Pesquisa Operacional

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Universidade Estadual de Maringá 
Departamento de Estatística 
Professor: Ricardo Puziol de Oliveira 
 
 
1ª Avaliação – Pesquisa Operacional 
 
Instruções: 
Nesta avaliação, vocês deverão responder as questões seguintes sob as condições: 
 Na seção de questões obrigatórias, elas devem ser OBRIGATÓRIAMENTE RESPONDIDAS, 
totalizando um total de 3,0 PONTOS. 
 Na seção de questões complementares, vocês deverão escolher o número de questões que 
somam exatamente 7,0 PONTOS. Se a soma passar dos 7,0 pontos, as questões extras não 
serão consideradas e nem corrigidas. 
 As questões podem ser resolvidas por meio de métodos gráficos, métodos algébricos, método 
do tableau, ou métodos computacionais (via pacote ou não) utilizando R ou Python. 
 Todas as questões selecionadas DEVEM ser INTERPRETADAS no contexto apresentado. Isto 
é, é necessário, após encontrar a solução, escrever uma RESPOSTA DISCURSIVA para o 
problema no contexto apresentado. 
 Provas iguais (isto inclui, também, as respostas discursivas) serão automaticamente 
zeradas, não há discussão sobre isso. 
 
 
 
 
 
 
 
Boa prova! 
1. Questões Obrigatórias 
Questão 1 (Valor 1,5): 
Considere a implementação a seguir do método simplex em R. Substitua os valores @@@ pelos 
argumentos corretos para a execução da função. Em seguida, use a função para maximizar o seguinte 
problema de programação linear: 
Objetivo: 
 Maximizar 𝑍 = 8𝑥 + 10𝑥 + 7𝑥 
Restrições: 
 𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 ⩽ 10 
 −𝑥 − 5𝑥 − 𝑥 ⩾ −8 
 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ⩾ 0 
Se os valores @@@ estiverem corretos no código da função implementada, vocês devem chegar na 
seguinte solução ótima: (𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = (8,0,0) com 𝑍 = 64. 
 
1 
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3 
4 
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8 
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simplex <- function(c, A, b, B, solIndexes) 
{ 
 i <- 0 
 j <- 1 
 sum <- 0 
 max <- -1 
 min <- 1000000 
 
 entryVariable <- -1 
 exitVariable <- -1 
 entryVariable.relative <- -1 
 exitVariable.relative <- -1 
 
 cb <- c() 
 entryCriterion <- c() 
 
 ## Step 1: Initialization 
 
 invB <- solve(@@@) 
 xb <- @@@ %*% @@@ 
 
 for(i in @@@) 
 { 
 cb <- c(@@@, @@@) 
 } 
 
 @@@[is.na(@@@)] <- 0 
 
 noSolIndexes <- c() 
30 
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32 
33 
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35 
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60 
61 
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65 
66 
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70 
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76 
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79 
80 
81 
82 
83 
84 
85 
86 
87 
 for(i in @@@) 
 { 
 if(!i %in% @@@) 
 { 
 @@@ <- c(@@@, i) 
 } 
 } 
 
 ## Algorithm Iterations 
 
 while(TRUE) 
 { 
 ## Step 2: Entry Criterion 
 
 for(i in @@@) 
 { 
 ac <- @@@[,i] 
 y <- @@@ %*% @@@ 
 
 candidateVariableCost <- c[@@@] 
 
 if(is.na(@@@)) @@@ = 0 
 entryCriterion <- c(@@@, @@@ %*% @@@ - @@@) 
 } 
 
 for(i in @@@) 
 { 
 if(i <= 0) 
 { 
 sum <- sum + 1 
 } 
 else if(i > max) 
 { 
 max <- i 
 @@@ <- j 
 } 
 @@@ <- @@@ + 1 
 } 
 
 if(@@@ == length(@@@)) 
 { 
 print("[ Optimal Solution ]") 
 break 
 } 
 
 @@@ <- @@@[@@@] 
 
