Geometria Plana AREIAS, Wilson da Costa

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Prof. : Wilson Areias 
===/!=== 
Para Alunos 
do 22. Grau, 
,-
li Pré -Militares & 
e Concursos 
Vestibulares 
, 
INDICE 
"" 1 - ANGULOS 
, 
•CAPITULO 
PAG, 7 
•CAPÍTULO 2 - TRIÂNGULOS 
PAG, 12 
, 
•CAPITULO 
; 
3 - POLIGONOS 
PAG, 21 
.. 
•CAPITULO 
; 
4 - PRINCIPAIS QUADRILATEROS 
, 
. 
~ 
•CAPITULO 
PAG, 24 
; 
5 - CIRCULO 
PAG, 30 
~ 
•CAPITULO 6 - LINHAS PROPORCIONAIS - SEMELHANÇA 
PAG, 38 
# 
•CAPITULO 
M ; ; 
7 - RELAÇOES METRICAS NO CIRCULO 
PAG. 45 
.. 
•CAPITULO 
w ; ~ 
8 - RELAÇOES METRICAS NOS TRIANGULOS 
PAG, 49 
.. 
•CAPITULO 
, 
9 - POLIGONOS REGULARES 
PAG, 6-1 
, , 
•CAPITULO 10 - AREAS 
PAG, 64 
.,. 
A, 
CAPITULO 1 ANGULOS 
001. Calcule o complemento, o suplemento e o replernento de 70°28'42''• 
002. Calcule o replernento do suplemento do complemento de 32°47'25''• 
003. A medida de um ângulo é igual ao triplo da medida de seu suplemento,. 
Quanto mede esse ângulo? 
004. A sorna de um ângulo com a quarta parte de seu suplemento é igual a 108°. 
Quanto mede esse ângulo? 
005. A soma de dois ângulos é igual a 100° e um deles é o dobro do complemento 
do outro. Determine esses ângulos. 
006. Calcule dois ângulos suplementares, sabendo que a diferença entre eles va-
le 9°27 14 11 • 
007. Determine dois ângulos, sabendo que a diferença entre eles é de 56° e a 
soma de seus complementos vale so0 • 
008. Calcule o ângulo que excede a terça parte de seu complemento de 54º• 
009. A medida de um ângulo é 75° maior que o dobro da medida de seu suplemento. 
Quanto mede esse ângulo? 
- ....... /',... - -010. Dois angulos AOB = a e BOC = ~ sao adlacentes. Calcule o angulo formado - ........... /'-... pelas bissetrizes dos angulos AOB e BOC. 
011. Na figura ao lado, calcule o ângulo 
formado pelas bissetrizes dos ângu-
los~ e 'éÔD. 
D 
7 
e 
B 
O 
- ,........ ,-. ~ 
12. Dois angulos AOB e fj()(~ sao aájacentes 
........,. 
e BOC vale ,,,., ....... , Ca lct:.le o àngulo 
formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e Aoê. 
013. Na figura ao lado, os ângulos - .................... -AOB, BOC, COD e DOA são res-
014. 
015. 
016. 
pectivamente proporcionais 
aos números 1,2,3 e 4. Calcu-
le o ângulo formado pelas 
- -bissetrizes dos angulos AOB e -COD. 
A 
D 
As bissetrizes de dois ângulos 
........ 
adjacentes AOB ,,,,,..._ - -e BOC sao respectivamente OM - /',... e ON. A bissetriz de MON forma 35° com ÕC. Se -AOB mede soº, calcule o va-- ............ lor do angulo BOC. 
- .......... Na figura ao lado, AOB e BOC 
são dois ângulos adjacentes. - --.. OX e OY são as bissetrizes 
desses ângulos. Sabendo-se ......... /"-. 
que AOY = 65° e XOC = 70°, 
............ 
calcule XOY. 
Pelo ponto C de uma reta AB traçam-se, 
- - - -dos por AB, as semi-retas CQ, CT e CR. 
~ - ,,.... - -~Te o angulo BCR e o dobro do angulo - .,...... ........... 
bissetrizes dos angulos QCT e RCT. 
o 
e 
num mesmo semi-plano dos determina-- ,,,,.__. -
O angulo ACQ e o dobro do angulo 
,,,..... -RCT. Calcule o angulo formado pelas 
,,,,....... ............. ...... ..... -
017. OX e OY sao as bissetrizes de dois ângulos 
....................... 
agudos e tais que AOB - BOC = 36°. Calcule 
adjacentes AOB e BOC, - ........... o angulo BOZ, sabeno que 
ambos 
õr é a - ........ bissetriz do angulo XOY. 
, - .... ..- "" Sejam OM e ON as bissetrizes de dois ângulos adj>llS>'f,nt~:il AOB e BOC, cuja - .... - ,,,,..., ,,,...... diferença e 24°. Sejam OZ e OT as bissetrizes de MON e AOC, respectivamen-
- """ te. calcule o angulo ZOT. 
018. 
8 
,:-.-~~---~..it .... .K ....... .@.. •• .§..J..$.. .•........... ,QL..k .. t ... ·,•.:.e..xa...m. .... ) ....... J.; ..... ..«J ........... ·.·.·.w.··*~ 0; ;,;J: 
019. Na figura ao lado, a diferença 
entre os ângulos ÁÔB e <XlI) va-
le 4°. Calcule o ângulo que a 
bissetriz do ângulo BÔC forma ,.,..,_, 
com a bissetriz de AOD. 
C B 
A 
o 
_·e=_--=, 
.......... -020. Seja AOB um angulo e ruma 
- -giâo não convexa. Sejam OX reta do seu plano que contém O e situadà na re-e ÕY as bissetrizes dos ângulos agudos que õÃ e -OB formam com r. Calcule - "'"" ~ o o angulo XOY, sabendo que AOB mede 130 • 
021. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio -as: 
a) 12 horas e 15 minutos. 
b) 3 horas e 20 minutos 
c) 4 horas e 42 minutos 
022. A que horas pela primeira vez após as 12 horas, os ponteiros de Ui~ relógio 
formam um ângulo de 110°? 
023. A que horas após às 12 horas os dois ponteiros de um relógio coincidem pe-
la primeira vez? 
024. Calcule, a hora entre 3 e 4 horas, para que os ponteiros de um relógio for 
mero um ângulo de 35°. 
025. Nas figuras abaixo, as retas - paralelas. Determine cada r e s sao x em uma 
delas. 
a) 
(r) b) 
(r) 
(s) 
X 
9 
llliTOltA OID.iTICA ® GEOMlITRll PLANA 
I n. fj ~ n,:: 1 a a:•., .J ....... ).f.f.\ . ..Zi!.J.,.! ... ,.J ..... ·.·.·,).f.!.f., •... ·.·.·Ú.Q,·.f.,.J .•.•.....•.•.... Jt.M.~.i.!J\~~ .•. !.~'UUB~rffiM.WJ .. .1 ....... :a 
d) 
e) 
/ ! (r) /4ºº 
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(r) 
I 
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e) f) (r) 
(s) 
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,,.;.;~.:.~1;,.;,1 ... tl~.ltllJlll!l.l.@!l,!II-III . .Clfül!J.l! .. l!!.ll.l!lll•IIIJl'lll.il.Jlill.l!lll.l!l!t! ..... l .... !!lJ..,l .. ,.~ .. -f!.\.!S!l~l~np!::•~:iip~;~:'i11iiirll'l:~,l1tll.lJ:l!llkz!l!l .. !1!!@.%."' 
026. Na figura abaixo, calcule x + y. 
(z) li (t) 
.(t) 
(s) 
027. Na figura abaixo, as retas r e s sao paralelas. Calcule 3â + B. 
028. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos colaterais in-
ternos, formados por duas paralelas e uma transversal. 
029. Prove que as bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamente pa1 al_e* 
los são paralelas ou perpendiculares. 
030. Prove que as bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamente perpen~ 
diculares são paralelas ou perpendiculares. 
~11111111111 .. 1111111ill!ll1l!l!lllllilllllll!l!1111111111 .. 1111111 .. 11111111111111 .. ._ 11. ~r .... 
IDITOft.l DID.tlTICA @ GEOMETRIA PLANA 
, ... ·.· .. ·.···· .·.·. n ~ •: n, = 111: •, JQ.. ••.... ·.·.·.·.·.·.·:·.·.·.·.·:·:·:·.·.·.·:·.·.·:·.·.·h! ... J .... !.!.!.!.f.!,!.!.!.;f.f.!.f.J ••• ;.1.;.f.!.:&.!.f.f.i...!.!.;/.i;, .. ·.·.-.·.·.J.~ .... .!.:.!.,.!Q.! ..• .(.!.( .... ·.····º·®··········,.·.····"·XZW. 
CAPÍTULO 2 
.,.. 
TRIANGULOS 
001. Dois lados de um triângulo medem 4cm e Sem. Determine o número de valores 
inteiros que o terceiro lado pode assumir. 
002. Considere todos os triângulos de perímetro 15m. Nenhum deles pode ter um 
lado igual a: 
a) 8m b) 7m e) Sm d) 4m e) 6m 
003. Os três menores lados de um quadrilátero convexo medem lcm, 4cm e 8cm. 
Qual dos valores abaixo pode representar em cm o quarto lado? 
a) 12 b) 13 e) 14 d) 15 e) 16 
004. Na figura abaixo, calcule x em função de!, Se ê. 
005. Na figura abaixo, calcule a soma dos ângulos assinalados. 
,.,., ''""' -006, Na figura 1c;o calcule ai + S + Y + ;a 
007. Na figura abaixo, calcule a soma dos ângulos assinalados. 
008. Na figura abaixo, calcule â + 6 + ê + 3 + ê + 1. 
A 
009. Na figura ao lado AB = AC e AD 
,--- ----------- ---------- ------
-010. Na figura ao lado, tem-se AB = AC e MJ "' DB "' BC. C1:1lcule i. 
- -0110 N.a figura abaixo, tem-se AB = AC e BC., CD .. DE"' EF = FA. Calcule'ªº 
e 
012. ~ figura ao lado,! é paralela a!• 
AM = AQ e BM •BP.Calcule o ângulo 
~· 
B 
013. Na figura ao lado, ÃB • À.e.e o triângulo 
DEF é equilátero. Qual a relação entre 
""" ;i"t ... ? a,oec. 
A 
(s) 
01'+. ..,'h~.f VI"'\ 'P:T o <..~._,,._,_. __ ,....., j - - \" 
função do ângulo Ãe A 
015. Na figura abaixo, BI e CI são bissetrizes externas do triângulo ABC. Cal-
cule o ângulo a em função do ângulo!• 
A 
016. Na figura abaixo, K é a interseção da bissetriz interna de B com a bisse-
triz externa de e. Calcule o ângulo a em função do ângulo Ã. 
A 
B e 
.. 
r 
l 
017. (PUC-89) As dimens0es do triângulo ABC são ÃB :, 11, Ãê "' 18 e Bé = 20. 
Calcule o perímetro do triângulo AMN, sabendo-se que MN é paralelo a BC -- ' - .. - Afl"",... - ""' , ..... que OB e a bissetriz do angulo ABC e que OC e a bissetriz doângulo ACB. 
A 
B 
018. Dado um quadrado ABCD, contrJi-se exteriormente ao quadrado um triângulo 
- A ........... equilatero BCM. Calcule o angulo CMD. 
019. Na figura ao lado, os triângulos ABM 
e BCP são equiláteros e ABCD é um 
quadrado. Calcule o ângulo a. 
D c 
020. Na figura abaixo, MA= MB =CM.Calcule o ângulo à do triângulo ABC. 
- A 
- r" -021. No triangulo ABC, retangulo 
diana relativa ao lado BC e 
E!.• 
B 
em A representado na figura abaixo, ÃM é a me-
BD é a bissett·iz do ângulo ~. Calcule o ângulo 
A 
•' 
022. Prove que no triângulo retângulo com ângulos de 30° e 60°, o cateto oposto 
ao ângulo de 30° tem comprimento igual à metade d~ hipotenusa. 
023. Um menino subiu t:..~a rampa de 20Cm de comp~imento, inclinada de 30° com o· 
plano horizontal. A altura, na vertical, que o menino subiu foi de: 
a) 85m b) 90m c) 95m d) lOOm e) 105m 
024. Em um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC = 36cm, a altura AH e a 
mediana ÃM dividem o ângulo reto em três partes iguais. Então, HM.mede: 
a) 15cm b) 13cm c) llcm d) 9cm e) 7cm 
025. Na figura ao lado, ABC é um triângulo 
equilátero. O valor de -X e: 
a) 5 
b) 5,5 
c) 6,5 
d) 6 
e) 7 B c 
X 
026. (INTEGRAD0-90) Considere o problema de construir um triângulo ABC, conhe--cendo à = 30º, AB = 6 cm e BC = x cm, x >o.Determine~, de modo que o 
problema tenha. 
a) uma Única solução; b) mais de uma solução. 
027. Em um triângulo ABC, seja Do pé da bissetriz interna de l. Traça-se DE 
paralela à ÃB e ÊF paralela à BC. Calcule ÃE sabendo que ÊF vale 3cm. 
028. As bissetrizes internas dos ângulos g e e de um triângulo ABC formam um 
ângulo de 126°. Calcule o menor ângulo formado pelas alturas que partem 
dos vértices B e e. - -
029. Num triân~ilo qualquer ABC, traçamos a bissetriz interna de g e a bisse-
triz externa de e. Pelo ponto f de concurso das bissetrizes, traçamos uma -reta paralela ao lado BC, encontrando o lado AB no ponto~ e AC no ponto -N. Calcule o segmento MN sabendo que MB = 7cm e NC = 4 cm. 
, .•.•.• .f ...• J .. ~ ;;:~t;·;;T;~_: ......... J.M ...... ~·'-'·~1-~JJ. .. .Q.,., .... JX..J...C:J ... E"~J~~~~~~:~,--~~ 
030. Dado um triângulo isósceles de base Êc, contrói-se sobre ÃÊ e exterior ao - ............ 
triangulo o quadrado ABDE. Calcule o ângulo BCE. 
