Geometria da Esfera

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UNIDADE-5- ESFERA 
 
1) ESFERA 
 
Consideremos um ponto O e um segmento de medida R, chama-se ESFERA de 
centro O e raio R ao conjunto dos pontos P do espaço cuja distância ao ponto O 
é menor ou igual a r. 
 
OBS: A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um 
semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. 
 
 
 
 
2) SUPERFÍCIE DA ESFÉRA 
 
Consideremos um ponto O e um segmento de medida R, chama-se 
SUPERFÍCIE DA ESFERA de centro O e raio R ao conjunto dos pontos P do 
espaço cuja distância ao ponto O é igual a r. 
 
OBS: A superfície esférica é também uma superfície de revolução gerada pela 
rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém o diâmetro. 
 
 
 
3) SECÇÃO 
 
Toda secção plana de uma esfera é um círculo. 
 
OBS: Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um 
círculo máximo da esfera. 
OBS: Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro da esfera 
e s o raio da secção, vale a relação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) ELEMENTOS 
 
A nomenclatura seguinte deve-se ao fato de a Terra ser considerada 
aproximadamente uma esfera, tomando-se e 
como o eixo de rotação. 
• PÓLOS (P1 E P2): são as interseções da 
superfície com o eixo. 
• EQUADOR: é a secção (circunferência) 
perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. 
• PARALELO: é uma secção 
(circunferência) perpendicular ao eixo. É 
“paralela” ao Equador. 
• MERIDIANO: é uma secção 
(circunferência) cujo plano passa pelo eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2r d s= +
5) DISTÂNCIA POLAR 
 
Distância polar é a distância de um ponto qualquer de 
um paralelo ao polo. 
Um ponto A da superfície de uma esfera tem duas 
distâncias polares P1A e P2A. 
Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo, 
temos: 
Sendo: 
• r o raio da esfera 
• d a distância do plano de uma seção ao centro 
• 1 2p e p as distâncias polares de um ponto A 
 
2 2
1 22 ( ) 2 ( )p r r d e p r r d= − = + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) ÁREAS (PARTES DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA) 
 
6.1) SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
 
24SRA R= 
 
 
6.2) FUSO ESFÉRICO 
 
2
90
f
R
A
 
=
 
 
 
6.3) ZONA ESFÉRICA 
 
 
 
 
 
 
 
6.4) CALOTA ESFÉRICA 
 
2CALA Rh= 
 
 
 
 
 
2ZONAA Rh=
7) ESFERA (PARTES DA ESFERA) 
 
7.1) ESFERA 
 
 
 
 
34
3
V R=
 
 
 
 
 
 
 
7.2) CUNHA ESFÉRICA 
 
 
 
3
270
C
R
V
 
=
 
 
 
 
OBS: Observe que a superfície de uma cunha esférica contida em uma esfera 
de raio r é a reunião de um fuso esférico com dois semicírculos de raio r. Assim, 
a área total da cunha esférica é igual à soma da área do fuso esférico com a 
área de um círculo de raio r. 
CUNHA FUSO CÍRCULO
A A A= +
 
 
7.3) SETOR ESFÉRICO 
22
3
SEV R h=
 
 
 
 
 
 
7.4) SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE 
 
2 2(3 )
6
h
V r h

= + 
 
 
 
 
 
7.5) SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES 
 
( )2 2 2
1 23
6
h
V r r h

 = + +
  
 
 
 
 
 
 
 
8) INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 
 
8.1) ESFERA INSCRITA EM UM CUBO 
 
 
 
2
a
r =
 
 
 
8.2) CUBO INSCRITA EM UMA ESFERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2 3
(2 ) ( 2)
2
a
R a a R= +  = 
 
 
 
 
 
 
8.3) CILINDRO CIRCULAR RETO INSCRITO NUMA ESFERA 
 
2 2 2
2 2 2
(2 ) (2 r)
4 4
R h
R h r
= +
 = + 
 
 
 
 
 
 
8.4) ESFERA INSCRITA NUM CILINDRO CIRCULAR RETO 
 
2h R e R r
R Raio da esfera
r Raio do cilindro
h Altura do cilindro
= =
→
→
→
 
 
 
 
8.5) CILINDRO CIRCULAR RETO INSCRITO NUM CUBO 
 
2
a
R e h a= = 
 
 
 
R Raio da esfera
r Raio do cilindro
h Altura do cilindro
→
→
→
 
 
8.6) CUBO INSCRITO NUM CILINDRO CIRCULAR RETO 
 
2R a e h a= = 
 
 
 
8.7) ESFERA INSCRITA NUM CONE 
Os triângulos ABC e AOD são 
semelhantes, então: 
2 2 2
1)
2)
r h r g R
R g h
g h R
− −
= =
= +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.8) CONE INSCRITO NUMA ESFERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 .(2 )r h R h= − 
 
R Raio da base do cone
r Raio da esfera
h Altura do cone
g geratriz do cone
→
→
→
→
2 2 2( )R r h R= + −
R Raio da esfera
r Raio da base do cone
h Altura do cone
g Geratriz do cone
→
→
→
→
 
