WOLSKIb-Fundamentos-Eletromagnetismo-2005

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Fundamentos de 
ELETROMAGNETISMO 
Desenhos: 
Belmiro Wolski e Mansa Helena Barão 
AS112~ 
LOITOIZA AMIMA 
Copyright 	2005 by Belmiro Wolski, Rio de Janeiro, RJ/ Brasil 
Todos os direitos reservados e protegidos por Ao Livro Técnico Indústria e Comércio 
Ltda., pela Lei 9.610 de 19/02/1998. Proibida a reprodução parcial ou integral por 
quaisquer meios mecânicos, xerográficos, fotográficos etc., sem a permissão por escrito 
da editora. 
ISBN 85-215-0992-8 
As opiniões contidas nesta obra são de responsabilidade exclusiva do autor. 
CIP — Brasil. Catalogação-na-fonte 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. 
Wolski, Belmiro 
W847f 	Fundamentos de eletromagnetismo / Belmiro Wolski. 
1, ed. — Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 2005: il.; 
Contém exercícios resolvidos; inclui bibliografia 
1. Eletromagnetismo; I. Título. 
CD D — 537 
05-0015. 	 CDU — 537 
inkli EDITORA 
L-1J AO LIVRO TÉCNICO 
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Fundamentos de 
Belmiro Wolski 
ine EDITORA 
W AO LIVRO TÉCNICO 
Dedico esta obra aos meus 
queridos filhos Paulo Fernando e 
Manca e a minha amada esposa 
Criceli, a quem declaro meu 
eterno amor. Peço perdão pelas 
incontáveis horas que os privei da 
minha companhia para me 
dedicara esta obra. Aos meus 
filhos agradeço pelo carinho e 
afeto. A minha esposa, pelo amor, 
companheirismo e apoio que 
sempre me foram dados em todos 
os momentos. 
PREFÁCIO 
Este livro foi escrito visando atender às necessidades 
dos estudantes de ensino médio e de cursos 
profissionalizantes na área de eletricidade. O objetivo 
principal da obra é o de fornecer ao estudante um 
caminho fácil para o entendimento dos fenômenos de 
eletromagnetismo, através de um vocabulário acessível 
e de explicações detalhadas, usando matemática de 
nível médio. A estrutura da obra permite ao aluno galgar 
rapidamente o conhecimento através da leitura da 
teoria e do estudo dos exercícios resolvidos, permitindo 
atingir níveis de entendimento necessários para 
compreender o funcionamento de uma série de 
máquinas, equipamentos e dispositivos que usam o 
eletromagnetismo. A maioria dos capítulos vem 
acompanhada de sugestões para atividades de 
laboratório, que através de práticas simples e sem uso 
de equipamentos sofisticados contribuem para a 
sedimentação dos conhecimentos teóricos adquiridos. 
O Autor 
SUMÁRIO 
Unidade 1 - Magnetismo 	 11 
1 — MAGNETISMO 
1.1 — Introdução 	13 
1.2 - A história do magnetismo 	13 
2 — O %1VIA" 
2.1 - A magnetita 	14 
2.2 — Pólos de um ímã 	14 
2.3 — Constituição interna de um ímã 	15 
2.4 — Princípio da inseparabilidade dos pólos 	17 
2.5 — Ímãs temporários e permanentes 	18 
2.6 — Desmagnetização por aquecimento 	19 
2.7 — Campo magnético de um ímã 	19 
2.8 — Vetor campo magnético 	22 
2.9 — Campo magnético uniforme 	22 
2.10 — Relação entre intensidade de campo e concentração de linhas de força 	23 
2.11 — O campo magnético da Terra 	23 
2.12 — A bússola 	25 
2.13 — Exercícios propostos 	26 
2.14 — Sugestões para laboratório 	26 
Unidade II - Eletromagnetismo 	29 
1 — CAMPO MAGNÉTICO DEVIDO À CORRENTE ELÉTRICA 
1.1 — A experiência de Oersted 	31 
1.2 — Regra de Ampère 	31 
1.3 — Intensidade de campo em torno de um condutor 	34 
1.4 — Intensidade de campo no centro de uma espira 	35 
1.5 — Intensidade de campo no interior de um solenóide 	36 
1.6 — Exercícios resolvidos 	39 
1.7 — Exercícios propostos 	40 
1.8 — Sugestões para laboratório 	44 
2 — A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 
2.1 — Teoria dos domínios 	47 
2.2 — Indução magnética 	50 
2.3 - Fluxo magnético 	54 
2.4 - Permeabilidade magnética de um material 	55 
2.5 - Permeabilidade do vácuo 	56 
2.6 - Permeabilidade relativa 	57 
2.7 - Exercícios resolvidos 	57 
2.8 - Exercícios propostos 	59 
3 - CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS QUANTO À PERMEABILIDADE 
3.1 - Classificação geral 	61 
3.2 - Materiais diamagnéticos 	62 
3.3 - Materiais paramagnéticos 	65 
3.4 - Materiais ferromagnéticos 	66 
3.5 - Exercícios propostos 	68 
4 - FENÔMENOS DE FERROMAGNETISMO 
4.1 - Curva de magnetização 	69 
4.2 - Variação da permeabilidade relativa de materiais ferromagnéticos 	71 
4.3 - Histerese magnética 	73 
4.4 - Perdas por histerese 	78 
4.5 - Ciclo de histerese na determinação das características de um ímã 	81 
4.6 - Blindagem magnética . 	82 
4.7 - O mecanismo de ferro móvel 	83 
4.8 - Exercícios propostos 	85 
4.9 - Sugestões para laboratório 	87 
5 - CÁLCULO DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5.1 - Circuito magnético 	89 
5.2 - Força magnetomotriz 	90 
5.3 - Relutância magnética 	92 
5.4 - A Lei de Ohm para circuitos magnéticos 	93 
5.5 - Núcleos laminados 	94 
5.6 - Resolução de circuitos magnéticos através da permeabilidade relativa 	95 
5.7 - Resolução de circuitos magnéticos utilizando curvas de magnetização 	97 
5.8 - Circuito magnético com entreferro 	 101 
5.9 - Cálculo de um circuito magnético com entreferro 	 103 
5.10 - Força portante de um eletroímã 	 105 
5.11 - Exercícios propostos 	 108 
Unidade III - Indução Eletromagnética 	 113 
1 - LEI DE FARADAY 
1.1 - A experiência de Faraday 	 115 
1.2 - A equação da Lei de Faraday 	 118 
1.3 - Força eletromotriz de movimento 	 118 
1.4 - O gerador elementar 	 121 
1.5 - Exercícios resolvidos 	 124 
1.6 - Exercícios propostos 	 125 
1.7 - Sugestões para laboratório 	 127 
2 - POLARIDADE DAS TENSÕES INDUZIDAS 
	
2.1 - A Lei de Lenz 129 
2.2 - Fluxo variável no tempo 	 130 
2.3 - Condutor em movimento dentro de um campo magnético 	 132 
2.4 - Método do percurso fechado imaginário 	 135 
2.5 - Regra de Fleming para determinação do sentido da corrente induzida 	 136 
2.6 - Força devida ao fluxo de reação 	 137 
2.7 - A Lei de Lenz e a corrente alternada senoidal 	 141 
2.8 - Por que a corrente se atrasa em uma bobina? 	 143 
2.9 - Por que surge uma faísca ao se desligar um circuito que contenha bobinas?. 	147 
2.10 - O motor de indução trifásico 	 147 
2.11 - O motor de indução monofásico 	 151 
2.12 - Exercícios resolvidos 	 152 
2.13 - Exercícios propostos 	 154 
2.14 - Sugestões para laboratório 	 156 
3 - CORRENTES DE FOUCAULT 
3.1 - Como ocorrem as correntes de Foucault 	 161 
3.2 - Perdas por correntes parasitas 	 163 
3.3 - Diminuindo o efeito das correntes de Foucault 	 163 
3.4 - Freios magnéticos 	 164 
3.5 - Simulador de carga para motores 	 167 
3.6 - Exercícios propostos 	 167 
3.7 - Sugestões para laboratório 	 168 
4 - FORCAS MAGNÉTICAS 
4.1 - Campo magnético de uma carga em movimento 	 170 
4.2 - Força em uma carga em movimento dentro de um campo magnético 	 171 
4.3 - Regra de Fleming para forças 	 171 
4.4 - O efeito Hall 	 174 
4.5 - Força em um condutor conduzindo corrente no interior de um campo magnético. 	176 
4.6 - Torque em uma espira 	 178 
4.7 - O mecanismo de bobina móvel 	 179 
4.8 - O motor de corrente contínua 	 181 
4.9 - Força entre condutores conduzindo correntes 	 182 
4.10 - Extinção de arco voltaico através de sopro magnético 	 185 
4.11 - Exercícios resolvidos 	 186 
4.12 - Exercícios propostos 	 188 
4.13 - Sugestões para laboratório 	 189 
5 - ACOPLAMENTO MAGNÉTICO 
5.1 - Fluxo mútuo e fluxo de fuga 	 192 
5.2 — Coeficiente de acoplamento 	 194 
5.3 — Questões relativas à geometria do núcleo 	 194 
5.4 — O transformador 	 197 
5.5 — Funcionamento do transformador com carga 	 199 
5.6 — Exercícios resolvidos 	 200 
5.7 — Exercícios propostos 	 201 
5.8 — Sugestões para laboratório 	 201 
6 — INDUTÂNCIA 
6.1 — Definição de indutância 	 203 
6.2 — Indutância de bobinas com núcleo ferromagnético 	 205 
6.3 — Fatores que influenciam na indutância de uma bobina 	 206 
6.4 — Indutância de um toróide 	 207 
6.5 — Indutância de um solenóide reto 	 208 
6.6 —Força eletromotriz de auto-indução 	 209 
6.7 — A reatância indutiva 	 209 
6.8 — Mútua-indutância 	 212 
6.9 — Relação entre indutância e mútua-indutância 	 213 
6.10 — Força eletromotriz de mútua-indução 	 213 
6.11 — Exercícios resolvidos 	 214 
6.12 — Exercícios propostos 	 215 
6.13 — Sugestões para laboratório 	 216 
Unidade IV — Tópicos Avançados 	 219 
1 — A ONDA ELETROMAGNÉTICA 
1.1 — O campo elétrico 	
 
221 
1.2 — O campo elétrico não eletrostático 	
 
224 
1.3 — O campo elétrico gera um campo magnético 	
 
226 
1.4 — Gerando uma onda eletromagnética 	
 
226 
2 — FENÔMENOS DO ELETROMAGNETISMO 
2.1 — O efeito pelicular 	
 
228 
2.2 — A descarga atmosférica 	
 
231 
2.3 — A levitação de um supercondutor em um campo magnético 	
 
232 
2.4 — A proteção do campo magnético da Terra 	
 
234 
Respostas dos exercícios 	 236 
Referências 	 239 
Unidade 1 
Magnetismo 
MAGNETISMO 
1.1 — Introdução 
No mundo de hoje, nos beneficiamos de um incontável número de maravilhas 
tecnológicas. Falamos ao telefone enquanto assistimos televisão, usamos o computador 
que cada vez mais nos é imprescindível, temos à nossa disposição diversos meios de 
transporte, temos a energia elétrica em nossos lares onde um sem número de 
eletrodomésticos torna nossa vida mais confortável. Entretanto, toda essa tecnologia 
não teria se desenvolvido se no curso da história o magnetismo não tivesse sido 
descoberto. Na verdade, a humanidade hoje não poderia mais sobreviver sem os 
recursos tecnológicos gerados pelo magnetismo e eletromagnetismo. Uma civilização 
extraterrestre avançada poderia facilmente nos dominar, neutralizando o 
eletromagnetismo em nosso planeta. 
1.2 — A história do magnetismo 
A descoberta dos fenômenos magnéticos, bem como suas primeiras aplicações 
não contém registro histórico preciso. Presume-se que a primeira observação dos efeitos 
magnéticos tenha ocorrido alguns séculos antes de Cristo, numa região da Ásia que 
poderia ser a Grécia ou Turquia. 
A origem do nome "magnetismo", provavelmente deriva do nome da região 
onde teriam sido encontradas as primeiras pedras capazes de exercer uma atração 
por alguns metais, principalmente o ferro. Essa região seria a Magnésia, daí o nome 
magnetismo. Entretanto, alguns defendem que a origem do nome tenha sido atribuída 
a Magnes, um pastor de ovelhas que teria então, observado pela primeira vez a atração 
que uma rocha exercia sobre a ponta metálica de seu cajado. Essa rocha recebeu o 
nome de magnetita. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	13 
2 
o IMÃ 
2.1 — A magnetita 
Atualmente sabemos que a magnetita é composta de tetróxido de triferro( F304 ). 
Na China Antiga, era chamada de "pedra amante", que em francês aimant, originou a 
palavra ímã. Assim a magnetita pode ser chamada de ímã natural. 
Estudando a magnetita o homem aprendeu a construir ímãs artificiais, muito 
mais potentes, com formas e tamanhos variados, destinados às mais diferentes 
aplicações, como motores elétricos, geradores elétricos, alto-falantes, sensores 
magnéticos, hard drive (hd), etc. 
	
2.2 — Pólos de um ímã 
Manuseando um ímã, podemos perceber que o seu poder de atração se 
manifesta mais fortemente em duas regiões denominadas pólos. Esses pólos são 
denominados de Norte e Sul. A atribuição desses nomes se deve à característica de 
um ímã em forma de barra de se orientar aproximadamente na direção norte-sul 
geográfica, quando suspenso pelo seu centro de gravidade. 
 
( 	
 
 
Portanto: 
Pólos são as regiões do ímã onde suas ações se manifestam de forma mais acentuada. 
Podemos testar essas ações segurando um clipe e aproximando-o de diferentes 
partes de um imã. Comprovaremos que a maior força de atração, com certeza, será 
próximo aos pólos do imã. 
14 	Editora Ao Livro Técnico 
A linha que separa os dois pólos de um imã é chamada de linha neutra. 
( 	S 
linha neutra 
Para identificar os pólos de um ímã, normalmente se pinta o pólo norte de 
vermelho e o pólo sul de azul. 
2.3 — Constituição interna de um ímã 
Podemos verificar experimentalmente que um ímã é capaz de exercer forte 
atração pelo ferro, níquel e cobalto, bem como suas ligas. No entanto, não percebemos 
qualquer influência sobre metais como o cobre, alumínio, estanho e demais metais. 
Também podemos verificar a atração e repulsão entre seus pólos. Pólos de 
nomes iguais se repelem, e de nomes diferentes se atraem. É a Lei de Du Fay para 
pólos magnéticos. 
N 
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N r- 
N 
N 
Mas que mistérios um ímã guarda em seu interior? Como é possível que alguns 
metais são atraídos e outros não? E como explicar as incríveis forças de atração e repulsão? 
Para começarmos a entender melhor esses comportamentos, vamos imaginar o 
ímã internamente como constituído de uma infinidade de pequenos ímãs alinhados 
num mesmo sentido que serão chamados por enquanto de ímãs elementares, 
representados abaixo por setas cujas pontas indicam seus pólos norte. 
N 
Ímãs elementares orientados num mesmo 
sentido constituem um ímã. 
Desta maneira, os efeitos individuais de cada ímã elementar se somam e a 
barra como um todo, assume comportamento de ímã. 
Utilizando-se dos ímãs elementares, como seria então internamente uma barra 
de ferro comum? 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	15 
Como mostrado abaixo, seus ímãs elementares encontram-se desordenados e 
a barra de ferro como um todo não apresenta comportamento de ímã. 
Se orientarmos de alguma maneira esses ímãs elementares, teremos então 
transformado a barra de ferro em um ímã. Esse processo chama-se magnetização ou 
imantarão. Portanto: 
Magnetização é o processo pelo qual orientamos os ímãs elementares de uma barra, 
transformando-a em um ímã. 
Mas como poderíamos fazer isso? 
Existem basicamente duas maneiras. Uma é através do uso da corrente elétrica 
contínua, que estudaremos mais adiante. Outra maneira, bastante simples, consiste 
em esfregar ou simplesmente aproximar a barra a ser magnetizada de um ímã 
permanente. 
S 	 N 
	
N S 
	
N 
o ímã é aproximado da barra desmagnetizada 	 a barra se transforma em ímã e é atraída 
Isso faz com que os ímãs elementares da barra se alinhem por influência do ímã 
que está próximo. Note que o pólo norte da barra, agora magnetizada, está em frente 
ao sul do ímã. É por essa razão que a barra é atraída, pois ao aproximar a barra do 
ímã, este a magnetiza transformando-a em um ímã com pólos opostos e em seguida 
a atrai. Isto nos leva a uma conclusão muito importante. O ímã na realidade não atrai 
a barra de ferro. Ele primeiro a magnetiza, para em seguida atrair o ímã que acabou 
de ser criado. 
Outra conclusão que podemos extrair é que metais como o cobre, alumínio e 
outros que um ímã não atrai, são materiais que não apresentam ímãs elementares e 
que, portanto, não podem ser magnetizados. Logo: 
Metais que não possuem imãs elementares em sua estrutura atômica não podem ser 
atraídos por um ímã. 
16 	Editora Ao Livro Técnico 
— FF — 
2.4 - Princípio da inseparabilidade dos pólos 
Se pegarmos um ímã em forma de barra e o quebrarmos ao meio, na esperança 
de separar os seus pólos norte e sul, veremos nossa tentativa fracassar. Manipulando 
as partes quebradas, veremos que ambas se transformam em dois novos ímãs, 
naturalmente com dois pólos cada. 
s 
N 
 
N 
 
 
Se quebrarmos novamente ao meio uma dessas partes, ainda assim não 
conseguiremos separar seus pólos. Nossa tentativa pode prosseguir, quebrando 
sucessivamente o ímã em partes cada vez menores, podendo chegar até o átomo 
isolado. Ainda assim ele será um ímã com dois pólos, um norte e um sul. Mesmo 
"quebrando" o átomo, as partes que sobrarem, ou seja, seus prótons e elétrons, 
continuarão a exibir comportamento de um ímã normal, com dois pólos cada um. 
O princípio da inseparabilidade dos pólos pode ser facilmente entendido, 
utilizando-se do conceito de ímãs elementares. 
N 
N 
Observe que ao partirmosum ímã ao meio, ou mesmo em partes desiguais, 
estamos apenas separando uma porção de ímãs elementares, que continuam 
orientados e, portanto, continuam constituindo um ímã. 
Obviamente a "força do ímã" ou o seu poder de atração e repulsão não 
permanece o mesmo quando o quebramos. 
Observando os desenhos anteriores, que- mostram as partes quebradas de um 
ímã, podemos concluir que há atração entre as partes quebradas, ou seja, o ímã tem 
tendência de unir novamente suas partes. 
No entanto, existem alguns casos em que quebramos um ímã e as partes 
quebradas se repelem. Por quê? 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	17 
Tomemos, como exemplo, um ímã de alto-falante mostrado no desenho abaixo. 
Os pólos desse ímã encontram-se nas faces planas do mesmo. 
Neste caso, as partes resultantes de uma quebra serão pólos de mesmo nome 
frente a frente, e que por essa razão sofrerão repulsão magnética. 
2.5 — Ímãs temporários e permanentes 
Um ímã é dito permanente quando seus efeitos persistem por tempo 
indeterminado. Os temporários mantém suas propriedades magnéticas por breves 
períodos de tempo. 
Ambos possuem aplicações práticas. Por exemplo, os ímãs permanentes são 
utilizados nos alto-falantes, pequenos motores elétricos, alguns tipos de medidores 
elétricos, bússola, microrruptores (reed-switch) etc. Uma aplicação típica dos ímãs 
temporários são os guindastes magnéticos. 
N 
A barra de ferro segura o clipe. 
N 
A barra afastada do ímã permanente solta 
o clipe, portanto a barra de ferro é um 
ímã temporário. 
18 	Editora Ao Livro Técnico 
Os ímãs temporários podem ser constituídos de ferro doce e aço não temperado. 
Os ímãs permanentes, por sua vez, normalmente são constituídos de aço 
contendo níquel e cobalto ou ligas de samário-cobalto. 
2.6 — Desmagnetização por aquecimento 
Um ímã temporário, como vimos, se desmagnetiza rapidamente. Se quisermos 
desmagnetizar um ímã permanente, basta aquecê-lo à determinada temperatura. 
Com a temperatura alta, a agitação molecular pode chegar a níveis tais que todos os 
ímãs elementares voltam aos seus estados normais de desalinhamento. A essa 
temperatura denominamos de ponto de Curie, cujo valor varia conforme o material. 
Portanto: 
Ponto de Curie é a temperatura na qual um ímã se desmagnetiza. 
Existem também outros meios de desmagnetização, como a aplicação de 
campos eletromagnéticos, que veremos mais adiante em nosso estudo, e o choque 
mecânico. Com um choque mecânico, uma pancada por exemplo, podemos fazer 
com que os ímãs elementares em uma barra se desorientem, desmagnetizando-a. No 
entanto esse procedimento só se aplica a barras fracamente magnetizadas e com boa 
resistência mecânica. 
2.7 — Campo magnético de um ímã 
Sabemos que ímãs interagem entre si, surgindo entre eles uma força que pode 
ser de atração ou repulsão. Portanto, se caminharmos com um ímã na mão, e de 
repente sentirmos uma força agindo sobre ele, certamente é porque estamos próximos 
de um outro ímã. Vamos chamar esse ímã que levamos na mão, de ímã de prova, ou 
mais especificamente um de seus pólos, de pólo de prova. 
Se colocarmos então nosso pólo de prova em uma determinada região do espaço 
onde percebemos que o mesmo fica sujeito a uma força, dizemos que nessa região 
existe um campo magnético. Portanto: 
Campo magnético de um ímã é uma região do espaço onde um pólo magnético ali 
colocado fica sujeito a uma força. 
ou 
Campo magnético de um ímã é a região dentro da qual ele exerce sua influência 
magnética. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	19 
Para delinear essa região em torno do ímã, podemos fazer uso dos resultados 
obtidos num experimento muito fácil de realizar. Coloca-se uma folha de papel sobre um 
ímã qualquer e sobre a folha derrama-se um pouco de limalha de ferro (pó de ferro). 
fv 	( 	s 0 
Cada grão de limalha de ferro que cair sobre a folha será magnetizada pelo ímã. 
Desta forma os inúmeros grãos de limalha magnetizada irão interagir entre si (pelo 
princípio de atração e repulsão entre os pólos magnéticos) e irão formar uma figura 
conhecida como espectro magnético . 
Espectro magnético é a figura formada pela limalha de ferro sobre uma folha de 
papel pela ação de um ímã embaixo da folha. 
Observando-se o espectro magnético, podemos verificar que a limalha se orienta 
sob forma de linhas que unem os pólos do ímã, segundo vários caminhos. 
Isto sugere que o campo magnético de um ímã possa ser representado por 
linhas, que denominaremos de linhas de força. 
20 	Editora Ao Livro Técnico 
Por convenção, foi atribuído um sentido para as linhas de força: 
As linhas de força saem do pólo norte e chegam no sul de um ímã, externamente a ele. 
Internamente ao ímã o caminho das linhas é ao contrário: vão do sul para o norte. 
As linhas de força sob o ponto de vista científico, podem ser conceituadas da 
seguinte forma: 
As linhas de força são as possíveis trajetórias para uma partícula imaginária norte, 
lançada nas proximidades do pólo norte. 
Isto quer dizer que se lançarmos em algum lugar dentro do campo magnético 
uma partícula imaginária norte*, ela ficará sujeita a uma força de atração pele, pólo sul 
e repulsão pelo pólo norte. Isto a fará descrever uma determinada trajetória até encontrar 
o pólo sul do ímã. Essa trajetória consiste em uma linha de força. Então, dependendo 
do ponto onde soltarmos essa partícula, ela descreverá trajetórias diferentes, regida 
pelas forças de atração e repulsão entre os pólos. 
A trajetória da partícula hipotética 
norte representa uma linha de força. 
No desenho acima, a partícula norte (n) fica sujeita a uma de força de repulsão 
pelo norte do ímã (FN) e, ao mesmo tempo, atração pelo sul (F5). A força resultante 
(FR) faz com que a partícula se mova segundo a trajetória mostrada, pois a cada 
deslocamento infinitesimal da mesma, o sentido da força resultante muda. 
* A partícula é dita imaginária, pois sabemos que não é possível obter um pólo isolado de um ímã. 
O fato de ser escolhida uma partícula norte é simplesmente por convenção. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 21 
2.8 — Vetor campo magnético 
Vimos que o campo magnético é a região em torno do ímã onde ele exerce sua 
influência. Sabemos também que essa influência é maior próximo aos pólos do ímã. 
Isso sugere que podemos atribuir ao campo magnético uma intensidade em um 
determinado ponto. E a linha de força que passará por esse ponto terá uma direção e 
um sentido. Ou seja: 
O campo magnético é uma grandeza vetorial, pois possui módulo, direção e sentido. j 
Como toda grandeza física, o campo magnético possui uma letra para representá-
lo e uma unidade: 
Campo magnético: 
representação: H 
unidade: ampère/metro (A/m) 
o setor campo magnético é sempre tangente à linha de força no 
ponto considerado 
2.9 Campo magnético uniforme 
Um campo magnético é dito uniforme quando possui, em todos os pontos, mesma 
intensidade, mesma direção e sentido. 
Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 	Editora Ao Livro Técnico 
Na figura anterior, as linhas de força que saem do norte vão diretamente para o 
sul a sua frente. Isto faz com que tenhamos na região central entre os pólos um 
campo magnético uniforme. 
Podemos ainda dizer que um campo é uniforme quando é representado por 
linhas de força paralelas e eqüidistantes entre si. 
2.10 — Relação entre intensidade de campo e concentração de linhas de força 
Observando como estão dispostas as linhas de força em um campo magnético, 
podemos concluir à respeito da direção e sentido do campo nos diversos pontos. 
Podemos também concluir sobre a intensidade de campo em um ponto 
comparativamente a outro. Então analisemos a figura a seguir: 
Já sabemos que o campo magnético é mais intenso próximo aos pólos. Agora, 
observe que as linhas de força próximas aos pólos estão mais concentradas do que 
nas outras regiões. Isto nos leva a concluir que há umarelação entre intensidade de 
campo e concentração de linhas de força. 
A intensidade de campo é diretamente proporcional à concentração de linhas de força. 
2.11 — O campo magnético da Terra 
Em 1600, Willian Gilbert, físico e médico da corte da rainha Elisabeth da Inglaterra, 
publicou um trabalho onde, entre outras teorias, sugeria que a Terra tem as mesmas 
propriedades de um ímã. 
Hoje, sabemos que sua teoria estava correta. A Terra realmente é um grande 
ímã, cujos pólos magnéticos estão orientados em uma direção próxima ao eixo norte-
sul geográfico. Apesar de seu tamanho, a Terra apresenta um campo magnético bastante 
fraco. Entretanto, esse campo magnético é de vital importância para toda espécie de 
vida no planeta. Veja Unidade IV — 2.4. A proteção do campo magnético da Terra. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	23 
Sul magnético 
Norte magnético 
Sul geográfico 
Norte geográfico 
As linhas de força do campo da Terra se espalham desde a 
superfície até as camadas mais altas da atmosfera. A origem do campo 
da Terra ainda não é perfeitamente conhecida. A teoria mais aceita 
hoje postula que o campo se origina devido à correntes elétricas 
criadas pelo atrito entre camadas no interior da Terra. 
O ângulo que as linhas de força do campo da Terra formam 
em cada ponto da superfície com seus meridianos é denominado 
de declinação magnética. 
Esse ângulo varia dependendo do local em que estejamos 
sobre a superfície da Terra. 
Declinação magnética é o ângulo formado em cada ponto da superfície, entre as linhas de 
força do campo magnético da Terra e os respectivos meridianos que passam pelo ponto. 
As linhas de força passam praticamente paralelas à superfície próximo à linha 
do Equador. Em outras regiões, o campo é inclinado em relação à superfície. Junto 
aos pólos magnéticos, por exemplo, o campo é perpendicular à superfície . 
Esse ângulo entre as linhas de campo e a superfície chama-se de inclinação 
magnética. Logo: 
Inclinação magnética é o ângulo formado entre a superfície e as linhas de força do 
campo magnético da Terra. 
24 	Editora Ao I,ivro Técnico 
2.12 - A bússola 
A bússola é um instrumento utilizado para orientação. Seu funcionamento baseia-
se no princípio de atração e repulsão entre os pólos magnéticos. Ela é constituída de 
uma agulha imantada apoiada em seu centro de gravidade sobre um pino com pouco 
atrito e, portanto, livre para girar. 
A agulha , pelo fato de estar magnetizada, irá se orientar na direção norte-sul do 
magnetismo terrestre. Como as linhas de força do campo magnético da Terra 
apresentam a inclinação e a declinação magnética, a agulha da bússola indicará, além 
da direção norte-sul, o ângulo formado pelas linhas com a superfície ( inclinação 
magnética). Entretanto, as bússolas comuns não estão preparadas para medir a 
inclinação magnética, mesmo porque para a maioria das regiões do planeta, a inclinação 
magnética corresponde praticamente a zero grau, o que faz com que o ponteiro fique 
na horizontal. Nas regiões próximas aos pólos, a inclinação é bastante significativa, 
chegando a 90° exatamente sobre eles. Nestas situações, a inclinação magnética pode 
ser avaliada mediante uma bússola especial chamada de bússola de inclinação. 
A parte pintada da agulha da bússola aponta para aproximadamente o norte 
geográfico. E o norte geográfico corresponde aproximadamente ao sul magnético da 
Terra. Logo, a parte pintada da agulha é um pólo norte. 
As primeiras bússolas surgiram na China aproximadamente em 121 d.C. e eram 
feitas com um pedaço alongado de magnetita colocado sobre uma bóia, dentro de 
uma bacia com água. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	25 
2.13 - Exercícios propostos 
A — Responda as questões abaixo: 
a) O que são pólos magnéticos? 
b) Por que a maioria dos metais não á atraída por um ímã? 
c) O que é magnetização? 
d) O que é ponto de Curie? 
e) O que é um campo magnético uniforme? 
f) O que é inclinação magnética? 
g) O que é declinação magnética? 
h) Qual o princípio de funcionamento de uma bússola? 
i) O que são linhas de força ? 
j) O que é o campo magnético de um ímã? 
B — Represente através de linhas de força, os campos magnéticos dos ímãs abaixo. 
a) 
 
c) 
 
( 	s 	 
 
 
 
2.14 - Sugestões para laboratório 
Experiências com ímãs 
Objetivos: 
▪ Comprovar as forças de atração e repulsão entre pólos de ímãs; 
-\,/ verificar que materiais um ímã é capaz de atrair; 
Ni observar o espectro magnético de um ímã; 
▪ observar o funcionamento de uma bússola; 
ti identificar os pólos desconhecidos de um ímã. 
26 	Editora Ao Livro Técnico 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 02 pç ímã em forma de barra 
02 01 pç clipe, moeda, ficha telefônica, pedaço de cobre, alumínio, 
ferro, aço, zinco, aliança de ouro, jóia de prata, etc. 
03 01 pc ímã em forma de ferradura 
04 - pc limalha de ferro 
05 01 pç folha de papel sulfite 
06 01 pç bússola 
Procedimento: 
1 — Verifique como se processam as forças de atração e repulsão entre os pólos 
dos ímãs, aproximando o pólo norte de um ímã com o norte do outro ímã, o sul com 
o sul e o norte com o sul. Para tornar mais interessante essa experiência, peça para 
alguém segurar um dos ímãs e tente encostar os pólos de mesmo nome. 
2 — Teste agora quais metais o ímã é capaz de atrair, experimentando um a um 
os diferentes materiais relacionados. 
3 — Utilizando um pedaço de ferro preferencialmente de forma alongada, faça o 
ímã atraí-lo em uma de suas pontas. Observe agora como esse pedaço de ferro também 
se transformou em um ímã, fazendo-o atrair um pequeno clipe. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	27 
Se o ímã for suficientemente forte, você poderá constatar que o clipe também 
se transformou em um ímã, fazendo-o atrair outro clipe ou uma agulha de costura. 
4 — Coloque um ímã em forma de barra sobre uma mesa e coloque sobre ele a 
folha de papel sulfite. Derrame aos poucos a limalha de ferro sobre o papel e observe 
a formação do espectro magnético. Substitua o ímã em forma de barra pelo ímã em 
forma de ferradura e repita o procedimento. Você pode observar também a formação 
do espectro magnético entre pólos de mesmos nomes e pólos de nomes contrários. 
Para pólos de mesmos nomes, coloque os ímãs frente a frente o mais próximo possível, 
pois haverá repulsão. Coloque a folha sobre eles e derrame a limalha. Para pólos de 
nomes contrários repita o procedimento, colocando agora um objeto entre eles, por 
exemplo uma borracha, para mantê-los a uma certa distância, pois haverá atração. 
Desenhe, utilizando linhas de força, a configuração do campo magnético para todos 
os casos observados. 
5 — Mantendo-se distante dos ímãs, observe como a direção indicada pela agulha 
da bússola permanece inalterada por mais que a movamos para todas as direções. 
Localize a direção norte-sul geográfica através da posição do sol e compare com a 
direção indicada pela bússola. Coloque a bússola sobre a mesa e aproxime um ímã, 
observando como o campo magnético do ímã interfere na posição da agulha. Não 
aproxime muito o ímã da bússola pois poderá haver a desmagnetização da agulha. 
6 — Podemos determinar a polaridade desconhecida de um ímã, se dispusermos 
de outro ímã com polaridade conhecida. Cubra com fita crepe as indicações de 
polaridade de um dos ímãs em forma de barra e com o outro ímã, tente descobrir a 
polaridade escondida. Para tanto, aproxime um pólo conhecido a uma das 
extremidades do ímã com pólos desconhecidos. Se houver atração, o pólo 
desconhecido será oposto ao pólo conhecido que foi aproximado. Se houver repulsão 
é porque os pólos são de mesmo nome. Pode-se também utilizar a bússola para 
determinação da polaridade, tomando-se o cuidado de não aproximá-la muito para 
não desmagnetizá-la. 
28 	Editora Ao Livro Técnico 
Unidade II 
Eletromagnetismo 
CAMPO MAGNÉTICO 
DEVIDO À CORRENTE ELÉTRICA 
1.1 — A experiência de Oersted 
Foio físico dinamarquês Hans Christian Oersted que observou pela primeira 
vez, por volta do ano de 1820, que a corrente elétrica gera campos magnéticos. Ele 
verificou que quando um circuito elétrico é ligado, uma bússola colocada nas 
proximidades sofre uma influência, desviando seu ponteiro para outra posição. 
Podemos comprovar essa influência através do circuito a seguir. Com o condutor 
disposto paralelamente ao ponteiro da bússola, que até então estará indicando a 
direção do campo magnético da Terra , fechamos a chave S. Imediatamente percebemos 
uma mudança na indicação da bússola. Aumentando-se gradativamente a corrente, 
pelo aumento da tensão da fonte, percebemos que a bússola irá cada vez mais se 
inclinar em relação ao fio, tendendo a ficar perpendicular a ele. Desligando-se a chave, 
a bússola retorna a sua posição original. 
bússola 
	
bússola 
	
nte C( 
	
ft me CC 
	
regulável 
	
regulavel 
1.2 — Regra de Ampère 
Depois da descoberta de Oersted, o cientista francês André Marie Ampère identificou 
a configuração do campo magnético em torno de um condutor. Utilizando-se de uma 
folha de papel atravessada ao meio por um fio percorrido por corrente elétrica, Ampère 
jogou limalha de ferro sobre o anteparo de papel. A limalha então adquiriu a forma de 
círculos concêntricos, ocorrendo uma concentração maior próximo ao fio. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	31 
Ampère também descobriu a relação entre o sentido da corrente e o sentido 
das linhas de força, propondo uma regra para sua determinação. Em sua homenagem, 
essa regra foi chamada de regra de Ampère, também conhecida como regra da mão 
direita para o sentido convencional da corrente. 
Segundo a regra, para se determinar o sentido das linhas de força em torno do 
condutor, basta envolvê-lo com os dedos, estando o polegar a indicar o sentido da 
corrente. Com isso os dedos indicam o sentido das linhas de força. 
n 
 
n 
 
Se quisermos mostrar um condutor segundo sua seção transversal, podemos 
utilizar a seguinte convenção para indicar o sentido da corrente: 
o 
corrente saindo 	corrente entrando 
As respectivas linhas de força então ficarão: 
A mesma convenção de ponto e cruz pode ser utilizada para representar um 
campo magnético. Por exemplo, olhando-se um cóndutor exatamente de perfil, suas 
linhas de força nos parecerão traços perpendiculares ao mesmo. 
1 
Agora podemos entender melhor o comportamento da bússola descrito 
anteriormente. Vimos que a bússola tende a alinhar sua agulha perpendicularmente 
ao fio condutor, proporcionalmente à corrente aplicada. 
32 	Editora Ao Livro Técnico 
I 
direção norte-sul 
magnética 
A questão para refletir é: 
• Porque a bússola não se alinha perpendicularmente ao fio com qualquer 
intensidade de corrente? 
Para entender isso, devemos lembrar que o campo da Terra continua presente e 
está "puxando" o ponteiro segundo a direção norte-sul. Quando aplicamos 
gradativamente uma corrente ao fio, o campo criado por ela vai aumentando na mesma 
proporção. Esse campo é perpendicular ao fio. 
x 
Sendo assim, o campo da Terra puxa o ponteiro para uma direção, enquanto o 
campo do fio puxa o ponteiro para outra posiçãd, perpendicular ao fio. A resultante 
entre os dois campos é que determinará então a posição final que a bússola assumirá. 
Hr 
HTerra 
Se Hfio se torna muito superior a HTe a resultante será praticamente H fio e a 
bússola ficará perpendicular ao fio. 
— — 	I,. 
IITerra 
E ltt 
Fundamentos de Eletromagnetismo 33 
No entanto, para que isto ocorra, será necessário uma elevada corrente no 
condutor a fim de produzir um elevado valor de campo magnético. 
Se realizássemos a experiência de Oersted no espaço, numa região isenta de 
campo magnético, veríamos que a bússola ficaria perpendicular ao fio com qualquer 
intensidade de corrente. 
1.3 — Intensidade de campo em torno de um condutor 
Vimos na experiência de Ampère que a limalha de ferro se distribui sob a forma 
de círculos concêntricos, ocorrendo uma concentração maior de limalha próximo ao 
fio condutor. Isto sugere que a intensidade de campo deve variar com a distância em 
relação ao fio. Realmente, podemos fazer a seguinte afirmação: 
A intensidade de campo num determinado ponto é diretamente proporcional à 
intensidade de corrente no fio, e inversamente proporcional à distância do centro do 
condutor ao ponto considerado. 
Matematicamente: 
 
H= 	 
27Er 
II 
Onde: 
H ---> intensidade de campo (A/m) 
I —> intensidade de corrente (A) 
r --> distância do centro do condutor ao ponto considerado (m) 
Obsi: O sentido do campo magnético no ponto considerado é dado pela regra da 
mão direita. 
Obs2: A equação acima é válida para um condutor retilíneo e de comprimento infinito. 
Para situações reais, o valor será aproximado. 
34 	Editora Ao Livro Técnico 
1.4 — Intensidade de campo no centro de uma espiro. 
O valor de campo magnético no centro de uma espira é dado pela seguinte 
equação: 
 
 
H = 
2R 
 
Onde: 
 
H 	intensidade de campo no centro da espira(A/m) 
I --> intensidade de corrente na espira(A) 
R 	raio da espira (m) 
Para se determinar o sentido do campo no interior da espira, utiliza-se também 
a regra da mão direita aplicada à qualquer parte da espira. Entretanto, pode-se também 
utilizar uma variação da regra da mão direita, que usualmente chamamos de regra da 
mão direita para espiras e bobinas. 
Neste caso, seguimos a corrente contornando a espira com os quatro dedos 
principais e o polegar nos aponta o sentido do campo criado. 
1-1 
regra da mão direita para espiras e bobinas 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	35 
Apresentamos agora uma equação para se calcular a intensidade de campo no 
centro de uma espira quadrada. 
H = 	 
na 
Onde: 
H ---> intensidade de campo no centro da espira quadrada(A/m) 
I --> intensidade de corrente na espira(A) 
a —› apótema do quadrado(m) 
1.5 — Intensidade de campo no interior de um solenóide 
Um solenóide ou bobina é obtido com a disposição de várias espiras em série 
lado a lado. Por essa razão, o campo magnético do solenóide é o resultado da 
contribuição das diversas espiras individualmente. 
O sentido do campo magnético pode ser determinado pela regra da mão 
direita para espiras e bobinas. Neste caso, envolvemos a bobina com os quatro 
dedos no sentido da corrente e o polegar nos aponta o sentido das linhas de força 
do campo resultante. 
Observamos no desenho que o campo magnético no interior do solenóide é 
uniforme. A densidade de linhas de força diminui a partir das bordas o que nos leva 
a concluir que o campo é mais intenso na parte interna da bobina. 
36 	Editora Ao Livro Técnico 
N.I 
\141Z 2 +1,2 
H = 
Considere a bobina abaixo vista em corte, e o gráfico abaixo dela, que mostra a 
intensidade de campo em função das distâncias a partir do centro. Observamos que 
no eixo das ordenadas temos os valores de H, onde colocamos simbolicamente o 
valor l para o maior valor de campo, que corresponde ao centro da bobina. Esse valor 
se mantém praticamente o mesmo até próximo às bordas da bobina, onde o campo 
cai à metade. À medida que nos distanciamos das bordas, o campo vai diminuindo e 
tendendo a zero. 
ti 
Para se determinar o valor de H no interior do solenóide, utilizamos a seguinte 
equação: 
Onde: 
H - -> campo magnético no interior do solenóide (A/m) 
N --> 02 de espiras do solenóide 
I —> intensidade de corrente (A) 
R --> raio do solenóide (m) 
L --> comprimento do solenóide (m) 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	37 
Casos Particulares 
a) Solenóide muito longo ( L > R ) 
Neste caso, na equação para determinarmos o valor do campo no interior de 
um solenóide, vemos que R pode ser desprezado (igual a zero); Então: 
NI 
H= 	 
L 
b) Solenóide muito curto (R > L) 
vista em corte 
R 
Neste caso, L pode ser desprezado na fórmula e então temos: 
H = N.I 
2. R 
Observe que a equação acima é a do campode uma espira, multiplicado pelo 
número delas. 
38 	Editora Ao Livro Técnico 
c) Solenóide Toroidal 
Em um solenóide toroidal, como visto na figura a seguir, as linhas de campo 
ficam confinadas em seu interior. 
Toróide com N espiras e raio médio R. 
Para calcular o campo no interior do toróide, utilizamos a equação do solenóide 
muito longo, substituindo o comprimento L pelo comprimento médio do toróide que 
é igual a 2nR. Então: 
N I 
H = 	 
27ER 
Um toróide pode também ter sua seção transversal circular. 
1.6 — Exercícios resolvidos 
A — Com um condutor de 2m de comprimento faz-se uma espira circular. Qual o 
campo magnético em seu interior se aplicarmos uma corrente de 3 A? 
O raio da espira assim obtida será dado por: 
R = 	R = 2-- R = 0,32m 
27r 	27r 
H= H= 
3 
H = 4,69 A / m 
2R 2.0,32 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	39 
B — Em um solenóide de 300 espiras, com seção transversal circular de raio 2cm e 
comprimento 15cm está sendo aplicada uma corrente de 2A. Calcule a intensidade 
do campo magnético em seu interior. 
Para este tipo de solenóide, a equação do campo será: 
 