- -031. ABC é um triângulo isósceles de base BC e altura AH, Prolonga-se o lado AB 
a partir de! de um comprimento BD= BH e pelos pontos~ e~ traça-se uma -reta que intercepta o lado AC em P. Calcule o ângulo à do triângulo ABC, 
- ............ o sabendo que o angulo APD mede 120. 
032. Na figura abaixo, os ângulos!,~ e E são iguais a 45°. Os segm~ntos QS e 
ItS prolongados são perpendiculares a~ e~ respectivaménte. Sabendo que 
PS= 20 cm, calcule a distância do ponto g ao R. 
-033. ABC é um triângulo retângulo e AH é a altura -relativa a hipotenusa BC. 
......... ......... 
Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos ABH e CAH. 
034. Num triângulo ABC, a diferença entre os ângulos! e~ vale -ª• Calcule o 
ângulo formado entre a altura e a bissetriz interna traçadas do vértice A. 
035. Na figura -BCE= 50º ......... 
gulo BDE. 
........ 
ao lado, ÃÊ = ÃC, CBD ,,....._ 
e DCE = 30°. Calcule o 
A 
= 20º -an-
GEOMETRIA PLANA IDITOII& O~TICA ~ 
r-ll!f .. .l ,...... . , ............... . x ..... ·.•.•.•.· . ..:. .. ..1. ............. x ... .l.U. ..... ...:. .... .J.Q... .. J ..... J . .Q ......... f.!. .. ....! .. w.•.·.·.·.·.·.· ...... .-...... ..,9. 1 n'e'n,~11 S:e1 @. •.••• .: •• @ .. ... 
036. Na figura abaixo, calcule o ângulo x. 
037. Na figura, ternos 
iguais. Calcule o 
isósceles de base 
AD DE 
valor 
Bê. 
A 
EF •••••• 
do ângulo -C! em 
c 
Pii 
função 
A 
BC, num total de n 
de .!2_, sendo ABC um 
segmentos 
triângulo 
038. Sobre umc 2ta r torna-se três pontos consecutivos~.~ e~' tais que BC ~ - -CE. Sobre BC constroi-se um triângulo equilátero ABC, e do mesmo lado de E o 
triângulo isósceles BDE, de base~ e ângulo do vértice 140º· Se~, De E 
~ 
são colineares, calcule o ângulo BDC. 
-..1111111111111!11111!11111111ll!llllil&llllllllillllll!llllllll!llllllll!llll ....... 19llll!ll!lllll!lll!llll!lllllii!l'lll!!!lll!!llilllm'iil!lllill!llll!ll'l!ll!~!lll!!i!!lllllllllllllllll' 
- _jJ --
l 
'. 
039. Na figura ao lado, ABCD é um quadrilátero 
onde AD - - .......... = BC, DAB = 80º e CBA = 40°. Um 
-ponto.!:_ e tal que o triângulo DPC é equi-
látero. Calcule o perímetro do triângulo 
APB sabendo que AB = 6cm e 155 = 3cm. 
040. Na figura ao lado,!,~ e! são colineares, 
M e N sao respectivamente os pontos médios 
de AD e BE e os triângulos ABC e CDE são 
~ "' equiláteros. Calcule o angulo CMN. 
20 
B 
E 
-. -
GEOMETRIA PLANA !OITOIIA OIOiiTICA ~ . 
f"!(., .. ·.·.·.•.•.•.J. ... ·.•.·.·-·.·.·., ····.•.·,·.·.·.·.<·.·····*········u.·.·············~ ............... •,•.•.· . .!• ........ ( ... ($ ..... J.J ... v,s;,..: ... •~······················Jl.$1:Jf n e:n·~····J 4 ....... §:. 
CAPÍTULO 3 POLÍGONOS 
001. (PUC) Em radianos, a soma dos ângulos internos do polfgono da figura é: 
002. 
a) 1T 
b~ 21r 
c) 31r -
d) 47T 
e) depende dos comprimentos dos lados 
À medida que os lados de um pol{gono crescem de 1 11té ::. ' a soma 
los externos: c) permanece constante 
a) cresce d) não pode ser prevista 
b) decresce e) vale (n - 3) ângulos retos 
dos angu-
003. O polfgono cujo número de diagonais é o quádruplo do numero de lados tem 
-genero: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
004. Do mesmo vértice de um polfgono convexo traçam-se 12 diagonais. O pol{gono 
e: c) eneagono 
a) pentágono d) decágono 
b) octógono e) pentadecágono 
,........_ 
005. Num pentágono regular convexo ABCDE, o ângulo ADE vale: 
a) 30° b) 36º c) 45º d) 60º e) 72º 
....... 
006. Num polfgono regular convexo ABCDE ••••••, o ângulo CAE mede 20°. Determi-
ne o número de lados do polfgono. 
007. Num polfgono regular convexo ABCDE ••••••, a diagonal Ãê, forma com o lado 
Bê um ângulo de 18°. Calcule o numero de diagonais do polfgono. 
008. Num polfgono regular convexo ABCDE •••••• , as mediatrizes dos lados ÃB e 
êi5 formam um ângulo de 30°. Calcule o numero de diagonais do polígono. 
009. Num polfgono regular convexo ABCDE •••••• , o ângulo formado pelas bisse-
trizes externas nos vértices A e C encontram-se formando um ângulo de 90°. 
Calcule o número de diagonais do polfgono. 
~--S.!11:!l!l!!l!!'li!!!!!!lli!!!llll!!ll!lll!l!!!!!!!!!:i!!ill!llll!ll!llll!!!l!ll!!llll 21 
• 
T 
010. Num polígono equiângulo, as bissetrizes de dois ângulos consecutivos for-
mam um ângulo de 30°. Qual o valor de cada ângulo interno? 
- -011. Num polígono regular convexo ABCDE ••••••• , os lados AB e CD prolongados, 
~ o .... ._, 
encontram-se em P. Se BPC vale 144, determine o genero do poligono. 
012. A soma dos (n - 1) ângulos internos de um polígono regular convexo 
945°. Calcule o número de diagonais desse polígono. 
-e de 
013. Calcule o número de lados de um polígono convexo, sabendo que a soma de 
todos os ângulos internos exceto um vale 2190°. 
014. Os lados de um polígono regular de.!! lados, n > 4, são estendidos para se 
formar uma estrela. Os ângulos em cada ponta da estrela valem: 
a) 360° 
90° n d) 180° -
1so0 (n - 4) ""'i'i b-) n e) 180° 
c) 180º(n - 2) n n 
015. Seja S a soma dos ângulos internos de um polígono P para o qual cada ângu-
- #l - - .. -lo interno e 7 ~ vezes o angulo externo para um mesmo vertice. Entao: 
a) S = 2660° e P pode ser regular 
b) S = 2660° e P não é regular 
c) S = 2700° e Pé regular 
d) S = 2100° e P não é regular 
e) S = 2700° e P pode ser ou não ser regular 
016. Escreva a expressão que dá o número de lados de um polígono em função do 
seu número de diagonais. 
017. Um polígono Pi tem 3 lados a mais e 30 diagonias a mais que um polígono 
P2• Quantas diagonais possui P1? 
018. A medida em graus do ângulo interno de um ;iolI1. Yno regular é um número in-
teiro. O número de polfgonos não semelhantes qtw po~r.il!m essa propriedade -e: 
a) 16 b) 18 e) 20 d) 22 e) 24 
1111Mili019. (C.N-89) O número de pol{gonos regulares, tais que quaisquer duas de suas 
diagonias, que passam pelo seu centro, formam entre si ângulo expresso em 
- -graus por numero inteiro, e: 
a) 17 b) 18 c) 21 d) 23 
020. Na figura ao lado, ABCDE é um pentágono 
regular e ABPQ é um quadrado~terno ao 
pentágono. Calcule o ângulo DBQ. 
e) 24 
B 
A 
E D 
e 
.. 
. . 
, ,. 
CAPITULO 4 PRINCIPAIS QUADRILATEROS 
001. Seja g um quadrilátero convexo. Então: 
a) g é um parelelogramo ~ as diagonais de g têm o mesmo comprimento. 
b) g é um losango~ as diagonais de g são perpendiculares. 
e) g é um trapézio~ as diagonais de g t~m o mesmo comprimento. 
d) g - paralelogramo~ as diagonais de g cortam-se ao meio. e um 
e) g - quadrado <:::::> as diagonais de g são perpendiculares. e um 
002. A afirmativa, um quadrado foi subdividido em n quadrados congruentes, acar 
reta que: 
a) n pode ser 12 d) !!. poder ser 25. 
b) n nao pode ser fmpar e) !!. pode ser qualquer - interiro. numero -
e) -n nao pode ser par 
003. (CESG) - Em um triãngulo retãngulo, a mediana relativa à hipotenusa f,.iz 
com ela ângulo de 40°. A diferença entre os ângulos agudos do triângulo é: 
a) 30° b) 40° e) 45° 
004. Num triângulo ABC retângulo em!, a mediana 
- """' -terna de Bem D. O angulo BDM, em funçao do 
le: 
" a) B 
,,.. 
b) 3B --r- e) 2B 
d) soº e) ssº 
ÃM intercepta a bissetriz - ,. -angulo ~ do triangulo ABC 
" 
d) SB ---r- " d) 3B 
in-
va-
005. Os lados de um triângulo medem Sem; 6cm e 7cm. O per!metro do triângulo 
que se obtém traçando-se pelo vértices paralelas aos lados opostos vale: 
a) 36cm b) 30cm 
006. Na figura ao lado,~'~ e r 
são respectivamente os pon-
tos médios dos lados AB, 
AL:·e ~ e Al'i a altura. Cal-
calcule o per{metro do qua-
drilátero MNPH. 
e) 24cm e) 32cm 
----10 ------·1 
007. Qual a figura formada pelos pontos médios dos ladoD de 
les? 
srn trapézio :_.s2sce~· 
008, Qual a figura formada pelas bissetrizes internas deu@ paralelogramo ;::ro-
priamente dito (não particular)? 
009. Qual a figura formada pelas bissetrizes internas dos ãngulos de um retâng:::1c 
lo? 
010, Num retângulo ABCD, dois lados consecutivos medem 26cm e 24cm. Calcule as 
diagonais do quadrilátero formado pelas bissetrizes internas do retângulo, 
011. Na figura ao lado,~ é o 
- -do lado BC, AN bissetriz 
fÃ'c e BN é perpendicular 
bendo que Alr e AC medem 
ponto médio 
do ângulo 
a AN. Sa-
respectiva-
mente 14m e 19m, calcule o comprimeg 
to do segmento MN. 
012. Na figura ao lado, ABCD é um quadrilátero 
.....-.... .,...._ D 
onde AD= BC e DAB +ABC= 120º. Calcule 
o perímetro do triângulo PQR. Sabendo que 
~, g e R são respectivamente os pontos m~ 
dios dos segmentos AC, BD e DC e que 
AD = 6m. 
A 
013. (CESG) - As bases MQ e NP de um trapézio 
medem 42cm e 112cm, respectivamente. Se o 
......... . -ângulo MQP e o dobro do ângulo PNM, então 
o lado PQ, mede: 
a) 154cm d) 77cm 
b) 91cm e) 70cm 
c) 133cm 
A 
25 ................................ . 
'. 
014. Na figura ao lado, os segmentos iJ3" e 
CD são paralelos e o ângulo D vale o do 
bro do ângulo Ê. Calcule o segmento AB, 
sabendo que AJ5 = Sem e rn = 4cm. 
015. Sejam~· z e! as distâncias dos vértices 
~. f e Q_ de um paralelogramo ABCD a uma 
reta! que contem o vértice A e é exte-
rior à ABCD, então: 
a) X + Z d) X - z y = V = 
2 
b) y = X + z e) y2 = X . z 
c) y = X - z 
B 
016. Uma reta (r) pertencente ao plano de um de um paralelogramo ABCD 
rior a ele. Se!,~ e f, distam ~· z e 
017. 
! respectivamente de!, a distância Da r 
vale: 
a) X+} + z 
b) X+ Z - 2 
c) X+ Z - y 
Na figura ao 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
d) X+ Z - y 
2 
e) y + Z - X 
lado, o valor de -~· e: D 4 e 
3t li 
X 
~ li ,'~-:.,~~ .. , 
A 16 
'" "'"" wm1r1matr·r~~µ 
-e exte-
(r) 
B 
ª 
----......... ============--~-- ---- - - ---- - -----------------,r-
,-
,:.:-:~~-~~·.•·.·.·.,.•J•.•.•.•.•.·.·.· .. ·.Á·J ........ J .. wJ.....-............. :....@.-.JJ.J, .. ,), ... ·.······•,•.·.·:·:Ú·:·:·.·.·.·.-.·.·················"h ~::r;1;::T~~ i_:.:.u.;.,.. 
018. Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo e M e N sao médios de AD e BC, 
respectivamente. Calcule x + y. 
019. Na figura ao lado,~ e z sao para-
lelos às bases do trapézio. Calcu-
le y - x.:: 4 
7 
X 
y 
19 
020. Calcule o perfmetro de um trapézio isósceles cujas bases medem 10cm e 
8cm, sabendo-se que as diagonais são as bissetrizes dos ângulos da 
maior. 
base 
021. Num trapézio ABCD de bases AB e cIT, a bissetriz do ângulo i encontra o la-
do m:::- no ponto médio. Calcule o comprimento do lado AD, sabendo que a base 
média do trapézio vale 8cm. 
022. Na figura ao lado, AD= DC = CE e BD BA. -Calcule o ângulo! do trapézio ABCD. 
tl 
023, Num trapézio retângulo ABCD, o lado obl{quo BC vale o dobro da base menor 
AB e M e o ponto médio de BC. Calcule o valor do ângulo ê do trapézio, sa 
- ,....... o bendo que o angulo DMB vale 120. 
024. Constrói-se sobre os catetos AB AC de um triãngulo retângulo, dois qua-
drados ABDE e ACFG. Dos vértices De! traçamos as perpendiculares DD' e 
FF' sobre o prolongamento de BC. Calcule a soma DD' + FF', sabendo que 
BC = 14cm. 
21 .......................... ... 
