Matemática: Análise Combinatória

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
 
 
 
 
Análise Combinatória 
 
A análise combinatória visa desenvolver métodos que 
permitam contar o número de elementos de um 
conjunto, sendo estes elementos, agrupamentos 
formados sob certas condições. 
 
Fatorial 
Com intuito de simplificar cálculos combinatórios, 
definiremos um novo elemento matemático chamado 
fatorial. 
Definimos o fatorial de um número n ∈ N, tal que n > 1 
como: 
 
n! = n(n – 1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 
 
Exemplo: 
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 
 
Observação: 
1! = 1 
0! = 1 
 
Operações com Fatorial 
Soma 
Exemplo: 4! + 2! 
 
Subtração 
Exemplo: 5! – 3! 
 
Multiplicação 
Exemplo: 3!.2! 
 
Divisão 
Exemplo: 
8!
6!
 
 
Simplificação com Fatorial 
Exemplo: 
( )
( ) ( )
n 1 !.n!
n 1 !. n 2 !
+
− +
 
 
Equações com Fatorial 
Exemplo 1: (x – 2)! = 6 
 
Exemplo 2: Na equação (y + 3)! + (y + 2)! = 15 (y + 1)!, 
o conjunto solução é 
a) {− 7, 1}. 
b) {− 7}. 
c) {1}. 
d) {2}. 
 
 
Exemplo 3: A solução da equação 
( )
( )
( )
( )
3! x 1 ! 182 x 2 ! x!
4 x 3 ! 2 x 2 !
− − −
=
− −
 é um número natural 
a) maior que nove. 
b) ímpar. 
c) cubo perfeito. 
d) divisível por cinco. 
e) múltiplo de três. 
 
Sabendo as operações de fatorial, agora vamos 
compreender, de fato, os casos de combinatória. 
Vejamos alguns exemplos. 
Exemplos 
1º) A é o conjunto de números de dois algarismos 
distintos formados a partir dos dígitos 1, 2 e 3. 
A = {12, 13, 21, 23, 31, 32} e #A = 6 
 
2º) D é o conjunto de números de três algarismos, todos 
distintos, formados a partir dos dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8. 
D = {123, 124, 125, ... , 875, 876} 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
Exemplo: Temos três cidades X. Y e Z. Existem quatro 
rodovias que ligam X com Y e cinco que ligam Y com Z. 
Partindo de X e passando por Y. de quantas formas 
podemos chegar até Z? 
 
Princípio Aditivo 
Exemplo: Na cidade de Algebrópolis há duas formas 
de entretenimento: um cinema, com 5 filmes em 
cartaz, e um teatro, com 3 peças em cartaz. De quantos 
modos um turista pode escolher um evento? 
 
Arranjos Simples 
Seja M um conjunto com m elementos, isto é M = {a1, 
a2, ..., an}. Chamamos de arranjo dos m elementos 
tomados p a p (1 ≤ p ≤ n) a qualquer p'upla (sequência 
de p elementos) formada com elementos de M todos 
distintos. 
n,p
n!
A
(n p)!
=
− 
 
Combinação Simples 
Seja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, 
a2, ... , an}. Chamamos de combinações dos n 
elementos, tomados p a p, aos subconjuntos de M 
constituídos de r elementos 
 
n,p
n n!
C
p p!(n p)!
 
= = 
−  
 
Permutação Simples 
Seja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, ... , 
am}. Chamamos de permutação dos m elementos a todo 
arranjo em que r = m. 
 
m
P m (m 1) (m 2) ... 3 2 1=  −  −    
 
 
Permutação com Elementos Repetidos 
Se desejarmos permutar n elementos, nem todos distintos, 
em que n1 deles são iguais, n2 deles são iguais, ..., nr deles 
são iguais, o número de permutações é: 
1, 2, rn n ...,n
n
1 2 r
n!
P
n !n !...n !
=
 
 
Combinações com repetição 
 
( )
( )n,p
n p 1 !
CR
p! n 1 !
+ −
=
−
 
 
 
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Primeiro Lema de Kaplansky 
A expressão que determina o número de formas 
de escolher p elementos não consecutivos em um 
conjunto com n elementos é: 
 
𝒇(𝒏, 𝒑) = 𝑪𝒏 −𝒑+𝟏
𝒑
 
 
 
Segundo Lema de Kaplansky 
Suponha o conjunto {1, 2, 3, ..., n} em que 
queremos escolher p elementos de modo que não haja 
elementos consecutivos em que 1 e n são considerados 
consecutivos. 
A expressão que determina o número de maneiras 
de escolher p elementos em um conjunto com n 
elementos, sendo o primeiro e o último considerados 
consecutivos, é 
 
 
 
 
Permutação Caótica 
Uma permutação é dita caótica quando nenhum 
elemento se encontra na posição original. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr - 2010) Ao calcular 
3
10
3
10
C
A
, obtém-se: 
a) 3! 
b) 4! 
c) 5! 
d) 6! 
 