N .I 
 
300.2 
H — 	 
V4.0,022 +0,15' 
 
H= 
 
H = 3865A / m 
 
 
4R 2 + L2 
 
C Um solenóide toroidal com seção transversal quadrada 3x3cm possui 600 espiras. 
Sendo seu raio médio igual a 10cm, determine a corrente necessária para que em 
seu interior o campo magnético H seja igual a 1000 A/m. 
N. I 
H = 
H .27rR 
I -= I = 
1000.271-.0,1 I =1.05A 
27TR N 600 
1.7 — Exercícios propostos 
A — Responda as questões abaixo: 
a) Por que a agulha de uma bússola tende a se alinhar perpendicularmente a 
um fio percorrido por corrente elétrica? 
b) Por que é necessário um elevado valor de corrente para a bússola ficar 
perpendicular ao fio? 
c) O que aconteceria de diferente na experiência de Oersted, se o campo 
magnético da Terra deixasse de existir? 
d) O que ocorreria com a bússola ao ser ligada a corrente, se o fio fosse alinhado 
desde o princípio, perpendicularmente à agulha? 
e) O que ocorreria com a bússola se o sentido da corrente aplicada ao fio fosse 
alterada? 
f) Qual seria a indicação da bússola se a corrente aplicada fosse alternada? 
40 	Editora Ao Livro Técnico 
B 	Indique qual o sentido que a agulha da bússola irá indicar, desprezando-se o 
campo da Terra. 
a) 
 
 
 
C) 
	 O 
b) 
C — Calcule a intensidade de campo magnético à distância de 5cm de um condutor 
que conduz uma corrente de 10A . 
D — Calcule a intensidade do campo resultante no ponto P para os casos abaixo: 
4A 
a) 
cm 
2A 
6 
P. 
b) 
locm 
1= 8A 
6,1 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	41 
d) 
H cni 
R,= R, 10cm 
Obs.: Espiras em planos 
perpendiculares 
E — Determine a que distância a partir do condutor que conduz I, o campo tem 
intensidade nula, nos casos abaixo, sendo 10 cm a distância entre os condutores: 
I,= $A 
a) 
I,= 3A 
b) 
 
I,= 6A 
 
 
 
 
I,— 2A 
42 	Editora Ao Livro Técnico 
F — Calcule a intensidade de campo no interior de uma espira circular feita com um 
condutor de 1 m de comprimento, por onde circula uma corrente de 5A. 
G — Calcule a intensidade de campo no interior de uma espira quadrada feita com 
um condutor de 1 m de comprimento por onde circula uma corrente de 5A . 
H — Determinar a intensidade e o sentido do campo resultante no centro comum às 
duas espiras. 
11=5A 
1-2=7A 
R1= 1 OCM 
R2=5cm 
I — Calcule a intensidade de campo no interior de um solenóide reto de 20cm de 
comprimento e 10cm de raio, tendo este 250 espiras por onde circula uma 
corrente de 0,5A. 
J — Calcule a intensidade de campo no interior de um solenóide toroidal de raio 
interno 6cm e raio externo 8cm, onde estão enroladas 600 espiras percorridas 
por uma corrente de intensidade 1,0A. 
L — Duas espiras circulares concêntricas (com mesmo centro) têm raios R, e R2 sendo 
que R,= 5R2 . A corrente I, = 6A . Qual deve ser o valor de I2 para que no centro 
das espiras o campo seja nulo? 
M — Em um tubo de PVC com diâmetro externo igual a 25mm, e o comprimento 
20cm enrola-se uma camada de espiras com fio de cobre esmaltado de diâmetro 
0,5mm. Considerando-se que as espiras fiquem bem unidas, calcule: 
a) o comprimento de fio necessário ; 
b)a intensidade de campo no interior do solenóide quando for aplicada uma 
corrente de intensidade 2A. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 43 
1.8 — Sugestões para laboratório 
Campo magnético produzido pela corrente elétrica 
Objetivos: 
Comprovar a experiência de Oersted; 
'I observar o espectro magnético do campo em torno de um condutor, em 
uma espira e no interior de um solenóide. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 02 pç bobina didática* 
02 01 pç módulo de alta corrente** 
03 01 m condutor rígido 2,5 mm' 
04 01 pç amperímetro 0-2 A (CA-CC) 
05 04 pç cabo de ligação 
06 — — limalha de ferro 
07 01 pç bússola 
08 01 pç fonte CC regulável O - 30 V 
09 01 pç resistor ou qualquer carga para 2 A 
10 01 pç fonte CA regulável 0-240 V 
espiras 
* Bobina didática: 
Bobina com aproximadamente 10 
espiras de fio 2,5 mm 2 espaçadas 
transpassando uma placa de acrílico. 
placa de acrílico 
** Módulo de alta corrente 
Para se conseguir uma alta corrente, necessária para se poder observar o 
espectro magnético através da limalha, iremos utilizar um núcleo desmontável com 
duas bobinas, uma de 200 espiras e outra de 10 espiras. 
núcleo desmontável 
bobina de 200 espiras 	 bobina de 10 espiras 
44 	Editora Ao Livro Técnico 
fonte CC regulável Resistor ou qualquer 
carga para 2 A 
bússola 
V2) 
A bobina de 10 espiras será ligada em curto-circuito enquanto se aplica um 
valor adequado de tensão na bobina de 200 espiras. Desta forma circulará uma elevada 
corrente (acima de 60 A) pela bobina de 10 espiras. Por essa razão é necessário que 
ela seja construída com fio grosso (pode ser 6 mm2, ou 3x2,5 mm2, ou 4x 1,5 mm2 
em paralelo). 
Procedimento: 
Para realizar a experiência de Oersted, monte o circuito da figura abaixo: 
Tomando o cuidado de deixar o fio por baixo e alinhado na direção do ponteiro 
da bússola, aplique uma tensão, aumentando gradativamente até a corrente atingir 2 A, 
observando o comportamento da bússola. Efetue agora os seguintes procedimentos, 
sempre observando e anotando o que ocorre com o ponteiro da bússola. 
a) Inverta a polaridade da fonte e energize o circuito com uma corrente de 2 A. 
b) Com o circuito energizado, retire a bússola de cima do fio e a coloque por 
baixo dele. 
c) Substitua a fonte CC pela fonte CA e energize o circuito. Tome o cuidado de verificar 
se a carga empregada pode ser utilizada também em CA. 
Você deverá observar que, com a inversão da polaridade da fonte, a indicação 
da bússola se inverte. A indicação da bússola também se inverte quando ela é retirada 
de cima do fio e colocada por baixo, pois os sentidos do campo nesses pontos são 
contrários. Observe que em qualquer dos casos, a agulha da bússola não fica 
perpendicular ao fio. Ela indica a resultante entre o campo magnético da Terra e o 
campo criado pela corrente. Seria necessária uma corrente muito alta circulando pelo 
fio para que o campo gerado fosse alto o suficiente para tornar desprezível o campo 
da Terra na região onde se encontra a bússola. Somente assim a bússola ficaria 
perpendicular ao condutor. 
Em corrente alternada a bússola nada indica, pois o campo magnético se inverte 
muito rapidamente e a agulha, devido a sua inércia, não consegue acompanhar, 
permanecendo imóvel. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	45 
fonte C.A regulável 
fio rígido de 2,5mm 
anteparo 
Para observar o espectro magnético do campo de um condutor, monte o circuito 
abaixo: 
fio rícido de 2,5mri 
anteparo de papel sulfite 
O anteparo deve ser feito com metade de uma folha de papel sulfite com o 
condutor perfurando-a ao meio. Utilizar fita adesiva para prendê-lo ao condutor. 
Apliqueà bobina de 200 espiras do módulo, uma corrente de 2 A. Derrame aos 
poucos a limalha de ferro sobre o anteparo e observe como ela se alinha. 
Substitua o fio condutor com o anteparo por uma espira com anteparo como 
ilustra o desenho abaixo: 
Com o módulo de alta corrente energizado, derrame a limalha sobre o anteparo 
e observe a configuração do campo magnético. 
Substitua a espira pela bobina didática e repita o procedimento para observar a 
configuração do campo do solenóide. 
46 	Editora Ao Livro Técnico 
2 j 
A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 
2.1 - Teoria dos domínios 
Explicamos no capítulo anterior a constituição interna de um ímã como sendo a 
composição alinhada de uma infinidade de ímãs elementares. Porém, surge a pergunta: 
O que é um ímã elementar? 
Para responder essa pergunta vamos mergulhar na estrutura atômica da matéria. 
Sabemos que um átomo qualquer é composto de um núcleo, onde se encontram os 
prótons e os nêutrons e, circulando ao redor deste, temos os elétrons. Vamos analisar 
um destes elétrons girando ao redor do núcleo. 
(sentido real) 
elétron em movimento ao redor 
do núcleo corrente em uma espira 
Observando os desenhos acima, notamos uma semelhança entre o elétron 
girando em sua órbita, e a espira por onde circula uma corrente. O elétron sozinho em 
sua órbita, constitui uma corrente elétrica elementar que, a exemplo da espira, gera 
um campo magnético. No desenho acima, o sentido do campo gerado pelo elétron 
está apontando para fora da folha*. Esse pequeno valor de campo é conhecido como 
campo magnético devido à corrente orbital . 
Além do campo devido à correntes orbitais, existe o campo magnético devido 
ao movimento de rotação do elétron em torno do seu próprio eixo, ou seja, devido ao 
spin do elétron. 
spin do elétron 
Fundamentos de Eletromagnetismo 47 
O campo magnético criado pelo spin do elétron pode ser determinado pela 
regra da mão esquerda* onde o sentido da corrente corresponde ao sentido do 
movimento de rotação do elétron. Uma comparação a nível microscópico poderia ser 
feito com uma esfera carregada girando em torno de seu próprio eixo . 
Analogia com uma esfera carregada. 
Neste caso, as cargas que se encontram próximas da linha do equador da esfera 
estão girando mais rapidamente e o campo magnético é equivalente à de uma espira 
percorrida por corrente elétrica . 
Portanto, o campo magnético devido ao spin do elétron, vai adquirir a forma 
mostrada na figura a seguir. 
Campo magnético devido ao spin do elétron. 
* Usamos a regra da mão direita para o sentido convencional de corrente. Quando temos movimento de 
cargas negativas, isto corresponde ao sentido real de corrente e portanto a regra a ser utilizada é a da mão 
esquerda. 
48 	Editora Ao Livro Técnico 
Então o campo magnético de um átomo isolado é devido ao movimento orbital 
e ao spin do elétron. Existe ainda uma terceira contribuição, que é a do spin do núcleo 
do átomo. No entanto, seu valor é insignificante comparado às outras duas contri-
buições supra-citadas. 
Representação do campo orbital 
e do campo de spin do elétron. 
Na figura acima mostramos as linhas de força do campo magnético devido ao 
movimento orbital e devido ao spin do elétron. A contribuição de campo devido ao 
spin é muito mais intensa do que devido ao movimento orbital . 
Agora imagine um átomo de um elemento químico qualquer, com dezenas de 
elétrons girando em órbitas diversas e cada um tendo seus spins uns num sentido e 
outros noutro sentido. Não fica difícil concluir que, para a maioria dos elementos 
químicos, os campos criados pelo movimento orbital e pelos spins se cancelam, 
produzindo no átomo um campo resultante igual a zero. 
Campo magnético resultante num átomo é igual a zero 
para a maioria dos elementos químicos. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	49 
No entanto, em uns poucos elementos químicos, não ocorre o cancelamento 
total do campo à nível atômico. Elétrons com spins de mesmo sentido fazem com 
que esses elementos apresentem um forte campo magnético. Assim, 
Átomos que apresentam um campo magnético resultante diferente de zero são 
denominados dipólos magnéticos. 
Em alguns materiais, esses dipólos são tão fortes que exercem influência uns 
sobre outros, fazendo com que se alinhem paralelamente em pequenos volumes 
chamados domínios magnéticos. Portanto: 
Domínios magnéticos são pequenos volumes dentro de um material onde dipólos 
magnéticos encontram-se alinhados. 
 
 
 
 
 
ffi 
domínios magnéticos 
Esse alinhamento espontâneo dos dipólos pode ocupar volumes que variam na 
ordem de 10-3 a 10-6 m de diâmetro. 
O ferro, o níquel e o cobalto, bem como suas ligas, apresentam domínios magné-
ticos e são conhecidos como materiais ferromagnéticos. 
2.2 — Indução magnética 
Vamos imaginar pequenos ímãs furados em seu centro de gravidade. 
50 	Editora Ao Livro Técnico 
Vamos agora pregar esses ímãs em uma mesa com pregos finos de tal modo 
. 	que os mesmos possam girar livremente. 
Dispondo então segundo posições aleatórias, poderemos ter a configuração 
abaixo: 
Se pusermos nos extremos da mesa os pólos norte e sul de um grande ímã, 
obteremos o alinhamento de cada pequeno ímã da mesa. Isto ocorre pela ação das 
forças entre seus pólos e os pólos do grande ímã. 
IN mi Em 
IN PIM 
ffigo mi 
NI ma 
- MI 
A situação que acabamos de analisar é uma boa analogia a nível macroscópico 
com o que ocorre com os domínios magnéticos sujeitos a um campo magnético. 
Nas análises que se segiiirão, os domínios serão representados por setas, cujas 
pontas correspondem aos seus pólos norte. 
N 
S 	N 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	51 
Em uma barra desmagnetizada, teremos os domínios orientados aleatoriamente 
como mostrado abaixo. 
Domínios orientados aleatoriamente em 
uma barra de ferro. 
Vamos agora introduzir o conceito de indução magnética. 
Suponha então um campo magnético H, uniforme, no vácuo. Se jogarmos 
uma barra de ferro desmagnetizada em seu interior, ocorrerá uma orientação dos 
domínios magnéticos. 
H 
Os domínios magnéticos da barra se orientam. 
A barra, agora magnetizada, assume comportamento de um ímã, apresentando 
portanto o seu próprio campo magnético, que chamaremos de campo M, ou 
magnetização, pois é criado pela magnetização da barra de ferro. 
Linhas de força do campo magnético 
próprio da barra. 
52 	Editora Ao Livro Técnico 
Como conseqüência, haverá uma resultante entre o campo H inicial e o campo 
magnético induzido na barra de ferro (campo M). Observamos que internamente à 
barra, as linhas de força têm sentidos coincidentes enquanto que, fora dela, há 
pontos onde os sentidos são exatamente opostos ou formam ângulos entre si. De 
qualquer forma, não é difícil perceber que o campo resultante terá aproximadamente 
a forma abaixo: 
campo magnético resultante 
Resumindo, ao colocarmos a barra de ferro no interior do campo H, a orientação 
dos domínios magnéticos da barra produz o equivalente a um reforço do campo 
magnético no interior da barra. A esse novo valor de campo obtido pela soma em 
cada ponto, do campo H com o campo provocado pelo alinhamento dos domínios 
(campo M), dá-se o nome de indução magnética ou campo B. Portanto: 
Indução magnética é o campo efetivo num determinado meio. 
Observe que o campo B é a grandeza mais importante, pois é obtido pela 
soma das outras duas, H e M. Poderíamos escrever então que B = H + M. Nesse 
caso, em um meio sem a presença de materiais magnetizáveis, o campo M seria 
nulo e portanto B e H teriam o mesmo valor. Infelizmente, essa relação não é em 
todo verdadeira. Isto porque por razões históricas, foi atribuída ao campo B uma 
unidade diferente da unidade de H e M. Ou seja, enquanto H e M têm a unidade A/ 
m, B possui a unidade tesla (T) no sistema internacional de unidades. O 
relacionamento correto entre B, H e M se dá através da equação B = t0 (H + M), 
que será justificado mais adiante.Geralmente se faz muita confusão na distinção entre B e H. Inclusive no nome, 
pois com freqüência falamos em campo magnético quando queremos nos referir à 
indução magnética. O próprio campo magnético da Terra, ao qual já nos referimos, na 
realidade é a indução magnética da Terra, pois é medido em teslas. Entretanto, nunca 
ouvimos alguém se referindo à ele como indução magnética. 
Para esclarecer um pouco mais sobre essas diferenças, cabe salientar que os 
campos magnéticos têm basicamente duas origens: correntes livres e correntes ligadas. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	53 
As correntes livres são as correntes devido ao movimento de cargas 1 vres em condutores, 
ou a corrente elétrica propriamente dita. Já as correntes ligadas são as devidas aos 
movimentos orbitais e de spin no interior da estrutura atômica dos materiais. Assim, 
as correntes livres geram o campo magnético H enquanto as correntes ligadas geram 
o campo M. A soma dos dois nos dá o campo B. Vale salientEr que temos pleno 
domínio sobre o campo H, pois podemos interferir diretamente sobre seu valor, 
manipulando a corrente que o gera. Já não se pode dizer o mesmo sobre o campo M, 
pois sua origem é mais complexa. 
No CGS a unidade da indução magnética é o gauss, cuja re ação com o tesla é: 
1T = 104 gauss. 
O instrumento que mede a indução magnética é o gaussímetro. Trata-se de uma 
ponta de prova fina e achatada acoplada a um instrumento que pode ser analógico ou 
digital. 
Para medir a intensidade de um campo basta então introduzir a ponta de prova 
(sensor) no interior do campo. 
 
 
/ 	 
 
 
 
 
 
medindo a indução através do gaussímetro 
2.3 — Fluxo magnético 
O fluxo magnético representa a quantidade total de linhas de força que 
atravessam uma determinada superfície perpendicular às linhas. Sua unidade no SI é 
o weber (Wb) e é representada pela letra 0 . 
s 
fluxo magnético através da superfície S 
54 	Editora Ao Livro Técnico 
Como a indução magnética é diretamente proporcional à concentração de linhas 
de força, existe então uma relação entre o fluxo e a indução. A indução é dada por: 
Onde: 
B —> indução magnética em tecla (T) 
0 	fluxo magnético em weber (Wb) 
S --> área perpendicular ao fluxo (m2 ) 
B o 
Como conseqüência da equação acima, a indução pode ser também referenciada 
na unidade Wb/m2. 
O fluxo através das áreas Si e S2 é o mesmo. No entanto, a 
indução em SI (B1) é maior que em S2 (B2). 
2.4 — Permeabilidade magnética de um material 
Quando se fala em permeável, logo associamos à idéia de algo que permite a 
passagem. Por exemplo, um solo permeável é o que absorve rapidamente a água ou, 
em outras palavras, deixa o fluxo de água passar através dele. Ou ainda, tal tipo de 
solo possui boa permeabilidade. Estendendo o raciocínio para o magnetismo; podemos 
dizer que 
A permeabilidade magnética expressa a facilidade que um material magnético oferece 
à passagem das linhas de forca. 
No capítulo anterior, quando estudamos a indução magnética, concluímos que 
um pedaço de ferro é capaz de reforçar um campo inicial H. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	55 
Sob a ótica da permeabilidade, podemos dizer que o ferro possui permeabilidade 
magnética maior que a do vácuo. Por essa razão, as linhas de força preferem se 
concentrar pelo ferro, evitando o vácuo. Essa é uma forma simplificada de raciocínio, 
pois como vimos no item 2.2, o que ocorre é uma resultante entre campos magnéticos, 
que provoca uma deformação do campo inicial. Entretanto, podemos fazer uso desse 
artifício no momento para facilitar a compreensão do conceito de permeabilidade, 
embora não devamos esquecer que a configuração de linhas assim obtida é resultado 
da sobreposição de linhas do campo aplicado H com as do campo induzido M. 
Matematicamente a permeabilidade magnética, representada por µ, é definida 
como a relação entre o campo B e o campo H. Ou seja: 
A unidade da permeabilidade magnética é o henry/metro (H/m). Observe que 
se B e H tivessem a mesma unidade, a permeabilidade magnética seria adimensional, 
ou seja, não teria unidade. 
2.5 — Permeabilidade do vácuo 
Para o vácuo, B e H tem o mesmo valor, apesar de expressos em unidades 
diferentes. Por isso, para relacionar B e H em suas respectivas unidades, a 
permeabilidade do vácuo possui o valor: 
= 47r.10 -7 H /m µ0--> permeabilidade do vácuo 
Para o vácuo, B=µ.H. Para materiais magnéticos, onde o campo M é diferente 
de zero, a indução é dada por B=µo (H + M), que é equivalente a B—µH. Ou seja, a 
permeabilidade magnética de um material µ considera a contribuição de M para o 
campo total B, sem fazer menção a ele. Por essa razão, a maioria dos autores trata 
desse assunto sem mencionar a existência do campo M. Nós o fizemos por achar 
que o entendimento do assunto, especialmente o conceito de campo B, pode ficar 
mais fácil. 
Para efeitos práticos, a permeabilidade do ar é considerada igual à do vácuo, 
pois a diferença entre seus valores é desprezível. 
56 	Editora Ao Livro Técnico 
ft R 
o 
a= 2cm 
b= 3cm 
2.6 — Permeabilidade relativa 
A permeabilidade relativa é a razão entre a permeabilidade do material e a 
permeabilidade do vácuo. 
—> permeabilidade relativa 
Note que a permeabilidade relativa é adimensional. 
Podemos interpretar a permeabilidade relativa como o número de vezes que a 
permeabilidade do material é maior(ou menor) do que a do vácuo. Assim, um material 
que possua permeabilidade relativa igual a 5, significa que: 
. 	 . 
= 	5 = 1,1 — 	ou µ=5.µo 
Po 
Portanto, o referido material possui permeabilidade cinco vezes maior que a 
do vácuo. 
2.7 — Exercícios resolvidos 
A — A indução magnética bem junto à superfície polar do ímã abaixo é de 0,5 T. 
Calcular o fluxo magnético que atravessa a referida superfície. 
Solução: 
A área da superfície polar do ímã equivale a: 
S=axb 
S = 2.10-2 x 3.10-2 
S = 6.10-4 m2 
O fluxo é dado por: 
B .S 
0=0,5 x 6.104 
(1) = 3.10-4 Wb 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	57 
B — Calcular o fluxo magnético que atravessa a superfície abaixo: 
/ A 	B= 1T 
MO" a.sen30° 
a= 10cm 
b= 20cm 
Solução: 
A área está inclinada em relação às linhas de força. Portanto, devemos calcular 
a projeção da área perpendicular ao fluxo, que será: 
S = b x a.sen30° 
S = 20.10-2 x 10.10-2 x 0,5 
S= 100.10-4 m2 
B.S 
(1)= 1 x 100.10-4 
4)=10.10-3 Wb 
4)=10 mWb 
C — Em um núcleo ferromagnético de permeabilidade relativa igual a 4500 e de 
dimensões 4x4x30 cm é enrolada uma única espira. Uma corrente de 5 A é 
então aplicada à mesma. Determine.a indução magnética no núcleo. 
Solução. 
A equação para uma espira quadrada nos dá a intensidade de campo no centro 
da mesma. Entretanto, podemos assumir que esse campo é o mesmo para 
toda a região interna à espira com razoável precisão. 
Então, utilizando a equação do campo de uma espira quadrada, onde o apótema 
equivale à metade do lado da seção transversal: 
a = 2 cm = 0,02m 
/.-N/2 
H = 
	
	H — 	H =112,54A / m 
Ira 7c0,02 
B = pop,R H 	B = 4z.10-7.4500.112,54 B = 0,64T 
58 	Editora Ao Livro Técnico 
2.8 - Exercícios propostos 
A — Responda as questões abaixo: 
a) Quais as causas que originam o campo magnético de um átomo? 
b) Como são chamados os átomos que apresentam um campo magnético 
diferente de zero? 
c) Por que nem todos os elementos químicos apresentam dipólos magnéticos? 
d) O que são domínios magnéticos? 
e) O que é indução magnética? 
f) Qual a relação existente entre a unidade de indução no sistema MKS e CGS? 
g) O que é um gaussímetro? 
h) O que é fluxo magnético e qual a sua unidade? 
i) Qual a relação entre o campo B e o campo H? 
j) Escreva as fórmulas para o cálculo do campo B em torno de um condutor, 
no centro de uma espira e no interior de um solenóide, estando todos no 
vácuo. 
B — Em um cilindro de aço de 20cm de comprimento e 3cm de raio são enroladas 
duasespiras de fio de cobre. Sendo a permeabilidade relativa do aço igual a 
3000, calcule a indução magnética no cilindro quando a corrente aplicada for 
de 5A. 
C — Um ímã de dimensões polares 4x6cm e indução magnética medida junto à 
superfície polar igual a 0,8T é encostado a uma barra de ferro de permeabilidade 
relativa igual a 2000 e cujas dimensões são iguais a 8x6cm de seção transversal. 
Desprezando as perdas de fluxo magnético na junção, calcule: 
a) o fluxo magnético que penetra na barra de ferro; 
b) a indução magnética média na barra de ferro; 
c) o campo H no interior do ferro. 
D — Um toróide de raio interno 20cm, raio externo 25cm e espessura 5cm possui 
1000 espiras, por onde circula uma corrente de 6A. Através de um pequeno 
orifício no toróide é medida sua indução magnética, obtendo-se o valor de 0,9T. 
Determine o fluxo magnético e a permeabilidade relativa do material constituinte 
do núcleo do toróide. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	59 
E — Um elétron gira a uma velocidade de 10.000km/s dentro de um pequeno 
acelerador de partículas de raio 1,5m. Calcule a intensidade de campo H gerada 
por esse único elétron? 
Dica: Considere o percurso circular do elétron como uma espira. 
Calcule a corrente nessa espira I= Oq 
At 
F — Dois núcleos de formatos geométricos idênticos são constituídos de materiais 
com permeabilidade relativa µ RI =800 e permeabilidade relativa I.I R2 = 10.000. 
Em cada um deles é enrolada uma espira e em seguida aplicada uma corrente 
de 2A no material com µ Ri =800. Qual a intensidade de corrente necessária 
para produzir no material com 142 = 10.000 uma indução igual ao do material 
com permeabilidade µ R , ? 
60 	Editora Ao Livro Técnico 
H [3 	 
H 
ti.<1 
3 
CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS 
QUANTO À PERMEABILIDADE 
3.1 — Classificação geral 
Em termos de permeabilidade relativa, todos os materiais enquadram-se nos 
três casos abaixo: 
Os materiais com µ, >1 reforçam um campo inicial. Isto é conseguido pelo 
alinhamento dos domínios no mesmo sentido do campo, que produz um campo 
resultante dentro do material mais intenso do que fora dele. 
lI 
alinhamento dos domínios 
campo resultante 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	61 
No segundo grupo, encontramos o vácuo, µR =1. Uma vez que a permeabilidade 
relativa é definida em relação ao vácuo, então é natural que: 
PR = 	 .: P R = Po 
Po 	 Po 
p R = 1 
No terceiro grupo, o campo dentro do material é menor do que fora dele. Isto é, 
o material com vt, <1 possui a propriedade de enfraquecer um campo inicial. 
Para que isto ocorra, deve haver um alinhamento dos dipólos magnéticos em 
sentido oposto ao do campo aplicado. 
1I 
 
13 
 
 
Mas como isto é possível? Sabemos que os dipólos elementares se alinham 
sempre no sentido do campo. Você encontrará a resposta na seqüência estudando os 
materiais diamagnéticos. 
3.2 — Materiais diamagnéticos 
Os materiais que apresentam p,<1 são chamados de materiais diamagnéticos. 
Eles apresentam a interessante propriedade de alinhar seus dipólos magnéticos em 
sentido contrário ao campo aplicado, reduzindo portanto o campo resultante em seu 
interior. Na realidade, esses materiais, na ausência de um campo aplicado, não 
apresentam dipólos magnéticos. Os campos magnéticos, devido ao movimento orbital 
dos elétrons e de seus respectivos spins, cancelam-se mutuamente, apresentando 
resultante igual a zero no átomo. 
Nesses materiais, os elétrons circulam de tal forma que equivalem a pares de 
elétrons circulando em cada órbita , em sentidos opostos e com spins também opostos. 
Isto justifica uma resultante nula na ausência de campo. 
Dois elétrons circulando em 
sentidos opostos, produzindo 
campos que se cancelam. 
62 	Editora Ao Livro Técnico 
Vamos separar os dois elétrons mostrados na figura anterior para melhor entender 
o que ocorre: 
Elétrons de um mesmo átomo separados 
convenientemente para análise. 
Vemos então que o campo produzido pelo primeiro elétron cancela o campo 
do segundo elétron. 
Quando aplicamos um campo externo, surgem forças sobre cada um dos elétrons. 
Fm Haplic. Haplic. 
Fm 
A força magnética Fm puxa a carga no sentido indicado. 
Uma carga circulando perpendicularmente a um campo fica sujeita a uma força 
cujo sentido depende dos sentidos de deslocamento da carga e do campo aplicado. 
Este assunto é abordado na Unidade III, 4.2 — Força em uma carga em movimento 
dentro de um campo magnético. 
Os dois elétrons estavam até então em equilíbrio em suas órbitas pela ação 
da força elétrica* atrativa exercida pelo núcleo e pela força centrífuga** exercida em 
sentido oposto. 
Então a força adicional Fm provoca um desequilíbrio, puxando o primeiro elétron 
para fora de sua órbita e o segundo elétron para dentro de sua órbita. 
Visto que as órbitas dos elétrons são quantizadas*** e a força magnética Fm é 
muito pequena, os elétrons permanecerão em suas órbitas, porém com velocidades 
F = K 	- 
1-2 
* A força elétrica é dada pela Lei de Coulomb: 
** A força centrífuga é dada por: F= 	 
R 
*** As órbitas são quantizadas, ou seja, um elétron só pode migrar para outra órbita quando 
adquirir uma quantidade de energia mínima a qual chamamos de quântum. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	63 
diferentes. O primeiro elétron reduzirá sua velocidade para diminuir sua força centrífuga 
e permanecer em equilíbrio em sua órbita. Enquanto isso, o segundo elétron terá que 
aumentar a sua velocidade. Com isso, os campos magnéticos gerados por cada elétron 
deixarão de ser iguais. 
agora os campos produzidos pelos dois elétrons são diferentes 
Observe que o campo do primeiro elétron H1 é agora menor do que o campo 
H2. A resultante H1- H2 terá o sentido do maior que, portanto, se oporá ao campo 
aplicado. Reunindo os dois elétrons novamente, observaremos então que a presença 
de um campo aplicado, induz no átomo, um campo contrário. 
Chama-se de efeito diamagnético o aparecimento de um campo induzido no átomo, 
contrário ao campo aplicado. 
O efeito diamagnético está presente em todos os materiais, porém nem todos o 
apresentam exteriormente, pois outros efeitos o sobrepujam. 
O comportamento de um material diamagnético é novamente ilustrado na 
seqüência. 
s 
	
s 
aterial diamagnético 
tb<1 ou seja u<K, 
64 	Editora Ao Livro Técnico 
No desenho anterior, as linhas de força desviam exageradamente o material 
diamagnético. Na realidade esse efeito não é tão pronunciado. Os materiais 
diamagnéticos possuem permeabilidade pouquíssimo menor do que a do vácuo. 
Entretanto, se dispuséssemos de materiais com diamagnetismo bastante acentuado, 
poderíamos perceber que estes são repelidos por campos magnéticos. Na verdade, 
esses materiais existem, apesar de serem ainda instáveis e necessitarem de temperaturas 
muito baixas. São os supercondutores. Esses materiais são considerados diamagnéticos 
perfeitos e podemos fazê-los flutuar sobre um campo magnético de intensidade 
razoável. A seguir, relacionamos alguns materiais diamagnéticos e suas respectivas 
permeabilidades relativas. 
material liTz 
bismuto 0,99983 
prata 0,99998 
chumbo 0,999983 
cobre 0,999991 
água 0,999991 
supercondutor 0,0 
materiais diamagnéticos 
3.3 - Materiais paramagnéticos 
São materiais paramagnéticos os que apresentam permeabilidade relativa 
ligeiramente maior que a unidade (µ, >1). Isto quer dizer que os materiais 
paramagnéticos reforçam um campo inicial. 
Os materiais paramagnéticos apresentam internamente dipólos magnéticos 
criados pelos spins dos elétrons. 
dipólo 
magnético 
Amostra de um material 
paramagnético, cujos 
dipólos encontram-se 
orientados aleatoriamente. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	65 
Os dipólos dentro do material ficam orientados aleatoriamente, devido ao seu 
estado de agitação térmica, mesmo à temperatura ambiente. 
Aplicando um campo externo, consegue-se alinhar parcialmente os dipólos. Esse 
alinhamento produzuma concentração maior de linhas de força dentro do material. A 
isso se dá o nome de efeito paramagnético. Portanto: 
Efeito paramagnético é o surgimento de um campo magnético maior no interior do 
material em função da orientação dos dipólos magnéticos. 
Haplic. 
	*e. 
/ 
Observe que esse campo ao ser aplicado também cria o efeito diamagnético. Se 
o efeito paramagnético for maior, o material é paramagnético. Entretanto, se o efeito 
diamagnético prevalecer, então o material será diamagnético. 
A seguir, apresentamos uma relação de materiais paramagnéticos e sua respectiva 
permeabilidade relativa. 
material PR 
ar 1,0000004 
alumínio 1,00002 
paládio 1,0008 
materiais paramagnéticos 
3.4 — Materiais ferromagnéticos 
Os materiais ferromagnéticos são aqueles que apresentam permeabilidade 
relativa muito maior do que a unidade (µR »1). São a classe de materiais de maior 
importância na eletrotécnica, visto que apresentam vasta aplicação prática, como na 
confecção de núcleos de máquinas elétricas, transformadores, reatores etc. 
A semelhança que existe entre essa classe de materiais e os materiais 
paramagnéticos reside no fato de ambos apresentarem permeabilidade relativa maior 
que um (ptR >1). Entretanto, nos materiais ferromagnéticos essa característica é 
bastante acentuada pela presença dos domínios magnéticos, assunto que abordamos 
no capítulo anterior. Isto confere aos materiais ferromagnéticos altíssimos valores 
de permeabilidade relativa. 
66 	Editora Ao Livro Técnico 
11I 
Domínios magnéticos: partículas 
características dos materiais 
ferromagnéticos. 
Considerando-se a natureza cristalina dos materiais, podemos mostrar em um 
desenho em perspectiva como ficam dispostos os domínios em um cristal não magnetizado. 
Arranjo de domínios num cristal desmagnetizado. 
(ilustração esquemática) 
Sob a ação de campos externos, esses domínios tendem a se orientar, fazendo 
com que o material como um todo apresente um elevado valor de indução magnética 
em seu interior. Naturalmente não serão todos os domínios que irão se orientar com 
qualquer campo externo aplicado. 
Aqueles cujos eixos norte-sul estiverem mais próximos da direção do campo 
magnetizante irão se orientar primeiro. Para os demais, será necessário um campo 
mais forte para alinhá-los. 
(1) 
	
(2) 
s H 
 
Para um campo H aplicado crescente, o domínio (1) 
irá se orientar antes que o domínio (2). 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	67 
Isto quer dizer que se formos aumentando um campo aplicado a um material 
ferromagnético, os domínios irão se orientando gradativamente. Este é o efeito 
ferromagnético. Assim: 
Efeito ferromagnético é o aparecimento de um forte campo induzido dentro do material 
produzido pela orientação dos domínios sujeitos a um campo magnetizante. 
São apenas três os elementos químicos que apresentam na sua forma pura o 
efeito ferromagnético de forma expressiva: o ferro, o níquel e o cobalto. Apesar disso, 
uma infinidade de substâncias produzidas através da combinação desses três elemehtos 
com outros, que a princípio não são ferromagnéticos, constituem os materiais 
ferromagnéticos largamente empregados na construção de máquinas elétricas como 
transformadores, motores, geradores etc. 
O mais importante dos materiais ferromagnéticos é sem dúvida o ferro. Tanto é 
verdade que o nome ferromagnético é usado para caracterizar a classe de materiais 
que têm comportamento semelhante ao ferro. 
Muitas vezes o termo material magnético é usado ao invés de ferromagnético. 
Neste caso, queremos apenas fazer distinção entre aqueles materiais que podem ser 
atraídos por um ímã e os que não podem, que são então chamados de materiais não 
magnéticos. 
Valores típicos de permeabilidade relativa e considerações sobre os materiais 
ferromagnéticos serão abordados no capítulo seguinte. 
3.5 — Exercícios propostos 
A — Responda as questões abaixo: 
a) Quais as permeabilidades relativas típicas de materiais diamagnéticos, 
paramagnéticos e ferromagnéticos? 
b) O que é efeito diamagnético? 
c) Qual é a causa do efeito diamagnético? 
d) O que é efeito paramagnético? 
e) Qual é a causa do efeito paramagnético? 
f) O que é efeito ferromagnético? 
g) Qual é a causa do efeito ferromagnético? 
h) Quais as classes de materiais que apresentam dipólos magnéticos? 
i) Que classe de materiais apresenta domínios magnéticos? 
j) Por que os dipólos dos materiais paramagnéticos não formam domínios 
magnéticos? 
68 	Editora Ao Livro Técnico 
FENÔMENOS DE FERROMAGNETISMO 
4.1 — Curva de magnetização 
Podemos traçar uma curva que mostre como a indução magnética, que depende 
principalmente da orientação dos domínios, varia em função de um campo H aplicado. 
Vamos tomar uma amostra de um determinado material ferromagnético 
desmagnetizado. Em seguida, vamos submetê-lo à variações crescentes de campo H. 
ÌÌ 
Ill 
Material ferromagnético desmagnetizado. 
Nossa fonte de campo H será uma bobina enrolada sobre o material, submetida 
a uma corrente elétrica. 
Campo H gerado pela bobina: H=NI/I 
Como a amostra está inicialmente desmagnetizada, a indução magnética é nula 
em seu interior. Aplicando uma pequena corrente na bobina, gera-se um pequeno 
valor de campo H. Este campo determina um crescimento naqueles domínios cuja 
posição inicial de seus eixos norte-sul está mais próxima da direção do campo aplicado. 
11 
Os domínios 2 e 3 irão crescer pela influência do campo H. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	69 
.,•••••• H aplic. 
Se aumentarmos o valor do campo H aplicado, aqueles domínios crescerão 
ainda mais e ajudarão a forçar os demais domínios a se orientarem no mesmo sentido. 
Essa orientação será gradativa à medida que formos aumentando o campo H. Portanto, 
aqueles domínios, cujo alinhamento inicial coincide com o campo aplicado 
simplesmente crescem em volume enquanto que os demais são forçados a girar no 
sentido do campo aplicado. 
Resumindo, os aumentos sucessivos no campo H farão com que a indução 
magnética no material também aumente, apesar de não ser uma relação linear. 
O gráfico a seguir nos mostra como varia a indução magnética em função do 
campo H aplicado a um material ferromagnético típico. 
Observe no gráfico que para um campo 
H=200 A/m a indução é de 0,2 T. Dobrando o valor 
de H, ou seja, para H=400 A/m, a indução pula de 	B(T) 
	
0,8 		 
0,2 T para 0,60 T, aumentando em três vezes o 
06 
seu valor inicial. Por outro lado, quando H aumenta 	0,4 
de 800 A/m para 1000 A/m, o valor de B aumenta 	0.2 
I 	I 
muito pouco. Se continuarmos a aumentar H, os 	 o c› o c, c, c c, , 8 H(A/m) 
C•J 	sO 00 c, 
aumentos no valor de B serão cada vez mais 
curva de magnetização 
insignificantes. Quando isto ocorre, ou seja, quando 
não há mais um aumento significativo no valor de B, por mais que se aumente H, 
dizemos que o material está magneticamente saturado. A saturação, portanto, é atingida 
quando todos os domínios magnéticos estiverem orientados*. 
Todos os domínios estão orientados. O material está magneticamente 
saturado pela ação do campo H aplicado. 
* Na realidade, mesmo depois do ponto onde dizemos que o material está saturado, ainda 
existem domínios para serem orientados. Portanto, o campo B continua aumentando um pouco 
quando se aumenta o campo H. Mesmo que todos os domínios fossem orientados, ainda assim 
B continuaria aumentando com os aumentos de H, pois B=µ.(H+M). Então, mesmo que não 
haja mais domínios para serem orientados e portanto a magnetização M não mais aumente, há 
ainda aumento no valor de B proporcionado pelo aumento de H. Porém, a contribuição de H 
para o campo total B é muito pequena comparada às contribuições de M e desta forma podemos 
desprezá-la. Levando-se em conta essas considerações, torna-se difícil estabelecer com exatidão 
o ponto de saturação de um material. 
70 	Editora Ao Livro Técnico 
Na curva de magnetização mostrada como exemplo, o material satura, atingindouma indução máxima em torno de 0,831 Para melhor entender a saturação, imagine que 
a amostra estivesse sendo usada como um eletroímã. A força com que esse eletroímã 
atrai um pedaço de ferro depende diretamente da corrente aplicada. No entanto, não 
podemos aumentar indefinidamente a força desse ímã, aumentando a corrente aplicada. 
Chegará um ponto em que por mais que aumentemos a corrente, a força do eletroímã, 
não mais aumentará significativamente. Nossa intuição poderá então nos dizer para trocar 
de material, a fim de conseguir um ímã mais potente. Se assim fizermos, vamos constatar 
que existem materiais que nos proporcionam eletroímãs mais fortes do que outros. Ou 
seja, existem materiais que atingem seus pontos de saturação com valores mais elevados 
do que outros. Este fato está relacionado com a natureza atômica do material. 
B(T) 
Bmáx3 
Bmáx2 
Bmáx I 
H(A/m) 
Curvas de magnetização para 3 diferentes materiais 
Voltando ao eletroímã, naturalmente obteríamos melhores resultados utilizando-
se o material 3, que é aquele que atinge a saturação com o mais elevado valor de 
indução magnética. 
4.2 — Variação da permeabilidade relativa de materiais ferromagnéticos 
Observando a curva de magnetização a seguir e lembrando que a permeabilidade 
magnética é dada por 
= 
H 
e !IR 
vamos chegar a conclusão que a permeabilidade magnética de materiais 
ferromagnéticos não é uma constante. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 71 
Tomando os cinco pares de valores do gráfico e fazendo o cálculo 
e posteriormente 
=
B 
H 
, teremos: 
B(T) 
0,8 
0,6 
0,4 
0,2 
c) c, c) c) c) c, c) c> c) c) 	H(A/m) 
N 	00 C> 
curva de magnetização 
µi= 0,2/200 = 0,001 H/m 	--> 	µRi= 0,001/4p.10-7 µR,= 796 
µ2 = 0,6/400 = 0,0015 H/m 	 p,R2 = 0,0015/4p.10-7 1R2= 1194 
µ3 = 0,75/600 = 0,00125 H/m —> 	µR3= 0,00125/4p.10-7 gR3= 995 
Fazendo os cálculos para os outros dois pares de valores, teremos: 
p.4 =0,001 H/m --> 1-1R4 = 796 
µ5 = 0,00083 H/m 	R5 = 660 
Portanto, para diferentes valores de campo H aplicados a um material 
ferromagnético, teremos diferentes valores de permeabilidade relativa. Podemos 
construir um gráfico de µR = f(H) para os valores acima. 
1200 
900 
600. 
300 
C 0 o o o 
O o o o o 
C,1 <:t• 	oo 
H(A/m) 
curva de variação da permeabilidade 
em função do campo aplicado 
Observamos que o máximo valor de permeabilidade relativa ocorre nesse 
exemplo, com um campo aplicado de 400 A/m. Para valores iniciais de campo H 
aplicado, a permeabilidade do material é identificada no gráfico por um µR inicial. 
72 	Editora Ao Livro Técnico 
Concluindo, a permeabilidade relativa de materiais ferromagnéticos não é 
constante. Depende do valor de campo aplicado. Normalmente se utilizam os valores 
de permeabilidade relativa máxima e inicial para caracterizar um material ferromagnético. 
A seguir, forneceremos esses valores para alguns materiais. 
material µR inicial µR máxima 
aço-silício (3si) 7500 55.000 
78 Permalloy (78,5 Ni) 8000 100.000 
Supermalloy ( 79Ni,5 No) 100.000 1.000.000 
Ferrite Ni - Zn 2.500 5.000 
4.3 — Histerese magnética 
Quando materiais ferromagnéticos são submetidos à variações e inversões de 
campos magnéticos, ocorre um interessante fenômeno, cujas conseqüências em 
máquinas elétricas são muito importantes, conforme veremos na seqüência . 
Vamos adotar uma amostra de material ferromagnético qualquer, inicialmente 
desmagnetizada, e através de um campo externo aplicado, levá-la à saturação. 
 
