Matemática - Livro 2-049-051

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F
R
E
N
T
E
 1
49
y
x
c) AB
6
K
K 0 AB
6
K 1 AB
6
7
6
K 2 AB
6
2
13
6
 (repetição)




=
π
+ π
= ⇒ =
π
= ⇒ =
π
+ π =
π
= ⇒ =
π
+ π =
π
Assim:
y
x
6
7π
6
π
7 Determine a equação da família dos arcos dada a sua
representação no ciclo trigonométrico.
a) y
x
b) y
x
+
c) y
x
+
4
π
d) y
x
+
Resolução:
a) Os dois pontos dividem a circunferência em arcos
iguais, isso indica que eles fazem parte da mesma
família.
Para montar a equação da família, escolha qual
quer arco côngruo e some Kp. Observe:
AB
2
 + K ; K , =
π
π ∈Z mas também poderia ser:
AB
3
2
 + K ; K ou AB
2
 + K ; =
π
π ∈ =
π
πZ
K ∈ Z, dentre outras innitas representações.
b) Z = π π ∈AB + 2K ; K
c) AB
K
4
; K =
π
∈Z
(As extremidades dos arcos são vértices de um
octógono regular).
d) Neste exemplo, os três pontos não dividem a
circunferência em três partes iguais, logo não per
tencem à mesma família. Vamos dividir o problema.
y
x
+
y
x
+
AB K ; K ou AB
2
 + 2K ; K = π ∈ =
π
π ∈Z Z
Primeira determinação positiva
Também pode ser chamado de menor determinação
positiva o arco côngruo de uma família que possui a menor
medida positiva ou nula.
Exercício resolvido
8 Calcule a primeira determinação positiva:
• 1 000°
Resolução:
1 000° 360°
2280°
– ⇒ ° ° ⋅ °1 000 = 280 + (2) 360
280° é a primeira determinação positiva.
• –2 350°
Resolução:
2  350° 360°
62 160°
190°
– ⇒− ° − ° − ⋅ °2 350 = ( 190 ) + ( 6) 360
É claro que –190° não pode ser a primeira determina-
ção positiva. Observe:
y
x
A–190° 170°
170° é côngruo de – 190°, logo 170° é a primeira deter-
minação positiva.
MATEMÁTICA Capítulo 7 Trigonometria – conceitos básicos50
Revisando
1 Transforme as medidas de graus para radianos na tabela abaixo.
0° 210°
30° 225°
45° 240°
60° 270°
90° 300°
120° 315°
135° 330°
150° 360°
180° 540°
2 Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 16 h e 40 min.
3 Calcule a primeira determinação positiva dos arcos:
a) 1 730° b) 1 000° c) 23
4
p
rad
F
R
E
N
T
E
 1
51
Exercícios propostos
1 Converter em graus as seguintes medidas em radianos:
a)
5
3
p
b)
8
p
c)
4
3
p
d)
20
p
e) 4p
2 Converter em radianos as seguintes medidas dadas
em graus:
a) 450°
b) 225°
c) 210°
d) 330°
e) 252°
3 EEAR 2019 Gabriel verificou que a medida de um ângu-
lo é
3
10
p
 rad. Essa medida é igual a
A 48°  54° C 66°  72°
4 Sobre uma circunferência de raio 1,6 cm marca-se um
arco de comprimento 6,4 cm. Calcular a medida do
arco, em radianos.
5 Sobre uma circunferência de raio 10 cm marca-se um
arco AB tal que a corda AB mede 10 cm. Calcular a
medida do arco em radianos.
6 Fuvest Um arco de circunferência mede 300°, o seu
comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais pró-
ximo da medida do raio, em metros?
A 157
 284
C 382
 628
E 764
7 Uerj 2019 Observe no esquema um círculo de raio
igual a 3,14cm. Seu maior arco, AB, correspondente
ao ângulo centralα, tem comprimento de 15,7cm.
Calcule, em graus, a medida do ângulo α.
8 Fuvest Considere um arco AB de 110° numa circunfe-
rência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’
de 60° numa circunferência de raio 5 cm.
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco

A’B’ (ambos medidos em cm), obtém-se:
A
11
6
 2 C
11
3

22
3
E 11
9 Fuvest O perímetro de um setor circular de raio R e ân-
gulo central medindo α radianos é igual ao perímetro
de um quadrado de lado R. Então α é igual a:
A
3
p
 2 C 1 
2
3
p
E
2
p
10 Em um círculo, um ângulo central intercepta um arco
de 0,1 m, e o raio mede 20 cm Quantos radianos mede
tal ângulo?
11 Fuvest (Adapt.) Considere um arco AB de 120° em uma
circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um
arco A’B’ de 60° em uma circunferência de raio 10 cm.
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco

A’B’ (ambos medidos em cm), obtém-se:
A
11
6
 2
C
11
3

22
3
E 11
12 Fuvest (Adapt.) O perímetro de um setor circular de
raio R e ângulo central medindo α radianos é igual ao
perímetro de um triângulo equilátero de lado R. Então,
α é igual a:
A
3
p
 2 C 1 
2
3
p
E
2
p
13 Enem PPL 2019 Uma pista circular delimitada por duas
circunferências concêntricas foi construída. Na cir
cunferência interna dessa pista, de raio 0,3 km, serão
colocados aparelhos de ginástica localizados nos
pontos P, Q e R, conforme a gura.
O segmentoRP é um diâmetro dessa circunferência in
terna, e o ângulo PRQ tem medida igual a
5
p
 radianos
Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto Q andando
pela circunferência interna no sentido anti horário, ela
percorrerá uma distância, em quilômetro, igual a
A 0,009p
 0,03p
C 0,06p
 0,12p
E 0,18p