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CAPÍTULO I
TEORÍA DE CONJUNTOS
1. Noción de un conjunto.
Se puede entender por conjunto a la reunión o colección
de objetos bien definidos, llamados elementos
2;4; 6 ; 8;10 ;12 ( ) 5A n A
2. Determinación de conjuntos
Por extensión Por comprensión
A = {a; e; i; o; u} A = {x/x es una vocal}
B = {2; 2; 6; 8; 10} B= {2x/x es entero y 0<x 5}
3. Relación de pertenencia ()
Si un elemento está en un conjunto o es parte de él,
diremos que "PERTENECE" a dicho conjunto y lo
denotaremos con el símbolo "" , en el caso de no
pertenecer por "".
Ejemplo:
Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8}
Entonces: 2 A 4 A 7 A
4. Conjuntos especiales
Conjunto vacío o
nulo
No posee elementos
unitario o singleton Posee un solo elemento
universal (U)
Es aquel conjunto
referencial que contiene a
los otros conjuntos.
Potencia de A
Es aquel conjunto cuyos
elementos son todos los
sub conjuntos que tiene A
( )( ) 2 n AP A
Si: A = {2; 5}
Entonces:
P(A)={;{2}; {5}; {2;
5}}
5. Relaciones entre conjuntos
Relación entre
A y B
Definición
Inclusión A B si y solo si todos los
elementos de A son también
elementos B.
Comparables A y B son comparables si y
solo si uno de ellos será
incluido en el otro.
Iguales A y B son iguales si poseen
los mismos elementos.
Disjuntos A y B son disjuntos cuando
no poseen elementos en
común.
Equipotentes Si A y B son finitos,
entonces n(A)=n(B).
Operaciones entre conjuntos
1. Unión o reunión ()
/ ( se lee o)A B x x A x B
2. Intersección ()
Las más importantes son:
i. A B = B A (conmutativa)
ii. A A = A (idempotencia)
iii. A A’ =
iv. A U = A
v. A =
3. Diferencia (-)
/A B x x A x B
Propiedades
Las más importantes son:
i. A - A =
ii. A - = A
iii. - A =
4. Complemento de un conjunto
Propiedades
Las más importantes son:
i. (A')' = A (involución.
ii. ' = U
iii. U' =
iv. A A' = U
v. A A' =
5. Diferencia simétrica ()
También: A B = (A B.- (A B)
Propiedades
Las más importantes son:
i. AB = BA
ii. AA =
iii. A = A
iv. iv. AU = A'
Propiedades del número de elementos de un conjunto
Si "A" y "B" son dos conjuntos finitos se cumple:
1. n(A B)= n(A)+ n(B)- n(A B)
2. n(A – B)= n(A)- n(A B)
3. Si: A B = , entonces: n(A B)=n(A)+n(B)
PRACTICA N.° 01
1. Dado A = {2; {5}; {3;4}; 7; { {6} }; }, considere las
siguientes proposiciones:
I. 5A II. 3; 4A
III. 7A 7A IV. 6A
V. 2; 7; 3 A VI. 4; 5A
Si por cada proposición verdadera encontrada obtenemos
4 puntos, determine la máxima cantidad de puntos que se
pueden obtener.
A. 16 B. 8 C. 24
D. 20 E. 12
2. Si A = {1, 2, {1}, {1,2}}, halle el valor de verdad de las
siguientes proposiciones en el orden indicado:
I. 1P(A) II. 2; {1,2}P(A)
III. {1} P[P( A)]
A. VVV B. VFV C. VFF
D. FVV E. FFF
3. Si n(AUB) = 11; n(P(A)) + n(P(B)) = 192
Halle el valor de nP(AB)
A. 4 B. 16 C. 32
D. 8 E. 2
4. Dado los conjuntos F y G tal que n(F G) = 30 ; n(F – G)
= 12 y n(G – F) = 10. Halle el valor de n(F) + n(G).
A. 22 B. 38 C. 24
D. 32 E.30
5. Sean a y b números reales tales que M= {4a + 1; a + 2b –
2, 3a + 4} es unitario y S= {2a, b, a, b-a} ; determine el
número de subconjuntos no unitarios de S.
A. 3 B. 2 C. 4
D. 5 E. 12
6. Dados F= {a3; 2b4}, G= {4a; b-a; ab} y H= {2a; 4b}, se sabe
que solo dos de ellos son unitarios, siendo a y b números
enteros positivos que toman los mismos valores
respectivos en los tres conjuntos. Determine el número de
subconjuntos no vacíos de P(G).
A. 255 B. 7 C. 15
D. 63 E. 3
A B = {x/x A x B} ( = se lee “y”)
A' = A = {x/x x A}C U
A B = (A - B) (B - A)
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7. Un grupo de alumnos del CEPREVAL se fue de excursión
al parque nacional Huascarán y decidieron tener a dos de
ellos como líderes. Si con todo el grupo se pueden formar
190 parejas de alumnos, además la cantidad de mujeres
excede en 4 a la cantidad de hombres, ¿cuántas mujeres
hay en el grupo?
A. 16 B. 12 C. 8
D. 11 E. 9
8. Luego de terminar sus clases matutinas, Karina, pasa por
el restaurante: “A comer rico”, donde siempre presentan
buffet criollo con 5 diferentes platos de fondo. Si Karina
decide almorzar allí, sirviéndose solo una vez,
combinando los platos en la forma que quiera, pero
siempre en partes iguales. ¿de cuántas formas diferentes
puede servirse?
A. 15 B. 7 C. 31
D. 32 E. 63
9. En una fiesta familiar participan solo mujeres y hombres,
adultos. Si la suma de los cardinales de los conjuntos
potencias de hombres y mujeres es 80. ¿Cuántas parejas
mixtas de baile se pueden formar?
A. 20 B. 21 C. 24
D. 25 E. 26
10. En una encuesta a 150 personas sobre la preferencia por
dos marcas de bebidas, se obtuvo la siguiente
información: 80 prefieren la bebida M; a 70 personas les
gusta la bebida T y 20 personas no les gusta ninguno de
los dos. ¿Cuántas personas prefieren solo una bebida?
A. 90 B.100 C. 110
D. 115 E.120
11. En las secciones A y B de 1° de primaria, la sección B
posee 3 alumnos más que la sección A .Con ellos se
pueden formar grupos de 1, 2, 3 o más alumnos. Si el
número de grupos que se pueden formar en una sección
de ellos es mayor que la otra, en 1792, ¿cuántos grupos
de al menos tres alumnos se pueden formar con la sección
B 1° de primaria?
A. 1981 B. 968 C. 219
D. 466 E. 1970
12. En una clase de aritmética se plantean los conjuntos
F= {(3 x+2) ∈ Z /−2≤ x<7}
G= {(3 x +2) / −2 ≤ x <7, x∈ Z}
Entonces la proposición verdadera está en:
A. El conjunto F y G tienen los mismos elementos.
B. Todos los elementos de G son enteros positivos.
C. 23 es un elemento de F.
D. El cardinal de G es mayor al cardinal de F.
E. La suma de los elementos de F es 243.
13. Héctor se comprometió con sus vecinos del condominio
“El Valle Escondido” en llevar de paseo a los 7 canes que
habitan en el condominio, pero cada mañana llevaría un
grupo diferente de por lo menos 2 canes. ¿Cuántas
mañanas transcurrirán hasta que Héctor cumpla lo
prometido?
A. 127 B. 121 C. 128
D. 126 E. 120
14. En un club deportivo hay 70 jugadores. De estos, 50juegan
fútbol, 32 juegan ping-pong y 27 juegan básquet. Si solo 8
practican los 3 deportes, ¿cuántos practican exactamente
un deporte?
A.36 B. 37 C. 38
D. 39 E. 40
15. En un instituto de idiomas, la maestra Juanita desea
desarrollar su clase con al menos tres alumnos puesto que
debe formar grupos de dos o tres alumnos. Si la diferencia
entre el número de grupos de al menos dos estudiantes y
el número de grupos de al menos tres estudiantes es 91.
Halle la cantidad de parejas mixtas diferentes, sabiendo
que hay igual número de varones y mujeres matriculados
en ese curso.
A. 36 B. 49 C. 64
D. 94 E. 63
16. Carlos debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su
almuerzo de cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo
durante 20 días hubo pollo y durante 25 días hubo
pescado, entonces el número de días que almorzó pollo y
pescado es:
A. 18 B. 16 C.15
D. 14 E. 13
17. El Coordinador del CEPREVAL distribuye a 29 profesores
en las siguientes asignaturas: 13 en Aritmética, 13 en
Trigonometría y 15 en Geometría, de modo que algunos
pueden dictar más de un curso. Si 6 dictaran Aritmética y
Trigonometría, 4 Trigonometríay Geometría, y 5
Aritmética y Geometría, ¿cuántos profesores dictarían
Aritmética y Geometría pero no Trigonometría?
A. 4 B. 5 C. 1
D. 3 E. 2
18. De un grupo de 180 asistentes a una reunión se sabe que
El número de cantantes que no son ciegos, son tantos
como los varones mudos pero no ciegos.
Las personas que son cantantes pero no ciegas
representan el doble de las personas ciegas y
cantantes a la vez.
El número de varones ciegos que no son cantantes es
el triple de las personas que son cantantes.
Si hay 100 mujeres ciegas o mudas que no son
cantantes y 10 personas que no son cantantes ni
ciegas ni mudas, hallar el número de personas que
solo son cantantes.
A. 5 B. 10 C. 12
D.14 E. 15
19. En una encuesta realizada a 76 estudiantes sobre la
preferencia por tres cursos: Aritmética, Trigonometría y
Geometría se obtuvo la siguiente información:
• A los que les gusta Aritmética no les gusta Trigonometría.
• Hay tantos estudiantes que gustan solo de Geometría
como estudiantes que no les gusta esos tres cursos,
siendo éstos la mitad de los que gustan Aritmética y
Geometría.
• Los que gustan solo de Trigonometría son el doble de los
que gustan solo de Aritmética.
• Hay 34 estudiantes que gustan solo de dos cursos.
¿Cuántos estudiantes gustan de Aritmética si es la misma
cantidad de los que gustan de Geometría y Trigonometría?
A. 22 B. 20 C. 18
D. 15 E. 13
20. Cierto día asisten 150 personas a una feria de libros. Si se
sabe que las escolares son tantas como los varones
universitarios, quienes a su vez representan a la mitad del
número de mujeres universitarias, siendo estas tantas
como los varones no universitarios ni escolares; además
el número de los escolares varones es menor en 20 al
número de las mujeres no universitarias ni escolares. Si el
número escolares mujeres es al número de escolares
varones como 3 es a 4, ¿cuántos escolares asistieron a la
feria?
A. 42 B. 35 C. 70
D. 77 E. 28
21. De un grupo de 105 personas se sabe que 25 mujeres son
casadas, 20 varones tienen celular, 15 varones son
solteros, 10 mujeres solteras tienen celular y los varones
solteros que tienen celular son tantos como los varones
casados que no tienen celular. Calcule el producto de las
cifras del mínimo número de mujeres que no tienen celular,
si dicho número es primo.
A. 3 B. 12 C. 21
D. 4 E. 28
22. A una reunión social asisten 104 personas. Los que no
bailan, ni fuman, ni beben representan la cuarta parte de
los que bailan, y también la mitad de los que bailan y
fuman, siendo esta última la máxima posible. Los que solo
bailan, los que solo fuman y los que bailan, fuman y beben
son tres números consecutivos crecientes, en ese orden.
¿Cuántas personas bailan y beben?
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A. 42 B. 48 C. 46
D. 44 E. 40
23. En una reunión de 54 personas que se comunican por
redes sociales se sabe que:
I. 29 lo hacen por Facebook.
II. 21 lo hacen por Twitter.
III. 28 lo hacen por Instagram.
Si con respecto a las redes mencionadas, dos personas
no las usan y dieciocho usan solo dos, ¿cuántas
personas se comunican solo por una de estas?
A.26 B. 30 C. 28
D. 19 E. 42
24. En los meses de enero y febrero del 2018, Marcos asiste
a la UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN 46
días, visitó a su amiga María 33 días y tuvo que trabajar
en la biblioteca de la universidad 26 días. ¿Cuántos días
solo visitó a su amiga María, si no hubo días en que se
dedicara solo a dos actividades?
A. 21 B. 14 C. 18
D. 10 E. 25
25. En una reunión, las madres de familia manifestaron sus
gustos respecto a tres programas de TV llamados A; B y
C. Si a 22 les gusta el programa “A”, a 24 el programa “B”
y a 20 el programa “C” y si además a 35 les gusta al menos
un programa y los que gustan solamente de un programa
son cinco, ¿a cuántas les gusta los tres programas?
A. 5 B. 2 C. 3
D. 4 E. 1
26. A una fiesta asistieron 150 personas donde, el número de
hombres es el doble del número de mujeres. De los
hombres 23 no usan reloj pero sí tienen terno y 42 tienen
reloj. De las mujeres, las que no usan minifalda son tantas
como los hombres que no usan terno ni reloj y ocho tienen
minifalda y reloj, ¿cuántas mujeres usan minifalda pero no
reloj?
A. 5 B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
27. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 40
mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provincias,
28 personas casadas van al extranjero y 45 personas
solteras van a provincias. Si se sabe que hay 42 hombres
casados y que 18 mujeres solteras viajan al extranjero
¿cuántas mujeres solteras existen?
A. 62 B. 60 C. 63
D. 68 E. 54
28. En una encuesta a 170 comerciantes que laboran en un
mercado del centro de Lima se tiene:
* 30 son sordos y venden libros *32 que oyen música,
venden libros
* 75 que venden libros, no oyen música
* 55 son sordos
* 60 oyen música
¿Cuántos de los que no oyen música, no venden libros, ni
son sordos?
A. 20 B. 15 C. 16
D. 12 E. 10
29. Se hizo una encuesta entre 170 personas para ver ia
preferencia entre partidos políticos: Ay B de centro, C de
derecha y D de izquierda con los siguientes resultados: 10
no simpatizan con partido alguno, 32 solo con D, 22 soto
con A, 20 soto con B y 20 soto con C; 20 con Ay D pero no
con B; 6 solo con B y C; 4 solo con A y C; 24 con B y Dy
26 con Ay B.
Si ninguno que simpatiza con la derecha simpatiza con la
izquierda. ¿Cuántos simpatizan con A, B y D?
A. 8 B. 12 C. 16
D. 20 E. 24
30. A una fiesta de fin de semana asistieron un total de 96
personas. Se sabe que el número total de hombres es
igual al número al número de mujeres solteras. Si hay 18
hombres casados y hay más de 29 mujeres casadas.
¿Cuántas personas son solteras si entre ellas hay más de
14 hombres?
A. 28 B. 36 C. 56
D. 32 E. 48
CAPÍTULO II
NUMERACIÓN
DEFINICIÓN:
La numeración se encarga del estudio de la formación de la
lectura y escritura de los números. Su aplicación se da
desde que se hacían intercambios, hace mucho tiempo
atrás.
Principio de orden:
54321
12345
orden
abcde
lugar
Principio de la base
.2
.0
. cifra máxima= base 1
base
cifra base
Propiedad:
REGLA DE SIGNOS
En una igualdad de 2 numerales a mayor numeral
aparente le corresponde menor base.
entonces se cumple: z < x
Base Sistema Cifras a utilizar
2 Binario 0, 1
3 Ternario 0, 1, 2
4 Cuaternario 0, 1, 2, 3
5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4
6 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5
7 Heptanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8 Octanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8,9
11 Undecimal 0, 1, 2, 3, , 8, 9, (10.
12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, ,(10), (11)
16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, , 14., (15)
20 Vigesimal 0, 1, 2, 3, ,(18), (19.
NUMERAL CAPICÚA: Aquel cuyas cifras equidistantes de
los extremos del numeral son iguales.
Ejemplo: a; etc.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
( )
2
( )
3 2
( )
.
. .
. . .
n
n
n
ab a n b
abc a n b n c
abcd a n b n c n d
CAMBIOS DE BASE
1. Conversión de base “n 10” a base decimal (base 10)
“Descomposición Polinómica”.
Ejemplo: Convertir 324(6.a base 10
Resolución
324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4= 124
O sea que: 324(6)= 124
Ruffini.
Ejemplo: Convertir 215(6.a base 10
O sea que: 215(6).= 83
2. Conversión de base decimal (base 10.a base
diferente de 10 (base n)
Ejemplo: Convertir 328 a la base 6
Así pues el número 328 = 1304(6)
)z()x( 12032
aa ; aba ; abcba ; abcdedcba,
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3. CONVERSIÓN DE BASE “n” A BASE “m”, donde “n
m 10”
Se aplica los dos métodos anteriores
Casos especiales:
De base “n” a base “nK ”:
Ejemplo: Escriba el número 101110100010(2.en base 8.
)8(
)2(
2465
010100110101
De base “nK ” a base “n”:
Ejemplo: Escriba el número 542786(9.en base 3.
)3(
)9(
202221021112
687245
PROPIEDADES INTERESANTES
1. Numeral de k cifras máximas
( )
( 1)( 1)( 1) ( 1) 1k
k cifras n
n n n n n
2. Bases sucesivas
Caso 1:
( )
1 ( )
1
1
1 n
a n a b c x
b
c
x
Caso 2:
3. Límite de un numeral de "k" cifras
PRACTICA N.° 02
01. Si los numerales
2
4 (16 )( 2) , 3 , ( 2)( )a ca b b b c
están
correctamente escritos, calcule el máximo valor de a+b+c.
A. 8 B. 9 C. 10
D. 11 E.12
02. Si el numeral es capicúa y {a; b; c} ⊂ Z+
2 (12)( )( 1)( )( 3)(2 3)a c b b a
Calcule el máximo valor de a+b+c.
A. 18 B. 15 C. 19
D. 17 E. 16
03. ¿Cuántos números pares y capicúas de 5 cifras tienen solo
cifras significativas y no usan la cifra 3 en su escritura?
A. 324 B. 400 C. 320
D. 256 E. 192
04. Se cumple que
(5) (7)
4 ab ccc . Calcule el valor de a+b+c.
A. 8 B. 2 C. 6
D. 7 E. 5
05. Al representar cierta cantidad en dos sistemas de
numeración de bases consecutivas “x” y “x+1”; se obtiene
los numerales 1 0 y 2 1x n . Determine el menor valor
de dicha cantidad expresada en base 10.
A. 66 B. 45 C. 41
D. 28 E. 11
06. Juan reparte abca soles entre sus tres hijas; Ana,
Bertha y Carmen tocándole a cada una
1 ; 5 y 7ab b a db soles respectivamente. ¿Cuántos
soles más recibe Carmen que lo que reciben Ana y Bertha
juntas?
A. 373 B. 351 C. 113
D. 387 E. 378
07. Si se cumple 2(9) (2 )1( 1)( 4 )( 1) xxab x x x ,
determine el valor de x + a + b.
A. 12 B. 13 C. 19
D. 18 E. 9
08. Un vendedor compró una cantidad de álbumes y figuras
del mundial de futbol para comercializarlos. Si invirtió una
cantidad en soles equivalente a un numeral de cinco
cifras consecutivas en orden creciente y cuya base es la
cifra consecutiva al mayor digito del numeral y además
esta cantidad es igual a un numeral de cuatro dígitos en
base 7. Determine la suma de cifras del numeral de 4
dígitos en base siete.
A. 17 B.12 C. 19
D. 15 E. 11
09. ¿Cuántas cifras cero utilizará una computadora que
opera en el sistema hexadecimal, para almacenar en su
memoria el numeral
(64 )
120
444 ...444
cifras
?
A. 45 B. 90 C. 60
D. 75 E.120
10. José y Luis viven en diferentes calles, pero sus domicilios
tienen el mismo numeral en el sistema decimal. José
transforma dicho numeral a base 6 y obtiene
(6 )
20 1m ,
Luis a base m y obtiene
( )
3 3
m
np . Si Juan tiene tantos
años como la suma de las cifras del número de su
domicilio en base 10, ¿cuántos años tiene Juan?
A. 14 B. 13 C. 11
D. 10 E. 12
11. Angelina dispone de 25 stickers decorativos de princesas.
Ella decide regalarlas a sus amigas y los prepara en
láminas plastificadas de a 1, 3 o 9 stickers. Si desea
utilizar la menor cantidad de láminas, ¿a cuántas amigas
podrá obsequiar sus stickers?
A. 1 B. 2 C. 4
D. 5 E. 6
12. Dado el numeral
( )
2 6 7(1 1)
n
convertirlo a base (n+1), y de
como respuesta la suma de sus cifras.
