Matemática Financeira 2024-4 (1)

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<p>Professora Ma. Adriana Speggiorin</p><p>Caxias do Sul, 2024-4</p><p>2</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>O cálculo financeiro e a análise de investimentos são ferramentas fundamentais para a</p><p>tomada de decisões e a gestão financeira, tanto pessoal como de empresas.</p><p>Os cálculos matemáticos aplicados à área financeira ganharam muita agilidade com o</p><p>advento das calculadoras financeiras, cujas funções específicas deixaram para trás as conhecidas</p><p>tabelas financeiras.</p><p>O surgimento das planilhas eletrônicas significou um grande avanço, pois dentre as funções</p><p>oferecidas, está a função financeira, que nos permite a realização dos mais diversos cálculos.</p><p>Mas não se pode esquecer que, apesar de ter à disposição todas essas ferramentas, faz-se</p><p>necessário ter um sólido conhecimento dos conceitos que permitem a realização dos cálculos que</p><p>se pretende.</p><p>TERMINOLOGIA</p><p>As operações financeiras estão estruturadas em função do tempo e de uma taxa de juros</p><p>(remuneração). Os componentes de uma operação de juros simples ou juros compostos são:</p><p>PV: valor presente ou presente valor. É o valor inicial de uma operação. Pode ser, ainda, chamado</p><p>de valor Principal (P) ou Capital (C).</p><p>i: taxa de juros. Está relacionada à sua incidência, que pode ser diária, semanal, quinzenal, mensal,</p><p>semestral, anual, entre outras. Será usada na sua forma fracionária ou decimal. Não será usada na</p><p>forma que tem o %.</p><p>j: juro. É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido como “aluguel pago pelo</p><p>uso do dinheiro”.</p><p>n: número de períodos envolvidos na operação. É o tempo, que deve estar em acordo com a taxa</p><p>de juros. Pode, também, ser representado por t.</p><p>FV: valor futuro ou futuro valor, representado no instante n. Também pode ser chamado de valor de</p><p>resgate, Montante (M) ou Saldo (S).</p><p>1. PORCENTAGEM</p><p>A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões,</p><p>abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc.</p><p>Vamos interpretar determinadas frases que ouvimos ou lemos quase que diariamente:</p><p>a) “Liquidação com desconto de 40%”. Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço de uma</p><p>determinada mercadoria, há um abatimento de R$ 40,00.</p><p>b) “Certo candidato está com 22% da preferência popular”. Significa que a cada 100 pessoas,</p><p>22 gostam do candidato.</p><p>3</p><p>Conceito: Toda a razão</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>na qual b = 100 chama-se taxa de porcentagem.</p><p>Assim,</p><p>20</p><p>100</p><p>é o mesmo que 20 por cento.</p><p>Devemos lembrar, também, que</p><p>20</p><p>100</p><p>= 0,20.</p><p>A expressão por cento pode ser substituída pelo símbolo %.</p><p>Dessa forma, temos:</p><p>𝑉𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 =</p><p>20</p><p>100</p><p>= 0,2 = 20%</p><p>Elementos básicos:</p><p>Principal (C) - Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100%</p><p>da operação.</p><p>Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa.</p><p>Taxa percentual (i): É a razão representada pela fração de denominador 100.</p><p>Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo da porcentagem pode-se</p><p>escrever como uma regra de três:</p><p>Principal ----------- 100%</p><p>Porcentagem ------------ taxa percentual</p><p>Ou:</p><p>𝒕𝒂𝒙𝒂 =</p><p>𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒈𝒆𝒎</p><p>𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍</p><p>Exemplo 1.1: Um empregado que ganha R$ 2.100,00 recebeu um aumento R$ 147,00. Qual foi a</p><p>taxa percentual desse aumento?</p><p>𝑥 =</p><p>147</p><p>2100</p><p>→ 𝑥 = 0,07 → 7%</p><p>Resp: A taxa percentual de aumento foi de 7%.</p><p>Exemplo 1.2: Uma mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 108,00. Calcular a taxa</p><p>percentual de lucro sobre o preço de compra.</p><p>x =</p><p>108</p><p>80</p><p>x = 1,35 → x=135%</p><p>Resp: O lucro foi de 35%.</p><p>Lucro=108 – 80 → lucro=R$ 28,00</p><p>x =</p><p>28</p><p>80</p><p>→ x=0,35</p><p>x = 35%</p><p>Exemplo 1.3: Calcular 23,5% de 140.</p><p>23,5</p><p>100</p><p>. 140 = 32,9 𝑜𝑢 0,235 . 140 = 32,9</p><p>4</p><p>Exemplo 1.4: Sabendo que uma pessoa pagou 45% de uma dívida, calcular o valor da dívida, se</p><p>a pessoa pagou R$ 36,00.</p><p>𝑡𝑎𝑥𝑎 =</p><p>𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚</p><p>𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙</p><p>→ 0,45 =</p><p>36</p><p>𝑥</p><p>→ 𝑥 =</p><p>36</p><p>0,45</p><p>→ x=80</p><p>A dívida era de R$ 80,00.</p><p>Exemplo 1.5: 15% de um rebanho bovino são vacas e o restante são bois. Qual é o total de cabeças</p><p>desse rebanho, se há 17.000 bois?</p><p>Se 15% são vacas e um rebanho completo corresponde a 100% , então, 100% - 15% = 85%</p><p>são bois.</p><p>𝑥 =</p><p>17000</p><p>0,85</p><p>𝑥 = 20.000</p><p>O total de cabeças é 20.000.</p><p>Exemplo 1.6: Uma biblioteca tem 413.750 livros. Esse número é 25% maior do que o número de</p><p>livros do ano passado. Quantos livros tinha essa biblioteca no ano passado?</p><p>413.750 livros correspondem a 125% (1,25)</p><p>𝑥 =</p><p>413.750</p><p>1,25</p><p>→ x = 331.000</p><p>A biblioteca tinha 331.000 livros.</p><p>Exemplo 1.7</p><p>a) 10% de 200 = 0,1 x 200 = 20 b) 89% de 400 = 0,89 x 400 = 356</p><p>c) 123% de 450 = 1,23 x 450 = 553,5 d) 0,64% de 1.219 = 0,0064 x 1.219 = 7,8016</p><p>e) 7,3% de 730 = 0,073 x 730 = 53,29 f) 0,002% de 145.337 = 2,90674</p><p>Exercícios</p><p>1. Araci comprou uma mesa por R$ 500,00 e vendeu por R$ 800,00. Qual o percentual do lucro, em</p><p>relação ao preço de custo?</p><p>2. Para vender um aparelho eletrônico com um certo lucro, Letícia acrescenta 35% ao valor que</p><p>pagou. Sabendo que ela vendeu esse aparelho por R$ 2.700,00, quanto ela pagou?</p><p>3. Numa cidade 25% são italianos, 12% são alemães, 10% são japoneses e os restantes 118.720</p><p>são brasileiros. Quantos são alemães?</p><p>4. Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 2.000,00 mais uma comissão de 5% das vendas</p><p>efetuadas. Se num certo mês ele recebeu R$ 6.000,00 (fixo mais comissão), qual o valor das vendas</p><p>efetuadas nesse mês?</p><p>5</p><p>5. Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4 milhões de pessoas com 10 anos ou</p><p>mais que eram alfabetizadas, o que correspondia a 91% da população nessa faixa etária. Determine</p><p>o número de brasileiros com 10 anos ou mais em 2010.</p><p>6. Uma televisão que custava R$ 900,00 teve um aumento de R$ 50,00. Qual foi o percentual de</p><p>aumento?</p><p>7. Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50</p><p>g. Atualmente, a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do</p><p>produto. Qual foi a variação percentual do preço do pãozinho provocada pela mudança de critério</p><p>de cálculo do preço?</p><p>8. O governo de determinado país estimou que o crescimento nominal da população é de 1,5% ao</p><p>ano, enquanto o percentual de mortalidade é 0,33% ao ano, ambos em relação à população atual.</p><p>Sendo o crescimento vegetativo a diferença entre a taxa de crescimento e a de mortalidade, e sendo</p><p>a população atual de 194.000.000 de habitantes, qual seria a população daqui a um ano?</p><p>9. O preço de um artigo triplicou. Portanto, qual o percentual de aumento de tal artigo?</p><p>Respostas</p><p>1) 60% 2) R$ 2.000,00 3) 26.880 alemães 4) R$ 80.000</p><p>5) Aproximadamente 162 milhões de brasileiros 6) 5,56%</p><p>7) 12,5% 8) 196.269.800 habitantes 9) 200%</p><p>2. ABATIMENTOS e ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS</p><p>2.1 Abatimentos sucessivos</p><p>No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os</p><p>abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente. O cálculo do valor líquido ou valor</p><p>final é dado pela seguinte fórmula:</p><p>VF = C(1 - i1)(1- i2)........(1- in)</p><p>Sendo:</p><p>VF = valor real ou valor final a ser pago (ou FV = future value)</p><p>C = principal, ou seja, valor de 100% (ou PV = present value)</p><p>i = taxas unitárias sucessivas (i = interest rate)</p><p>n = número de períodos (n = number)</p><p>6</p><p>VF = C(1+</p><p>ano, no valor de R$</p><p>2.000,00. O devedor, desejando liquidá-la rapidamente, propõe ao credor saldá-la em três</p><p>pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 1 mês, o segundo em 2 meses e o terceiro em 3 meses.</p><p>A taxa de juros contratada é de 3% a.m.. Qual é o valor dos pagamentos?</p><p>7. Um varejista faz a seguinte proposta a um de seus fornecedores a quem deve certa quantia em</p><p>dinheiro. Pagamentos de R$ 25.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 80.000,00 vencíveis dentro de 2, 6 e 10</p><p>meses, respectivamente, ou um único pagamento dentro de 8 meses. Suponha taxa de juros de</p><p>2%a.m. Qual o valor do pagamento?</p><p>8. Uma empresa contraiu uma dívida de R$ 500.000,00 com um particular que cobra juros bimestrais</p><p>de 8%. Decorridos 2 bimestres, a empresa paga R$ 200.000,00 e combina liquidar o saldo restante</p><p>no final de mais 4 bimestres. Qual o valor do pagamento final?</p><p>9. Uma firma contraiu um empréstimo para pagar do seguinte modo: 1º pagamento depois de 1 mês</p><p>no valor de R$ 50.000,00 e o 2º pagamento depois de 2 meses da contratação do empréstimo, no</p><p>valor de R$ 100.000,00. Esses pagamentos abrangiam capital mais juros calculados a 7% a.m. Se</p><p>a firma modificar a forma de pagamento, saldando o débito com uma única prestação 4 meses após</p><p>a data do contrato, qual o valor dessa única prestação?</p><p>10. Um conjunto de sofás é vendido à vista por R$ 1.500,00, ou a prazo por três prestações mensais</p><p>sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha</p><p>o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera com uma taxa de juros de 5% a.m.</p><p>Respostas</p><p>1. R$ 52.020,00 2. R$ 24.859,20 3. 1º pagamento: R$ 100.000,00</p><p>4.R$ 5.139,25 5. R$ 59.535,00 6. R$ 1.228,65</p><p>7. R$ 146.663,56 8. R$ 521.339,37 9. R$ 175.742,15</p><p>10. N1 = R$ 279,96 N2 = R$ 559,92</p><p>41</p><p>9. TAXAS DE JUROS</p><p>9.1 TAXAS PROPORCIONAIS (ou taxa linear)</p><p>É a conversão de uma taxa de um período para outro, como se estivéssemos fazendo</p><p>juros simples.</p><p>Duas, ou mais taxas, são proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o mesmo capital</p><p>durante o mesmo período, produzem o mesmo montante. Isso ocorre nos juros simples.</p><p>Exemplo 9.1: Calcular a taxa mensal proporcional à taxa de 9% a.a.</p><p>ip =</p><p>0,09</p><p>12</p><p>→ ip = 0,0075 → ip = 0,75% a. m.</p><p>Exemplo 9.2:</p><p>a) 36% ao ano e 3% ao mês;</p><p>36% ao ano e 9% ao trimestre.</p><p>b) Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de R$100,00,</p><p>no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros:</p><p>a) 12,00% a.a. b) 6,00% a.s. c) 1,00% a.m.</p><p>a) i = 12,00% a.a. = 0,12 n = 4 anos</p><p>FV = PV (1 + i × n) → FV = 100,00 (1 + 0,12 × 4) → FV = R$ 148,00</p><p>b) i = 6,00% a.s. = 0,06 n = 4 anos = 8 semestres</p><p>FV = PV (1 + i × n) → FV = 100,00 (1 + 0,06 × 8) → FV = R$ 148,00</p><p>c) i = 1,00% a.m. = 0,01 n = 4 anos = 48 meses</p><p>FV = PV (1 + i × n) → FV = 100,00 (1 + 0,01 × 48) → FV = R$ 148,00</p><p>Observe que os cálculos foram realizados no regime de juros simples e que nos três casos</p><p>o principal e o prazo foram os mesmos.</p><p>Exemplo 9.3: Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques</p><p>a descoberto e que cobra 1,50% a.m. sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a</p><p>conta ficar descoberta. Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a</p><p>conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques:</p><p>Data Valor do cheque (RS)</p><p>1° de abril 2.000,00</p><p>11 de abril 1.000,00</p><p>21 de abril 1.000,00</p><p>Inicialmente devemos transformar a taxa de juros 1,50% a.m. na sua taxa proporcional</p><p>diária, como segue:</p><p>42</p><p>i = 1,50% a.m. = (1,50% / 30) ao dia = 0,05% a.d. → i = 0,0005</p><p>Cálculo dos juros devidos por período:</p><p>• Juros de 1° a 10 de abril:</p><p>n = 10 dias</p><p>saldo devedor: R$ 2.000,00</p><p>juros = 2.000,00 × 0,0005 × 10</p><p>j = R$ 10,00</p><p>• Juros de 11 a 20 de abril:</p><p>n= 10 dias</p><p>saldo devedor: R$ 3.000,00</p><p>juros = 3.000,00 × 0,0005 × 10</p><p>j = R$ 15,00</p><p>• Juros de 21 a 30 de abril:</p><p>n = 10 dias</p><p>saldo devedor: $ 4.000,00</p><p>juros = 4.000,00 × 0,0005 × 10</p><p>j = R$ 20,00</p><p>Assim, temos: juros do mês de abril = (10,00 + 15,00 + 20,00) = R$ 45,00</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. As taxas de 48% ao ano e 4% ao mês são proporcionais?</p><p>2. As taxas de 8% ao mês e 42% ao semestre são proporcionais?</p><p>3. As taxas de 90% ao semestre e 0,5% ao dia são proporcionais?</p><p>4. As taxas de 0,8% ao dia e 25% ao mês são proporcionais?</p><p>5. Determine as taxas mensais, trimestrais e anuais proporcionais à taxa de 0,4% ao dia.</p><p>6. Determine as taxas diárias, semestrais e anuais proporcionais à taxa de 8,2% ao mês.</p><p>Respostas</p><p>1. Sim 2. Não 3. Sim 4. Não</p><p>5. 12% a.m. , 36% a.t., 144% a.a. 6. 0,2733% a.d., 49,2% a.s., 98,4% a.a.</p><p>43</p><p>9.2. TAXA NOMINAL</p><p>A taxa de juros é nominal quando a sua unidade de tempo não coincide com a unidade de</p><p>tempo dos períodos de capitalização. Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao</p><p>ano, capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide com</p><p>o período a que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal.</p><p>Essa taxa serve somente como referência, não é a taxa realmente paga ou recebida, por</p><p>isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. Toda taxa nominal</p><p>traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada</p><p>período de capitalização.</p><p>Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros</p><p>simples.</p><p>9.3. TAXAS EQUIVALENTES</p><p>Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao</p><p>serem aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante</p><p>acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.</p><p>O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros</p><p>compostos. Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende</p><p>exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros</p><p>simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.</p><p>Exemplo 9.4: Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal</p><p>de R$100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:</p><p>a) 12,6825% a.a.; b) 6,1520% a.s.; c) 1,00% a.m..</p><p>FV = PV (1 + i)n</p><p>a) FV = 100 (1+0,126825)4 → FV = R$ 161,22</p><p>b) FV = 100 (1+0,061520)8 → FV = R$ 161,22</p><p>c) FV = 100 (1+0,01)48 → FV = R$ 161,22</p><p>Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a R$ 161,22, podemos</p><p>concluir que as taxas de 12,6825% a.a., 6,1520% a.s. e 1,00% a.m. são taxas equivalentes, pois</p><p>produzem o mesmo montante de R$ 161,22 ao serem aplicadas sobre o mesmo principal de</p><p>R$100,00, pelo mesmo prazo de quatro anos, no regime de juros compostos.</p><p>A equivalência é calculada pela seguinte equação:</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 𝑖 )𝑄𝑄/𝑄𝑇 − 1</p><p>Onde: i = taxa conhecida.</p><p>i eq = taxa a ser calculada.</p><p>QQ = é período desejado em dias em relação a taxa procurada</p><p>QT = é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida</p><p>44</p><p>Na HP-12C</p><p>100 CHS PV 413 i 30 enter 360 : n FV 100 -</p><p>Na HP-12C</p><p>100 CHS PV 25 i 1 enter 90 : n FV 100 -</p><p>Na HP-12C</p><p>100 CHS PV 4 i 360 enter 30 : n FV 100 -</p><p>Exemplo 9.5: Calcular a taxa mensal equivalente a 413% a.a..</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 4,13)30/360 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 1,145978 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 0,145978</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 14,60% 𝑎. 𝑚.</p><p>Exemplo 9.6: Calcular a taxa diária equivalente a 25% a.t..</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 0,25)1/90 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 1,00248 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 0,00248</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 0,25% 𝑎. 𝑑.</p><p>Exemplo 9.7: Calcular a taxa anual equivalente a 4% a.m.</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 0,04)360/30 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 1,6010 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 0,6010</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 60,1% 𝑎. 𝑎.</p><p>Exemplo 9.8: Um administrador deseja realizar um empréstimo. O banco A oferece uma taxa de</p><p>juro de 129,2% a.a.. O banco B oferece uma taxa de 8,1% a.m. Qual das duas taxas é a mais</p><p>atrativa?</p><p>Vamos transformar a taxa do banco A em taxa mensal.</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 1,292)30/360 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 1,071563 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 0,071563 𝑖𝑒𝑞 = 7,1563% 𝑎. 𝑚. A taxa do banco A é mais atrativa!</p><p>45</p><p>Na HP-12C</p><p>100 CHS PV 129,2 i 30 enter 360 : n FV 100 -</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:</p><p>a) 1,8% a.m. b) 2,5% a.b.</p><p>2. Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:</p><p>a) 75% a.a. b) 6,5% a.b. c) 0,12% a.d.</p><p>3. Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas:</p><p>a) 0,14% a.d. b) 1,6% a.m. c) 96% a.a.</p><p>4. Qual a taxa mensal de juros compostos equivalente a uma taxa de 148% no período de 1 ano, 3</p><p>meses e 24 dias?</p><p>5. Um administrador deseja realizar um empréstimo. O banco A oferece uma taxa de juro de 134,6%</p><p>a.a.. O banco B oferece uma taxa de 9,25% a.m. Qual das duas taxas é a mais atrativa?</p><p>Respostas</p><p>1. a) 23,872% a.a. b) 15,97% a.a.</p><p>2. a) 4,77% a.m. b) 3,20% a. m. c) 3,66% a.m.</p><p>3. a) 28,64% a.s b) 9,99% a.s. c) 40% a.s.</p><p>4. 5,92% a.m. 5) banco A: 7,36% a.m.</p><p>9.4. TAXA EFETIVA</p><p>É a taxa efetivamente paga ou recebida, ou seja, é a taxa realmente utilizada.