11 H 
aplic. 
 
 
 
material ferromagnético 
desmagnetizado 
material magneticamente magneticamente saturado 
(todos os domínios orientados) 
Da condição de desmagnetizado até a saturação, o material passa por estágios 
intermediários de magnetização que é ilustrado na curva de magnetização. 
B(T) 
H(A/m) 
curva de magnetização típica 
de materiais ferromagnéticos 
Fundamentos de Eletromagnetismo 73 
(cì (d) 
1 / N 
Material desmagnetizado Campo H aplicado. 	Elevado valor de campo 
Material parcialmente 	aplicado. Material já 
magnetizado. 	 saturado. 
Se começarmos a diminuir o campo aplicado*, os domínios começarão a retornar 
às suas posições de alinhamento aleatório . 
Entretanto, nem todos voltam às suas posições originais, após cessado o campo 
magnetizante. Na seqüência, mostramos as orientações assumidas pelos domínios 
durante três etapas de magnetização e desmagnetização parcial . 
Um campo H será aplicado, aumentando até o ponto em que o material sature. 
Em seguida, será diminuído até retornar a zero. 
(a) 
	
(b) 	 ( c) 
Campo aplicado retorna 	Campo aplicado igual do Campo aplicado sendo 
a zero. O material perna- item b. Os domínios não 	diminuído. Material ainda 
nece parcialmente magne- retomam à mesma posição. saturado. 
tizado. 
Para entender o que ocorre, compare as figuras (d) com (c), (e) com (b) e (f) 
com (a). Elas representam as orientações dos domínios para os mesmos valores de 
campo H aplicado durante a magnetização e desmagnetização parcial . 
Na figura (a), o material encontra-se completamente desmagnetizado, sem 
nenhum campo a ele aplicado . 
Na figura (b), são mostradas as •novas posições assumidas pelos domínios 
quando um campo H, de valor intermediário, é aplicado. 
Na figura (c), o campo aplicado é intenso o suficiente para o material atingir a 
saturação. 
Na figura (d), começa-se a diminuir o campo aplicado. O material ainda está saturado. 
Na figura (e), o campo foi diminuído para o mesmo valor de campo aplicado na 
figura (b). Apesar disso, os domínios não retornam às mesmas posições que as mostradas 
na figura (b). 
Finalmente, na figura (f), o campo aplicado foi trazido a zero. Comparando-se 
com a figura (a), observamos que os domínios não retornaram às mesmas posições 
* O campo magnético aplicado pode ser produzido por uma corrente circulando em uma bobina onde 
a amostra de material estaria imersa, ou por um ímã sendo aproximado ou afastado do material 
74 	Editora Ao Livro Técnico 
máx H(A/m) 
de desarranjo total. Pelo contrário, permaneceram levemente orientados mesmo sem 
a presença do campo aplicado. Isto quer dizer que o material permaneceu com uma 
indução denominada residual. Portanto: 
Indução residual é o valor de indução que permanece no material após cessado o 
efeito do campo magnetizaste. 
A curva de magnetização mostra os valores de indução adquiridas pelo material 
em função dos valores de campo H aplicados. 
Podemos, a partir dela, mostrar graficamente o que ocorreu com o material 
durante o aumento e a diminuição do campo aplicado. 
A curva a corresponde à magnetização do material pelo aumento do campo 
aplicado. Ela mostra o campo H aumentando desde zero até o valor assinalado por 
Hmáx Em conseqüência desses valores aplicados, a indução varia desde zero até o 
valor indicado por Bmáx. Ao variar de zero até Hmáx , o campo passa pelo valor 
intermediário "H l", que corresponde a uma indução no material igual a "Bi". 
A curva b corresponde à desmagnetização parcial do material. O campo H é 
então diminuído até zero. A indução diminui de Bmáx para Br, não retornado portanto 
a zero. Observamos que quando o campo está sendo diminuído e passa pelo valor 
"H l", a indução correspondente é B2 . 
Resumindo, quando o campo H é retornado a zero, o material ainda permanece 
magnetizado com valor Br. Se quisermos eliminar a indução residual do material, 
devemos aplicar um campo H em sentido contrário, portanto um campo negativo. 
Aumentando-se então gradativamente este campo, a indução irá aos poucos 
diminuindo até chegar a zero. Quando isto ocorre, os domínios estarão novamente 
em completo desalinhamento entre si. 
• Fundamentos de Eletromagnetismo 	75 
Observe no gráfico que à medida que H aumenta negativamente, B diminui até 
cair a zero quando H atingir o valor -Hc. A indução residual é, portanto, eliminada 
graças à aplicação de um campo -Hc, denominado campo coercitivo. Portanto:Campo coercitivo é o valor de campo necessário para eliminara indução residual. 
Se o campo continuar a aumentar negativamente, ocorrerá uma orientação 
gradativa dos domínios em sentido oposto. Se H aumentar suficientemente, o material 
poderá novamente atingir a saturação, agora negativa. 
76 	Editora Ao Livro Técnico 
Prosseguindo, agora diminuindo H até zero, a indução cairá de -Bmáx para -Br. 
Para eliminar -Br, invertemos novamente o campo H. O valor de campo que 
elimina a indução residual será agora Hc. 
Finalmente, se prosseguirmos aumentando H, o material vai saturar novamente. 
Assim fecha o nosso gráfico, conhecido como ciclo de histerese. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 77 
Histerese é uma palavra de origem grega e que significa atraso. Nos sucessivos 
aumentos, diminuições e inversões que procedemos no campo H, o que observamos 
é que a indução se atrasa em relação ao campo H. Veja por exemplo que, enquanto H 
está decrescendo a zero, a indução está chegando em Br. Depois, quando H já se 
tornou negativo e cresce até o valor -Hc, só então B chega a zero. E assim por diante, 
B está sempre atrasado em relação a H. 
4.4 — Perdas por histerese 
Para obtermos o ciclo de histerese, havíamos aplicado a um material 
ferromagnético uma seqüência de valores de campo H como segue: 
a) aumenta-se H a partir de zero até Hmáx; 
b) diminui-se H desde Hniáx até zero; 
c) inverte-se H aumentando até -Hmu; 
d) diminui-se H desde -Hrnáx até zero; 
e) reinverte-se H aumentando-o até H rnáx, fechando o ciclo. 
Analisando máquinas e dispositivos que funcionam em corrente alternada, 
chegaremos à conclusão de que seus núcleos ficam expostos às mesmas variações 
de H. Vejamos o caso de um transformador. 
primária 	 secundária 
e (V) 
 
 
 
O campo magnético criado na bobina primária do transformador é dado pela 
conhecida equação H = N I/ I. Sendo a corrente aplicada alternada, o campo H também 
o será: 
78 	Editora Ao Livro Técnico 
Isto quer dizer que o núcleo do transformador será submetido a uma seqüência 
de variações de H exatamente como descrevemos acima: aumenta, diminui, cai a 
zero, inverte e aumenta, diminui, cai a zero, reinverte etc. 
Então, a cada ciclo da corrente alternada, o núcleo fica sujeito a um ciclo de 
histerese. Em outras palavras, na freqüência de 60 Hz, ocorrerão 60 ciclos de histerese 
a cada segundo no material. 
As perdas por histerese surgem devido ao atrito interno a que ficam sujeitos os 
domínios entre si, ao sofrerem mudança em sua posição, devido a influência de um 
campo aplicado. Como conseqüência, o núcleo se aquece e a energia para aquecê-lo 
provém da fonte que alimenta o transformador ou qualquer que seja a máquina em 
questão. Resumindo, uma parcela de energia é desperdiçada no aquecimento 
desnecessário e indesejável do núcleo da máquina. 
Cada material apresenta ciclos de histerese diferentes como ilustrado abaixo, 
fato que está relacionado com a composição química do mesmo. O teor de materiais 
não ferromagnéticos, como, por exemplo, o carbono presente no aço determina o 
nível de atrito interno entre os domínios e as moléculas desses materiais. É isso que 
vai determinar a intensidade das perdas. 
A largura do ciclo de histerese é determinada pelo valor do campo coercitivo Hc. 
Então, materiais com largo ciclo de histerese, requerem mais energia da fonte para 
vencer o atrito interno durante as inversões de campo magnético. 
Mais especificamente, a perda por histerese é proporcional à área envolvida 
pelo ciclo de histerese. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 79 
A perda por histerese é proporcional à área 
envolvida pelo ciclo de histerese. 
Naturalmente, os núcleos de máquinas elétricas de corrente alternada devem 
ser feitos de materiais com ciclos de histerese com área menor possível. O ideal seria 
um material cujo ciclo de histerese tivesse área nula. 
13 
H 
Há ainda que se considerar que o ciclo de histerese nem sempre envolve a 
saturação do material. Na verdade, para a maioria das máquinas, os núcleos trabalham 
longe da saturação. Assim, as curvas de histerese para um mesmo material podem ser 
várias, dependendo do valor de Hmáx aplicado ao núcleo, dado efetivamente pelo 
valor da corrente que circula na bobina do dispositivo. 
A curva de histerese que envolve a saturação do material é chamada de curva de 
histerese de saturação. 
Curvas de histerese 
80 	Editora Ao Livro Técnico 
4.5 - Ciclo de histerese na determinação das características de um ímã 
Se por um lado os núcleos de máquinas elétricas requerem materiais com estreito 
ciclo de histerese para minimizar as perdas, por outro lado existem aplicações específicas 
para os materiais com largo ciclo de histerese. A aplicação mais importante para esses 
materiais são os ímãs permanentes. Um bom ímã permanente só pode ser feito com 
materiais com largo ciclo de histerese. 
Analisemos na curva de histerese de saturação abaixo: 
Quando aplicamos um campo H ao material, de intensidade suficiente para levá-lo 
à saturação (Hmáx), a indução no material será então Bmáx. Isto quer dizer que este valor de 
H foi suficiente para orientar todos os domínios do material e qualquer incremento em 
seu valor não resultará em nenhum acréscimo significativo no valor de B. 
Se zerarmos o campo H aplicado, a indução cairá de Bmáx para Br. Como não 
há diferença significativa entre os dois valores, concluímos que uma vez 
magnetizado o material, não há mais necessidade do campo magnetizante H. Ou 
seja, o magnetismo residual do material permanece muito alto, o que é uma 
característica desejável de um bom ímã. Essa indução residual no ciclo de saturação 
é chamada de retentividade. 
Retentividade de um material é o máximo valor de indução residual. 
Outra característica desejável para os ímãs permanentes é a alta resistência à 
desmagnetização. Na curva, podemos perceber que é necessário a aplicação de um 
campo -Hc para zerar a indução residual. Esse campo, como vimos anteriormente, 
chama-se campo coercitivo e especificamente para o ciclo de saturação esse valor de 
campo é conhecido como coercitividade. 
Coercitividade é o valor do campo coercitivo no ciclo de saturação. 
Fundamentos cie Eletromagnetismo 	81 
Podemos também dizer que coercitividade é a grandeza que representa a 
resistência à desmagnetização de um material. 
A seguir apresentamos os valores de coercitividade e retentividade para alguns 
materiais: 
Material Coercitividade (A/m) Retentividade ( T ) 
Alnico 2 44.800 0,7 
Alnico 5 44.000 1,25 
Alnico 8 126.000 1,04 
Aço-carbono 4000 1,0 
Samario-cobalto 560.000 0,84 
Aço-silício 3 4,8 1,22 
Supermalloy 0,16 0,5 
Pelos valores da tabela concluímos que o material mais resistente à 
desmagnetização é a liga samário-cobalto enquanto que o menos resistente é o 
Supermalloy. É necessário um campo de 560.000 A/m para desmagnetizar o 
samário-cobalto e apenas 0,16 A/m para o Supermalloy. 
Observamos que existem diferenças muito grandes nos valores de coercitividade 
e retentividade para os diferentes materiais. Essas diferenças se devem a muitos fatores, 
entre eles: características da estrutura molecular do material, impurezas, imperfeições 
na rede cristalina etc. 
4.6 — Blindagem magnética 
Em algumas situações é desejável manter uma determinada área livre da 
interferência de campos magnéticos. É o caso de alguns instrumentos de medição, 
relógios etc. 
Para se conseguir isso, faz-se uso dos materiais ferromagnéticos. 
Para se proteger um objeto ou dispositivo qualquer de campos magnéticos 
estranhos, basta lhe fazer uma envoltória com material ferromagnético, denominada 
blindagem magnética. 
82 	Editora Ao Livro Técnico 
Internamente ao cilindro oco, o campo magnético é nulo. 
As linhas de força concentram-se pelo material ferromagnético e a região interna 
fica livre de qualquer campo magnético. 
Esse efeito é chamado de blindagem magnética. 
4.7— O mecanismo de ferro móvel 
Um dos mecanismos mais simples e robustos utilizados nos instrumentos de 
medição é o mecanismo de ferro móvel. Seu princípio de funcionamento servirá para 
sedimentarmos os conceitos de indução e permeabilidade. 
Seja então uma bobina em forma de cilindro oco. Em seu interior, colocamos 
uma lâmina de material ferromagnético fixa à parede da bobina, e uma lâmina móvel 
acoplada a um sistema de eixo e mancais. Acoplado ao eixo, um ponteiro que avança 
sobre uma escala, indicando o valor da grandeza que normalmente é uma tensão ou 
uma corrente elétrica. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	83 
Então, quando uma corrente elétrica é aplicada à bobina, um campo magnético 
é criado. As linhas de força desse campo magnetizam as lâminas, transformando-as 
em ímãs com as polaridades indicadas na figura a seguir. 
Observa-se então que o pólo sul da lâmina fixa fica ao lado do pólo sul da 
lâmina móvel. O mesmo ocorre com as outras extremidades, ou seja, pólo norte da 
lâmina fixa ao lado do pólo norte da lâmina móvel. Ocorre então repulsão entre a 
lâmina móvel e a lâmina fixa. Desta forma, a lâmina móvel irá se afastar da lâmina fixa, 
girando através do eixo ao qual está vinculada e arrastando o ponteiro sobre a escala. 
Se a corrente na bobina for aumentada, aumentará a magnetização das lâminas 
e conseqüentemente a repulsão entre elas. A conseqüente proporcionalidade existente 
entre a corrente aplicada à bobina e a deflexão do ponteiro permite a construção de 
uma escala para medir essa corrente. Pode-se também construir uma escala para 
medir a tensão aplicada à bobina. A princípio, o mecanismo destinado a medir corrente 
deve ser feito com poucas espiras e fio grosso para apresentar baixa resistência interna, 
uma vez que o amperímetro é ligado em série com o circuito. Por outro lado, o voltímetro 
deve possuir muitas espiras de fio fino para possibilitar alta resistência, uma vez que é 
ligado em paralelo. Entretanto, um mesmo mecanismo pode ser utilizado como 
amperímetro ou voltímetro, procedendo-se pequenas alterações. 
84 	Editora Ao Livro Técnico 
Se você quiser saber se determinado voltímetro ou amperímetro utiliza o 
mecanismo de ferro móvel, verifique no canto inferior direito da escala se consta o 
seguinte símbolo: 
Símbolo mecanismo de ferro móvel 
4.8 - Exercícios propostos. 
A — Responda as questões abaixo : 
a) O que é saturação magnética? 
b) Por que a permeabilidade relativa dos materiais ferromagnéticos não é 
constante? 
c) O que é histerese magnética? 
d) O que é indução residual? 
e) O que é campo coercitivo? 
f) O que é ciclo de histerese de saturação? 
g) O que é retentividade e qual sua unidade? 
h) O que é coercitividade e qual sua unidade? 
i) Qual o efeito causado nos núcleos de máquinas de CA que caracteriza a 
perda por histerese? 
j) O que é blindagem magnética? 
B — Na figura a seguir, um bastão de aço é gradativamente aproximado de um ímã até 
o instante em que o bastão consegue segurar um clipe. Então é medida a distância 
que separa o pólo do bastão (x). O bastão continua sendo aproximado até 
encostar no pólo e em seguida afastado. Ao ser afastado de uma distância bem 
maior do que x, percebe-se que o clipe continua atraído pelo bastão e inclusive 
ao ser afastado bem distante, continua atraindo o clipe. A experiência é feita com 
outro material ferromagnético, onde percebe-se que o clipe começa a ser atraído 
a uma distância 2x, e cai quando afastado a uma distância 3x. Chame de material 
A o primeiro e material B o segundo a ser testado. Então responda: 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	85 
N 
a) Qual material se magnetiza mais facilmente? 
b) Qual material apresenta maior indução residual? 
C — Na experiência anterior, após ser magnetizado o bastão de aço, ele continua 
segurando o clipe mesmo depois de afastado do pólo. Se invertermos o pólo 
do ímã e o aproximarmos do bastão magnetizado, percebemos que a uma 
certa distância ocorrerá a queda do clipe. Por que isto ocorre? 
D — Observe os ciclos de histerese de saturação de dois materiais diferentes, 
denominado "x"e "y" e responda, qual material: 
 
 
 
 
 
 
ft 
material "y" 
 
a) Apresenta maior valor de retentividade? 
b) Apresenta maior valor de coercitividade? 
c) Apresenta maiores perdas por histerese? 
d) Que proporciona um bom ímã? 
 
86 	Editora Ao Livro Técnico 
4.9 — Sugestões para laboratório 
Histerese magnética 
Objetivo: 
Observar o comportamento de diferentes materiais frente a campos 
magnetizantes. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 01 pç bastão de aço 1020 
02 01 pç bastão de aço 1045 
03 01 pç bastão de aço 1060 
04 01 pç ímã em forma de barra 
05 01 pç clipe 
06 01 pç régua 
Procedimento: 
Você irá magnetizar gradativamente cada bastão de aço através da aproximação 
de um ímã. O nível de magnetização, ou seja o campo B adquirido pelo bastão, pode 
ser avaliado visualmente pela força com que ele atrai um clipe. Quando o ímã for 
encostado ao bastão, teremos o maior valor de campo B embora não seja neces-
sariamente seu valor de saturação. Quando o ímã estiver sendo afastado do bastão, o 
campo magnetizante irá diminuindo e a indução no bastão também. Lembrando da 
curva de histerese, sabemos que quando o campo magnetizante H for reduzido a 
zero, teremos ainda certo valor de indução residual no bastão. O valor dessa indução 
residual dependerá do material e deveremos ter condições em nossa experiência, de 
observar qual dos tipos de aço retém o maior valor de indução residual. 
Para eliminar a indução residual, lembremo-nos de que é necessário a aplicação 
de um campo magnetizante em sentido contrário. Portanto, na experiência serão 
invertidos os pólos do ímã e aproximado do bastão até o ponto em que a indução 
residual seja eliminada. 
Com o bastão de aço 1020 em uma das mãos e o ímã na outra, mantenha o 
ímã acima da barra a uma distância em torno de 30 cm, ambos na vertical. Peça para 
alguém segurar o clipe encostado na barra de aço, e comece a aproximar o ímã da 
barra até a distância em que o clipe seja atraído. Com a régua, meça a distância 
aproximada entre o bastão e o ímã e anote. Continue a aproximar o ímã até que ele 
encoste no bastão. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 87 
N 
S 
as 
a.) -o 
o 
tect 
cn 
ce 
Inicie a operação lenta de afastamento do ímã. Quando estiver afastado o 
suficiente (mais de 50 cm) observe se o clipe continua atraído. Dependendo do aço, 
poderá ocorrer que sim ou não. Se o clipe permanecer atraído, significando portanto 
um elevado valor de indução residual, inicie a aplicação de um campo contrário. Para 
tanto, inverta os pólos do ímã e inicie uma aproximação lenta, até o ponto em que o 
bastão seja desmagnetizado e o clipe caia. Meça a distância aproximada com que isso 
ocorreu e anote. Prossiga com a aproximação e observe como o bastão volta a atrair o 
clipe, pois se magnetizou com polaridade oposta. 
Repita o procedimento para os bastões de aço 1045 e 1060, sempre anotando 
o que ocorre, especialmente em relação às distâncias. 
Atente para as seguintes observações. O número do aço indica seu grau de 
dureza e quanto maior o número, maior o grau de dureza. Por outro lado, aços mais 
duros são aqueles que contém maior percentagem de carbono em sua constituição. 
E o carbono dentro de um material ferromagnético é um dos principais responsáveis 
pela retenção dos domínios magnéticos em posições forçadas. Ou seja, é o principal 
responsável pela indução residual. Assim, na experiência, você deverá observar que 
o aço 1020 é o que se magnetiza mais facilmente, ou seja, começa a segurar o clipe 
a uma distância maior do que os outros aços. Por outro lado, o aço 1020 também 
se desmagnetiza facilmente e provavelmente não será capaz de manter o clipe atraído 
após o afastamento do ímã. Já o aço 1060 na operação de aproximação do ímã,só 
conseguirá segurar o clipe a uma distância bem pequena, pois devido ao alto teor 
de carbono, os domínios do material são difíceis de serem orientados. Entretanto, 
uma vez magnetizado, esse material permanece segurando o clipe mesmo depois 
do ímã afastado. 
88 	Editora Ao Livro Técnico 
CÁLCULO DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
5.1 — Circuito magnético 
Uma bobina, com núcleo de ar alimentada por corrente elétrica, gera um campo 
magnético H cujas linhas de força se distribuem simetricamente em relação ao seu 
eixo por todo o espaço ao seu redor. 
Essa distribuição de linhas ocorre devido à sobreposição do campo produzido 
em cada pedacinho do condutor que constitui a bobina e, portanto, sua configuração 
só se altera através da mudança na geometria da bobina. Se essa bobina for enrolada 
sobre um núcleo fechado ferromagnético, seu campo H será capaz de induzir um 
campo M através do percurso ferromagnético. Esse campo gera um fluxo magnético 
através do núcleo, que se sobrepõe ao fluxo gerado pelo campo H. 
Como o fluxo magnético gerado pela magnetização M é infinitamente maior do 
que o fluxo criado pelo campo H da bobina, para efeitos de aplicação prática, 
normalmente este último é desprezado. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 89 
onde g é a condutividade (siemens/metro - S/m) 
R= 1 
g. S 
, pois 
Assim, considera-se um fluxo homogêneo através do percurso constituído pelo 
material ferromagnético. Desta maneira, podemos dizer que: 
Um circuito magnético é um percurso definido para o fluxo magnético, normalmente 
constituído de material ferromagnético. 
5.2 — Força magnetomotríz 
Em um circuito elétrico série contendo apenas uma fonte e um condutor 
comprido interligando os terminais dessa fonte, a corrente é dada pela Lei de Ohm: 
= 
R 
Onde: 
I -4 intensidade de corrente (A) 
V ----> fem aplicada (V) 
R ----> resistência do condutor (e) 
A resistência do condutor é dada por: 
1 
R=p
s 
Onde: 
R ---> resistência do condutor (Q) 
p 	resistividade (em) 
comprimento do fio (m) 
5 	seção transversal (m2) 
Se ao invés da resistividade(p), utilizarmos a condutividade(g) na equação da 
resistência do fio, teremos: 
90 	Editora Ao Livro Técnico 
Resumindo, a corrente que passa pelo condutor é gerada pela força eletromotriz 
da fonte e é limitada pela resistência desse condutor. 
Essa breve análise do que ocorre em um circuito elétrico simples servirá de base 
para o estudo do circuito magnético. Os circuitos magnéticos são constituídos de 
materiais ferromagnéticos para oferecerem um caminho de fácil transposição por parte 
do fluxo magnético. 
Um circuito magnético, a exemplo dos circuitos elétricos, pode também ser série 
ou paralelo. 
Circuito magnético série. 
O fluxo se concentra pelo material 
ferromagnético, que oferece 
um caminho de fácil transposição. 
Circuito magnético paralelo. 
O fluxo se divide pelos dois braços. 
Para entendermos melhor os conceitos envolvidos, vamos tomar como exemplo 
um circuito magnético série. 
Nos circuitos magnéticos, podemos fazer analogias com as grandezas dos circuitos 
elétricos. 
Por exemplo, no circuito elétrico circula corrente elétrica, que na verdade é um 
fluxo de cargas elétricas. No circuito magnético é o fluxo magnético que circula. Portanto, 
a corrente elétrica e o fluxo magnético são grandezas análogas. 
No circuito elétrico, quem gera a corrente é a força eletromotriz (fem). No circuito 
magnético, a grandeza análoga é chamada de força magnetomotriz (fmm). Sabemos 
que o fluxo magnético de uma bobina é gerado através de uma corrente elétrica e que 
quanto maior o seu valor e quanto maior o número de espiras, maior será o fluxo. 
Portanto a força magnetomotriz será proporcional ao número de espiras e à intensidade 
de corrente que passa por ele. Em suma, podemos dizer que: 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	91 
A força magnetomotriz é a grandeza responsável pela criação do fluxo magnético 
em um circuito magnético. 
A força magnetomotriz é então calculada por: 
 
Onde: 
fmm —> força magnetomotriz (A) 
N —> número de espiras da bobina 
I —> intensidade de corrente que circula na bobina (A) 
Min= N .1 
Observe que a unidade da fmm é o ampère. A rigor, esta unidade deveria ser 
ampère.espira (A . esp.), pois fmm = N.I. No entanto, espira não é unidade de grandeza 
e por esta razão a maioria dos autores prefere utilizar apenas a unidade ampère para 
a força magnetomotriz. 
5.3 — Relutância magnética 
Os circuitos magnéticos, como vimos, apresentam uma facilidade muito grande 
à passagem do fluxo. Mesmo assim eles não são perfeitos. Assim como o cobre, por 
exemplo, conduz muito bem a eletricidade e, no entanto, apresenta uma resistência 
elétrica dada pela equação: 
OU 
1 
R=ps R= 1 
gS 
os circuitos magnéticos também apresentam uma oposição à passagem do fluxo. 
Essa oposição é caracterizada por uma grandeza chamada de relutância magnética. 
Relutância magnética é a oposição oferecida à passagem do fluxo magnético. 
A relutância magnética é a grandeza análoga à resistência elétrica. Ela também 
depende dos fatores geométricos seção e comprimento e ainda do material 
constituinte do núcleo, segundo a equação: 
 
= 	 
,uS 
 
sendo !..t calculado por p =p o.p, 
92 	Editora Ao Livro Técnico 
Onde: 
91 —> relutância magnética (ampère/ weber, A/Wb) 
I —> comprimento médio do circuito magnético (m) 
1.1 --> permeabilidade magnética do material constituinte do 
núcleo (henry/metro,H/m) 
5 -3 área da seção transversal do núcleo (m2) 
—> permeabilidade relativa do material 
—> permeabilidade do vácuo (p 0 =47r.10-7 H/m) 
Obs.: Note a semelhança da fórmula 9 = 	 com a fórmula R= 	 
p.S 	 g.S 
Por comparação, concluímos que permeabilidade (µ) é a grandeza análoga à 
condutividade (g). 
5.4 — A Lei de Ohm para circuitos magnéticos 
Podemos ainda, por analogia, chegar a uma relação entre o fluxo, a fmm e a 
relutância magnética. 
No circuito elétrico, a lei de Ohm nos fornece a seguinte relação: 
I_ fem 
R 
Então, utilizando as grandezas análogas do circuito magnético, temos: 
= 
fmm Onde: 
(1) -4 fluxo magnético (Wb) 
fmm —> força magnetomotriz (A) 
—> relutância magnética (A/Wb) 
Podemos obter mais uma equação para a força magnetomotriz a partir da 
equação de campo H para um solenóide toroidal. 
N.I 
H = 	 
1 
H.I = N.I , mas N.I = fmm: logo: 
 
finm = H.1 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	93 
5.5 — Núcleos laminados 
Todos os núcleos utilizados em corrente alternada são laminados para diminuir 
os efeitos das correntes parasitas, assunto que será visto na Unidade III (3 — Correntes 
de Foucault). Um núcleo qualquer é constituído de um pacote de lâminas, todas isoladas 
eletricamente entre si através de uma película de óxido ou uma camada de verniz. 
A área da seção transversal do núcleo é dada pelo produto das dimensões a e 
b, ou seja, Sg = a x b , onde Sg chamaremos de seção geométrica do núcleo. Esta 
seção compreende a área correspondente ao material ferromagnético e ao isolante 
que envolve as chapas. 
Material ferromagnético 
Isolante entre as chapas 
 
Na ampliação acima observamos seções transversais de algumas chapas e seções 
transversais das camadas isolantes. Obviamente o fluxo magnético só passará pelo 
material ferromagnético. Então a área da seção transversal por onde o fluxo irá passar 
será menor do que Sg. Chamaremos de seção magnética, Sm, a área por onde 
efetivamente o fluxo passará e que corresponde somente à área de material 
ferromagnético. 
Para se chegar ao valor de Sm, utilizaremos um fator redutor de área, que 
chamaremos de fator de utilização. Esse número, multiplicado pela seção geométrica 
do núcleo, nos fornece o valor da seção magnética: 
Sm = Sg x fu Onde: 
Sm —> seção magnética do núcleo (m2) 
Sg --> seção geométrica do núcleo (m2) 
fu —> fator de utilização 
 
94 	Editora Ao Livro Técnico 
O fator de utilização é adimensional e é um número menor ou igual a1,0. 
Quando a bobina é alimentada por corrente contínua, não há necessidade de se 
laminar o núcleo. Nesse caso, o fator de utilização é igual a 1,0. 
As chapas de núcleos podem ainda ser constituídas de aço de grãos orientados 
(GO) ou aço de grãos não-orientados (GNO). No primeiro tipo, o aço recebe um 
tratamento que faz com que os domínios (grãos) fiquem previamente alinhados, o 
que melhora substancialmente as qualidades magnéticas do aço. Entretanto, não se 
pode utilizar esse aço em qualquer aplicação pois em muitos casos a geometria do 
núcleo não permite. No caso do aço GNO, não é feito esse tratamento. Por essa 
razão, sua aplicação não fica restrita à casos de geometria particular, embora o 
rendimento seja inferior ao aço GO onde esse pode ser utilizado. 
5.6 — Resolução de circuitos magnéticos através da permeabilidade relativa 
Uma das maneiras de se resolver circuitos magnéticos é fazendo uso da 
permeabilidade relativa do material constituinte do núcleo. Desde que tenhamos então 
disponível este dado, o que na prática nem sempre acontece, podemos calcular 
grandezas de um circuito magnético, empregando as fórmulas que acabamos de 
apresentar. Por exemplo: 
Determinar a corrente necessária na bobina abaixo, para gerar um fluxo de 4 
mWb no circuito magnético. 
Sg 
µR = 2000 
N = 1000 espiras 
Unidades em cm. 
fu = 1,0 
25 
35 
Para calcular a corrente I, temos que usar: fmm = N.I, onde N = 1000 esp e a 
fmm é desconhecida. 
Para calcular a fmm, podemos usar fmm = (1).9-t. Portanto, temos que calcular 9Z 
= 1 / (1.S). 
O comprimento médio I é representado pelo percurso do fluxo mostrado no 
desenho. Podemos obter seu valor pela média dos comprimentos interno e externo 
do núcleo. 
1,„1 = 25+ 20+ 25+ 20 = 90cm; 1,,, = 35+ 30+35+30 = 130cm; 
1= 
90 +130 -
1= 110cm; 1= 1,1m 
2 
1= 1 
	
+ l ext 
2 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	95 
Então: 9Z = I / 	.: 9Z = 
87c.10-4.40.10- 
= 1,094.105 A / Wb 
1,1 
A seção geométrica Sg está representada no desenho da página anterior. É um 
retângulo de base 8cm e altura 5cm. Logo: 
Sg =8.10-2.5.10-2 ; Sg = 40.10-4 m 2 
A seção magnética Sm terá o mesmo valor de Sg, pois o fator de utilização é 1,0: 
Sm = Sg.fu Sm = 40.104 . 1,0 Sm = 40.10' m2 
= go .gR 	g = 47[10-7 .2000 .: 	= 8ic.10-4 H / m 
A força magnetomotriz será: fmm = 	= 4.10-3.1,094.105 .: fmm = 437,6 A 
E finalmente: fmm = N.I .: I = fmm/N = 437,6/1000 I= 0,44 A 
Resolvendo agora pela fórmula fmm = H.I 
H pode ser obtido por: H = Big .: onde B = (1)/Sm 
0 	4.10-3 
B = 	= 	B=1T 
Sm 40.10-4 
= go.g R = 47c.10-'.2000 	= 8n.10-4 H / m 
Então H = B/µ = 	1 
87C.1 0-4 	11=397'89A/111 
fmm = H.1 fmm = 397,89.1,1 fmm = 437,6A 
fmm
_ 
 437,6 
N 1000 
/ = 0,44A 
96 	Editora Ao Livro Técnico 
5.7— Resolução de circuitos magnéticos utilizando curvas de magnetização 
Pode-se resolver circuitos magnéticos com bastante precisão, fazendo uso das 
curvas de magnetização. Como cada material apresenta curva de magnetização diferente, 
torna-se necessário saber exatamente qual a composição do material ferromagnético 
do núcleo e ter em mãos sua respectiva curva de magnetização. Para nossos propósitos 
didáticos, utilizaremos a curva de magnetização de uma ferrite típica e de um tipo de 
aço-silício de grãos não orientados de alta qualidade, conhecido comercialmente como 
aço E-230, apresentados na seqüência. A curva da ferrite está em escala linear. Já a 
curva do aço silício encontra-se em escala semilogarítmica, para facilitar a obtenção de 
valores baixos de B ou H. Devido a isso, o aspecto dessa curva difere das curvas 
típicas estudadas, onde notamos no início um comportamento quase linear e 
posteriormente a região de saturação. Nesse gráfico, também é mostrada a curva de 
variação da permeabilidade relativa em função do campo H. 
B(T) 0,50 
0,45 
0,40 
0,35 
0,30 
0,25 
0,20 
0,15 
0,10 
0,05 
900 	1000 
H (A/m 
o 100 200 300 400 500 600 700 800 
Curva de magnetização de uma ferrite típica 
Fundamentos de Eletromagnetismo 97 
I 	II G 	II 
1 	; 	-, 
i 
, 
1 
1 
i 
1T 
I 
i 1 	_I 
1 
I 
I 
1 
i 
Tipo de A o/Grade : E- 230 
Espessura! Thcle ess 	0,50 nrn 
FrequCEcia i Frequency 60 Hz 
Densidade rDensi y 7,'0 gicnt' 
----I--- 
------1------ 
i 
I 
I 
ii 
i 1 
100 	 1000 	 10000 
INTENSIDADE DE CAMPO MAGNÉTICO / MAGNEMZING FORCE (A/M) 
8000 
ã.'7000 
>- 
CO 6 000 
uJ 
o. 5000 
a 
LLI 
<4000 
o 
3000 
a 
2000 
1000 
o 
10 
o 
100000 
2000 
800 
1600 
1400 
z 
o 
1200 
o 
z 
1000 —
O 
.< 
c> 
800 
600 
400 
200 
Dimensões em cm 
espessura: 10cm 
material: aço-silício 
fu=0,9 
tr, 
C 
A corrente será calculada por: 
A força magnetomotriz, por: 
finco 
1= 	 
N 
fmm = H . 1 
CURVA DE MAGNETIZAÇÃO & PERMEABILIDADE DE PICO 
MAGNETIZATION CURVE & PERMEABILITY CURVES 
Gentileza: ACESITA 
Vamos então resolver os seguintes exercícios: 
1 — Para o circuito magnético abaixo, determinar a intensidade de corrente 
necessária para produzir um fluxo de 6 mWb . 
30 
98 	Editora Ao Livro Técnico 
O campo H será obtido da curva de magnetização para o aço-silício, a partir do 
valor do campo B. 
O campo B, por sua vez, será determinado por: B= 
Sm 
Então: 
a) Cálculo do campo B ou indução magnética: 
B= = ° 
 = 6.10-3 
=B=1,33T 
Sm 	Sg • fu 5.10-2.10.10-2.0,9 
b) Determinação do campo H: 
Com o valor de B = 1,33T, para a curva de aço-silício, obtém-se o correspondente 
valor de H. Neste caso, H =250 A/m. 
c) Comprimento médio do circuito magnético (I): 
1= 25 + 35 + 25 + 35 1= 120cm 1= 1,2m 
d) Cálculo da força magnetomotriz fmm: 
fmm = H. 1 	fmm = 250.1,2 fmm = 300 A 
e) Cálculo da intensidade de corrente: 
/ = 
finm 300 l_ 
1= 3,O A 
N 100 
2 — Calcular o número de espiras necessárias na bobina abaixo, para que a 
indução na parte mais grossa do núcleo seja de 0,8T. 
 
