3 + 0,05x4 + 0,02x5 ≤ 0,04(x1 + x2 
+ x3 + x4 + x5)
 ou
0,06x1 + 0,03x2 - 0,01x3 + 0,01x4 - 0,02x5 ≤ 0
5. Não-negatividade
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Uma premissa sutil adotada na formulação precedente é 
que todos os empréstimos são concedidos aproximadamente 
ao mesmo tempo. Essa premissa nos permite ignorar 
diferenças no valor tempo dos fundos alocados aos diferentes 
empréstimos (TAHA, 2008). 
Solução
A solução ótima é z = 0,99648; x1 = 0; x2 = 0; x3 = 7,2; 
x4 = 0; x5 = 4,8
3 -Programação linar e planejamento 
de produção
Há inúmeras aplicações de PL em controle da produção 
e de estoque. Indo desde a simples alocação de capacidade de 
máquina para atender à demanda até o caso mais complexo 
da utilização de estoque para “atenuar” o efeito da mudança 
imprevisível na demanda para determinada projeção de 
planejamento e da utilização de contratação e demissão para 
enfrentar as mudanças nas necessidades de mão de obra. Esta 
aula apresenta dois exemplos. O primeiro trata da programação 
de produtos usando as instalações normais de produção para 
atender à demanda durante um único período; o segundo 
trata da utilização do estoque em um sistema de produção 
que abrange vários períodos para atender à demanda futura 
(TAHA, 2008).
3.1 - Modelo de produção para um 
único período
Como precaução para o inverno, uma empresa de 
confecção está fabricando parcas e casacos com enchimento 
de penas de ganso, calças com isolamento térmico e luvas. 
Todos os produtos são fabricados em quatro departamentos 
diferentes: corte, isolamento térmico, costura e embalagem. 
A empresa recebeu pedidos fechados para seus produtos. 
O contrato estipula uma multa para itens não entregues. A 
Tabela 2 mostra os dados pertinentes à situação.
Tabela 2: Dados para a produção da confecção
  Tempo por unidade (h)  
Departamento
Parca
Penas 
de 
ganso
Calças Luvas Capacidade (h)
Corte 0,30 0,30 0,25 0,15 1000
Isolamento 0,25 0,35 0,30 0,10 1000
Costura 0,45 0,50 0,40 0,22 1000
Embalagem 0,15 0,15 0,10 0,05 1000
Demanda 800 750 600 500
Lucro por 
unidade ($) 30 40 20 10
Multa por 
unidade ($) 15 20 10 8  
Fonte: Taha (2008). 
Elabore um plano ótimo de produção para a empresa. 
Modelo matemático. A defi nição das variáveis é direta. Seja
x1 = número de parcas
x2 = número de jaquetas com enchimento de penas de 
ganso
x3 = número de calças
x4 = número de pares de luvas
Ainda seguindo a linha de raciocínio de Taha (2008), a 
empresa é multada se não atender à demanda. O que signifi ca 
que o objetivo do problema e maximizar as receitas líquidas, 
defi nidas como
Receitas líquidas = Lucro total - Multa total
O lucro total é expresso como 30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4. 
A multa total é uma função das quantidades não fornecidas (= 
Demanda — Unidades fornecidas de cada produto) (TAHA, 
2008). Essas quantidades podem ser determinadas pelos 
seguintes limites de demanda: 
x1 ≤ 800, x2 ≤ 750, x3 ≤ 600, x4 ≤ 500
Uma demanda não é atendida se sua restrição for 
satisfeita como uma desigualdade. Por exemplo, se forem 
produzidas 650 parcas, então x1 = 650, o que resulta em 800 
- 650 = 150 parcas a menos. Podemos expressar a falta de 
qualquer produto algebricamente com a defi nição de uma 
nova variável não negativa, ou seja, 
sj = Número de unidades faltantes do produto j,j = 1, 
2, 3, 4 
Nesse caso, as restrições da demanda podem ser 
expressas como
 x1 + s1 = 800, x2 + s2 = 750, x3 + s3 = 600, x4 + s4 
= 500 
xj ≥ 0, sj ≥ 0, j = 1,2,3,4
Agora podemos calcular a multa por produto não 
entregue como 15s1 + 20s2 + 10s3 + 8s4. Assim, a função 
objetivo pode ser escrita como
Maximizar z = 30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 - (15s1 + 20s2 
+ 10s3 + 8s4)
Para completar o modelo, as restrições restantes tratam 
das capacidades de produção, ou seja
