Matemática - Livro 2-301-303

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F
R
E
N
T
E
 3
301
Fórmula de Heron
A área é igual à raiz quadrada do produto do semiperímetro pelas diferenças
entre o semiperímetro e a medida de cada um dos lados
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −∆S p (p a) (p b) (p c) com =
+ +
p
a b c
2
Triângulo circunscrito
A área é igual ao produto do semiperímetro pela medida do raio da cir-
cunferência inscrita no triângulo.
= ⋅∆S p r com =
+ +
p
a b c
2
Triângulo inscrito
A área é igual ao produto das medidas dos lados dividido pelo dobro
do diâmetro (quádruplo do raio) do círculo que circunscreve o triângulo.
=
⋅∆
S
a b c
4 R
Polígonos regulares
Área do triângulo equilátero de lados medindo l:
=∆S
3
4equilátero
2
l
Área do hexágono regular de lados medindo l:
= =S 6
3
4
3 3
2Hexágono
2 2
l l
Polígono de n lados circunscrito a uma circunferência de raio r:
=




S n r tg
180°
n
2
Polígono de n lados inscrito em uma circunferência de raio R:
=
⋅ 



S
n R
2
sen
360°
n
2
O círculo e suas partes
r
R
Coroa circular
r
A B
C
r r
θ

A B
C
r r
θ

Área do círculo
= π ⋅∅S r
2
⊙
Área da coroa circular
( )= π ⋅S R – r
Coroa
2 2
Área do setor circular
=
θ ⋅π ·
S
r
360°
Setor
2
Área do segmento circular
= ∆S S – SSegmento Setor ABC
Quer saber mais?
Sites
• A história das medições:
Disponível em: <www.somatematica.com.br/geometria.php>
• Exercícios básicos resolvidos:
Disponível em: <www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFiguras Planas.aspx>
• Exercícios complexos resolvidos:
Disponível em: <www.interaula.com/matweb/gplana/209/exe209b.htm>
• Fórmula da área de um círculo:
Disponível em: <www.infoescola.com/matematica/area-do-circulo/>
MATEMÁTICA Capítulo 6 Áreas das figuras planas302
1 Enem O quadro apresenta informações da área aproxi-
mada de cada bioma brasileiro.
Biomas continentais
brasileiros
Área aproximada
(km2)
Área/total Brasil
Amazônia 4  196943 49,29%
Cerrado 2  036  448 23,92%
Mata atlântica 1 110  182 13,04%
Caatinga 844  453 9,92%
Pampa 176  496 2,07%
Pantanal 150  355 1,76%
Área total Brasil 8514  877
Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 10 jul. 2009 (Adapt.).
É comum em conversas informais, ou mesmo em no-
ticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de
futebol (com medidas de 120 m × 90 m) para auxiliar a
visualização de áreas consideradas extensas. Nesse
caso, qual é o número de campos de futebol corres-
pondente à área aproximada do bioma Pantanal?
A 1    400
b 14  000
C 140  000
d 1 400 000
E 14  000  000
2 Unicamp Supondo que a área média ocupada por uma
pessoa em um comício seja de 2  500cm2, pergunta-se:
a) Quantas pessoas poderão se reunir em uma
praça retangular que mede 150 metros de com-
primento por 50 metros de largura?
) Se 3
56
 da população de uma cidade lota a praça,
qual é, então, a população da cidade?
3 A figura a seguir apresenta um grande quadrado com-
posto de diversos triângulos retângulos congruentes,
sendo alguns brancos e outros escurecidos. Qual a
fração decimal que representa a parte escurecida do
quadrado maior em relação ao quadrado todo?
A
375
1000
b
625
1000
C
75
100
d
25
100
E
6
10
4 Na figura a seguir, M, N e P são os respectivos pon
tos médios dos lados AB, CD e BC do losango ABCD,
cujas diagonais medem 8cm e 6cm.
A
M
B
P
C
N
D
Q
Sendo Q o ponto de interseção dos segmentos AP e
MN, determine a área do triângulo AMQ.
5 Duas faixas retangulares de dimensões a × b foram
sobrepostas no interior de um quadrado, como mos-
tra a figura:
a
a
b
b