 ## Step 3: Exit Criterion 
 
 y <- c() 
 sum <- 0 
 j <- 1 
 y <- @@@ %*% @@@[, @@@] 
 
 for(i in @@@) 
 { 
 if(@@@ <= 0) 
 { 
88 
89 
90 
91 
92 
93 
94 
95 
96 
97 
98 
99 
100 
101 
102 
103 
104 
105 
106 
107 
108 
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110 
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113 
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115 
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130 
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132 
133 
134 
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138 
 sum <- sum + 1 
 } 
 else if(@@@[@@@]/i < min) 
 { 
 min <- @@@[@@@]/i 
 @@@ <- @@@ 
 } 
 @@@ <- @@@ + 1 
 } 
 
 @@@ <- @@@[@@@] 
 
 if(@@@ == length(@@@[,@@@])) 
 { 
 return("[ Unbounded Problem ]") 
 } 
 
 ## Step 4: Solution is Recalculated 
 
 @@@[, @@@] = @@@[, @@@] 
 
 invB <- solve(@@@) 
 xb <- @@@ %*% @@@ 
 
 @@@[@@@] <- @@@ 
 @@@[which(@@@ == @@@)] <- @@@ 
 @@@[@@@] <- c[@@@] 
 if(is.na(@@@[@@@])) @@@[@@@] <- 0 
 
 ## Cleaning Temporary Variables 
 
 i <- 0 
 j <- 1 
 sum <- 0 
 max <- -1 
 min <- 1000000 
 entryVariable <- -1 
 exitVariable <- -1 
 entryVariable.relative <- -1 
 exitVariable.relative <- -1 
 entryCriterion <- c() 
 } 
 
 ## Final Values 
 
 z <- @@@[@@@] %*% @@@[@@@] 
 
 return(list("Values of the variables" = @@@, 
 "Maximum" = @@@, 
 "Base" = @@@)) 
 } 
 
 
Questão 2 (Valor 1,0): 
Uma empresa industrial fabrica três produtos, P1, P2 e P3, com lucro unitário de, respectivamente, R$ 
2,00, R$ 3,00 e R$ 4,00. O gerente de produção identificou as seguintes restrições no processo 
produtivo: 
 A capacidade produtiva total é de 30 unidades por mês. 
 Por utilizar material radioativo, a empresa recebe uma autorização do governo federal para 
importar apenas uma quantidade fixa de 60 kg desse material, o qual deve ser totalmente 
utilizado durante o mês por motivos de segurança. 
 As quantidades necessárias do material radioativo para fabricação dos produtos P1, P2 e P3 são 
de, respectivamente, 2 kg, 1 kg e 3 kg. 
Encontre o nível de produção ótimo utilizando o método simplex. 
 
 
Questão 3 (Valor 0,5): 
Faça o uso do método simplex para encontrar a solução ótima dos seguintes problemas de programação 
linear: 
(a) Objetivo: 
 Maximizar 𝑍 = 𝑥 + 1,2𝑥 + 1,5𝑥 
Restrições: 
 4𝑥 + 𝑥 + 0,8𝑥 ⩽ 10 
 −0,9𝑥 − 𝑥 − 5𝑥 ⩾ −9,5 
 1,2𝑥 + 3𝑥 + 1,5𝑥 ⩽ 11 
 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ⩾ 0 
(b) Objetivo: 
 Minimizar 𝑍 = 4𝑥 + 3𝑥 
Restrições: 
 8𝑥 + 3𝑥 ⩾ 10 
 5𝑥 + 6𝑥 ⩾ 30 
 𝑥 + 2𝑥 ⩾ 8 
 𝑥 , 𝑥 ⩾ 0 
 