A. 12 B. 11 C. 8
D. 5 E. 2
13. Si se cumple que
( ) ( ) (8 )
12 1 1 204 13( 4 )n
k p
n k p ;p
<8, calcule el valor de “pk +np”.
A. 30 B. 42 C. 56
D. 77 E. 55
14. Si
(7 )
( )a a b bb mnmn , donde “m” no es impar,
calcule el valor de “a + b + m + n”
A. 5 B.6 C. 8
D. 9 E) 10
15. Si
( ) (9 )
, 5
c
aba mnc m y además
( ) (9 )
,
a
xyz zyx
calcule el valor de “m + a + c + x + y + z”.
A. 21 B. 28 C. 29
D. 30 E. 26
16. Si
(8) (9)
2525 aabc cba
, determine el valor de
ab c , sabiendo que “a” es impar.
A. 82 B. 81 C. 79
D. 77 E. 80
17. Hallar el valor de a, si 1 4 504 na
A. 6 B. 4 C. 2
D. 8 E. 3
18. Convertir el menor numeral del sistema de base 8 cuya
suma de cifras es 215, al sistema binario y de como
respuesta la suma de sus cifras.
A. 89 B. 90 C. 91
D. 92 E. 93
ab = a n+k a b+ a b+ ....+ a b+ a b+ bk-1 k-3 2 1
ab
ab
ab
(n)
k veces
k 1 k
(n)n N n
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19. Convertir (5 )0, 2 3 1 a base 10.
A. 0,650 B. 0,528 C. 0,524
D. 0,560 E. 0,628
20. Halle el valor de S en base 10, si el número de sumandos es
el máximo posible.
(27 ) (28 ) (29 ) (30 )
14 16 18 1(10) .........S
A. 1472 B. 1548 C. 1678
D. 1988 E. 2004
21. Si
(6 ) ( )
3(2 ) 4
n
a a , halle el valor de .a n
A. 6 B. 7 C. 8
D. 9 E. 10
22. Si
(7 ) (9 )
11( 1)5aabb a , halle el valor de a + b.
A. 7 B. 6 C. 8
D. 14 E. 10
23. Calcule n+b+a+c
Si
(4 2 )
13
8 8 8
2
1 3
nabc
n n n
A. 20 B. 9 C. 26
D. 8 E. 5
24. ¿Cuántos numerales de la forma
(13)
24
( 3) ( 1)( 2)
3
a
a b c
b
existen?
A. 416 B. 260 C. 325
D. 200 E. 180
25. Si A representa la cantidad de números de 3 cifras diferentes
entre sí de la base 8, y B es la cantidad de números capicúas
que hay entre 65 y 665. Calcule A+B.
A. 452 B. 403 C. 353
D. 352 E. 354
26. Si 2
(4 )
0 (4 )( )(6 7)ab ab m m m , calcule el valor de a + b + m.
A. 5 B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
27. Si 8
( )
6 ( 1)
n
ab a bb halle el valor de a+b+n.
A. 14 B. 15 C. 16
D. 17 E. 18
28. ¿Cuántos numerales de la forma
(7 )
(2 )ab a b existen?
A. 9 B.8 C) 7
D. 10 E. 12
29. Hallar “k+1” si:
131512(k)
1217 30
A. 11 B. 10 C. 12
D. 13 E. 14
30. Calcule “a+b” si:
A. 2 B. 1 C. 3
D. 4 E. 0
31. Calcule “n” si:
A. 4 B. 2 C. 3
D. 6 E. 5
32. Hallar el valor de “n” aumentado en 2, si:
A. 16 B. 17 C. 18
D. 19 E. 20
33. Un numero de tres cifras del sistema de base 7, se escribe
en el sistema de base 9 con las mismas cifras pero
colocadas en orden inverso. Entonces la suma de las cifras
de este número escrito en base 7 es:
A. 7 B. 9 C. 6
D. 8 E. 5
34. Marcos nació en 19aa y en 19bb cumplió ( 4 5a b )
años. ¿Cuál fue el año en que tuvo 2( )a b años de edad?
A. 1981 B. 1976 C. 1967
D. 1971 E. 1955
35. ¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300, tal que,
leído al revés, es el doble del número que sigue al original?
A. 295 B. 296 C. 297
D. 247 E. 252
36. Un recipiente que tiene ab litros de agua se empieza a
llenar con un caudal constante, al cabo de 30 minutos se
obtiene ba litros y cumplidos los primeros 60 minutos se
tiene 0a b litros. Hallar el caudal en litros por hora.
A. 51 B. 65 C. 15
D. 90 E. 45
37. Marcos nació en 19ab y en 19ba cumplió 2b años.
¿Cuántos años tendrá en el 2019?
A. 72 B. 71 C. 73
D. 55 E. 47
38. La edad de un abuelo es un número de dos cifras y la edad
de su hijo tiene los mismos dígitos pero en orden invertido.
Las edades de dos nietos coinciden con cada una de las
cifras de la edad del abuelo. Se sabe, además, que la edad
del hijo es a la edad del nieto mayor como 5 es a uno. Hallar
la suma de las cifras de la edad de la esposa del hijo,
sabiendo que dicha edad es la mitad de la edad del abuelo.
A. 7 B. 8 C. 14
D. 10 E. 4
39. Se desea repartir S/. 1 000 000 entre un cierto número de
personas de tal modo que lo que les corresponda sea S/. 1;
S/. 7; S/. 49; S/. 243 …… y que no más de 6 personas
reciban la misma suma. Determina cuantos fueron los
beneficiados.
A. 15 B. 12 C. 16
D. 14 E. 13
40.Se arrojan tres dados, el resultado del primer dado se
multiplica por 7 se suma el resultado del segundo dado y se
multiplica todo por 7 por último se suma el resultado el tercer
dado obteniéndose así 136. ¿Cuál fue el resultado de cada
dado dar? Como respuesta el menor.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
41. Al responder una encuesta, un ganadero escribe en la ficha
lo siguiente:
Nº de toros : 24
Nº de vacas : 32
Total de cabezas : 100
Determina el sistema de numeración que utiliza en
ganadero.
A. 8 B. 9 C. 5
D. 6 E. 7
78
APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO III
DIVISIBILIDAD
DIVISIÓN:
Un número entero A es divisible entre otro número entero
B, si al dividir A entre B el cociente es entero y el residuo
cero (la división es exacta.. Esquemáticamente se tiene:
)módulo(ZB
Zk,A
kBA
“A” es divisible entre “B”. A es múltiplo de B.
“B” es divisor de “A”. B es factor de A.
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD:
1.
2.
3. 4.
5.
6.
DIVISIBILIDAD EN EL BINOMIO DE NEWTON.
k
o o
kn a n a
, donde k
( )
( )
ok ko
o
k
n a k es par
n a
n a k es impar
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
Llamados Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas
que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán
determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.
Criterios de divisibilidad entre potencias de 2
2 e 2abcde
4 de 4abcde
8 cde 8abcde
Criterios de divisibilidad entre potencias de 5
Criterio de divisibilidad entre 3 o 9
Criterio de divisibilidad entre 11
Criterio de divisibilidad entre 7
Criterio de divisibilidad entre 13
1143143
13gg3e4dc3b4 a 13abcdefg
PRACTICA N.° 03
01. ¿Cuantos números son múltiplos de 17 en los 3 000
primeros enteros positivos?
A. 175 B. 176 C. 177
D. 178 E. 180
02. ¿Cuántos números de 4 cifras terminados en 3 son divisibles
por 7?
A. 124 B. 125 C. 126
D. 127 E. 130
03. Entre 5 000 y 12 000. ¿Cuántos son múltiplos de 19 y
terminan en cifra 6 ?
A. 36 B. 37 C. 38
D. 39 E. 40
04. ¿Cuántos de los números de 1 a 240 son
3 4y pero no de
5?
A. 72 B. 84 C. 96
D. 120 E. 144
05. ¿Cuántos de los números de 3 cifras son múltiplos de 7
pero no den 5?
A. 26 B. 106 C.108
D. 102 E. 103
06. ¿Cuál es el menor número de términos de la siguiente serie
cuya suma es múltiplo de 29?
7;11;15;19…………………..
A. 9 B. 10 C. 11
D. 12 E. 13
07. Si se sabe que:
1 2 3 ........... 9 17a a a a Calcular el valor de “a”
A. 1 B. 3 C. 6
D. 7 E. 8
08. Si: 17 3 10abcd y cd ab ,Calcular “a+b+c+d”
A. 10 B. 30 C. 60
D. 16 E. 80
09. Cuál es el menor valor que puede tomar ab
si:
2 3 ....... 20 91ab ab ab ab Calcular “a+b+c+d”
A. 11 B. 12 C. 13
D. 15 E. 17
10. El numeral (2 )(2 )(2 )a b c abc Es siempre divisible por:
A. 13 B. 15 C. 17
D. 23 E. 37
11. La expresión:
2 2
(5) (5)abc cba
no siempre será divisible entre:
A. 6 B. 8 C. 3 y 8
D. a + c E. a - b
12. cuál es el residuo de dividir “E” entre 17.
4 2 3 13 2.4 8n nE
A. 5 B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
13. cuál es el residuo de dividir “E” entre 8.
2 2 2 221 23 25 .......... 343E
A. 3 B. 4 C. 5
D. 6 E. 2
14. Hallar: “a+b+c” si se cumple que: 5. . .abc a b c
A. 10 B. 11 C. 12
D. 13 E. 15
15. En un barco hay 200 personas; ocurre un accidente y de los
sobrevivientes los 4/3 son solteros; los 2/7 son casados y los
3/8 son mujeres que usan minifalda. ¿Cuántas personas
perdieron la vida?
A. 23 B. 32 C. 34
D. 36 E. 42
16. En una fiesta hay 140 personas; los 5/11 de las mujeres
coquetean y los 8/17 de los varones fuman. ¿Cuántos son
los varones y cuantas las mujeres? Dar la diferencia de ellos.
A. 35 B. 40 C. 45
D. 25 E. 30
17. Hallar la menor cantidad de páginas que puede tener un
libro; sabiendo que si se cuenta de 18 en 18 sobran 11, de
24 en 24 sobran 17; de 30 en 30 sobran 23, de 11 en 11 no
sobra nada. Dar la suma de sus cifras.
A. 18 B. 19 C. 20
D. 21 E. 22
o o o
n n n
o o o
n - n=n
o o
k.n n
k
o o
n =n
o o o
n a n b n ab
o
oo
o
N a
N b N MCM a,b,c
N c
º
abcde 5 e 0 ó 5
º º
abcde 25 de 25
º º
abcde 125 cde 125
º º
abcd 3 a b c d 3
º º
abcd 9 a b c d 9
º º
abcde 11 a b c d e 11
º º
-
a b c d e f g 7 a -2b-3c - d 2e 3f g 7
1 2 3 1 2 3 1
A B
0 k
79
APREMUNI AMBO-2020
18. ¿Cuántos años bisiestos existen desde el año 1200 hasta el
año 2100?
A. 226 B. 225 C. 224
D. 219 E. 218
19. Sea:
19 17 17 2N N
Hallar el residuo que resulta al dividir “N” entre 323.
A. 12 B. 119 C. 102
D. 34 E. 121
20. Si: 9 8 ; 9 7
a b
abc abc y 9 4
c
abc
Hallar el residuo que resulta al dividir
abc
abc entre 9
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 5
21. Si se sabe que: 7 .9 8 56 ( )nm mn m n Hallar:
“m+n”
A. 12 B. 15 C. 17
D. 13 E. 18
22. Si se cumple: 100 (15)4 .............HS Hallar: “H+S”
A. 4 B. 5 C. 6
D. 7 E. 9
23. Si se sabe que: 47 4 13K ¿Cuántos valores pueden
tomar “K” sabiendo que no tiene más de 4 cifras?
A. 689 B. 768 C. 769
D. 869 E. 868
24. Si: ! 23 2 y ( 1)! 23 6N N
Hallar el residuo que
se obtiene al dividir ( )!2N entre 23.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
25. Hallar el menor número natural que ser dividido entre 23 de
por residuo 8 y tal que al dividirlo entre 11 de por residuo 5.
Dar la suma de sus cifras.
A. 10 B. 11 C. 12
D. 13 E. 14
26. Una persona compra con 550 soles cierto número de pavos
y gallinas; cada pavo cuesta 23 soles y cada gallina cuesta
16 soles determine la diferencia entre el número de animales
de cada especie.
A. 5 B. 10 C. 15
D. 20 E. 30
27. Hallar el valor de “x” Si:
(8) 8513 13 5 8x x
A. 2 B. 3 C. 4
D. 5 E. 6
28. Hallar un número capicúa de 3 cifras sabiendo que si se
resta la suma de sus cifras se obtiene 74x .Dar la suma de
sus cifras.
A. 15 B.17 C. 19
D. 21 E. 23
29. Hallar el valor de “a+b” si cumple que 45abbbba
A. 5 B. 6 C. 7
D. 8 E. 12
30. Hallar el valor de “a” si: 7 9a b c entre 7; si 1 3 5 7 2a b c
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
31. Cuantos números de 3 cifras al ser divididos entre la suma
de sus cifras da 29 de cociente y 3 de residuo.
A. 2 B. 3 C. 4
D. 5 E. 12
32. Hallar el valor de “a.b” si 6 319 56a b
A. 4 B. 6 C. 8
D. 10 E. 12
CAPÍTULO IV
NÚMEROS PRIMOS – MCM y MCD
1. NÚMEROS PRIMOS
5.1 NÚMERO PRIMO ABSOLUTO
Son aquellos números que admiten únicamente dos
divisores siendo éstos la unidad y él mismo.
Por ejemplo.
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,
5.2 NÚMERO COMPUESTO
Son aquellos que admiten más de dos divisores.
Por ejemplo:
El número 18, tiene por divisores a: 1, 2, 3, 6, 9 y el mismo
18.
5.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Todo número compuesto se puede descomponer como el
producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a
ciertos exponentes. Esta descomposición es única y se
llama “descomposición canónica”.
osintdistprimos#
113 532120
1
55
315
230
260
2120;120
En general, todo número compuesto "N" se puede
expresar:
. . . .a b c d eN A B C D E
A, B, C, D, E son números primos absolutos y diferentes.
a, b, c, d, e son números enteros positivos
5.4 PRINCIPALES FÓRMULAS:
Dado el número "N"
. . . .a b c d eN A B C D E
Cantidad de Divisores (C.D..:
CD(N. = CDP + CDC + 1
Donde:
CDP = Cantidad de divisores primos
CDC = Cantidad de divisores compuestos
CD(N.= Cantidad total de divisores
C.D.N = (a + 1.(b + 1.(c + 1....
Suma de divisores (S.D..:
1 1 11 1 1
. . . .
1 1 1
a b cA B C
S D
A B C
Suma de las inversas de los divisores (S.I..:
Producto de divisores (P.D..:
( 1).( 1).( 1).( 1).. a b c dP D N
Es decir: #. DP D N
5.5 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI.
Llamados también números primos relativos, son aquellos
que poseen un solo divisor común y que es la unidad.
Por ejemplo.
1. “12” y “35” son PESI
2. “22” y “15” son PESI
PRACTICA N.° 04
1. Si la suma de 4 números primos diferentes es 43 y la
diferencia de dos de ellos es 21, calcule la menor diferencia
de los otros números primos.
A. 4 B. 5 C. 3
D. 6 E. 2
2. Para saber si un número es primo se pensó en realizar 6
divisiones, pero en la cuarta división resultó que es
compuesto. Calcule la suma del menor y mayor de los
números que cumplen con esta condición.
A. 390 B. 490 C. 476
D. 360 E. 462
3. ¿Cuántos números enteros de tres cifras son PESI con
Marcos12
135 ?
N
S.D.
S.I. NN
80
APREMUNI AMBO-2020
A. 440 B. 455 C. 446
D. 480 E. 470
4. Si los números 6a ; 12 y 28 son primos relativos, calcule la
suma de los valores que toma a.
A. 25 B. 16 C. 24
D. 23 E. 14
5. ¿Cuántos divisores no múltiplos de 3 existen en
291 63N ?
A. 16 B. 12 C. 20
D. 10 E. 18
6. ¿Cuántos ceros deben colocarse a la derecha de 234 para
que la cantidad de divisores propios exceda en 534 a la
cantidad de divisores simples?
A. 7 B. 8 C. 9
D. 10 E. 6
7. La suma de divisores de N es 96, además la suma de
divisores de (N –1) es N. Calcule la suma de divisores de
N+1.
A. 108 B. 104 C. 144
D. 168 E. 112
8. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F)
respecto a las siguientes proposiciones.
I. El conjunto de los números primos es infinito.
II. El 2 no es el único número par que sea primo.
III. 3; 5 y 7 es la única terna de números impares
consecutivos y primos a la vez.
A. VFV B. VVF C. FVF
D. FFF E. VVV
9. Calcule el residuo que se obtiene luego de dividir el producto
de los 60 primeros números primos entre 12.
A. 4 B. 5 C. 6
D. 7 E. 8
10. Para determinar si un número es primo se deben realizar 8
divisiones, pero en la sexta división de determinó que el
número es compuesto. Calcule cuántos números cumplen
con la condición.
A. 2 B. 3 C. 1
D. 5 E. 8
11. Si: 26! 2 3 5 ... 23 : Halle el valor de a+b+ .
A. 36 B. 38 C. 42
D. 39 E. 40
12. Si 12 6nN tiene 37 divisores compuestos, determine la
cantidad de divisores múltiplos de 6.
A. 32 B.14 C. 4
D. 12 E. 28
13. Calcule a+n si se sabe que
8
( 2 )
2200 ...0
n cifras
posee 3a
divisores compuestos.
A. 14 B. 6 C. 12
D. 10 E. 19
14. Se sabe que 318 20n posee 92 divisores impares.
Calcule la suma de los divisores de
2
n .
A. 121 B. 133 C. 132
D. 143 E. 130
15. Sea 212 12n nA un número que tiene 175 divisores
compuestos. Calcule la suma de los divisores propios de
nn
A. 12 B. 17 C.54
D. 16 E. 40
16. ¿En cuántos ceros termina 70! al expresarlo en base 21?
A. 9 B. 10 C. 11
D. 12 E. 13
17. Si A tiene 30 divisores; B tiene 32 divisores y A · B tiene 104
divisores, ¿cuántos tendrá A · B2? (Nota: A y B tienen los dos
mismos factores primos)
A. 210 B. 220 C. 240
D. 250 E. 280
18. Se sabe que 3 2 4 3 2 12 3 5 7n n n nN tiene 1920
divisores cuadrados perfectos. ¿Cuántos de los divisores de
N son cubos perfectos si n impar?
A. 720 B. 360 C. 192
D. 460 E. 660
19. Si:
a bN = 2 .5 .3 tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16
divisores múltiplos de 20. Determina la suma de cifras de N.
A. 6 B. 13 C. 8
D. 21 E. 10
20. Se sabe que la descomposición canónica de un número
entero positivo N es ( ) ( )
c b
N ab ac y que tiene 32
divisores. Indique, el menor valor posible de a + b + c.
A. 14 B. 13 C. 12
D. 11 E. 10
21. Sean los números 3 11 6 8
a a
N y 3 12 8 3
a a
N
si la cantidad de los divisores de N1 es igual a la cantidad de
los divisores de N2 aumentada en 20, halle el valor de 2a –
1.
A. 1 B. 3 C. 5
D. 7 E. 9
22. Si: 2(15)kA y (3 0)kB ; además el número de
divisores de B es el cuádruplo del número de divisores de A.
Determina la cantidad de divisores compuestos que tiene
k + 1N = (k + 3) .
A. 78 B. 79 C. 80
D. 81 E. 82
23. ¿Cuántos rectángulos de 3024 cm2 de área son tales que
tengan sus lados números enteros de centímetros?
A. 15 B. 3 C. 5
D. 8 E. 9
24. ¿Cuántos rectángulos de 12 320 cm2 de área existen, tales
que sus lados sean números pares de centímetros?
A. 15 B. 24 C. 5
D. 8 E. 16
25. Determinar la suma de todos los números que tienen una
cantidad impar de divisores y tales que al ser divididos por
39, se obtiene un cociente primo y de residuo la unidad.
A. 3240 B. 2430 C. 5
D. 4032 E. 3012
26. César observa la tabla de los divisores de un número, la que
está formada por 3 filas y 3 columnas. Hallar la suma de las
cifras del número, si al sumar los divisores de la diagonal
principal se obtiene 463.