2. (EEAr - 2011) O número de anagramas da palavra 
SOLEIRA que começam com vogal é: 
a) 2720 
b) 2780 
c) 2860 
d) 2880 
 
3. (EEAr - 2011) Formato, tamanho e cor são as 
características que diferem as etiquetas do preço de 
produtos de uma loja. Se elas podem ter 2 formatos, 3 
tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços 
distintos dos produtos da loja é: 
a) 24 
b) 30 
c) 32 
d) 40 
 
4. (EEAr - 2012) Dos 10 judocas que participam de uma 
competição, os 3 melhores subirão ao pódio para 
receber uma premiação. Lembrando que cada atleta 
pode ocupar o 1º, 2º ou 3º lugar no pódio, o número de 
possíveis formas de os atletas comporem o pódio é: 
a) 720 
b) 680 
c) 260 
d) 120 
 
5. (EEAr – 2013) Para elaborar uma prova de Inglês, 
um professor utilizará 6 questões de vocabulário e 4 de 
gramática. O número de maneiras que ele pode 
ordenar aleatoriamente essas questões é dado por 
____ 
a) (6 + 4)! 
b) (6 – 4)! 
c) 6! . 4! 
d) 
!4
!6
 
 
6. (EEAr – 2013) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser 
selecionados para comporem uma comissão de 
formatura. O número de formas distintas de se compor 
essa comissão é 
a) 56 
b) 48 
c) 46 
d) 38 
 
7. (EEAr – 2014) Um determinado brinquedo possui 
uma haste onde devem ser colocadas 4 peças de 
formatos diferentes. O número de maneiras diferentes 
de se montar esse brinquedo é 
a) 4 
b) 12 
c) 24 
d) 36 
 
 
8. (EEAr – 2015) A metade do número de anagramas 
da palavra PRISMA que começam por S é 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 60 
 
9. (EEAr – 2016) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 
e 6. A partir deles, podem ser criados _____ números 
pares de quatro algarismos distintos. 
a) 60 
b) 120 
c) 180 
d) 360 
 
10. (EEAr – 2017) Em um campeonato de tênis estão 
inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, 
esses militares podem formar _______ duplas 
diferentes. 
a) 34 
b) 35 
c) 44 
d) 45 
 
11. (EEAr – 2017) De um grupo de 10 (dez) pessoas, 5 
(cinco) serão escolhidas para compor uma comissão. 
Ana e Beatriz fazem parte dessas 10 (dez) pessoas. 
Assim, o total de comissões que podem ser formadas, 
que tenham a participação de Ana e Beatriz, é 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 56 
 
𝒈(𝒏, 𝒑) = 
𝒏
𝒏 − 𝒑
. 𝑪𝒏 −𝒑
𝒑 
𝑫𝒏 = 𝒏! (
𝟏
𝟎!
−
𝟏
𝟏!
+
𝟏
𝟐!
−
𝟏
𝟑!
+⋯+
(−𝟏)𝒏
𝒏!
) 
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12. (EEAr – 2018) Um professor montará uma prova 
com as 4 questões que ele dispõe. O número de 
maneiras diferentes que o professor pode montar essa 
prova, levando em conta apenas a ordem das 
questões, é 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
 
13. (EEAr – 2018) Um maestro escolherá 5 músicas 
distintas, dentre as 10 que dispõe, e montará uma 
apresentação. Para a escolha das músicas e da ordem 
que elas serão tocadas, o maestro possui um número 
de possibilidades cujo algarismo das unidades é 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 
 
14. (EEAr – 2019) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7 
posso escrever ____números pares de quatro 
algarismos distintos. 
a) 120 
b) 180 
c) 240 
d) 360 
 
15. (EEAr - 2020) Seja o arranjo simples, com x  IN, 
tal que Ax + 2,2 é igual a 30. Nessas condições, o valor 
de x é 
a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 
 
16. (EEAr - 2020) O número de anagramas da palavra 
SARGENTO, que começam por consoante e terminam 
por vogal é 
a) 1.080 
b) 1.800 
c) 10.800 
d) 18.000 
 
17. (EEAr - 2020) Dos 16 músicos de uma banda, 12 
serão escolhidos para fazerem parte de uma comissão. 
Se 2 dos músicos não podem ficar de fora dessa 
comissão, o número de comissões diferentes que 
podem ser formadas é 
a) 1001 b) 701 c) 601 d) 501 
 
18. (EEAr – 2021) Em um grupo de 20 pessoas existem 
10 engenheiros e 10 advogados. Quantas comissões 
de 5 pessoas é possível formar, se em cada uma deve 
haver 3 engenheiros e 2 advogados? 
a) 1.500 b) 2.800 c) 4.000 d) 5.400 
 
19. (EEAr – 2022) Simplificandoa expressão 
n,4
n 1,3
C
y ,
C
−
= encontra-se y igual a 
a) n b) n/2 c) n/3 d) n/4 
 
