AD1-MD2-2023-2_gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
2o Semestre de 2023
AD1
GABARITO
Questão 1: [4,0 pts] Considere as seguintes funções f : R→ R e g : R→ R, definidas abaixo:
f(x) =

1, se x < 0
x3, se 0 6 x 6 1
1, se x > 1
e g(x) =

0, se x < 0
7x, se 0 6 x 6 1
7, se x > 1
.
Determine o que se pede em cada um dos itens a seguir. Justifique todas as suas respostas.
a) Encontre a lei de formação de f ◦ g.
b) Encontre o domı́nio de f ◦ g.
c) Esboce o gráfico de f ◦ g.
d) Responda: f ◦ g é uma função inverśıvel? Justifique.
Solução:
a) Se x < 0, então (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(0) = 03 = 0.
Se 0 6 x 6 1, então (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(7x). Assim, para 0 6 x 6 1
7
, temos
0 6 7x 6 1. Logo, neste caso, (f ◦ g)(x) = (7x)3 = 343x3; Além disso, para 1
7
< x 6 1,
temos 7x > 1, donde (f ◦ g)(x) = 1.
2
Se x > 1, então (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(7) = 1.
Dessa forma, a lei de formação de f ◦ g é dada por:
(f ◦ g)(x) =

0, se x < 0
343x3, se 0 6 x 6
1
7
1, se x >
1
7
.
b) Como f ◦ g está definida para todo número real, temos que Dom(f ◦ g) = R.
c) Um esboço do gáfico de f ◦ g é dado na figura abaixo.
d) A função f ◦ g não é inverśıvel, pois não é injetiva. De fato, se por exemplo x1 e x2 são
tais que x1 >
1
7
e x2 >
1
7
, com x1 6= x2, temos:
(f ◦ g)(x1) = (f ◦ g)(x2) = 1,∀x1, x2 >
1
7
.
Questão 2: [1,5 pts] Sendo f : (−1,+∞)→ R uma função definida por f(x) = ln(x+ 1)− 2,
encontre a função inversa de f .
Solução: Como f é injetiva, então f é inverśıvel. Assim, seja g = f−1 : R→ (−1,+∞). Para
encontrar a lei de formação de g, denotaremos y = f(x) = ln(x + 1)− 2.
Assim,
y = ln(x + 1)− 2⇔ y + 2 = ln(x + 1)⇔ ey+2 = x + 1⇔ ey+2 − 1 = x.
Portanto, fazendo x = f−1(y), temos que lei de formação da função inversa de f é dada por
g(y) = ey+2 − 1. Ou ainda, trocando y por x em g, podemos escrever g(x) = ex+2 − 1.
3
Questão 3: [1,5 pts] Resolva a inequação abaixo:
ex
2−4x+3 ≥ 1.
Solução: Observe que podemos escrever 1 = e0 no lado direito da desigualdade. Dessa forma,
basta resolver a seguinte inequação exponencial:
ex
2−4x+3 ≥ e0.
Como a função exponencial é crescente em todo o seu domı́nio, basta comparar os expoentes
e resolver a inequação x2 − 4x + 3 ≥ 0. Assim,
x2 − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ (x− 1)(x− 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ou x ≥ 3.
Portanto, para que a desigualdade seja satisfeita, devemos ter x ∈ (−∞, 1] ∪ [3,+∞). Ou,
equivalentemente, o conjunto solução da inequação dada pode ser representado por
S = {x ∈ R;x ≤ 1 ou x ≥ 3}.
Questão 4: [3,0 pts] Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→0
√
1 + x− 1
x
b) lim
x→0
x3 − 1
x2 − 1
c) lim
x→0
(4 + x)2 − 16
x
Solução:
a) lim
x→0
√
1 + x− 1
x
= lim
x→0
√
1 + x− 1
x
·(
√
1 + x + 1)
(
√
1 + x + 1)
= lim
x→0
(1 + x)− 1
x(
√
1 + x + 1)
= lim
x→0
x
x(
√
1 + x + 1)
=
lim
x→0
1√
1 + x + 1
=
1√
1 + 0 + 1
=
1√
1 + 1
=
1
2
.
b) lim
x→0
x3 − 1
x2 − 1
=
03 − 1
02 − 1
=
−1
−1
= 1.
c) lim
x→0
(4 + x)2 − 16
x
= lim
x→0
(4 + x)2 − 42
x
= lim
x→0
(4 + x + 4)(4 + x− 4)
x
= lim
x→0
(8 + x)x
x
=
lim
x→0
(8 + x) = 8.