 
2. Questões Complementares 
Questão 1 (Valor 1,0): 
A Nitroglicerina S.A. está desenvolvendo um novo aditivo para gasolina de avião. O aditivo é uma mistura 
de três ingredientes líquidos: A, B e C. Para que haja um desempenho adequado, o montante (total) de 
aditivo (montante do ingrediente A + montante do ingrediente B + montante do ingrediente C) deve ser 
de pelo menos 10 decilitros por litro de gasolina. Entretanto, por questões de segurança, o montante de 
aditivo não deve exceder 15 decilitros por litro de gasolina. A mistura dos três ingredientes é crítica. No 
mínimo, um decilitro do ingrediente A deve ser usado para cada decilitro do ingrediente B. O montante 
utilizado do ingrediente C deve ser maior ou igual à metade do montante utilizado do ingrediente A. 
Encontre, usando o método simplex, a mistura dos três produtos com custo mínimo por litro de gasolina 
de avião, sabendo que o custo por decilitro dos ingredientes A, B e C é de R$ 0,10, R$ 0,03 e R$ 0,09, 
respectivamente. 
 
Questão 2 (Valor 1,0): 
Para produzir três tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorola utiliza três processos diferentes: o 
de montagem dos aparelhos, configuração e verificação. Para a fabricação do celular Multi Tics, é 
necessária 0,1 hora de montagem, 0,2 hora de configuração e 0,1 de verificação. O aparelho mais 
popular, Star Tic Tac, requer 0,3 hora de montagem, 0,1 hora de configuração e 0,1 hora de verificação. 
Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 hora de montagem, 0,1 hora para configuração e, em virtude de 
seu circuito de última geração, não necessita de verificação. Devido a uma imposição do governo de 
economia de energia, a fábrica não pode consumir mais de 50.000 kWh/mês de energia, o que significa, 
de acordo com os cálculos técnicos da empresa, que eles poderão dispor de 290 h/mês na linha demontagem, 250 h/mês na linha de configuração e 110 h/mês na linha de verificação. Sabe-se ainda que 
o lucro por unidade dos produtos Multi Tics, Star Tic Tac e Vulcano é de R$ 100,00, R$ 210,00 e R$ 
250,00, respectivamente, e que a empresa operadora do sistema de telefonia celular adquire todos os 
celulares produzidos pela Motorola. Pede-se: o número de celulares de cada modelo a ser produzido 
mensalmente para que a empresa maximize seus lucros. Sabe-se ainda que o presidente da Motorola 
exige que os três modelos sejam produzidos e quer lucrar pelo menos R$ 25.200,00/mês com o modelo 
Star Tic Tac. Para incentivar o crescimento de seus produtos mais modernos, o presidente também exige 
que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro daquela do modelo Star Tic Tac. 
 
Questão 3 (Valor 1,5): 
A LCL Motores Ltda., uma fábrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ 900.000,00 em 
pedidos de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de determinado número de horas de 
trabalho no setor de montagem e de acabamento. A LCL pode terceirizar parte da sua produção. A Tabela 
1 resume esses dados. A fábrica deseja determinar quantos motores ela deve produzir e quantos devem 
ser produzidos de forma terceirizada para atender à demanda de pedidos. Utilize o método simplex para 
encontrar a solução. 
Tabela 1. LCL Motores Ltda. 
Modelo 1 2 3 Total 
Demanda 3000 unid. 2500 unid. 500 unid. 6000 unid. 
Montagem 1 h/unid. 2 h/unid. 0,5 h/unid. 6000 h 
Acabamento 2,5 h/unid. 1 h/unid. 4 h/unid. 10000 h 
Custo de produção R$ 50,00 R$ 90,00 R$ 120,00 
Terceirizado R$ 65,00 R$ 92,00 R$ 140,00 
 
