Aula 6

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Aula 6 – Álgebra de Boole e postulados
Álgebra de Boole
A álgebra de Boole refere-se à simplificação algébrica de circuitos lógicos.
É por meio de seus postulados, propriedades e teoremas que realizamos as simplificações nos circuitos.
A diferença entre a álgebra tradicional e a álgebra booleana é que, na álgebra tradicional, as constantes e variáveis podem ter infinitos valores reais, enquanto, na álgebra booleana, essas variáveis assumem dois valores possíveis, “0” ou “1”, “verdadeiro” ou “falso”.
As variáveis booleanas são bem úteis quando temos que representar níveis de tensão em uma conexão ou em terminais de entrada/saída de um circuito. Uma expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas e o resultado será sempre 0 ou 1.
Postulados
Principais postulados utilizados para simplificar expressões booleanas e circuitos lógicos.
Postulado da complementação
O postulado da complementação mostra como são as regras da complementação na álgebra de Boole. Chamaremos de A barrado o complemento de A, e o bloco lógico que executa o postulado da complementação é o inversor. 
Supondo a proposição A e o complemento de A é igual a A barrado. Temos que, se A é igual a 0, então A barrado é igual a 1. Se A é igual a 1, então A barrado é igual a 0, ou seja:
			
Considerando, por exemplo, os dígitos 1 e 0: 
			
Por meio do postulado da complementação, podemos estabelecer a identidade da dupla negação:
			
Dessa forma, conclui-se que: 
			
Postulado da adição
O postulado da adição define as regras da adição na álgebra de Boole, sendo que, em um circuito lógico ou sistema digital, esse postulado é bem representado pela função booleana OR. 
A variável “A” poderá assumir as identidades a seguir: 
1. O resultado será sempre igual à variável A: 
2. Sempre que somado 1 a qualquer variável, o resultado será igual a 1. 
3. Todas as vezes que somamos a mesma variável, o resultado será ela mesma.
4. Quando somamos uma variável ao seu complemento, o resultado será sempre 1.
Vamos exemplificar o postulado da adição por meio da tabela-verdade e de um circuito lógico:
· Tabela verdade:
· Circuito lógico:
Postulado da multiplicação
Esse postulado determina as regras da multiplicação na álgebra de Boole, sendo que o circuito lógico desse postulado é representado pela função AND.
A variável “A” poderá assumir as identidades a seguir: 
1. Toda variável multiplicada por zero, terá como resultado zero.
2. Toda variável multiplicada por 1 terá como resultado a própria variável.
3. Toda a variável multiplicada por ela mesma, terá como resultado a própria variável.
4. Toda variável multiplicada pelo seu complemento terá 0 como resultado. 
Vamos exemplificar o postulado da multiplicação por meio da tabela-verdade e de um circuito lógico:
· Tabela verdade:
· Circuito lógico:
Doze regras importantes para a simplificação de circuitos lógicos:
Exercícios
https://www.youtube.com/watch?v=_w1HTMZkTmM&t=2s
Propriedades algébricas
Vamos conhecer algumas propriedades algébricas (presentes também na matemática comum) muito úteis, principalmente, no manuseio e simplificação de expressões. Vamos compreender melhor sobre as propriedades comutativa, associativa e distributiva na álgebra de Boole.
1. Propriedade comutativa
A propriedade comutativa é válida tanto na adição como na multiplicação.
Adição: A + B = B + A 
Multiplicação: A × B = B × A
2. Propriedade associativa 
A propriedade associativa é válida na adição e na multiplicação.
Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
Multiplicação: A × (B × C) = (A × B) × C = A × B × C
3. Propriedade distributiva
A propriedade distributiva é válida na adição e na multiplicação.
A × (B + C) = A × B + A × C
Podemos representar em uma tabela-verdade o resultado da propriedade distributiva aplicada a cada membro da expressão apresentada. 
Teoremas de Morgan
Na maioria das vezes, a simplificação e a otimização de circuitos lógicos se dão pela conversão ou comutação de funções OR e AND, ou seja, isso significa que uma função OR deve ser convertida em uma função AND, e vice-versa.
Primeiro teorema de Morgan
O primeiro teorema de Morgan afirma que o complemento do produto é igual à sua soma:
				
Para provar esse teorema, montamos a tabela-verdade e os circuitos lógicos identificados nela. 
· Tabela verdade:
· Circuitos lógicos:
Segundo teorema de De Morgan
O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. Esse teorema é uma extensão do primeiro:
· Primeiro teorema:
· Reescrevendo:
Observando a fórmula, verificamos que A é o complemento de A barrado e que B é o complemento de B barrado. Vamos chamar A barrado de X e B barrado de Y. Dessa forma, temos:
					
Reescrevendo em termos de A e B, temos o complemento do produto igual à soma dos complementos, ou seja, o segundo teorema:
					
Para provar esse teorema, montamos a tabela-verdade e os circuitos lógicos identificados nela. 
· tabela-verdade 
· circuitos lógicos
Regra geral para a aplicação dos Teoremas de De Morgan
Pela expressão A + B + C + D (A ou B ou C ou D), primeiro converte-se a função OR em AND e, em seguida, complementa-se individualmente cada variável ou termo:
				
Em seguida, complementa-se toda a expressão: 
					
Representamos o circuito digital a partir da expressão. 
Consideramos cada variável como um termo. No exemplo anterior, a expressão possui quatro variáveis ou quatro termos.
Já a expressão A + BC + D = S, por exemplo, possui quatro variáveis, mas três termos:
A = primeiro termo
BC = segundo termo
D = terceiro termo
Aplicando o teorema de De Morgan nos três termos, temos:
					
E, a partir da expressão, temos o seguinte circuito digital. 
			
Partindo da expressão A + BC + D = S, podemos aplicar o teorema de De Morgan no segundo termo. Teremos, então:
			
Por meio das simplificações e conversões, podem ser criados circuitos digitais mais compactos. Esses circuitos são os responsáveis pela implementação lógica dos computadores atuais, como a unidade lógica e aritmética que fica dentro do processador de um computador, bem como os circuitos digitais presentes em eletrodomésticos e automóveis.