LISTA DE EXERCÍCIOS-5 
1. O recipiente da figura é feito de madeira com densidade 0,7 g/cm3 e tem a 
forma de uma semiesfera com raio externo de 20 cm e raio interno de 17 
cm. Calcule a massa, em quilogramas, desse recipiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um sorveteiro vende sorvetes em casquinhas de biscoito que têm a forma 
de cone de 3 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. As casquinhas são 
totalmente preenchidas de sorvete e, ainda, nelas é superposta uma meia 
bola de sorvete de mesmo diâmetro do cone. Os recipientes onde é 
armazenado o sorvete têm a forma cilíndrica de 18 cm de diâmetro e 5 cm 
de profundidade. Determine o 
número de casquinhas que podem 
ser servidas com o sorvete 
armazenado em um recipiente 
cheio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma loja vende bolinhas de gude em embalagens cilíndricas, cada qual 
contendo 6 unidades, conforme mostra a figura ao lado. 
Se cada bolinha tem 1,8 cm de diâmetro, determine o volume do ar existente 
entre a embalagem e as bolinhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um plano, distante 18 cm do centro de uma esfera, determina nela um 
círculo cuja área é igual a 576 cm2. Determine a área da superfície e o 
volume da esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma esfera foi fundida e transformada em um cilindro reto. Considerando 
que as medidas de raio da esfera e do raio da base do cilindro são ambas 
iguais a 6 dm, determine a área total da superfície do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10 cm de profundidade, 4 
cm de diâmetro na base circular e tem aí colocada duas conchas de sorvete 
semiesféricas de mesmo diâmetro d. Se o sorvete derreter para dentro do 
copinho, qual é a medida do diâmetro d dessas conchas semiesféricas, para 
que o volume do copinho seja igual ao volume das duas conchas 
semiesféricas? 
a) 10 cm 
b) 2 3 cm 
c) 3 cm 
d) 3 10 cm 
e) 2 3 10 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus 
convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura-1), porém um 
acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses 
recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo 
com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o 
volume de champanhe nos dois tipos de taça fosse igual. 
 
Sabendo que a taça em formato de hemisfério é servida completamente cheia, 
a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em 
centímetros, é de: 
a) 1,33 b) 6,00 c) 12,00 d) 56,22 e) 113,04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. No interior de um tubo, em forma de cilindro circular reto, de altura h = 20 
cm e raio da base r = 2 cm , coloca-se o maior número possível de esferas, 
conforme figura ao lado. O volume interior do cilindro e exterior às esferas, 
em cm3, é: 
 
a) 
3
80
 d) 
3
160
 
b) 
3
102
 e) 80 
c) 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Um pino de aço maciço tem a forma de um cilindro circular reto acoplado a 
uma semiesfera, cujo diâmetro mede 3 cm, conforme mostra a figura. 
Se a parte cilíndrica tem 6 cm de altura, o volume desse pino, em 
centímetros cúbicos, é: 
 
a) 72 d) 16 
b) 
2
63
 e) 7 
c) 
4
63
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja 
de forma esférica, com diâmetro de 2 cm, é colocada dentro do cálice. 
Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas paredes laterais do cálice e 
o líquido recobre exatamente a cerejaa uma altura de 4 cm a partir do 
vértice do cone, determinar o valor de V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. A região R da figura está limitada por três semicírculos. 
Sabendo que R efetua uma volta completa em torno do eixo do x, calcule o 
volume do sólido gerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 TÓPICO-1-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
 
 
Considere o triângulo retângulo da figura: 
 
 
Temos que: 
 Seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse 
ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
 
ˆˆ b c
SenB e SenC
a a
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a 
esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
 
ˆˆCos Cos
c b
B e C
a a
= =
 
 
 
 
 
 Tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto ao 
ângulo e a medida do cateto adjacente ao ângulo. 
 
 
ˆˆ b c
tgB e tgC
c b
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cotangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente 
ao ângulo e a medida do cateto oposto ao ângulo 
 
 
ˆˆ c b
cotgB e cotgC
b c
= =
 
 
 
 Secante de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao 
ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
 
ˆˆec ec
a a
s B e s C
c b
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cossecante de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto ao 
ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
 
ˆˆos c os ec
a a
c se B e c s C
b c
= =
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dado o triângulo abaixo calcule: 
 
ˆˆ) )
ˆˆ) os ) os
ˆˆ) )
ˆˆ) )
ˆˆ) ec ) c
ˆˆ) ossec ) ossec
a senB b senC
c c B d c C
e tgB f tgC
g cotgB h cotgC
i s B j se C
k c B l c C
= =
= =
= =
= =
= =
= =
 
 
OBS: Co-funções de ângulos complementares (soma igual a 90°) são 
iguais, isto é : 
Se 90 + =  , então: 
cos
cos
cot
cot
sec cossec
sec cossec
sen
sen
tg g
tg g
 