A. 15 B. 3 C. 5
D. 8 E. 9
27. Para el número 960. Determinarla suma de sus divisores
múltiplos de 2.
A. 3046 B. 2072 C. 1026
D. 1036 E. 2052
28. ¿Cuántos números no mayores que 400 son primos relativos
con él?
A. 160 B. 200 C. 240
D. 320 E. 180
29. Peter tiene como tarea de matemática, dibujar todos los
triángulos isósceles posibles que tengan un área de 12376
cm2. Si la base es el lado diferente, además las medidas de
dicha base y su respectiva altura son números enteros de
centímetros, ¿cuántos triángulos dibujará Peter para cumplir
la tarea?
A. 30 B. 60 C. 36
D. 32 E. 40
30. Braulio le dice a su hijo Raúl que tiene 9 10k soles en elbolsillo y este número tiene tres divisores positivos menos
que el número
( 1)
72 000...000
k ceros
. ¿Cuántos soles tiene Braulio
en su bolsillo?
A. 900 B. 9000 C. 9
D. 90 E.90000
31. Hoy el producto del número de años que representa a las
edades de un grupo de guepardos es 2100. Si las edades,
81
APREMUNI AMBO-2020
en años, están representadas por números primos, ¿cuántos
años sumarán estas edades dentro de un año?
A. 24 B. 30 C. 27
D. 28 E.29
32. Harold le dice a su hermano Patricio, observo que tienes
232 .25 .49n mM papayas y esta cantidad posee 381
divisores positivos compuestos. Si Patricio le regala a su
hermano Harold tantas papayas como la suma de divisores
positivos de 3(3 )2 mR n , ¿cuántas papayas le regaló?
A. 716 B. 518 C. 621
D. 417 E. 508
33. En un recipiente hay ab bacterias que se reproducen muy
rápido y en una hora alcanzan una población de 2 ab
bacterias. Si esa cantidad de bacterias que hay en una hora
tiene 73 divisores positivos, determine la cantidad de
divisores positivos múltiplos de 12 que tiene ab .
A. 4 B. 6 C. 8
D. 9 E. 10
34. Juan I y Juan II juegan dados. Un jugador tira dos dados y
gana si por lo menos en uno de los dados obtiene un número
menor que 4 ó la suma de los puntos en ambas dados no es
un número primo; en caso contrario pierde. Juan I tira los
dados y pierde. Si N es la suma de los puntos de Ambos
dados que obtiene Juan I, entonces 396/N es:
A. 24,75 B. 44 C. 39,6
D. 36 E. 33
35. ¿Cuántos triángulos rectángulos que tengan 50m2 de área
existen, sabiendo que los lados son números enteros?
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
36. Anthony ingresó a la UNHEVAL cuando tenía 2L años,
donde L representa a la suma de las cifras del valor de T. Si
los divisores positivos primos de T son 2 y 3, el número de
divisores positivos de su raíz cuadrada es 12 y el número de
divisores positivos de su cuadrado es 117, ¿cuántos años
tenía Anthony cuando ingresó a la
UNHEVAL?
A. 36 B. 18 C. 22
D. 28 E. 24
37. Elmer le dice a su hijo marcos: tengo ahorrado un número
entero de soles en el banco, además ese número es el
menor posible que al multiplicar por 10 es un cuadrado
perfecto, pero si lo multiplicas por 6 es un cubo perfecto. Si
tú encuentras correctamente el valor de dicho número, te doy
de propina una cantidad en soles equivalente a la cantidad
de divisores positivos de ese número. ¿Cuántos soles
recibió marcos luego de cumplir lo pedido por su padre?
A. 72 B. 40 C. 54
D. 30 E. 96
2. M.C.D Y M.CM
2.1. Máximo Común Divisor
El MCD de dos o más números cumple las siguientes
condiciones.
1º Es un divisor común de los números.
2º Es el mayor de todos ellos.
Ejemplo:
Nº Divisores
6 1,2,3,6
8 1,2,4,8
12 1,2,3,4,6,12
MCD 6,8,12 2
Propiedades
a) El MCD nunca es mayor que ninguno de los números
analizados
b) Si el menor de los números es divisor común de los
otros entonces el MCD será ese menor número.
c) El MCD de dos números primos entre si es la unidad.
Determinar del MCD
Por Descomposición Simultánea:
Ejemplo:
140 250 360 2
70 125 180 5
14 25 36
MCD 140,250,360 2 5 10
Observación:
Si a un conjunto de números y a cada uno de ellos, se
divide entre el MCD de ellos los cocientes obtenidos
son números PESI (primos entre si.
a) Por divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides
31 2 4 n
31 2 n
31 2 4
CC C C C...
rr r rA B ...
rr r r 0...
Donde:
1 1
2 1 2
1 3 2 3
n n 2 n 1 n 2
A C B r
B C r r
r C r r
r C r r
nMCD A,B r
b) Por descomposición Canónica
Ejemplo:
2 2 2
60 2 3 5 ; 90 2 3 5 ;150 2 3 5
MCD 60,90,150 2 3 5 30
Observación:
El MCD está dado por el producto de los factores
primos comunes elevados al menor exponente posible.
2.2. Mínimo Común Múltiplo
Cumple con dos condiciones:
1º Debe ser un múltiplo común a los números.
2º Debe ser el menor de estos múltiplos comunes.
Nº Múltiplos
8 8,16,24,32,40,48,…
12 12,24,36,48,60,72,…
Múltiplos comunes: 24,48,...
MCM 8,12 24
Determinación de MCM
Descomposición Canónica
Ejemplo: Sea:
3 2 2 2 2
A 2 3 5 B 2 3 5 C 2 3 5
3 2 2MCM A,B,C 2 3 5
PRACTICA N.° 04 - II
01. Se cumple que ( ;( 1)( 1) ) 4 4 8 8MCM abc a b c
Calcule a×b×c.
A. 40 B. 48 C. 36
D. 32 E. 54
02. Si M y N es la cantidad de dinero que tiene Juan y María.
12 14
15 11
2 3
2 3
A
B
Dónde:
M es la cantidad de divisores del MCD(A;B.
N es la cantidad de divisores del MCM (A;B.
Calcule el valor de M+N.
A. 396 B. 387 C. 388
D. 390 E. 385
03. ¿Cuántos números menores de 1200 y que posean 24
divisores existen, tales que el mayor divisor común que tiene
con 480 es 24?
A. 4 B. 6 C. 2
D. 1 E. 5
04. Al calcular el MCD de dos números mediante divisiones
sucesivas, se obtiene como cocientes 2; 4; 2 y 3; además, la
suma de dichos números posee 24 divisores. Calcule la
diferencia de ambos números si su MCD es un capicúa impar
menor de 200.
A. 2145 B. 2035 C. 2090
D. 1254 E. 2926
05. Se tienen dos tipos de ladrillos, las dimensiones de uno
son 12; 15 y 18 cm por lado, y el otro tiene 3 cm menos
82
APREMUNI AMBO-2020
por cada lado. Estos deben colocarse en cajas cúbicas
idénticas de modo que se emplee la mayor cantidad
posible; además, las cajas deben estar completamente
llenas sin que sobre espacio. Si para enviar un lote de
ladrillos se emplearon 5 cajas, de las cuales en dos
estaban los ladrillos de menor dimensión, ¿cuántos
ladrillos más se emplearon del segundo tipo que del
primero?
A. 3600 B. 3000 C. 1800
D. 4800 E. 1200
06. Dados dos números A y B, se cumple que MCM(A; 7B. =
MCM(9A; B.. Calcule el menor valor que puede tomar la
suma de A y B si estos tienen 21 divisores comunes.
A. 61 632 B. 30 160 C. 25 600
D. 31 360 E. 28 800
07. Se cumple que
5 3 4 3
; 9
4 5
n n
MCD . Calcule el
menor valor que puede tomar n, si es de cuatro cifras.
A. 1137 B. 1317 C.1713
D. 1130 E. 1132
08. El máximo común divisor de dos números enteros positivos
es 19. Halle la diferencia positiva de estos números sabiendo
que su suma es 114.
A. 57 B. 38 C. 45
D. 63 E. 76
09. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir
exactamente con una regla de 20 cm, de 50 cm y de 80 cm
de largo?
A. 10 m B. 2 m C. 4 m
D. 20 m E. 5 m
10. Se tienen 3 depósitos de vino con 360 L, 280 L y 200 L. Si
se desea vender en barriles todos con igual volumen, sin que
sobre vino, ¿cuántos barriles como mínimo serán
necesarios?
A. 20 B. 40 C. 25
D. 21 E. 18
11. Si el MCD(A; 240)=20; 100 < A < 300, ¿cuántos valores toma
A?
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
12. La diferencia de 2 números positivos es 72. El MCM de ellos
es 960, calcule la suma de cifras del mayor de los números.
A. 15 B. 12 C. 8
D. 6 E. 9
13. Con ladrillos de 8 cm×10 cm×12 cm se formará un cubo
compacto, cuyo lado es el menor posible. ¿Cuántos ladrillos
se necesitarán y cuánto medirá el lado del cubo?
A. 1200 y 1,8 m B. 180 y 1,2 m
C. 120 y 18 m D. 2400 y 2,4 m
E. 1800 y 1,2 m
14. Si: MCD (2A; 5B)=20k, MCD (3A; 11C)=18k
MCD (6A; 15B; 22C)=360
Calcule el valor de
A B
MCD ;
5 2
A. 30 B. 60 C. 15
D. 45 E. 18
15. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 540 y 360?
A. 8 B. 16 C. 9
D. 18 E. 20
16. Al calcular el MCD de 2 números, mediante el algoritmo de
Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos 4; 3; 1 y 2. Si
la suma del MCD y MCMde dichos números es 2072, calcule
la diferencia de los números.
A. 288 B. 72 C. 144
D. 48 E. 96
17. Un terreno de 880 m de largo y 780 m de ancho será dividido
en parcelas cuadradas. Si en cada una de las esquinas de
las parcelas habrá una estaca, ¿cuántas estacas como
mínimo se necesitarán y cuántas habrán alrededor del
terreno?
A. 1716 y 162 B. 1634 y 162 C. 1716 y 166
D. 1800 y 166 E. 1800 y 164
18. En una pista circular de (800/) m de radio, 3 ciclistas parten
simultáneamente del mismo punto y con velocidades de 20
m/s; 40 m/s y 50 m/s. ¿Cuánto tiempo como mínimo debe
pasar, para que se vuelvan a encontrar en el punto de
partida, y cuántas vueltas habrá dado el ciclista de mayor
velocidad en ese tiempo?
A. 120 s y 2 B. 160 s y 4 C. 2 min, 40 s y 5 D.
1 min, 40 s y 4 E. 2 min y 5
19. La suma de dos números es 224 y el MCD de los mismos es
14. ¿Cuántas parejas de números cumplen las condiciones
anteriores?
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
20. La suma del MCD y MCM de dos números es 1452, además
la diferencia de dichos números es 84. ¿Cuál es la suma de
cifras del menor de los números?
A. 15 B. 9 C. 12
D. 21 E. 18
21. Roxana quiere empaquetar en cajas cúbicas idénticas 12
000 barras de jabón, cuyas dimensiones son 20 cm, 15 cm
y 12 cm, de modo que todas estén completamente llenas.
¿Cuántas cajas cúbicas, como máximo, se podrán utilizar?
A. 200 B. 210 C. 240
D. 260 E. 180
22. Tres ciclistas recorren un velódromo circular de 3600 m de
longitud cuyas velocidades son 36 m/s, 24 m/s y 30 m/s. Si
a las 11:59 a. m. pasan los 3 ciclistas por el mismo punto,
¿cuántas veces más se encontraron en dicho punto desde
las 12:00 p. m. hasta las 3:00 p. m.?
A. 17 B. 6 C. 12
D. 18 E. 24
23. El MCD de 2 números A y B es 56. Si la cantidad de divisores
de A es igual a la cantidad de divisores de B, ambos números
tienen tres divisores simples. Calcule la suma de los
números si la cantidad de divisores del MCM es 32. Dé como
respuesta la suma de cifras del resultado.
A. 12 B. 10 C. 15
D. 13 E. 16
24. El distrito A tiene agua por 6 horas seguidas, luego se corta
por 2 horas y así sucesivamente; el distrito B tiene agua por
4 horas seguidas, luego se corta por 1 hora y así
sucesivamente; el distrito C tiene agua por 12 horas
seguidas, luego se corta por 3 horas y así sucesivamente. Si
el día lunes a las cero horas han coincidido en cerrarse las
llaves de agua, ¿cuántos días transcurrirán para que
nuevamente en los tres distritos se cierren las llaves el lunes
a las cero horas?
A. 32 B. 18 C. 42
D. 35 E. 24
25. Se tienen tres recipientes que contienen 300; 480 y 600 litros
de vino, y se desea envasar los contenidos en recipientes
más pequeños cuyo volumen sea una cantidad entera en
litros y esté comprendida entre 24 y 36 litros. ¿Cuántos
envases se necesitarán?
A. 46 B. 23 C. 44
D. 45 E. 40
26. Si el MCM(A; B; C)=1182, además MCD(B;C)=591 y
MCD(A;C)=394. Halle: C – A – B.
A. 190 B. 195 C. 197
D. 394 E. 591
27. Si: MCD (10A; 14B)=60; MCD (14A; 10B)=420, Halle el MCD
de A y B.
A. 15 B. 20 C. 60
D. 120 E. 30
83
APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO V
FRACCIONES
FRACCIÓN.- Es el que expresa una o varias partes
iguales que se toman de la unidad principal f = a/b, donde
a y b Z, con b ≠ 0
Numerador
Deno min ador
a
f
b
Relación PARTE-TODO.- Es la comparación de una
parte respecto a un todo mediante una fracción.
Todo: Número de partes en que se divide la unidad (total.
Parte: Número de partes que se consideran.
EXTRACCIÓN Y REPOSICIÓN DE FRACCIONES DE
VOLÚMENES
En el caso de que nos hablen de un sólo líquido se procede
de la siguiente manera:
Entra Tengo Sale Queda
1/2 3/2 1/2 1/2
2/5 7/5 2/3 1/3
12/15 27/15 5/7 2/7
m/n (m+n)/n m/n (n-m)/n
PRINCIPALES FRACCIONES
Fracciones Homogéneas (Igual denominador.
8 102 7
, , , ,...,etc.
3 3 3 3
a) Fracciones Heterogéneas (Diferente denominador.
4 53 5 3
, , , , ,...,etc.
7 2 5 3 6
b) Fracción Propia (Numerador < Denominador.
1 3 63 11
, , , , ,...,etc.
8 22 2 5 7
(Menores que 1.
c) Fracción Impropia (Numerador > Denominador.
11 207 5
, , , ,...,etc.
2 4 10 7
(Mayores que 1.
OBS.:
Fracción Impropia < > Número Mixto.
1 1 3
1 1
2 2 2
d) Fracción Equivalente
N NK
D DK
“k” es natural
e) Fracción Irreductible (Numerador y Denominador
son primos entre sí PESÍ.
3 4 13, ,
7 3 17
.
f) Fracción Decimal (Denominador = 10n, donde “n” es
natural.
123 8, ,
10 1000 100
.
g) Fracción Ordinaria (Denominador ≠ 10n.
5 7,
24 145
.
5. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL
a) Decimal Exacto
♦ 0, 12 =
100
12
♦ 0,8 =
10
8
b) Decimal Periódico Puro
♦ 0, 777…= 7,0
=
9
7
♦ 2,1
= 1 +
9
11
9
2
Numerador: Se coloca lo que se repite.
Denominador: Se coloca tantos nueves como cifras tiene el
número que se repite.
c) Decimal Periódico Mixto
♦ 0, 27333…= 327,0
=
900
246
900
27273
♦ 1, 222…= 2,1
=
9
11
9
112
REDUCCION A LA UNIDAD
Este método se aplica en aquellos problemas que
relacionan: obra, trabajo, caños, grifos, piscinas, etc,
donde no se conoce la magnitud del trabajo o tarea pero si
es conocido el tiempo total que se necesita para hacer
dicha obra.
El procedimiento consiste en determinar el avance por
unidad de tiempo, para lo cual basta tomar la inversa al
tiempo total.
PRACTICA N.° 05
01. Si
0, 8 0, 6 2, 4
0, 4 3, 2
N
D
es irreductible. Calcule la suma
de cifras de N más la suma de cifras de D.
A. 15 B. 17 C. 24
D. 27 E. 30
02. Si se cumple que , 0, 1,a b b b calcule el valor de a+b.
A. 9 B. 6 C. 8
D. 10 E. 12
03. Se tiene que
1,1 2, 2 3, 3 ... 8, 8
1,1 2, 2 3, 3 ... 8, 8
E
Calcule la suma del numerador y denominador de la fracción
irreductible equivalente a E.
A. 19 B. 109 C. 110
D. 199 E. 10
04. Si
4
0, 0,ab ba
a b
hallar (a+b)
A. 2 B. 3 C. 4
D. 6 E. 9
05. Una persona gana en tres juegos consecutivos la mitad de
lo que tenía antes de cada juego y en el cuarto juego pierde
la mitad de lo que tenía antes del tercer juego, resultando al
final con S/.810. Determine la cantidad de dinero con la que
inicia el juego.
A. S/.480 B. S/.270 C. S/.540
D. S/.360 E. S/.180
06. Un sastre tiene una tela de 260 metros. Cierto día, para
poder venderla, realiza tres cortes, de manera que la
longitud de cada retazo es igual a la del anterior aumentado
en la mitad. ¿Cuál es la longitud del retazo más grande?
A. 81 m B. 108 m C. 36 m
D. 32 m E. 135 m
07. En la biblioteca privada de Marcos, se observa que 1/2 del
total más cuatro libros son de matemática, 2/3 del resto
menos cinco libros son de ciencias, 4/5 del resto son de
humanidades y el resto son 9 enciclopedias. Halle cuántos
libros hay en total.
A. 420 B. 496 C. 248
D. 320 E. 524
08. Al repartir una cantidad de dinero, a Pedro le corresponde
3/8 de esta cantidad y solo ha recibido 1/12 de la misma. Si
le falta recibir S/.330, ¿cuál fue la cantidad inicial de dinero?
A. S/.1440 B. S/.720 C. S/.600
D. S/.960 E. S/.1080
09. Carlos repartió S/.N entre sus 3 hijos, al mayor le entregó
1/3, al intermedio 1/4 del resto y al último 1/5 del nuevo resto.
Si a Carlos le sobra S/.60, calcule el valor de N.
A. 120 B. 140 C. 150
D. 100 E. 130
84
APREMUNI AMBO-2020
10. Juan puede hacer una obra en 20 días y Carlos, en 30 días.Si trabajan juntos, ¿en cuántos días podrán realizar dicha
obra?
A. 10 B. 25 C. 24
D. 15 E. 12
11. Abel, Bruno y Carlos pueden hacer una obra en 20, 60 y 120
días respectivamente. Si Carlos inicia la obra trabajando 12
días, luego se le une Bruno durante 6 días y finalmente se
les une Abel hasta concluir la obra, ¿cuánto días dura en
total la obra?
A. 18 B. 24 C. 22
D. 28 E. 40
12. Diez hombres pueden hacer una obra en 6 días; mientras
que 15 mujeres harían la misma obra en 8 días. ¿Cuántos
días emplearían en hacer la misma obra 4 hombres y 6
mujeres?
A.7/60 B. 35/12 C. 9
D. 10 E. 60/7
13. Sebastián vendió los 3/8 de los libros que compró, perdiendo
1/3 de su costo. Si desea recuperar su capital, ¿qué fracción
del costo debe ganar al vender lo restante?
A. 1/5 B. 1/3 C. 1/2
D. 1/7 E. 1/6
14. Una liebre perseguida por un galgo le lleva 35 saltos de
ventaja. El galgo da 5 saltos mientas que la liebre da 8, pero
6 saltos del galgo equivalen a 11 saltos de la liebre.
¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre?
A. 80 B. 200 C. 150
D. 240 E. 120
15. Tres hermanos deciden repartirse una herencia, al primero
le corresponde 3/11 del total y los otros 2 se reparten el
resto. El segundo gasta 4/13 de su parte y el tercero gasta
S/. 300, quedándose los tres con la misma suma de dinero.
¿A cuánto ascendió la herencia?
A. S/. 5500 B. S/. 4950 C. S/. 5720
D. S/. 5005 E. S/. 7150
16. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 63/36, tienen como
suma de términos un número de 3 cifras y como diferencia
de términos un número de 2 cifras?
