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Aula 03
Estatística p/ AFRFB - 2016 (com videoaulas)
Professor: Jeronymo Marcondes
05949764803 - NECILDA LOURENCO PAULA
Estatística p/AFRFB 2016 
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AULA 03 – Probabilidade 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Conceitos Básicos 2 
Diagrama de Venn e Propriedades 5 
Probabilidade Condicional 16 
Teorema de Bayes 21 
Lista de Exercícios resolvidos em aula 93 
Gabarito 121 
 
 
Bem vindos de volta! Vamos continuar nossa jornada no mundo “maravilhoso” da 
Estatística. Firmes no propósito, pois em breve você estará na Receita. 
 
Na aula de hoje iremos estudar Probabilidade e algumas de suas propriedades, tal 
como o Teorema de Bayes. Mas, antes, uma dica de concurseiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos nessa! 
 
 
 
 
 
Dica de um concurseiro 
 
No mundo dos concursos é muito comum aquela velha 
expressão: “faz a prova, vai que você dá sorte”. Pessoalmente, 
não acredito nisso. Os concursos estão cada vez mais 
concorridos e com pessoas focadas em editais específicos. 
Não há mais como conseguir passar sem dedicação e muito 
estudo! Fazer uma prova sem estudar e se dedicar é 
enriquecer a banca examinadora. 
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1. Conceitos básicos 
 
Muitas vezes nos deparamos com as seguintes expressões no dia a dia: “a 
probabilidade de cair um piano na sua cabeça é pequena”, “a probabilidade de 
reeleição é grande”, etc. Mas, o que queremos dizer com isso? 
 
Na verdade, isso está muito relacionado com o conceito de “frequência”. Quando se 
afirma que a probabilidade de algo ocorrer é pequena, está sendo dito que, dado um 
determinado conjunto de resultados possíveis, o evento em questão ocorre em 
poucas das realizações deste. 
 
Não entendeu? Vamos a um exemplo. Suponha o lançamento de uma moeda não 
viciada, isso é, que possui uma cara e uma coroa. Qual a probabilidade de ocorrer 
“cara”, por exemplo? 
 
Com efeito, há duas possibilidades de realização deste evento: cara ou coroa, 
entretanto nós só estamos interessados no resultado “cara”, ou seja, em uma destas 
possibilidades. Portanto, a probabilidade de dar “cara” em um lançamento é: 
 鶏岫潔欠堅欠岻 噺 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 ｇ潔欠堅欠ｇ喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 ｇ潔欠堅欠ｇ 剣憲 ｇ潔剣堅剣欠ｇ 噺 層匝 
 
-Professor, então, ao lançar uma moeda não viciada, na metade dos 
lançamentos eu obterei “cara”? 
 
Não é bem assim! Veja, antes de lançar a moeda, a probabilidade de dar “cara” é de オ, porém pode ser que isso não ocorra. Suponha a realização de três lançamentos 
seguidos, pode ser que o resultado seja: 
 
 
 
 
 
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 なえ 噺 潔剣堅剣欠 にえ 噺 潔剣堅剣欠 ぬえ 噺 潔欠堅欠 
 
Isso quer dizer que a moeda é viciada? Pode ser, mas só com esse resultado não há 
como saber, pois este resultado é possível em uma moeda não viciada. A partir deste 
resultado você poderia inferir erroneamente inferir que a probabilidade de dar “cara” 
não é de ½, mas de: 
 鶏岫潔欠堅欠岻 噺 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 ｇ潔欠堅欠ｇ喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 ｇ潔欠堅欠ｇ 剣憲 ｇ潔剣堅剣欠ｇ 噺 層惣 
 
Se você pensou assim, pense de novo! A forma correta 
de definir a probabilidade de ocorrência de um evento é encontrar qual a 
frequência de sua ocorrência com relação a todas as outras ocorrências 
possíveis quando o número de experimentos tende ao infinito. No nosso caso: 
 鶏岫潔欠堅欠岻津蝦著 噺 喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 ｇ潔欠堅欠ｇ喧剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 穴結 穴欠堅 ｇ潔欠堅欠ｇ 剣憲 ｇ潔剣堅剣欠ｇ 噺 層匝 
 
Sendo 券 o número de vezes que você realiza o experimento e a expressão 蝦 タ 
significando que o mesmo tende para o infinito. 
 
Portanto, se você realizar um experimento infinitas vezes, sendo o nosso experimento 
o lançamento da moeda, a probabilidade de ocorrência de um determinado evento 
(no caso exemplo, dar “cara”) será dada pela relação à priori entre a quantidade de 
vezes em que é possível sua ocorrência dividida pela quantidade de vezes que todos 
os outros eventos são possíveis (no caso, quantas “caras” e “coroas” existem em uma 
moeda). Aí sim, se você jogar a moeda infinitas vezes, metade das vezes a face 
“cara” será o resultado. 
 
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Nós podemos aprofundar este conceito de forma mais 
teórica, de forma a facilitar o entendimento. Se você lançar a moeda uma vez, quais 
são todos os resultados possíveis? 
 も 噺 岫系欠堅欠岻┹ 岫系剣堅剣欠岻 
 
E se você lançar duas vezes? 
 も 噺 岫系欠堅欠┸ 系剣堅剣欠岻┹ 岫系剣堅剣欠┸ 系欠堅欠岻┹ 岫系欠堅欠┸ 系欠堅欠岻┹ 岫系剣堅剣欠┸ 系剣堅剣欠岻 
 
Este conjunto formado por todas as realizações possíveis (que, no caso, chamamos 
de も) chama-se espaço amostral. 
 
Com base neste espaço amostral podemos atribuir uma probabilidade para um 
determinado evento, sendo este dado por um subconjunto de 岫も岻. 
 
Por exemplo, no caso de um lançamento único da moeda, qual a probabilidade de 
dar “cara”? Nós já vimos esta resposta e sabemos que se trata da probabilidade de 
ocorrência do subconjunto dado por 岫潔欠堅欠岻 do espaço amostral 岫潔欠堅欠┸ 潔剣堅剣欠岻. 
 
Belezinha? Mas, e a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara em dois 
lançamentos? Bom, olhando nosso espaço amostral definido acima para este caso 
mostra que isso ocorre em 3 dos 4 lançamentos possíveis. 
 
Neste caso, cada um daqueles parênteses tem 岾怠替 噺 ど┸にの 噺 にのガ峇 de chance de 
ocorrer. Mas, nossa pergunta abrange 3 (três) daqueles casos, isso é, três daquelas 
realizações atendem ao nosso requisito. Portanto, a probabilidade de ocorrência do 
subconjunto do espaço amostral composto pelos resultados nos quais ocorrem pelo 
menos uma cara é de: 
 
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 鶏岫な 潔欠堅欠 欠剣 兼結券剣嫌岻 噺 なね 髪 なね 髪 なね 噺 惣想 
 
Assim, teoricamente, para um determinado evento A qualquer, sua 
probabilidade de ocorrência é de: 
 皿岫冊岻 噺 晒四珊仔嗣餐纂珊纂蚕 纂蚕 士蚕子蚕史 刺四蚕 伺算伺司司蚕 冊晒四珊仔嗣餐纂珊纂蚕 纂蚕 蚕残蚕仕蚕仔嗣伺史 仔伺 蚕史使珊ç伺 珊仕伺史嗣司珊残 
 
Maravilha? Vá comer um chocolate e relaxar um pouco, mas volte logo em 
seguida! 
 
 
2. Diagrama de Venn e propriedades 
 
Gente, a primeira coisa e mais óbvia é que toda probabilidade se situa entre 0 e 1. 
Não há como um evento ocorrer mais de 100% das vezes ou menos de 0% das vezes. 
Essa é a própria ideia da frequência relativa que já estudamos! Portanto, dado 
qualquer evento “A”: 
 ど 判 鶏岫畦岻 判 な 
 
Assim, a ideia de probabilidade se aproxima muito do conceito de frequência relativa, 
haja vista estarmos considerando que o experimento poderia ser realizado várias 
vezes e que o resultado sempre seria o mesmo. Isso é chamado de “Abordagem 
Frequentista da Probabilidade”. 
 
Uma forma interessante de vocês visualizarem probabilidades é pelo diagrama de 
Venn: 
 
 
 
 
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Alexandre
Highlight
Alexandre
Highlight
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Squiggly
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Arrow
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Corresponde ao valor que é observado na população (frequência absoluta) / nº de elementos da população.
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Olhem pessoal, aquele círculo no meio representa o evento A no espaço amostral 
representado pela “caixa U”. Perceba que o círculo não ocupa mais do que a caixa 
toda nem menos do 0% da caixa, isso é, a probabilidade de ocorrência de “A” está 
entre 0 e 1. 
 
Obs. Muitas vezes você irá me ver referir a probabilidades como números entre 0 e 
1 ou 0% e 100%. Não é loucura do teacher! Toda probabilidade, com o intuito de 
facilitar a visualização, pode ser multiplicada por 100 de forma que obtenhamos o 
resultado em percentual. Por exemplo, uma probabilidade de 0,5 é equivalente à 50%. 
 
Retornando! 
 
Então, outros dois casos interessantes, mas diametralmente opostos, são os casos 
de eventos certos e eventos impossíveis. 
 
Evento certo é aquele que coincide com o espaço amostral! Por exemplo, no nosso 
caso de “cara” e “coroa”, um evento certo seria aquele composto por todos os 
resultados nos quais ocorrem, ao menos, uma cara ou uma coroa. Ou seja, todo o 
espaço amostral! 
 
 
 
 
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Evento impossível é o caso oposto! Este evento seria composto por elementos não 
constantes no espaço amostral, por exemplo, o caso de um lançamento em que não 
ocorresse nem cara nem coroa! 
 
Outro conceito importante é o de “complementar”. Dada uma probabilidade de um 
evento “A” qualquer, a probabilidade de seu complementar 岫畦頂岻 é dada por: 
 鶏岫畦頂岻 噺 な 伐 鶏岫畦岻 
 
Entendeu? O complementar da probabilidade de ocorrência de um evento é a 
probabilidade de sua não ocorrência! Para ficar bem legal e fácil, olhe o 
Diagrama de Venn abaixo: 
 
 
Dado um evento “A” qualquer, representado pelo círculo acima, o seu complementar 
é toda a parte vermelha da figura! 
 
Simples! Mas, agora que complica. Vamos a um exemplo para facilitar! 
 
Suponha dois grupos de pessoas concurseiras dentro de uma amostra com bacharéis 
em Engenharia, Direito e Economia, sendo que algumas passaram e que outras não 
passaram em concurso público. Podemos expressar os resultados da seguinte forma: 
 
 
 
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 Passou Não Passou Total 
Engenharia 20 10 30 
Direito 40 70 110 
Economia 30 60 90 
Total 90 140 230 
 
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso a partir desta amostra ter 
sido estudante de Economia? 
 
Isso não tem segredo! O total de estudantes, ou seja, nosso espaço amostral é 
composto por 230 pessoas, sabendo-se que, desse total, 90 são economistas, temos 
que: 
 鶏岫結潔剣券剣兼件嫌建欠岻 噺 ひどにぬど 簡 ど┸ぬひに 
 
Mas, e se eu te perguntar qual a probabilidade da pessoa ser formada em Economia 
e ter passado em concurso? Neste caso, estamos falando de intersecção destes dois 
subconjuntos. Em termos de Diagrama de Venn: 
 
 
 
Viram do que estamos falando? Trata-se de um evento que necessita que as duas 
condições sejam verdade (ser economista e ter passado em concurso), refere-se à 
intersecção entre os dois subconjuntos (parte vermelha). 
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Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada 
para identificar a intersecção entre dois subconjuntos é “堪”. No nosso caso, se 
chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em 
concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a intersecção entre os 
mesmos como 冊 堪 刷. 
 
-“E de quanto é essa probabilidade, professor”? 
 
Ora: 冊 堪 刷 噺 蚕算伺仔伺仕餐史嗣珊史 刺四蚕 使珊史史珊司珊仕嗣伺嗣珊残 纂珊 珊仕伺史嗣司珊 噺 惣宋匝惣宋 簡 宋┸ 層惣 
 
E se eu te perguntar qual a probabilidade de encontrarmos economistas ou pessoas 
que passaram? 
 
Agora a coisa é diferente! Veja no diagrama para entender bem: 
 
Veja como aumentou a parte vermelha! Se uma ou outra condição for verdadeira, 
devemos computá-la! Chamamos a isso de “reunião” entre dois subconjuntos. 
 
 
 
 
 
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Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada 
para identificar a reunião entre dois subconjuntos é “姦”. No nosso caso, se 
chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em 
concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a reunião entre os 
mesmos como 冊 姦 刷. 
 
Como você encontraria tal probabilidade? 
 
-“Ora professor, faria como você fez anteriormente, somando as 
probabilidades”: 
 鶏岫結潔剣券剣兼件嫌建欠 剣憲 喧欠嫌嫌剣憲岻 噺 ひどにぬど 髪 ひどにぬど 噺 なぱどにぬど 簡 ど┸ばぱぬ 
 
Então, meu amigo, tem um erro aí! 
 
Você percebeu que você está contando o economista que passou duas vezes? Por 
exemplo, dos 90 que passaram, 30 já são economistas, podendo ser feito o mesmo 
raciocínio inverso. Em termos de Diagrama de Venn, seria o mesmo que somar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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+ 
 
 
Neste caso, você estará contando duas vezes aquela “partezinha” que é a intersecção 
entre ambos: 
 
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Assim, o certo seria: 
 鶏岫結潔剣券剣兼件嫌建欠 剣憲 喧欠嫌嫌剣憲岻 噺 ひどにぬど 髪 ひどにぬど 伐 ぬどにぬど 噺 なのどにぬど 簡 ど┸はのに 
 
Genericamente, para dois eventos A e B quaisquer, 
podemos afirmar que: 
 皿岫冊 姦 刷岻 噺 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 伐 皿岫冊 堪 刷岻 
 
 
Mas, cuidado com o caso especial dos eventos disjuntos ou mutuamente 
exclusivos! 
 
A fim de exemplificar este conceito, imagine o lançamento de um dado honesto de 
forma que nosso espaço amostral seja dado por: 
 岶な┹ に┹ ぬ┹ ね┹ の┹ は岼 
 
Assim, somente uma destas realizações é possível, ou seja, o resultado só pode ser 
uma das faces do dado. 
 
Qual é a probabilidade de o resultado do lançamento gerar os números 4 ou 5? 
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Ora: 
 鶏岫ね 姦 の岻 噺 鶏岫ね岻 髪 鶏岫の岻 伐 鶏岫ね 堪 の岻 
 
Vamos começar com o mais fácil, qual é a probabilidade de cair qualquer das faces 
de um dado? O dado tem 6 faces no total, de forma que a probabilidade de que 
qualquer delas seja o resultado é de: 
 鶏岫な岻 噺 鶏岫に岻 噺 鶏岫ぬ岻 噺 鶏岫ね岻 噺 鶏岫の岻 噺 鶏岫は岻 噺 なは 
 
Assim: 
 鶏岫ね 姦 の岻 噺 なは 髪 なは 伐 鶏岫ね 堪 の岻 
 
E o último componente que se refere à intersecção entre os dois eventos? Qual é a 
probabilidade de ocorrer como resultado do experimento uma face do dado com 
número 4 e 5? É claro que é zero! Veja como seria a representação no Diagrama de 
Venn: 
 
 
 
 
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Estes eventos não tem intersecção! Ou seja, quando um ocorreo outro não pode 
ocorrer! Assim, neste caso, aquele último componente de nossa fórmula será igual à 
zero, de forma que: 
 
 鶏岫ね 姦 の岻 噺 なは 髪 なは 噺 には 噺 層惣 
 
Entendeu? Então, vamos adiante! Mas, antes, vamos tratar de um tópico bem 
especifico. 
 