Dimensões em cm 
espessura: 2 cm 
material: aço-silício 
fu=0,9 
 
10 
Fundamentos de Eletromagnetismo 	99 
Como o núcleo apresenta seções diferentes, vamos identificá-las por 1 e 2 como 
mostra a figura da página anterior. Na mesma figura, a linha tracejada mostra o caminho 
médio do fluxo. O problema deverá ser resolvido em duas partes, uma para cada 
seção diferente do núcleo. Assim, teremos que determinar duas forças magnetomotrizes 
que ao final deverão ser somadas. 
a) Cálculo dos comprimentos médios: 
1,=8+1+1 .: 11 = 10cm = 0,1m 
12 = 2+10+1+1+8+1+1+10+2 .: 12 = 36cm = 0,36m 
b) Cálculo das seções magnéticas: 
Sm = a . b. fu 
Sm, = 4.10-2 .2.10-2 .0,9 Sm, = 7,2.10-4 m2 
Sm, = 	 Sm, = 3,6.10 m2 
c) Cálculo das induções magnéticas. 
O fluxo em toda a extensão do circuito magnético é o mesmo, portanto: 
B, = 0,8T(dado) 
(P= B, .Sm, O = 	 cp =5,76.10-4 Wb 
01) 	 .5;76.10-4 B 
Sm2 	2 3,6.10-4 
B2 = 	 B2 = 1,6T 
d) Determinação dos campos H. 
Na curva de magnetização do aço-silício, temos: 
= 0,8T H1 = 95A/m 
B, = 1,6T ---> H2 = 2500A/m 
e) Cálculo das forças magnetomotrizes: 
fmm, = H1 .11 	fmm, = 95.0,1 	fmm, = 9,5A 
fmm2 = H2.12 	fmm2 = 2500.0,36 	fmm2 = 900A 
fmm,. = fmm, + fmm2 fmmT = 9.5+ 900 	fmm, = 909,5A 
f) Cálculo do número de espiras: 
N = fmmr 	
N = 909,5 
0,5 
N = 1819 espiras 
100 Editora Ao Livro Técnico 
1 
 
 
R 
 
Resistência baixa, a corrente 
é alta. 
5.8 — Circuito magnético com entreferro 
Um circuito magnético pode conter uma ou mais aberturas de ar chamadas de 
entreferro. Os entreferros podem ser feitos propositadamente (fig.01) ou podem 
Entr ferro 
Fig. 01 
	
Entreferro 	 Fig.02 
Entreferro 
aparecer devido à características construtivas do núcleo (fig. 02), onde as duas 
partes do núcleo não ficam perfeitamente unidas. Nos motores elétricos, que são 
circuitos magnéticos mais complexos, o entreferro é inevitável pois o rotor deve 
ficar livre para girar no interior do estator. Contatores também são dispositivos que 
apresentam entreferro. 
Normalmente os entreferrossão da ordem de décimos de milímetros até alguns 
poucos milímetros e, apesar do pequeno comprimento, afetam de maneira significativa 
o comportamento do circuito magnético. Isto acontece porque o entreferro, 
normalmente de ar, apresenta uma relutância muito alta, o que dificulta a passagem 
do fluxo magnético. 
Para entender melhor, vamos usar a analogia com o circuito elétrico. Imagine 
um circuito elétrico onde a resistência é inicialmente baixa e a corrente flui com certa 
intensidade. Então acrescentamos uma resistência de alto valor RALTA em série com a 
resistência R. Certamente a corrente irá diminuir bastante. Ou então, se quisermos 
manter a corrente com mesma intensidade, a fem da fonte deverá ser aumentada. 
tcm 
R ai ta 
Resistência alta, a corrente 
é baixa. 
R 
Fundamentos de Eletromagnetismo 101 
S S 
Com o circuito magnético ocorre da mesma maneira. O entreferro aumenta muito 
a relutância do circuito magnético e com isto, para uma mesma força magnetomotriz, 
o fluxo será menor. Ou seja, se quisermos manter o fluxo com mesmo valor, a fmm 
deverá ser aumentada. 
O fluxo magnético ao atravessar o entreferro se dispersa como na figura abaixo. 
Esse fenômeno chama-se de espraiamento. 
Como conseqüência do espraiamento, a área da seção aparente do entreferro, 
que chamaremos de Se, que é efetivamente a área ocupada pelo fluxo, é maior do 
que a área da seção geométrica do núcleo (Sg). 
Quanto maior o comprimento do entreferro, maior será o espraiamento e 
conseqüentemente maior a área aparente do entreferro. 
IC: <1e, 
	
Se i <Se: 
O valor da área da seção aparente do entreferro é estimada através do coeficiente 
de dispersão cd. O coeficiente de dispersão é um número maior do que 1 (um) pelo 
qual se multiplica a área da seção geométrica do núcleo (Sg) para se obter a área 
aparente do entreferro (Se). 
Se = Sg . cd 
Se 	área da seção aparente do entreferro (m2) 
Sg --> área da seção geométrica do núcleo (m2) 
cd -4 coeficiente de dispersão (adimensional ) 
102 Editora Ao Livro Técnico 
30 	
5 
N-1100 c:p:ra, 
Uma boa aproximação para o coeficiente de dispersão, desde que o comprimento 
do entreferro não seja maior que 1/10 da menor dimensão do núcleo, é obtida por: 
cd = (a + le)(b + le) 
a. b 
Onde: 
cd —> coeficiente de dispersão. 
a e b --> dimensões da seção transversal do núcleo. 
5.9 — Cálculo de um circuito magnético com entreferro 
O cálculo de um circuito magnético contendo um entreferro será feito em duas 
partes. Calcula-se primeiro as grandezas referentes ao núcleo propriamente dito, cujo 
procedimento é o mesmo já visto anteriormente. Em seguida, calcula-se para a parte 
do entreferro. Neste caso, a relação entre B e H não é obtida de uma curva de 
magnetização, pois para o ar, a dependência de B com H é linear. Então, dado um 
valor de B, o correspondente valor de H é obtido por: H = B/go. Vamos então aplicar 
essas considerações no exercício abaixo. 
Exercício: 
Determinar a corrente necessária na bobina abaixo para que o fluxo gerado seja 
de 15.10 3Wb. 
Dimensões em cm 
espessura: 20 cm 
material: aço-silício 
fu=0.9 
cd=1,1 
le=0.2 cm 
a) Comprimento médio do núcleo: 
In = 4 x 35 - 0,2 	 In = 139,8.10 m 
b) Indução no núcleo: 
i(P 	 15.10-3 B,, -- 	B = 	 =B, = I,67T 
Sg.fit 	A' 	5.10 -2.20.10-2.0,9 
H, = 5500 A/m 
Fundamentos de Eletromagnetismo 103 
c) Força magnetomotriz no núcleo: 
fmmN = HN . IN = 5500. 139, 8.10-2 fmm = 7689 A 
e) Comprimento do entreferro: 
le = 0,2 cm 	le = 0.002 m 
f) Coeficiente de dispersão: 
cd = (5 + 0,2)(20 + 0,2) 	cd = 1,05 
5.20 
g) Indução no entreferro: 
Be
5.10-3 
e— 	= 	 	Be = 1,43T 
Se Sg.cd 5.10-2.20.10-2.1,05 
h) Campo magnético no entreferro: 
He =
Be 
 = 	
1,43 
He =1137957 A/m 
µo 4rc.10-7 
i) Força magnetomotriz no entreferro: 
fmme = He .1e 	fmme = 1137957. 0,002 	fmme = 2276 A 
j ) Força magnetomotriz total: 
fmm = fmmN fmm 	fmm = 7689 + 2276 fmm = 9965 A 
I ) Corrente necessária: 
fmm 9965 
I= 	= 
N 1100 
I = 9,06 A 
Obs.: Note que se o circuito magnético do exemplo não tivesse entreferro, a 
corrente necessária para gerar o mesmo fluxo seria de: 
I = finm" = 
7689 
 
N 	1100 
104 Editora Ao Livro Técnico 
5.10 — Força portante de um eletroímã 
Um circuito magnético série com entreferro, apresenta uma força de atração 
entre as partes separadas. 
O fluxo magnético, ao atravessar o entreferro, age como se partisse de um pólo 
norte de um ímã permanente e chegasse ao seu correspondente pólo sul. Fica fácil de 
entender então que existe uma força que tende a unir as faces adjacentes do núcleo, 
eliminando o entreferro. Podemos aproveitar este efeito para construir eletroímãs 
destinados a atrair determinados objetos ferromagnéticos. 
\'‘ 
O eletroímã exerce uma força F 
sobre o objeto de peso P. 
Define-se força portante como: 
Força portante é a força mínima necessária exercida pelo eletroímã para segurar um 
objeto ferromagnético. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 105 
A força portante de um eletroímã pode ser dada pelas seguintes equações: 
 
F = go.H 2 .S 
F =
B2 .S 
á 2 
F=
,110 .S 
Onde: 
 
F --> força portante total do eletroímã (N) 
permeabilidade do vácuo (go = 47c.10-7 H/m ) 
H —> campo magnético no núcleo do eletroímã (A/m) 
S -3 área da sapata polar do eletroímã (m2) 
B --> indução na sapata polar do eletroímã (T) 
ci) —> fluxo no núcleo do eletroímã (Wb) 
Obs.: Caso as seções transversais das sapatas polares sejam diferentes, as 
forças individuais serão também diferentes e, portanto, deverão ser 
calculadas individualmente pelas equações: 
F =
Po-112 •S 	F =
B 2 .S 	
F = 	 
2 	 2µ0 	 2µ0 .S 
Exemplo de cálculo: 
Calcular a intensidade de corrente necessária na bobina do eletroímã para segurar 
a barra de aço-silício de 60kgf. Admita que a distância entre as sapatas polares e a 
barra de ferro quando em contato entre si é de 0,2mm. 
 
R I =20cm 
R2=1 8cm 
N=400 espiras 
fu= I ,0 
espessura da barra e 
do eletroímã = 2cm 
material: aço-silício 
 
30 cm 
 
0,2 mm 	 
 
 
2 cm 
 
 
A força necessária é de F = 60 kgf 	F = 60 . 9,8 F = 588 N 
106 Editora Ao Livro Técnico 
2 
Usando a fórmula: F. `I' 
A 
	...0.---.\fr.p„A 
µ0.A 
(1) = -N/588 4n. •10-7 • 2.10-2 • 2.10-2 	=5,4.10-4 Wb 
O fluxo magnético no eletroímã e na barra são iguais, pois o circuito é série. As 
induções neste caso também serão iguais, pois as seções transversais do eletroímã e 
da barra são iguais. 
B=B= = 	5'4.10-4= B =1,35T 
S 	2.10-2 • 2.10-2 
Com a indução de 1,35T, temos os seguintes valores para H, no eletroímã e na 
barra: H = 320 A/m. 
As respectivas forças magnetomotrizes serão: 
l i = 30 + 30 + ir. 19 = 119,7 cm ...1,= 1,2m 
fmm, = 320.1,2 	Mini = 384 A 
fmm2 = H2 . 1, 	l2 = 19+19+1+1 = 40 cm /, = 0,4 m 
fmm2 = 320 . 0,4 	fmm, = 128 A 
Temos ainda a fmm nos entreferros. 
cd = 
(2 + 0,02)(2 + 0,02) 
2.2 
cd = 1,02 
5,4.10 
Be= 	Be= Be = 1,32T 
Se 	2.10-2 .2.10-2 .1,02 
He = 
Be
He = 	
1,32 	
He = 1,05.10 6 Al m 
p. o 	471. 10 -7 
fmme = He . le 	fmme =1,05.106 . 0,2.10-3 	fmm e = 210 A 
Como são dois entreferros : forme = 420 A 
A força magnetomotriz total será então: 
fmmT = 384+128+420 	fmmT = 932 A 
Fundamentos de Eletromagnetismo 107 
A corrente necessária será então: 
/ = 
finni, 932 
N 400 
I=2,33 A 
5.11 — Exercícios propostos 
A — Qual deve ser a intensidade de corrente nas 800 espiras do circuito abaixo afim 
de que o fluxo gerado seja de 150mWb. 
Dados: 
Dimensões em cm 
espessura: lcm 
fu = 0,9 
= 1500 
 
10 
B — Calcule o número de espiras que deve ter o circuito abaixo afim de que o fluxo 
gerado seja de 100mWb. 
1 1A 
Dados: 
Raio interno: 8cm 
Raio externo: 9cm 
1.t R = 2000 
Seção transversal circular 
C — Calcule a intensidade de corrente necessária na bobina do núcleo abaixo, a fim 
de que o fluxo magnético no núcleo seja de 0,05 mWb. 
Dados: 
N = 1200 esp. 
	
6 	dimensõesem cm 
fu = 0.95 
	
1 	material: ferrite 
espessura do núcleo = 1,5 cm 
 
10 
 
 
108 Editora Ao Livro Técnico 
N=2500 espia, 
I0 
2 
10 
D — Calcular o número de espiras necessárias na bobina do núcleo abaixo para que 
a indução no núcleo seja de 1,41. 
Dados: 
Raio interno = 15cm 
Raio externo = 20cm 
espessura do núcleo = 5cm 
material aço-silício 
tu = 0.9 
E — Calcule a intensidade de corrente que deve circular na bobina abaixo, para que 
a indução no entreferro seja de 0,21. 
Dados: 
N = 2500 esp. 
dimensões em cm 
0,5 	fu = 0,9 
material ferrite 
espessura do núcleo = 3cm 
F — O sensor de um gaussímetro colocado no entreferro do núcleo abaixo acusa 
uma indução de 2000 gauss. Calcule o fluxo magnético que circula pelo circuito. 
Dados: 
Raio interno = 25cm 
Raio externo = 30cm 
seção transversal circular 
cd = 1,1 
comprimento do entreferro = 1 mm 
Fundamentos de Eletromagnetismo 109 
G — Calcule o valor de fluxo magnético que irá circular no circuito magnético abaixo. 
Dados: 
N = 500 espiras 
dimensões em cm 
fu = 0,9 
material aço-silício 
espessura do núcleo = 2cm 
 
5 
 
2 
 
H — Calcule a intensidade de corrente que deve circular na bobina do núcleo abaixo 
para que a indução na parte de ferrite seja de 0,3T. 
Aço-silício 
) 
N=1000 espiras 
) Entreferros ---, 
Ferrite 
6 
Dados: 
N = 1000 esp. 
8 	dimensões em cm 
fu = 1,0 
4 	
espessura do núcleo = 5cm 
entreferros: 0,02cm cada 
12 
I — 	Para o mesmo circuito magnético da questão anterior, calcule a corrente necessária 
para gerar a indução requerida, caso o entreferro fosse reduzido a zero. 
J — Calcule o número de espiras necessárias na bobina abaixo para que a indução 
na parte mais estreita do núcleo seja de 1,0T. 
r•I 
Dados: 
C. 
	 fu = 0,9 
I = 4A 
material aço-silício 
espessura do núcleo = 4cm 
dimensões em cm 
6I 
o 	 
5 15 5 
110 Editora Ao Livro Técnico 
L — Calcule a intensidade de corrente que deve circular na bobina abaixo, para 
produzir um fluxo de 1,2mWb na coluna central do núcleo. 
Dados: 
fu = 0,9 
material aço-silício 
espessura do núcleo = 4cm 
dimensões em cm 
N = 1600 esp. 
Dica: O circuito magnético acima é análogo a um circuito elétrico como mostrado 
abaixo. Ou seja, teremos então uma fmm produzindo um fluxo total 11) que se 
divide igualmente pelos dois braços do circuito. 
A fem desse circuito elétrico pode ser calculada por: fem = R,.I+R,.— (Lei 
2. 
de Kirchhoff). Analogamente, a fmm do circuito magnético será determinada 
por: fmmT = H,.L, + H1.12 onde 1, é o comprimento médio da coluna central 
e 1, o comprimento médio de um dos braços do circuito. 
1 2 	 1/2 
RI RI 
R2 
M — Determinar a corrente mínima necessária para que o eletroímã abaixo atraia a 
barra de ferrite: 
 
 
2 
4 
Dados: 
dimensões em cm 
fu = 1.0 
espessura da barra = 3cm 
espessura do núcleo do eletroímã = 2cm 
N = 4000 esp 
P= 100N 
 
0,05 
3 
 
 
Fundamentos de Eletromagnetismo 111 
N — Calcular a intensidade de corrente necessária na bobina para que a barra de 
aço-silício seja atraída pelo núcleo do eletroímã também de aço-silício. 
L.,6L 	10 	6 I 
6 
Dados: 
dimensões em cm 
15 	fu = 1,0 
espessura da barra e do núcleo do eletroímã = 6cm 
N = 1000esp. 
2 
	Peso da barra = 16 kgf. 
6 
O — No problema anterior, depois que a barra é atraída, calcule a intensidade da 
corrente mínima necessária para o eletroímã continuar retendo a barra. Admita 
a distância entre a barra e o núcleo do eletroímã é igual a 0,2mm. 
P — No eletroímã abaixo, calcule as forças individuais que cada braço exerce sobre a 
barra. 
1 - 2A ° o 
n 	 4 
Dados: 
espessura da barra e do núcleo = 2 cm 
6 	dimensões em cm 
fu = 1,0 
N = 300 espiras 
	0,0? 	µR = 2000 (barra e núcleo) 
2 
8 
112 Editora Ao Livro Técnico 
Unidade 111 
Indução 
Eletromagnética 
T 
LEI DE FARADAY 
1.1 - A experiência de Faraday 
Depois que Oersted demonstrou em 1820 que correntes elétricas geram campos 
magnéticos, Michael Faraday, um cientista inglês, manifestou sua convicção de que 
poderia através de campos magnéticos produzir correntes elétricas. 
Faraday só obteve sucesso em 1831, após dez anos de trabalho. Ele utilizou 
um circuito magnético com dois enrolamentos, uma bateria e um galvanômetro, que 
é um instrumento de zero central que acusa pequenas correntes. A figura a seguir 
mostra o esquema do equipamento utilizado por Faraday. 
Ele percebeu que ao fechar o interruptor S, o ponteiro do galvanômetro defletia 
para um lado, indicando que uma corrente elétrica estava passando por ele. 
Quando o interruptor é fechado, surge momentaneamente 
uma corrente, acusada pelo galvanômetro 
No entanto esta deflexão era momentânea e, mesmo estando o interruptor 
fechado, o galvanômétro nada indicava. Porém, no instante de desligar o interruptor, 
novamente o galvanômetro acusava uma corrente elétrica, agora em sentido contrário 
ao anterior. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 115 
No instante de abrir o interruptor, o galvanômetro também acusa uma corrente, 
porém, em sentido oposto. 
Como a bobina onde está ligado o galvanômetro é um circuito elétrico 
completamente independente do circuito que contém a fonte CC, Faraday concluiu 
que finalmente havia conseguido gerar corrente elétrica através do magnetismo, mesmo 
que momentaneamente. 
Faltava descobrir porque essa corrente só aparecia nos momentos de ligar e 
desligar o interruptor. Analisando o que ocorria em seu circuito magnético, Faraday 
descobriu o mistério. Vamos seguir o seu raciocínio e refazer essa descoberta. 
No instante em que o interruptor é fechado, a corrente elétrica que circula pelo 
enrolamento conectado à fonte, que chamaremos de enrolamento primário, produz 
um fluxo que fica confinado no circuito magnético. O sentido desse fluxo é 
determinado pela regra da mão direita para bobinas. 
e 	 
Observamos na figura acima que o fluxo magnético passa por dentro do 
enrolamento ao qual está conectado o galvanômetro, que chamaremos de enrolamento 
secundário. Poderíamos então concluir que é o fluxo magnético a causa da geração 
da corrente no enrolamento secundário. Entretanto, isto não pode ser verdade pois 
vimos que passado o instante inicial durante o qual a chave está sendo fechada, deixa 
de existir corrente elétrica no enrolamento secundário, muito embora o fluxo magnético 
continue existindo. O galvanômetro só volta a acusar corrente no instante de desligar 
o interruptor. 
O que será que existe de especial, então, nesses momentos de ligar e desligar o 
interruptor? 
116 Editora Ao Livro Técnico 
t=0 fecha-se o interruptor 
t=t1 abre-se o interruptor 
At 
gráfico de variação do fluxo e corrente em função do tempo 
Quando ligamos o interruptor, permitimos que a corrente elétrica circule pelo 
enrolamento primário. Essa corrente, no entanto, não se estabelece instantaneamente. 
Ela cresce exponencialmente a partir de zero até atingir seu valor nominal, gastando 
para isso um tempo muito curto denominado transitório. Esse tempo depende das 
características da bobina, mas em geral está na ordem de milissegundos ou 
microssegundos. Ao desligar o interruptor, a corrente no enrolamento primário cai a 
zero, também gastando um tempo para que isso ocorra (transitório). O transitório 
de extinção da corrente é muito menor que o transitório de seu estabelecimento. O 
gráfico abaixo mostra a curva de variação da corrente em função do tempo. Uma vez 
que o fluxo magnético é gerado pela corrente elétrica, sua curva é considerada a 
mesma, salvo distorções causadas pela magnetização do núcleo que serão 
desprezadas nesse estudo. 
Então o que ocorre é que o fluxo cresce a partir do momento em que fechamos 
o interruptor até atingir seu valor nominal, mantém-se constante pelo tempo em que 
o circuito permanece ligado, e cai a zero quando desligamos o interruptor. 
Como a corrente no galvanômetro só surge nos instantes de abrir e fechar o 
interruptor,e nesses instantes o fluxo está variando, concluímos que é essa variação 
de fluxo a causa do surgimento da corrente induzida na bobina secundária. Portanto, 
não é o fluxo magnético o responsável pela corrente induzida, mas sim a sua variação. 
Podemos então enunciar o princípio que ficou conhecido como Lei de Faraday: 
Toda vez que um condutor ficar sujeito a uma variação de fluxo, nele se estabelecerá 
uma força eletromotriz, enquanto durar essa variação. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 117 
fem = N 
AO 
At 
a 	
iv 	 
b 	
1.2 - A equação da Lei de Faraday 
Analisando o fenômeno mais detalhadamente, Faraday formulou uma equação 
matemática para a fem induzida. 
fem = força eletromotriz induzida na bobina (V) 
Acl) = variação do fluxo (Wb) 
At = intervalo de tempo durante o qual ocorreu a 
variação de fluxo (s) 
N = número de condutores ou espiras sujeitos à 
variação de fluxo. 
Obs.: O sinal negativo da equação se deve à contribuição de Lenz, que estudou 
a polaridade da força eletromotriz induzida, que será estudado no próximo capítulo: 
Polaridade das Tensões Induzidas. 
1.3 — Força eletromotriz de movimento 
No dispositivo utilizado por Faraday, a variação de fluxo ocorria devido ao 
aparecimento ou a extinção da corrente na bobina primária. No entanto, existem outras 
formas do fluxo variar sobre um condutor. Uma dessas formas é quando um condutor 
se move no interior de um campo magnético constante, atravessando suas linhas de 
força. Um terceiro tipo de variação de fluxo seria uma combinação dos dois primeiros. 
Ou seja, um condutor em movimento dentro de um campo magnético variável. Seja 
então um condutor de comprimento I, se deslocando a uma velocidade v, 
perpendicularmente às linhas de força de um campo B constante. 
B 
Ao sair da posição a e chegar a posição b, o condutor percorre a distância Ax. 
Logo, terá varrido uma área AS = I.Ax, e a conseqüente variação de fluxo sofrida será: 
= B.AS. 
Aplicando a Lei de Faraday, temos: 
fem= —N —
AO 
AO= B. AS --> N =1 
At 
118 Editora Ao Livro Técnico 
AS 
	
ftin= 1
B. 	
--> AS = I. Ax- 
At 
—B.1. Ax 	Ax 
--> 	= v 
	
At 	At 
= —B.1.v 
Novamente, o sinal negativo é uma referência à Lei de Lenz. Entretanto, para se 
considerar uma tensão positiva ou negativa, é necessário estabelecer um referencial. 
Por exemplo, designar uma das pontas do condutor como a e a outra como b e então 
calcular a força eletromotriz femab, que poderá ser então positiva ou negativa. Com 
isto, teríamos estabelecido o potencial de cada extremidade do condutor. Utilizaremos, 
entretanto, a Lei de Lenz para determinar fisicamente a polaridade da força eletromotriz 
induzida. Logo, nos basta o valor em módulo da força eletromotriz e a equação fica: 
fem = B.l.v 
 
Onde: 
 
 
fem 	força eletromotriz induzida (V) 
B --> Indução magnética (T) 
I 	projeção do comprimento do condutor 
perpendicular à velocidade (m) 
v --> velocidade do condutor (m/s) 
 
1.4 — O gerador elementar 
Uma aplicação bastante interessante da equação fem = B I v é o gerador 
elementar. Gerador elementar é o nome que se dá ao mecanismo básico com o qual 
se consegue gerar a corrente alternada senoidal. Trata-se de uma espira que gira no 
interior de um campo magnético. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 119 
fem = 
Ao efetuar o movimento de rotação, os lados da espira "cortam" linhas de força 
e conseqüentemente neles são induzidas tensões. O valor dessas tensões vai depender 
da posição em que a espira se encontra. Vamos identificar a posição da espira através 
de um ângulo que chamaremos de a. Esse é o ângulo formado entre a velocidade 
tangencial da espira v e o vetor campo magnético B. 
A velocidade tangencial v depende do número de rotações por minuto (rpm) 
com que a espira está girando e do raio da espira. Portanto, para um determinado 
gerador, a velocidade tangencial é uma constante. Entretanto, a componente da 
velocidade perpendicular ao campo B não permanece constante, mas sim, varia em 
função do ângulo a. 
Para melhor entender, vamos representar a espira vista de frente e sem os seus 
terminais (vista em corte), conforme ilustra o desenho a seguir: 
\v 
 
Vamos tomar um dos lados da espira para análise e visualizar o ângulo a. 
13 C 
Observando a figura acima, constatamos que para o instante considerado, a 
velocidade v não é perpendicular ao campo B, mas forma um ângulo a com ele. 
Como na fórmula fem = B I v, a velocidade v é perpendicular ao campo, teremos que 
considerar a componente da velocidade que é perpendicular ao campo. Na figura a 
seguir, são mostradas as componentes paralela ao campo (v") e perpendicular ao 
campo (v'). Nos interessa a última, que pode ser calculada em função da velocidade 
v 
B 
tangencial v e do ângulo a, como: 
v'= v.sena, onde v' é a componente da velocidade tangencial perpendicular ao 
campo B. 
120 Editora Ao Livro Técnico 
Logo, a força eletromotriz induzida em cada lado da espira, de comprimento 
1' será: 
fem = B.l'.v' 	sendo v'= v.sena, então: fem = B.V.v.sena 
Uma análise quanto a polaridade da força eletromotriz gerada em cada lado da 
espira nos mostra que a força eletromotriz total gerada na espira corresponde à soma 
das forças eletromotrizes geradas em cada lado da espira. Portanto, a força eletromotriz 
total gerada na espira é igual a: 
fem = 2. B.V. v.sena 
Como o comprimento total da espira 1, corresponde à soma dos comprimentos de 
cada lado I; então: I = 2.1' e a formula da força eletromotriz do gerador elementar será: 
fem = B.1.v.sena Onde: 
fem ---> força eletromotriz gerada (V) 
B 	--> indução magnética dos pólos (T) 
—> comprimento ativo da espira (m) 
v 	--> velocidade tangencial da espira (m/s) 
a 	--> ângulo entre o vetor indução B e vetor 
velocidade tangencial v 
 
Obs: Entenda-se por comprimento ativo da espira, a soma dos comprimentos de 
cada lado da espira que ficam sujeitos ao campo, não contando portanto os comprimentos 
da parte de trás e da frente da espira, nos quais não se gera nenhuma força eletromotriz, 
por não estarem sob a influência do campo magnético. 
Assim, da fórmula obtida para o gerador elementar, observamos que a força 
eletromotriz depende não só de fatores intrínsecos ao gerador como B, 1 ,v, como 
também da posição relativa da espira no instante considerado, que é indicada pelo 
ângulo a. Resumindo, a força eletromotriz do gerador elementar não é uma constante. 
Vamos na seqüência determinar a força eletromotriz do gerador para diferentes 
posições da espira e evidenciar através de cálculos, a natureza senoidal da tensão 
obtida. Seja então a espira em posições distintas como segue: 
Fundamentos de Eletromagnetismo 121 
Usando então a fórmula e = B 1 v sena, onde "e" é a tensão que o gerador 
disponibiliza para a carga, temos os seguintes valores para as posições indicadas na 
figura acima: 
a =O° 	--> e = O (V) 
a =90° 	e=B I v= Emáx (V) 
a =180° —> e = O (V) 
a =270° --> e=-B I v= -Emáx (V) 
a =360° 	e = O (V) 
Com os valores acima, podemos traçar o gráfico da tensão e em função do 
ângulo a. Entretanto, apenas com os valores acima, os pontos do gráfico seriam 
insuficientes para caracterizar a curva. Torna-se necessário calcular as tensões para 
vários valores intermediários de a, lembrando que quanto mais pontos o gráfico tiver, 
mais preciso ele será. Considerando esses cálculos já prontos, o gráfico assumirá a 
forma abaixo: 
Portanto, a tensão obtida no gerador elementar é do tipo senoidal. 
L5 — Exercícios resolvidos 
A — Em uma espira, o fluxo magnético varia da seguinte forma: Iniciando em zero, 
cresce linearmente até 10 mWb em um tempo de 5 ms; decresce então para 6 
mWb em 10 ms; permanece constante pelos próximos 5ms; decresce finalmente 
a zero em 10 ms . Calcule o valor da fem induzida em cada intervalo de variação 
de fluxo e trace o gráfico de variação da fem em função do tempo. 
Solução: 
Para facilitar o trabalho,vamos traçar o gráfico de variação do fluxo em função 
do tempo e identificar cada intervalo. 
122 Editora Ao Livro Técnico 
10 15 20 25 30 t(ms 
3 
fem, =—N AO' =
-1.(10-0).103 
	
fem, = —2V 
At, 	(5 — 0).10- 
fem, = N 	2 	
1 (6 —10).10-3 --> fem, = +0,4V 
At2 	(15 — 5).10-3 
-3 A03 	(6 — 6).10 fem3 = —N 	= 1. 	 —> fem3 = OV 
At3 	(20 —15).10 3 
A04 	(O — 6).10-3 	, fem4 = N 	= 1 	 --> fem4 = +0,6V 
Oto 	(30 — 20).10-3 
As tensões calculadas são constantes para cada intervalo. O gráfico da força 
eletromotriz em função do tempo fem=f(t) será o mostrado abaixo: 
fem (V) 
+2 — 
To 	20 25 30 t(ms) 
Fundamentos de Eletromagnetismo 123 
B — Um condutor se desloca rente à superfície polar sul de um ímã em forma de C, 
com velocidade 10 m/s. O imã possui indução 0,6 T internamente e as 
dimensões são mostradas na figura abaixo. Calcule a tensão induzida no condutor. 
Solução: 
A indução rente à superfície polar é aproximadamente a mesma que 
internamente ao ímã. O comprimento do condutor a ser considerado é apenas 
o que corta o campo magnético perpendicularmente. Assim, a força eletromotriz 
pode ser calculada por: 
tem = B I v 0,6.0,1.10 tem = 0,6 V 
C — Determinar a força eletromotriz gerada no condutor abaixo: 
v=5m/s 
 B=0,81' 
Solução: 
O comprimento a ser considerado é a projeção do condutor na perpendicular 
ao deslocamento, ou seja: 1 = 15.sen60° = 12,99cm. Logo: 
fem = B I v = 0,8. 0,1299. 5 fem = 0,52 V 
1 24 Editora Ao Livro Técnico 
a) 	 b) 
20cm 
10m/s 
13-1,0T 
20cm _ 
• 
• 1.6 — Exercícios propostos 
• A — Calcule o valor da força eletromotriz induzida nos condutores abaixo: 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• B — 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
D 
• 
• 
• 
• E 
• 
• 
• 
• 
• 
20cm 
(1)-400µWh 
v----10m/s 
Calcule o valor da tensão que o voltímetro indicará na situação abaixo: 
/ 	
13=0,5 T 
N 
v=5m/s 	s 
Scin 5crn 
a 
B=0,4T 
Um avião de caça viaja à velocidade de 2200 km/h numa região onde a 
componente do campo terrestre perpendicular ao seu deslocamento equivale a 
60 gauss. Sabendo-se que a envergadura do avião é igual a 15 m, calcule o 
valor da tensão induzida entre os extremos de suas asas. 
— Com relação ao problema anterior, se um amperímetro fosse conectado aos 
extremos das asas através de um fio de resistência 1 S2, qual seria a corrente 
indicada pelo mesmo? 
Fundamentos de. Eletromagnetismo 125 
C — O anel condutor abaixo, de raio 20 cm, se desloca horizontalmente com 
velocidade 2 m/s. Calcule que tensão um voltímetro indicaria se fosse conectado 
entre os terminais ab, bc, ac e bd. 
F — O condutor ab abaixo será deslocado com velocidade 5 m/s, deslizando sobre 
os trilhos com bom contato elétrico. Calcule o valor da corrente que o 
amperímetro indicará. 
10c R=50 
 
G — Com relação à questão anterior, qual a taxa de diminuição de fluxo no interior 
do circuito fechado? 
H — Os condutores ab e cd do esquema abaixo, deslizam com as velocidades 
indicadas, mantendo bom contato elétrico entre si. Calcule o valor da corrente 
indicada pelo amperímetro. 
50 cm 
VI = 2m/s 
V2 = 5 mls 
I — Um gerador elementar possui a espira com comprimento ativo igual a 30 cm, 
girando com velocidade tangencial 20 m/s dentro de um campo magnético B = 
0,3 T. Calcule: 
a) a máxima tensão gerada. 
b) a tensão gerada no instante em que a posição da espira for tal que envolva 
o máximo de fluxo em seu interior. 
c) a tensão gerada para a = 60°. 
126 Editora Ao Livro Técnico 
1.7 — Sugestões para laboratório 
Lei de Faraday 
Objetivo: 
Comprovar que tensões podem ser geradas em uma bobina através da variação 
do fluxo magnético. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 02 pç bobina didática (entre 200 a 1000 esp.) 
02 01 pç núcleo desmontável 	 . 
03 01 m multimetro analógico 
04 01 pç galvanômetro (miliamperímetro de zero central) 
05 05 pç cabo de ligação 
06 01 pç interruptor 
07 01 pç ímã em forma de barra 
08 01 pç fonte CC regulável O - 30 V 
09 01 pç fonte CA regulável 0-240 V 
Procedimento: 
a) Imã 
Conecte os terminais do galvanômetro aos terminais de uma bobina e proceda 
movimentos de aproximação e afastamento do ímã em relação à ela. Isto fará com que 
o fluxo magnético sofra aumentos e diminuições no interior da bobina, gerando tensões 
que serão acusadas pelo galvanômetro. Experimente movimentos mais rápidos e observe 
como o galvanômetro deflete mais o seu ponteiro. Note que são geradas tensões de 
diferentes polaridades conforme o movimento seja de aproximação ou de afastamento, 
ou seja, conforme o fluxo esteja aumentando ou diminuindo. Na seqüência, inverta os 
pólos do ímã e repita os movimentos observando o que ocorre de diferente. Experimente 
também movimentar o ímã em outras regiões nas proximidades da bobina. Anote tudo! 
No caso de não se dispor de um galvanômetro, o próprio multímetro analógico poderá 
ser utilizado em uma escala de miliampères ou microampères. 
galvanômetro 
N 
Fundamentos de Eletromagnetismo 127 
b) Corrente contínua 
Com as bobinas colocadas no núcleo desmontável, faça a conexão de uma 
delas à fonte CC e outra ao multímetro, conforme ilustração abaixo: 
núcleo desmontável 
bobina 1 (200 a 1000 esp.) ,oblr -1:. 2 i20() .1 I nO0 esp.) 
1 
Ts 
 
 
 
 
 
multímetro 
O multímetro deverá estar ajustado para medir tensão contínua e o calibre à 
princípio pode ser 3 V, podendo ser diminuído se necessário. 
Ligue o interruptor S, observando como ocorre uma deflexão momentânea no 
ponteiro do multímetro. Permanecendo com o interruptor fechado, observe que apesar 
de existir fluxo magnético circulando através do núcleo, por ele ser constante, o 
multímetro nada indica. 
Desligue o interruptor e observe que o multímetro novamente deflete, agora em 
sentido oposto. Isto comprova que só há tensão gerada na bobina onde o multímetro 
está conectado, apenas nos instantes em que o fluxo magnético que passa por dentro 
dela está variando. Isto é, no instante do fechamento do interruptor, quando o fluxo 
está crescendo e no instante de abertura do interruptor, quando o fluxo está diminuindo. 
c) Corrente alternada 
Substitua a fonte CC pela fonte CA, tomando o cuidado de ajustar o multímetro 
para medir CA num calibre adequado (inicie com o calibre em torno de 300 V) 
Repita o procedimento anterior e observe como o multímetro deflete sempre, 
independente dos instantes de abertura e fechamento do interruptor. Isto ocorre 
porque a corrente alternada varia o tempo todo e conseqüentemente o fluxo também. 
128 Editora Ao Livro Técnico 
POLARIDADE DAS TENSÕES INDUZIDAS 
2.1 - A Lei de Lenz 
O estudo que iniciaremos agora nos permitirá descobrir a polaridade da tensão 
gerada em um condutor sujeito a uma variação de fluxo, ou o sentido da corrente 
induzida em um circuito fechado condutor. 
A Lei de Lenz estabelece que: 
Os efeitos da corrente induzida se opõem às causas que a originam. 
A causa do aparecimento de uma corrente induzida em um circuito fechado 
condutor é a variação do fluxo magnético, conforme a Lei de Faraday. 
O fluxo magnético pode variar em um circuito fechado devido ao movimento 
relativo entre esse circuito e um campo magnético constante. O fluxo pode também, 
variar devido às variações que a corrente, que lhe dá origem, sofre. Neste caso, dizemos 
que o fluxo é variável no tempo. 
Nas ilustrações abaixo, são mostradas algumas formas do fluxo variar sobre um 
circuito fechado: 
O número de linhas de força 
	
O fluxo diminui à medida que o 
	
O fluxo varia conforme 
diminui à medida que o imã 
	
imã se desloca para baixo. 	ocorrem as variações da 
se afasta e aumenta quando o 	 corrente na bobina. 
ímã se aproxima. 	 (fluxo variável no tempo) 
Em ambos os casos acima, ocorrem variações de fluxo que, pela Lei de Faraday, 
fazem com que surja uma corrente induzida no anel condutor. Porém, qual o sentidodessa corrente? Na seqüência, iremos angariar subsídios para responder a essa pergunta. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 129 
(I) Crescente 
(1)1,1i à 
2.2 - Fluxo variável no tempo. 
Vamos analisar o caso abaixo: 
(1),C C MC 
O fluxo que atravessa o anel condutor da figura acima está crescendo. Pela 
Lei de Faraday, essa variação de fluxo determinará o aparecimento de uma força 
eletromotriz induzida que fará com que circule uma corrente, visto que o percurso é 
fechado e condutor. 
A corrente induzida, por sua vez, criará um campo magnético (dado pela 
equação H = I/2R), cujo fluxo terá sentido tal que se oporá às variações do fluxo que 
deu origem a ela. 
Como o fluxo aplicado ao anel está crescendo, a corrente induzida criará um 
fluxo em sentido oposto, para tentar impedir esse crescimento. 
A corrente induzida no anel gera um fluxo de reação, 
que se opõe ao fluxo que a originou. 
O fluxo criado pela corrente induzida é chamado de fluxo de reação. Uma vez 
determinado o fluxo de reação, o sentido da corrente induzida é finalmente determinado 
pela aplicação da regra da mão direita para espiras. 
O sentido da corrente induzida que cria o fluxo de reação 
é determinado pela regra da mão direita para espiras. 
130 Editora Ao Livro Técnico 
Vamos analisar agora o que ocorre quando o fluxo aplicado ao anel começa 
a diminuir. 
(Ddecrescente 
A corrente induzida agora irá criar um fluxo no mesmo sentido do fluxo aplicado, 
para tentar impedir seu decréscimo. 
a/reação 
(Ddecrescente 
A corrente induzida cria um fluxo de reação que tenta impedir 
o decréscimo do fluxo aplicado. 
Conhecendo-se o sentido do fluxo de reação, podemos determinar o sentido 
da corrente induzida pela regra da mão direita para espiras. 
Oreação 
decrescente 
A força eletromotriz que produz a corrente induzida é chamada de força 
eletromotriz induzida. Ela sempre surge quando o fluxo estiver variando sobre um 
condutor. Já a corrente induzida depende de um percurso fechado condutor para 
circular. Isto é, nem sempre haverá corrente induzida e tampouco o fluxo de reação. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 131 
No exemplo que estudamos, a força eletromotriz está atuando em cada pedaço 
de comprimento infinitesimal do anel. É como se fossem infinitas pequenas fontes 
distribuídas ao longo do anel. 
Circuito equivalente ao anel condutor 
2.3 — Condutor em movimento dentro de um campo magnético 
Como vimos, o fluxo pode variar por si só, o que chamamos de fluxo variável 
no tempo, ou então variar devido a um movimento relativo entre o condutor e o 
campo. Vamos analisar agora o segundo caso. Considere a espira retangular abaixo, 
deslocando-se com velocidade v e já parcialmente fora do campo B. 
:H 1-3 
lv 
Nestas circunstâncias, o fluxo magnético em seu interior está diminuindo. Pela 
Lei de Faraday, concluímos que na espira está agindo uma força eletromotriz, e que, 
como conseqüência, está circulando uma corrente induzida pois existe um caminho 
fechado condutor. Pela Lei de Lenz essa corrente tem sentido tal que o fluxo que ela 
cria está no mesmo sentido que o do fluxo original, para tentar impedir seu decréscimo. 
Sendo assim, fica fácil determinar o sentido dessa corrente, bastando usar a regra da 
mão direita para espiras. 
13 
(I)reaçao 
132 Editora Ao Livro Técnico 
Vamos localizar agora onde está agindo a força eletromotriz que dá origem à 
corrente induzida. Para isso, vamos analisar os quatro lados da espira. O lado de 
baixo e os dois laterais não cortam linhas de força do campo magnético. Apenas o de 
cima está cortando linhas de força e portanto é ali que está agindo a força eletromotriz. 
Para identificarmos a polaridade da tensão nesse condutor, basta lembrarmos que é 
ele a fonte de força eletromotriz. E a corrente sai de uma fonte pelo terminal positivo. 
Logo, o lado esquerdo do condutor possui polaridade positiva e o direito negativa. 
B 
(pregão 
polaridade da fem 
do condutor 
circuito equivalente 
Se a espira estiver entrando no campo magnético, o fluxo em seu interior estará 
aumentando. Sendo assim, a corrente induzida irá criar um fluxo em sentido contrário 
para tentar impedir que o fluxo aumente no interior da espira. 
B 
(pre.,i0 
Nesse caso, o sentido da corrente que cria tal fluxo bem como a polaridade da 
força eletromotriz são mostradas na figura abaixo. 
v 
B 
Observe que tanto a corrente quanto a força eletromotriz são opostas em relação 
à situação onde a espira está saindo do campo. Quando a espira estiver totalmente 
imersa no campo magnético, o fluxo em seu interior não irá mais variar. Isto porque a 
quantidade de linhas de força que entram na espira pela parte da frente, saem ao 
mesmo tempo pela parte de trás. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 133 
a quantidade de linhas de força dentro 
da espira permanece constante 
Se o fluxo na espira não está variando, isto quer dizer que não há corrente 
induzida. No entanto, os condutores horizontais que formam a espira continuam 
cortando linhas de força e portanto deve haver força eletromotriz gerada nos mesmos. 
Porque então não há corrente elétrica circulando? 
Se compararmos a parte superior da espira na figura acima com a figura anterior, 
veremos que não há diferença nenhuma entre elas. Trata-se pois, do mesmo condutor 
deslocando-se com velocidade v para cima, dentro de um campo cujas linhas de 
força apontam para fora do plano do papel. Por comparação, concluímos que há 
força eletromotriz induzida nos condutores horizontais da espira, mesmo que o fluxo 
em seu interior não esteja variando. 
v 
... : .... .B 
não há corrente 
induzida 
circuito equivalente 
A força eletromotriz gerada no condutor superior tende a produzir uma corrente 
no sentido horário. Enquanto isso, o condutor inferior é sede de uma força eletromotriz 
cuja corrente tenderia a fluir em sentido oposto, ou seja, anti-horário. Como as duas 
forças eletromotrizes são iguais, a corrente resultante é nula. 
A partir do momento que parte da espira cai fora do campo magnético, deixa de 
existir força eletromotriz sobre aquela parte e conseqüentemente passa a circular corrente 
elétrica pela ação da força eletromotriz do condutor que ainda está dentro do campo. 
134 Editora Ao Livro Técnico 
2.4 — Método do percurso fechado imaginário 
Na realidade, apesar de não haver variação de fluxo no interior da espira como 
um todo, os condutores que formam a espira e que estejam se deslocando de maneira 
a cortar linhas de força, estarão sujeitas a variações de fluxo individualmente. Tanto é 
que, no estudo da Lei de Faraday, deduzimos uma equação para a força eletromotriz 
gerada em condutores que cortam um campo: fem = B l v. 
Podemos atribuir percursos imaginários envolvendo os condutores da espira 
para determinar o sentido da hipotética corrente que circularia e conseqüentemente 
determinar a polaridade da força eletromotriz induzida. 
circuitos imaginários onde 
o fluxo está variando 
Na figura acima, observamos que no interior do percurso arbitrado na parte 
superior da espira, o fluxo está diminuindo. A corrente induzida deveria então circular 
no sentido anti-horário, pois só assim estaria contribuindo na tentativa de impedir o 
decréscimo do fluxo no interior do percurso. 
Enquanto isso, no interior do percurso arbitrado na parte inferior da espira, o 
fluxo está crescendo. 
A corrente induzida circularia então no sentido horário, para produzir um fluxo 
em sentido oposto ao do fluxo original, na tentativa de impedir seu crescimento. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 135 
Chegamos, então, à mesma conclusão obtida anteriormente em relação às 
polaridades das forças eletromotrizes na espira. 
v 
Observe que o uso de um percurso imaginário é mero artifício para se determinar 
a polaridade da força eletromotriz gerada em um condutor e só é válido para 
movimento relativo entre condutor e campo magnético. 
2.5 — Regra de Fleming paradeterminação do sentido da corrente induzida. 
Alternativamente, pode-se determinar o sentido da corrente induzida em um 
condutor em movimento no interior de um campo magnético, fazendo-se uso de 
uma regra prática conhecida como regra de Fleming. 
A regra prevê o uso de três dedos da mão direita: o indicador, médio e polegar 
dispostos 90 graus um do outro. 
O dedo indicador aponta o sentido do fluxo magnético, o médio aponta o 
sentido da corrente induzida enquanto o polegar indica o sentido da velocidade. 
v 
Portanto, conhecidos os sentidos do fluxo e da velocidade, o sentido da corrente 
fica perfeitamente determinado pelo dedo médio. 
Observe que essa regra só pode ser utilizada para o caso de variação de fluxo 
devido a movimento relativo entre condutor e campo magnético. Fluxos variáveis no 
tempo não admitem essa regra. 
136 Editora Ao Livro Técnico 
Vamos analisar um exemplo. Seja determinar o sentido da corrente induzida no 
condutor abaixo: 
Iv 
B 
A rigor não há corrente induzida no condutor pois este não forma um percurso 
fechado. Entretanto, isto não impede o uso da regra pois estaremos determinando o 
sentido da corrente que iria fluir caso o circuito fosse fechado. 
Então, dispondo-se os três dedos perpendicularmente entre si, devemos fazer 
com que o polegar indique o sentido do movimento do condutor ao mesmo tempo 
em que o indicador aponte para o sentido do fluxo. Fazendo isso, o dedo médio 
estará automaticamente apontando para a direita. 
tv 
: • . 
B 
Concluindo, a corrente induzida flui da esquerda para a direita 
2.6 — Força devida ao fluxo de reação 
A Lei de Lenz diz que os efeitos da corrente induzida se opõem às causas que a 
originaram. 
Um dos efeitos da corrente induzida é o fluxo de reação que se opõe às variações 
do fluxo original, assunto discutido na seção anterior. 
Se a causa da variação do fluxo magnético for o movimento relativo entre um 
percurso condutor e um campo magnético, além do fluxo de reação, outro efeito estará 
presente: uma força de restrição ao movimento. Essa força atuará no sentido contrário 
ao movimento na tentativa de impedir a variação do fluxo que estiver ocorrendo. 
F 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
 
Surge uma força F para se opor 
ao movimento da espira. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 137 
A origem dessa força está na interação entre o fluxo original e o fluxo de reação. 
No desenho anterior, a corrente teria sentido anti-horário, pois o fluxo de reação deve 
ter o mesmo sentido que o fluxo original. 
Meação 
Observe que no interior do anel condutor, o fluxo de reação possui o mesmo sentido 
que o fluxo original. Porém, fora do anel, o fluxo de reação possui sentido contrário. 
 