0,30x1 + 0,30x2 + 0,25x3 + 0,15x4 ≤ 1.000 (Corte)
0,25x1 + 0,35x2 + 0,30x3 + 0,10x4 ≤ 1.000 (Isolamento)
0.45x1 + 0,50x2 + 0,40x3 + 0.22x4 ≤ 1.000 (Costura)
0,15x1 + 0,5x2 + 0,10x3 + 0,05x4 ≤ 1.000 (Embalagem)
Portanto, o modelo completo se torna
Maximizar z = 30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 - (15s1 + 20s2 
+ 10s3 + 8s4)
Sujeito a:
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0,30x1 + 0,30x2 + 0,25x3 + 0,15x4 ≤ 1.000 
0,25x1 + 0,35x2 + 0,30x3 + 0,10x4 ≤ 1.000 
0.45x1 + 0,50x2 + 0,40x3 + 0.22x4 ≤ 1.000 
0,15x1 + 0,5x2 + 0,10x3 + 0,05x4 ≤ 1.000 
x1 + s1 = 800, x2 + s2 = 750, x3 + s3 = 600, x4 + s4 = 500 
xj ≥ 0, sj ≥ 0, j = 1,2,3,4
Solução:
A solução ótima é z = $ 64.625, x1 = 850, x2 = 750, x3 = 
387,5, x4 = 500, s1 = s2 = s4 = 0, s3 = 212,5. A solução satisfaz 
toda a demanda por ambos os tipos de jaquetas (parcas e de 
penas de ganso) e por luvas. A ausência de 213 (arredondada 
de 212.5) calças resultará em um custo de multa de 213 x 10 = 
$ 2.130 (TAHA, 2008). 
3.2 - Modelo de produção e estoque 
para vários períodos
Novamente usaremos os estudos de Taha (2008) para 
exemplificar mais esse cenário de planejamento de produção. 
A Esquadril CO firmou um contrato para entrega de janelas 
de casa para os próximos seis meses. As demandas para 
cada mês são de 100, 250. 190, 140, 220 e 110 unidades, 
respectivamente. O custo de produção por janela varia de mês 
para mês, dependendo do custo da mão de obra, do material e 
de utilidades. A empresa estima que o custo de produção por 
janela nos próximos seis meses seja $ 50, $ 45, $ 55, $ 48, $ 52 
e $ 50, respectivamente.
Para aproveitar a vantagem das variações no custo 
de fabricação, a Acme pode optar por produzir mais do 
que o necessário em determinado mês e reter as unidades 
excedentes para entregar em meses posteriores. Entretanto, 
isso incorrerá em custos de armazenagem de $ 8 por janela, 
por mês, considerando o estoque no final do mês.
Desenvolva um modelo de programação linear para 
determinar a programação ótima de produção. 
Modelo matemático. As variáveis do problema incluem a 
quantidade de produção mensal e o estoque no final do mês. 
Para i = 1, 2,..., 6,
Seja
xi = número de unidades produzidas no mês í
Ii = número de unidades deixadas no estoque no final 
do mês i
A relação entre essas variáveis e a demanda mensal 
para a projeção de seis meses é representada pelo gráfico 
esquemático da Figura 1. O sistema começa vazio, o que 
significa que I0 = 0.
Figura 1: Representação esquemáticado sistema de 
produção e estoque
Fonte: Taha (2008).
A função objetivo procura minimizar a soma dos custos 
de produção e de estoque. Aqui temos 
Custo total de produção = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 
52x5 + 50x6
Custo total de estoque = 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)
Dessa maneira, a função objetivo é
Minimizar z = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6 
+ 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)
As restrições do problema podem ser determinadas 
diretamente de acordo com a representação na Figura 2.5. 
Para cada período, temos a seguinte equação de equilíbrio:
Estoque inicial + Quantia produzida — Estoque final: 
Demanda
Essa relação é expressa matematicamente para cada um 
dos meses como:
I0 + x1 – I1 = 100 (Mês 1)
I1 + x2 - I2 = 250 (Mês 2)
I2 + x3 - I3 = 190 (Mês 3)
I3 + x4 - I4 = 140 (Mês 4)
I4 + x5 - I5 = 220 (Mês 5)
I5 + x6 - I6 = 110 (Mês 6)
xi, li, ≥ 0, para todo i = 1,2,...,6
I0 = 0
Para o problema, I0 = 0 porque a situação parte de zero 
de estoque inicial. Ademais, em qualquer solução ótima, 
o estoque final 16 será zero, uma vez que não é lógico 
terminar a projeção com estoque positivo, cujo único efeito 
seria incorrer em custo adicional de estoque sem atender a 
nenhuma finalidade.
