61 - banestes 2015 intensivao matematica financeira 01 a 20

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 Matemática Financeira p/ BANESTES 
Aulas 20 
BANESTES 
Matemática financeira 
Intensivão 
Professor Pacher 
Aulas: 20 
 
 
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Aulas 20 
 
Apresentação 
Professor Pacher 
 
Bacharel e licenciado em matemática pela PUC-PR, pós-graduação em mecânica celeste e 
história da matemática. Professor de graduação na disciplina matemática financeira, de concursos 
públicos (em matemática, matemática financeira, raciocínio lógico matemático e lógica formal), de 
cursos pré-vestibulares em todas as áreas da matemática e em instituições bancárias em 
matemática financeira. Autor e escritor de materiais nas áreas da matemática e lógica para 
concursos públicos, vestibulares e empresas. Experiência em cursos presenciais e modalidade 
EAD. 
 
Olá 
 
Tenho seis regras que me ensinaram tudo o que sei: O quê?, Porquê?, Quando?, Como?, Onde?, 
e Quem? 
Rudyard Kipling 
 
Eu estou sempre fazendo aquilo que não sou capaz, numa tentativa de aprender como fazê-lo. 
Pablo Picasso 
 
Quem estuda e não pratica o que aprendeu, é como o homem que lavra e não semeia. 
Provérbio Árabe 
 
Se deres um peixe a um homem faminto, vais alimentá-lo por um dia. Se o ensinares a pescar, 
vais alimentá-lo toda a vida. 
Lao-Tsé 
 
Aprenda como se você fosse viver para sempre. Viva como se você fosse morrer amanhã. 
Mahatma Gandhi 
 
O saber a gente aprende com os mestres e os livros. A sabedoria, se aprende é com a vida e com 
os humildes. 
Cora Coralina 
 
Bem aluno e aluna, podíamos ser autores de qualquer frase acima, mas não somos, podemos ser 
praticantes, sim podemos. Estudar sempre será uma grande ideia. Aproveite esse nobre momento 
para fazer história de vida passando num concurso público e nos concursos que a vida quer. Se 
você acreditar em você o tanto quanto nós acreditamos em você, teremos muitos 1º lugares e 
alguns 2º lugares. rsrsrs 
Você se inscreveu para esse preparatório, eu aceitei esse desafio e o Aprova também, então diria 
Carlos Drummond 
”... 
e agora, José? 
e agora, você? 
....” 
 
Seja bem vindo(a) e ótimos estudos. 
Prof Pacher
 
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1. JUROS SIMPLES 
 
Para definir claramente a modalidade de juros simples, usarei o investimento mais popular no 
meio financeiro, a caderneta de poupança. 
 
Consideraremos as condições: 
 
i) Uma aplicação financeira inicial de $ 10 000,00. 
 
ii) A taxa de juro real de 0,5% ao mês, como é remunerada oficialmente. Antes da nova 
regulamentação. 
 
iii) Os juros são produzidos (calculados) mensalmente. 
 
iv) Com vida de 3 meses. Prazo entre a abertura e o encerramento do investimento. 
 
v) Suponha que nesses três meses não houve inflação. 
 
vi) Não há incidência de imposto de renda sobre os ganhos. 
 
vii) O juro mensal É RETIRADO a cada final de mês e não é reinvestido. Mantendo para saldo 
somente o capital e não havendo depósitos intermediários. 
 
Com base no que foi combinado acima, o quadro que segue está preenchido com dados (leia 
cabeçalho da tabela) que ajudarão no entendimento sobre juros simples. 
 
 
Pelos registros na tabela acima vemos que no início de cada intervalo (coluna 2) o capital se 
manteve inalterado. Isto ocorre porque após o cálculo do juro de cada intervalo (coluna 3) ele é 
retirado (coluna 6), resultando no saldo (coluna 7) que servirá para ser o capital no próximo 
intervalo, procedimento que se repetirá até a conclusão de todo o prazo. 
 
Toda a formação financeira que tem esse comportamento será denominada de juros simples. 
 
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2. GRÁFICO – JUROS SIMPLES 
 
O gráfico mostra de forma ilustra a evolução do dinheiro em juros simples. 
Considere 
 
₪ Um capital C 
 
₪ Aplicado a uma taxa i 
 
₪ Durante n unidades de tempo 
 
₪ Unidade de tempo igual o da taxa 
capitalizada. 
 
₪ Transforma-se linearmente em um 
montante M 
 
 
 
3. EQUIVALÊNCIAS RELATIVAS AO ANO COMERCIAL 
 
A ilustração que segue, mostra as equivalências entre unidades de tempo, tomando como base a 
ano comercial -360 dias -. 
 
 
 
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4. RELAÇÕES DE PROPORCIONALIDADES ENTRE TAXAS 
 
A ilustração que segue, mostra as equivalências proporcionais entre taxas, tomando como base a 
ano comercial -360 dias -. 
 
 
 
Para mostrar como devem ser relacionadas entre si duas taxas pelas igualdades acima, considere 
uma taxa dada, supondo que seja a taxa mensal e a outra taxa solicitada, supondo que seja a 
taxa anual. Tomando os membros referentes às duas taxas envolvidas, proceda assim: 
 
 
 
O resultado final é a taxa desejada, no nosso caso a taxa anual equivalente à taxa mensal. 
 
5. FÓRMULAS DERIVADAS DA FÓRMULA PRINCIPAL 
 
 
 
₪ A fórmula 2 é obtida a partir da fórmula 1, isolando C. 
 
₪ A fórmula 3 é obtida a partir da fórmula 1, isolando n. 
 
₪ A fórmula 4 é obtida a partir da fórmula 1, isolando i. 
 
 
 
₪ A fórmula 6 é largamente usada em testes e em situações problemas. 
 
 
 
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TESTES 
 
1. (MAKIYAMA) Ana Paula reformará sua lanchonete e, para tal, adquiriu um empréstimo no valor 
de R$ 9.000,00 com seu pai, a uma taxa de 0,5% a. m. no regime de juros simples. Sabendo que 
Ana Paula pagará seu pai em 3 anos, quanto ela pagará de juros? 
 
A) R$ 1.570,00 
B) R$ 1.580,00 
C) R$ 1.590,00 
D) R$ 1.610,00 
E) R$ 1.620,00 
 
2. (MAKIYAMA) Para completar a entrada que Paulo daria na compra de seu automóvel, sua mãe 
lhe emprestou R$ 5.000,00 a uma taxa de 1,2% a. m. no regime de juros simples. Sabendo que 
ele pagará o empréstimo em 2 anos, qual será o total pago? 
 
A) R$ 6.040,00 
B) R$ 6.240,00 
C) R$ 6.440,00 
D) R$ 6.640,00 
E) R$ 6.840,00. 
 
3. (MAKIYAMA) Adriano se endividou com seu cartão de crédito devido às contas do final do ano 
passado. Para sair dessa situação, resolveu contrair um empréstimo com seu amigo Luís. 
Sabendo que Luís emprestou R$ 3.500,00 a uma taxa de 1,5% a. m. no regime de juros simples e 
que Adriano pagará após um ano, qual será o montante pago por ele após tal período? 
 
A) R$ 3.330,00. 
B) R$ 3.530,00. 
C) R$ 3.730,00. 
D) R$ 3.930,00. 
E) R$ 4.130,00. 
 
4. (BANESTES) Um capital C aplicado a uma taxa de juros simples rende juros mensais de R$ 
80,00. Sabendo-se que em 5 anos o montante é igual a quatro vezes o valor do capital aplicado, 
então a taxa de juros mensal e o capital são, respectivamente, 
 
A) 5% e R$1.600,00.B) 8% e R$1.000,00. 
C) 6,5% e R$1.800,00. 
D) 5,55% e R$1.440,00. 
E) 6,67% e R$1.200,00. 
 
5. (BANESTES) Um capital de R$1.600,00 foi aplicado a uma taxa de 3% ao mês e rendeu juros 
simples de R$336,00. Se esse rendimento foi obtido no final do mês de setembro, então a 
aplicação foi feita no início do mês de 
 
A) janeiro. 
B) fevereiro. 
C) março. 
D) abril. 
E) maio. 
 
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6. (BANESTES) Aplica-se R$ 32.000,00, durante dois anos e meio, a uma taxa de juros simples 
de 5,2% ao trimestre. Ao final do período, o valor dos juros auferidos será igual a 
 
A) a) R$ 8.320,00. 
B) b) R$ 12.480,00. 
C) c) R$ 15.600,00. 
D) d) R$ 16.640,00. 
E) e) R$ 14.560,00. 
 
7. No regime de juros simples, sabendo que a taxa é de 8% ao ano, em quanto tempo um capital 
aplicado a essa taxa duplica? 
 
A) 0,8 anos. 
B) 0,125 anos. 
C) 8 anos. 
D) 12 anos e 5 meses. 
E) 12 anos e 6 meses. 
 
8. Paulo aplicou um capital a juros simples, durante oito meses, a uma taxa de juros de 2,4% ao 
mês. Sabe-se que, após o tempo de aplicação, os juros resultantes da aplicação corresponderam 
a R$ 864,00. Nessas condições, o capital inicial aplicado por Paulo foi igual a 
 
A) R$ 4.100,00. 
B) R$ 4.200,00. 
C) R$ 4.300,00. 
D) R$ 4.400,00. 
E) R$ 4.500,00. 
 
9. Na compra de uma bicicleta que custa R$ 820,00, foi dada uma entrada de R$ 120,00 e o 
restante será pago daqui a 90 dias a uma taxa de juros simples de 1,4% ao mês. Qual é o valor do 
juro pago por essa bicicleta? Considere cada mês com 30 dias. 
 
A) R$ 28,60. 
B) R$ 29,40. 
C) R$ 29,90. 
D) R$ 30,20. 
E) R$ 32,20 
 
10. Um investidor tem um capital de R$ 40.000,00. Se ele investir 60% desse valor por um prazo 
de 6 meses a uma taxa de juros simples de 2% ao mês, que valor de juro obterá? 
 
A) R$ 2.880,00. 
B) R$ 3.000,00. 
C) R$ 3.215,00. 
D) R$ 3.290,00. 
E) R$ 4.100,00. 
 
 
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11. Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros 
contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o 
montante de R$ 11 725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? 
 
A) 4 meses. 
B) 3 meses e 20 dias. 
C) 3 meses e 10 dias. 
D) 3 meses. 
E) 2 meses e 20 dias. 
 
12. Determine a taxa necessária para um capital de R$ 82.000,00 produzir R$ 7.380,00 de juros 
simples, sabendo-se que o prazo de aplicação é de 6 meses. 
 
A) 2,5% a.m. 
B) 0,1% a.m. 
C) 1% a.m. 
D) 2% a.m. 
E) 1,5% a.m. 
 
13. (AOCP) Um produto é vendido à vista por R$ 2 000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira 
de R$ 400,00, no ato da compra, e, a segunda, dois meses após, no valor de R$ 1 760,00. Qual a 
taxa mensal de juros simples utilizada? 
 
A) 3% 
B) 3,5% 
C) 4% 
D) 4,5% 
E) 5% 
 
14. (CESGRANRIO) O valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que permite que um 
investimento de R$ 1.000,00 se transforme em um montante de R$ 1.250,00 num prazo de 20 
meses é: 
 
A) 2,5% ao mês. 
B) 2,0% ao mês. 
C) 1,55% ao mês. 
D) 1,50% ao mês. 
E) 1,25% ao mês. 
 
15. Paulo aplicou R$ 10.000,00 em um fundo de investimentos que rendeu juros de 6% em um 
ano. Ao término desse ano, Paulo manteve aplicados tanto os R$ 10.000,00 quanto os juros 
obtidos nesse primeiro ano e, ainda, aplicou mais R$ 4.400,00. Ele deixou seu dinheiro investido 
por mais um ano e, ao final desses dois anos, seu saldo (valor aplicado mais juros) foi de R$ 
16.050,00. Sabendo-se que, ao longo desses dois anos, Paulo não fez qualquer retirada, qual foi 
a taxa anual de juros no segundo ano? 
 
A) 5% 
B) 6% 
C) 7% 
D) 8% 
E) 9% 
 
 
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16. Uma geladeira é vendida á vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como 
uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa 
mensal de juros simples utilizada? 
 
A) 6% 
B) 5% 
C) 4% 
D) 3% 
E) 2% 
 
GABARITO 
 
1 E 
2 C 
3 E 
4 A 
5 C 
6 D 
7 E 
8 E 
9 B 
10 A 
11 C 
12 E 
13 E 
14 E 
15 C 
16 B 
 
 
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6. TAXA ACUMULADA PARA DUAS OU MAIS ETAPAS 
 
Diariamente ouvimos o termo “taxa acumulada” em muitas referências no mercado financeiro. 
Como: 
 “Taxa acumulada de inflação dos últimos 12 meses.” 
 “Taxa acumulada de juro anual do cartão de crédito” 
 “O dólar acumula uma taxa no ano de ...” 
 “...a taxa overnight acumulada” 
 “No último trimestre a taxa acumulada de juros de empréstimos, chega a ...” 
 e outras 
O nosso objetivo é conhecer a metodologia do cálculo dessas formações acumuladas e sua 
interpretação. 
 
Conceito: 
Se um prazo for dividido em n unidades iguais de tempo, com n>1, e em cada uma dessas 
unidades de tempo for considerada uma taxa percentual de acréscimo (taxa positiva) ou de 
decréscimo (taxa negativa), assim: para n1 a taxa i1%, para n2 a taxa i2%, para n3 a taxa i3%,..., 
para nn a taxa in%, com o comportamento de taxa sobre taxa, então podemos obter uma taxa 
única que as represente, denominada de taxa acumulada “iac%”. 
Como os resultados obtidos pela aplicação da taxa acumulada “iac%” é igual ao resultado obtido 
fazendo-se a aplicação de cada taxa i1%, i2%, i2%,..., in%, na sua respectiva unidade de tempo n1, 
n2, n3,... nn, então dizemos que os resultados são equivalentes. Logo, a taxa acumulada “iac%” 
representa todas as taxas que a compôs. 
 
Procedimentos para o cálculo: Considere o valor real inicial 1 (unitário), e que em cada unidade de 
tempo acresça o valor gerado pela respectiva taxa, gerando um novo valor para a etapa seguinte, 
assim: 
Na primeira etapa: 1(100% + i1%) 
Na segunda etapa: 1(100% + i1%).(100% + i2%) 
Na terceira etapa: 1(100% + i1%).(100% + i2%)1(100% + i3%) 
............................................................................................................ 
Na n-ésima etapa: 1(100% + i1%).(100% + i2%).(100% + i3%)...(100% + in%) 
 
Pela generalização, obtemos a relação: 
 
)%ni100%(...)53
i100%(5)
2
i100%()%
1
i100%( 
ac
i100% 
 
 
A ilustração das etapas do cálculo. Em cada fator, use o sinal de + ou o sinal de -, conforme a 
necessidade de expressar acréscimo ou decréscimo, respectivamente. 
 
 
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7. TAXA DE RENDIMENTO, TAXA DE INFLAÇÃO E TAXA REAL 
 
A taxa de rendimento é a taxa acumulada, e as demais são taxas não acumuladas. 
 
Uma das aplicações importantes na matemática financeira é o relacionamento entre: a taxa 
aparente (acumulada, bruta, rendimento e etc), a taxa de inflação e a taxa real de juros. 
Conhecendo duastaxas é possível separar e conhecer a terceira taxa. Siga a orientação na 
ilustração que segue: 
 
 
 
 
TESTES 
 
1. (BANESTES) Num cenário econômico inflacionário, a taxa real de rendimento de uma aplicação 
financeira difere da taxa efetiva. Nesse contexto, um capital é aplicado a uma taxa nominal de 
20% a.a. capitalizado semestralmente. Assim, ao final do período de um ano, cuja inflação foi 
estimada em 6%, a taxa real da aplicação será, aproximadamente, de 
 
A) 13,2% a.a. 
B) 14,15% a.a. 
C) 14,85% a.a. 
D) 17,5% a.a. 
E) 21% a.a. 
 
2. A taxa de juros aparente, que corresponde a uma taxa real de 0,60% em um determinado 
período e a uma inflação de 15,00% neste mesmo período é, em %, de 
 
A) 15,60. 
B) 21,00. 
C) 14,40. 
D) 15,69. 
E) 9,00. 
 
3. (VUNESP) Durante três anos seguidos, a taxa de inflação anual foi de 10%. Qual a inflação 
acumulada ao final desses três anos? 
 
A) 30%. 
B) 33,1%. 
C) 40%. 
D) 130%. 
E) 133,1%. 
 
 
 
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4. (NCE-UFRJ) A taxa anual praticada por uma instituição financeira foi 59,3%. Se a taxa real de 
juros ao ano foi 35%, a taxa de inflação nesse ano foi: 
 
A) 18,00% 
B) 24,30% 
C) 42,00% 
D) 59,00% 
E) 69,43% 
 
5. Um título acumulou um rendimento de 30% nominal nos últimos quatros anos. Calcule a taxa de 
juros real, ou seja, a taxa acima da variação da inflação do período, sabendo que a variação da 
inflação foi de 5,5% para o ano 1; 4,5% para o ano 2; de 4,0% para o ano 3; e de 6% para o ano 
4. 
 
A) 9,66% no período. 
B) 6,69% no período. 
C) 6,96% no período. 
D) 10,00% no período. 
E) 8,33% no período. 
 
6. A mensalidade de um plano de saúde sofreu ao final do 1º ano um reajuste de 6%. Ao final do 
ano seguinte, sofre um novo reajuste no valor de 5% em relação ao valor do ano anterior. É 
correto afirmar que o aumento acumulado nesses 2 anos, por esse plano, foi de: 
 
A) 11%. 
B) 11,3%. 
C) 11,5%. 
D) 11,6%. 
E) 11,9%. 
 
7. O custo efetivo do financiamento de uma determinada operação realizada em um ano teve 
como taxa aparente 15,5%. Se a taxa de inflação correspondente a este ano foi de 10%, significa 
que o custo real efetivo referente a esta operação foi de 
 
A) 4,50%. 
B) 5,00%. 
C) 5,50%. 
D) 5,75%. 
E) 6,00%. 
 
8. Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de 20%, equivale a 
uma renda real de: 
 
A) 20% 
B) 44% 
C) 50% 
D) 55% 
E) 60% 
 
 
 
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9. (FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a ser pago ao final de um ano, a taxa de 
juros real a ser cobrada é igual a 10%, enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é 
de 5%. 
 