ICITOltA o,otTIC.11 ® 
-025. Na figura ao lado, as retas~ e~ sao 
paralelas e o segmento AB é perpendi-
cular a elas. Sabendo que~= iÃÕ e 
- o - -que BOC = 21, calcule o angulo AOB. 
o 
026. Na figura ao lado, ABCD é um retângu-
lo,~ é o ponto médio de~ e o triân M 
gulo ABM é equlátero. Calcule 'B"S" sa-
bendo que AB = 15m 
e 
B (s) 
027. Num paralelogramo ABCD, liga-se o vértice~ ao ponto~ médio de~. Are-
ta AR corta a diagonal liD' em Q. Calcule ÕÕ sabendo que BD vale 12 cm. 
028. Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior que os 
perímetro. 
3 
4 
do 
029. Determine a distância do circuncentro ao baricentro de um triângulo retân-
gulo de hipotenusa igual a 24cm. 
030. Determine a distância do ortocentro ao baricentro de um triângulo retângu-
lo de hipotenusa igual a 60cm. 
031. Num trtr°ngulo ABC, traça-se a mediana AM rela.ttva ao lado BC e pelo ponto 
~ uma reta que passa pelo ponto~ médio de iM e vai interceptar Ãê em F. 
Calcule a medida de ÊE, sabendo que BF mede 21,,::m. 
032. Seja ABCD um paralelogramo onde ~ é o ponto mi;dio de JJJ, e N ponto médio 
de BC. As bissetrizes dos ângulos A.e B cortam-.:1€! 1:;o ponto! e as bis-
setrizes dos ângulos n e C cortam-se no ponto f• Calcule o perímetro do 
paralelogramo, sabendo que IM = 6cm e PN = 2cm. 
28 _.!llfllllllllill'llllll .. 1111111 .. lllllllllll!!llll~BIIIII----III" 
I 
,:,:-~,. ~-····.·.·'-..!.t. ........... .J.Q.J ....... •.•,•.•.•,•.•.,w. ................... .:.: •.••• .J ....... ..$ ...... .: ..... •.•,•:·:·:·:·:·:·:·:·:,!.f,:,:·:·:·:·:·:·.•.·:·:·..f.:,:···:·~~ ~;:;; ;:;,: J i. .. .:. . .;. .... 
033. Na figura ao lado, ABC é um 
triângulo equilátero e !_-um 
ponto qualquer do seu inte-
rior. Os segmentos~, X e! 
são paralelos aos lados do 
triângulo. Calcule o perí-
metro do triângulo, sabendo 
que x + y + z = 10cm. 
034. Na figura ao lado, ABCD é um 
trapézio e Me N os pontos 
médios dos lados não parale-
los. 
Mostre que: 
a) Os pontos K, M, N e g -sao 
colineares. 
b) O perímetro do trapézio 
ABCD vale o dobro do seg-
mento PQ. 
035. Na figura ao lado, calcule o 
ângulo a, sabendo que 
é um pentágono onde R = 
90°, ÃB = BC, CD= DE e 
M é o ponto médio do 
ÁE. 
ABCDE 
n .. 
que 
lado 
A 
B 
D c 
B 
B 
c 
D 
29 .. 1111ma111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111• 
, 
CAPITULO· 5 
-001. Na figura ao lado,.~,~ e! sao 
os pontos de contato do círculo 
inscrito nos lados do tr:1.ângulo 
ABC. Calcule os comprimentos 
. ÃR, BT e CS em função dos lados 
!, ~ e S do triângulo. 
002. Na figura ao lado, AB, Ãé e BC 
são tangentes ao círculo em~, 
~ e 1• Calcule o perímetro do 
triângulo ABC, sabendo que ÃR 
vale 15cm. 
B 
A 
, 
.CIRCULO 
A 
• 
T e 
R 
• 
003. Sejam~,~ e! os pontos de contatodo círculo ex-inscrito relativo ao la-
do! do triângulo ABC, Calcule ÃR, BT e ês em função dos lados!,~ e c do 
triângulo ABC, 
• 
A c s 
004. Na figura ao lado, calcule RM, 
SP e TN em função dos lados!, 
b e. c do triângulo ABC. 
005. Na figura ao lado, calcule o 
perímetro do quadrilátero cir-
cunscritível ABCD, sabendo que 
AB = 3x + 3, Bê= 4x, CD= x + 
1 e AD = 2x. 
• 
A T C N 
e 
30 
,!..-.. ~·.··)~ ..... ·.·.·ff .................... :.e. ........ •.•.•.w., ................... .:.e .. m ... ..J.,, .. ).!.$. .................... wf·.·············J. .......... ...P.~;::ra:::;,:J!.t.t...Q.., 
A 
006. Na figura ao lado, o perímetro 
do triângulo ABC vale 20 cm, a 
base BC mede 8cm e o círculo 
está inscrito no quadrilátero 
BCED. Calcule o perímetro do 
triângulo ADE. 
007. Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo retângulo de se-
mi-perímetro 15cm e hipotenusa 13cm. 
008. Na figura ao lado, o raio do círculo 
inscrito no triângulo retângulo ABC 
mede 3cm e os círculos de centros B 
e C têm raios iguais aos catetos~ e 
~ respectivamente. Calcule a medida 
do segmento MN. 
009. Na figura ao lado, o triângulo ABC 
é retângulo em! e a altura ÃH = 
12cm. Calcule a soma r1 + r2 + r3, 
onde r 1 , r2 e r3 sao respectiva-
mente, os raios dos círculos ins-
critos nos triângulos ABC, ABH e 
AHC. 
010. Na figura ao lado, AB e CD são as 
tangentes externas aos dois círcu-
los. A tangente comum interna 
intercepta as ~angentes externas .... 
nos pontos E_ e g •. Calcule PQ saben-
do que AB = 15cm. 
A 
A 
c 
31 ................................ . 
• 
IDITellA DIOATICA ® GEOMETRIA PLANA 
,.·.················· n'"e:n~~111-• k.Q.. .......... , ....... ,.,., ......... ·.·.·.·.· ....... ..t. ............ J. .............. ..Jt!! •. i.í.l.. ........ ...!M#.W&At ....... M ... .t.lf4i\!.I:~' · .. !l!ll 1~ i'l'. 
011. Na figura ao lado, a reta ré tangente 
ao círculo, AB = OA, ÓAc =-126º e ÃN e 
Bé são perpendiculares à reta!• Cal· - -cule o angulo ACB. 
012. Uma moeda de raio Ré colocada sobre uma mesa.Quantas moedas de mesmo raio 
~ podem ser colocadas em volta desta, tangentes a ela e as outras duas? 
013. Mostre que o comprimento de cada um dos lados não paralelos de um trapézio 
isósceles circunscritível é igual à sua base média. 
914. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. A soma em radianos, 
dos ângulos~ e] mostrados na figura é: 
a)! 
4 
b) ! 
2 
e) ,r 
d) ~ 
·2 
e) 2,r 
015. O quadriláteroPQRS está inscrito numa circunferência, como mostra a figura 
- -abaixo. Calcule a medida do angulo QSR. 
s 
016. Na figura ao lado, ÃB é o diâmetro do 
semi·c!rculo e a tangente (t) é para· 
lela ã corda Ãc. Calcule o ângulo!• B o 
32 .............. llllllllllllill,';:!IBI ...... ~ 
® 
/_. ... ~ggf;f!&.;. ·~~-.-·.··.·.J ... ·.·.·.<·.·······.fü·.·············.-.Z.w.C . .Q ........ .!) . .• , • ..J •...• J. ,.•hw...-.-.-.·,·.·,·.·.·.·.w.·.·.·.•.•.•.•.•.•.-.•.·.·.·.•.•§! 1 ~::~:, :7:T,:A ...... ) ..... ~·., 
017. Na figura ao lado, o quadrilátero ABCD 
e inscritível no círculo de centro o. 
A soma dos quatro ângulos inscritos - - - e t, vale: x, Y, z 
a) 180° 
b) 540° 
c) 360° 
d) 450° 
e) 1080º 
018. Na figura ao lado, O é o centro do 
círculo. Calcule o ~ngulo ÓQP, sa-
~ - o ~ bendo que ROQ e igual a 80 e ORP = 
20°. 
019. Na figura abaixo, calcule o ângulo x. 
' 
020. Na figura ao lado, (t) e (t') sao 
tangentes aos círculos em!• Cal-
cule o ângulo â, sabendo que ÁMB = - -65° e ANB = 550 
B 
A 
e 
D 
R 
........................... ~33 ........................... ~ -
1 
l 
.,•,•,.•,• .. ,,. 
021. As semi-retas PM e PN são tangentes ao círculo da fi.gurc, e compritnento 
~ - - ,,,.,..., do arco MGN e 4 vezes a do arco MFN. Calcule o Ângulo H?N, 
G 
p 
022. Seja o pentágono da figura inscrito numa circunferência de centro ,Q. Sa-
- .,,,..... º e - - -be-se que o angulo POQ vale 70. alcule a soma dos angulos x e l• 
T 
023. Dois círculos de raios diferentes interceptam segundo uma corda ÃB. Uma 
reta contendo B determina nos círculos as cordas BC e BD. Se o ângulo éAD 
= 70°, determine o ângulo formado pelas tangentes aos cfrcul0s nos pontos 
e e D .. 
024. O triângulo PAB é formado por três tangentes ao círculo de centro O e -an-
........ 
gulo APB : 40°. Nestas condições o ângulo AOB é igual a: 
a) 45° 
b) soº 
c) ssº 
d) 60° 
e) 70° 
............................. 34 
} 
---- -----
- --- --- -~ 
,. .... ~ .. :Wl ........ ..z..: ... ·.•.•,,•., ... ..$ ............ J.J ... ,W..J..J ....... OC.fa .... au ......................... W.w ......................... ,.,~::r;i;:;T~1T .. .s4, ... 
025. Se os três pontos de contato de um círculo inscrito em um triângulo sao 
ligados, então os 
a) sao sempre de 
b) sao sempre um 
c) sao sempre um 
ângulos do triângulo resultante: 
60°; 
ângulo 
ângulo 
obtuso e dois agudos distintos; 
obtuso e dois agudos iguais; 
d) sao sempre ângulos agudos; 
e) sao sempre três ângulos distintos. 
026. Na figura ao lado, CD é o diametro \ 
do semi-círculo de centro o. - /""-.. Cal- A --===~~~~--,1,-~~~~--'"--'--~~~~ cule o angulo BAO, sabendo que AB 
= OD. 
027. Na figura ao lado, (!) é tangente à 
circunferência e perpendicular à 
reta (s) no ponto P. Calcule o ân-...,......... ......... 
gulo PBC sabendo que o ângulo ACB 
vale 40°. 
o 
e D 
(s) 
p e 
028. Seja l um ponto exterior a um circulo. Traçam-se a tangente PA e a secante ,.........,. 
PBC, onde A, B e C pertencem à circunferência. Sabendo que o arco BAC = - - .,,...,::: 
210°, o ângulo PAC= 105° e que BC = 8cm, calcule o segmento ÃC. 
029. Na figura ao lado, a circunferência 
é tangente aos lados do ãngulo reto 
........... 
XOY nos pontos~ e~· Calcule o ân-
"""' -gulo BOY, sabendo que o arco MB va-
le o dobro do arco MÀ. 
.._ _____________ 35 
M 
N 
o X 
030. Na figura ao lado, calcule o ângulo 
â sabendo que ABC é um triângulo 
retângulo em Ã, ÂM bissetriz inter-
na e MN perpendicular à hipotenusa. 
B e 
0~1. ABCD é um quadra.do cujas diagonais cortam-se no ponto I. Constrói-se exte-
riormente um triângulo equilátero ABM. Calcule o ângulo ÁIJ, sabendo que J 
é o ponto médio, do lado ÃM. 
.M 
032. Seja!, o centro de um quadrado constru{do sobre a hipotenusa AC do triân-- """' gulo ABC. Calcule o angulo PBC. 
p 
B 
e 
A 
- -033. Na figura ao lado, AD e BE sao duas 
alturas do triângulo ABC. Sabendo - ......... que o angulo BAC mede 64°, calcule - --. o angulo ADE. 
i 
/ 
-~Ll B D C 
36&; b &E 
GEOMETRIA PLANA ~ IDITOIIA DIOÍ.VIC~ ~ . 
,:,:,:,:·:·:·:·:·:·:.Mfü.).l.J.J.t ... .:.:.:...:. .... ·.·.·.·.•.·.•.·:·x.§.. ..••• w.•,•,•.t . .J.t .... .: ..•...••... ,$,..$.$. ....... .1.$ . .&&, .. &ZQJ.. ...... f.,.!. .• f.f .f.f .. )! ......... ..§. .............. •.•7. n:.: g;; ' p '. :.:..,.G.t.t.Ç ... 
034. Considere o triângulo ABC da figura 
ao lado onde à = 70° e tJ = aoº. -bendo que AA 1 , BB' e CC' -sao 
alturas do triângulo, calcule o 
/'-.. 
gulo C'B'A. 
035. Na figura ao lado, o ângulo! do 
triângulo ABC vale 40º e~ é o 
seu ortocentro. Calcule os ângu-
los do triângulo MNB' sabendo 
que Me~ são pontos médios de 
AH e BC respectivamente. 
Sa-
as 
~ 
an-
A 
B 
A' c 
A 
B A' N 
~ .......................... 37 .. 1111111111 ....................... ...., 
J 
i IDITOllldl OIIIATICII @ GEOMífJlUA PLANA 
c;,J ••.·.w.,• ............. m.111111 .......... · .. io,i\'jt'~··!lt~~~·-.Ji!?l,1Ulí.., .. P ;..;.;a• 
CAPÍTULO 6 LXNHAS PROPORCIONAIS - SEMELHANÇA 
001. Calcule x nas figuras abaixo: $/ /r 
a) 
----++- t/ / s 
e) 
r//s d) 
s//l 
30 
/; -*rS//r 
t//u r 
e 
X 
A D 2 B 
g) 
8 5 
/ ex 
L ___ 6_~.~~ 
X 4 
• 
GEOMlfflUA PLANA k ._ -"-~ ~ .. 
