Matemática - Livro 1-250-252

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MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana250
Por isso, é recomendável que se encontrem segmentos
de mesmo comprimento com uma extremidade comum
na figura apresentada antes de fazer uso desse postula-
do, os quais garantem que uma circunferência com centro
na extremidade comum e raio igual ao comprimento dos
segmentos necessariamente deve passar pelas demais
extremidades dos segmentos.
Na figura apresentada pelo problema, o conhecimento
(I) permite observarmos quatro opções diferentes para a
aplicação do terceiro postulado:
y O fato de AD e CD terem o mesmo comprimento
sugere a possibilidade do traçado de uma circunfe-
rência com centro D e que passe pelos pontos A e C.
A D
B
E
C
AC = DC (raios)
y O fato de BC e CD terem o mesmo comprimento
sugere a possibilidade do traçado de uma circunfe-
rência com centro C e que passe pelos pontos B e D.
A D
B
E
C
BC = CD (raios)
y O fato de AB e BC terem o mesmo comprimento
sugere a possibilidade do traçado de uma circun-
ferência com centro no ponto B e que passe pelos
pontos A e C.
A D
B
E
C
AB = BC (raios)
y O fato de AB , AD e AE terem o mesmo comprimento
sugere a possibilidade do traçado de uma circunferên-
cia com centro A e que passe pelos pontos B, D e E.
A D
B
E
C
AB = AD (raios)
Como a circunferência de centro A passa pelo vértice E
do ângulo procurado, vamos optar por esta última aplicação do
postulado da circunferência Assim, os conhecimentos (II)
e (III) permitem concluir que o menor arco BD dessa cir-
cunferência mede 90°.
A
90°
90°
D
B
E
C
AB = BC = CD = AD
Agora basta fazer uso do primeiro postulado e traçar o
segmento de reta que une os pontos D e E para poder ob-
servar, de acordo com o conhecimento (IV), que a medida x
do ângulo BED� é igual à metade da medida do menor arco
BD da circunferência.
A
90°
x
D
B
E
C
DÊB é ângulo inscrito.
= =x 90º
2
45º
De acordo com os postulados de Euclides, nenhuma
reta ou circunferência aleatória pode ser traçada a não ser
que alguma propriedade invariante da geometria justifique
essa construção.
Assim, dados os pontos A e B, obedecendo ao tercei
ro postulado de Euclides, podemos traçar a circunferência
de centro em A que passa por B e a circunferência de
F
R
E
N
T
E
 3
251
centro em B que passa por A. Uma vez construídas essas
circunferências, observamos que elas se interceptam
em dois pontos (P e Q), situados em lados opostos do
segmento AB . Então, os dois primeiros postulados permi-
tem que P e Q sejam ligados por um segmento de reta e
que este seja prolongado indefinidamente, determinando
uma única reta, denominada mediatriz do segmento AB .
B
A
Q
P
Circunferências secantes.
Discutindo as propriedades dessa construção, Euclides
postulou que os quatro ângulos determinados pelas retas
AB
� 
 e PQ
� 
 têm a mesma medida que adotou como unidade
para as medidas angulares: o ângulo reto. Assim, para ele,
um ângulo raso mede 2 ângulos retos, e a circunferência
toda mede 4, por exemplo.
Assim, embora o quarto postulado de Euclides
enuncie literalmente que “todos os ângulos retos são
congruentes”, podemos interpretá-lo como uma garantia
de que, dados um ponto P e uma reta r, podemos traçar,
pelo ponto P, uma única reta perpendicular a r; e, fazendo
isso, obtemos quatro ângulos retos.
A mediatriz de um segmentoAB possui uma série de propriedades
importantes para a Geometria:
y é perpendicular ao segmento;
y divide o segmento ao meio;
y é o eixo da simetria de reflexão existente entre as extremidades
A e B do segmento;
y cada um de seus pontos está igualmente afastado das extremi
dades A e B do segmento;
y contém os vértices de todos os triângulos isósceles de base AB;
y contém os centros de todas as circunferências que passam por A e B.
Essas são as propriedades invariantes que justificam outras possíveis
construções para a mediatriz de um segmento.