</p><p>Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a</p><p>unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos:</p><p>• 2,50% a.m., capitalizados mensalmente;</p><p>• 0,28% a. b., capitalizados bimestralmente;</p><p>• 10,00% a.s., capitalizados semestralmente;</p><p>• 28,7% a.a., capitalizados anualmente.</p><p>Nesses casos, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa</p><p>de juros com os períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2,50% a.m., 0,28% a.b.,</p><p>10,00% a.s. e 28,7% a.a.</p><p>Sempre que temos uma taxa efetiva e queremos outra taxa efetiva, fazemos a equivalência</p><p>de taxas, ou seja, calculamos uma taxa equivalente.</p><p>46</p><p>Na HP-12C</p><p>100 CHS PV 5 i 360 enter 30 : n FV 100 -</p><p>Na HP-12C</p><p>200000 CHS FV 4 i 30 n PV</p><p>Exemplo 9.10: Qual a taxa efetiva anual, equivalente à taxa nominal de:</p><p>a) 120% ao ano, capitalizada mensalmente?</p><p>i = 1,2 / 12 = 0,1 ou 10% a.m. (taxa proporcional)</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 0,1 )360/30 − 1 → 𝑖𝑒𝑞 = 213,8% 𝑎. 𝑎. (taxa equivalente)</p><p>b) 36% ao ano, capitalizada bimestralmente?</p><p>i = 0,36 / 6 = 0,06 ou 6% a.b. (taxa proporcional)</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 0,06 )360/60 − 1 → 𝑖𝑒𝑞 = 41,85% 𝑎. 𝑎.</p><p>Exemplo 9.11: Um banco oferece empréstimos a taxa (nominal) de 60% a.a. em capitalização</p><p>mensal. Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco?</p><p>i = 0,60 / 12 = 0,05 ou 5% a.m. (taxa proporcional)</p><p>𝑖𝑒𝑞 = ( 1 + 0,05)360/30 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 1,7959 − 1</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 0,7959</p><p>𝑖𝑒𝑞 = 79,59% 𝑎. 𝑎.</p><p>Exemplo 9.12: Quanto uma pessoa deve depositar em uma instituição financeira que paga 24% ao</p><p>ano, com capitalizações bimestrais, para que no fim de 5 anos possua R$ 200.000,00?</p><p>FV = 200.000,00 i = 24/6 = 4% a.b. n = 5 anos = 30 bimestres</p><p>PV = 200.000 x (1+ 0,04)-(360/60)*5 → PV = 200.000 x (1+ 0,04)-30</p><p>PV = R$ 61.663,73</p><p>Só calculamos taxa proporcional quando temos uma taxa nominal e queremos uma taxa</p><p>efetiva, ou quando temos uma taxa efetiva e queremos uma taxa nominal.</p><p>47</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a. capitalizada mensalmente.</p><p>2. Aplicando-se R$ 50.000,00 no regime de juro composto, durante um ano a taxa de 108% a.a.,</p><p>em capitalização mensal, qual o valor do montante no final do ano?</p><p>3. Em juros compostos, qual taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.?</p><p>4. Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.?</p><p>5. Um banco oferece a taxa de 54% a.a. para aplicações em CDBs. Pergunta-se qual a taxa para:</p><p>a) um mês? b) um dia?</p><p>6. Uma empresa toma emprestado em um Banco R$ 500.000,00 à taxa de 21% ao ano, com</p><p>capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao final de 2 anos?</p><p>7. Quais os juros produzidos por um capital de R$ 3.000,00, no fim de 1 ano, a 24% a.t.,</p><p>capitalizados mensalmente?</p><p>8. Fernando pretende comprar um imóvel daqui a dois anos, cujo valor deverá situar-se em torno</p><p>de R$ 120.000,00. Para dispor dessa importância na época desejada, quanto deverá aplicar hoje,</p><p>à taxa de 45% a.a. capitalizada bimestralmente?</p><p>9. Calcular a taxa mensal equivalente a 72% a.a. com capitalização diária.</p><p>10. Calcule os juros correspondentes a um capital de R$ 100.000,00 empregado a juros compostos,</p><p>durante 1 ano à taxa de 15% a.t.</p><p>11. Quanto rende de juros compostos uma aplicação de R$ 25.000,00, a 6% a.a., durante 6 meses?</p><p>12. Qual o capital que deve ser aplicado durante 1 ano, 7 meses e 11 dias, à uma taxa de juros</p><p>compostos de 15,6% ao ano capitalizada bimestralmente, de modo a obter um saldo de R$</p><p>10.000,00?</p><p>13. Calcular o valor dos juros, ao final de 5 anos, de um capital de R$ 100.000,00 aplicado à taxa</p><p>de juros compostos de 32% a.a. capitalizados trimestralmente.</p><p>14. Assinalar a alternativa certa:</p><p>14.1 Para uma mesma taxa nominal ao ano é preferível um empréstimo em que a frequência</p><p>de capitalização é:</p><p>a) Mensal b) Trimestral c) Bimestral d) Semestral</p><p>14.2 Considere uma taxa nominal igual a 24% ao ano com capitalização mensal. Neste caso,</p><p>a taxa efetiva ao mês é:</p><p>a) 2,1% b) 1,9% c) 2% d) 1,8%</p><p>14.3 Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de 3,5% ao trimestre?</p><p>a) 15% ao ano b) 14% ao ano c) 16% ao ano d) 17% ao ano</p><p>14.4 Duas taxas de juros são ditas equivalentes quando:</p><p>(I) são taxas de juro compostas.</p><p>(II) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram o mesmo valor de juro.</p><p>a) (I) é falsa e (II) é verdadeira. c) (I) e (II) são falsas</p><p>b) (I) e (II) são verdadeiras d) (I) é verdadeira e (II) é falsa</p><p>48</p><p>14.5 Qual é a taxa proporcional ao bimestre de uma taxa de 18% ao ano?</p><p>a) 2,5% ao bimestre c) 3% ao bimestre</p><p>b) 2% ao bimestre d) 1,5% ao bimestre</p><p>14.6 Considere uma taxa de juro composta definida ao semestre e sua equivalente</p><p>taxa ao ano. Então:</p><p>a) A taxa ao ano é maior que duas vezes a taxa semestral.</p><p>b) A taxa ao ano é menor que duas vezes a taxa semestral.</p><p>c) A taxa ao ano é igual a duas vezes a taxa semestral.</p><p>d) A taxa ao ano pode ser maior ou menor que a taxa semestral.</p><p>14.7 Um investidor tem duas alternativas para investir por um mesmo prazo:</p><p>(I) A uma taxa de 10% ao semestre.</p><p>(II) A uma taxa de 21% ao ano.</p><p>Neste caso:</p><p>a) As duas alternativas são idênticas, pois as taxas são equivalentes.</p><p>b) A melhor alternativa é a (I).</p><p>c) A melhor alternativa é a (II).</p><p>d) A melhor alternativa é a (II) para prazos iguais ou menores a um ano.</p><p>Respostas</p><p>1) 42,58% a.a. 2) R$ 140.633,24 3) 3,35% a.p.</p><p>4) 4,38% a.p. 5) a)</p><p>3,66% a.m. 5) b) 0,12% a.d.</p><p>6) R$ 750.365,18 7) R$ 4.554,51 8) R$ 50.382,50</p><p>9) 6,18% a.m. 10) R$ 74.900,63 11) R$ 739,08</p><p>12) R$ 7.873,31 13) R$ 366.095,71 14.1) letra d</p><p>14.2) letra c 14.3) letra b 14.4) letra b</p><p>14.5) letra c 14.6) letra a 14.7) letra a</p><p>9.5. TAXA DE JURO REAL (ir)</p><p>Taxa de juro real é a taxa efetiva ganha em cima do índice inflacionário, ou seja, a apuração</p><p>do ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação. Na taxa real se leva em consideração a</p><p>inflação do período. O juro real é calculado sobre o capital corrigido.</p><p>A diferença entre taxa aparente e taxa real é bastante simples: a taxa aparente é a taxa que</p><p>normalmente é divulgada pelas instituições financeiras, enquanto que a taxa real é a taxa obtida</p><p>depois de descontada a taxa de inflação.</p><p>A taxa real reflete com maior precisão o ganho real de um investimento por considerar a</p><p>perda com a desvalorização causada pela inflação do período. Existe uma relação matemática entre</p><p>a taxa aparente, taxa real e inflação.</p><p>Na capitalização composta, para retirar uma taxa de outra, deve-se utilizar a seguinte</p><p>equação:</p><p>𝑖𝑟 =</p><p>(1 + 𝑖𝑎𝑝)</p><p>(1 + 𝑖𝑖)</p><p>− 1</p><p>49</p><p>Sendo:</p><p>i ap = taxa aparente (taxa efetiva)</p><p>ii = taxa da inflação</p><p>ir = taxa de ganho real</p><p>Para alguns investimentos (como caderneta de poupança) ou financiamentos (como no</p><p>sistema imobiliário), a taxa aparente aplicada é calculada a partir de uma taxa de juro real pré-fixada</p><p>acrescida de uma correção monetária que acompanha a taxa de inflação. Um destes corretores é</p><p>chamado de Taxa Referencial (TR) cujo o valor é determinado pelo Banco Central.</p><p>Exemplo 9.13: Qual o rendimento da poupança se a TR do mês foi 0,93% e a taxa de juro real</p><p>é de 0,5% a.m.?</p><p>ir = 0,5% ii = 0,93% iap = ?</p><p>0, 005 =</p><p>( 1+ 𝑖𝑎𝑝)</p><p>( 1+0,0093)</p><p>− 1</p><p>0,005 + 1 =</p><p>( 1 + 𝑖𝑎𝑝)</p><p>1,0093</p><p>1,005 × 1,0093 = 1 + 𝑖𝑎𝑝</p><p>1,014347 − 1 = 𝑖𝑎𝑝 𝑖𝑎𝑝 = 0,014347 𝑖𝑎𝑝 = 1,4347% 𝑛𝑜 𝑚ê𝑠</p><p>Exemplo 9.14: Se a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m. e a TR do mês foi de 1,2%, qual</p><p>a taxa de ganho real?</p><p>iap= 3,224% ii = 1,2% ir= ?</p><p>𝑖𝑟 =</p><p>( 1 + 0,03224)</p><p>( 1 + 0,012)</p><p>− 1</p><p>𝑖𝑟 =</p><p>1,03224</p><p>1,012</p><p>− 1</p><p>𝑖𝑟 = 1,02 − 1</p><p>𝑖𝑟 = 0,02</p><p>𝑖𝑟 = 2 % 𝑎. 𝑚.</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa</p><p>de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?</p><p>2. A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se a taxa de</p><p>inflação resultar em 15% no mesmo período?</p><p>3. Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de poupança</p><p>por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,5% a.m. +</p><p>TR? (considere TR do mês 0,45%).</p><p>4. Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se a taxa de inflação mensal</p><p>for de 6%?</p><p>50</p><p>5. Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de poupança</p><p>por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,6% a.m. + TR? (considere TR</p><p>do mês 0,5%).</p><p>Respostas</p><p>1) 8,93% a.a. 2) 21,74% a.a. 3) 0,952% a.p.</p><p>4) 1,13% a.m. 5) 1,10% a.p.</p><p>9.6. TAXA MÉDIA (ir)</p><p>Quando queremos encontrar uma taxa média, não basta somente dividir a taxa acumulada</p><p>pela quantidade de períodos a que ela corresponde.</p><p>A taxa média é calculada pela fórmula de cálculo da taxa equivalente.</p><p>A equação é:</p><p>𝑖̅ = (1 + 𝑖)</p><p>1</p><p>𝑛 − 1</p><p>Exemplo 9.15: Qual a taxa média mensal, sabendo que de janeiro a junho a inflação acumulada</p><p>foi de 7,867199%?</p><p>𝑖̅ = (1 + 0,07867199)</p><p>1</p><p>6 − 1 𝑖̅ = 1,27018% a.m.</p><p>Exemplo 9.16: Certa mercadoria sofreu três aumentos mensais consecutivos, de acordo com as</p><p>seguintes taxas: 3,2%, 1,8% e 5,4%. Qual a taxa média mensal de aumentos sofridos?</p><p>Taxa acumulada:</p><p>ia = (1+0,032).(1+0,018).(1+0,054) - 1 → ia = 10,7307104%</p><p>Taxa média:</p><p>𝑖̅ = (1 + 0,107307104)</p><p>1</p><p>3 − 1 → 𝑖̅ = 3,4561% 𝑎. 𝑚.</p><p>10. RENDAS (SÉRIES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS)</p><p>As operações até aqui estudadas compreenderam casos de pagamentos ou recebimentos</p><p>geralmente em parcela única. Agora, vamos estudar os casos de depósitos ou prestações</p><p>sucessivas, destinadas a pagar uma dívida ou formar um capital.</p><p>10.1. CONCEITO</p><p>Denomina-se renda à sucessão de depósitos com o objetivo de constituir um capital</p><p>(capitalizações) ou de prestações (amortizações), em épocas diferentes, destinadas a formar um</p><p>capital ou pagar uma dívida. O processo de realização de depósitos sucessivos com o objetivo de</p><p>formar um fundo, um capital ou uma poupança é chamado de capitalização. Ao processo de</p><p>pagamento de uma dívida dá-se o nome de amortização.</p><p>Ou seja:</p><p>51</p><p>O objetivo de constituir um capital em uma data futura leva ao processo de capitalização.</p><p>Caso contrário, quando queremos pagar uma dívida, temos um processo de amortização.</p><p>10.2. DEFINIÇÕES</p><p>• Anuidade ou renda certa: capitais (pagamentos ou recebimentos) referidos à uma dada</p><p>taxa de juros.</p><p>• Termos da anuidade: valores que constituem a renda.</p><p>• Período: intervalo de tempo.</p><p>10.3 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS</p><p>10.3.1. Quanto ao valor dos termos</p><p>• Constantes (ou uniformes): todos os termos são iguais.</p><p>• Variáveis: os termos não são iguais entre si.</p><p>10.3.2. Quanto aos períodos</p><p>• Periódicas: todos os períodos são iguais.</p><p>• Não periódicas: os períodos não são iguais entre si.</p><p>10.3.3. Quanto ao prazo</p><p>• Temporárias (ou finitas): o prazo do pagamento ou recebimento é finito.</p><p>• Perpétuas: o prazo é infinito.</p><p>10.3.4. Quanto à ocorrência do primeiro termo (forma de pagamento ou recebimento)</p><p>• Imediatas: quando os termos forem exigidos a partir do primeiro período. Podem</p><p>ser:</p><p>✓ postecipadas ou vencidas: quando os termos ocorrerem ao final de cada</p><p>período; e</p><p>✓ antecipadas: quando os termos ocorrerem no início (tempo “0”) de cada</p><p>período;</p><p>• Diferidas: quando os termos forem exigidos a partir de um outro período que não</p><p>seja o primeiro; neste caso existirá um intervalo de tempo em que não ocorre o</p><p>pagamento. Esse intervalo de tempo é chamado de carência. Podem ser:</p><p>✓ postecipadas ou vencidas: quando os termos ocorrerem ao final de cada</p><p>período; e</p><p>✓ antecipadas: quando os termos ocorrerem no início (tempo “0”) de cada</p><p>período;</p><p>10.4 VALOR ATUAL DE UMA RENDA OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA</p><p>O valor atual de uma renda é a soma dos valores atuais de seus pagamentos. Na prática,</p><p>no entanto, fica muito difícil, a cada operação, ter que calcular os valores atuais das parcelas</p><p>individualmente. Para facilitar, podemos utilizar um fator específico, que é o fator de valor presente</p><p>de uma renda imediata. O fator é representado por (an¬).</p><p>52</p><p>Na HP-12C</p><p>19500 CHS PV 5 i 10 n PMT</p><p>Este fator é calculado através da equação:</p><p>𝑎𝑛¬ =</p><p>1 − (1 + 𝑖)−𝑛</p><p>𝑖</p><p>Onde: n = número de períodos</p><p>i= taxa</p><p>Exemplo 10.1: Qual o fator de valor atual de uma renda unitária imediata, com 10 pagamentos,</p><p>sendo 5% a.p. a taxa de juro?</p><p>i = 5% a.p. n = 10</p><p>𝑎10¬ =</p><p>1 − (1 + 0,05)−10</p><p>0,05</p><p>𝑎10¬ = 7,721735</p><p>10.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA (PV)</p><p>10.5.1 Postecipada</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 . 𝑎𝑛¬</p><p>PMT = valor da prestação → payment (pagamento em inglês)</p><p>Exemplo 10.2: O preço de um carro é R$ 32.500,00. Um comprador dá 40% de entrada e o</p><p>restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal.</p><p>Entrada = R$ 13.000</p><p>Dívida (valor a ser financiado) = R$ 19.500</p><p>Pelo exemplo 1, temos: 𝑎10¬ = 7,721735</p><p>19500</p><p>= PMT . 7,721735 → PMT = 2.525,34</p><p>O valor da parcela mensal é R$ 2.525,34.</p><p>53</p><p>Na HP-12C</p><p>350 CHS PMT 2,5 i 12 n PV</p><p>Na HP-12C</p><p>361,2 CHS PV 3,5 i 80 PMT n</p><p>Na HP-12C</p><p>1005,2 CHS PMT 15 n 12000PV i</p><p>Exemplo 10.3: Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em 12</p><p>prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 350 cada uma?</p><p>PMT = 350,00 i = 2,5%a.m.</p><p>n = 12 prestações mensais PV = ?</p><p>𝑎12¬ = 10,257765</p><p>PV = 350 x 𝑎12¬ → PV = 350 x 10,257765 → PV = 3.590,22</p><p>O valor financiado é de R$ 3.590,22.</p><p>Exemplo 10.4: Quantas prestações mensais de R$ 80,00 cada uma são suficientes para liquidar</p><p>um financiamento de R$ 361,20, à taxa de 3,5% a.m.?</p><p>PMT = 80</p><p>i = 3,5% a.m.</p><p>PV = 361,20</p><p>n = ?</p><p>𝑎𝑛¬ = ?</p><p>361,20 = 80 x 𝑎𝑛¬ → 𝑎𝑛¬ = 4,515000</p><p>Usando a tabela: n = 5 meses</p><p>Exemplo 10.5: Qual a taxa de um financiamento de R$ 12.000,00 se prestações mensais de R$</p><p>1.005,20 cada uma são suficientes para liquidar um financiamento de 15 prestações?</p><p>PV = 12.000</p><p>PMT = 1.005,20</p><p>n = 15</p><p>i = ?</p><p>𝑎𝑛¬ = ?</p><p>12.000 = 1.005,20 x 𝑎𝑛¬ → 𝑎𝑛¬ = 11,937923</p><p>Usando a tabela: i = 3% a.m.</p><p>54</p><p>Na HP-12C</p><p>g beg 200 CHS PMT 4 n 2 i PV</p><p>Na HP-12C</p><p>g beg 582,40 CHS PV 10 n 5 i PMT</p><p>10.5.2 Antecipada</p><p>PV = PMT . (1+an−1¬)</p><p>Exemplo 10.6: Um aparelho eletrônico foi comprado em quatro prestações mensais de R$ 200,00,</p><p>pagas no início de cada mês, à taxa de 2% a.m.. Calcular o valor à vista do aparelho.</p><p>PMT = 200</p><p>i = 2% a.m.</p><p>n = 4 prestações</p><p>PV = ?</p><p>an−1¬ = a3¬ = 2,883883</p><p>PV = 200.( 1 + 2,883883) → PV = 776,78 O preço à vista é R$ 776,78.</p><p>Exemplo 10.7: Por uma compra no valor de $ 582,40 pagam-se 10 prestações mensais</p><p>antecipadas. A juros efetivos de 5% a. m., calcular o valor de cada prestação.</p><p>i = 5% a.m.</p><p>n = 10 prestações</p><p>PV = 582,40</p><p>PMT = ?</p><p>an−1¬ = a9¬ = 7,107822</p><p>582,40 = PMT.(1 + 7,107822) → PMT = 71,83 O valor da prestação é R$ 71,83.</p><p>10.5.3 Diferida</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 . 𝑎𝑛¬. ( 1 + 𝑖)−𝑚</p><p>Onde m representa o número de períodos da carência.</p><p>55</p><p>Na HP-12C</p><p>50000 CHS PV 3 n 2 i FV</p><p>CHS PV 0 FV 24 n 2 i PMT</p><p>Na HP-12C</p><p>8000 CHS PMT 8 n 4 i PV</p><p>CHS FV 0 PMT 3 n 4i PV</p><p>Exemplo 10.8: Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em 24 prestações</p><p>mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês e foi</p><p>concedido um prazo de carência de três meses, calcular o valor das prestações.</p><p>PV = 50.000</p><p>Carência: m = 3 meses</p><p>n = 24 prestações</p><p>i = 2% a.m.</p><p>PMT = ?</p><p>𝑎24¬ = 18,913926</p><p>50000 = 𝑃𝑀𝑇 . 18,913926. ( 1 + 0,02)−3 → 50000 = PMT . 17,823015</p><p>𝑃𝑀𝑇 = 2.805,36</p><p>O valor das prestações é R$ 2.805,36.</p><p>Exemplo 10.9: Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em oito prestações</p><p>mensais de R$ 8.000,00 cada, com três meses de carência. Se a taxa cobrada no financiamento é</p><p>de 4% a.m, qual o valor da máquina à vista?</p><p>PMT = 8.000,00</p><p>Carência: m = 3 meses</p><p>n = 8 prestações</p><p>i = 4% a.m.</p><p>PV = ?</p><p>𝑎8¬ = 6,732745</p><p>PV = 8000 . a8¬. ( 1 + 0,04)−3 → 𝑃𝑉 = 8000 . 6,732745 . 1,04−3</p><p>PV = 47.883,09</p><p>O valor à vista é R$ 47.883,09</p><p>10.6 MONTANTE OU VALOR FUTURO DE UMA RENDA</p><p>Montante ou futuro valor de uma renda é a soma do montante dos depósitos, montante</p><p>este calculado a partir da data deste depósito até a data do último depósito.</p><p>56</p><p>10.6.1 De uma renda unitária imediata</p><p>𝑆𝑛¬ =</p><p>(1 + 𝑖)𝑛 − 1</p><p>𝑖</p><p>𝑆𝑛¬ representa o fator de acumulação do capital (utiliza-se para cálculo do Futuro Valor de uma</p><p>renda uniforme).</p><p>onde:</p><p>n = número de períodos i= taxa</p><p>Exemplo 10.10: Qual o fator de acumulação de uma renda unitária imediata, com doze depósitos,</p><p>sendo 5% a.p. a taxa de juro?