,-!\:.~.;.;.,.f.\.;!!l!.f.!.\ ....... ;.,,;.;.w ...... ).i.!.:l~--,.W.h.&W.!.t. ......... .Uü.t.W. ...... tt ... 1 t !! J.UJMX...JRJ.f . .Q ••• , •••• ..f.i.!.:-!.@.!.f.,.!& p: •: n;; 1 1 i • tlJ ... !ffl§ .... 
002. Na figura ao lado, calcule o 
segmento AB, sabendo que BC 
= 2cm e CD = 3cme 
003. Num triângulo ABC,AB = 12cm, AC = 8cm e BC =Sem.Seja Q o pé da bisse-
- - IA triz interna AD e I o incentro do triangulo. Calcule a razao IDº 
004. Um triângulo ABC é tal que AC/BC = 3/4. A bissetriz do ângulo externo e 
- -corta AB no ponto f• Calcule a razão PA/AB. 
005. (INTEGRAD0-89) Considere um decágono regular convexo inscrito em uma cir--cunferência de raio R. Sabendo que BC é bissetriz do 
- -- (/5' - l)R o lado do decagono e tio= 2 
- .,.--...._ angulo ABO, prove que 
A 
006. Na figura ao lado, AB = AC = 2cm. C~ule 
o lado BC, sabendo que o ângulo BAC "' 
36°. B c 
A 
007. Na figura ao lado, - BD 1 ~ = 22' ID: '" 4' 
DE/ /BC, DF / / AC e EG//AB. Calcule o 
segmento FG. 
B F G e 
iil 1 -mm- • i\~~ 39 
.•,•.· .. •.•.•,,•,, IDl:OIIA ·:1DjT: .:( ... ,•,•,•,•,l,.,•,•,,,·,·.·.·,·.·.·.·.·.•.·.·.·.·.•,• ..... •.•.•.•,•,•%,,.•,•,•.-,•,•m,•.J.,,,,,,.J.J. .. ,,.,(,,.,,,,),,,•,•,•.•.•,•,•.•,•.•.•.J.J.Q....,.-.J.JJ.ililiit,J1fft!JL 
F 
008. No paralelogramo da figura ao lado, temos - - -EF = 32 e GF = 24. Calcule BE. 
009. O losango ADEF está inscrito no triâ~gulo ABC, como mostra a figura.· Cal· 
cule o lado t do losango, sabendo que AB = 12m, BC = 8m e AC = 6m. 
A 
010. (PUC-86) No triângulo ABC ao lado, AH - - ~ -e a bissettriz do angulo BAC e EH e 
paralela a AC. Sabendo-se que BE= 5 
e AB = 8, Ache o comprimento do seg-
mento AC. 
011. Na figura ao lado, calcule x. 
012. Na figura ao lado, calcule o lado do 
quadrado ADEF inscrito no triângulo 
retângulo ABC de catetos 12m e 24m. 
A e 
10 
F 
D 
40 ........................ ... 
• 
® GEOME".l:RIA PLANA r IOITOIIA º'°"Tª 1 _ 
,. ............. Q.!..S.t. ............. Q ....• .l.f .......... ) ............ x.:. ....... fil!t.!!J.J...t.O. ... W).$.&.J.J. ... JJ.!BEU&%.l.i.t ... ,!.!.!w.·.·············.JJ.J.i ......... &I o:•: p;; 1 p i•I U. I.\ 
013. Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado e o triângulo ABC é retângulo em A. 
Calcule AQ, sabendo que MB = 15' - 1 e QC = 15' + 1. 
A 
014. Na figura ao lado,!:! é ponto médio 
de AB, B ponto médio de BC e PQ 
paralelo a BC. Calcule AB, sabendo 
que PM = 2cm. 
. 
015. Considere a figura ao lado, onde! 
é o incentro do triângulo ABC. 
Sendo IJ//AB e IK//AC, calcule o 
maior lado do triângulo IJK, sa-
- -bendo que AB = 6m, AC = 12m e BC = 
9m. 
B J 
B 
K 
016. Calcule, em função das bases! e~, a altura h de um trapézio retângulo de 
diagonais perpendiculares. 
017. Em um triângulo ABC a bissetriz interna de à encontra o lado BC em D e o 
círculo circunscrito ao triângulo em J. Sendo JB = 6cm e JD = 4cm, calcule 
o comprimento da bissetriz AD. 
018. Um triângulo tem 21cm de perímetro. Pelo seu baricentro é traçada uma reta 
paralela a um.de seus lados, a qual forma com os outros lados um triângulo 
de perímetro igual a: 
a) 15cm b) 12cm c) 18cm d) 14cm e) 15cm 
............................... 41 .......... 1111111 ............... .. 
.. 
,. ... ..J. .. 1u4if.r,;1::;:J.: .............. .1., •.• ,.,., ............................ .$J. ......•. ,1.., ....... @.:.:.u. . .:JJ.1JJ ... c.. .... ...:.w.w.w.t .. w.: ... .as.illilIA .. ..f:WI: .. 
019. Na figura ao lado, ABC é um triângulo - - - -isosceles onde AB = AC = 12m e BC = 
6m. Calcule o perímetro do triângulo - ·- -ARS, sabendo que BR e CS sao bisse-
trizes internas. 
- -020. Na figura ao lado, AB = 3cm e CD= 2cm. 
Calcule o comprimento do segmento EF~ 
021. Na figura ao lado, ABC é um triângulo 
equilátero de lado 6cm e M é o ponto 
médio do lado AC. Calcule o segmento 
NB, sabendo que CS = 42cm. 
022. Na figura ao lado, ABCD é um trapézio de 
bases 10 cm e 15 cm. MN é a paralela às 
bases passando pelo ponto de concurso 
das diagonais. Calcule MN. 
023. Considere os quadrados da figura. Calcule!• 
~10 
A 
B e 
A 
A 
·----------------- 42. WFA a §4 ;;w &M4.i!ii1J.4iLt1,ft~~----· 
B 
w 
• 
, ... .illiiit .. :J::!tu ....... .t.f.J.t. . ...&.t !iii!JMO.U .. .1.J.J. . .!. J IOITOIIA D~TICA ~ ;; :: JJt. IJ..& ............. f .......... •,•:•x I n •• ; n • = 1 1 1 e 1 .t.t.l.1.4, ... 
024. Considere os três quadrados da figura. Calcule x. 
l"'li..J...--_9 
025. Um trapézio tem bases respectivamente iguais a 2m e 3m e altura 
lSm. Calcule a distância do ponto de interseção das diagonais 
maior. 
igual a 
' a base 
026. Um trapézio de 9cm de altura tem bases respectivamente iguais a 6cm .e 
12cm. A 3cm da base maior é traçada uma reta paralela às bases. Calcule o 
segmento dessa paralela limitada pelos lados oblíquos às bases. 
027. Em um cfrculo de centro O e raio 10, traçam-se dois diâmetros perpendicu-
lares AB e EF e a corda AC, como mostra a figura. Calcule o ~egmento ÁD 
sabendo que AC = 16 • 
F 
o 
E 
028. Na figura ao lado, ABC é um triângulo de 
alturas ÃD, BE e êF respectivamente e H 
o seu ortocentro. Calcule HE, sabendo 
que BH = 4cm, CH = 6cm e HF = 2cm. 
029. Na figura ao lado, consideremos a corda 
AB e as tangentes ao ·cfrculo nos pontos 
- -! e!• Calcule PM sabendo que PN = 2m e -PQ = 4,Sm • 
B D c 
...................................... 43 ............... 111111!1 ... llllllllllll ... lllllllll .... 
---------
030. Um triângulo ABC inscrito num círculo tem AB = 15 e BC = 25. A reta tra-
çada pelo vértice A, paralela a tangente ao círculo no ponto~. intercepta 
o lado BC no ponto D. Calcule DC. 
031. Na figura ao lado, as cordas AB 
e AC medem Sem e 6cm respecti-
vamente e AH= 3cm. Calcule o 
raio do círculo. 
-032. Na figura ao lado, calcule DQ, 
- -sabendo que BP= 3m, AR= 4m e 
CS = 6m. 
A 
A 
033. Unimos o vértice A de um triângulo ABC a um ponto M do lado BC. Por B e 
traçamos as paralelas à AM que encontram AC e !:! e AB em P. Mostre 
1 1 _ 1 
w+w-AM"· 
034. Na figura ao lado, ABC é um triângulo 
de alturas AD, BE e CF respectiva· 
mente. Calcule DF sabendo que BD= 3cm. 
DC = Sem e DE= 6cm. 
e 
que 
035. Na figura abaixo,! e~ são os centros dos grandes círculos e raios dife-
rentes e as linhas traçadas por f e D suas tangentes. Mostre que os peque-
nos círculos inscritos têm raios iguais. 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
, 
CAPITULO 7 
001. Nas figuras abaixo, mostre que PA. PB =PC. PD 
a) b) 
2 -002. Na figura abaixo, mostre que PT = PA. PB = d2 - R2 , onde d é a distância 
do ponto f ao centro do círculo e~ o raio. 
p 
003. Nas figuras abaixo, Calcule x. 
a) 
.. 
o 
. •.·.· .. ·.·.·.,•,, 
IDITOIIA o,o,TICA ® GEOMETRIA PLANA 
• • • ··············-···.·-···-··-.... •.•,•,•,•.·.·.·.•.•,•,•,•,•,•.•,•,•, .. ,.!,.,_,•,•,•,•,•,,,, ........... ~·.• •• •.•.•.•,•,,•,•,•,•,•,•,•,•,•,•,•,• •••• •,•.•. ••• •• ••• • •••••• ,..•,• ••••• 
f) 
X 
10 
·1 
1 
1 
1 
1 
. 
004. Na figura ao lado, Q e o centro 
2 3 6 
do círculo. Calcule as potên-
cias de!,~, f e Q• A 
B c o 
005. Calcule~ para que a pot A+ pot B + pot C seja igual a zero. 
(o) (o) (o) 
6 
006. Um p~nto f está no interior de uma circunferência de 13 cm de raio e dista 
5 cm do centro da mesma. Pelo ponto P traça-se uma corda AB de 25 cm. De-
termine os comprimentos dos segmentos que f determina sobre a corda XB: 
007. Considere as cordas AP = 13 e BD= 12 de urna circunferência que se inter-
ceptarn no ponto g; e um ponto C da corda AP, tal que ABCD seja um parale--lograrno. Determinado este ponto f, calcule AC. 
B 
p 
008. Por um ponto f distante 9 cm do centro de um círculo de 7cm de raio, tra-
ça-se a secante PBC ao círculo de modo que PB valha a metade de PC. Calcu-
le o comprimento do segmento PC. 
46 .......................... .. 
,. .. -~., Ili .... ,. ,..... .... .... . . . ....... ., l;r;;::;J~ ) 4 • ' ' " /'4i< ' - • •• • • • • .: •••• • ~ ••• • .. ,• •• • • ; 
009. Na figura, ABC representa um trecho reto de uma estrada que cruza o pátio 
circular .. de centro O e raio r. Se AC = 2r = AO, então calcule BC em função 
de AB. e 
...,,:::._ ___ ~~ - - --
A o 
010. Na figura abaixo, PA é tangente em A ao círculo. PA =PC= CB, PD = 1 e DE 
= 8. Calcule AC. 
D 
p 
011. 
,-.. 
Considere um arco AB de uum cfrculo. Seja No ponto médio do arco em M o 
ponto médio da corda~.Calcule 0°raio do cfrculo sabendo que AB = 18cm e 
MN = 3cm. 
012. Na figura ao lado, ABC é um triângulo 
de alturas ÃD, BE e êF respectivamen· 
A 
te. Calcule ÃF sabendo que ÃB = F , .. r...__,.,, 
10cm, Ãc = 15cm e ÂE = 4cm. 
013. Na figura ao lado, ABC é um triângulo 
de alturas ÃD, BE e CF respectivamen-
te e~ o seu ortocentro. Calcule HE, 
sabendo que filf = 4cm, CH = 6cm e HF = 
2cm. 
B D 
B 
c 
D e 
014. Na figura, calcule TT'. sabendo que MA = 4cm e AB = 9cm. 
T 
•• . ·• 
T! 
015. Do vértice! de um triângulo ABC, traça-se a mediana AM e a bissetriz in-
terna AD. O círculo que passa por A De M corta AB em E e AC em F. Mostre 
que BE= CF. 
48 .............................. .... 
1...!~ .. .t~:.,,,,,,,J,,,,,,_.,,.-,,,,J.O.&Qt. .... ,,W,'.t,,,,r,~,,,,,,,,, ... ,. 1 i!d ,,-..,~v,W,','•º•'•'J,,,',',',',@l ;:::;1:7:1.:.~!.,z.;:,, 
N , A 
CAPÍTULO 8 RELAÇOES METRICAS NOS TRIANGULOS 
001. Nas figuras abaixo, calcule x. 
a) 
c) 
g) 
X 
9 
5 
10 
X 
7 
8 
3~ 
b) 
2 
3 X 
8 
·r-..__ ___ 20 
9 
f) ....... ----4 
/ 
h) 
/ 
/ 
/ 
25 
X 10 
X 
X 
.................................... 49 ........................... .. 
i) 
X 
45° 
14 10~ 
1) 
k) 
X ~ 
8 
CENTRO 
002. Na figura ao lado, OA = OB = R. Calcule 
o raio do círculo tangente aos semi-cÍ! 
culos de diâmetros AB, ÕÃ e ÕB. 
003. Do mesmo lado de uma reta sao traçados 
três círculos tangentes 4 reta e tan-
gentes entre si dois a doi.s. Sabendo 
que os raios dos círculos maiores vale 
12m, calcule o raio do menor. 
004. Calcule o comprimento da tangente comum 
externa a dois círculos tangentes de 
raios 8m e 2m respectivamente. 
50 ifl'ffffi 7 i 
3 
4 
X 
• • 
005. Os centros das du.as circunferências es-
tão separaáas de 4lm. A menor circunfe-
rência tem raio igual. a 4rn e a maior 
Srn. Calcule o comprime,,to da tangente 
comum interna. 