20. (EEAr – 2022) Se 8 alunos do CFS da EEAR 
“entrarão em forma” em uma única fila, de maneira que 
a única restrição seja a de que o aluno mais alto fique 
no início da fila, então o número de formas diferentes 
de se fazer essa formação é 
a) 5040 b) 2520 c) 840 d) 720 
 
21. (EEAr – 2022) Em um grupo de 20 pessoas existem 
10 engenheiros e 10 advogados. Quantas comissões 
de 5 pessoas é possível formar, se em cada uma deve 
haver 3 engenheiros e 2 advogados? 
a) 1.500 b) 2.800 c) 4.000 d) 5.400 
 
22. (EEAr – 2023) Utilizando os algarismos de 1 a 9, 
foram escritos números ímpares, de três algarismos 
distintos, de forma que nenhum deles termine com 1. A 
quantidade desses números é 
a) 224 b) 264 c) 280 d) 320 
 
23. (EsSA – 2008) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 
sem repeti-los, podemos escrever “x” números de 4 
algarismos, maiores que 3 200. O valor de “x” é: 
a) 210 
b) 228 
c) 240 
d) 300 
e) 320 
 
24. (EsSA – 2009) Uma obra necessita de vigilantes 
para o turno da noite durante exatamente 36 noites. Se 
para cada noite são necessários 2 vigilantes, quantos 
devem ser contratados de modo que o mesmo par de 
vigilantes não se repita? 
a) 16 b) 8 c) 18 d) 14 e) 9 
 
25. (EsSA – 2012) Uma corrida é disputada por 8 
atletas. O número de resultados possíveis para os 4 
primeiros lugares é 
a) 336. 
b) 512. 
c) 1530. 
d) 1680. 
e) 4096. 
 
26. (EsSA – 2012) Em um guarda-roupa há quatro 
camisas, cinco calças e três sapatos, então identifique 
a alternativa que apresenta a quantidade de formas 
diferentes que se pode utilizá-las. 
a) ∞ b) 453 c) 1 d) 12 e) 60 
 
27. (EsSA - 2012) Assinale a alternativa cuja palavra 
possui 60 anagramas. 
a) AMEIXA 
b) BRANCO 
c) BANANA 
d) PARQUE 
e) PATETA 
 
28. (EsSA – 2012) Para o time de futebol da EsSA, 
foram convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de 
campo e 4 atacantes. O número de times diferentes que 
a EsSA pode montar com esses jogadores convocados 
de forma que o time tenhav1 goleiro, 4 zagueiros, 5 
meios de campo e 1 atacante é igual a 
a) 84. 
b) 451. 
c) 981. 
d) 17.640. 
e) 18.560. 
 
 
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29. (EsSA – 2013) Com as letras da palavra 
SARGENTO foram escritos todos os anagramas 
iniciados por vogais e com as consoantes todas juntas. 
Quantos são esses anagramas? 
a) 120 960 
b) 40 320 
c) 2 160 
d) 720 
e) 120 
 
30. (EsSA – 2013) Um colégio promoveu numa semana 
esportiva um campeonato interclasses de futebol. Na 
primeira fase, entraram na disputa 8 times, cada um 
deles jogando uma vez contra cada um dos outros 
times. O número de jogos realizados na 1ª fase foi 
a) 8 jogos 
b) 13 jogos 
c) 23 jogos 
d) 28 jogos 
e) 35 jogos 
 
31. (EsSA – 2014) O número de anagramas diferentes 
com as letras da palavra MILITAR que não possuem 
consoantes consecutivas que se pode obter é: 
a) 60 b) 72 c) 120 d) 186 e) 224 
 
32. (EsSA – 2015) O número de anagramas diferentes 
que podemos formar com a palavra RANCHO, de modo 
que se iniciem com vogal, é: 
a) 120 
b) 240 
c) 720 
d) 1440 
e) 24 
 
33. (EsSA – 2016) Sendo n um número natural, n! 
equivale a n.(n – 1).(n – 2). ... .2.1 e ainda 0! = 1 e 1! = 
1, então identifique a afirmativa verdadeira. 
a) 5! = 120. 
b) 4! = 10. 
c) 3! = 7. 
d) 2! = 3. 
e) 6! = 600. 
 
34. (EsSA – 2018) Em uma barraca de cachorro 
quente, o freguês pode escolher um entre três tipos de 
pães, uma entre quatro tipos de salsichas e um entre 
cinco tipos de molhos. Identifique a quantidade de 
cachorros quentes diferentes que podem ser feitos. 
a) 60 b) 27 c) 86 d) 12 e) 35 
 
35. (EsSA – 2019) Um anagrama é uma espécie de 
jogo de palavras, resultando do rearranjo das letras de 
uma palavra ou expressão para produzir outras 
palavras ou expressões, utilizando todas as letras 
originais exatamente uma vez. Para participar de uma 
competição uma equipe decide criar uma senha, 
fazendo um anagrama do nome, original da equipe, que 
é “FOXTROT”. De quantas maneiras diferentes poderá 
ser criada essa senha? 
a) 2520 
b) 1680 
c) 5040 
d) 10080 
e) 1260 
36. (EsSA – 2021) A expressão que fornece o número 
de anagramas da palavra SARGENTO, onde as vogais 
aparecem em ordem alfabética, é: 
a)
8! 3!
5!
−
 
b) 8! 
c)
8! 5!
3!
−
 
d) 8! – 3! 
e)
8!
3!
 