Obs. Propriedades 
 
Pessoal, este tópico é muito pouco cobrado em concursos públicos, porém é 
importante passarmos por ele, afinal não se sabe o que será pedido! 
 
Uma forma de ajudar a decorar tais propriedades é pensando que quando você tira o 
complemento de 堪 ou 姦, o resultado é inverter a “barriguinha” da operação. Assim, 
em termos nem um pouco formais, você deve pensar que: 
 岫堪岻頂 噺姦 岫姦岻頂 噺堪 
 
Assim, para três conjuntos quaisquer chamados de “A”, “B” e “C”, destacam-se as 
seguintes propriedades: 
 層岻 岫冊 堪 刷岻算 噺 冊算 姦 刷算 匝岻 岫冊 姦 刷岻算 噺 冊算 堪 刷算 
 
Beleza? Esta é a menos intuitiva das propriedades, assim, decore! Agora, as outras 
são bem mais fáceis de serem entendidas, tais como: 
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 惣岻 冊 堪 叶 噺 叶 
 
Sendo (叶) um conjunto vazio, ou seja, sem nenhum elemento. Isso faz todo o sentido, 
dado que a intersecção de um conjunto “A” qualquer com outro conjunto vazio não 
pode conter nenhum elemento. 
 想岻 冊 堪 漸 噺 寓 
 
Sendo (漸) representativo do espaço amostral. A intersecção de um conjunto “A” 
qualquer com o espaço amostral é o próprio conjunto “A”. 
 
Com base nestes dois últimos, fica fácil visualizar que: 
 捜岻 冊 姦 叶 噺 冊 掃岻 冊 姦 漸 噺 漸 
 
Outras propriedades intuitivas relacionam um determinado conjunto com seu 
complementar, assim, sabendo-se que 鶏岫畦岻 髪 鶏岫畦頂岻 噺 な, tem-se que: 
 挿岻 冊 姦 冊算 噺 漸 掻岻 冊 堪 冊算 噺 叶 
 
Para finalizar, devemos tratar de uma propriedade que relaciona intersecções e 
reuniões entre conjuntos: 
 操岻 冊 堪 岫刷 姦 察岻 噺 岫冊 堪 刷岻 姦 岫冊 堪 察岻 
 
Com base nestes três conjuntos, pode-se desenhar o seguinte Diagrama de Venn: 
 
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“Esta propriedade está dizendo que a intersecção de um conjunto com uma 
reunião de outros dois é equivalente à reunião da intersecção deste conjunto 
com estes outros dois”. Isso não está a coisa mais bem escrita do mundo, mas, 
lendo o texto e olhando o gráfico, vocês conseguirão entender o conceito. 
 
3. Probabilidade Condicional 
 
Voltemos a nosso exemplo da pesquisa sobre qual a formação superior que mais 
aprova em concurso público. Só relembrando a tabela: 
 
 Passou Não Passou Total 
Engenharia 20 10 30 
Direito 40 70 110 
Economia 30 60 90 
Total 90 140 230 
 
Anteriormente, havíamos realizado o cálculo para a probabilidade de que alguém na 
nossa amostra fosse economista, o que não apresentou maiores dificuldades. 
 
 
 
 
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E se tivéssemos a informação a priori de que os economistas em questão se 
restringiriam àqueles que já passaram em concurso público? Ou seja, qual a 
probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser economista, dado que o 
mesmo passou em concurso público? 
 
Você entende o que estou falando? A forma de avaliação não é a mesma, pois, neste 
caso, temos mais informações do que tínhamos anteriormente e, portanto, devemos 
nos utilizar dela! Essa é a ideia de probabilidade condicional! A forma usual de 
representarmos uma probabilidade condicional de um evento qualquer “A”, dado outro 
evento qualquer “B” é: 
 鶏岫畦】稽岻 
 
E como poderíamos incorporar esta informação, ou seja, de que forma este cálculo 
pode ser realizado? Vamos pensar intuitivamente para podermos chegar à fórmula! 
 
Veja o Diagrama de Venn abaixo: 
 
 
 
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Eu te pergunto, dado que ocorreu “B”, qual parte da figura representa a porção de “A” 
que pode ocorrer? Exatamente, a intersecção entre os dois conjuntos! Esta parte 
laranja representa a parcela do evento “A” que é compatível com a informação a priori. 
 
 
Mas, você já sabe que probabilidades são calculadas com base na divisão da 
quantidade de elementos “favoráveis” pelo espaço amostral! Qual é o espaço 
amostral no nosso exemplo? O tamanho de “B”! 
 
Agora fica fácil: 
 皿岫冊】刷岻 噺 皿岫冊 堪 刷岻皿岫刷岻 
 
Esta fórmula é muito importante, assim vocês devem decorá-la, mas não deixem de 
entender de onde ela vem, ok? Nesse caso, 鶏岫畦岻 é a probabilidade a priori de “A”, o 
que pode ser “atualizado” com as novas informações de “B”, permitindo a obtenção 
da probabilidade a posteriori, 鶏岫畦】稽岻. 
 
“Beleza professor, mas me dê um exemplo, está tudo muito teórico”! 
 
Claro, é pra já! Retornando ao exemplo do nosso quadro acima, eu quero saber: 
 皿岫蚕算伺仔伺仕餐史嗣珊】使珊史史伺四岻 噺 ╂ 
 
Ou seja, eu quero saber qual a probabilidade de um indivíduo ser economista, 
dado que ele passou. Vamos aplicar a fórmula? O numerador nós já temos 
calculado: 
 畦 堪 稽 噺 結潔剣券剣兼件嫌建欠嫌 圏憲結 喧欠嫌嫌欠堅欠兼建剣建欠健 穴欠 欠兼剣嫌建堅欠 噺 ぬどにぬど 簡 ど┸なぬ 
 
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Ótimo! E o denominador? Trata-se da probabilidade de encontrar alguém que passou, 
o que não é difícil: 
 鶏岫喧欠嫌嫌剣憲岻 噺 ひどにぬど 簡 ど┸ぬひに 
 
 
Pronto: 
 
皿岫蚕算伺仔伺仕餐史嗣珊】使珊史史伺四岻 噺 岾 ぬどにぬど峇岾 ひどにぬど峇 簡 宋┸ 惣惣想 
 
Viram? A probabilidade de encontrar um economista que passou é menor do 
que encontrar um economista dado que estamos tratando só com os que 
passaram. A informação adicional nos ajudou a ter uma previsão com mais acurácia! 
 
Retornando à parte mais teórica, algo muito importante em termos de prova é o 
conceito de independência estatística! 
 
-“O que é isso, professor”? 
 
Dois eventos são ditos independentes se: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦岻 
 
Isso não te lembra nada? Boa! O lançamento da moeda! 
 
Imagine que foram feitos dois lançamentos, qual a probabilidade de “cara” no próximo 
lançamento dado que “coroa” ocorreu no primeiro? Ora, a probabilidade de ocorrência 
de “cara” continua igual à ど┸の, pois o resultado do primeiro lançamento não afeta o 
segundo. Assim: 
 鶏岫潔欠堅欠 券剣 にえ】潔剣堅剣欠 券剣 なえ岻 噺 鶏岫潔欠堅欠岻 噺 ど┸の 
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Este é um exemplo de eventos independentes! A definição de eventos 
independentes perpassa pela necessidade de que a ocorrência de um não afete a 
probabilidade de ocorrência do outro. No caso de eventos independentes, podemos 
reescrever nossa fórmula da seguinte maneira: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 蝦 皿岫冊岻 糾 皿岫刷岻 噺 皿岫冊 堪 刷岻 
 
Quer mais um exemplo? 
 
Suponha que você esteja desmanchando sua árvore de natal e que a mesma só 
possua bolas vermelha e prata. Sabendo-se que há 10 bolas vermelhas e 10 
prateadas, se você fechar os olhos e tirar uma bola, qual a probabilidade de que a 
mesma seja vermelha? 
 
Bom, isso é fácil, há 20 bolas no total, sendo que 10 são vermelhas, assim: 
 鶏岫懸結堅兼結健月欠岻 噺 などにど 噺 ど┸の 
 
Suponha quevocê tirou uma bola vermelha! Agora, você decide tirar outra bola com 
os olhos vendados, repondo a que você já tirou. Qual a probabilidade de que a mesma 
seja vermelha? 
 
Ora, o evento relacionado à retirada da segunda bola independe do que houve da 
primeira vez, pois a bola foi reposta na árvore! Assim, fica fácil ver que: 
 鶏岫懸結堅兼結健月欠 にぇ】懸結堅兼結健月欠 なぇ岻 噺 鶏岫懸結堅兼結健月欠岻 噺 ど┸の 
 
Entendeu? Este é um caso de eventos independentes! 
 
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4. Teorema de Bayes 
 
À primeira vista você vai pensar que o Teorema de Byes não tem nada demais, pois 
ele é tão somente uma decorrência do que estudamos na seção anterior. Porém, 
preciso detalhá-lo para você, pois ele cai muito. 
 
Então, a maior parte dos exercícios de concurso você não vai precisar da 
fórmula por si só, porém, se estudarmos este tópico de uma maneira um pouco 
mais aprofundada, você saberá responder os exercícios de forma mas rápida! 
 
Uma coisinha básica que eu quero que vocês entendam, suponha dois eventos 
quaisquer “A” e “B” e aplique aquela “formulazinha” de probabilidade condicional que 
já estudamos de forma a encontrar a probabilidade de “A” dado “B” e a probabilidade 
de “B” dado “A”. Você vai chegar nisso: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫畦岻 
 
O que estas duas fórmulas têm em comum? Exatamente, o termo 皿岫冊 堪 刷岻! 
 
Suponha que você queira calcular 鶏岫畦】稽岻, então faça assim, substitua 鶏岫畦 堪 稽岻 de 
forma que: 
 
 鶏岫稽】畦岻 糾 鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻 
 
O que levará à: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫稽】畦岻 糾 鶏岫畦岻鶏岫稽岻 
 
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Entretanto, não conhecemos o denominador (essa é a premissa). Assim, queremos 
saber a probabilidade condicional de 畦 dado 稽, mas suponha que o resultado 畦 não 
é o único possível, sendo que poderia ter ocorrido 系, com 鶏岫系岻 塙 ど. 
 
Por exemplo, suponha que você tenha as probabilidades de um time de futebol 
ganhar se um determinado jogador jogar ou não. E se você quiser saber a 
probabilidade de o jogador ter jogado, dado que o time ganhou? Para isso o Teorema 
de Bayes é perfeito! Veja: 
 鶏岫稽岻 噺 喧堅剣決欠決件健件穴欠穴結 穴剣 建件兼結 訣欠券月欠堅 鶏岫畦岻 噺 喧堅剣決欠決件健件穴欠穴結 穴剣 倹剣訣欠穴剣堅 倹剣訣欠堅 鶏岫系岻 噺 喧堅剣決欠決件健件穴欠穴結 穴剣 倹剣訣欠穴剣堅 券ã剣 倹剣訣欠堅 
Assim, o Teorema de Bayes garante que: 
 皿岫冊】刷岻 噺 皿岫刷】冊岻 糾 皿岫冊岻皿岫刷】冊岻 糾 皿岫冊岻 髪 皿岫刷】察岻 糾 皿岫察岻 
 
-“Professor, este é o famoso e temível Teorema de Bayes”? 
 
É isso aí! A ideia deste teorema é que, a partir de informações das probabilidades a 
priori de “A” e de “B” e da probabilidade condicional de “B” dado “A” podemos obter a 
relação desejada. Perceba que o numerador é 皿岫冊 堪 刷岻, enquanto que o 
denominador é a própria probabilidade de o time ganhar! Este teorema é muito 
usado em exercícios que não fornecem 皿岫刷岻 diretamente, mas pela sua relação 
com demais eventos, no exemplo, o jogador jogar ou não. Muitos exercícios 
costumam dar estas informações para que você calcule a probabilidade condicional. 
Isso chove em concurso público. Mas, dá para resolver sem a fórmula, basta pensar 
um pouquinho, ok? Não tem nada demais mesmo, você só tem que entender o 
mecanismo de funcionamento do mesmo para responder alguns exercícios, tal como 
este: 
 
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Exercício 1 
 
(Analista Judiciário – FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e 
B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois 
jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a 
probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que 
assina B são dados respectivamente por: 
a) 180 e 160/266 
b) 250 e 35/75 
c) 266 e 7/13 
d) 266 e 35/76 
e) 266 e 35/266 
 
Resolução 
 
Vamos lá pessoal! A ideia básica deste tipo de exercício é utilizar o Diagrama de Venn 
para podermos encontrar algum valor faltante, tal como n. Conselho, comece 
preenchendo a intersecção! Veja: 
 
 
O raciocínio é assim: 
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1) Se 160 assinam o jornal A e 35 assinam os dois, 125 pessoas assinam só A. 
2) 155 pessoas assinam só 1 jornal, como há 125 pessoas que assinam só A, 30 
pessoas assinam só B 
3) Como 201 pessoas não assinam B e 125 pessoas assinam só A, 76 pessoas 
não assinam nenhum. 
 
Portanto, o total de famílias é: 
 券 噺 なにの 髪 ぬの 髪 ぬど 髪 ばは 噺 匝掃掃 
 
Isso não resolveu seu problema, pois há mais três alternativas com esta 
possibilidade. 
 
O que eles querem saber é: qual a probabilidade de assinar A dado que assina B. 
Isso foi só para te confundir. Uma maneira mais direta de perguntar a mesma coisa 
é: qual a probabilidade assinar os dois jornais, dado que assina B! 
 
Assim: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 
 
Você já tem ambas as definições a partir do diagrama de Venn, basta substituir: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 噺 ぬの岫ぬの 髪 ぬど岻 噺 ぬどはの 噺 挿層惣 
 
Alternativa (c). 
Boa pessoal! Vamos praticar, porque essa é a maneira mais 
fácil de aprender sobre probabilidades! 
 
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Exercício 2 
 
(IRB – ESAF/2005) Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer 
nesta idade e qy a probabilidade de uma pessoa de idade “y” falecer nesta idade 
e px = (1 - qx) e py = (1 – qy), pode-se afirmar que o resultado da equação (1 – 
px*py) indica a: 
 
a) Probabilidade de ambos estarem vivos 
b) Probabilidade de pelo menos um vivo 
c) Probabilidade de pelo menos um morto 
d) Probabilidade de ambos mortos 
e) Probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” morto 
 
Resolução 
 
Questão interessante e puramente conceitual. 
 
Primeira coisa que você tem de perceber é que ambas as probabilidades são 
mutuamente exclusivas, pois não há como uma pessoa ter idade “x” e “y” ao mesmo 
tempo! Neste caso, nós já sabemos que: 
 鶏岫捲 結 検岻 噺 鶏岫捲岻 抜 鶏岫検岻 
 
Esta é a probabilidade de que ambas as pessoas estejam vivas! 
 
-“Por que, professor”? 
 
