LISTA 9 -FRENTE C - ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

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LISTA 9 – ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2015) Na circunferência da figura, 𝑂 é o seu 
centro e 𝑉, 𝐴 e 𝐵 são três de seus pontos. Se 𝑥 e 𝑦 são, 
respectivamente, as medidas dos ângulos AVB e 
AOB , então sempre é correto afirma que 
 
a)𝑥 = 2𝑦 
b)𝑦 = 2𝑥 
c)𝑥 + 𝑦 = 900 
d)𝑥 − 𝑦 = 900 
 
2.(EEAR 2009) Na figura, O é o centro da circunferência. 
O valor de x é: 
 
a) 18° 
b) 20° 
c) 22° 
d) 24° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (EEAR 2011) Se MNOPQR é um hexágono regular 
inscrito na circunferência, então a+b-c é igual a: 
 
 
a) 150° 
b) 120° 
c) 100° 
d) 90° 
 
4. (EEAR 2015) Na figura, A e B são pontos da 
circunferência e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ é seu diâmetro. Assim, o ângulo 
𝐵�̂�𝐶 mede: 
 
 
a) 20° 
b) 30° 
c) 50° 
d) 60° 
 
 
 
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5. (EEAR 2007) Na figura, AD é o diâmetro da 
circunferência, 𝐷�̂�𝐶 mede 35° e 𝐶�̂�𝐵 mede 25°. A 
medida de 𝐵�̂�𝐴 é: 
 
 
 
a) 30° 
b) 35° 
c) 40° 
d) 45° 
 
6. (EEAR 2018) Considere o quadrilátero ABCO, de 
vértices A, B e C na circunferência e vértice O no centro 
dela. Nessas condições x mede: 
 
 
 
a) 30° 
b) 45° 
c) 55° 
d) 60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (EEAR 2016) Duas cordas se cruzam num ponto 
distinto do centro da circunferência, conforme esboço. 
A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a 
medida do arco x é: 
 
a) 40° 
b) 70° 
c) 110° 
d) 120° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. (EEAR 2010) Sejam AB o diâmetro da 
circunferência, e as retas t e t’ tangentes a ela nos 
pontos N e M, respectivamente. O valor de x é: 
 
a) 66° 
b) 60° 
c) 55° 
d) 50° 
 
NÍVEL 2 - OFICIALATO 
 
1. (G1 - cftmg 2020) A figura abaixo representa um 
pentágono regular estrelado, inscrito em uma 
circunferência. 
 
 
 
A soma dos ângulos em destaque é igual a 
 
a) 90 
b) 120 
c) 180 
d) 224 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. (G1 - ifpe 2019) Em uma olimpíada de robótica, o 
robô BESOURO caminha de fora do círculo de 
manobras e, após se apresentar, retorna ao ponto 
inicial conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Considerando que o caminho percorrido pelo robô está 
indicado pelas setas, qual o ângulo x formado entre o 
caminho de saída e o caminho de retorno do robô ao 
ponto inicial? 
 
a) 28 
b) 22 
c) 21 
d) 49 
e) 56 
 
3. (G1 - cftmg 2018) 
 
 
O triângulo ABV está inscrito em uma circunferência 
de centro C e o segmento VD tangencia a 
circunferência em V, como representado na figura a 
seguir. Sabendo que a ˆmed(AVD) 30=  e que a 
medida do raio da circunferência é igual a 5 cm, o 
comprimento do arco VEF, em cm, é 
a) 5.
3
π
 
b) 
2
5.
3
π
 
c) 5.
6
π
 
d) 2 .π 
 
 
4. (EPCAr 2018) Considere a figura e os dados a 
seguir: 
 
 
 
DADOS: 
- O é o circuncentro do triângulo ABC 
- ˆmed(ACD) 50=  
- ˆBEC e ˆBDC são retos 
- FG é o diâmetro da circunferência de centro O 
 
A medida do ângulo ˆAFG, em graus, é igual a 
a) 40 
b) 50 
c) 60 
d) 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. (G1 - ifpe 2018) Para encontrar quais os assentos 
em um teatro possibilitam que um espectador veja 
todo o palco sob um ângulo de visão determinado, 
utilizamos o conceito de “arco capaz”. A esse respeito, 
analise a figura abaixo: 
 
 
 
O “arco capaz do ângulo ( 90 )θ θ   sobre o segmento 
AB" corresponde ao arco maior da circunferência 
representada na figura acima, que possui centro em 
O, e tem AB como corda. Como os ângulos APB e 
AMB são ângulos inscritos nessa circunferência e 
determinam o mesmo arco, eles têm a mesma medida. 
Esses ângulos são conhecidos como “inscritos”. 
Considere o arco capaz de 60 sobre o segmento AB 
representado abaixo. 
 