 
Questão 4 (Valor 1,5): 
A XWT Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros por meio da escolha de carteiras de 
investimento para diversos clientes, com base em bonds de diversas empresas. Um de seus clientes 
exige que: 
 Não mais de 25% do total aplicado seja investido em um único investimento. 
 Um valor superior a 50% do total aplicado seja investido em títulos de maturidade maiores que 
dez anos. 
 O total aplicado em títulos de alto risco seja, no máximo, de 50% do total investido. 
A Tabela 2 mostra os dados dos títulos selecionados. Determine, por meio do método simplex, qual 
percentual do total deve ser aplicado em cada tipo de título. 
Tabela 2. Dados do caso da XWT Investimentos S.A. 
Título Retorno Anual Anos (P/ Vencimento) Risco 
1 8,7% 15 1 – Muito Baixo 
2 9,5% 12 3 – Regular 
3 12% 8 4 – Alto 
4 9,0% 7 2 – Baixo 
5 13,0% 11 4 – Alto 
6 20,0% 5 5 – Muito Alto 
 
 
 
Questão 5 (Valor 1,0): 
A firma ABC Tintas Ltda. produz dois tipos de tintas: seca rápido (SR) e super seca (SS). Ambas são 
produzidas a partir de uma base de silicato e de óleo de linhaça, que são adquiridos pela ABC de vários 
fornecedores. Atualmente, apenas duas soluções preliminares estão disponíveis no mercado, além dos 
produtos isolados. A solução do tipo A contém 60% de silicato e 40% de óleo de linhaça, e a do tipo B 
contém 30% de silicato e 70% de óleo de linhaça. O preço da solução A é de R$ 0,50 litro e o do tipo B 
é de R$ 0,75 o litro, enquanto o silicato e o óleo de linhaça isoladamente custam R$ 1,00 e R$ 1,50 o 
litro. Cada litro de SR requer, no mínimo, 25% de silicato e 50% de óleo de linhaça, e cada litro de SS 
requer, no mínimo, 20% de silicato e, no máximo, 50% de óleo de linhaça. Formule e resolva o problema 
de programação linear para determinar quantos litros de cada solução e de cada produto puro devem 
ser comprados para produzir exatamente 100 litros de SR e 250 litros de SS. 
 
Questão 6 (Valor 1,5): 
A PSC Ltda. é uma empresa do ramo de produção de acessórios para computador. O diretor Paul Lepore 
recebeu uma encomenda de 5.000 pen drives, 4.500 HDs de 160 GB, 1.000 unidades de DVD-ROM e 
3.500 gravadores de CD-ROM (CD-RW). Essa entrega deve ser cumprida em um prazo de 12 dias úteis, 
e a PSC não possui nenhum produto em estoque. A tabela abaixo resume requisitos de tempo e de 
alguns produtos comuns para a confecção dos equipamentos: 
 
 Pendrive HD DVD-ROM CD-RW 
Rotor 0 1 1 1 
Cabeça de Leitura 0 6 1 1 
Cabeça de Gravação 0 6 - 1 
Gabinete de Unidade (Padrão) 0 1 1 1 
Horas de Montagem 0,8 1,1 2 2,5 
Horas de Ajuste/Regulagem 0,2 0,5 0,9 2 
 
A PSC possui um estoque das seguintes matérias-primas: 13.000 rotores, 40.000 cabeças de 
leitura, 35.000 cabeças de gravação e 15.000 gabinetes-padrão. Não é possível comprar mais matéria-
prima. O processo de montagem e regulagem do equipamento é feito manualmente, empregando um 
funcionário cada um. A PSC possui 190 funcionários capacitados para a montagem dos equipamentos 
e 115 funcionários capacitados para a regulagem. Considere que cada funcionário tem uma jornada de 
oito horas diárias. Por outro lado, se a PSC preferir, é possível comprar os produtos prontos de outra 
empresa, que possui material suficiente em estoque. A empresa só não produz as unidades de HD 
desejadas. A tabela a seguir resume os custos de produção e o preço de venda dos produtos por essa 
empresa (em reais). 
 
 Pendrive HD DVD-ROM CD-RW 
Custo de Produção (R$) 15,00 200,00 40,00 100,00 
Preço de Compra (R$) 17,00 - 45,00 150,00 
 
Determine um problema de programação linear que minimize o custo da PSC, de maneira a atender ao 
pedido no tempo previsto (resolva por meio do método simplex). 
 