F 
 
 
 
B 
 
O fluxo resultante no interior do anel naturalmente é a soma do fluxo original 
com o fluxo de reação. Enquanto isso, fora da região delimitada pelo anel, os fluxos se 
subtraem. Isto cria uma densidade de fluxo maior no interior do anel do que fora dele. 
 
 
 
v 
 
B 
 
 
Então, a força que se opõe ao movimento surge como uma reação natural ao 
desequilíbrio provocado pela interação entre os fluxos. Ela puxa a espira no sentido 
contrário ao movimento para tentar restabelecer a igualdade entre as densidades de 
fluxo interna e externamente ao anel. 
Se o anel estivesse entrando na região de campo B, o sentido da corrente induzida 
seria o contrário, e o fluxo de reação estaria em sentido contrário ao fluxo original. 
138 Editora Ao Livro Técnico 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
O fluxo resultante interna e externamente ao anel ficaria como o mostrado na 
figura a seguir. 
 
B 
 
Portanto, independente do anel estar saindo ou entrando no campo, a força F 
sempre estará se opondo ao seu movimento. Obviamente, quando o anel estiver 
completamente imerso no campo, a força deixará de existir, visto que não haverá 
fluxo de reação. 
O desenho, abaixo, ilustra melhor a resultante entre os fluxos para o caso do 
anel entrando no campo. 
Fluxo do campo B c fluxo de reação 	
Resultante dos fluxos 
Quando o fluxo for variável no tempo, poderá também surgir uma força sobre 
o circuito fechado condutor, dependendo de como ele estiver imerso no campo. Vamos 
supor um anel condutor em frente a um eletroímã. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 139 
Enquanto a corrente na bobina for mantida constante, o fluxo também o será 
e nada ocorre com o anel. Vamos então admitir uma elevação rápida no valor da 
corrente. Nesse instante, teremos um fluxo crescente atravessando o anel. Isto gera, 
pela Lei de Faraday, uma corrente induzida no anel. O fluxo de reação, gerado pela 
corrente induzida, terá portanto sentido oposto ao do fluxo que lhe deu origem. 
Podemos encarar o anel condutor como um pequeno eletroimã cujo pólo norte 
aponta para a esquerda. 
s 
Nesse caso torna-se óbvio que surgirá uma força de repulsão entre o eletroímã 
e o anel condutor. 
eri,einte 
140 Editora Ao Livro Técnico 
fem = N 
A0 
At 
Para o caso de a corrente no eletroímã diminuir, teremos comportamento contrário. 
O fluxo de reação terá o mesmo sentido do fluxo que lhe deu origem e conseqüente-
mente haverá uma força de atração entre o eletroimã e o anel. 
F 
deerceeente 
2.7 — A Lei de Lenz e a corrente alternada senoidal 
Quando um fluxo varia senoidalmente sobre uma espira ou uma bobina, a 
força eletromotriz induzida será também da forma senoidal. 
Para provar essa afirmação, vamos utilizar a Lei de Faraday para determinar 
a tensão induzida numa espira quando esta fica sujeita a uma variação de fluxo do tipo 
senoidal. A Lei de Faraday, escrita sob a forma fem = - N AO/At pressupõe variações 
lineares de fluxo (4.0) no intervalo At. Entretanto, uma variação senoidal não apresenta 
trechos lineares. Consideraremos então neste exemplo uma variação de fluxo senoidal 
aproximada a 12 intervalos de variação linear. 
Considere então uma espira sujeita a uma variação de fluxo como mostra o 
gráfico abaixo: 
A senóide, como se observa, foi dividida em trechos de variação linear de fluxo. 
Para calcular a tensão induzida em cada intervalo, aplicamos a equação: 
Fundamentos de Eletromagnetismo 141 
e (mV) 
50 
36 
C> O 0 O C> 
M V kr) :) 	CO E 	á t (ms) 
-36 
-50 
14 
0 
-14 
Por exemplo, para o primeiro trecho de variação linear, temos AO = 0,5mWb 
e At = 10 ms. Sendo N = 1, temos portanto que 
0,5 10-3 
e1 = -1 	 
e, = -50mV. Logo, durante os 10 primeiros milissegundos, a tensão induzida é constante 
e equivale a -50mV. Para os demais intervalos, calcula-se da mesma forma, obtendo-
se o gráfico abaixo. 
gráfico da tensão induzida em função do tempo 
Como se observa, o gráfico da força eletromotriz induzida em função do tempo 
é uma aproximação grosseira de uma cossenóide invertida. 
Naturalmente, se diminuíssemos os intervalos At obteríamos mais valores para 
a força eletromotriz e consequentemente obteríamos uma aproximação bem melhor 
para a forma de onda da força eletromotriz induzida. Na verdade, se os intervalos At 
fossem reduzidos à valores extremamente pequenos (At -30, leia-se At tendendo a 
zero), obteríamos uma quantidade de valores para a força eletromotriz tendendo ao 
infinito. Neste caso, a curva da força eletromotriz induzida seria uma cossenóide 
invertida perfeita. 
Então o que ocorre na realidade é que um fluxo variando senoidalmente induz 
numa espira ou bobina uma força eletromotriz cuja forma de onda é uma cossenóide. 
Como não há distinção entre uma variação cossenoidal e senoidal quando as mesmas 
são prolongadas no eixo dos tempos, podemos dizer que a força eletromotriz é do 
tipo senoidal, defasada em relação ao fluxo. O gráfico a seguir ilustra essas relações. 
10 . 10' 
142 Editora Ao Livro Técnico 
t (ms) 
t (ms) 
Todo o trabalho que tivemos para mostrar que um fluxo magnético variando 
senoidalmente em uma bobina ou espira induzuma força eletromotriz que também 
varia senoidalmente, pode ser bastante reduzido utilizando-se o conceito de derivada 
de uma função. 
Nesse caso, a Lei de Faraday é escrita sob a forma: fem = —N —
d0 
dt 
dO 
O termo —
dt 
é conhecido como a derivada do fluxo em relação ao tempo. 
Entretanto não utilizaremos a derivada em nossas análises para não fugir dos 
propósitos aos quais este livro se destina, que é o de proporcionar ao leitor o pleno 
entendimento dos fenômenos de eletromagnetismo sem o uso de matemática mais 
avançada. 
2.8 — Por que a corrente se atrasa em uma bobina 
Quando o fluxo varia senoidalmente, a força eletromotriz induzida também é do 
tipo senoidal. Vamos reproduzir em um único gráfico a forma de onda do fluxo e da 
força eletromotriz induzida que obtivemos na seção anterior. Como o fluxo é produzido 
diretamente pela corrente elétrica, eles se encontram em fase. Portanto, no gráfico, a 
forma de onda que representa as variações do fluxo é a mesma que representa as 
variações da corrente. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 143 
Analisando a defasagem, concluímos que a força eletromotriz e está atrasada 
de 90° em relação à corrente i. Mas não aprendemos que em uma bobina a corrente 
é que está atrasada em relação à tensão? 
Vamos esclarecer esses fatos, aplicando em uma bobina uma tensão senoidal v. 
Admitindo-se que se trata de uma bobina ideal, ou seja, resistência interna nula, 
a corrente deveria assumir um valor tendendo para infinito, pois: 
. 	v 
= — 
R 
Observa-se experimentalmente que não e isso que ocorre. A corrente assume 
valores razoavelmente baixos, o que nos leva a concluir que existe algo mais que 
limita a corrente e que não é a resistência elétrica. 
Ocorre pois que, a corrente alternada ao circular pela bobina produz nela um 
fluxo também alternado que, pela Lei de Faraday, induz uma força eletromotriz na bobina. 
Essa força eletromotriz, pela Lei de Lenz, tem polaridade tal que a corrente que ela tende 
a produzir se opõe à corrente que deu origem a ela. Supondo que a polaridade instantânea 
da tensão aplicada seja positiva no terminal superior da fonte, a força eletromotriz na 
bobina também terá polaridade instantânea positiva em seu terminal superior. 
144 Editora Ao Livro Técnico 
Sendo assim, a tensão aplicada v produz uma corrente i no sentido horário, 
enquanto a força eletromotriz da bobina e produz uma corrente i no sentido anti- 
horário. A corrente resultante da bobina será portanto iT = 	Então, a corrente que 
realmente circula na bobina é iT, cujo valor é baixo, pois é obtida pela subtração das 
duas correntes e cujo sentido é o horário, nesse exemplo. 
Obviamente, a corrente i será sempre maior que i', pois afinal de contas esta 
última é criada pela primeira. Caso a corrente induzida i' assumisse o mesmo valor da 
corrente aplicada i, a corrente resultante seria nula. Com isto não haveria fluxo e 
conseqüentemente não poderia existir força eletromotriz induzida na bobina e 
tampouco a própria corrente i'. 
Quando a tensão aplicada v inverter sua polaridade, a força eletromotriz da bobina 
também deverá inverter a sua, pois deverá continuar se opondo à tensão aplicada. 
Então, no diagrama senoidal a tensão v e a fem e deverão estar sempre opostas. 
V, e 
Obtivemos anteriormente o diagrama senoidal da força eletromotriz induzida 
em função do fluxo e corrente. Sobrepondo os dois diagramas, teremos: 
Logo: 
— A corrente está atrasada de 90° em relação à tensão aplicada à bobina. 
— A corrente está adiantada de 90° em relação à fem induzida na bobina. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 145 
Portanto, quando se diz que a corrente em uma bobina está atrasada em relação à 
tensão, obviamente está se referindo à tensão aplicada e não à força eletromotriz induzida. 
Mas ainda restou a intrigante pergunta. Porque a corrente se atrasa em relação 
à tensão aplicada? 
Quando ligamos o interruptor que conecta uma bobina a uma fonte alternada 
senoidal e supondo que isto ocorra no exato instante que a tensão da fonte está 
passando por zero, a corrente também inicia em zero e tende a crescer rapidamente 
pois ainda não há oposição a sua passagem. Entretanto o fluxo variável gerado na 
bobina faz surgir a força eletromotriz induzida, dada pela equação: 
e = —N 
At 
Essa força eletromotriz ainda não é perfeitamente oposta à tensão aplicada pois 
foi gerada por uma corrente que iniciou em fase com a tensão aplicada. 
e - fem 
v - tensão aplicada 
i - corrente 
Com isso, a corrente continua crescendo mesmo quando a tensão aplicada 
já começa a decrescer. A força eletromotriz da bobina começa a decrescer à medida 
em que a corrente diminui o seu ritmo de crescimento atingindo o valor zero no 
ponto marcado no gráfico por a', que corresponde ao instante que a corrente e 
conseqüentemente o fluxo deixa de variar ao passar pelo valor máximo. 
A corrente vai então, como se observa no gráfico, gradativamente se defasando 
até atingir em poucos ciclos a defasagem de 900 em relação à tensão aplicada. A 
defasagem se estabiliza em 90° pois é exatamente com esse valor que a corrente cria 
um fluxo capaz de gerar uma força eletromotriz na bobina oposta à tensão aplicada. 
Isso assegura a condição de equilíbrio necessária para que a corrente se estabilize 
num patamar estável. 
O atraso da corrente em relação à tensão aplicada é então essencialmente um 
mecanismo da natureza para preservar o equilíbrio. 
146 Editora Ao Livro Técnico 
Naturalmente quando ligamos o interruptor nem sempre a tensão senoidal da 
fonte está iniciando em zero. Independente disso, a corrente sempre se ajustará de 
forma a se defasar de 90° em poucos ciclos, dependendo das características da bobina. 
De qualquer forma, seja qual o valor inicial da tensão da fonte, a corrente nos primeiros 
ciclos sempre terá valor máximo superior ao de seu valor máximo de regime. 
2.9 - Por que surge uma faísca ao se desligar um circuito que contenha bobinas? 
Toda vez que ligamos ou desligamos um circuito com bobinas, quer seja em 
corrente contínua ou alternada, estamos promovendo uma variação no fluxo magnético 
gerado pela corrente. Especialmente quando desligamos o circuito, a variação de fluxo 
é muito rápida, pois a corrente tende a se extinguir rapidamente. Nestas condições, a 
força eletromotriz induzida na bobina atinge valores elevados e sua polaridade é tal 
que ela tende a manter a corrente no circuito a qualquer custo. Mesmo após a abertura 
definitiva dos contatos do interruptor, a corrente continua fluindo pelo ar, ocasionando 
o faiscamento característico. 
Resumindo, o faiscamento ocorre porque a bobina reage à diminuição da 
corrente, criando uma força eletromotriz que gera uma corrente no mesmo sentido 
que a da fonte para tentar impedir que ela diminua. 
2.10 - O motor de indução trifásico 
O princípio de funcionamento do motor de indução trifásico é fundamentado 
inteiramente nas leis de Faraday e Lenz. Imagine então uma gaiola cilíndrica livre para 
Fundamentos de Eletromagnetismo 147 
girar segundo seu eixo de simetria. Em torno dela, giram as superfícies polares de um 
ímã como mostra a figura abaixo: 
À medida em que o ímã gira, o fluxo magnético varia sobre os vários circuitos 
fechados existentes na gaiola cilíndrica. No desenho abaixo é mostrada a gaiola onde 
se vêem os circuitos fechados. 
Analisemos, então, o que ocorre quando uma sapata polar do ímã passa sobre 
esses circuitos. Por comodidade e facilidade de representação, a sapata polar norte é 
vista no desenho em linhas tracejadas. Ela se desloca segundo o sentido indicado. 
Isto faz com que o fluxo neste instante esteja aumentando no percurso fechado ABGHA 
enquanto que diminui no circuito CDEFC. No circuito BCFGB se mantém constante 
por enquanto. 
148 Editora Ao Livro Técnico 
11 
Vamos descobrir quais os sentidos das correntes induzidas em cada circuito. No 
ABGHA, o fluxo de reação possuisentido oposto ao fluxo da sapata polar do imã e 
portanto a corrente induzida tem sentido anti-horário. No CDEFC, o fluxo de reação tem 
sentido coincidente com o fluxo polar. Logo, a corrente induzida tem sentido horário. 
11 
O efeito da corrente induzida em cada circuito resulta em um campo magnético 
cuja polaridade é indicada por fictícios ímãs representados na figura abaixo. 
1-1 
Fundamentos de Eletromagnetismo 149 
barras rotóricas 
ROTOR 
ESTATOR 
Desta forma a sapata polar norte terá à sua frente um pólo norte gerado no 
percurso ABGHA. Ao mesmo tempo atrás da sapata polar norte surge um pólo sul 
gerado pela corrente induzida no percurso CDEFC. 
A sapata polar norte irá portanto repelir o pólo norte que está a sua frente e ao 
mesmo tempo atrair o pólo sul que se formou atrás dela. Conseqüentemente, a gaiola 
cilíndrica será arrastada no mesmo sentido do deslocamento da sapata polar norte. 
Naturalmente a velocidade de giro da gaiola cilíndrica será sempre menor do que à da 
sapata polar. É certo, porém, que sempre serão induzidas correntes nos circuitos 
fechados que criarão pólos segundo o desenho anterior. 
Há ainda que se lembrar que a sapata polar sul também estará criando efeito 
semelhante no lado diametralmente oposto da gaiola. 
Resumindo, a gaiola cilíndrica irá girar no mesmo sentido que os pólos do ímã 
e sua velocidade será sempre inferior à deste último. Caso a gaiola atingisse em 
determinado momento a mesma velocidade do ímã, deixaria de existir variação de 
fluxo sobre os circuitos fechados e conseqüentemente deixaria de existir a interação 
entre os campos. Com isso, a gaiola deixaria de ser arrastada pelas sapatas polares e 
fatalmente diminuiria sua velocidade. 
Um motor trifásico naturalmente não possui um ímã que gira em torno da 
gaiola. O papel desempenhado por este ímã é conseguido através de diversas bobinas 
convenientemente dispostas em uma carcaça ferromagnética denominada estator, e 
alimentadas por corrente trifásica. Isto faz com que se produza um campo magnético 
girante, equivalente ao do ímã girando em volta da gaiola cilíndrica. 
150 Editora Ao Livro Técnico 
motor trifásico 
A gaiola cilíndrica é preenchida com material ferromagnético para concentrar 
melhor o fluxo magnético e o conjunto recebe o nome de rotor. Os condutores da 
gaiola recebem o nome de barras rotóricas e são dispostos ligeiramente inclinadas 
para diminuir o zumbido durante o funcionamento. 
2.71 — O motor de indução monofásico 
O princípio de funcionamento do motor monofásico de indução é semelhante 
ao do motor trifásico. A diferença é que no motor monofásico não existe o campo 
girante como no trifásico. O que ocorre são inversões sucessivas de pólos, como mostra 
a seqüência abaixo: 
 
s 
t2 
rotor 
 
 
 
 
t I 
 
t3 
Evidentemente os pólos norte e sul mostrados na figura são também conseguidos 
através de correntes circulando em bobinas convenientemente dispostas em um estator 
e alimentadas por corrente alternada monofásica. 
Como se vê, então, o motor monofásico não possui torque inicial, pois não 
possui campo girante. Entretanto, se dermos um giro inicial no rotor até este atingir 
determinada velocidade, inicia-se um processo semelhante ao do motor trifásico e o 
rotor continua girando. Esse impulso inicial normalmente é conseguido através de um 
enrolamento auxiliar disposto no próprio estator junto com o enrolamento principal. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 151 
Esse enrolamento é ligado em série com um capacitor destinado a defasar o campo 
auxiliar do principal a fim de criar um campo girante semelhante ao campo do mo-
tor trifásico. 
O enrolamento auxiliar é desligado automaticamente por um dispositivo 
chamado interruptor centrífugo assim que o rotor atingir 75% de sua velocidade no-
minal. A partir daí, as inversões de campo proporcionadas pelo enrolamento principal 
são suficientes para manter o rotor em movimento. 
motor monofásico 
2.12 - Exercícios resolvidos 
A — Determine o sentido da deflexão do galvanômetro quando a pilha for 
desconectada da bobina. 
Solução: 
Na figura abaixo estão representados o sentido da corrente e o correspondente 
sentido do fluxo magnético: 
„,„ 
, 	o ,,,, ic . • ...... ...... 
iiii: 
152 Editora Ao Livro Técnico 
fluxo de reação 
v 
fluxo do imã 
núcleo N s 
Quando a corrente é interrompida, o fluxo tende a diminuir. Com isto, o fluxo 
de reação terá o mesmo sentido do fluxo original. Isto nos leva a concluir que a 
corrente deve se manter no mesmo sentido, agora sendo mantida pela força 
eletromotriz da bobina. Logo, o terminal inferior da bobina é positivo, pois uma 
corrente sempre sai do positivo de uma fonte. Como esse terminal está conectado 
ao terminal negativo do galvanômetro, este irá defletir para a esquerda. 
B — Em uma bobina, um núcleo de material ferromagnético será introduzido como 
mostrado na figura. Determine o sentido da corrente induzida. 
v 
 
 
11111111111 
 
N s 
 
núcleo 
 
 
 
Solução: 
O fluxo magnético do ímã que está ao lado da bobina está atravessando parte 
das espiras da mesma. À medida que o núcleo de ferro vai sendo introduzido, 
teremos um reforço no fluxo magnético no interior da bobina. Ou seja, o fluxo 
estará aumentando em seu interior. Desta forma, será induzida uma corrente 
que tende a produzir um fluxo em sentido contrário. Aplicando a regra da mão 
direita para espiras e bobinas, concluímos que o sentido da corrente se dará 
como mostrado abaixo: 
C — Determine o sentido da corrente induzida na seção transversal do condutor 
abaixo: 
o 
B 
v 
Fundamentos de Eletromagnetismo 153 
Solução: 
Aplicando a regra de Fleming, ou seja, com os três primeiros dedos da mão 
direita dispostos de 90° um do outro, fazendo o dedo indicador apontar o 
sentido do fluxo magnético e o dedo polegar apontar no sentido da velocidade, 
teremos o dedo médio apontando para fora do plano do papel o que nos dá 
então o sentido da corrente induzida no condutor. 
o I 
B 
Me. 
2.13 - Exercícios propostos 
A — Com base na Lei de Lenz, determine a polaridade da força eletromotriz gerada 
nos condutores abaixo: 
b) 	„ „ 
B 
XXIX 
X X X X 
X X X V 
B 
a) 
B — Determine qual o sentido da corrente e a polaridade da força eletromotriz induzida 
na bobina abaixo, quando o ímã estiver se aproximando da mesma. 
11111111111 
C — Qual o sentido da corrente induzida no anel condutor abaixo? 
N s 
154 	Editora Ao Livro Técnico 
condutores 
v 
13 
D — No esquema abaixo, a bobina em curto pode deslizar livremente pelo núcleo. 
Determine o sentido do deslocamento a que estará sujeita esta bobina quando 
o interruptor estiver sendo: 
a) ligado 
b) desligado 
E — Na ilustração abaixo, o ímã está passando por baixo de uma armação de 
condutores. Determine o sentido das correntes nos dois percursos fechados 
ABEFA e BCDEB. 
F — No exercício anterior, em qual condutor a intensidade de corrente é maior? 
G — Um dardo magnetizado é lançado sobre um alvo. Por trás da marca da mosca 
está instalada uma bobina cujos terminais estão conectados a um circuito eletrô-
nico para avisar quando o dardo atingir a mosca. Determine o sentido da corrente 
induzida na bobina caso o dardo acerte a mosca. 
circuito eletrônico 
Fundamentos de Eletromagnetismo 155 
H — O dispositivo abaixo será girado no sentido indicado. Determine o sentido das 
correntes induzidas nos setores da roda raiada à frente e atrás de cada pólo tendo 
como base a posição atual em que se encontra. O que ocorrerá com a roda raiada? 
I — Determine qual o sentido de deflexão do ponteiro do galvanômetro quando a 
chave S for fechada. 
J — Na questão anterior, supondo inicialmente a chave fechada, qual o sentido de 
deflexão do ponteiro do galvanômetro ao ser aberta a chave? 
2.14 — Sugestões para Laboratório 
Comprovando a Lei de Lenz 
Objetivo: 
Comprovar a Leide Lenz através de duas experiências diferentes. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 02 pç bobina didática com núcleo de ferro 
(entre 500 a 1500 esp.) 
02 01 pç núcleo desmontável 
03 01 pç ímã permanente em forma de barra 
04 01 pç galvanômetro (miliamperímetro de zero central) 
05 05 pç cabo de ligação 
06 01 pç fonte CC 6V ou 12V 
07 01 pç interruptor 
156 Editora Ao Livro Técnico 
Experiência 1 
Dado o esquema abaixo, analise e, utilizando a Lei de Lenz, determine o 
sentido de deflexão do galvanômetro quando o pólo norte do ímã estiver: 
a) Se aproximando da bobina. 
b) Se afastando da bobina. 
 
 
INIS1 
Lembre que se o pólo norte estiver se aproximando da bobina, um fluxo dirigido 
para a esquerda estará aumentando sobre ela e o fluxo de reação estará dirigido 
para a direita. Ou ainda, se um pólo norte de um ímã se aproxima da bobina, ela 
cria um pólo de mesmo nome para se opor à aproximação do ímã. Seja qual for a 
maneira de interpretar, o sentido da corrente induzida será descoberto e 
consequentemente a polaridade da tensão induzida também o será. Assim, se 
concluímos que determinado movimento gera uma polaridade positiva no terminal 
esquerdo da bobina, então o ponteiro do galvanômetro defletirá para a direita pois 
a polaridade da tensão aplicada coincide com a polaridade do instrumento. Caso 
contrário, ele defletirá para a esquerda. 
Feitas as análises para as duas situações, faça a comprovação prática e verifique 
se sua conclusão estava correta. 
Repita a análise e depois faça a comprovação para um pólo sul se aproximando 
e depois se afastando da bobina. 
Experiência 2 
Faça a montagem a seguir, utilizando o núcleo desmontável e as bobinas. Coloque 
a bobina com maior número de espiras na coluna esquerda do núcleo desmontável. 
Nesta experiência, o objetivo também é descobrir qual o sentido de deflexão do 
galvanômetro. Analise portanto e determine a indicação do galvanômetro no instante 
em que o interruptor for: 
a) ligado. 
b) desligado. 
Fundamentos de Eletromagnerismo 157 
Um detalhe importante é que você deve conhecer o sentido de enrolamento 
das bobinas que estiver utilizando. O sentido de enrolamento de uma bobina é 
determinado no momento em que se está construindo a mesma. Observe nas figuras 
abaixo as duas diferentes maneiras de se enrolar uma bobina. Note que se aplicarmos 
uma corrente em ambos os terminais esquerdos das bobinas, os sentidos de fluxos 
gerados serão diferentes. 
Uma vez construída uma bobina, seu sentido de enrolamento será sempre o 
mesmo, independente da posição que a colocarmos. Por exemplo, se virarmos a 
primeira bobina do desenho anterior de "cabeça para baixo" e aplicarmos de novo 
uma corrente em seu terminal esquerdo, o sentido de fluxo não será afetado. 
Voltando à experiência, analise o sentido do fluxo gerado e do fluxo de reação 
no instante em que o interruptor é fechado. Lembre que nesse instante o fluxo é 
crescente. Descubra então qual a polaridade da tensão induzida na bobina secundária 
e qual o sentido de deflexão do ponteiro do instrumento. Repita a análise para quando 
o circuito for aberto. 
Agora é só comprovar experimentalmente. 
158 Editora Ao Livro Técnico 
Bobina didática 
Experiência 1 Bobina em curto 
Fonte CA 
regulável 
A bobina que salta 
Uma montagem interessante e divertida que ilustra muito bem que os efeitos 
se opõem às causas como estabelece a Lei de Lenz, pode ser feita facilmente em 
laboratório. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 02 pç bobina didática com número de espiras entre 500 a 1500, 
com núcleo longo. 
02 01 pç fonte CA regulável 0-120V 
03 01 pç amperímetro com calibre 2A 
04 01 m fio esmaltado entre 16 a 20 AWG 
05 03 pç cabo de ligação 
06 01 pç interruptor de pressão 
Com o pedaço de fio esmaltado deve ser feita a bobina que irá saltar. Essa 
bobina deverá ter em torno de 20 espiras e ter o formato do núcleo, ficando ligeiramente 
maior que esse para que possa deslizar livremente. Para construir a bobina, aproveite 
o próprio núcleo como molde. Como a bobina deverá ter diâmetro maior que o do 
núcleo, revista o mesmo com algumas voltas de fita crepe antes de começar a enrolar. 
Enrole então o fio sobre o núcleo sendo que as duas pontas deverão ser firmemente 
conectadas e soldadas com estanho preferencialmente. Não esqueça de remover o 
esmalte do condutor, raspando com um estilete nas partes que serão conectadas. 
Feito isso, retirar a bobina do molde e firmar as espiras utilizando fita adesiva para que 
a mesma se torne compacta. Retire em seguida a fita crepe do núcleo e teste sua 
bobina, verificando se ela desliza livremente sobre o núcleo. Poderão ser feitas mais 
bobinas com diferentes números de espiras, pois algumas poderão dar melhor 
resultado na experiência. Feito isso, estamos prontos para iniciar as experiências. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 159 
A bobina didática deve ficar na vertical com seu núcleo excedendo o comprimento 
da mesma. Conecte a bobina à fonte CA regulável, que deverá inicialmente estar ajustada 
em zero volt e insira o amperímetro para monitorar a corrente. 
Aplique uma pequena tensão, aumentando gradativamente. À medida que a 
corrente na bobina vai aumentando, percebe-se que a pequena bobina começa a 
subir pelo núcleo. Essa bobina pode ser mantida suspensa em qualquer posição 
dependendo da corrente aplicada à bobina principal. Cuidado para não exceder o 
limite de corrente da bobina principal. 
Esse fenômeno ocorre porque o fluxo magnético gerado na bobina principal 
induz uma corrente na pequena bobina em curto-circuito. Essa por sua vez também 
irá produzir um fluxo magnético que estará em oposição ao fluxo que deu origem à 
ele. Ou seja, os fluxos da bobina principal e da pequena bobina estarão em oposição, 
ocasionando a repulsão. É a lei de Lenz. 
Você pode perceber indiretamente que pela pequena bobina circulou corrente. 
Basta verificar que durante a experiência ela se aqueceu. 
Experiência 2 
0" Esta experiência deve necessariamente ser acompanhada por um professor. 
Agora você vai ligar diretamente a bobina principal à tomada de 127 V, sendo 
que esta deverá ter entre 200 e 500 espiras. Nesta experiência, o amperímetro não 
deve ser utilizado. Isto porque a corrente agora será muito elevada, excedendo os 
limites do amperímetro e da bobina. Essa corrente, apesar de elevada, não irá danificar 
a bobina pois irá circular por um tempo muito curto. Entretanto, se o amperímetro 
estivesse conectado certamente seria danificado. 
Para realizar essa experiência, são necessários certos cuidados. Em primeiro lugar, 
é necessário que a tomada, a ser utilizada, seja protegida diretamente por um disjuntor 
de 20 A ou 30 A. Esse deverá permanecer desligado até o momento culminante da 
experiência. Outro cuidado é posicionar a bobina principal em um lugar onde acima 
dela não haja luminárias ou lâmpadas no teto. Isto porque o dispositivo funcionará 
como um canhão, disparando a pequena bobina em alta velocidade. 
Agora você pode conectar a bobina à tomada. Em seguida ligue o disjuntor para 
ver a pequena bobina saltar em alta velocidade. Nesse momento, o disjuntor irá 
automaticamente desligar pois a corrente deve ultrapassar seu limite. Caso isso não 
ocorra, o resultado de sua experiência não deverá ter sido muito bom e você deve 
desligar o disjuntor imediatamente para não queimar a bobina principal. Para melhorar 
o desempenho do seu canhão você pode trocar a bobina principal por outra de menor 
número de espiras, ou ligar à tomada de 220 V, que deverá também possuir um 
disjuntor para protegê-la. Você pode também testar as outras pequenas bobinas cuja 
construção foi sugerida anteriormente. 
Observe que o fenômeno é o mesmo da experiência anterior. Apenas a corrente 
é aplicada bruscamente e com valor bem elevado, fazendo a bobina saltar. 
160 Editora Ao Livro Técnico3 
CORRENTES DE FOUCAULT 
3.1 — Como ocorrem as correntes de Foucault 
Partindo-se do princípio de que um fluxo variável no tempo induz uma força 
eletromotriz em um condutor, como estabelece a Lei de Faraday, não fica difícil concluir 
que um núcleo magnético cuja bobina seja alimentada por corrente alternada fica 
sujeita também a esta força eletromotriz. Isso provoca no núcleo a circulação de 
correntes conhecidas como correntes de Foucault ou ainda correntes parasitas, pois 
na maioria das vezes são indesejáveis e causam perdas por aquecimento. Assim, 
podemos dizer que: 
Correntes de Foucault são correntes que circulam em núcleos metálicos sujeitos a 
fluxos magnéticos variáveis, produzindo aquecimento. 
Motores de corrente alternada, transformadores, reatores, contatores etc. ficam 
sujeitos à circulação de correntes de Foucault. Vàmos descobrir como circulam tais 
correntes e quais as conseqüências que acarretam. Considere então o núcleo de um 
transformador como mostrado abaixo. 
Admitindo que, no instante analisado, a corrente na bobina primária esteja 
crescendo no sentido indicado, teremos um fluxo magnético também crescendo 
circulando pelo núcleo no sentido anti-horário. Para maior facilidade, vamos analisar 
somente um pedaço do núcleo, uma vez que o fenômeno ocorre igualmente em toda 
a sua extensão. Considere então um corte imaginário na parte de baixo do núcleo, 
com o qual obtemos o seguinte pedaço, mostrado na figura a seguir. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 161 
corrente parasita 
fluxo de reação 
corrente resultante 
área efetiva 
por onde circulam 
as correntes parasitas 
Como no instante analisado o fluxo é crescente, pela Lei de Lenz deverá ser 
criado um fluxo em sentido oposto, para limitar seu crescimento. 
O fluxo de reação é criado para se opor 
ao fluxo que lhe origina (Lei de Lenz). 	reação, cujo sentido e 
dado pela regra da mão 
direita para espiras e 
bobinas. Observe que o interior do núcleo fica livre dessas 
correntes. Na verdade, para cada linha de força do fluxo de 
reação é necessário uma pequena corrente, com formato 
aproximadamente circular. Portanto, essas correntes também 
existem no interior do núcleo, mas cancelam-se mutuamente, ocorrendo a soma apenas 
na periferia do núcleo, conforme ilustra o desenho abaixo em corte transversal. 
Esse fluxo de reação é criado pela corrente 
elétrica que circula na bobina secundária e 
também por correntes periféricas no núcleo que 
são as correntes de Foucault. 
Forma-se então uma espécie de "casca de 
corrente" com a finalidade de produzir o fluxo de 
162 Editora Ao Livro Técnico 
3.2 — Perdas por correntes parasitas 
Vale relembrar que todo condutor possui uma resistência elétrica que é 
diretamente proporcional ao seu comprimento e resistividade e inversamente 
proporcional à sua seção e que uma corrente elétrica 1 ao atravessar uma resistência R, 
dissipa uma potência P dada por: P.R./ 2 . 
Pelo fato das correntes parasitas circularem apenas pela periferia do núcleo, 
seus trajetos se desenvolvem através de uma seção pequena. Isso representa para 
essas correntes um caminho de resistência maior do que se circulassem por todo o 
núcleo. Assim, a potência dissipada P = R.I 2 , que efetivamente se traduz em aqueci-
mento no núcleo, se torna bastante significativa. Naturalmente essas perdas são 
supridas pela fonte, que entrega uma parcela de energia somente para aquecer o 
núcleo, o que é indesejável na maioria dos casos. Sendo assim, as correntes de Foucault 
contribuem para baixar o rendimento do transformador ou qualquer que seja a máquina 
ou dispositivo envolvido. Portanto, devem ser tomadas providências para reduzir o 
efeito das correntes parasitas. 
3.3 - Diminuindo o efeito das correntes de Foucault 
Pode-se diminuir as perdas por correntes parasitas manipulando-se a composição 
química do núcleo. Se um núcleo for constituído de uma liga que apresenta alta 
resistividade, a intensidade das correntes parasitas será baixa, visto que a corrente terá 
um trajeto de maior resistência a ser percorrido. Entretanto, não se pode alterar muito a 
resistividade do núcleo sem comprometer as características magnéticas e mecânicas do 
mesmo. Principalmente porque para se obter uma resistividade alta implica em alto 
teor de carbono o que aumenta a retentividade do núcleo e 
consequentemente aumentam as perdas por histerese. 
Uma maneira mais eficiente de se reduzir a intensidade 
das correntes parasitas consiste na laminação do núcleo e 
isolação das chapas. Para entender como esse procedimento 
funciona, imagine aquele pedaço de núcleo que analisamos 
anteriormente. Se o cortarmos ao meio no sentido de circulação 
do fluxo e separarmos as partes obtidas, as correntes circularão 
pela periferia dessas duas partes, com aproximadamente 
metade de sua intensidade. 
Cortando mais uma vez ao meio as duas partes obtidas, 
as correntes terão intensidades menores ainda e circularão pela 
periferia de cada uma das partes obtidas. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 163 
Fazendo sucessivos cortes até que o núcleo esteja dividido em finas chapas, 
observamos que as correntes parasitas ficam com intensidade bastante reduzida e 
circulam confinadas na pequena área da seção transversal das chapas assim obtidas. 
Naturalmente para o núcleo preservar a sua forma original, é necessário unir todas as 
chapas isolando-as eletricamente através de um verniz ou película óxida, que impeça 
que as correntes parasitas de cada chapa voltem a se somar. Veja página 94, 5.5 —
Núcleos laminados. 
Na prática, um núcleo é construído pela sobreposição de chapas finas isoladas, 
formando um pacote de lâminas com o formato desejado. Façamos agora uma análise 
final para verificar como a laminação do núcleo contribuiu para diminuir as perdas 
por correntes parasitas. Começamos pela intensidade dessas correntes que foram 
reduzidas à valores muito baixos. Com isso, a potência de perdas, dada por P= R.12 , 
agora é mínima visto que uma corrente muito pequena elevada ao quadrado fica 
menor ainda. Mas não é só isso. Laminando o núcleo e isolando as chapas, fizemos 
com que a corrente se distribuísse por toda a seção do núcleo. Isto quer dizer que a 
resistência do núcleo vista pela corrente é agora muito menor, uma vez que a resistência 
é inversamente proporcional à seção. Assim, na fórmula da potência P = R.I 2 , 
diminuímos o valor da corrente e da resistência de uma forma bastante significativa. 
Desta forma, podemos concluir que a laminação do núcleo e a isolação das chapas é 
um meio extremamente eficaz no controle das correntes de Foucault. 
3.4 - Freios magnéticos 
As correntes de Foucault, como vimos, causam perdas nos núcleos de máquinas 
e dispositivos ligados em corrente alternada. Tanto é que também recebem o nome 
de correntes parasitas. Entretanto, existem dispositivos que funcionam graças às corren-
tes de Foucault. Um deles é o freio magnético. 
O freio magnético consiste em um disco ou tambor acoplado ao eixo do 
dispositivo que se deseja frenar. 
dispositivo girantc 
tambor 	
dispositivo girante 
 