Ora, qx (qy) não é a probabilidade de que uma pessoa de idade “x” (“y”) morra? Então, 
px = 1 – qx (py = 1 – qy) é a probabilidade de que uma pessoa de idade “x” (“y”) não 
morra! 
 
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Neste caso, 1 – px*py é o complemento da probabilidade de ambas as pessoas 
estarem vivas. Qual é este complemento? 
 
 
 
Ora, trata-se da probabilidade de, pelo menos, uma das pessoas estar morta! 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 3 
 
(ICMS\SP – FCC\2009) Considere que numa cidade 40% da população adulta é 
fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não 
fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao 
acaso na cidadeser mulher? 
a) 44% 
b) 52% 
c) 50% 
d) 48% 
e) 56% 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Esta questão é mais facilmente resolvida só com raciocínio! O que você tem de fazer 
é encontrar o quanto as mulheres representam da população total. A população se 
divide da seguinte forma: 
 
 
É assim: 
 
1) 40% da população adulta é fumante e deste valor 40% são mulheres. Portanto, ど┸ね 抜 ど┸ね 噺 ど┸なは 噺 なはガ da população adulta total são mulheres que fumam. 
2) 60% da população adulta não fuma e 60% das pessoas que não fumam são 
mulheres, assim ど┸は 抜 ど┸は 噺 ど┸ぬは 噺 ぬはガ da população adulta que não fuma 
são mulheres. 
 
Estes são eventos mutuamente exclusivos, assim a soma das mulheres que fumam 
mais as que não fumam é o total da população feminina. Portanto: 
 鶏剣喧 血結兼件券件券欠 噺 なはガ 髪 ぬはガ 噺 のにガ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
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Exercício 4 
 
(Petrobrás – CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo representa o peso de um 
grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
Classes (em kgf) Frequências 
40掬50 2 
50掬60 5 
60掬70 7 
70掬80 8 
80掬90 3 
 
Uma pessoa de mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de que 
o peso desta pessoa esteja entre 60 e 80 kgf é de, aproximadamente: 
 
a) 65% 
b) 63% 
c) 60% 
d) 58% 
e) 55% 
 
Resolução 
 
Perceba que a questão já afirma que estamos tratando de pessoas com mais de 50 
kgf, portanto, em termos de frequência relativa: 
 
Classes (em kgf) Frequências Relativa 
50掬60 5 0,217391 
60掬70 7 0,304348 
70掬80 8 0,347826 
80掬90 3 0,130435 
Total 23 1 
 
A probabilidade de estar no intervalo desejado é de ど┸ぬどねぬ 髪 ど┸ぬねばぱ 簡 ど┸はの 噺 掃捜ガ 
 
Alternativa (a). 
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(Petrobrás – CESGRANRIO/2005) Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a 
probabilidade de um homem ser míope é de 0,05 e de uma mulher é de 0,1. Com 
base nestas informações responda às seguintes perguntas. 
 
Exercício 5 
 
Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser míope? 
 
a) 0,05 
b) 0,06 
c) 0,07 
d) 0,08 
e) 0,09 
 
Resolução 
 
Esta questão é muito fácil! Basta encontrarmos o total de pessoas míopes na 
população e dividir este número pelo total da população de forma a que encontremos 
os elementos da fórmula: 
 鶏岫畦 噺 兼í剣喧結岻 噺 芸憲欠券建件穴欠穴結 穴結 懸結権結嫌 圏憲結 剣潔剣堅堅結 畦芸憲欠券建件穴欠穴結 穴結 結健結兼結券建剣嫌 券剣 結嫌喧欠ç剣 欠兼剣嫌建堅欠健 
 
 
Temos 40 homens e 0,05 = 5% deles são míopes, assim: 
 ねど 糾 ど┸どの 噺 匝 
 
Existem dois homens míopes! E mulheres? Existem 60 mulheres e 10% delas são 
míopes, portanto: 
 はど 糾 ど┸な 噺 掃 
 
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Portanto, há 岫は 髪 に 噺 ぱ岻 míopes na população. Assim, a probabilidade de encontrar 
um míope é de: 
 鶏岫兼í剣喧結岻 噺 ぱなどど 噺 宋┸ 宋掻 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
Exercício 6 
 
Selecionando um míope ao acaso, qual a probabilidade de o mesmo ser homem. 
 
a) 0,25 
b) 0,27 
c) 0,30 
d) 0,33 
e) 0,40 
 
Resolução 
 
Olha o Teorema de Bayes aí gente! O que ele está te perguntando é: qual a 
probabilidade de alguém escolhido ao acaso ser homem dado que o mesmo é míope. 
Com base em nossa fórmula: 
 鶏岫月剣兼結兼】兼í剣喧結岻 噺 鶏岫月剣兼結兼 堪 兼í剣喧結岻鶏岫兼í剣喧結岻 
 
O numerador deriva do que já encontramos, no caso sabemos que há dois homens 
míopes, portanto, a probabilidade de alguém ser homem e míope é de: 
鶏岫月剣兼結兼 堪 兼í剣喧結岻 噺 になどど 噺 ど┸どに 
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Agora, a probabilidade de ser míope independentemente do sexo, com base no que 
encontramos no exercício anterior é de: 
 
鶏岫兼í剣喧結岻 噺 ぱなどど 噺 ど┸どぱ 
 
Substituindo na fórmula: 
 
鶏岫月剣兼結兼】兼í剣喧結岻 噺 鶏岫月剣兼結兼 堪 兼í剣喧結岻鶏岫兼í剣喧結岻 噺 ど┸どにど┸どぱ 噺 宋┸ 匝捜 
 
Alternativa (a). 
 
Exercício 7 
 
(Auditor da Previdência – ESAF/2002) Suponha que a probabilidade de um 
evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C 
ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência 
de D e C. 
 
a) 0,5 
b) 0,08 
c) 0 
d) 1 
e) 0,6 
 
Resolução 
 
Essa questão é só aplicar a fórmula: 
 
 鶏岫経】系岻 噺 鶏岫経 堪 系岻鶏岫系岻 蝦 ど┸に 噺 鶏岫経 堪 系岻ど┸ね 蝦 皿岫拶 堪 察岻 噺 宋┸ 宋掻 
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Alternativa (b). 
 
Exercício 8 
 
(Auditor da Previdência – ESAF/2002) Considere um ensaio aleatório com 
espaço amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M = {T}, N={U,V} e S={W}. 
Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de 捌 堪 錆 堪 傘. 
 
a) Não se pode determinar a probabilidade de intersecção. 
b) É o produto das probabilidades de M, N e S. 
c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três deve ocorrer. 
d) A probabilidade de intersecção é de 1/3. 
e) A probabilidade de intersecção é nula, pois os eventos são mutuamente 
exclusivos. 
 
Resolução 
 
Pessoal, a forma mais fácil de visualizar a solução é com base no Diagrama de Venn: 
 
 
 
Ficou fácil enxergar, não? Não há intersecção entre os conjuntos, os eventos são 
mutuamente exclusivos. 
 
Alternativa (e). 
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Exercício 9 
 
(BACEN – FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores 
(A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa 
apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do 
setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia 
existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo 
aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se que 
ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 75% 
e) 80% 
 
Resolução 
 
Isso é um caso típico de probabilidade condicional. Voltemos novamente ao Teorema 
de Bayes: 
 鶏岫畦】券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻鶏岫券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 
 
Vamos começar a calcular! O exercício nos deu as probabilidades de que as 
empresas tenham lucro, assim a probabilidade de que elas não tenham é o 
complementar destas últimas: 
 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 な 伐 ど┸ば 噺 ど┸ぬ 鶏岫稽 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 な 伐 ど┸ぱ 噺 ど┸に 鶏岫系 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 な 伐 ど┸ひ 噺 ど┸な 
 
Agora vamos encontrar a quantas empresas este valor corresponde, basta multiplicar 
a probabilidade pela quantidade de empresas: 
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 継兼喧堅結嫌欠嫌 畦 嫌結兼 健憲潔堅剣 噺 ど┸ぬ 糾 ばのど 噺 ににの 継兼喧堅結嫌欠嫌 稽 嫌結兼 健憲潔堅剣 噺 ど┸に 糾 ぬどど 噺 はど 継兼喧堅結嫌欠嫌 系 嫌結兼 健憲潔堅剣 噺 ど┸な 糾 なのど 噺 なの 
 
Agora ficou fácil! No total nós temos (ばのど 髪 なのど 髪 ぬどど 噺 なにどど) empresas. Deste total, 
(ににの 髪 なの 髪 はど 噺 ぬどど). Portanto, a probabilidade de uma empresa não ter lucro é de: 
 鶏岫券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 ぬどどなにどど 
 
No caso, a probabilidade de ser uma empresa A e não ter lucro é de: 
 
 
 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 ににのなにどど 
 
Agora aplique na fórmula: 
 鶏岫畦】券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 鶏岫畦 堪 券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻鶏岫券ã剣 建結懸結 健憲潔堅剣岻 噺 ににの【なにどどぬどど【なにどど 噺 ににのぬどど 噺 ど┸ばの 噺 挿捜ガ 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 10 
 
(CGU – ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: 
 
a) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 
b) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 閥 皿岫刷岻 
c) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 伐 皿岫刷岻 
d) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫刷岻 髪 皿岫刷】冊岻 
e) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫刷岻 
 
Resolução 
 
Questão conceitual. Basta nos lembrar daquele “mantra”, assim para dois eventos “A” 
e “B” quaisquer: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 
 
Se os eventos são independentes a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade 
de A, assim: 
 鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 
 
 
Multiplicando invertido: 
 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦岻 抜 鶏岫稽岻 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
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Exercício 11 
 
(Petrobrás – CESGRANRIO/2011) Dois eventos de um espaço amostral são 
independentes se e somente se: 
a) A informação e que um deles ocorreu não altera a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
b) Um deles ocorrendo, o outro não poderá ocorrer. 
c) São disjuntos, ou seja, a probabilidade de ocorrerem juntos é negativa. 
d) São negativamente correlacionados. 
e) Têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
 
Resolução 
 
Com base no que vimos no exercício acima, sabemos que dois eventos 
independentes têm a característica de que se um deles ocorrer, a probabilidade de 
ocorrência do outro não se altera. 
 
Gabarito (a). 
 
Exercício 12 
 
(Petrobrás – CESGRANRIO/2005) Os eventos A e B são independentes e suas 
probabilidades são P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4. Quanto vale 皿岫冊 姦 刷岻? 
 
a) 0,5 
b) 0,6 
c) 0,7 
d) 0,8 
e) 0,9 
 
Resolução 
 
Esta resolução parte da nossa fórmula para reunião: 
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 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 
 
Como os eventos são independentes: 
 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦岻 糾 鶏岫稽岻 噺 ど┸の 糾 ど┸ね 噺 宋┸ 匝 
 
Assim, vamos substituir na fórmula: 
 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 ど┸の 髪 ど┸ね 伐 ど┸に 噺 宋┸ 挿 
 
Alternativa (c). 
 
 
Exercício 13 
 
(CGU – ESAF/2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de 
transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 
6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para 
constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais 
sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24 
 
Resolução 
 
Agora vamos nos utilizar de análise combinatória! 
 
O que nós temos de fazer é o seguinte, encontrar quantas combinações (pois a ordem 
em que os indivíduos forem escolhidos não importa) de três pessoas são possíveis 
em que o sexo de todas seja igual e dividir o resultado por todas as combinações 
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possíveis! Iremos fazer isso para os dois sexos. No caso dos homens, queremos 
saber quantas combinações de 3 homens são possíveis, dado que há 6 pessoas do 
sexo masculino: 
 系滞┸戴 噺 は┿岫は 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 は 糾 の 糾 ねぬ 糾 に 糾 な 噺 匝宋 
 
Realizando a mesma operação para as mulheres: 
 系替┸戴 噺 ね┿岫ね 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 ねな 噺 想 
 
Ótimo! Agora temos de encontrar todas as combinações possíveis, 
independentemente da disposição do grupo pelo sexo dos indivíduos. Neste caso, 
temos uma combinação de 10 elementos três a três: 
 系怠待┸戴 噺 など┿岫など 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 など 糾 ひ 糾 ぱぬ 糾 に 糾 な 噺 層匝宋 
 
Para encontrarmos a probabilidade do que é pedido na questão precisamos calcular 
o quanto aquelas combinações representam do total: 
 鶏岫兼結嫌兼剣 嫌結捲剣岻 噺 にどなにど 髪 ねなにど 噺 にねなにど 噺 宋┸ 匝 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COMBINAÇÃO: combina elementos de um mesmo conjunto de forma que a ordem não seja importante e que não haja reposição. C n,p= (n!) / (n - p)!*(p!)
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Exercício 14 
 
(ICMS\RJ – FGV\2007) A tabela abaixo representa a distribuição de 1000 
pessoas classificadas por sexo e Estado Civil: 
 
 
Uma pessoa é selecionada ao acaso, a probabilidade de a mesma ser uma 
mulher ou viúva é de: 
 
a) 0,6 
b) 0,2 
c) 0,4 
d) 0,7 
e) 0,5 
 
Resolução 
 
Vamos à nossa fórmula de reunião de probabilidades: 
 鶏岫兼憲健月結堅 姦 懸件ú懸欠岻 噺 鶏岫兼憲健月結堅岻 髪 鶏岫懸件ú懸欠岻 伐 鶏岫兼憲健月結堅 堪 懸件ú懸欠岻 
 
Agora fica bem fácil! Dado que nosso espaço amostra é de 1000 indivíduos e que há 
400 mulheres e 200 viúvos: 
 鶏岫兼憲健月結堅岻 噺 ねどどなどどど 噺 ど┸ね 
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鶏岫懸件ú懸剣岻 噺 にどどなどどど 噺 ど┸に 
 
Agora temos de encontrar a probabilidade de intersecção, com vistas a excluir a dupla 
contagem. No caso, há 100 mulheres e viúvas, o que representa 10% do total. Assim: 
 鶏岫兼憲健月結堅 姦 懸件ú懸欠岻 噺 鶏岫兼憲健月結堅岻 髪 鶏岫懸件ú懸欠岻 伐 鶏岫兼憲健月結堅 堪 懸件ú懸欠岻 噺 ど┸ね 髪 ど┸に 伐 ど┸な 噺 宋┸ 捜 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 15 
 
(ATA\MF – ESAF\2012) Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas 
são retiradas desta caixa, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de 
serem da mesma cor? 
 
a) 55% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 45% 
e) 35% 
 
Resolução 
 
Este tipo de questão sem muitas alternativas de combinações, eu sempre aconselho 
a vocês resolverem com base em raciocínio. Vamos a dois casos possíveis, duas 
bolas brancas ou duas bolas pretas. 
 
