LISTA 11 - COMBINAÇÃO SIMPLES

Prévia do material em texto

TEOREMA MILITAR 
LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2009) Uma lanchonete tem em sua 
dispensa 5 espécies de frutas. Misturando 3 espécies 
diferentes, pode-se preparar quantos tipos de suco? 
 
a) 24 
b) 15 
c) 10 
d) 8 
 
2. (EEAR 2013) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser 
selecionados para comporem uma comissão de 
formatura. O número de formas distintas de se compor 
essa comissão é: 
 
a) 56 
b) 48 
c) 46 
d) 38 
 
3. (EEAR 2017) De um grupo de 10 pessoas, 5 serão 
escolhidas para compor uma comissão. Ana e Beatriz 
fazem parte dessas 10 (dez) pessoas. Assim, o total de 
comissões que podem ser formadas, que tenham a 
participação de Ana e Beatriz, é 
 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 56 
 
4. (EEAR 2017) Em um campeonato de tênis estão 
inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, 
esses militares podem formar__________ duplas 
diferentes. 
 
a) 34 
b) 35 
c) 44 
d) 45 
 
5. (ESA 2013) Um colégio promoveu numa semana 
esportiva um campeonato interclasses de futebol. Na 
primeira fase, entraram na disputa 8 times, cada um 
deles jogando uma vez contra cada um dos outros 
times. O número de jogos realizados na 1ª fase foi 
 
a) 8 jogos 
b) 13 jogos 
c) 23 jogos 
d) 28 jogos 
e) 35 jogos 
 
 
 
 
 
 
 
6. (ESA – 2009) Uma obra necessita de vigilantes para 
o turno da noite durante exatamente 36 noites. Se 
para cada noite são necessários 2 vigilantes, quantos 
devem ser contratados de modo que o mesmo par de 
vigilantes não se repita? 
 
a) 16 
b) 8 
c) 18 
d) 14 
e) 9 
 
7. (ESA 2012) Para o time de futebol da ESA, foram 
convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de campo 
e 4 atacantes. O número de times diferentes que a 
ESA pode montar com esses jogadores convocados de 
forma que o time tenha 1 goleiro, 4 zagueiros, 5 meios 
de campo e 1 atacante é igual a 
 
a) 84 
b) 451 
c) 981 
d) 17.640 
e) 18.560 
 
NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (Famema 2020) Em uma classe há 9 alunos, dos 
quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos 
dessa classe deverão formar 3 grupos com 3 
integrantes em cada grupo, de modo que em cada um 
dos grupos haja um menino. O número de maneiras que 
esses grupos podem ser formados é 
 
a) 30. 
b) 60. 
c) 120. 
d) 90. 
e) 15. 
 
2. (EsPCEx 2020) O Sargento encarregado de organizar 
as escalas de missão de certa organização militar deve 
escalar uma comitiva composta por um capitão, dois 
tenentes e dois sargentos. Estão aptos para serem 
escalados três capitães, cinco tenentes e sete 
sargentos. O número de comitivas distintas que se pode 
obter com esses militares é igual a 
 
a) 630. 
b) 570. 
c) 315. 
d) 285. 
e) 210. 
 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
 
3. (Fgv 2020) Dez pessoas, entre elas Gilberto e Laura, 
pretendem formar uma comissão com quatro membros 
escolhidos entre os dez. 
Quantas comissões são possíveis se Gilberto e Laura 
podem ou não comparecer mas nunca juntos na mesma 
comissão? 
 
a) 182 
b) 45 
c) 240 
d) 100 
e) 70 
 
4. (G1 - ifce 2019) Certo departamento de uma 
empresa tem como funcionários exatamente oito 
mulheres e seis homens. A empresa solicitou ao 
departamento que enviasse uma comissão formada por 
três mulheres e dois homens para participar de uma 
reunião. O departamento pode atender à solicitação de 
______ maneiras diferentes. 
 
a) 840. 
b) 720. 
c) 401. 
d) 366. 
e) 71. 
 
