MATEMTICA_FINANCEIRA_ATUALIZADO

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Matemática Financeira
Aula 2
Luana
Juros
Compreende-se por juros a remuneração obtida (valor pago) ao capital
acordado entre as partes por um determinado intervalo de tempo em
uma operação financeira. Assim, juros que pode ser de natureza simples
ou composta, tem como taxa a razão entre os juros e o capital
i =
𝑱
𝑪
Sendo que cada taxa de juros deverá ser anexado ao período a que ela se
refere.
1. Um individuo tomou emprestado R$ 100.000,00 num determinado
banco e pagou R$ 140.000,00 após um ano. Pergunta-se:
a) Quanto reais foi o juros pago?
b) Qual foi a taxa de juros paga?
2. Suponha um investimento de LCA no valor de R$ 18000,00. Após
quatro meses resgatou-se a quantia de R$ 21453,00. Determine a taxa de
juros mensal cobrada pela instituição.
As taxas de juros podem ser representadas de duas formas:
❑Forma unitária: a taxa se refere à unidade do capital
✓0,05 ao mês significa que a cada R$ 1,00 de capital aplicado rende 0,05 de juros por mês
❑Forma percentual: representam os rendimentos de 100 unidades de capital
durante o período de tempo referido pela taxa
✓ 10% ao ano significa que a cada R$ 100,00 de capital aplicado rende 10,00 por ano.
Lucro
Nas mais deferentes transações comercias há a possibilidade de se obter
lucro. Isso ocorre quando do valor de venda é maior que o valor de
custo (ou de compra). Assim, podemos expressar o lucro por:
L = V – C
Sendo;
L→ lucro
V→ venda
C → custo
2. Uma Smart TV 50” 4k com wi fi blutooth foi comprada por 2754,05
reais numa determinada promoção. Essa mesma Smart TV foi vendida
por 4999,00 reais. Determine:
a) Quanto foi o lucro?
b) Qual a taxa percentual de lucro em relação ao valor de custo?
3. Uma determinada mercadoria foi vendido a R$ 600,00 com uma taxa
percentual de lucro de 25% sobre o valor da venda. Calcule o valor de
custo dessa mercadoria.
Expressão matemática para o calculo de juros 
simples
O valor de juros simples incidem unicamente sobre o capital e geram
rentabilidade ou custo que são diretamente proporcionais ao capital e ao
prazo da operação. Assim, o valor dos juros é dado pela expressão:
J = C.i.t
Onde;
J → juros
C→ capital
t → tempo do período de aplicação
1. Qual o juros pago em um empréstimo de R$ 2000,00 aplicado por 
dois anos a uma taxa de 5% ao ano?
2. Calcule os juros simples referente ao empréstimo realizado no valor 
de R$ 8000,00 reais, a uma determina taxa de 3% ao mês durante 4 
meses.
3. Qual o juros pago em um empréstimo de R$ 1000,00 aplicado por 
dois anos a uma taxa de 5% ao ano.
Cálculo do montante
Considerando que o montante é a soma do capital com os juros, temos:
M = C + J
4. Determine o montante ao fim de 5 meses, correspondente a uma
aplicação no valor de 6000,00 a uma taxa de 4% ao mês, no regime de
juros simples.
5. Qual o valor que se deve aplicar se obter o montante de R$ 8000,00
daqui a 6 meses, à taxa de juros de 4% ao mês no regime de juros
simples?
Juros comerciais e juros exatos
✓Juros comerciais são aqueles obtidos quando se considera um ano com
360 dias e o mês 30 dias;
✓Juros exatos são aqueles obtidos quando se considera com um ano
com 365 ou 366 dias.
6. Um capital de R$ 20000,00 esteve aplicado durante 45 dias à uma
taxa de juros simples de 30% ao ano. Determine os juros comercias e os
juros exatos da aplicação.