1) 2 bolas pretas: na primeira extração haviam 5 bolas na caixa, sendo que destas 
duas eram pretas. Portanto, na 1ª extração a chance era de 2 para 5 de vir 
uma bola preta, enquanto que, na segunda, a chance era de 1 para 4, dado 
que uma bola preta já foi extraída. Portanto: 
 
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鶏岫喧堅結建欠岻 噺 にの 糾 なね 噺 ににど 
 
2) 2 bolas brancas: por raciocínio análogo, pode-se inferir que a chance de extrair 
uma bola brancana primeira vez era de 3 para 5, enquanto que na segunda 
era de 2 para 4. Assim: 
 鶏岫決堅欠券潔欠岻 噺 ぬの 糾 にね 噺 はにど 
 
 
Não há como os dois casos ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, os eventos são 
mutuamente exclusivos. Assim: 
 鶏岫決堅欠券潔欠 姦 喧堅結建欠岻 噺 鶏岫決堅欠券潔欠岻 髪 鶏岫喧堅結建欠岻 伐 鶏岫決堅欠券潔欠 堪 喧堅結建欠岻 噺 はにど 髪 ににど 噺 ぱにど 噺 宋┸ 想 噺 想宋ガ 
 
Alternativa (c). 
Pessoal, agora vou dar alguns exercícios mais teóricos e um 
pouco mais aprofundados. Estas questões eu tirei do exame da ANPEC 
(Associação Nacional dos Centros de Pós Graduação em Economia)! Apesar de 
elas não serem de nenhum concurso específico, o aprofundamento necessário 
para resolvê-las vai dar a vocês uma “maturidade intelectual”, o que ajuda a 
resolver as mais fáceis! 
 
(ANPEC – 2010) Sobre a teoria das probabilidades e considerando A, B e C três 
eventos quaisquer, mas com probabilidades de ocorrência diferentes de zero, 
julgue as afirmativas: 
 
Exercício 16 皿岫冊】刷岻皿岫刷】冊岻 噺 皿岫冊岻皿岫刷岻 
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Resolução 
 
Vamos à nossa fórmula: 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫畦岻 
 
 
Agora, basta dividir uma expressão pela outra: 
 鶏岫畦】稽岻鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫畦岻 噺 鶏岫畦岻鶏岫稽岻 
 
Gabarito: alternativa correta. 
 
Exercício 17 
 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, eles são independentes. 
 
Resolução 
 
Questão importantíssima! Vamos ver se vocês entenderam o conceito de 
independência. 
 
Há como formalizar matematicamente esta resposta, mas eu prefiro utilizar a intuição. 
 
Se dois eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos isso significa que a ocorrência 
de um implica a não ocorrência do outro! Mas, isso é o oposto de independência, pois, 
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neste caso, a probabilidade da ocorrência de um dos eventos, tal como “A”, não 
poderia afetar a probabilidade de ocorrência de “B”. Entendeu a ideia? 
 
Portanto, alternativa errada. 
 
 
Exercício 18 
 
Probabilidade é uma função que relaciona elementos do espaço amostral a 
valores no intervalo fechado entre 1 e zero. 
 
Resolução 
 
Esta é a própria definição formal de probabilidade, associando uma parcela do espaço 
amostral à sua totalidade, sendo que este valor estará definido entre os valores de 0 
a 1. 
 
Alternativa correta. 
 
(ANPEC – 2011) Julgue as afirmativas: 
 
Exercício 19 
 
Se 皿岫冊岻 噺 宋┸ 想, 皿岫刷岻 噺 宋┸ 掻 e 皿岫冊】刷岻 噺 宋┸ 匝, então 皿岫刷】冊岻 噺 宋┸ 想 
 
Resolução 
 
Basta lembrarmos que existe um elemento comum entre as fórmulas de 鶏岫畦】稽岻 e 鶏岫稽】畦岻, dado por 鶏岫畦 堪 稽岻. Portanto: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 蝦 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦】稽岻 糾 鶏岫稽岻 
 
Substituindo na fórmula de 鶏岫稽】畦岻: 
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 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦】稽岻 糾 鶏岫稽岻鶏岫畦岻 
 
 
Essa é a nossa fórmula do Teorema de Bayes. Substituindo os valores: 
 鶏岫稽】畦岻 噺 鶏岫畦】稽岻 糾 鶏岫稽岻鶏岫畦岻 噺 ど┸に 糾 ど┸ぱど┸ね 噺 宋┸ 想 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 20 
 
Se 皿岫冊岻 噺 宋, então 冊 噺 算伺仔斬四仔嗣伺 士珊子餐伺 
 
Resolução 
 
Outra pegadinha! Não necessariamente, pois nem todo evento que tem probabilidade 
de ocorrência igual à zero corresponde a um conjunto vazio. Isso é meio que intuitivo, 
pense nisso! 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(BACEN – FCC/2006) A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua 
mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem 
atraso é de: 
a) 層 伐 宋┸ 操捜捜 
b) 宋┸ 操捜捜 
c) 想┸ 挿捜 糾 宋┸ 操捜捜 
d) 捜 糾 宋┸ 操捜捜 
e) 層 伐 宋┸ 宋捜捜 
 
Resolução 
 
A resolução desta questão parece complicada, mas não é! A primeira coisa que vocês 
têm de perceber é que os eventos de diferentes associados atrasarem sua 
mensalidade são independentes. Portanto, a probabilidade de ocorrência de todos ao 
mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades. Vamos chamar a probabilidade 
do indivíduo “i” atrasar o pagamento de (畦沈), assim: 
 鶏岫畦怠 堪 畦態 堪 畦戴 堪 畦替 堪 畦泰岻 噺 鶏岫畦怠岻 糾 鶏岫畦態岻 糾 鶏岫畦戴岻 糾 鶏岫畦替岻 糾 鶏岫畦泰岻 
 
Portanto: 
 鶏岫畦怠岻 糾 鶏岫畦態岻 糾 鶏岫畦戴岻 糾 鶏岫畦替岻 糾 鶏岫畦泰岻 噺 ど┸どの 糾 ど┸どの 糾 ど┸どの 糾 ど┸どの 糾 ど┸どの 噺 ど┸どの泰 
 
Esta é a probabilidade de que todos atrasem o pagamento! Então, な 伐 ど┸どの泰 é a 
probabilidade de que ao menos um associado não atrase o pagamento. 
 
Alternativa (e). 
 
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Exercício 22 
 
(Integração Nacional – ESAF/2012) Uma turma de escola de 1º grau tem 30 
alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher, ao acaso, 
três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 2 dos 3 escolhidos 
serem meninas? 
a) ½ 
b) 12/27 
c) 45/91 
d) 95/203 
e) 2/3 
 
 
Resolução 
 
Bom, nós temos de escolher combinações possíveis das meninas de forma a 
preencher duas das vagas que precisamos preencher. A ordem não importa, assim: 
 系態待┸態 噺 にど┿岫にど 伐 に岻┿ に┿ 噺 にど 糾 なひに 糾 な 噺 層操宋 
 
Como temos 10 meninos na escola, podemos encontrar o número de possibilidades 
apenas multiplicando estes dois números (tal como no exemplo do macho e da 
fêmea): 
 鶏剣嫌嫌件決件健件穴欠穴結嫌 噺 なひど 糾 など 噺 層操宋宋 
 
Agora basta dividir este número pelo total de possibilidades! Isso será dado por todas 
as combinações possíveis, ou seja a combinação dos 30 elementos em conjuntos de 
três: 
 系戴待┸戴 噺 ぬど┿岫ぬど 伐 ぬ岻┿ ぬ┿ 噺 ぬど 糾 にひ 糾 にぱぬ 糾 に 糾 な 噺 想宋掃宋 
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Assim, a probabilidade desejada é de: 
 鶏岫に兼結券件券欠嫌┸ な兼結券件券剣岻 噺 なひどどねどはど 噺 なひどねどは 噺 操捜匝宋惣 
 
Alternativa (d). 
 
Exercício 23 
 
(FINEP – CESGRANRIO/2011) Um sistema de detecção de temporais é 
composto por dois subsistemas, A e B, que operam independentemente. Se 
ocorrer temporal, o sistema A acionará o alarme com probabilidade 90%, e o 
sistema B com probabilidade 95%. Se não ocorrer temporal, a probabilidade de 
que o sistema A acione o alarme, isto é, um falso alarme, é de 10%, e a 
probabilidade de que o sistema B acione o alarme é de 20%. O sistema foi 
acionado. A probabilidade de que ocorra um temporal é de, aproximadamente, 
 
a) 9/19 
b) 185/215 
c) 855/875 
d) 995/1000 
e) 995/1275 
 
Resolução 
 
Essa questão é difícil! Atenção aos detalhes. 
 
A primeira coisa que você tem de entender é que temos 2 possibilidades: “o alarme 
soou sem temporal” e “o alarme soou com temporal”, dado que o nosso espaço 
amostral foi reduzido de forma a considerar que o alarme foi acionado! 
 
Assim, pense que devemos encontrar: 
 
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05949764803 - NECILDA LOURENCO PAULAEstatística p/AFRFB 2016 
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鶏岫建結兼喧】嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫建結兼喧剣堅欠健 結 嫌剣欠堅岻鶏岫嫌剣欠堅岻 
 
A probabilidade de soar nós tiramos de uma reunião entre a probabilidade de soar 
com temporal e sem temporal, de forma que: 
 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健 姦 嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 
 
 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻 髪 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 伐 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健 堪 嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 
 
É fácil visualizar que o último elemento é igual à zero, pois não há intersecção entre 
os eventos. Assim: 
 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻 髪 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻 
 
Mas, há mais de um alarme, portanto, a probabilidade de soar, com ou sem temporal, 
deve ser uma reunião das probabilidades de soar no alarme A e B: 
 鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 髪 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 
 
Se nós detalharmos as duas probabilidades: 
 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅 姦 ｇBｇ嫌剣欠堅岻 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅 姦 ｇBｇ嫌剣欠堅岻 
 
Nós já sabemos que 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻, então vamos abrir estas 
expressões: 
 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫ｇ畦ｇ結ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫ｇ畦ｇ結ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 
 
No enunciado é dito que ambos são independentes, de forma que: 
 
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鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅岻 糾 鶏岫ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅岻 髪 鶏岫ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 伐 鶏岫ｇ畦ｇ嫌剣欠堅岻 糾 鶏岫ｇ稽ｇ嫌剣欠堅岻 
 
Agora, é só substituir os valores do enunciado: 
 鶏岫嫌剣欠堅潔剣兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 ど┸ひ 髪 ど┸ひの 伐 ど┸ひ 糾 ど┸ひの 噺 ど┸ひひの 鶏岫嫌剣欠堅嫌結兼建結兼喧剣堅欠健岻凋 勅 喋 噺 ど┸な 髪 ど┸に 伐 ど┸な 糾 ど┸に 噺 ど┸にぱ 
 
Assim, o espaço amostral é dado por: 
 皿岫史伺珊司岻 噺 層┸ 匝挿捜 
 
Nós já calculamos a probabilidade de soar com temporal, aí é só calcular: 
 鶏岫建結兼喧】嫌剣欠堅岻 噺 鶏岫建結兼喧剣堅欠健 結 嫌剣欠堅岻鶏岫嫌剣欠堅岻 噺 ど┸ひひのな┸にばの 
 
Multiplicando o numerador e o denominador por 1000 chegamos à alternativa (e). 
 
 
Exercício 24 
 
(FINEP – NCEUFRJ/2006) Um jogador está interessado em fazer apostas com 
base nos resultados obtidos com o lançamento de dois dados 
simultaneamente. Ele deseja determinar as probabilidades de dois tipos de 
resultados: a) a soma dos números que aparecem nos dois dados é menor do 
que 4; e b) o número que aparece em um dado é diferente do número que 
aparece no outro dado. As respostas corretas são, respectivamente: 
a) 1/9 e 5/6 
b) 1/12 e 5/6 
c) 1/9 e 5/12 
d) 1/12 e 2/3 
e) 1/6 e 5/12 
 
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Resolução 
 
Vamos por partes, primeiro iremos determinar a probabilidade de que a soma das 
faces seja menor do que 4. 
 
As possibilidades de que a soma das faces seja menor do que 4 são: 
 岶岫な┸な岻┹ 岫な┸に岻┹ 岫に┸な岻岼 
 
Ora, com base no princípio fundamental da contagem, são três combinações de um 
total de: 
 は 券ú兼結堅剣嫌 喧剣嫌嫌í懸結件嫌 穴剣 穴欠穴剣 な 抜 は 券ú兼結堅剣嫌 喧剣嫌嫌í懸結件嫌 穴剣 穴欠穴剣 に 噺 惣掃 
 
Assim: 
 鶏岫嫌剣兼欠 兼結券剣堅 圏憲結 ね岻 噺 ぬぬは 噺 層層匝 
 
Beleza! Agora, vamos calcular a probabilidade de que os números dos dados sejam 
diferentes! 
 
É muito mais fácil calcularmos a probabilidade de que os mesmos sejam iguais e 
encontrar o complemento da mesma. As possibilidades de resultados iguais são: 
 岶岫な┸な岻┹ 岫に┸に岻┹ 岫ぬ┸ぬ岻┹ 岫ね┸ね岻┹ 岫の┸の岻┹ 岫は┸は岻岼 
 
Ou seja, são 6 possibilidades de um total de 36! Assim: 
 鶏岫券え 件訣憲欠件嫌岻 噺 はぬは 噺 なは 
 
O complemento desta última é dado por: 
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 鶏岫券え 穴件血結堅結券建結嫌岻 噺 な 伐 なは 噺 捜掃 
 
Portanto, alternativa (b). 
 
Exercício 25 
 
(ATA – ESAF/2012) Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a 
probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8? 
a) 41% 
b) 44% 
c) 42% 
d) 45% 
e) 43% 
 
 
Resolução 
 
Questão bem tranquila, mas tem que pensar um pouco. 
 
Primeira coisa é encontrar quantos números entre 1 e 100 são divisíveis por 3 e 8. 
 
Ora, pense comigo, quantos números que são múltiplos de 3 estão entre 1 e 100? 
Você precisa encontrar o maior valor possível de um múltiplo de 3 (捲) que seja menor 
do que 100, pois, neste caso, você encontrará quantos múltiplos de 3 existem neste 
intervalo. 
 
Se você calcular, verá que: 
 捲 噺 ぬぬ 
 
Pois, ぬ 抜 ぬぬ 噺 ひひ, enquanto que ぬ 抜 ぬね 噺 などに, o que é maior do que 100. Assim, 
existem 33 múltiplos de 3 que estão entre 1 e 100. 
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E múltiplos de 8? Se você pensar da mesma forma, vai perceber que: 
 捲 噺 なに 
 
Pois, ぱ 抜 なに 噺 ひは, enquanto que ぱ 抜 なぬ 噺 などね, o que é maior do que 100. Assim, 
existem 12 múltiplos de 8 que estão entre 1 e 100. 
 
Entretanto, existem números repetidos nesta lista, pois há números que são divisíveis 
por 3 e 8. Assim, qual é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC, lembra do 2º grau?) entre 
3 e 8? Assim, para encontrar os números que são múltiplos de ambos, precisamos 
multiplicar um pelo outro, o que nos dá o valor de 24. 
 
Agora, temos de encontrar a quantidade de múltiplos de 24 no intervalo de 1 a 100. 
Este é bem mais fácil: 
 捲 噺 ね 
 
Assim, a quantidade de múltiplos de 3 e 8 entre 1 e 100 é igual à quantidade de 
múltiplos de 3 mais os de 8, menos os valores conjuntos de ambos: 
 警ú健建件喧健剣嫌 噺 ぬぬ 髪 なに 伐 ね 噺 ねな 
 
Aí, fica fácil calcular a probabilidade. No caso, temos 100 possibilidades ao todo: 
 鶏岫兼憲健建件喧健剣嫌 穴結 ぬ 結 ぱ岻 噺 ねななどど 噺 想層ガ 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
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Essa próxima questão vai trazer conteúdo novo, portanto resolvam comigo 
primeiro. 
 