006, Na figura ao lado, os círculos maiores 
têm raios de 8m e 2rn respectivamente. 
Calcule o raio do círculo menor. 
007. ~SGRANRIO) Na figura ao lado, o ângulo 
XOY é de 45°. Se A1B1 e A2B2 são perpen-- -- - -diculares a OX e se A2B1 e A3B2 sao per-
pendiculares a OY, calcule a razao A3Bz 
AzB1 
008. (CESGRANRIO) Na figura ao lado, o quadri 
látero MNPQ é inscritível num círculo de - -diâmetro MP. Os lados MN e MQ têm o mes-
- A • mo comprimento i e o angulo NMQ e de 
120°. Calcule o comprimento do lado NP. 
009, (CESGRANRI0-89) Observadores nos pontos 
A e B localizam um foco de incêndio/\lo-
restal em F. Conhecendo os ângulos FAB = 
o"-· - -45, FBA = 105° e a distancia AB = 15krn, 
determine as distâncias AF e BF. 
X 
• 
y 
M 
Q N 
.. 
IDITOIIA DIOI.TICA ® 
, .. ·.· .. ·.·.·;-.• .. 1n:•.n•-:111-.... ... ·.·.·.················································································································· .·.·.······················ ...... ,.·.···············-
010, (CESGRANRIO) Um quadrado ABCD de lado~ 
tem cada um de seus lados divididos em 
9 partes iguais, Ligando-se com segmen-
tos de reta os pontos de divisão, se-
gundo a direção da diagonal 'Kc, ob-
tém-se o hachurado mostrado na figura, 
Calcule a soma dos comprimentos dos 17 
segmentos assim obtidos, 
011, (CESGRANRIO) Na figura ao lado, as 
quatro circunferências internas têm 
raio R, calcule o raio da circunferên-
cia maior, 
012, O ponto mais baixo de uma roda gigante circular de raio 6m dista lm do so-
lo, A roda está girando com três crianças que estão, duas a duas, 
distância, A que distância do solo estão duas delas, no momento 
outra está no ponto mais alto, 
013, Canos de 50cm de diâmetro externo sao 
empilhados corno mostra a figura de modo 
que cada cano está em contato com seus 
vizinhos imediatos, Calcule a altura h 
indicada, 
014, Na figura ao lado, o setor circular de 60° 
está circunscrito ao círculo de raio R, 
Calcule o raio do círculo sabendo que o 
raio do setor vale 6rn, 
-a mesma 
em que a 
015. (CESGRANRIO) Na figura ao lado, os cír-
culos de raio R e r são tangentes ex- ~ 
ternamente, a reta (s) passa por seus (s) 
1 
R. , ~ 
T-----J_ l, Ir \ 
centros, e a reta (t) é tangente a --7:-.Â::____1"----::::,...,:::::i~ 
ambos os círculos. Calcule a razão 
sabendo que o ângulo de s com 
:30º. 
t e 
r 
'!{' 
de 
016. (UFF-90) Na figura abaixo, as circunferências têm raios iguais a R e estão 
inscritas em um triângulo equilátero de lado igual a 2cm. 
Assinale a alternativa que representa o valor de R. 
a) R = 1 cm 1 + 13 
- 13 b) R - 1 + 13 cm 
c) R = 3 cm / 1 + 12 
d) R = 13 2 + 13 cm 
e) R = 2 cm 2 + 13 
017. As medianas de um triângulo retângulo desenhadas a partir dos vértices com 
ângulos agudos são 5 e 14õ. O valor da hipotenusa é: 
a) 10 d) 2/U 
b) 2'7+U e) 1313' 
c) ln 
018. Um acampamento para meninas fica localizado a 300m de uma estrada reta. 
Neita estrada, um acampamento para meninos fica localizado a 500m do acam-
pamento das meninas. Deseja-se construir uma cantina r,a estrada que fique 
exatamente à mesma distância de cada acampamento. Essa. d:i.<>cânc:~a será de: 
a) 302,Sm d) 312,Srn 
b) 305m e) 315m 
c) 308,Sm 
• 
019. Na figura ao lado, Er = 1 e 
m'.i = 3. Calcule o lado do 
quadrado ABCD. 
020. Na figura ao lado, o triângulo ABC 
é retângulo em A, ÃB = 3m e MA = 
MC = MN = 2m. Calcule o comprimen-
to do segmento NB. 
021. Calcule o raio do círculo que passa 
pelo vértice C e tangente aos lados 
ÃB e ÃD do quadrado ABCIÍ de lado 
lm. 
c 
A 
A B 
022. Dado um quadrado de 8cm de lado, considere o círculo que passa pelos A e D 
e é tangente ao lado BC. Calcule o raio do círculo. 
023. Dado um quadrado de 4m de lado, considere os quatro círculos de 2m de raio 
que têm seus centros coincidentes com cada um dos vértices do quadrado. 
Calcule o raio do círculo tangente exteriormente aos quatro círculos. 
024. Na figura ao lado, AD e BE sao per-
pendiculares e medianas do triângu-
lo ABC. Calcule AB sabendo que BC = 
7cm e AC = 6cm. 
A 
E 
c 54 _____________ ..,. 
')2.5, As bases de u:.i trapézio isósceles circunscrito a uma 
4m e 9m respectivan, 0 nte. Calcule a altura cio trapézio. 
circunferência medem 
026, Um trapézio circunscrito a uma cir-
cunferência como mostra a figura ao 
lado tem base maior ÃÊ igual a 12cm 
e os lados não paralelos respecti-
vamente igua a 6cm e Bem. Calcule o 
raio do círculo, 
A 
027. Um trapézio tem bases respectivamente iguais a lcm e 6cm e os lados oblí-
quos medem 3cm e 4cm. Calcule o comprimento do segmento que une os pontos 
médios das bases, 
028, Um trapézio isósceles cujas diagonais sao perpendiculares aos lados nao 
paralelos tem bases respectivamente iguais a Sm e 4m, Calcule a altura do 
trapézio. 
029. Um triângulo isósceles ABC tem 
base igual a 4cm e está cir-
cunscrito a um círculo de lcm --de raio. Seja EF uma paralela 
à base e tangente ao círculo 
inscrito. Calcule o segmento -EF. i Í 
/ 
B 
E !,-
(/ 
\ 
'"' , ____ 
030. Se base maior de trapézio isósceles - igual a um e a 
igual ' J altura, então a razão entre a base menor e 
' b) 2 3 d) l 2 a) L c) e) "- 3 4 ) 
A 
~ 
" \\ 
~i 
e 
diagonal e a base menor 
, 
a base maior e: 
031.. Em um lugar de caminhar pelos lados de um retângulo, uma pessoa preferiu 
tomar o atalho da diagonal, economizando desta maneira metade da distância 
do maior lado, Então, a razão entre o menor e o maior lado do retângulo é: 
1 
a) J b) 2 3 
c) 1 
4 
IDITOH OIDAITICA ® GEOMETRIA PLANA 
, ... ·.•.•.•.•,•, .·.•. n •: n • = 1 1 1 e 1 ... , .... · ·.· ·.·.-,·.-.·.·.·.·.·.·.·.·.·.· · ·. ·.·.·.·.·.- ........ ·.·.·.-.·.·.· ·.·.· · ............ ·.·.·.·.·.·.-.-.·.···············'·'·:·.·.·.·.·.·.·.·.-.·.··············J ..... J. · · · · · · , ..... l. · .... · · · ·.· · . .1.ú@;. 
032. Se a razao entre os comprimentos 
1 Então a 2· razao entre as partes 
mesma por urna reta perpendicular 
a) 1 b) 1 1 1 4 72 c) 2 d) 75 
dos catetos de um triângulo 
da hipotenusa que resulta da 
a ela passando pelo vértice 
e) 1 3' 
retângulo 
divisão. 
oposto e: 
. 
e 
da 
033. Um octógono regular é formado cortando-se triângulos retângulos isósceles 
dos cantos de um quadrado. Se o quadrado tem lados de comprimento lrn, então 
o cateto desses triângulos tem comprimento: 
a) 2 + 12 3 rn b) 2 - 12 rn 2 
) 1 + 12 c 2 rn 
d) 1 + 12 rn 
3 
e) 2 - 12 m 
3 
034. Duas cordas perpendiculares cortam-se dentro de um círculo. Os segmentos de 
urna medem 3 e 4; da outra, 6 e 2. Então o diâmetro do círculo é: 
035. 
a) 189 d) 175 
b) 156 c) l6I e) 1'65 
Num círculo de centro o, o ponto médio do raio 
-ox é Q, AB e perpendicular a XY • o se-
mi-círculo cujo diâmetro e AB, corta XY no 
ponto M. A reta AM corta o círculo em C, are-
- -ta BM corta o círculo em D. A linha AD é tra- X 
çada. Se o raio do círculo mede R, AD mede: 
a) R/2 b) R c) R 13 d) R 12 
2 
R r~ 
e) -2-
e 
036. Dado um quadrado ABCD de lado igual a 4rn, determine a menor distância do 
ponto de encontro das diagonais ao vértice D, tocando no lado BC. 
037. (INTEGRAD0-89) A construção descrita ao 
lado utiliza apenas régua e compasso. 
Na circunferência de centro O e raio R, 
M é o ponto médio do raio OA' e, com 
centro em Me raio MB, é traçado o arco 
- -de circunferencia BD, cortando o diâme-
(/5 -1) 
tro AA' em D. Mostre que DO= ~lO = 2 R 
56 
B 
B' 
GEOMETRIA PLANA 
,..,.;.;.;.;.:.;., .... 9.i!C.1.i.t.t.tl,I. .. J.JJ..ll~~-&J.Q!Q .................. , ..... , ... · ... ..t •• .f ....•• J.i.i • ...XQ. .... J..J •••• .t ....... , .......... ffi .. , ... ,i,.. .......................... ,. n • ·", ~ • • 1t • • @.a;:.,. 
038. Na figura ao lado, o raio do semi-círcu 
lo vale 5m, C é ponto de tangência e AM 
= 8m. Calcule o segmento CD. 
039. Calcule a soma dos raios dos círculos 
da figura ao lado, sabendo que eles 
são tangentes -cada um a dois lad<1s 
consecutivos do retângulo RSTU de di-- - -mensões RS =TU= 9m e ST = RU = 8m e 
tangentes entre si. 
A 
M 
o 
u T 
s 
040. Dois círculos concêntricos sao tais que a corda de 36cm do maior é dividida 
em três partes iguais pelo menor. A soma dos raios dos dois círculos vale 
36cm. Calcule o raio do maior círculo. 
041. Um trapézio retângulo cujas diagonais são perpendiculares é tal que a menor 
diagonal é igual a um dos lados não paralelos. Calcule a altura do trapézio 
sabendo que a base menor vale 4cm. 
042. Na figura ao lado, calcule o lado do 
triângulo equilátero ABC. sabendo 
que AD= ÃE = /7cm1BD =CE= 2cm e -DE= lcm. 
A 
B e 
• 
IDITOH OIDATIC& @ GEOHE'l'RIA PLANA 
,.•.·.· .. ·.·.······· .Q.J ... ·.·.·.·.·.·,.·.•.•.·.·.·.·.·).1.1. ·.· ......................... .:. •.• , ... ·.·······.:.. ................... · ... ·.·········) •••. ·.· ........... ..:. .... ·.· ... .Jl!J.J.f..t.tt ... J.J ..................... ) .. .&(% 
043. Na figura ao lado, ABCD é um trapézio 
isósceles de bases respectivamente 
iguais a 30cm e 40cm e diagonais per-
pendiculares. Calcule o segmento MK, 
sabendo que este segmento é perpendi-
cular ao lado oblÍquio BC. 
A 
D C 
044. (PUC) Um homem está parado a uma distância de 40m de um poste A e a 30m de 
um poste B. Uma mulher caminha de tal forma de sua distância do poste A 
~ 
e 
sempre igual à sua idstância do poste B. Sabendo que a distância entre os 
postes é de som, pergunta-se: 
a) Qual a menor distância que poderá ocorrer entre o homem e a mulher? 
b) Quando a mulher se encontrar à menor distância (referida no item (a)) 
do homem, a que distância ela estará dos postes? 
c) Qual a distância entre o homem e a mulher, quando a mulher estiver si-
tuada sobre a linha reta que une os dois postes? 
045. (E.N.-89) ABCD é um quadrado de lado 12, E é o ponto do lado CD tal que DE 
= 4, M é o ponto médio de ÃE, a mediatriz de AE intercepta o lado Bê; no 
ponto Q. Calcule o raio do círculo circunscrito ao quadrilátero EMQC. 
046. Na figura ao lado, a corda ÃB faz 45° 
com o diâmetro ên. Calcule o raio do 
círculo sabendo que PA = 2cm e PB = 
4cm. 
047. Na figura ao lado, o diâmetro da circun 
ferência·e igual a Sem, AB = 3cm, BC = 
2cm e CD= 4cm, Calcule o lado AD do 
quadrilátero inscritível ABCD. 
c 
2. 
-------B 
3 
X 
D 
ss ............................ r 
,, 
\ 
,-. 
1 
• .. 
048. Na figura abaixo , P é o ortocentro do triângulo Acutângulo e escaleno ABC. 
Calcule o diâmetro do círculo, sabendo que AB = 12cm e CP= Sem. 
e 
049. Na figura ao lado, AB BC = lr,1 e 
metro AD= 4m. calcule o segmento 
/\. 
050. Na figura ao lado, AB=CD=lm, CAD 
e BAD = 90°. Calcule o segmento 
051. Na figura ao lado, ÃM = lcm, - ,,,,..... 
MB = 10cm e MCB = 30°. Cal-
cule o comprimento do seg-
mento AC. 
o diâ-
CD. 
A 
B 
30° 
BD. 
e 
D 
c 
052. (CESGRANRIO) Em um triângulo ABC, ÃB = 3, BC 
de: 
,.... 