Questão 7 (Valor 1,5): 
Um cliente procurou uma corretora de valores com o objetivo de investir em ações. O gerente de 
atendimento, após receber o cliente, entrevista-o para identificar seu perfil de risco e apresenta as 
opções de investimento. No final da entrevista, fica claro que o cliente apresenta um perfil de 
investimento de risco moderado e está decidido a investir em papéis de bancos. O gerente, então, com 
o apoio da área de pesquisa da corretora, apresenta uma proposta de investimento que imagina atender 
às expectativas do cliente. A carteira proposta é constituída por um grupo de ações do setor bancário e 
aplicações ou créditos, para alavancar a posição de ações em renda fixa. O retorno e o risco de cada 
papel estão demonstrados na tabela abaixo. 
 
Papel Retorno Risco 
Banco A 42,12% 7,69% 
Banco B 35,29% 3,99% 
Banco C 37,54% 6,12% 
Renda Fixa 6,10% 0% 
 
Ao analisar a proposta, o cliente fez as seguintes restrições e observações: 
 A participação das ações do banco A deve ser de, no mínimo, 30%, por causa de seu alto retorno 
e baixo risco em relação às ações dos outros bancos. 
 A participação das ações do banco B deve ser de, no máximo, 15%, por causa do baixo retorno 
e alto risco, quando comparada às demais. 
 A participação da renda fixa na carteira deve ser de, no máximo, 10%. 
 A taxa máxima suportada de risco é de 7%. 
Formule um problema que maximize o retorno da carteira proposta, considerando suas características 
e as restrições feitas pelo cliente, e resolva-o por meio do método simplex. (Observação: para a 
resolução desse problema, considere que as ações são independentes; assim, o risco da carteira será 
igual à média ponderada dos riscos individuais pelas participações de cada papel na composição da 
carteira.) 
 
Questão 8 (Valor 2,0): 
Uma indústria possui as seguintes opções de investimento em projetos para os próximos quatro anos: 
expansão da fábrica, expansão do depósito, novas máquinas e pesquisas de novos produtos. 
Enfrentando limitações anuais de capital, a empresa deve escolher em quais projetos investir para obter 
o maior retorno possível. O valor presente dos projetos, o capital necessário para cada um deles e a 
projeção do capital disponível são apresentados na tabela abaixo. 
 
Projeto 
Valor 
Presente 
Estimado 
Capital Necessário 
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 
Expansão da 
Fábrica 
60.000 15.000 20.000 20.000 15.000 
Expansão do 
Depósito 
40.000 10.000 15.000 20.000 5.000 
Novas 
Máquinas 
10.000 10.000 0 0 4.000 
Pesquisa de 
Novos 
Produtos 
37.000 15.00010.000 10.000 10.000 
Capital 
Disponível 
 30.000 40.000 30.000 25.000 
 
(a) Determine quais projetos a companhia deve selecionar para maximizar o valor presente do capital 
investido. (Dica: a decisão deve ser feita para aceitar ou rejeitar cada projeto. Usamos 𝑥 = 1 caso o 
investimento seja realizado e 𝑥 = 0 caso não deva ser realizado. Então, todas as variáveis devem 
ser binárias.) 
(b) Considere que, devido às turbulências de mercado, a empresa decida que pesquisas de novos 
produtos é um projeto que não pode deixar de ser realizado, independentemente de seu valor 
presente estimado. Que mudanças essa informação gera na formulação do problema e no resultado? 
(c) Se a companhia conseguir um adicional de R$ 10.000 para cada um dos quatro anos, o que você 
recomendaria? Qual a nova solução? 
 