A. 23 B. 25 C. 24
D. 22 E. 33
17. Un tanque puede ser llenado por un caño A en 20 horas, por
un caño B en 24 horas y puede ser vaciado por una tubería
C en 30 horas. Si A y B se abren durante 4 horas y luego se
cierran, ¿en cuánto tiempo C vaciará el tanque?
A. 30 horas B. 24 horas C. 11 horas
D. 12 horas E. 15 horas
18. La suma de dos fracciones irreductibles es 5, los términos
de la primera fracción suman 17 y los de la segunda 25.
Calcule la diferencia de las fracciones.
A. 2/3 B. 4/3 C. 5/6
D. 2/9 E. 1/3
19. Del dinero que tengo, gasto 1/5 de lo que no gasto, luego
pierdo 2/7 de lo que no pierdo y, por último, regalo 3/4 de lo
que no regalo. ¿Qué parte de mi dinero me queda?
A. 5/9 B. 5/7 C. 10/27
D. 2/9 E. 7/9
20. Se tiene un alambre de L metros que se divide en 4 partes,
cada parte es 1/2 vez más que la longitud de la parte
anterior. Si la mayor y menor parte suman 70 cm, calcule el
valor de L.
A. 120 cm B. 150 cm C. 100 cm
D. 130 cm E. 110 cm
21. De un recipiente que contiene V litros de agua y 60 litros de
alcohol se extrae la cuarta parte del volumen y se reemplaza
con alcohol; de la mezcla resultante se extrae la quinta parte
y se reemplaza con alcohol; por último, se extrae 2/3 del
volumen y también se reemplaza con alcohol. Si al final hay
124 litros de alcohol, calcule V.
A. 80 B. 60 C. 90
D. 100 E. 140
22. Un operario realizó un trabajo en 4 días. El primer día hizo
una parte de la obra, el segundo día hizo un cuarto del resto,
el tercer día hizo un quinto de lo que le faltaba y el cuarto día
dos quintos de la obra. Determine qué fracción del trabajo
realizó el primer día.
A. 1/3 B. 2/5 C. 3/4
D. 4/15 E. 7/20
23. La señora Erika asiste a un casino con S/.M. En la primera
apuesta pierde 1/3 de su dinero, en la segunda vuelve
apostar y pierde 1/3 de lo que le quedaba, y así repitió la 3.a
y 4.a vez y siempre perdió 1/3 de lo que le quedaba. Si al
final se retiró con S/.48, halle el valor de M.
A. 243 B. 324 C. 234
D. 253 E. 233
24. Tres grifos proveen de agua a un estanque, estando vacío
el estanque; el primero y el segundo funcionando juntos lo
llenan en 6 horas; el segundo y el tercero lo harían en 3
horas, el primero y el tercero lo llenarían juntos en 4 horas.
¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si sólo funciona el
tercer grifo, estando el depósito inicialmente vacío?
A. 3 h B. 3 h 38 m C. 4 h
D. 4 h 40 m E. 4 h 48 m
25. Un tanque puede ser llenado por la cañería “A” en 6 horas y
vaseado por otra cañeria “B” lo puede vaciar en 8 horas. Se
abren ambas cañerías durante 2 horas y luego se cierra “B”,
y “A” continúa abierta por 3 horas, al final de las cuales se
reabre “B”. Desde la reapertura de “B”, ¿qué tiempo demora
el tanque en llenarse?
A. 7 H B. 10 H C. 9 H
D. 12 H E. 6 H
26. Una pelota de jebe cada vez que rebota se eleva los 3/4
de la altura de donde cayo; después de 5 rebotes la pelota
se ha elevado 4,86 m. ¿De qué altura cayo al inicio la pelota
de jebe?
A. 2016 cm B. 2048 cm C. 4860 cm
D. 4680 cm E. 2118 cm
27. Una pelota cae desde cierta altura y en cada rebote que da
siempre pierde 2/5 de altura anterior de donde cayó. Si en el
cuarto rebote se eleva a 9 cm. ¿Desde qué altura cayó la
primera vez?
A. 70 cm B. 36 7/16 cm C. 69 4/9 cm
D. 35 5/16 cm E. 60 cm
28. Una bola cae desde cierta altura y se observa que en cada
rebote pierde 2/5 de su altura anterior, alcanzando 81 cm de
altura en el cuarto rebote. Señalar la altura que alcanzó en
el segundo rebote.
A. 6,25 m B. 2,50 m C. 135 cm
D. 2,25 m E. 220 cm
29. Se deja caer una bola sobre una mesa desde cierta altura.
Sabiendo que en el tercer rebote alcanza una altura de 27
cm y que después de cada rebote pierde 2/5 de altura. Hallar
la longitud de la trayectoria que describe la bola hasta el
punto en que alcanza la máxima altura después del segundo
rebote.
A. 320 cm B. 230 cm C. 235 cm
D. 325 cm E. 125 cm
30. Una bola es soltada desde cierta altura y cada vez que da
un bote siempre pierde los 2/3 de la altura anterior de donde
cayó. Si después del cuarto rebote se ha elevado 8 cm.
Hallar la longitud de la trayectoria que hizo la bola hasta
chocar al suelo por cuarta vez.
A. 1252 cm B. 1024 cm C. 1224 cm
D. 1272 cm E. 1248 cm
31. La suma de dos fracciones irreductibles es 4 y el producto
de sus denominadores es 36. Determine cuántas parejas de
fracciones cumplen con dicha condición.
A. 4 B. 12 C. 11
D. 5 E. 8
85
APREMUNI AMBO-2020
32. Cuál será la última cifra del periódico de
1 9
1
7
A. 9 B. 6 C. 7
D. 1 E. 3
33. Hallar la fracción irreducible equivalente a
2 3 4 5 6 7
2 4 2 4 2 4 2
.....
8 8 8 8 8 8 8
M
A. 7/32 B.5/63 C.5/16
D. 63/64 E. 20/63
34. Hallar la suma de las cifras del periodo que genera la
fracción:
32
7
27027027 ...
cifras
f
A. 14 B. 16 C. 18
D. 31 E. 51
35. Dos números están en la razón a/b. sabiendo que a/b genera
una fracción decimal periódica pura con dos cifras en el
periodo y que a+b=12, hallar la suma de dichos números si
se sabe además que su diferencia es 130
A. 149 B. 20 C. 156
D. 12 E. 143
36. Un pastor tiene entre 100 y 80 ovejas en su rebaño. Un día,
observando su rebaño pensó: que el número de ovejas que
dormían era igual a los 7/8 de los que no dormían. ¿Cuantas
ovejas hay exactamente en el rebaño?
A. 90 B. 85 C. 95
D. 92 E. 99
37. Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en
partes desiguales 10 litros de agua. El vaso A se llenaría si
se vertiera los 2/3 del agua contenido en B y este se llenaría
si se le agregara la mitad del agua contenida en A. ¿Cuál es
la capacidad de cada vaso?
A. 7L B. 8L C. 6L
D. 9L E. 5L
38. La fórmula de juan fue dividida en la siguiente forma: un
quinto para su hermano mayor, un sexto para su hermano
menor y lo restante en partes iguales para cada uno de sus
12 hijos. ¿Qué fracción de la formula recibió cada hijo?
A. 1/20 B.1/18C. 1/16
D. 1/15 E. 1/14
39. Una persona compra una tela de 8,8 soles el metro
cuadrado, cuando se lave dicha tela se pierde 3/25 de su
largo y 2/9 de su ancho, ¿a cómo debe vender el metro
cuadrado de dicha tela después de la lavada, si se desea
ganar el 40% de su costo?
A. s/.15 B. s/.16 C. s/.16,2
D. s/.18 E. s/.20
40. Tres obreros A; B y C pueden hacer una obra en 45; 90 y 30
días respectivamente, si trabajan juntos pueden hacer una
obra en un determinado tiempo ¿en qué porcentaje
disminuye dicho tiempo si el obrero A aumenta su
rendimiento en 50%, B disminuye en 25% y C aumenta en
25%?
A. 20% B. 15% C. 25%
D. 18% E. 22,5%
41. Una piscina está llena hasta sus 2/7 de su capacidad; si le
añadimos 1800 litros de agua, el nivel de agua sube hasta
los 4/5 de su capacidad total. ¿Cuál es la capacidad total de
agua?
A. 2400 B. 3500 C. 2700
D. 4500 E. 3100
CAPÍTULO VI
RAZONES – PROPORCIONES – PROMEDIOS
1. Razón
Es la comparación de dos magnitudes.
a) Razón Aritmética ( AR .
AR a b , Dónde:
a: antecedente
b: consecuente
b) Razón Geométrica ( GR .
G
a
R
b
, Dónde:
a: antecedente
b: consecuente
2. Proporción: Es la igualdad de dos razones.
Proporción Aritmética
a b c d Dónde:
a;d: externos
b;c: medios
a) Proporción Aritmética Continua sus términos medios
son iguales. (a – x = x – c.
b) Proporción Aritmética Discreta: (a – b = c – d.
Dónde: a b c d
3. Proporción Geométrica
a c
b d
, Donde:
a;d: extremos
b;c: medios
a. Proporción Geométrica Continua
Cuando sus términos medios son iguales.
a b
b c
2ac b
b. Proporción Geométrica Discontinua
Cuando todos los términos son diferentes.
a c
b d
PROPIEDADES PARA UNA PROPORCIÓN
Para la proporción:
a c
b d
se cumple que:
a b c d
b d
a c
b a d c
a b c d
b d
a c
b a d c
a c a c
b d b d
a b c d
a b c d
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
1 2 n
1 2 n
a a a
... k
b b b
Propiedades:
1.
n1 2 n
1 2 n
a a ... a
k
b b ... b
Dónde:
n n n
n 1 2 n
1 2 n
a a a
k ...
b b b
2.
n n n
n1 2 n
n n n
1 2 n
a a ... a
k
b b ... b
3.
1 2 n
1 1 2 2 n n
a a a k
...
a b a b a b k 1
4.
1 1 2 2 n n
1 2 n
a b a b a b k 1
...
b b b 1
5.
1 1 2 2 n n
1 1 2 2 n n
a b a b a b k 1
...
a b a b a b k 1
86
APREMUNI AMBO-2020
PRACTICA N.° 06
01. Las edades de Pia y Lia son proporcionales a 12 y 10 pero
dentro de 8 años sus edades serán proporcionales a 16 y
14. Hallar la suma de las cifras del producto de sus edades.
A. 8 B. 10 C. 12
D. 11 E. 9
02. En una reunión hay 900 personas, al inicio el número de
hombres era al número de mujeres como 13 es a 17,
después se retiran 220 personas y ahora el número de
hombres es al número de mujeres como 9 es a 8, ¿Cuántos
hombres y mujeres se retiraron?
A. 30 y 190 B. 40 y 180 C. 50 y 170
D. 60 y 160 E. 70 y 150
03. Sea M la cuarta proporcional de 5, 3 y 10; N es la tercera
proporcional de 12 y 36. Halle la cuarta diferencial de N, M y
110.
A. 8 B. 10 C. 6
D. 12 E. 9
04. Sea P la cuarta diferencial de 31, 23 y 16; Q es la cuarta
proporcional de 6, 4 y 3. Determine la media proporcional de
P y Q.
A. 6 B. 2 C. 4
D. 5 E. 10
05. La razón entre dos números es 3/4. Si al menor se le suman
2 unidades y al mayor se le restan 9, se obtiene una razón
inversa a la original, halle la media diferencial de ambos
números.
A. 14 B. 30 C. 21
D. 15 E. 18
06. En una competencia de carreras de 200 metros, Julio le
ganó a Freddy por 40 metros y Freddy le ganó a Néstor por
20 metros. ¿Por cuántos metros le ganó Julio a Néstor?
A. 60 B. 50 C. 48
D. 56 E. 35
07. La diferencia, la suma y el producto de dos números están
en la misma relación que 1, 2 y 6. ¿Cuál es el valor del mayor
número?
A. 15 B. 12 C. 18
D. 28 E. 16
08. La diferencia, la suma y el producto de dos números están
en la misma relación que 1, 2 y 6. ¿Cuál es el valor del mayor
número?
A. 15 B. 12 C. 18
D. 28 E. 16
09. Un albañil y su ayudante realizan una obra. El primero
trabaja 4 días y su ayudante, 2 días. Si el salario diario del
ayudante es los 2/5 de lo que gana el albañil diariamente, y
juntos reciben 960 soles, ¿cuál es el salario diario en soles
del albañil?
A. 140 B. 130 C. 200
D. 150 E.1 80
10. Edgard y Leticia asisten a una fiesta donde solo ingresan
docentes, a la salida de la fiesta Edgard le dice a Leticia,
observé, que el número de colegas varones y mujeres están
en la relación de 5 a 3 respectivamente y Leticia le comenta
a Edgard que ella observó que la relación entre el número
de colegas varones y mujeres es de 13 a 7 respectivamente.
Halle la suma de las cifras de la cantidad de docentes que
asistieron a la fiesta.
A. 9 B. 5 C. 11
D. 8 E. 7
11. En una proporción geométrica discreta la suma de los
extremos es 11 y la suma de los medios es 10. Si la suma
de los cuadrados de sus términos es 125, halle el menor de
los términos de dicha proporción.
A. 2 B. 3 C. 4
D. 5 E. 6
12. La relación de los volúmenes de tres bidones de agua M, N
y P es de 7, 5 y 2 respectivamente. Luego se vierte cierta
cantidad de agua de M a N y luego otra cantidad de agua se
vierte de N a P, entonces la nueva relación es de 2, 7 y 5
respectivamente. Si M perdió 50 litros de agua, halle la suma
de las cifras del volumen inicial de P.
A. 6 B. 2 C. 7
D. 3 E. 8
13. En un estacionamiento hay N vehículos entre autos y motos;
el número de autos es a N como 2 es a 5 y la diferencia entre
el número de motos y autos es 15. Si se retiran 5 autos,
¿cuál será la nueva relación entre el número de autos y
motos?
A. 3 a 2 B. 3 a 5 C. 3 a 7
D. 5 a 9 E. 2 a 5
14. José empezó a trabajar desde el primer día del mes de
Febrero del 2011. En ese mes la relación de lo que gana y
ahorra semanalmente fue de 5 a 2. Si lo que gana y gasta
semanalmente suman S/. 640, halle el ahorro mensual.
A. S/. 720 B. S/. 160 C. S/. 480
D. S/. 320 E. S/. 640
15. En una reunión social la cantidad de parejas que bailan y la
cantidad de personas que no bailan están en la relación de
4 a 5. Además los varones y las mujeres están en la relación
de 9 a 7. Si hay 52 varones que no bailan más que mujeres
que no bailan, ¿cuántas personas bailan?
A. 256 B. 450 C. 400
D. 416 E. 350
16. Un ama de casa cría patos, pavos, cuyes y conejos. La
cantidad de pavos es a la cantidad de conejos como 7 es a
4 y la cantidad de patos es a la cantidad de cuyes como 4 es
a 3, además, la cantidad de aves es a la cantidad de
mamíferos como 5 es a 3. Determine la cantidad de pavos
que cría si en total tiene 280 animales.
A. 70 B. 105 C. 147
D. 84 E. 98
17. Se tiene cierto número de bolas blancas, rojas y azules,
donde se cumple que por cada 3 bolas blancas hay 7 rojas
y por cada 5 bolas azules hay 2 rojas. Si la cantidad de bolas
rojas excede a las blancas en 96, ¿en cuánto excede las
bolas azules a la rojas?
A. 264 B. 276 C. 348
D. 280 E. 252
18. Un bus A parte de Lima a Huacho a las 3 p.m. con velocidad
constante. Cuando ha recorrido la cuarta parte, otro bus B
sale de Huacho a Lima con una velocidad que es a la del bus
anterior como 5 es a 4. Si se encontraron al cabo de 40
minutos, determine la hora en que llega a Lima elbus que
salió de Huacho.
A. 5:40 p. m. B. 5:36 p. m. C. 5:20 p. m.
D. 4:46 p. m. E. 5:06 p. m.
19. Se tiene una mezcla de 70 L de agua y vino. Al extraer 14 L
de dicha mezcla, de los cuales 4 L son de agua, ¿cuántos
litros de agua deben agregarse para que la relación de los
ingredientes se invierta?
A. 72 B. 68 C. 56
D. 84 E. 60
20. En un momento dado de una reunión social, se observa que
los que bailan son al total de varones como 7 es a 4 y que
los varones que no bailan son al total de mujeres como 1 es
a 10. ¿Cuántas personas hay en dicha reunión si hay 33
mujeres que no bailan?
A. 180 B. 204 C. 198
D. 240 E. 216
21. Lo que ganan mensualmente María, Juan y Rosa forman
una proporción aritmética continua; lo que ganan María y
Rosa están en la relación de 29 a 18. Determine cuánto gana
mensualmente Juan si lo que gana María excede a lo que
gana Rosa en S/.440.
A. S/.1392 B. S/.1508 C. S/.1044
D. S/.1334 E. S/.940
87
APREMUNI AMBO-2020
22. En una proporción aritmética continua los extremos son
entre sí como 7 es a 3. Si 10 es la tercera proporcional de la
suma de los extremos y la media diferencial de la proporción
inicial, halle el valor de la suma de los extremos de la última
proporción.
A. 50 B. 28 C. 34
D. 30 E. 40
23. En una proporción aritmética continua los extremos son
entre sí como 7 es a 3. Si 10 es la tercera proporcional de la
suma de los extremos y la media diferencial de la proporción
inicial, halle el valor de la suma de los extremos de la última
proporción.
A. 50 B. 28 C. 34
D. 30 E. 40
24. En una proporción geométrica de términos enteros de razón
mayor que 1, la razón aritmética de los antecedentes es 3 y
la suma de los consecuentes es 33. Calcular la media
diferencial de los términos medios.
A. 35,5 B. 41,5 C. 48,5
D. 35 E. 32,5
25. En una proporción geométrica continua, el producto de los
cuatro términos es 1296. Si la suma de los términos de la
primera razón es a la suma de los términos de la segunda
razón como 3 es a 2. Halle la diferencia de los términos
extremos.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
26. En una serie de tres razones geométricas equivalentes y
continuas de términos positivos, la suma de los dos primeros
antecedentes es 20 y la de los 2 últimos consecuentes es
45. Halle el mayor de los antecedentes.
A. 8 B. 14 C. 16
D. 18 E. 12
27. Si:
2 2 2 2 2 2
34 89 73
a b b c a c
, c – a = 10, donde {a,
b, c} Z+, hallar el valor de (a.b.c..
A. 960 B. 820 C. 780
D. 640 E. 1020
28. Si: 4
m p r
n q s
y
2 2
4
11( ) 13 17
(11 17 ) (11 13 )
m p pr mr
L
n n s q q s
, determine la media
diferencial de 8 y L.
A. 6 B. 9 C. 4
D. 5 E. 7
29. En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes
,
M R A
M A M R A R
determine el valor de
2
.
MA AR MR
M A R
A. 6 B. 5 C. 4
D. 3 E. 2
30. En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes
m n p n p q m p q m n q
m n n p p q m q
determine el valor de
A. 1 B. 5 C. 4
D. 3 E. 2
31. La edad de A y B son entre si como 5 es a 4. La razón entre
las edades de B y C es 3/7. Si la suma de las edades de las
tres personas es 165 años. ¿Cuál es la diferencia entre la
edad del mayor y la del menor?
A. 48 años B. 31años C. 26años
D. 32años E. 45años
PROMEDIOS
PROMEDIOS
Media Aritmética ( AM ): Dado: 1 2 3 n
"n" cantidades
a ,a ,a ,...,a
1 2 3 n
A
a a a ... a
M
n
Media Geométrica ( GM ): Dado: 1 2 3 n
"n" cantidades
a ,a ,a ,...,a
nG 1 2 3 nM a a a ... a
Media Armónica ( HM ): Dado: 1 2 3 n
"n" cantidades
a ,a ,a ,...,a
H
1 2 3 n
n
M
1 1 1 1
...
a a a a
PRACTICA
01. Si el promedio de 20 números de 2 cifras es 60,5, calcule el
promedio aproximadamente de los números de 2 cifras no
considerados.
A. 52,78 B. 51,43 C. 50
D. 31,7 E. 61,19
02. Si se cumple que: MG(a; c) = 6 2 ; MG(a; b; c)=12
Calcule la MH de (b; 3b).
A. 18 B. 36 C) 54
D. 9 E. 45
03. El mayor promedio de 2 números es 26 y su menor promedio
es 288/13. Calcule la diferencia de dichos números.
A) 20 B) 32 C) 18
D) 15 E) 21
04. Si a un grupo de 80 números se les disminuye 5 unidades a
cada uno y al resto se les aumenta 3 unidades a cada uno,
el promedio no varía. Calcule a cuántos números se les hizo
el aumento.