 
 
 
 
 
dispositivo girante com freio a tambor 
dispositivo girante com freio a disco 
164 Editora Ao Livro Técnico 
Nas figuras anteriores, o disco e o tambor giram junto com o dispositivo girante, 
que pode ser um motor , uma roda , um volante, sem exercer nenhuma ação frenante. 
Desejando-se que o dispositivo seja frenado, basta que um ímã seja aproximado do 
disco ou do tambor. Na maioria das aplicações práticas são usados eletroímãs alimen-
tados por CC. Vejamos como isso funciona: 
Vamos analisar o que ocorre com o disco, servindo nossas conclusões também 
para o tambor, uma vez que o princípio é o mesmo. 
Um ímã é aproximado do disco que gira. 
Uma ação frenante é exercida. 
Para maior clareza, vamos observar o disco de frente. 
Ímã com suas linhas de força 
apontando paradentro da folha. 
Agora dividamos o disco em setores imaginários. Vamos nos ater aos setores 
em destaque 1 e 2 que são os que se encontram sob a ação do ímã. Como o disco 
está girando no sentido anti-horário, no setor 1 o fluxo está aumentando, enquanto 
que no setor 2 está diminuindo. Pelas leis de Faraday e Lenz, deerão circular correntes 
cujos sentidos são mostrados no desenho a seguir. Então, no setor 1 será criado um 
pólo norte apontando para fora do plano do papel e, no setor 2, um pólo sul. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 165 
Sentido das correntes de Foucault nos setores. 
Lembrando que o ímã tem sua face polar norte próxima ao disco, observamos 
uma repulsão entre seu pólo norte e o pólo norte criado pela corrente de Foucault no 
setor 1 e ao mesmo tempo, atração entre o norte do imã e o sul do setor 2. Obviamente 
isto se traduz numa força contrária ao movimento do disco. 
Pólos equivalentes criados 
pelas correntes de Foucault. 
Portanto, uma ação frenante é exercida sobre o disco. Observe que apesar do 
disco girar, os pólos norte e sul criados pelas correntes de Foucault continuam no 
mesmo lugar e, por essa razão a ação frenante é contínua até que o disco pare. 
Quando isso ocorrer, o fluxo não mais estará variando sobre os setores imaginários e, 
portanto, deixarão de existir as correntes de Foucault. 
O desempenho desse mecanismo é melhorado quando se utiliza um ímã em 
forma de ferradura envolvendo parte do disco. 
Uma das aplicações desse mecanismo está nos medidores de kWh, onde se deseja 
que o disco pare imediatamente assim que nenhuma energia estiver sendo utilizada. 
Caso o freio não existisse, ao se desligar uma carga, principalmente de alta potência 
como um chuveiro, o disco do medidor ainda daria várias voltas até parar, totalizando 
uma energia que efetivamente não estaria sendo utilizada. 
166 Editora Ao Livro Técnico 
Alguns modelos de caminhões utilizam o freio magnético em conjunto com os 
métodos convencionais por atrito. A inexistência de contato físico no freio magnético 
não gera desgaste, proporcionando economia e dispensando manutenções freqüentes. 
No caso de frenagem de motores de corrente alternada, ao ser desligado o motor 
da rede, é injetado, em seguida, uma corrente contínua no enrolamento, fazendo o mesmo 
se comportar como um eletroímã. O rotor, ainda girando, será sede de correntes de Foucault 
que, interagindo com o campo magnético gerado pela CC, produzirá uma ação frenante. 
3.5 — Simulador de carga para motores 
O princípio do freio magnético é também utilizado como simulador de carga 
para ensaios em motores elétricos. A carga mecânica simulada pode ser variada, 
aumentando-se ou diminuindo-se a corrente no eletroímã, o que gera uma ação 
frenante pelo efeito das correntes de Foucault no tambor rotativo acoplado ao eixo. 
motor 
Motor elétrico com simulador de carga 
utilizando correntes de Foucault. 
3.6 - Exercícios propostos 
A — Responda as questões abaixo: 
a) Como surgem as correntes parasitas? 
b) Por que as correntes parasitas circulam na periferia dos núcleos? 
c) Qual o principal efeito das correntes parasitas em um núcleo? 
d) Quais as maneiras de se diminuir o efeito das correntes de Foucault? 
e) Por que as chapas de um núcleo devem ser isoladas entre si? 
f) Cite três aplicações das correntes de Foucault? 
Fundamentos de Eletromagnetismo 167 
g) No desenho abaixo, indique uma direção correta para se chapear o núcleo a 
fim de reduzir as perdas por correntes de Foucault. 
h) Duas bobinas idênticas, porém uma com núcleo maciço e outra com núcleo 
laminado, são ligadas em paralelo a uma fonte CA. Pergunta-se: as bobinas 
absorverão da fonte a mesma corrente? Justifique sua resposta. 
3.7 — Sugestões para laboratório 
Provar que a laminação do núcleo reduz as correntes parasitas. 
Objetivo: 
Comprovar que a laminação do núcleo com a respectiva isolação entre as chapas 
é um meio bastante eficaz na redução das correntes parasitas. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 02 pç bobina (n° esp. entre 300 a 1800 esp.) 
02 01 pç núcleo laminado 
03 01 pç núcleo maciço 
04 01 pç amperímetro com calibre conforme !max. das bobinas 
05 04 pç cabo de ligação 
06 01 pç fonte CA regulável 0-240 V 
Procedimento: 
Utilizando as duas bobinas iguais, efetue a montagem abaixo: 
núcleo maciço 	núcleo laminado 
 
IniUnC.01. 
 
 
 
168 Editora Ao Livro Técnico 
 
Aplique uma corrente cujo valor não exceda os limites das bobinas. Aguarde no 
mínimo 5 minutos. Passado esse tempo, desligue o circuito e retire os núcleos. Compare 
a temperatura dos dois núcleos, segurando-os um em cada mão. Cuidado para não 
queimar a mão que estiver segurando o núcleo maciço. Se você dispuser de um 
termômetro, meça as temperaturas. 
Freio magnético 
Objetivo: 
Mostrar o funcionamento de um freio magnético. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 01 pç ímã em forma de ferradura 
02 01 pc chapa de alurninio(± 10x10 cm) 
03 30 cm barbante 
04 01 pç pedestal 
Procedimento: 
Faça um furo na chapa e pendure-a no pedestal. 
Experimente balançá-la, fazendo-a executar um movimento pendular e observe 
como ela oscila livremente. Disponha então o ímã ferradura embaixo da chapa de tal 
forma que, ao executar o movimento pendular, a chapa passe entre os pólos do ímã. 
Você verá que agora a chapa será frenada toda vez que passar em frente aos pólos 
do ímã. É o princípio do freio magnético. O ímã ferradura pode ser substituído por dois 
ímãs em forma de barra, com pólos opostos próximos. Neste caso, pode-se regular a 
distância entre os pólos e constatar que quanto mais próximos estiverem, maior será a 
ação frenante. Observe que a chapa não é frenada pela ação de atração do ímã. É por 
essa razão que se pede uma chapa de alumínio pois este não é um material magnético, 
como você pode constatar aproximando o ímã da chapa parada. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 169 
FORÇAS MAGNÉTICAS 
4.1 - Campo magnético de uma carga em movimento 
A experiência de Oersted mostrou que surge um campo magnético em torno de 
um condutor quando este conduz uma corrente elétrica. Esse campo é o resultado da 
soma dos campos individuais criados por cada carga em movimento. Isto é, cada 
carga em movimento gera então um campo magnético elementar. 
A partir da configuração do campo magnético em torno de um condutor, podemos 
supor qual o aspecto do campo magnético de uma única carga em movimento. 
 
 
Campo magnético em 
torno de um condutor. 
 
Campo magnético de uma 
carga positiva em movimento. 
As linhas do campo da partícula são círculos concêntricos em planos 
perpendiculares ao movimento, dados pela regra da mão direita para cargas positivas 
e pela mão esquerda para cargas negativas. Em ambos os casos o dedo polegar indica 
o sentido do deslocamento da partícula e os demais dedos indicam o sentido das 
linhas. A maior intensidade se concentra num plano perpendicular ao movimento e 
que passa pelo centro da carga. Para maior comodidade e simplicidade na 
representação, consideraremos daqui por diante o campo magnético da partícula 
concentrado apenas nesse plano. 
Nr 
Simplificação do campo de uma 
carga positiva em movimento. 
170 Editora Ao Livro Técnico 
O campo magnético gerado por uma carga negativa tem linhas de força em 
sentido oposto, que podem ser obtidas pela regra da mão esquerda. 
x 
x 
V 
é 
 
v 
 
 
vista em corte frontal do campo vista em corte frontal do campo 
de uma partícula positiva 	de uma partícula negativa 
4.2 - Força em uma carga em movimento dentro de um campo magnético. 
Quando uma partícula carregada entra em um campo magnético com certa 
velocidade, ocorrem interações entre esse campo e o campo gerado pela partícula de 
forma que surge uma força. Essa força atua sobre a partícula, alterando sua trajetória. 
 
9 
r...... 	. 	. 
2 	 F 3 
 
 
 
I — Partícula carregada se aproximando de uma região de campo magnético B. 
2 — Partícula entra no campo. Surge uma força pela interação de campos. 
3 — Desvio de trajetória, provocado pela força F. 
O sentido dessa força pode ser determinado analisando-se os sentidos dos 
campos. Observe no desenho acima que o campo gerado pela partícula carregada 
tem sentido contrário abaixo dela. Isso quer dizer que há uma soma de campos na 
parte superior e uma subtração na parte inferior à partícula. Para compensar esse 
desequilíbrio, surge uma força que puxa a carga para baixo na tentativa de aliviar o 
excesso de linhas na região acima dela e, ao mesmo tempo, suprir a falta de linhas na 
região abaixo dela. 
4.3 — Regra de Fleming para forças 
Pode-se utilizar a já conhecida regra de Fleming, só que agora para determinação 
da força que age sobre a carga em movimento dentro de um campo magnético. Utilizam-
se os três dedos principais da mão esquerda para cargas positivas e da mão direita 
para cargas negativas. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 171 
v 
V 
..................... 
.• 
Os dedos devem ficar mutuamente perpendiculares sendo que o polegar indica 
o sentido da força que atua sobre a carga, o indicador o sentido do campo B e o dedo 
médio indica o sentido do deslocamento. 
indicador 
polegar 
 
 
médio 
mão direita 
Dependendo da carga da partícula, de sua velocidade, massa e do campo B, 
poderá ocorrer um movimento circular uniforme dentro do campo. Ou seja, ao penetrar 
no campo, a partícula passaria a executar um movimento circular ficando confinada 
na região de campo magnético. Na presença de atrito, ocorre uma diminuição gradativa 
da velocidade com conseqüente diminuição do raio da trajetória, até a partícula atingir 
o repouso. 
Partícula confinada em um campo magnético. 
F = força magnética 
Fc = força centrífuga 
Trajetória de uma partícula em uma 
região de campo magnético, sujeita 
a atrito. 
Se a partícula penetrar obliquamente ao campo, além do movimento circular, 
terá velocidade linear, que combinados promovem uma trajetória helicoidal. 
Trajetória helicoidal de uma partícula carregada. 
172 Editora Ao Livro Técnico 
A magnitude da força que age em uma partícula carregada é dada pela equação: 
F = B.q.v.sen8 
B 
Onde: 
F 	--> força que atua sobre a partícula carregada (N) 
B 	---> indução magnética (T) 
q 	—> carga da partícula (C) 
v 	--> velocidade da partícula (m/s) 
sen0 —> seno do ângulo formado entre o vetor velocidade v e o 
vetor indução B 
Ao descrever uma trajetória circular dentro de um campo, uma partícula carregada 
fica também sujeita a uma força centrífuga, que atua em sentido contrário à da força 
magnética, cujo valor é dado por: 
F
= R 
 
 
 
 
,„-- ------ 
Onde: 
F --> força centrífuga (N) 
m —> massa da partícula (kg) 
v ---> velocidade da partícula (m/s) 
R --> raio da trajetória (m) 
Fundamentos de Eletromagnetismo 173 
O equilíbrio entre a força centrífuga e a força magnética determina o raio da 
trajetória, ou seja, quando a força centrífuga e a força magnética forem iguais: 
F =F 
= Bqvsen0 
Sendo O = 900 
m v2 
Bqv = 	 
R 
mv 
R= 
qB 
4.4 — O efeito Hall 
Chama-se de efeito Hall, a geração de uma força eletromotriz transversal em 
condutores conduzindo corrente elétrica no interior de um campo magnético. Considere 
então uma barra condutora, por onde circula uma corrente elétrica, imersa em um 
campo magnético, conforme figura abaixo: 
A corrente elétrica flui com suas cargas uniformemente distribuídas na placa 
condutora. Entretanto, ao passar na frente dos pólos do ímã, surge uma força sobre 
as cargas, cujo sentido pode ser determinado pela regra de Fleming, ou analisando-se 
a interação entre o campo do ímã e os campos individuais das cargas. Para a situação 
ilustrada na figura, as cargas são forçadas a se concentrarem mais na parte superior 
da placa condutora, estabelecendo uma diferença de potencial entre a parte superior 
e inferior da mesma. 
111V
2 
R 
174 Editora Ao Livro Técnico 
C) 	 
O
-.111-- 
O mecanismo que gera essa diferença de potencial é conhecido como força 
eletromotriz de Hall, cujo valor é muito baixo, ficando normalmente na faixa de 
microvolts. Logo: 
O efeito Hall consiste em uma força eletiq motriz que atua transversalmente em 
relação ao fluxo de cargas em uma placa condutora imersa em um campo magnético. 
Apesar de ser uma força eletromotriz de valor muito baixo, existem interessantes 
aplicações para o gerador de efeito Hall. Uma delas é o sensor utilizado nos 
gaussímetros. O gaussímetro mede a intensidade de campo B através de uma ponta 
de prova que consiste de uma lâmina condutora que, sob a ação do campo magnético 
a ser medido, gera uma força eletromotriz de Hall. 
ponta de prova do 
gaussímetro 
Na figura acima é mostrado o percurso da corrente elétrica que o gaussímetro, 
através de uma pilha ou bateria interna injeta na lâmina condutora. Quando a ponta 
de prova é colocada no interior do campo a ser medido, surge uma força eletromotriz 
de Hall nos terminais designados por 1 e 2, que é proporcional ao campo. Essa força 
eletromotriz é aplicada ao mecanismo de bobina móvel (ver em 4.7 — O mecanismo 
de bobina móvel) do gaussímetro, que deflete seu ponteiro de forma proporcional. 
Então, quanto maior for a força eletromotriz de Hall, maior será a deflexão do ponteiro 
sobre a escala que, devidamente graduada em gauss, irá indicar a intensidade do 
campo magnético B que se está medindo. Essa força eletromotriz de Hall, também 
pode ser convertida através de circuitos integrados em sinais digitais e o valor do 
campo B ser expresso num mostrador digital. 
Uma outra aplicação para o efeito Hall é o amperímetro alicate para corrente 
contínua. A maioria dos amperímetros alicate utilizam o princípio da indução 
eletromagnética, ou Lei de Faraday. Entretanto, esse mecanismo só funciona para 
correntes alternadas, pois é necessário que o fluxo magnético que atua seja variável. 
Em se tratando de corrente contínua, só é possível a construção de um amperímetro 
alicate através do efeito Hall. O princípio de funcionamento é semelhante ao 
gaussímetro. O campo magnético, gerado pela corrente que se deseja medir, é 
Fundamentos de Eletromagnetismo 175 
aproveitado para criar uma força eletromotriz de Hall no sensor, que é aplicada à bobina 
móvel do instrumento. Como a força eletromotriz de Hall é proporcional ao campo 
magnético, e este último é proporcional à corrente no condutor, teremos um instrumento 
capaz de defletir seu ponteiro sobre a escala, proporcionalmente à corrente no condutor. 
4.5 — Força em um condutor conduzindo corrente no interior de um campo magnético 
Como vimos em 4.2 — Força em uma carga em movimento dentro de um campo 
magnético — uma carga elétrica se deslocando no interior de um campo magnético, 
sofre a ação de uma força. Podemos extrapolar essa ação para o caso de um 
condutor conduzindo corrente no interior de um campo magnético. Nesse caso 
uma quantidade muito grande de cargas elétricas elementares flui pelo condutor, 
cada uma ficando sob a ação de uma força. 
XXXXXXXXX X 	'X X X 
x x x x xIx x x x x x x x 
Como as cargas estão vinculadas fisicamente à estrutura do condutor, é este 
último que acaba sofrendo a ação da força resultante sobre todas as cargas. Podemos 
determinar o sentido dessa força, analisando a interação entre o campo magnético 
produzido pela corrente no condutor e o campo magnético onde o condutor está 
imerso. Na ilustração acima, observamos que o sentido do campo criado pela corrente 
no condutor, determinado pela aplicação da regra da mão direita, é o mesmo que o 
do campo B na região abaixo do condutor e sentido contrário na região acima. A 
resultante entre os campos é vista na seqüência em vista frontal e lateral esquerda. 
 
	f
Fvista frontal do campo resultante 
 
vista lateral do campo resultante 
 
176 Editora Ao Livro Técnico 
Torna-se clara então a existência de uma força atuando sobre o condutor no sentido 
indicado, para tentar restabelecer o equilíbrio entre as linhas de força. Pode-se também 
determinar o sentido dessa força pela aplicação da regra de Fleming. Para o caso de 
condutores, os dedos da mão esquerda (para sentido convencional de corrente), indicam: 
• dedo polegar: sentido da força que atua no condutor 
• dedo indicador: sentido do campo B 
• dedo médio: sentido da corrente no condutor 
O módulo da força será dado por: 
Onde: 
F 	B.I .1 
F -4 força que age sobre o condutor (N) 
B -> indução magnética (T) 
intensidade de corrente que flui pelo condutor (A) 
comprimento do condutor imerso no campo (m) 
Se o condutor estiver inclinado em relação ao campo magnético, deve ser 
considerada a projeção do mesmo na perpendicular ao campo. 
 
B 
 
'seri° 
 
Logo, a equação da força sobre o condutor fica: 
F — B I 1 sene , onde O é o ângulo formado entre o condutor e as linhas de 
força do campo B. 
Obs.: Sempre considerar o comprimento do condutor que efetivamente está 
imerso no campo, pois na parte de fora do campo não se produzem forças. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 177 
Fe 	F 
4.6 — Torque em uma espiro 
Uma espira imersa em um campo B, conduzindo corrente elétrica, fica sujeita à 
forças que tendem a girá-la em torno de seu eixo de simetria. Considerando um campo 
B apontando para a direita no desenho abaixo e a espira assentada num plano paralelo 
ao campo, podemos determinar o sentido das forças individuais em cada lado da 
espira. Aplicando a regra de Fleming, as forças apresentam os sentidos indicados, ou 
seja, no lado esquerdo aponta para dentro do plano, enquanto que no lado direito 
aponta para fora. Isto gera um torque na espira, fazendo-a girar no sentido das forças. 
Observe que na parte superior e inferior da espira não há forças geradas, pois esses 
condutores estão paralelos ao campo (O =05. 
eixo (IQ simetria 
Lembrando da Física, que uma força gera um momento em relação a um ponto 
de aplicação: Momento = Força x Distância. Na posição em que se encontra no 
desenho abaixo, a espira fica sujeita ao máximo torque, visto que essa é a maior 
distância possível entre as forças e seus pontos de aplicação, que correspondem ao 
centro de simetria da espira. Podemos também entender a razão pela qual a espira 
tende a girar, analisando a interação entre o campo permanente B e o campo gerado 
pela espira H. Enquanto o campo magnético B possui linhas dirigidas à nossa direita, 
o campo H produzido pela corrente circulando na espira, apresenta linhas de força 
dirigidas para baixo. Como linhas de força não se cruzam, há uma tendência da espira 
girar até que suas linhas de força fiquem alinhadas com as do campo B. 
13 
Se a espira estiver livre para girar, ela girará no sentido anti-horário. Entretanto, à 
medida que gira, o torque atuante sobre a mesma vai diminuindo, uma vez que vai 
diminuindo a distância entre as forças e seus pontos de aplicação. O torque torna-se 
178 Editora Ao Livro Técnico 
ponteiro 
eixo 
órgão antagônico 
nulo quando as forças ficam em oposição como mostra a seqüência da ilustração 
abaixo. Neste caso, a distância entre os pontos de aplicação das forças é igual a zero, 
o que anula o torque. Ou ainda, é nessa posição que as linhas de força dos dois 
campos adquirem mesma orientação. 
Resumindo, podemos dizer que uma corrente circulando em uma espira imersa 
em um campo magnético, produz um torque sobre a mesma fazendo-a girar até uma 
posição final de equilíbrio. 
iF 
±d=0 
4.7 — O mecanismo de bobina móvel 
Uma interessante aplicação prática do princípio do torque na espira, visto na 
seção anterior, é o mecanismo de bobina móvel, que é um dos dispositivos mais 
empregados na construção de amperímetros, voltímetros e outros instrumentos de 
precisão. O mecanismo é constituído de uma bobina imersa em um campo magnético. 
Para maior simplicidade na análise, representaremos essa bobina por uma única espira. 
escala 
órgão antagônico 
d 
Fundamentos de Eletromagnetismo 179 
A espira se encontra dentro do campo magnético gerado pelo ímã permanente. 
Quando circula uma corrente I com o sentido indicado, surgem as forças em cada 
lado da espira. Aplicando-se a regra de Fleming, concluímos que, no condutor pintado, 
a força é dirigida para a esquerda, enquanto que, no condutor sem pintar, a força é 
dirigida para a direita. Donde se conclui que a espira tende a girar no sentido horário, 
até que o seu campo se alinhe com o campo do ímã permanente, o que ocorre 
quando o plano da espira ficar perpendicular ao campo, com o condutor sem pintar à 
direita no desenho. Essa orientação final da espira seria conseguida mesmo com uma 
baixa intensidade de corrente, suficiente apenas para vencer a inércia mecânica da 
espira. Entretanto, no mecanismo analisado, são utilizados órgãos antagônicos que 
são uma espécie de mola, que se opõem ao movimento de giro. Então, para uma 
determinada corrente aplicada, a espira irá assumir uma posição de repouso 
intermediária, justamente quando as forças de oposição das molas se igualarem às 
forças magnéticas na espira. Desta forma, o ponteiro acoplado ao eixo estacionará em 
alguma posição sobre a escala. Se a corrente I aumentar, as forças magnéticas (F = 
B.I.1) também aumentarão sobre cada lado da espira, fazendo-a girar mais um pouco, 
até que a força de restrição das molas novamente se iguale às forças magnéticas. Com 
isso, o ponteiro também avançará um pouco sobre a escala. Observamos, portanto, que 
o ponteiro se desloca sobre a escala proporcionalmente à corrente aplicada. Pode-se 
então construir a escala de tal forma que o ponteiro indique a corrente que foi aplicada 
à bobina, obtendo-se portanto um amperímetro. A escala devidamente modificada pode 
também indicar a tensão aplicada à bobina, visto que tensão e corrente se relacionam 
linearmente. Neste caso, teríamos um instrumento para medir tensões, ou seja, o 
voltímetro. Observe que, quando a corrente for zerada, a espira retorna à sua posição 
inicial de repouso, pela ação dos órgãos antagônicos. 
Os órgãos antagônicos são também utilizados para alimentar a bobina. Isto é, 
os terminais da bobina são conectados eletricamente um a cada órgão antagônico. 
Desta forma, a corrente elétrica chega até a bobina através dos órgãos antagônicos. 
Na prática, o circuito magnético do mecanismo de bobina móvel é melhorado 
para se obter campos magnéticos mais intensos, o que é conseguido com um núcleo 
ferromagnético cilíndrico fixo para a bobina, que obviamente continua móvel. 
bobina móvel com núcleo 
180 Editora Ao Livro Técnico 
4.8 — O motor de corrente contínua 
O princípio de funcionamento do motor de corrente contínua pode ser ilustrado 
por uma espira conduzindo corrente no interior de um campo magnético. Seja então 
a espira à seguir em diversas posições, onde o sentido da força em cada condutor é 
determinado pela regra de Fleming. 
Observamos na seqüência das figuras que, a partir da posição inicial tomada 
como referência, a espira gira pela ação das forças atuantes nos dois lados da mesma, 
até uma posição final, onde continuam existindo as forças, porém, sem exercer torque 
algum. Portanto, ainda não temos um motor, pois, para que possa ser caracterizado 
como tal, é necessário que a espira continue girando. Teremos então que tomar algumas 
providências para que isso se concretize. Vamos experimentar inverter o sentido da 
corrente na última figura da seqüência. A aplicação da regra de Fleming nos mostra 
que os sentidos das forças se invertem, mas infelizmente o torque continua zero visto 
que a distância relativa entre os pontos de aplicação das forças continua zero. Entretanto, 
se dermos uma pequena ajuda à espira, girando-aalguns graus no sentido horário, 
ela começará a girar de novo, porém executará apenas meia rotação, quando novamente 
as forças ficarão em oposição, anulando o torque. 
13 
Invertendo o sentido da 
corrente, o sentido das 
forças se invertem, porém 
o torque continua nulo. 
Forçando a espira a 
girar alguns graus, surge 
um torque e a espira gira. 
Meia rotação depois, a 
espira pára novamente. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 181 
Se quisermos que ela continue girando, devemos efetuar a mesma operação de 
inversão da corrente e darmos aquele pequeno impulso. É evidente que esse tipo de 
motor continua inviável. Vamos então imaginar algum dispositivo que possa inverter 
automaticamente a corrente toda vez que a espira assumir essa posição crítica. Dotando 
os terminais da espira de semi-anéis (anel bipartido), a própria alimentação da espira 
pode ser feita através de escovas em contato deslizante com esses semi-anéis. Esse 
conjunto recebe o nome de dispositivo coletor-escova. Na seqüência das figuras abaixo, 
vemos a corrente se inverter na espira, após a passagem pelo ponto crítico. 
1 1 
-+ 	 -+ 	 -+ 
Corrente entrando pelo 
	
A corrente passa diretamente 
	
Corrente entrando 
lado pintado. O torque 
	
de um anel a outro. O torque 	pelo lado não pintado. 
está quase se anulando . 	é nulo. Ponto crítico. 	 O torque começa a crescer. 
Mas como ela irá passar pelo ponto crítico? Teremos que continuar prestando 
aquela pequena ajuda, ou seja, aquele pequeno impulso? Felizmente não! Na nossa 
análise anterior esperávamos a espira parar para então inverter o sentido da corrente 
e dar o pequeno empurrão. Como agora temos o dispositivo coletor-escova, a espira 
vem girando e com o embalo (devido à inércia), atravessa o ponto crítico fazendo 
a corrente se inverter e continua girando indefinidamente. Eis o princípio do motor 
de CC. 
4.9 — Força entre condutores conduzindo correntes 
Quando dois condutores conduzindo correntes se encontram próximos entre 
si, os campos magnéticos que cada um cria interagem, gerando forças de atração 
ou repulsão entre eles. Por exemplo, sejam os dois condutores da ilustração 
seguinte, cujos sentidos de corrente são iguais em ambos. Os sentidos dos campos 
magnéticos correspondentes são determinados pela aplicação da regra de Ampère 
(mão direita). 
182 Editora Ao Livro Técnico 
X X X X Fl X X X X X X X X X 
X XX X tX X 2XX X X X X 
X XX X X X XXX X X X X x 
X X X X X X X X X X X X X x 
X X X X X X X X X X X X X x 
As linhas de força geradas por 11 saem do plano do papel na região acima do 
condutor e entram na parte abaixo dele. Já a corrente 12 gera linhas de força com sentido 
saindo do plano do papel na região acima do condutor 2 e entrando no plano do papel 
na região abaixo do mesmo. Observamos que na região compreendida entre os dois 
condutores, as linhas de força têm sentidos contrários enquanto que na região fora do 
espaço compreendido entre os condutores, os campos têm sentidos coincidentes. Há 
então uma grande concentração de linhas de força fora do espaço compreendido entre 
os condutores e uma rarefação de linhas entre eles, visto que, tendo sentidos contrários, 
se anulam mutuamente. Para tentar restabelecer o equilíbrio na concentração de linhas, 
surge então uma força que atua no sentido de unir os dois condutores. Podemos também 
determinar o sentido dessas forças pela aplicação da regra de Fleming a cada um dos 
condutores. Assim, para determinar o sentido da força no condutor que conduz 1, 
consideramos o campo gerado pela corrente 12e vice-versa. 
Se os sentidos de corrente forem opostos nos dois condutores, haverá 
concentração de linhas de força na região entre eles e conseqüentemente a força será 
de repulsão. 
Podemos determinar a intensidade da força que age entre os condutores pela 
aplicação da equação da força em um condutor imerso em um campo: F = B.1.1.sert0. 
Neste caso, B é o campo gerado por um dos condutores exatamente no local onde se 
encontra o outro condutor. Sejam então dois condutores separados por uma distância d. 
	condutor conduzindo urna corrente 1, 
dentro de um campo B 
/
i 	 t 
X X X X X X X X X X XX X X 
xxxxxxxxxxxxx x 
condutor conduzindo uma corrente 1„ que 
gera uni campo B a uma distância d 
Fundamentos de Eletromagnetismo 183 
O campo B gerado pelo condutor que conduz 12, é dado conforme a equação 
vista em Unidade II, 1.3 - Intensidade de campo em torno de um condutor. 
B = µ.012/21cd 
O ângulo 8 é o ângulo entre as linhas de força e o condutor. As linhas de força 
geradas por um dos condutores são perpendiculares ao outro condutor (0=900). 
Então: F = B.1.1sen9 	F = B.11.1.sen90° 	F = (µ01/27cd).1/.1 F = µ0111,1/27cd 
Onde: 
F 	força que atua entre os condutores (N) 
1,, Iz -› corrente nos condutores (A) 
I 	-4 comprimento individual dos condutores (m) 
d 	distância entre os condutores (m) 
- permeabilidade do vácuo (H/m) 
Se substituirmos o valor de µ0, teremos: 
F = 4n.10-7.1 117.1/2nd 	 F = 2.10-7 11 12 1/d 
Passando o comprimento I para o lado esquerdo do sinal de igual, teremos a 
força por unidade de comprimento ou a força por metro de comprimento que age no 
condutor. 
F 2.10-71,12 
1 	d 
184 Editora Ao Livro Técnico 
Observamos que a constante 10-7 faz com que a força seja muito pequena para 
correntes elétricas de baixa intensidade. A força só atinge intensidades significativas 
para distâncias pequenas e correntes elevadas, como no caso de curto-circuitos. Em 
tais circunstâncias, condutores alojados em bandejas em instalações industriais, por 
exemplo, podem saltar para fora das mesmas sob a ação das forças magnéticas, caso 
não estejam firmemente amarrados. 
4.10 — Extinção de arco voltaico através de sopro magnético 
Quando um circuito indutivo é interrompido através de um interruptor ou 
disjuntor, ocorre um faiscamento entre os contatos (Veja Unidade III, 2.9 — Por que 
surge uma faísca ao se desligar um circuito que contenha bobinas?). Essa faísca é 
chamada de arco voltaico e consiste na continuidade da corrente a fluir através do 
ar entre os contatos do dispositivo interruptor, aquecendo-os a ponto de vaporizá-
los parcialmente em alguns casos. Portanto, para preservar e proporcionar longa 
vida útil aos contatos, é necessário que o arco seja extinguido rapidamente. 
Arco voltaico ocorrendo durante a abertura de contatos 
Uma das maneiras de extinguir o arco rapidamente é através de um arranjo 
geométrico dos condutores próximos aos contatos, que aproveita as forças magnéticas 
devidas à corrente elétrica para "empurrar" o arco voltaico para fora da região entre os 
contatos. Esse dispositivo é chamado de sopro magnético, pois funciona como se o 
arco fosse soprado para fora da região dos contatos. 
Vejamos como esse dispositivo funciona. No desenho abaixo são mostrados os 
contatos de um dispositivo interruptor, com o contato fixo preso a um condutor dobrado. 
contato móvel 
campo gerado 
pelo arco 
2 
campo gerado pela corrente 
nos condutores 
• . 
•14 
• • 
xxxxxxxx 
xx 
x x x x x x 
contato fixo 
Fundamentos de Eletromagnetismo 185 
arco sendo 
extinguido 
XXX X X X X X X 
x x 
XXX x x x x 
O campo magnético gerado pela corrente devido ao condutor dobrado e ao 
condutor reto do contato móvel formam um campo com linhas de mesmo sentido na 
região entre os contatos. Assim, o arco voltaico fica imerso nesse campo. 
O fluxo de cargas elétricas, que constituem o arco voltaico, caracterizam uma 
corrente elétrica circulando por um caminho não perfeitamente definido através do ar. 
Isto nos permite comparar o arco voltaico a um condutor conduzindo corrente elétrica. 
Sendo assim, o arco voltaico produz também um campo magnético, cujas linhas de 
força se somam às linhas de força da corrente nos condutores reto e dobrado, à 
direita do arco. Sendo assim, há uma interação entre esses campos, resultando em 
forças magnéticas que agem em cada carga elétricaque constitui o arco voltaico. 
Aplicando a regra de Fleming para forças, concluímos que o sentido da mesma é para 
a esquerda. Ou seja, o arco voltaico é solicitado por uma força que o empurra para a 
esquerda, extinguindo-o rapidamente. 
Nos disjuntores, conforme suas aplicações em relação ao nível de tensão, o 
dispositivo de sopro magnético pode receber acessórios e melhoramentos visando 
otimizar sua performance, tais como bobina de sopro, câmaras de extinção de arco, 
etc. Entretanto, o princípio de funcionamento permanece inalterado. 
4.11 — Exercícios resolvidos 
A — Determinar o módulo e o sentido da força que atua na partícula do esquema 
abaixo: 
B=0,8T 
186 Editora Ao Livro Técnico 
Solução: 
Inicialmente convertendo todas as unidades das grandezas para o sistema 
internacional de unidades: 
v = 10.103 m/s 
'q = 1.10-6 C 
Sendo: F= Bqvsen0 	F= 0,8.1.10-6.10.103.0,5 
F= 4.10-3 N 
Sentido da força: para dentro do plano da folha. 
B — Um próton é acelerado em um bétatron, cujo diâmetro é 8 m. A indução nos 
eletroímãs do bétatron em determinado instante é de 0,5 T. Calcule a velocidade 
do próton nesse instante. 
Dados: mp= 1,672.10-24 g 
qp= 1,6.10-19C 
Solução: 
No bétatron, as cargas sempre viajam perpendicularmente ao campo, logo 0=90°. 
Usando a identidade: 
M V
2 
Bqv = — 
R 
Isolando a velocidade v, temos: 
BqR 
v= 	 
/12 
0,5.1,6.10-19.4 
v= 	 
1,672.10-24.10 3 
v=1,91.108m/s 
C — Determine a força por unidade de comprimento que atua entre dois condutores 
paralelos, separados pela distância de 5 mm, conduzindo correntes iguais a 25 A. 
F 	2.10-7 1,12 	F 	2.10-7.25.25 
1 	d 	 1 	5.10-3 
= 25.10-3N/m 
1 
Fundamentos de Eletromagnetismo 187 
20 cm 
xxxxxxxxxxx 2 A 
X X X X X X X X X X X 
XX X x X X X XX X x B = 0,1 T 
0=90° 
20 cm 
4.12 — Exercícios propostos 
A — Determine a intensidade e o sentido da força que atua nos condutores dos 
casos abaixo: 
a) 	 b) 
X X X X X X XX X X X 
B=0,8T 
d) 
800gWb 
B — Calcule a força que atua sobre cada condutor de um rotor de motor de corrente 
contínua, sabendo-se que a indução magnética gerada nas sapatas polares é 
de 0,75 T e que o comprimento de cada condutor sob a ação do campo 
magnético é de 10 cm. A corrente que circula nos condutores é de 6 A. 
C — Dois condutores, fase e neutro, encontram-se dentro de um eletroduto de 3 m 
de comprimento, separados pela distância média de 0,5 cm. Sabendo-se que a 
tensão eficaz entre fase e neutro é igual a 127 V, determine a intensidade e o 
sentido das forças que agem entre os condutores quando uma carga de 5 kW 
estiver sendo alimentada. 
D — Em um barramento, cuja distância entre os condutores é de 2 cm e comprimento 
2 m, ocorre um curto-circuito. Nesse instante, a corrente assume o valor de 
1800 A. Calcule a intensidade das forças que agem entre os barramentos. 
Á 
3A 
10 cm 
... 
B = 1 T 
0=90" 
188 Editora Ao Livro Técnico 
detalhe dos anéis (mancais) 
( 
para a pilha 
condutor rígido 
E — Um dispositivo chamado câmara de bolhas é utilizado para observar o rastro 
deixado por partículas carregadas injetadas em alta velocidade. Nessa câmara é 
aplicado um forte campo magnético para que as partículas executem um 
movimento circular. Como existe atrito, o raio da trajetória vai diminuindo até a 
partícula atingir o repouso. Considere então que se observou que uma partícula 
entrou na câmara de bolhas, descrevendo uma trajetória com raio inicial de 20 
cm. Conhecendo-se a indução da câmara que equivale a 2,5 T e sabendo-se 
que a velocidade com que a partícula foi lançada é de 10 km/s, determine a 
relação entre a massa e a carga da partícula. 
4.13 — Sugestões para laboratório 
Força em um condutor conduzindo corrente no interior de um campo 
magnético. 
Objetivo: 
Comprovar a ação das forças magnéticas que agem em condutores sujeitos a 
campos magnéticos. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 01 pç pilha de 1,5 V 
02 01 m condutor rígido de 0,5 mm 2 
03 01 pç ímã permanente em forma de barra 
04 01 pç suporte de madeira 
Procedimento: 
Molde o condutor rígido, conforme ilustração abaixo, colocando suas pontas 
devidamente desencapadas nos anéis que servirão de mancais, permitindo o 
livre deslocamento do mesmo. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 189 
condutores 
Os mancais podem ser feitos de um pedaço de condutor desencapado dobrado, 
adequadamente fixo à madeira. Ou ainda, uma pequena arruela presa ao suporte 
de madeira. Outras alternativas podem ser utilizadas, bastando usar a imaginação. 
Coloque o ímã embaixo ou ao lado do fio. Utilizando cabos de ligação, conecte 
a pilha aos anéis que suportam o condutor rígido, observando que haja bom 
contato elétrico entre os anéis e as pontas do condutor. O condutor deverá ser 
atraído ou repelido pelo ímã. Caso a força seja muito pequena, utilize duas 
pilhas em série. Isto fará com que a corrente no condutor seja maior e 
consequentemente maior será também a força (F = B11). 
Comprove o sentido da força que age sobre o condutor, aplicando a regra de 
Fleming. Para determinar o sentido de corrente no condutor, lembre que a 
corrente sai do pólo positivo da pilha em direção ao pólo negativo. 
Inverta o sentido de corrente no condutor e observe o sentido da força, 
comprovando pela regra de Fleming. 
Inverta os pólos do ímã e repita o procedimento. 
Se houver disponibilidade de outros ímãs mais fortes ou mais fracos, você pode 
comparar a força devido à ação de cada um deles (F = B11). 
Força entre condutores conduzindo corrente elétrica. 
Objetivo: 
Comprovar a existência de forças magnéticas entre condutores conduzindo 
corrente elétrica. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 01 pç módulo de alta corrente 
02 01 pç interruptor 
03 01 m condutor de cobre 1,5 mm2 
04 01 pç suporte de madeira 
05 05 pç cabo de ligação 
Procedimento: 
Inicialmente devem ser presos dois condutores sobre o suporte de madeira, de 
tal forma que fiquem bem próximos e paralelos. 
190 Editora Ao Livro Técnico 
Fios presos ao 
suporte de madeira. 
REPULSÃO 
 
 
' 200 esp. 	10 esp. 
 