 
 
Qual é o valor do ângulo OAB,α = sabendo que O é 
o centro da circunferência? 
 
a) 30 . 
b) 36 . 
c) 20 . 
d) 60 . 
e) 45 . 
 
 
 
 
6. (G1 - cftmg 2017) A figura a seguir mostra uma 
circunferência, em que os arcos ADC e AEB são 
congruentes e medem 160 cada um. 
 
 
 
A medida, em graus, do ângulo x, é 
a) 10 . 
b) 20 . 
c) 30 . 
d) 40 . 
 
7. (Fgv 2016) As cordas AB e CD de uma 
circunferência de centro O são, respectivamente, lados 
de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos 
nessa circunferência. Na mesma circunferência, as 
cordas AD e BC se intersectam no ponto P, 
conforme indica a figura a seguir. 
 
 
 
A medida do ângulo BPD, indicado na figura por , é 
igual a 
 
a) 120 . 
b) 124 . 
c) 128 . 
d) 130 . 
e) 132 . 
 
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8. (Fgv 2013) Na figura, AB e AE são tangentes à 
circunferência nos pontos B e E, respectivamente, e 
ˆBAE 60 .=  
 
 
 
Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais, a 
medida do ângulo ˆBEC, indicada na figura por ,α é 
igual a 
a) 20° 
b) 40° 
c) 45° 
d) 60° 
e) 80° 
 
9. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência 
tem centro O e BC = OA, então a razão entre as 
medidas dos ângulos AÔD e CÔB é 
 
 
 
a) 
5
2
 
b) 
3
2
 
c) 2 
d) 
4
3
 
e) 3 
 
 
 
 
 
 
 
10. (G1 - ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no 
ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco 
é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em 
graus, é 
 
 
a) 53. 
b) 57. 
c) 61. 
d) 64. 
e) 66. 
 
11. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos 
distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é 
exterior a ela. Além disso, 
 
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; 
(2) AB = OB; 
(3) CÔD mede α radianos. 
 
 
 
Nessas condições, a medida de AB̂ O, em radianos, é 
igual a: 
a) π - (α/4) 
b) π - (α/2) 
c) π - (2α/3) 
d) π - (3α/4) 
e) π - (3α/2) 
 
 
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12. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os segmentos PB e
PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC
são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo
BPD é
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
13. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os triângulos ABC e
BCD estão inscritos na circunferência. A soma das
medidas m + n, em graus, é
a) 70
b) 90
c) 110
d) 130
14. (G1 - cftmg 2005) Na figura, o triângulo ABC está
inscrito em uma circunferência de centro O, cujo
comprimento é 10 ð cm. Se o lado AB mede 6 cm, a
medida do lado BC, em cm, é
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
GABARITO NÍVEL 1 
1-B
2-A
3-B
4-A
5-A
6-D
7-B
8-A
GABARITO NÍVEL 2 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
A medida do menor arco de extremos A e B será 
dada por: 
360
m(AMB) 72
5

= = 
Como x é a medida de um ângulo inscrito na 
circunferência, concluímos que: 
72
x 36
2

= = 
Logo, a soma dos ângulos em destaque é igual a: 
5x 5 36 180=   =  
Resposta da questão 2: 
[C]
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ˆˆEBP PCD y= = (ângulos inscritos e que determinam 
o mesmo arco) 
No PBE:Δ y 28 77 y 49+  =  =  
No AEC :Δ x 28 49 x 21+  =  =  
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Sabendo que o arco é dado por: 
VEF
Ĉ .
R
= Sabendo 
que todo triângulo inscrito na semicircunferência é 
retângulo, temos que o triangulo ABV possuirá 
ângulos: ˆ ˆA 90 , V 60=  =  e B̂ 30 .=  Observe que o 
ângulo V̂ 60=  é dado devido a ˆmed(AVD) 30 .=  
 