Exercício 26 
(STN – ESAF/2012) Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: 
a) se A e B são eventos independentes, então P(A U B) = P(A) + P(B). 
b) se A, B e C são eventos quaisquer com P(C) ≠ 0, então P(A U B|C) = P (A|C) + 
P(B|C). 
c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de 
repetição do experimento. 
d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P(Aŀ B yC) = P(A). 
P(B). P(C). 
e) P(冊) + P(冊拍) = 0. 
 
Resolução 
 
Esta é muito difícil, vamos uma por uma! 
 
Letra (a). 
 
 Se os eventos são independentes, a probabilidade condicional é que muda, de forma 
que: 
 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦岻 抜 鶏岫稽岻 
Errada. 
 
Letra (b) 
 
Vamos substituir a equação: 
 
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 鶏岫畦 姦 稽】系岻 噺 鶏岫岫畦 姦 稽岻 堪 系岻鶏岫系岻 
 
Pelas propriedades vistas em aula, sabemos que: 
 鶏岫岫畦 姦 稽岻 堪 系岻鶏岫系岻 噺 鶏岫岫畦 堪 系岻 姦 岫稽 堪 系岻岻鶏岫系岻 噺 鶏岫畦 堪 系岻 髪 鶏岫稽 堪 系岻 伐 鶏岫岫畦 堪 系岻 堪 岫畦 堪 稽岻岻鶏岫系岻 
 
Substituindo a probabilidade condicional: 
 鶏岫畦 姦 稽】系岻 噺 鶏岫畦 堪 系岻 髪 鶏岫稽 堪 系岻 伐 鶏岫岫畦 堪 系岻 堪 岫畦 堪 稽岻岻鶏岫系岻噺 鶏岫畦】系岻 髪 鶏岫稽】系岻 伐 鶏岫岫畦 堪 系岻 堪 岫畦 堪稽岻岻鶏岫系岻 
 
Alternativa errada. 
 
Letra (c). 
 
Esta está correta por definição. Já discutimos isso na aula. 
 
Letra (d). 
 
Esta é a mais complicada. Para que três eventos sejam independentes, é preciso que 
eles sejam independentes conjuntamente e entre si. Portanto, as condições 
necessárias e suficientes para que isso ocorra são: 
 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫刷岻 皿岫刷 堪 察岻 噺 皿岫刷岻 抜 皿岫察岻 皿岫冊 堪 察岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫察岻 皿岫冊 堪 刷 堪 察岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫刷岻 抜 皿岫察岻 
 
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Todas devem ocorrer conjuntamente. Alternativa falsa. 
 
Letra (e). 
 
Aquele “tracinho” em cima do A significa o seu complemento. A soma de um conjunto 
com seu complemento é sempre igual à 1. Alternativa errada. 
 
Assim, o gabarito é (c). 
 
Exercício 27 
 
(MPOG – ESAF/2012) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja 
probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao 
acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z i N | 7 ≤ z ≤ 11}. Se 
ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p i N | 1 ≤ 
p < 5}, em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma 
moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, 
aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o 
lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P 
se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, 
então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: 
a) 6/31 
b) 1/2 
c) 1/12 
d) 1/7 
e) 5/6 
 
Resolução 
 
Trata-se de um exercício com o uso da Regra de Bayes. Qual a probabilidade de ter 
dado coroa dado que o número encontrado é ímpar. 
 鶏岫潔剣堅剣欠】件兼喧欠堅岻 噺 鶏岫件兼喧欠堅】潔剣堅剣欠岻 糾 鶏岫潔剣堅剣欠岻鶏岫件兼喧欠堅】潔剣堅剣欠岻 糾 鶏岫潔剣堅剣欠岻 髪 鶏岫件兼喧欠堅】潔欠堅欠岻 糾 鶏岫潔欠堅欠岻 
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Bom, a probabilidade de termos um valor ímpar, dado que tiramos coroa é de 0,5, 
pois trata-se da metade dos casos do espaço amostral do evento coroa: 
 
 潔剣堅剣欠 噺 岶な┹ に┹ ぬ┹ ね岼 
 
Já, a probabilidade de ser cara é de 0,6, pois o espaço amostral é: 
 潔剣堅欠 噺 岶ば┹ ぱ┹ ひ┹ など┹ なな岼 
 
Assim, vamos substituir: 
 
鶏岫潔剣堅剣欠】件兼喧欠堅岻 噺 ど┸の 抜 なは岾ど┸の 抜 なは峇 髪 岾ど┸は 抜 のは峇 噺 なば 
 
Alternativa (d). 
 
 
Exercício 28 
 
(ICMS-RJ – 2014/FCC) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 
defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 
artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é 
a) 13/100 
b) 13/55 
c) 7/55 
d) 9/110 
e) 9/55 
 
 
 
Resolução 
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O total de combinações possíveis que podemos formar é: 
 系怠態┸戴 噺 なに┿ひ┿ ぬ┿ 噺 なに 抜 なな 抜 などぬ 抜 に 噺 ね 抜 なな 抜 の 噺 匝匝宋 
 
A partir daí, precisamos encontrar a quantidade de combinações possíveis compostas 
só de artigos ruins e todas que seriam possíveis só com 1 artigo bom. 
 鯨ó 堅憲件券嫌 噺 系替┸戴 噺 ね┿な┿ ぬ┿ 噺 ね 抜 ぬ 抜 にぬ 抜 に 噺 想 
 
Assim, há 4 combinações possíveis de só escolhermos 4 itens ruins. 
 
No caso de 1 item bom e outros 2 ruins, precisamos encontrar o total de combinações 
possíveis de itens ruins primeiro: 
 に 堅憲件券嫌 噺 系替┸態 噺 ね┿に┿ に┿ 噺 ね 抜 ぬに 噺 掃 
 
Bom, nós temos 6 possibilidades de escolhermos 2 ruins primeiro, seguindo-se a 
escolha de um item bom. É fácil perceber que o total de possibilidades será dado pela 
multiplicação deste total de combinações pelo total de itens bons ainda presentes na 
amostra. Assim: 
 な 件建結兼 決剣兼 結 に 堅憲件券嫌 噺 は 抜 ぱ 噺 想掻 
 
Portanto, a probabilidade de encontrarmos a combinação pedida no enunciado é: 
 鶏岫券剣 兼á捲件兼剣 な 決剣兼岻 噺 ねぱ 髪 ねににど 噺 のにににど 噺 なぬのの 
 
Alternativa (b). 
 
 
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Exercício 30 
 
(ALESP – 2010\FCC) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de 
uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% 
disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos e 
17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao 
total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios 
físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos 
médicos representam 
a) 43% 
b) 60% 
c) 68% 
d) 83% 
e) 100% 
 
Resolução 
 
Questão que a gente usa para testar conhecimentos de Diagrama de Venn. Vamos 
supor, para fins de simplificação que haja 100 funcionários na empresa. 
 
Quantas pessoas não preenchem nenhum dos requisitos (exercícios e exames 
regulares)? 
 なばガ 抜 などど 噺 なば 血憲券潔件剣券á堅件剣嫌 
 
Portanto há 83 funcionários (83%) que preenchem um ou dois dos requisitos. Mas, o 
exercício quer os funcionários que preenchem os dois. Portanto, vamos usar um 
diagrama de Venn: 
 
 
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Como encontrar a parte amarela? Vamos usar nossa fórmula: 
 皿岫冊 姦 刷岻 噺 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 伐 皿岫冊 堪 刷岻 
 
Rearranjando: 
 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 伐 皿岫冊 姦 刷岻 噺 皿岫冊 堪 刷岻 
 
Esta fórmula nos permite encontrar a probabilidade da intersecção! Aí é só 
substituir: 
 皿岫冊 堪 刷岻 噺 挿捜ガ 髪 掃掻ガ 伐 掻惣ガ 噺 掃宋ガ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 31 
 
(INFRAERO – 2011\FCC) Em uma comunidade 10% de todos os adultos com 
mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica corretamente 90% de 
todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores da mesma e 
incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença, como portadores 
da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60 anos ter de fato a 
doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 1/5 
d) 2/5 
e) 3/5 
 
Resolução 
 
Vamos fazer assim (sem Teorema de Bayes, só no raciocínio mesmo), imagine que 
essa população tenha 1000 indivíduos. Assim: 
 ひどガ 嫌欠憲穴á懸結件嫌 噺 ひどど 喧結嫌嫌剣欠嫌 などガ 潔剣兼 欠 穴剣結券ç欠 噺 などど 喧結嫌嫌剣欠嫌 
 
Como o teste diagnosticaria essa população? Ora, ele vai diagnosticar corretamente 
90% da população com a doença e 5% de pessoas sem doença: 
 嫌欠憲穴á懸結件嫌 穴件欠訣券剣嫌建件潔欠穴剣嫌 潔剣兼 欠 穴剣結券ç欠 噺 のガ 抜 ひどど 噺 ねの 穴剣結券建結嫌 穴件欠訣券剣嫌建件潔欠穴剣嫌 潔剣兼 欠 穴剣結券ç欠 噺 ひどガ 抜 などど 噺 ひど 
 
Portanto, 135 (90+45) foram diagnosticadas com a doença. Porém, só 90 realmente 
a possui. Assim: 
 鶏岫穴剣結券ç欠】穴件欠訣券ó嫌建件潔剣 喧剣嫌件建件懸剣岻 噺 ひどなぬの 噺 にぬ 
Alternativa (b). 
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Exercício 32 
 
(SEMAD – FUNCAB\2013) A probabilidade de você efetuar uma compra via 
Internet e não receber a mercadoria no tempo combinado é igual a 0,04. Você 
efetua duas compras que são enviadasem tempos espaçados o suficiente para 
considerá-las como eventos independentes. Qual a probabilidade de uma ou 
mais compras não serem recebidas no tempo exato? 
A) 0,0768 
B) 0,0016 
C) 0,0384 
D) 0,0784 
 
Resolução 
 
Bom, a melhor forma de resolver isso é calcular a probabilidade de receber as duas 
mercadorias no prazo e fazer: 
 な 伐 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 
 
Essa é a probabilidade de uma ou mais compras não serem recebidas no prazo. 
 
Como os eventos são independentes: 
 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 噺 鶏岫堅結潔結決結堅 なぇ 券剣 喧堅欠権剣岻 抜 鶏岫堅結潔結決結堅 にぇ 券剣 喧堅欠権剣岻 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 噺 ど┸ひは 抜 ど┸ひは 噺 ど┸ひになは 
 
Assim: 
 な 伐 鶏岫堅結潔結決結堅 欠兼決欠嫌 券剣 喧堅欠権剣岻 噺 ど┸どばぱね 
 
Alternativa (d). 
 
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Exercício 33 
 
(MPE\RO – FUNCAB\2012) No início dos anos 1990, a população do 
Cabralquistão apresentava as seguintes características demográficas: 30% dos 
habitantes eram naturais da província Malakai; 28% falavam Francês; 24% eram 
de Malakai e falavam Francês. Imagine que foi selecionado, ao acaso, um 
habitante desse país e considere as três seguintes quantidades: 
P(a) = probabilidade de ser natural de Malakai ou falar Francês. 
P(b) = probabilidade de nem ser de Malakai, nem falar Francês. 
P(c) = probabilidade de falar Francês, mas não ser de Malakai. 
Pode-se afirmar que: 
A) P(a) < P(b) < P(c). 
B) P(c) < P(b) < P(a). 
C) P(c) < P(a) < P(b). 
D) P(b) < P(c). 
E) P(a) > P(b) = P(c). 
 
Resolução 
 
Para facilitar este tipo de questão, sempre vale a pena dar um número para a 
população, no caso, vamos dizer que o total da população é de 100 pessoas. 
 
Assim, 30 pessoas são de Malakai, 28 falam francês e 24 tem as duas características. 
Vamos por no Diagrama de Venn: 
 
 
 
 
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Assim, há 34 pessoas que falam francês ou são de Malakai de um total de 100, ou 
seja, 34%. 
 
A probabilidade de não ser de Malakai nem falar francês é o complemento da anterior, 
ou seja, 66%. 
 
Já, a probabilidade de falar francês, mas não ser de Malakai é 4%, pois há um total e 
4 pessoas. 
 
Portanto, P(c)<P(a)<P(b). 
 
Alternativa (c). 
 
 
Exercício 34 
 
(Prefeitura de Cuiabá – FUNCAB\2013) Após verificar que as contas de luz 
cobradas no corrente mês haviam sido atipicamente altas, um secretário 
municipal resolveu dar um desconto uniforme para todos os usuários. Assim, 
com base no aumento médio apurado naquelas contas para as quais já 
houvesse reclamação nos dois últimos meses, resultou que todas as contas do 
mês foram diminuídas em cerca de R$ 6,80. Assinale a afirmativa correta sobre 
o que ocorreu para o conjunto das contas: 
A) Somente a média aritmética se alterou. 
B) Somente a mediana se alterou. 
C) A média aritmética e a mediana se alteraram. 
D) Nem a média, nem a mediana se alteraram. 
E) Nada se pode afirmar sem saber quantas reclamações ocorreram. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Veja, suponha uma série de notas dadas por: 
 No�a�┺ の┹ は┹ ば Méd�a 噺 は Med�a�a 噺 は 
 
Se somarmos 3 em cada unidade: 
 No�a�┺ ぱ┹ ひ┹ など Méd�a 噺 ひ Med�a�a 噺 ひ 
 
Neste caso, tanto a média quanto o valor da mediana mudaram! 
 
Alternativa (c). 
 
O problema é que se considerarmos a posição da mediana, no caso, o 3º elemento, 
a mediana não muda! Com base nisso, a banca deu como certa a alternativa (a). 
Entretanto, com base no enunciado, não dá para inferir isso. A questão deveria ter 
sido anulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 35 
 
(Prefeitura de Cuiabá – FUNCAB\2013) Uma urna contém uma bola vermelha e 
uma branca; outra contém duas bolas vermelhas e três brancas. Seleciona-se 
uma urna ao acaso e dela retira-se uma bola, ao acaso. Qual a probabilidade de 
que a bola assim retirada seja vermelha? 
A) 9/20 
B) 1/2 
C) 11/20 
D) 3/7 
E) 4/7 
 
Resolução 
 
A chance de escolher qualquer uma das urnas é 0,5, pois há duas urnas que podem 
ser escolhidas ao acaso. 
 
No caso da primeira, a probabilidade da bola ser vermelha é 0,5, enquanto que na 
segunda é de 2/5. 
 
Para encontrarmos a probabilidade em questão, basta multiplicarmos a probabilidade 
de cada urna pela probabilidade de obtermos bola vermelha na mesma. 
 
 
 
Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha é: 
 鶏岫決剣健欠 懸結堅兼結健月欠岻 噺 なに 抜 なに 髪 なに 抜 にの 噺 なね 髪 になど 噺 の 髪 ねにど 噺 操匝宋 
 
Alternativa (a). 
 
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Esta próxima é uma boa você fazer comigo primeiro! 
 
Exercício 36 
 
(SEPLAG MG – FUNCAB\2013) Analisando o gráfico abaixo, referente à 
densidade de probabilidade de uma determinada variável aleatória, o que se 
pode inferir sobre a assimetria da distribuição? 
 
A) Assimétrica positiva 
B) Assimétrica negativa 
C) Simétrica 
D) Malcomportada 
 
 
Resolução 
 
Assimetria positiva = Assimetria à direita. 
Assimetria negativa = Assimetria à esquerda. 
 