A taxa aparente anual para esse financiamento será de: 
A) 50%. 
B) 20%. 
C) 15,5%. 
D) 10%. 
E) 5%. 
 
10. (FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 20%. 
Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros aparente é: 
A) 12%. 
B) 22%. 
C) 28%. 
D) 30%. 
E) 32% 
 
11. (NCE-UFRJ) Se a taxa pós-fixada de uma operação for igual a 50%, e se a inflação no período 
for de 20%, o ganho real será de: 
 
A) 12,5%; 
B) 20%; 
C) 25%; 
D) 30%; 
E) 150%. 
 
GABARITO 
 
1 A 
2 D 
3 B 
4 A 
5 C 
6 B 
7 B 
8 C 
9 C 
10 E 
11 C 
 
 
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8. TAXAS EQUIVALENTES 
 
CONVERSÕES ENTRE TAXAS 
 
 
A orientação a seguir é usada quando a 
partir de uma das três taxas do fluxograma, 
desejamos obter pelo menos uma das 
outras duas taxas. 
 
i) Da posição 1 para 2 e vice-versa, a 
conversão é feita proporcionalmente 
(divisão ou multiplicação). Dada à taxa 
nominal obtemos a taxa efetiva e vice-
versa. 
 
ii) Da posição 2 para 3 e vice-versa, a 
conversão é feita exponencialmente 
(potência). Dada à taxa efetiva obtemos as 
taxas equivalentes e vice-versa. 
Nesse caso, como os cálculos nem sempre 
são simples, o resultado será obtido pelo 
uso de uma calculadora ou pela consulta 
dos fatores “(1+i)n” numa tabela que fornece 
os resultados do desenvolvimento da 
potência. 
 
iii) Do passo 1 para 3 e vive-versa, basta 
seguir as duas orientações acima. 
 
 
Considerações sobre as três taxas 
 
₪ A taxa nominal 
geralmente é 
fornecida em termos 
anuais. 
₪ A taxa efetiva é a taxa 
com a mesma unidade de 
tempo da capitalização 
dos juros. 
₪ As taxas equivalentes são as 
taxas que, mesmo estando em 
unidades de tempo diferentes da 
capitalização, produzem o mesmo 
montante. 
 
 
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TABELA DE FATORES 
 
₪ Para (1 + 10%)6, o resultado é o fator que se localiza na linha 6 com a coluna da taxa 10%. O 
valor 1,7716 é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
₪ Para (1 + 10%)12, o resultado é o fator que se localiza na linha 12 com a coluna da taxa 10%. O 
valor 3,1384 é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
 
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 
 
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1200 1,1500 
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2544 1,3225 
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,4049 1,5209 
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5735 1,7490 
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,7623 2,0114 
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,9738 2,3131 
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,2107 2,6600 
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,4760 3,0590 
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,7731 3,5179 
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 3,1058 4,0456 
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,4785 4,6524 
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,8960 5,3503 
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 4,3635 6,1528 
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,8871 7,0757 
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 5,4736 8,1371 
 
 
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TABELA DE FATORES DE (1+i)n 
 
₪ Para (1 + i%)n, o resultado é o fator que se localiza na linha n com a coluna da taxa i%. O valor 
“FATOR” é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
 
 
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,12361,1449 1,1664 1,1881 
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 
17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 
19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 
20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 
21 1,2324 1,5157 1,8603 2,2788 2,7860 3,3996 4,1406 5,0338 6,1088 
22 1,2447 1,5460 1,9161 2,3699 2,9253 3,6035 4,4304 5,4365 6,6586 
23 1,2572 1,5769 1,9736 2,4647 3,0715 3,8197 4,7405 5,8715 7,2579 
24 1,2697 1,6084 2,0328 2,5633 3,2251 4,0489 5,0724 6,3412 7,9111 
 
 
 
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TABELA DE FATORES DE (1+i)n 
 
₪ Para (1 + i%)n, o resultado é o fator que se localiza na linha n com a coluna da taxa i%. O valor 
“FATOR” é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
 
 
10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 
1 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1400 1,1500 1,1600 1,1700 1,1800 
2 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225 1,3456 1,3689 1,3924 
3 1,3310 1,3676 1,4049 1,4429 1,4815 1,5209 1,5609 1,6016 1,6430 
4 1,4641 1,5181 1,5735 1,6305 1,6890 1,7490 1,8106 1,8739 1,9388 
5 1,6105 1,6851 1,7623 1,8424 1,9254 2,0114 2,1003 2,1924 2,2878 
6 1,7716 1,8704 1,9738 2,0820 2,1950 2,3131 2,4364 2,5652 2,6996 
7 1,9487 2,0762 2,2107 2,3526 2,5023 2,6600 2,8262 3,0012 3,1855 
8 2,1436 2,3045 2,4760 2,6584 2,8526 3,0590 3,2784 3,5115 3,7589 
9 2,3579 2,5580 2,7731 3,0040 3,2519 3,5179 3,8030 4,1084 4,4355 
10 2,5937 2,8394 3,1058 3,3946 3,7072 4,0456 4,4114 4,8068 5,2338 
11 2,8531 3,1518 3,4785 3,8359 4,2262 4,6524 5,1173 5,6240 6,1759 
12 3,1384 3,4985 3,8960 4,3345 4,8179 5,3503 5,9360 6,5801 7,2876 
13 3,4523 3,8833 4,3635 4,8980 5,4924 6,1528 6,8858 7,6987 8,5994 
14 3,7975 4,3104 4,8871 5,5348 6,2613 7,0757 7,9875 9,0075 10,1472 
15 4,1772 4,7846 5,4736 6,2543 7,1379 8,1371 9,2655 10,5387 11,9737 
16 4,5950 5,3109 6,1304 7,0673 8,1372 9,3576 10,7480 12,3303 14,1290 
17 5,0545 5,8951 6,8660 7,9861 9,2765 10,7613 12,4677 14,4265 16,6722 
18 5,5599 6,5436 7,6900 9,0243 10,5752 12,3755 14,4625 16,8790 19,6733 
19 6,1159 7,2633 8,6128 10,1974 12,0557 14,2318 16,7765 19,7484 23,2144 
20 6,7275 8,0623 9,6463 11,5231 13,7435 16,3665 19,4608 23,1056 27,3930 
21 7,4002 8,9492 10,8038 13,0211 15,6676 18,8215 22,5745 27,0336 32,3238 
22 8,1403 9,9336 12,1003 14,7138 17,8610 21,6447 26,1864 31,6293 38,1421 
23 8,9543 11,0263 13,5523 16,6266 20,3616 24,8915 30,3762 37,0062 45,0076 
24 9,8497 12,2392 15,1786 18,7881 23,2122 28,6252 35,2364 43,2973 53,1090 
 
 
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A ilustração que segue, mostra as equivalências exponenciais entre taxas, tomando como base a 
ano comercial -360 dias-. 
 
 
 
Para mostrar como devem ser relacionadas entre si duas taxas pelas igualdades acima, considere 
uma taxa dada, supondo que seja a taxa mensal e a outra taxa solicitada, supondo que seja a 
taxa anual. Tomando os membros relativos às duas taxas envolvidas, proceda assim: 
 
 
 
O resultado final é a taxa desejada, no nosso caso a taxa anual equivalente à taxa mensal. 
 
TESTES 
 
1. (BANESTES) Uma taxa de juros nominal de 18% ao trimestre capitalizados mensalmente, 
representa uma taxa trimestral efetiva de, aproximadamente, 
 
A) 19,10%. 
B) 17,01%. 
C) 16,36%. 
D) 15,23%. 
E) 14,45%. 
 
2. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com 
capitalização mensal. 
 
Dado: 1,0112 = 1,126825 
 
A) 12,3600% 
B) 12,6825% 
C) 12,4864% 
D) 12,6162% 
E) 12,5508% 
 
3. Um empréstimo conferido a uma taxa nominal de 20% ao ano, com juros capitalizados 
trimestralmente, terá custo efetivo de 
 
A) 2,4414% ao mês. 
B) 4,66% ao trimestre. 
C) 12,3% ao ano 
D) 21,55% ao ano 
E) 20,0% ao ano 
 
 
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4. Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao 
mês. 
 
A) 60% ao ano 
B) 30% ao semestre 
C) 24% ao semestre 
D) 10% ao trimestre 
E) 6% ao bimestre 
 
5. A taxa de juros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral? 
 
A) 1,3% 
B) 2,0% 
C) 2,1% 
D) 3,0% 
E) 3,03% 
 
6. Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa 
efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, 
 
A) 12% 
B) 12,49% 
C) 12,55% 
D) 13% 
E) 13,43% 
 
7. A taxa equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre com capitalização mensal é de: 
 
(Dados: 1,033 = 1,092727; 1,036 = 1,194052; 1,0312 = 1,425760) 
 
A) 26,82% ao ano. 
B) 36% ao ano. 
C) 9% ao trimestre. 
D) 18% ao semestre. 
E) 9,2727% ao trimestre. 
 
8. Calcule o juro final como porcentagem do capital aplicado a uma taxa de juros nominal de 24% 
ao ano, como capitalização mensal em um prazo de dezoito meses. 
 
A) 36,00% 
B) 38,12% 
C) 40,00% 
D) 42,82% 
E) 44,75% 
 
9. (CESGRANRIO) - Qual é a taxa efetiva anual correspondente a juros de 40% ao ano, 
capitalizados trimestralmente? 
 
A) 40% 
B) 42,42% 
C) 44,44% 
D) 45,57% 
E) 46,41% 
 
 
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10. - No sistema de juros compostos, qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de 4% ao 
mês? 
 
A) 48,00% 
B) 53,76% 
C) 56,09% 
D) 57,35% 
E) 60,10% 
 
11. Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros nominal 
de 24% ao ano, com capitalização mensal em um prazo de dezoito meses. 
 
Dados: 1,0218 = 1,428246 
 
A) 36,00% 
B) 38,12% 
C) 40,00% 
D) 42,82% 
E) 44,75% 
 
12. Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 
2% ao mês. 
 
A) 24% 
B) 24,24% 
C) 24,48% 
D) 24,96% 
E) 26,8242% 
 
13. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização trimestral é equivalente a: 
 
A) 10% ao mês 
B) 40% ao trimestre 
C) 58% ao semestre 
D) 185,61% ao ano 
E) 244% ao ano 
 
14. A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo mensal de 6,5%, é de 
 
A) 20,794963%B) 19,500000% 
C) 2,166667% 
D) 2,121347% 
E) 1,166667% 
 
15. (FAURGS) A taxa anual de juros, equivalente a 2% ao trimestre, em juros compostos, é 
 
(Dado: 1,024 = 1,0824.) 
 
A) 6,12%. 
B) 8,00%. 
C) 8,24%. 
D) 24,00%. 
E) 26,82%. 
 
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16. (VUNESP) Um empreiteiro fez um empréstimo a uma taxa nominal de 18% ao ano, com 
capitalização mensal. A taxa anual efetiva que ele pagará de juros, desconsideradas quaisquer 
outras taxas, será de, aproximadamente, 
 
Dado: Caso julgue necessário, utilize os valores a seguir. 
 
1,0146 = 1,087 
1,0156 = 1,093 
1,0166 = 1,100 
1,0176 = 1,106 
1,0186 = 1,113 
 
A) 18,2% 
B) 19,5% 
C) 21,0% 
D) 22,3% 
E) 23,9% 
 
GABARITO 
 
1 A 
2 B 
3 D 
4 A 
5 E 
6 C 
7 E 
8 D 
9 E 
10 E 
11 D 
12 E 
13 D 
14 A 
15 C 
16 B 
 
 
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9. JUROS COMPOSTOS 
 
Para definir claramente a modalidade de juros compostos, usarei o investimento mais popular no 
meio financeiro, a caderneta de poupança. 
 
Consideraremos as condições: 
 
i) Uma aplicação financeira inicial de $ 10 000,00. 
 
ii) A taxa de juro real de 0,5% ao mês, como é remunerada oficialmente. Sistema anterior a nova 
resolução. 
 
iii) Os juros são produzidos (calculados) mensalmente. 
 
iv) Com vida de 3 meses. Prazo entre a abertura e encerramento do investimento. 
 
v) Supondo que nesses três meses não houve inflação. 
 
vi) Não há incidência de imposto de renda sobre os ganhos. 
 
vii) O juro mensal NÃO É RETIRADO a cada final de mês. Mantendo para saldo o montante 
(capital + juro) de cada intervalo e não havendo depósitos intermediários. 
 
Com base no que foi combinado acima, o quadro que segue está preenchido com dados (leia 
cabeçalho da tabela) que ajudarão no entendimento sobre juros compostos. 
 
 
Pelos registros na tabela acima (coluna 2), em cada início de intervalo a partir do 2º mês (coluna 
1) vemos que o capital é igual ao montante do intervalo imediatamente anterior (coluna 7). 
Quando os juros não são retirados no final de cada intervalo, estes são anexados ao capital da 
etapa em curso, formando um montante (coluna 7) que será o capital para o próximo intervalo, 
procedimento que se repetirá até a conclusão de todo o prazo. 
 
Toda a formação financeira que tem esse comportamento será denominada de juros compostos 
ou popularmente de “juros sobre juros”. 
 
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10. GRÁFICO – JUROS COMPOSTOS 
 
O gráfico mostra de forma ilustra a evolução do dinheiro em juros compostos. 
 
Considere 
 
₪ Um capital C. 
 
₪ Aplicado a uma taxa i. 
 
₪ Durante n unidades iguais de tempo. 
 
₪ Unidade de tempo igual o da forma de 
capitalização. 
 
₪ Transforma-se exponencialmente em um 
montante M. 
 
₪ Em juros compostos é necessário 
identificar a unidade de capitalização 
enunciada. 
 
 
 
Para o cálculo do fator (1+i)n, será necessário uma calculadora ou será fornecido seu valor através 
de uma tabela de fatores. Melhores informações serão apresentadas em item posterior. 
 
11. EQUIVALÊNCIAS RELATIVAS AO ANO COMERCIAL 
 
A ilustração que segue, mostra as equivalências entre unidades de tempo, tomando como base o 
ano comercial 
-360 dias -. 
 
 
 
 
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PARA SABER MAIS 
 
 
O que significa ( 1 + i )? 
 
O que significa ( 1 – i )? 
 
 
O “1” é o mesmo que 100% e “i” uma taxa 
percentual. ( 1 + i ) significa que a taxa 
percentual “i” foi adicionada ao todo 100%. 
 
O “1” é o mesmo que 100% e “i” uma 
taxa percentual. ( 1 - i ) significa que a 
taxa percentual “i” foi subtraída do todo 
100%. 
 
 
 
 
 
 
 
12. POTÊNCIAS COMUNS EM JUROS COMPOSTOS 
 
 Como calcular ( 1 + i )n ? 
 
Depende somente do valor de n. Para exemplificar usarei i = 10%. 
 
 
 i) Se o n for um valor pequeno, não dará muito trabalho no cálculo, é rápido. 
 
 
 
 
 
 
 
 ii) Se o n for um valor grande, dará muito trabalho no cálculo, perde-se muito tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso use uma calculadora ou a tabela de fatores que segue. Nela indicarei 
como foram tomados os valores acima. 
 
 
 
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TABELA DE FATORES 
 
₪ Para (1 + 10%)6, o resultado é o fator que se localiza na linha 6 com a coluna da taxa 10%. O 
valor 1,7716 é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
₪ Para (1 + 10%)12, o resultado é o fator que se localiza na linha 12 com a coluna da taxa 10%. O 
valor 3,1384 é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
 
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 
 
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1200 
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2544 
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,4049 
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5735 
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,7623 
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,9738 
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,2107 
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,4760 
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,7731 
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 3,1058 
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,4785 
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,8960 
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 4,3635 
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,8871 
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 5,4736 
 
 
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TABELA DE FATORES DE (1+i)n 
 
₪ Para (1 + i%)n, o resultado é o fator que se localiza na linha n com a coluna da taxa i%. O valor 
“FATOR” é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
 
 
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,26251,3108 1,3605 1,4116 
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 
17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 
19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 
20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 
21 1,2324 1,5157 1,8603 2,2788 2,7860 3,3996 4,1406 5,0338 6,1088 
22 1,2447 1,5460 1,9161 2,3699 2,9253 3,6035 4,4304 5,4365 6,6586 
23 1,2572 1,5769 1,9736 2,4647 3,0715 3,8197 4,7405 5,8715 7,2579 
24 1,2697 1,6084 2,0328 2,5633 3,2251 4,0489 5,0724 6,3412 7,9111 
 
 
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TABELA DE FATORES DE (1+i)n 
 
₪ Para (1 + i%)n, o resultado é o fator que se localiza na linha n com a coluna da taxa i%. O valor 
“FATOR” é o resultado aproximado do desenvolvimento da potência. 
 
 
10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 
1 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1400 1,1500 1,1600 1,1700 1,1800 
2 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225 1,3456 1,3689 1,3924 
3 1,3310 1,3676 1,4049 1,4429 1,4815 1,5209 1,5609 1,6016 1,6430 
4 1,4641 1,5181 1,5735 1,6305 1,6890 1,7490 1,8106 1,8739 1,9388 
5 1,6105 1,6851 1,7623 1,8424 1,9254 2,0114 2,1003 2,1924 2,2878 
6 1,7716 1,8704 1,9738 2,0820 2,1950 2,3131 2,4364 2,5652 2,6996 
7 1,9487 2,0762 2,2107 2,3526 2,5023 2,6600 2,8262 3,0012 3,1855 
8 2,1436 2,3045 2,4760 2,6584 2,8526 3,0590 3,2784 3,5115 3,7589 
9 2,3579 2,5580 2,7731 3,0040 3,2519 3,5179 3,8030 4,1084 4,4355 
10 2,5937 2,8394 3,1058 3,3946 3,7072 4,0456 4,4114 4,8068 5,2338 
11 2,8531 3,1518 3,4785 3,8359 4,2262 4,6524 5,1173 5,6240 6,1759 
12 3,1384 3,4985 3,8960 4,3345 4,8179 5,3503 5,9360 6,5801 7,2876 
13 3,4523 3,8833 4,3635 4,8980 5,4924 6,1528 6,8858 7,6987 8,5994 
14 3,7975 4,3104 4,8871 5,5348 6,2613 7,0757 7,9875 9,0075 10,1472 
15 4,1772 4,7846 5,4736 6,2543 7,1379 8,1371 9,2655 10,5387 11,9737 
16 4,5950 5,3109 6,1304 7,0673 8,1372 9,3576 10,7480 12,3303 14,1290 
17 5,0545 5,8951 6,8660 7,9861 9,2765 10,7613 12,4677 14,4265 16,6722 
18 5,5599 6,5436 7,6900 9,0243 10,5752 12,3755 14,4625 16,8790 19,6733 
19 6,1159 7,2633 8,6128 10,1974 12,0557 14,2318 16,7765 19,7484 23,2144 
20 6,7275 8,0623 9,6463 11,5231 13,7435 16,3665 19,4608 23,1056 27,3930 
21 7,4002 8,9492 10,8038 13,0211 15,6676 18,8215 22,5745 27,0336 32,3238 
22 8,1403 9,9336 12,1003 14,7138 17,8610 21,6447 26,1864 31,6293 38,1421 
23 8,9543 11,0263 13,5523 16,6266 20,3616 24,8915 30,3762 37,0062 45,0076 
24 9,8497 12,2392 15,1786 18,7881 23,2122 28,6252 35,2364 43,2973 53,1090 
 
 
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13. FÓRMULAS DERIVADAS DA FÓRMULA PRINCIPAL 
 
As fórmulas 2, 3 e 4 são fórmulas resultantes da fórmula principal, tem como objetivo informar, 
apresentar. Sabendo a fórmula número 1, já é o suficiente. 
 