5. (Efomm 2019) De quantas maneiras diferentes 
podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos 
duas mulheres, de um grupo composto de sete homens 
e quatro mulheres? 
 
a) 210 
b) 250 
c) 371 
d) 462 
e) 756 
 
6. (Ueg 2019) Um ovo de brinquedo contém no seu 
interior duas figurinhas distintas, um bonequinho e um 
docinho. Sabe-se que na produção desse brinquedo, há 
disponível para escolha 20 figurinhas, 10 
bonequinhos e 4 docinhos, todos distintos. O número 
de maneiras que se pode compor o interior desse ovo 
de brinquedo é 
 
a) 15.200 
b) 7.600 
c) 3.800 
d) 800 
e) 400 
 
 
 
 
 
 
7. (EsPCEx 2019) Considere o conjunto de números 
naturais {1, 2, ,15}. Formando grupos de três 
números distintos desse conjunto, o número de grupos 
em que a soma dos termos é ímpar é 
 
a) 168. 
b) 196. 
c) 224. 
d) 227. 
e) 231. 
 
8. (Unioeste 2019) Uma empresa possui 10 diretores, 
dos quais, 3 são suspeitos de corrupção. Foi resolvido 
se fazer uma investigação composta por uma comissão 
de 5 diretores da empresa. A única condição imposta é 
que a comissão de investigação selecionada tenha a 
maioria de diretores não suspeitos. Selecionada, ao 
acaso, uma comissão para apuração das suspeitas 
formada por diretores desta empresa, é CORRETO 
afirmar que a probabilidade de que esta comissão 
atenda à condição imposta está no intervalo: 
 
a) (0,01; 0,50). 
b) (0,50; 0,70). 
c) (0,70; 0,80). 
d) (0,80; 0,90). 
e) (0,90; 0,99). 
 
9. (Upe-ssa 2 2018) A turma de espanhol de uma escola 
é composta por 20 estudantes. Serão formados grupos 
de três estudantes para uma apresentação cultural. De 
quantas maneiras se podem formar esses grupos, 
sabendo-se que dois dos estudantes não podem 
pertencer a um mesmo grupo? 
 
a) 6.840 
b) 6.732 
c) 4.896 
d) 1.836 
e) 1.122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
10. (AFA 2020) Um pisca-pisca usado em árvores de 
natal é formado por um fio com lâmpadas acopladas, 
que acendem e apagam sequencialmente. 
 
Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por 
vários blocos, com lâmpadas em formato de flores, com 
o seguinte padrão: 
 
- Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma com 
5 lâmpadas circulares, de cores distintas 
(A, B, C, D, E), como na figura: 
 
 
 
- Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acendem 
e apagam juntas, por vez, ficando as outras duas 
apagadas. 
- Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam juntas. 
- Em duas flores consecutivas, nunca acendem e 
apagam as mesmas 3 cores da anterior. Assim, 
considere que uma composição possível para um bloco 
acender e apagar corresponde à figura abaixo: 
 
 
 
O número de maneiras, distintas entre si, de contar as 
possibilidades de composição para um bloco desse 
pisca-pisca é 
 
a) 510 
b) 49 10 
c) 59 
d) 59 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. (AFA 2015) Um turista queria conhecer três 
estádios da Copa do Mundo no Brasil não importando a 
ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às 
seguintes situações: 
 
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. 
II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria 
que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não 
conheceria nenhum dos dois. 
 
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 
estádios brasileiros, a razão entre o número de modos 
distintos de escolher a situação I e o número de 
maneiras diferentes de escolha para a situação II, nessa 
ordem, é 
 
a) 
11
26
 
b) 
13
25
 
c) 
13
24
 
d) 
11
24
 
 
12. (Esc. Naval 2014) Qual a quantidade de números 
inteiros de 4 algarismos distintos, sendo dois 
algarismos pares e dois ímpares que podemos formar, 
usando algarismos de 1 a 9? 
 
a) 2400 
b) 2000 
c) 1840 
d) 1440 
e) 1200 
 
13. (AFA 2013) Num acampamento militar, serão 
instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 
10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de 
tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na 
barraca II e 3 na barraca III. 
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B 
NÃO deve ficar na barraca III, então o número de 
maneiras distintas de distribuí-losé igual a 
 
a) 560 
b) 1120 
c) 1680 
d) 2240 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
14. (AFA 2011) Um colecionador deixou sua casa 
provido de R$5,00 , disposto a gastar tudo na loja de 
miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três 
opções que havia na loja, conforme a seguir. 
 