Guarde estes nomes que, às vezes, são utilizados pelas bancas. 
Alternativa (a). 
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(TCE ES – CESPE\2012) Suponha que 70% das pessoas que integrem um 
plenário sejam do sexo feminino e 30%, do sexo masculino, e que 20% das 
mulheres e 10% dos homens sejam favoráveis a determinada proposta, sendo 
todos os demais integrantes contrários a ela. A partir dessas informações, 
julgue os próximos itens. 
 
Exercício 37 
 
A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele 
ser do sexo feminino ou ser favorável à proposta é superior a 0,80. 
 
Resolução 
 
Ora, trata-se de uma questão em que temos de avaliar a probabilidade conjunta dos 
dois eventos “ser do sexo feminino” (vamos chamar de evento “A”) e “ser favorável à 
proposta” (vamos chamar de evento “B”). Assim, queremos saber: 
 鶏岫畦 姦 稽岻 
 
Nós já sabemos que: 
 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 
 
 
 
Para calcular as probabilidades vamos supor que o plenário tenha 100 pessoas, afinal 
isso facilitará os cálculos. 
 
Portanto: 
 鶏岫畦岻 噺 建剣建欠健 穴結 兼憲健月結堅結嫌建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 ばどガ 
 
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鶏岫稽岻 噺 建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 血欠懸剣堅á懸結件嫌 à 喧堅剣喧剣嫌建欠建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 ばど 抜 にどガ 髪 ぬど 抜 などガなどど 噺 なばなどど 噺 なばガ 
 
 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 兼憲健月結堅結嫌 血欠懸剣堅á懸結件嫌 à 喧堅剣喧剣嫌建欠建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 にどガ 抜 ばどなどど 噺 なねガ 
 
Portanto: 
 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 ど┸ば 髪 ど┸なば 伐 ど┸なね 噺 ど┸ばぬ 
 
Portanto, alternativa errada.Exercício 38 
 
A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele 
ser um homem não favorável à proposta é igual a 0,27. 
 
Resolução 
 
Utilizando a aproximação que fizemos, considerando que há 100 pessoas no plenário, 
fica fácil calcular! O percentual de homens não favoráveis à proposta é de 100% - 
10% = 90%. 
 
 鶏岫月剣兼結兼 堪 券ã剣 血欠懸剣堅á懸結健岻 噺 月剣兼結兼 結 券ã剣 血欠懸剣堅á懸結健 à 喧堅剣喧剣嫌建欠建剣建欠健 穴結 喧結嫌嫌剣欠嫌 券剣 喧健結券á堅件剣 噺 ひどガ 抜 ぬどなどど 噺 にばガ 
 
Alternativa verdadeira. 
 
 
 
 
 
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(AFT – CESPE/2013) Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a 
respeito de seguranca no trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de 
jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam colocados 
sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, 
julgue os itens que se seguem. 
 
Exercício 39 
 
Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira 
aleatória. Nesse caso, a probabilidade de o processo que esta na parte superior 
tratar de assunto relativo a FGTS será superior a 0,3. 
 
Resolução 
 
Neste caso, temos 20 possibilidades no total e queremos saber qual a probabilidade 
de que um processo escolhido ao acaso, que esteja no topo da pilha, seja de FGTS. 
 
Assim: 
 鶏岫繋罫劇鯨岻 噺 券え 穴結 喧堅剣潔結嫌嫌剣嫌 穴結 繋罫劇鯨券え 穴結 喧堅剣潔結嫌嫌剣嫌 建剣建欠件嫌 噺 ばにど 噺 宋┸ 惣捜 
Alternativa correta. 
 
Exercício 40 
 
Se os processos relativos a FGTS ficarem sempre na parte superior da pilha, 
então uma pilha com essa característica poderá ser formada de 13! × 7! 
maneiras distintas. 
 
Resolução 
 
Se isso acontecer, nós temos que reorganizar 13 processos (20 – 7), pois os outros 
7 estão no topo da pilha. Assim, as possibilidades que temos são: 
 
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層惣┿ 
 
Mas, além dessa reorganização, nós também podemos trocar os 7 processos de 
FGTS de lugar, de forma a mantê-los no topo da pilha. Assim, os processos de FGTS 
podem ser reorganizados de (ば┿) formas diferentes. 
 
Portanto, o total de formas que podemos organizar a pilha é: 
 挿┿ 抜 層惣┿ 
 
Alternativa correta. 
 
(CNJ – CESPE\2013) 
 
 
Considerando os dados da tabela acima, que mostra a quantidade e situação de 
processos, nos anos 2010, 2011 e 2012, em um tribunal, julgue os itens 
subsequentes. 
 
Exercício 41 
 
Se, em 2011, 5 juízes atuavam no referido tribunal, então a relação juiz/processo 
era de, aproximadamente, 1:170. 
 
 
 
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Resolução 
 
O total de processos em 2011 é a soma dos processos em tramite, para parecer e 
julgados. Assim, a relação de juiz\processo é: 
 堅結健欠çã剣 倹憲件権ｄ喧堅剣潔結嫌嫌剣 噺 のにねど 髪 ぬど 髪 のぱど 噺 のぱのど 噺 ななばど 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 42 
 
A variável “ano” e uma variável qualitativa ordinal, uma vez que e possível 
definir uma ordem entre os anos. 
 
Resolução 
 
A variável ano é uma variável quantitativa e não qualitativa. Hora de lembrar dos 
conceitos da aula 00, ok? 
 
Alternativa errada 
 
Exercício 43 
 
Se determinado processo esta em tramite, a probabilidade de ele ser do ano de 
2012 é superior a 30%. 
 
Resolução 
 
Veja que o total de processos em tramite nos anos de 2010 a 2012 é: 
 にどど 髪 にねど 髪 にはど 噺 ばどど 
 
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Assim, a probabilidade de que um processo em tramite escolhido ao acaso seja do 
ano de 2012 é: 
 鶏岫にどなに岻 噺 にはどばどど 簡 ぬば┸なねガ 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 44 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) A Figura abaixo representa um histograma. 
 
Em relação às medidas de centralidade do histograma, considere as afirmativas 
abaixo. 
I – A média é maior que a mediana. 
II – A distribuição dos dados é unimodal. 
III – A moda é menor que a média. 
É correto o que se afirma em 
(A) II, apenas 
(B) III, apenas 
(C) I e II, apenas 
(D) II e III, apenas 
(E) I, II e III 
 
 
 
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Resolução 
 
O que está ocorrendo aqui? Trata-se de uma distribuição assimétrica à direita! 
 
 
Neste caso, com base no tipo de assimetria, podemos inferir sobre as posições da 
média, mediana e moda: 
 
 
 
Assim, as alternativas I e III são verdadeiras. 
 
Além disso, perceba que há uma única coluna que é a mais alta de todas! Ou seja, 
só há um valor (ou intervalo de valores) que é o mais alto possível, assim, há uma 
única moda (unimodal). 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 45 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que 
duas delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas. De quantas formas 
diferentes essas pessoas podem-se enfileirar? 
(A) 48 
(B) 50 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
 
Resolução 
 
Esse exercício é relativamente fácil! Basta considerar João e Maria como uma pessoa 
só, calcular a quantidade de combinações possíveis e multiplicar por 2, afinal, os dois 
juntos pode significar primeiro o João e depois a Maria ou vice versa. 
 
Vamos lá, calcular quantas combinações são possíveis com 4 indivíduos. Isso é uma 
permutação de 4: 
 ね┿ 噺 ね 抜 ぬ 抜 に 抜 な 噺 にね 
 
Multiplicando por 2: 
 系剣兼決件券欠ç�結嫌 噺 にね 抜 に 噺 ねぱ 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 46 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) Compareceram a uma festa exatamente 20 
homens com suas respectivas esposas. Quantos pares (A, B) podem ser 
formados, de maneira que A é um homem, B é uma mulher e A não é casado 
com B? 
(A) 20 
(B) 40 
(C) 210 
(D) 380 
(E) 400 
 
Resolução 
 
Hora de lembrar o princípio da contagem! 
 
Cada homem pode estar com 19 mulheres diferentes, dado que ele não pode formar 
par com sua própria esposa. Neste caso, o total de combinações é dado pelo total de 
homens multiplicado pela quantidade de combinações que podem ser formadas com 
cada um: 
 なひ 抜 にど 噺 ぬぱど 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 47 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2011) 
 
 
Resolução 
 
Olhe no gráfico! Trata-se de uma distribuição assimétrica à direita! 
 
 
Assim: 
 
 
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Neste caso, a média é maior do que a mediana, que é maior do que a moda. 
 
Alternativa (e). 
 
 
Exercício 48 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2011) 
 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que o total de fichas é 100, com o intuito de facilitar os cálculos. 
 
 
 
 
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Neste caso, temos: 
 
 70 fichas brancas e 30 fichas vermelhas, com base na primeira afirmação. 
 
Se 60% das fichas vermelhas são redondas: 
 
 Há 18 fichas vermelhas e redondas e 12 fichas vermelhas e quadradas. 
 
Se 25% das fichas quadradas são vermelhas, basta fazer uma regra de três: 
 なに捲 噺 にのガなどどガ 蝦 捲 噺 ねぱ 
 
O total de fichas quadradas é de 48! Sendo que 12 são vermelhas, temos 36 fichas 
brancas e quadradas. Como nós temos 70 fichas brancas no total, sedo que 36 são 
quadradas, temos 34 fichas redondas e brancas. Isso é 34% do total de 100 fichas. 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 49 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) Dentro de um pote, há 5 bombons embrulhados 
em papel azul, 6 embrulhados em papel vermelho, e 7 embrulhados em papel 
verde. Quantos bombons, no mínimo, devem ser retirados do pote, sem que se 
veja a cor do papel, para se ter certeza de haver retirado dois bombons 
embrulhados em papéis de cores diferentes? 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
 
 
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Resolução 
 
Questão de lógica muito fácil! Neste tipo de questão apenas verifique o tipo de objeto 
a ser sorteado que tem o maior número, no nosso caso, 7 bombons embrulhados em 
papel verde. Para ter certeza que você terá, pelo menos, 2 bombons com cores 
diferentes, você deverá retirar o total de bombons da cor mais comum e mais 1! 
Assim, se você retirar 8 bombons, com certeza, você já terá 2 bombons de cores 
diferentes. 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 50 
 
(Pref. São José – FEPESE\2014) Em estatística descritiva, o 25º percentil (ou 
primeiro quartil) de um conjunto de dados indica: 
 
a. () o valor igual ao qual 25% porcento das observações são encontradas. 
b. () o valor médio das 25% porcento observações com menores valores. 
c. () o valor médio das 25% porcento observações com maiores valores. 
d. () o valor abaixo do qual 25% porcento das observações são encontradas. 
e. () o valor acima do qual 25% porcento das observações são encontradas. 
 
Resolução 
 
O primeiro quartil é a observação que não é superaa por 35% das observações de 
sua série, ou seja, 25% das observações tem valores menores do que ela. 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 51 
 
(Pref. São José – FEPESE/2014) Após identificar as variáveis aleatórias 
envolvidas e seus possíveis estados, um modelo de probabilidade deve, para 
cada variável aleatória: 
a. ( ) Associar uma probabilidade maior ou igual a zero para a ocorrência de 
cada estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja 
igual a 1 (ou 100%). 
b. ( ) Associar uma probabilidade maior ou igual a zero para a ocorrência de 
cada estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja 
menor ou igual a 1 (ou 100%). 
c. ( ) Associar uma probabilidade positiva ou negativa para a ocorrência de cada 
estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja menor 
ou igual a 1 (ou 100%). 
d. ( ) Associar uma probabilidade positiva ou negativa para a ocorrência de cada 
estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja igual 
a 1 (ou 100%). 
e. ( ) Associar uma probabilidade maior ou igual a zero para a ocorrência de 
cada estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja 
positiva. 
 
Resolução 
 
Pessoal, este é o básico da probabilidade, sabemos que a probabilidade de um 
evento A qualquer deve respeitar a seguinte condição: 
 ど 判 鶏岫畦岻 判 な 
 
Além disso, sabemos que a soma das probabilidades de todas as ocorrências 
possíveis para este evento A qualquer deve ser igual à 1, ou 100%. 
 
Portanto, alternativa (a). 
 
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Exercício 52 
 
(Pref. São José – FEPESE\2014) Assinale a alternativa que relaciona correta-
mente variância e desvio padrão. 
a. ( ) A variância corresponde à raiz quadrada do desvio padrão. 
b. ( ) A variância corresponde à raiz cúbica do desvio padrão. 
c. ( ) O desvio padrão corresponde à raiz cúbica da variância. 
d. ( ) O desvio padrão corresponde ao inverso multiplicativo da variância. 
e. ( ) O desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância. 
 
Resolução 
 
Essa é muito fácil o desvio padrão é a raiz quadrada da variância! 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 53 
 
(TCE – SC – FEPESE/2006) O prefeito de uma pequena cidade do interior de 
Santa Catarina pretende pagar um abono salarial mensal para seus funcionários 
efetivos. Com a intenção de verificar o impacto deste abono na arrecadação do 
município, foi solicitado ao Departamento de Recursos Humanos um 
levantamento salarial do mês. Os resultados estão discriminados na 
distribuição de frequências abaixo: 
 
 
 
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Considerando que o impacto do abono salarial na arrecadação do município 
seja analisado a partir dos dados levantados, assinale a alternativa que 
representa a média salarial, se cada funcionário receber um abono de R$ 50 
reais. 
(a) R$ 606,25 
(b) R$ 656,25 
(c) R$ 706,25 
(d) R$ 731,25 
(e) R$ 756,25 
 
Resolução 
 
Primeiramente, vamos calcular a média dos salários antes do abono! Pelas 
propriedades da média sabemos que se aumentarmos todas as observações em 50, 
a média ficará aumentada em 50! Assim: 
 
Ponto Médio do salário Número de funcionários 
400 20 
600 15 
800 12 
1000 9 
1200 8 
 
Veja, iremos nos utilizar do ponto médio de cada classe para calcularmos a média. 
Faça os cálculos que você vai perceber que estes são os pontos médios. Por 
exemplo, na primeira classe: 
 鶏剣券建剣 警é穴件剣 噺 ぬどど 髪 のどどに 噺 ねどど 
 
Assim, vamos calcular a média: 
 警é穴件欠 噺 ねどど 抜 にど 髪 はどど 抜 なの 髪 ぱどど 抜 なに 髪 などどど 抜 ひ 髪 なにどど 抜 ぱはね 噺 ねのにどどはね 噺 ばどは┸にの 
 
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Pelas propriedades da média, se todo mundo ganhar um abono de 50: 
 ばどは┸にの 髪 のど 噺 ばのは┸にの 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 54 
 
(SUDENE – 2013/FGV) Dada a amostra: 2,0; 3,0; 1,0; 2,0; 2,0, o valor observado 
da variância amostral que é um estimador não tendencioso da variância 
populacional é igual a 
(A) 0,4. 
(B) 0,45. 
(C) 0,5. 
(D) 1,0. 
(E) 1,25. 
 