</p><p>𝑆12¬ =</p><p>(1+0,05)12−1</p><p>0,05</p><p>𝑆12¬ = 15,9171265</p><p>10.7 FUTURO VALOR DE UMA RENDA (FV)</p><p>10.7.1. De uma Renda Postecipada</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 . 𝑆𝑛¬</p><p>Obs: Ao efetuarmos o cálculo (𝑃𝑀𝑇 . 𝑆𝑛¬) estaremos substituindo todos o n depósitos, por um</p><p>único valor com vencimento na data do último depósito.</p><p>Exemplo 10.11: Determinar o valor futuro de uma série de 18 aplicações mensais, iguais e</p><p>sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, à taxa de 2% a.m., sabendo que a primeira é aplicada no final</p><p>do primeiro mês.</p><p>PMT = 1.600,00</p><p>n = 18 dep. mensais</p><p>i = 2%a.m.</p><p>FV = ?</p><p>𝑆18¬= 21,41231</p><p>FV = 1600 . S18¬ → 𝐹𝑉 = 1600 . 21,41231 → FV = 34.259,70</p><p>O valor futuro é R$ R$ 34.259,70.</p><p>57</p><p>Na HP-12C</p><p>1600 CHS PMT 18 n 2 i FV</p><p>Na HP-12C</p><p>14300 CHS FV 20 n 2 i PMT</p><p>Na HP-12C</p><p>g beg 500 CHS PMT 4 i 24 n FV</p><p>Exemplo 10.12: Um banco remunera suas aplicações a 2% a.m. Quanto deverá ser depositado</p><p>no final de cada mês, para que ao final de 20 meses o montante de R$ 14.300,00 seja atingido?</p><p>FV = 14.300,00</p><p>n = 20 dep. mensais</p><p>i = 2%a.m.</p><p>PMT = ?</p><p>𝑆20¬ = 24,29737</p><p>14300 = PMT . S20¬ → 14300 = PMT . 24,297369 → PMT = 588,54</p><p>Deverá ser depositado mensalmente R$ 588,54.</p><p>10.7.2. De uma Renda Antecipada</p><p>FV = PMT . Sn¬ (1 + i)m</p><p>m é o período que o montante fica aplicado após terminar os depósitos.</p><p>Exemplo 10.13: Depositando-se R$ 500,00 no início de cada mês, durante dois anos, numa</p><p>instituição financeira que credita juro mensalmente a taxa de 4% a.m., qual o saldo da conta no final</p><p>dos dois anos?</p><p>PMT = 500</p><p>n = 2 a ou seja 24 depósitos mensais</p><p>i = 4%a.m.</p><p>FV = ?</p><p>𝑆24¬ = 39,08260</p><p>Como os depósitos são realizados no início do mês, o montante ainda fica um mês aplicado.</p><p>Então devemos calcular os juros deste mês também.</p><p>FV = 500 . S24¬ . ( 1 + 0,04)1 → 𝐹𝑉 = 500 . 39,08260 . 1,04 → FV = 20.322,95</p><p>O montante, após 2 anos, será R$ 20.322,95.</p><p>58</p><p>Na HP-12C</p><p>g beg 200 CHS PMT 3 i 36 n FV</p><p>CHS PV 24 n 0 PMT FV</p><p>CHS</p><p>Na HP-12C</p><p>300 CHS PMT 3 i 24 n FV</p><p>CHS PV 12 n 0 PMT FV</p><p>CHS</p><p>Exemplo 10.14: Com a finalidade de constituir um fundo de reserva, uma pessoa se propõe a</p><p>depositar, no início de cada mês, durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituição</p><p>financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no final do quinto</p><p>ano, a partir do primeiro depósito?</p><p>PMT = 200</p><p>n = 3 anos = 36 depósitos</p><p>i = 3% a.m.</p><p>OBS: O valor acumulado ainda fica depositado 25 meses.</p><p>FV = ?</p><p>𝑆36¬ =</p><p>(1 + 𝑖)36 − 1</p><p>𝑖</p><p>= 63,275944</p><p>FV = 200 . S36¬ . ( 1 + 0,03)25 → FV = 200 . 63,275944 . 2,09377793 → FV = 26.497,16</p><p>Ao final do quinto ano, o saldo será R$ 26.497,16.</p><p>Exemplo 10.15: Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a</p><p>depositar, no final de cada mês, durante dois anos consecutivos, R$ 300,00, numa instituição</p><p>financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no final do terceiro</p><p>ano?</p><p>PMT = 300</p><p>n = 2 anos = 24 depósitos</p><p>i = 3% a.m.</p><p>O valor acumulado</p><p>ainda fica depositado 12 meses.</p><p>𝑆24¬ = 34,42647</p><p>FV = 300 . S24¬ . ( 1 + 0,03)12 → FV = 300 . 34,42647 . 1,4257609 → FV = 14.725,17</p><p>No final do terceiro ano, o saldo será R$ 14.725,17.</p><p>59</p><p>Exercícios propostos</p><p>1- Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita, no final de cada mês, R$ 100,00</p><p>durante dois anos consecutivos. Qual será o saldo da conta no final do terceiro ano, se a taxa de</p><p>juro é de 4% a.m.?</p><p>2- Qual o valor à vista de um aparelho de som que está sendo oferecido para pagamento em cinco</p><p>prestações mensais e iguais de R$ 300,00, à taxa de 4% a.m., sendo a primeira no ato da compra?</p><p>3- Um automóvel 0 km é vendido à vista por R$ 32.000,00 ou a prazo com 20% de entrada mais 24</p><p>prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros compostos do</p><p>financiamento for de 2% a.m.?</p><p>4- Um equipamento de som está sendo vendido em uma loja por R$ 2.240,00 para pagamento à</p><p>vista. Um comprador pode pedir um financiamento pelo plano (1+1) pagamentos iguais, isto é, o</p><p>primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra e o segundo, um mês após aquela data. Se a</p><p>taxa de juros praticada pela empresa que irá financiar a compra for de 4% ao mês, qual o valor de</p><p>cada prestação?</p><p>5- Uma pessoa depositou R$ 150,00, no final de cada mês, durante dois anos consecutivos, numa</p><p>instituição financeira que credita juro mensalmente. Se a taxa de juros foi 2% a.m., qual o saldo da</p><p>conta no final de três anos?</p><p>6- Um banco concede um empréstimo a uma pessoa cobrando 10 prestações mensais de R$ 700,00</p><p>cada uma, sem entrada. Qual o valor emprestado, sabendo-se que o banco cobra juros compostos,</p><p>à taxa de 4% a.m.?</p><p>7- Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição</p><p>financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizado bimestralmente, de modo que com 8 depósitos</p><p>bimestrais antecipados constitua o capital de R$ 150.000,00. Calcule a importância.</p><p>8- Um terreno é vendido por R$ 200.000,00 à vista, ou por 40% de entrada e o restante em 12</p><p>prestações mensais. Para uma taxa de juros de 2% a.m., determinar o valor de cada prestação</p><p>mensal.</p><p>9- Uma empresa toma um empréstimo para ser amortizado em 24 prestações mensais de R$</p><p>50.000,00 cada, com um ano de carência. Calcular o valor do empréstimo, se a taxa de juro do</p><p>financiamento é de 3% a.m.?</p><p>10- Uma empresa toma um empréstimo de R$ 720.000,00, com carência de um ano, para ser</p><p>amortizado em 18 prestações mensais iguais. Calcular o valor das prestações, se a taxa do</p><p>financiamento é de 1,5% a.m..</p><p>11- Ao comprar uma máquina, uma empresa paga R$ 10.000,00 no ato e financia o restante em</p><p>oito prestações trimestrais de R$ 5.000,00 cada. Se a taxa de financiamento é de 5% a.t., qual o</p><p>valor da máquina à vista?</p><p>60</p><p>* 12- Uma mercadoria é vendida por R$ 5.000,00 à vista ou R$ 1.000,00 de entrada mais prestações</p><p>mensais iguais de R$ 480,97. Sabendo-se que a taxa de juros considerada é de 3,5% ao mês, qual</p><p>o número de prestações?</p><p>* 13- A que taxa uma pessoa, realizando depósitos imediatos no valor de R$ 809,30, forma um</p><p>capital de R$ 13.500,00 ao fazer o décimo quinto depósito?</p><p>14- Uma dívida de R$ 20.000,00 deve ser amortizada com 6 pagamentos bimestrais consecutivos,</p><p>sendo 4% ao bimestre a taxa de juros. Calcule esta prestação, sabendo-se que teve 3 meses de</p><p>carência.</p><p>15- Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita, no final de cada mês, R$ 120,00</p><p>durante dois anos consecutivos. Qual será o saldo da conta no final de quatro anos, se a taxa de</p><p>juro é de 4% a.m.?</p><p>16- Comprei uma mercadoria por R$ 2.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de R$</p><p>339,00, sendo a taxa de juros 5% a.m. Qual o preço à vista da mercadoria?</p><p>17- Quanto um poupador deverá depositar ao fim de cada trimestre durante 3 anos para formar um</p><p>capital acumulado de R$ 100.000,00 ao término desse prazo, recebendo uma taxa de 18% a.a.</p><p>capitalizada trimestralmente?</p><p>* Fazer somente se tiver uma calculadora financeira ou o Excel.</p><p>Respostas</p><p>1) R$ 6.257,25 2) R$ 1.388,97 3) R$ 1.353,50</p><p>4) R$ 1.141,96 5) R$ 5.787,34 6) R$ 5.677,63</p><p>7) R$ 17.524,73 8) R$ 11.347,15 9) R$ 593.912,43</p><p>10) R$ 54.926,89 11) R$ 42.316,06 12) 10 prestações</p><p>13) 1,5% a.p. 14) R$ 4.046,43 15) R$ 12.021,67</p><p>16) R$ 5.004,64 17) R$ 6.466,62</p><p>11. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS</p><p>A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga</p><p>progressivamente por meio de parcelas, de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja</p><p>liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a amortização ou devolução</p><p>do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não</p><p>amortizado.</p><p>prestação = amortização + juros</p><p>Nos empréstimos a médio e longo prazo é usual a cobrança de juro composto.</p><p>61</p><p>Os principais sistemas de amortização de empréstimos mais utilizados são:</p><p>➢ Sistema Francês de Amortização (SAF) ou Sistema de Amortização Progressiva ou</p><p>Sistema Price.</p><p>➢ Sistema de Amortização Constante (SAC).</p><p>11.1. Definições básicas</p><p>Amortização: Refere-se exclusivamente ao pagamento do capital emprestado, o qual é efetuado,</p><p>geralmente, mediante parcelas periódicas, ou seja, é a parcela de devolução do principal.</p><p>Saldo devedor: Representa o valor do principal da dívida, em determinado momento após a</p><p>dedução do valor já pago ao credor a título de amortização.</p><p>Prestação: É composto do valor da amortização mais encargos financeiros devidos em</p><p>determinado período:</p><p>Prestação = amortização + juros</p><p>Carência: Período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em que será paga</p><p>a primeira prestação. Significa a postergação do principal para o início dos pagamentos, não sendo</p><p>necessariamente incluídos os juros. Os encargos financeiros (juros) podem, dependendo das</p><p>condições contratuais estabelecidas, serem pagos ou não durante a carência.</p><p>11.2. SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE)</p><p>No Sistema de Prestação Constante (ou Sistema Price ou Sistema Francês), as prestações</p><p>devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Os juros incidem sobre o saldo devedor, portanto são</p><p>decrescentes e as parcelas de amortização são crescentes. A soma dos juros com a amortização</p><p>é igual ao valor da prestação.</p><p>Exemplo 11.1: Uma pessoa jurídica realiza uma dívida de R$ 6.000,00, que deverá ser amortizada</p><p>pelo sistema francês, com cinco prestações mensais à taxa de 2% a.m.</p><p>Solução: A seguir, a construção da planilha:</p><p>1º passo: Calcular o valor da prestação:</p><p>𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 . 𝑎𝑛¬ 𝑎𝑛¬ =</p><p>1− (1+𝑖)−𝑛</p><p>𝑖</p><p>6000 = 𝑃𝑀𝑇 . 𝑎5¬</p><p>6000 = 𝑃𝑀𝑇 . 4,713460</p><p>PMT = R$ 1.272, 95</p><p>2º passo: Construir a planilha:</p><p>Período 1: J = 0,02 . 6000</p><p>J = 120</p><p>62</p><p>Amortização: Amort. = prestação – juro</p><p>Amort. = 1272,95 – 120</p><p>Amort. = 1.152,95</p><p>Saldo devedor: Saldo devedor = Saldo devedor do período anterior – amortização</p><p>Saldo devedor = 6000 – 1152,95</p><p>Saldo devedor = R$ 4.847,05</p><p>Período 2: J = 0,02 . 4847,05</p><p>J = 96,94</p><p>Amortização: Amort. = prestação – juro</p><p>Amort. = 1272,95 – 96,94</p><p>Amort. = 1.176,01</p><p>Saldo devedor: Saldo devedor = Saldo devedor do período anterior – amortização</p><p>Saldo devedor = 4847,05 – 1176,01</p><p>Saldo devedor = R$ 3.671,04</p><p>Para cada período repetir os passos dos períodos anteriores.</p><p>Planilha do financiamento</p><p>n Prestação Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 ----------- -------- ------------ 6.000,00</p><p>1 1.272,95 120,00 1.152,95 4.847,05</p><p>2 1.272,95 96,94 1.176,01</p><p>3.671,04</p><p>3 1.272,95 73,42 1.199,53 2.471,51</p><p>4 1.272,95 49,43 1.223,52 1.247,99</p><p>5 1.272,95 24,96 1.247,99 ------------</p><p>Na HP 12C</p><p>1º Calcular o valor da prestação:</p><p>6000 CHS PV → 5 n → 2 i → PMT</p><p>2º Construir a planilha:</p><p>1 f AMORT - juros</p><p>x><y - amortização</p><p>RCL PV - saldo devedor</p><p>Repetir sempre os passos acima para cada parcela.</p><p>63</p><p>Exercícios propostos</p><p>1. Um banco realiza um empréstimo de R$ 4.000,00 a um cliente, com base na Tabela Price e taxa</p><p>nominal de juro de 6% a.a. capitalizada mensalmente, para ser devolvido em 5 meses. Elabore a</p><p>planilha de amortização.</p><p>2. Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi contratado para ser resgatado em 12 prestações mensais</p><p>iguais. Sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 5% a.m., pede-se:</p><p>a. Qual o valor das prestações mensais?</p><p>b. Qual o valor dos juros pagos na primeira prestação?</p><p>c. Qual o valor do capital amortizado na primeira prestação?</p><p>d. Qual o saldo devedor do empréstimo imediatamente após o pagamento da primeira prestação?</p><p>Nas questões de 3 a 5, assinalar a resposta correta.</p><p>3. Um automóvel, cujo o preço à vista é de R$ 20.000,00, é financiado em 24 meses com juros de</p><p>1% a.m. pelo Sistema Francês, posso afirmar que as prestações serão todas:</p><p>a. iguais e, no início, a parcela de juros será maior que a parcela de amortização.</p><p>b. iguais e, no início, a parcela de juros será menor que a parcela de amortização.</p><p>c. iguais e, no início, a parcela de juros será igual que a parcela de amortização.</p><p>d. diferentes e, no início, a parcela de juros será maior que a parcela de amortização.</p><p>e. diferentes e, no início, a parcela de juros será menor que a parcela de amortização.</p><p>4. Uma dívida, no valor de R$ 5.417,20, vai ser amortizada pelo Sistema Francês, sem entrada,</p><p>com pagamento em 6 prestações mensais, consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar</p><p>30 dias da data do empréstimo, com taxa nominal de 3 % a.m. Nessas condições, a cota de</p><p>amortização da primeira prestação será de, aproximadamente:</p><p>a. R$ 837,49. b. R$ 842,50. c. R$ 855,72. d. R$ 892,72. e. R$ 902,40.</p><p>5. Um imóvel é vendido pelo preço à vista de R$ 2.000.000,00, mas pode ser financiado com 20%</p><p>de entrada e a uma taxa de 96% ao ano capitalizada mensalmente, pelo Sistema Francês.</p><p>Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo</p><p>comprador é de, aproximadamente:</p><p>a. R$ 420.225,00 b. R$ 407. 239, 00 c. R$ 410.737,00 d. R$ 412,898,00 e. R$ 403.652,00</p><p>6. Construa um plano de amortização pelo Sistema Francês com as seguintes informações:</p><p>Dívida: R$ 20.000,00</p><p>Prazo: 2 anos</p><p>Prestações mensais</p><p>Taxa de juros: 12% ao mês</p><p>64</p><p>Respostas</p><p>1.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 xxxxxx xxxxx xxxxx 4000</p><p>1 812,04 20,00 792,04 3207,96</p><p>2 812,04 16,04 796,00 2411,96</p><p>3 812,04 12,06 799,98 1611,98</p><p>4 812,04 8,06 803,98 808,00</p><p>5 812,04 4,04 808,00 0,00</p><p>2.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 xxxxxx xxxxx xxxxx 10000</p><p>1 1128,25 500,00 628,25 9371,75</p><p>2 1128,25 468,59 659,67 8712,08</p><p>3 1128,25 435,60 692,65 8019,43</p><p>4 1128,25 400,97 727,28 7292,15</p><p>5 1128,25 364,61 763,65 6528,50</p><p>6 1128,25 326,42 801,83 5726,67</p><p>7 1128,25 286,33 841,92 4884,75</p><p>8 1128,25 244,24 884,02 4000,73</p><p>9 1128,25 200,04 928,22 3072,52</p><p>10 1128,25 153,63 974,63 2097,89</p><p>11 1128,25 104,89 1023,36 1074,53</p><p>12 1128,25 53,73 1074,53 0,00</p><p>3.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 xxxxxx xxxxx xxxxx 20000</p><p>1 941,47 200,00 741,47 19258,53</p><p>2 941,47 192,59 748,88 18509,65</p><p>3 941,47 185,10 756,37 17753,27</p><p>4 941,47 177,53 763,94 16989,34</p><p>5 941,47 169,89 771,58 16217,76</p><p>6 941,47 162,18 779,29 15438,47</p><p>7 941,47 154,38 787,08 14651,38</p><p>8 941,47 146,51 794,96 13856,43</p><p>9 941,47 138,56 802,91 13053,52</p><p>10 941,47 130,54 810,93 12242,59</p><p>11 941,47 122,43 819,04 11423,55</p><p>12 941,47 114,24 827,23 10596,31</p><p>13 941,47 105,96 835,51 9760,81</p><p>14 941,47 97,61 843,86 8916,94</p><p>15 941,47 89,17 852,30 8064,64</p><p>16 941,47 80,65 860,82 7203,82</p><p>17 941,47 72,04 869,43 6334,39</p><p>18 941,47 63,34 878,13 5456,26</p><p>19 941,47 54,56 886,91 4569,36</p><p>20 941,47 45,69 895,78 3673,58</p><p>21 941,47 36,74 904,73 2768,85</p><p>22 941,47 27,69 913,78 1855,07</p><p>23 941,47 18,55 922,92 932,15</p><p>24 941,47 9,32 932,15 0,00</p><p>65</p><p>4.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 xxxxxx xxxxx xxxxx 5417,2</p><p>1 1000,00 162,52 837,49 4579,71</p><p>2 1000,00 137,39 862,61 3717,10</p><p>3 1000,00 111,51 888,49 2828,62</p><p>4 1000,00 84,86 915,14 1913,47</p><p>5 1000,00 57,40 942,60 970,88</p><p>6 1000,00 29,13 970,88 0,00</p><p>5.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 xxxxxx xxxxx xxxxx 1600000</p><p>1 400730,33 128000,00 272730,33 1327269,67</p><p>2 400730,33 106181,57 294548,75 1032720,92</p><p>3 400730,33 82617,67 318112,65 714608,27</p><p>4 400730,33 57168,66 343561,67 371046,60</p><p>5 400730,33 29683,73 371046,60 0,00</p><p>total 403651,64</p><p>6.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 xxxxxx xxxxx xxxxx 20000</p><p>1 2569,27 2400,00 169,27 19830,73</p><p>2 2569,27 2379,69 189,58 19641,15</p><p>3 2569,27 2356,94 212,33 19428,82</p><p>4 2569,27 2331,46 237,81 19191,01</p><p>5 2569,27 2302,92 266,35 18924,66</p><p>6 2569,27 2270,96 298,31 18626,35</p><p>7 2569,27 2235,16 334,11 18292,24</p><p>8 2569,27 2195,07 374,20 17918,05</p><p>9 2569,27 2150,17 419,10 17498,94</p><p>10 2569,27 2099,87 469,40 17029,55</p><p>11 2569,27 2043,55 525,72 16503,82</p><p>12 2569,27 1980,46 588,81 15915,01</p><p>13 2569,27 1909,80 659,47 15255,55</p><p>14 2569,27 1830,67 738,60 14516,94</p><p>15 2569,27 1742,03 827,24 13689,71</p><p>16 2569,27 1642,76 926,50 12763,20</p><p>17 2569,27 1531,58 1037,68 11725,52</p><p>18 2569,27 1407,06 1162,21 10563,31</p><p>19 2569,27 1267,60 1301,67 9261,64</p><p>20 2569,27 1111,40 1457,87 7803,77</p><p>21 2569,27 936,45 1632,82 6170,95</p><p>22 2569,27 740,51 1828,75 4342,20</p><p>23 2569,27 521,06 2048,21 2293,99</p><p>24 2569,27 275,28 2293,99 0,00</p><p>66</p><p>11.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC)</p><p>O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome indica, tem como</p><p>característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes) em todo o</p><p>prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital</p><p>emprestado pelo número de prestações.</p><p>Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada</p><p>amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.