 
37. (EsSA – 2022) Em uma instrução de orientação 
diurna, um aluno da Escola de Sargentos das Armas foi 
colocado na origem de um sistema cartesiano ortogonal 
𝑂𝑥 𝑒 𝑂𝑦. Considerando que ele dê exatamente 4 
passos, um de cada vez, nas direções norte (N) ou leste 
(L), quantas trajetórias ele poderá percorrer? 
a) 32 b) 12 c) 4 d) 36 e) 16 
 
38. (EsPCEx – 2010) Os alunos de uma escola 
realizam experiências no laboratório de Química 
utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento 
consiste em misturar quantidades iguais de duas 
dessas substâncias e observar o produto obtido. 
O professor recomenda, entretanto, que as substâncias 
S1, S2 e S3 não devem ser misturadas entre si, pois 
produzem como resultado o gás metano, de odor muito 
ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes 
que se pode obter, sem produzir o gás metano é 
a) 16 
b) 24 
c) 25 
d) 28 
e) 56 
 
39. (EsPCEx – 2011) Se todos os anagramas da 
palavra EsPCEx forem colocados em ordem alfabética, 
a palavra EsPCEx ocupará, nessa ordenação, a 
posição 
a) 144 b)145 c) 206 d) 214 e) 215 
 
40. (EsPCEx – 2014) Permutam-se de todas as formas 
possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os 
números assim formados em ordem crescente. A soma 
de todos os números assim formados é igual a 
a) 1000000 
b) 1111100 
c) 6000000 
d) 6666000 
e) 6666600 
 
41. (EsPCEx – 2015) A solução da equação 
( )
( )
( )
( )!2x2
!x!2x182
!3x4
!1x!3
−
−−
=
−
−
 é um número natural 
a) maior que nove. 
b) ímpar. 
c) cubo perfeito. 
d) divisível por cinco. 
e) múltiplo de três. 
 
 
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42. (EsPCEx – 2015) Da análise combinatória, pode-se 
afirmar que 
a) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, 
formados por três algarismos, é igual a 80. 
b) a quantidade de números ímpares de quatro 
algarismos distintos que podemos formar com os 
dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. 
c) o número de anagramas da palavra ESPCEX que 
têm as vogais juntas é igual a 60. 
d) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com 
dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que 
poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a 
90. 
e) a quantidade de funções injetoras definidas em 
A = {1,3,5} com valores em B = {2,4,6,8} é igual a 24. 
 
43. (EsPCEx – 2016) Determine o algarismo das 
unidades da seguinte soma =
=
2016
1n
!nS , em que n!, é o 
fatorial do número natural n. 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
44. (EsPCEx – 2016) Um grupo é formado por oito 
homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito 
pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo 
que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 
2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. 
 
 
Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas 
obedecendo essas restrições? 
a) 56 
b) 456 
c) 40 320 
d) 72 072 
e) 8 648 640 
 
45. (EsPCEx – 2017) Duas instituições financeiras 
fornecem senhas para seus clientes, construídas 
segundo os seguintes métodos: 
1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por 
elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 
2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas 
letras, dentre as vogais, na primeira e segunda 
posições da senha, seguidas por 4 algarismos dentre 
os elementos do conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
Para comparar a eficiência entre os métodos de 
construção das senhas, medindo sua maior ou menor 
vulnerabilidade, foi definida a grandeza "força da 
senha", de forma que, quanto mais senhas puderem ser 
criadas pelo método,mais "forte" será a senha. 
Com base nessas informações, pode-se dizer que, em 
relação à 2ª instituição, a senha da 1ª instituição é 
a) 10% mais fraca. 
b) 10% mais forte. 
c) De mesma força. 
d) 20% mais fraca. 
e) 20% mais forte. 
 
46. (EsPCEx – 2018) Considere o conjunto de números 
naturais {1, 2, ..., 15}. Formando grupos de três 
números distintos desse conjunto, o número de grupos 
em que a soma dos termos é ímpar é 
a) 168 b) 196 c) 224 d) 227 e) 231 
 
47. (EsPCEx – 2019) O Sargento encarregado de 
organizaras escalas de missão de certa organização 
militar deve escalar uma comitiva composta por um 
capitão, dois tenentes e dois sargentos. Estão aptos 
para serem escalados três capitães, cinco tenentes e 
sete sargentos. O número de comitivas distintas que se 
pode obter com esses militares é igual a 
a) 630 
b) 570 
c) 315 
d) 285 
e) 210 
 
48. (EsPCEx – 2020) Oito alunos, entre eles Gomes e 
Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório 
da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. 
Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas 
formas distintas é possível distribuir 8 alunos, de 
maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos? 
a) 8! 
b) 7.7! 
c) 7! 
d) 2.7! 
e) 6.7! 
 