Resolução 
 
Veja, neste caso, a FGVfalou “amostra”. Aí sim, você usa a fórmula para a variância 
não viesada: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 鯨態 噺 み岫捲沈 伐 捲違岻態券 伐 な 
 
Bom, vamos calcular a média: 
 警é穴件欠 噺 に 髪 ぬ 髪 な 髪 に 髪 にの 噺 などの 噺 に 
 
Assim: 
 撃欠堅 噺 岫に 伐 に岻態 髪 岫ぬ 伐 に岻態 髪 岫な 伐 に岻態 髪 岫に 伐 に岻態 髪 岫に 伐 に岻ふね 噺 にね 噺 なに 噺 ど┸の 
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Alternativa (c). 
 
Exercício 55 
 
(SEAD-PA – 2010/FGV) Os dados a seguir são as quantidades de empregados 
de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância da quantidade de 
empregados dessas cinco empresas é igual a: 
(A) 0,8. 
(B) 1,2. 
(C) 1,6. 
(D) 2,0. 
(E) 2,4. 
 
Resolução 
 
Cuidado! Estamos não estamos falando de uma amostra de empresas, mas da 
população. Curiosidade sobre a FGV, quando ela não falar que é amostra, não é, 
mesmo neste tipo de exercício que costuma ser tratado como amostra. Assim a 
fórmula para a variância não viesada é: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 鯨態 噺 み岫捲沈 伐 捲違岻態券 
 
Assim, precisamos da média amostral: 
 警é穴件欠 噺 は 髪 の 髪 ぱ 髪 の 髪 はの 噺 ぬどの 噺 は 
 
Portanto, a variância é: 
 嫌ふ 噺 岫は 伐 は岻態 髪 岫の 伐 は岻態 髪 岫ぱ 伐 は岻ふ 髪 岫の 伐 は岻態 髪 岫は 伐 は岻ふの 噺 な 髪 ね 髪 なの 噺 はの 噺 な┸に 
 
Alternativa (b). 
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Exercício 56 
 
(Ass. Leg. Maranhão – FGV/2013) 
 
 
Resolução 
 
A escolha de representantes será uma permutação de 5 elementos para dois lugares: 
 
 
Assim: 
 の岫なえ健憲訣欠堅岻 抜 ね岫にえ健憲訣欠堅岻 噺 にど 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 57 
 
(TJ – BA – FGV/2015) 
 
 
Resolução 
 
A partir destas informações pode-se perceber que a moda é inferior ao valor da média. 
Ora, só daí podemos inferir que se trata de uma distribuição assimétrica à direita! 
Neste caso: 
 警剣穴欠 隼 警結穴件欠券欠 隼 警é穴件欠 
 
Assim, podemos avaliar as afirmativas: 
(a) Não, ela é assimétrica à direita. 
(b) Não há como dizer que a Mediana (o exercício não falou, mas Me(X) ele considera 
como mediana de X) é menor do que 15 mil. 
(c) Não há como afirmar isso. 
(d) Não há como afirmar isso. 
(e) Isso é verdade! Veja, a moda é de 7mil e nós sabemos que a distribuição destes 
dados é assimétrica à direita, o que faz com que a mediana seja superior a 7 mil. Se 
a mediana é maior do que 7 mil, o 3º quartil também o é! Afinal, o 3º quartil é a 
observação que não é superada por 75% das observações. 
 
Alternativa (e). 
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Exercício 58 
 
(Controle Interno de Recife – FGV/2014) A seguinte amostra de idades foi obtida: 
19; 25; 39; 20; 16; 27; 40; 38; 28; 32; 30. 
Assinale a opção que indica a mediana dessas idades. 
(A) 27 
(B) 28 
(C) 29 
(D) 30 
(E) 31 
 
Resolução 
 
Questão simples, basta ordenar: 
 
16;19;20;25;27;28;30;32;38;39;40 
 
Dado que há um número ímpar de elementos, a mediana será o elemento que 
coincide com o seguinte: 
 券 髪 なに 噺 なにに 噺 は 
 
O sexto elemento é o 28. 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 59 
 
(Controle Interno de Recife – FGV/2014) Uma variável aleatória X tem média 
igual a 2 e desvio padrão igual a 2. Se Y = 6 – 2X, então a média de Y, a variância 
de Y e o coeficiente de correlação entre X e Y valem, respectivamente, 
(A) −2, 4 e 1. 
(B) −2, 16 e 1. 
(C) 2, 16 e −1. 
(D) 10, 2 e −1. 
(E) 2, 4 e −1. 
 
Resolução 
 
Esta foi a mais difícil da prova, na minha opinião. Mas, há um jeito fácil de achar a 
resposta. 
 
Lembrem-se das propriedades da média e variância! 
 
Média: 
1) Se somarmos (subtrairmos) todas as observações com um determinado 
valor fixo, tal como x, toda a média terá resultado igual ao anterior à 
operação mais (menos) x. 
2) Se multiplicarmos (dividirmos) todas as observações de uma amostra por 
um determinado valor fixo, tal como x, a média terá resultado igual ao 
anterior à operação vezes (dividido por) x. 
 
Variância: 
 
1) Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para 
cálculo da variância (惨珊司) ou de seu respectivo desvio padrão (拶皿), o 
resultado ficará inalterado. 
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2) Ao multiplicar (dividir) todas as observações de uma série por um 
determinado valor fixo, tal como x, a variância resultante ficará 
multiplicada (dividida) por x², enquanto que o desvio padrão resultante 
ficará multiplicado (dividido) por x. 
 
Ora, para quem fez o curso, basta aplicar os operadores de Média e Variância. Mas, 
vamos pensar de uma forma mais intuitiva! Veja a fórmula: 
 桁 噺 は 伐 に隙 
 
Qual a média de Y? 
 警é穴件欠岫桁岻 噺 警é穴件欠岫は 伐 に隙岻 
 
Já que a média de um número fixo é igual a ele mesmo, podemos reescrever: 
 警é穴件欠岫桁岻 噺 は 伐 警é穴件欠岫に隙岻 
 
Veja a propriedade (2) da média e perceba que: 
 警é穴件欠岫桁岻 噺 は 伐 に 抜 警é穴件欠岫隙岻 噺 は 伐 に 抜 に 噺 匝 
 
E a variância? 
 桁 噺 は 伐 に隙 
 
 
 
 
Se você soma ou diminui alguma coisa de sua variável, isso não afeta a variância, 
conforme propriedade 1 da variância. Assim, a variância de Y dependerá somente de: 
 撃欠堅岫桁岻 噺 撃欠堅岫は 伐 に隙岻 噺 撃欠堅岫伐に隙岻 
 
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Conforme estudamos no curso, o valor que multiplica a variável sairá do operador 
variância ao quadrado: 
 撃欠堅岫桁岻 噺 撃欠堅岫伐に隙岻 噺 にふ撃欠堅岫隙岻 
 
Como o exercício fala que o desvio padrão de X é igual à 2, a variância é igual a 4. 
Assim: 
 撃欠堅岫桁岻 噺 撃欠堅岫伐に隙岻 噺 に態撃欠堅岫隙岻 噺 ね 抜 ね 噺 なは 
 
Só com essas resoluções você já chega na alternativa correta, que é a letra (c). 
 
(TELEBRAS – CESPE/2014) 
 
 
Nunca se assuste com enunciados! Dê uma olhada nas questões, primeiro, 
ainda mais com a CESPE. 
 
Exercício 60 
 
 
Resolução 
 
Pessoal, se os eventos são independentes: 
 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 鶏岫畦岻 抜 鶏岫稽岻 
 
Portanto, para nosso exercício: 
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 鶏岫畦 堪 稽岻 噺 ど┸な 抜 ど┸な 噺 ど┸どな 
 
 
 
 
Nós sabemos que: 
 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 鶏岫畦岻 髪 鶏岫稽岻 伐 鶏岫畦 堪 稽岻 
 
Assim, basta substituir o valor da intersecção (que já encontramos) e das 
probabilidades de A e B para que possamos encontrar a probabilidade de união: 
 鶏岫畦 姦 稽岻 噺 ど┸な 髪 ど┸な 伐 ど┸どな 噺 ど┸なひ 
 
Este valor é menor do que que 0,2. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 61 
 
 
 
Resolução 
 
O fato de uma probabilidade de um evento qualquer (A) ser menor ou igual à 
probabilidade de outro evento qualquer (B), mesmo quando ambospertencem ao 
mesmo espaço de eventos, não implica que A está contido em B. Ambos podem ser 
mutuamente exclusivos, por exemplo. 
 
Alternativa errada. 
 
 
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(TJ-SE – CESPE/2014) 
 
 
Exercício 62 
 
 
Resolução 
 
Ora, nós sabemos que: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 
 
Pelo enunciado nós sabemos que P(B) = 0,1, portanto a probabilidade de A dado B é 
igual à probabilidade de intersecção dos eventos A e B dividida por 0,1! Mas, pense, 
se você dividir qualquer número por 0,1, o que acontece? Vamos supor que a 
probabilidade de intersecção fosse de 10: 
 鶏岫畦】稽岻 噺 鶏岫畦 堪 稽岻鶏岫稽岻 噺 などど┸な 噺 などど 
 
Entendeu? Assim, a probabilidade de A dado B tem de ser maior do que a 
probabilidade de intersecção. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
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Lista de exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
 
(Analista Judiciário – FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e 
B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois 
jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a 
probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que 
assina B são dados respectivamente por: 
 
a) 180 e 160/266 
b) 250 e 35/75 
c) 266 e 7/13 
d) 266 e 35/76 
e) 266 e 35/266 
 
 
Exercício 2 
 
(IRB – ESAF/2005) Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer 
nesta idade e qy a probabilidade de uma pessoa de idade “y” falecer nesta idade 
e px = (1 - qx) e py = (1 – qy), pode-se afirmar que o resultado da equação (1 – 
px*py) indica a: 
 
a) Probabilidade de ambos estarem vivos 
b) Probabilidade de pelo menos um vivo 
c) Probabilidade de pelo menos um morto 
d) Probabilidade de ambos mortos 
e) Probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” morto 
 
 
 
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Exercício 3 
 
(ICMS\SP – FCC\2009) Considere que numa cidade 40% da população adulta é 
fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não 
fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao 
acaso na cidade ser mulher? 
a) 44% 
b) 52% 
c) 50% 
d) 48% 
e) 56% 
 
Exercício 4 
 
(Petrobrás – CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo representa o peso de um 
grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
Classes (em kgf) Frequências 
40掬50 2 
50掬60 5 
60掬70 7 
70掬80 8 
80掬90 3 
 
Uma pessoa de mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de que 
o peso desta pessoa esteja entre 60 e 80 kgf é de, aproximadamente: 
 
a) 65% 
b) 63% 
c) 60% 
d) 58% 
e) 55% 
 
 
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(Petrobrás – CESGRANRIO/2005) Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a 
probabilidade de um homem ser míope é de 0,05 e de uma mulher é de 0,1. Com 
base nestas informações responda às seguintes perguntas. 
 
Exercício 5 
 
Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser míope? 
 
a) 0,05 
b) 0,06 
c) 0,07 
d) 0,08 
e) 0,09 
 
Exercício 6 
 
Selecionando um míope ao acaso, qual a probabilidade de o mesmo ser homem. 
 
Exercício 7 
 
(Auditor da Previdência – ESAF/2002) Suponha que a probabilidade de um 
evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C 
ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência 
de D e C. 
 
a) 0,5 
b) 0,08 
c) 0 
d) 1 
e) 0,6 
 
 
 
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Exercício 8 
 
(Auditor da Previdência – ESAF/2002) Considere um ensaio aleatório com 
espaço amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M = {T}, N={U,V} e S={W}. 
Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de 捌 堪 錆 堪 傘. 
 
a) Não se pode determinar a probabilidade de intersecção. 
b) É o produto das probabilidades de M, N e S. 
c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três deve ocorrer. 
d) A probabilidade de intersecção é de 1/3. 
e) A probabilidade de intersecção é nula, pois os eventos são mutuamente 
exclusivos. 
 
Exercício 9 
 
(BACEN – FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores 
(A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa 
apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do 
setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia 
existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo 
aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se que 
ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 75% 
e) 80% 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 10 
 
(CGU – ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: 
 
a) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 髪 皿岫刷岻 
b) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 閥 皿岫刷岻 
c) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 伐 皿岫刷岻 
d) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫刷岻 髪 皿岫刷】冊岻 
e) 皿岫冊 堪 刷岻 噺 皿岫冊岻 抜 皿岫刷岻 
 
 
Exercício 11 
 
(Petrobrás – CESGRANRIO/2011) Dois eventos de um espaço amostral são 
independentes se e somente se: 
a) A informação e que um deles ocorreu não altera a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
b) Um deles ocorrendo, o outro não poderá ocorrer. 
c) São disjuntos, ou seja, a probabilidade de ocorrerem juntos é negativa. 
d) São negativamente correlacionados. 
e) Têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
 
Exercício 12 
 
(Petrobrás – CESGRANRIO/2005) Os eventos A e B são independentes e suas 
probabilidades são P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4. Quanto vale 皿岫冊 姦 刷岻? 
 
a) 0,5 
b) 0,6 
c) 0,7 
d) 0,8 
e) 0,9 
 
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Exercício 13 
 
(CGU – ESAF/2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de 
transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 
6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para 
constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais 
sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24 
 
Exercício 14 
 
(ICMS\RJ – FGV\2007) A tabela abaixo representa a distribuição de 1000 
pessoas classificadas por sexo e Estado Civil: 
 
 
Uma pessoa é selecionada ao acaso, a probabilidade de a mesma ser uma 
mulher ou viúva é de: 
a) 0,6 
b) 0,2 
c) 0,4 
d) 0,7 
e) 0,5 
 
 
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Exercício 15 
 
(ATA\MF – ESAF\2012) Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas 
são retiradas desta caixa, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de 
serem da mesma cor? 
 
a) 55% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 45% 
e) 35% 
 
(ANPEC – 2010) Sobre a teoria das probabilidades e considerando A, B e C três 
eventos quaisquer, mas com probabilidades de ocorrência diferentes de zero, 
julgue as afirmativas: 
 
Exercício 16 皿岫冊】刷岻皿岫刷】冊岻 噺 皿岫冊岻皿岫刷岻 
 
Exercício 17 
 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, eles são independentes. 
 
 
Exercício 18 
 
Probabilidade é uma função que relaciona elementos do espaço amostral a 
valores no intervalo fechado entre 1 e zero. 
 