 
 
 
 
 
=
=
=
=
=
=
 
 
Exemplos: 
60 cos30
20 cos70
40 cot 50
10 cot 80
sec1 cossec89
sec23 cossec67
sen
sen
tg g
tg g
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 
 
VALORES NOTÁVEIS 
 
 
Demonstrações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Relações Fundamentais e Auxiliares 
 
Para um ângulo x qualquer temos que: 
 
2 2
2 2
2 2
1) cos 1
1
2)
cos cot
cos 1
3)cot
1
4)sec
cos
1
5)cossec
6)sec 1
7)cossec 1 cot
Sen x x
senx
tgx
x x
x
gx
senx tgx
x
x
x
senx
x tg x
x g x
+ =
= =
= =
=
=
= +
= +
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Duas rodovias A e B encontram-se em O, formando um ângulo de 30°. Na 
rodovia A existe um posto de gasolina que dista 5 km de O. O posto dista da 
rodovia B. 
 
a) 5 km 
b) 10 km 
c) 2,5 km 
d) 15 km 
e) 1,25 km 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A partir de um ponto observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 
30°. Caminhando 23m em direção ao prédio, atingimos outro ponto de onde se 
vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando a altura do 
observador, a altura do prédio em metros é: 
 
a) entre 10 e 12 d) entre 18 e 19 
b) entre 12 e 15 e) maior que 19 
c) entre 15 e 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo 
de 60°. Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a ver o edifício sob um ângulo 
de 45°. Qual é a altura do prédio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. 
Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo  em relação 
ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto 
R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, 
esse observador mede um ângulo  em relação ao ponto Q no edifício Y. 
Sabendo que a altura do edifício X é 10 
m e que 3 4tg tg = , a altura h do 
edifício Y, em metros , é 
 
40 50
) )
3 4
)30 )40 )50
a b
c d e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer 
isso ele colocou um teodolito (instrumento óptico para medir ângulos) a 200m 
do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir . 
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 m do solo, pode-se concluir que, 
entre os valores a seguir, o que melhor se aproxima da altura do edifício, em 
metros, é: 
 
a) 112 
b) 115 
c) 117 
d) 20 
e) 124 
 
OBS: Use os valores sen30°=0,5 
Cos30°=0,866 
Tg30°=0,577 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Se x, y são números reais tais que: 
y = 
xsenxcos
xsecxcos2xcos
2
3

+−
, então: 
a. y = sec2x 
b. y = cossec2x 
c. y = tg2x 
d. y = sen2x 
e. y = cos2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Se tgx = a então, podemos afirmar que 
xcosxsenxsen1
xcosxcosxsen2
22 −+−
−
 é igual a: 
 
a. a 
b. 2a 
c. 
1
a
 
d. 
3
a2
 
e. 4a 
 
 
 
 
 
 TÓPICOS-II-CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
 MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS 
 
 ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA 
 
Seja uma circunferência, na qual são tomados dois pontos A e B. A 
circunferência ficará dividida em duas partes chamadas arcos. Os pontos A e 
B são as extremidades desses arcos. 
 
Quando A e B coincidem, um desses arcos é chamado nulo e o outro, 
arco de uma volta; diremos que o arco nulo tem por medida 0° e o arco de uma 
volta tem por medida 360°. Assim o arco de 1 grau (1°) é o arco igual 
360
1
 do 
arco de uma volta. 
Como submúltiplos do grau, temos; 
• minuto (1’) = 
60
1
do grau. 
• segundo (1”) = 
60
1
 do minuto = 
3600
1
 do grau. 
Então: 1° = 60’ = 3600” 
 1’ = 60” 
 Medida de Arcos em Radianos 
 
A medida de um arco, em 
radianos, é a razão entre o comprimento 
do arco e o raio da circunferência sobre a 
qual este arco está determinado, assim: 
( )comp AB
r
 = 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
1) O arco AB mede 1 radiano (1 rad), se o seu comprimento é igual ao 
raio da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A medida de um arco, em radianos, é um número real “puro” e 
portanto, é costume omitir o símbolo rad. Ex.: se escrevermos que 
um arco mede 3, fica subentendido que sua medida é de 3 radianos. 
3) O arco de uma volta, cuja medida em graus é 360°, tem comprimento 
igual a 2 r Logo, sua medida em radianos será: 
 
( ) 2
2 6,28
comp AB r
rad
r r

 = = =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Medida de Ângulos e Arcos 
 
 Grau(°) Grado (gr) Radiano 
(rad) 
 
90 100 
2

 
 
180 200  
 
270 300 
2
3
 
 
360 400 2 
• Sistema sexagesimal: graus. 
• Sistema centesimal: grados. 
• Sistema circular: radianos. 
As conversões entre os sistemas são feitas por meio de uma regra de 
três, utilizando-se os pares: 
180 200 180 200rad ou rad gr ou gr     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Transforme em radianos os arcos: 
 
a) 200° b) 160° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Transforme em graus os arcos: 
 