49. (EsPCEx – 2021) Dado um cubo, o número de 
pares distintos de retas reversas que podemos traçar, 
de tal forma que cada reta contenha uma aresta desse 
cubo, é igual a 
a) 24. b) 30. c) 36. d) 42. e) 48. 
 
50. (EsPCEx – 2023) A senha de acesso à conta-
corrente de um banco deve ser composta por quatro 
algarismos distintos, escolhidos entre os algarismos 1, 
3, 4, 5, 7, 8 e 9. Nesse caso, a quantidade de senhas 
que têm como último dígito um algarismo par é 
a) 120. 
b) 240. 
c) 360. 
d) 600. 
e) 16 400. 
 
51. (AFA - 2007) Assinale a alternativa correta. 
a) Podem-se codificar quinhentos pacientes, por uma 
palavra de duas letras quando as letras são escolhas 
de um alfabeto de 25 letras. 
b) Nas calculadoras, os algarismos são frequentemente 
representados, iluminando-se algumas das sete barras 
reunidas na forma padrão 8. O número de diferentes 
símbolos que podem ser expressos pelas sete barras é 
igual a 7! 
c) O número de anagramas da palavra ASTRONAUTA 
é igual a 10! 
d) Entre 10 machos e 7 fêmeas de gatos experimentais, 
foi escolhida uma amostra de dois machos e duas 
fêmeas. O número de maneiras que isto pode ser feito 
é igual a 945. 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Prof. Wellington Nishio 
52. (AFA - 2008) Uma pessoa fará uma viagem e em 
cada uma de suas duas malas colocou um cadeado 
contendo um segredo formado por cinco dígitos. Cada 
dígito é escolhido dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8 e 9. Na primeira mala, o segredo do cadeado 
começa e termina com dígito par e os demais são 
dígitos consecutivos em ordem crescente. Na segunda 
mala, o segredo do cadeado termina em dígito ímpar e 
apenas o 1º e o 2º dígitos são iguais entre si. 
Dessa maneira, se ela esquecer 
a) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer 
no máximo (52 x 83) tentativas para abri-lo. 
b) o segredo do cadeado da segunda mala, o número 
máximo de tentativas para abri-lo será de 1.890 
c) apenas os três dígitos consecutivos em ordem 
crescente do cadeado da primeira mala, ela conseguirá 
abri-lo com, no máximo, 8 tentativas. 
d) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da 
segunda mala, deverá tentar no máximo 10 vezes para 
abri-lo. 
 
53. (AFA - 2008) Uma pessoa deve escolher (não 
importando a ordem) sete, dentre dez cartões 
numerados de 1 a 10, cada um deles contendo uma 
pergunta diferente. Se nessa escolha houver, pelo 
menos três, dos cinco primeiros cartões, ela terá n 
formas de escolha. Sendo assim, pode-se afirmar que 
n é um número 
a) quadrado perfeito. 
b) múltiplo de 11 
c) ímpar. 
d) primo. 
 
54. (AFA - 2009) As senhas de acesso a um 
determinado arquivo de um microcomputador de uma 
empresa deverão ser formadas apenas por 6 dígitos 
pares, não nulos. 
Sr. José, um dos funcionários dessa empresa, que 
utiliza esse microcomputador, deverá criar sua única 
senha. 
Assim, é INCORRETO afirmar que o Sr. José 
a) poderá escolher sua senha dentre as 212 
possibilidades de formá-las. 
b) terá 4 opções de escolha, se sua senha possuir todos 
os dígitos iguais. 
c) poderá escolher dentre 120 possibilidades, se decidir 
optar por uma senha com somente 4 dígitos iguais. 
d) terá 480 opções de escolha, se preferir uma senha 
com apenas 3 dígitos iguais. 
 
55. (AFA - 2010) Numa sala de aula, estão presentes 5 
alunos e 6 alunas. Para uma determinada atividade, o 
professor deverá escolher um grupo formado por 3 
dessas alunas e 3 dos alunos. Em seguida, os 
escolhidos serão dispostos em círculo de tal forma que 
alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado. Isso 
poderá ocorrer de n maneiras distintas. 
O número n é igual a: 
a) 24000 
b) 2400 
c) 400 
d) 200 
 
 
 
56. (AFA - 2011) Um colecionador deixou sua casa 
provido de R$ 5,00, disposto a gastar tudo na loja de 
miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três 
opções que havia na loja, conforme a seguir. 
• 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$ 4,00 
cada miniatura; 
• 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$ 1,00 
cada miniatura; 
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$ 3,00 
cada miniatura. 
O número de diferentes maneiras desse colecionador 
efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu 
dinheiro, é 
a) 15 b) 21 c) 42 d) 90 
 