 
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(ANPEC – 2011) Julgue as afirmativas: 
 
Exercício 19 
 
Se 皿岫冊岻 噺 宋┸ 想, 皿岫刷岻 噺 宋┸ 掻 e 皿岫冊】刷岻 噺 宋┸ 匝, então 皿岫刷】冊岻 噺 宋┸ 想 
 
Exercício 20 
 
Se 皿岫冊岻 噺 宋, então 冊 噺 算伺仔斬四仔嗣伺 士珊子餐伺 
 
Exercício 21 
 
(BACEN – FCC/2006) A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua 
mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos 1 atrasar sua mensalidade é de: 
a) 層 伐 宋┸ 操捜捜 
b) 宋┸ 操捜捜 
c) 想┸ 挿捜 糾 宋┸ 操捜捜 
d) 捜 糾 宋┸ 操捜捜 
e) 層 伐 宋┸ 宋捜捜 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 22 
 
(Integração Nacional – ESAF/2012) Uma turma de escola de 1º grau tem 30 
alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher, ao acaso, 
três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 2 dos 3 escolhidos 
serem meninas? 
a) ½ 
b) 12/27 
c) 45/91 
d) 95/203 
e) 2/3 
 
Exercício 23 
 
(FINEP – CESGRANRIO/2011) Um sistema de detecção de temporais é 
composto por dois subsistemas, A e B, que operam independentemente. Se 
ocorrer temporal, o sistema A acionará o alarme com probabilidade 90%, e o 
sistema B com probabilidade 95%. Se não ocorrer temporal, a probabilidade de 
que o sistema A acione o alarme, isto é, um falso alarme, é de 10%, e a 
probabilidade de que o sistema B acione o alarme é de 20%. O sistema foi 
acionado. A probabilidade de que ocorra um temporal é de, aproximadamente, 
 
a) 9/19 
b) 185/215 
c) 855/875 
d) 995/1000 
e) 995/1275 
 
 
 
 
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Exercício 24 
 
(FINEP – NCEUFRJ/2006) Um jogador está interessado em fazer apostas com 
base nos resultados obtidos com o lançamento de dois dados 
simultaneamente. Ele deseja determinar as probabilidades de dois tipos de 
resultados: a) a soma dos números que aparecem nos dois dados é menor do 
que 4; e b) o número que aparece em um dado é diferente do número que 
aparece no outro dado. As respostas corretas são, respectivamente: 
a) 1/9 e 5/6 
b) 1/12 e 5/6 
c) 1/9 e 5/12 
d) 1/12 e 2/3 
e) 1/6 e 5/12 
 
 
Exercício 25 
 
(ATA – ESAF/2012) Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a 
probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8? 
a) 41% 
b) 44% 
c) 42% 
d) 45% 
e) 43% 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 26 
(STN – ESAF/2012) Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: 
a) se A e B são eventos independentes, então P(A U B) = P(A) + P(B). 
b) se A, B e C são eventos quaisquer com P(C) ≠ 0, então P(A U B|C) = P (A|C) + 
P(B|C). 
c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de 
repetição do experimento. 
d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P(Aŀ B yC) = P(A). 
P(B). P(C). 
e) P(冊) + P(冊拍) = 0. 
 
Exercício 27 
 
(MPOG – ESAF/2012) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja 
probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao 
acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z i N | 7 ≤ z ≤ 11}. Se 
ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p i N | 1 ≤ 
p < 5}, em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma 
moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, 
aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o 
lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P 
se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, 
então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: 
a) 6/31 
b) 1/2 
c) 1/12 
d) 1/7 
e) 5/6 
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Exercício 28 
 
(ICMS-RJ – 2014/FCC) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 
defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 
artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é 
a) 13/100 
b) 13/55 
c) 7/55 
d) 9/110 
e) 9/55 
 
Exercício 29 
 
(ALESP – 2010\FCC) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de 
uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% 
disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos e 
17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao 
total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios 
físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos 
médicos representam 
a) 43% 
b) 60% 
c) 68% 
d) 83% 
e) 100% 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 30 
 
(INFRAERO – 2011\FCC) Em uma comunidade 10% de todos os adultos com 
mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica corretamente 90% de 
todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores da mesma e 
incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença, como portadores 
da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60 anos ter de fato a 
doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 1/5 
d) 2/5 
e) 3/5 
 
 
Exercício 31 
 
(INFRAERO – 2011\FCC) Em uma comunidade 10% de todos os adultos com 
mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica corretamente 90% de 
todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores da mesma e 
incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença, como portadores 
da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60 anos ter de fato a 
doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 1/5 
d) 2/5 
e) 3/5 
 
 
 
 
 
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Exercício 32 
 
(SEMAD – FUNCAB\2013) A probabilidade de você efetuar uma compra via 
Internet e não receber a mercadoria no tempo combinado é igual a 0,04. Você 
efetua duas compras que são enviadas em tempos espaçados o suficiente para 
considerá-las como eventos independentes. Qual a probabilidade de uma ou 
mais compras não serem recebidas no tempo exato? 
A) 0,0768 
B) 0,0016 
C) 0,0384 
D) 0,0784 
 
 
 
Exercício 33 
 
(MPE\RO – FUNCAB\2012) No início dos anos 1990, a população do 
Cabralquistão apresentava as seguintes características demográficas: 30% dos 
habitantes eram naturais da província Malakai; 28% falavam Francês; 24% eram 
de Malakai e falavam Francês. Imagine que foi selecionado, ao acaso, um 
habitante desse país e considere as três seguintes quantidades: 
P(a) = probabilidade de ser natural de Malakai ou falar Francês. 
P(b) = probabilidade de nem ser de Malakai, nem falar Francês. 
P(c) = probabilidade de falar Francês, mas não ser de Malakai. 
Pode-se afirmar que: 
A) P(a) < P(b) < P(c). 
B) P(c) < P(b) < P(a). 
C) P(c) < P(a) < P(b). 
D) P(b) < P(c). 
E) P(a) > P(b) = P(c). 
 
 
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Exercício 34 
 
(Prefeitura de Cuiabá – FUNCAB\2013) Após verificar que as contas de luz 
cobradas no corrente mês haviam sido atipicamente altas, um secretário 
municipal resolveu dar um desconto uniforme para todos os usuários. Assim, 
com base no aumento médio apurado naquelas contas para as quais já 
houvesse reclamação nos dois últimos meses, resultou que todas as contas do 
mês foram diminuídas em cerca de R$ 6,80. Assinale a afirmativa correta sobre 
o que ocorreu para o conjunto das contas: 
A) Somente a média aritmética se alterou. 
B) Somente a mediana se alterou. 
C) A média aritmética e a mediana se alteraram. 
D) Nem a média, nem a mediana se alteraram. 
E) Nada se pode afirmar sem saber quantas reclamações ocorreram. 
 
 
Exercício 35 
 
(Prefeitura de Cuiabá – FUNCAB\2013) Uma urna contém uma bola vermelha e 
uma branca; outra contém duas bolas vermelhas e três brancas. Seleciona-se 
uma urna ao acaso e dela retira-se uma bola, ao acaso. Qual a probabilidade de 
que a bola assim retirada seja vermelha? 
A) 9/20 
B) 1/2 
C) 11/20 
D) 3/7 
E) 4/7 
 
 
 
 
 
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Esta próxima é uma boa você fazer comigo primeiro! 
 
Exercício 36 
 
(SEPLAG MG – FUNCAB\2013) Analisando o gráfico abaixo, referente à 
densidade de probabilidade de uma determinada variável aleatória, o que se 
pode inferir sobre a assimetria da distribuição? 
 
A) Assimétrica positiva 
B) Assimétrica negativa 
C) Simétrica 
D) Malcomportada 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(TCE ES – CESPE\2012) Suponha que 70% das pessoas que integrem um 
plenário sejam do sexo feminino e 30%, do sexo masculino, e que 20% das 
mulheres e 10% dos homens sejam favoráveis a determinada proposta, sendo 
todos os demais integrantes contrários a ela. A partir dessas informações, 
julgue os próximos itens. 
 
Exercício 37 
 
A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele 
ser do sexo feminino ou ser favorável à proposta é superior a 0,80. 
 
 
Exercício 38 
 
A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele 
ser um homem não favorável à proposta é igual a 0,27. 
 
 
 (AFT – CESPE/2013) Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a 
respeito de seguranca no trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de 
jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam colocados 
sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, 
julgue os itens que se seguem. 
 
Exercício 39 
 
Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira 
aleatória. Nesse caso, a probabilidade de o processo que esta na parte superior 
tratar de assunto relativo a FGTS será superior a 0,3. 
 
 
 
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Exercício 40 
 
Se os processos relativos a FGTS ficarem sempre na parte superior da pilha, 
então uma pilha com essa característica poderá ser formada de 13! × 7! 
maneiras distintas. 
 
(CNJ – CESPE\2013) 
 
 
Considerando os dados da tabela acima, que mostra a quantidade e situação de 
processos, nos anos 2010, 2011 e 2012, em um tribunal, julgue os itens 
subsequentes. 
 
Exercício 41 
 
Se, em 2011, 5 juízes atuavam no referido tribunal, então a relação juiz/processo 
era de, aproximadamente, 1:170. 
 
 
Exercício 42 
 
A variável “ano” e uma variável qualitativa ordinal, uma vez que e possível 
definir uma ordem entre os anos. 
 
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Exercício 43 
 
Se determinado processo esta em tramite, a probabilidade de ele ser do ano de 
2012 é superior a 30%. 
 
 
Exercício 44 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) A Figura abaixo representa um histograma. 
 
Em relação às medidas de centralidade do histograma, considere as afirmativas 
abaixo. 
I – A média é maior que a mediana. 
II – A distribuição dos dados é unimodal. 
III – A moda é menor que a média. 
É correto o que se afirma em 
(A) II, apenas 
(B) III, apenas 
(C) I e II, apenas 
(D) II e III, apenas 
(E) I, II e III 
 
 
 
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Exercício 45 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que 
duas delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas. De quantas formas 
diferentes essas pessoas podem-se enfileirar? 
(A) 48 
(B) 50 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
 
Exercício 46 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) Compareceram a uma festa exatamente 20 
homens com suas respectivas esposas. Quantos pares (A, B) podem ser 
formados, de maneira que A é um homem, B é uma mulher e A não é casado 
com B? 
(A) 20 
(B) 40 
(C) 210 
(D) 380 
(E) 400 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 47 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2011) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 48 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2011) 
 
 
 
Exercício 49 
 
(BNDES – CESGRANRIO/2013) Dentro de um pote, há5 bombons embrulhados 
em papel azul, 6 embrulhados em papel vermelho, e 7 embrulhados em papel 
verde. Quantos bombons, no mínimo, devem ser retirados do pote, sem que se 
veja a cor do papel, para se ter certeza de haver retirado dois bombons 
embrulhados em papéis de cores diferentes? 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
 
 
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Exercício 50 
 
(Pref. São José – FEPESE\2014) Em estatística descritiva, o 25º percentil (ou 
primeiro quartil) de um conjunto de dados indica: 
 
a. () o valor igual ao qual 25% porcento das observações são encontradas. 
b. () o valor médio das 25% porcento observações com menores valores. 
c. () o valor médio das 25% porcento observações com maiores valores. 
d. () o valor abaixo do qual 25% porcento das observações são encontradas. 
e. () o valor acima do qual 25% porcento das observações são encontradas. 
 
Exercício 51 
 
(Pref. São José – FEPESE/2014) Após identificar as variáveis aleatórias 
envolvidas e seus possíveis estados, um modelo de probabilidade deve, para 
cada variável aleatória: 
a. ( ) Associar uma probabilidade maior ou igual a zero para a ocorrência de 
cada estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja 
igual a 1 (ou 100%). 
b. ( ) Associar uma probabilidade maior ou igual a zero para a ocorrência de 
cada estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja 
menor ou igual a 1 (ou 100%). 
c. ( ) Associar uma probabilidade positiva ou negativa para a ocorrência de cada 
estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja menor 
ou igual a 1 (ou 100%). 
d. ( ) Associar uma probabilidade positiva ou negativa para a ocorrência de cada 
estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja igual 
a 1 (ou 100%). 
e. ( ) Associar uma probabilidade maior ou igual a zero para a ocorrência de 
cada estado possível, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja 
positiva. 
 
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Exercício 52 
 
(Pref. São José – FEPESE\2014) Assinale a alternativa que relaciona correta-
mente variância e desvio padrão. 
a. ( ) A variância corresponde à raiz quadrada do desvio padrão. 
b. ( ) A variância corresponde à raiz cúbica do desvio padrão. 
c. ( ) O desvio padrão corresponde à raiz cúbica da variância. 
d. ( ) O desvio padrão corresponde ao inverso multiplicativo da variância. 
e. ( ) O desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância. 
 
 
Exercício 53 
 
(TCE – SC – FEPESE/2006) O prefeito de uma pequena cidade do interior de 
Santa Catarina pretende pagar um abono salarial mensal para seus funcionários 
efetivos. Com a intenção de verificar o impacto deste abono na arrecadação do 
município, foi solicitado ao Departamento de Recursos Humanos um 
levantamento salarial do mês. Os resultados estão discriminados na 
distribuição de frequências abaixo: 
 
Considerando que o impacto do abono salarial na arrecadação do município 
seja analisado a partir dos dados levantados, assinale a alternativa que 
representa a média salarial, se cada funcionário receber um abono de R$ 50 
reais. 
 
 
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(a) R$ 606,25 
(b) R$ 656,25 
(c) R$ 706,25 
(d) R$ 731,25 
(e) R$ 756,25 
 
Exercício 54 
 
(SUDENE – 2013/FGV) Dada a amostra: 2,0; 3,0; 1,0; 2,0; 2,0, o valor observado 
da variância amostral que é um estimador não tendencioso da variância 
populacional é igual a 
(A) 0,4. 
(B) 0,45. 
(C) 0,5. 
(D) 1,0. 
(E) 1,25. 
 
 
Exercício 55 
 
(SEAD-PA – 2010/FGV) Os dados a seguir são as quantidades de empregados 
de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância da quantidade de 
empregados dessas cinco empresas é igual a: 
(A) 0,8. 
(B) 1,2. 
(C) 1,6. 
(D) 2,0. 
(E) 2,4. 
 
 
 
 
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Exercício 56 
 
(Ass. Leg. Maranhão – FGV/2013) 
 
 
Exercício 57 
 
(TJ – BA – FGV/2015) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 58 
 
(Controle Interno de Recife – FGV/2014) A seguinte amostra de idades foi obtida: 
19; 25; 39; 20; 16; 27; 40; 38; 28; 32; 30. 
Assinale a opção que indica a mediana dessas idades. 
(A) 27 
(B) 28 
(C) 29 
(D) 30 
(E) 31 
 
 
Exercício 59 
 
(Controle Interno de Recife – FGV/2014) Uma variável aleatória X tem média 
igual a 2 e desvio padrão igual a 2. Se Y = 6 – 2X, então a média de Y, a variância 
de Y e o coeficiente de correlação entre X e Y valem, respectivamente, 
(A) −2, 4 e 1. 
(B) −2, 16 e 1. 
(C) 2, 16 e −1. 
(D) 10, 2 e −1. 
(E) 2, 4 e −1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(TELEBRAS – CESPE/2014) 
 
 
Exercício 60 
 
 
 
Exercício 61 
 
 
 
 
(TJ-SE – CESPE/2014) 
 
 
Exercício 62 
 
 
 
 
 
 
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1 – c 31-b 61-F 
2 – c 32-d 62-F 
3 – b 33-c 
4 – a 34-a 
5 – d 35-a 
6 – a 36-a 
7 – b 37-F 
8 – e 38-V 
9 – d 39-V 
10 – e 40-V 
11 – a 41-V 
12 – c 42-F 
13 – d 43-V 
14 – e 44-e 
15 – c 45-a 
16 – certo 46-d 
17 – errado 47-e 
18 – certo 48-c 
19 – certo 49-e 
20 – errado 50-d 
21 – e 51-a 
22 – d 52-e 
23 – e 53-e 
24 – b 54-c 
25 – a 55-b 
26 – c 56-b 
27 – d 57-e 
28 – b 58-b 
29 – b 59-c 
30 – b 60-V 
 
 
Mais uma etapa concluída! Não desanimem, pois em breve vocês estarão na Receita! 
Um abraço e bons estudos 
 
 
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