Dessa maneira, temos que o ângulo  ou ˆCAB será 
igual a 30 , pois AC CB= e assim temos que o 
ângulo ˆ ˆACB ECV 120 .= =  Aplicando a fórmula 
acima: 
VEF VEF 2
Ĉ 120 VEF 5
R 35
π
=   =  = 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Se o ângulo BDC é reto, então tambémé o ângulo 
CDA. 
Se o ângulo CDA é reto e o ângulo ACD é igual a 
50 , então o ângulo DAC é igual a 40 (pois a soma 
dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 
sempre igual a 180 ). 
Se o ângulo BEC é reto, então também é o ângulo 
BEA. 
Se o ângulo BEA é reto e o ângulo DAC é igual a 
40 , então o ângulo ABF é igual a 50 . 
Se o ângulo ABF mede 50 , então a corda FA mede 
100 . 
Se GF é o diâmetro da circunferência então a corda 
que vai de F até G, passando pelo ponto A, mede 
180 . 
Se a corda FA mede 100 e a corda que vai de F até 
G, passando pelo ponto A, mede 180 , então a corda 
que vai de A até G mede 80 . Assim, seu respectivo 
ângulo, AFG, medirá 40 . 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
 
 
ˆAOB 2 60 120
AO BO (raios)
=   = 
=
 
 
Logo, 
ˆ ˆOAB OBA α= = 
 
No triângulo OAB, temos: 
2 120 180 30α α +  =  =  
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
O arco de extremos C e B, determinado pelo ângulo 
x na circunferência, mede 2x. Portanto, 
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2x 160 160 360
2x 40
x 20
+  +  = 
= 
= 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
Se o lado AB refere-se a um polígono regular de 6 
lados, então o arco AB mede 60 . 
Se o lado CD refere-se a um polígono regular de 10 
lados, então o arco CD mede 36 . 
A circunferência tem um total de 360 , logo o ângulo 
pedido será: 
360 60 36
132
2
α α
− −
=  =  
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Seja S um ponto do menor arco BE. 
 
Como BPC CQD DRE 2 ,α= = = segue-se que 
BSE 360 6 .α=  − Portanto, como EAB é excêntrico 
exterior, temos 
 
BQE BSE 6 (360 6 )
EAB 60
2 2
60 6 180
40 .
α α
α
α
− −  −
=   =
  = − 
 = 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sejam AOD =  e COB .=  
 
Sabendo que BC OA OC,= = vem OBC .=  Daí, como 
AD =  e CE ,=  encontramos 
 
AD CE
OBC
2 2
3.
−  −
=   =

 =

 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Como x é excêntrico exterior, segue que: 
BCP AP
x .
2
−
= 
Mas 
AP 360 (AB BCP).= − + 
 
Portanto, 
194 360 100 194 128
x 64 .
2 2
 − + +  
= = =  
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
 
 
ˆABD x
ˆˆCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB = - x
 - xˆˆABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = 
2
No triângulo AOB:
 - x
 - x + (ângulo externo)
2
2 = 2 2x x
3x 3 2
3 2
x
3
2
x
3
Δ π
π
Δ
π
α π
α π π
π α
π α
α
π
=
=
− + −
= −
−
=
= −
 
 
Portanto, ( )ˆABO 2 /3π α= − 
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Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Sabendo que AP AD,= tem-se ADP BPD. Além 
disso, os ângulos inscritos ABC e ADC subentendem 
o mesmo arco, bem como os ângulos BAD e BCD. 
Logo, ABC ADC e BAD BCD. Por outro lado, BAD 
é ângulo externo do triângulo ADP e, portanto, 
BAD 2 ADP.=  Desse modo, como AD BC⊥ e sendo 
Q o ponto de interseção das cordas AD e BC, vem, 
do triângulo QCD, 
 
ADC BCD 90 ADP BAD 90
ADP 2 ADP 90
ADP 30 .
+ =   + = 
 +  = 
 = 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Resposta da questão 14: 
 [C]