</p><p>Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e</p><p>sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.</p><p>A amortização é calculada pela fórmula:</p><p>𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 =</p><p>𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝒆𝒎𝒑𝒓é𝒔𝒕𝒊𝒎𝒐</p><p>𝒏º 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔</p><p>Exemplo 11.2: Uma instituição faz um empréstimo de R$ 30.000,00 para ser quitado pelo SAC em</p><p>5 prestações mensais, à taxa de 1% a.m.. Construir a planilha.</p><p>1º Calcular o valor das amortizações:</p><p>𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡. =</p><p>30000</p><p>5</p><p>𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡. = 6000</p><p>2º Calcular os juros:</p><p>j = 0,01 . 30000</p><p>j = 300</p><p>3º Calcular o valor da prestação:</p><p>prestação = amortização + juro</p><p>prestação = 6.300</p><p>4º Saldo devedor:</p><p>saldo devedor = saldo devedor do período anterior – amortização</p><p>saldo devedor = 30.000 – 6.000</p><p>saldo devedor = 24.000</p><p>n Prestações Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 xxxxxxx xxxxx xxxxxx 30.000,00</p><p>1 6.300,00 300,00 6.000,00 24.000,00</p><p>2 6.240,00 240,00 6.000,00 18.000,00</p><p>3 6.180,00 180,00 6.000,00 12.000,00</p><p>4 6.120,00 120,00 6.000,00 6.000,00</p><p>5 6.060,00 60,00 6.000,00 0,00</p><p>67</p><p>Exemplo 11.3: Um terreno é colocado</p><p>à venda por R$ 90.000,00 e pode ser financiado pelo SAC</p><p>em 24 parcelas mensais com uma taxa juros é 1,5% a.m.. Calcular:</p><p>a. o saldo devedor após o pagamento da quarta prestação:</p><p>amortização = 3.750,00</p><p>4 x 3750 = 15.000</p><p>90.000 – 15.000 = 75.000</p><p>O saldo devedor será de R$ 75.000,00.</p><p>b. o valor da décima prestação.</p><p>9 x 3750 = 33750</p><p>90000 – 33750 = 56.250,00</p><p>j = 0,015 x 56250</p><p>j = 843,75</p><p>prestação = 843,75 + 3750,00</p><p>prestação = R$ 4.593,75</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Um banco concede um financiamento de R$ 40.000,00 para ser liquidado em 4 parcelas mensais</p><p>pelo SAC. A operação é realizada com uma taxa de juros de 2,5%a.m.. Construir a planilha.</p><p>2. Uma instituição financeira realiza um empréstimo de R$ 5.000,00 e deverá ser pago em 5</p><p>prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro.</p><p>Considerando que o financiamento seja feito pelo SAC a uma taxa mensal de 3% a.m. Pede-se:</p><p>a. a cota de amortização;</p><p>b. o juro pago na primeira prestação;</p><p>c. o valor da primeira prestação;</p><p>d. o saldo devedor após o pagamento da quarta prestação.</p><p>3. Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200.000,00</p><p>emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabendo-se que os juros serão pagos</p><p>anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 prestações anuais, pelo SAC,</p><p>calcular:</p><p>a. o valor da terceira prestação.</p><p>b. o total de juros pagos pelo empréstimo.</p><p>Respostas</p><p>1.</p><p>n Prestação Juro Amortização Saldo devedor</p><p>0 xxx xxx xxx 40000</p><p>1 11000 1000 10000 30000</p><p>2 10750 750 10000 20000</p><p>3 10500 500 10000 10000</p><p>4 10250 250 10000 0</p><p>68</p><p>2.</p><p>n Prestação Juro Amortização Saldo devedor</p><p>0 xxx xxx xxx 5000</p><p>1 1150 150 1000 4000</p><p>2 1120 120 1000 3000</p><p>3 1090 90 1000 2000</p><p>4 1060 60 1000 1000</p><p>5 1030 30 1000 0</p><p>3.</p><p>n Prestação Juro Amortização Saldo devedor</p><p>0 xxx xxx xxx 200000</p><p>1 70000 20000 50000 150000</p><p>2 65000 15000 50000 100000</p><p>3 60000 10000 50000 50000</p><p>4 55000 5000 50000 0</p><p>11.4 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES COM CARÊNCIA</p><p>Muitas operações de empréstimos e financiamentos preveem um diferimento na data</p><p>convencional do início do pagamento. Nos sistemas de amortizações podem-se ser verificados</p><p>períodos de carência, nos quais os juros podem ser pagos ou capitalizados. Por exemplo, ao se</p><p>tomar um empréstimo por 4 anos, a ser restituído em prestações mensais, o primeiro pagamento</p><p>ocorrerá 9 meses após o recebimento do capital emprestado. Neste caso, diz-se que a carência</p><p>corresponde a nove meses. Os juros podem ser ou não pagos durante o período de carência.</p><p>Exemplo 11.4: Um empréstimo no valor de R$ 200.000,00 foi concedido a uma empresa nas</p><p>seguintes condições:</p><p>- taxa de juros: 5% a.t.</p><p>- amortização: pagamentos trimestrais.</p><p>- prazo de amortização: 2 anos</p><p>Pede-se elaborar uma planilha financeira para amortizações pelo Sistema Price, com um período</p><p>de 2 trimestres de carência.</p><p>Sendo pagos os juros durante a carência.</p><p>n Prestação Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 ----------- ----------- ------------- 200.000,00</p><p>1 10.000,00 10.000,00 ------------- 200.000,00</p><p>2 10.000,00 10.000,00 -------------- 200.000,00</p><p>3 30.944,36 10.000,00 20.944,36 179.055,64</p><p>4 30.944,36 8.952,78 21.991,58 157.064,06</p><p>5 30.944,36 7.853,20 23.091,16 133.972,91</p><p>6 30.944,36 6.698,65 24.245,71 109.727,19</p><p>7 30.944,36 5.486,36 25.458,00 84.269,19</p><p>8 30.944,36 4.213,46 26.730,90 57.538,29</p><p>9 30.944,36 2.876,91 28.067,45 29.470,84</p><p>10 30.944,36 1.473,54 29.470,82 0,03</p><p>OBS: O total de juros pago é de R$ 67.554,90.</p><p>69</p><p>Não sendo pagos os juros durante a carência.</p><p>n Prestação Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 ------------- ------------- ------------- 200.000,00</p><p>1 ------------- 10.000,00 ------------- 210.000,00</p><p>2 ------------- 10.500,00 ------------- 220.500,00</p><p>3 34.116,16 11.025,00 23.091,16 197.408,84</p><p>4 34.116,16 9.870,44 24.245,72 173.163,12</p><p>5 34.116,16 8.658,16 25.458,00 147.705,12</p><p>6 34.116,16 7.385,26 26.730,90 120.974,21</p><p>7 34.116,16 6.048,71 28.067,45 92.906,76</p><p>8 34.116,16 4.645,34 29.470,82 63.435,94</p><p>9 34.116,16 3.171,80 30.944,36 32.491,58</p><p>10 34.116,16 1.624,58 32.491,58 0,00</p><p>OBS: O total de juros pago é de R$ 72.929,28.</p><p>Um empréstimo no valor de R$ 200.000,00 foi concedido a uma empresa nas seguintes condições:</p><p>- Taxa de juros: 5% a.t.</p><p>- Amortização: pagamentos trimestrais.</p><p>- Prazo de amortização: 2 anos</p><p>Pede-se elaborar, agora, uma planilha financeira para amortizações pelo Sistema de</p><p>Amortizações Constantes (SAC), com um período de 6 meses de carência.</p><p>Sendo pagos os juros durante a carência:</p><p>n Prestação Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 ------------- ------------- ------------- 200.000,00</p><p>1 10.000,00 10.000,00 ------------- 200.000,00</p><p>2 10.000,00 10.000,00 ------------- 200.000,00</p><p>3 35.000,00 10.000,00 25.000,00 175.000,00</p><p>4 33.750,00 8.750,00 25.000,00 150.000,00</p><p>5 32.500,00 7.500,00 25.000,00 125.000,00</p><p>6 31.250,00 6.250,00 25.000,00 100.000,00</p><p>7 30.000,00 5.000,00 25.000,00 75.000,00</p><p>8 28.750,00 3.750,00 25.000,00 50.000,00</p><p>9 27.500,00 2.500,00 25.000,00 25.000,00</p><p>10 26.250,00 1.250,00 25.000,00 0,00</p><p>OBS: O total de juros pago é de R$ 65.000,00.</p><p>70</p><p>Não sendo pagos os juros durante a carência:</p><p>n Prestação Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 ------------- ------------- ------------- 200.000,00</p><p>1 ------------- 10.000,00 ------------- 210.000,00</p><p>2 ------------- 10.500,00 ------------- 220.500,00</p><p>3 38.587,50 11.025,00 27.562,50 192.937,50</p><p>4 37.209,38 9.646,88 27.562,50 165.375,00</p><p>5 35.831,25 8.268,75 27.562,50 137.812,50</p><p>6 34.453,13 6.890,63 27.562,50 110.250,00</p><p>7 33.075,00 5.512,50 27.562,50 82.687,50</p><p>8 31.696,88 4.134,38 27.562,50 55.125,00</p><p>9 30.318,75 2.756,25 27.562,50 27.562,50</p><p>10 28.940,63 1.378,13 27.562,50 0,00</p><p>OBS: O total de juros pago é de R$ 70.112,52.</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Uma empresa faz um empréstimo em um banco, com as seguintes condições:</p><p>- Valor do financiamento: R$ 60.000,00</p><p>- Taxa de juros: 2,5% a.m.</p><p>- Prazo de amortização: 6 meses com carência de 3 meses.</p><p>a. Elaborar uma planilha pelo SAC com o pagamento de juros durante a carência.</p><p>b. Elaborar uma planilha pelo SAC não sendo pagos os juros durante a carência.</p><p>c. Elaborar uma planilha pelo Sistema Price com o pagamento de juros durante a carência.</p><p>d. Elaborar uma planilha pelo Sistema Price não sendo pagos os juros durante a carência.</p><p>Respostas</p><p>a.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 0 0 0 60000</p><p>1 1500 1500 0 60000</p><p>2 1500 1500 0 60000</p><p>3 1500 1500 0 60000</p><p>4 11500 1500 10000 50000</p><p>5 11250 1250 10000 40000</p><p>6 11000 1000 10000 30000</p><p>7 10750 750 10000 20000</p><p>8 10500 500 10000 10000</p><p>9 10250 250 10000 0</p><p>Total 9750</p><p>71</p><p>b.</p><p>n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR</p><p>0 0 0 0 60000</p><p>1 0 1500 0 61500</p><p>2 0 1537,50 0,00 63037,50</p><p>3 0 1575,94 0,00 64613,44</p><p>4 12384,24 1615,34 10768,91 53844,53</p><p>5 12115,02 1346,11 10768,91 43075,63</p><p>6 11845,80 1076,89 10768,91 32306,72</p><p>7 11576,57 807,67 10768,91 21537,81</p><p>8 11307,35 538,45 10768,91 10768,91</p><p>9 11038,13 269,22 10768,91 0,00</p><p>Total 10267,11</p><p>c.</p><p>n Prestação Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 xxxxx xxxxx xxxxx 60000</p><p>1 1500 1500 xxxxx 60000</p><p>2 1500 1500 xxxxx 60000</p><p>3 1500 1500 xxxxx 60000</p><p>4 10893,00 1500,00 9393,00 50607,00</p><p>5 10893,00 1265,18 9627,82 40979,18</p><p>6 10893,00 1024,48 9868,52 31110,66</p><p>7 10893,00 777,77 10115,23 20995,43</p><p>8 10893,00 524,89 10368,11 10627,32</p><p>9 10893,00 265,68 10627,32 0,00</p><p>Total 9857,99</p><p>d.</p><p>n Prestação Juros Amortização Saldo devedor</p><p>0 xxxxx xxxxx xxxxx 60000</p><p>1 xxxxx 1500 xxxxx 61500</p><p>2 xxxxx 1537,5 xxxxx 63037,5</p><p>3 xxxxx 1575,9375 xxxxx 64613,4375</p><p>4 11730,57 1615,34 10115,23 54498,21</p><p>5 11730,57 1362,46 10368,11 44130,09</p><p>6 11730,57</p><p>1103,25 10627,32 33502,78</p><p>7 11730,57 837,57 10893,00 22609,78</p><p>8 11730,57 565,24 11165,32 11444,46</p><p>9 11730,57 286,11 11444,46 0,00</p><p>Total 10383,41</p><p>12. ANÁLISE DE INVESTIMENTOS – Técnicas para análise de investimentos</p><p>O valor de um investimento é baseado em sua capacidade de gerar fluxos de caixa futuros,</p><p>ou seja, na capacidade de gerar renda econômica. Em todo processo de análise de projetos e</p><p>decisões de investimentos, a Matemática Financeira possui um papel fundamental, pois, com a</p><p>aplicação de técnicas certas, é possível avaliar com maior clareza e segurança os riscos inerentes</p><p>a esses processos. A avaliação desses fluxos consiste, em essência, na comparação dos valores</p><p>presentes, calculados segundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros,</p><p>das saídas e entradas de caixa.</p><p>O Administrador Financeiro deve tomar decisões básicas que dizem respeito aos</p><p>investimentos a serem efetuados numa empresa a forma de financiamento mais apropriada.</p><p>72</p><p>12.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)</p><p>O valor presente líquido é a soma algébrica dos valores atuais das entradas e saídas de</p><p>dinheiro, ao longo do tempo, descontadas a uma taxa efetiva.</p><p>O método do valor presente líquido para análise dos fluxos de caixa é obtido pela diferença</p><p>entre o valor presente dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa e o valor presente do</p><p>fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do empréstimo ou do financiamento).</p><p>Essa técnica de análise oferece maiores possibilidades ao administrador financeiro, pois se</p><p>trata de uma técnica mais precisa. Permite conhecer as necessidades de caixa, ou os ganhos de</p><p>determinado projeto, em termos de valores hoje. Assim, ao deslocarmos os fluxos de caixa para</p><p>uma data zero, deveremos lançar mão de uma taxa de juros que, no jargão do mercado, é chamado</p><p>de Taxa Mínima de Atratividade (TAM).</p><p>A TMA é um valor mínimo que o investidor está proposto a ganhar ao fazer um investimento,</p><p>em se tratando de taxa de juros. Também representa o máximo que alguém se propõe a pagar ao</p><p>fazer um financiamento.</p><p>A forma de visualizar o conceito do VPL é a seguinte:</p><p>𝑉𝑃𝐿 = −𝑃𝑉0 +</p><p>𝐹𝐶1</p><p>(1 + 𝑖)1 +</p><p>𝐹𝐶2</p><p>(1 + 𝑖)2 +</p><p>𝐹𝐶3</p><p>(1 + 𝑖)3 + ⋯ +</p><p>𝐹𝐶𝑛</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>Onde FCn = fluxo de caixa para n períodos</p><p>PV0 = valor do investimento inicial</p><p>Ou</p><p>𝑉𝑃𝐿 = − 𝑃𝑉0 + 𝐹𝐶1 (1 + 𝑖)−1 + 𝐹𝐶2 (1 + 𝑖)−2 + 𝐹𝐶3 (1 + 𝑖)−3 + ⋯ + 𝐹𝐶𝑛 (1 + 𝑖)−𝑛</p><p>Critérios de aceitação:</p><p>• Se o VPL > 0, o investimento deve ser aceito;</p><p>• Se o VPL < 0, o investimento deve ser recusado;</p><p>• Se o VPL = 0, o investimento não oferece ganho ou prejuízo.</p><p>Exemplo 12.1: Uma firma investiu R$ 10.000,00 obtendo um retorno de R$ 6.000,00 no final de um</p><p>mês e R$ 5.000,00 no final de dois meses. Pede-se para calcular:</p><p>a. O valor presente líquido (VPL) descontado a uma taxa de 6% a.m.</p><p>6.000 5.000</p><p>0</p><p>1 2</p><p>10.000</p><p>VPL (6%)</p><p>73</p><p>Na HP-12C</p><p>10000 CHS</p><p>g PV (g PV é a função CFo )</p><p>6000 g PMT (g PMT é a função CFj )</p><p>5000 g PMT (g PMT é a função CFj )</p><p>6 i</p><p>f PV (f PV é a função NPV)</p><p>Na HP-12C</p><p>4000 CHS g CFo</p><p>8000 g CFj</p><p>5000 CHS g CFj</p><p>30000 g CFj</p><p>3 i</p><p>f NPV</p><p>5 i 10 n PMT</p><p>VPL= -10.000 + 6.000 x (1+0,06)-1 + 5.000 x (1 + 0,06)-2</p><p>VPL= R$ 110,36</p><p>b. O valor presente líquido (VPL) descontado a taxa de 7% a.m.</p><p>VPL (7%)</p><p>VPL= - 10.000 + 6.000 x (1+0,07)–1 + 5.000 x (1+0,07)-2</p><p>VPL= R$ -25,33</p><p>Exemplo 12.2: Calcular o VPL e verificar se o investimento, em reais, deve ser aceito ou rejeitado,</p><p>tomando como base os dados da tabela abaixo e uma taxa de 3% ao mês.</p><p>Meses 0 1 2 3</p><p>Entradas 10.000,00 15.000,00 30.000,00</p><p>Saídas 40.000,00 2.000,00 20.000,00</p><p>Saldo - 40.000,00 8.000,00 -5.000,00 30.000,00</p><p>VPL= - 40.000 + 8.000 x (1+0,03)–1 - 5.000 x (1+0,03)-2 + 30.000 x (1+0,03)–3</p><p>VPL= - 40.000 + 7.766,99 – 4.712,98 + 27.454,25</p><p>VPL = R$ - 9.491,74</p><p>Deve ser rejeitado, porque o VPL é negativo.</p><p>74</p><p>Exemplo 12.3: Admita que uma empresa esteja avaliando um investimento no valor de R$</p><p>750.000,00 do qual esperam-se benefícios anuais de caixa de R$ 250.000,00 no primeiro ano, R$</p><p>320.000,00 no segundo ano, R$ 380.000,00 no terceiro ano e R$ 280.000,00 no quarto ano.</p><p>Admitindo-se que a empresa tenha definido em 20% ao ano a taxa de desconto a ser aplicada</p><p>aos fluxos de caixa do investimento, tem-se a seguinte representação e cálculo do VPL:</p><p>VPL = - 750.000 + 250.000 x (1,2)–1 + 320.000 x (1,2)-2 + 380.000 x (1,2)–3 + 280.000 x (1,2)-4</p><p>VPL = R$ 35.493,83</p><p>Observe que, mesmo descontando os fluxos de caixa pela taxa de 20% ao ano, conforme</p><p>definida previamente, o VPL é superior a zero, indicando que a alternativa de investimento oferece</p><p>uma taxa de rentabilidade anual superior aos 20%. Nesta situação, evidentemente, o investimento</p><p>apresenta-se atraente, indicando sua aceitação econômica.</p><p>Exemplo 12. 4 Um investimento de R$ 6.000,00, efetuado no dia 1/9/2018, gera entradas de caixa</p><p>nos valores de R$ 1.200,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.700,00, com vencimento a 35 dias, 55 dias e 120</p><p>dias, respectivamente. Calcular o valor presente líquido da operação, considerando-se um custo de</p><p>oportunidade de 6% ao mês.</p><p>Investimento inicial (PV0): R$ 6.000,00</p><p>Entradas de caixa (FCn): R$ 1.200,00; R$ 2.000,00 e R$ 3.700,00</p><p>Prazo (n): 35, 55 e 120 dias</p><p>Custo de oportunidade (i) = 6% a.m.</p><p>VPL = ?</p><p>VPL = - 6.000 + 1.200 x (1,06)–35/30 + 2.000 x (1,06)-55/30 + 3.700 x (1,06)–120/30</p><p>VPL = – 6.000 + 5.849,24</p><p>VPL = R$ -150,76</p><p>VPL < 0, o projeto deve ser recusado.</p><p>6.000</p><p>0</p><p>1.200 2.000 3.700</p><p>30 35 55 60 90 120</p><p>R$ 250.000,00 R$ 320.000,00 R$ 380.000,00 R$ 280.000,00</p><p>0 1 2 3 4</p><p>R$ 750.000,00</p><p>75</p><p>12.2 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR – (ou IRR)</p><p>A Taxa Interna de Retorno (TIR), a exemplo do VPL, é uma das técnicas consideradas</p><p>sofisticadas em análise de projetos, talvez até mais que o próprio VPL.</p><p>A TIR, em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar os fluxos de</p><p>caixa ao valor presente (PV), ou seja, é o custo ou rentabilidade efetiva de um projeto ou</p><p>simplesmente a taxa de desconto igual aos fluxos de caixa ao investi­ mento inicial, seja pelo regime</p><p>de juros compostos ou pelo regime de juros simples.</p><p>A taxa interna de retorno é a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado tempo, o</p><p>valor presente das entradas (recebimentos) com os das saídas (pagamentos) previstas de caixa.</p><p>É a taxa de juro efetiva para a qual o valor presente líquido (VPL) é zero. Do ponto de vista</p><p>prático, um projeto é considerado viável quando sua TIR supera a TMA (taxa mínima de</p><p>atratividade).</p><p>Geralmente, adota-se a data de início da operação – momento zero – como a data focal de</p><p>comparação dos fluxos de caixa.</p><p>Normalmente, o fluxo de caixa no momento zero (fluxo de caixa inicial) é representado pelo</p><p>valor do investimento, ou empréstimo ou financiamento; os demais fluxos de caixa indicam os</p><p>valores das receitas ou prestações devidas.</p><p>Observação: Para achar a TIR, pelo método algébrico, deve-se recorrer ao processo de tenta­ tiva</p><p>e erro. Vamos calcular o TIR utilizando o método de interpolação. Estipulamos uma taxa qualquer</p><p>e calculamos o VPL do investimento.</p><p>No processo de interpolação, devemos buscar duas taxas próximas em que o VPL</p><p>de uma</p><p>seja positivo e de outra, negativo; como o VPL da TIR é zero, ela estará entre estas taxas. Portanto,</p><p>o cálculo consiste em 3 etapas:</p><p>1ª Etapa: Cálculo do VPL para a primeira taxa.