Regimes de capitalização
Existem dois tipos de capitalização, simples e composta. Por
capitalização simples é aquela que os rendimentos são divididos única e
exclusivamente sobre o capital ao logo dos períodos financeiros a que se
refere a taxa de juros. Desta forma, os juros são iguais em cada período.
É também chamado de juros simples.
7. Um investidor aplica R$ 1000,00 por um período de prazo de 4 meses
a uma taxa mensal de 10%. Encontre o saldo final de cada período
usando o regime de capitalização simples.
AULA 2
Conversão de taxa e tempo
Para resolvermos situações de juros simples e compostos é necessário 
que tempo e taxa estejam em unidades correspondentes.
Possíveis situações;
• Taxa mensal, mas o tempo é dado em anos: 5% ao mês e 2 anos
• Taxa semestral, mas o tempo é dado em meses: 1% ao semestre e 5 meses
• Taxa anual, mas o tempo é dado em trimestre: 2% ao ano e 2 trimestres
✓ Converter o período de 8 meses para ano
✓ Converter o período de 4 meses para ano
✓ Converter o período de 18 meses para o trimestre
✓ Converter o período de 9 meses para o semestre
❑ Converter a taxa de 18% a.m. para a taxa anual (multiplica a taxa por 12)
❑ Converter a taxa de 16% a.m. para a taxa anual (multiplica a taxa por 12)
❑ Converter a taxa de 12% a.a. para a taxa mensal (divide a taxa por 12)
❑ Converter a taxa de 27% a.a para a taxa trimestral (divide a taxa por 4)
1 ano 
2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
3 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
6 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
8. Um produto á vista é igual a R$ 960,00 pode ser adquirido com
entrada de 20% mais um pagamento para 35 dias. Se o vendedor cobra
juros simples de 7% ao mês, qual o valor do pagamento devido?
Taxas proporcionais:
Duas taxas de juros são proporcionais quando seus valores e os períodos a que elas
se referem estão na mesma razão. Geram um mesmo montante quando utilizamos
capitalização simples.
✓ 24% ao ano é proporcional a taxa de 2% ao mês 
✓ 20% ao ano = 
20
12
=
5
3
= 5% 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
Na capitalização simples dizemos que taxas proporcionais são equivalentes
8. Qual a taxa proporcional ao ano de uma taxa de 5% ao bimestre?
9. Calcule o montante de uma aplicação de 5000,00 pelo prazo de 6 
meses utilizando as taxas proporcionais de 20% ao ano e 5% a.t 
respectivamente. 
Capitalização composta
Dizemos que um capital está aplicado a juros compostos quando no fim de cada
período financeiro, previamente estabelecido, os juros são adicionados ao valor
imediatamente anterior e passam a render juros no período seguinte. Desse modo,
o valor dos juros (compostos) em cada período financeiro é obtido pela aplicação
da taxa de juros sobre o saldo existente no inicio do período correspondente. Esse
regime também é conhecido como capitalização composta.
Assim, sendo C o capital, i a taxa durante t períodos de tempos a expressão
para o montante M à taxa de juros compostos no fim de t períodos é:
M = C( 1 + i)t . Logo, J = C0[(1 + i )
t – 1]
1. Suponha um investimento de R$ 1500,00 a juros compostos por 4 meses
consecutivos, à taxa de 5% ao mês. Calcule o montante nessa situação.
2. Determine o valor dos juros pagos em um empréstimo de R$ 20.000,00 com
taxa de 1% a.m. pelo período de cinco meses, no regime de capitalização
composta.
3. Quanto se deve investir para produzir R$ 820.580,00 de montante em 2
anos, no regime de juros compostos a taxa de 5,5% ao mês?
4. Você recebeu uma proposta para investir a importância de R$ 300.000,00
para receber R$ 440.798,42 ao fim de cinco meses. Qual a taxa de
rentabilidade mensal desse investimento no regime de juros compostos?