A. 40 B. 30 C. 60
D. 50 E. 10
05. La producción diaria en 5 días de una panadería es de 480;
500; 600; 580 y 450 panes. Calcule la producción promedio
en los 5 días.
A. 526 B. 522 C. 543
D. 441 E. 232
06. Un alumno obtuvo las siguientes notas en el primer ciclo de
la UNHEVAL.
CURSO PESO NOTA
Matemática I 4 12
Anatomía 5 x
Fisiología 4 14
Calcule su nota en anatomía si su promedio ponderado es
de 13.
A. 12 B. 13 C. 14
D. 11 E. 10
07. Si la media aritmética de n y (2n+2) es 13, halle la media
geométrica de dichos números.
A. 10 B. 8 C. 12
D. 11 E. 6
08. El promedio de notas de 30 alumnos en el curso de Historia
es de 52. Si 6 de los alumnos tienen un promedio de 40,
¿cuál es el promedio de los restantes?
A. 46 B. 58 C. 48
D. 55 E. 50
88
APREMUNI AMBO-2020
09. Si la MG de 2 números es 60 y su MA es 156, calcule la
suma de las cifras de la diferencia de dichos números.
A. 15 B. 14 C. 18
D. 17 E. 12
10. La diferencia de dos números es 30 y la media geométrica
es 36. Halle el mayor de dichos números.
A. 54 B. 46 C. 58
D. 24 E. 56
11. La edad promedio de 4 alumnos es 18 años. ¿En cuánto
varía el promedio si consideramos adicionalmente la edad
de Jaimito, que tiene16 años?
A. no varía B. aumenta en 0,4
C. disminuye en 0,6 D. disminuye en 0,4
E. aumenta en 0,6
12. Si en los primeros diez meses del año la familia Quispe pagó
en promedio por el servicio de agua S/.24 mensuales,
¿cuánto debe pagar en promedio los dos siguientes meses
del año para que en todo el año tenga un promedio de S/.23
por el consumo de agua mensual?
A. S/.22 B. S/.18 C. S/.20
D. S/.21 E. S/.23
13. Marcos va al supermercado en su auto con velocidad de 90
km/h y regresa con velocidad de 60 km/h. ¿Cuál es la
velocidad promedio de su recorrido?
A. 80 km/h B. 75 km/h C. 74 km/h
D. 70 km/h E. 72 km/h
14. De treinta invitados, ninguno tiene menos de 15 años. ¿Cuál
será la máxima edad que 2 de ellos pueden tener para que
el promedio de edades (considerando las edades de todos
los invitados) sea 18 años?
A. 50 años B. 36 años C. 40 años
D. 70 años E. 60 años
15. En una conferencia se observa que la cantidad de varones y
de mujeres están en la relación de 7 a 3, además, se sabe
que la edad promedio de los asistentes es 15,2. Halle la
edad promedio de las mujeres si se sabe que la edad
promedio de los varones es 14 años.
A. 17 B. 18 C. 20
D. 16 E. 19
16. Se tienen dos números enteros positivos cuya media
aritmética es 18,5 y cuya media geométrica es 6. Determine
la suma de las cifras del mayor de ellos.
A. 3 B. 5 C. 9
D. 27 E. 12
17. El promedio de 6 números consecutivos que se encuentran
entre 40 y 50 es 45,5. Determine el promedio de los 15
siguientes números consecutivos.
A. 56,5 B. 56 C. 55
D. 57 E. 57,5
18. Si la edad promedio de 20 mujeres es 16,5 y la de 30
varones es 18 años, ¿cuál será la edad promedio de todas
estas personas luego de 4 años?
A. 21 B. 21,4 C. 19,6
D. 23,4 E. 22,6
19. La MA y la MH de 2 números enteros se encuentranen la
relación de 25 a 16. Halle la diferencia de los números si la
suma de ellos es 340.
A. 204 B. 200 C. 238
D. 220 E. 210
20. De las notas obtenidas por los alumnos de un colegio mixto,
se obtuvo la siguiente información: el promedio de los
varones es 17 y el promedio de las mujeres es 14. Si el
promedio de todos los alumnos es 15, calcule en qué
relación se encuentran los varones y las mujeres.
A. 1 a 3 B. 2 a 3 C. 2 a 1
D. 3 a 4 E. 1 a 5
21. La media aritmética de los 15 primeros números impares de
2 cifras es 25. Calcule la media aritmética de los números
impares de 2 cifras no considerados.
A. 40 B. 70 C. 35
D. 45 E. 60
22. La suma y la diferencia de los 2 mayores promedios de 2
números son 36 y 16, respectivamente. Calcule la diferencia
de dichos números.
A. 48 B. 24 C. 64
D. 36 E. 72
23. Un auto se desplaza por una pista que tiene la forma de un
icoságono regular, en cada lado utiliza las velocidades: 2 m;
6 m; 12 m; 20 m y así sucesivamente. Calcule su velocidad
promedio en una vuelta.
A. 18 m/s B. 20 m/s C. 21 m/s
D. 24 m/s E. 22 m/s
24. El promedio de las edades de los 3 hermanos de Leslie es
21 años y el promedio de las edades de los 5 hermanos de
Miguel es 17 años. ¿Cuál es el promedio de las edades de
todos ellos, incluidos Leslie y Miguel, que tienen 5 y 7 años,
respectivamente?
A. 23 años B. 19 años C. 14 años
D. 13 años E. 16 años
25. En un aula, si cada varón tuviera 8 años más y cada mujer
3 años menos, el promedio de sus edades aumentaría en
3,6. Si en dicha aula hay 40 estudiantes, calcule la diferencia
entre el número de varones y de mujeres.
A. 12 B. 8 C. 6
D. 4 E. 3
26. Si en un aula de 50 alumnos, cuya edad promedio es 16,4
años, cada varón tuviera 2 años más y cada mujer tuviera 3
años más, el nuevo promedio de sus edades sería 19 años.
Calcule la cantidad de mujeres que hay en el salón.
A. 30 B. 28 C. 32
D. 25 E. 26
27. El promedio de edades al comenzar una fiesta en la que
estaban 20 personas era de 15 años. Luego de un cuarto de
hora vienen 4 personas, con lo que el nuevo promedio de los
asistentes a la fiesta es 15,5 años. Halle la edad promedio
de las 4 personas que vinieron.
A. 16 años B. 17 años C.16,5 años
D. 18 años E. 17,5 años
28. De un grupo de números, a 20 de ellos se les aumenta 8
unidades y a los 12 restantes se les disminuye 4 unidades.
¿Qué sucede con el promedio respecto del promedio inicial?
A. no varía B. aumenta en 3,5
C. disminuye en 3,2 D. disminuye en 3,5
E. aumenta en 3,2
29. El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y 55 dos de los
números. Si eliminamos estos dos números, ¿cuál será el
promedio de los restantes?
A. 36,5 B. 37 C. 37,2
D. 37,5 E. 38,1
30. Una hormiga recorre el perímetro de un triángulo equilátero,
cada lado con velocidades de 12 m/min, 16 m/min y 24
m/min, respectivamente. Calcule la velocidad promedio de la
hormiga en su recorrido.
A. 15 m/min B. 14,5 m/min C.20 m/min
D. 18 m/min E. 16 m/min
31. Un auto de carreras ha dado 13 vueltas en un circuito. Si en
la primera vuelta su velocidad fue de 2 km/h; en la segunda,
6 km/h; la tercera, 12 km/h; la cuarta, 20 km/h, y así
sucesivamente, calcule la velocidad promedio de todo su
recorrido.
A. 20 km/h B. 15 km/h C. 14 km/h
D. 210 km/h E. 21 km/h
89
APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO VII
PROPORCIONALIDAD
Magnitud
Es todo aquello que tenga la propiedad de ser medido, es
decir, que puede ser expresado en forma cuantitativa.
I. Directamente Proporcionales
Magnitudes
Valores
correspondientes
Costo X Y Z …
Peso a b c …
Graficando:
Observación:
yx z N
...
a b c a b c ...
II. Inversamente Proporcionales
Magnitudes
Valores
Correspondientes
Costo X Y Z …
Peso a b c …
Graficando:
Luego:
N
xa yb zc ...
1 1 1
...
a b c
III. Reparto proporcional
Reparto proporcional directo:
Reparto proporcional inverso:
Reparto proporcional compuesto:
Regla de compañía
Dónde:
(Ganancia.DP (capital.
(Ganancia.DP (tiempo.
Se cumple que:
(Ganancia)
cte.
(capital)(tiempo)
PRACTICA N.° 07
01. Si A es DP a B cuando A = 24 y B = 36, calcule el valor de A
cuando B = 45.
A. 28 B. 32 C. 30
D. 36 E. 40
02. Si A es IP a 2B cuando A=12 y B=6, calcule el valor de B
cuando A=48.
A. 4 B. 6 C. 18
D. 3 E. 9
03. Se sabe que A DP B. Calcule el valor de A cuando B = 3,
si cuando A = 500 el valor de B = 30.
A. 5 B. 7 C. 15
D. 3 E. 9
04. Si A es DP a 2B , ¿qué sucede con el valor de A cuando B
se duplica?
A. se reduce a la mitad B. se triplica
C. se duplica D. se cuadruplica
E. no varía
05. Se reparte S/.6850 en forma DP a los números 8; 12 y 20.
Dé como respuesta la menor parte.
A. S/.1280 B. S/.1370 C. S/.1260
D. S/.1050 E. S/.1120
06. Miguel reparte S/.2350 en forma IP a las edades de sus
sobrinos: 6; 8 y 10 años. ¿Cuánto le corresponde al mayor
de los sobrinos?
A. S/.750 B. S/.620 C. S/.600
D. S/.540 E. S/.700
07. Mario reparte S/.4320 en forma IP a 8 y 12, y en forma DP a
5 y 6. Dé como respuesta la menor parte.
A. S/.1920 B. S/.1930 C. S/.1960
D. S/.1580 E. S/.1820
08. Se reparte S/.9920 en forma DP a tres números, de manera
que el primero y el segundo están en la relación de 3 a 4, y
el segundo con el tercero en la relación de 6 a 5. Indique la
mayor diferencia de las partes que les toca.
A. S/.750 B. S/.920 C. S/.960
D. S/.940 E. S/.980
09. Se reparte S/.N en forma proporcional a los números 4; 2 y
5 e inversamente proporcional a los números 8; 5 y 3. Si la
mayor diferencia entre dos de las partes es S/.2470, calcule
el valor de N.
A. 5005 B. 4505 C. 5055
D. 5050 E. 5434
10. Luis y Pedro pintaron un establo por S/.1200. Si Luis trabajó
8 días y Pedro trabajó 12 días, ¿cuánto recibió Pedro por su
trabajo?
A. S/.680 B. S/.640 C. S/.600
D. S/.750 E. S/.720
11. El valor de una tela varía DP al área e IP al peso. Si una tela
de 2 m2 que pesa 50 g cuesta S/.400, ¿cuánto costará otra
tela de la misma calidad de 3 m2 con 100 g de peso?
A. S/.308 B. S/.360 C. S/.260
D. S/.305 E. S/.300
12. Cierta persona dice que su ahorro mensual es directamente
proporcional a la raíz cuadrada de su sueldo. Si cuando su
sueldo era S/.1600 su gasto total era S/.620, ¿cuál será su
ahorro cuando su sueldo sea S/.900?
A. S/.735 B. S/.875 C. S/.645
D. S/.465 E. S/.725
13. La longitud de un resorte es 8 cm. Si soporta un peso de 50
g, su nueva longitud es 10 cm. ¿Cuál sería su nueva longitud
si soportara un peso que es 3 veces el anterior?
A. 12 cm B. 14 cm C. 16 cm
D. 13 cm E. 15 cm
Peso
Costo
x
y
z
a b c
Velocidad
Tiempo
x
y
z
c b a
Hipérbola
Equilátera
90
APREMUNI AMBO-2020
14. El pago semanal que se le hace a un operario de máquina
es DP al total de horas trabajadas e IP al total de minutos de
tardanza. La semana pasada un obrero que tuvo 50 minutos
de tardanza recibió S/.225. Esta semana tiene 40 minutos de
tardanza, ha trabajado 32 horas y recibió en soles un
equivalente a 10 veces el total de horas que trabajó la
semana pasada. ¿Cuántos soles de más recibió esta
semana con respecto a la semana anterior?
A. 75 B. 50 C. 40
D. 80 E. 25
15. El precio de un diamante varía proporcionalmente con el
cubo de su peso. Un diamante que cuesta S/. 64000 se
rompe en dos pedazos de los cuales uno es el triple del otro.
¿Cuál esla pérdida sufrida al romperse el diamante?
A. S/. 30000 B. S/. 25000 C. S/. 32000
D. S/. 36000 E. S/. 35000
16. El precio de un celular varía en forma proporcional al número
de funciones que posee e inversamente proporcional al
cuadrado de su peso, y también es DP a la raíz cuadrada de
su capacidad. Si un celular que pesa 120 g cuesta S/.150 y
tiene 256 Mb de capacidad, ¿cuánto pesará otro celular que
cuesta S/.2700 y tiene el doble de funciones que el primero
y una memoria de 16 Mb?
A. 90 g B. 100 g C. 60 g
D. 10 g E. 20 g
17. La potencia que desarrolla el motor de un buque varia
proporcionalmente con el cubo de la velocidad de la
embarcación. A su vez el consumo de combustible por hora
es DP a fa potencia desarrollada por el motor. Si el capitán
decide ahorrar 75% del combustible total que gastaría en
cierto viaje, la velocidad que desarrollará, respecto a la
velocidad que desarrolla normalmente disminuirá en
porcentaje en:
A. 25 B. 37 C. 50
D. 75 E. 80
18. El sueldo de un empleado varía proporcionalmente a su
rendimiento e inversamente proporcional al número de faltas
durante el mes. Si Alberto, cuyo rendimiento es como 10 y
faltó 2 veces, tiene un sueldo mensual de S/.2400, ¿cuál
será el sueldo de Carmen que faltó 3 veces y tiene un
rendimiento como 6?
A. S/.1080 B. S/.960 C. S/.1800
D. S/.1920 E. S/.720
19. El precio de venta de un Libro es DP al costo unitario de los
materiales e IP a la raíz cuadrada de su tiraje. Si, para un
tiraje de 3600 ejemplares y un costo de S/.20 el precio de
venta fue de S/.42, ¿cuál será el precio de! libro para un tiraje
de 2500 y un costo de S/.30?
A. S/.75.6 B. S/.80 C. S/.72,5
D. S/.70 E. S/.S1
20. En una máquina excavadora se cumple que el volumen que
excava es directamente proporcional a la raíz cuadrada del
tiempo que se encuentra excavando, pero inversamente
proporcional a los años de antigüedad. Si ahora que tiene 5
años de antigüedad puede excavar una zanja de 12 m de
largo, 3 m de ancho y 8 m de profundidad en 20 horas,
¿cuántas zanjas de 4 m de largo, 2 m de ancho y 2 m de
profundidad podrá excavar, en 45 horas, cuando tenga 10
años más de antigüedad?
A. 5 B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
21. Se sabe lo siguiente:
• A DP
2
B (C es constante.. • B DP C (A es constante.
A 8 x 70
B 2 3 Y
C 7 3 5
Calcule x · y.
A. 210 B. 82 C. 120
D. 70 E. 86
22. Las magnitudes A y B guardan una relación de
proporcionalidad según el cuadro de valores.
A 9 4 81 m 36
B 12 18 4 9 N
Calcule m+n.
A. 21 B. 24 C. 23
D. 22 E. 16
23. Se cumple lo siguiente:
• A DP 3B , si B ≤ 18
• A IP B, si B ≥ 18
Halle el valor de A cuando B es 543. Considere que cuando
A=72, entonces B=4.
A. 529 B. 2079 C. 441
D. 729 E. 625
24. Un padre de familia dejó ordenado hacer el reparto de la
herencia en forma proporcional a las edades de sus hijos de
18; 24 y 12 años. El reparto se hizo efectivo luego de 3 años
y uno de ellos recibió S/.140 más que si se hubiera repartido
inmediatamente. ¿Cuál es el monto de la herencia?
A. S/.9820 B. S/.8910 C. S/.8820
D. S/.8190 E. S/.8720
25. Tres firmas comerciales transportan 210; 150 y 270 autos en
una embarcación, respectivamente. Para el desembarco de
los autos, alquilaron una grúa por el precio de S/.6720. Halle
cuánto pagó la firma que transportó más autos.
A. S/.2240 B. S/.1600 C. S/.2560
D. S/.2880 E. S/.3200
26. Carlos y Miguel inician un negocio aportando S/.3000 y
S/.1800. Si a los 3 meses Carlos retira la mitad de lo que
había aportado, determine qué tiempo duró el negocio.
Considere que al final los beneficios de ambos fueron
iguales.
A. 12 meses B. 14 meses C. 13 meses
D. 15 meses E. 10 meses
27. Juan inicia un negocio, luego de 2 meses acepta un socio,
el cual aporta S/.2000 más que él. Al transcurrir desde el
inicio 6 meses ingresa un siguiente socio, quien aporta tanto
como la suma de los otros dos. Si el tiempo total del negocio
fue de 12 meses, calcule el capital intermedio. Considere
que la ganancia del primero y del tercero está en la relación
de 1 a 3.
A. S/.2500 B. S/.2800 C. S/.4000
D. S/.3000 E. S/.3200
28. Un padre deja al morir S/.500 000 de herencia para
repartirse entre sus 3 hijos de la siguiente manera: por cada
S/.35 que recibe el 1.º el 2.º recibe S/.40 y el 3.º S/.50.
¿Cuánto dinero dejó para el segundo hijo?
A. S/.160 000 B. S/.100 000 C. S/.200 000
D. S/.150 000 E. S/.75 000
29. Se contratan tres camiones para transportar 24 toneladas de
cemento por un total de S/.435. El primero tiene que
transportar seis toneladas a 22 km, el segundo, 10 toneladas
a 15 km; y el tercero, el resto a 30 km. ¿Cuánto debe de
recibir el que lleva la carga del segundo camión?
A. S/.110 B. S/.200 C. S/.140
D. S/.125 E. S/.120
30. Tres campesinos tienen que sembrar sus terrenos de 36; 24
y 20 m2, pero se ponen de acuerdo y deciden contratar a una
persona para que entre los cuatro puedan sembrar todos las
mismas cantidades de área. Si la persona que contrataron
cobró S/.240 por sus servicio prestado, ¿cuánto de este
pago lo realizó el campesino que tenía mayor área de
terreno?
A. S/.108 B. S/.180 C. S/.192
D. S/.80 E. S/.96
31. José va a repartir S/.483 entre sus tres hijos
proporcionalmente a sus notas obtenidas en su examen e
91
APREMUNI AMBO-2020
inversamente proporcional al número de faltas al colegio. Si
los datos de sus hijos se muestran en la siguiente tabla,
¿cuánto recibió David?
Nota Faltas
Elmer 12 5
David 16 3
Marcos 12 4
A. S/.135 B. S/.240 C. S/.108
D. S/.120 E. S/.140
32. Dos ruedas A y B están engranadas y las ruedas B y C están
unidas mediante un eje. Se sabe que la rueda A tiene 24
dientes y B tiene 40 dientes. Si la diferencia del número de
vueltas de A y B, en 5 minutos, es 60, calcule el número de
vueltas de C en 2 minutos.
A. 56 B. 48 C. 36
D. 38 E. 54
33. El número de dientes de las ruedas M; N y P son 160; 400 y
130, respectivamente; además, M engrana con N, quien a
su vez se encuentra unida mediante un eje con P. Si la rueda
P en 10 minutos da 680 vueltas, ¿cuál es el número de
vueltas que da la rueda M en 3 minutos?
A. 170 B. 340 C. 510
D. 680 E. 520
34. En el sistema de engranajes que se muestra, la cantidad de
dientes de las ruedas A, B, C, D y E son 20; 30; 10; 30 y 20,
respectivamente. Si en 4 minutos todas ellas dan 416
vueltas, ¿cuántas vueltas dará la rueda C en 2 minutos?
A. 30 B. 48 C. 40
D. 24 E. 54
35. Una rueda A, de 30 dientes, engrana con una rueda B de 40
dientes y esta engrana con una rueda C de 20 dientes y a la
vez esta se encuentra unida mediante un eje a la rueda D de
60 dientes. Si en 30 minutos la suma de las vueltas
que dan las ruedas es 380, ¿cuántas vueltas darán las
ruedas A y B en 2 horas?
