Leis de Composição Internas e Parte fechada para uma operação

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3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
estatística e informática licenciatura em matemática 
3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 
 
FICHA DE APOIO 
Cd: Edson Samuel Manhoso 
1. Leis de Composição Internas 
1.2.Definição 1. (Operação sobre E ou lei de composição interna sobre E). 
Definição: Sendo um conjunto não vazio toda a aplicação Recebe o 
nome operação sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E). 
 Nas considerações de carácter geral que faremos a seguir neste parágrafo, uma 
operação f sobre E associa a cada par de um elemento de E que será 
simbolizado por (lê-se estrela ’) Assim é uma forma de indicar 
Diremos também que E é um conjunto munido da operação *. 
 O elemento x*y é chamado composto de x e y pela operação . Os elementos 
do composto x e y são chamados termos do composto . 
Os termos x e y do composto x*y são chamados, respectivamente, primeiro e segundo 
termos ou, então, termo do esquerdo e termo do direito. 
Outras notações poderão ser usadas para indicar uma operação sobre F. 
 
a) Notação aditiva 
Nesse caso, o símbolo da operação é +, a operação é chamada adição, o com posto 
 é chamado sorna, e os termos x e y são as parcelas 
b) Notação multiplicativa 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
estatística e informática licenciatura em matemática 
3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 
 
Nesse caso, o símbolo da operação é ou a simples justaposição, a opera ção é chamada 
multiplicação, o composto ou é chamado produto, e os ter mos x e y são os 
factores. 
c) Outros símbolos utilizados para operações genéricas são ⨂ 
 
2. Propriedades 
3.1.Propriedade associativa 
Como é do conhecimento geral que a propriedade associativa é aquela em que os termos 
de uma operação podem ser agrupados indistintamente, obtendo sempre o mesmo 
resultado. É regra que se cumpre na adição e multiplicação. 
Diz-se que goza da propriedade associativa quando satisfaz o seguinte: 
 
Quais que sejam 
Exemplos 1: 
1) As adições em ou são operações que gozam da propriedade 
associativa. (Costuma-se dizer que são operações associativas) 
 
2) As multiplicações em ou são operações associativas 
 
3) A adição em Conjunto das matrizes do tipo m x n com elementos reais, 
é operação associativa. 
 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
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3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 
 
4) A multiplicação em ) é operação associativa. 
 
5) A composição de funções de em é operação associativa. 
 
1) A potenciação em não é operação associativa, pois: 
 
 = 
 
 
2) A divisão em R* não é operação associativa, pois: 
 
 
 Observação 
O fato de urna operação ser associativa possibilita indicar o composto de mais de 
dois elementos sem necessidade de usar os parênteses, uma vez que qualquer associação 
entre os elementos presentes conduz ao mesmo resultado. Por exemplo: 
 
Se uma operação não é associativa, temos a obrigação de usar parênteses 
para indicar como deve ser calculado um composto de três ou mais elementos, 
pois, caso contrário, deixamos o composto sem significado. Por exemplo, em 
 Não tem significado, pois: 
 
 
 
 
 
 
 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
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Exemplo: 
Verifique se 
 
 
 é associativa 
Resposta: 
 
1º Primeiro vai se substituir , teremos 
 
 
 
 
 
 
2º Olhando para condição teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo não é associativa. 
 
3.2.Propriedade comutativa 
Como é do nosso conhecimento é aquela que mesmo alterando os factores o resultado 
não altera, ou seja continua o mesmo. 
Diz-se que goza da propriedade comutativa quando satisfaz o seguinte: 
 
Quais que sejam . 
Exemplos 1: 
1) As adições em ou são operações que gozam da propriedade comutativa. 
(Costuma-se dizer que são operações comutativas.) 
 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
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2) As multiplicações em ou são operações comutativas. 
 
2) A adição em é operação comutativa. 
 