5. Determine o prazo de uma aplicação de R$ 50.000,00 no regime de juros
compostos, à taxa de 7% ao mês, cujo resgate foi de R$ 65.539,80.
6. Durante que período de tempo um capital de R$ 10.000,00 à taxa de 2% ao
mês, no regime de capitalização composta, foi aplicado de modo que ao fim
do contrato o montante resgatado foi de R$ 10.247,24?
AULA 3
DESCONTOS
Podemos compreender por descontos o abatimento que o devedor faz jus
quando antecipa o pagamento de um título. E nesse caso, estamos
considerando documentos que comprovam uma dívida os títulos de créditos;
como:
▪ As notas promissórias;
▪ As duplicatas;
▪ As letras de câmbios;
▪ Os cheques;
▪ As ações
▪ Os certificados de depósitos.
Existem basicamente dois tipos de desconto: 
❑o desconto comercial ou bancário (desconto por fora)
❑O desconto racional (desconto por dentro)
Desconto comercial ou bancário
Essa modalidade de desconto é a recompensa pela liquidação do título incide
sobre o montante. Isto é, sobre o valor nominal (N) do título.
Valor nominal é o valordo título e que deve ser pago no dia de seu vencimento (futuro)
Esse desconto pode ser obtido pelo calculo do juros simples sobre o valor
nominal da seguinte maneira.
DC = N.i.t , onde
✓ Dc é o desconto comercial;
✓N é o valor nominal;
✓i é a taxa
✓t o tempo
Outra formula bastante utilizada que envolve o desconto comercial é dada por:
Va = N – Dc ==> Va = N(1 – it)
Va é o valor da aplicação em uma data inferior à data do vencimento
O desconto é o valor da
nominal menos o valor
atual
Preciso descontar em um banco, uma duplicata no valor de R$ 10.000,00 a
vencer em 60 dias. O banco efetuará o desconto à taxa 18% a.a.
a) Qual o valor do desconto?
b) Quanto receberei liquido pela operação? (Valor atual)
Desconto racional simples
1. Suponha um título com valor nominal de 10.0000,00. Calcule o desconto
comercial a ser concedido para o resgate do título 3 meses antes da data de
vencimento à taxa de desconto de 5% a.m.
2. O desconto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotando-se uma taxa de
desconto de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título se o
seu valor nominal fosse de R$ 4.000,00
3. Determine o valor a ser pago hoje por um título de R$ 27.000,00, cujo
vencimento ocorrerá daqui a quatro meses, supondo que a taxa de desconto
comercial simples seja de 4,8% ao mês.
4. Um título no valor nominal de R$6.500,00 foi descontado 45 dias antes de seu
vencimento a uma taxa mensal de 1,3%. Encontre o valor descontado e o
desconto utilizando o Desconto Comercial Simples.
5. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por fora, por um banco,
gerando um crédito de R$6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa
cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determine o prazo de vencimento em dias
da duplicata.
6. Um título de valor nominal equivalente a R$ 87,40 com vencimento
para 5 meses substitui outro de valor nominal equivalente a R$ 66,00
vencível em 2 meses. Qual a taxa dessa transação sabendo-se que a
negociação foi realizada hoje e que o desconto aplicado foi do tipo
comercial.
Desconto racional simples
Também conhecido como desconto por dentro ou desconto composto. Essa
modalidade de desconto equivale ao juros simples calculado sobre o valor
atual do título. Ou seja, é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor
liquido do título. A fórmula para o desconto racional é:
𝐷𝑟 → desconto racional
N → Valor nominal
i → taxa
t → tempo
𝐷𝑟 =
𝑁𝑖𝑡
(1 + 𝑖𝑡)
1. Um título no valor nominal de R $ 6.500,00 foi descontado 45 dias antes de
seu vencimento a uma taxa mensal de 1,3%. Encontre o valor descontado e o
desconto utilizando o Desconto Racional Simples.
2. Um título com valor nominal 8.800,00 de foi resgatado dois meses antes do
seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um Desconto Racional Simples
à taxa de ao 60% mês. Nesse caso, qual foi o valor pago pelo título?