A. 600 B. 560 C. 540
D. 480 E. 360
36. Una rueda A de 40 dientes engrana con otra B de 50 dientes.
Fijo al eje de B hay otra rueda C de 25 dientes que engrana
con D, que tiene 40 dientes. Si A da 100 vueltas, ¿cuántas
dará D?
A. 100 B. 80 C. 50
D. 60 E. 75
37. En una planta la producción de unidades es DP al número
de días hasta el día ocho donde se han producido 500
unidades, luego la producción se hace IP al número de días
hasta el día 16; luego se hace nuevamente DP hasta el día
en que se producen 375 unidades para finalmente volver a
ser IP hasta el día 36. Si la producción del cuarto día fue
vendida en 5 soles la unidad y la producción del día 36 en 6
soles la unidad. La suma del ingreso de esos día es:
A. 2200 B. 2300 C. 2400
D. 2500 E. 2750
CAPÍTULO VIII
REGLA DE TRES
REGLA DE TRES: Es una aplicación de las magnitudes
proporcionales;es un procedimiento basado en la relación
proporcional de dos o más magnitudes.
1. REGLA DE TRES SIMPLE: Cuando intervienen sólo dos
magnitudes.
1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA..
Magnitudes: M (DP. N
Valores: a → b
c → x
Como son DP su cociente es constante.
Luego:
cb
x =
a
a c
=
b x
1.2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA.
Magnitudes: P (IP. Q
Valores: m → n
p → x
Como son IP su producto es constante.
Luego:
cb
m.n = p.x x =
a
2. REGLA DE TRES COMPUESTA:
Resulta de comparar más de dos magnitudes D.P. ó I.P.
1.- CAUSA: Son aquellas magnitudes que permiten la
realización de la obra y están conformadas por las
condiciones que se tienen para ejecutarla, asi por ejemplo:
- Obreros - Rendimiento - Capital
(económico.
- Animales - Habilidad - Capacidad
- Máquinas - Esfuerzo - etc.
2.- TIEMPO.- Son aquellas magnitudes de tiempo en la
que se realiza la obra:
- Meses - Años - Días
- Horas por día
- “ * Raciones diarias de comida * ” {Importante
Recordar}
3.- EFECTO.- Son aquellas magnitudes que representan
a la obra en sí y los inconvenientes que estas tienen para
ser realizadas:
- Las medidas de la obra (largo, ancho, alto,
profundidad, espesor, área, volumen, etc..
- Dificultad de la obra.
- Resistencia del medio.
Aplicación del Método:
PRACTICA N.° 08
01. Una cuadrilla de obreros emplea 10 días trabajando 12 hrs.
por día en realizar una obra. Si hubiera trabajado 2 hrs.
menos por día ¿En cuántos días habría terminado la obra?
A. 10 B. 12 C. 14
D. 16 E. 18
02. Los 5/13 de un terreno esta valorizado en 15,300 soles. ¿A
cuánto se debe vender la otra parte para ganar su 25%?
A. S/. 30600 B. S/. 20600 C.S/. 26600
D. S/. 28000 E. S/. 30000
03. Se tiene dos cuadrillas de obreros; la primera tiene 100
hombres y puede hacer una obra en 30 días, la segunda
Causa Tiempo
1º serie
2º serie
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx xxxxxx
xxxxxx xxxxxx
92
APREMUNI AMBO-2020
tiene 60 hombres y puede hacer la misma obra en 40 días.
Si sólo tomamos los 3/4 de la primera y los 5/6 de la
segunda, ¿en cuántos días se terminará la obra?
A. 240/11 B. 10/9 C. 110
D. 56/3 E. 107
04. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, un peón
cobra 300 soles. ¿Cuántos soles cobrará por sembrar otro
terreno cuadrado de 12 m de lado?
A. 108 B. 109 C. 110
D. 111 E. 107
05. Si el costo de 6 pantalones iguales es S/.360, ¿cuál es el
costo de 8 pantalones que utilizan un material cuya calidad
es el doble de la anterior?
A. S/.960 B. S/.480 C. S/.640
D. S/.900 E. S/.860
06. Ocho campesinos pueden sembrar un terreno cuadrado de
12 m de lado en una semana. ¿Cuántos campesinos serán
necesarios para sembrar otro terreno cuadrado de 6 m más
de lado en el mismo tiempo si todos los campesinos tienen
el mismo rendimiento?
A. 9 B. 18 C. 12
D. 10 E. 20
07. Normalmente un grupo de mineros realizan su faena en 36
días, pero por no recibir alimentos (caen en desnutrición., su
rendimiento disminuye en su tercera parte. ¿En qué tiempo
harán el trabajo ahora?
A. 48 B. 54 C. 18
D. 56 E. 42
08. Si x obreros pueden hacer una obra en 28 días, (x+5.
obreros hacen la misma obra en 21 días. ¿En cuántos días
harán la misma obra (x – 3. obreros?
A. 32 B. 40 C. 35
D. 42 E. 56
09. Un albañil puede construir una casa en 20 días, pero con la
ayuda de su hijo pueden construirla en 15 días. Si el hijo
trabajara solo, ¿en cuántos días construiría la misma casa?
A. 45 B. 50 C. 40
D. 60 E. 75
10. Si 4 varones y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 días, ¿en
cuántos días realizaron el mismo trabajo 5 varones y 6
mujeres? Considere que el trabajo de una mujer es 1/3
menos que el trabajo de un varón, en un mismo tiempo.
A. 40 B. 44 C. 48
D. 42 E. 52
11. En una obra se observa que faltando 64 días para su
culminación fueron despedidos 9 obreros, pero a 18 días
para la culminación debe contratarse cierta cantidad de
obreros para cumplir con el plazo original. ¿Cuántos obreros
se contrataron?
A. 32 B. 37 C. 28
D. 30 E. 42
12. Si tres varones necesitan 24 días para hacer un trabajo,
¿cuántos días emplearían ocho mujeres para realizar el
mismo trabajo? Considere que el trabajo realizado por un
varón lo pueden hacer dos mujeres en el mismo tiempo.
A. 12 B. 16 C. 18
D. 20 E. 24
13. Ricardo puede pintar en 9 días la superficie de 28 cajas
cúbicas de madera con arista de 30 cm. ¿En cuántos días
podrá pintar la superficie de 30 cajas de madera, cuyo largo
es 20 cm, cuyo ancho es 12 cm y cuya altura es 10 cm?
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 6
14. Si 20 obreros pueden realizar una obra en 30 días, pero
luego de 10 días de iniciada se retiran 4 obreros, ¿con
cuántos días de retraso los obreros que quedan entregarán
la obra?
A. 6 B. 5 C. 4
D. 8 E. 2
15. Diez obreros pueden realizar una obra en 24 días a razón de
8 h/d. Al cabo de 10 días de iniciado el trabajo se contrataron
cierto número de obreros para terminar la obra 7 días antes
de lo planificado, trabajando a razón de 10 h/d. ¿Cuántos
obreros se contrataron?
A. 16 B. 8 C. 6
D. 12 E. 18
16. Si 24 varones tardan 18 días en realizar una obra, ¿cuántos
días tardarán 12 varones en hacer el mismo trabajo?
A. 18 B. 24 C. 12
D. 36 E. 40
17. Un pintor tarda 52 minutos en pintar una superficie cuadrada
de 12 metros de lado. ¿En cuántos minutos dicho pintor
pintaría las caras externas de 2 cubos compactos de 3
metros de arista?
A. 36 B. 42 C. 39
D. 26 E. 65
18. Si un reservorio cilíndrico de 12 m de altura y 4 m de radio
abastece de agua a 120 familias durante 15 días, ¿para
cuantos días podrá abastecer de agua otro reservorio de 8
m de altura y 6 m de radio a 270 familias?
A. 10 B. 20 C. 12
D. 15 E. 18
19. Una empresa constructora contrata 6 obreros para hacer un
trabajo en 24 días. Después de 8 días de trabajo, se le juntan
2 obreros más. ¿En qué tiempo se termina la obra?
A. 8 días B. 14 días C. 20 días
D. 10 días E. 12 días
20. Quince obreros pueden ejecutar una obra en 21 días.
Después de trabajar juntos durante 6 días, se retiran 6
obreros. ¿En cuántos días los restantes terminaron la obra?
A. 15 días B. 20 días C. 25 días
D. 30 días E. 26 días
21. Diez obreros que trabajan en una carretera hacen los 3/5 de
aquella en 9 días. Si se retiran 6 obreros, ¿cuántos días
emplearán los restantes para terminar la obra?
A. 12 B. 13 C. 10
D. 16 E. 15
22. Una obra se dividió en dos partes iguales. Si una de las
partes fue realizada por 10 obreros de la cuadrilla A en 8
días y la otra parte por 20 obreros de la cuadrilla B en 6 días.
¿En cuántos días podrían realizar toda la obra 2 obreros de
la cuadrilla A y 3 obreros de la cuadrilla B?
A. 12 B. 30 C. 20
D. 24 E. 40
23. Si 60 obreros pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 días,
¿cuántos días necesitarán 100 obreros para cavar una zanja
de 1200 m3, cuya dureza es 3 veces la del terreno anterior?
A. 80 B. 135 C. 105
D. 120 E. 125
24. Una empresa constructora contrata a 32 obreros, con una
misma eficiencia, para realizar una obra en 30 días,
trabajando 6 h/d. Luego de 10 días, el contratista observa
que varios trabajadores están descansando, por lo que
decide despedir a la mitad de los trabajadores y contratar,
en ese momento, a otros obreros que son el doble de
eficientes de los anteriores; además, ahora todos deben
trabajar 2 horas máspor día para entregar la obra en el plazo
establecido. ¿Cuántos obreros se contrataron?
A. 6 B. 8 C. 9
D. 4 E. 5
25. Se contrató a 15 obreros para hacer una obra en 30 días
trabajando 10 horas diarias. Después de 8 días de trabajo
se acordó que la obra quedase terminada 12 días antes del
plazo fijado y así se hizo. ¿Cuántos obreros más debieron
93
APREMUNI AMBO-2020
emplearse teniendo en cuenta que se aumentó en una hora
el trabajo diario?
A. 15 B. 14 C. 13
D. 12 E. 11
26. Un grupo de 30 obreros pueden hacer una obra en 60 días
cuando trabajan 8 h/d. Si cuando han realizado la tercera
parte de la obra 10 de los obreros duplican su rendimiento y
ahora trabajan todos juntos 5 h/d, ¿en cuánto tiempo se
terminó la obra?
A. 65 días B. 68 días C. 70 días
D. 58 días E. 48 días
27. Veinticuatro obreros se comprometieron en realizar una obra
en 20 días. Al cabo de n días de trabajo se les comunicó que
la obra debería ser entregada con n días de anticipación, por
lo cual se contrató a 2n obreros para cumplir con el plazo
establecido. Calcule n.
A. 4 B. 2 C. 8
D. 6 E. 3
28. Se disuelven 360 gramos de azúcar en 8 litros de agua.
¿Cuántos litros de agua se debe agregar, para que un litro
de esta nueva mezcla solo contenga, 18 gramos de azúcar?
A. 8 B. 10 C. 11
D. 12 E. 14
29. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 15 días,
después de 4 días de trabajo se accidentan 5 obreros, lo que
quedan siguieron trabajando por x días luego del cual se
contratan 22 obreros adicionales, cuyas eficiencias son (a
mitad con respecto a los primeros, cumpliendo de esta
manera con el plazo fijado hallar x
A.2 B.3 C.5
D.6 E.11
30. Si un alumno resuelve una prueba a razón de 3 preguntas
por minuto. ¿En cuánto debe aumentar su velocidad
(preguntas/minuto) para resolver una prueba de 480
preguntas en 2 horas?
A. 1 B. 2 C. 3
D. 11 E. 12
31. Un grupo de obreros han hecho una zanja en cierto número
de días. Se desea hacer una ampliación de la zanja, para lo
cual el largo se aumentó en 20%, el ancho en 25% y la altura
se aumentó un x%. Hallar x sabiendo que para hacer dicha
ampliación con el mismo número de obreros, en el mismo
tiempo anterior, cada uno de los obreros aumentó su
rendimiento en 25%
A. 20 B. 25 C.40
D. 50 E. 60
32. Para transportar una carga de 320 kilogramos a 336
kilómetros de distancia se ha pagado S/. 540. El costo en
soles de transportar 609 kilogramos de la misma carga a 1
280 kilómetros
A. 3915 B. 3640 C. 3215
D. 3440 E. 2975
33. Una hierba crece en el prado con igual rapidez y espesura.
Se sabe qué 60 vacas se la comerían en 25 días y 40 en 45
días. ¿Cuántas vacas se comerán toda la hierba en 75 días?
A. 20 B. 30 C. 40
D. 50 E. 60
34. Si por una tela de 20 metros de largo y 2 metros de ancho
pagué S/.80, ¿cuánto pagaré por otra tela de la misma
calidad de 18 metros de largo y 3 metros de ancho?
A. S/.90 B. S/.120 C. S/.108
D. S/.98 E. S/.102
CAPÍTULO IX
REGLA DE INTERÉS
Elementos:
i. Capital (C) es la cantidad de dinero que se deposita o
presta en una entidad para generar beneficio.
ii. Tiempo (t) es el periodo en el cual se impone el capital.
Por lo general se emplean los tiempos comerciales:
Mes comercial = 30 días
Año comercial = 360 días
iii. Interés (I) es la ganancia que se va a obtener al
imponer un cierto capital durante cierto tiempo
iv. Tasa de interés (r%) es el porcentaje del capital que
se obtiene como ganancia en la unidad de tiempo. Por
ejemplo: un capital colocado al 10% bimestral significa que
en dos meses gana el 10% de dicho capital.
Trimestral = 3 meses
Semestral = 6 meses
Quincenal = 15 días
v. Monto (M) es la suma final de dinero obtenida.
M = C + I
Tipos de interés:
i. Interés Simple: en este tipo de imposición el interés
ganado en un periodo se retira del proceso, con lo
cual el capital se mantiene para el periodo siguiente
generando el mismo interés, es decir el interés de un
periodo no genera interés en el siguiente periodo.(El
capital se mantiene constante. Se cumple:
I = C.r%.t
ii. Interés Compuesto: cuando el interés no se retira,
sino que pasa a formar parte del capital, a lo que se
denomina proceso de capitalización. Se cumple:
nM = C(1 + r%)
PRACTICA N.° 09
01. ¿Durante cuánto tiempo se debe depositar un capital al 5%
bimestral para que se cuadruplique?
A. 2 años B. 8 años C. 4 años
D. 10 años E. 12 años
02. Francisco tiene S/.2800, cantidad que divide en dos partes,
colocando una de ellas al 5% semestral y la otra al 3%
bimestral. Si los intereses obtenidos por ambas partes luego
de un año son iguales, determine el interés total obtenido en
un año.
A. S/.180 B. S/.360 C. S/.120
D. S/.240 E. S/.300
03. Dany depositó hace un año cierta cantidad de dinero, y hoy
al retirar su capital y los intereses obtenidos recibió S/.3100;
pero si hubiera dejado su dinero 1 mes más, hubiera recibido
S/.3150. ¿Cuál es la cantidad de dinero depositado por Dany
y cuál es la tasa de interés que el banco le paga?
A. S/.2500; 12% B. S/.2800; 24%
C. S/.3000; 12% D. S/.2500; 24%
E. S/.2800; 36%
04. Joaquín depositó S/.2000 en el banco RP. Si luego de un
año Joaquín retira S/.2400, calcule cuánto depositó Ely en el
mismo banco. Considere que luego de 2 años el monto
retirado por ella es S/.1561.
A. S/.1400 B. S/.1200 C. S/.1115
D. S/.1225 E. S/.1320
05. Betty va a una tienda comercial con S/.2000 con la intención
de comprarse una laptop, pero el precio era S/.2400, por lo
que en ese momento depositó todo su dinero en un banco
que tiene una tasa de interés del 24%. ¿Durante cuántos
meses, como mínimo, debe depositar su dinero para poder
comprar la laptop si el precio de esta disminuye S/.10 cada
mes?
A. 6 B. 8 C. 9
D. 12 E. 10
94
APREMUNI AMBO-2020
06. César obtuvo una herencia de su abuelo, la cual va a
depositar en tres bancos diferentes de la siguiente manera:
un tercio del total al 2% mensual durante 2 trimestres, los
dos quintos del resto al 5% semestral durante un año y el
resto al 12% durante 2 años. Si los intereses obtenidos en
total son S/.1220, determine la suma de las cifras de la
herencia.
A. 7 B. 9 C. 18
D. 15 E. 12
07. Jorge deposita cierta cantidad de dinero en una entidad
financiera y luego de 8 meses obtiene un monto de S/.4240;
pero si dejara su capital durante dos años, obtendría un
monto de S/.4720. Determine la tasa de interés.
A. 4% B. 12% C. 10%
D. 14% E. 9%
08. Un capital de S/.7200 se divide en 3 partes proporcionales a
3; 4 y 5, las cuales fueron depositadas al 5 % anual, 5 %
trimestral y 5 % cuatrimestral, respectivamente. Calcule el
monto obtenido luego de un año.
A. S/.8230 B. S/.8000 C. S/.8020
D. S/.8820 E. S/.8220
09. Marcelo deposita su dinero en un banco a una tasa de
interés del r% bimestral. Si lo dejara por un tiempo de 10
meses, entonces su capital se duplicaría. Calcule r.
A. 20 B. 30 C. 60
D. 40 E. 25
10. Se coloca un capital y en 4 meses produce un interés del
2,5%. ¿Cuál será el capital, si en un año produce un interés
de S/.60 000?
A. S/.1 000 000 B. S/.900 000
C. S/.800 000 D. S/.500 000
E. S/.600 000
11. Dos capitales que se obtienen al dividir 36 000 dólares
colocados al 6% y 15% anual, respectivamente. La parte
colocada al 15% genera un interés que duplica el interés
generado por la otra parte. ¿Qué porcentaje representa el
mayor capital?
A. 75,5% B. 45,5% C. 65,5%
D. 55,5% E. 85,5%
12. Carmen deposita su dinero en un banco que le ofrece una
tasade interés del 5% cuatrimestral durante 4 años, Sofía
deposita su capital en otro banco que le ofrece una tasa del
2% bimestral durante 3 años. Si los montos que obtienen son
iguales y además sus capitales se diferencian en S/.600,
determine la suma de los capitales que tenían al inicio.
A. S/.7400 B. S/.8000 C. S/.8500
D. S/.9500 E. S/.7200
13. Los 3/4 de un capital han sido impuestos al 0,5% trimestral,
2/5 del resto al 5% anual y el resto al 3% semestral. Si el
interés obtenido en 5 años es S/.1044, calcule el capital
inicial.
A. S/.6200 B. S/.8400 C. S/.7200
D. S/.3600 E. S/.4800
14. El monto de un capital impuesto durante 6 años es S/.15
800. Si el mismo capital se hubiera impuesto al mismo rédito
durante 7 años y medio, el monto sería S/.16 640. Calcule
dicho capital.
A. S/.12 400 B. S/.13 840 C.S/.12 840
D. S/.12 440 E. S/.13 440
15. Si el 40 % de S/.28 000 se impone durante 8 meses al 20 %
cuatrimestral de interés simple, calcule a qué tasa se debe
imponer el resto durante 2 años para que la ganancia total
sea de S/.9520.
A. 15 % B. 24 % C. 18 %
D. 10 % E. 20 %
16. José depositó S/.N durante 4 años al 10 % semestral,
capitalizable anualmente. Si el monto obtenido en el
segundo año excede en S/.4788 al interés obtenido en el
último periodo, calcule la suma de cifras de N.
A. 16 B. 19 C. 15
D. 17 E. 12
17. ¿Cuánto dinero tendrá que depositar Vladimir en una cuenta
de ahorros cuya tasa es del 20 %, capitalizable
semestralmente, para poder hacer retiros de S/.860 al cabo
de un año y al año y medio, y queden en la cuenta S/.6798
una vez transcurridos dos años? Dé como respuesta la suma
de cifras del número obtenido.
A. S/.6000 B. S/.10 000 C. S/.9000
D. S/.8000 E. S/.5400
18. Al nacer el hijo de Raúl, él depositó en una institución
financiera S/.8000 que le ofrece una tasa del 2,5 %
semestral capitalizable anualmente. Dos años más tarde,
nació una niña y entonces dividió el monto del depósito en
dos partes: 2/5 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué
cantidad tendrá cada uno (aproximadamente. cuando
cumplan 5 años?