</p><p>2ª Etapa: Cálculo do VPL para a segunda taxa.</p><p>3ª Etapa: Cálculo da TIR por interpolação.</p><p>Importante: a obtenção da TIR através da interpolação linear fornecerá sempre um valor</p><p>aproximado, pois o valor exato somente pode ser obtido através de programas financeiros. Apesar</p><p>desse fato, o processo aqui demostrado é utilizado em todo o mundo.</p><p>Exemplo 12.5: Uma firma investiu R$ 10.000,00 obtendo um retorno de R$ 6.000,00 no final de um</p><p>mês e R$ 5.000,00 no final de dois meses. Calcular a taxa interna de retorno.</p><p>Como vimos:</p><p>VPL = R$ 110,36 para a taxa de 6% e</p><p>VPL = R$ - 25,33 para a taxa de 7%.</p><p>Assim podemos dizer que o valor de TIR está entre 6% e 7%.</p><p>Em seguida faz-se a interpolação:</p><p>7% - 6% = 1% → 110,36 – ( -25,33) = R$ 135,69</p><p>Se 1% corresponde a R$ 135,69, então R$ 110,36 corresponde a 0,81%.</p><p>76</p><p>Na HP-12C</p><p>10000 CHS g CFo</p><p>6000 g CFj</p><p>5000 g CFj</p><p>f IRR</p><p>Então a TIR é 6% + 0,81% = 6,81% a.m.</p><p>Exemplo 12.6: Calcular a TIR e analisar a atratividade do investimento na empresa A,</p><p>representado pelo fluxo de caixa abaixo, considerando que a taxa mínima de atratividade é de 19%</p><p>ao semestre.</p><p>7.500 6.000 7.500 9.000 6.000 6.000</p><p>0 1 2 3 4 5 6</p><p>24.000</p><p>Para i = 18%</p><p>VPL= - 24.000 + 7.500 x (1+0,18)–1 + 6.000 x (1+0,18)-2 + 7.500 x (1+0,18)–3 + 9.000 x (1+0,18)-4 +</p><p>6.000 x (1+0,18)-5 + 6.000 x (1+0,18)-6</p><p>VPL = - 24.000 + 6.355,93 + 4.309,11 + 4.564,73 + 4.642,10 + 2.622,66 + 2.222,59</p><p>VPL = R$ 717,12</p><p>Para i = 20%</p><p>VPL= - 24.000 + 7.500 x (1+0,2)–1 + 6.000 x (1+0,2)-2 + 7.500 x (1+0,2)–3 + 9.000 x (1+0,2)-4 +</p><p>6.000 x (1+0,2)-5 + 6.000 x (1+0,2)-6</p><p>VPL = - 24.000 + 6.250,00 + 4.166,67 + 4.340,28 + 2.411,27 + 2.009,39</p><p>VPL = R$ - 482,11</p><p>Então: 20 – 18 = 2% → 717,12 – ( - 482,11) = 1.199,23</p><p>Se 2% corresponde a R$ 1.199,23, o valor R$ 717,12 corresponde a 1,2%</p><p>Logo: TIR = 18 + 1,2 = 19,2% a.s.</p><p>77</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando como base os</p><p>dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês.</p><p>R$/Meses 0 1 2 3</p><p>Entrada 10.000,00 15.000,00 30.000,00</p><p>Saídas 50.000,00</p><p>Saldo</p><p>2. Um analista financeiro precisa determinar o valor da terceira parcela do fluxo de caixa B, que faz</p><p>com que os fluxos de caixa indicados na tabela a seguir sejam equivalentes na data focal zero, à</p><p>taxa efetiva de 3%a.m., no regime de juros compostos.</p><p>Mês 0 1 2 3 4 5 6</p><p>Fluxo A 2500 3000 5000 10000 5000 4000</p><p>Fluxo B 8000 X 7000 5000 6000</p><p>3. Determinar a TIR referente a um empréstimo de R$ 126.900,00 a ser liquidado em quatro</p><p>pagamentos mensais e consecutivos de R$ 25.000,00, R$ 38.000,00, R$ 45.000,00 e R$ 27.000,00.</p><p>4. Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando como base os</p><p>dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês.</p><p>R$/</p><p>Meses 0 1 2 3</p><p>Entradas - 4.000,00 22.000,00 34.000,00</p><p>Saídas 25.000,00 18.000,00 5.000,00 -</p><p>Saldo</p><p>5. Calcule a taxa de retorno de um investimento de R$ 1.200,00, onde serão obtidas receitas</p><p>mensais conforme o diagrama a seguir:</p><p>500 800 200</p><p>1200</p><p>6. Fábio empresta hoje a André a importância de R$ 10.000,00. Para pagamento do</p><p>empréstimo, André entrega a Fábio cheques de R$ 3.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00 com</p><p>vencimentos para 2, 4 e 6 meses, respectivamente. Calcule a taxa de juros (TIR) cobrada no</p><p>empréstimo.</p><p>78</p><p>7. O Sr. Pedro pretende se aposentar nos próximos anos e quer juntar suas economias para</p><p>investir na compra de uma máquina que faça sacolas plásticas. Pretende contratar um</p><p>funcionário para trabalhar nessa máquina nos próximos 5 anos. As informações que ele dispõe</p><p>são as seguintes: uma máquina nova custa R$ 30.000,00. As despesas de manutenção da</p><p>máquina estão estimadas em R$ 5.000,00 no primeiro ano e estima-se um aumento de R$</p><p>1.500,00 a cada novo ano. O Sr. Pedro pretende pagar para o funcionário R$ 5.000,00 no</p><p>primeiro ano com um aumento salarial de 10% a cada ano, e o faturamento anual previsto é de</p><p>R$ 25.000,00. Após os 5 anos, o Sr. Pedro pretende vender a máquina por R$ 10.000,00.</p><p>Considerando que o investimento seja aceito se render pelo menos 16% a.a., determine o valor</p><p>presente líquido.</p><p>8. Jari precisa avaliar um novo negócio com investimento inicial de R$ 8.000,00. Ele faz as</p><p>seguintes estimativas para o fluxo de caixa anual: R$ 2.000,00; R$ 3.500,00 e R$ 5.000,00. A</p><p>taxa de atratividade é de 15% a.a.</p><p>a. Qual o VPL do projeto?</p><p>b. O projeto é viável? Por quê?</p><p>c. Qual o valor máximo para o investimento inicial que torna o projeto viável?</p><p>9. Uma fábrica de estofados, estuda s possibilidade de realização de dois projetos excludentes:</p><p>reformar sua linha de produção mais antiga, ou adquirir uma linha inteiramente nova. A reforma</p><p>está orçada em R$ 600.000,00 e a aquisição dos novos equipamentos tem um investimento</p><p>estimado em R$ 1.200.000,00. Os fluxos de caixa de ambos os investimentos estão</p><p>apresentados na tabela abaixo.</p><p>Opção Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5</p><p>Reformar -600 150 250 350 250 550</p><p>Comprar -1200 300 500 600 650 650</p><p>a. Qual a TIR da opção comprar uma linha nova?</p><p>b. Qual o valor presente líquido da opção reforma das linhas de produção, sendo a taxa 24%a.a.?</p><p>c. Qual o valor presente líquido da opção comprar uma linha nova, sendo a taxa 24%a.a.?</p><p>d. Considerando o VPL, qual é a melhor opção para a empresa?</p><p>10. Uma consultoria em Processos Gerenciais irá investir em um novo produto. O novo produto terá</p><p>diversos custos como: publicidade, campanha nacional de vendas, promoções e custos</p><p>operacionais. Espera-se entradas do primeiro ao sexto ano de R$ 50.000,00. As saídas de caixa</p><p>serão de R$ 20.000,00 cada ano. A empresa planeja investir inicialmente R$ 100.000,00 e a taxa</p><p>de juros considerada nesse projeto é de 10% ao ano. Calcular o VPL e informar se o projeto é viável</p><p>ou não.</p><p>Respostas</p><p>1. R$ -955,62 2. R$ 3.584,59</p><p>3. VPL (2%) = 1.482,55 VPL (3%)= -1.638,99 TIR = 2,47%</p><p>4. VPL = 6.456,65</p><p>5. VPL (8%) = 10,74 VPL (9%)= -19,73 TIR = 8,35%</p><p>6. VPL (10%) = 540,95 VPL (15%)= -421,63 TIR = 12,81% a.b.</p><p>7. VPL = R$ 12.433,70 8. a) VPL = -326,79 b) Não c) R$ 7.673,21</p><p>79</p><p>9. a) 30,09% a.a. b) R$ 160.481,99 c) R$ 218.785,39</p><p>10. R$ 30.657,82 – é viável</p><p>12.3 MÉTODO DO ¨PAYBACK¨ OU DO TEMPO DE RETORNO DE UM INVESTIMENTO</p><p>Payback significa “retorno”. Trata-se de uma estratégia, um indicador usado nas empresas</p><p>para calcular o período de retorno de investimento em um projeto.</p><p>Em palavras mais técnicas, payback é o tempo de retorno desde o investimento inicial até</p><p>aquele momento em que os rendimentos acumulados tornam-se iguais ao valor desse investimento.</p><p>A viabilidade econômica de um projeto de investimento pode ser determinada, comparando-se o</p><p>tempo de retorno do projeto com a vida útil dos ativos que compõem este investimento.</p><p>O payback dá ao gestor a estimativa de quanto tempo vai levar até que ele recupere sua</p><p>aplicação inicial. Esse período nem sempre é curto – depende do valor do investimento e do tipo de</p><p>negócio. Em geral, o retorno acontece dentro de meses ou anos.</p><p>Como toda estratégia, o payback apresenta pontos positivos e negativos. O grande segredo</p><p>é saber utilizá-lo da forma correta.</p><p>Entre suas vantagens, estão:</p><p>➢ Apresenta fórmula simples, fácil de ser aplicada e apreendida;</p><p>➢ Oferece uma ideia do nível de liquidez do negócio e do nível de risco que ele envolve;</p><p>➢ Pode ser útil especialmente em 2 casos: em projetos cujo grau de risco é muito alto e em</p><p>projetos com vida limitada;</p><p>➢ Em épocas de crise financeira e instabilidade econômica, o recurso serve para aumentar a</p><p>segurança nos negócios.</p><p>Entre as desvantagens, estão:</p><p>➢ O indicador valoriza de modo diferente os fluxos recebidos em períodos diversos (isso</p><p>conforme o pensamento dualista, antes ou depois do payback, desconsiderando os valores</p><p>recebidos dentro de cada um desses intervalos);</p><p>➢ Para projetos de duração mais longa, o recurso não é muito recomendado, pois não</p><p>considera os fluxos de caixa produzidos depois do ano de recuperação.</p><p>Para que um projeto possa ser considerado economicamente viável, o tempo de retorno do</p><p>projeto (em anos, meses ou qualquer outra unidade de tempo) deve ser inferior a vida útil de um</p><p>equipamento, ferramental, etc., por exemplo, que faz parte do investimento.</p><p>80</p><p>Exemplo 12.7: Um investimento requer um desembolso inicial de $ 200.000,00 que propiciaria a</p><p>geração de fluxos de caixa de $ 75.000,00 por ano durante cinco anos, a um custo de 15% a.a.</p><p>Calcular o payback descontado.</p><p>200.000,00 = 75.000,00 x ( 1+ 0,15)-1 + 75.000,00 x ( 1+ 0,15)-2 + 75.000,00 x ( 1+ 0,15)-3 +75.000,00</p><p>x ( 1+ 0,15)-4 75.000,00 x ( 1+ 0,15)-5</p><p>200.000,00 = 65.217,39 + 56.710,78 + 49.313,72 + 42.881,49 + 37.288,26</p><p>Para t=3, VPL = $171.241,89</p><p>200.000,00 = 65.217,39 + 56.710,78 + 49.313,72 + 42.881,49 + 37.288,26</p><p>Para t=4, VPL = $214.123,38</p><p>Conclusão:</p><p>Se t = 3 resulta VPL = $ 171.241,89 e t = 4 resulta VPL = $ 214.123,38, então são necessários,</p><p>no mínimo, quatro anos para recuperar o investimento.</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Calcular o valor do payback descontado quando:</p><p>a. i = 10% a.a.</p><p>Ano 0 1 2 3</p><p>Fluxo de caixa (R$) -150.000 80.000 80.000 80.000</p><p>b. i = 10% a.a.</p><p>Ano 0 1 2 3 4</p><p>Fluxo de caixa (R$) -200.000 20.000 40.000 80.000 160.000</p><p>c. i = 15% a.a.</p><p>Ano 0 1 2 3 4</p><p>Fluxo de caixa (R$) -200.000 20.000 40.000 80.000 160.000</p><p>2. Dois projetos A e B de mesmo valor, correspondente a R$ 45.000,00, são oferecidos a um</p><p>investidor com 10 entradas de caixa. O projeto A tem as seguintes entradas: R$ 4.500,00, R$</p><p>5.500,00, R$ 6.500,00, R$ 7.500,00, R$ 8.500,00, R$ 9.500,00, R$ 10.500,00, R$ 11.500,00, R$</p><p>12.500,0 e R$ 13.500,00. Para o projeto B, o fluxo de caixa é o inverso do projeto A; considerando</p><p>um custo de oportunidade de 13,5% ao ano, calcular o VPL, a TIR e o payback dos dois projetos.</p><p>i1)(1+ i2)......(1+ in)</p><p>Exemplo 2.1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são dados os seguintes descontos sucessivos:</p><p>20% + 10% + 5%.</p><p>a. Qual o valor líquido a ser pago?</p><p>C = 124.000,00 i1= 20/100 i2= 10/100 i3= 5/100</p><p>VF = 124.000 x (1- 0,2) x (1- 0,1) x (1- 0,05)</p><p>VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95</p><p>VF = R$ 84.816,00</p><p>b. Qual a taxa total de abatimento?</p><p>R$ 124.000 representa o todo, ou seja, 100%</p><p>R$ 84.816 representa o valor a ser pago, ou seja, inferior ao todo.</p><p>𝑥 =</p><p>84816</p><p>124000</p><p>→ x = 0,684</p><p>𝑥 = 68,4%</p><p>Resp: A mercadoria custava 100% e ficou 68,4%, então, a taxa total de abatimento foi de 31,6%.</p><p>Exemplo 2.2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preço constante na</p><p>tabela foram dados descontos sucessivos de 30% e 20%, respectivamente, qual era o preço da</p><p>tabela?</p><p>VF = 70,00 i1= 30/100 = 0,3 i2= 20/100 = 0,2</p><p>70 = C x (1- 0,3) x (1 – 0,2)</p><p>70= C x 0,7 x 0,8</p><p>70 = C x 0,56</p><p>C= 70/ 0,56</p><p>C = 125,00</p><p>Resp: O preço de tabela era R$ 125,00.</p><p>Observação: A partir do exemplo 2.2, se os descontos sucessivos fossem de 20% e 30%</p><p>respectivamente, qual seria o preço da tabela?</p><p>2.2 Aumentos sucessivos</p><p>O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:</p><p>7</p><p>Exemplo 2.3: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês.</p><p>Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%.</p><p>a. Qual o preço final dessa mercadoria?</p><p>C = 8,00 i1= 2,5/100 i2= 5/100</p><p>VF= 8 x (1+ 0,025) x (1+0,05)</p><p>VF = 8 x 1,025 x 1,05</p><p>VF = R$ 8,61</p><p>b. Qual a taxa total de acréscimo?</p><p>𝑥 =</p><p>8,61</p><p>8</p><p>𝑥 = 1,07625 → x = 107,625%</p><p>A mercadoria custava 100% e ficou 107,625%, então a taxa de acréscimo foi de 7,625%.</p><p>Exemplo 2.4: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%, pagando, o comprador,</p><p>R$ 144,90. Qual era o valor inicial da mercadoria?</p><p>VF = 144,90 i1= 20/100 i2= 15/100</p><p>144,90 = C x (1+0,2) x (1+0,15)</p><p>144,90 = C x 1,2 x 1,15</p><p>144,90 = C x 1,38</p><p>C = 144,90/ 1,38</p><p>C = R$ 105,00</p><p>Exercícios</p><p>1. Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de</p><p>30%+20%+10%. Pergunta-se:</p><p>a. por quanto foi vendida?</p><p>b. qual o percentual total do abatimento?</p><p>2. Na compra de uma mercadoria foram obtidos abatimentos sucessivos de 20%+10%+5%. Se o</p><p>total pago foi R$ 273,60, pergunta-se:</p><p>a. qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos?</p><p>b. qual o percentual total do abatimento?</p><p>3. Um produto cujo preço era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%. Pergunta-</p><p>se:</p><p>a. qual o preço atual?</p><p>b. qual o percentual do aumento?</p><p>4. O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$</p><p>450,12. Qual era o preço inicial?</p><p>5. Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto</p><p>de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta mercadoria?</p><p>8</p><p>6. Uma mercadoria custava R$ 75,00 e foi vendida com abatimentos sucessivos de 10%+5%+2%.</p><p>Por quanto foi vendida?</p><p>7. Calcular o valor liquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600,00 que sofreu uma redução de</p><p>15% sobre este valor e, em seguida, outro abatimento de 8%.</p><p>8. Um artigo tem dois aumentos sucessivos, um de 7% e outro de 3,5%. Determine o valor de venda</p><p>se o preço inicial do produto é de R$ 250,00.</p><p>9. Uma mercadoria sofreu um aumento de 25%. Na venda foram concedidos dois descontos</p><p>sucessivos de 4% e 3,5% ficando o preço final em R$ 100,75. Qual era o preço inicial desta</p><p>mercadoria?</p><p>Respostas</p><p>1a. R$ 12,10 1b. 49,58%</p><p>2a. R$ 400,00 2b. 31,6%</p><p>3a. R$ 58,50 3b. 62,5%</p><p>4. R$ 310,00 5. R$ 20,00 6. R$ 62,84</p><p>7. R$ 6.725,20 8. R$ 276,86 9. R$ 87,00</p><p>3. TAXA ACUMULADA</p><p>Algumas situações cotidianas voltadas para a matemática financeira envolvem a variação</p><p>dos preços de mercadorias. As variações podem ocorrer no sentido de os preços aumentarem ou</p><p>diminuírem, ocorrendo, respectivamente, inflação ou deflação.</p><p>É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, envolvendo índices</p><p>percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a incidência de</p><p>vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos que a incidência desses</p><p>índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros acumulada.</p><p>Taxa acumulada é aquela resultante ao final de n períodos e é dada pela seguinte expressão</p><p>matemática:</p><p>𝑖𝑎𝑐 = (1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2)(1 + 𝑖3) … . . (1 + 𝑖𝑛) − 1</p><p>Exemplo 3.1: Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%,</p><p>respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no período?</p><p>i1=12/100 i2=10/100</p><p>iac = (1+0,12) x (1+0,10) -1=</p><p>iac=(1,12 x 1,10)-1</p><p>iac= 0,232</p><p>iac = 23,2%</p><p>9</p><p>4. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS</p><p>Quando se trabalha com compra e venda de mercadorias, tem-se a possibilidade de</p><p>obtenção de lucro ou prejuízo, que pode ser sobre o custo ou sobre a venda. Na prática, entretanto,</p><p>é mais fácil ao comerciante calcular a taxa de lucro ou prejuízo sobre o preço de venda porque esse</p><p>preço está nas tabelas de uso comercial e também nas etiquetas.</p><p>Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço de</p><p>custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou sobre o</p><p>preço de venda.</p><p>4.1 Lucro sobre o preço de custo (compra)</p><p>Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera se o preço de</p><p>custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a 100% + i.</p><p>V = C(1+ i)</p><p>Exemplo 4.1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida se o</p><p>lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra?</p><p>C = 120,00 i = 40/100</p><p>V= 120 x (1+0,4)</p><p>V= 120 x 1,4</p><p>V= R$ 168,00</p><p>Exemplo 4.2: Uma mercadoria será vendida por R$ 111,28. Por quanto foi comprada se o lucro</p><p>desejado é de 30% sobre o preço de compra?</p><p>V = 111,28 i = 30/100</p><p>111,28 = C x (1+0,3)</p><p>C= 111,28 / 1,3</p><p>C= R$ 85,60</p><p>4.2 Lucro sobre o preço de venda</p><p>Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considera se o preço de</p><p>venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a 100% - i.</p><p>𝑽 =</p><p>𝑪</p><p>𝟏 − 𝒊</p><p>10</p><p>Exemplo 4.3: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$ 20,00, desejando-</p><p>se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda?</p><p>C = 20,00 i = 20/100</p><p>V =</p><p>20</p><p>1−0,2</p><p>V =</p><p>20</p><p>0,8</p><p>V = R$ 25,00</p><p>Exemplo 4.4: Um objeto foi vendido por R$ 800,00, com um lucro de 25% sobre o preço de venda.</p><p>Calcular o preço de compra desse objeto.</p><p>V= 800 i = 25/100</p><p>800 =</p><p>𝐶</p><p>1−0,25</p><p>800 =</p><p>𝐶</p><p>0,75</p><p>C = 800 . 0,75 C = R$ 600,00</p><p>Exercícios</p><p>1. Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro mês, 1,17% no</p><p>segundo e 1,23% no terceiro mês do ano, levando em conta que a taxa é calculada sobre o mês</p><p>antecedente.</p><p>2. Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto deverá ser vendida para que o lucro seja</p><p>de 30% sobre o preço de compra?</p><p>3. Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço de compra. Qual</p><p>o preço de compra desta mercadoria?</p><p>4. Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de 40% sobre</p><p>o preço de venda. Qual o preço de venda?</p><p>5. Um terreno foi comprado por R$ 47.500,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preço de</p><p>venda. Por quanto foi vendido?</p><p>6. Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Quanto</p><p>custou esta mercadoria?</p><p>7. Em janeiro, fevereiro, março e abril de um ano, o preço de um produto teve, respectivamente os</p><p>seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento no quadrimestre, levando em</p><p>conta que o aumento é sempre em relação ao mês antecedente?</p><p>8. Na venda de um objeto um comerciante recebeu R$ 700,00. Quanto custou o objeto se o</p><p>comerciante teve lucro de 15% sobre o preço de venda?</p><p>9. Na venda de uma TV por R$ 2.190,72 a loja teve um lucro de 12% sobre o preço de custo. Qual</p><p>foi o preço de custo da TV?</p><p>11</p><p>10. Uma mercadoria que tem preço de custo R$ 324,00 e será vendida com um lucro de 8,5% sobre</p><p>o preço de venda. Calcular o preço de venda dessa mercadoria.</p><p>Respostas</p><p>1. 3,64% 2. R$ 31,20 3. R$ 35,00</p><p>4. R$ 400,00 5. R$ 50.000,00 6. R$ 7,50</p><p>7. 18,72% 8. R$ 595,00 9. R$ 1.956,00</p><p>10. R$ 354,10</p><p>5. JUROS</p><p>Juro é a remuneração dada a qualquer título de capitalização, ou seja, pelo uso do capital</p><p>empregado, ou pela aplicação do capital em atividades produtivas, durante um certo período e à</p><p>uma determinada taxa.</p><p>Esse intervalo de tempo usado na aplicação do capital à uma referida taxa, é denominado</p><p>período financeiro ou período de capitalização.</p><p>Os juros são fixados através de uma taxa percentual, que sempre se refere a uma unidade</p><p>de tempo: ano, semestre, mês, etc. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no</p><p>mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de</p><p>juros. A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui, além dos itens como risco e o tempo do</p><p>empréstimo, a expectativa de inflação para o período.</p><p>5.1 Taxa de juros</p><p>Taxa de juros é uma relação matemática, ou seja, é o resultado da divisão do valor dos juros pelo</p><p>capital emprestado. Assim, representando-se a taxa de juro pela letra i, o valor dos juros pela</p><p>letra j e o valor do capital inicial pela letra P, tem-se que:</p><p>𝒊 =</p><p>𝒋</p><p>𝑷</p><p>Exemplo 5.1: Emprestei $ 98,00 e recebi $ 108,00 no vencimento; nesse caso ganhei juros de $</p><p>10,00. Qual a taxa de juros?</p><p>𝑖 =</p><p>10</p><p>98</p><p>= 0,10204 = 10,204%</p><p>Exemplo 5.2: Uma pessoa pede um empréstimo de R$ 1.000,00 para ser restituído no prazo de 1</p><p>mês. O gerente do banco manda creditar R$ 950,00 na conta do cliente sob a alegação de que os</p><p>juros de R$ 50,00 foram descontados no ato, isto é, pagos antecipadamente.</p><p>De acordo com o conceito de taxa de juros, temos que:</p><p>𝑖 =</p><p>50</p><p>950</p><p>= 0,05263 = 5,263%</p><p>12</p><p>No caso desse exemplo, não houve pagamento antecipado de juros. Apenas o banco emprestou</p><p>R$ 950,00 para receber R$ 1.000,00 no final de um mês. Portanto, o juro de R$ 50,00 efetivamente</p><p>foi recebido pelo banco no final, isto é, no vencimento.</p><p>FLUXO DE CAIXA</p><p>Fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Eles</p><p>são indispensáveis na análise de custos e de rentabilidade de operações financeiras, e no estudo</p><p>de viabilidade econômica de projetos e investimentos.</p><p>Segundo Puccini (2017), o fluxo de caixa e a taxa de juros são as duas matérias-primas mais</p><p>importantes da Matemática Financeira.</p><p>A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou</p><p>esquematicamente, como na figura a seguir:</p><p>Fonte:https://www.researchgate.net/figure/Figura-46-Diagrama-de-fluxo-de-caixa-GAUT120-Fonte-Arquivo-</p><p>Reyler_fig13_272498379</p><p>A seguir, a representação de um fluxo de caixa através de tabela:</p><p>Entradas</p><p>Saídas</p><p>13</p><p>Fluxo de caixa</p><p>Data Dia Mês Valor (R$)</p><p>01/03 0 0 ( - ) 2.000,00</p><p>01/04 30 1 ( + ) 1.000,00</p><p>01/05 60 2 ( + ) 1.200,00</p><p>5.2 JUROS SIMPLES</p><p>No regime de juros simples, a cada período os juros são calculados sobre o capital inicial,</p><p>sendo diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. Raramente encontramos uso</p><p>para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, cheque especial e do</p><p>processo de desconto simples de duplicatas.</p><p>Por exemplo, nas aplicações financeiras com mais de um período, os juros de cada período</p><p>que não são pagos no final dele permanecem em poder da instituição financeira e não são somados</p><p>ao capital inicial aplicado para o cálculo de juros nos períodos subsequentes. Nesses casos, os</p><p>juros periódicos são sempre pagos de uma só vez, no final da operação, sem qualquer</p><p>remuneração.</p><p>Os juros, portanto, são contabilizados à parte, não são capitalizados periodicamente, e,</p><p>consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal (capital inicial) rende juros.</p><p>Será considerada a taxa para o ano comercial, ou seja, 30 dias por mês ou 360 dias por ano.</p><p>Todavia, se nosso tempo estiver definido de forma que possamos afirmar quantos são os</p><p>dias efetivamente, essa contagem é feita de acordo com o ano civil, segundo o calendário.</p><p>Considere que uma pessoa no início de um ano aplicou R$ 1.000,00 com direito a receber</p><p>juros simples a taxa de 10% ao ano. Qual será o valor para resgate no final de 3 anos?</p><p>Cálculo dos juros simples</p><p>Período</p><p>(anos)</p><p>Capital inicial</p><p>(R$)</p><p>Juros do período</p><p>(i= 10% a.a.)</p><p>(R$)</p><p>Juros acumulados</p><p>(R$)</p><p>Montante</p><p>(R$)</p><p>0 1.000,00 0,00 0,00 1.000,00</p><p>1 1000 x 0,10= 100 100,00 1.100,00</p><p>2 1000 x 0,10= 100 200,00 1.200,00</p><p>3 1000 x 0,10= 100 300,00 1.300,00</p><p>Podemos observar que o valor do resgate será de R$ 1.300,00.</p><p>5.2.1 Conceito de juros simples</p><p>É o regime no qual, ao final de cada período de capitalização, os juros são calculados sobre</p><p>o capital inicialmente aplicado.</p><p>14</p><p>5.2.2 Elementos Básicos</p><p>Capital ou presente valor ou valor atual (C ou PV ou A): É a quantia empregada no início da</p><p>aplicação.</p><p>Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro.</p><p>Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-se a taxa na</p><p>forma unitária.</p><p>Número de períodos (n): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representado</p><p>em relação ao período da taxa.</p><p>Montante ou futuro valor (M ou FV): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de</p><p>quitar ou encerrar um empréstimo.</p><p>5.2.3 Equação fundamental de juros simples</p><p>ou</p><p>A taxa de juros e o tempo devem ser expressos na mesma unidade.</p><p>Sugestão: Altere sempre n e evite alterar i</p><p>Vamos estudar o juro comercial (ou ordinário), portanto o ano comercial tem 360 dias e o</p><p>mês tem 30 dias.</p><p>Exemplo 5.1:Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00 pelo prazo de 2 anos, à taxa de</p><p>30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?</p><p>PV= 1.200,00 n = 2 anos i = 30/100</p><p>j = 1.200,00 x 0,3 x 2</p><p>j = R$ 720,00</p><p>Exemplo 5.2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos</p><p>iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos.</p><p>j = 148.612,61 i = 12/100 t = 3 anos</p><p>148.612,61 = PV x 0,12 x 3</p><p>PV = 148.612,61/ 0,36</p><p>PV = R$ 412.812,81</p><p>j = PV.i.n j = C.i.n</p><p>15</p><p>Exemplo 5.3: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$</p><p>6.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano?</p><p>PV = 20.000,00 j = 6.000,00 i = 12/100</p><p>6.000,00 = 20.000,00 x 0,12 x t</p><p>t = 6.000,00/ 2.400,00</p><p>t = 2,5 anos, ou seja, 2 anos e 6 meses (Cuidado com a transformação do tempo!!!!)</p><p>Exemplo 5.4: Que capital deve ser empregado em juros simples à taxa de 60% ao ano, para que</p><p>se obtenha um juro de R$ 330,00 em 60 dias?</p><p>j = 330,00 n = 60 i = 60/100</p><p>330 = PV x 0,6 x 60/360 → PV = 330/ 0,1 → PV = R$ 3.300,00</p><p>Exemplo 5.5: Um título de R$ 22.000,00, vencido em 24/06 e pago em 08/08 do mesmo ano, foi</p><p>penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada?</p><p>Nesse caso vamos contar os dias pelo calendário.</p><p>Junho: de 25 a 30 = 6 dias</p><p>Julho = 31 dias</p><p>Agosto = 8 dias</p><p>Portanto, o total é de 45 dias.</p><p>PV = 22.000,00 j = 1.650,00 n = 45</p><p>1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i</p><p>i = 1650,00/33.000,00 → i = 0,05 = 5% a.m.</p><p>Na HP-12C</p><p>Usar g 4, aparecerá então no visor, a direita a notação D.MY.</p><p>Para o cálculo do número de dias entre duas datas, basta digitar a primeira e depois a segunda e</p><p>usar g EEX.</p><p>As datas devem ser digitadas da seguinte maneira: o dia separado por ( . ), depois o mês e o ano</p><p>um seguido do outro.</p><p>24. 062011 enter 08.082011 g EEX = 45 dias</p><p>Obs: Se não tiver o ano deve-se colocar qualquer ano, porque o cálculo só é realizado com a data</p><p>completa.</p><p>5.2.4 Juro comercial e juro exato</p><p>A técnica que estamos empregando no cálculo de juros simples (1 ano = 360 dias) nos dá o</p><p>que denominamos juros simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo o uso do</p><p>número exato de dias do ano (1 ano = 365 dias ou 366, se o ano for bissexto). Neste caso, o</p><p>resultado é denominado juros simples exato.</p><p>16</p><p>5.2.5 Aplicação do juro simples</p><p>O mercado financeiro no Brasil trabalha quase sempre com juros compostos. Poucos são</p><p>os exemplos no mercado em que os juros simples são usados. Um exemplo é o cheque especial.</p><p>Quando utilizamos o cheque especial, a cada dia que a conta fica negativa é aplicada uma</p><p>taxa de juros sobre o saldo devedor, dessa forma são calculados os juros. Os juros totais que</p><p>incorrem neste mês são debitados na conta corrente no mês seguinte.</p><p>Vamos analisar um exemplo da movimentação de uma conta corrente ao longo do mês.</p><p>Exemplo 5.6: Maria é uma trabalhadora que frequentemente utiliza o cheque especial para</p><p>conseguir honrar os seus compromissos. Sabendo que o banco cobra 12% ao mês pela utilização</p><p>do cheque especial, calcule quanto Maria terá que pagar ao banco. A tabela a seguir mostra a</p><p>movimentação da conta corrente de Maria no mês de abril de 2022.</p><p>Data Valor Saldo D/C</p><p>Número de dias com</p><p>o respectivo saldo negativo</p><p>1/4/2022 R$ 1.500,00 R$ 1.600,00 C 0</p><p>5/4/2022 R$ 1.000,00 R$ 600,00 D 0</p><p>7/4/2022 R$ 700,00 (R$ 100,00) D 3</p><p>10/4/2022 R$ 100,00 (R$ 200,00) D 5</p><p>15/4/2022 R$ 50,00 (R$ 250,00) D 5</p><p>20/4/2022 R$ 60,00 (R$ 310,00) D 10</p><p>30/4/2022 R$ 1.500,00 R$ 1.190,00 C 0</p><p>Observe que o banco informa a taxa com período mensal. Todavia como o saldo muda a</p><p>cada dia, temos de encontrar a taxa ao dia. Como o mês de abril tem 30 dias, a taxa diária é</p><p>simplesmente a taxa mensal dividida por 30.</p><p>Assim:</p><p>𝑖𝑎𝑑 = 𝑖𝑎𝑚/30 então 12% ÷ 30 = 0,4% ao dia</p><p>O juro total pago é dado pela soma do juro de cada dia.</p><p>Observe que no dia 7 a conta ficou negativa; para o dia 8 o juro será o produto do saldo</p><p>devedor (R$ 100,00) pela taxa de juro ao dia (0,4%). Entretanto, esse saldo fica negativo em R$</p><p>100,00 por 3 dias; dessa forma, multiplicamos também o período de tempo. Fazendo o mesmo com</p><p>o restante do mês.</p><p>j = R$ 100,00 x 0,004 x 3 + R$ 200,00 x 0,004 x 5 + R$ 250,00x 0,004 x 5 + R$ 310,00 x 0,004 x 10</p><p>j = R$ 22,60</p><p>Consequentemente Marcelo terá que pagar ao banco R$ 22,60 no próximo mês.</p><p>17</p><p>5.2.6 Montante simples (M ou FV)</p><p>Montante de um capital é igual à soma deste capital com os juros por ele produzido.</p><p>ou</p><p>Como a equação de juros é: j = C.i.n, então o montante simples pode ser calculado pela</p><p>equação:</p><p>→</p><p>→</p><p>Exemplo 5.7: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses</p><p>a taxa de 72% a.a.. Qual o valor do resgate?</p><p>FV = ? FV = 20.000,00 x (1 + 0,72/12 x 3)</p><p>i = 72% a.a. FV = 20.000,00 x (1 + 0,06 x 3)</p><p>PV = 20.000,00 FV = 23.600,00</p><p>n = 3 meses O valor do resgate é R$ 23.600,00.</p><p>Exemplo 5.8: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias à taxa de 4% a.m., para</p><p>resgatar, no fim deste tempo, R$ 12.672,00?</p><p>i = 4% a.m. 12.672,00 = PV x (1 + 0,04 x 42/30)</p><p>n = 42 dias PV = 12672,00/ 1,056</p><p>FV = R$ 12.672,00 PV = 12.000,00</p><p>PV = ? O valor a ser aplicado é R$ 12.000,00.</p><p>Exemplo 5.9: Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556</p><p>dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu</p><p>objetivo?</p><p>FV = 29.997,88</p><p>PV = 23.000,00</p><p>n = 556 dias</p><p>i = ? (anual)</p><p>M = C + j</p><p>FV = PV (1+ i.n) FV = PV + PV.i.n</p><p>FV = PV . ( 1 + in)</p><p>29997,88 = 23000 . ( 1 + i . 556/360)</p><p>29997,88/23000 = 1 + i . 1,54444444</p><p>1,304255652 – 1 = 1,54444444i</p><p>0,304255652 = 1,54444444i</p><p>i = 0,304255652/ 1,5444444</p><p>i = 0,1970</p><p>i = 19,70% a.a.</p><p>A taxa de juros simples deverá ser 19,70% a.a..</p><p>FV = PV + j</p><p>M = C + C.i.n M = C (1+ i.n)</p><p>18</p><p>Exemplo 5.10: Um aparelho de telefone celular é vendido por R$ 980,00 à vista ou com uma</p><p>entrada de 25% e mais um pagamento de R$ 793,80 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juro</p><p>simples envolvida na operação?</p><p>Preço à vista = 980</p><p>FV = 793,80 n = 40 d</p><p>Entrada: 25% de 980 → entrada=0,25*980 → entrada=R$ 245</p><p>Ou</p><p>Saldo devedor: 75% de 980 → saldo devedor=0,75*980 → saldo devedor=R$ 735</p><p>PV = 980 – 245 j = 793,80 – 735</p><p>PV = 735 j = 58,80</p><p>58,80 = 735 . 40/30 . i</p><p>58,80 = 980i</p><p>i = 58,80/ 980</p><p>i = 0,06 i = 6%</p><p>A taxa de juro simples envolvida é 6% a.m..</p><p>Exercícios</p><p>1. Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 à taxa de 30% a.a. em 2</p><p>anos?</p><p>2. A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se obter um</p><p>juro de R$ 32.000,00 num período de 8 meses?</p><p>3. Um banco cobra uma taxa de 3,5% por dia de atraso no pagamento de seus boletos. Joaquim</p><p>pagou R$ 460,67 por um boleto, cujo valor nominal era de R$ 430,50. Por quantos dias de atraso a</p><p>multa foi calculada?</p><p>4. Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira de R$ 1.470,00, durante 95 dias,</p><p>à taxa de juros simples de 21% a.a..</p><p>5. Qual o valor do resgate de uma aplicação, sabendo-se que o investimento inicial foi de R$</p><p>32.500,00, o prazo de 135 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao mês?</p><p>6. Uma TV é vendida nas seguintes condições:</p><p>Preço à vista= R$ 1.800,00;</p><p>Condições a prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias.</p><p>Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.</p><p>7. Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de</p><p>26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para</p><p>obter o mesmo rendimento financeiro?</p><p>19</p><p>8. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$ 130,00 à vista, ou nas seguintes condições:</p><p>20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros</p><p>que está</p><p>sendo cobrada.</p><p>9. Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses e rende juros simples à taxa de 22% a.a.. Porém,</p><p>o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.</p><p>Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 4.000,00?</p><p>10. Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 1 ano e 4 meses, a uma taxa de juros</p><p>simples de 8% a.m.. Qual o valor do juro a ser pago?</p><p>11. Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que</p><p>o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00 após seis meses.</p><p>12. Uma mercadoria cujo o preço à vista é R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25% e, mais</p><p>um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros</p><p>simples cobrada no financiamento?</p><p>14. O preço à vista de um televisor é R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, com entrada, na</p><p>ocasião, de R$ 200,00 e outro em 30 dias, o preço sobe para R$ 530,00, qual é a taxa cobrada?</p><p>15. Um produto está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 70,00 à vista ou uma entrada de</p><p>40% e um cheque de R$ 48,00 para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros simples usada por este</p><p>estabelecimento?</p><p>16. Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou a prazo com R$ 300,00 de entrada mais</p><p>uma parcela de R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do</p><p>financiamento?</p><p>17. O saldo bancário de Marcelo ficou negativo por 7 dias. Nos 3 primeiros dias o saldo devedor foi</p><p>de R$ 200,00 e nos 4 dias seguintes foi de R$ 450,00. A tarifa do “cheque especial”, cobrada pelo</p><p>banco é de 1,5% ao dia. Calcule quanto Marcelo terá que pagar ao banco pelo uso do serviço.</p><p>18. Um título de R$ 5.200,00 vencido em 14/06 será pago em 17/06. Se o banco cobra uma taxa</p><p>de juros simples de 0,2% por dia de atraso, qual será o valor da multa a ser paga?</p><p>19. Num período de 13 meses, apliquei R$ 6.200,00 e obtive R$ 4.836,00 de juros simples.</p><p>Determine a taxa diária de juros dessa aplicação.</p><p>20. Qual é a opção de juros simples mais vantajosa: aplicar um capital a 45% a.a. ou aplicar, durante</p><p>o mesmo tempo, ¼ desse capital a 42% a.a. e o restante a 48% a.a.?</p><p>21. Qual o valor que devo aplicar a 15% a.a., para, no mesmo período, obter os mesmos juros</p><p>proporcionados pela importância de R$ 2.500,00, à taxa de 1% a.m.?</p><p>22. É mais vantajoso aplicar R$ 5.260,00 a 24% a.a. ou R$ 3.510,00 a 22% a.a. e o restante a 28%</p><p>a.a.?</p><p>20</p><p>Respostas</p><p>1. R$ 40.000,00 2. 60% a.a. 3. 2 dias</p><p>4. R$ 81,46 5. R$ 35.863,75 6. 3,65% a.m.</p><p>7. R$ 32.500,00 8. 2,79% a.m. 9. R$ 4.176,00</p><p>10. R$ 1.792,00 11. 60% a.a. 12. 5% a.m.</p><p>14. 10% a.m. 15. 10,204% a.m.</p><p>16. 