3. Determine o valor nominal de uma letra, descontada por dentro, à taxa linear
de 8% ao mês, um mês e quinze dias antes de seu vencimento, e que
apresentou o desconto de R$ 400,00.
4. Um titulo de valor nominal R$ 500,00 é descontado 2 meses antes de seu
vencimento à taxa de juros simples de 2% ao mês. Qual o desconto racional
concedido?
Unidade 2
DESCONTO COMPOSTO
A ideia de desconto composto é a mesma que utilizamos quando estamos no
sistema de capitalização simples. No entanto, se diferente justamente por
estar atrelada ao sistema de capitalização composta. Nesse contexto,
utilizamos a seguinte formula para o cálculo do desconto racional
composto, também conhecido como desconto por dentro ou bancário.
𝑽𝒂 =
𝑵
𝟏 + 𝒊 𝒕
DR = N - Va
1. Um titulo de valor nominal de R$ 1.000,00 foi resgatado 2 meses antes de seu
vencimento, seguindo o critério de desconto racional composto. Sabendo que a taxa
de juros é de 5% a.m. qual o valor atual do titulo e o desconto obtido nessa operação?
2. Qual o valor do desconto considerando um título de R$ 3.500,00, descontado 120
dias antes do vencimento à taxa de desconto por dentro composto de 3% ao mês?
3. Calcule o desconto racional composto de um título de R$ 3.600,00 à uma taxa de
4,5% a.m. e antecipado em 60 dias.
4. Uma duplicata é descontada por dentro por um banco gerando de crédito R$ 6.000,00
na conta do cliente. Sabendo que a taxa cobrada pelo banco é de 3% ao mês e que foi
descontada 2 meses antes de seu vencimento, determine o valor nominal dessa
duplicata?
Desconto comercial composto
De maneira semelhante, utilizamos a seguinte formula para o cálculo do
desconto comercial ou desconto por fora:
𝑽𝒂 = 𝑵 𝟏 − 𝒊
𝒕
Dc = N - Va
1. Um título de valor nominal de 5.000,00 é descontado 2 meses antes do seu
vencimento, seguindo critério de desconto comercial composto e sabendo que a
taxa de desconto é 3% a.m. Qual o valor atual e o valor do desconto?
2. Uma duplicata de valor nominal de $10.000,00 foi resgatada 3 meses antes do seu
vencimento, pelo regime de desconto comercial composto. Tendo sido contratada
à 10% taxa de ao mês, qual é valor atual do título na época do resgate e qual foi o
desconto comercial composto concedido?
3. Um título foi resgatado três anos antes do vencimento pelo critério do desconto
comercial composto no valor de R$1.769,47 à taxa de 4% ao ano. Qual será o
nominal desse título?
4. Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes do 
vencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao mês.
AULA 29.08
Taxas equivalentes 
Taxas equivalentes (regime de capitalização composta)
Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo
capital, durante o mesmo período de tempo, através do sistemas de capitalização
composta, produzem o mesmo juros. No regime de juros compostos, as taxas de
juros não são proporcionais, ou seja, a taxa de 12% ao ano não equivale a 1%
ao mês.
Exemplo:
✓Uma taxa aproximada de 12 % a.a. é equivalente a taxa aproximada de
0,009489 ao mês.
Suponha o capital de 1000 e t = 2 anos. Calcule o montante.
a) para i = 26,8241% a.a. b) para i = 2% ao mês
A) Considere o capital de R$ 1,00. 
1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia.
4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos.
5. Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano.
6. Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês.
7. Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre.
B) Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja
rentabilidade é 40% de ao ano. Se o investidor souber de outra
alternativa onde é possível ganhar 9% ao trimestre, qual é a melhor
escolha?