A. S/.3528 y S/.5092 B. S/.3200 y S/.4800
C. S/.3528 y S/.5292 D. S/.3300 y S/.4700
E. S/.3534 y S/.5586
19. José se prestó de un banco S/.6500 al 20 % bimestral sobre
el saldo deudor de cada bimestre. En el primer bimestre
pagó el interés más una cuota del capital igual al interés, en
el segundo bimestre no amortiza nada, en el tercer bimestre
amortizó S/.3418. ¿Cuánto debe pagar en el cuarto bimestre
para que termine de cancelar su deuda?
A. S/.4884 B. S/.4080 C. S/.4848
D. S/.4648 E. S/.4540
20. César se prestó S/.5000 durante un año y acordó pagar un
interés del 20 % trimestral con respecto al saldo deudor
luego de cada trimestre. Sin embargo, solo amortizó al final
del primer semestre y otro tanto igual al cabo de 9 meses.
Al final, para liberarse de la deuda, debió pagar S/.3504.
Determine cuánto es la cantidad que amortiza cada vez.
A. S/.4320 B. S/.2600 C. S/.2840
D. S/.5720 E. S/.3460
21. Tres capitales impuestos separadamente al 12,5 %
semestral, al 4 % bimestral y al 5 % trimestral, durante un
mismo tiempo, generan el mismo interés. Calcule el mayor
de los 3 capitales sabiendo que el menor de los montos
producidos en un año es S/.3000.
A. S/.2400 B. S/.3000 C. S/.2500
D. S/.2900 E. S/.3100
22. Un capital es dividido en tres partes. La primera es el 30 %
del capital; se la impone al 60 % y en 10 meses produce un
interés de S/.3600. La mayor de las otras dos partes es
impuesta al 65 % y la menor al 55 %, así al cabo de un año
la diferencia entre los dos intereses producidos es el 21,5%
del capital original. Calcule la diferencia entre la mayor y
menor parte en que se dividió el capital.
A. S/.7200 B. S/.3600 C. S/.2400
D. S/.1800 E. S/.2000
23. Al colocar un capital en una financiera al 20 %, capitalizable
semestralmente, observamos que se gana en un año y
medio S/.580 menos que si lo colocáramos al 4 % bimestral
de interés simple en el mismo tiempo. Calcule dicho capital.
A. S/.18 000 B. S/.20 000 C.S/.22 500
D. S/.24 500 E. S/.26 500
24. Un capital impuesto al 20 % bianual, capitalizable
anualmente, produce en 3 años un interés de S/.1655.
Calcule el mencionado capital.
A. S/.5000 B. S/.5250 C. S/.5370
D. S/.5400 E. S/.5450
25. Se impone un capital al 40 % anual, capitalizable
semestralmente. Durante un año y medio produce un interés
igual al que produciría si estuviera impuesto a interés simple,
95
APREMUNI AMBO-2020
durante 182 días y a una tasa determinada. Calcule dicha
tasa mensual.
A. 6% B. 7% C. 8%
D. 10% E. 12%
26. Una persona vende su casa y adicionalmente recibe un
premio de S/.11 000. Con todo el dinero obtenido abre una
cuenta bajo una tasa del 4% trimestral. Al cabo de un año y
3 meses retira la cuenta, gasta el 25% y pone el resto en una
financiera al 10% bimestral, capitalizable bimestralmente. Si
luego de 6 meses el monto obtenido fue de S/.47 916,
calcule el precio de costo de la casa.
A. S/.25 000 B. S/.26 000 C.S/.27 000
D. S/.28 000 E. S/.29 000
27. Se deposita un capital de S/.C a una tasa de r %, durante t
meses, y se obtiene S/.300 de interés, ¿Qué interés se
obtiene si se deposita un capital que es el doble del anterior,
a una tasa que es el triple del anterior, durante t años?
A. S/.21 300 B. S/.18 600 C.S/.18 000
D. S/.20 500 E. S/.21 600
28. Miguel y Karla depositan sus ahorros al 4 % y 6 % de interés
anual, respectivamente. La diferencia de ahorros al
momento de realizar los depósitos es S/.12 000 y al cabo de
un año los intereses obtenidos por ambos resultan iguales.
¿Cuánto dinero depositaron Miguel y Karla juntos?
A. S/.48 000 B. S/.36 000 C.S/.24 000
D. S/.60 000 E. S/.72 000
29. Dos capitales son entre sí como 4 es a 5. Se colocan a
interés simple, uno al 50 % y el otro al 20 %. Determine luego
de qué tiempo la relación de los montos es la inversa de la
relación original de los capitales.
A. 2 años B. 4 años C. 3 años
D. 5 años E. 3 años y 4 meses
30. Un capital de S/.1000 es impuesto a una tasa del 60 %
capitalizable bimestralmente, al cabo de cierto tiempo se
obtuvo un interés de S/.464,1. Calcule el tiempo que estuvo
depositado el capital.
A. 7 meses B. 6 meses C. 4 meses
D. 10 meses E. 8 meses
31. César deposita el primero de cada mes una cantidad de
dinero, de la siguiente manera: en enero S/.1000 durante un
año, en febrero S/.2000 durante 2 años, en marzo S/.3000
durante 3 años y así sucesivamente, durante los 10 primeros
meses del año. Si el banco le asigna una tasa del 10 %,
calcule el interés total que obtendrá.
A. S/.35 800 B. S/.38 500 C.S/.58 300
D. S/.53 800 E. S/.83 500
32. Se deposita un capital de S/.2000 durante un año 6 meses
al 10%. Calcular el interés que se obtendría.
A. 200 B. 250 C. 300
D. 360 E. 500
33. Dos personas tienen juntos S/.167280, la primera impone
su dinero al 4% durante 3 meses y recibe un interés doble
del que tendría la segunda imponiendo el suyo al 5%,
durante 7 meses. Indique el capital menor.
A. 32450 B. 24480 C. 40480
D. 36480 E. 23320
34. Un capital del S/.73000 se impuso al 40% durante 3 meses.
Determine cuál fue el primero de estos tres meses si se
sabe que si se hubiera considerado año común en lugar del
comercial los intereses disminuirían S/.180.
A. febrero B. abril C. mayo
D. marzo E. agosto
CAPÍTULO X
DESCUENTO COMERCIAL
DEFINICION:
Es un procedimiento aritmético que permite calcular la
rebaja obtenida a una letra o pagare por haberse hecho
efectivo antes de la fecha de vencimiento.
ELEMENTOS:
Valor Nominal (VN): Es el valor que figuraen el
documento comercia (letra o pagaré) para ser pagado
en una fecha determinada.
Fecha de Vencimiento: fecha límite que indica el
final del plazo para hacer efectivo el valor nominal de
un documento comercial.
Valor Actual (VA): Es el valor que pagamos por un
documento comercial por hacerlo efectivo antes de
su fecha de vencimiento.
Descuento (D): Es la rebaja obtenida por pagarse el
documento comercial antes de su fecha de
vencimiento.
N AD V V
Tasa (r%): Es la ganancia que se obtiene por cada
100 unidades monetarias en una unidad de tiempo.
Nota: Cuando no se indique la unidad de tiempo referida a
la tasa, se asumirá una tasa anual.
Tiempo (t): Es el lapso entre la fecha de negociación
y la fecha de vencimiento.
CLASES DE DESCUENTO
Descuento Comercial Exterior o Abusivo: Es el
interés que generaría el valor nominal bajo cierta
tasa durante el tiempo de descuento.
N
c
V r t
D
100
Descuento Racional Interior o Matemático: Es el
interés que generaría el valor actual bajo cierta tasa
durante el tiempo de descuento.
Ar
r
V r t
D
100
FORMULAS DERIVADAS:
1. Ar Ac c rV V D D
2.
r
c r
D r t
D D
100
3.
c r
N
c r
D D
V
D D
4.
N
Ar
100 V
V
100 r t
CAMBIO DE LETRAS:
Suma de valores actuales
de letras reemplazadas
= Suma de valores actuales
de letras reemplazantes
A1 A2 An A1 A2 AnV V V V' V ' V '
VENCIMIENTO COMÚN:
Se reemplazará un conjunto de letras de cambio por
una sola.
El valor nominal de la letra reemplazante es igual a la
suma de los valores nominales de las letras a
reemplazar.
Todas las letras son descontadas comercialmente y a
una misma tasa.
El problema consiste en averiguar la fecha de vencimiento
de la letra única.
N1 1 N2 2 N3 3 Nn n
N1 N2 N3 Nn
V t V t V t V t
t
V V V V
96
APREMUNI AMBO-2020
PRACTICA N.° 10
01. Hallar el descuento de una letra de $ 76400 que se desea
descontar al 54 % anual el 10 de marzo, siendo su
vencimiento el 5 de junio del mismo año?
A. 9980 B. 9970 C. 9960
D. 9950 E. 9000
02. ¿Cuál será el Valor actual de una letra de 44500 soles que
se desea descontar al 55 % anual faltando 48 días para su
vencimiento?
A. 41237 B. 40325 C. 42345
D. 4123 E. 42560
03. El valor nominal de una letra, descontada por 5 meses al 4%,
ha disminuido en 6,50 soles ¿Cuál es su valor actual?
A. 350,6 B. 367,5 C. 384,6
D. 370,5 E. 383,5
04. En un pagaré el descuento comercial y el valor actual
comercial están en la relación de 1 a 3. ¿Qué porcentaje del
valor nominal es el descuento interno?
A. 20% B. 35 % C. 25 %
D. 40 % E. 30 %
05. Se tiene una letra de S/. 1 990 pagadera dentro de 90 días
al 6%, si dicha letra se cambia por otra de S/. 1970 y
empleando una tasa para el descuento de 6%. Hallar cual es
el tiempo de vencimiento de la segunda letra.
A. 1 mes B. 2 meses C. 3 meses
D. 4 meses E. 2,5 meses
06. El valor actual comercial de una letra es 24 veces el
descuento comercial de la misma. Si falta para su
vencimiento 2 meses. ¿A qué tasa bimestral se desconto?
A. 3% B. 6% C. 7%
D. 4% E. 8%
07. Hallar el descuento comercial de una letra de S/.3000 que
vencía dentro de 7 meses al 10% bimestral que fue pagada
a 3 meses de firmado el contrato.
A. 500 B. 600 C. 700
D. 800 E. 900
08. El descuento que sufrió una letra de S/.5000, al 10%
pentamestral faltando un trimestre antes de su vencimiento.
A. 150 B. 400 C. 160
D. 300 E. 800
09. Cuanto se cobró por una letra de S/. 6000 después del
descuento que se hizo al 5% semestral, faltando 3 meses
antes de su vencimiento?
A. 150 B. 5850 C. 4850
D. 6150 E. 450
10. Calcule el valor nominal de una letra que descontada por 8
meses al 12 % da una diferencia de S/.12 entre el descuento
comercial y el descuento racional.
A. S/.1940 B. S/.1820 C. S/.2040
D. S/.2025 E. S/.2170
11. Verónica acude a un banco con dos letras de S/.2000 y
S/.6000 que vencen dentro de 1 y 2 años, respectivamente.
El banco aplica un descuento del 12 % si es descuento
externo y 10 % si es descuento interno. Si la primera letra se
descontó comercialmente y la segunda racionalmente,
¿cuánto recibió Verónica por ambas letras?
A. S/.6760 B. S/.6720 C. S/.7230
D. S/.7280 E. S/.6520
12. Si una letra que vence dentro de 8 meses se descontara
comercialmente al 24 %, el valor actual de aquella excedería
en S/.6108 al descuento racional de la misma letra, a la
misma tasa de descuento. Calcule la suma de cifras del valor
nominal.
A. 12 B. 9 C. 10
D. 15 E. 6
13. Se tiene 2 pagarés: uno a 8 % de descuento anual pagadero
en 45 días y el otro al 5 % de descuento anual pagadero en
72 días. Si el valor actual de los 2 pagarés suma S/.8500,
entonces la suma de sus valores nominales es
A. 8585,9 B. 8590,8 C. 8875,0
D. 9444,4 E. 10119,0
14. Dos letras de cambio, que se diferencian en S/.2 pagaderas
dentro de 4 meses, se descuentan hoy al 12 % anual. Si para
la primera se utiliza el descuento comercial y para la
segunda el descuento racional, se obtiene el mismo valor
actual. Halle la suma de los valores nominales de las letras.
A. S/.4996 B. S/.1200 C. S/.2498
D. S/.3240 E. S/.3747
15. Faltando un año para el vencimiento de una letra, se observa
que el descuento comercial y racional son entre sí como 7
es a 5. Si el valor actual comercial de la misma letra, faltando
6 meses para su vencimiento, es S/.1512, ¿cuál es su valor
nominal?
A. S/.1890 B. S/.1820 C. S/.3500
D. S/.1750 E. S/.2170
16. Se tiene una letra que vence dentro de un año, la cual será
descontada al 20 %. Si la diferencia de los valores actuales
racional y comercial es S/.18, halle el valor nominal de la
letra.
A. S/.960 B. S/.600 C. S/.540
D. S/.480 E. S/.720
17. Se compró un artefacto a plazos, por el que se paga una
cuota inicial de S/.375 y se firma cuatro letras mensuales
cuyos valores nominales son inversamente proporcionales
al número de meses que faltan para su vencimiento. Halle el
precio al contado si la cuota inicial es el promedio de los
valores nominales, además, la tasa de descuento es del 15
% trimestral.
A. S/.1800 B. S/.2019 C. S/.2430
D. S/.3200 E. S/.1731
18. Betty lleva al banco una letra de S/.2400 pagadera a los 80
días. El banco le da S/.373 y una letra de S/.2000 pagadera
a los 30 días. ¿Cuál fue la tasa de descuento comercial que
aplicó el banco?
A. 24 % B. 8 % C. 27 %
D. 30 % E. 15 %
19. El señor Jiménez debe pagar en 4 meses una letra de S/.18
000 al 10 % de descuento anual. Si renegocia pagando
S/.2400 y firma una letra pagadera en 8 meses al 12 %, al
que aplica un descuento racional, calcule el valor nominal de
la letra.
A. S/.15 800 B. S/.16 800 C.S/.15 400
D. S/.16 200 E. S/.17 600
20. Percy desea reemplazar dos letras de S/.2400 y S/.3200,
que vencen dentro de 8 y 10 meses, respectivamente, por
cuatro letras de igual valor nominal de vencimiento mensual.
Si la tasa de descuento empleada en todas las letras es del
15 % anual, calcule el valor nominal de las nuevas letras.
A. S/.1120 B. S/.1320 C. S/.1380
D. S/.1240 E. S/.1280
21. Roberto firmó 2 letras de $ 3000 cada una a cancelar dentro
de 4 y 7 meses, respectivamente, a una tasa del 24 %. Si
luego de 3 meses de firmadas las letras Roberto tiene
dificultades económicas, por lo que decide renegociar su
deuda pagando $156 y firmando por el saldo tres letras de
igual valor nominal a cancelar cuatrimestralmente a partir de
la fecha de refinanciamiento, calcule el valor nominal de
cada una de las letras.
A. $1500 B. $1800 C. $ 2400D. $ 2200 E. $ 3000
22. Un comerciante tiene una deuda de 3 letras: una de S/.8000
pagadera en 3 meses, la segunda de S/.6000 pagadera a los
6 meses y la tercera de S/.12 000 pagadera en 10 meses.
97
APREMUNI AMBO-2020
Como él desea reemplazarlas por una sola letra cuyo
vencimiento sea de un año, ¿cuál será el valor de la letra si
la tasa de descuento es del 12 %?
A. S/.26 460 B. S/.27 500 C.S/.28 500
D. S/.27 250 E. S/.26 560
23. Jessica tiene tres letras equivalentes que serán descontadas
matemáticamente al 8 %, 6 % y 10 %, y vencen dentro de 5
años. Calcule la suma de los valores nominales si la mayor
diferencia de dos de estos es S/. 720.
A. S/.12 460 B. S/.10 320 C.S/.15 120
D. S/.11 250 E. S/.12 320
24. Un deudor tiene que pagar al banco tres letras: la primera de
S/.80 000 pagadera dentro de 30 días, la segunda de S/.200
000 pagadera en 60 días y la tercera de S/.400 000 con un
plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días. debe ser
pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de
los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa
de interés es constante.
A. 70 días B. 71 días C. 72 días
D. 73 días E. 74 días
25. Este año Jorge posee 3 letras que debe cancelar: una de
S/.4550, que vence el 20 de noviembre, otra de S/.3250, que
vence el 15 de octubre, y otra de S/.1950, que vence el 15
de diciembre. Si se reemplazan estas tres letras por una
sola, cuyo valor nominal sea S/.9750 y descontada a la
misma tasa, ¿cuál es el día de vencimiento de esta?
A. 10 de noviembre B. 13 de diciembre
C. 13 de noviembre D. 12 de diciembre
E. 12 de noviembre
26. La suma de los valores nominales de 3 letras es S/.9000. Si
se descuenta al 40 % anual, la primera por 5 meses, la
segunda por 6 meses y la tercera por 8 meses, se recibe
S/.7040 por las 3 letras. Calcule el valor nominal de la
primera letra si la relación entre el valor nominal de la
segunda y la tercera es de 5/6.
A. S/.3000 B. S/.3500 C. S/.2500
D. S/.3600 E. S/.2400
27. Dos letras del mismo valor nominal que vencen dentro de 1
y 4 meses serán reemplazadas por tres letras bimestrales,
cuyos valores nominales están en progresión geométrica de
razón 2, en ese orden. Calcule la razón entre la deuda inicial
y la deuda final siendo la tasa de descuento del 5 % mensual.
A. 53 a 63 B. 60 a 71 C. 235 a 37
D. 212 a 245 E. 30 a 35
28. El valor actual de una letra es de S/.3999, además, la suma
del valor nominal y el descuento es S/.5301. Si la tasa de
descuento es del 7 %, calcule dentro de cuánto tiempo vence
esta letra.
A. 1 año B. 5 meses C. 2 años
D. 10 meses E. 2 meses
29. La suma de los valores nominales de dos letras es S/.14 000.
Habiéndose recibido S/.13 762 por ambas, descontadas al
5% y durante 4 meses la primera, y la segunda al 7 % y
durante 3 meses, calcule el mayor valor nominal.
A. S/.8400 B. S/.800 C. S/.7800
D. S/.7500 E. S/.7200
30. Carlos compró una maquinaria pagando una cuota inicial de
S/.1500 y firmando 3 letras trimestrales de igual valor.
Calcule el valor de estas letras si la tasa de descuento es del
60 % y el precio al contado de la maquinaria es S/.10 950.
A. S/.5500 B. S/.3500 C. S/.4500
D. S/.2500 E. S/.1500
CAPÍTULO XI
REGLA DE TANTO POR CIENTO - MEZCLA Y ALEACIÓN
1. PORCENTAJE
• Notación
r
r porciento r %
100
• APLICACIONES
* Aumentos Sucesivos:: u
a.b
A a b %
100
*Descuentos Sucesivos: u
a.b
D a b %
100
TANTO POR CIENTO
En la regla de porcentajes los consideran- dos se hacen en
función a una base 100; pe ro si en lugar de 100, se refiere a
otro número cualquiera, se tiene la regla del tanto por cuánto.
Ejemplo: Hallar el 4 por 7 del 5 por 3 de 168
4 5
. .168 160
7 3
Consideraciones para problemas de Comercio
1 ºPrecio de Venta : Pv ; Precio de Compra : PC
Ganancia : G
Luego: V CP P G
2º Si hay gastos incurridos desde la compra hasta la venta :
CP Gastos G Pv
Ganancia Ganancia
Gastos
Bruta Neta
3° Si tenemos un artículo a vender y fijamos un precio:
fijadoP Descuento Pv
4 Si al comprar un artículo nos efectúan descuento:
lista CP Descuento P
PRACTICA N.° 11 – 1
01. ¿240 representa el 30 % del 10 % de qué número?
A. 4000 B. 6000 C. 8000
D. 2000 E. 4800
02. Si el (2n. % de M es n, halle M.
A. 20 B. 50 C. 80
D. 10 E. 48
03. A una reunión han asistido 80 personas, de las cuales 30
son varones. ¿Qué tanto por ciento representan las
mujeres?
A. 64,5 % B. 60,5 % C. 58,5 %
D. 62,5 % E. 37,5 %
04. Si el 40 % del 50 % de x es el 30 % de y, ¿qué tanto por
ciento es x+y respecto de 2x+7y?
A. 40 % B. 20 % C. 80 %
D. 25 % E. 30 %
05. ¿Qué tanto por ciento del 0,5 % de 200 es el 20 % del 0,2 %
de 800?