7 5
) )
4 6
a rad b rad
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Medida de Ângulos 
 
Seja rÔs um ângulo de vértices O e lados nas semi-retas 
Or e Os , tomemos uma circunferência de centro no ponto O e raio 
qualquer. 
Os pontos da circunferência e que pertencem à região 
angular formam um arco AB. Adota-se como medida do ângulo AÔB, 
a própria medida (em graus ou radianos) do arco AB. Assim sendo, 
a medida (em graus ou radianos) de um arco AB é igual à medida do ângulo 
central AÔB correspondente ao arco. 
 COMPRIMENTO DE UM ARCO 
 
Da circunferênciada figura, obtemos a relação: 
 
Comprimento da circunferência: 
2C R= 
Comprimento de um arco: 
 em graus 180
R
l
 
=
 
 
 
 
 
  em radiano l R= 
 
 

 Ciclo Trigonométrico 
 
Chamamos de ciclo trigonométrico a uma circunferência de raio 
unitário na qual fixamos um ponto (A) como origem dos arcos e adotamos o 
sentido anti-horário como sendo o positivo e o sentido 
horário como sendo o negativo. 
OBS:O ponto A no ciclo trigonométrico é a 
origem de todos os arcos. 
 
 
 Arco Trigonométrico 
 
Chamamos de arco trigonométrico AP ao conjunto dos “infinitos” 
arcos de origem A e extremidade P. Estes arcos são obtidos partindo-se da 
origem A e girando em qualquer sentido (positivo ou negativo) até a extremidade 
P, seja na primeira passagem ou após várias voltas completas no ciclo 
trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARCOS CONGRUENTES OU CÔNGRUOS 
Como os arcos, no ciclo trigonométrico, têm a mesma origem (A), 
dizemos que arcos côngruos são arcos no ciclo trigonométrico que possuem a 
mesma extremidade. 
Exemplos: 
São côngruos por exemplo os arcos: 
30
30 360 390
30 2.360 750
30 3.360 1110
......................................
30 360 330
30 2.360 690
30 3.360 1050
........................................
30 .360 ,k k








= 
= +  = 
= +  = 
= +  = 
= −  = − 
= −  = − 
= −  = − 
= +  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conjunto das Determinações de um Arco (ou ângulo) Trigonométrico 
 
Chamamos determinação de um arco AP , à medida desse arco 
precedida de um sinal de  ou – conforme o sentido de percurso de A para P 
seja anti-horário ou horário. Portanto a um arco trigonométrico AP associamos 
infinitas determinações, que são obtidas adicionando-se e subtraindo-se 
múltiplos inteiros de 2 (ou 360°) à 1ª determinação (positiva ou negativa) e que 
vão construir o conjunto das determinações do arco trigonométrico. 
Exemplos: 
60 1ª det .
60 360 420 2ª det .
60 60 2.360 780 3ª det .
..................................................................
60 .360 , cos
positiva
positiva
Se positiva
k k Expressão geral dos ar côngr


 

= →
= +  = →
=  = +  = →
= +   → 60 .uos a







 
40 1ª det .
40 360 400 2ª det .
40 40 2.360 760 3ª det .
..................................................................
40 .360 , c
negativa
negativa
Se negativa
k k Expressão geral dos ar


 

= − →
= − −  = − →
= −  = − −  = − →
= − +   → os 40 .côngruos a






− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Determinar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que 
está assinalando: 
 
a) 1h 26 min 
b) 2h 52 min 
c) 15h 37 min 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar a 1ª determinação positiva, a 1ª determinação negativa, a 5ª 
determinação positiva, a 6ª determinação negativa e a expressão geral dos arcos 
côngruos aos arcos abaixo: 
 
55 87
)400 ) 1230 ) )
7 13
a b c rad d rad
 
 −  − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) O comprimento da curva representada pela figura ao lado é: 
 
a) 53 cm 
b) 60 cm 
c) 120 cm 
d) 43 cm 
e) 96 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Em uma engrenagem, uma roda tem 90 cm de comprimento e dá 600 
voltas, enquanto outra, menor, dá 1800 voltas. O raio da roda menor, em 
centímetros, é: 
 
12 15 5
) ) )
2
3
) )
2
a b c
d e
  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta coordenada na direção 
positiva, como representado na figura a seguir: 
 
 
 
Considerando-se que o ponto P está inicialmente na origem, a coordenada de P, 
após 10 voltas completas, estará entre 
 
a) 60 e 62 
b) 62 e 64 
c) 64 e 66 
d) 66 e 68 
e) 68 e 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TÓPICO-3-FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 3.1-FUNÇÃO SENO 
 
 Conceituação 
 
Consideremos a função :f → abaixo que associa cada número real 
x ao senx. 
 