 
 
 
₪ A fórmula 2 é obtida a partir da fórmula 1, isolando C. 
 
₪ A fórmula 3 é obtida a partir da fórmula 1, isolando n. 
 
₪ A fórmula 4 é obtida a partir da fórmula 1, isolando i. 
 
 
 
₪ A fórmula 6 é pouco usada em testes, único motivo, trabalhosa tanto quanto a fórmula 1. 
 
₪ O fator (1+i)n será calculado com uso da calculadora ou fornecido em tabela de fatores. 
₪ Os logaritmos log M, log C e log (1+i), serão calculados com o uso de calculadora, ou obtidos 
da tábua de logaritmos ou fornecidos junto com os dados no teste. 
₪ A raiz 
n
C
M
será calculada com o uso da calculadora ou seu valor será fornecido. 
 
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14. ANÁLISE GRÁFICA – JUOS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
A ilustração gráfica que segue mostra o comportamento comparativo entre juros simples e juros 
compostos, para um mesmo capital “C”, mesma taxa “i”, mesmo prazo “n” e mesmo período de 
capitalização. 
Juros simples crescem linearmente, proporcionalmente, representados no gráfico pela cor 
amarela. 
Juros compostos crescem em curvas exponencial, representados no gráfico pela cor vermelha. 
 
 
 
Para a mesma taxa de juros i e mesmo prazo e unidade de tempo da capitalização, vale o 
que segue: 
 
₪ MS = Montante a juros simples 
₪ MC = montante a juros compostos 
 
₪ Observe no gráfico a sinalização indicada pela estrela . São pontos em destaque para 
sua análise. Veja orientação a seguir. 
 
₪ No intervalo 0 < n < 1, é mais vantajoso o regime de juros simples, tem o maior 
montante. 
 
₪ No n = 1, é indiferente, tanto juros simples como juros compostos, rendem o mesmo 
montante. 
 
₪ No intervalo n > 1, é mais vantajoso o regime de juros compostos, tem o maior 
montante. 
 
 
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Pense assim, se uma aplicação for capitalizada bimestralmente, então o n tem referência 
bimestral. Se desejo obter o juros apurados em um mês e não em um bimestre, estou fracionando 
a unidade de tempo da capitalização, logo, nesse caso, o montante será maior se calculado no 
regime de juros simples e menor se calculado no regime de juros compostos. 
 
EXEMPLIFICAÇÃO 
 
Resumo do que foi exposto imediatamente antes. 
 
Considere a situação hipotética 
 
 Capital, R$ 100,00. 
 Taxa nominal, de 24% ao ano. Resulta uma taxa 
efetiva de 4% ao bimestre ( 24% / 6 = 4% ). 
 Capitalização, bimestral. 
 Prazo, fração do bimestre, unidade do bimestre, e 
múltiplos do bimestre. Veja ilustração. 
 Montante, calcular e comparar. Veja ilustração. 
 
 
Observe na ilustração o resultado em cada intervalo e para cada modalidade de juros calculada. 
 
 
 
 
 
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TESTES 
 
1. (MAKIYAMA) A aplicação de um capital de R$ 3045,00 sob o regime de juros composto, a uma 
taxa de 10% ao ano e mantida por três anos, gera um montante: 
 
A) Maior que R$ 4000,00. 
B) Menor que R$ 3500,00. 
C) Maior que R$ 5000,00. 
D) Maior que R$ 4500,00. 
E) Menor que R$ 3900,00. 
 
2. (BANESTES) Em relação aos conceitos de juros simples e juros compostos,assinale a 
alternativa INCORRETA. 
 
A) A formação do montante em juros simples é linear. 
B) A formação do montante em juros compostos é exponencial. 
C) Para um mesmo capital, uma mesma taxa e um mesmo prazo, o montante obtido a juros 
compostos sempre será maior que o montante obtido a juros simples. 
D) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros simples de i%, 
apresentará o mesmo valor de juros para cada um dos 10 meses. 
E) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros compostos de i%, 
apresentará valor diferente para os juros de cada um dos 10 meses. 
 
3. (BANESTES) Um cliente fez um empréstimo em um banco e pagou uma taxa de 10% ao ano a 
juros compostos. Se a dívida em 2 anos chegou a R$108.900,00, então o valor do empréstimo foi 
de 
 
A) R$70.000,00. 
B) R$85.000,00. 
C) R$88.000,00. 
D) R$90.000,00. 
E) R$95.000,00. 
 
4. (BANESTES) Um automóvel custou R$ 28.500,00 e foi vendido por R$ 31.920,00. O valor da 
taxa de lucro sobre o preço de custo foi de n%. O valor de n 
 
A) está entre 9% e 11%. 
B) está entre 11% e 13%. 
C) está entre 13% e 14%. 
D) está entre 14% e 15%. 
E) é maior que 15,3%. 
 
5. Aplicando-se R$5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização 
bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será: 
 
A) 5.400,00 
B) 5.405,00 
C) 5.408,00 
D) 6.272,00 
E) 6.275,00 
 
 
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6. (MAKIYAMA) Após reformar sua lanchonete, Ana Paula teve que modernizar seus 
equipamentos. Por isso, adquiriu um novo empréstimo no valor de R$ 4.000,00 a uma taxa de 1% 
a. m., no regime de juros compostos. Sabendo que ela pagará em 1 ano, qual será o montante 
final? Adote: 1,0112=1,13 
 
A) A R$ 4.520,00 
B) B R$ 4.530,00 
C) C R$ 4.540,00 
D) D R$ 4.550,00 
E) E R$ 4.560,00 
 
7. (FUNDATEC) Após um ano aplicando um capital inicial, no sistema de juros compostos, à taxa 
de 18% ao ano, cheguei a um montante de R$ 23.600,00. Qual foi o capital investido? 
 
A) R$ 2.000,00. 
B) R$ 19.852,15. 
C) R$ 20.000,00. 
D) R$ 20.351,00. 
E) R$ 10.000,00. 
 
8. (FUNDATEC) Mario fez uma aplicação durante dois meses de um depósito de R$ 100,00, com 
uma taxa de juros compostos de 8% a.m. O montante obtido ao final desse prazo é: 
 
A) R$ 116,64. 
B) R$ 194,40. 
C) R$ 101,66. 
D) R$ 101,16. 
E) R$ 111,64. 
 
9. (FUNDATEC) Francisco Joaquim contratou uma dívida de R$ 120.000,00 para suportar novos 
investimentos na sua fazenda. Oito meses após a data da contratação do empréstimo, Francisco 
Joaquim quitou a dívida por R$ 132.000,00. A inflação do período em que o empréstimo esteve 
em vigor foi de 6%. Qual a taxa de juros real, ou seja, acima da variação da inflação do período 
que Francisco Joaquim pagou nessa operação? 
 
A) 1,03% no período. 
B) 3,77% no período. 
C) 4,00% no período. 
D) 4,50% no período. 
E) 6,00% no período. 
 
10. (FUNDATEC) Ao realizar uma aplicação financeira de R$ 5000,00 durante 9 meses, uma 
pessoa investiu em uma certa instituição bancária que utiliza o sistema de juros compostos, a uma 
taxa de 10% ao trimestre. Nesse caso, pode-se afirmar que o montante obtido após esse período 
foi 
 
A) R$ 5600,00. 
B) R$ 5950,00. 
C) R$ 6455,00. 
D) R$ 6655,00. 
E) R$ 6865,00. 
 
 
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11. João Pedro Tiradentes comprou um apartamento da Construtora e Incorporadora Meu Lar. 
Contratou uma dívida de R$ 150.000,00, para ser paga em três anos com juros de 2% ao ano, 
devidamente atualizada pela variação do IPCA (Índice Nacional de Preços do Consumidor Amplo) 
acumulada no período. Calcule o valor da dívida no vencimento, sabendo que a variação do IPCA 
para o ano 1 foi de 5%, para o ano 2 foi de 6% e para o ano 3 foi de 4,5%. 
 
A) R$ 182.250,00. 
B) R$ 182.342,20. 
C) R$ 182.432,20. 
D) R$ 182.520,00. 
E) R$ 185.141,27. 
 
12. Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado no dia primeiro de junho e no último dia de julho foi 
resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse período, as taxas de inflação foram, 
respectivamente: 
 
Junho: 2% 
Julho: 2,5% 
 
A taxa real desse investimento, nesse período, foi de 
A) 6,32% 
B) 6,00% 
C) 5,50% 
D) 5,00% 
E) 4,50% 
 
13. (FCC) A inflação acumulada no primeiro semestre de determinado ano foi de 20%. Uma 
pessoa aplicou R$ 12.000,00 no início deste período e resgatou R$ 18.000,00 no final. 
 
A taxa real de retorno no período de aplicação foi de 
 
A) 25% 
B) 27,5% 
C) 30% 
D) 45% 
E) 50% 
 
14. Uma conta de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias. Considere o mês 
comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização 
composta para cobrar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou-se o regime de 
capitalização simples para cobrar juros relativos aos 10 dias. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, 
o juro cobrado foi de 
 
A) R$ 64,08 
B) R$ 79,17 
C) R$ 40,30 
D) R$ 71,51 
E) R$ 61,96 
 
 
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15. (CESGRANRIO) Milena tem dois pagamentos a realizar. O primeiro é de R$ 1.100,00 daqui a 
dois meses e o segundo é de R$ 1.210,00 daqui a três meses. Milena pretende juntar essas duas 
dívidas em uma só, com vencimento daqui a quatro meses. A taxa de juros corrente é de 10% ao 
mês. Qual o valor a ser pago? 
 
A) R$ 2.310,00 
B) R$ 2.600,00 
C) R$ 3.074,61 
D) R$ 3.003,00 
E) R$ 2.662,00 
 
16. (FCC) Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: 
-Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. 
-Período de aplicação: um ano. 
-Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. 
-Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. 
Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é: 
 
A) R$ 53.550,00. 
B) R$ 53.500,00. 
C) R$ 53.000,00. 
D) R$ 52.500,00. 
E) R$ 51.500,00. 
 
17. (CESGRANRIO) André adquiriu uma mercadoria que custava P reais. No ato da compra, 
pagou apenas 20% desse valor. Dois meses depois, André fez um segundo pagamento no valor 
de R$ 145,20 e quitou a dívida. Durante esse tempo, seu saldo devedor foi submetido ao regime 
de juros compostos, com taxa de 10% ao mês. É correto afirmar que o valor de P: 
 
A) é menor do que R$ 120,00. 
B) está entre R$ 120,00 e R$ 140,00. 
C) está entre R$ 140,00 e R$ 160,00. 
D) está entre R$ 160,00 e R$ 180,00. 
E) é maior do que R$ 180,00. 
 
 
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GABARITO 
 
1 A 
2 C 
3 D 
4 B 
5 C 
6 A 
7 C 
8 A 
9 B 
10 D 
11 E 
12 B 
13 A 
14 D 
15 E 
16 A 
17 C 
 
 
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15. TÍTULO – DOCUMENTO DE CRÉDITO 
 
 
Na venda a prazo ou no empréstimo, é gerado a favor do 
credor, documento de compromisso com a dívida para 
vencimento em data futura. Esse documento é o comprovante 
legal da existência de uma dívida e da promessa de 
pagamento numa data futura com vencimento pré-
determinado, assumido pelo devedor. 
O compromisso é registrado por um documento que, 
dependendo da natureza da operação de negócio, pode ser 
emitida uma duplicata, cheque pré-datado ou uma nota 
promissória, denominados de títulos ou documentos de 
crédito. Existem outras modalidades de documentos de 
crédito, porém, os que interessam no capítulo presente são os 
citados. 
Esses documentos de crédito são transferíveis, criando os 
personagens, vendedor e comprador de títulos. A operação de 
compra e venda de títulos é regulamentada pelo Banco 
Central e tem respaldo jurídico. 
 
 
 
16. TÍTULOS OU DOCUMENTOS DE CRÉDITO POPULARES 
 
 
 
 
 
 Papel emitido por pessoas jurídicas 
contra clientes físicos ou jurídicos, especificando vendas de 
mercadorias ou prestação de serviços, com valor e prazo de 
pagamento conhecidos, aceitos pelas partes. 
 
 É um documento pelo qual alguém 
se compromete a pagar a outrem determinada quantia em 
dinheiro, numa data pré-fixada. Documento usado de pessoa 
física para pessoa física ou pessoa física para instituição 
financeira. 
Nota promissória rural: Título de crédito emitido pelas 
cooperativas a favor de seus cooperados, quando esses 
entregam seus produtos a cooperativa para receberem no futuro, 
constituindo promessa de pagamento. 
 
 Cheque é uma ordem de pagamento 
à vista, dada por uma pessoa física ou jurídica, contra o banco 
onde tem fundo, para que pague ao credor, tomador ou 
beneficiário a importância nele escrita. 
O cheque “pós-datado”, é o cheque com data posterior à data em que efetivamente foi emitido, 
transformando-se em uma promessa de pagamento, em um documento de crédito, mesmo 
contrário a definição original do cheque. 
 
 
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17. MODELO FIGURATIVO DE UM TÍTULO 
 
 
Usarei a figura ao lado para representar um título de 
crédito como modelo didático. A identificação visual que é 
dada facilita a construção dos conceitos que usaremos na 
sequência em nosso estudo. Assim, os elementos e 
termos, como nominal, atual, desconto, por fora e por 
dentro, ficam mapeados nessa representação figurativa. 
 
 
18. DESCONTO – DOCUMENTO 
 
Desconto de título é a operação financeira usada para a 
transferência de propriedade de títulos numa data anterior 
ao do vencimento. A operação tem como objetivo obter 
recursos em dinheiro “caixa” pelo emissor, numa data 
antecipada em relação ao vencimento. 
A diferença entre o valor do título “valor nominal N” e a 
parte paga ao portador do título “valor atual A” na data de 
negociação, é igual ao juro “valor do desconto D”. 
 
 Nominal N: é o valor que está escrito no título, corresponde à quantia que o 
comprador receberá na data de vencimento. 
 Atual A: é o valor recebido pelo vendedor do título na data da venda, data esta, 
anterior a do vencimento. O valor “atual A” é menor que o valor “nominal N”. 
 Desconto D: é o juro ganho pelo comprador do título na data de vencimento, por 
ter assumido o título e respeitadas todas as condições originalmente contidas nele. 
A relação entre os três termos citados será mostrada a seguir. 
 
19. OPERAÇÃO DE DESCONTO EM TÍTULOS 
 
As figuras que seguem tem como objetivo uma apresentação das partes de um documento usado 
em operação de desconto. 
 
Nominal ”N” 
Desconto (juro) 
“D” 
Atual “A” 
 
 
 
 Valor que o comprador 
do título recebe na data 
de vencimento, valor 
integral do título. 
 
Lucro do comprador 
na data de 
vencimento. 
 
Valor que o vendedor do 
título recebeu na data da 
venda, anterior a do 
vencimento. 
 
 
Para todas as modalidades de descontos, vale a 
relação: 
 
 
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20. ORIGEM DOS TERMOS “POR FORA” E “POR DENTRO” 
 
 
Considere que um título de 
crédito tenha os componentes, 
nominal, atual e desconto 
assim dispostos como na 
figura ao lado, fica mostrado 
como segue, a origem dos 
termos, por fora para desconto 
comercial e por dentro para 
desconto racional. 
 
 
 
21. CÁLCULOS NOS DESCONTOS SIMPLES - FÓRMULAS 
 
 
 
 
Também denominado de: Também denominado de: 
Por fora, bancário, ordinário, antecipado etc. Por dentro, real e etc. 
Legenda Legenda 
N = valor nominal ou valor de face N = valor nominal ou valor de face 
A = valor atual ou valor descontado A = valor atual ou valor descontado 
Dcs = desconto comercial simples Drs = desconto racional simples 
ic = taxa de desconto comercial ir = taxa de desconto racional 
n = prazo de desconto n = prazo de desconto 
 
Dedução e fórmulas Dedução e fórmulas 
 
 (1) 
 
 (4) 
e e 
A = N - Dcs (2) N = A + Drs (5) 
Substitua (1) em (2) Substitua (4) em (5) 
A = N - N.ic.n N = A - A.ir.n 
 (3) 
 
 (6) 
 
. 
Nos descontos de títulos em instituições financeiras, geralmente há outros 
ônus a serem pagos pelo vendedor do título, como: IOF, tarifa por título, tarifa por operação e etc. 
Quaisquer desses ônus deverão ser adicionados ao valor do desconto “D” resultante do cálculo na 
aplicação da fórmula acima. 
Se há qualquer valor a deduzir no valor do título de crédito além do desconto, então a taxa final 
envolvida na operação é maior que a taxa de desconto usada na fórmula acima ou anunciada 
como taxa de desconto. 
 
 
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22. RELAÇÕES ENTRE AS TAXAS E DESCONTOS 
 
Podemos relacionar as taxas de descontos simples entre si, como será mostrado abaixo na 
relação (8). 
 
 
 
 
 
 Dedução e fórmulas 
 
Para N, n e ic = ir, 
pode-se garantir que: 
 
O desconto comercial 
simples é maior que o 
desconto racional 
simples. 
 Substitua (3) em (6), tiradas 
dos itens imediatamente 
anteriores. 
 