Desse modo, a área da região sombreada dentro do
quadrado e fora das faixas sobrepostas pode ser ex
pressa por:
A a(a 2b)
b b(b 2a)
C b(2a b)
d (a + b)2
E (a b)2
6 O logotipo da empresa Z é formado por um paralelo
gramo AGCF e dois triângulos retângulos congruentes
entre si, BEF e DGH, como mostra a ilustração:
A
G
D
H
C
F
E
B
Sabendo que os pontos A, B, C e D são vértices de
um quadrado de área 36cm2, que o logotipo ocupa
2
3
dessa área e que a área do paralelogramo equivale às
Exercícios complementares
F
R
E
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303
áreas dos dois triângulos retângulos juntos, determine
a medida do segmento AF.
A 2 13 cm
b 13 cm
C 11 cm
d 2 11 cm
E 11 2 cm
7 FGV 2016 A figura a seguir representa a tela de um
quadro pós-moderno, um quadrado cujos lados me-
dem 2 metros Deseja se pintar o quadro nas cores
cinza e preta, como descrito na figura.
1 m 1 m
1 m
1 m
a) Qual a área que deverá ser pintada em preto? Ex-
presse a resposta em metros quadrados. Qual é a
proporção de cor preta para cor cinza?
) Se a pintura na cor preta custa R$ 100,00 o metro
quadrado, e a pintura na cor cinza, R$ 200,00 o
metro quadrado, qual será o custo total de pintura
do quadro?
c) Se as cores forem invertidas (sendo a área cinza
pintada de preto e a área preta pintada de cinza),
qual será a variação percentual do custo total de
pintura do quadro, com relação ao custo total ob-
tido no item b?
8 Uma tapeçaria é composta de losangos, e, em cada
losango, a diagonal maior mede o dobro da diagonal
menor As figuras a seguir apresentam, respectivamen-
te, a tapeçaria toda e a ampliação de um detalhe inscrito
em um retângulo pontilhado de 20cm por 48cm.
Nessas condições, é correto armar que a área do lo-
sango maior é:
A duas vezes e meia a área do losango menor.
b cinco vezes a área do losango menor.
C dez vezes a área do losango menor.
d vinte e cinco vezes a área do losango menor.
E cem vezes a área do losango menor.
9 No início do século XX, surgiu, na Europa, um mo
vimento artístico de arte e pesquisa denominado
Neoplasticismo. Os experimentos geométricos realiza
dos pelos artistas que participaram desse movimento
tiveram grande influência na arquitetura moderna e,
de certa maneira, definiram o que hoje chamamos de
design. O holandês Piet Mondrian pintou uma série de
quadros intitulada Composition with colors, que é, pro
vavelmente, a obra mais famosa do Neoplasticismo.
A figura a seguir é de um dos quadros dessa coleção:
A
E
C
G
D
F
B
Esse quadro apresenta um quadrado vermelho gran
de (A), um quadrado branco de tamanho médio (B) e
dois quadrados pequenos congruentes, sendo um
amarelo (C) e o outro branco (D), além de três retângu
los, sendo um azul (E) e dois brancos (F e G).
Considere que o quadro tenha dimensões de 64cm
por 72cm e que a área do quadrado A seja igual a
nove vezes a área do quadrado B e a dezesseis vezes
a área do quadrado C.
Desprezando a espessura das linhas que contornam
os quadriláteros da ilustração, determine:
a) a razão entre os lados dos quadrados A e B e a
razão entre os lados dos quadrados A e D.
) as medidas dos lados dos quadrados A, B e C.
c) a área dos retângulos E, F e G
10 A figura a seguir é a bandeira da equipe de xadrez
de um determinado colégio Nessa bandeira ABCD,
quadrada, de 90cm de lado, há duas faixas que se
cruzam formando uma grande letra X e um pequeno
losango, no qual será bordado o brasão da escola
A P Q B
DC
Sabendo que os pontos P e Q dividem o lado do qua
drado ABCD em três partes congruentes, calcule a
área do losango determinado no centro da bandeira.