3% a.m. 17. R$ 36,00 18. R$ 31,20</p><p>19. 0,2% a.d. 20. 2ª opção 21. R$ 2.000,00</p><p>22. 1ª opção</p><p>5.2.7 Taxa de juros média</p><p>Para se encontrar a taxa média de juros de mercado basta somar as taxas de juros de todas as</p><p>instituições e dividir pela quantidade de instituições.</p><p>Taxa de juros média ponderada</p><p>Exemplo 5.11: Os custos da universidade e da formação são muitas vezes pagos com empréstimos</p><p>estudantis ou pessoais. Muitas pessoas pensam que o pagamento desse empréstimo pode custar</p><p>caro. Muitas vezes, as instituições que emprestam o dinheiro consolidam os empréstimos à uma</p><p>taxa de juros única. Para descobrir o custo total do empréstimo consolidado, deve-se calcular a taxa</p><p>de juros média ponderada dos empréstimos feitos. Neste exemplo, vamos supor dois empréstimos,</p><p>um de R$ 15.000 e um de R$ 5.000, com taxas de juros de 7% e 6%, respectivamente. (obs: nesse</p><p>exemplo está sendo considerado o mesmo tempo nos dois empréstimos)</p><p>𝑖̅ =</p><p>15.000∗0,07+5.000∗0,06</p><p>15.000+5.000</p><p>→ 𝑖̅ =</p><p>1.050+300</p><p>20.000</p><p>→ 𝑖̅ = 0,0675</p><p>A taxa de juros média é 6,75%.</p><p>5.3. JUROS COMPOSTOS</p><p>5.3.1 Conceito</p><p>O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro e do cálculo</p><p>econômico. Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros. Isso ocorre</p><p>porque os juros incidem não apenas sobre o valor original, mas também sobre os juros que estão</p><p>acumulados.</p><p>Ou seja, a capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital</p><p>inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime de capitalização, o</p><p>valor dos juros cresce exponencialmente em função do tempo.</p><p>21</p><p>Esse conceito difere fundamentalmente do regime de juros simples, que não inclui no cálculo</p><p>dos juros do período as parcelas de juros vencidos e não pagos, pois nesse regime somente o</p><p>capital inicial aplicado (principal) é remunerado em cada período, logo, verificamos que a</p><p>capitalização é linear.</p><p>Considere o caso de um investidor que aplicou R$ 100.000,00 no Banco Beta, pelo prazo</p><p>de quatro meses, com uma taxa de juros de 1,00% a.m., no regime de juros compostos.</p><p>Calcule o valor do saldo credor desse investidor nesse banco, no final de cada um dos</p><p>quatros meses da operação, sabendo que os juros só́ serão pagos no final do quarto mês.</p><p>Regime de Capitalização Composta</p><p>Mês</p><p>Capital aplicado no</p><p>início do mês (R$)</p><p>Juros de cada período</p><p>(R$)</p><p>Saldo credor no final do</p><p>mês - Valor acumulado (R$)</p><p>1 10.000,00 1% de 10.000,00 = 100,00 10.100,00</p><p>2 10.100,00 1% de 10.100,00 = 101,00 10.201,00</p><p>3 10.201,00 1% de 10.201,00 = 102,10 10.303,01</p><p>4 10.303,01 1% de 10.303,01= 103,03 10.406,04</p><p>Utilizando as seguintes notações:</p><p>PV = capital inicial</p><p>FV = montante final</p><p>i = taxa unitária (sempre referente ao período da capitalização)</p><p>n = número de períodos de capitalização (ano, trimestre, mês, dia, etc.).</p><p>O cálculo do montante foi assim efetuado:</p><p>FV1 = 10.000,00 ( 1 + 0,01 x 1)</p><p>FV2 = 10.100,00 ( 1 + 0,01 x 1)</p><p>FV3 = 10.201,00 ( 1 + 0,01 x 1)</p><p>FV4 = 10.303,01 ( 1 + 0,01 x 1)</p><p>Substituindo os valores pelos símbolos, temos:</p><p>• montante ao final do 1º período</p><p>FV1= PV0 (1 + i)</p><p>• montante ao final do 2º período</p><p>FV2= PV0 (1 + i)²</p><p>• montante ao final do 3º período</p><p>FV3= PV0 (1 + i)³</p><p>• montante ao final do 4º período</p><p>FV4= PV0 (1 + i)4</p><p>• montante ao final do n-ésimo período</p><p>FVn= PV0 (1 + i)n</p><p>22</p><p>Na HP-12C</p><p>5000 CHS PV → 10 n → 3 i → FV</p><p>Na HP-12C</p><p>200000 CHS PV → 12 n → 5 i → FV</p><p>Portanto, a equação fundamental para o cálculo do Futuro Valor:</p><p>FV = PV(1 + i )𝒏</p><p>5.3.2 Cálculo do futuro valor</p><p>Exemplo 5.11: Uma pessoa toma emprestado R$ 5.000,00 a juros de 3% a.m., pelo prazo de 10</p><p>meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período?</p><p>PV = 5.000,00 i = 3% a.m.</p><p>n = 10 m FV = ?</p><p>FV = 5.000 . (1+i)n</p><p>FV = 5.000 . (1+0,03)10</p><p>FV = R$ 6.719,58</p><p>Exemplo 5.12: Um empréstimo de R$ 200.000,00 deverá ser pago no final de um ano à taxa de</p><p>5% a.m., num sistema de capitalização mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento?</p><p>PV = 200.000,00 i = 5% a.m.</p><p>n = 1 ano (como a taxa está em mês, passar o tempo também para mês)</p><p>FV = ?</p><p>FV = 200.000 . (1 + 0,05)12</p><p>FV = 200.000 . 1,79585636</p><p>FV = R$ 359.171,27</p><p>5.3.3 Cálculo do presente valor</p><p>( )ni 1</p><p>FV</p><p>PV</p><p>+</p><p>=</p><p>-n) i 1 ( FV PV +=</p><p>23</p><p>Na HP-12C</p><p>838426 CHS FV → 8 n → 12 i → PV</p><p>Na HP-12C</p><p>30000 CHS PV → 24 n → 506736,04 FV → i</p><p>Exemplo 5.13: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em</p><p>dois anos, em capitalização trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00?</p><p>FV = 838.426,00 i =12% a.t.</p><p>n= 2 anos (</p><p>24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>3</p><p>) = 8 trimestres</p><p>PV = ?</p><p>PV = 838.426 . (1 + 0,12)-8</p><p>→ PV = 838.426 . 0,403883 → PV = R$ 338.626,20</p><p>5.3.4 Cálculo da taxa</p><p>1</p><p>PV</p><p>FV</p><p>i</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>n</p><p>1</p><p>PV</p><p>FV</p><p>i −= n</p><p>Exemplo 5.14: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter um</p><p>montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensal?</p><p>PV = 30.000,00</p><p>FV = 506.736,04</p><p>n = 2 anos (passar para mês porque pede a taxa mensal) = 24 meses</p><p>i = ? mensal</p><p>1</p><p>30.000,00</p><p>506.736,04</p><p>i</p><p>24</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>i = 1,125 – 1</p><p>i = 0,125</p><p>A taxa é de 12,5% a.m.</p><p>24</p><p>Na HP-12C</p><p>2000 CHS PV → 4 n → 2207,63 FV → i</p><p>Na HP-12C</p><p>120000 CHS PV → 6 i → 287586,98 FV → n</p><p>Exemplo 5.15: A que taxa o capital de R$ 2.000,00 gera um juro de R$ 207,63, em 4 meses?</p><p>PV = 2.000,00 i = ?</p><p>j= 207,63 n= 4 m</p><p>FV = PV + j</p><p>FV = 2.207,63</p><p>1</p><p>2000</p><p>2207,63</p><p>i</p><p>4</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>i = 1,025 -1</p><p>i = 0,025 → A taxa é 2,5% a.m.</p><p>5.3.5 Cálculo do número de períodos financeiros</p><p>𝑛 =</p><p>log(FV/PV)</p><p>log(1 + 𝑖)</p><p>Exemplo 5.16: No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital de</p><p>R$ 120.000,00 à taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98?</p><p>PV = 120.000,00 FV = 287.586,98</p><p>i = 6% a.m. n = ?</p><p>( )06,01log</p><p>120.000,00</p><p>287.586,98</p><p>log</p><p>n</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= Após 15 meses.</p><p>25</p><p>Na HP-12C</p><p>4200 CHS PV → 12 i → 5268,48 FV → n</p><p>Exemplo 5.17: Durante quanto tempo o capital de R$ 4.200,00, à taxa de 12% a.s., produza juros</p><p>de R$ 1.068,48?</p><p>PV = 4.200,00 i = 12%a.s.</p><p>J= 1.068,48</p><p>n= ?</p><p>FV = PV + J</p><p>FV = 5.268,48 n = 2 semestres</p><p>5.3.6 Cálculo do futuro valor quando o número de períodos financeiros não for um número</p><p>inteiro</p><p>Na capitalização composta, muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um</p><p>número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário. Nesse</p><p>caso, na maioria das vezes admite-se dois sistemas de cálculo. Um através da convenção linear e</p><p>outro através da convenção exponencial.</p><p>q</p><p>p</p><p>m n +=</p><p>Onde m representa a parte inteira e</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>a parte fracionária.</p><p>Convenção linear</p><p>No cálculo da convenção linear calculamos a parte inteira com capitalização composta e,</p><p>para a parte fracionária, calculamos o juro simples sobre esse montante.</p><p>FV = PV ( 1 + i)𝑚 (1 + 𝑖 ×</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>)</p><p>Exemplo 5.18: Uma dívida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 1 a, 2 m e 17 d de atraso. Qual</p><p>deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção linear e a taxa é de</p><p>12% a.m.?</p><p>PV = 100.000,00 i = 12% a.m.</p><p>n= 437/30 = 14,56666666 meses FV = ?</p><p>m = 14 e p/q= 0,56666667</p><p>FV= 100.000,00 x (1+ 0,12)14 x ( 1 + 0,12 x 0,56666666)</p><p>FV = R$ 521.943,59</p><p>( )12,01log</p><p>4200,00</p><p>5268,48</p><p>log</p><p>n</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>26</p><p>Na HP-12C</p><p>Tirar o “C”</p><p>100000 CHS PV → 437 enter 30 ÷ n → 12 i → FV</p><p>Convenção Exponencial:</p><p>O cálculo da convenção exponencial baseia-se na fórmula fundamental, ou seja, o juro é</p><p>calculado através do juro composto inclusive no período fracionário.</p><p>Exemplo 5.19: Cálculo do exemplo anterior, através da convenção exponencial.</p><p>FV = PV (1 + i)𝑛</p><p>FV = 100.000,00 x (1 + 0,12) 14,56666666</p><p>FV= R$ 521.125,74</p><p>Colocar o “C” e calcular igual ao exemplo anterior.</p><p>Exercícios</p><p>1. Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros</p><p>compostos. Calcular o montante.</p><p>2. Qual será o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de 6% a.m.,</p><p>durante dois anos em capitalização mensal?</p><p>3. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 75% do seu valor, se aplicado a 6,25%</p><p>a.m.?</p><p>4. Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês. Qual foi o</p><p>valor do juro composto produzido?</p><p>5. O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto</p><p>de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação.</p><p>6. Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma</p><p>rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Suponha capitalização mensal.</p><p>7. Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 98.000,00 e comprometeu-se liquidá-lo no final de 8</p><p>meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que</p><p>a capitalização é mensal.</p><p>8. A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 36 meses?</p><p>9. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, à taxa</p><p>de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido?</p><p>27</p><p>10. Um capital foi depositado a juros compostos e, após 2 anos, triplicou de valor. Qual a taxa</p><p>mensal de juros compostos usada?</p><p>11. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25%</p><p>ao ano, em dois anos.</p><p>12. Uma certa pessoa concedeu um empréstimo de R$ 10.000,00 à taxa efetiva de 4,8% a.m.. Qual</p><p>o valor a ser cobrado na liquidação, um ano, três meses e seis dias após a realização do</p><p>empréstimo:</p><p>a) Calculado através da convenção linear.</p><p>b) Calculado através da convenção exponencial.</p><p>13. Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$</p><p>10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação?</p><p>14. Calcular o montante gerado a partir de uma aplicação de R$ 18.000,00 durante 2a 4m 8d, a</p><p>juros de 5% a.t., capitalizados trimestralmente:</p><p>a) pela convenção linear.</p><p>b) pela convenção exponencial.</p><p>15. Por quantos meses deve-se deixar um capital de R$ 260.000,00 investido, à taxa de</p><p>juro de 1,17% a.m. para se obter um saldo de R$ 300.000,00?</p><p>16. O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros à</p><p>taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois últimos à taxa de 5,3% a.m..</p><p>Qual o montante constituído no final de seis meses?</p><p>17. Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6%</p><p>ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?</p><p>18. Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano</p><p>nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos.</p><p>Determine o montante obtido.</p><p>19. Um capital de R$ 8.100,00 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% a.m.</p><p>durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos três seguintes meses e a 1,65% a.m. nos</p><p>próximos três meses. Calcule o total de juros apurado.</p><p>20. Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao</p><p>triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?</p><p>Respostas</p><p>1. R$ 2.644,79 2. R$ 20.244,67 3. 10 meses</p><p>4. R$ 1.384,88 5. 1,5 % a.m. 6. R$ 31.447,16</p><p>7. 6,2% a.m. 8. 12,25% a.s. 9. R$ 3.345,80</p><p>10. 4,68% a.m. 11. R$ 56.250,00 12. R$ 20.397,11 e</p><p>R$ 20.393,49 13. 16 meses 14. a) R$ 28.513,41</p><p>b) R$ 28.505,11 15. 13 meses 16. R$ 66.876,12</p><p>17. 14 meses 19. R$ 1.931,53</p><p>20. 44,22% a.t.</p><p>28</p><p>j = PV. i . n</p><p>Observação: Avaliações de fluxos de caixa de toda e qualquer operação financeira e estudos de</p><p>viabilidade econômica de projetos só devem ser feitos no regime de juros compostos.</p><p>6. DESCONTO SIMPLES</p><p>Desconto é o abatimento concedido sobre o valor de um título de crédito em virtude de seu</p><p>resgate ou negociação antecipada. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas</p><p>operações de capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.</p><p>O valor do desconto nada mais é a diferença entre o valor de resgate do título e o valor</p><p>recebido pelo seu possuidor antes do seu vencimento.</p><p>Dentre os títulos de crédito reconhecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, destacamos</p><p>alguns:</p><p>• Nota promissória: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa declarando-se</p><p>devedora de certa quantia a outra pessoa, compromete-se a pagá-la em certa data,</p><p>combinada entre as partes.</p><p>• Duplicata: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa se declara devedora de</p><p>certa quantia à outra, relativa à compra de mercadorias. A duplicata corresponde a uma</p><p>cópia da fatura de compra.</p><p>Elementos básicos:</p><p>• Valor nominal ( N ): valor do título a ser pago no dia do vencimento.</p><p>• Valor atual ( A ): é o valor pelo qual o título foi adquirido.</p><p>• Comissões (com )</p><p>• Despesas ( desp )</p><p>• Imposto sobre Operações Financeiras ( IOF )</p><p>• Taxa de desconto ( ia ): taxa unitária de desconto</p><p>• Valor líquido ( VL )</p><p>• Tempo ( t ): tempo de antecipação → período compreendido entre o dia em que se negocia o</p><p>título e seu vencimento</p><p>• Desconto ( d ) : Valor que será abatido no título</p><p>Quando se fala em desconto simples, temos duas modalidades de desconto a considerar:</p><p>a) o racional ou por dentro.</p><p>b) o comercial ou bancário ou por fora.</p><p>6.1 DESCONTO SIMPLES RACIONAL (ou “por dentro”)</p><p>6.1.1 Conceito</p><p>Desconto simples racional é igual ao valor do juro simples calculado sobre o valor atual</p><p>racional de um título, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimento deste.</p><p>dr = Ar . i . t</p><p>29</p><p>6.1.2 Valor Atual Racional</p><p>Chama-se de valor atual racional de um título de valor nominal (N), vencível no final de um</p><p>certo tempo ( t ), ao capital ( Ar ) que aplicado a juro simples, durante o tempo ( t ) produza um</p><p>montante igual ao valor nominal do título (N).</p><p>𝐴𝑟 =</p><p>𝑁</p><p>1+𝑖𝑡</p><p>ou 𝑃𝑉 =</p><p>𝐹𝑉</p><p>1+𝑖𝑛</p><p>Exemplo 6.1: Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível no final de 60 dias,</p><p>sendo 10% a.m. a taxa de juros simples?</p><p>N = 120.000,00 i = 10% a.m.</p><p>t = 60 dias Ar= ?</p><p>𝐴𝑟 =</p><p>120000</p><p>1+0,1×</p><p>60</p><p>30</p><p>→ 𝐴𝑟 =</p><p>120000</p><p>1+0,2</p><p>→ =rA 100.000,00</p><p>O valor atual é R$ 100.000,00.</p><p>6.1.3 Equação para cálculo do desconto racional em relação ao valor nominal</p><p>Como</p><p>dr = N - Ar e 𝐴𝑟 =</p><p>𝑁</p><p>1+𝑖𝑡</p><p>Logo:</p><p>𝑑𝑟 =</p><p>𝑁𝑖𝑡</p><p>1+𝑖𝑡</p><p>ou 𝑗 =</p><p>𝐹𝑉.𝑖.𝑛</p><p>1+𝑖𝑛</p><p>Exemplo 6.2: Qual o desconto racional de um título de R$ 150.000,00 vencível no final de 45 dias,</p><p>sendo 5% a.m. a taxa de juros simples?</p><p>N = 150.000,00 i = 5% a.m.</p><p>t = 45 dias Ar= ?</p><p>30</p><p>45</p><p>05,01</p><p>150000</p><p>+</p><p>=rA dr = N - Ar</p><p>𝐴𝑟 =</p><p>150000</p><p>1+0,075</p><p>→ =rA R$ 139.534,88 → dr = 150000 – 139534,88 → dr =10.465,12</p><p>O desconto é de R$ 10.465,12.</p><p>30</p><p>Exemplo 6.3 Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00, vencível em um ano, que está sendo</p><p>liquidado 3 meses antes do seu vencimento.</p><p>Sendo de 42% a.a. a taxa de juros simples, qual o valor do desconto racional e o valor descontado</p><p>dessa operação?</p><p>A N = 4.000</p><p>0 9 m 12 m</p><p>N = 4.000,00 i = 42% a.a.</p><p>t = 3 meses = 3/12 ano dr = ? Ar = ?</p><p>𝑑𝑟 =</p><p>4.000 𝑥 0,42 𝑥 3/12</p><p>1+0,42 𝑥 3/12</p><p>→ dr = R$ 380,09 → Ar = 4.000 – 380,09 → Ar = R$ 3.619,91</p><p>O valor do desconto é R$ 380,09 e o valor descontado é R$ 3.619,91.</p><p>Exercícios</p><p>1. Um título de R$ 320.000,00 foi negociado racionalmente 75 dias antes do seu vencimento a uma</p><p>taxa de 11,2% a.m.. Qual o desconto sofrido?</p><p>2. Qual o desconto racional sofrido por um título de valor R$ 24.000,00 vencível no final de 4 meses,</p><p>sendo 5% a.m. a taxa de desconto?</p><p>3. Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento,</p><p>tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago</p><p>pelo título?</p><p>4. Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 7.560,00, vence em 6 meses e 15 dias. Calcular o</p><p>valor atual, deste título, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro.</p><p>5. Calcular o desconto por dentro sobre um título de R$ 3.225,00 vencível no final de 75 dias e</p><p>negociado à taxa utilizada na operação é de 36% a.a..</p><p>6. Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento,</p><p>tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago</p><p>pelo título?</p><p>Respostas</p><p>1. R$ 70.000,00 2. R$ 4.000,00 3. R$ 2.740,00</p><p>4. R$ 6.000,00 5. R$ 225,00 6. R$ 50.000,00</p><p>31</p><p>6.2 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL (ou “por fora”)</p><p>6.2.1 Conceito</p><p>O desconto simples comercial ou “por fora” é aquele onde a taxa de desconto incide sobre</p><p>o montante ou o valor futuro. É utilizado principalmente nas operações de desconto de duplicatas,</p><p>de cheques pré-datados e notas promissórias realizadas pelos bancos.