 Para N, n e Dcs = Drs, 
pode-se garantir que: 
 
A taxa de desconto 
comercial simples é 
menor que a taxa de 
desconto racional 
simples. 
 A = N(1 - ic.n) em N = A(1 - ir.n) 
 N = N(1 - ic.n)(1 - ir.n) divida 
por N 
 
 1 = (1 - ic.n)(1 - ir.n) (7) 
 
Simbolicamente: 
 Se em (7) ic for isolada, obtemos: 
 
 
Simbolicamente: 
 
 
 
 (8) 
 
 
 
 
 
TESTES 
 
1. (BANESTES) Alice descontou em uma agência bancária um título, cujo valor nominal era de 
R$15.000,00. Essa agência opera com a taxa de desconto comercial simples de 27% ao ano. 
Considerando-se que o título foi descontado um quadrimestre antes de seu vencimento, o valor 
liberado para Alice foi de 
 
A) R$13.987,50. 
B) R$13.761,47. 
C) R$10.950,00. 
D) R$13.650,00. 
E) R$12.780,00. 
 
2. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 
600,00. Considerando umataxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um 
desconto racional simples. 
 
A) R$ 400,00 
B) R$ 800,00 
C) R$ 500,00 
D) R$ 700,00 
E) R$ 600,00 
 
 
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3. Um comerciante descontou um cheque pré-datado para 30 dias, no valor de R$ 30.000,00, 
tendo o banco cobrado uma taxa de desconto comercial simples de 5,00% ao mês. Qual é o valor, 
em reais, emprestado ao lojista, e qual é a taxa efetiva de juros simples ao mês cobrada do 
cliente, respectivamente? 
 
A) 28.500,00 e 5,00% 
B) 28.500,00 e 5,26% 
C) 30.000,00 e 5,00% 
D) 30.000,00 e 5,26% 
E) 30.000,00 e 5,52% 
 
4. (FCC) Uma duplicata é descontada 4 meses antes de seu vencimento através de uma 
operação de desconto comercial simples a uma taxa de 2% ao mês. O valor do desconto foi igual 
a R$ 2.640,00. Se esta duplicata tivesse sido descontada através de uma operação de desconto 
racional simples, a uma taxa de 2,5% ao mês, o valor do desconto seria de: 
 
A) R$ 3.300,00 
B) R$ 3.190,00 
C) R$ 3.036,00 
D) R$ 3.000,00 
E) R$ 2.970,00 
 
5. Um título de crédito de R$ 26.000,00 foi descontado em uma instituição financeira 38 dias antes 
do vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Calcule o valor atual do título, 
considerando que a operação foi feita utilizando o desconto bancário ou “por fora”. 
 
A) R$ 22.520,00. 
B) R$ 25.012,00. 
C) R$ 25.021,00. 
D) R$ 25.220,00. 
E) R$ 25.250,00. 
 
6. A Butique Bela Moda precisou captar recursos através de um desconto de duplicatas. Para 
isso, foi até uma instituição financeira e apresentou uma duplicada no valor de R$ 20.000,00, com 
um prazo de vencimento de 45 dias, a contar da data da operação. Calcule o valor a ser liberado 
na conta da Butique Bela Moda, considerando que a instituição financeira realizou a operação por 
uma taxa de desconto simples de 4% ao mês, sem nenhum outro custo adicional. 
 
A) R$ 19.900,00. 
B) R$ 18.878,08. 
C) R$ 18.800,00. 
D) R$ 18.788,08. 
E) R$ 18.778,08. 
 
7. (FUNDATEC) A Comercial XYZ possui, em sua carteira, contas a receber de clientes e várias 
duplicatas que vencerão ao longo dos próximos 30 dias. A empresa está precisando cobrir seu 
fluxo de caixa de forma emergencial. Para isso, resolveu negociar uma duplicada com valor 
nominal de R$ 16.000,00, descontando-a em um banco a uma taxa de desconto simples de 4% ao 
mês, 25 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? 
 
A) R$ 513,58. 
B) R$ 513,85. 
C) R$ 531,58. 
D) R$ 531,85. 
E) R$ 533,33. 
 
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8. (FCC) Um título de determinado valor nominal é descontado em um banco três meses antes de 
seu vencimento a uma taxa de juros simples de 4% ao mês. Foi utilizada uma operação de 
desconto comercial simples e o valor do desconto foi igual a R$ 1.560,00. O valor nominal do título 
é de 
 
A) R$ 13.500,00. 
B) R$ 13.000,00. 
C) R$ 12.500,00. 
D) R$ 11.500,00. 
E) R$ 11.000,00. 
 
9. (CESGRANRIO) Dentre as modalidades de desconto, aquela que é conhecida como desconto 
“por dentro” é o desconto: 
 
A) nominal; 
B) industrial; 
C) bancário; 
D) comercial; 
E) racional. 
 
10. (CESGRANRIO) Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu 
vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de 
desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é 
 
A) 860,00 
B) 850,00 
C) 840,00 
D) 830,00 
E) 820,00 
 
11. (FCC) A taxa implícita de juros simples mensal, expressa em porcentagem (calculada “por 
dentro”), numa operação de desconto bancário simples de um título de 90 dias, no valor de R$ 
10.000,00, com taxa de 2% ao mês (desprezando os algarismos a partir da 3a casa decimal 
depois da vírgula), equivale a 
 
A) 2,12% 
B) 2,11% 
C) 2,10% 
D) 2,09% 
E) 2,08% 
 
12. (ESAF) Utilizando o desconto racional simples, o valor que devo pagar por um título com 
vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% 
ao ano, é de: 
 
A) R$ 24.000,00 
B) R$ 25.000,00 
C) R$ 27.500,00 
D) R$ 18.880,00 
E) R$ 24.190,00 
 
 
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13. (ESAF) Um título sofre um desconto comercial simples de R$ 9.810,00 três meses antes do 
seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à 
mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. 
 
A) R$ 9.810,00 
B) R$ 9.521,34 
C) R$ 9.500,00 
D) R$ 9.200,00 
E) R$ 9.000,00 
 
GABARITO 
 
1 D 
2 C 
3 B 
4 D 
5 B 
6 C 
7 E 
8 B 
9 E 
10 B 
11 A 
12 B 
13 E 
 
 
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16. TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
 
Em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados em épocas 
diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao 
fim de um certo período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes 
taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodos distintos de 
tempo. 
 
TAXA MÉDIA “TM” 
 
Quando temos mais de um título com valor nominal, taxa e prazo diferentes, podemos calcular 
uma taxa média “TM” de desconto. 
Usualmente aplica-se a taxa média “TM” em operações de desconto comercial simples. 
 
Considere os dados da tabela 
 
 Capital Prazo Taxa 
Título 1 com: C1 n1 i1 
Título 2 com: C2 n2 i2 
Título 3 com: C3 n3 i3 
... ... ... ... 
Título n com: Cn nn in 
 
Fórmula para calcular a taxa média “TM” do conjunto de títulos 
 
 
 
PRAZO MÉDIO “PM” 
 
Quando temos mais de um título com valor nominal, taxa e prazo diferentes, podemos calcular um 
taxa prazo “PM” de desconto. 
Usualmente aplica-se a taxa média “TM” em operações de desconto comercial simples 
 
Considere os dados da tabela 
 
 Capital Prazo Taxa 
Título 1 com: C1 n1 i1 
Título 2 com: C2 n2 i2 
Título 3 com: C3 n3 i3 
... ... ... ... 
Título n com: Cn nn in 
 
Fórmula para calcular a prazo média “PM” do conjunto de títulos 
 
 
 
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TESTES 
 
1. Os capitais de R$ 2 500,00, R$ 3 500,00, R$ 4 000,00 e R$ 3 000,00 são aplicados a juros 
simples durante o mesmo prazo às taxas de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a 
taxa mensal de aplicação destes capitais. 
 
A) 2,9% 
B) 3% 
C) 3,138% 
D) 3,25% 
E) 3,5% 
 
2. Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante o 
mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa média de 
aplicação destes capitais. 
 
A) 2,5% 
B) 3% 
C) 3,5% 
D) 4% 
E) 4,5% 
 
3. Os capitais de 3 000,00, r$ 5 000,00 e R$ 8000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a 
taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a 
taxa média de aplicação desses capitais. 
 
A) 4,83% ao mês 
B) 3,206% ao mês 
C) 4,4167% ao mês 
D) 4% ao mês 
E) 4,859% ao mês 
 
4. Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de 
juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de 
aplicação desses capitais. 
 
A) Dois meses e meio 
B) Três meses 
C) Dois meses e vinte e um dias 
D) Três meses e nove dias 
E) Três meses e dez dias 
5. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 
4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o 
prazo médio de aplicação destes capitais. 
A) quatro meses 
B) quatro meses e cinco dias 
C) três meses e vinte e dois dias 
D) dois meses e vinte dias 
E) oito meses 
 
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6. Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: 40% dos seus recursos 
em 180 dias, 35% de seus recursos em 270 dias e 25% em 360 dias. Qual é o prazo médio dos 
seus investimentos? 
 
A) 302 
B) 256,5 
C) 280 
D) 240 
E) 252 
 
7. Mário investiu 30% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda 
fixa. Após um mês, as quotas dos fundos de ações e de renda fixa haviam se valorizado 40% e 
20%, respectivamente. A rentabilidade do capital de Mário foi nesse mês, de: 
A) 26% 
B) 28% 
C) 30% 
D) 32% 
E) 34% 
 
8. Considere três títulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os 
prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6 % ao mês, 
quatro meses a 9 % ao mês e dois meses a 60 % ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da 
taxa média mensal de desconto é igual a: 
 
A) 7 % 
B) 6 % 
C) 6,67 % 
D) 7,5 % 
E) 8 % 
 
9. Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados 
respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o 
mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. 
 
A) 4% 
B) 8% 
C) 12% 
D) 24% 
E) 48% 
 
10. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 16% ao mês, a 
terça parte do seu capital a 12% ao mês e o restante à 6% ao mês. Qual a taxa média da 
aplicação? 
 
A) 10% a.m. 
B) 18 % a.m. 
C) 13% a.m. 
D) 11% a.m. 
E) 20% a.m. 
 
 
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11. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 8% a.m., a Terça 
parte do seu capital a 9% a.m. e o restante à taxa de 6%a.m.. Qual a taxa média da aplicação? 
 
A) 10%a.m. 
B) 18%a.m. 
C) 8%a.m. 
D) 7,5%a.m. 
E) 25%a.m. 
 
12. Aplicou-se um capital da seguinte forma: 2/5 do capital à 9% ao mês 1/4 do capital à 8% ao 
mês e o saldo à 10% ao mês de juros simples. Qual a taxa média da aplicação? 
 
A) 9,1% a.m. 
B) 13 7% a.m. 
C) 13,4% a.m. 
D) 6,8% a.m. 
E) 8,5% a.m. 
 
13. (BANESTES) Para diluir o risco do investimento, seguindo a máxima do mercado financeiro 
“nunca coloque todos os ovos na mesma cesta”, um investidor aplicou seu capital disponível a 
juros simples, distribuindo-o em três aplicações com taxas e prazos, conforme evidenciado no 
quadro abaixo. 
 
 
 
Nessa situação, a taxa média e o prazo médio aproximado do investimento são, respectivamente, 
 
A) 9,6% a.a. e 3,8 anos. 
B) 9,6% a.a. e 4,0 anos. 
C) 9,45% a.a. e 4,2 anos. 
D) 9,75% a.a. e 3,8 anos. 
E) 9,75% a.a. e 4,0 anos. 
 
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GABARITO 
 
1 E 
2 C 
3 D 
4 C 
5 A 
6 B 
7 A 
8 A 
9 A 
10 C 
11 C 
12 A 
13 D 
 
 
 
 
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17. CÁLCULOS NOS DESCONTOS COMPOSTOS - FÓRMULAS 
 
 
 
 
 
Também denominado de: Também denominado de: 
 Por fora, comercial etc. Por dentro, real, postecipado etc. 
Legenda Legenda 
 N = valor nominal ou valor de face N = valor nominal ou valor de face 
 A = valor atual ou valor descontado A = valor atual ou valor descontado 
 Dcc = desconto comercial composto Drc = desconto racional composto 
 ic = taxa de desconto comercial ir = taxa de desconto racional 
 n = prazo de desconto n = prazo de desconto 
 
Fórmula Fórmula 
 
 
 
 
 
Para todas as modalidades de descontos, vale 
a relação: 
 
Pouco usado no mercado financeiro. É aplicado a títulos de longo prazo. 
 
TESTES 
 
1. (BANESTES) Júlia possuía uma duplicata, cujo valor nominal era de R$30.000,00. Por motivos 
desconhecidos, Júlia necessitou descontar tal duplicata 6 meses antes do vencimento. Uma vez 
que o banco cobra uma taxa de desconto comercial composto de 1% ao mês, o valor descontado 
e o valor a ser resgatado por Júlia são, respectivamente, (Para facilitar os cálculos, considerar 
(0,99)6 = 0,942)) 
 
A) R$1.847,13 e R$31.847,13. 
B) R$1.847,13 e R$28.152,87. 
C) R$3.804,75 e R$26.195,25. 
D) R$1.740,00 e R$28.260,00. 
E) R$1.740,00 e R$31.740,00. 
 
2. (BANESTES) Em um banco comercial, uma duplicata é descontada a uma taxa de desconto 
composto comercial de 20% a.a. Marcelo Monetário, gerente do banco, sabendo que, na prática, o 
desconto composto racional é mais utilizado, calculou a taxa equivalente para este desconto e 
obteve 
 
A) 16% a.a. 
B) 22% a.a. 
C) 25% a.a. 
D) 28% a.a. 
E) 30% a.a. 
 
 
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3. (AOCP) Um título de crédito com valor de face de R$ 20 000,00 será resgatado 6 meses antes 
do vencimento, com taxa de desconto comercial composto de 3% ao mês. Qual o valor desse 
desconto? (Considere a aproximação: (0,97)3 = 0,913) 
 
A) R$ 4 779,00 
B) R$ 3 328,62 
C) R$ 2 840,46 
D) R$ 2 370,48 
E) R$ 1 740,00 
 
4. Um título após sofre desconto tem seu valor atual de R$ 840,00, quatro meses antes de seu 
vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa 
de 3% ao mês. 
 
A) R$ 105,43 
B) R$ 104,89 
C) R$ 140,00 
D) R$ 93,67 
E) R$ 168,00 
 
5. (FCC) Um título é resgatado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto 
racional composto a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Se o valor atual é igual a R$ 
15.000,00, o valor correspondente do desconto é de: 
 
A) R$ 2.850,00. 
B) R$ 3.000,00. 
C) R$ 3.150,00. 
D) R$ 3.300,00. 
E) R$ 3.450,00. 
 
6. Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, 
com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial 
composto e d o valor do descontoracional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
 
A) 399,00 
B) 398,00 
C) 397,00 
D) 396,00 
E) 395,00 
 
7. Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o 
desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto será 
igual a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa mensal de desconto para 
que o valor do desconto seja o mesmo? 
 
A) 83,3% 
B) 69,1% 
C) 42,8% 
D) 20,0% 
E) 16,7% 
 
 
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8. Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o 
valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa 
de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). 
 
A) R$ 4.400,00 
B) R$ 4.725,00 
C) R$ 4.928,00 
D) R$ 4.952,00 
E) R$ 5.000,00 
 
9. Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu 
vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 
3% ao mês. 
 
A) R$ 84,86 
B) R$ 90,00 
C) R$ 87,33 
D) R$ 92,73 
E) R$ 82,57 
 
10. Uma empresa desconta um título no valor nominal de R$ 112 551,00 quatro meses antes do 
seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 3% ao mês. 
Calcule o valor mais próximo do valor do desconto. 
 
A) R$ 12 635,20. 
B) R$ 12 551,00. 
C) R$ 11 255,10. 
D) R$ 12 633,33. 
E) R$ 12 948,00. 
 
11. Um título no valor de face de R$ 10.000,00 sofre um desconto racional composto a uma taxa 
de 4% ao mês cinco meses antes do seu vencimento. Calcule o valor do desconto, desprezando 
os centavos. 
 
A) R$ 2.400,00 
B) R$ 2.096,00 
C) R$ 2.000,00 
D) R$ 1.780,00 
E) R$ 1.600,00 
 
12. Dois títulos de valores nominais iguais a R$ 39.930,00 e R$ 53.240,00 são vencíveis daqui a 2 
anos e 3 anos, respectivamente. Deseja-se substituir estes títulos por um único título, vencível 
daqui a um ano. Utilizando o critério do desconto racional composto (desconto composto real) a 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, tem-se que o valor nominal deste título único é de 
 
A) R$ 73.000,00 
B) R$ 77.000,00 
C) R$ 80.300,00 
D) R$ 84.700,00 
E) R$ 87.000,00 
 
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GABARITO 
 
1 D 
2 C 
3 B 
4 A 
5 C 
6 B 
7 E 
8 D 
9 A 
10 B 
11 D 
12 C 
 
 
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18. GRÁFICO DE FLUXO DE CAIXA 
 
É a representação gráfica que mostra em uma única ilustração todos os elementos em um fluxo 
de caixa e suas convenções. 
 
Eixo do tempo: No eixo tempo 
posicionado horizontalmente 
ficam situados os pontos 
espaçados igualmente e em uma 
única unidade de tempo, 
numerados a partir de 0(zero) e 
crescente no conjunto dos 
números naturais. Em cada 
ponto podem estar indicadas 
entradas ou saídas. 
 
Entradas de Caixa: 
Representadas por uma barra ou 
seta, colocadas verticalmente e 
acima do eixo do tempo e 
apontadas para cima. O tamanho 
da barra é proporcional ao valor 
que representa. 
 
 
 
Saídas das de Caixa: Representadas por uma barra ou seta, colocadas verticalmente e 
abaixo do eixo do tempo e apontadas para baixo. O tamanho da barra é proporcional ao 
valor que representa. 
Saldo Operacional: 
É o resultado proveniente da diferença entre entrada(s) e saída(s), respectivamente. O 
resultado (saldo) pode ser negativo, positivo ou nulo. 
 
19. ANUIDADES 
 
São todas as operações financeiras que envolvem: 
 
Pagamentos de compras em 
prestações 
 
Modalidade que envolve, taxa de juro, 
número de prestações e capital (valor 
atual). 
 
Pagamentos de empréstimos em 
prestações 
 
Modalidade que envolve, taxa de juro, 
número de prestações e capital (valor 
atual). 
 