Agora, o modelo completo é dado por:
Minimizar z = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6 
+ 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)
Sujeito a:
x1 – I1 = 100 (Mês 1)
I1 + x2 - I2 = 250 (Mês 2)
I2 + x3 - I3 = 190 (Mês 3)
I3 + x4 - I4 = 140 (Mês 4)
I4 + x5 - I5 = 220 (Mês 5)
I5 + x6 - I6 = 110 (Mês 6)
xi, li, ≥ 0, para todo i = 1,2,...,6
Solução:
A solução ótima está resumida na Figura 2. Ela mostra 
que a demanda de cada mês é satisfeita diretamente pela 
produção do mês, exceto no mês 2, cuja quantidade produzida 
de 440 unidades abrange a demanda para ambos os meses, 2 
e 3. O custo total associado e Z = $ 49.980 (TAHA, 2008).
Figura 2: Solução ótima para o problema de produção e 
estoque
Fonte: Taha (2008). 
30Pesquisa Operacional
4 - Probelma da mistura e refi nação
Várias aplicações de PL tratam da mistura de diferentes 
materiais de entrada para produzir produtos que obedeçam a 
certas especifi cações e, ao mesmo tempo, minimizar o custo 
ou maximizar o lucro. Os materiais de entrada podem ser 
minérios, sucatas de metal, produtos químicos ou óleos crus, 
e os produtos de saída podem ser lingotes de metal, tintas ou 
gasolina de vários graus. Uma meta do modelo é determinar 
o mix ótimo de produtos fi nais que maximizará uma função 
lucro adequada. Em alguns casos, a meta pode ser minimizar 
uma função custo.
4.1 - Refi nação de óleo cru e mistura 
de gasolinas
Para exemplifi car, usaremos um exercício resolvido 
de Taha (2008). A Petrobrazuca tem uma capacidade de 
1.500.000 barris de óleo cru por dia. Entre os produtos 
fi nais da refi naria estão três tipos de gasolina sem chumbo, 
com diferentes octanagens (ON) = normal com ON = 87, 
premium com ON = 89 e super com ON = 92. O processo 
de refi nação abrange três estágios= 1) uma torre de destilação 
que produz fração (ON = 82) à razão de 0,2 barris por barris 
de óleo cru; 2) uma unidade de craqueamento que produz 
frações de gasolina (ON = 98) usando uma porção da fração 
produzida na torre de destilação à taxa de 0,5 barris por 
barris de fração; e 3) uma unidade misturadora que mistura a 
fração de gasolina da unidade de craqueamento com a fração 
da torre de destilação. A empresa estima o lucro líquido por 
barril dos três tipos de gasolina em $ 6,70, $ 7,20 e $ 8,10, 
respectivamente. A capacidade de entrada da unidade de 
craqueamento e 200.000 barris de fração por dia. Os limites da 
demanda para gasolina comum, premium e super, são 50.000, 
30.000 e 40.000 barris por dia. Desenvolva um modelo para 
determinar a programação ótima de produção para a refi naria. 
A Figura 3 resume os elementos do modelo. 
Figura 3: Representação matemática da fábrica da 
Petrobrazuca.
Fonte: Taha (2008). 
As variáveis podem ser defi nidas em termos das duas 
correntes de entrada para a unidade de mistura (fração e 
gasolina craqueada) e dos três produtos fi nais. Seja 
xij. = barris/dia da corrente de entrada i usada para 
misturar o produto fi nal j, i = 1, 2; j = 1, 2, 3
Usando essa defi nição, temos
Produção diária de gasolina comum = x11 + x21 barris/
dia
Produção diária de gasolina premium = x12 + x22 barris/
dia
Produção diária de gasolina super = x13 + x23 barris/dia
Tabela 3: equações auxiliares
Produção 
diária da unidade 
misturadora
= produção diária da gasolina 
comum + produção diária da gasolina pre-
mium + produção diária da gasolina super
= (x11 + x21) + (x12 + x22) + (x13 + x23) 
barris/dia
Alimenta-
ção diária de fração 
para a unidade 
misturadora
= x11 + x12 + x13 barris/dia
Alimenta-
ção diária da unida-
de de craqueamen-
to para a unidade 
misturadora
= x21 + x22 + x23 barris/dia 
Alimenta-
ção diária da fração 
para a unidade de 
craqueamento
= 2(x21 + x22 + x23) barris/dia
Quan-
tidade diária de 
óleo cru usado na 
refi naria
= 5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + 
x23) barris/dia
Fonte: adaptado de Taha (2008).