 
 
 
 
 
: ; ( )f f x senx→ = 
 
No ciclo trigonométrico, temos: 
 
 
( ) 1sen AP OP= 
 
OBS: No ciclo trigonométrico o senx é o valor da ordenada do ponto 
P(cosx;senx) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores Notáveis 
 
x Sen(x) 
0° = 0 0 
30
6

 = 1
2
 
45
4

 = 2
2
 
60
3

 = 3
2
 
90
2

 = 
1 
180  = 0 
3
270
2

 = 
–1 
360 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro Resumo: y = senx 
 
Quadrantes Sinal Variação de x Variação de 
y = sen(x) 
Crescimento 
I + [0; /2] 0 → 1 crescente 
II + [/2; ] 1 → 0 decrescente 
III – [; 3/2] 0 → –1 decrescente 
IV – [3/2; 2] –1 → 0 crescente 
 
 Gráfico da Função y = senx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
:
:
Im :Im 1;1 / 1 1
1 1
Domínio D
Contradomínio CD
agem y y
senx
=
=
= − =  −  
−  
 
Paridade: A função seno é uma função ímpar, isto é: 
( ) ( )Sen x Sen x− = − 
Exemplos: Sen(-30°)=- Sen(30°) 
Período: 2P = 
 
 
 
 
 FUNÇÃO COSSENO 
 
 Conceituação 
Consideremos a função :g → abaixo que associa cada número real 
x ao cos x. 
 
 
 
 
 
: ; ( ) cosf f x x→ = 
 
No ciclo trigonométrico, temos: 
 
( ) 2Cos AP OP= 
 
 
OBS: No ciclo trigonométrico o Cosx é o valor da abscissa do ponto 
P(cosx; senx) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores notáveis 
 
X Cos(x) 
0° = 0 1 
30
6

 = 3
2
 
45
4

 = 2
2
 
60
3

 = 
1
2
 
90
2

 = 
0 
180  = –1 
3
270
2

 = 
0 
360 2 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro Resumo: y = cos x 
 
Quadrantes Sinal Variação 
de x 
Variação de 
y = cos(x) 
Crescimento 
I + [0; /2] 1 → 0 decrescente 
II – [/2; ] 0 → –1 decrescente 
III – [; 3/2] –1 → 0 crescente 
IV + [3/2; 2] 0 → 1 crescente 
 
 Gráfico da Função y = cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
:
Im :Im 1;1 / 1 1
1 Cos 1
:
: 2
Domínio D
agem y y
x
Contradomínio CD
Período P 
=
= − =  −  
−  
=
=
 
Paridade: A função cosseno é uma função par, isto é: 
Cos( ) Cos( )x x− = 
Exemplo: cos (-50°) =cos (50°) 
 FUNÇÃO TANGENTE 
 
 Conceituação 
 
Consideremos o conjunto / ,
2
D x x k k


 
=   +  
 
. Chama-se 
função tangente a função f: D → IR que associa cada x, x  D, à tg x. 
 
: / , ;
2
( )
f x x k k
f x tgx


 
  +  → 
 
=
 
 
No ciclo trigonométrico, temos: 
 
( )tg AP AT=
 
( )
cos
senx
tg x
x
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores notáveis 
 
x tg(x) 
0° = 0 0 
30
6

 = 3
3
 
45
4

 = 
1 
60
3

 = 3 
90
2

 =  
180  = 0 
3
270
2

 =  
360 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro Resumo: y = tg x 
 
Quadrantes Sinal Variação 
de x 
Variação de y = 
tg x 
Crescimento 
I + [0; /2[ 0 → + crescente 
II – ]/2; ] – → 0 crescente 
III + [; 3/2[ 0 → + crescente 
IV – ]3/2; 2]  → 0 crescente 
 
 Gráfico da Função y = tg x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio 
/ ,
2
D x x k k


 
=   +  
 
 
 
Imagem 
Im = 
Contradomínio 
CD = 
Período: P = 
Paridade: A função tangente é uma função ímpar, isto é, 
( ) ( )tg x tg x− = − 
Exemplo: tg(-40°)= - tg40° 
 
 FUNÇÃO COTANGENTE 
 
 Conceituação 
 
Consideremos  / ,D x x k k=    Chama-se função 
cotangente a função :f D → que associa cada x, x  D, à cotg x. 
 
 
 
 
 
 : / , ;
( )
f x x k k
f x cotgx
   →
=
 
 
No ciclo trigonométrico, temos: 
 
( )Cotg AP BD= 
 
( )
cos x
cotg x
senx
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores notáveis 
 
X Cotg(x) 
0° = 0  
30
6

 = 3 
45
4

 = 
1 
60
3

 = 3
3
 
90
2

 = 
0 
180  =  
3
270
2

 =0 
360 2 =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro Resumo: y = cotg x 
 
Quadrantes Sinal Variação 
de x 
Variação de 
y = cotg(x) 
Crescimento 
I + ]0; /2] + → 0 decrescente 
II – [/2; [ 0 → – decrescente 
III + ]; 3/2] + → 0 decrescente 
IV – [3/2; 2[ 0 → – decrescente 
 Gráfico da Função y = cotg(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : / ,
Im :Im
:
:
Domínio D x x k k
agem
Contradomínio CD
Período P


=   
=
=
=
 
Paridade: A função cotangente é uma função ímpar, isto é: 
Co ( ) Co ( )tg x tg x− = − 
Exemplo: cotg(-70°)=- cotg(70°) 
 
 FUNÇÃO SECANTE 
 
 Conceituação 
 
Seja / ,
2
D x x k k


 
=   +  
 
. Chama-se função secante a função 
f: D → IR que associa a cada número x, x  D, à sec(x). 
 