</p><p>6.2.2 Equação de desconto comercial simples</p><p>d = N.i.t</p><p>Exemplo 6.4: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu</p><p>vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto.</p><p>N = 280.000 t = 39 dias</p><p>i = 6% a.m. d = ?</p><p>d = 280000,00 x 0,06 x (39/30) → d = 21.840,00</p><p>O valor do desconto é de R$ 21.840,00.</p><p>6.2.3 Valor Atual Comercial</p><p>É a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido.</p><p>A = N – d ou A = N (1 – i . t)</p><p>Onde:</p><p>A = é valor líquido, já abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente;</p><p>d = desconto simples comercial</p><p>ia = taxa de desconto</p><p>t= tempo de antecipação</p><p>Exemplo 6.5: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu</p><p>vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m. Calcular o valor atual.</p><p>N =280.000 i = 6% a.m.</p><p>t = 39 dias d= ?</p><p>A = 280.000 x (1- 0,06 x 39/30)</p><p>A = 280.000 x ( 1 – 0,078)</p><p>A = 280.000 x 0,922 → A = R$ 258.160,00</p><p>Ou</p><p>A = N - d → d = 280.000 x 0,06 x 39/30 → d = 21.840</p><p>A = 280.000 – 21.840 → A = R$ 258.160,00</p><p>32</p><p>6.2.4 Valor Líquido</p><p>Sempre que houver cobrança de comissões ou taxas, o valor líquido é igual ao valor atual</p><p>diminuído da comissão.</p><p>VL = A – com.</p><p>ou</p><p>VL = N – ( d + com. + desp. + IOF )</p><p>Exemplo 6.6: Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes do seu</p><p>vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m..</p><p>Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor líquido</p><p>recebido pelo portador?</p><p>N = 240.000 t = 27 dias</p><p>i = 7% a.m. d = ?</p><p>desconto: d = 240000 x 0,07 x 27/30 → d= R$ 15.120,00</p><p>comissão: 0,5% sobre o valor nominal → com = 0,005*240.000 → com. = 1.200</p><p>valor líquido: VL = 240.000 – (15.120 + 1.200) = 223.680,00</p><p>O valor líquido recebido é R$ 223.680,00.</p><p>Exemplo 6.7: Uma empresa desconta 5 títulos no valor total de R$ 18.000,00 vencíveis em 36 dias,</p><p>num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o banco cobra</p><p>uma comissão antecipada de 0,5 % sobre o valor nominal dos títulos, mais despesas para cobrança</p><p>no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobre operações financeiras) que é de 0,123%</p><p>a.m., qual o valor líquido creditado na conta da empresa?</p><p>N = 18.000 t = 36 dias</p><p>i = 4,5% a.m. VL = ?</p><p>d = 18000 x 0,045 x 36/30</p><p>d = 972,00</p><p>Com = 0,5% sobre o valor nominal → 0,005 x 18.000 → com = 90,00</p><p>IOF = 0,123% a.m. →</p><p>IOF = 0,00123 x 18.000 x 36/30 → IOF = 26,57</p><p>Despesas de cobrança = R$ 4,00 por título → desp. de cobr. = 4 x 5 = 20,00</p><p>VL = 18000 – (972 + 90 + 20 + 26,57) → VL = R$ 16.891,43</p><p>O valor líquido creditado é R$ 16.891,43.</p><p>Obs: Quando não houver cobrança de comissões ou taxas o valor líquido é igual ao valor</p><p>atual.</p><p>33</p><p>6.2.5 Taxa efetiva de juro numa operação de desconto simples bancário</p><p>Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em conta o valor</p><p>nominal dos títulos, o prazo médio destes títulos e o valor líquido recebido pelo portador.</p><p>É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gera no</p><p>período considerado um montante igual ao valor nominal.</p><p>Para calcular a taxa efetiva de juro do período do desconto de títulos com vencimento para</p><p>t dias, basta efetuar a divisão entre o valor nominal e o valor líquido diminuindo de 1, ou seja,</p><p>calcular a diferença percentual entre o valor líquido e o valor nominal.</p><p>Seu cálculo pode ser realizado utilizando a equação:</p><p>𝑖𝑓 =</p><p>𝑁</p><p>𝑉𝐿</p><p>− 1</p><p>Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual são utilizados tanto para</p><p>juro comercial, quanto bancário.</p><p>Exemplo 6.8: Uma empresa desconta um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento,</p><p>num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela</p><p>empresa nesta operação?</p><p>N = 20.000 i = 6% a.m.</p><p>t = 39 dias A = ?</p><p>A = 20.000 x (1- 0,06 x 39/30) → A = R$ 18.440,00 (o valor líquido é igual ao valor atual)</p><p>if = (20.000/18.440) -1 → if = 1,0846 – 1 → if = 0,0846 a.p.</p><p>A taxa efetiva é de 8,46% a.p..</p><p>Exemplo 6.9: Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento por</p><p>R$ 6.072,00. Qual a taxa efetiva mensal de juros?</p><p>N = 6.900 A = 6.072</p><p>n = 3 meses if = ?</p><p>if = 6900/6072 – 1</p><p>if = 1,13636 -1</p><p>if = 0,13636</p><p>if= 13,64% no período de 3 meses.</p><p>13,64% corresponde a 3 meses → 13,64% / 3 = 4,55% a.m.</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Ao descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto de R$</p><p>1.200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de desconto utilizada foi de 4% a.m.?</p><p>2. Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pré-datados para</p><p>serem descontados à taxa de desconto de 2,8% a.m.</p><p>34</p><p>Cheque Valor Prazo de antecipação</p><p>A R$ 500,00 2 meses</p><p>B R$ 1.500,00 1 mês</p><p>C R$ 2.000,00 45 dias</p><p>Determinar o valor líquido recebido pela empresa.</p><p>3. Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14.000,00, dois meses antes do</p><p>vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m..</p><p>a) Qual o valor do desconto?</p><p>b) Qual o valor descontado recebido pela empresa?</p><p>c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco?</p><p>4. Um título de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento. Sabendo-</p><p>se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto?</p><p>5. Uma empresa desconta três títulos no valor nominal total de R$ 8.000,00, 36 dias antes de seus</p><p>vencimentos, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabe-se que para</p><p>operações de desconto o banco cobra 0,0041% ao dia para IOF mais R$ 4,00 por título descontado.</p><p>Com base nestes dados determine:</p><p>a) O valor do desconto.</p><p>b) O valor das despesas administrativas.</p><p>c) O valor do IOF.</p><p>d) O valor líquido total dos títulos.</p><p>e) A taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco.</p><p>6. Um título no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00, faltando 95 dias para o</p><p>seu vencimento. Qual a taxa de juro semestral utilizada?</p><p>7. Uma nota promissória foi descontada por R$ 25.000,00 no dia 10/10/08, à taxa de desconto de</p><p>2,5% a.m.. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 2.932,96, qual a data do vencimento da nota</p><p>promissória e qual o seu valor?</p><p>8. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de nominal é de</p><p>$ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00?</p><p>9. Um título de R$ 13.600,00 sofreu desconto simples comercial 47 dias antes do seu vencimento,</p><p>a uma taxa de desconto de 3,8%a.m.. Qual foi o valor pago?</p><p>10. Uma empresa possui um título cujo o valor é de R$ 13.550,00 com vencimento daqui 350 dias.</p><p>Quantos dias antes do vencimento deve descontá-lo, à taxa comercial de 60% a.a., para que possa</p><p>adquirir uma mercadoria no valor de R$ 10.840,00?</p><p>11. Uma empresa desconta uma duplicata de R$ 9.350,00 com vencimento a 7 meses. Se a taxa</p><p>de desconto simples for de 36% a.a. e a taxa de serviço bancário for 1,5% sobre o valor nominal do</p><p>título, qual será o valor líquido recebido e a taxa efetiva de juros paga pela empresa?</p><p>12. Um título a vencer no dia 25/10/2018 foi descontado no dia 30/08/2018. Se o desconto comercial</p><p>simples foi de R$ 2.740,00 e a taxa de 57% a.a. Qual seria o valor nominal?</p><p>35</p><p>d = N - N (1+i)-n</p><p>d = N.[ 1 - (1+i)-n]</p><p>Respostas</p><p>1) R$ 20.000 2) R$ 3.846,00 3) a) R$ 980,00 b) R$ 13.020,00</p><p>3-c) 3,76% a.m. 4) R$ 420,00 5) a) R$ 432,00 b) R$ 12,00</p><p>5) c) R$ 11,81 5) d) R$ 7.544,19 5) e) 6,04% a.p. → 5,03% a.m.</p><p>6) 18,35% a.s. 7) 13 de fevereiro, R$ 27.932,96</p><p>8) 3% a.m. 9) R$ 12.790,35 10) 120 dias</p><p>11) R$ 7.246,25 e 29,03% a.p. 12) R$ 30.902,26</p><p>7. DESCONTO COMPOSTO</p><p>O conceito de desconto é o mesmo que no regime a juros simples: abatimento ao antecipar</p><p>o pagamento de um vencimento. Existem as duas modalidades de desconto composto, o racional</p><p>e o comercial.</p><p>Ao contrário do desconto simples, que o mais utilizado é o comercial, no desconto compostos</p><p>o mais utilizado é o racional. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto racional.</p><p>O desconto composto por dentro nada mais é do que um caso particular de juros compostos</p><p>quando são conhecidos o montante, o prazo e a taxa de juros e se quer obter o capital inicial e o</p><p>valor dos juros pagos.</p><p>A = N (1+i)-n ou PV = FV (1+i)-n</p><p>d = N - A ou j = FV - PV</p><p>A = valor atual racional ou valor descontado racional → valor líquido pago ou recebido antes do</p><p>vencimento</p><p>N = valor nominal do título → valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento)</p><p>i = taxa de desconto</p><p>n = tempo → período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento (Obs.:</p><p>inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último)</p><p>d = desconto racional composto</p><p>Exemplo 7.1: Determine o valor atual de um título de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de seu</p><p>vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês.</p><p>N = 80.000,00 i = 2% a.m. n = 4 meses A = ?</p><p>A = N (1+i)-n</p><p>A = 80000 (1+0,02)-4</p><p>A= 73.907,63</p><p>O valor atual do título é de R$ 73.907,63</p><p>36</p><p>Na HP-12C</p><p>80000 CHS FV → 2 i → 4 n → PV</p><p>Na HP-12C</p><p>50000 CHS FV → 2,5 i → 3 n → PV → 50000 enter 46429,97 ─</p><p>Na HP-12C</p><p>10000 CHS PV → 1,2 i → 13314,73 FV → n</p><p>Na HP-12C</p><p>64000 CHS PV → 117 enter 30 ÷ n → 79600 FV → i</p><p>Exemplo 7.2: Qual o desconto composto que um título de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3</p><p>meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês?</p><p>d =? N = 50.000</p><p>n = 3 meses i = 2,5% a.m.</p><p>Como d = N – A,</p><p>A = N (1+i)-n d = 50.000 - 46.429,97</p><p>A = 50000 (1+0,025)-3 d = 3.570,03</p><p>A = 46.429,97</p><p>O valor do desconto é de R$ 3.570,03</p><p>Exemplo 7.3: Um título de R$ 13.314,73 foi resgatado</p><p>por R$ 10.000,00, antes do vencimento a</p><p>uma taxa de 1,2% a.m. Quanto tempo de antecipação teve esse título?</p><p>N = 13.314,73 A = 10.000,00</p><p>i = 1,2%a.m. n = ?</p><p>𝑛 =</p><p>log(FV/PV)</p><p>log(1+𝑖)</p><p>→ n =</p><p>𝑙𝑜𝑔(</p><p>13314,73</p><p>10000</p><p>)</p><p>𝑙𝑜𝑔 (1+0,012)</p><p>→ n = 24 meses</p><p>Exemplo 7.4: Um título R$ 79.600,00 foi antecipado em 117 dias. Qual a taxa mensal de juros</p><p>compostos cobrada se valor atual é de R$ 64.000,00?</p><p>N = 79600,00 A = 64000</p><p>n = 117 dias/30 = 3,9 meses i = ?</p><p>1</p><p>PV</p><p>FV</p><p>i</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>n</p><p>→ 𝑖 = (</p><p>79600</p><p>64000</p><p>)</p><p>1</p><p>3,9</p><p>− 1 → 𝑖 = 5,75% a.m.</p><p>37</p><p>Exercícios propostos</p><p>1. Qual o valor atual de um título de R$ 10.000 vencível no final de 6 meses, sendo 7% a.m. a taxa</p><p>de juro?</p><p>2. Um título de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento,</p><p>tendo sido contratado à taxa de 2,5% a.m.. Qual foi o desconto concedido?</p><p>3. Um título é descontado 5 meses antes do seu vencimento, pelo valor de R$ 64.220,00, a uma</p><p>taxa de juros de 4,88% a.m. Qual o seu valor nominal?</p><p>4. Por um título de R$ 1.000.000,00 paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipação desse</p><p>título, se o desconto composto deu-se a 2% a.m.?</p><p>5. Ao descontar uma Nota Promissória no valor de R$ 15.000,00 no vencimento, a financeira</p><p>informou que sua taxa era de 45% ao ano. Se o desconto fosse efetuado 5 meses antes do</p><p>vencimento, qual seria o valor de resgate recebido pelo possuidor do título?</p><p>6. Uma indústria obteve um empréstimo para ser quitado em um único pagamento de R$</p><p>2.000.000,00 após 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual foi o desconto</p><p>racional a que fez jus se a taxa adotada na operação foi de 5% a.m.?</p><p>7. Um título de R$ 8.756,91 foi resgatado por R$ 8.500,00, antes do vencimento a uma taxa de 1,5%</p><p>a.m. Qual foi o tempo de antecipação desse título?</p><p>8. Um título de R$ 120.000,00 foi antecipado em seis meses e a pessoa recebeu R$ 51.879,31.</p><p>Qual a taxa usada nessa transação?</p><p>9. Uma nota promissória de R$ 200.000,00 foi descontada por R$ 114.036,18, no regime de</p><p>desconto composto a uma taxa de 3,8% a.m. Determine o prazo de antecipação, em bimestres.</p><p>10. Foi paga uma dívida 6 bimestres antes do vencimento, onde se reduziu para R$ 5.690,27 com</p><p>uma taxa de 4% a.b.. Sabendo-se que o regime adotado foi o de desconto composto, qual o valor</p><p>da dívida?</p><p>11. Um título de valor nominal R$ 42.045,00 foi resgatado 6 meses antes de seu vencimento por</p><p>R$ 36.991,00. Nas mesmas condições de taxa de juro e prazo de vencimento, por quanto será</p><p>resgatado um título de valor nominal R$ 18.871,00?</p><p>12. Um título de valor nominal de R$ 48.860,00 foi resgatado 8 meses antes do seu vencimento,</p><p>tendo sido contratada a taxa de 2,45% ao mês. Qual foi o desconto concedido?</p><p>Respostas</p><p>1. R$ 6.663,42 2. R$ 10.710,09 3. R$ 81.495,51</p><p>4. 6 meses 5. R$ 12.848,56 6. R$ 185.941,04</p><p>7. 2 meses 8. 15% a.m. 9. 7,5 b. (ou 8 b.)</p><p>10. R$ 7.200,00 11. R$ 16.602,62 12. R$ 8.601,48</p><p>38</p><p>8. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS</p><p>O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento em outras</p><p>formas equivalentes, para poder compará-las e decidir sobre a melhor alternativa.</p><p>Dois capitais são equivalentes se, em uma mesma data n, seus valores são iguais.</p><p>8.1 Data focal</p><p>Data focal é a data única na qual se calculam os valores dos capitais de diferentes datas,</p><p>com o objetivo de avaliação. A data focal é conhecida também como “data de avaliação” e pode ser</p><p>determinada para qualquer data entre a data 0 e a data n. Se o capital é de uma data anterior à</p><p>data focal, deve ser capitalizado até a data focal por meio da fórmula do valor futuro (montante). Se</p><p>o capital pertencer a uma data posterior à data focal, deve ser descontado para a data focal por</p><p>meio da fórmula do valor presente (capital). Veja na figura a seguir.</p><p>Exemplo 8.1: Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com</p><p>vencimento daqui a 2 meses, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal</p><p>do novo título, sabendo-se que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta</p><p>De 9% a.m. e o critério do desconto racional?</p><p>FV = PV . (1 + i)n</p><p>FV = 85.000 . (1 + 0,09)3</p><p>FV = 85.000 . (1,09)3</p><p>FV = R$ 110.077,47</p><p>39</p><p>Exemplo 8.2: Uma empresa devedora de um título de R$ 15.000,00 vencível no final de 6 meses,</p><p>propõe a substituição deste título por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final</p><p>de 2 e 4 meses respectivamente. Se transação é realizada a taxa de 12% a.a. em capitalização</p><p>mensal, qual o valor dos novos títulos?</p><p>N1 = 15.000,00 N2 = N N3 = N</p><p>n1= 6 meses n2 = 2 meses n3 = 4 meses</p><p>A1 = A2 + A3</p><p>15000 . (1 + 0,01)-6 = N . (1 + 0,01)-2 + N . (1 + 0,01)-4</p><p>14.130,68 = 0,980296N + 0,96098N</p><p>14.130,68 = 1,941276N</p><p>N = 14130,68 / 1,941276</p><p>N = R$ 7.279,07</p><p>Exemplo 8.3: Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado</p><p>por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de</p><p>3% a.m., qual o valor nominal do novo título?</p><p>N1 = 7.000,00 N2 = N</p><p>n1= 5 meses n2 = 3 meses</p><p>A1 = A2</p><p>7000 . (1 + 0,03)-5 = N x ( 1 + 0,03)-3</p><p>6038,26 = 0,915142N</p><p>N = 6038,26 / 0,915142</p><p>N = R$ 6.598,17</p><p>Exemplo 8.4: Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias, e outra de R$</p><p>9.000,00, vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias.</p><p>Qual o valor desse resgate, no regime de juros compostos, à taxa de 3% a.m.?</p><p>N1 = 4.000,00 N2 = 9.000,00 N3 = N</p><p>n1= 4 meses n2 = 6 meses n3 = 3 meses</p><p>A1 + A2 = A3</p><p>4000 . (1 + 0,03)-4 + 9000 . (1 + 0,03)-6 = N . (1 + 0,03)-3</p><p>3553,95 + 7537,36 = 0,915142N</p><p>11091,31 = 0,915142N</p><p>N = 11091,31/ 0,915142</p><p>N = R$ 12.119,77</p><p>Exercícios propostos</p><p>1. Uma nota promissória, cujo valor nominal é R$ 50.000 vence daqui a um mês. O devedor propõe</p><p>a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor nominal da</p><p>nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% ao mês?</p><p>40</p><p>2. Dois títulos, um de R$ 6.000,00 para 6 meses e outro de R$ 20.000,00 para 1 ano, são trocados</p><p>por um único, vencendo em 9 meses. Se for adotada a taxa de desconto de 3% a.m., qual deverá</p><p>ser o valor desse novo título?</p><p>3. Uma empresa devedora de R$ 221.490,00 com vencimento para 2 meses, deseja liquidar essa</p><p>dívida em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje e o segundo em 1 mês. Quais os valores</p><p>desses pagamentos, considerando a taxa de 7% a.m.?</p><p>4. Certa pessoa devia dois títulos a um banco: o primeiro de R$ 5.000,00 e o segundo, 6 meses</p><p>após o primeiro de R$ 7.000,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, propôs adiamento de</p><p>sua dívida da seguinte maneira: pagamento de R$ 8.000,00 daí a 3 meses e o saldo em 9 meses.</p><p>Se a taxa de juros considerada foi de 5% a.m., qual é o saldo restante?</p><p>5. Uma empresa deve para um banco R$ 124.000,00 com vencimento para hoje. Não podendo</p><p>efetuar esse pagamento, propõe a troca do título por outros dois, sendo o primeiro de R$ 73.500,00,</p><p>com vencimento para 30 dias, e o saldo restante, para 60 dias. Qual o valor desse saldo restante,</p><p>se o banco em questão opera com uma taxa de 5% a.m., pelo critério de desconto racional</p><p>composto?</p><p>6. Um dívida é resultante de 3 títulos: o primeiro, vencendo em 4 meses, no valor de R$ 1.000,00;</p><p>o segundo, vencendo em 8 meses, no valor R$ 1.500,00 e o terceiro, em 1</p>