4 e ABC= 60~ O lado AC me-
a) 5 b) ln c) m d) 2 11 e) 3 11 
053. (CESGRANRIO) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 me-
de 120º. A maior diagonal deste paralelogramo mede: 
a) 5 b) 6 c) l4Õ d) 131 e) 6,5 
........................... 59llllllllllllllllillillll!lmllllllllimllllllllilí1liml'l111Uli1111111111flllllll'lllllll~ 
·, 
IDITOIIA DIOI.TICA @ GIIDMETRlA PI.ARA 
,.·.·.·.·.·.•.· .. · .. n.e: n•= 111•' Qt ........ ...J ................... ·.·.·.-.·.·····················-·.X...-............ ..:. ............ 1 .. J ..... J. •... ·.··.··.·.·· :.. .. .$..J ... ........ s. ............. ...:..sa:... 
054. Na figura ao lado, cos ã:_ v.ale: 
a) 2/3 d) 314 
b) 1/3 e)- 1/5 
e) 1/4 
- - 3 055. Num triangulo ABC, tem-se b =a+ 1, e= a+ 2 ecos A= ~.Calcule a. 
056. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 4cm e Sem respectivarnen-
te, e urna das diagonais tem por medida 6cm. Calcule a medida da outra dia-
gonal. 
057. (UNICAMP-90) A água utilizada na casa de um sítio é capitada e bombeada do 
rio para uma caixa d'água a 50m de distância. A casa está a 80rn de distân-
cia da caixa d'água e o ângulo formado pelas direções caixa d'água-bomba e 
caixa d'água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de 
captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários? 
058. Calcule a soma dos senos dos ângulos de um triângulo de semi-perímetro p e 
raio do círculo circunscrito igual a R. 
059. Calcule o ângulo  de 
cunscrito a ele, vale 
060. Num triângulo ABC, AB 
um triângulo 
B"c 12 
2 
ABC, sabendo que o raio do círculo 
/\. Â 
= 16, ABC= 60º e ACB: 45°. Calcule o lado AC. 
cir-
061. Calcule o perímetro de um triângulo ABC, sabendo que AB = x, AC =x + 1, ]1:; 
=X+ 2 e~= 12QO 
062. Em um triângulo ABC de lados a, b e· e tem-se que: 
(a+ b + c)(a + b - e)= 3ab. 
A medida do ângulo e oposto ao lado e vale: 
a) 15º b) 30° e) 450 d) 60º e} 150º 
063. Qual a natureza do triângulo de lados 11, 14 e 18? 
064. Dado um triângulo ABC de lados AB = 9cm, AC = 8cm e BC 
segmento AG sabendo que G é o baricentro do triângulo, C 
065. Na figura ao lado, calcule o lado 
do triângulo equilátero ABC, sa-
bendo que PA = 3cm, PB = 4cm e PC 
= Sem. 
A 
lb5"cm, calcule o 
B 
60 ........................... ... 
GEOMETRIA PLANA lDITOIIA DIOÂTICA ~ . 
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CAPÍTULO 9 
, 
POLIGONOS REGULARES 
001. Calcule o lado e o a pó tema do triângulo equilátero inscrito num círculo de 
raio R. 
002. Calcule o lado e o apótema do quadrado inscrito num círculo de raio R. 
003. Calcule o lado e o • do hexágono regular inscrito círculo de apotema num 
raio R. 
004. Calcule o lado do triângulo equilátero circunscrito a um círculo de raio 
~· 
005. Calcule o lado do hexágono regular circunscrito a um círculo de raio R. 
006. Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexágono regular de 2cm 
de lado. 
007. Calcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos regulares, o primei-
ro inscrito e o se~undo circunscrito a um mesmo círculo 
008. ABCDE ••• é um polígono regular convexo de 2cm de lado. As diagonaisAC e 
iffi formam um ângulo de 1a0 • Calcule o perímetro do polígono. 
009. Calcule o perímetro do triângulo equilátero circunscrito ao círculo que 
circunscreve um quadrado de 8/b cm de perímetro. 
010. Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexágono regular ins-
crito num círculo inscrito num triângulo equilátero·de 6m de lado. 
Gll. Calcule· .l razão entre os perímetros do triângulo equilátero inscrito num 
círculo e do hexágono regular circunscrito a::, me::;:10 c!:rculo. 
012. Calcule :·, lado do octógono regular convexo inscrito num círculo de raio 
igual a 2cm" 
013. Calcule o lado do dodecágono regular convexo inscrito num círculo rle raio 
3cm. 
IDITOIIA DIDÁTICA ® GEOMETRIA PLANA 
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014. Calcule o comprimento da diagonal do pentágono regular convexo, de lado 2 
= 2 cm. 
015. A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita 
-a um quadrado e: 
a) 1/2 d) 212' 
b) 12' e) 2 
c) 11" 
016. Uma roda 
percurso 
a) 519 
de bicicleta tem 60cm de diâmetro. Quantas 
de lkm? 
b) 520 c) 530 d) 540 e) 550 
voltas são dadas num 
017. Dando-se um acréscimo ~r ao raio da terra, o equador aumentaria de lm. 
Tem-se então: 
a) ~r < lmm 
b) 10cm < ~r < 20cm 
c) ~r > lm 
d) ~r = lcm 
e) ~r = 10cm 
018. (CESGRANRIO) Os centros das três polias de.um mecanismo estão sobre os 
vértices de um triângulo equilátero de lado!• O diâmetro de cada polia é 
muito próximo de!, como sugere a figura. O comprmento da correia MNPQRSM 
que movimenta as polias é, aproximadamente: 
a) (7T + 3)2 
b) (27T + 3)2 
c) (1T + 6).Q. 
d)(7T+6)2 
2 
M 
62 ........................... ., 
,J..f.!.!.,.!.·.·.f.:.;.t;J!J ..... J .21..J ............ ~~%\ ...... ,.f.f.~.U.,.i.&Z. . .J .. J.:.O.,QJ.l.!.J.i.t.i. •.. .lJi.11 ti .. .J&X.JiQ! . .J.t...J .. f •. $ ... ·.·························; g: •) n l: 19 ( f RU$1' GEOMETRIA PLANA ~ IDITOU º'°'T11 ~ . 
019. Dado um quadrado ABCD de 3m de lado, calcule o perímetro da figura curvi-
línea composta pelos quatro arcos indicados. 
A 
D B 
020. Dado o hexágono regular ABCDEF de 2m de lado, calcule o perímetro da figu-
ra curvilínea composta pelos seis arcos indicados. 
A B 
F e 
P,·.· . . ·.·.C-:·.·. ; :,o::~:1 : 1~:r.:• .. : ....... , ......... ·.·····················-·.·.·.·.·.·················,M-..!.,.!.. .......... u ... ;., ..... Y..: .. ...!.1 ....... J .... ·.·······························.t. .... ~ .... 1.itffit: 1 .. 
, .,. 
CAPITULO 10 AREAS 
. 
001. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem respectivamente Sm e 9m 
e formam um ângulo de 30º· Calcule a área do paralelogramo. 
002. Calcule a área de um quadrado em função da sua diagonal d. 
003. Calcule a área de um triângulo equilátero de lado i. 
004. Um ponto é escolhido ao acaso dentro de um triângulo 
ponto são traçadas perpendiculares a cada um dos lados. 
mentos dos segmentos de reta que unem o ponto aos lados 
' 
equilátero. Deste 
A soma dos compri-
do triângulo é: 
a) m!nima quando este ponto é centro de gravidade do triângulo; 
b) maior que a altura do triângulo; 
c) igual à altura do triângulo; 
d) metade da soma dos lados do triângulo; 
e) máxima quando esse ponto é o centro de gravidade. 
-005. Um campo retangular tem comprimento o dobro da largura e e cercado por uma 
cerca de x metros. A área desse campo é: 
a) x 2 /2 d) x 2 /18 
b) 2x 2 e) x 2 /72 
c) 2x 2 /9 
006. Se o comprimento da diagonal de um quadrado é a+ b, então a área do qua-
drado é: 
a) (a+ b) 2 1 d) 2 (a2 + b2) 
b) ~(a+ b) 2 1 e) 3 (a+ b)
2 
c) a 2 + b 2 
007. A área do retângulo PQRS é 48, QV = VR e PT= TS. Se o ponto~ está dentro 
do retângulo PQVT e se x é a área do triângulo SMR, então temos: 
p Q 
a) 24 <X< 48 M 
d) 6 <X< 12 
b) 12 < X < 48 
e) 6 <X< 96 
c) 12 <X< 24 
64 ................................. . 
GEOMETRIA PLANA IDITOIUI DIOÁTICA ~ 
,'t,'!ib.\. w.-i.Jffü!JQ, ·.· -A~.$..@... ... J ... .&J ... J. JJ. .. , . .J. ... U,S.Q_..(.)_.,,,,,•,•,•,•,•,•.•,•:fo, ... •.wn.•.•.·.w·.•Y. , 11 e: n •:: 11 i e, 4.ifüQ..,. 
008. (INTEGRAD0-90) A f:l.gura é formada por 8 quadrados congruentes e a sua area 
mede 392cm2 • Quanto mede o perímetro da figura? 
009. (INTEGRAD0-90) ABCD é um retângulo. Mostre.que a área do triângulo PBA ln-
. ----- .... 
depende da posição do ponto P sobre o lado CD. 
D 
A 
010. (CESGRANRIO) As diagonais de um quadrilátero convexo sao perpendiculares e 
medem 12cm e 18cm. A área do quadrilátero é: 
a) 108 cm 2 
b) 180 cm 2 
c) 216 cm 2 
d) maior do que 216 cm2 
e) impossível de ser calculada por insuficiência de dados. 
011. A área do quadrado inscrito num setor circular de 90° e raio 8cm é: 
a) 20 cm2 d) 48 cm2 
b) 26 cm3 e) 52 cm2 
c) 32 cm 2 
012. ABGD é um paralelogramo e Q um ponto da diagonal -AC" A -area do .- 1 tr:i.a:-,gu o 
AOB vale 2S cm2 • Então - do triângulo AOD vale: a area 
a) 14 cm2 d) 35 cm2 
b) 28 cm2 e) 42 cm 2 
e) 21 cm2 
J;·.·.· ...... ·-,:·.•. 1::-:.:·~::: .. : .................................. !: ............. !,., .•. v .. l ........ J...?Jl .. ~-m .......... lJ!i~tl!~ 
013. A área do paralelogramo representado na figura abaixo é 40 cm2 0 A mectida 
do lado~ do paralelogramo vale: 
a) 3,75 cm 
b) 4 cm 
c) 4,5 cm 
d) 5 cm 
e) 4,2 cm 8 
014. (CESGRANRIO) No paralelogramo ABCD de área 24 cm 2 , os pontos f, g e R divi-
dem a diagonal BD em 4 partes iguais. A área do triângulo AQR é: 
a) 2 cm 2 
b) 3 cm 2 A D 
c) 4 cm 2 
d) 5 cm 2 B e 
e) 6 cm 2 
015. (CESGRANRIO) Cinco quadrados de lado! formam a cruz da figura. A área do 
quadrilátero convexo de vértices!,~' E e E é: 
a) 2 ~ t 2 
D 
b) 4t2 e 
c) 413't 2 
. !\. 
d) 5t2 
B 
e) 6t2 
,.:;.~;:a~:Mtw.w,•,•.: ...... .: ..... J ...... .: .... .:. ..... .:.: ..... .!(Q.. .. J.Q(AQ..,.tf ... .:. ....... ,.!.Q.!.f.!.J!-:-.·.·,•.·.-.•.·.·.·:·*' t:;;1::T:,: ...... .:., 
016. 
017. 
018. 
019. 
Se o lado de um quadrado aumenta de 20%. Sua área aumentará de: 
a) 10% b) 20% e) 40% d) 44% e) 50% 
Se o raio de um círculo aumenta de 10%. Sua área aumentará de: 
a) 10% b) 20% c) 21% d) 100% e) 30% 
Se a base de um retângulo é aumentada de 10% - - altera, e sua area nao se en-
tão sua altura é diminuída em: 
a) 9% b) 10% c) 11% d) 11 l'% e) 9 1 'l< I1 º 
(CESGRANRIO) A base de um retângulo de área Sé aumentada de 20% e sua al-
formado é: tura diminuída de 20%. A área do novo retângulo 
a) 1,04 s d) 0,96 S 
b) 1,02 s e) 0,98 S 
c) S 
020. Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das regiões hachu-
radassáo iguais. Se o raio do círculo menor é Sm e do maior é 13m, então o 
raio do círculo intermediário é: 
a) 12m 
b) lOm 
c) llm 
d) lõsm 
e) S./3'm 
021. Na figura ao lado, calcule a área 
hachurada, sabendo que o 
do de centro O tem área 
quadra-
igual a 
T 
1--_J;~..é...L..L-<-L-.L.L.J 1-
IDITOIIA DID,TICA @ GEOMETRIA PLANA 
-~.·.· ......... ·.·. • .&. ..... ·.·.·.·.·.·.·,.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·,.·.·,.·!-J ..... -.•...•.• §! ••. ,.!. • ...!.,.f ..•.•..•••.•••• 1 ............ ..:. .... ·.·-·.t ... ·.·.·.·,·.·.··.ut .... l! ..... J.. .. _ .... _.u.1 ... ..;, .......... ..: . .cm;.. 
022. Na figura ao lado, o quadrado de 
centro O tem área igual a 8m 2 • Os 
segmentos 
paralelos 
Calcule a 
e OA e OB -sao iguais 
aos lados do quadrado. 
área hachurada. 
023. Na figura ao lado, Q é o centro do 
quadrado de lado 10cm e os segmen-
tos OA e OB são iguais. Calcule a 
área hachurada. 
024. Calcule a 
. 
do trapézio cujas bases medem 2m e are a 
6m e 8m. 
2 
025. Na figura ao lado, calcule a 
. 
area 
B 
do pentágono ABCDE. 
c 
o A 
o 
12m e os lados 
A 
2 
E 
1 
1 D 
026. Calcule a área de um trapézio cujas bases medem 8m e 24m, sabendo 
dos ~~dos não paralelos é igual à base menor e forma um ângulo de 
a base maior. 
oblíquos 
queum 
45º com 
027. Calcule a área de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo de Sem 
de raio, sabendo que uma base é o dobro da outra. 