57. (AFA - 2012) Para evitar que João acesse sites não 
recomendados na internet, sua mãe quer colocar uma 
senha no computador formada apenas por m letras A e 
também m letras B (sendo m par). Tal senha, quando 
lida da esquerda para a direita ou da direita para 
esquerda, não deverá se alterar (Ex.: ABBA) 
Com essas características, o número máximo de 
senhas distintas que ela poderá criar para depois 
escolher uma é igual a 
a) 
!
2
m
!
2
m
!m












 
b) 
2
!
2
m
!
2
m
!m
























 
c) 
!
2
m3
!
2
m
)!m2(












 
d) 
!m!m
)!m2(
 
 
58. (AFA - 2013) Num acampamento militar, serão 
instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 
10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de 
tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 
soldados na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado 
A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar 
na barraca III, o número de maneiras distintas de 
distribuí-los é 
a) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240 
 
59. (AFA - 2014) Sr. José deseja guardar 4 bolas - uma 
azul, uma branca, uma vermelha e uma preta - em 4 
caixas numeradas: 
 
O número de maneiras de Sr. José guardar todas as 4 
bolas de forma que uma mesma caixa NÃO contenha 
mais do que duas bolas, é igual a 
a) 24 b) 36 c) 144 d) 204 
 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
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60. (AFA - 2015) Um turista queria conhecer três 
estádios da Copa do Mundo no Brasil não importando 
a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às 
seguintes situações: 
I. Obrigatoriamente, conhecer o estádio do Maracanã. 
II. Se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria 
que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não 
conheceria nenhum dos dois. 
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 
estádios brasileiros, a razão entre o número de modos 
distintos de escolher a situação I e o número de 
maneiras diferentes de escolha para a situação II, 
nessa ordem, é 
a) 
26
11
 
b) 
25
13
 
c) 
24
13
 
d) 
24
11
 
 
61. (AFA - 2016) Uma caixa contém 10 bolas das 
quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes 
numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores 
todas distintas e sem numeração. A quantidade de 
formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de 
modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é 
a) 8.7! 
b) 7! 
c) 5.4! 
d) 10! 
 
62. (AFA – 2017) Um baralho é composto por 52 cartas 
divididas em 4 naipesdistintos (copas, paus, ouros e 
espadas). Cada naipe é constituído por 13 cartas, das 
quais 9 são numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 1 
valete (J), 1 dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A). Ao serem 
retiradas desse baralho duas cartas, uma a uma e sem 
reposição, a quantidade de sequências que se pode 
obter em que a primeira carta seja de ouros e a 
segunda não seja um ás é igual a 
a) 612 
b) 613 
c) 614 
d) 615 
 
63. (AFA – 2018) Dez vagas de um estacionamento 
serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 
vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira 
de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela 
cor dos carros, o total de possibilidade de os seis carros 
ocuparem as 10 vagas é igual a 
a) 12600 
b) 16200 
c) 21600 
d) 26100 
 
64. (AFA – 2019) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR 
foram premiados na Olimpíada Brasileira de 
Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). 
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 
alunos do 3° esquadrão, 9 do 2° esquadrão e 2 do 1° 
esquadrão. 
Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 
alunos do 3° esquadrão, 4 do 2° esquadrão e 2 do 1° 
esquadrão. 
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma 
fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma 
rede social. 
Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que 
receberam menção honrosa ficaram agachados, 
sempre numa única ordem, sem alteração de posição 
entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram 
os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila: 
• as duas extremidades foram ocupadas somente por 
alunos do 2° esquadrão que receberam medalha; 
• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, 
ficaram um ao lado do outro; e 
• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, 
ficaram, também, um ao lado do outro. 
Marque a alternativa que contém o número de 
fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido 
feitas. 
a) (72).9! 
b) (144).9! 
c) (288).9! 
d) (864).9! 
 
65. (AFA – 2020) Um pisca-pisca usado em árvores de 
natal é formado por um fio com lâmpadas acopladas, 
que acendem e apagam sequencialmente. 
Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por 
vários blocos, com lâmpadas em formato de flores, com 
o seguinte padrão: 
• Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma com 5 
lâmpadas circulares, de cores distintas (A, B, C, D, E), 
como na figura: 
 
• Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acendem 
e apagam juntas, por vez, ficando as outras duas 
apagadas. 
• Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam juntas. 
• Em duas flores consecutivas, nunca acendem e 
apagam as mesmas 3 cores da anterior. 
Assim, considere que uma composição possível para 
um bloco acender e apagar corresponde à figura 
abaixo: 
 
O número de maneiras, distintas entre si, de contar as 
possibilidades de composição para um bloco desse 
pisca-pisca é 
a) 105 
b) 94.10 
c) 95 
d) 95.10 
 
 
 
 
 