 
 
 
 
No ciclo trigonométrico, temos: 
 
( )sec AP OS= 
 
( )
1
sec
cos( )
x
x
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores notáveis 
 
x Sec(x) 
0° = 0 1 
30
6

 = 2 3
3
 
45
4

 = 2 
60
3

 = 
2 
90
2

 =  
180  = –1 
3
270
2

 =  
360 2 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro Resumo: y = sec x 
 
Quadrantes Sinal Variação 
de x 
Variação de y = 
sec x 
Crescimento 
I + [0; /2[ 1 → + crescente 
II – ]/2; ] – → –1 crescente 
III – [; 3/2[ –1 → – decrescente 
IV + ]3/2; 2] + → 1 decrescente 
 
 Gráfico da Função y = sec(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
: / ,
2
Im :Im ] ; 1] [1; [
Im / 1 1
sec( ) 1 sec( ) 1
:
: 2
Domínio D x x k k
agem ou
y y ou y
x ou x
Contradomínio CD
Período P



 
=   +  
 
= − −  +
=   − 
 − 
=
=
 
Paridade: A função secante é par, pois: sec( ) sec( )x x− = 
Exemplo: sec(-20°) =sec(20°) 
 
 FUNÇÃO COSSECANTE 
 
Seja  / ,D x x k k=    . Chama-se função cossecante a função 
:f D → que associa cada número x, x  D, à cossec(x) 
 
 
 
 
No ciclo trigonométrico, temos: 
 
( )cossec
1
cossec( )
( )
AP OC
e
x
sen x
=
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores notáveis 
 
x Cossec(x) 
0° = 0  
30
6

 = 
2 
45
4

 = 2 
60
3

 = 2 3
3
 
90
2

 = 
1 
180  = 
 
3
270
2

 = 
-1 
360 2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro Resumo: y = cossec(x) 
 
Quadrantes Sinal Variação 
de x 
Variação de y = 
cossec x 
Crescimento 
I + ]0; /2] + → 1 decrescente 
II + [/2; [ 1 → + crescente 
III – ]; 3/2] – → –1 crescente 
IV – [3/2; 2[ –1 → – decrescente 
 
 Gráfico da Função y = cossec x 
 
 
 
 
 
 
 
 
: / ,
Im :Im ] ; 1] [1; [
Im / 1 1
cossec( ) 1 cossec( ) 1
:
: 2
Domínio D x x k k
agem ou
y y ou y
x ou x
Contradomínio CD
Período P


=   
= − −  +
=   − 
 − 
=
=
 
Paridade: A função cossecante é ímpar, pois: cossec( ) cossec( )x x− = − 
Exemplo: cossec(-50°) = -cossec(50°) 
 
 
 
 
 
 
OBS: CÁLCULO DO DOMÍNIO, PERÍODO E IMAGEM DAS FUNÇÕES DO 
TIPO: 
1) ( )
2) cos( )
3) ( )
4) cot ( )
5) sec( )
6) cossec( )
y a bsen mx n
y a b mx n
y a btg mx n
y a b g mx n
y a b mx n
y a b mx n
= + +
= + +
= + +
= + +
= + +
= + +
 
DOMÍNIO: 
 
 
t
; / ,
os Sec 2
/ ,
Cossec
Sen g
D D x x k k
C
Cotg
D x x k k



   
= =   +    
  

=   

 
 
IMAGEM 
 
 
 
Im ; /
cos
Im
cot
sec
Im ( ; ) [ ; ) /
cossec
sen
a b a b y a b y a b
tg
g
a b a b y y a b ou y a b

=  − +  =  −   +  


=


= − −  + + =   −  +

 
 
PERÍODO 
cos 2
sec cot
cossec
sen
tg
P e P
gm m
 



= = 


 
EXERCÍCIOS 
1) Construa o gráfico das funções abaixo dando o domínio, o período e a 
imagem de cada uma delas. 
 