028. Um losango é formado por dois raios e duas cordas de um círculo cujo raio 
é 16cm. Calcule a área do losango. 
029. Um hexágono regular de área~ e um triângulo equilátero de 
inscritos num mesmo círculo. Calcule a razão~. 
s 
. 
area s estão 
030. Num triângulo ABC, Q e o ponto médio de ÂB, 2. é ponto médio de BD e F é 
ponto médio de BC. Sabrmdo que a área' do triângulo ABC vale 96 cm 2 , calcu-
le a área do tr:i.ângulc AEF. 
D C 
031. (PUC) Na figura ao lado, ABCD é um ~~7/ 
paralelogramo de área tg,_1t!l a 8m 2 e M ÍN 
_, I 
~e~ pontos médlos dos lados AD e r 
BC respectivamente. Calcule a área .l___ 
do triângulo QOP. Q A B 
p 
032. Seja~ o ponto médio do lado BC de um triângulo ABC, e f um ponto do lado 
AC tal que AC = 3 FC. Determine a razão entre as áreas do trângulo FEC pa-
ra a área do quadrilátero ABEF. 
033. Na figura abaixo, calcule a área do triângulo hachurado. 
A 
034. No quadrilátero ABCD, K é médio de AB e M é médio de CD. Unindo-se P a C e 
~a!, obtém-se o quadrilátero APCM. Calcule a área de APCM, sabendo que a 
área de ABCD vale 18m2 • 
e 
p B 
................................. 69mllllllllllllBil .. lli!illllllllli!iillllllllllllllllBl!filll'!Bllllllll .. ., 
040. Na figura ao lado, os círculos iguais 
têm raios iguais a 2cm e tangen-
ciam-se externamente nos pontos A, B 
e e. Calcule a área hachurada delimi-
-. - ,....._,_ tada pelos menores arcos AB, AC e BC. 
041. (UFF-90) Sendo 4cm 2 a areado menor quadrado da figura, determine a area 
do maior. 
Enunciado para as questões do nQ 42 até o nQ 56 
Nas figuras abaixo, calcule as áreas hachuradas em função da area S do 
triângulo ABC. 
042. A 
043. A 
B .r..L.'-'-'~~-"-"--''--L-"-~J_(.:.. e 
044. A 045. A 
.................................. 71 ...................... llllll .... ~ 
f 10tT011A o,o,,ica J ® . . ....... · . . . ... . .. . . . . . . GEOMETRIA PLANA ;.~;·;~··~·:;1ll; i; rti ;'j pº ç@;; : .. ~:.r.:8:·~~, .. º.~.:.·.·.·.:.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.-.·.·.·.·.·f ..•.... !5'.M~.-~.,).J .............. ,~-~~.~:·~~~~g~.~.!.t .. :f:_.:.~.~~,.~.1.?.:~.i!.:~ 
046, 
e 
2 
B 
048. 
050. 
e 
2 
B 
A 
e 
2 
a 
2 
a 
2 
2a 
3 
A 
A 
A lb 
3 
a 
2 
a 
2 
b 
2 
a 
3 
047. A 
~! 
",. 
e 
2 
B e e 
049. A 
051. A 
2b 
3 
e 
B 2a la e 
3 3 
053. 
2b 
e 
72 t ;;;, & &is ·\M&fit!tifúWitt t#fit!M51ifdftW% ± EW 
054. 
1 e 
j 
2c/ 
3/ 
B 2a 
3 
la 
3 
e 
B 2a 
~ 
A 
la 
3 
055. 
B 
e 
A 
2a 
3 
2b 
la 
3 
b 
3 
e 
057. Calcule a razão entre as áreas dos triângulos equiláteros inscrito e cir-
cunscrito a um mesmo círculo. 
058. Em um triângulo ABC,~ é o ponto médio de AB e~ é o ponto médio de AC. 
Calcule a área do_triângulo ABC, sabendo que a área do quadrilátero BMNC 
vale 15m2 • 
059. (CESGRANRIO) O quadrado da figura tem diagonal CD igual a 10cm. Os segmen-- -tos paralelos AB, CD e EF dividem o quadrado em 4 regiões de mesma área. 
Calcule o comprimento do segmento AB. 
B D 
F 
060. Na figura ao lado, 81 é a área 
do quadri.látero MNBA, Sz -e a -área do triângulo ABC e MN é -paralelo a BA. Calcule~, sa-
bendo que S1 = 51% de Sz. 
G61. .,~ ...... ("T°" ~ li_Tf'l"Tr'I\ \. v .... üv.a·...:,..i.ü\ . .._V I -e o "U:;c!-. ........ ,,..... '1. """ ~._.r' .... v da área de BEf. ~~t~~lnc -e ,:.r,sc 
ADEF. 
A 
c 
062. Na figura ao lado, Q é ponto 
médio da hipotenusa AB do 
triângulo ABC. Calcule a 
área do quadrilátero ADEC 
sabendo que AB = 20cm e AC = 
12cm. A 
c 
E 
D B 
063. Considere um triângulo equilátero DEF inscrito num triângulo equilátero 
ABC de áreas. De modo que os lados sejam respectivamente perpendiculares 
aos lados do triângulo ABC. Calcule a área do triângulo ABC em função de 
s. 
064. (PUC-RR) São dados 3 pontos P, g e R soJrre cada um dos lados do triângulo 
- AT' Bn CR 2 S -ABC da figura abaixo. Sabendo que AB = ~ = CA = 3, encontre T onde Se a 
área do triângulo ABC e T é a área do triângulo PQR. 
c 
R 
A p B 
065. (PUC-90) Em um triângulo retângulo ABC de 
tura decompõe ABC em dois triângulos cujas 
hipotenusa BC = 10, a menor al-
- - - 1 areas estao na razao 9. Deter-
mine os catetos.do triângulo ABC. 
.JJ.i.U lii !.! JJJ ... 1! !! X: [[[ JJt !1 1 iii 1íJ • lii . .!i i1i t: 
066. (UFRJ) A figura ao lado mostra 
dois arcos de circunferência 
de centro Q, raios~ e 2R · e 
três ângulos iguais. Calcule a 
razão ente as áreas das re-
giões hachurada e não hachura-
da. o R 
067. (PUC-88) Um quadrado e um retângulo, cujo comprimento é o triplo pa largu~ 
ra são construídos usando-se todo um arame de 28cm. Dete'i:'llline o lado do 
quadrado e o maior lado do retângulo de modo que a soma de suas áree.s seja 
a menor possível. 
068. (UFF-89) A janela representada ao lado, 
possui 24ro de petÍmetro. Determine: 
a) A área ocupada pela janela em função 
apenas de!• 
b) O valor de! que 
maior possível. 
-torna esta area a 
069. (UFRJ) A figura ao lado, representa um 
retângulo MNPQ, inscrito num triângulo 
ABC, O lado BC mede 12 cm e a altura 
relativa a esse lado mede 8 cm. Sejam! 
e! os comprimentos de MN e MQ, respec-
A 
tivamente. P 
a) exprima a altura z do retângulo em 
funçno da base x. 
b) Calcu1.c os valores de! e! para 
quais a área S do retângulo 
maior possível, 
-e 
os 
a 
B M N e 
Enunciado para as questões do nQ 70 ao nQ 77. 
Nas figuras abaixo, calcule as áreas hachuradas em função da area S do 
quadrado ABCD, sabendo que~,!:, Q e!! são pontos médios de seus lados. 
B 
070. 
072. 
D G e 
A E B 
074. 
H F 
D G e 
076. 
H 
D G 
A 
071. 
H 
A 
073. 
D 
075. 
D 
A 
077. 
D 
E 
G 
E 
G 
E 
G 
B 
F 
e 
B 
F 
e 
F 
e 
e 
GEOMETRIA PLANA IIOITOIIA OID4'TICA ~ .. 
,:,;,:,:·:·:·:·:·:·:J:,:·.-.·.·.·.·.w ).( .... )..).f.t., ... l.,,!.,,.,',','),w.·.·.!J.J •••• J .... , ...... ,W,. .................. J.l.t.l.&Q. •• .J.J. ... .YJJJ.!.Q,!.f.f.!-:.!.f.f.f.!.!.!.f ...•• J ........ f •. .!.Q I n . 9: n •:: 1 ; l 8 J J.JJ.JJ.Q .... 
078. (UNICAMP-90) Construir "fractais" no computador corresponde a um procedi-
mento como descrito a seguir. A partir de um triângulo equilátero de área 
A, acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero de la-
do igual a um terço do anterior; aos lados livres destes triângulos acres~ 
centamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim su-
cessivamente construímos uma figura com uma infinidadé..,de triângulos (veja 
o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse 
processo. 
079. (UFF-90) Na figura, cada lado do.quadrado de lado 3cm é dividido em três 
partes iguais, sobre cada um destes lados, na divisão central, contrói-se 
outro quadrado cujos lados também são divididos em três partes iguais e, 
mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados são construídos. 
Determine a área total da figura que serã obtida se o processo for repeti-
do análoga e indefinidamente. 
"l!!llllll ............ 1111111111111111 ........ 77 ........ llil!lllll .. llllllllmllllllllllllllllRllllllilllll~ 
, ...... .l.. .... u~;;:r;1:,~~--······ ......................... •.•.•.•.•.•.• ..... ,•.•, ............ . • ••••• •••••• .•,•,•.• ••• o;•.•.•.· ••• •, • • • • .•.• ••••••••.••• •. . • • • • ••••••••• ~-···· •• •, •• 
Enunciado para as questões do nQ 80 ao nQ 85 
A área da superfície hachurada em cada figura vale: 
080. 081. 
I• 4 
-082. 
083. 
T 
4 
l 
~ 4 
084. 085. 
086. Os pontos-!.,! e f. são vértices de um triângulo retângulo. Mostre que en-
tre as áreas S1, s2 e S3 dos semi-c!rculos indicados na figura se verifica 
a relação S1 = S2 + S3. 
~ ............................ 7811911111111 .. il'JfallllllBS~'.ZIIMIIIIDIBlffiltPillí!IW~---IEI .. IIIIIII' 
GEOMETRIA PUJ::A ~ IIOITCIIA OIO&T-~ ~ 
,..,.:.;.:.; .•. :.; .. ~®· J~:~;~,1.@.J.S.tJ.5.@ ... U,, ... J •••••• b.,JJ.&QQ ili.! .• % . .J.$.. .. J! . .Q •.•,.. .•.•.• ,,;,a. ..... ).::;t g: •: gI: f p <• WJ.0.$.1.. 
087. Sobre os lados de um triângulo retângulo em A 
mi-circunferências BAC, BMA e ANC. Calcule a soma 
descrevem-se as se-
das -areas hachuradas, 
sabendo que as projeçôes dos catetos sobre a. hipotenusa valem respectiva-
mente 4m e 9m. 
B c 
088. Sendo dado um triângulo ABC retângulo em!, descreve-se exteriormente ao 
triângulo o semi-c!rculo de diâmetro BC e do lado interior, os se-
mi-c!rculos de diâmetros AB e AC. Sendo~ a área do triângulo ABC e S1 e 
S2 as áreas assinaladas, calcule a relação entre as áreas S, S1 e S2. 
A 
089. Na figura abaixo, calcule x. 
14 
' w-1 c 
IOtTORA DI04TICA @ GEOMETRIA PLANA 
j:•.·.· .• ·.·.·., ••••• ,'l· kh , : ;wt@·Jt~llll~.~~~ : n ~e~ n •::: 1111 • A • "'· ......... ·.·.·.·.·.·.:.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.-.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.· ..... ·.·.·.·················~:-;.;.: ••••••• , ••••••• Z&•Z::::::..:..:.:7.5 ... , ...... . .. 
090. No interior de um triângulo retângulo tornamos três circunferências de mes-
mo raio e tangentes entre si e aos lados do triângulo, como mostra a figu-
ra. Calcule o raio dessas circunferências, sabendo que os catetos do 
triângulos medem 3cm e 4cm respectivamente. 
B 
091. Calcule a areado quadrilátero convexo ABCD, sabendo que AB = 3m, BC = 4m, 
~ ............... o 
CD= 12m, DA= 13rn e que o angulo ABC vale 90. 
092. AB e CD são duas cordas paralelas de um semi-círculo de 6m de raio. Saben-
do que essas cordas são subtendidas por arcos de 120° e 60°, calcule a 
área da porção do serni-círculo limitado por essas cordas. 
093. (C.N 89) Um polígono regular convexo de 18 vértices A1, A2, A3,••••• Ais 
está inscrito em uma circunferência de raio!• Traçam-se as diagonais A1A7 
e A2A5. Calcule a área da parte do círculo compreendida entre essas diago-
nais. 
094. Calcule a - do coroa circular limitada pelos círculos inscrito cir-are a e 
cunscrito a um triângulo equilátero de 6m de lado. 
095; Calcule a - do maior círculo inscrito no segmento circular de 120° e area 
raio 4m. 
096. Seja ABC um triângulo retângulo de área 1m2 • Sejam!;:,_,!'..._ e E.: respectiva-
mente os pontos obtidos pela reflexão de~,~ e f em torno dos lados. Cal-
cule a área do triângulo A'B'C'. 
097. L,1a casa tem o formato de um triângulo de perímetro 42m e 
jardim consiste em Sm de terra em volta da casa. Calcule 
pelo jardim e a casa juntos. 
80 
-are a 84rn 2 • o -a area ocupada 
098. Um cavalo está preso a urna cordE' mur:a esquina àe t.un curral quadrado U:ora 
do curral) que tem :j,n de lado. O cavalo pode pastar a uma distância de 8m 
da esquina do curral 0nde a corda está amarrada. Qual a área total que o 
cavalo está c1sando para pastar? 
099. Um cachorro é amarrado com uma corda de 10m no vértice do muro de um 
dim com o formato de um hexágono regular com lados medindo Sm. Qual a 
que o cachorro pode percorrer tendo como limites a corda e o muro·do 
dim? 