Fios presos ao 
suporte de madeira. 
' 200 esp. 	10 esp. 
ATRAÇÃO 
Proceda a ligação do módulo de alta corrente aos fios para verificar a força 
de repulsão e posteriormente a força de atração conforme os esquemas a 
seguir. Não esquecer de retirar a camada isolante da ponta dos fios. 
Ao ligar o interruptor, a corrente na bobina secundária irá assumir um valor 
alto, pois está praticamente em curto-circuito. Com isto, poderá ser observada 
a força atuante entre os fios. 
núcleo desmontável 
núcleo desmontável 
Note que utilizamos corrente alternada, pois se fosse corrente contínua, o 
transformador não funcionaria (Lei de Faraday). E sem o transformador 
não podemos dispor de uma corrente elevada, pois o disjuntor que protege 
os circuitos são normalmente em torno de 20 a 30 A, o que é pouco para 
a nossa comprovação. O fato da corrente alternada mudar periodicamente 
de sentido não modifica o sentido das forças atuantes, visto que a corrente 
nos dois fios se invertem simultaneamente. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 191 
5 
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO 
5.1 — Fluxo mútuo e fluxo de fuga 
Quando o fluxo magnético produzido em um circuito envolve parcial ou 
totalmente outro circuito, dizemos que ambos estão acoplados magneticamente. Por 
exemplo, uma bobina gerando um fluxo magnético através de uma corrente nas 
proximidades de outra bobina. Observamos que parte do fluxo enlaça também a outra 
bobina. Chamamos de bobina primária aquela que está energizada por uma fonte 
externa e de bobina secundária aquela que se encontra desenergisada pela fonte 
externa. Logo, há acoplamento magnético entre ambas. Se as bobinas forem 
aproximadas ainda mais, o acoplamento melhorará, pois uma parcela maior de fluxo 
enlaçará a bobina secundária. No entanto, para se conseguirbons níveis de 
acoplamentos, o que é desejável para uma série de aplicações práticas, torna-se 
necessária a utilização de um circuito magnético. 
No estudo de circuitos magnéticos, mostramos que uma bobina enrolada em 
um circuito magnético, pode fazer fluir um fluxo, gerado pela magnetização do núcleo. 
A seqüência que gera o fato seria: uma corrente é aplicada à bobina, criando um 
campo H. Esse campo magnetiza o núcleo gerando o campo M, que por sua vez é o 
principal responsável pelo fluxo que irá circular pelo circuito magnético. Ressalte-se 
que a magnetização não é constante ao longo do núcleo, sendo maior na parte do 
núcleo envolvida pela bobina primária, onde o campo magnetizante H atua diretamente. 
Sendo assim, a orientação dos domínios magnéticos, que é o fator gerador do campo 
M, fica como ilustrado na figura a seguir. 
192 Editora Ao Livro Técnico 
5 
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO 
5.1 — Fluxo mútuo e fluxo de fuga 
Quando o fluxo magnético produzido em um circuito envolve parcial ou 
totalmente outro circuito, dizemos que ambos estão acoplados magneticamente. Por 
exemplo, uma bobina gerando um fluxo magnético através de uma corrente nas 
proximidades de outra bobina. Observamos que parte do fluxo enlaça também a outra 
bobina. Chamamos de bobina primária aquela que está energizada por uma fonte 
externa e de bobina secundária aquela que se encontra desenergisada pela fonte 
externa. Logo, há acoplamento magnético entre ambas. Se as bobinas forem 
aproximadas ainda mais, o acoplamento melhorará, pois uma parcela maior de fluxo 
enlaçará a bobina secundária. No entanto, para se conseguir bons níveis de 
acoplamentos, o que é desejável para uma série de aplicações práticas, torna-se 
necessária a utilização de um circuito magnético. 
No estudo de circuitos magnéticos, mostramos que uma bobina enrolada em 
um circuito magnético, pode fazer fluir um fluxo, gerado pela magnetização do núcleo. 
A seqüência que gera o fato seria: uma corrente é aplicada à bobina, criando um 
campo H. Esse campo magnetiza o núcleo gerando o campo M, que por sua vez é o 
principal responsável pelo fluxo que irá circular pelo circuito magnético. Ressalte-se 
que a magnetização não é constante ao longo do núcleo, sendo maior na parte do 
núcleo envolvida pela bobina primária, onde o campo magnetizante H atua diretamente. 
Sendo assim, a orientação dos domínios magnéticos, que é o fator gerador do campo 
M, fica como ilustrado na figura a seguir. 
192 Editora Ao Livro Técnico 
Veja que os domínios na parte do núcleo onde está a bobina primária, se 
orientam pela ação do campo H da bobina, enquanto que os demais são orientados 
pelos próprios domínios que já se orientaram. Isso justifica o menor índice de 
alinhamento dos domínios mais distantes da bobina primária. Como conseqüência 
disso, a distribuição de fluxo no núcleo fica como ilustrado abaixo: 
Observamos que uma parcela do fluxo total, que atravessa a bobina primária, 
não chega à bobina secundária. À essa parcela de fluxo, denominamos de fluxo de 
fuga. E o fluxo que circula dentro do circuito magnético, que é compartilhado com 
ambas as bobinas, é chamado de fluxo mútuo. 
Nos desenhos abaixo, são mostrados os fluxos para corrente aplicada na bobina 
1 (1,) e corrente aplicada na bobina 2 (12). 
4), , 	fluxo total (Wb) 
o, 	, 02 , --> fluxo de fuga (Wb) 
0. 2 , 0, 1 --> fluxo mútuo (Wb) 
Já que o fluxo total se divide em duas parcelas, uma relação matemática óbvia 
pode ser escrita: 
(1) ! 	011 4" 012 
42 	02.1 + 022 
Fundamentos de Eletromagnetismo 193 
A nomenclatura utilizada deve ser interpretada pela ordem de seus índices. 
Por exemplo: 
--> fluxo gerado na bobina 1 e que enlaça também a bobina 2. 
—> fluxo gerado na bobina 1, que fica vinculado apenas à bobina 1. 
5.2 — Coeficiente de acoplamento 
Observamos que a presença de um circuito magnético melhora o acoplamento 
magnético entre duas bobinas. É certo porém que, dependendo do material e da 
geometria do núcleo, poderemos ter acoplamentos com maior ou menor fluxo mútuo. 
Para referenciar quantitativamente um acoplamento magnético, utilizamos o conceito 
de coeficiente de acoplamento. 
Coeficiente de acoplamento é a razão entre o fluxo mútuo e o fluxo total produzido 
em um circuito magnético. • 
Matematicamente: 
k = 01.2 	 k= 02 
0 
	
02 
onde k é o coeficiente de acoplamento. 
Observe que o coeficiente de acoplamento é adimensional, pois a unidade weber 
no numerador simplifica com a mesma unidade weber no denominador. Note também 
que o maior valor possível para o coeficiente de acoplamento corresponde à unidade 
(k=1). Neste caso, teríamos a situação ideal onde todo o fluxo gerado em uma das 
bobinas envolveria também a outra bobina, sem haver fluxo de fuga. 
5.3 — Questões relativas à geometria do núcleo 
Quando um campo magnetizante H atua no circuito magnético, observamos 
que um campo M é induzido e que os domínios magnéticos ao longo do núcleo não 
se alinham igualmente. Se o material tiver boa permeabilidade magnética, o que se 
traduz em uma grande facilidade na orientação dos domínios, teremos uma grande 
parcela de domínios orientados ao longo do núcleo. Podemos extrapolar o raciocínio 
para um hipotético material que possua permeabilidade infinita. Nesse caso, todos os 
domínios do núcleo se alinham por igual e o resultado é que o fluxo do campo M é 
o mesmo ao longo de todo o núcleo. 
194 Editora Ao Livro Técnico 
Todos os domínios são orientados em 
	
O luxo do campo M circula pelo 
um material com permeabilidade infinita. 	 interior do núcleo. 
Entretanto, continuamos tendo parcela de fluxo de fuga, que é justamente o 
fluxo do campo H da bobina. Portanto, apesar de estarmos considerando um material 
ferromagnético perfeito (permeabilidade infinita), ainda não conseguimos um 
acoplamento magnético perfeito (k=1). Isto só será conseguido com boa aproximação 
se o núcleo tomar a forma de um anel e o enrolamento for distribuído em toda a sua 
extensão. Um enrolamento, assim disposto, recebe o nome de toróide. 
A forma circular permite um alinhamento 
uniforme dos domínios. 
A distribuição do enrolamento por toda a extensão do núcleo é necessária para 
que a saída do fluxo por um dos lados da bobina fique exatamente em frente à 
entrada no outro lado da mesma. É o equivalente a termos uma bobina reta, longa, e 
a encurvarmos, fazendo uma ponta coincidir com a outra. O fluxo magnético, que sai 
por uma das pontas da bobina reta, flui pelo ar até chegar à outra ponta. 
Quando unimos as duas pontas, o fluxo magnético flui diretamente de uma ponta a 
outra, ficando totalmente confinado no interior do núcleo. Nesta situação, nem mais 
precisamos de um material ferromagnético perfeito para se conseguir um acoplamento 
Fundamentos de Eletromagnetismo 195 
perfeito, pois existirá campo magnetizante para orientar os domínios de maneira 
uniforme em toda a extensão do núcleo. Portanto, se quisermos um acoplamento 
magnético perfeito, basta que a bobina primária seja enrolada na forma de um toróide 
e a bobina secundária, enrolada sobre a primária, não necessariamente em toda a 
extensão do núcleo. 
bobina primária 
bobina secundária 
acoplamento magnético perfeito 
Naturalmente a forma toroidal não é a mais usual na prática por questões 
relacionadas às dificuldades construtivas da mesma. Felizmente existem outras 
configurações geométricas capazes de proporcionar um acoplamento magnético quase 
tão bom quanto a do toróide e são utilizados principalmente na construção de 
transformadores. Uma das formas geométricas mais utilizadas é a ilustrada abaixo. As 
bObinas primária e secundária são enroladas uma sobre a outra na coluna central do 
núcleo. Quando uma corrente é aplicada à bobina primária, o fluxo se distribui 
igualmente pelos dois braços laterais do circuito. 
VII VII 
• 
1111111: 
Observamos que, apesar de existir uma pequena parcela de fluxo quenão circula 
pelo circuito magnético, ao menos garante-se que praticamente a totalidade do fluxo 
que atravessa a bobina primária passa também pela bobina secundária, visto que 
ambas se encontram sobrepostas. Desta maneira, o fluxo de fuga da bobina primária 
em relação à secundária vai se dar apenas em algumas espiras, o que em termos 
práticos torna-se desprezível. Observe no desenho que a coluna central possui o dobro 
da seção transversal das colunas laterais, visto que o fluxo também é o dobro. Assim, 
garante-se uma indução magnética (B=4/S) constante em todo o núcleo. Pelo fato 
desta configuração apresentar dois caminhos para o fluxo, este núcleo é considerado 
um circuito magnético paralelo. 
196 Editora Ao Livro Técnico 
5.4 — O transformador 
Os circuitos magnéticos que discutimos na seção anterior são particularmente 
úteis na construção de transformadores. Embora a maior parte dos transformadores 
seja feita com circuitos magnéticos paralelos que propiciam um melhor acoplamento 
magnético, utilizaremos o circuito magnético série em nossas análises por ser 
didaticamente mais interessante. Sejam então as bobinas acopladas magneticamente 
abaixo: 
Transformador 
Transformador é um aparelho capaz de transformar uma tensão V; aplicada ao 
primário em uma tensão V, disponível no secundário. 
Naturalmente, pela lei de Faraday, é necessário que a tensão aplicada ao primário 
seja variável, para que possa ser induzida uma tensão no secundário. O transformador 
na prática é utilizado para transformar tensões alternadas senoidais. 
Considere então, uma fonte senoidal aplicada ao primário, com a polaridade 
instantânea como indicado. 
A corrente I, gera o fluxo total 0,, variável no tempo. Esse fluxo faz surgir uma 
força eletromotriz na bobina primária (normalmente chamada de força contra 
eletromotriz, devido aos efeitos previstos pela Lei de Lenz), que tende a criar uma 
corrente contrária para tentar impedir as variações do fluxo o,. Essa força eletromotriz 
é calculada por: 
v = N AO' 1 	1 
At 
Fundamentos de Eletromagnetismo 197 
Enquanto isso, a bobina secundária está sujeita às variações senoidais da parcela 
de fluxo que a está envolvendo, (1), 2, e portanto uma força eletromotriz também está 
sendo gerada: 
V 2 = N2 
001.2 
At 
Resumindo, a bobina primária é atravessada pelo fluxo total dh, enquanto que a 
secundária pelo fluxo mútuo 0, 2. Como esses fluxos são variáveis no tempo (variação 
senoidal), pela Lei de Faraday, cada bobina ficará sujeita a uma força eletromotriz 
induzida: 
, 
	
v1 = —N I 
A
' 	v2 = N, 
A A O - 
	
At 	 - At 
Sabendo-se Sabendo-se que: k _ 0'.z 
0 
e portanto: 
	
01.2 	k01 
podemos reescrever a equação de v2 como: v2 = —N2k 
AO
' At` 
Agora podemos obter uma relação entre v, e v2, dividindo uma equação pela outra 
OA = 
At 
Ak 
V2 = — N2 
At 
As letras minúsculas v, e v2 representam as tensões primária e secundária na 
sua forma instantânea. Normalmente, quando tratamos de tensões em 
transformadores, nos interessam os valores eficazes, que são representados por letras 
maiúsculas. A relação acima também é válida para valores eficazes e portanto podemos 
escrever: 
N, 	V, 
— - k 
N, V 
—N, 	N 
- 
k v 
v2 	- N2 k 	N2 	v2 
198 Editora Ao Livro Técnico 
Quando desprezamos o fluxo de fuga e consequentemente consideramos o 
acoplamento magnético como sendo perfeito (k = 1), obtemos a seguinte relação: 
N2 V, 
Essa é, então, a chamada relação de transformação para um transformador. A 
relação anterior, que considera o coeficiente de acoplamento, costumamos chamar de 
relação de transformação corrigida. 
5.5 — Funcionamento do transformador com carga 
Se conectarmos uma carga ao secundário de um transformador, a corrente que 
irá circular por ela e também pela bobina secundária ocasionará alterações em uma 
série de variáveis do circuito magnético. 
1, 
`
ti ) v, R 
Pela Lei de Lenz, a corrente I, deverá circular com sentido tal que seu fluxo se 
oponha ao fluxo que a originou, ou seja, ()12. Supondo I, crescente no instante 
analisado, teremos que o fluxo criado por 12, que chamaremos de fluxo de reação (40 
por ser de sentido contrário ao de 01.2, faz com que haja uma redução do fluxo no 
circuito magnético. Desta forma, também há uma redução nas tensões geradas nas 
bobinas primária e secundária (v = -Ná,ó/át). Só que uma redução na tensão gerada 
na bobina primária faz aumentar a corrente I,. Isto porque a corrente I, é dada pela 
diferença entre a corrente produzida pela fonte (1f) e a corrente produzida pela tensão 
gerada na bobina primária (lb), ou seja: I, = 1f — i b. Como 1b tornou-se menor devido a 
diminuição da tensão gerada na bobina primária e 1f manteve o seu valor inicial, 
teremos 1, agora maior. Mas I, aumentando, o fluxo 4)1 , também aumenta, fazendo 
com que o fluxo resultante no circuito retorne ao seu valor original. Naturalmente, 
todos esses fatos se processam quase que instantaneamente. Se fizéssemos a mesma 
análise para um instante onde I, estivesse decrescendo, teríamos o fluxo de reação 
com mesmo sentido e portanto se somando ao fluxo 012 Neste caso, 1, também 
Fundamentos de Eletromagnetismo 199 
aumentaria porque a força eletromotriz induzida na bobina primária teria polaridade 
contrária à anterior, fazendo a corrente induzida lb se somar à corrente da fonte lt Seja 
qual for o caso, teremos então preservado o mesmo valor de fluxo magnético no 
interior do núcleo, independente se o transformador está a vazio, com pouca carga ou 
à plena carga. 
A potência aparente que a carga necessita, dada por S2=V21 2 é então transferida 
da fonte CA senoidal através do circuito magnético. Portanto, o incremento no valor 
de 1,, multiplicado pela tensão V1 , deve corresponder à potência S2. Desprezando o 
valor de 1, com o transformador a vazio e desprezando também as perdas envolvidas, 
podemos estabelecer a seguinte relação: 
S2 = V2 12 S,=S2, logo: 	 ou V i l,=V212 
S, = Vi l, 
5.6 — Exercícios resolvidos 
A — Uma tensão de 100 V é aplicada ao primário de um transformador onde o 
número de espiras é 500. No secundário, o número de espiras é 1000. 
Considerando o coeficiente de acoplamento igual a 1, determine a tensão 
secundária. 
Solução: 
Sendo k = 1, utilizaremos a relação de transformação: 
N, V, 
V, 
500 100 
V2 = 200V 
N, 1000 V, 
B — Duas bobinas, sendo a primeira com 250 espiras e a segunda com 100 espiras, 
estão acopladas magneticamente com coeficiente 0,9. Determine qual a tensão 
secundária, se a tensão primária for igual a 200 V. 
Solução: 
Utilizando a relação de transformação corrigida: 
N,
— 
fr V, 	250 
= 0,9 
200 
N„ 	V2 	100 	V2 
V2 = 72V 
V,/V2 = 12/11 
200 Editora Ao Livro Técnico 
C — Duas bobinas são dispostas em um circuito magnético de forma que se 
encontram acopladas magneticamente. Quando uma corrente é aplicada à 
primeira bobina, gera-se um fluxo total de 300 mWb. Destes, apenas 180 mWb 
atravessam também a segunda bobina. Determine o coeficiente de acoplamento 
entre elas. 
Solução: 
O fluxo total equivale a 300 mWb e o fluxo mútuo é igual a 180 mWb. Aplicando 
a equação que define o coeficiente de acoplamento: 
k=.012 	
k-
180.10-3 
300.10-3 
k = 0,6 
5.7 - Exercícios propostos 
A — Determine o coeficiente de acoplamento entre dois circuitos acoplados 
magneticamente onde o fluxo total gerado corresponde a 400 mWb, sendo que 
40 mWb se dispersam em forma de fluxo de fuga. 
B — Em um acoplamento magnético, o fluxo de fuga corresponde a 2% do fluxo 
mútuo. Determine o coeficiente de acoplamento. 
C — Em um transformador com N1 = 300 espiras e N2 = 500 espiras, aplica-se uma 
tensão alternada de 250 V na bobina 1. Medindo-se a tensão na bobina 2, 
encontra-se um valor equivalente a 400 V. Determine o coeficiente de 
acoplamento. 
D — Um transformador está sendo construído em um núcleo que proporciona um 
coeficiente de acoplamentoigual a 0,94. A tensão primária será de 220 V. O 
número de espiras da bobina primária será igual a 1500. Desejando-se que a 
tensão secundária seja exatamente 127 V, determine o número de espiras da 
bobina secundária. 
E — 	Um transformador possui 1000 espiras no primário e 1000 espiras no secundário. 
O coeficiente de acoplamento é igual a 0,9. Deseja-se que a tensão secundária 
seja igual a 200 V. Qual deverá ser a tensão aplicada à bobina primária? 
5.8 — Sugestões para laboratório 
Determinação do coeficiente de acoplamento 
Objetivo: 
Determinar experimentalmente o coeficiente de acoplamento entre duas bobinas 
acopladas magneticamente. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 201 
Material necessário: 
item quant. unid. especific.ação 
01 02 pç bobina (n° esp. entre 300 a 1800 esp.) 
02 01 pç núcleo desmontável 
03 01 pç multímetro 
04 04 pç cabo de ligação 
05 01 pç fonte CA regulável 0-240 V 
Procedimento: 
Coloque as bobinas no núcleo desmontável e aplique uma tensão alternada à 
bobina 1 através da fonte, com valor qualquer entre 50 a 200 V. 
núcleo desmontável 
Meça a tensão no secundário utilizando o multímetro, estando este preparado 
previamente para medir tensão alternada. 
Através da equação da relação de transformação corrigida, determine o 
coeficiente de acoplamento. 
NI 
	= 
k VI 
N2 	
V2
— 
202 Editora Ao Livro Técnico 
INDUTÂNCIA 
6. / - Definição de indutância 
A indutância, também chamada de coeficiente de auto-indução, ou auto-
indutância, é uma grandeza que caracteriza uma bobina. Define-se como: 
Indutéincia é a razão entre o número de enlaces de fluxo por unidade de corrente. 
Matematicamente: 
L N 
Onde: 
L --> indutância em henry (H) 
N 	número de vezes que o fluxo (i) enlaça a corrente I 
(1) —> fluxo que enlaça as N espiras (Wb) 
I —> corrente enlaçada (A) 
Entende-se por enlace de fluxo a cada vez que o fluxo fechar seu caminho 
envolvendo a corrente. Por exemplo: 
As linhas de força se fecham enlaçando 	As linhas de força enlaçam a corrente duas 
a corrente uma única vez. 	 vezes ao fecharem seu percurso. 
Quando se trata de uma única espira, sempre o fluxo total gerado enlaça uma 
única vez a corrente. Porém, quando forem mais espiras, teremos parcelas de fluxo 
Fundamentos de Eletromagnetismo 203 
que enlaçam algumas vezes a corrente e outras parcelas que enlaçam um número 
diferente de vezes a corrente. 
Linha de força enlaçando a corrente três vezes. 
Linha de força enlaçando a corrente uma única vez. 
Entretanto, se as N espiras estiverem bem unidas, poderemos considerar com 
razoável precisão que o fluxo total enlaça a corrente N vezes em uma bobina reta 
comprida. E em um solenóide toroidal, o fluxo total enlaça a totalidade das espiras. 
Nestas circunstâncias, a equação da indutância poderá ser interpretada de forma mais 
simplificada como: 
L = N — 
I 
Onde: 
L -9 indutância em henry (H) 
N --> número de espiras 
--> fluxo total que atravessa a bobina (Wb) 
I 	corrente que circula pela bobina (A) 
Ao considerar na fórmula que (I) é o fluxo total que atravessa o interior da bobina, 
devemos estar cientes de que isto é apenas uma aproximação da realidade para a 
maioria das situações práticas, o que dependerá principalmente da geometria da bobina. 
Valores típicos de indutância podem variar desde microhenries (µH) até algumas 
dezenas de henries. Por exemplo, as bobinas de um pequeno transformador podem 
apresentar indutâncias em torno de 50 H enquanto que bobinas retas com número 
de espiras em torno de 1000 e dimensões de alguns centímetros e possuindo núcleo 
de ar podem apresentar indutância de apenas algumas dezenas de milihenries. 
204 Editora Ao Livro Técnico 
6.2 — Indutância de bobinas com núcleo ferromagnético 
Considerando que o fluxo magnético é devido ao campo B e este último, salvo 
os ímãs permanentes, é criado pela corrente elétrica, podemos dizer que há uma 
dependência explícita do fluxo com a corrente. Mais precisamente, o fluxo magnético 
depende diretamente da corrente elétrica. Em meios como o vácuo ou o ar, essa 
dependência é linear, ou seja, se a corrente aumenta em uma bobina, o fluxo magnético 
criado aumenta exatamente na mesma proporção. Entretanto, em materiais 
ferromagnéticos essa dependência não é linear. Basta lembrarmos das curvas de 
magnetização para materiais ferromagnéticos. 
R(T) 
H(A/m) 
O eixo das ordenadas pode ser convertido para fluxo pela conhecida relação (1)—
B.S e o eixo das abcissas pode ser convertido para corrente através da fórmula de 
campo H da bobina que está gerando o campo. Por exemplo, se for uma bobina 
muito longa, o campo é dado por H = N.I/1. Logo, I = H.I/N. Desta forma, a curva de 
magnetização, mantendo a mesma forma, pode expressar a dependência do fluxo 
magnético com a corrente elétrica. 
(Wb) 
1(A) 
Vejamos quais as implicações que esse fato gera. Quando o fluxo varia 
linearmente com a corrente como ocorre com o vácuo e ar, aumentos ou diminuições 
no valor da corrente não afetam o valor da indutância. Por exemplo, em uma bobina 
de 10 espiras, o fluxo gerado por uma corrente de 1 A é 1 11.1Nb. Logo, a indutância 
será: L = 10. 1. 10-6/ 1, L=10.10-6 H. Se a corrente dobrar de valor, sabemos que o fluxo 
também dobrará e a indutância será: L= 10.2.10-6/2, L=10.10-6 H. Portanto, a indutância 
permanece com o mesmo valor, independente da corrente que está nela circulando. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 205 
Por outro lado, se a bobina estiver enrolada em um núcleo ferromagnético 
fechado, quando a corrente assumir determinado valor, teremos a indutância calculada 
pela fórmula L=N(1)/1. Se a corrente dobrar de valor, por exemplo, o fluxo aumentará, 
mas não na mesma proporção, ou seja, não dobrará de valor, pois não é uma relação 
linear. Isto fará com que o valor da indutância não seja o mesmo para os dois valores 
de corrente aplicados à bobina. Resumindo, para meios ferromagnéticos a indutância 
varia conforme a corrente aplicada. 
Apesar disso, há partes da curva de magnetização com trechos aproximadamente 
lineares. Nestes, podemos considerar a indutância constante, independente do valor 
da corrente. Ressalte-se que a indutância de uma bobina com N espiras com núcleo 
ferromagnético pode ser dezenas de vezes superior a uma mesma bobina com N 
espiras e núcleo de ar. Isto acontece porque com uma mesma corrente aplicada à 
bobinas idênticas, porém, uma com núcleo ferromagnético e outra com núcleo de ar, 
se consegue gerar muito mais fluxo magnético na bobina com núcleo ferromagnético. 
Em situações práticas, onde se deseja indutância elevada, mas com valor 
constante, isto é, independente da corrente elétrica, utiliza-se núcleo ferromagnético 
com um pequeno entreferro. Isto torna a dependência do fluxo com a corrente elétrica 
praticamente linear, pois um entreferro, mesmo pequeno, exige uma elevada força 
magnetomotriz para que o fluxo possa transpô-lo. Assim, o comportamento do fluxo 
frente a corrente passa a ser um misto entre bobina com núcleo ferromagnético fechado 
e bobina com núcleo de ar, onde prevalecem as características desta última. 
6.3 — Fatores que influenciam na indutância de uma bobina 
Do que foi exposto nos tópicos anteriores, podemos concluir que a indutância 
de uma bobina depende de certos fatores. Pela definição de indutância, ou seja, número 
de enlaces de fluxo por unidade de corrente, podemos esperar que para bobinas com 
geometria diferente, mesmo com igual número de espiras, o número de enlaces de 
fluxo seja diferente. Obviamente, o número de espiras também modifica o número de 
enlaces de fluxo. Quanto à corrente, se a bobina for feita sem núcleo ferromagnético, 
seu valor não interfere no número de enlaces de fluxo por unidade de corrente, visto 
que uma variação no valor da corrente se reflete diretamente em uma mesma variação 
do fluxo magnético. Entretanto, em se tratando de núcleos ferromagnéticos, essa 
proporcionalidadenão se verifica, conforme discutido no tópico anterior. Inclusive 
bobinas com núcleos ferromagnéticos de natureza diferente também apresentarão 
diferença na relação entre o fluxo e a corrente. De tudo que foi exposto, podemos 
concluir que para bobinas com núcleo de ar, a indutância depende apenas da forma 
geométrica da bobina e de seu número de espiras. 
206 Editora Ao Livro Técnico 
Para bobinas com núcleo ferromagnético, além da forma geométrica e do número 
de espiras, a indutância depende também do material empregado, mais 
especificamente da curva de magnetização do material constituinte do núcleo. 
6.4 — Indutância de um to/Tilde 
Algumas formas geométricas simples admitem expressões para o valor da 
indutância. O toróide é um exemplo disso. Podemos deduzir a equação da indutância 
de um toróide utilizando algumas equações já conhecidas. 
Considere então um toróide com raio médio R, número de espiras N uniformemente 
distribuídas ao longo de seu comprimento e seção transversal circular S. Conforme já 
visto anteriormente, o campo H de um toróide é calculado por: H=N1/2TER. Admitindo-
se um núcleo ferromagnético onde possa ser considerada uma permeabilidade magnética 
média t, teremos um campo B dado por: B=1.1.1\11/2nR. O fluxo magnético que atravessa 
a seção transversal S, conforme a equação 1)=B.S, será: 4=p 	A indutância para o 
toróide, segundo a equação L=NVI, pode então finalmente ser obtida: 
L = NjiNIS/2tRI, onde fazendo as simplificações, fica: 
,WV 2 
L =
S 
 (H) 
27rR 
De forma semelhante, podemos obter a equação da indutância para um toróide 
com seção transversal retangular. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 207 
Nesse caso, considerando o raio interno r1 , o raio externo r, e a espessura a, 
teremos para a indutância a seguinte equação: 
1,11\12a 	r, 
L = 	ln —= (H) 
27r 	r, 
6.5 — Indutância de um solenóide reto 
Para um solenóide reto, de comprimento 1 e seção circular de raio R, com uma 
única camada de espiras, podemos obter a indutância através da seguinte equação: 
,u0 N 2zR2 
4R 2 +12 	
) 
A equação acima só é válida para a bobina com núcleo de ar. Caso um núcleo 
ferromagnético seja introduzido no interior da bobina, teremos um aumento significativo 
no valor da indutância. Entretanto, não poderemos prever o valor da• indutância pela 
simples substituição da permeabilidade do ar, que é aproximadamente igual a go, 
pela permeabilidade do material constituinte do núcleoµ na fórmula. Isto porque 
apenas parte do caminho do fluxo magnético seria feito pelo material ferromagnético 
(apenas no interior da bobina). O restante do caminho seria feito pelo ar, o que se 
torna um caminho misto. 
Mesmo para o núcleo de ar, a equação acima não fornece o valor exato da 
indutância, por ser uma fórmula aproximada. Pode haver variações no valor da 
indutância dependendo do diâmetro do fio utilizado e das proporções entre o 
comprimento e o raio da bobina. 
208 Editora Ao Livro Técnico 
feri = -L 
AI 
At 
6.6 - Força eletromotriz de auto-indução 
Quando uma corrente circula em uma bobina, um fluxo magnético atravessa a 
seção transversal da bobina com valor dado por O = LI/N, conforme a equação que 
define a indutância. Se ocorrer uma variação no valor da corrente (AI), teremos uma 
conseqüente variação no fluxo (AO). Lembrando da Lei de Faraday, que diz que uma 
variação de fluxo ocorrendo sobre N espiras gera uma força eletromotriz dada por 
fem =- NAq/At, podemos concluir que na referida bobina haverá uma força eletromotriz 
induzida devida à variação do fluxo por ela mesma produzida. Por essa razão, essa 
força eletromotriz é chamada de força eletromotriz de auto-indução. 
Então, se a corrente sofrer uma variação AI num tempo At, o fluxo deverá sofrer 
uma correspondente variação AO=LAI/N. Isolando-se Ao na equação da força 
eletromotriz, teremos AO = -fem. At/N. Igualando as duas equações para AO, teremos: 
L.AI/N=-fem.At/N. Finalmente, isolando-se a força eletromotriz na igualdade obtida, 
teremos a equação para a força eletromotriz de auto-indução em função da indutância 
e da taxa de variação da corrente no tempo. 
Onde: 
fem 	força eletromotriz de auto-indução em volt (V) 
L 	--> indutância em henry (H) 
AI 	variação linear da corrente em ampère (A) 
At 	intervalo de tempo em segundo (s) 
6.7 — A reatância indutiva 
Quando aplicamos uma tensão alternada senoidal a uma bobina de indutância 
L, circula uma corrente senoidal cujo fluxo magnético por ela gerado também é 
senoidal. Sendo um fluxo senoidal, obviamente estará sofrendo variações o tempo 
todo. Conseqüentemente teremos uma força eletromotriz induzida na bobina, ou 
mais especificamente, uma força eletromotriz de auto-indução. Essa força eletromotriz, 
pela Lei de Lenz, terá polaridade instantânea tal que criará uma corrente (i') em 
sentido contrário à corrente da fonte (i) como forma de impedir sua variação. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 209 
Isso limita a corrente que circulará pelo circuito, pois do contrário, admitindo-se 
resistência zero para a bobina (bobina ideal), a corrente tenderia para o infinito. Observe 
que quanto maior o valor da força eletromotriz gerada na bobina, maior será a corrente 
(1`) que ela será capaz de gerar. Conseqüentemente, seu valor mais se aproximará da 
corrente gerada pela fonte (i) e como possuem sentidos contrários, menor será a 
corrente resultante no circuito. Vale lembrar que um amperímetro inserido no circuito 
irá indicar o valor da corrente resultante. 
De tudo que foi exposto, depreende-se que a intensidade de corrente que circulará 
no circuito será inversamente proporcional à força eletromotriz gerada na bobina, tanto 
é que, se a força eletromotriz gerada na bobina chegasse a igualar a tensão da fonte , a 
corrente no circuito se anularia. Porém, isso nunca poderá ocorrer, pois, se a corrente 
chegasse a zero, não haveria fluxo produzido e conseqüentemente não poderia existir a 
própria força eletromotriz que deveria ter valor instantâneo igual à da fonte. Isto levaria 
a uma situação inconsistente. Logo, a força eletromotriz induzida sempre terá valor 
instantâneo inferior à tensão da fonte. Apesar disso, se tentarmos medir ambas com um 
voltímetro, não conseguiremos perceber diferença alguma. 
Vamos analisar agora, porque em bobinas com indutâncias diferentes conectadas 
a uma mesma fonte CA circulam correntes diferentes. Vamos comparar bobinas com 
valores de indutâncias bem diferentes, que chamaremos de valores alto e baixo. Na 
bobina com valor de indutância baixo, teremos uma força eletromotriz induzida de 
valor menor que o da bobina com valor de indutância alto. Isto porque fem = - L.AVAt 
e como a taxa de variação da corrente está sendo admitida a mesma para ambas as 
bobinas, terá maior força eletromotriz induzida aquela que tiver maior valor de L. Com 
isto, a bobina com baixo valor de indutância terá corrente circulando com valor maior 
que a outra bobina, uma vez que a diferença entre as correntes i e i' será maior. 
/alta 
	
'baixa 
fem fema„„ 
Isto equivale a dizer que a corrente que circula em uma bobina alimentada por 
uma fonte de tensão alternada senoidal é inversamente proporcional à indutância. 
Convenhamos, analisar o valor da corrente por meio deste raciocínio não é uma tarefa 
muito agradável. Pior ainda porque não temos parâmetros para avaliar 
210 Editora Ao Livro Técnico 
quantitativamente a corrente. Melhor seria se pudéssemos raciocinar em termos da 
Lei de Ohm, como ocorre em corrente contínua, onde I = V/R. Felizmente, pode-se 
provar matematicamente que o valor eficaz da corrente, que circula em uma bobina 
alimentada por uma tensão alternada senoidal de valor eficaz V, é dado por: 
I_ V 
27rfL 
Onde: 
valor eficaz da corrente na bobina (A) 
V 	tensão eficaz aplicada à bobina (V) 
f 	freqüência da tensão aplicada (Hz) 
L --> indutância da bobina (H) 
O denominador da equação assim obtida foi chamadode reatância indutiva 
X L = 274 
Portanto, pode-se obter o valor da corrente na bobina através de uma equação 
semelhante à da Lei de Ohm para corrente contínua, ou seja: 
1 = 	 
X, 
Por ser dimensionalmente igual à resistência elétrica (ambas são dadas pela 
relação VA), a reatância indutiva também possui a unidade ohm (Q). 
Então, podemos interpretar a reatância indutiva como o elemento que se opõe 
à passagem da corrente alternada em uma bobina. Vale lembrar que essa é uma 
interpretação segundo um modelo matemático criado para facilitar o cálculo da 
corrente. Na realidade, a corrente é limitada pela força eletromotriz de auto-indução 
gerada pela variação temporal da própria corrente, conforme expusemos 
anteriormente. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 211 
6.8 — Mútua-indutânda 
Também chamada de coeficiente de mútua-indução, representa a relação entre 
o número de enlaces de fluxo mútuo por unidade de corrente. Considere então um 
circuito magnético onde um fluxo mútuo é produzido. 
(512 
Para a figura acima onde uma corrente I, produz um campo B cuja parcela de 
fluxo magnético que envolve a bobina com N2 espiras é 0,.21 definimos o coeficiente 
de mútua-indução por: 
M = N2 01.2 
Onde: 
M 	coeficiente de mútua-indução (H) 
N, 	número de espiras da bobina 2 
01 , ---> fluxo mútuo produzido pelo circuito 1 (Wb) 
—> corrente na bobina1 (A) 
Se ao invés de alimentarmos a bobina 1, alimentarmos a bobina 2, teremos 
fluxo mútuo produzido por esta última, 4)21, que envolve as N, espiras da bobina 1. 
Neste caso o coeficiente de mútua-indução é dado por: 
A .1 N 2.1 
1 /2 
Na realidade, a primeira equação a rigor seria a do coeficiente de mútua-indução 
do circuito 1 em relação ao circuito 2, M12, enquanto que a segunda seria a do 
coeficiente de mútua-indução do circuito 2 em relação ao circuito 1, M2 1, que são 
numericamente iguais e por essa razão foram chamadas simplesmente de M. 
212 	Editora Ao Livro Técnico 
6.9 — Relação entre indutância e mútua-indutância 
Lembrando da relação entre fluxo mútuo e fluxo total que define o coeficiente 
de acoplamento, ou seja, k = (I), 2/01 sendo (1), = 	+ 	onde Ou é o fluxo de fuga. 
Então: M =N2 / onde (1)12 =k4), e portanto M = N24,/1,. Mas (I),/l, = L,/N, segundo 12- IP 
a definição de indutância. Portanto: M = N2 k Li /N,. Fazendo a mesma substituição 
para a equação M = N1 02.1/12, teremos: M = N i kL2/N2. Igualando as duas equações de 
M, ficamos com a igualdade: N2 k L,/N,= N,kL2/N2. Daí se obtém que 11/L2 = N,2/N22. 
Isto dá origem a uma importante relação conhecida como relação de espiras: 
N, 	L, 
N2 
	
L2 
Retornando à equação anteriormente obtida M = N i kL2/N2, podemos substituir 
N i /N2 por L i /L21 /2. Então: M = kL2(L,/L2)1 /2 = k(L22 1_,/L2)1 /2 = k(L,L2)1 /2, ou seja: 
= Iz JL, L2 
6.10 — Força eletromotriz de mútua-indução 
Sabemos que quando um fluxo varia no tempo, uma força eletromotriz é induzida 
segundo a Lei de Faraday. Então, quando um fluxo mútuo (1), 2 variar no tempo sobre 
as N2 espiras da bobina 2, acoplada magneticamente à bobina 1, teremos força 
eletromotriz induzida na bobina 2, dada por: 
AT A01 2 fem 2 — 2 
At 
Para um fluxo mútuo gerado na bobina 2, que enlaça a bobina 1, a força 
eletromotriz de mútua-indução é dada por: 
AO, 1 fem i =A ri 	- 
At 
Fundamentos de Eletromagnetismo 213 
fent = 0,6 (0,8 — 0,5) 
At 	 10.10-3 
lem = L
AI 
Da mesma forma como fizemos com a força eletromotriz de auto-indução, 
podemos substituir a equação da mútua-indutância na equação da força eletromotriz 
para obter: 
f 	Mem, =
DI 
At 
feml = 	AIA; 
6.11 — Exercícios resolvidos 
A — Determinar a indutância de um toróide de seção transversal circular de 4cm2 de 
área, tendo 1000 espiras enroladas sobre um núcleo ferromagnético de 
permeabilidade relativa 3000. O raio médio do toróide é de 15 cm. 
Solução: 
Utilizando a equação da indutância do toróide de seção circular: 
L = 
µWS
L =-- 011 PRN2S L =- 
4K10-73000.1000 2.4.10 
27d? 
L = 1,6 H 
B — Determinar a força eletromotriz de auto-indução em uma bobina de 0,6 H 
quando a corrente variar de 0,5 A para 0,8 A num tempo de 10 ms. 
Solução: 
fem= —18V 
C — Em um núcleo ferromagnético, duas bobinas estão acopladas magneticamente. 
A bobina 1 possui 300 espiras enquanto a bobina 2 possui 150 espiras. Uma 
corrente de 2 A aplicada à bobina 1 gera um fluxo total de 200 mWb. Sabendo-
se que o coeficiente de acoplamento é igual a 0,8, determine as indutâncias das 
bobinas 1 e 2 e também o coeficiente de mútua-indução. 
27cR 	 2z15.10-2 
214 Editora Ao Livro Técnico 
Solução: 
Podemos determinar de imediato a indutância da bobina 1. 
= 	
1 — 	L = 300 200.
2
10.- 
	