• 5 diferentes miniaturas de carros, custandoR$4,00
cada miniatura; 
• 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$1,00
cada miniatura; 
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$3,00
cada miniatura. 
 
O número de diferentes maneiras desse colecionador 
efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu 
dinheiro, é 
 
a) 15 
b) 21 
c) 42 
d) 90 
 
15. (EsPCEx 2011) Os alunos de uma escola realizam 
experiências no laboratório de Química utilizando 8 
substâncias diferentes. O experimento consiste em 
misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias 
e observar o produto obtido. 
O professor recomenda, entretanto, que as substâncias 
1 2S , S e 3S não devem ser misturadas entre si, pois 
produzem como resultado o gás metano, de odor muito 
ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes 
que se pode obter, sem produzir o gás metano é 
 
a) 16 
b) 24 
c) 25 
d) 28 
e) 56 
 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. C 
2. A 
3. D 
4. D 
5. D 
6. E 
7. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Existem três modos de escolher o primeiro menino e 
6 6!
15
2 2! 4!
 
= = 
 
 modos de escolher as duas meninas 
que formarão o primeiro grupo. Ademais, temos duas 
possibilidades para a escolha do segundo menino e 
4 4!
6
2 2! 2!
 
= = 
 
 modos de escolher as meninas que 
irão compor o segundo grupo. Dessa forma, o terceiro 
grupo fica univocamente determinado. 
 
Portanto, observando que alguns grupos foram 
contados mais de uma vez, segue que a resposta é 
3 15 2 6
90.
3!
  
= 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Existem 
 
= 
 
3
3
1
 maneiras de escolher o capitão, 
 
= = 
 
5 5!
10
2 2! 3!
 modos de escolher os tenentes e 
 
= = 
 
7 7!
21
2 2! 5!
 maneiras de escolher os sargentos. 
Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, segue 
que a resposta é   =3 10 21 630. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Número total de comissões possíveis (escolha de 
quaisquer quatro pessoas dentre as dez): 
10
4
10! 10 9 8 7
C 210
6!4! 4 3 2
  
= = =
 
 
 
Número de comissões em que Gilberto e Laura estão 
ambos presentes (escolha das outras duas pessoas 
dentre as oito que sobraram): 
8
2
8! 8 7
C 28
6!2! 2

= = = 
 
Portanto, a quantidade de comissões possíveis é de: 
210 28 182− = 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
Calculando todas as possibilidades de escolha de três 
mulheres, temos: 8,3
8!
C 56
3! 5!
= =

 
 
Calculando todas as possibilidades de escolha de dois, 
temos: 6,2
6!
C 15
2! 4!
= =

 
 
Logo, departamento pode atender à solicitação de 
56 15 840 = maneiras diferentes. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
A escolha poderá ser feita das seguintes maneiras: 
[I] 2 mulheres e 4 homens: 
4,2 7,4
4! 7!
C C 6 35 210
2! 2! 4! 3!
 =  =  =
 
 
[II] 3 mulheres e 3 homens: 
4,3 7,4
4! 7!
C C 4 35 140
3! 1! 3! 4!
 =  =  =
 
 
[III] 4 mulheres e 2 homens: 
4,4 7,2
4! 7!
C C 1 21 21
4! 0! 2! 5!
 =  =  =
 
 
 
Logo, o número de maneiras de se escolher 6 pessoas, 
com pelo menos duas mulheres, será dado por: 
210 140 21 371.+ + = 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Há 
20 20!
190
2 2! 18!
 
= = 
 
 modos de escolher 2 
figurinhas, 10 maneiras de escolher um bonequinho e 
4 modos de escolher um docinho. Portanto, pelo 
Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
190 10 4 7600.  = 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
No conjunto há 7 números pares e 8 números 
ímpares. 
Para que a soma de três destes números seja um 
número ímpar deveremos ter duas possibilidades, ou 
seja, três números ímpares ou dois números pares e 
um ímpar. 
 