 
Questão 9 (Valor 1,0): 
A fábrica de produtos revolucionários Wonder World acaba de lançar mais um produto inovador: trata-
se do Flat, um spray desamassador instantâneo de roupas. O spray Flat está disponível no mercado em 
duas embalagens: de bolso (250 ml) e tamanho família (1.000 ml), ambas com duas opções de 
formulação: com ou sem perfume. Para fabricar a solução Flat sem perfume é necessária a combinação 
de três ingredientes: água destilada, álcool e fórmula especial. Para o produto com perfume, um quarto 
ingrediente — a fragrância — é necessário em uma proporção de, no mínimo, 5% e, no máximo, 10% 
por litro de produto. Para garantir a eficácia do produto, a concentração de fórmula especial em cada 
litro de Flat deve ser de pelo menos 25%, sendo que a quantidade de álcool não pode ultrapassar 30%, 
nem ser menor do que 10%. A quantidade disponível e os custos dos ingredientes são mostrados na 
tabela abaixo. 
Ingrediente Quantidade Disponível Custo por Litro 
Fórmula especial 70.000 litros R$ 3,00 
Álcool 55.000 litros R$ 0,90 
Água destilada 100.000 litros R$ 0,40 
Fragrância 30.000 litros R$ 1,2 
 
Existem também custos de fabricação. As máquinas, que apresentam uma capacidade ociosa suficiente 
para suprir a demanda prevista, têm um custo de produção variável igual a R$ 1,00 por litro de solução 
sem perfume e R$ 1,50 por litro de solução com perfume. A mão de obra é remunerada por produção, 
tendo um custo de R$ 3,00 por litro de Flat com ou sem perfume fabricado. Cada embalagem para o 
spray de bolso custa R$ 0,40 e a embalagem tamanho família, R$ 0,60. A administração da Wonder 
World espera que o produto seja um sucesso de vendas. Por meio de pesquisas de mercado, constatou-
se que há uma demanda mensal de 45.000 Flats de bolso sem perfume, 42.000 com perfume, 36.000 
tamanho família sem perfume e 30.000 com perfume. Os preços de venda de Flat nas diferentes 
embalagens e composições são apresentados na tabela abaixo. 
Produto Preço 
FLAT — Embalagem de bolso com perfume R$ 12,00 
FLAT — Embalagem de bolso sem perfume R$ 10,00 
FLAT — Embalagem família com perfume R$ 25,00 
FLAT — Embalagem família sem perfume R$ 20,00 
 
Formule e resolva um problema de programação linear para maximizar os lucros da Wonder World. 
Questão 10 (Valor 1,0): 
A No Bugs S.A. é uma empresa de dedetização de insetos. Durante os próximos três meses espera 
receber o seguinte número de solicitações de dedetização: 100 chamadas em janeiro, 300 chamadas 
em fevereiro e 200 chamadas em março. A No Bugs S.A. recebe R$ 800,00 para cada dedetização 
atendida no mesmo mês da chamada. As solicitações podem não ser atendidas no mesmo mês em que 
são feitas, mas, nesse caso, se houver atraso de um mês, será dado um desconto de R$ 100,00 por 
dedetização; e, se o atraso for de dois meses, o desconto será de R$ 200,00 por dedetização. Cada 
empregado pode fazer entre seis e dez dedetizações por mês. O salário mensal de cada empregado da 
No Bugs S.A. é de R$ 4.000,00 por mês. No final do último dezembro, a companhia tinha oito 
funcionários. Funcionários podem ser contratados no início do mês a um custo de contratação de R$ 
5.000,00 cada. Os gastos com demissões, feitas sempre no final do mês, são de R$ 4.000,00 por 
funcionário, além do salário. Supondo que todas as chamadas precisam ser atendidas até o final de 
março e que a empresa tenha o efetivo de oito pessoas no início de abril, formule um problema de 
programação linear para maximizar os lucros da No Bugs durante os três meses em questão e resolva-
o pelo método simplex. 
 