 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
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66. (AFA – 2021) Sequências têm relevância para 
estudos em matemática, mas também habitam o 
imaginário das pessoas na observação de possíveis 
coincidências. 
Um exemplo foi a data de 02 de fevereiro deste ano de 
2020. Esse foi o 33° dia do ano e estava a 333 dias do 
fim de 2020. Além disso, 02/02/2020 é uma capicuia, 
ou seja, uma sequência de números que tanto pode ser 
lida da direita para a esquerda como da esquerda para 
a direita sem alteração do significado. 
Considere todas as combinações numéricas capicuias 
no formato DD/MM/AAAA, em que DD é dia com dois 
algarismos, MM é mês com dois algarismos e AAAA é 
ano com quatro algarismos. 
A diferença entre o número de capicuias possíveis de 
01 de janeiro de 2000 a 31 de dezembro de 2999 e de 
01 de janeiro de 3000 a 31 de dezembro de 3999, nessa 
ordem, é um número no intervalo 
a) [22,27[ 
b) [27,32[ 
c) [32,37[ 
d) [37,42[ 
 
67. (AFA – 2022) Considerando todos os anagramas 
distintos que se pode formar com todas as letras da 
palavra MATEMÁTICA e desprezando o acento agudo, 
a quantidade desses anagramas em que as vogais 
apareçam todas juntas é igual a 
a) 6! 
b) 5.6! 
c)
6!
4
 
d)
10!
24
 
 
68. (AFA – 2023) Um painel de luzes foi instalado no 
jardim de um condomínio e chamou a atenção de um 
jovem morador que, curioso, pegou o controle remoto 
para verificar as possibilidades de organização da 
iluminação. 
No controle, é possível escolher entre: cores primárias, 
intensidade e feixe de luz, como indica a figura abaixo. 
 
Cores primárias: Acionando um único botão entre 
amarelo, vermelho ou azul. 
Intensidade: Acionando um único botão entre fraca, 
moderada ou intensa. 
Feixe de luz: Acionando um único botão entre contínuo 
ou intermitente. 
Há, também, a possibilidade de acionar apenas um 
botão, não acionando os demais botões: 
• com a letra B para não emissão de luz; ou 
• com a letra W para que seja emitida uma luz 
prateada. 
O jovem morador fez um teste com os botões e 
percebeu que poderiam ser acionados, também, dois 
dos botões de cores primárias para se obter cores 
secundárias, ampliando-se as possibilidades de 
organização da iluminação. 
O número total dessas possibilidades de iluminação é 
igual a 
a) 36 
b) 38 
c) 72 
d) 110 
 
69. (EFOMM - 2013) O código Morse, desenvolvido por 
Samuel Morse, em 1835, é um sistema de 
representação que utiliza letras e sinais de pontuação 
através de um sinal codificado intermitentemente por 
pulsos elétricos, perturbações sonoras, sinais visuais 
ou sinais de rádio. Sabendo-se que o código Morse 
trabalha com duas letras pré-estabelecidas, ponto e 
traço, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, o número 
de palavras criadas é: 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
70. (EFOMM - 2015) Uma turma de alunos do 1 ano da 
EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 
8h40 às 10h20 e de 10h30 às 12h . As matérias são 
Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com 
duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos 
modos pode ser feito o horário dessa turma? 
a) 9 
b) 18 
c) 36 
d) 48 
e) 54 
 
71. (EFOMM – 2017) Quantos anagramas é possível 
formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas 
vogais consecutivas e nem duas consoantes 
consecutivas? 
a) 24 
b) 120 
c) 480 
d) 1920 
e) 3840 
 
72. (EFOMM – 2018) Um decorador contemporâneo vai 
usar quatro “objetos” perfilados lado a lado como 
decoração de um ambiente. Ele dispõe de 4 copos 
transparentes azuis, 4 copos transparentes vermelhos, 
duas bolas amarelas e 3 bolas verdes. Cada “objeto” da 
decoração pode ser um copo vazio ou com uma bola 
dentro. Considerando que a cor altera a opção do 
“objeto”, quantas maneiras distintas há de perfilar esses 
quatro “objetos”, levando-se em conta que a posição 
em que ele se encontra altera a decoração? 
a) 1296 
b) 1248 
c) 1152 
d) 1136 
e) 1008 
 
 
 
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73. (EFOMM – 2018) Em uma festa, sabe-se que cada 
pessoa tem três amigos, mas que não há três pessoas 
que sejam amigas duas a duas. Qual é, então, a menor 
quantidade possível de pessoas na festa? 
a) 9. 
b) 8. 
c) 7. 
d) 6. 
e) 4. 
 
74. (EFOMM – 2019) De quantas maneiras diferentes 
podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo 
menos duas mulheres, de um grupo composto de sete 
homens e quatro mulheres? 
a) 210 
b) 250 
c) 371 
d) 462 
e) 756 
 
75. (EFOMM – 2019) Considere uma loja que vende 
cinco tipos de refrigerantes. De quantas formas 
diferentes podemos comprar três refrigerantes desta 
loja? 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 35 
e) 60 
 
76. (EFOMM – 2020) Quantos são os anagramas da 
palavra MERCANTE que possuem a letra M na 1ª 
posição (no caso, a posição de origem), ou a letra E na 
2ª posição, ou a letra R na 3ª posição? 
a) 60 
b) 120 
c) 8400 
d) 12600 
e) 15120 
 