11 	' 
L, =30.10-3H 
O coeficiente de mútua-indução pode ser determinado, lembrando que 1), 2=k1),. 
Então: 
M = N, 1 -- M = N 2 
 k0 
11 M =150 
0 8.200 10.- 
2 
M =12.10-3 H 
Finalmente, podemos determinar L, através de: 
i2 	 (12.10- 
3 
3 ) 2 M = k.\IL,L2 	M 2 = k 2L,L2 L2 	2 	L
2 
 = 
k L, 	0,82.30.10- 
L2 = 7.5.10-3 H 
6.12 — Exercícios propostos 
A — Em uma bobina com núcleo de ar, uma corrente de 2 A produz um fluxo de 
400µ Wb que enlaça suas 300 espiras. Determine o valor da indutância da bobina. 
B — Com relação à bobina da questão anterior, qual o valor da força eletromotriz de 
auto-indução se a referida corrente cair linearmente a zero num tempo de 0,5 s? 
C — Qual a indutância de uma bobina que induz em si própria uma tensão de 4 V 
quando a taxa de variação da corrente é de 2 A/s? 
D — Uma bobina de 0,5 H fica sujeita a uma variação de corrente conforme ilustra o 
gráfico abaixo. Determine a força eletromotriz de auto-indução em cada intervalo 
de variação. 
1(A) 
5 	 
O 1012 22 24 	t(ms) 
Fundamentos de Eletromagnetismo 215 
E 	Uma bobina de 400 mH apresentando uma resistência interna de 1252 será 
ligada a uma fonte 12 VCC. Admitindo que, a partir do momento em que a 
chave for ligada, a corrente varia linearmente de zero até seu valor nominal em 
um tempo de 0,5 ms, determine o pico de tensão induzida nesse intervalo. 
Em uma bobina, quando ligada a uma fonte 12 VCC, a corrente é de 0,5 A. 
Quando ligada a uma fonte 120VCA, na freqüência de 60 Hz, a corrente é de 
1,2 A. Determine a sua indutância. 
G 	Duas bobinas acopladas magneticamente com k=0,9 apresentam respec- 
tivamente indutâncias de 0,7 H e 0,9 H. Determine o valor do coeficiente de 
mútua-indução. 
H — Duas bobinas, sendo a primeira com N i =100 espiras e a segunda com N2=200 
espiras estão acopladas magneticamente. Uma corrente de IA na bobina 1 
produz um fluxo total de 100 mWb, dos quais 93 mWb enlaçam também as 
espiras da bobina 2. Determine o coeficiente de mútua-indução e as 
indutâncias de cada bobina. 
I — Duas bobinas estão acopladas magneticamente sendo que o coeficiente de 
mútua-indução é igual a 2,8 H. Determine a força eletromotriz de mútua-indução 
quando uma corrente varia linearmente em uma das bobinas à taxa de 10 A/s. 
J — 	Em duas bobinas acopladas magneticamente, as indutâncias próprias de cada 
bobina valem 4 H e 6H. Se o número de espiras da bobina 1 é 1200, 
determine N 2. 
6.13 — Sugestões para laboratório 
Determinação dos coeficientes de auto-indução e mútua-indução 
Objetivo: 
Determinar experimentalmente o valor dos coeficientes de auto-indução e mútua-
indução. 
Material necessário: 
item quant. unid. especificação 
01 02 pç bobina (n° esp. entre 300 a 1800 esp.) 
02 01 pç núcleo desmontável 
03 01 pç multímetro 
04 05 pç cabo de ligação 
05 01 pç voltímetro 0-250 V 
06 01 pç amperímetro 0-1 A 
07 01 pç fonte CA regulável 0-240 V 
216 Editora Ao Livro Técnico 
Procedimento: 
Inicialmente as bobinas devem ser colocadas no núcleo desmontável. Para 
determinação dos coeficientes de auto-indução ou indutância de cada bobina, 
pode-se fazer uso de instrumentos específicos como a ponte RLC, que além de 
medir a indutância,mede também capacitâncias e resistências. Na falta de um 
instrumento como esse, pode-se determinar a indutância através de medidas 
indiretas, utilizando um voltímetro, um amperímetro e um multímetro. Com o 
multímetro, mede-se a resistência interna da bobina. Essa resistência é devida 
aos fios que constituem a bobina. Em seguida, aplica-se uma tensão senoidal à 
bobina, medindo seu valor com um voltímetro e a respectiva corrente com um 
amperímetro. Essa tensão pode ser de qualquer valor desde que não resulte em 
uma corrente superior à que a bobina suporta. Inclusive os calibres do 
amperímetro e do voltímetro sugeridos na tabela podem ser outros em função 
dos valores de tensão e corrente que efetivamente serão aplicados. Deve-se 
escolher os calibres de forma que as leituras possam ser feitas no terço final da 
escala, onde a precisão é maior. 
De posse dos valores de tensão e corrente , determina-se a impedância da 
bobina pela Lei de Ohm para corrente alternada: Z = V/I. Sabendo que Z2 = R2 
+ X,2, extrai-se o valor de XL, ou seja: X, = (Z2- R2)112. Finalmente o valor da 
indutância é determinado através da equação da reatância indutiva: X, = 2itfL. 
Isolando-se L, temos: L = XL/2ltf. 
Esse procedimento deve ser feito para cada uma das bobinas individualmente 
estando ambas colocadas no núcleo desmontável. 
Observação: Pode-se também determinar a resistência interna das bobinas 
utilizando-se uma fonte CC, um amperímetro e um voltímetro. Aplica-se uma 
tensão contínua à bobina e mede-se a respectiva corrente. Em seguida determina-
se a resistência através da Lei de Ohm. R = V/I. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 217 
Para se determinar o coeficiente de mútua-indução entre as bobinas, utilizam-
se métodos indiretos. Uma das maneiras, consiste na aplicação da equação: 
M = 
Os valores das indutâncias L, e L, já foram obtidos e o valor do coeficiente de 
acoplamento pode ser obtido através do procedimento descrito na Unidade III, 
5.8 — Sugestões para laboratório. De posse de todos esses valores é só aplicar a 
equação e determinar o valor de M. 
218 Editora Ao Livro Técnico 
Unidade IV 
Tópicos Avançados 
A ONDA ELETROMAGNÉTICA 
1.1 — O campo elétrico 
A eletrização é um fenômeno pelo qual objetos podem adquirir a propriedade de 
atração ou repulsão entre si. Essa propriedade pode ser adquirida atritando-se dois 
objetos de naturezas diferentes, ou, se já se possui um objeto eletrizado, pode-se eletrizar 
um outro objeto aproximando-o ou tocando-o no objeto eletrizado. Essa propriedade, 
já conhecida na Grécia antiga, teve seu nome originado devido à substância que os 
gregos utilizavam para atritar com um pedaço de lã. Essa substância era o âmbar, uma 
espécie de resina, que em grego chama-se elektron. Quando se dispõe de vários objetos 
eletrizados, observa-se que alguns se atraem e outros se repelem entre si. Para diferenciá-
los, convencionou-se dizer que existem dois tipos de cargas elétricas: a positiva e a 
negativa. Mais tarde descobriu-se que o elétron, segundo essa convenção apresenta 
carga negativa e o próton, carga positiva. As ações entre os diferentes tipos de cargas 
ficou conhecida como Lei de Du Fay, que estabelece que cargas de mesmo sinal se 
repelem e de sinais diferentes se atraem. 
_io 021._ 
 
 
Lei de Du Fay 
A força entre as cargas pode ser determinada quantitativamente através da 
conhecida Lei de Coulomb: F = k q,q1r2. Com a evolução do conhecimento sobre a 
eletricidade, introduziu-se o conceito de campo elétrico. 
Campo elétrico é uma região do espaço onde uma carga de teste fica sujeita a 
uma força. 
Matematicamente, a intensidade de um campo elétrico é definida como a relação 
entre a força a que fica sujeita uma carga, pelo valor dessa carga. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 221 
E = 
Onde: 
E —> intensidade do campo elétrico em volt/metro (V/m) 
F 	força a que fica sujeita a carga q em newton (N) 
q —3 carga elétrica em coulomb (C) 
Através desse conceito, as relações de força entre cargas elétricas podem ser 
vistas sob outra ótica. Se colocarmos uma carga q 1 nas proximidades de outra 
percebemos a ação de uma força e portanto podemos dizer que q está imersa em 
um campo elétrico. Obviamente, nesta situação, o campo elétrico está sendo gerado 
pela carga q„. Isto nos leva a concluir que toda carga elétrica gera então um campo 
elétrico. O campo elétrico é representado através de linhas de força, que são linhas 
imaginárias que descrevem o sentido das forças que uma carga de teste positiva, por 
convenção, fica sujeita no interior do campo elétrico. Sendo assim ,as linhas de força 
do campo elétrico gerado por cargas positivas e negativas fica como o mostrado abaixo. 
rir 	\, / 
/T\ 	 /T\ 
Agrupamentos de cargas podem gerar campos elétricos com as mais variadas 
formas. 
campo elétrico entre 
placas paralelas 
campo elét - ico de uma 
esfera carrLgada 
Quando analisamos o movimento ordenado de cargas elétricas em um condutor, 
ou mais precisamente, uma corrente elétrica, sabemos que esta é gerada quando 
uma diferença de potencial é aplicada entre os extremos de um condutor. Mas essa 
222 	Editora Ao Livro Técnico 
diferença de potencial é conseguida através de uma concentração de cargas de valor 
diferente entre os extremos do condutor. Isto gera um campo elétrico ao qual o condutor 
fica sujeito. 
ddp 
Diferença de potencial entre dois 
objetos carregados. 
Desta forma, a corrente elétrica ganha uma nova interpretação. Cada carga que 
está em movimento dentro do condutor e que no conjunto caracteriza a corrente 
elétrica, só pode estar se movendo devido a ação de uma força sobre ela. Essa força é 
originada pelo campo elétrico que está atuando sobre o condutor. 
E 
x k 
,rx 
 
 
Observe que, sendo os elétrons as cargas livres do condutor, e portanto, cargas 
negativas, o sentido do movimento dessas cargas no interior do condutor se dará no 
sentido contrário ao do campo elétrico. A essa consideração, quanto ao sentido da 
corrente, chamamos de sentido real ou eletrônico da corrente elétrica. Por outro lado, a 
maioria dos autores prefere fazer uso do chamado sentido convencional de corrente, 
que considera as cargas em movimento como sendo positivas. Nesse caso, o sentido 
da corrente elétrica se dá no mesmo sentido que o do campo elétrico. 
E 
O 
Movimento dos elétrons dentro do condutor. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 223 
1.2 — O campo elétrico não eletrostático 
Partindo do pressuposto que o movimento de cargas elétricas em um condutor 
é resultado da ação de um campo elétrico sobre as cargas livres do condutor, estamos 
preparados para entender melhor alguns fenômenos e principalmente a relação que 
existe entre um campo elétrico e um campo magnético. 
Quando estudamos a Lei de Faraday, vimos que pode-se originar uma corrente 
elétrica em um percurso condutor sujeito a uma variação de fluxo. 
Corrente induzida devido a um fluxo crescente. 
Já estamos habituados a analisar situações como na ilustração acima e sabemos 
que a corrente I surge como uma tentativa da natureza em preservar o equilíbrio. Ou 
seja, a corrente é gerada para produzir um fluxo que se oponha ao tipo de variação de 
fluxo que estiver ocorrendo. Vamos testar nosso raciocínio agora em uma situação 
semelhante mas ainda não abordada. Vamos supor que temos um fluxo magnético 
concentrado em uma pequena região e um anel condutor envolve esse fluxo porém a 
uma distância bem grande. 
I ik variável 
anel condutor 
224 Editora Ao Livro Técnico 
As linhas de força do campo magnético estão no centro do anel, porém não 
interceptam o mesmo devido à grande distância entre eles. A pergunta é: Há corrente 
induzida circulando no anel nessas condições ? 
Podemos responder a essa pergunta nos baseando estritamente no que diz a 
Lei de Faraday. Haverá força eletromotriz induzida no anel e, conseqüentemente, por 
ser este um percurso fechadocondutor, haverá corrente induzida, desde que haja 
variação de fluxo em seu interior. E como está havendo variação de fluxo em seu 
interior, haverá uma corrente induzida. Mas como pode isso ser possível, se o anel 
está muito distante das linhas de força do campo magnético? 
Vejamos a resposta. Afirmamos no início deste capítulo que uma corrente elétrica 
se processa devido à ação do campo elétrico sobre as cargas livres. No caso do anel 
imerso em um fluxo variável, não temos nenhuma diferença de potencial aplicada ao 
mesmo. Entretanto, observamos que uma corrente elétrica flui através dele. E se existe a 
corrente elétrica, é porque um campo elétrico deve estar atuando na região. Esse campo 
elétrico não tem origem em cargas elétricas estáticas como vimos anteriormente. É um 
campo elétrico gerado pela variação do fluxo magnético, cujas linhas de força são círculos 
concêntricos que se estendem até o infinito. 
4crescente 
campo elétrico induzido 
Esse campo elétrico, por não ser originado por cargas elétricas estáticas, é 
chamado de campo elétrico não eletrostático. 
Um fluxo magnético variável no tempo dó origem a um campo elétrico não 
eletrostático, cuias linhas de força são círculos concêntricos. 
Desta forma, qualquer percurso fechado condutor, que envolva um fluxo magnético 
variável, ficará sujeito à componentes desse campo elétrico, que será então o responsável 
pelo aparecimento da corrente elétrica. O sentido do campo elétrico induzido pode ser 
determinado pela Lei de Lenz, bastando lembrar que o sentido do campo elétrico deve 
ser tal que a corrente que ele irá gerar deverá criar um fluxo magnético que se oponha 
ao tipo de variação de fluxo que estiver ocorrendo inicialmente. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 225 
4) crescente 
1 
I - corrente induzida circulando 
em um percurso fechado condutor 
1.3 - O campo elétrico gera um campo magnético 
Assim como o fluxo magnético variável gera um campo elétrico, um campo elétrico 
variável também gera um campo magnético. Foi o brilhante físico escocês James Clerk 
Maxwell que, em 1864, provou matematicamente essas duas interações, selando 
definitivamente a união entre a eletricidade e o magnetismo, até então ciências separadas. 
Um campo elétrico variável no tempo gera um campo magnético, cujas linhas são 
concêntricas em torno das linhas do campo elétrico. 
Então, um campo magnético pode também ser gerado através da variação 
temporal de um campo elétrico. Por exemplo, entre as placas de um capacitor, durante 
a fase de carga ou descarga do mesmo, o campo elétrico está variando. Desta forma, 
um campo magnético, na forma de linhas concêntricas, é criado em torno das linhas 
de força do campo elétrico. 
campo magnético induzido 
campo elétrico variável 
1.4- Gerando uma onda eletromagnética 
Imaginemos agora, um condutor conduzindo uma corrente variável no tempo. 
Essa corrente cria um campo magnético, também variável no tempo em torno do condutor. 
Campo magnético variável no tempo 
gerado por uma corrente elétrica variável no tempo. 
226 Editora Ao Livro Técnico 
campo magnético 
______ campo elétrico 
Visto que um campo magnético variável cria um campo elétrico que também pode 
ser variável no tempo, em torno de cada linha de força do campo magnético, teremos um 
conjunto de círculos concêntricos que são as linhas de força do campo elétrico. 
Por sua vez, esse campo elétrico variável no tempo gera um novo campo mag-
nético, que é também representado por linhas de força concêntricas em torno de 
cada linha de força do campo elétrico. 
campo magnético 
campo elétrico 
_campo magnético 
campo elétrico 
E o ciclo se repete. Ou seja, um novo campo elétrico é gerado, que gera um 
novo campo magnético, que gera....Torna-se impossível representar no papel o conjunto 
dessas linhas de força de campos elétricos e magnéticos. O que se pode concluir, 
entretanto, é que esses campos se propagam em todas as direções constituindo então 
a chamada onda eletromagnética. 
Onda eletromagnética é um conjunto de campos elétricos e magnéticos que se 
propagam em todas as direções, sem necessidade de um meio físico que os conduza. 
A velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas corresponde à 
velocidade da luz, ou seja 3.108 m/s. Na verdade, a própria luz é uma onda 
eletromagnética. 
A descoberta das ondas eletromagnéticas tornou possível o desenvolvimento 
das telecomunicações, cuja tecnologia está em constante evolução, tornando o dia-a-
dia da humanidade mais fácil. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 227 
2 
FENÔMENOS DO ELETROMAGNETISMO 
2.1 — O efeito pelicular 
O efeito pelicular (ou efeito skin) é um fenômeno que ocorre com a corrente 
alternada, que faz com que a distribuição da mesma sobre a seção transversal do 
condutor ocorra de forma desigual. A intensidade de corrente será maior nas regiões 
internas ao condutor mais próximas da superfície. 
Seção transversal de um 
	
Seção transversal de um 
condutor conduzindo 	 condutor conduzindo 
corrente alternada. 	 corrente contínua. 
Esse efeito depende da freqüência da corrente alternada e, para freqüências 
bem altas (MHz ou mais), a corrente fica distribuída em apenas uma película do 
condutor. Daí o nome, efeito pelicular. 
Distribuição da corrente 
para altas freqüências. 
Efeito pelicular é o fenômeno que consiste em uma distribuição desigual de uma 
corrente alternada de alta freqüência pela seção transversal do condutor, ocorrendo 
uma densidade maior nas proximidades da superfície. 
Observe que praticamente toda a seção do condutor torna-se inútil em termos de 
condução de corrente. Tanto é verdade que poderíamos até remover toda a massa 
condutora interna, transformando o condutor num tubo de paredes bem finas, sem 
nenhum prejuízo para a corrente elétrica. Na realidade, isso é feito em algumas situações, 
por exemplo, algumas subestações onde são usados barrarnentos rígidos tubulares. 
228 Editora Ao Livro Técnico 
2 
FENÔMENOS DO ELETROMAGNETISMO 
2.1 — O efeito pelicular 
O efeito pelicular (ou efeito skin) é um fenômeno que ocorre com a corrente 
alternada, que faz com que a distribuição da mesma sobre a seção transversal do 
condutor ocorra de forma desigual. A intensidade de corrente será maior nas regiões 
internas ao condutor mais próximas da superfície. 
Seção transversal de um 
	
Seção transversal de um 
condutor conduzindo 	 condutor conduzindo 
corrente alternada. 	 corrente contínua. 
Esse efeito depende da freqüência da corrente alternada e, para freqüências 
bem altas (MHz ou mais), a corrente fica distribuída em apenas uma película do 
condutor. Daí o nome, efeito pelicular. 
Distribuição da corrente 
para altas freqüências. 
Efeito pelicular é o fenômeno que consiste em uma distribuição desigual de uma 
corrente alternada de alta freqüência pela seção transversal do condutor, ocorrendo 
uma densidade maior nas proximidades da superfície. 
Observe que praticamente toda a seção do condutor torna-se inútil em termos de 
condução de corrente. Tanto é verdade que poderíamos até remover toda a massa 
condutora interna, transformando o condutor num tubo de paredes bem finas, sem 
nenhum prejuízo para a corrente elétrica. Na realidade, isso é feito em algumas situações, 
por exemplo, algumas subestações onde são usados barrarnentos rígidos tubulares. 
228 Editora Ao Livro Técnico 
ampo magnético externo ao condutor 
seção transversal 
ampo interno ao condutor 
campo interno ao condutor 
dc raio "a'ilerado por 1. 
parcela dc corrente que 
circula bem ao centro (1') 
Mas como ocorre o efeito pelicular? Primeiramente, precisamos aceitar o fato de 
que a corrente elétrica gera um campo magnético também no interior do condutor. 
Podemos entender melhor como esse campo é gerado, imaginando a seção 
transversal do condutor como composta de uma série de tubos concêntricos e um 
pequeno condutor maciço bem ao centro. 
Sendo assim, fica fácil entender que a parcelade corrente que circula bem ao 
centro e que chamaremos de 1', gera um campo magnético externo a ele, que são 
círculos concêntricos que se estendem por todo o espaço, inclusive sobre o restante 
da seção transversal do condutor de raio "a". 
campo externo ao condutor 
dc raio "a" gerado por 
Da mesma forma, o primeiro tubo, próximo ao condutor central, também gera 
um campo magnético que se soma ao campo do condutor central, tornando o campo 
mais intenso nessa região. Os próximos tubos também geram campos magnéticos de 
forma que o campo interno ao condutor vai se tornando mais intenso à medida que 
nos aproximamos de sua superfície. Pode-se obter a equação desse campo através da 
chamada Lei de Ampère, chegando-se ao seguinte: H = I r/27ca2, sendo r uma distância 
radial qualquer a partir do centro do condutor e a o raio do condutor (sendo que 
sempre para essa equação r 5 a). 
Fundamentos de Eletromagnetismo 229 
corrente variável 
campo H externo variável 
campo H interno variável 
Vejamos agora o que gera o efeito pelicular. Para isso, devemos nos recordar 
das Leis de Faraday e Lenz, aplicando-as a um condutor conduzindo corrente variável 
no tempo. 
Vamos então considerar um condutor conduzindo uma corrente com intensidade 
crescente I. 
Pela Lei de Faraday, sabemos que todo condutor imerso em um campo magnético 
variável fica sujeito a uma força eletromotriz induzida dada por: fem = -N AO/At, que 
pode gerar uma corrente elétrica. Essa corrente, por outro lado, terá um sentido tal 
que deva se opor à causa que a originou (Lei de Lenz). Como a causa que a originou 
é a variação do campo magnético, no caso o crescimento do campo H, a corrente 
induzida deve ter um sentido que gere um campo magnético H' contrário ao campo 
H. Logo, o sentido dessa corrente induzida l' é contrário ao sentido da corrente I. Isto 
se resume em dizer que o valor original de I será subtraído do valor de l, reduzindo 
portanto seu valor inicial. 
I I 
Quanto mais rapidamente I variar, maior será o valor de I' e conseqüentemente 
maior será a redução no valor original de I. No caso de variações cíclicas como uma 
corrente alternada senoidal, podemos dizer que o valor de 1' será diretamente 
proporcional à freqüência. 
Voltemos agora ao nosso condutor composto por camadas tubulares. Quando 
uma corrente elétrica variável no tempo estiver circulando, teremos os campos 
magnéticos interno e externo também variando. Haverá então uma força eletromotriz 
dada por fem = -A41)/At. Assim, o condutor como um todo fica envolvido pelo fluxo 
devido ao campo magnético externo. 
230 Editora Ao Livro Técnico 
Entretanto, as camadas mais internas do condutor ficam envolvidas por fluxos 
maiores. Tomemos por exemplo a fração do condutor delimitado pelo pontilhado. 
O fluxo magnético que envolve essa fração da seção transversal será o fluxo 
correspondente ao campo magnético externo mais o fluxo do campo magnético interno 
que a envolve. Sendo o fluxo então maior, é de se esperar que a força eletromotriz 
induzida nessa parte da seção transversal seja maior do que a induzida nas camadas 
mais próximas da superfície. Quanto mais internas as camadas, maior é o fluxo que as 
envolve e conseqüentemente maior serão as forças eletromotrizes induzidas. Isto se 
reflete diretamente no valor das correntes induzidas. Ou seja, teremos correntes 
induzidas de valores mais elevados nas regiões mais centrais do condutor, que irão 
subtrair do valor original da corrente. Isto afeta portanto a distribuição da corrente na 
seção transversal do condutor, ficando as maiores intensidades nas proximidades da 
superfície do condutor. Dependendo da freqüência da corrente que circula no condutor, 
poderemos ter correntes induzidas que anulam totalmente a corrente no condutor, 
sobrando apenas uma fina camada de corrente próximo à superfície. Por essa razão, 
esse fenômeno recebe o nome de efeito pelicular. 
2.2 — A descarga atmosférica 
Descarga atmosférica é uma corrente elétrica de altíssima intensidade que se propaga 
no espaço compreendido entre uma nuvem carregada e a terra, através de um 
caminho irregular. 
Esse caminho é formado pela ionização do ar que ocorre devido ao elevado 
campo elétrico da nuvem carregada. Sendo então uma corrente elétrica, a descarga 
atmosférica, ou raio, também produz um campo magnético que é variável no tempo, 
pois a descarga sofre oscilações em sua intensidade. Conseqüentemente, um campo 
elétrico variável também é gerado e portanto, uma onda eletromagnética se forma a 
partir da descarga atmosférica e se propaga em todas as direções. Essa onda 
eletromagnética pode interferir nas telecomunicações, especialmente nas transmissões 
AM, onde é comum ouvirmos chiados em dias de tempestades. Esse campo 
Fundamentos de Eletromagnetismo 231 
eletromagnético pode atuar também diretamente sobre cabos de comunicação e 
transmissão de dados, induzindo tensões que podem causar danos ao sistema se 
não forem tomados os devidos cuidados no tocante aos dispositivos de proteção. 
Existe toda uma engenharia por trás da proteção contra descargas atmosféricas. 
São inúmeras situações de risco para instalações, equipamentos, edificações e para a 
vida humana, cujos métodos de proteção vem sendo aprimorados através do 
desenvolvimento de novas tecnologias. Apesar disso, as descargas atmosféricas 
continuam fazendo estragos. 
No local de uma descarga, se pode perceber a violência e a energia contida em 
um raio. Quando ocorre em uma árvore por exemplo, a potência P = RR dissipada é 
tão grande que produz um aquecimento muito rápido no tronco que normalmente o 
despedaça e incendeia. Aliás, o aquecimento rápido do ar em torno do raio faz com 
que o mesmo se expanda e provoque o estrondo característico. 
Descargas atmosféricas possuem intensidades típicas na faixa de algumas 
dezenas de milhares de ampères podendo chegar até a duzentos mil ampères. 
2.3 — A levitação de um supercondutor em um campo magnético 
Supercondutores são constituídos de ligas especiais que apresentam o efeito 
da supercondutibilidade, ou seja, resistência elétrica nula. Esse efeito é conseguido à 
temperaturas muito baixas, mas pesquisas estão sendo desenvolvidas para que a 
supercondutibilidade possa ser conseguida à temperaturas próximas à ambiente. Um 
efeito muito interessante que ocorre com os supercondutores é a levitação em campos 
magnéticos. Vamos ver como isso ocorre. 
232 Editora Ao Livro Técnico 
Vamos imaginar um anel condutor se aproximando de um ímã permanente. 
Quanto mais se aproxima, mais o fluxo magnético aumenta em seu interior, 
gerando uma força eletromotriz fem = -Ao/At, que produz uma corrente que circula 
pelo anel. Essa corrente, pela Lei de Lenz, deve ter sentido de forma a se opor à causa 
que a origina, que no caso é o aumento do fluxo magnético. Portanto o anel deve 
produzir um fluxo dirigido para baixo, o que corresponde a um pólo norte se 
aproximando do ímã, que também apresenta nessa extremidade um pólo norte. Isso 
ocasiona uma repulsão entre ambos. Essa repulsão não é o suficiente para afastar o 
anel. Entretanto, se o anel fosse supercondutor, a corrente induzida teria valores 
muitíssimos elevados, pois a resistência elétrica é nula. O campo magnético, assim 
gerado, tenderia a expulsar o anel para bem longe. No entanto, quando o anel começa 
a se afastar devido à força de repulsão, ocorre a diminuição do fluxo magnético em 
seu interior, o que inverte o sentido da corrente induzida e o anel é então atraído. Ao 
ser novamente atraído, ocorre o aumento do fluxo em seu interior, gerando de novo 
pólos de mesmo nome e portanto repulsão. E o ciclo se repete numa freqüência 
muito alta, o que faz com que o anel permaneça imóvel em relação ao ímã. 
Na verdade, não é necessário que o supercondutor seja do formato de um anel. 
Qualquer bloco de um material supercondutor apresenta o mesmo efeito. 
bloco supercondutorlevitação de um bloco supercondutor 
Fundamentos de Eletromagnetismo 233 
2.4 — A proteção do campo magnético da Terra 
O campo magnético da Terra está em constante evolução. Sua intensidade e 
principalmente sua direção norte-sul estão mudando constantemente. Estudando as 
camadas sedimentares nas bases dos vulcões, os geólogos descobriram que os cristais 
de magnetita encontram-se orientados em diferentes posições nas diferentes camadas. 
Na época em que determinada erupção acontecia, no momento da lava resfriar, esses 
cristais apontavam a direção norte-sul magnética da Terra. E se cada camada apresenta 
os cristais orientados de forma diferente, isso nos leva a concluir que o campo da 
Terra mudou de sentido ao longo de sua história, e possivelmente de intensidade, 
podendo ter desaparecido completamente em determinada época. 
Até algum tempo atrás, ninguém se importaria se o campo magnético da Terra 
viesse a desaparecer. Afinal de contas, já não se usa mais a bússola como instrumento 
de navegação. Entretanto, hoje se sabe que, se isso ocorresse, seria uma catástrofe 
comparável a uma guerra atômica e poderia dizimar a humanidade. 
O que faz então o campo magnético da Terra ser tão importante para nós? 
Acontece que a Terra é constantemente bombardeada por partículas altamente 
energéticas provindas do espaço exterior, chamadas de raios cósmicos, e do Sol, 
chamadas de vento solar. Se todas essas partículas chegassem até a superfície, 
poderiam destruir qualquer tecido vivo, ocasionando a morte ou provocando mutações 
genéticas. Felizmente, o campo magnético da Terra funciona como um escudo, 
desviando essas partículas, ou confinando-as em duas regiões denominadas de 
cinturões de Van Allen, em homenagem ao maior estudioso do assunto. 
Vejamos como funciona esse mecanismo de proteção do campo magnético da Terra. 
Vamos lembrar que uma partícula carregada em movimento gera um campo magnético. 
campo de uma carga 
positiva em movimento 
Quando essa partícula penetra em um campo magnético, ocorrem interações 
entre esse campo e o campo da partícula, o que ocasiona o surgimento de uma força 
perpendicular ao movimento. 
.e• • • 	""" 
234 Editora Ao Livro Técnico 
As partículas que compõem o vento solar são prótons e elétrons, que são ejetados 
durante as explosões solares. Já os raios cósmicos são núcleos de átomos com alta 
velocidade provindos do espaço exterior. Logo, todas essas partículas apresentam carga 
elétrica e portanto ficam sujeitas a forças ao penetrarem no campo magnético da 
Terra, também conhecido como magnetosfera. Vamos supor então uma carga positiva 
se movimentando em direção à Terra, mostrada no desenho a seguir. Ao penetrar no 
campo magnético, a partícula carregada sofre a ação de uma força, que pela regra de 
Fleming, será no sentido apontando para fora do plano do papel. Isto modifica sua 
trajetória, que a desviará do curso original, evitando que atinja a superfície da Terra. 
Caso a partícula fosse negativa, a força seria no sentido para dentro do plano da 
folha de papel e da mesma forma seria desviada. Dependendo da velocidade e da 
carga da partícula, ela poderá ficar confinada dentro do campo magnético da Terra, 
descrevendo uma trajetória circular. No caso das partículas que chegam pela região 
dos pólos, a velocidade das mesmas não será perpendicular ao campo. 
Teremos então uma componente de velocidade perpendicular ao campo, que 
determinará a força sobre a partícula, e outra componente no sentido do campo, no 
qual nenhuma ação é exercida. Isto fará com que a partícula descreva uma trajetória 
circular combinada com seu movimento no sentido do campo, ou seja, descreverá 
uma trajetória helicoidal. Assim, as partículas que chegam nessa região são afuniladas 
em direção aos pólos. Quando chegam em grande quantidade, como no caso em 
que ocorre a atividade solar em maior intensidade, essas partículas ionizam o ar, que 
passa a emitir luz, gerando um fenômeno conhecido como aurora boreal. Esse 
fenômeno ocorre simultaneamente nos dois pólos da Terra. No pólo sul, é chamado 
de aurora austral. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 235 
RESPOSTAS 
Unidade I 
2.13 (p. 26) 
A — a) São as regiões do ímã onde suas ações 
se manifestam de forma mais acentuada. 
b)Porque não apresentam ímãs 
elementares em sua constituição. 
c) É o processo de imantação de um 
material ferromagnético. 
d) É a temperatura na qual o ímã perde 
suas propriedades. 
e) É um campo com mesma intensidade, 
direção e sentido em todos os pontos. 
f) Ângulo formado entre as linhas do 
campo da Terra e a superfície. 
g) Ângulo que as linhas de força formam 
em cada ponto da superfície com os 
meridianos. 
h) Princípio da atração e repulsão entre 
pólos magnéticos. 
i) São trajetórias possíveis para uma 
partícula hipotética norte, móvel no campo. 
j) Região em torno do ímã onde ele exerce 
sua influência. 
Unidade II 
1.7 (p. 40) 
A — a) Porque ela se alinha com o campo 
magnético do condutor, que é perpen-
dicular a ele. 
b) Porque o campo magnético da Terra 
continua agindo sobre a bússola. 
c) A agulha da bússola se alinharia sempre 
perpendicularmente ao fio, mesmo com 
baixas intensidades de corrente. 
d) A agulha permaneceria imóvel ou 
tenderia a girar 180°, dependendo do 
sentido da corrente. 
e) Giraria em torno de 180°. 
f) O ponteiro da bússola não é afetado 
pelo campo da corrente alternada. 
B — a) para baixo 	b) para cima 
c) indiferente 
C — 31,8 A/m 
D— a) 31,8 A/m b) 72,7 A/m c) 127,3 A/m 
d) 36,1 A/m 
E — a) 7,3 cm b) 15,0 cm 
F — 15,7 A/m 
G — 1 8,0 A/m 
H — 45 A/m para fora da folha do papel 
I — 441,9 A/m 
.1 — 1364,2 A/m 
L — 1,2 A 
M — a) 31,4 m b) 3969,1 A/m 
2.8 (p. 59) 
A — a) Movimento orbital e spin dos elétrons. 
b) Dipólos magnéticos. 
c) Porque os campos orbitais e de spin se 
anulam nesses materiais. 
d) São grupos de dipólos alinhados em 
pequenos volumes dentro de um material 
ferromagnético. 
e) É o campo magnético total devido à 
correntes livres e correntes ligadas. 
f) 1 T = 10' gauss 
g) É um instrumento que mede a indução 
magnética. 
h) É o número total de linhas de força 
que atravessam uma superfície perpen-
dicularmente à mesma. Unidade: weber 
(Wb) 
i) B = jiH 
1 	 N.1 
	
i) 	B = lio 	B = P o —
21? B — Po 	4R2 + 
B — 0,63 T 
C — a) 1,92 mWb b) 0,4 T c) 159,2 A/m 
D — 2,25 mWb, 168 
E — 5,7.10 1" A/m 
F — 0,16 A 
3 
	
68) 
A — a) Diamagnéticos: ligeiramente menor que 
a unidade; paramagnéticos: ligeiramente 
maior que a unidade; ferromagnéticos: 
bem acima da unidade, chegando até 
centenas de milhares. 
236 Editora Ao Livro Técnico 
RESPOSTAS 
Unidade I 
2.13 (p. 26) 
A — a) São as regiões do ímã onde suas ações 
se manifestam de forma mais acentuada. 
b)Porque não apresentam ímãs 
elementares em sua constituição. 
c) É o processo de imantação de um 
material ferromagnético. 
d) É a temperatura na qual o ímã perde 
suas propriedades. 
e) É um campo com mesma intensidade, 
direção e sentido em todos os pontos. 
f) Ângulo formado entre as linhas do 
campo da Terra e a superfície. 
g) Ângulo que as linhas de força formam 
em cada ponto da superfície com os 
meridianos. 
h) Princípio da atração e repulsão entre 
pólos magnéticos. 
i) São trajetórias possíveis para uma 
partícula hipotética norte, móvel no campo. 
j) Região em torno do ímã onde ele exerce 
sua influência. 
Unidade II 
1.7 (p. 40) 
A — a) Porque ela se alinha com o campo 
magnético do condutor, que é perpen-
dicular a ele. 
b) Porque o campo magnético da Terra 
continua agindo sobre a bússola. 
c) A agulha da bússola se alinharia sempre 
perpendicularmente ao fio, mesmo com 
baixas intensidades de corrente. 
d) A agulha permaneceria imóvel ou 
tenderia a girar 180°, dependendo do 
sentido da corrente. 
e) Giraria em torno de 180°. 
f) O ponteiro da bússola não é afetado 
pelo campo da corrente alternada. 
B — a) para baixo 	b) para cima 
c) indiferenteC — 31,8 A/m 
D— a) 31,8 A/m b) 72,7 A/m c) 127,3 A/m 
d) 36,1 A/m 
E — a) 7,3 cm b) 15,0 cm 
F — 15,7 A/m 
G — 1 8,0 A/m 
H — 45 A/m para fora da folha do papel 
I — 441,9 A/m 
.1 — 1364,2 A/m 
L — 1,2 A 
M — a) 31,4 m b) 3969,1 A/m 
2.8 (p. 59) 
A — a) Movimento orbital e spin dos elétrons. 
b) Dipólos magnéticos. 
c) Porque os campos orbitais e de spin se 
anulam nesses materiais. 
d) São grupos de dipólos alinhados em 
pequenos volumes dentro de um material 
ferromagnético. 
e) É o campo magnético total devido à 
correntes livres e correntes ligadas. 
f) 1 T = 10' gauss 
g) É um instrumento que mede a indução 
magnética. 
h) É o número total de linhas de força 
que atravessam uma superfície perpen-
dicularmente à mesma. Unidade: weber 
(Wb) 
i) B = jiH 
1 	 N.1 
	
i) 	B = lio 	B = P o —
21? B — Po 	4R2 + 
B — 0,63 T 
C — a) 1,92 mWb b) 0,4 T c) 159,2 A/m 
D — 2,25 mWb, 168 
E — 5,7.10 1" A/m 
F — 0,16 A 
3 
	
68) 
A — a) Diamagnéticos: ligeiramente menor que 
a unidade; paramagnéticos: ligeiramente 
maior que a unidade; ferromagnéticos: 
bem acima da unidade, chegando até 
centenas de milhares. 
236 Editora Ao Livro Técnico 
b) É o aparecimento de um campo 
induzido no átomo, contrário ao campo 
aplicado. 
c) Força magnética, atuando sobre pares 
de elétrons girando em sentidos opostos, 
produz desequilíbrio no campo do átomo. 
d) É o reforço do campo magnético em 
um material devido à orientação dos 
dipólos. 
e) Presença de dipólos. 
f) É o aparecimento de um forte campo 
induzido pelo alinhamento dos domínios 
magnéticos. 
g) Presença de domínios magnéticos. 
h) Materiais paramagnéticos e ferromag-
néticos. 
i) Materiais ferromagnéticos. 
j) Porque são dipólos "fracos". 
4.8 (p. 85) 
A — a) Ponto além do qual não se pode mais 
aumentar o campo B. 
b) Porque a curva de variação B x H não é 
linear. 
c) É o efeito da indução residual em 
materiais expostos à campos magnéticos 
alternados. 
d) É o valor de indução que permanece 
no material após cessado o campo 
magnetizante. 
e) É o valor necessário de campo para 
eliminar a indução residual. 
f) É o ciclo de histerese quando o campo 
aplicado é suficiente para saturar o material. 
g) É o valor máximo de indução residual 
em um material, (T). 
h) É o valor do campo coercitivo no ciclo 
de saturação (A/m). 
i) Aquecimento. 
j) Proteção feita com material ferro-
magnético contra campos externos. 
B — a) B b) A 
C — O pólo contrário elimina a indução residual 
do bastão. 
D — a) y b) x c) x 	d) x 
5.11 (p. 108) 
A — 0,44 A 
B — 271 espiras 
C — 24 mA 
D — 264 espiras 
E — 344,3 mA 
F — 4,32 .10 4 Wb 
G — 5,9.10-4 Wb 
H — 66,6 mA 
I— 35 mA 
J — 	15 espiras 
L — 21,2 mA 
M — 116,4 mA 
N — 4,18A 
O — 74,3 mA 
P — 236,8 N e 473,6 N 
Unidade III 
1.6 (p. 125) 
A— a) 2 V 	b) 0,02 V 
B — 125 mV 
C — Vab=Vbc= 160 mV, Vac = OV, 
Vbd = 320 mV 
D — 55 V 
E — zero 
F — 	10 mA 
G — 0,05 Wb/s 
H — 0,29 A 
I — a) 1,8 V 	b) O V 	c) 1,56 V 
2.13 (p. 154) 
A — a) esquerdo negativo 
b) superior positivo 
B — No terminal esquerdo, corrente para baixo, 
polaridade positiva. 
C — Olhando de frente para o anel, sentido 
anti-horário. 
D — a) para direita 	b) para esquerda 
E — No sentido ABEFA e BEDCB. 
F — No condutor BE. 
G — Para cima no terminal direito. 
H — No setor à frente: sentido horário; no setor 
atrás: anti-horário; a roda raiada irá girar. 
I — para esquerda 
J — para direita 
3.6 (p. 167) 
A — a) São induzidas devido à variação do fluxo 
magnético. 
b) Porque na parte interna elas se cance-
lam mutuamente. 
c) Aquecimento. 
Fundamentos de Eletromagnetismo 237 
d) composição química do núcleo e 
laminarão do núcleo isolando-se as 
chapas 
e) Para evitar que as corrente parasitas se 
somem nas chapas. 
f) freios magnéticos, medidores de kWh, 
simulador de carga 
g) Paralela ao plano do papel. 
h) Não. A bobina com núcleo não lamina-
do absorverá mais corrente, pois irá se 
aquecer mais pelas correntes parasitas. 
4.12 (p. 188) 
A — a) 0,04 N para baixo, 
b) 0,35 N para dentro da folha 
c) 0,42 N para esquerda e para baixo a 
45° 
d) 0,034 N para direita e para baixo a 45° 
B — 0,45 N 
C — 186 mN 
D — 64,8 N 
E — 0,00005 
5.7 (p. 201) 
A — 0,9 
B — 0,98 
C — 0,96 
D — 921 espiras 
E — 222,2 V 
6.12 (p. 215) 
A— 60 mH 
B — 0,24 V 
C— 2H 
D — femi=-100 V, fem2 = -750 V, fem3= 0, 
fern4= 1250 V 
E — fem = -800 V 
F — 257 mH 
G — 0,71 H 
H — 	= 10 mH, L2 = 40 mH, M = 18,6 mH 
I — 	fem = -28 V 
J — 1470 espiras 
238 Editora Ao Livro Técnico 
REFERÊNCIAS 
PLONUS, Martin A. Applied electromagnetics. New York: Mc Graw-Hill, 1978. 615p. 
HAYT JUNIOR, William Hart. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, 1985. 403p. 
QUEVEDO, Carlos Peres. Eletromagnetismo. São Paulo: Mc Graw-Hill do Brasil, 1977. 
335p. 
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. São Paulo: Mc Graw-Hill, 1980. 232p. 
MORETTO, Vasco Pedro. Física em módulos de ensino:eletricidade. São Paulo: Ática, 
1978. 463p. 
KITTEL, Charles et al. Curso de Física de Berkeley. São Paulo: E. Blücher, 1973. 2V. 
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feiradeciencias.com.br 
educar.sc.usp.br 
saladefisica.com.br 
Fundamentos de Eletromagnetismo 239 
	Classificação dos materiais quanto à permeabilidade
	Fenômenos de ferromagnetismo
	Cálculo de circuitos magnéticos
	Lei de Faraday
	Polaridade das tensões induzidas