) 2 (3 )a y sen x= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 3cos( )
2
x
b y = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se 
6
3 4 ( )
3
k
sen x
−
− = ,determine o intervalo de variação de k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Se x  [; 3/2[ e 2 cos x = 3k – 1, então k varia no intervalo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) O gráfico ao lado representa a função: 
 
 
a. y = –2  cos x 
b. y = cos 
2
x
 
c. y = 2  sen x 
d. y = sen 
2
x
 
e. y = 2  sen 2x 
 
 
 
 
 
8) A atração gravitacional que existe entre a Terra e a Lua provoca, entre 
outros fenômenos, o da chamada maré astronômica, que se caracteriza pelo 
periódico aumento e diminuição do nível do mar. Medindo e tabulando essas 
variações, os estudiosos do assunto podem descrever matematicamente o 
comportamento do nível do mar em determinado local por meio de uma função. 
A fórmula a seguir corresponde a medições feitas na cidade de Boston, no dia 
10 de fevereiro de 1990. 
 
h(t) 1,5 1,4 cos t
6
π 
= +   
 
 
 
Nessa função, h(t) (em metros) corresponde à altura do nível do mar, e t, ao 
tempo transcorrido desde a meia-noite (em horas). Com base nessas 
informações, quantas horas se passaram desde o início da medição até que o 
nível do mar tenha atingido 2,2 metros pela primeira vez? 
 
a) 2 horas c) 4 horas e) 6 horas 
b) 3 horas d) 5 horas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Em uma área de proteção ambiental existe uma população de coelhos. 
Com o aumento natural da quantidade de coelhos, há muita oferta de alimento 
para os predadores. Os predadores com a oferta de alimento também 
aumentam seu número e abatem mais coelhos. O número de coelhos volta 
então a cair. Forma-se assim um ciclo de oscilação do número de coelhos 
nesta reserva. 
Considerando-se que a população p(t) de coelhos fica bem modelada por 
2 t
p(t) 1.000 250 sen ,
360
π 
= −  
 
 sendo t 0 a quantidade de dias decorridos, e o 
argumento da função seno é medido em radianos, pode-se afirmar que 
 
a) a população de coelhos é sempre menor ou igual a 1.000 indivíduos. 
b) em quatro anos a população de coelhos estará extinta. 
c) a população de coelhos dobrará em 3 anos. 
d) a quantidade de coelhos só volta a ser de 1.000 indivíduos depois de 360 
dias. 
e) a população de coelhos atinge seu máximo em 1.250 indivíduos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), 
produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de 
produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que 
a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços 
elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de 
produção máxima da safra. 
 A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do 
quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função 
x
P(x) 8 5cos ,
6
π π− 
= +  
 
 onde x representa o mês do ano, sendo x 1= associado 
ao mês de janeiro, x 2= ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até 
x 12= associado ao mês de dezembro. Na safra, o mês de produção máxima 
desse produto é 
 
a) janeiro. b) abril. c) junho. d) julho. e) outubro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TÓPICO-4-Redução ao primeiro quadrante, Equações e inequações 
trigonométricas 
 ARCOS DE MEDIDAS ,  – ,  +  e 2 –  
Dado um arco de medida , com extremidade no 1° quadrante, temos: 
 
 
 
 
1) ( )
2)cos( ) cos
3) ( )
4)cot ( ) cot
5)sec( ) sec
6)cossec( ) cossec
sen sen
tg tg
g g
  
  
  
  
  
  
− =
− = −
− = −
− = −
− = −
− =
 
 
1) ( )
2)cos( ) cos
3) ( )
4)cot ( ) cot
5)sec( ) sec
6)cossec( ) cossec
sen sen
tg tg
g g
  
  
  
  
  
  
+ = −
+ = −
+ =
+ =
+ = −
+ = −
 
 
 
1) (2 )
2)cos(2 ) cos
3) (2 )
4)cot (2 ) cot
5)sec(2 ) sec
6)cossec(2 ) cossec
sen sen
tg tgg g
  
  
  
  
  
  
− = −
− =
− = −
− = −
− =
− = −
 
OBS:Se  for uma medida em graus, então essas relações devem ser expressas 
como: 
sen (180° – ) = sen ; 
cos (180° – ) = – cos ; 
sen (180° + ) = – sen ; 
cos (180° + ) = – cos ; 
sen (360° – ) = – sen ; 
cos (360° – ) = cos . 
 
OBS: Mesmo que a extremidade do arco de medida  não seja ponto do 1° 
quadrante, as relações anteriores continuam verdadeiras. 
OBS:De modo geral: ( ) ( )F k x F x  = e estuda o sinal, com k  Z. 
 
Exemplos1: 
 
( 15 )
cos(45 ) cos
( 151 )
cot ( 50 ) cot
sec( 153 2 ) sec(2 )
cossec(48 3 ) cossec
sen x senx
x x
tg x tgx
g x gx
x x
x x






− + = −
− = −
− − = −
− + = +
− + = −
− = −
 
 
Exemplos2: Calcule o valor de: 
 
a) Sen120° 
b) Cos150° 
c) Tg240° 
d) Sen315º 
e) Cos210° 
f) Tg225° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ARCOS DE MEDIDAS , α
2
π  e απ 
2
3
 
 
Consideremos um arco de medida , com extremidade no 1° quadrante. 
Vamos estudar as relações existentes entre o seno e cosseno de  com o seno 
e o cosseno de cada um dos arcos, +