77. (EFOMM – 2021) Um comerciante tem uma 
papelaria e vai distribuir 10 canetas iguais como brinde 
entre 4 crianças em sua loja. Considerando que cada 
criança vai receber pelo menos uma caneta, o número 
total de possibilidades desse eventoé 
a) 84 
b) 150 
c) 210 
d) 512 
e) 5040 
 
78. (EFOMM – 2022) Uma senha numérica é formada 
por 5 algarismos. Sabe-se que o primeiro algarismo é 
ímpar, os dois últimos são iguais e os demais são 
distintos. Os quatro primeiros algarismos estão em 
ordem crescente (da esquerda para a direita), como 
exemplos abaixo. 
12344 e 35799 
A quantidade de senhas possíveis com essas 
características é: 
a) 22680 
b) 11340 
c) 3780 
d) 160 
e) 80 
79. (EFOMM – 2023) Guimarães é um professor muito 
dedicado e, sempre que não está em home office, sua 
rotina se baseia em levar os filhos na escola, comprar 
um maravilhoso quindim e, por fim, ir ao trabalho. 
Considere que o mapa do trajeto entre a residência e o 
trabalho foi mapeado por um plano cartesiano de tal 
modo que sua casa encontra-se no ponto C = (8, 9), a 
escola dos filhos no ponto E = (4, 3), a padaria no ponto 
de coordenadas P = (3, -4) e seu trabalho em 
T = (-8, -9). 
Admita os caminhos ligando C a T, passando 
obrigatoriamente por E e P, respectivamente, traçados 
a partir de C, deslocando-se sempre ou 1 unidade para 
a oeste, na horizontal, ou 1 unidade para sul, na 
vertical. Dessa forma, pode-se afirmar que 
a) o número total de caminhos distintos de C a P é 
menor que o número total de caminhos distintos do P a 
T. 
b) o número total de caminhos distintos de C a E é 
maior que o número total de caminhos distintos do E a 
T. 
c) o número total de caminhos distintos de C a P é maior 
que o número total de caminhos distintos do E a T. 
d) o número total de caminhos distintos de C a E é 
3640. 
e) o número total de caminhos distintos de C a P 3642. 
 
80. (EN - 2010) No sistema decimal, a quantidade de 
números ímpares positivos menores que 1000, com 
todos os algarismos distintos é 
a) 360 b) 365 c) 405 d) 454 e) 500 
 
81. (EN - 2012) Três números inteiros estão em P.G. A 
soma destes números vale 13 e a soma de seus 
quadrados vale 91. Chamando de n o termo do meio 
desta P.G, quantas comissões de n elementos, a 
Escola Naval pode formar com 28 professores do 
Centro Científico? 
a) 2276 
b) 3176 
c) 3276 
d) 19656 
e) 19556 
 
82. (EN - 2015) A Escola Naval irá distribuir 4 viagens 
para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de Natal e 
2 para a cidade de Salvador. De quantos modos 
diferentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, 
dando somente uma viagem para cada um? 
a) 288 
b) 1260 
c) 60800 
d) 80760 
e) 120960 
 
83. (EN – 2018) Calcule o número de soluções inteiras 
não negativas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20, nas 
quais pelo menos 3 incógnitas são nulas, e assinale a 
opção correta. 
a) 3332 
b) 3420 
c) 3543 
d) 3678 
e) 3711 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Prof. Wellington Nishio 
84. (EN – 2020) Quantos são os anagramas de 
MARINHA, em que somente uma vogal apareça em 
sua posição de origem? 
a) 1512 
b) 1152 
c) 1008 
d) 720 
e) 480 
 
85. (EN – 2021) Sandro é o dono de uma empresa de 
segurança que tem como empregados Alberto, Thiago, 
Robson e Rodrigo. Sandro deve realizar pagamentos 
aos seus empregados totalizando um valor de vinte mil 
reais. Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo recebem 
pagamentos com valor mínimo de dois mil, dois mil, três 
mil e quatro mil reais, respectivamente. Considerando 
que cada pagamento realizado aos empregados é 
múltiplo de um mil reais, assinale a opção que 
apresenta a quantidade de maneiras distintas que a 
distribuição do pagamento de vinte mil reais aos 
funcionários pode ser realizada. 
a) 110 
b) 120 
c) 220 
d) 330 
e) 560 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 1, 4, 5, 6, 13, 17, 20, 22, 33, 34, 45, 47, 49, 57, 60, 
61, 62, 63, 74, 77, 79 
B) 3, 14, 23, 31, 32, 39, 43, 50, 53, 55, 56, 58, 65, 66, 
67, 68, 80, 82, 84 
C) 7, 9, 12, 15, 16, 27, 29, 38, 41, 44, 46, 52, 54, 71, 76, 
81, 85 
D) 2, 8, 10, 11, 18, 19, 21, 25, 28, 30, 51, 59, 64, 70, 72, 
73, 75 
E) 24, 26, 35, 36, 37, 40, 42, 48, 69, 78, 83