Depósitos periódicos para a formação 
de um montante (uma poupança) 
 
Modalidade que envolve, taxa de 
rendimento, número de depósitos e 
montante (valor futuro). 
 
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20. NATUREZA DAS ANUIDADES 
 
Anuidades desconto 
Quando a venda é realizada em prestações e os títulos 
gerados são descontados em uma instituição financeira. 
Os títulos são vendidos antes do seu vencimento. 
 
Anuidades aplicação 
Quando a venda é realizada em prestações e os títulos 
gerados não são descontados. Os títulos são mantidos em 
carteira até seu vencimento. 
 
21. FORMAS DAS ANUIDADES IMEDIATAS 
 
21.1. FORMA ANTECIPADA 
 
É a modalidade de parcelamentos em que o primeiro pagamento é feito no início do primeiro 
intervalo, a contagem se dará a partir da oficialização do contrato. 
O estudo será desenvolvido para esta modalidade, com as seguintes classificações. 
 
Quanto ao 
período 
Periódicas: Quando o intervalo de tempo entre as prestações 
(parcelas) são iguais. 
 
Quanto ao 
prazo 
Temporárias: Quando a duração é limitada. 
 
 
Quanto ao 
valor 
Constantes: Todas as prestações (parcelas) são iguais (de 
valores iguais) 
 
Quanto à forma 
Imediatas: Com o pagamento, desembolso ou recebimento da 
primeira parcela da série ocorre no início do primeiro período. 
 
Legenda 
 
R = valor da parcela e n=números de intervalos do prazo. 
 
Forma antecipada: Quando primeiro 
pagamento ocorre no inicio do 
primeiro intervalo (no ponto 0). 
 
Genericamente anunciada no 
comércio como: 
( 1 + (n-1)) pagamentos. 
 
 
 
 
 
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21.2. FORMA POSTECIPADA 
 
É a modalidade de parcelamentos em o primeiro pagamento é feito no final do primeiro intervalo, a 
contagem se dará a partir da oficialização do contrato. 
O estudo será desenvolvido para esta modalidade, com as seguintes classificações. 
 
Quanto ao 
período 
Periódicas: Quando o intervalo de tempo entre as prestações 
(parcelas) são iguais. 
 
Quanto ao 
prazo 
Temporárias: Quando a duração é limitada. 
 
 
Quanto ao 
valor 
Constantes: Todas as prestações (parcelas) são iguais (de valores 
iguais) 
 
Quanto à 
forma 
Imediatas: Com o pagamento ou depósito da primeira parcela ocorre 
no final do primeiro período. 
 
Legenda 
 
R = valor da parcela e n=números de intervalos do prazo. 
Forma postecipada ou 
postergada: Quando primeiro 
pagamento ocorre no final do 
primeiro intervalo 
(no ponto 1). 
 
Genericamente anunciada no 
comércio como: 
( 0 + n) pagamentos. 
 
 
 
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22. FORMAS DE ANUIDADES DIFERIDAS 
 
22.1. FORMA COM CARÊNCIA 
 
É a modalidade de parcelamentos em o primeiro pagamento é feito a partir do segundo intervalo, 
a contagem se dará a partir da oficialização do contrato. 
O estudo será desenvolvido para esta modalidade, com as seguintes classificações. 
 
Quanto ao 
período 
Periódicas: Quando o intervalo de tempo entre as prestações 
(parcelas) são iguais. 
 
Quanto ao prazo 
Temporárias: Quando a duração é limitada. 
 
 
Quanto ao valor 
Constantes: Todas as prestações (parcelas) são iguais (de 
valores iguais) 
 
Quanto à forma 
Diferidas: Com o pagamento ou depósito da primeira parcela 
ocorre a partir do segundo período. 
 
Legenda 
 
R = valor da parcela e n=números de intervalos do prazo. 
 
 
Forma carência: 
Quando primeiro pagamento ocorre 
a partir do segundo intervalo 
(no ponto 2 ou mais). 
Genericamente anunciada no 
comércio como: Compre hoje e 
comece a pagar daqui a nc (nc >1) 
meses. 
 
 
 
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22.2. PARTICULARIDADES DA CARÊNCIA USANDO O CAPITAL 
 
Em relação ao capital (valor 
presente) 
 
A carência ocorre no início de uma série de 
parcelamentos ou desembolsos. A ocorrência dessa 
modalidade é mais comum na pratica. 
 
A carência no início do fluxo 
de caixa pode ser combinada 
com: 
 
A forma antecipada. Essa aplicação não será 
estudada, por ser muito trabalhosa. Usaremos a do 
próximo item em nossos estudos. 
 
 
A carência no início do fluxo 
de caixa pode ser combinada 
com: 
 
A forma postecipada ou postergada. Essa 
combinação será estudada adiante e substituirá a 
combinação acima. 
 
 
22.3. PARTICULARIDADES DA CARÊNCIA USANDO O MONTANTE 
 
Em relação ao montante 
(valor futuro) 
 
A carência ocorre no final de uma série de 
parcelamentos ou desembolsos. A ocorrência dessa 
modalidade é menos comum na pratica. 
 
A carência no início do fluxo 
de caixa pode ser combinada 
com: 
 
A forma antecipada. 
Essa combinação será estudada adiante e 
substituirá a combinação abaixo. 
 
A carência no início do fluxo 
de caixa pode ser combinada 
com: 
 
A forma postecipada ou postergada. Essa aplicação 
não será estudada, por ser muito trabalhosa. 
Usaremos item anterior em nossos estudos. 
 
 
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23. ANUIDADE IMEDIATA POSTECIPADA RELACIONADA COM CAPITAL 
 
 
Anuidade imediata postecipada relacionada com capital é a 
função que envolve as variáveis, taxa de juro “i”, prazo “n”e 
parcelas “R”, com o capital “C”. 
 
 
 
 
Fluxo de caixa - Gráfico Fluxo de caixa - Tabela 
 
 
24. FÓRMULA PRINCIPAL E SUAS DERIVADAS 
 
Legenda 
C = Capital (valor 
presente) 
R = Valor da parcela 
n = número de intervalos do prazo 
i = taxa de juros (taxa efetiva) 
 
 
 
 
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25. ORIENTAÇÃO PARA OBTER A TAXA OU O PRAZO PELA TABELA DE FATORES DE C 
EM R 
 
 
 
A tabela ao lado mostra a posição dos 
três elementos, taxa “i”, número de 
intervalos do prazo “n” e o fator C/R. 
Sempre que duas das grandezas 
forem conhecidas, é possível, com o 
uso da orientação da tabela ao lado, 
obter a grandeza desconhecida. 
Quando o fator C/R não for exato, 
procura-se o mais próximo, ou calcula-
se sua aproximação pela 
proporcionalidade (regra de três). 
 
EXEMPLIFICAÇÃO 
 
PROBLEMA DESENVOLVIDO 
 
I) Discriminação e informações 
 
 Denominações e símbolo Valores e considerações 
Dados 
Parcela R R$ 100,00 
Taxa i 2% am 
Prazo n 4 meses 
Forma Postecipada No final do 1º intervalo 
Capitalização Mensal Juros anexados mensalmente 
Solicitado Capital C Denominado de valor atual 
 
II) Representação gráfica – fluxo de caixa III) Cálculos usando a fórmula ou a 
tabela 2 
 
 
 
 
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IV) Cálculos desenvolvidos por etapas usando a tabela 1 V) Considerações e comentários 
 
 
 
 
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26. ANUIDADE IMEDIATA POSTECIPADA RELACIONADA COM MONTANTE 
 
 
Anuidade imediata postecipada relacionada com montante 
é a função que envolve as variáveis, taxa de juro “i”, prazo 
“n”e parcelas “R”, com o montante “M”. 
 
 
 
 
Fluxo de caixa - Gráfico Fluxo de caixa - Tabela 
 
 
27. FÓRMULA PRINCIPAL E SUAS DERIVADAS 
 
Legenda 
M = Montante (valor 
futuro) 
R = Valor da parcela 
n = número de intervalos do prazo 
i = taxa de juros (taxa efetiva) 
 
 
 
 
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28. ORIENTAÇÃO PARA OBTER A TAXA OU O PRAZO PELA TABELA DE FATORES DE M 
EM R 
 
 
 
A tabela ao lado mostra a posição dos 
três elementos, taxa “i”, número de 
intervalos do prazo “n” e o fator M/R. 
Sempre que duas das grandezas forem 
conhecidas, é possível, com o uso da 
orientação da tabela ao lado, obter a 
grandeza desconhecida. 
Quando o fator M/R não for exato, 
procura-se o mais próximo, ou calcula-se 
sua aproximação pela proporcionalidade 
(regra de três). 
 
EXEMPLIFICAÇÃO 
 
PROBLEMA DESENVOLVIDO 
 
I) Discriminação e informações 
 
 Denominações e símbolo Valores e considerações 
Dados 
Parcela R R$ 100,00 
Taxa i 2% am 
Prazo n 4 meses 
Forma Postecipada No final do 1º intervalo 
Capitalização Mensal Juros anexados mensalmente 
Solicitado Montante M Denominado de valor futuro 
 
II) Representação gráfica – fluxo de caixa III) Cálculos usando a 
fórmula ou a tabela 3 
 
 
 
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IV) Cálculos desenvolvidos por etapas usando a tabela 1 V) Considerações e 
comentários 
 
 
 
 
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29. ANUIDADE IMEDIATA ANTECIPADA RELACIONADA COM CAPITAL 
 
Anuidade imediata antecipada relacionada com capital é a 
função que envolve as variáveis, taxa de juro “i”, prazo “n”e 
parcelas “R”, com o capital “C”.Fluxo de caixa - Gráfico Fluxo de caixa - Tabela 
 
 
30. FÓRMULA PRINCIPAL E SUAS DERIVADAS 
 
Legenda 
C = Capital (valor 
presente) 
R = Valor da parcela 
n = número de intervalos do prazo 
i = taxa de juros (taxa efetiva) 
 
 
 
 
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31. ORIENTAÇÃO PARA OBTER A TAXA OU O PRAZO PELA TABELA DE FATORES DE C 
EM R 
 
 
 
A tabela ao lado mostra a posição dos 
três elementos, taxa “i”, número de 
intervalos do prazo “n” e o fator C/R. 
Sempre que duas das grandezas forem 
conhecidas, é possível, com o uso da 
orientação da tabela ao lado, obter a 
grandeza desconhecida. 
Quando o fator C/R não for exato, 
procura-se o mais próximo, ou calcula-se 
sua aproximação pela proporcionalidade 
(regra de três). 
 
EXEMPLIFICAÇÃO 
 
PROBLEMA DESENVOLVIDO 
 
I) Discriminação e informações 
 
 Denominações e símbolo Valores e considerações 
Dados 
Parcela R R$ 100,00 
Taxa i 2% am 
Prazo n 4 meses 
Forma Antecipada Início no ponto 0 
Capitalização Mensal Juros anexados mensalmente 
Solicitado Capital C Denominado de valor atual 
 
II) Representação gráfica – fluxo de caixa III) Cálculos usando a fórmula e 
tabela 2 
 
 
 
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IV) Cálculos desenvolvidos por etapas usando a tabela 
1 
V) Considerações e comentários 
 
 
 
 
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32. ANUIDADE IMEDIATA ANTECIPADA RELACIONADA COM MONTANTE 
 
 
Anuidade imediata antecipada relacionada com montante é a função que 
envolve as variáveis, taxa de juro “i”, prazo “n”e parcelas “R”, com o 
montante “M”. 
 
 
 
 
Fluxo de caixa - Gráfico Fluxo de caixa - Tabela 
 
 
 
33. FÓRMULA PRINCIPAL E SUAS 
 
Legenda 
M = Montante (valor 
futuro) 
R = Valor da parcela 
n = número de intervalos do prazo 
i = taxa de juros (taxa efetiva) 
 
 
 
 
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34. ORIENTAÇÃO PARA OBTER A TAXA OU O PRAZO PELA TABELA DE FATORES DE M 
EM R 
 
 
 
A tabela ao lado mostra a posição dos 
três elementos, taxa “i”, número de 
intervalos do prazo “n” e o fator M/R. 
Sempre que duas das grandezas forem 
conhecidas, é possível, com o uso da 
orientação da tabela ao lado, obter a 
grandeza desconhecida. 
Quando o fator M/R não for exato, 
procura-se o mais próximo, ou calcula-se 
sua aproximação pela proporcionalidade 
(regra de três). 
 
EXEMPLIFICAÇÃO 
 
PROBLEMA DESENVOLVIDO 
 
I) Discriminação e informações 
 
 Denominações e símbolo Valores e considerações 
 
Dados 
Parcela R R$ 100,00 
Taxa i 2% am 
Prazo n 4 meses 
Forma Antecipada Início no ponto 0 
Capitalização Mensal Juros anexados mensalmente 
Solicitado Montante M Denominado de valor futuro 
 
II) Representação gráfica – fluxo de caixa III) Cálculos usando a fórmula 
ou a tabela 3 
 
 
 
 
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IV) Cálculos desenvolvidos por etapas usando a tabela 1 V) Considerações e 
comentários 
 
 
 
 
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TESTES 
 
1 (BANESTES) O cliente de uma loja efetuou a compra de alguns produtos pagando 10% de 
entrada e parcelou o restante em 6 vezes a juros simples de 2% ao mês. Se os juros totalizaram 
R$108,00, e o valor pago por um dos produtos correspondeu a 30% do total pago pela compra, 
então o valor pago pelo restante da compra foi 
 
A) R$723,80. 
B) R$735,30. 
C) R$758,40. 
D) R$775,60. 
E) R$785,20. 
 
2. Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas 
parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da 
compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 
750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda 
parcela. 
Qual foi o valor da segunda parcela? 
 
A) R$750,00 
B) R$765,00 
C) R$780,00 
D) R$795,60 
E) R$810,00 
 
3. Uma geladeira é vendida á vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como 
uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de 
R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? 
 
A) 6% 
B) 5% 
C) -4% 
D) 3% 
E) 2% 
 
 
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4. Uma empresa está analisando a melhor opção para aquisição de uma máquina. 
 
As seguintes opções estão sendo analisadas: 
 
Opção 1: Adquirir a máquina do Fornecedor A, à vista, por R$200.000,00. Para tanto, a empresa 
terá que obter um empréstimo de R$200.000,00 com juros compostos de 2%a.m. no Banco X, a 
ser pago em três parcelas de igual valor, vencendo a primeira parcela um mês após a data da 
liberação do empréstimo. 
 
Opção 2: Adquirir a máquina do Fornecedor B, em três parcelas mensais sucessivas de 
R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um mês após a data da compra. 
 
Com base nos dados informados, é CORRETO afirmar que: 
 
A) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco 
X é igual a R$69.350,93. 
B) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco 
X é igual a R$68.000,00. 
C) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco 
X é igual a R$70.747,20. 
D) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco 
X é igual a R$70.666,67. 
 
5. (CESGRANIO) Um artigo, cujo preço à vista é R$ 210,00, pode ser comprado a prazo com dois 
pagamentos iguais: o primeiro no ato da compra e o segundo um mês após. Se os juros são de 
10% ao mês, qual é o valor, em reais, de cada pagamento? 
 
A) 110,00 
B) 115,50 
C) 121,00 
D) 126,00 
E) 130,00 
 
Instruções: Para responder á próxima questões, utilize a tabela abaixo, que fornece o fator de 
valor atual de uma série de n pagamentos, à taxa de 5%. 
 
 
 
6. Um estudante fez um empréstimo bancário de R$ 15.000,00 para pagar dívidas com a sua 
faculdade. Ele pagará o empréstimo em 24 parcelas mensais e consecutivas, vencendo a primeira 
ao completar um mês do empréstimo. Foi utilizado o Sistema Francês de Amortização, com taxa 
mensal de 5%. O valor de cada prestação é 
 
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A) R$ 905,28 
B) R$ 1.051,24 
C) R$ 1.087,07 
D) R$ 1.185,26 
E) R$ 1.251,15 
 
7. Um determinado produto pode ser comprado à vista, por R$ 950,00, ou em duas parcelas, uma 
de R$ 450,00 no ato da compra e outra de R$ 550,00, um mês após a compra. A taxa mensal de 
juros para a qual os dois planos de pagamento são equivalentes, é de 
 
A) 5% 
B) 10% 
C) 11% 
D) 12% 
E) 15% 
 
8. (BANESTES) Sebastião decidiu investir R$50.000,00 em um título CDB de renda fixa, pelo 
prazo de dois anos, com rendimentos mensais equivalentes a uma taxa pré-fixada de 18% ao ano. 
Os rendimentos mensais são pagos e tributados (IR) a uma taxa de 22,5%. Sabendo-se que 
(1,18)1/12 ≅ 1,014 e 1,01424 ≅ 1,396, o rendimento mensal líquido e o valor de resgate desta 
aplicação são, respectivamente, 
 
A) R$542,50 e R$50.000,00. 
B) R$542,50 e R$69.800,00. 
C) R$700,00 e R$50.000,00. 
D) R$857,50 e R$50.000,00. 
E) R$857,50 e R$69.800,00. 
 
 
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9. (FUNDATEC) – Romildo Pedroza é plantador de soja e pretende aproveitar uma promoção de 
uma máquina agrícola, que está sendo oferecida por R$ 120.000,00 para pagamento à vista. O 
Banco do Agrícola S.A. possui uma linha de financiamento para a máquina nas seguintes 
condições: entrada de R$ 20.000,00 e o restante do valor pago em 10 parcelas iguais e 
consecutivas, a uma taxa de juros compostos de 1,0% ao mês, capitalizada mensalmente. Qual o 
valor da prestação? 
 
A) R$ 10.558,21. 
B) R$ 10.585,21. 
C) R$ 10.966,85. 
D) R$ 12.669,85. 
E) R$ 12.696,85. 
 
FATOR DO VALOR ATUAL(PRESENTE) – FVA = an, i = (((1+i)^n)-1)/(i.(1+i)^n) 
FVA i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 
n S 
 1 
 
0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 
2 
 
1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 
3 
 
2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 
4 
 
3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 
5 
 
4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 
6 
 
5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 
7 
 
6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 
8 
 
7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 
9 
 
8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 
10 
 
9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 
11 
 
10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 
12 
 
11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 
 
10. (BANESTES) Para adquirir uma máquina industrial, a empresa Empreendimentos de Capital 
Ltda. contraiu, junto ao Banco Ricco, um empréstimo de R$100.000,00 por 18 meses, à taxa de 
juros de 20% a.a. capitalizado semestralmente. Após 1 ano, a empresa decide resgatar a dívida e 
o banco oferece um desconto de 10% a.s. capitalizado, também, semestralmente. 
 
