Matemática - Livro 1-283-285

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F
R
E
N
T
E
 3
283
13 Sendo P um ponto do interior do triângulo ABC
tal que os ângulos P ˆBA e P ˆCA medem 30° e 50°
respectivamente, determine a diferença entre as
medidas dos ângulos B ˆPC e B ˆAC
14 Uerj 2015 Uma ferramenta utilizada na construção de
uma rampa é composta pela seguinte estrutura:
• duas varas de madeira, correspondentes aos
segmentos AE e AD, que possuem comprimentos
diferentes e formam o ângulo D ˆAE igual a 45°.
• uma travessa, correspondente ao segmento BC,
que une as duas varas e possui uma marca em
seu ponto médio M.
• um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pe-
dra P na outra extremidade.
• nesse conjunto, os segmentos AB e AC são con-
gruentes.
Observe o esquema que representa essa estrutura.
C
P
M
E
Nível horizontal
FD
B
A
Quando o o passa pelo ponto M, a travessa BC ca
na posição horizontal. Com isso, obtém-se, na reta
que liga os pontos D e E, a inclinação α desejada.
Calcule α, supondo que o ângulo A ˆED mede 85°.
15 A respeito de um triângulo isósceles ABC cuja base
BC é menor que os lados congruentes, sabemos que:
• o ângulo oposto à base mede 36°.
• a bissetriz do ângulo interno de vértice B inter-
cepta o lado oposto no ponto D.
• pelo ponto D, passa uma reta paralela à base BC
do triângulo que intercepta o lado AB no ponto E.
Qual dos pares de triângulos a seguir são con
gruentes um ao outro?
A ABC e ADE.
b ABD e BCE.
C ADE e BCD.
D BCE e CDE
E BCD e CDE.
16 Qual o número inteiro que mais se aproxima da medi-
da em metros:
a) do raio de uma circunferência cujo comprimento
total é de 62,8 m?
) de um arco com 90° de uma circunferência cujo
raio é 7 m?
c) do raio de uma circunferência na qual um arco de
300° tem 2 km de comprimento?
17 IFMG 2012 Uma partícula descreve um arco de 1 080°
sobre uma circunferência de 15 cm de raio. A distância
percorrida por essa partícula, em cm, é igual a:
A 90π
b 120π
C 140π
D 160π
18 A figura a seguir representa um canteiro de plantas
que foi cercado colocando-se uma estaca por metro
ao longo de todo o seu contorno
A
B
Sabendo que o canteiro tem a forma de um setor cir-
cular de raio 14 m e ângulo central de 135°, determine:
a) o comprimento aproximado do arco AB.
) quantas estacas foram usadas.
19 IFSC 2016 Considere a seguinte situação: duran
te a Oktoberfest, em Blumenau SC, um conjunto de
bicicletas com rodas de diâmetro 26 polegadas per-
correu 855,6 m em linha reta, durante o desfile na
Rua XV de Novembro. Sabendo-se que 1 polegada
equivale a 2,5 cm e que π = 3,1, é correto afirmar que,
durante o desfile, a roda realizou:
A 600 voltas.
b 800 voltas.
C menos de 400 voltas.
D mais de 1 200 voltas.
E entre 400 e 500 voltas.
20 Um famoso personagem dos jogos eletrônicos da dé
cada de 1970 tinha o formato de um setor circular com
apenas 0,5 cm de raio e 3,5 cm de perímetro
Determine a medida aproximada do ângulo α.
MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana284
21 Um circuito de corridas ABCDEF é formado por três
arcos e três cordas de uma mesma circunferência que
circunscreve um hexágono regular, como mostra a fi-
gura a seguir.
F
A B
C
DE
Se o raio dessa circunferência mede 100 m, determine
o comprimento aproximado do circuito.
22 No dia do seu aniversário de casamento, João resol-
veu fazer uma surpresa para sua esposa cobrindo o
jardim de sua casa com flores cercadas por um enfeite
constituído de uma série de pequenas lâmpadas liga-
das por um fio. João fez com que esse fio formasse o
contorno de um coração, de acordo com a figura a se-
guir, que apresenta dois quadrados com 1,5 m de lado
e três triângulos equiláteros congruentes entre si.
A B
Sabendo que o o dá apenas uma volta no coração,
que é formado por quatro arcos de circunferência,
tais que duas delas têm seus centros nos centros de
cada um dos quadrados e as outras duas têm centros
nos pontos A e B, o número inteiro mais próximo do