Questão 11 (Valor 1,0): 
O administrador-chefe do Hospital Descanse Bastante, tem de determinar um horário para os auxiliares 
de enfermagem que deve contratar. Durante o dia, a necessidade de auxiliares de enfermagem 
trabalhando é variável. O administrador-chefe dividiu o dia em 12 períodos de duas horas. O período 
mais calmo do dia ocorre da 0h (meia-noite) às 6h, que começa à meia-noite e requer um mínimo de 40, 
30 e 40 auxiliares, respectivamente. A demanda para auxiliares de enfermagem aumenta continuamente 
durante os próximos quatro períodos do dia, começando com o período das 6h às 8h, sendo necessário 
um mínimo de 60, 60, 70 e 80 auxiliares para esses quatro períodos, respectivamente. Depois das 14 
horas a demanda por auxiliares diminui até o anoitecer. Para os cinco períodos de duas horas que 
começam às 14h e terminam à meia-noite, são requeridos 80, 70, 70, 60 e 50 auxiliares, 
respectivamente. Cada auxiliar de enfermagem se apresenta ao serviço no começo de um dos períodos 
relatados e trabalha oito horas sucessivas (o que é requerido no contrato dos auxiliares). Os auxiliares 
de enfermagem têm um salário padronizado, mas, quando trabalham à noite (entre as 22h e as 6h), 
ganham adicionais noturnos. Cada duas horas trabalhadas à noite acrescentam ao salário-base 25%. 
Ou seja, um auxiliar de enfermagem que começa a trabalhar às 16h trabalha até a meia-noite e ganha 
25% a mais do seu salário, e outro que começa a trabalhar às 22h tem 100% a mais de salário. Para 
evitar que o salário chegasse a dobrar, o administrador-chefe determinou que nenhum auxiliar 
começasse exatamente às 22h. Portanto, o administrador-chefe quer determinar um quadro de horário 
para os auxiliares de enfermagem que satisfaça às exigências mínimas do hospital ao longo do dia, 
minimizando a folha de pagamento do hospital (resolva, supondo isonomia de salários). 
 
Questão 12 (Valor 2,5): 
Devido à grande permeabilidade, areias são usadas na constituição de filtros de Estações de Tratamento 
de Águas (ETA) de abastecimento como meio filtrante, por interceptar as impurezas existentes na água 
afluente. Essas areias são dispostas em camadas que devem obedecer às composições 
granulométricas estabelecidas por norma técnica, por exemplo, nas quantidades dispostas na tabela a 
seguir. 
Faixa Granulométrica (mm) Volume de Areia (m³) 
0,42 – 0,59 16 
0,59 – 0,71 16 
0,71 – 0,84 16 
0,84 – 1,00 64 
1,00 – 1,19 40 
1,19 – 1,41 8 
 
Para a construção das unidades de filtração de um ETA, areias são exploradas de diferentes portos, 
com composições granulométricas distintas. Os custos totais de dragagem, transporte, seleção e 
preparo para a utilização da areia são conhecidos por unidade de volume (m³) para cada porto. Na tabela 
a seguir, as composições granulométricas de dois tipos de areia são fornecidas, além dos custos totais. 
 Volume de Areia / m³ 
Faixa Granulométrica (mm) Porto I Porto II 
0,42 – 0,59 0,17 0,13 
0,59 – 0,71 0,16 0,11 
0,71 – 0,84 0,18 0,14 
0,84 – 1,00 0,10 0,09 
1,00 – 1,19 0,09 0,12 
1,19 – 1,41 0,05 0,07 
Custo ($/m³) 25,00 19,00 
 