A 
100. Calcule a área do quadrilátero ao lado, 
sabendo-se que as diagonais medem res-
pectivamente 10cm e 12cm e formam um B 
ângulo a= 30°. 
e 
jar-
-0.re.a 
jar-
101. Na figura,ABC é um triângulo retângulo isósceles com AC = CB. DEF é um ar-
- • AD :º de circunferenc:a de centro A. calcule a razao CB' sabendo que as 
areas hachuradas sao iguais. 
A 
102. Na figura ao lado ABCD é um quadrilátero 
convexo de 10cm2 de área. Os lados desse 
quadrilátero são prolongados formando o 
quadrilátero A'B'C'D' de modo que AB = 
BB' = 6cm, BC = CC' = 7cm, CD = DD' = 
8cm e DA= ÃÕ = 9cm. calcule a área de 
A1B'C'D'. 
e• 
IDlTO~A DID.iTICA ® GEOMETRIA PLANA 
,-.·.·.· .. ·.•.•.·.·.·. n ~ •; n.:: 111 • i !i!Q .......... ·.·.·.·.·.·.·.·.,.,,.l.!.:.!.!.!.!.!.!.!: ... ·.· . ...:·.·.·.·.·:·:·:·.~-!-:·:·:-?. ... ·.···········!l!!!l~i~-~=~-f-1.f,1:~:~:.:: .. 1 .•. o.li!J;ííijíí:u:ii.'f.i .. f~I .............. Qt.. 
103. Na figura ao lado, calcule a área do 
trapézio ABCD, sabendo que a área do 
triângulo PDC vale 4cm 2 e que a do 
triângulo PAB vale 9cm 2 • 
A 
104. Na figura abaixo , ! é um ponto do lado 
AC, as paralelas traçadas pelos vérti-
ces ! e~ ao segmento BP encontram os 
prolongamentos dos lados BC e AB nos 
pontos g e _!3;. Calcule -a area do li PQR 
sabendo que a área do li ABC é igual a 
20 cm2 • ----..--Q - - --
105. Na figura ao lado, os triângulo PAZ, 
PBX, PCX e PCY 
~ 
áreas respectiva-tem 
mente iguais a 84 cm2 , 40 cm 2 
' 
30 
cm 2 e 35 cm 2. Calcule - do a area 
triângulo ABC. 
-106. Na figura ao lado,~ e~ sao respectivamente 
os pontos médios dos lados AB e CD do qua-
drilátero ABCD, Calcule a área do quadrilá-
tero MPNQ sabendo que as áreas dos triângu-
los APD e BQC valem respectivamente 9m2 e 
7m 2 • 
B 
A 
------------
c - -; 
B --...... -------
R 
A 
B 
X e 
A M B 
- -- 1 
GEOMETRIA PLANA ~ IDITOfiA DIIMTICA ~ ~ ''' 
i,!.f .!.f.!.,.;.;.;.Q.Q.;.;.;., ..... .-.).:A ........... #..,.:-:.M.~-... J ......... JJ.JJ.:.:. ... .lJ .•. ($.l.S.$.J.l. ... .t).t ! . X...@.b.WZ...i.w.·.·:·a.:;..;.;.;.;.;;., .. J .. w.in: •: n i; 11 ( • . i.11 .• ,,·.\ 
(r) 
107. Na figura ao lado, ABC é um triângulo 
equilátero de vértices sobre as para-
- ( s )li lelas !., ! e!• Calcule a area do 
triângulo ABC. 
(t) 
108. Na figura ao lado, calcule a soma das 
áreas hachuradas, sabendo que M é o 
ponto médio do raio OA = 2m. 
109. Na figura ao lado, calcule o raio do círculo 
de centro O, sabendo que o triângulo ABC é 
isósceles de base AB e que as áreas dos 
triângulos ACH e ABH valem respectivamente 
10cm2 e 16cm2 • 
110. Na figura ao lado, ABC é um triângulo de 
área ~ e ÃM, BN e CP suas respectivas 
medianas, Calcule a área do hexágono 
formado pelos baricentros dos triângulos 
APG, BPG, BMG, CMG, CNG e ANG respecti-: 
vamente • 
A 
ll 
~ 
i) 
i 
10cm 
c 
cm 
e 
A 
.............................. 83 .......................... .. 
IINTOIIA 010,TICA ® GEOHE'.IRIA PLANA 
,.·.·.• .. ·.·.·.-.•.•. kQ. ........... ,.,.,...,.·.·.·!.f.:.!... .. ..!. ......................... U .. /.) ..... ,J...O ..... :.:.u:'i!t.fflM ........ : ........... ..1.1.J.J .• .t.ZJ. ...... U.J.i.l.4.1.i... .• J:11 t .. 
CAPITULO 1 
001, 19° 31 1 18"; 109° 31' 18" e 007. 22º e 78° 
289° :11 1 18" 008. 63° 
002. 237° 12' 35~ 009. 145° 
003. 135° 010. a+ 6 
004, 84° 2 
005, 80° e 20° ou. 135° 
006. 94 ° 43' 32" e 85° 16' 28" 012. 34º 
CAPITULO 2 
001, 7 006. 540° 011. 20º 
002, A 007. 210º 012. 90° 
360° 013, 
6+ê 
003. A 008, a= -2-
004. â + 6 + ê 009. 1sº 014. 90° + X 2 
oos. 180° 010. 36° 015. 90° • Ã 
2 
CAPITULO 3 
001. e 005, B .009. 20 013. 15 
002. e 006, 18 010, 1so0 014, B 
003. D 007. 35 011. 20 015. E 
004 ... E 008. 252 012, 20 016. n= 
CAP!TULO 4 
001 •. D 008. Retângulo 015, B 
002. D 009. Quadrado 016. e 
003. D 010. 2cm 017. D 
004, B ou. 2,Sm 018. 10 
005~ A 012. 9m 019. 4 
006. 16 013, E 020. 34cm 
OOT, Losango 014. 9cm 021, 16cm 
CAPÍTULO 6 
001~ 1,6; j; 6; 15 8 18; 4 ; '3; 12 
013. 144° 019. 2º 02s. 40°; 30º; soº; 10º; 
014. 30° 020. 155° 16°15'; 160; 144º. 
015. 45° 021. 82° 30'; 20°e 111° 
135º 026. 
016. 30° 022. 12h e 20min 
027. 195° 
017. 9º 
018, 6º 
016. Ã 
2 017 •... 
018. 1sº 
019, 1sº 
020. 90° 
3+.l9+8d 
2 
022. nº 
023. 80° 
024. 14cm 
025. 63° 
026. lOm 
027. 4m 
028. 
023. lh 5min 27 il seg 
028. 90° 
024, 3h e lOmin; 
3h 22min 43 ~l seg 
029. 
030, 
021. 62º 026. 
022, -
023. D 027, 
024. D 028. 
025. D 029. 
030. 
017. 65 
018. D 
019. A 
020. 21º 
029, 4cm 
030. 20cm 
031, 18cm 
032. 32cm 
033. 30cm 
034. 
035. 90° 
a) X =3 031. 20º 036. 30\ 
b) 3 < X < 6 032. 20cm 037. 180 
3cm 
12º 
3cm 
45° 
90° 
2n -1 
033. 
ii 038, 30° 034. 2 
035, 60° 
039, 18cm 
60° 040, 
CAPITULO 5 
'"'b+c-a 001. A~~ • p - 8 
l!T • a + e • b • p _ b 
.,.,. a+t-c 
~~ • • p - e 
002, 30cm 
003. AR• p 
:=~=li 
004. 'RH = b - e, 'Sr~ TR • a 
aos. 24 
006. 4c11> 
007. 2cm 
008. 6cm 
009. 12cm 
010, 15cm 
Oll ..• 42º 
011.. 6 
013. • 
014. e 
015. 65º 
016, 35° 
017, B 
018. 60°002. 10cm 019, 
020. 
20cm 
l,2cm 
CAPfTUI.O 7 019. 40º 
020, 60° 
021. 108° 
022, 215º 
003,. 4/1 
004. J/1 021. 3,2cm 
005, - 022, 12cm 
006. (5- l)cm 023. 9 
007. 16 024. 6 
008 •. .16 025, 9m 
009 .. 4m 026. lOcm 
010,. 4,8 027. 12,5 
ou. 21 028, 3cm 
012,. Bm 029. 3cm 
013. /:, + 1 030. 16 
014 •. Ucm 031. 5cm 
013, J+m 032~ Bm 
016,.Fa:'I, 033-. -
017~. ·sem 034, 4cm 
018. D. 035. • 
001. -
002. -
003, 8; 13; 
004. i~ O; 005. 
006. 16 e 9 
007, 8 
008, Sem 
009. ll/3 
010. 4 
011. lScm 
012. 6cm 
013. 3cm-
014. l2em 
015. -
2.IIO'; 65; /ili; 
-16; -25 
84 
5 023. 11.0° 
024. E 
025. D 
026, 15º 
·027. 25º 
028, Bem 
029. 15º 
030. 45° 
031. 30-0 
032. 45º 
o:n. 26º 
034. 80º 
oJs. soº, 40° e 90° 
ri 
. 
' 
....... ,. .. ... ' . . .. ..· .. '-..,.•.· ' . . . . '• 
CAP!nn.o. 
001. ~; 2,5; 4; 8;4; 20;2/J; 
2o./J; 5(/J+l); jl 13; 313 
002. R/3 
003. 311 
OOlt. 811 
oos. 40. 
e-
006. 1 • 
007. 2 
008. t/J 
009. lY • 15~ (IJ + l)km 
e BF • l~ KII 
010, 9~t 
011, R(l + m 
012, 4m 
013, 50(/J + l)cm 
014, 2Ín . 
CAPITULO 9 
001, R/3 e ! 
R'Í 002. R/2 e 2 
003, R e~ 
004, 2Rl3 
CAPlTULO 10 
001. 36cm2 
002. d2 /2 
003 t• n • --i.-
004. e 
005, D 
006, B 
001. e 
008. 126cm 
009. • 
010. A 
011. e 
012. B 
013, D 
014, B 
026, 61+1'1. m• 
027. 7517 m2 
028. 128/3 m• 
029. 2 
030, 36m2 
031. 9m2 
032. 1/5 
9 033. ~ u .a 
4 
034. 9m2 
035. S/2 
036, 20m• 
037, D 
038, A 
039, 11 cm2 
OlS. 1/3 
016. A 
017. D 
018. D 
019. 2~ 
020. n• 
021. <2 - m. 
022. Scll 
023. 2(~-1)• 
024. mcm 
025. 6m 
026. 2,4cm 
027. 2,Scm 
028. l,5cm 
029, lcm 
030. D 
031. D 
032. A 
033, B 
034, E 
005. ~ 
006, 213 cm 
007. /3/2 
008, '+Ocm 
009. 36cm· 
s 049. 4 
s 050. 24 
s 051. 2l 
8 052. 7 
s 053. 6 
054. ,M 
s 055, 3 
s 056, 7Õ 
1 057, 4 
058. 20m 2 
015, D 040, 2(2/'l • 11)cm• 059, s/'l. cm 
016, D 041, 16cm• 060, 8,4 
011, e 042, S/2 061. 16m2 
018, E 2 062, 58,5cm• 043. l 8 
019. D 8 1 
044, 6 063, 3 S 
020. A s 064, 3 
021, 1m• 045, 3 
065, 1IO e 3l!O 
022, 1Jn1 s 
023, 251111 
046, 6 066. 5/7 
024. 33,6112 
s 067, 3cm e 6c• 047, "TI 
025. 7.,3 u,a s 068, a) 36x(2-x) ,. 048, 1 b) 1 
85 
035. A 
036. 2/'mm 
037. • 
038. 411 
039. 511 
040, 22cm 
041. 4~cm 
042. 5 i Inca 
043. ~ cm 
044. a) 711 
b) ...nt!!m 
e) 2511 
045. ~ 
046, /Iõcm 
ô47. mcm 
010. 3 m 
3 
011. '/.i 
012. u':_2 ___ /2_2 cm 
013. 3/z - 13 cm 
014. (1 + Is) cm 
2 069, a) 8 •) X 
b) 6cm e 4cm 
070 • S/20 
071. S/5 
072. 3S/5 
073. 48/15 
074, S/6 
075. S/120 
076. S/40 
077, 8/15 
078. lQ! 
7 
079, lscm• 
080, 2(,r - 2) 
081, 8(,i - 2) 
082. 4 
083, 2(,r • 2) 
084. (411 • 3/l 3 
085, 3(3 • 3/l + 11) 
086. -
087. 39m• 
088. 82 • S + 81 
089. 32/15 
090. 0,5 CII 
091. 36111 
ou 
(SIJ - l)CII 
052. 1 
053, D 
054. D 
055. 13 
056, /li;cm 
057, 70m 
058, p/R 
059. 450 ou-1350 
060; 3 
061, 7,5 
062. D 
063, Obtusângulo 
064. 5-i"'c"-"m~-~--
065, V 25 + 12/lcm I 
015, B 
016. e 
017. B 
018, A 
019. 611 m 
020. Sir m 
092. 611111 2 
093, 1rR2 /6 
094, 911 m• 
095, mn• 
096, 3m• 
097. (294 + 251y)m 2 
098, 501r m• 
099. 681r m• 
100. 30 cm• 
101, 1.1!!. 
11 
102, secm• 
103, 25cm2 
104. 40 cm• 
105. 315 cm• 
106. 16 cm• 
107.~ cm• 
3 
108, 811 + 3/'l m• 
12 
109, ~ cm 
9 
13 
110. 36 8 
'-.ifíl,o/l 
1)€ n., 
	CAPA
	ÍNDICE
	CAPÍTULO 1. ÂNGULOS
	CAPÍTULO 2. TRIÂNGULOS
	CAPÍTULO 3. POLÍGONOS
	CAPÍTULO 4. PRINCIPAIS QUADRILÁTEROS
	CAPÍTULO 5. CÍRCULO
	CAPÍTULO 6. LINHAS PROPORCIONAIS - SEMELHANÇA
	CAPÍTULO 7. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO
	CAPÍTULO 8. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS
	CAPÍTULO 9. POLÍGONOS REGULARES
	CAPÍTULO 10. ÁREAS
	GABARITO