A
B
Q
P
Atenção
Há também o quinto postulado da Geometria Eucli-
diana, o qual garante que, por um ponto fora de uma reta
dada, passe uma única reta paralela a ela. As construções
de retas paralelas e perpendiculares em demonstrações de
teoremas e resolução de exercícios são provavelmente as
mais usadas, como veremos no decorrer do nosso estudo
da Geometria
Congruência de triângulos
Muitas outras formas modernas do pensamento geomé
trico não euclidiano foram criadas com base na discussão
do quinto postulado (o das paralelas). As geometrias mo-
dernas conhecidas como Geometria elíptica e Geometria
hiperbólica contestam esse postulado afirmando, a primeira,
que não existem retas paralelas e, a segunda, que, por um
ponto fora de uma reta dada, passam infinitas retas diferen-
tes que são paralelas à reta dada Os postulados válidos em
todas as formas do pensamento geométrico clássico e mo-
derno são chamados de postulados da Geometria neutra
O principal postulado da Geometria neutra trata da
congruência de triângulos enunciando que, se dois pa
res de segmentos com mesmos comprimentos têm uma
extremidade em comum e formam ângulos de mesma me-
dida, então os triângulos determinados pelas extremidades
desses segmentos são congruentes entre si. A relação de
congruência é representada pelo símbolo (≅ ) e significa
que os demais lados e ângulos desses triângulos também
terão as mesmas medidas. Assim:
y Se AB = OQ, AC = OP e  = Ô.
P
O
Q
C
A
B
BC = PQ
y ...então ∆ABC ≅ ∆OQP e, portanto, B = Q, C = P e BC = PQ.
P
O
Q
C
A
B
Triângulos congruentes.
Esse postulado descreve apenas um dos muitos casos
em que se pode concluir a congruência de dois triângulos.
Trata-se do caso LAL da congruência de triângulos, pois
parte da congruência de dois dos Lados e do Ângulo que
eles formam. Desse postulado, podem ser deduzidos outros
casos de congruência
MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana252
O caso LLL se baseia na congruência entre os três la-
dos de dois triângulos para concluir a congruência de seus
três ângulos. Assim, se os três lados de um triângulo têm os
mesmos comprimentos dos três lados de outro triângulo,
então os três ângulos de um dos triângulos também devem
ter as mesmas medidas dos três ângulos do outro triângulo
O caso ALA parte da congruência entre um lado de
cada triângulo e dos ângulos cujos vértices são as extre-
midades desses lados para concluir a congruência dos
outros dois lados e do terceiro ângulo desses triângulos.
Esse é o caso recíproco do postulado LAL.
O caso LAAo também se baseia na congruência entre
um lado de cada triângulo e entre dois ângulos de cada,
mas sendo um desses ângulos oposto ao lado considerado
em cada triângulo para concluir a congruência dos outros
dois lados e do terceiro ângulo desses triângulos
Como a soma das medidas dos ângulos internos
de qualquer triângulo é constante e igual a 180°, verificando
que dois ângulos de um triângulo têm as mesmas medidas
de dois ângulos de outro triângulo, podemos concluir que
isso acontece também com o terceiro ângulo de cada triân-
gulo. Essa observação faz com que os casos ALA e LAAo
possam ser observados simultaneamente na verificação da
congruência entre dois triângulos
Exercício resolvido
1 Observando o painel composto de 16 pequenos
triângulos equiláteros de lados unitários ilustrado na
Figura 1, uma pessoa percebeu a existência de triân-
gulos equiláteros de diversos tamanhos, como mostra
o triângulo ABC de lado 2 em destaque na Figura 2.
Figura 2Figura 1
B
A C
O número de triângulos congruentes ao triângulo
em destaque na Figura 2, presentes no painel, in-
cluindo o próprio triângulo ABC, é:
A 6
b 7
C 8
D 9
E 10
Resolução:
Como os triângulos congruentes ao triângulo ABC de-
vem possuir lado 2, temos que, com um vértice acima
do lado horizontal, há, incluindo o próprio triângulo ABC,
3 triângulos com a base colinear ao segmento AB
Ainda com o vértice do lado horizontal, há mais
3 triângulos com a base situada em alguma reta para-
lela acima do segmento AB no painel
Com um vértice abaixo do lado horizontal, há mais
1 triângulocongruente ao triângulo ABC no painel.
Portanto, há 3 + 3 + 1 = 7 triângulos congruentes, in-
cluindo o próprio triângulo ABC.
Alternativa: B.
Também é importante observarmos que, se os três
ângulos de um triângulo têm as mesmas medidas dos
três ângulos de outro triângulo, isso não é suficiente para
garantir a congruência dos triângulos, pois há alguns com
os mesmos ângulos internos cujos lados não têm compri-
mentos iguais. Essa situação caracteriza, na verdade, um
caso de semelhança entre os triângulos, assunto que será
estudado no próximo capítulo.
A congruência entre dois triângulos também pode ser
verificada a partir de transformações geométricas deno
minadas isométricas. As transformações isométricas da
Geometria são:
Translação
A translação é a transformação geométrica capaz de
levar todos os pontos de uma figura a coincidirem com os
pontos de outra segundo o deslocamento representado por
um único vetor.
A
B
C C'
B'
A'
Na figura, se os segmentos AA' , BB' e CC' são parale-
los e têm o mesmo comprimento, então os triângulos ABC
e A'B'C' são congruentes.
Rotação
A rotação é a transformação geométrica capaz de levar
todos os pontos de uma figura a coincidirem com os pontos