AULA 6 Cálculo de área

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6ºAula
Cálculo de área 
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• compreender a aplicação da integral definida;
• determinar a área entre curvas a partir da integral definida.
As integrais definidas serão aplicadas para a determinação 
de áreas abaixo de uma curva e /ou a área entre duas curvas. 
Bons estudos!
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Cálculo Diferencial e Integral II 30
1. 
Seções de estudo
Cálculo de áreas 
2. Exemplos: exercícios e aplicações
1 - Cálculo de áreas 
Vamos supor duas curvas y=f(x)y=f(x) e y=g(x)y=g(x) em 
um sistema de eixos ortogonais, cuja intersecção entre estas 
curvas se dê nos pontos x=ax=a e x=bx=b, onde a curva 
y=f(x)y=f(x) esteja acima da curva y=g(x)y=g(x) no intervalo 
[a,b][a,b] (SWOKOWSKI, 1994). O que queremos é encontrar 
uma integral que possa representar a área definida entre estas 
curvas. Um meio de pensarmos é adotar retângulos verticais 
de larguras infinitesimais:
Fonte: <https://www.obaricentrodamente.com/2018/05/calculo-de-area-entre-
duas-curvas-atraves-de-integral.html>. Acesso em: 25 mar. 2019.
Os comprimentos dos retângulos são variáveis a cada 
ponto dx e pode ser representado por f(x)-g(x)f(x)-g(x), que é 
a distância da curva inferior à curva superior (FLEMMING; 
GONÇALVES, 1992). A largura dos retângulos são 
infinitesimais e representadas por dx. Desse modo, o elemento 
de área é dado por:
dA=[f(x)-g(x)] dx
A área total da região será dada pela soma das áreas de 
todos os retângulos de larguras infinitesimais no intervalo 
[a,b][a,b]:
Integramos do limite inferior a ao limite superior b, de 
modo que o incremento (ou diferencial) dx seja positivo. 
Devemos assinalar também que a e b são os valores de xx 
para os quais as duas funções têm o mesmo valor y, ou seja, 
são as soluções da equação f(x)=g(x).
O ideal é a que a fórmula da integral seja construída a 
cada problema para que não fique algo mecânico e que assim 
possamos dominar o método (LARSON et al., 1998). Muitas 
vezes fica mais fácil obter a fórmula para a área se pensar 
geometricamente, fazendo um esboço. Em alguns casos 
talvez seja mais conveniente escolher retângulos horizontais, 
de modo que a largura infinitesimal seja dy e a área total será 
em função de y (UNIVERSIADADE DE SÃO PAULO, s.d.).
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Os exemplos e aplicações a seguir são apresentados por 
Rabah (2009).
1) Calcule a área sob a curva y = x2, no intervalo [ 2, 3 ].
ii#>. Acesso em: 24 mar. 2019.
2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 - 4x, o eixo 
x, e as retas x = 1 e x = 3
Acesso em: 24 mar. 2019.
3) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = 
x² – 1 e y = x + 1.
ii#>. Acesso em: 24 mar. 2019.
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Exercícios 
1) ) Encontre a área da região limitada pela curva y = 
x³ - 2x² - 5x + 6, o eixo dos x e as retas x = -1 e x = 2. (Resp. 
157/12 ua)
2) Encontre a área da região limitada pela parábola y² = 
2x – 2 e a reta y = x – 5. (Resp. 18 ua)
3) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x² 
e y = - x² + 4x. (Resp. 8/3 ua)
4) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = 
x³ - 6x² + 8x e y = x² - 4x. (Resp. 71/6 ua)
5) Encontre a área da região limitada pelas curvas y - x = 
6 e y – x³ = 0 e 2y + x = 0. (Resp. 22 ua)
Retomando a aula
1 – Cálculo de áreas 
 Em nossa seção 1, vimos o cálculo de área sob curvas, 
e entre curvas onde a área é definida pela integral inteirada,
2 – Exemplos: exercícios e aplicações
 Na seção 2, vimos a resolução detalhada de exercícios de 
cálculo de áreas por integrais.
Área entre curvas. Disponível em: <https://www.
respondeai.com.br/conteudo/calculo/aplicacao-de-
integrais/area-entre-curvas/495>.
Vale a pena ler
Área do círculo através de integral. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=LNyF_f1oCqg>.
CÁLCULO 1 - semana 5 - aula 6 - Integral Definida, 
área de uma região abaixo do gráfico. Disponível em: <ht-
tps://www.youtube.com/watch?v=-w5jgNO_Zy8>.
Integrais Definidas: Cálculo de Áreas de figuras planas. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=r-
qYl9ITtQ7o>.
Integrais definidas e área negativa | Matematica | 
Khan Academy. Disponível em: <https://www.youtube.
com/watch?v=hxqHjyIXbBk>.
Vale a pena assistir
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