Exemplo 2: 
Verifique se em ; é comutativa 
Resposta: 
 
 
4. Logo é comutativa, porque goza da propriedade ou seja satisfaz a condição para ser 
comutativa. 
3.3. Propriedade (existência de elemento neutro) 
Dizemos que um elemento neutro é qualquer elemento cuja utilização numa operação 
binária bem definida não causa alteração de identidade no outro elemento com qual 
entra em operação. 
Definição: Dizemos que e é um elemento neutro para operação * quando 
 
Exemplo 1: 
1) O elemento neutro das adições em ou é o número O, pois 
 para qualquer número x. 
2) O elemento neutro das multiplicações em ou é o número 1, pois 
 para qualquer número K. 
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3) O elemento neutro da adição em matriz nula do tipo ). pois 
 ,quaIquer que seja . 
 4) O elemento neutro da multiplicação em é In,., (matriz identidade do tipo 
 ), pois In n qualquer que seja . 
5) 0 elemento neutro da composição em É a função i (função idêntica em ), pois 
‘ , qualquer que seja 
 
Proposição: Se uma operação sobre tem um elemento neutro, * E então ele é único 
Demonstração: Suponhamos que sejam elementos neutros da operação *. Como 
e é elemento neutro e E. então . Por raciocínio análogo, chega-se à 
conclusão de que . De onde. 
3.4. Elementos simetrizáveis 
Definição: Seja * uma operação sobre E que tem elemento neutro a Dizemos que 
é um elemento simetrizáve! Para essa operação se existir tal que 
 ’ 
O elemento é chamado simétrico de para a operação *. 
Quando a operação é uma adição, o simétrico de x também é chamado oposto de x e 
indicado por — . 
Quando a operação è uma multiplicação, o simétrico de também é chamada inverso de 
 e indicado por .Exemplos: 
 
1) é um elemento simetrizável para a adição em , e seu simétrico (ou oposto) é 
pois: 
 
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1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
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2) 3 é um elemento simetrizável para a multiplicação em , e seu simétrico (ou 
inverso) 
 
 
, Pois: 
 
 
 
 
 
 
O não é simetrizável para a mesma operação, pois não há elemento tal que: 
 
3) Existem apenas dois elementos simetrizáveis para a multiplicação em : o e o — , 
que são iguais aos seus respectivos inversos. 
Já o não é simetrizável para a multiplicação em , uma vez que não existe tal 
que 
4) (
 
 
)é simetrizável para a adição em , e seu simétrico é (
 
 
) pois: 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
5. (
 
 
) não é simetrizável para a multiplicação em pois, supondo que sua 
inversa pudesse ser (
 
 
) teríamos: 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) {
 
 
 
 
 
E esse sistema não tem solução. 
Proposição : Seja * uma operação sobre E que é associativa e tem elemento to neutro e. 
a) Se um elemento é simetrizável, então o simétrico de x é único. 
b) Se é sinietrizável, então seu simétrico também é e 
c) Se são simetrizáveis, então é simetrizável e 
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1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
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Demonstração: 
a) Suponhamos que e sejam simétricos de Temos : 
 
b) Sendo o simétrico de temos: 
 
 E pela definição , x é o simétrico de x ou seja, x = (x’)’. 
c) Para provarmos que ’ é o simétrico de devemos mostrar que: 
 
 
De fato, temos: 
 ] ] 
 
(2) Analogamente. # 
Por indução, pode-se generalizar a propriedade C): se , São elementos de E, 
então ( )’= 
 
 , 
 
 
Notação: conjunto dos simetrizáveis 
 Se * operação sobre E com elemento neutro e, indica-se por (E) o conjunto dos 
elementos simetrizáveis de E para a operação *. 
 (E)={ | 
 } 
Exemplos: 
 { } 
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2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
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 { } 
 