I) Total da grupos com 3 números ímpares. 
8,3
8!
C 56
3! 5!
= =

 
II) Total da grupos com dois números pares e 1 
número ímpar. 7,2 8,1
7! 8!
C C 21 8 168
2! 5! 1! 7!
 =  =  =
 
 
 
Resposta: 56 168 224.+ = 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Calculando inicialmente o número total de comissões 
com 5 diretores: 
10,5
10!
C 252
5! 5!
= =

 
 
Comissões sem diretores suspeitos: 7,5
7!
C 21
5! 2!
= =

 
 
Comissões com apenas 1 diretor suspeito: 
7,4 3,1
7! 3!
C C 105
4! 3! 1! 2!
 =  =
 
 
 
Comissões com apenas 2 diretores suspeitos: 
7,3 3,2
7! 3!
C C 105
3! 4! 2! 1!
 =  =
 
 
 
Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 
21 105 105 231
P 9,92 (0,90; 0,99).
252 252
+ +
= =  
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
Sejam A e B os estudantes que não podem pertencer 
a um mesmo grupo. 
Vamos supor que queiramos calcular quantas são as 
possibilidades para formarmos exatamente um grupo. 
Assim, temos 
20 20!
1140
3 3! 17!
 
= = 
 
 possibilidades, 
dentre as quais A e B estão presentes em 18. 
A resposta é 1140 18 1122.− = 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Total de escolhas possíveis de 3 lâmpadas em cada 
uma das flores. 
 
Como temos 5 lâmpadas em cada uma das flores e 
precisamos acender 3, temos: 
5,3
5!
C 10
3! (5 3)!
= =
 −
 
 
Sabemos que em duas flores consecutivas, nunca 
acendem e apagam as mesmas 3 cores da anterior. O 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 11 – ANÁLISE COMBINATÓRIA – COMBINAÇÃO SIMPLES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
número de maneiras, distintas entre si, de contar as 
possibilidades de composição para um bloco desse 
pisca-pisca é 
 
 
 
410 9 9 9 9 10 9    =  
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Para a situação I, existem 
11 11!
55
2 2! 9!
 
= = 
 
 escolhas 
possíveis. Para a situação II, o número de 
possibilidades é dado por 
10 10!
10 10 130.
3 3! 7!
 
+ = + = 
 
 
Em consequência, a resposta é 
55 11
.
130 26
= 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Nos algarismos de 1 a 9 tem-se 4 algarismos pares e 5 
algarismos ímpares. Deve-se escolher 2 algarismos 
ímpares e 2 pares, permutando-os. Assim, pode-se 
escrever: 
2 2
5 4
5 4 3! 4 3 2!
C C 4! 4! 1440
3! 2! 2! 2!
   
  =   =
 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
1º caso: Soldados A e B na barraca I 
 
Barraca I: C8,2 = 28 
Barraca II: C6,3 = 20 
Barraca III: C3,3 = 1 
Total(1) = 28  20  1 = 560. 
 
2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na 
barraca II 
Barraca I: C8,3 = 56 
Baraca II CC5,2 =10 
Barraca III: C3,3 = 1 
Total(2) = 56  10  1 = 560. 
 
Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los 
é igual a 560 + 560 = 1120. 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Só poderá comprar: 
 
1 carro e 1 livro ----------------------------- 
5,1 3,1C C 5 3 15 =  = 
 
2 livros e 1 bicho--------------------------- 
3,1 2,1C C 3 2 6 =  = 
 
Somando: 15 + 6 = 21. 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Há 
 
= = 
 
8 8!
28
2 2!6!
 modos de escolher duas 
substâncias dentre as 8 disponíveis. Por outro lado, 
 
= 
 
3
3
2
 dessas escolhas recaem em duas das três 
substâncias 1 2S , S e 3S . Portanto, o número possível 
de misturas diferentes que se pode obter, sem 
produzir o gás metano, é − =28 3 25.