Equivalência de capitais (simples e composto)
Dois ou mais capitais são ditos equivalentes quando transportados para
uma mesma data (focal) e taxa de juros resultam em valores iguais
✓Considerando a taxa de juros é de 10% ao mês:
❑ O quanto R$ você possui hoje será terá o mesmo daqui 1 ano e daqui
2 anos?
❑100,00 reais hoje é equivalente a 110,00 reais daqui 1 mês
a) Verifique se os capitais indicados são equivalentes na data focal zero
Considerando uma taxa de 4,6%.
0 2 8
1.782,001.458,00
b) Verifique se os capitais indicados são equivalentes na data focal 4
Considerando uma taxa de 5% ao mês.
0 4 7
2.024,001.600,00
1) Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence 120 dias. Para de
31,2% juros linear ao ano, calcule o valor desse título:
a) hoje;
b) Dois meses antes do seu vencimento;
c) Um mês após
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
2. Se o dinheiro vale 20% ao mês. Qual a melhor opção de compra de
um produto que custa R$ 80,00?
a) À vista com 10% de desconto simples;
b) Duas parcelas iguais, com uma entrada e outra para 30 dias;
c) Duas parcelas iguais com a primeira para um mês após a compra e a
segunda para 2 meses após a compra;
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
3. Uma dívida no valor de R$ 48.000,00 vence daqui a seis meses . Odevedor pretende resgatar a dívida pagando hoje R$ 4.800,00 e, de hoje
a dois meses 14.400,00 e o restante um mês após a data de vencimento.
Sendo o momento deste último pagamento definido como n = 7 como
data focal da operação, e sabendo-se ainda que 34,8% é de ao ano a taxa
linear de juros adotada nessa operação, determinar o valor do último
pagamento.
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
4. Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar:
❑3.000,00 daqui a 4 meses;
❑$5.000,00 daqui a 8 meses;
❑$12.000,00 daqui a 12 meses.
O empresário propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais,
um para daqui a 6 meses e outro para daqui a 9 meses. Considerando a
taxa de juros simples de 5% a.m. e a data focal 270º no dia, calcular o
valor de cada pagamento
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
1. Juraci tomou um empréstimo de 300,00 reais a juros compostos de
15% ao mês. Dois meses após, pagou 150,00 e um mês depois liquidou
seu débito. Qual o valor desse ultimo pagamento?
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
2. Um terreno é posto a venda por 100.000,00 a vista, ou, caso o
comprador prefira financiamento de 50.000,00 no ato da compra mais
duas parcelas semestrais, sendo a primeira de 34.000,00 e a segunda de
35.000,00. Qual a melhor alternativa para o comprador, se
considerarmos uma taxa de juros de 50% a.a.
3. Os empresários costumam substituir dívidas por outras dívidas.
Suponha que um desses empresários possui um título no valor de R$
77.000,00, com vencimento daqui a dois meses e resolve trocá-lo por
outro título que vence em cinco meses. Sabendo-se que o banco adota
uma taxa de juros de 9% a.m., pergunta-se: qual o valor do novo título?
Considere n = 5 como data focal
4. Suponhamos que você possua um título que vencerá daqui a um ano
com valor nominal de R$ 3.138,43. Você recebe uma proposta para
trocar o título por outro que vence daqui a seis meses no valor de R$
1.780,00. Assumindo uma taxa de juros praticada pelo mercado de 10%
a.m., perguntamos: a troca é vantajosa?
Referências
ASSAF NETO. Matemática Financeira e Aplicações. 7ª. Atlas. 2022
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 7ª. Atlas. 2000;
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 7ª. Atlas. 2000
Vianna, Renata de Moura Issa. Matemática financeira / Renata de Moura Issa Vianna. - Salvador: UFBA, 
Faculdade de Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018.
Macêdo, Álvaro Fabiano Pereira de. Matemática financeira / Álvaro Fabiano Pereira de Macêdo. – Mossoró : 
EdUFERSA, 2014. 96 p. : il. ISBN: 978-85-63145-59-8