 
 { | } 
 
 { } 
Podemos notar que , Pois necessariamente e uma vez que 
3.5. Elementos regulares 
Definição: Seja * uma operação sobre E Dizemos que um elemento a E é regular (ou 
simplificável ou que cumpre a lei do cancelamento) à esquerda em relação à operação * 
se, para quaisquer tais que , vale 
Dizemos que um elemento a E é regular (ou simplificável) à direita relativamente à 
operação * se, para quaisquer tais que , vale Se a E é 
um elemento regular à esquerda e à direita para a operação * dizemos simplesmente que 
o é regular para essa operação. 
Exemplos: 
1) é regular para a adição em N, pois: 
 
Quaisquer que sejam 
2) 3 é regular para a multiplicação em . pois: 
 
Quaisquer que sejam 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
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3) 0 Não é regular para a multiplicação em , pois: 
 
4.) (
 
 
) é regular para a adição cm , pois: 
Se (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) ( 
 
) então (
 
 
)=( 
 
) 
e dai de onde (
 
 
) ( 
 
) . 
Proposição : Se a operação * sobre E é associativa, tem elemento neutro e 
 e um elemento simetrizável, então a é regular. 
Demonstrações 
Sejam elementos quaisquer de E tais quo e 
Da primeira dessas hipóteses, segue que Daí, 
considerando-se a associatividade, , ou seja, 
 
De onde, . Analogamente se prova que, se então . 
Portanto, a é regular. 
Notação: conjunto dos regulares 
Sendo * uma operação sobre E, indica-se com o conjunto dos elementos 
regulares de E para a operação *. 
Exemplo : 
 
 
 ( ) 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
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Podemos notar que, se * tem elemento neutro , então e, portanto, 
 
Podemos notar também que, se * é associativa e tem elemento neutro então 
 Conforme mostrou a proposição. 
3.6. Propriedade distributiva 
Como é do nosso conhecimento que a distribuitividade de duas operações binárias, em 
que a ordem em que as são efectuadas pode, de certa forma, ser trocada. 
Definição: Sejam * e duas operações sobre E Dizemos que é distributiva à 
esquerda relativamente a * se: 
 
Quaisquer que sejam 
Dizemos que é distributivo à direita relativamente a * se; 
 
Quaisquer que sejam Quando A é distributiva à esquerda e à direita de 1c 
dizemos simplesmente que A é distributiva relativamente a . 
Exemplos: 
1) A multiplicação em é distributiva em relação à adição em , pois: 
 
Quaisquer que sejam . 
2) A multiplicação em é distributiva em relação à adição em pois; 
 
 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
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3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 
 
Quaisquer que sejam . 
3) Em , a potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação, 
 
Quaisquer que sejam . 
Entretanto, a potenciação em não ê distributiva à esquerda em relação à 
multiplicação, pois, por exemplo: 
 
5. Parte fechada para uma operação 
Definição. Dizemos que A é uma parte de E, fechada para a operação * ou, 
simplesmente, que A é fechado para a operação *, se, e somente se, vale o seguinte: 
 
Neste caso, a operação *, definida em E, também é uma operação definida em A. Essa 
operação, definida em A , é chamada restrição de * ao conjunto A . 
Exemplo 1. O subconjunto A = {-1, 0, 1}, do conjunto Z, dos números inteiros, é 
fechado para a multiplicação de números inteiros. 
Exemplo 2. O subconjunto E = {1, i, -1, -i}, do conjunto C, dos números complexos, é 
fechado para a multiplicação de números complexos. 
Exemplo3 : 
o conjunto é uma parte fechada para adição e a multiplicação em pois : 
 e 
 
3. Referencias Bibliográficas 
1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 
2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, 
estatística e informática licenciatura em matemática 
3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 
 
 
Quaisquer que sejam 
Exemplo 4: 
o conjunto é uma parte fechada para de para a adição e a multiplicação em pois 
 e 
 
 
Quaisquer que sejam 
Exemplo 5: 
O conjunto é uma parte fechada de para operação de multiplicação em , pois: 
 
Quaisquer que sejam