 
 
Nessa condição, o valor a ser pago pelo resgate da dívida é 
 
A) R$110.912,23. 
B) R$112.845,73. 
C) R$121.001,21. 
D) R$126.764,44. 
E) R$133.100,00. 
 
 
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11. (MAKIYAMA) Uma aplicação em determinado banco rende 1,5% ao mês em regime de juros 
simples, e José aplicou R$ 620,00 nessa instituição. Qual o montante gerado por essa aplicação 
após dois anos? Por quanto tempo José deveria manter tal aplicação, se desejasse usar todo o 
montante gerado para dar entrada em uma moto, no valor de R$1550,00? 
 
A) Em dois anos, são gerados R$ 843,20 de montante, e seriam necessários 4 anos e 2 meses 
para chegar aos R$ 1550,00. 
B) Em dois anos, são gerados R$ 223,20 de montante, e seriam necessários 4 anos e 2 meses 
para chegar aos R$ 1550,00. 
C) Em dois anos, são gerados R$ 223,20 de montante, e seriam necessários 13 anos e 5 meses 
para chegar aos R$ 1550,00. 
D) Em dois anos, são gerados R$ 223,20 de montante, e seriam necessários 8 anos e 4 meses 
para chegar aos R$ 1550,00. 
E) Em dois anos, são gerados R$ 843,20 de montante, e seriam necessários 8 anos e 4 meses 
para chegar aos R$ 1550,00. 
 
12. (MAKIYAMA) Carlos Henrique resolveu investir na Bolsa de Valores durante os dois primeiros 
meses do ano de 2011. No mês de Janeiro suas ações tiveram uma alta de 10%, enquanto que, 
em Fevereiro, houve uma queda de 5%. Assim, durante esses dois meses, Carlos Henrique teve 
um lucro de: 
 
A 4,5% sobre o capital investido 
B 5,0% sobre o capital investido 
C 5,5% sobre o capital investido 
D 6,0% sobre o capital investido 
E 6,5% sobre o capital investido 
 
13. (MAKIYAMA) Um computador, cujo preço à vista é de R$ 2 000,00 é comprado a prazo em 
duas parcelas, uma de R$ 1 420,00 após 60 dias da compra e outra após 90 dias da compra. 
Sendo 10% a taxa mensal de juros do financiamento, o valor da segunda parcela foi: 
 
A R$ 1000,00 
B R$ 1100,00 
C R$ 1190,00 
D R$ 1210,00 
E R$ 1310,00. 
 
14. (FBC-CFC) Uma loja vende computadores em três pagamentos mensais iguais e antecipados. 
O valor à vista do computador é de R$ 2.890,00 e a loja opera a uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês. Nessas condições, cada pagamento deverá estar entre: 
 
A) R$ 980,00 e R$ 1.080,00. 
B) R$ 1.080,00 e R$ 1.180,00. 
C) R$ 1.180,00 e R$ 1.280,00. 
D) R$ 1.280,00 e R$ 1.380,00. 
 
 
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15. (BANESTES) Certa cliente resolveu investir R$300.000,00 da seguinte forma: R$100.000,00 
em uma aplicação com taxa de juros compostos de 4% ao mês; R$150.000,00 em uma aplicação 
com taxa de juros compostos de 2% ao mês; e R$50.000,00 em uma aplicação com taxa de juros 
compostos de 3% ao mês. Uma vez que (1,04)12 ≅ 1,601, (1,02)12 ≅ 1,268 e (1,03)12 ≅ 1,426 ao 
final de um ano, essa carteira de investimentos proporcionou uma taxa média mensal de 
rentabilidade igual a 
 
A) (1,4257)1/12 − 1. 
B) (1,0400)1/12 −1. 
C) (1,4317)1/12 −1. 
D) (1,5340 – 1)1/12. 
E) (1,4053)1/12 −1. 
 
16. João deseja comprar uma moto e, para tal, realiza uma pesquisa em 3 concessionárias e 
obtém as seguintes propostas: 
 
Proposta 1: Entrada de $ 4.010,80 + 1 parcela de $ 2.040,00 para 30 dias após a entrada. 
Proposta 2: Entrada de $ 3.970,00 + 1 parcela de $ 2.080,80 para 60 dias após a entrada. 
Proposta 3: Entrada de $ 3.970,00 + 2 parcelas iguais de $ 1.040,40, sendo uma para 30 dias e a 
outra 60 dias após a entrada. 
 
Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 2% ao mês, que o preço à vista é de $ 6.000,00 
e que todas as propostas devem ser fechadas no mesmo dia, 
 
A) a Proposta de compra 1 apresenta o menor valor presente. 
B) a Proposta de compra 2 apresenta o menor valor presente. 
C) a Proposta de compra 3 apresenta o menor valor presente. 
D) o preço à vista apresenta o menor valor presente. E) as três propostas pesquisadas são 
equivalentes. 
 
GABARITO 
 
1 D 
2 D 
3 B 
4 A 
5 A 
6 C 
7 B 
8 A 
9 A 
10 C 
11 E 
12 A 
13 B 
14 A 
15 E 
16 B 
 
 
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35. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 
 
Estudaremos neste capítulo os vários sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, 
sua metodologia e cálculos para determinação do saldo devedor, da parcela de amortização, dos 
juros compensatórios e das prestações. 
 
35.1. TERMOS USADOS NO ESTUDO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
 
- Amortização ou parcela de amortização 
É a parte embutida na prestação que devolve o valor principal do empréstimo ou financiamento 
 
- Saldo devedor 
É o valor atual do empréstimo ou financiamento, numa data focal anterior ao termino da operação. 
O saldo devedor é reduzido a cada pagamento, pela parcela de amortização. 
 
- Juro compensatório 
É o valor do juro calculado a partir do saldo devedor anterior a composição da prestação, que 
adicionado á parcela de amortização, comporá o valor da prestação. 
 
- Prestação 
É o pagamento efetuado a cada período, formada pela duas partes, amortização + juro 
compensatório. 
 
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35.2.1. SISTEMA AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ( SAF ) OU SISTEMA AMORTIZAÇÃO PRICE 
 
35.2.1.1. CARACTERISTICAS 
 
 - As prestações são constantes ao longo do prazo (n). 
 - A parcela de amortização aumenta a cada período, em todo o prazo (n). 
 - Os juros compensatórios diminuem a cada período do financiamento, em todo o prazo (n). 
 
35.2.1.2. LEGENDA 
 
n = número de períodos ou prestações. 
 i = taxa de juros. 
 PA n = parcela de amortização, no período n da operação. 
 J n = juros, no período n da operação. 
 SD n = saldo devedor, no período n da operação. 
 R n = prestação, no período n da operação. 
 C = capital, valor presente, ou, SD 0 = saldo devedor inicial. 
 
35.2.1.3. GRÁFICO 
 
 
 
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35.2.1.4. PLANILHA DE FINANCIAMENTO – EXEMPLO 
 
Uma pessoa contraiu da CEF um empréstimo de R$ 1 000,00 para aquisição da casa, à taxa de 
120% ao ano durante 5 meses (prestações mensais) pagas no final de cada período, no sistema 
amortização francês de amortização (SAF) (Tabela Price). 
Planilha do empréstimo. 
 
 Coluna 01 Coluna 02 Coluna 03 Coluna 04 
ORIENTAÇÃO 
Cálculo do saldo 
devedor (SD) 
Cálculo da 
parcela de 
amortização 
atual (PA) 
Cálculo do 
valor dos 
juros (J) 
Cálculo do valor 
da prestação (R), 
dado o valor 
presente (C). 
FÓRMULAS SD n = SD n-1 – PA n PA n = R n– J n J n = SD n-1 i 
R = C x
in
a
 
 
 
 
n 
Saldo devedor 
SD n 
Amortização 
PA n 
Juros 
J n 
Prestação 
R n 
 
CAPITAL 0 1 000,00 0,00 0,00 0,00 
OCORRÊN- 
CIA 
PERÍODO A 
PERÍODO 
1 836,20 163,80 100,00 263,80 
2 656,02 180,18 83,62 263,80 
3 457,82 198,20 65,60 263,80 
4 239,80 218,02 45,78 263,80 
5 0,02 239,82 23,98 263,80 
 
TOTAIS 1 000,02 318,98 1 319,00 
 
 
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35.3.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ( SAC ) 
 
35.3.1.1. CARACTERISTICAS 
 
 - As prestações são uniformemente decrescentes ao longo do prazo (n). 
 - As parcelas de amortização são constantes em todo o prazo (n). 
 - Os juros compensatórios são uniformemente decrescentes ao longo do prazo (n). 
 
35.3.1.2. LEGENDA 
 
n = número de períodos ou prestações. 
 i = taxa de juros. 
 PA n = parcela de amortização, no período n da operação. 
 J n = juros, no período n da operação. 
 SD n = saldo devedor, no período n da operação. 
 R n = prestação, no período n da operação. 
 C = capital, valor presente, ou, SD 0 = saldo devedor inicial. 
 
35.3.1.3. GRÁFICO 
 
 
 
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35.3.1.4. PLANILHA DE FINANCIAMENTO – EXEMPLO 
 
Uma pessoa contraiu da CEF um empréstimo de R$ 1 000,00 para aquisição da casa, à taxa de 
120% ao ano durante 5 meses (prestações mensais) pagas no final de cada período, no sistema 
de amortização constante (SAC). 
 
Planilha do empréstimo. 
 Coluna 01 Coluna 02 Coluna 03 Coluna 04 
ORIENTAÇÃ
O 
Cálculo do saldo 
devedor (SD) 
Cálculo para todas 
as parcelas de 
amortização ( PA ) 
Cálculo do valor 
dos juros (J) 
Cálculo do 
valor da 
prestação (R). 
FÓRMULAS 
SD n=SD (n -1) – PA 
n 
PA = SD 0  n J n = SD(n-1) i R n = PA n + J n 
 
 
 
n 
Saldo devedor 
SD n 
Amortização 
PA n 
Juros 
J n 
Prestação 
R n 
 
CAPITAL 0 1 000,00 0,00 0,00 0,00 
OCOR- 
RÊNCIA 
PERÍOD
O A 
PERÍOD
O 
1 800,00 200,00 100,00 300,00 
2 600,00 200,00 80,00 280,00 
3 400,00 200,00 60,00 260,00 
4 200,00 200,00 40,00 240,00 
5 0,00 200,00 20,00 220,00 
 
TOTAIS 1 000,00 300,00 1 300,00 
 
 
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35.4.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO 
 
O Sistema de Amortização Crescente Misto, foi adotado recentemente pelo SFH na liquidação de 
financiamento da casa própria. Ele é baseado no SAC e no Sistema Price, já que a prestação é 
igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas 
condições de juros e prazos. Aproximadamente até a metade do período de financiamento, as 
amortizações são maiores que as do Sistema Price. Como decorrência disso, a queda do saldo 
devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como 
pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do MISTO é que suas prestações iniciais 
são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário 
sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das 
prestações. 
 
35.4.1.1. CARACTERISTICAS 
 
-Misto porque é formado pela média aritmética das respectivas prestações do Sistema Francês de 
Amortização (SAF) e do Sistemas de Amortização Constante (SAC). 
 
 - As prestações são decrescentes ao longo do prazo (n). 
 - As parcelas de amortização são crescentes ao longo do prazo (n). 
 - Os juros compensatórios são decrescentes ao longo do prazo (n). 
 
35.4.1.2. LEGENDA 
 
n = número de períodos ou prestações. 
 i = taxa de juros. 
 PA n = parcela de amortização, no período n da operação. 
 J n = juros, no período n da operação. 
 SD n = saldo devedor, no período n da operação. 
 R n = prestação, no período n da operação. 
 C = capital, valor presente, ou, SD 0 = saldo devedor inicial. 
 
 
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35.4.1.3. GRÁFICO 
 
 
 
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35.4.1.4. PLANILHA DE FINANCIAMENTO – EXEMPLO 
 
Uma pessoa contraiu da CEF um empréstimo de R$ 1 000,00 para aquisição da casa, à taxa de 
120% ao ano durante 5 meses (prestações mensais) pagas no final de cada período, no sistema 
de amortização misto (SAM). 
 
Planilha do empréstimo. 
 Coluna 01 Coluna 02 Coluna 03 Coluna 04 
Cálculo do saldo 
devedor ( SD ) 
Cálculo da parcela de 
amortização atual ( 
PA ) 
Cálculo do valor 
dos juros ( J ) 
Cálculo do valor da 
prestação ( R ) 
F Ó R M U L A S 
SD n = 











 
2
SAC
n
SD
SFA
n
SD
 
PA n = 











 
2
SAC
n
PA
SFA
n
PA
 
J n = 











 
2
SAC
n
J
SFA
n
J
 
R n = 











 
2
SAC
n
R
SFA
n
R
 
 
n Saldo devedor SD n Amortização PA n Juros J n Prestação R n 
 
0 1 000,00 0,00 0,00 0,00 
1 818,10 181,90 100,00 281,90 
2 628,00 190,10 81,81 271,91 
3 428,90 199,10 62,80 261,90 
4 219,89 209,01 42,98 251,99 
5 -0,02 219,91 21,99 241,90 
 
 TOTAIS 1 000,02 309,58 1 309,60 
 
 
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RESUMO COMPARATIVO ENTRE OS TRÊS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO RESOLVIDO 
 
Exemplo para você acompanhar o comportamento dos três sistemas de amortizações: 
 
-Sistema de Amortização Francês ou Price (SAF OU SAPrice). 
-Sistema de Amortização Constante (SAC). 
-Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 
1. (ISS-SP-adaptado) A fim de expandir os seus negócios, o dono de uma empresa consegue um 
empréstimo de R$ 300 000,00, nas seguintes condições: 
- taxa de juros de 16% ao ano, com pagamentos semestrais. 
- amortizado em pagamentos semestrais. 
- prazo de amortização de 3 anos. 
- pagamentos no final do período. 
 
Nessas condições, construa as planilhas para os três sistema de amortização: SAF(PRICE), SAC 
e MISTO. 
 
I) Planilha do SAF(PRICE) 
 
Prestação calculada pela fórmula C=R.((1-(1+i)^-n)/i ou R=C.((i/(1-(1+i)^-n). 
 
n Saldo devedor SDn Amortização PAn Juros J Prestação R 
0 300 000,00 0,00 0,00 0,00 
1 259 105,67 40 894,33 24 000,00 64 894,33 
2 214 939,79 44 165,88 20 728,45 64 894,33 
3 167 240,64 47 699,15 17 195,18 64 894,33 
4 115 725,82 51 514,82 13 379,51 64 894,33 
5 60 089,56 55 636,26 9 258,07 64 894,33 
6 2,39 60 087,17 4 807,16 64 894,33 
 
 Totais 299997,61 89 368,37 389365,98 
 
 
II) Planilha do SAC 
 
Prestação calculada linha a linha pela adição da Amortização com Juros (A +J = R). 
 
n Saldo devedor SDn Amortização PAn Juros J Prestação R 
0 300 00,00 0,00 0,00 0,00 
1 250 00,00 50 000,00 24 000,00 74 000,00 
2 200 00,00 50 000,00 20 000,00 70 000,00 
3 150 00,00 50 000,00 16 000,00 66 000,00 
4 100 00,00 50 000,00 12 000,00 62 000,00 
5 50 00,00 50 000,00 8 000,00 58 000,00 
6 0,00 50 000,00 4 000,00 54 000,00 
 
 Totais 300000,00 84 000,00 384000,00 
 
 
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III) Planilha do MISTO 
 
Prestação calculada pela media aritmética entre o SAC e SAF(SAPrice) 
 
n Saldo devedor SDn Amortização PAn Juros J Prestação R 
0 300 000,00 0,00 0,00 0,00 
1 254 552,84 45 447,17 24 000,00 69 447,17 
2 207 469,90 47 082,94 20 364,22 67 447,16 
3 158 620,32 48 849,58 16 597,59 65 447,17 
4 107 862,91 50 757,41 12 689,75 63 447,16 
5 55 044,78 52 818,13 8 629,03 61 447,16 
6 1,27 55 043,58 4 403,58 59 447,16 
 
 Totais 299998,81 86684,90 386684,98 
 
 
TESTES 
 
1. Um empréstimo de $ 100,00, é pago, com juros de 15% ao mês, em 5 prestações, pelo sistema 
de amortização Price. A primeira prestação é paga um mês após a oficialização da operação. 
Pede-se: 
 
A) Faça a planilha de amortização 
 
 SD n = SD (n-1) – PA n PA n = R n – J n J n = SD (n-1) i R = C x FVA(n,i) 
 
n 
Saldo devedor 
SD n 
Amortização 
PA n 
Juros 
J n 
Prestação 
R n 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Determine o saldo devedor na 3ª prestação. 
C) Qual o valor da 4ª prestação. 
D) Quanto foi pago de juros em toda a operação. 
 
 
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2. Um empréstimo de $ 100,00, é pago, com juros de 15% ao mês, em 5 prestações, pelo sistema 
de amortização constante. A primeira prestação é paga um mês após a oficialização da operação. 
Pede-se: 
 
A) Faça a planilha de amortização 
 
 SD n =SD n -1 – PA n PA = SD 0  n J n = SD n-1 i R n = PA n + J n 
 
n 
Saldo devedor 
SD n 
Amortização 
PA n 
Juros 
J n 
Prestação 
R n 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Determine o saldo devedor na 3ª prestação. 
C) Qual o valor da 4ª prestação. 
D) Quanto foi pago de juros em toda a operação. 
 
3. (UnB-CESPE) Um eletrodoméstico adquirido ao preço de R$ 240,00 será pago em 6 parcelas 
mensais consecutivas, postecipadas, com juros de 2,5% ao mês, pelo sistema de amortização 
constante (SAC). Na tabela de amortização abaixo, estão inseridos alguns valores, em reais, 
correspondentes a essa situação, em que, para o k-ésimo mês após a compra, 0  k  6, Dk indica 
o estado da dívida, Ak, o valor da amortização, Jk, o valor dos juros devidos e Pk indica o valor da 
prestação. 
 