comprimento, em metros, da parte do o que contor
na todo o coração é:
A 7
b 10
C 13
D 26
E 29
23 A espiral regular de cinco centros é construída, com
régua e compasso, a partir dos vértices de um pentá-
gono regular, ABCDE, como mostra a figura a seguir
A
E
P
QC
B
D
S
R
T
Primeiro, usamos a régua para prolongar os lados do
pentágono. Depois, usamos o compasso para traçar
os seguintes arcos:
• EP de centro no ponto A.
• PQ de centro no ponto B
• QR de centro no ponto C.
• RS de centro no ponto D.
• ST de centro no ponto E.
Se o lado do pentágono regular ABCDE mede 1 cm, o
comprimento total da espiral desenhada é de:
A 2π cm.
b 3π cm
C 4π cm.
D 5π cm.
E 6π cm.
24 IFSP 2013 Uma pista de atletismo é formada por duas
raias cujo percurso é formado por duas partes retas
intercaladas com duas semicircunferências, conforme
a figura
Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro
na raia II, quando pararam para descansar. O atleta da
raia II disse que dera 10 voltas na pista e correra mais,
pois sua raia é maior; já o outro atleta discordou, pois
ele acreditava ter dado mais voltas.
Se a semicircunferência tracejada da raia I tem raio
igual a 10 metros, a da raia II tem raio de 12 metros e as
partes retas têm 100 metros de comprimento, então o
número mínimo de voltas que o atleta da raia I deve
completar para correr mais que o outro é:
A 11
b 12
C 13
D 14
E 15
F
R
E
N
T
E
 3
285
25 Unesp 2015 A figura representa duas raias de uma pis-
ta de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar
uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma
das raias. Fábio largará à distância FB da linha de par-
tida para que seu percurso total, de F até a chegada
em C', tenha o mesmo comprimento do que o percur-
so total de André, que irá de A até D'
A
B F C
D
fora de escala
B'
C'
linha de
chegada
raia de André
raia de Fábio
linha
de
partida
D'
E
A'a
Considere os dados:
• ABCD e A'B'C'D' são retângulos
• B', A' e E estão alinhados.
• C, D e E estão alinhados
• A'D eB'C são arcos de circunferência de centro E.
Sabendo que AB = 10 m, BC = 98 m, ED = 30 m,
ED' = 34 m e α = 72°, calcule o comprimento da pista
de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Ado-
te nos cálculos nais π = 3.
26 Uma das características mais marcantes da arquitetu-
ra gótica é o uso dos arcos em forma de ogiva nos
vitrais das janelas. A figura a seguir ilustra o esquema
gráfico típico de um desses vitrais
B C
A
Na ogiva maior, os pontos A, B e C são vértices de um
triângulo equilátero de lado 15 metros, o arco AB tem
centro no ponto C, e o arcoAC tem centro no ponto B.
Sabendo que as ogivas menores são semelhantes à
ogiva maior e que as menores são congruentes entre
si, pode-se concluir que o raio do círculo que tangen-
cia as três ogivas mede:
A 375 cm.
b 400 cm.
C 425 cm.
D 450 cm.
E 475 cm.
27 Na figura a seguir, os arcosQMP eMTQ medem, res
pectivamente, 170° e 130°.
Q
T
M
P
S
N
Determine a medida do arcoMSN.
28 A figura a seguir apresenta uma circunferência e
quatro de seus pontos: A, B, C e D. Nessa circunfe-
rência, o menor arco AB mede 80°, e o menor arco
CD mede 10°.
B
C
D
A
Sabendo que as retas
 
AD e
 
BC se interceptam no
ponto P, e as retas

AC e

BD se interceptam no ponto
Q, calcule as medidas, em graus, dos ângulos agudos
de vértices P e Q, determinados pelas retas

AD ,

BC ,
 
AC e
 
BD .
29 Fuvest 2016 Uma bola de bilhar, inicialmente em re
pouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa
de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e
se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge
a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem
deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmen-
te oposto a P e de θ a medida do ângulo QP̂R
Q
R
P
a) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a
trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ?
) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a
trajetória da bola será perpendicular a PQ?