A. 65 % B. 55 % C. 75 %
D. 60 % E. 32 %
06. En el segundo examen tipo admisión, el 65 % de los alumnos
han aprobado. Si 1680 alumnos han desaprobado, ¿cuántos
rindieron el examen?
A. 4200 B. 3600 C. 3800
D. 4600 E. 4800
98
APREMUNI AMBO-2020
07. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos
sucesivos del 20 % y 15 %?
A. 55 % B. 68 % C. 32 %
D. 35 % E. 25 %
08. ¿A qué aumento único equivalen tres aumentos sucesivos
del 20 %, 30 % y 10 %?
A. 80 % B. 71,6 % C. 72,4 %
D. 64,8 % E. 72 %
09. Un artículo costó S/.28 000. Si se quiere ganar el 20 %, ¿a
cuánto lo debo vender?
A. S/.34 000 B. S/.30 000 C.S/.32 600
D. S/.28 000 E. S/.33 600
10. Se vende un LCD que costó S/.1312 ganando el 18 % del
precio de venta. ¿A cuánto se vendió el LCD?
A. S/.1600 B. S/.1800 C. S/.1240
D. S/.1540 E. S/.1430
11. Jorge compró un tablet que costó S/.240. Si lo quiere vender
ganando el 20 % del precio de venta, ¿a cuánto lo debe
vender?
A. S/.320 B. S/.280 C. S/.200
D. S/.340 E. S/.300
12. Se ofrece una refrigeradora con el 30 % de recarga y luego
se descuenta el 20 % al momento de facturarla. Halle qué
tanto por ciento de ganancia se obtiene al momento de
vender la refrigeradora.
A. 10 % B. 6,9 % C. 8,6 %
D. 4 % E. 12,4 %
13. Si el 30 % del 25 % del 40 % de A es igual al 28 % del 60 %
del 10 % de B, ¿qué tanto por ciento de B representa A?
A. 44 % B. 56 % C. 40 %
D. 52 % E. 60 %
14. En una reunión social hay 120 personas, de las cuales el 60
% son varones. ¿Cuántas mujeres deben llegar para que las
mujeres en total representen los 2/3?
A. 24 B. 36 C. 60
D. 69 E. 96
15. ¿Cuál es el número cuyo 30 % del 48 % de los 5/8 de su 20
% equivale a las tres quintas partes del 120 % de las 4/10
de 5?
A. 60 B. 75 C. 80
D. 65 E. 16
16. Carmín tiene 50 % más de lo que tiene Fernanda; ambas
tienen en total S/.90. ¿Cuánto debe regalarle Carmín a
Fernanda para que esta tenga el 80 % del dinero que a ella
le queda?
A. S/.5 B. S/.5 C. S/.6
D. S/.7 E. S/.19
17. Si el radio de un círculo disminuye en 50 %, ¿en qué tanto
por ciento disminuye su área?
A. 75 % B. 45 % C. 60 %
D. 25 % E. 40 %
18. Si la altura de un triángulo aumenta en un 30 % y su base
disminuye en 30 %, ¿en qué tanto por ciento varía su área?
A. disminuye en 6 % B. aumenta en 6 %
C. disminuye en 9 % D. aumenta en 9 %
E. no aumenta ni disminuye
19. En una granja ocurre una epidemia, por lo que el día lunes y
sábado de una misma semana han muerto en total 108
animales. El día lunes murió el 5 % y el día sábado, el 20 %.
¿Cuál es el número de animales en la granja?
A. 500 B. 650 C. 750
D. 450 E. 440
20. Marcos, luego de obtenerdos descuentos sucesivos del 20
% y 10 % sobre el precio ofrecido de un artículo, pagó
S/.1152. ¿Cuál fue el precio ofrecido?
A. S/.1600 B. S/.1500 C. S/.1400
D. S/.1340 E. S/.1250
21. Un vendedor aumenta el precio de un artículo en un 150 %
de su valor. ¿Cuál es el descuento que tiene que hacer sobre
el nuevo precio para no ganar ni perder?
A. 60 % B. 40 % C. 30 %
D. 48 % E. 75 %
22. Al aumentar el precio de una laptop en un 20 %, este resulta
igual al precio de otra laptop descontada en un 30 %. Si la
primera cuesta S/.2100, ¿cuál es el precio de la segunda?
A. S/.3200 B. S/.2400 C. S/.2800
D. S/.3000 E. S/.3600
23. El precio de venta de un televisor se fija en S/.150 más que
su precio de costo; pero al momento de venderlo se realiza
un descuento del 10 %, perdiéndose S/.80. ¿A qué precio se
vendió el televisor?
A. S/.2500 B. S/.2150 C. S/.2000
D. S/.2800 E. S/.2070
24. En una conferencia, los varones son el 75% de las mujeres.
Si se retira el 10% de los varones y el 25% de las mujeres,
¿qué tanto por ciento es el número de varones al final con
respecto al número de mujeres al inicio?
A. 148,1% B. 72% C. 56%
D. 90% E. 67,5%
25. El 70% del dinero que tiene Rosa representa el 60% del
dinero de Ana. Si luego Ana gasta S/.100, resulta que Rosa
tendría 20% más que Ana. ¿Cuánto tenía Ana al inicio?
A. S/.250 B. S/.300 C. S/.350
D. S/.200 E. S/.400
26. Un recipiente contiene 900 litros de los ingredientes A, B y
C, donde lo que hay de B representa el 75% de lo que hay
de C. Si se agregaran 40 litros de A, este representaría el
60% de C. ¿Cuántos litros hay del ingrediente B?
A. 320 L B. 400 L C. 300 L
D. 200 L E. 280 L
27. María debe realizar un recorrido en cuatro días. El primer día
recorre un 30%, el segundo el 60% del día anterior y el tercer
día 25% de lo que le faltaba. Si el último día recorrió 1800 m
más que el primer día, ¿cuánto recorrió el segundo día?
A. 3,6 km B. 12 km C. 2,4 km
D. 3,2 km E. 10,8 km
28. Si la base de un triángulo aumenta en 15%, su área aumenta
en 38%. ¿En qué tanto por ciento aumenta su altura?
A. 20% B. 15% C. 23%
D. 25% E. 18%
29. ¿En qué tanto por ciento varía el volumen de un cilindro, si
su diámetro aumenta en 25% y su altura disminuye en un
10%?
A. 40,265% B. 40,625% C. 12,5%
D. 37,5% E. 27,5%
30. La señora Kelly realiza compras para su hijo que va a entrar
al colegio. En el pantalón gasta el 10% del dinero que tiene
más S/.20 y en la camisa, el 30% de lo que le queda menos
S/.30. Finalmente, en el zapato gasta el 25% de lo que le
quedaba. Halle cuánto dinero tenía al inicio si al final se fue
con S/.201.
A. S/.800 B. S/.400 C. S/.1000
D. S/.460 E. S/.500
31. Si gastara el 35% de mi dinero y luego ganara el 28% de lo
que me queda, mi dinero disminuiría en S/.252. ¿Cuánto
dinero tengo?
A. S/.1600 B. S/.1800 C. S/.1450
D. S/.1500 E. S/.1200
99
APREMUNI AMBO-2020
32. En la venta de un artículo se descontó el 25% del precio de
venta y aún así se ganó el 10% del precio fijado, ¿qué tanto
por ciento del precio de lista es su costo?
A. 75% B. 60% C. 70%
D. 80% E. 90%
33. Al fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en un
50%; luego, al realizarse la venta se le rebajó en un 30%. Si
sus gastos y su ganancia neta están en la relación de 3 a 5,
¿en qué relación estarán el beneficio neto y el precio fijado?
A. 1/39 B. 2/27 C. 1/75
D. 2/75 E. 3/74
34. Cuando se vende un artículo, se descuenta el 15% del 40%
del precio de lista y aun así se gana el 41%. ¿En qué tanto
por ciento se incrementa el costo de dicho artículo?
A. 55% B. 45% C. 40%
D. 50 E. 20%
35. Un comerciante aumenta el precio de un artículo en un 20%,
pero antes de venderlo realiza una rebaja del 10%. Calcule
el precio de venta si la ganancia obtenida es S/.40.
A. S/.440 B. S/.480 C. S/.500
D. S/.520 E. S/.540
36. Un litro de mezcla está formado por 96 % de alcohol y 4 %
de agua, y pesa 900 g. Determine el peso de 1 litro de
mezcla que tiene 30 % de alcohol y 70 % de agua. Considere
que un litro de agua pesa 1000 g.
A. 975,54 B. 946,65 C. 968,75
D. 978,5 E. 969,5
37. En el centro de salud de un pueblo de 500 personas, se
observa que el primer día se atiende al 50 % de la población,
el segundo día al 10 % del resto y el tercer día al 20 % del
resto, por lo que el centro de salud quedó totalmente lleno.
¿Cuántas personas no han sido internadas si se sabe que
en los tres días el 80 % de las personas han sido infectadas?
A. 60 B. 65 C. 56
D. 58 E. 80
38. Se oferta una lavadora, pero al momento de venderla se
realizan dos descuentos sucesivos del 15 % y 10 %.
Además, el comerciante se compromete a llevar el producto
al domicilio del comprador, por lo cual gasta S/.24; pero aun
así tiene una ganancia neta del 5 % del precio de costo.
¿Cuál es el precio fijado de la lavadora si se sabe que su
precio de costo es S/.2600?
A. S/.3000 B. S/.3500 C. S/.3600
D. S/.3200 E. S/.3700
39. El récord de César en los campeonatos de tiro al blanco es
del 80% sobre el total de sus tiros. Cierta vez, en una
competencia de 80 tiros, él ya había disparado 60, errando
10 de ellos. ¿Qué tanto por ciento de los que faltan tirar,
debe acertar como mínimo para superar su récord?
A. 75% B. 70% C. 60%
D. 50% E. 72%
40. En un país africano, la inflación en el mes de septiembre fue
del 10% y la inflación en el mes de octubre 5%. ¿Cuál es la
inflación acumulada durante estos dos meses?
A. 12,5% B. 10,5% C. 15%
D. 16% E. 15,5%
41. ¿El 25% de 280 es el 40% más de qué número?
A. 20 B. 150 C. 50
D. 70 E. 100
2. MEZCLA Y ALEACIÓN
MEZCLA
Es la unión de dos o más sustancias. Llamadas componentes
o ingredientes, donde al mezclarse cada uno de ellos
conservan su propia naturaleza.
Precio medio (pm): Es el costo de una unidad de la mezcla.
m
Costo total
P
Cantidad total
Mezclas alcohólicas
Grado de pureza de Alcohol
(volumen de alcohol puro).100%
Grado
volumen total
Grado Medio (gm)
volumen de alcohol puro
gm .100%
volumen de la mezcla
2 n1 .. . n 1 2
1 n2 3
V g V g .... V g
gm
V V V ..... V
ALEACIÓN
Ley de una aleación:
Peso del metal fino
L
Peso total de la aleación
Liga de una aleación:
Peso del metal ordinario
Liga
Peso total de la aleación
Ley de oro:
Ley de oro:
k
L
24
k: # de quilates
Ley media (lm)
1 1 2 2 3 3 n n
m
1 2 3 n
W l W l W l ..... W l
l
W W W .... W
PRACTICA N.° 11 – 2
01. Un comerciante compró 50 kg de café crudo a S/.8 el kg.
Para venderlo, primero lo tuesta observando que el café
pierde el 20% de su peso. ¿A cómo debe vender el kg de la
mezcla, si desea ganar el 30%?
A. 48 B. 13 C. 60
D. 64 E. 15
02. Se mezclan 20 L de alcohol de 40°, con 30 L de alcohol de
60°; ¿cuál es el grado de la mezcla resultante?
A. 52 B. 40 C. 30
D. 50 E. 60
03. Fernando tiene 100 litros de una mezcla que contiene vino
de S/.4 y S/.8 el litro. Si el precio medio de la mezcla es
S/.6.60. ¿Cuántos litros de vino más barato hay en la
mezcla?
A. 40 B. 35 C. 45
D. 55 E. 30
04. Un comerciante compró 3 sacos de arroz de S/.4,40; S/.4,50
y S/.4,80 por kilogramo, cuyos pesos están en la relación de
3; 4 y 5. Si el comerciante mezcla los tres sacos de arroz y
quiere ganar el 20 %, ¿cuál es el precio en que debe vender
cada kilogramo?
A. S/.5,12 B. S/.5,24 C. S/.5,48
D. S/.5,52 E. S/.5,64
05. Un litro de mezcla formado del 75 % de alcohol y 25 % de
agua pesa 960 g. Calcule el peso de un litro de la mezcla
que contenga el 48 % de alcohol y 52 % de agua. Considereque el litro de agua pesa un kilogramo.
A. 936,8 g B. 947,4 g C. 974,4 g
D. 986,4 g E. 988,2 g
06. ¿Cuántos litros de alcohol puro se deben agregar a 60 L de
alcohol de 40° para obtener alcohol de 52o?
A. 15 B. 75 C. 80 D. 65 E. 16
1l 2l 3l nl
..........
nW3W2W1W
100
APREMUNI AMBO-2020
07. Un químico tiene una mezcla al 30% de alcohol y otra al 50%
de alcohol. ¿Cuántos litros de cada mezcla se necesitan
para preparar un total de 400 litros al 45% de alcohol?
A. 250 y 150 B. 200 y 200 C. 50 y 350
D. 100 y 300 E. 120 y 280
08. Se desea obtener alcohol de 34º mezclando tres tipos de
alcohol: de 25º; 30º y 40º. Si las cantidades de agua y alcohol
puro en litros de cada tipo son cantidades enteras y mínimas,
¿qué cantidad de alcohol puro hay en la mezcla?
A. 29 L B. 32 L C. 34 L D. 36 L E. 40 L
09. Se tienen 3 toneles con capacidad para 200 litros y cada uno
contienen 88 litros de alcoholes, cuyas purezas son 10º; 15º
y 30º, respectivamente. De cada uno, se extraen volúmenes
que están en la relación de 6; 4 y 5. Estos se mezclan y luego
dicha mezcla se agrega a lo que quedaba en el primer
recipiente, obteniendo alcohol de 16º. ¿Qué cantidad quedó
en el segundo tonel?
A. 32 L B. 40 L C. 48 L
D. 56 L E. 78 L
10. Una persona tiene 2 recipientes, uno con 80 L de alcohol de
30º y el otro con 150 L de alcohol de 40º. Al cabo de 5 días,
se observó que se evaporó solo el 25 % del alcohol puro del
primer recipiente y el 50 % de lo mismo del segundo.
¿Cuántos litros de agua se deben agregar a la mezcla de las
cantidades que quedan para obtener un tercer recipiente de
alcohol de 20º?
A. 32 B. 34 C. 36
D. 40 E. 46
11. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg de cobre.
¿Cuántos kilogramos de plata pura es preciso agregar a este
lingote para fabricar monedas de plata de S/.5 cuya ley sea
0,900?
A. 22 B. 22,5 C. 22,8
D. 24 E. 25,2
12. Un joyero tiene dos tipos de lingotes de oro: el primero
contiene 270 g de oro y 30 g de cobre; y el segundo, 200 g
de oro y 50 g de cobre. Determine los pesos en gramos que
deben considerarse de cada lingote para obtener 200 g de
una aleación cuya ley sea 0,825.
A. 50 y 150 B. 50 y 120 C. 60 y 150
D. 60 y 90 E. 75 y 150
13. Se tiene una cadena de 16 quilates, cuyo peso es de 20
gramos. ¿Cuántos gramos de oro puro se deben agregar
para tener una sortija de 22 quilates?
A. 24 B. 40 C. 48
D. 56 E. 60
14. Al fundir dos metales en la relación de 1 a 4, de modo que el
primero es oro puro, se obtiene A gramos de una aleación
cuya ley es 0,050 más que la ley del segundo metal. Luego,
la cuarta parte de la aleación resultante se funde con 40
gramos de un metal, cuya ley es 0,950, obteniéndose una
aleación, cuya ley es 0,900. Calcule el valor de A.
A. 48 B. 50 C. 60
D. 64 E. 80
15. Se mezclan dos sustancias cuyas densidades son 10 y 20
g/cm3. Además, se obtienen 88 gramos de una nueva
sustancia de 16 g/cm3. ¿Cuál es la diferencia de los
volúmenes empleados?
A. 0,1 cm3 B. 1,1 cm3 C. 1 cm3
D. 2 cm3 E. 1,2 cm3
16. Ana compró sortijas de 14; 18 y 24 quilates a S/.16,2; S/.20,5
y S/.28,5. Calcule cuántas sortijas de 18 quilates compró si
en total fueron 9 y gastó por dicha compra S/.187,6.
A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 E. 6
17. Se han mezclado dos sustancias A y B de S/.20 y S/.40 el
kilogramo, respectivamente. Si el peso de la sustancia B es
el 25 % del peso total, halle el precio medio.
A. S/.20 B. S/.25 C. S/.15 D. S/.30 E. S/.45
18. Se mezclan 3 clases de maní, cuyos precios por kilogramo
son de S/.8; S/.10 y S/.15; además, por cada 5 kg del
primero, hay 3 kg del segundo y por cada 2 kg del segundo,
hay 3 kg del tercero. Calcule el precio por kilogramo de la
mezcla.
A. S/.16 B. S/.12 C. S/.13
D. S/.11 E. S/.9
19. Se mezclan 40 litros de alcohol de 80º con 20 litros de
alcohol de 60º, y para que la mezcla resulte de 40º, se
agrega cierta cantidad de agua. ¿Qué cantidad de agua se
agregó?
A. 50 L B. 60 L C. 55 L
D. 45 L E. 64 L
20. Se tiene un joyero de 25 kg de oro de ley 0,900. ¿Qué
cantidad de metal ordinario se le deberá alear para obtener
oro de 18 kilates?
A. 4 kg B. 25 kg C. 5 kg
D. 15 kg E. 10 kg
21. Un artesano tiene barras de plata de 200 g; 800 g y 1200 g,
cuyas ligas son 0,300; 0,800 y n, respectivamente. Si se
funde la cuarta parte de cada uno de ellos, se obtiene una
aleación que tiene 342 g de plata pura. Halle el valor de n.
A. 0,890 B. 0,810 C. 0,240
D. 0,910 E. 0,110
22. Un comerciante quiere mezclar tres ti pos de vino de S/.42;
S/.34 y S/.25 el litro. ¿Cuántos litros deberán utilizarse del
tercer tipo para obtener una mezcla de 200 litros que pueda
venderse a S/.43,42 el litro, con una ganancia del 30 %? Se
sabe que los volúmenes de los dos prime ros tipos están en
la relación de 5 a 3, respectivamente.
A. 60 B. 75 C. 45
D. 85 E. 80
23. Se mezclan dos clases de arroz en la proporción de 2 a 3 y
la mezcla se vende con el 10 % de beneficio; después se
mezclan en la proporción de 3 a 2 y se vende la mezcla con
el 15 % de beneficio. Se observa que el precio de venta es
igual en ambos casos. Calcule la relación de los precios de
las clases de arroz.
A. 3 a 5 B. 1 a 5 C. 2 a 5
D. 6 a 5 E. 4 a 5
24. Un comerciante compró tres tipos de harina en cantidades
proporcionales a 4; 2 y 3. Se sabe que los precios del
segundo y del tercero son S/.7 y S/.8 el kg, respectivamente;
además, el precio del primer tipo es S/.2 menos que el precio
que tendría la mezcla, pero se perdió un cuarto, un medio y
un tercio de las cantidades que se tenían, respectivamente.
¿A qué pre cio debe venderse la mezcla de lo res tante para
ganar el 40 % de su inversión?
A. S/.10,8 B. S/.12,6 C. S/.11,7
D. S/.8,40 E. S/.8,60
25. Se tiene una mezcla alcohólica de 84º. Se reemplaza la
cuarta parte de su volumen por alcohol de 60º; la sexta parte,
por alcohol de 48º y la doceava parte, por alcohol de 72º.
Calcule cuántos litros de agua debe agregarse a 186 litros
de esta mezcla para que su grado de pureza disminuya en
9º.
A. 30 B. 31 C. 28 D. 27 E. 32
26. Se quiere obtener 100 litros de alcohol de 74° mezclando 30
litros de alcohol de 80° con cantidades convenientes de
alcohol puro y agua, pero por error estas cantidades se
intercambian. ¿Cuál será el grado de la mezcla resultante?
A. 42° B. 44° C. 46 D. 48° E. 52°Mais conteúdos dessa disciplina
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