Mês Dk Ak Jk Pk 
0 240 
1 40 
2 160 
3 44 
4 80 3 
5 2 
6 0 41 
 
 
Com base nesses dados, julgue os itens a seguir. 
I . A5 = R$ 40,00. 
II . P2 = R$ 45,00. 
III. D3 = R$ 108,00. 
IV. J1 + J2 + J3 + J4 + J5 + J6 = R$ 21,00. 
 
A quantidade de itens certos é igual a: 
 
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A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 4 
 
4. (BANESTES) Considerando as características de cada um dos sistemas de amortização – 
Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), Sistema de AmortizaçãoConstante (SAC) e 
Sistema de Amortização Misto (SAM), é correto afirmar que 
 
A) para uma mesma situação de financiamento, o valor dos juros pagos, em qualquer um dos 3 
sistemas, é o mesmo. 
B) colocando em ordem crescente de valores, as prestações dos 3 sistemas de amortização 
considerados, para uma mesma situação de financiamento, tem-se: prestação pelo SAC, 
prestação pelo SAM e prestação pela Tabela Price. 
C) dos 3 sistemas de amortização considerados, é no SAM que o capital tomado emprestado é 
mais rapidamente devolvido ao credor. 
D) dos 3 sistemas de amortização considerados, o que apresenta o maior valor para a primeira 
prestação, em uma mesma situação de financiamento, é o SAC. 
E) o SAM é um sistema de amortização composto por prestações, cujos valores são resultantes 
da média geométrica das prestações dos sistemas SAC e Tabela Price, em seus respectivos 
prazos. 
 
5. (BANESTES) Um apartamento no valor de R$126.000,00 é totalmente financiado em 200 
prestações mensais e consecutivas, pela Tabela Price a 1% ao mês. O valor do saldo devedor, 
após o pagamento da segunda prestação, será 
(Dado: (1 + 0,01)200 ≅ 7,3) 
 
A) R$123.080,00. 
B) R$123.600,00. 
C) R$125.600,00. 
D) R$123.985,00. 
E) R$125.598,00. 
 
6. (BANESTES) Paulo adquiriu um veículo em uma determinada concessionária por $ 35.000,00. 
Não dispondo de nenhuma quantia para oferecer como entrada, financiou todo o valor do veículo 
em 60 prestações. Sabendo-se que a taxa de juros compostos do financiamento é de 2% ao mês, 
e que a amortização é realizada pelo SAC, o valor da 20ª prestação a ser paga será de, 
aproximadamente, 
 
A) $ 583,33. 
B) $ 866,80. 
C) $ 954,95. 
D) $ 1.006,87. 
E) $ 1.061,67. 
 
 
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7. Um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidado em 12 prestações mensais, 
iguais e consecutivas, com utilização do sistema “Price”, a uma taxa nominal de juros compostos 
de 48% ao ano, com capitalização mensal. Considerando que a primeira prestação vence um mês 
após a data em que foi contraído o empréstimo, o valor do saldo devedor da dívida quando 
efetuado o pagamento da segunda prestação será aproximadamente: 
 
A) R$ 43.211,00 
B) R$ 44.180,00 
C) R$ 44.803,20 
D) R$ 46.670,00 
E) R$ 47.160,20 
 
Uma empresa, com o objetivo de captar recursos financeiros 
para ampliação de seu mercado de atuação, apresentou projeto ao 
Banco Alfa, que, após análise, liberou R$ 1.000.000,00 de empréstimo, 
que deverá ser quitado em 12 parcelas mensais, a juros nominais de 
18% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 
8. (CESPE-UnB) Considerando essa situação, julgue os itens a seguir. 
Se a quitação do empréstimo seguisse o sistema misto de amortização, em que os juros são 
calculados sobre o saldo devedor remanescente, os valores das prestações seriam 
decrescentes. 
 
Certo 
 
Errado 
 
9. Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas 
paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema 
de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será 
 
A) 50,00 
B) 52,00 
C) 54,00 
D) 56,00 
E) 58,00 
 
10. Um aposentado foi a uma loja comprar um eletrodoméstico, cujo valor à vista era de R$ 
1.700,00. Deu uma entrada de R$ 300,00 e financiou o restante pelo Sistema Francês de 
Amortização em 11 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a 1a ao completar um 
mês da compra. Se a taxa cobrada no financiamento foi de 5% ao mês, a parcela de juros da 3ª 
prestação foi: 
 
A) R$ 72,73 
B) R$ 68,41 
C) R$ 62,37 
D) R$ 59,90 
E) R$ 55,40 
 
 
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11. (FUNCAB) O valor da prestação do mês 05 de um financiamento pelo sistema de 
amortização Francês (PRICE) é R$ 277,40. O valor da prestação do mês 05, do mesmo 
financiamento, pelo sistema de amortização constante (SAC) é R$ 224,00. Determine o valor 
da prestação do mês 05, desse mesmo financiamento, pelo sistema de amortização mista 
(SAM). 
 
A) R$ 501,40 
B) R$ 250,70 
C) R$ 330,80 
D) R$ 277,40 
E) R$ 224,00 
 
12. Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo 
devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda 
pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a 
dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? 
 
A) 110,00 
B) 108,00 
C) 106,00 
D) 104,00 
E) 102,00 
 
13. (BANCO DO BRASIL) Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será devolvido em três 
prestações mensais iguais e seguidas de valor igual a R$ 416,35. O financiamento foi realizado 
com uma taxa de juros de 12% ao mês. Ao analisar os valores de cada parcela da operação de 
financiamento, calculando os valores dos juros, amortização e saldo devedor, vemos que, para a 
segunda prestação, estes valores, em reais, são, respectivamente: 
 
A) R$ 67,54, R$ 648,81 e R$ 388,59 
B) R$ 72,88, R$ 343,47 e R$ 383,25 
C) R$ 77,24, R$ 339,11 e R$ 378,89 
D) R$ 80,18, R$ 336,17 e R$ 375,95 
E) R$ 84,44, R$ 331,91 e R$ 371,74 
 
 
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14. Um plano de pagamentos referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no 
sistema de amortização misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 
a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um 
mês após a data do empréstimo. 
 
Dados: Fator de recuperação de capital (FRC) para taxa de juros compostos de 2% 
ao período. 
Número de períodos FRC (R=C.((i/(1-(1+i)^-n). 
10 0,111 
20 0,061 
30 0,045 
40 0,037 
50 0,032 
60 0,029 
 
O valor da 1ª (primeira) prestação é aproximadamente igual a 
 
A) R$ 3.320,00 
B) R$ 3.940,00 
C) R$ 3.480,00 
D) R$ 4.140,00 
E) R$ 4.280,00 
 
Instruções: Para responder às duas questões seguintes considere o enunciado abaixo. 
Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200 000,00 
emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros serão pagos 
anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 parcelas anuais, pelo 
Sistema de Amortização Constante (SAC). 
 
15. (FCC) O valor da terceira prestação deverá ser 
 
A) R$ 60 000,00 
B) R$ 65 000,00 
C) R$ 68 000,00 
D) R$ 70 000,00 
E) R$ 75 000,00 
 
16. (FT-ES) Um financiamento pelo sistema francês de amortização, a uma taxa de juros de 4% ao mês, é 
composto por doze prestações de R$ 1.000,00. Caso esse financiamento seja substituído por uma 
perpetuidade que gere um conjunto de fluxos de caixa equivalente ao citado, o valor da nova prestação 
seria igual a: 
 
Dado: (1,04)
12
 = 1,601 
 
A) R$ 64,98 
B) R$ 375,39 
C) R$ 480,00 
D) R$ 615,53 
 
 
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17. (FCC) Um empréstimo de R$ 60.000,00 para aquisiçãode casa própria deverá ser devolvido 
em 120 prestações mensais, à taxa de 1% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante 
(SAC), vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. O valor 
da segunda prestação é igual a 
 
A) R$ 1.110,00 
B) R$ 1.095,00 
C) R$ 1.090,00 
D) R$ 1.085,00 
E) R$ 1.080,00 
 
18. (FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de 
Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, 
vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação 
é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26a prestação é igual a 
 
A) R$ 3.700,00 
B) R$ 3.650,00 
C) R$ 3.600,00 
D) R$ 3.550,00 
E) R$ 3.500,00 
 
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GABARITO 
 
01. 
a) n SD n PA n J n R 
 0 100,00 0,00 0,00 0,00 
 1 85,17 14,83 15,00 29,83 
 2 68,12 17,05 12,78 29,83 
 3 48,51 19,61 10,22 29,83 
 4 25,96 22,55 7,28 29,83 
 5 0,02 25,94 3,89 29,83 
 99,98 49,17 149,15 
b) 48,54 
c) 29,83 
d) 49,17 
 
02. 
a) n SD n PA n J n R 
 0 100,00 0,00 0,00 0,00 
 1 80,00 20,00 15,00 35,00 
 2 60,00 20,00 12,00 32,00 
 3 40,00 20,00 9,00 29,00 
 4 20,00 20,00 6,00 26,00 
 5 0,00 20,00 3,00 23,00 
 100,00 45,00 145,00 
b) 40,00 
c) 26,00 
d) 45,00 
 
1 VEJA ACIMA 
2 VEJA ACIMA 
3 D 
4 D 
5 E 
6 E 
7 A 
8 C 
9 B 
10 D 
11 B 
12 E 
13 E 
14 B 
15 A 
16 B 
17 B 
18 B 
 
 
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36. VALOR PRESENTE “VP” DE UM FLUXO DE CAIXA 
 
36.1. APENAS COM ENTRADAS 
 
O valor presente de um fluxo de caixa que tenha apenas entradas é a soma resultante da adição 
dessas entradas, descapitalizadas pela taxa “i” e no tempo “n” de cada uma, descapitalizadas 
através de juros compostos em sentido a data focal estabelecida. O resultado (saldo) é um valor 
positivo. 
Quaisquer ferramentas da matemática financeira estudadas nos capítulos anteriores poderão ser 
usadas neste, como, juros compostos, anuidades imediatas, anuidades diferidas, descontos, etc. 
Naturalmente, os dados devem estar em adequação com uma dessas modalidades, para poder 
usá-la. 
 
36.2. OS ELEMENTOS DE UM FLUXO DE CAIXA DE ENTRADAS 
 
 Gráfico Tabela 
 
 
₪ Taxa de juro “i”. Também 
denominada de taxa de 
descapitalização ou de desconto. 
 
₪ Data focal. A data focal é um 
ponto no eixo tempo, escolhido para 
ser a referência para o(s) 
deslocamento(s) da(s) entrada(s) 
que estiver(em) fora dele. 
Geralmente a data focal 
estabelecida é a da posição zero no 
eixo tempo, denominada data focal 
0 (zero). 
 
 
 
₪ O prazo “n”. Para cada entrada há um valor de n intervalos de deslocamento em sentido ao 
ponto focal. Mudando ao ponto focal, muda o valor de n para todas as entradas. 
₪ E2 = Entrada no ponto 2 do eixo tempo. Para data focal 0, use n=2. 
₪ E4 = Entrada no ponto 4 do eixo tempo. Para data focal 0, use n=4. 
₪ VPE2 = Valor presente da entrada E2. 
₪ VPE4 = Valor presente da entrada E4. 
₪ Os cálculos para a passagem de En para VPEn é obtida pela relação 
n
)i1(
nE
nVPE


. 
Fórmula esta, lembro, é derivada da fórmula de juros compostos, 
n
)i1(CM 
, em que En = M 
e VPEn = C. 
₪ Um fluxograma pode ter varias entradas e saídas, em quantidades iguais ou diferentes. 
 
 
 
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36.3. CÁLCULO E CLASSIFICAÇÃO DO RESULTADO 
 
 
 
Os dados foram tirados do fluxo de caixa 
acima. 
Neste caso estão envolvidas duas 
entradas. Podem ocorrer entradas em 
quaisquer quantidades, basta para isso 
acrescentar ou diminuir etapas e observar 
o valor de n de cada uma. 
 
 
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37. APENAS COM SAÍDAS 
 
O valor presente de um fluxo de caixa que tenha apenas saídas é a soma resultante da adição 
dessas saídas, descapitalizadas pela taxa “i” e no tempo “n” de cada uma, deslocadas através de 
juros compostos em sentido a data focal estabelecida. O resultado é um valor negativo. 
Quaisquer ferramentas da matemática financeira estudadas nos capítulos anteriores poderão ser 
usadas neste, como, juros compostos, anuidades imediatas, anuidades diferidas etc. 
Naturalmente, os dados devem estar em adequação com uma dessas modalidades, para poder 
usá-la. 
 
37.1. OS ELEMENTOS DE UM FLUXO DE CAIXA DE 
 
 Gráfico Tabela 
 
₪ Taxa de juro “i”. Importante 
observar a forma de capitalização 
usada. 
 
₪ Data focal. A data focal é um 
ponto no eixo tempo, escolhido para 
ser a referência para o(s) 
deslocamento(s) da(s) saída(s) que 
estiver(em) fora dele. Geralmente a 
data focal estabelecida é a da 
posição zero no eixo tempo, 
denominada data focal 0 (zero). 
 
 
 
₪ O prazo “n”. Para cada saída há um valor de n intervalos de deslocamento em sentido ao 
ponto focal. Mudando ao ponto focal, muda o valor de n para todas as saídas. 
₪ S3 = Saída no ponto 3 do eixo tempo. Para data focal 0, use n=3. 
₪ S4 = Saída no ponto 4 do eixo tempo. Para data focal 0, use n=4. 
₪ VPS3 = Valor presente da saída S3. 
₪ VPS4 = Valor presente da saída S4. 
₪ Os cálculos para a passagem de Sn para VPSn é obtida pela relação 
n
)i1(
nS
nVPS


. 
Fórmula esta, lembro, é derivada da fórmula de juros compostos, 
n
)i1(CM 
, em que Sn = M 
e VPSn = C. 
₪ Um fluxograma pode ter varias entradas e saídas, em quantidades iguais ou diferentes. 
 
 
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37.2. CÁLCULO E CLASSIFICAÇÃO DO RESULTADO 
 
 
 
Os dados foram tirados do fluxo de caixa 
acima. 
Neste caso estão envolvidas duas 
entradas. Podem ocorrer saídas em 
quaisquer quantidades, basta para isso 
acrescentar ou diminuir etapas e observar 
o valor de n de cada uma. 
 
38. VALOR PRESENTE “VP” DE UM FLUXO DE CAIXA COM ENTRADAS E SAÍDAS 
 
O valor presente “VP” de um fluxo de caixa que tenha entradas (valor positivo) e saídas (valor 
negativo) é a soma resultante da adição das entradas e saídas, descapitalizadas pela taxa “i” e no 
tempo “n” de cada uma, deslocadas através de juros compostos no sentido a data focal 
estabelecida. 
Quaisquer ferramentas da matemática financeira estudadas nos capítulos anteriores poderão ser 
usadas neste, como, juros compostos, anuidades imediatas, anuidades diferidas, descontos, etc. 
Naturalmente, os dados devem estar em adequação com uma das modalidades, para poder usá-
la. 
 
 
 
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38.1. ELEMENTOS DE UM FLUXO DE CAIXA DE ENTRADAS E SAÍDAS 
 
 Gráfico Tabela 
 
 
 
Tomando-se os registros do fluxo de caixa acima, com a legenda: 
 
₪ A data focal escolhida é zero. Podia ser outra qualquer. 
₪ Entrada no ponto 2 “E2” e seu respectivo valor presente “VPE2” 
₪ Entrada no ponto 4 “E4” e seu respectivo valor presente “VPE4” 
₪ Saída no ponto 3 “S3” e seu respectivo valor presente “VPS3” 
₪ Saída no ponto 4 “S4” e seu respectivo valor presente “VPS4” 
₪ Os cálculos para a passagem de En para VPEn serão obtidos pela relação 
n
)i1(
nE
nVPE


, 
considerando-se as substituições En = M e VPEn = C, em n
)i1(CM 
. 
₪ Os cálculos para a passagem de Sn para VPSn é obtida pela relação 
n
)i1(
nS
nVPS


, 
considerando-se as substituições Sn = M e VPSn = C, em n
)i1(CM 
. 
 
₪ Um fluxograma pode ter uma ou varias entradas e uma ou varias saídas, em quantidades 
iguais ou diferentes. 
 
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38.2. CÁLCULO E CLASSIFICAÇÃO DO RESULTADO 
 
Cada entrada ou saída acima mostrado, tem seu cálculo processado independente e a avaliação 
final é dada pela adição desses resultados produzidos separadamente. 
O que segue é uma maneira menos trabalhosa de obter o mesmo resultado final. Que aqui 
denomino de unificação dos cálculos. Acompanhe o que segue: 
 
 
 
 
Os dados foram tirados do fluxo de caixa acima. 
Neste caso estão envolvidas duas entradas e duas saídas. Podem ocorrer entradas e saídas em 
quaisquer quantidades, basta para isso acrescentar ou diminuir etapas e observar o valor de n de 
cada uma. 
 
39. VALOR PRESENTE LIQUIDO “VPL” 
 
Valor presente liquido “VPL” é um método de avaliação dos resultados monetários de um fluxo de 
caixa de investimento ou pagamento. Para calcular devemos conhecer previamente: 
 
₪ O prazo de cada entrada e saída. 
₪ A data focal que será adotada. 
₪ A taxa mínima ou máxima de atratividade. 
₪ A modalidade de capitalização (ou descapitalização). Neste caso no regime de juros 
compostos. 
₪ A operação é de investimento ou de captação de recursos por meio de empréstimos e 
consequentes futuros pagamentos. 
 
Os procedimentos para os cálculos neste capítulo serão os mesmos adotados no capítulo anterior. 
O que acrescentamos neste, é a avaliação (análise) do saldo final, se é positivo, negativo ou nulo 
e a decisão final, que pode ser favorável ou não a escolha do projeto em estudo. 
 
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A partir das informações citadas, usaremos a relação geral que segue, adaptando-a em cada 
caso. 
 
Para investimento – Fórmula aberta 
 
VPLn)i1(
nCF...
3)i1(
3
CF
2)i1(
2
CF
1)i1(
1
CF
0
CF 








 
Legenda e símbolos da fórmula acima 
CF0 = Fluxo de caixa no período inicial = valor presente. 
CF1 = Fluxo de caixa no primeiro período = valor futuro no 1º período. 
CF2 = Fluxo de caixa no segundo período = valor futuro no 2º período. 
CF3 = Fluxo de caixa no terceiro período = valor futuro no 3º período. 
CF3 = Fluxo de caixa no quarto período = valor futuro no 4º período. 
... 
CFn = Fluxo de caixa no período n = valor futuro no período n. 
i = taxa de atratividade 
VPL = Valor presente liquido. 
 
i) Gráfico para investimento ii) Tabela para decisões 
 
 
 
 
 
 
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40. TAXA INTERNA DE RETORNO 
 
i) Gráfico - Investimento ii) Tabela para decisões 
 
 
 
 
 
É uma taxa de juros que representa o mínimo que um 
investidor se propõe a ganhar quando faz um 
investimento. 
 
