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Funções de Várias Variáveis Universidade Federal de Uberlândia Página 1
A Lista 8 deve ser resolvida à mão e entregue escaneada e assinada até às 12:00 de 28/10/20.
(1) Máximos e mı́nimos.
(i) Determine os valores máximo e mı́nimo de
(a) f (x, y) = x2 + y2 − x− y na região triangular R de vértices (0, 0), (2, 0) e (0, 2).
(b) f (x, y) = xy2 na região circular R dada por x2 + y2 ≤ 3.
(c) f (x, y) = x2 + xy+ y2 − 6x+ 2 na placa retangular 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 0.
(d) f (x, y) = 48xy− 32x3 − 24y2 na placa retangular 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
(ii) A distribuição de temperatura na chapa circular x2+y2 ≤ 1 é T (x, y) = x2+y2−2x+5y−10. Encontre
as temperaturas máxima e mı́nima da chapa.
(iii) Uma caixa retangular sem tampa deve ter volume fixo de 4.000 cm3 (= 4.000 ml = 4 litros). Que
dimensões minimizam a área total de sua superf́ıcie?
(iv) Uma caixa retangular com sua base no plano xy tem seus quatro vértices superiores tocando o para-
bolóide circular de equação z = 1 − x2 − y2. Determine as dimensões da caixa de maior volume posśıvel
nessas condições.
[Sugestão: para modelar matematicamente o problema, supor que os lados da base da caixa sejam paralelos
aos eixos x e y.
(2) Classificação de Pontos Cŕıticos
(i) Determine e classifique os pontos cŕıticos das funções
(a) f (x, y) = 10+ 12x− 12y− 3x2 − 2y2.
(b) f (x, y) = x2 + 4xy+ 2y2 + 4x− 8y+ 3.
(c) f (x, y) = 3xy− x3 − y3.
(d) f (x, y) = 2x3 − 3x2 + y2 − 12x+ 10.
(ii) Mostre que ∆ = fxxfyy − (fxy)
2 é zero na origem para:
(a) f (x, y) = x3 + y3;
(b) f (x, y) = e−x
4−y4 .
Logo, o teste da derivada segunda falha nesses casos. Que tipos de pontos são esses?
(3) Multiplicadores de Lagrange.
(i) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mı́nimo das funções sujeitas
às restrições:
(a) f (x, y) = x2y x+ y = 3
(b) f (x, y) = 3x+ y x2 + y2 = 10
(c) f (x, y, z) = 2x+ 2y+ z x2 + y2 + z2 = 9
(d) f (x, y, z) = x+ y x+ y+ z = 1 y2 + z2 = 4
(ii) Encontre os pontos da curva xy2 = 54 mais próximos à origem.
(iii) Você está encarregado de montar um radiotelescópio em um planeta recém-descoberto. Para minimizar
interferências, você deseja posicioná-lo onde o campo magnético do planeta é mais fraco. O planeta é
esférico, com um raio de 6 unidades. Com base em um sistema de coordenadas cuja origem seja no centro
do planeta, a intensidade do campo magnético é fornecida por M (x, y, z) = 6x − y2 + xz + 60. Onde você
deve posicionar o radiotelescópio?
(iv) Encontre os valores extremos da função f (x, y, z) = xy+ z2 na circunferência na qual o plano y− x = 0
cruza a esfera x2 + y2 + z2 = 4.
lais@ufu.br Lista 8 Láıs Rodrigues