−

2
,
2
, +

−

2
3
e
2
3
. 
 Medidas  e α
2
π
− 
 
 
Os triângulos OMP e ONQ são 
congruentes. Logo, temos: 
I) A ordenada de N é igual à abscissa 
de M, isto é: 





−

2
sen = cos . 
II) A abscissa de N é igual à ordenada de M, isto é: =





−

sen
2
cos . 
 Medidas  e α+
2
π
 
 
 
Os triângulos OMP e ONQ são congruentes. Logo, temos: 
I) A ordenada de N é igual à abscissa de M, isto é: =





+

cos
2
sen 
II) A abscissa de N é o oposto da ordenada de M, isto é: −=





+

sen
2
cos 
 Medidas  e α−
2
3 π
 
 
Os triângulos OMP e ONQ são congruentes. Logo, temos:. 
I) A ordenada de N é o oposto da abscissa de M, isto é: −=





−

cos
2
3
sen
. 
II) A abscissa de N é o oposto da ordenada de M, isto é: −=





−

sen
2
3
cos 
 Medidas  e α+
2
3 π
 
 
Os triângulos OMP e ONQ são congruentes. Logo, temos: 
I) A ordenada de N é o oposto da abscissa de M, isto é: −=





+

cos
2
3
sen
. 
II) A abscissa de N é o oposto à ordenada de M, isto é: =





+

sen
2
3
cos 
OBS: Mesmo que a extremidade do arco  não seja ponto do 1º quadrante, as 
oito relações anteriores continuam verdadeiras. 
De modo geral: 
 
 
 
 
 
 
E estuda o sinal. 
Exemplos: 
3
( ) cos
2
5
cos( )
2
5
( ) cot
2
11
cot ( )
2
7
sec( ) cossec
2
7
cossec( ) sec
2
sen x x
x senx
tg x gx
g x tgx
x x
x x






− + =
− =
− + = −
− + = −
− = −
− − = +
 
Exercícios 
 
1) Calcule o valor de A = sen (1680°) – cos (–2640°). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Simplifique a expressão: 
 
A = 
)x
2
7
sec(cos)x
2
5
(tg)x(gcot
)x2sec()x48cos()xx37sen(
−

−+

−−
−−−−−−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A expressão abaixo, na sua forma mais simplificada é 
 
 
)x2sen(x
2
3
sec)x(gcot
x
2
cosx
2
3
sec)x(tg
−





+

−






+







−

+
 
a) sec2x c) –tg2x e) –cotg2x 
b) tg2x d) cotg2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Resolva em, , as equações a seguir: 
 
) 2 (2 ) 1 0a sen x + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 2cos 3 0
3
x
b
 
− − = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 2cos 3 0
3
x
b
 
− − = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )2)2cos 3c x senx= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Resolva em, , as inequações a seguir: 
 
1
)
2
a senx  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
)cos
2
b x  − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
) (2 )
2
c sen x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS 
 
A trigonometria permite determinar elementos (lados ou ângulos) não 
dados de um triângulo. 
O cálculo dessas resoluções, em um triângulo qualquer se fundamenta 
em relações existentes entre os elementos do triângulo (lados e ângulos). As 
relações mais importantes são conhecidas como Lei dos senos e Lei dos 
cossenos. 
 
 LEI DOS SENOS 
 
“Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos 
dos ângulos opostos e a razão de proporcionalidade é a medida do diâmetro da 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
Consideremos o triângulo ABC, inscrito na circunferência de raio R. 
Verifica-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lei do cossenos 
 
Em todo o triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual a soma 
dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas 
medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam. 
Seja o triângulo ABC, da figura. Verifica-se que: 
 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos( )
2 cos( )
2 cos( )
a b c bc A ou
b a c ac B ou
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. A figura ao lado representa um terreno ABC de forma triangular, com as 
medidas indicadas. Pretendendo-se dividir, com uma cerca o terreno em duas 
partes ABM e BMC, a extensão, em metros, de BM é: 
a) 11 
b) 10 
c) 9 
d) 8 
e) 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens 
opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A 
afasta-se 20 m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois 
caminha em linha reta até o ponto D, a 40 cm de C, do qual ainda pode ver as 
árvores. Tendo verificado que os ângulos BCD e BDC medem, respectivamente, 
cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, 
se usou aproximação 6 = 2,4? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um terreno plano, em forma do quadrilátero ABCD, possui um de seus lados 
medindo 90 m, os lados AB e CD paralelos e dois ângulos opostos medindo 
30° e 60°. Além disso, a diagonal AC desse terreno forma 45° com o lado 
CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a medida do menor lado desse terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um fazendeiro pretende instalar um sistema de irrigação retilíneo, ligando 
os pontos B e D de sua propriedade rural, representada na figura seguinte 
pelo quadrilátero ABCD. Considerando que 5AB AD km= = , 80ADC =  , e 
que BD BC= , qual será o custo total da instalação sabendo que o custo por 
quilômetro é de R$ 500,00? Adote: 3 1,7= .