O objetivo do modelo é maximizar o lucro total resultante 
da venda de todos os três tipos de gasolina. Pelas defi nições 
dadas, obtemos
Maximizar z = 6,70(x11+ x21) + 7,20(x12 + x22) + 8,10(x13 
+ x23)
As restrições do problema são desenvolvidas da seguinte 
maneira
1. Fornecimento diário de óleo em não deve exceder 
1.500.000 barris/dia:
5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23) ≤ 1.500.000
2. Capacidade de entrada da unidade de craqueamento 
não deve exceder 200. 000 barris/dia:
2(x21 + x22 + x23) ≤ 200.000
3.  Demanda diária para gasolina comum não deve 
exceder 50.000 barris/dia:
31
x11 + x21 ≤ 50.000
4. Demanda diária para gasolina premium não deve 
exceder 30.000 barris/dia:
x12 + x22 ≤ 30.000
5. Demanda diária para gasolina super não deve 
exceder 40.000 barris/dia=
x13 + x23 ≤ 40.000
6. Octanagem para gasolina comum é no mínimo 87:
“A octanagem de uma gasolina (ON) é a média ponderada 
das octanagens das correntes de entrada usadas no processo 
de mistura e pode ser calculada como (TAHA, 2008).” 
(ON da fração x barris/dia de fração + ON da unidade 
de craqueamento x barris/dia da unidade de craqueamento) / 
Total de barris/dia de gasolina comum
(82x11 + 98x21) / (x11 + x21) ≥ 87
A restrição é linearizada como
82x11 + 98x21 ≥ 87(x11 + x21)
7. Octanagem para premium é no mínimo 89:
(82x12 + 98x22) / (x12 + x22) ≥ 89
A restrição é linearizada como
82x12 + 98x22 ≥ 89(x12 + x22)
8. Octanagem para super é no mínimo 92:
(82x13 + 98x23) / (x13 + x23) ≥ 92
A restrição é linearizada como
82x13 + 98x23 ≥ 92(x13 + x23)
Assim, o modelo completo é resumido como
Maximizar z = 6,70(x11+ x21) + 7,20(x12 + x22) + 8,10(x13 
+ x23)
Sujeito a:
5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23) ≤ 1.500.000
2(x21 + x22 + x23) ≤ 200.000
x11 + x21 ≤ 50.000
x12 + x22 ≤ 30.000
x13 + x23 ≤ 40.000
82x11 + 98x21 ≥ 87(x11 + x21)
82x12 + 98x22 ≥ 89(x12 + x22)
82x13 + 98x23 ≥ 92(x13 + x23)
x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥ 0
Solução:
Lucro diário = $ 875.000,00
Quantidade diária de gasolina comum = 50.000 barris/
dia
Quantidade diária de gasolina premium = 30.000 barris/ 
dia
Quantidade diária de gasolina super = 40.000 barris/dia
Ao chegar ao fi nal da terceira aula, vamos recordar o 
que aprendemos:
Retomando a aula
01 - Modelagem em planejamento urbano
Nesta seção, vimos quais são os desafi os da área de 
planejamento urbano e, na sequência, um exemplo resolvido 
de uma aplicação de planejamento urbano. Esse exemplo 
resolvido serve de base para podermos aplicar a pesquisa 
operacional em situações similares, usando a programação 
linear para encontro das soluções ótimas. 
02 - Modelagem em investimento
Similar à seção 01, aqui estudamos um modelo de 
programação linear em um problema de investimento. 
Através desse exemplo temos uma base de como identifi car 
as restrições e a função-objetivo mais adequada na hora de 
montar nosso modelo de programação linear.
03 - Programaçãolinar e planejamento de produção 
Nesta seção, abordamos dois exemplos de aplicação de 
programação linear em planejamento de produção. Em um 
dos casos, temos um planejamento da produção em um único 
período e n o outro temos o planejamento da produção em 
vários períodos.
04 – Probelma da mistura e refi nação
Por fi m, nesta última seção, vimos um exemplo de 
problema da mistura. Ainda, vimos como montar as restrições 
e função objetivo nesse tipo de problema tão comum nas 
indústrias químicas e de alimentos.
Hillier, F.S. e Lieberman G.J., Introdução à Pesquisa 
Operacional, 8ª. edição. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
Lachtermacher, G. Pesquisa operacional na tomada de 
decisões, 5ª. edição. São Paulo: Prentice Hall, 2016.
Taha, H. A. Pesquisa Operacional. 8ª edição. São Paulo: 
Pearson, 2008.
Vale a pena ler
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