40.1. CÁLCULO DA TAXA INETRNA DE RETORNO POR APROXIMAÇÃO LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
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Para pagamento – Fórmula aberta 
 
0







 n)
TIR
i1(
nCF...
3)
TIR
i1(
3
CF
2)
TIR
i1(
2
CF
1)
TIR
i1(
1
CF
0
CF
 
 
Legenda e símbolos da fórmula acima 
CF0 = Fluxo de caixa no período inicial = valor presente. 
CF1 = Fluxo de caixa no primeiro período = valor futuro no 1º período. 
CF2 = Fluxo de caixa no segundo período = valor futuro no 2º período. 
CF3 = Fluxo de caixa no terceiro período = valor futuro no 3º período. 
CFn = Fluxo de caixa no período n = valor futuro no período n. 
CF3 = Fluxo de caixa no quarto período = valor futuro no 4º período. 
... 
TIR = Taxa Interna de Retorno (taxa mínima) 
 
EXEMPLIFICAÇÃO 
 
PROBLEMA DESENVOLVIDO 
 
1. A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo 
projeto. 
 
Valor (reais) - 50 35 22 
Período ( em meses ) 0 1 2 
 
Calcular a taxa interna de retorno anual. 
 
RESOLUÇÃO 
 
I) Discriminação e informações 
 
 Denominações e símbolo Valores e considerações 
Dados 
Fluxo de caixa para n = 
0 
FC0 -50,00 
Fluxo de caixa para n = 
1 
FC1 +35,00 
Fluxo de caixa para n = 
2 
FC2 +22,00 
Modalidade JC Juros compostos 
Data focal zero É um ponto previamente estabelecido 
Capitalização anual Juros anexados anualmente 
Solicitad
o 
Taxa interna de retorno TIR Denominado de valor atual 
 
 
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II) Dados organizados em: 
 
Gráfico Tabela 
 
FCn = Valor do fluxo 
de caixa no ponto n 
do eixo tempo. 
 
VPFCn = Valor 
presente do fluxo 
de caixa no ponto n 
do eixo tempo. 
Neste caso com 
data focal 0. 
 
 
III) Cálculos da TIR por aproximação (tentativa) 
 
i) Orientação ii) Para taxa i = 9% aa iii) Para taxa i = 11% aa 
 Substitua i=9% para 
posteriormente analisar o 
resultado. 
Substitua i=11% para 
posteriormente analisar o 
resultado. 
A taxa desejada será 
procurada por 
tentativas, até que 
iguale as entradas 
com a saída. 
 
 
Eleja uma taxa, 
preferencialmente 
inteira para facilitar 
os cálculos. 
Substitua essa taxa 
como será mostrado 
nos itens (ii) e (iii). 
O objetivo será, 
procurar uma taxa 
que anule o valor 
presente liquido. 
 
 
 Para investimento, se o valor 
presente para essa taxa for 
positivo, isto significa que 
deveremos aumentar o valor da 
taxa eleita. 
Neste caso a taxa de 9% é 
considerada anterior “ia” ao 
ponto desejado. 
Para investimento, se o valor 
presente para essa taxa for 
negativo, isto significa que 
deveremos diminuir o valor da 
taxa eleita. 
Neste caso a taxa de 11% é 
considerada posterior “ip” ao 
ponto desejado. 
 
 
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IV) Cálculo da taxa interna de retorno ou a maior aproximação possível 
 
i) Gráfico para investimento ii) Cálculo da 
aproximação 
 
 
Taxa anterior a iTIR > 
ia = 9%. 
Taxa posterior a iTIR 
< ip = 11%. 
 
Aqui será mostrado 
o cálculo por 
aproximação linear 
(proporcional). 
O resultado será 
adicionado à taxa 
anterior “ia”. 
 
 
V) Aplicar nos cálculos a taxa obtida no item anterior 
 
i) Orientação ii) Para taxa i = 10% aa iii) Conclusão 
 
 
A taxa obtida no item 
anterior como sendo a taxa 
interna de retorno ou, 
melhor dizendo, é a maior 
aproximação que 
conseguimos. 
Para conseguirmos zerar 
como é esperado, 
podemos ter que fazer um 
pequeno ajuste para 
menos. 
Veja o próximo item. 
 
 
A taxa de 10% aa zera o 
valor presente liquido, logo, a 
taxa de 10% aa é a taxa 
interna de retorno procurada. 
 
 
Resposta: 
 
iTIR = 10% aa 
 
Outras formas para este 
cálculo, somente mediante a 
calculadora financeira ou 
planilha Excel. 
 
 
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TESTES 
 
1. (CAIXA ECONOMICA) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Para 
que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser 
 
Período (anos) 0 1 2 
Valor (milhares de reais) - 410 P P 
 
A) 216,5 
B) 217,5 
C) 218,5 
D) 219,5 
E) 220,5 
 
2. Uma instituição financeira capta investimentos oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao 
mês. Se, ao investir determinada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$ 
10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$ 11.025,00, dois 
meses após o depósito, então o valor presente liquido investido foi igual a: 
 
A) R$ 18.000,00. 
B) R$ 18.500,00. 
C) R$ 19.000,00. 
D) R$ 19.500,00. 
E) R$ 20.000,00. 
 
3. A taxa interna de retorno corresponde à taxa de juros para a qual o valor presente líquido de um 
investimento é 
 
A) positivo. 
B) maior que o custo do investimento. 
C) positivo mas inferior ao custo do investimento. 
D) igual a zero. 
E) negativo. 
 
4. Uma sociedade empresária investirá o valor de R$100.000,00 em um projeto que se espera 
gerar um retorno de R$400.000,00 ao final de dois anos. 
Considerando uma taxa de juros de 3% a.a., o valor presente líquido desse investimento é de: 
 
A) R$266.666,67. 
B) R$276.928,93. 
C) R$277.038,36. 
D) R$282.778,77. 
 
5. valor presente líquido de um fluxo financeiro de recebimentos e pagamentos futuros é 
 
A) sempre positivo. 
B) sempre positivo ou nulo. 
C) maior que a taxa interna de retorno. 
D) igual ao valor do primeiro recebimento no fluxo financeiro. 
E) nulo, se a taxa de desconto usada no cálculo for a taxa interna de retorno. 
 
 
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6. Marque a opção CORRETA: 
 
A) Desconto é a razão entre os juros e o montante. 
B) Valor presente líquido representa a diferença entre o montante e o capital. 
C) A taxa de juros nominal não leva em consideração a inflação do período analisado. 
D) A taxa de juros, no regime de capitalização composta, incide somente sobre o capital inicial. 
 
7. (ACEP) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada 
um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo 
pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa interna de retorno de aproximadamente igual 
a: 
 
A) 14,29% 
B) 13,33% 
C) 9,86% 
D) 7,14% 
E) 6,67% 
 
8. Um projeto de investimento, cujo aporte de capital inicial é de R$ 20.000,00, irá gerar, após um 
período, retorno de R$ 35.000,00. A Taxa Interna de Retorno (TIR) desse investimento é 
 
A) 34% 
B) 43% 
C) 75% 
D) 175% 
E) 275% 
 
9. Uma máquina com vida útil de 3 anos é adquirida hoje (data 0) produzindo os respectivos 
retornos: R$ 0,00 no final do primeiro ano, R$ 51.480,00 no final do segundo ano e R$ 62.208,00 
no final do terceiro ano. O correspondente valor para a taxa interna de retorno encontrado foi de 
20% ao ano. Então, o preço de aquisição da máquina na data 0 é de 
 
A) R$ 86.100,00. 
B) R$ 78.950,00. 
C) R$ 71.750,00. 
D) R$ 71.500,00. 
E) R$ 71.250,00. 
 
10. A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções 
seguintes: à vista por R$ 41.600,00 ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores 
iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de retorno 
de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação 
referente à segunda opção que torna equivalentes na data da compra, as duas opções é 
 
A) R$ 23.328,00 
B) R$ 22.064,00 
C) R$ 21.600,00 
D) R$ 20.800,00 
E) R$ 20.400,00 
 
 
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11. (CESPE-UnB) Uma instituição financeira capta investimentos oferecendo a taxa interna de 
retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma 
no valor de R$ 10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$ 
11.025,00, dois meses após o depósito, então o valor investido foi igual a: 
 
A) R$ 18.000,00. 
B) R$ 18.500,00. 
C) R$ 19.000,00. 
D) R$ 19.500,00. 
 
12. (CESGRANRIO) Com relação à taxa interna de retorno de um fluxo financeiro de 
recebimentos e pagamentos futuros, afirma-se que: 
 
A) diminui quando a taxa de juros de mercado aumenta. 
B) é sempre superior à taxa de juros de mercado. 
C) é um critério para a comparação de fluxos financeiros alternativos. 
D) é o único critério para a escolha entre fluxos financeiros alternativos. 
E) é o custo de capital para o investimento correspondente àquele fluxo financeiro. 
 
13. O investimento necessário para montar uma pequena empresa é de R$ 10.000,00. Esse 
investimento renderá R$ 6.000,00 no final do primeiro ano, e R$ 5.500,00 no final do segundo. 
Depois desses dois anos, o dono dessa empresa pretende fechá-la. A taxa interna de retorno 
(TIR), anual, desse projeto é 
 
A) 1% 
B) 1,5% 
C) 5% 
D) 10% 
E) 15% 
 
14. A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. 
 
Valor (milhares de reais) - 50 35 22 
Período 0 1 2 
 
A taxa interna de retorno anual é igual a 
 
A) 10% 
B) 12% 
C) 15% 
D) 18% 
E) 20% 
 
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 Matemática Financeira p/ BANESTES 
Aulas 20 
 
GABARITO 
 
1 E 
2 E 
3 D 
4 C 
5 E 
6 C 
7 A 
8 C 
9 C 
10 A 
11 E 
12 C 
13 D 
14 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FÓRMULÁRIO DE MATEMÁTICA FINANCEIRATodas as fórmulas e procedimentos nos cálculos da matemática financeira. 
 
1. CONVERSÕES ENTRE AS TAXAS A JUROS SIMPLES – PROPORCIONAIS 
 
 
ad
i360 ami12 ab
i6
at
i4 aqi3 asi2aai1 
 
 
2. CONVERSÕES ENTRE AS TAXAS A JUROS COMPOSTOS – EXPONENCIAIS 
 
360)
ad
i(112)ami(1
6)
ab
i(14)
at
i(13)aqi(1
2)asi(1
1)aai(1 
 
3. TAXA DE RENDIMENTO, TAXA DE INFLAÇÃO E TAXA REAL 
 
rendimento realinflação
(1+i ) = (1+i )(1+i )
 
Orientação: Taxa de rendimento é a que contém as taxas de inflação e real. 
 
4. CONVERSÕES ENTRE TAXAS – NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE 
 
 
 
A taxa nominal é uma falsa taxa. Geralmente é 
fornecida em termos anuais. 
 
A taxa de capitalização é a taxa que participa nos 
cálculos. Os juros serão calculados em períodos de 
tempo informado na capitalização. 
 
Taxa equivalente ou efetiva, é a taxa que, mesmo 
estando em unidades de tempo diferentes da unidade 
de tempo da capitalização, produzirá o mesmo 
montante, quando ficam mantidos o capital e o prazo. 
 
 
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5. JUROS SIMPLES, JUROS COMPOSTOS, DESCONTO SIMPLES E DESCONTO COMPOSTO 
 
 
 
 
 
 
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6. PARCELAMENTOS POSTECIPADOS 
 
6.1. RELAÇÃO COM CAPITAL – FORMA POSTECIPADA 
 
i
-n)i1(1-
RC


 
i
-n)i1(1-
AtualValorFator


 
 
6.2. RELAÇÃO COM MONTANTE – FORMA POSTECIPADA 
 
i
1n)i1(
RM


 
i
1n)i1(
CapitaldeAcumuloFator


 
 
7. PARCELAMENTOS ANTECIPADO 
 
7.1. RELAÇÃO COM CAPITAL – FORMA ANTECIPADA 
 
)i1(
i
-n)i1(1-
RC 


 
i
-n)i1(1-
AtualValorFator


 
 
7.2. RELAÇÃO COM MONTANTE – FORMA ANTECIPADA 
 
)i1(
i
1n)i1(
RM 


 
i
1n)i1(
CapitaldeAcumuloFator


 
 
8. TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 
 
8.1 PARA AS ENTRADA USE O SINAL POSITIVO E PARA AS SAÍDAS USE O SINAL 
NEGATIVO 
0







 n)
TIR
i1(
nCF...
3)
TIR
i1(
3
CF
2)
TIR
i1(
2
CF
1)
TIR
i1(
1
CF
0
CF
 
Use o sinal positivo para entradas (seta para cima) e negativo para saídas (seta para baixo) 
 
9. VALOR PRESENTE LIQUIDO “VPL” 
 
9.1 PARA AS ENTRADA USE O SINAL POSITIVO E PARA AS SAÍDAS USE O SINAL 
NEGATIVO 
 
VPLn)i1(
nCF...
3)i1(
3
CF
2)i1(
2
CF
1)i1(
1
CF
0
CF 








 
Use o sinal positivo para entradas (seta para cima) e negativo para saídas (seta para baixo)
 
 
 
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10 DECISÃO 
 
DISPOSITIVOS PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS 
 TIR INVESTIMENTOS VPL INVESTIMENTOS 
 
Calcule TIRi 
e compare 
Decisão ou 
Avaliação 
 
Calcule TIJi e 
compare 
Decisão ou 
Avaliação 
1. 
TIRi > i mín 
Aceita 1. VPL > 0 Aceita 
2. 
TIRi = i mín 
Aceita ( * ) 2. VPL = 0 Aceita ( * ) 
3. 
TIRi < i mín 
Rejeitada 3. VPL < 0 Rejeitada 
( * ) Mostra que há equilíbrio entre a taxa de retorno com a taxa de juros do mercado. 
TIRi = taxa interna de retorno ( representa uma taxa de desconto) 
 
 
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POUPANÇA – NOVA REGULAMENTAÇÃO 
 
Fonte: G1 www.globo.com em 04/05/2012 05h58 - Atualizado em 10/05/2012 15h34 
 
Veja perguntas e respostas sobre as mudanças na poupança 
Governo mexeu nas regras da poupança; mudança vale desde 4 de maio. 
Caderneta vai render menos se a taxa Selic for reduzida. 
Do G1, em São Paulo 
 
 
 
O governo federal mexeu nas regras da poupança. A mudança vale para os depósitos que forem feitos 
a partir do dia 4 de maio. Com a alteração, o atual piso de remuneração da mais tradicional modalidade 
de investimentos do país, de pelo menos 6,17% ao ano, que é assegurada desde 1861, poderá cair 
nos próximos meses. 
Veja perguntas e respostas sobre a mudança: 
Como era o rendimento da poupança? 
A poupança "antiga" rendia 6,17% ao ano mais a variação da TR. O investimento na caderneta não 
paga imposto de renda e pode ser sacado a qualquer momento. 
E como fica com as novas regras? 
A poupança passa a render 70% da Selic mais a TR, sempre que essa taxa básica de juros estiver em 
8,5% ao ano ou menos. A isenção do imposto de renda e a possibilidade de saque a qualquer 
momento continuam valendo. 
O que são a TR e a Selic? 
A TR é uma taxa calculada a partir da média de rendimento dos CDBs. Já a Selic é a chamada ‘taxa 
básica de juros da economia’, definida pelo Comitê de Política Monetária do Banco Central. Hoje, está 
em 9%. 
Quando a regra passou a valer? 
As regras valem para o dinheiro depositado na caderneta a partir de 4 de maio. 
Mas a regra só vale se a Selic chegar em 8,5%, e agora está em 9%. Como funciona isso? 
O dinheiro depositado a partir de 4 de maio vai render 6,17% mais TR, como na regra antiga, até que 
os juros caiam. Quando isso ocorrer, a remuneração desse dinheiro muda. 
 
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E como fica o dinheiro que eu já tenho na poupança? 
Para esse dinheiro, não muda nada. O que foi depositado na poupança até 3 de maio continua 
rendendo 6,17% ao ano mais TR, independentemente do valor da taxa Selic. 
Quando eu fizer um saque de uma poupança que eu já tenho, como fica? 
Os saques serão feitos prioritariamente do ‘dinheiro novo’, isso é, do que entrou na conta depois da 
mudança de regras. O ‘dinheiro antigo’, de antes da mudança, só sai da conta se o ‘dinheiro novo’ não 
for suficiente. 
Como o banco vai distinguir o que é depósito "novo" do que é depósito "antigo"? 
No extrato bancário, o banco será obrigado a apresentar ao poupador, em separado, o saldo da 
caderneta que está sob as regras antigas. 
O que acontece com o rendimento do "dinheiro antigo"? 
O rendimento referente aos valores depositados até 3 de maio será incorporado ao saldo da poupança 
"antiga" e passa a render segundo as regras antigas. 
Por que o governo resolveu mudar as regras? 
O objetivo é permitir a redução da taxa Selic. Como essa taxa é referência para as outras taxas de 
juros praticadas no país, a queda da Selic deve ajudar a reduzir os juros do crédito e incentivar o 
crescimento da economia. 
O que a Selic tem a ver com a poupança? 
Quando os juros caem, cai também o rendimento dos investimentos em renda fixa. Se a Selic cair 
mais, a renda fixa vai pagar menos que a poupança. 
Qual o problema da renda fixa pagar menos que a poupança? 
Se isso acontecer, os investidores tendem a sair da renda fixa e ir para a caderneta. 
E por que o governo quer evitar a fuga da renda fixa? 
A renda fixa ajuda a pagar as dívidas do governo. É como se o investidor estivesse emprestando parao governo. Se esse dinheiro "some", o governo não tem como pagar suas contas. 
E se os poupadores evitarem da poupança? Isso também gera problemas? 
Segundo especialistas, se houver uma saída em massa da poupança também pode haver problemas. 
Isso porque o dinheiro da caderneta é uma das principais fontes de recursos para o financiamento da 
compra de imóveis. Se esse dinheiro “secar”, pode ficar mais difícil financiar um imóvel.