Por exemplo, 17% da areia proveniente do Porto I tem diâmetros de seus grãos entre 0,42mm e 0,59mm, 
16% entre 0,59mm e 0,71mm etc., e custa $ 25,00 por m³. Assim, 100 m³ de área do Porto I, pode-se 
extrair 0,17 × 100 = 17 m³ de areia na faixa granulométrica 0,42mm-0,59mm, que é suficiente para a 
construção do filtro que necessita de 16 m³ desta faixa, mas essa quantidade é insuficiente para se obter 
a quantidade deareia necessária na faixa 0,84mm-1,00mm. 
(a) Escreva um problema de programação linear para determinar a combinação das diferentes 
areias de modo a atender às especificações da norma, com o mínimo de custo possível. Resolva 
o problema pelo método simplex. 
(b) Suponha que o excesso de areia em cada faixa granulométrica possa ser vendido para terceiros 
com preços específicos por faixa (por exemplo, 𝑃 é o preço da faixa 0,42mm-0,59mm etc.). 
Como este é um negócio secundário, mesmo que rentável, as quantidades em excesso são 
limitadas, digamos, 𝑈 é o excesso máximo aceitável para a faixa 0,42mm-0,59mm etc. 
Reformule o problema considerando os ganhos com vendas e as limitações de excesso em cada 
faixa granulométrica. 
 
Questão 13 (Valor 1,5): A Divisão de Educação Continuada (DEC) da Ozark Community College oferece 
um total de 30 cursos a cada semestre. De modo geral, os cursos oferecidos são de dois tipos: práticos, 
como marcenaria, edição de textos e manutenção de carros; e na área de Humanas, como história, 
música e belas-artes. Para satisfazer as demandas da comunidade, devem ser oferecidos no mínimo 
dez cursos de cada tipo a cada semestre. A DEC estima que a receita por curso prático e da área de 
Humanas seja de aproximadamente $1500 e $1000, respectivamente. 
(a) Determine a oferta ótima de cursos para a escola. 
(b) Mostre que o preço dual por um curso adicional é $1500, igual à receita por curso prático. O que 
esse resultado significa em termos de oferta de cursos adicionais? 
(c) Quantos cursos mais podem ser oferecidos garantindo, ao mesmo tempo, que cada um 
contribuirá com $1500 para a receita total? 
(d) Determine a variação na receita resultante do aumento de um curso na área de Humanas. 
 
Questão 14 (Valor 1,0): 
A Call Master é uma empresa que fornece serviços de consultoria de call center para outras empresas. 
Ela foi procurada recentemente pela Editora Julho com o seguinte problema: os clientes que ligam para 
o 0800 da editora estão esperando, em média, de 7 a 15 minutos para serem atendidos. Esse tempo de 
espera é considerado extremamente longo pela empresa, que deseja prover um melhor serviço a seus 
clientes, atendendo-os em até cinco minutos. A empresa sabe que a solução para atender os clientes 
mais rapidamente é aumentar o número de atendentes por hora, porém ela gostaria de programar o 
trabalho de forma a torná-lo eficiente ao menor custo de pessoal possível. Sendo assim, o desafio da 
Call Master é definir qual o número ótimo de atendentes que a Editora Julho deve ter para que o prazo 
de espera de cada cliente na linha seja de, no máximo, cinco minutos. A tabela a seguir apresenta o 
número de telefonemas esperados por hora. 
Horário Nº de chamadas 
00:00 – 01:00 100 
01:00 – 02:00 60 
02:00 – 03:00 30 
03:00 – 04:00 40 
04:00 – 05:00 90 
05:00 – 06:00 105 
06:00 – 07:00 190 
07:00 – 08:00 230 
08:00 – 09:00 290 
09:00 – 10:00 335 
10:00 – 11:00 270 
11:00 – 12:00 299 
12:00 – 13:00 310 
13:00 – 14:00 370 
14:00 – 15:00 402 
15:00 – 16:00 450 
16:00 – 17:00 400 
17:00 – 18:00 411 
18:00 – 19:00 360 
19:00 – 20:00 315 
20:00 – 21:00 285 
21:00 – 22:00 250 
22:00 – 23:00 200 
23:00 – 24:00 150 
 
Sabendo que cada turno de trabalho dura seis horas e o tempo médio de atendimento é de 12 minutos, 
ajude a Call Master a solucionar o problema da Editora Julho.